Alle wegen zijn één-richtingswegen; de pijlen geven de enige toegestane richting aan op de schakels.

Transcriptie

1 1/16 Examen Verkeerskunde (H01I6A) Katholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrastructuur Datum: dinsdag 16 juni 2009 Tijd: Instructies: uur Er zijn 4 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Immers. De gereserveerde tijd hiervoor is van 9.00 tot uur Er zijn 2 vragen over het gedeelte van het vak gedoceerd door prof. Beeldens. De gereserveerde tijd hiervoor is van tot uur. De vragen van prof. Beeldens worden separaat uitgedeeld. Start de beantwoording van elk van de 4 vragen van prof. Immers en de 2 vragen van prof. Beeldens op een nieuw blad. Schrijf op elk blad uw naam en het nummer van de vraag. Weet u het antwoord niet op een vraag, lever dan een leeg blad in (wel met uw naam en het nummer van de vraag!) Enige tijd na het examen vindt u op de website van Verkeer en Infrastructuur ( een overzicht van mogelijke oplossingen van de examenvragen. De bladen met vragen kunt u behouden. Vragen prof. Immers Vraag 1 Toedeling Gegeven is onderstaand netwerk. Alle wegen zijn één-richtingswegen; de pijlen geven de enige toegestane richting aan op de schakels. Knooppunt A is een herkomst en knooppunten B en C zijn bestemmingen. De vraag staat aangegeven in onderstaande HB tabel: B C A vrtg/uur 2400 vrtg/uur Voor de weerstand over de schakels wordt de reistijd genomen. De reistijd t over de bovenste schakel (via D) is constant en gelijk aan 0,66 uur. Langs de overige schakels in het netwerk zijn aangegeven: de lengte (L), de praktische capaciteit (Cap) en de snelheid (V 0 ) in onbelaste toestand ("free-flow"). Voor die overige schakels wordt de reistijd t over een schakel a gegeven door de volgende BPR-formule:

2 2/16 t a = t free flow a (1 + α q Cap β ) Hierin is q de stroom over de schakel en zijn α en β empirisch bepaalde parameters. a) Leg kort de logische opbouw uit van de boven gegeven BPR-formule. Voor de waarde van β wordt in de praktijk vaak een hoge waarde van 4 of meer gevonden. Waarom? Hoe kan de parameter α worden geïnterpreteerd? Voor de vragen b), c) en d) veronderstellen we: α = 0,5 en β = 1,0. b) Bereken de stromen op alle schakels van bovenstaand netwerk voor een allesof-niets toedeling. Als de stromen deze alles-of-niets toedeling zouden volgen wat zou dan de werkelijke reistijd zijn (berekend via de BPR-formule) voor een rit van A naar B? c) Bereken de stromen en reistijden op alle schakels van bovenstaand netwerk voor een gebruikersoptimale evenwichtstoedeling. Wat is de reistijd van A naar B? Hoe groot is de totale reistijd op het gehele netwerk van alle gebruikers tezamen? d) Bereken de stromen en reistijden op alle schakels van bovenstaand netwerk voor een systeemoptimale evenwichtstoedeling. Laat zien dat deze systeemoptimale evenwichtstoedeling geen stabiel evenwicht representeert. Hoe groot is nu de totale reistijd op het gehele netwerk van alle gebruikers tezamen?

3 3/16 Vraag e) is niet beperkt tot het bovenstaand netwerk maar geldt ook voor een algemeen netwerk. e) Voor welke waarden van α en β in de BPR formule zullen de resultaten van de alles-of-niets toedeling, de gebruikersoptimale evenwichtstoedeling en de systeemoptimale evenwichtstoedeling identiek zijn aan elkaar? Motiveer uw antwoord Vraag 2 Verkeers- en vervoersystemen Automobiliteit a) Geef op basis van een grondige argumentering aan of onderstaande beweringen juist of onjuist zijn: Bewering 1: De groei van de automobiliteit (uitgedrukt in voertuigkilometers) zal ervoor zorgen dat het steeds drukker wordt op de invalswegen van de grote steden. Bewering 2: Het is belangrijker de capaciteit van het autosnelwegennet verder uit te breiden dan de capaciteit van het regionale wegennet, want op deze wijze wordt extra capaciteit voorzien voor de omvangrijke groep langeafstandsverplaatsingen. Openbaar vervoer b) De directie van De Lijn wordt met het volgende dilemma geconfronteerd: Men overweegt de rijsnelheid van de bussen op te voeren maar het gevolg daarvan is dat de huidige regelmaat van de dienstuitvoering afneemt. Anderzijds wil men de regelmaat verder verbeteren maar dit gaat dan weer ten koste van de huidige gemiddelde rijsnelheid. Als men u om advies zou vragen, welke keuze zou u De Lijn adviseren en welke argumentering ligt daaraan ten grondslag? Verplaatst u zich vervolgens in de positie van de klant (de OV-reiziger). Als u als klant dit dilemma krijgt voorgelegd welke uitkomst heeft dan uw voorkeur? Geef ook hier uw argumentatie. c) Welke afwegingen maakt men bij het vaststellen van de optimale halteafstand? Vraag 3 Vervoerseconomie Tussen A en B is slechts één serieuze verbindingsweg. Er is ook geen goed alternatief beschikbaar voor de verplaatsingen van A naar B, bijv. in de vorm van een alternatieve vervoerwijze.

