OEFENINGENBUNDEL STATISTIEK

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "OEFENINGENBUNDEL STATISTIEK"

Transcriptie

1 OEFENINGENBUNDEL STATISTIEK Oefeningen bij het vak statistiek van prof. dr. M. Hubert Eerste bachelor wiskunde, informatica en natuurkunde

2 1 Discrete verdelingen algemeen REEKS 1 1. Kies willekeurig een Amerikaans gezin en stel X het aantal personen die in het gezin wonen. De gezinnen met meer dan zeven inwoners laten we eruit. De kansverdeling van X is als volgt: Aantal Kans Ga na dat dit een goede discrete kansverdeling is en teken de dichtheidsfunctie. Wat is P(X 5)? Wat is P(X > 5)? Wat is P(2 < X 4)? Wat is P(X 1)? Wat is de kans van de gebeurtenis dat een willekeurig gekozen gezin meer dan twee personen bevat? 2. Bereken gemiddelde en standaarddeviatie voor de volgende verdelingen. Teken de dichtheidsfunctie en de verdelingsfunctie en duid het gemiddelde aan. (a) (b) k f(k) k f(k) Drie kranten A,B,C worden verkocht in een bepaalde stad. Uit een onderzoek blijkt het volgende: 20% van de bevolking koopt krant A 16% van de bevolking koopt krant B 14% van de bevolking koopt krant C 8% van de bevolking koopt kranten A en B 5% van de bevolking koopt kranten A en C 4% van de bevolking koopt kranten B en C 2% van de bevolking koopt kranten A,B en C Wat is de waarschijnlijkheid dat een persoon twee kranten koopt? 4. Sommige kansspelen zijn gebaseerd op het werpen met twee dobbelstenen. Elke dobbelsteen heeft zes kanten, gemarkeerd met 1,2,...,6. De dobbelstenen die men in casino s gebruikt, worden zorgvuldig gebalanceerd zodat elke kant gelijke kans heeft. De uitkomst die van belang is voor een gokker is de som van het aantal ogen op de twee dobbelstenen. Noem dit de toevalsvariabele X. Schrijf alle mogelijke uitkomsten op van de twee dobbelstenen. 2

3 Als alle paren dezelfde kans hebben, wat is dan de kans van één paar? Schrijf de waarde van X naast elk paar en gebruik dit om de kansverdeling van X te bepalen. Teken een histogram van deze kansverdeling. Een man wint in een weddenschap indien een 7 of een 11 tevoorschijn komt bij de volgende worp van de twee dobbelstenen. Wat is de kans van deze gebeurtenis? Wat is de kans dat iets anders dan 7 wordt gegooid? 5. De weg die een bestuurder gebruikt naar zijn werk bevat twee kruispunten met verkeerslichten. Na jarenlange ervaring weet hij: de kans dat ik aan het eerste licht moet stoppen is 0.4; de kans dat ik aan het tweede licht moet stoppen is 0.5 en aan geen enkel licht is 0.4. Wat is de kans dat hij voor het eerste licht, maar niet voor het tweede licht moet stoppen? En omgekeerd? 6. Aan een bepaalde universiteit zijn er voor het eerste jaar bio-ingenieur 200 studenten ingeschreven. Bij het begin van het academiejaar worden ze door lottrekking ingedeeld in 11 groepen: 10 groepen (genummerd van 1 tot en met 10) van vijftien studenten en 1 groep (groepsnummer 11) van vijftig studenten. Eén van de studenten is Eric. Noem X de grootte van de groep waarin deze student terecht komt. X kan je aanzien als een s.v. Bepaal EX. Men beschikt verder over 11 assistenten: eveneens door lottrekking wordt aan ieder een groep toegewezen. Noem Y de grootte van de groep die aan de oudste assistent wordt toegekend. Bepaal EY en vergelijk met EX. 7. Je kan de keuze maken uit twee spelen. In spel A werp je een (gebalanceerde) dobbelsteen éénmaal en ontvang je het bedrag X = {het geworpen aantal ogen (in $) }. In spel B werp je een (gebalanceerde) dobbelsteen tweemaal en ontvang je Y = {het maximum van de twee uitkomsten}. Indien de inzet voor spel A 3 dollar is, en voor spel B 3.5 dollar, welk spel zou je dan kiezen? 8. Zoek a zodat a 2 als k = a als k = 1 f(k) = 0.2 als k = 2 0 elders een discrete verdeling is van een stochastische veranderlijke. 9. Stel dat n kandidaten voor een bepaalde job geordend werden van 1, 2,..., n. Stel X = het rangnummer van een geselecteerde kandidaat, waarbij X een dichtheidsfunctie heeft als volgt: { 1/n voor k = 1, 2,..., n f(k) = 0 anders (Dit noemt men de discrete uniforme verdeling). Bereken het gemiddelde en de variantie. (Hint: de som van de eerste n positieve natuurlijke getallen is n(n + 1)/2, en de som van hun kwadraten is n(n + 1)(2n + 1)/6.) 10. In een experiment op het gedrag van jonge kinderen werd elk kind in een ruimte geplaatst met vijf stuks speelgoed. Men is vnl. geïnteresseerd in het aantal stuks speelgoed waarmee het kind speelt. We gebruiken de dichtheidsfunctie die bekomen werd uit vroegere experimenten die uitgevoerd werden op een groot aantal kinderen: 3

4 k f(k) Bereken verwachtingswaarde en standaarddeviatie. 11. Tegen betaling van anderhalve euro inzet in een gokspel op de kermis kan men kiezen tussen twee mogelijke terugbetalingen: g(x) = 2X en h(x) = X2 15. X is hierbij een getal dat lukraak door de speler getrokken wordt uit een zak waarin de getallen 0 tot en met 50 steken. Welke terugbetalingsvorm zal je kiezen indien je de gemiddelde opbrengst wil maximaliseren? (Hint: de som van de eerste n positieve natuurlijke getallen is n(n + 1)/2, en de som van hun kwadraten is n(n + 1)(2n + 1)/6.) 12. Een klassieke jackpot bestaat uit drie draaiende schijven waarop twintig plaatjes staan afgebeeld met daarop kersen, citroenen, pruimen, sinaasappels, klokken of BAR geschilderd. De verdeling van de plaatjes per schijf is als volgt: schijf 1 schijf 2 schijf 3 kersen sinaasappels citroenen pruimen klokken BAR Wanneer je nu een muntje in de jackpot steekt en aan een hendel trekt, maak je kans op een vermenigvuldiging van je inzet naargelang de drie plaatjes die op het scherm verschijnen. Een typische uitbetalingstabel voor een jackpot is de volgende (met beloning bedoelen we het aantal keer dat je je inzet terugkrijgt): schijf 1 schijf 2 schijf 3 beloning BAR BAR BAR 60 klok klok klok 20 klok klok BAR 18 pruim pruim pruim 14 sinaasappel sinaasappel sinaasappel 10 sinaasappel sinaasappel BAR 6 kers kers om het even 2 kers alles behalve een kers om het even 1 In alle andere situaties verlies je je inzet en is de beloning dus gelijk aan 0. Verder is het zo dat de verschillende schijven onafhankelijk van elkaar draaien en dat ieder plaatje op de schijf evenveel kans maakt om uiteindelijk op het scherm te verschijnen. Noem X de winst na één spel. Waaraan is EX gelijk? Hoe voordelig is het bijgevolg, op lange termijn bekeken, om met deze jackpot te spelen? 13. Bepaal c zodanig dat de volgende rij een discrete verdeling vormt: P(X = k) = f(k) = c/3 k als k = 0, 1, 2,... en nul elders. Bereken bovendien P(X is even) en P(X is oneven). Hulpformule: x k = 1 als x < 1. 1 x k=0 14. Gebaseerd op vorige jaren veronderstelt een fietsenhandelaar dat hij volgend jaar tussen 40 en 90 nieuwe fietsen met 12 versnellingen zal verkopen, met de volgende verdeling: 4