4 4/16 De vraagfunctie voor de markt van verplaatsingen van A naar B is: q V ( q) = De vraagfunctie geeft aan hoeveel voertuigen per uur van A naar B willen gaan bij bepaalde kosten. Bij kosten gelijk aan V(q) (in euro) gaan er q (voertuigen per uur) van A naar B De private tijdkosten (uitgedrukt in geldeenheden) voor de verbinding worden gegeven door: q c ( q) = 2, Dat wil zeggen: als er q voertuigen/uur van A naar B gaan, dan ondervindt elk van die q voertuigen een tijdkost van c(q) euro. De autokosten (per automobilist) voor de rit van A naar B bedragen 5 euro. Zij bestaan uit een component resourcekosten (dit zijn de werkelijke productiekosten verbonden aan het bezit en gebruik van de auto) en een component belastingkosten (zoals brandstofaccijns etc) geheven door de overheid. De resourcekosten bedragen 3 euro. De belastingkosten bedragen 2 euro. De milieuschade (per auto) veroorzaakt door de rit van A naar B bedraagt 2 euro. a) Hoe groot is de stroom van A naar B in het bestaande marktevenwicht? De overheid besluit een tol te heffen van 2,5 euro. b) Hoe groot wordt de stroom van A naar B in het nieuwe marktevenwicht na tolheffing? In dit probleem is de vraagfunctie gegeven. In een praktische situatie kent men de vraagfunctie niet. Men probeert dan de vraagfunctie te schatten aan de hand van een door onderzoek verkregen prijselasticiteit. c) Hoe groot blijkt de prijselasticiteit in dit probleem te zijn? We vragen naar de prijselasticiteit ten opzichte van de gegeneraliseerde door de automobilist betaalde prijs van een rit van A naar B. d) Bereken de welvaartswinst voor de samenleving na tolheffing. Doe dit op de volgende manier: Bepaal de welvaartswinst voor de samenleving door de winst of het verlies in welvaart van een aantal partijen voor en na tolheffing met elkaar te vergelijken. Onderscheid daarbij de volgende partijen: de automobilisten de overheid de slachtoffers van de milieuschade Het saldo van al deze winsten en verliezen is de welvaartswinst voor de samenleving.

5 5/16 De welvaartswinst voor de samenleving kan ook op een alternatieve manier worden berekend. Door het heffen van tol zullen een aantal automobilisten besluiten de rit niet meer te maken. Dit leidt enerzijds tot een besparing in werkelijke kosten voor de samenleving, anderzijds tot een vermindering van baten. Het saldo hiervan levert wederom de welvaartswinst voor de samenleving. e) Voer de bovenomschreven alternatieve berekening uit. Vraag 4 Verkeersstroomtheorie Gegeven: - een weg met volgende fundamentele relatie tussen snelheid V en J V k e k = w k dichtheid k: ( ) q = 0 t < 0 - verkeersvraag: 3 q = 4 Jw 0 t 10T q = 0 10T < t - Vanaf x=0 is er een wegversmalling met capaciteit ½ Jw Gevraagd: a. teken het fundamenteel diagram van intensiteit tegen dichtheid b. teken het x-t diagram (tip: als je een ruitjesblad gebruikt met de tijdsas in eenheden T en de x-as in eenheden Tw, kun je veel berekeningen eenvoudig grafisch oplossen!) c. bereken het aantal voertuigverliesuren d. stel: op t=4t komt er een truck op de rijbaan ter hoogte van x=- 5Tw met snelheid w. Het andere verkeer kan deze truck niet inhalen. Op t=5t verdwijnt deze weer, zodat het andere verkeer vrije baan heeft. a. teken opnieuw het x-t diagram en bepaal het aantal voertuigverliesuren b. vergelijk beide uitkomsten voor de voertuigverliesuren en verklaar je antwoord c. Bonus: hoe zou het aantal voertuigverliesuren veranderen als de truck een andere snelheid had, bijvoorbeeld 2w, 1/2w of 0?