5 (waarbij x = aantal verkochte fietsen) k f(k) Wat is het gemiddelde aantal verkochte fietsen? Wat is de standaarddeviatie? Als de handelaar 60 fietsen bestelt, wat is de kans dat hij ze allemaal zal verkopen? Wat is de kans dat er fietsen zullen overblijven? Hoeveel fietsen moet de handelaar bestellen om bijna zeker te zijn (95%) dat hij genoeg fietsen heeft? REEKS Drie spelers A, B en C besluiten de volgende tornooiformule aan te gaan: wie het eerst tweemaal na elkaar de overwinning behaalt, wint het tornooi. Tevens wordt afgesproken dat A en B het eerst tegen elkaar spelen; de winnaar van deze partij speelt dan tegen C. Ofwel is het tornooi dan afgelopen (met A of B als winnaar), ofwel neemt C het vervolgens op tegen de verliezer van het laatste onderlinge duel tussen de twee anderen. Zo gaat men verder totdat er uiteindelijk een tornooiwinnaar zal zijn. Onderstel verder dat alle drie de spelers die elkaar bekampen even sterk zijn (dus met kans een half kan iedere deelnemer een spelletje verliezen maar ook winnen) en dat dit zo blijft ongeacht de tijdsduur dat het ganse evenement in beslag kan nemen. Noteer met respectievelijk a, b of c de gebeurtenis dat een zekere spelronde door speler A, B of C gewonnen is. Alle mogelijke uitkomsten (Ω) van dit tornooi kunnen dan beschreven worden als volgt: { aa, acc, acbb, acbaa, acbacc, acbacbb, acbacbaa,... bb, bcc, bcaa, bcabb, bcabcc, bcabcaa, bcabcabb,... Ga dit na. Ω is dus duidelijk een aftelbaar-oneindige verzameling. De kansmaat P wordt uitsluitend bepaald door de lengte van het tornooi, met andere woorden { P(aa) = 1/4, P(acc) = 1/8, P(acbb) = 1/16, P(acbaa) = 1/32,... P(bb) = 1/4, P(bcc) = 1/8, P(bcaa) = 1/16, P(bcabb) = 1/32,... Toon aan dat P wel degelijk een kansmaat is, dit wil zeggen: de som van alle kansen is gelijk aan 1. Wat is de kans dat speler A het tornooi wint? En speler B? En speler C? Hulpformule: x k = 1 als x < 1. 1 x k=0 Onderstel tot slot dat speler B zijn goed hart toont en speler A het eerste spel (en alleen maar het eerste spel!) laat winnen. De nieuwe kansruimte (horende bij deze nieuwe tornooiformule) kan dan als volgt beschreven worden: Ω = {a, cc, cbb, cbaa, cbacc, cbacbb, cbacbaa,...}. 5

6 Herbereken alle kansen. Welke prijs betaalt speler B voor zijn liefdadigheid? En heeft speler C enige baat bij deze afspraak tussen A en B? 16. Onderstel dat het aantal mensen (noem dit X) dat op een werkdag in de dorpswinkel een krant wil kopen als volgt verdeeld is: { γk als 1 k 24 P(X = k) = 0 elders Noteer verder met α de prijs die de winkeleigenaar per krant aan de uitgever betaalt en met β de prijs waaraan hij ze verkoopt. Onderstel dat β gelijk is aan 75 eurocent en dat α gelijk is aan 50 eurocent. Neem tot slot aan dat kranten die niet verkocht geraken, door de uitgever niet worden terugbetaald en dat de eigenaar van de winkel dagelijks n (n 24) kranten aankoopt. Noem Y n de winst die de winkelier op één werkdag bij aankoop van n kranten zal maken. Duidelijk is dat Y n = h n (X), met h n een functie die voor elke concrete waarde van X berekent wat de dagwinst zal zijn. Bepaal γ zodat X een discrete stochastische veranderlijke is. Waaraan is E(Y n ) gelijk? Voor welke waarde van n is de verwachte dagwinst maximaal? Voor welke waarden van n zal de verwachte winst negatief worden? 17. De volgende oefening zal je nog een andere kijk geven op het gemiddelde van een stochastische veranderlijke. Toon aan dat voor een positieve discrete s.v. X (d.w.z. X N) met bijhorende verdelingsfunctie F X het volgende geldt: EX = P(X > l) = l=0 (1 F X (l)). l=0 Pas deze eigenschap toe om het gemiddelde van een eerlijke dobbelsteenworp te berekenen. Maak ook een tekening van een willekeurige positieve discrete verdelingsfunctie en tracht zo een visuele interpretatie aan deze eigenschap te geven. 18. Bepaal c zodanig dat de volgende rij een discrete verdeling vormt: P(X = k) = f(k) = c/(k3 k ) als k = 1, 2,... en nul elders. Hulpformule: z k = log(1 z) als z < 1. k k=1 Bereken bovendien P(X is even) en P(X is oneven) 6

7 2 Binomiaal- en Poissonverdeling REEKS 1 1. Een verkoper voor een groot farmaceutisch bedrijf bezoekt een apotheker driemaal per jaar. De kans dat hij iets verkoopt bij een bezoek is 80%. Stel X het aantal verkopen in een jaar. Stel een frequentietabel op van de dichtheidsfunctie f(x) en teken ze. Wat is de kans op tenminste twee verkopen? 2. Veronderstel dat beide ouders in een familie met 4 kinderen genen dragen voor bloedgroep A en B. Dan is de bloedgroep van hun kinderen onafhankelijk en elk kind heeft kans 1/4 op bloedgroep A. Stel X het aantal kinderen in de familie met bloedgroep A. Bereken de dichtheid van X. 3. Van alle patiënten, besmet met een zeldzame tropische ziekte en behandeld met het klassieke geneesmiddel, overleeft 20% niet. Wanneer 5 studenten terugkeren van een uitwisselingsprogramma, zijn allen besmet met die tropische ziekte en worden zij behandeld met het klassieke geneesmiddel. Wat is de kans dat meer dan de helft herstelt? 4. De ELISA-test werd medio de jaren 80 ingevoerd om bloed uit een bloedbank te testen op antilichamen die wijzen op de aanwezigheid van het AIDS-virus. Wanneer besmet bloed wordt getest geeft ELISA een positief resultaat in 98 percent van alle (besmette) gevallen. Stel dat er precies 20 bloedstalen besmet zijn. Wat is de kans dat ELISA alle gevallen zal ontdekken? Wat is de kans dat meer dan 2 van de 20 stalen de test ongemerkt zullen doorstaan? 5. Bij de productie van panty s is de kans dat een geproduceerde panty geen ladders vertoont 90%. Neem aan dat het voorkomen van ladders in opeenvolgend geproduceerde panty s onafhankelijke gebeurtenissen zijn. Bereken Het gemiddeld aantal panty s zonder ladders in een partij van 10 stuks. De kans op meer dan 7 goede panty s in deze partij. De kans op 5 opeenvolgende goede panty s. 6. Het aantal auto-ongevallen per maand op een bepaalde weg heeft een Poisson-verdeling met standaardafwijking 3. Bepaal de kans dat er volgende maand geen enkel ongeval gebeurt. minder dan 3 ongevallen gebeuren. juist 2 ongevallen gebeuren. 7. Op 14 juli ga ik voor mijn verjaardag naar een concert en bevind ik mij in een zaal met 1000 personen. Wat is de kans dat er nog 3 andere mensen uit de zaal jarig zijn? 8. Een dossier bevat 1000 fakturen. Op deze 1000 zijn er 20 die fouten vertonen. De auditor neemt een steekproef van 50 fakturen. Wat is de kans dat er in de steekproef 2 fakturen zijn die fouten vertonen? 7

8 9. Neem aan dat het aantal fouten op een magnetische diskette Poisson verdeeld is met een gemiddelde van één fout per 10 5 bits. Een sector bestaat uit bit bytes. Wat is de kans op meer dan één fout per sector? Wat is het gemiddeld aantal sectoren die gecheckt moeten worden vooraleer een fout wordt gevonden? 10. Om wat zakgeld bij te verdienen, solliciteert Pieter op 6 gelijke, maar onafhankelijke jobs. Pieter heeft 40% kans om een job te krijgen en verdient 200 euro bij elke job. De kosten die hij maakt bij het solliciteren voor de 6 jobs samen raamt hij op 300 euro. Wat is het verwacht aantal jobs dat hij zal krijgen? Wat is de verwachte winst? Wat is de kans dat hij winst maakt? Wat is de kans dat hij eraan verliest? 11. Een elektrische centrale bezit een maximaal vermogen van 300MW, voortgebracht door 10 generatoren van 30MW. Gedurende 90% van de tijd is een generator beschikbaar. De perioden van onbeschikbaarheid zijn onderling onafhankelijk. Wat is de kans dat de centrale meer dan 256MW vermogen kan leveren? 12. Een autoverhuurder bezit 2 wagens, die per dag worden verhuurd. Het aantal aanvragen voor een dag is Poisson verdeeld met λ = 1.5. welk percentage van de dagen zijn beide wagens thuis? Welk percentage van de dagen zijn beide wagens uit? Indien beide wagens evenveel worden gebruikt, welk percentage van de dagen is één bepaalde wagen dan thuis? 13. Het aantal TV-toestellen van een bepaald type dat men dagelijks verkoopt is Poissonverdeeld met parameter 1.5. De bevoorrading gebeurt op maandagvoormiddag en de zaak sluit op zondag. Hoeveel toestellen moet men telkens op maandag in voorraad brengen om de komende week met 90% zekerheid onmiddellijk te kunnen leveren? 14. Een kandidaat neemt deel aan een quiz waarbij opeenvolgende vragen gesteld worden. Hij mag naar de volgende ronde overstappen als hij 50 vragen juist beantwoord heeft. Om aan een saldo van 50 juiste antwoorden te komen, mag de kandidaat zich hoogstens 4 keer vergissen. Bereken de kans dat de kandidaat in de volgende ronde geraakt als men veronderstelt dat de kans om een goed antwoord te geven 0.9 bedraagt. 15. Een niet geordende databank van personeelsinformatie bevat verschillende karakteristieken voor ieder personeelslid. Men weet dat 35% van de personeelsleden ouder is dan 50 jaar. Men doorloopt sequentieel de databank met de bedoeling 5 personeelsleden te selecteren die ouder zijn dan 50 jaar. Wat is de kans dat men deze selectie heeft gevonden nadat men ten hoogste 6 databank records heeft onderzocht? 8

9 REEKS De kans dat een oproep aan een dienstlijn beantwoord wordt, bedraagt De oproepen worden onafhankelijk van elkaar verondersteld. Als men 20 maal belt, wat is dan het gemiddeld aantal oproepen dat binnen de 30 seconden wordt beantwoord? Wat is de kans dat men vier maal moet bellen om voor het eerst een reactie binnen de dertig seconden te krijgen? Wat is het gemiddeld aantal oproepen dat men moet uitvoeren totdat men een eerste reactie krijgt binnen de dertig seconden? Wat is dan de kans dat men precies zes maal moet bellen om twee oproepen te bekomen die binnen de 30 seconden worden beantwoord? 17. Bij de HEMA loopt een actie waarbij een klant iedere keer dat deze afrekent, een zegeltje krijgt met daarop één van de letters van het woord HEMA. Als de klant een volledig woord heeft, krijgt deze een chocoladereep cadeau. Wat is het verwachte aantal keer dat een klant moet afrekenen om een chocoladereep te krijgen? 18. Het aantal eieren door een vogel gelegd is Poisson verdeeld met parameter µ. De kans dat één ei voor het uitbroeden vernietigd wordt is p. Zoek de kans dat geen enkel ei uitgebroed wordt. 9

10 3 Continue verdelingen REEKS 1 1. Beschouw de functie f(x) = { C(2x x 3 ) als 0 < x < 2 0 elders Kan f bekeken worden als de dichtheidsfunctie van een stochastische veranderlijke X? Zo ja, bepaal C en bereken gemiddelde en variantie van X. Herhaal vervolgens dezelfde opdrachten voor de functie g met { C(2x x g(x) = 2 ) als 0 < x < 2 0 elders 2. Noteer met de s.v. L de speelduur (uitgedrukt in minuten) van een radioluidspreker van een zeer populair model uit de jaren 50. Onderstel dat de dichtheidsfunctie van L gelijk is aan: { 500 als t > 500 f L (t) = t 2 0 als 0 t 500 Schets f L en controleer dat f L daadwerkelijk een dichtheidsfunctie is. Bereken de verdelingsfunctie van L. Maak opnieuw een schets. Waaraan is de kans gelijk dat de luidspreker tussen 600 en 1200 speelminuten zal functioneren? Wat is de kans dat de luidspreker meer dan 100 speeluur muziekklanken zal produceren? Hoelang moet de luidspreker zijn job blijven doen opdat er slechts 2.5% kans is dat een andere radioluidspreker van dit merk het beter doet? Bereken EL. Strookt dit resultaat met het kwaliteitsbeeld dat je van de luidsprekers hebt op basis van de vorige vraagjes? 3. Om te gaan werken moet ik eerst de bus nemen dicht bij mij thuis en daarna moet ik overstappen op een tweede bus. De wachttijd (in minuten) heeft dichtheidsfunctie: 1 25 x 0 x < 5 2 f(x) = x 5 x 10 0 voor x < 0 of x > 10 Wat is de kans dat de totale wachttijd ten hoogste drie minuten is? Wat is de kans dat de totale wachttijd ten hoogste acht minuten is? Wat is de kans dat de totale wachttijd tussen drie en acht minuten ligt? Wat is de kans dat de totale wachttijd kleiner is dan twee minuten of groter is dan zes minuten? 4. Stel dat X normaal verdeeld is met gemiddelde 16 en standaarddeviatie 5. Bereken dan P(X > 20); P(20 < X < 25); 10