6 6/16 Vragen prof. Beeldens Dit deel van het examen bestaat uit twee vragen. Begin uw antwoord voor elke vraag op een nieuw blad. Plaats steeds uw naam en examennummer bovenaan elk blad. Antwoord bondig, maar volledig. Geef uitleg bij uw antwoord, met andere woorden geef ook de gevolgde redenering weer en niet enkel het eindresultaat. VRAAG 1: Rotonde In een stedelijke omgeving wordt een kruispunt omgevormd tot rotonde. Schets de rotonde. Duidt de belangrijkste elementen aan en geef weer hoe je met de verschillende gebruikers rekening zult houden in het ontwerp. Bekijk hierbij zowel het openbaar vervoer, de zwakke weggebruiker als het zwaar (lokaal) verkeer. Je mag zelf bepaalde uitgangspunten aannemen (vb. maximale snelheid gelijk aan 50 km/uur), geef deze wel duidelijk weer in je antwoord en maak duidelijk wat deze keuzes als consequenties hebben op de dimensionering van de rotonde. VRAAG 2: Keuze materiaal Een verbindingsweg (bv. N9, Gent-Eeklo) dient opnieuw aangelegd te worden. Deze weg zal volledig heraangelegd worden. Schets een mogelijke dwarsdoorsnede (vertrekkende vanaf de grond tot aan het oppervlak). Verantwoord je materiaalkeuze voor de verharding (asfalt, beton of kleinschalige elementen). Geef voor- en nadelen van deze opbouw weer voor de concrete toepassing van een verbindingsweg. Er mag verondersteld worden dat de weg behoort tot een bouwklasse B4.

7 7/16 Uitgebreide uitwerking Verkeerskunde examen juni 2009 Vraag 1. a) Zie cursustekst Verkeersmodellen hfdst De factor (1 + α(q / Cap) β ) brengt de toenemende reistijd over de schakel in rekening als gevolg van een toenemende intensiteit op de schakel (α >=0 en β >=0). Een tijdverliesfunctie vertoont bij lage belastingen een licht stijgend verloop (de voertuigen ondervinden lichte hinder van elkaar) om daarna bij overschrijding van de praktische capaciteit (q/cap > 1; de voertuigen op de schakel beginnen sterke hinder van elkaar te ondervinden) zeer fors toe te nemen. Een hoge waarde voor β heeft dit laatstgenoemde effect. Als q toeneemt van 0 tot q/cap = 1 stijgt de reistijd van t free-flow geleidelijk naar (1+α) * t free-flow. De waarde van α bepaalt dus vooral de snelheidsdaling bij lage belastingen op de schakel (zolang q/cap<=1). Zodra de intensiteit stijgt boven de praktische capaciteit wordt de snelheidsdaling vooral bepaald door de waarde van β. Bij de vragen b), c) en d) nemen we β = 1 ter vereenvoudiging van het rekenwerk. b) Bij een alles-of-niets toedeling gebruiken we de "free-flow" reistijden over de schakels. We gaan ervan uit dat de voertuigen geen enkele hinder van elkaar ondervinden. (In werkelijkheid ondervinden de voertuigen gewoonlijk wel hinder van elkaar, daarom zal de alles-of-niets toedeling zelden een goede afspiegeling zijn van de werkelijkheid). Voor de verplaatsingen van A naar C (2400) is er geen keus: Ze gaan alle via schakel AC Voor de verplaatsingen van A naar B zijn er 3 mogelijke routes: ADB, AB en ACB De free-flow reistijden zijn: t ADB = 0,66 uur, t AB = 0,30 uur, t ACB = 0,2 uur Dus alle verplaatsingen van A naar B (14000) gaan via ACB. De stromen staan in onderstaande figuur.