11 P(X < 10); P(12 < X < 24). 5. Onderstel dat het netto maandelijks inkomen van pas afgestudeerde informatici normaal verdeeld is met gemiddelde µ = 1360 euro en standaarddeviatie σ = 156 euro. Bereken vervolgens de kans dat de netto maandwedde van een beginnende informaticus minder dan 1000 euro bedraagt. het netto inkomen van zo n informaticus tussen 1250 en 1625 euro ligt. een pas afgestudeerde informaticus meer dan 1750 euro netto verdient. 6. Onderstel dat de levensduur van een stofzuiger normaal verdeeld is met een gemiddelde van 6 jaar en een standaarddeviatie van 1 jaar. Onderstel dat er garantie is op de stofzuiger. Hoeveel jaar mag de garantie dan maximaal duren opdat de kans dat de stofzuiger stuk gaat voor de garantie verstreken is, hoogstens 0.2 bedraagt? Wat is de oplossing als de garantie in volledige jaren wordt verleend? 7. Het benzineverbruik per 100 kilometer van een middelgrote wagen is normaal verdeeld met gemiddelde 8 liter en standaarddeviatie 1 liter. Welk percentage van de wagens verbruikt niet meer dan 7 liter? Welk percentage van de wagens verbruikt tussen 6 en 9 liter? Als een fabrikant een middelgrote wagen wil construeren die 85% van de huidige markt achter zich laat inzake zuinig rijden, wat mag dan het verbruik van de nieuwe wagen hoogstens zijn? 8. Een vertaler is gespecialiseerd in technische tekst. Onderstel dat de vertaaltijd per pagina normaal verdeeld is met µ = 30 minuten en σ = 6 minuten. Op hoeveel tijd mag hij voor 1 bladzijde rekenen als hij met 90% zekerheid binnen deze termijn klaar wil zijn? En als hij 99% zekerheid wil? 9. De tijd die nodig is om een toelatingsexamen voor een bepaalde cursus te beëindigen, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 110 minuten en een standaarddeviatie van 20 minuten. Welke proportie van studenten heeft in 2 uur het examen beëindigd? Hoelang moet het examen dan duren opdat 90% van de studenten het examen beëindigd heeft? 10. De tijd tussen opeenvolgende telefoonoproepen is exponentieel verdeeld met een gemiddelde van 10 minuten. Wat is dan de waarde van λ? Wat is de kans dat de wachttijd tot de eerste oproep minder dan 5 minuten bedraagt? Wat is de kans dat de wachttijd tussen de tweede en de derde oproep tussen de 5 en de 15 minuten bedraagt? Bepaal de lengte van een tijdsinterval waarvoor de kans op het voorkomen van tenminste 1 oproep 0.90 bedraagt. Als er geen oproep geweest is de laatste 10 minuten, wat is dan de kans dat de wachttijd tot de volgende oproep minder dan 5 minuten bedraagt? 11

12 11. Veronderstel dat de ontwikkelingstijd voor een bepaald type fotografisch papier dat gedurende vijf seconden blootgesteld is aan een lichtbron, normaal verdeeld is met gemiddelde 25 seconden en standaarddeviatie 1.3 seconden. Wat is de kans dat de ontwikkelingstijd langer dan 26.5 seconden duurt? de ontwikkelingstijd tenminste 23 seconden duurt? de ontwikkelingstijd meer dan 2.5 seconden verschilt van de verwachte tijd? 12. Dure experimenten met ventilatoren van een bepaald type die gebruikt worden in dieselmotoren hebben aangetoond dat de exponentiële verdeling een goed model is voor de tijd tot aan een defect. Veronderstel dat de gemiddelde tijd tot aan een defect uren is. Wat is de kans dat een willekeurig geselecteerde ventilator tenminste uren zal meegaan? een willekeurig geselecteerde ventilator tenhoogste uren zal meegaan? een willekeurig geselecteerde ventilator tussen en uren zal meegaan? de levensduur van een ventilator de gemiddelde waarde met meer dan twee standaarddeviaties zal overschrijden? de levensduur van een ventilator de gemiddelde waarde met meer dan drie standaarddeviaties zal overschrijden? 13. Piet en Kim overwegen om dit of volgend jaar een huis kopen. Ze denken dat de prijsstijging van de huizen in één jaar benaderend normaal verdeeld is met gemiddelde 8% en een standaarddeviatie van 10%. Als de prijsstijging van de huizen in één jaar meer dan 25% is, kunnen ze zich geen huis meer veroorloven. Wat is de kans hiervan? Als echter de prijzen van de huizen in een jaar dalen, halen ze er voordeel uit om een jaar te wachten. Bereken de kans hiervan. 14. De CPU van een PC heeft een levensduur die exponentieel verdeeld is met een gemiddelde leeftijd van 6 jaar. Je bezit je PC reeds 3 jaar. Wat is de kans dat de CPU in de eerstvolgende drie jaar zal begeven? Stel dat de firma 10 PC s bezit sinds drie jaar en stel dat de CPU s onafhankelijk van elkaar begeven. Wat is de kans dat tenminste één uitvalt in de eerstvolgende drie jaar? REEKS De dichtheidsfunctie van een s.v. X wordt gegeven door f X (x) = ax 2 + bx als 0 x 3 en nul elders. Bovendien weet je dat de kans dat X de waarde 2 niet overschrijdt gelijk is aan 2/3. Bepaal hieruit de waarde van de parameters a en b. 16. Definieer eerst de gammafunctie als volgt: Γ(α) = 0 s α 1 e s ds voor positieve α. Definieer nu de gammaverdeling met parameters α en β door volgende dichtheid: f(x) = 1 Γ(α)β αxα 1 e x/β x > 0 = 0 x 0 12

13 Toon aan dat dit een dichtheidsfunctie is. Bereken ook de verwachtingswaarde en de variantie van deze gammaverdeling. 17. De weerstand van resistoren van een bepaald type is normaal verdeeld, waarbij 10% van alle resistoren een weerstand hebben die groter is dan ohm, en 5% hebben een weerstand kleiner dan ohm. Wat is het gemiddelde en de standaarddeviatie van de verdeling? 18. Zij T exponentieel verdeeld met parameter λ. Zij X de discrete variabele gedefinieerd als (k = 0, 1, 2,...). Vind de verdeling van X. X = k als k T < k Noem X het aantal kilogram verse aardbeien dat mensen tijdens de zomermaanden in een fruitwinkel willen kopen. Onderstel dat de dichtheidsfunctie van X gegeven wordt door { γ(100 x) als 0 x 100 f X (x) = 0 als x > 100 Noteer verder met α de prijs per kilogram waaraan de winkeleigenaar de aarbeien koopt bij een plaatselijke fruitteler. De prijs die de klant moet betalen is gelijk aan 2α euro. Tot slot is het zo dat de winkelier verse aardbeien die niet verkocht geraken iedere avond toch nog kan doorverkopen aan een ambachtelijke confituurmaker voor de prijs van α/2 euro per kilogram. Noem Y s de winst die de winkelier op één werkdag zal maken, indien hij s morgens s kilogram verse aardbeien aankoopt (s 100). Opnieuw zal Y s = g s (X), met g s een functie die voor elke concrete waarde van X berekent wat de dagwinst zal zijn. Bepaal γ zodat f X een dichtheidsfunctie is. Waaraan is E(Y s ) gelijk? Voor welke waarde van s zal de verwachte dagwinst maximaal zijn? 13

14 4 Centrale limietstelling REEKS 1 1. Het gemiddeld aantal geboorten per dag in een streek is 228, met een standaarddeviatie σ gelijk aan 20. Bepaal de kans dat er in 1 jaar tijd meer dan baby s geboren worden (1 jaar = 365 dagen). 2. De dokter is bezorgd dat Judy lijdt aan hypokalemia (een laag kaliumgehalte in het bloed). Er is een spreiding in het werkelijke kaliumgehalte in het bloed en in de bloedtest die dit gehalte meet. Judy s gemeten kaliumgehalte varieert volgens een normale verdeling met µ = 3.8 en σ = 0.2. Een patient lijdt aan hypokalemia indien dit gehalte lager is dan 3.5. Indien één enkele test werd gedaan, wat is de kans dat de prognose luidt dat Judy aan hypokalemia lijdt? Indien de metingen echter op 4 verschillende dagen gedaan werden en het gemiddelde meetresultaat vergeleken wordt met 3.5, wat is dan de kans dat de prognose luidt dat Judy aan hypokalemia lijdt? 3. Een laboratorium weegt filters uit steenkoolmijnen om het gehalte aan stof in de mijnatmosfeer te bepalen. Herhaalde metingen van het gewicht van stof op dezelfde filter variëren normaal met variantie σ 2 = 0.08 mg omdat de meting niet perfect is. Het stof op een bepaalde filter heeft een N(123, 0.08) verdeling. Het laboratorium rapporteert het gemiddelde van drie metingen. Wat is de verdeling van dit gemiddelde? Wat is de kans dat dit gemiddelde groter is dan 124? 4. Een firma die een wagenpark beheert, zegt dat de levensduur van de remmen benaderend normaal verdeeld zijn met gemiddelde mijlen en standaarddeviatie 4500 mijlen. Een nieuw merk van remmen werd geïnstalleerd op 8 wagens. Indien de remmen van het nieuwe merk dezelfde verdeling zouden hebben als de oude, wat is de verdelingsfunctie van het steekproefgemiddelde van de levensduur voor de 8 nieuwe wagens? De gemiddelde levensduur van de remmen van het nieuwe merk is mijlen en standaarddeviatie is 4500 mijlen. Wat is de kans dat het steekproefgemiddelde (van de levensduur voor de nieuwe remmen) tenhoogste is? 5. Het gehalte van stikstofoxide (NOX) in de uitlaat van een bepaald automodel varieert met gemiddelde 1.4g/mi en standaarddeviatie 0.3 g/mi. Een firma heeft 125 auto s van dit model in haar wagenpark. Indien x het gemiddelde NOX gehalte is voor deze auto s, hoe groot is dan het gehalte L zodat de kans dat X groter is dan L slechts 0.01 is? 6. Veronderstel dat de populatie van de gewichten van passagiers op Flyways Airline een gemiddelde van 150 pond en een standaarddeviatie van 25 pond heeft. Flyways lijnvlucht vliegtuig heeft een capaciteit van 7800 pond. Flyways denkt eraan om in het vliegtuig 50 zetels te installeren. Wat is de kans dat het vliegtuig zal overladen zijn als het volgeboekt is? 7. Om de temperatuur van het afvalwater bij een nucleaire opwerkingsfabriek te bepalen werd elke maandag gedurende 52 weken een monster genomen. 16 graden Celsius is het veiligheidspunt voor de vissen. Het aantal maandagen waarbij de temperatuur boven de 14

15 16C uitsteeg was dan ook van hoofdbelang. Kan je de verdeling van deze stochastische grootheid benaderend beschrijven? 8. Herneem oefeningen 8 p7 en 14 p8. Los deze benaderend op en vergelijk met het exacte resultaat. 9. In een productie van miljoenen electronische chips zijn slechts 2% defect. Wat is de kans dat op 1000 chips 40 of meer defect zijn? 10. Alle auto s van een bepaald model die geleverd werden in 1990 moeten, worden teruggeroepen naar de garage o.w.v. een klein defect in de ophanging. Slechts 20% van de binnengekomen wagens moeten werkelijk hersteld worden. Een kleine autohandelaar met een tekort aan personeel, hoopt dat niet meer dan 5 van de 50 binnengekomen wagens moet hersteld worden. Wat is de kans hiervan? 11. In de presidentsverkiezingen in 1988 in de V.S., stemden 53.9% van de kiezers voor Bush. Een Gallop opiniepeiling nam een willekeurige steekproef van 1000 kiezers uit deze populatie. Wat is de kans dat Bush een minderheid van stemmen heeft in deze opiniepeiling? 12. Een Amerikaanse universiteit wil graag 1200 eerstejaarsstudenten hebben. Om in de universiteit te kunnen beginnen, hebben de studenten de toelating nodig. Niet elke student die de toelating krijgt, gaat echter naar die universiteit. Ervaring uit vorige jaren leert aan dat ongeveer 70% van de toegelaten studenten, in die universiteit begint. De universiteit beslist om 1500 studenten toelating te geven. Indien het aantal studenten die de toelating aanvaarden kleiner is dan 1200, laat de universiteit ook studenten toe die op de wachtlijst staan. Wat is het gemiddelde en de standaarddeviatie van het aantal studenten die de toelating aanvaarden? Bereken de kans dat tenminste 1000 studenten de aanbieding aanvaarden. De universiteit wil niet meer dan 1200 studenten. Wat is de kans dat meer dan 1200 studenten de toelating aanvaarden? Indien de universiteit het aantal toegelaten studenten verhoogt tot 1700, wat is de kans dat meer dan 1200 studenten aanvaarden? 13. Een fietsenbedrijf gebruikt kettingen die tenhoogste 1/4 inch afwijken van 54 inchen. De individuele schakels fluctueren rond en gemiddelde lengte van 1/2 inch met een standaarddeviatie van 1/100 inch. Hoeveel schakels heeft men nodig voor één ketting? Welke proportie van de kettingen voldoet aan de eisen (d.w.z. ten hoogste 1/4 inch afwijken van 54 inchen)? 14. Een Gallup opiniepeiling stelde de vraag Ga je vaak joggen? aan een willekeurige steekproef van 1540 volwassenen. Veronderstel dat 15% van alle Amerikaanse volwassenen vaak joggen. Bereken het gemiddelde en de variantie van het aantal volwassenen uit de steekproef die joggen. Gebruik de normale approximatie om de kans te vinden dat tussen 13% en 17% van de volwassenen uit de steekproef joggen. Welke steekproefgrootte is vereist om de standaarddeviatie te reduceren tot de helft van degene die je vond in 1.? 15