8 8/16 Als de stromen zich in werkelijkheid zouden verdelen als in bovenstaande figuur dan zou de werkelijke reistijd van A naar B gelijk zijn aan: 0,1 * (1 + 0,5 * 16400/4000) + 0,1 * (1 + 0,5 * 14000/4000) = 0,58 uur c) Bij de evenwichtstoedeling veronderstellen we dat de auto's wel hinder ondervinden van elkaar. Ook hier is er geen keus voor de verplaatsingen van A naar C, ze gaan alle via AC. Voor de verplaatsingen van A naar B passen we Wardrop toe: in de evenwichtssituatie hebben alle gebruikte (!) routes tussen A en B dezelfde weerstand, niet gebruikte routes hebben hogere weerstand. Er zijn 3 mogelijke routes tussen A en B: ADB, AB en ACB. Maar uit vraag b) weten we dat zelfs als alle voertuigen ACB kiezen de reistijd niet hoger kan worden dan 0,58 uur. Dat is minder dan de reistijd via ADB (0,66 uur). Hieruit concluderen we dat in de evenwichtssituatie ADB niet zal worden gebruikt: q ADB = 0 (Dit vereenvoudigt de berekening; zouden we de Wardrop vergelijkingen uitschrijven voor alle routes van A naar B, dan zouden we op tegenspraken stuiten en alsnog besluiten dat q ADB nul moet zijn). We veronderstellen nu dat de verplaatsingen van A naar B zich verdelen over de routes AB en ACB en onderzoeken of dat tot een Wardrop evenwicht leidt: t AB = 0,3 * ( 1 + 0,5 * q AB /1000) t ACB = t AC + t CB = 0,1 * ( 1 + 0,5 * (q CB ) / 4000) + 0,1 * (1 + 0,5 * q CB / 4000) We lossen het volgende stelsel op: t AB = t ACB q AB + q CB = Na enig rekenwerk vinden we de stromen en reistijden als in onderstaande figuur. Er geldt inderdaad t AB = t ACB (= 0,54 uur) < t ADB (= 0,66 uur). Dit is een Wardrop evenwicht.

9 9/16 De totale reistijd (totale systemtijd) op het hele netwerk is: q * t = 8244 alle schakels d) De systeem-optimale toedeling (dat is een verdeling van de stromen waarbij de totale systeemweerstand minimaal is) kan worden bepaald op dezelfde manier als de gebruikersoptimale toedeling, alleen dienen we in dit geval niet de gewone weerstandsfunctie t a voor een schakel te gebruiken maar de marginale d( qata ) systeemweerstandsfunctie t a = (Zie hfdst cursustekst) dqa (Een omweg om de systeem-optimale toedeling te vinden is alle schakelstromen als onbekenden te nemen, de totale systeemweerstand te schrijven in functie van deze schakelstromen en vervolgens het minimum van deze functie te bepalen met de schakelstromen als beslissingsvariabelen.) Voor de reizigers van A naar C is er, evenals bij vraag b) en c) maar één route : AC. In tegenstelling tot bij vraag c) kunnen we hier niet(!) route ADB op voorhand uitsluiten. We veronderstellen dus dat er ook een stroom zal gaan over ADB (naast AB en ACB). Mocht deze veronderstelling niet juist zijn, dan zal dit uit de berekening blijken. (We vinden dan inconsistenties in de berekening). We vinden de volgende marginale systeemweerstanden voor de verschillende schakels: t ADB = 0,66 t = 0,3 (1 + q / 1000) AB AB t ACB = t AC + t CB waar: t AC = 0,1 (1 + ( qcb ) / 4000) t = 0,1 (1 + q / 4000) CB CB

10 10/16 (Let op: de marginale systeemweerstand voor ACB vinden we door de marginale systeemweerstanden van de schakels AC en CB bij elkaar op te tellen. Het is NIET correct om de marginale systeemweerstand voor de route ACB te schrijven als d( tacb qacb) t ACB =. Zo worden de verplaatsingen uit de HB tabel van A naar C dqacb immers niet in rekening gebracht. ) Nu moeten we het volgende stelsel oplossen: t ADB = t AB = t ACB q ADB + q AB + q CB = Na enig rekenwerk vinden we stromen en reistijden als in onderstaande figuur: Deze verdeling van de stromen representeert geen stabiel evenwicht. De reistijden van A naar B zijn verschillend langs de verschillende routes. Een individuele verkeersdeelnemer op bijvoorbeeld route ADB kan zijn reistijd verminderen door het kiezen van een andere route. De totale reistijd op het hele netwerk is: q * t = 7736 alle schakels Dit is de minimaal totale systeemweerstand (in dit geval totale systeemtijd) die mogelijk is op dit netwerk met de gegeven HB tabel. Hij is inderdaad kleiner dan de totale systeemtijd berekend in onderdeel c) e) De gebruikersoptimale toedeling is identiek aan de systeemoptimale toedeling als t = t