16 15. Een vrachtschip heeft een maximaal laadvermogen van 50 ton. Het schip wordt geladen met dozen rijst die elk gemiddeld 50 kilogram wegen met een standaarddeviatie van 5 kilogram. Als er 995 dozen geladen worden, wat is de kans dat het maximaal laadvermogen overschreden wordt? Hoeveel dozen mag men maximaal laden opdat de kans dat het maximaal laadvermogen overschreden wordt kleiner of gelijk is aan 0.001? 16. Bij aankoop van een nieuwe wagen raadt de garagist mijn buurman aan om telkens na 5000 kilometer rijden de olie te verversen. Mijn gebuur weet nu, na jarenlange ervaring, dat hij gemiddeld ongeveer 40 kilometer per dag met de nieuwe wagen zal rijden met een standaarddeviatie van 7 kilometer. Hoeveel dagen kan hij dan onbezorgd met de auto rondtoeren zodanig dat de kans dat hij meer kilometers rijdt dan toegelaten ten hoogste 0.01 is? 17. Doorgaans komt één derde van de mensen die in januari de apotheek binnenstappen, een welbepaalde hoestsiroop kopen. Onderstel dat de apotheker op een zekere dag 120 klanten over de vloer kreeg. Hoeveel flessen van deze hoestsiroop moest hij dan minstens in voorraad hebben opdat de kans dat de vraag het aanbod die dag oversteeg hoogstens 0.2 is? 18. Een bedrijf start een nieuwe vestiging met 1000 werknemers. Het restaurant bedient de lunch in twee shiften. De werknemers kiezen vrij (onafhankelijk van elkaar) in welke shift ze gaan lunchen. De directie weet nu dat in haar andere vestigingen de kans dat een werknemer voor de eerste shift kiest gelijk is aan 2/3. Ze gaat er vanuit dat dit ook in het nieuwe bedrijf het geval gaat zijn. Hoeveel stoelen moet de directie dan voorzien als ze niet meer dan 2% kans wil hebben dat er in het restaurant te weinig plaats is? REEKS De managers van Mercury Mufflers zeggen dat de tijd t (in minuten) die een arbeider nodig heeft om een knalpotten te plaatsen varieert. Over een periode van een jaar verzamelden ze volgende gegevens: t rel. freq % 30 50% 40 30% 50 10% Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van de vervangingstijd t. Ze plannen om 50 knalpotten met 4 mensen in één dag (van 9.00 tot uur) te vervangen. Wat is de kans dat ze zullen falen om op tijd klaar te zijn? 20. De hoeveelheid calorieën bij het ontbijt opgenomen is een toevalsvariabele met verwachtingswaarde 500 en een standaarddeviatie van 50. Bij het middagmaal bedraagt het gemiddelde 800 en de standaarddeviatie is 100, terwijl bij het avondeten dit 1700 met een standaarddeviatie va 200 bedraagt. (Stel dat we steeds drie maaltijden per dag eten.) Wat is de kans dat mijn gemiddelde dagelijkse calorieopname over een jaar tussen de 2950 en de 3050 ligt? Specifieer uw onderstellingen. 16

17 21. Een dobbelsteen wordt opgeworpen tot de totale som van de ogen 700 of meer is. Schat de kans dat hiervoor tussen 180 en 210 worpen nodig zijn. 22. Een bank aanvaardt rollen muntstukken van 1 eurocent die 50 stuks zouden moeten bevatten. In ruil geeft de bank 50 cent, maar omdat het om zulke kleine bedragen gaat, wordt de inhoud niet nageteld. Stel dat een rol 49 eurocent bevat in 30 procent van de gevallen, 50 eurocent in 60 procent en 51 eurocent in 10 procent van de gevallen. (a) Schat de kans dat de bank op 100 rollen meer dan 25 cent verliest. (b) Hoeveel rollen moet de bank inzamelen om met minstens 99 procent kans een netto verlies te maken? 23. Stel dat men n maal een muntstuk opgooit. Noem S n het aantal maal dat men munt bekomt. Wat is de kans dat S meer dan 0.1 verschilt van 0.5? Hoeveel maal ga je minstens een muntstuk moeten opwerpen opdat de kans dat Sn n meer dan 0.1 verschilt van 0.5 kleiner is dan 0.01? 24. Een gokker begint in een casino te spelen met een zeker beginkapitaal C. Onderstel dat hij steeds bij hetzelfde spel blijft staan en dat hij een kans p heeft om een spelronde te winnen. Spelrondes geschieden onafhankelijk van elkaar. Als de gokker een bedrag a inzet en hij wint het spel, dan krijgt hij ditzelfde bedrag van het casino als beloning. In het andere geval verliest hij zijn inzet. Dit is nu zijn spelstrategie. Na iedere spelronde beslist hij om een constante fractie α (0 < α < 1) in te zetten van het kapitaal dat hij op dat ogenblik nog in zijn bezit heeft. Je mag er vanuit gaan dat dit steeds mogelijk blijft. Bij het begin zal hij dus αc euro inzetten. Wint hij, dan bekomt de speler C + αc euro. Verliest hij, dan blijft er nog C αc euro voor hem over. Noem X n zijn kapitaal na de n-de spelronde. Toon aan dat X n = C(1 + α) N(n) (1 α) n N(n), met N(n) het aantal keer dat hij succes heeft na n spelen. Bepaal het limietgedrag van log(x n )/n. Bespreek het limietgedrag van X n. Meer concreet: hoe groot moet p zijn, wil X n, als n? 17

18 5 Betrouwbaarheidsintervallen 5.1 Voor het centrum 1. Een industriële fabriek stoot dagelijks zwaveloxide uit. Voor 60 dagen werd gemiddeld ton zwaveloxide gemeten, terwijl s 2 = Construeer een 90% BI voor de gemiddelde dagelijkse emissie van de fabriek. 2. Een agentschap wil de gemiddelde verkoopsprijs van de huizen in een voorstad van Atlanta schatten. Het neemt een willekeurige steekproef van 25 recent verkochte huizen en vindt als gemiddelde verkoopsprijs x = $ en standaarddeviatie s = 62000$. Bereken een 95% BI voor het gemiddelde van alle recente verkoopsprijzen. We hebben gehoord dat een vriend van ons een huis heeft gekocht voor $. Is dat plausibel, of is er een meldingsfout opgetreden? 3. In 1976 werd een onderzoek verricht in 225 (willekeurig gekozen) van de 2700 hoge scholen in de V.S. Het onderzoek toonde aan dat het gemiddeld aantal inschrijvingen per instelling gelijk is aan 3700, met een standaarddeviatie gelijk aan 6000 inschrijvingen. Stel een 95% BI op voor het totaal aantal inschrijvingen in al de 2700 instellingen. 4. Om de nauwkeurigheid van een meetinstrument te bepalen, wordt een standaardgewicht van 10 gram herhaaldelijk gemeten. De gemeten waarden zijn normaal verdeeld met ongekend gemiddelde (dit gemiddelde is 10 gram indien er geen afwijking zit op het meetinstrument). De standaarddeviatie van de gemeten waarden is σ = gram. Het standaardgewicht wordt vijf keer gemeten. Het gemiddelde resultaat is gram. Bereken een 99% BI voor het gemiddelde van de metingen van het gewicht. Leg in woorden uit wat dit BI betekent. Bereken ook eens een 90% BI en vergelijk je resultaat met het vorige interval. Stel dat σ niet gekend is, maar dat uit de steekproef volgt dat s = Bepaal nu een 99% BI voor het gemiddelde van de metingen van het gewicht. Vergelijk je resultaat met je oorspronkelijk BI. Het standaardgewicht wordt 10 keer gemeten. Het gemiddelde resultaat blijft toevallig gram. Bereken een 99% BI voor het gemiddelde van de metingen van het gewicht. Vergelijk je resultaat met je eerste BI. Hoeveel metingen heb je minimaal nodig om een foutenmarge te krijgen van ± bij een 99% BI? 5. Het gewicht van een willekeurige steekproef van 24 lopers werd gemeten. Het steekproefgemiddelde is x = 60 kg. Veronderstel dat de standaarddeviatie van de populatie gekend is als σ X = 5kg. Geef een 95% BI voor µ X, het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproef genomen werd. Bereken een 99% BI voor µ X. Is dit BI breder of smaller dan het BI gevonden in 1? We willen nu een BI voor het gemiddelde gewicht in ponden (1 kg = 2.2 ponden). Stel dus X het gewicht in kg, en Y = 2.2X, hetzelfde gewicht gemeten in ponden. Bereken σ Y en σ Y. Bereken vervolgens een 95% BI voor µ Y, het populatiegemiddelde uitgedrukt in ponden. 18

19 Vermenigvuldig de eindpunten van het 95% BI voor µ X met 2.2. Is het resultaat hetzelfde? 6. Beschouw de toevalsvariabele Azijn uit het handboek in Sectie Deze variabele is niet normaal verdeeld. Voor de logaritme van Azijn kunnen we wel normaliteit veronderstellen. Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van de logaritme van Azijn. Leid hieruit een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de mediaan van Azijn (niet log(azijn)) af. Leg uit waarom je niet op analoge manier een 95% betrouwbaarheidsinterval kan bepalen voor het gemiddelde van de variabele Azijn. Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de mediaan van Azijn met behulp van de techniek uit Sectie Vergelijk de breedte van beide 95% BI voor de mediaan van Azijn. 5.2 Voor een proportie 7. Er werd een steekproef genomen om na te gaan welk percentage van gezinnen onder de armoedegrens leeft in een bepaalde regio. Van de 20 onderzochte gezinnen waren dat er 3. Bereken een benaderend 95% betrouwbaarheidsinterval voor de proportie gezinnen die onder de armoedegrens leven. Hoe groot moet je de steekproef nemen opdat de standaardfout ten hoogste 0.02 is, als je weet dat de gezochte proportie ongeveer 0.15 is? Toon aan dat de standaardfout van een steekproefproportie voor vaste n het grootst is als p = 0.5. Hoe groot moeten we de steekproef nemen opdat de standaardfout ten hoogste 0.02 is, als je weet dat de gezochte proportie ongeveer 0.5 is? 8. Een handelaar in kerstbomen in Indiana liet een onderzoek uitvoeren naar het aantal gezinnen in Indiana met een kerstboom. Een willekeurige steekproef van 500 gezinnen werd opgesteld. Zij werden telefonisch gecontacteerd met een twee minuten durend interview. Eén vraag die gesteld werd, was: Had jij een kerstboom dit jaar? Van de 500 antwoorden luidden er 421 ja. Bereken een 95% BI voor de werkelijke proportie van alle gezinnen in Indiana die een kerstboom hadden. 5.3 Voor andere parameters 9. Beschouw X N(µ, σ 2 ). Hoe zou je σ 2 schatten? Wat weet je over de verdeling van deze schatter? Bepaal een 80% betrouwbaarheidsinterval voor de variantie σ 2 van een normale verdeling als n = Stel X Exp(λ). Zoek een verband tussen het gemiddelde van de exponentiële verdeling en λ. Hoe zou je dit verband kunnen gebruiken om λ te schatten op basis van een steekproef? Wat weet je over de verdeling van deze schatter als n voldoende groot? 19

20 Bepaal een 99% betrouwbaarheidsinterval voor de parameter λ bij een exponentiële verdeling Exp(λ) als n voldoende groot is. 11. De echte gemiddelde opbrengst van twee chemische processen is in beide gevallen gelijk aan µ, doch de variantie bij proces 1 is σ 2 terwijl ze bij het tweede proces 4σ 2 bedraagt. X 1,...,X m zijn m onafhankelijke opbrenstgegevens van proces 1; Y 1,...,Y n zijn n onafhankelijke observaties van het tweede proces. Toon aan dat voor elke waarde a (0, 1) een zuivere schatter voor µ is. ˆµ = a X + (1 a)ȳ Bij gegeven m en n, zoek die waarde van a die de variantie van ˆµ het kleinst mogelijk maakt. Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de schatter die je bekomt met deze optimale a waarde. 20

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 VERSIE MT15303 1308 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 5 augustus 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling.

6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. Opgaven hoofdstuk 6 I Learning the Mechanics 6.1 Beschouw de populatie die wordt beschreven door onderstaande kansverdeling. De random variabele x wordt tweemaal waargenomen. Ga na dat, indien de waarnemingen

Nadere informatie

Wiskunde B - Tentamen 2

Wiskunde B - Tentamen 2 Wiskunde B - Tentamen Tentamen van Wiskunde B voor CiT (57) Donderdag 4 april 005 van 900 tot 00 uur Dit tentamen bestaat uit 8 opgaven, 3 tabellen en formulebladen Vermeld ook je studentnummer op je werk

Nadere informatie

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995 Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica Maandag 29 mei 1995 Tweede jaar kandidaat arts + Tweede jaar kandidaat in de biomedische wetenschappen Naam: Voornaam: Vraa Kengetal g Blad 1

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 31 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 0 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Oefeningen statistiek

Oefeningen statistiek Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamenopgaven Statistiek (2DD71) op xx-xx-xxxx, xx.00-xx.00 uur. VOORAF: Hieronder staat een aantal opgaven over de stof. Veel meer dan op het tentamen zelf gevraagd zullen worden. Op het tentamen zullen in totaal 20 onderdelen gevraagd worden. TECHNISCHE UNIVERSITEIT

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling

7.1 Toets voor het gemiddelde van een normale verdeling Hoofdstuk 7 Toetsen van hypothesen Toetsen van hypothesen is, o.a. in de medische en chemische wereld, een veel gebruikte statistische techniek. Het wordt vaak gebruikt om een gevestigde norm eventueel

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2009 tijdvak 1 maandag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Lesbrief de normale verdeling

Lesbrief de normale verdeling Lesbrief de normale verdeling 2010 Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Hoofdstuk 1 de normale verdeling... 2 Hoofdstuk 2 meer over de normale verdeling... 11 Hoofdstuk 3 de n-wet...

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde A havo 2011 - I Zuinig rijden Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij foto 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Donderdag 3 juni 3.30 6.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen

Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Uitleg significantieniveau en toetsen van hypothesen Het significantieniveau (meestal aangegeven met de letter α) stelt de kans voor, dat H 0 gelijk heeft, maar H 1 gelijk krijgt. Je trekt dus een foute

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst?

Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? Schatting voor het aantal tanks: is statistiek beter dan de geheime dienst? dr. H.P. Lopuhaä UHD Statistiek Opleiding Technische Wiskunde Faculteit Informatietechnologie & Systemen Technische Universiteit

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 Wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

S0A17D: Examen Sociale Statistiek (deel 2)

S0A17D: Examen Sociale Statistiek (deel 2) S0A17D: Examen Sociale Statistiek (deel 2) 21 juni 2011 Naam : Jaar en studierichting : Lees volgende aanwijzingen eerst voor het examen te beginnen : Wie de vragen aanneemt en bekijkt, moet minstens 1

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Biostatistiek voor BMT (2S390) op 17-11-2003 U mag alleen gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium (dikt. nr. 2218) en van een zakrekenmachine.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Telproblemen Oefening 1 Een beveiligingscode bestaat uit 3 karakters, die elk een cijfer of een letter kunnen zijn. Bijvoorbeeld C13 of 2D9. Hoeveel zulke codes zijn er (A) 17 576

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A Experimenteel (oude stijl)

Examen VWO. Wiskunde A Experimenteel (oude stijl) Wiskunde A Experimenteel (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 31 mei 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 0 punten te behalen; het examen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 28 januari 2013 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel

Nadere informatie

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier.

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Toets Stroom 1.2 Methoden en Statistiek tul, MLW 7 april 2006 Deze toets bestaat uit 25 vierkeuzevragen. Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Vraag goed beantwoord dan punt voor

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamenopgaven Statistiek 2DD71: UITWERKINGEN 1. Stroopwafels a De som S van de 12 gewichten is X 1 + X 2 + + X 12. Deze is normaal

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A (pilot) tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A (pilot) tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2011 tijdvak 1 woensdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde A (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.

Nadere informatie

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke

Niet de hoogte, wel de oppervlakte. Aandachtspunten bij. - statistische technieken voor een continue veranderlijke Niet de hoogte, wel de oppervlakte Prof. dr. Herman Callaert Aandachtspunten bij - statistische technieken voor een continue veranderlijke - de interpretatie van een histogram - de normale dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u

Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Technische Universiteit Delft Mekelweg 4 Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica 2628 CD Delft Tentamen Inleiding Statistiek (WI2615) 10 april 2013, 9:00-12:00u Formulebladen, rekenmachines,

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 29 juli 2013 Tijd: 14.00-17.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I Vetpercentage Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI). De

Nadere informatie

wiskunde A Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde A Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Examen VWO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit

Nadere informatie

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN!

DEZE PAGINA NIET vóór 8.30u OMSLAAN! STTISTIEK 1 - VERSIE MT15303 1310 1 WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 1 (MT-15303) 22 oktober 2013, 8.30-10.30 uur EZE PGIN NIET vóór 8.30u OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER,

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl)

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl) Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 01 tijdvak woensdag 0 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 1 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo

voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen 2 2 kruistabel a c b d, met phi = ad bc ( a+ b)( a+ c)( b+ d)( c+ d) als phi

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend!

o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend! Examentoets 2 6VWO-A Statistiek woensdag 20 januari 2010 o Geef bij de beantwoording van de vragen ALTIJD JE BEREKENINGEN. Als je alleen een antwoord geeft worden er GEEN PUNTEN toegekend! o Geef bij gebruik

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde C vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde C vwo 2011 - I Autobanden De meeste personenauto s hebben 4 banden. Als een auto 1160 kg zwaar is, moet elke band 290 kg dragen. Van een auto die bijvoorbeeld 1800 kg zwaar is, moet elke band 450 kg dragen. Een zwaardere

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6

H9: Rijen & Reeksen..1-2. H10: Kansverdelingen..3-4. H11: Allerlei functies.5-6 Oefenmateriaal V5 wiskunde C Voorbereiding op PTA-toets1 wiskunde INHOUDSOPGAVE H9: Rijen & Reeksen..1-2 H10: Kansverdelingen..3-4 H11: Allerlei functies.5- Hoofdstuk 9: Rijen & Reeksen Recursieve formule

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

Examen Data Analyse II - Deel 2

Examen Data Analyse II - Deel 2 Examen Data Analyse II - Deel 2 Tweede Bachelor Biomedische Wetenschappen 10 januari 2011 Naam....................................... 1. De systolische bloeddruk (in mmhg) van 21 mannen is weergegeven

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 20

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I

Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Eindexamen wiskunde a 1-2 havo 2003 - I Duikeend Op het IJsselmeer overwinteren grote groepen duikeenden. Ze leven van mosselen die daar veel op de bodem voorkomen. Duikeenden slikken hun mosselen met

Nadere informatie

uitwerkingen voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo

uitwerkingen voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo uitwerkingen voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo uitwerkingen voorbeeldexamenopgaven statistiek wiskunde A havo - 5-6-205 lees verder Kijkcijfers maximumscore 4 Het toepassen van de formule

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.3 16.3 uur 2 4 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2

Examen VWO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail Opmerkingen vooraf Wiskunde Pagina 2 uit 20 Opmerkingen vooraf Pak je rekenmachine, de TI-83, erbij en

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2002-II Speelgoedfabriek Een speelgoedfabrikant maakt houten poppenhuizen en houten treinen. Voor het vervaardigen van het speelgoed onderscheiden we drie soorten arbeid: zagen, timmeren en verven. Het aantal

Nadere informatie

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2

Examen VWO-Compex. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO-Compex Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2007 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 16 januari 2014 Tijd: 14.00-17.00 uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde A1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur Examen VWO 2008 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A1,2 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 23 mei 13.30-16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

t in uren 0 1 2 3 5 8 10 H in mg 100 68 46,2 31,4 Hoeveel procent breekt het lichaam ieder uur af? voelen. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.

t in uren 0 1 2 3 5 8 10 H in mg 100 68 46,2 31,4 Hoeveel procent breekt het lichaam ieder uur af? voelen. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. Opgave 1 Een peuter heeft in een onbewaakt moment 100 mg gedronken van een medicijn dat uitsluitend bestemd is voor volwassenen. De tabel hieronder geeft aan hoeveel werkzame stof H er na t uren nog in

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2010 tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN

HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN Toetsen van hypothesen 1 HOOFDSTUK 5 TOETSEN VAN HYPOTHESEN 1. Inleiding...2 2. Beslissingsregels...5 2.1. Beslissen op grond van kritische grenzen...5 2.1.1. Het α-risico...6 2.1.2. Het β-risico...7 2.2.

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1 havo 2007-I De wet van Moore Eén van de belangrijkste onderdelen van de computer is de chip. Een chip is een elektronische schakeling die uit vele duizenden transistors bestaat. Toch is een chip niet groter dan een

Nadere informatie

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur

Wiskunde A. Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde A Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 17 mei 13.30 16.30 uur 20 00 Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord

Nadere informatie

wiskunde A havo 2016-II

wiskunde A havo 2016-II BMI, hoger dan je denkt Jarenlang nam in Nederland de gemiddelde lengte van volwassen mannen en vrouwen toe. Ook aan het einde van de vorige eeuw was dat nog zo: op 1 januari van het jaar 1981 waren Nederlandse

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2004-I (oude stijl)

Eindexamen wiskunde A vwo 2004-I (oude stijl) Kentekens Elk land geeft kentekens uit voor personenauto s. Op een kenteken staat een code die bestaat uit een combinatie van cijfers en/of letters. In Nederland gebruikt men al sinds de jaren vijftig

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2

Examen VWO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30 16.30 uur 20 06 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.

Nadere informatie

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet?

Verklarende Statistiek: Toetsen. Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Verklarende Statistiek: Toetsen Zat ik nou in dat kritische gebied of niet? Toetsen, Overzicht Nulhypothese - Alternatieve hypothese (voorbeeld: toets voor p = p o in binomiale steekproef) Betrouwbaarheid

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.30 16.30 uur 20 03 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie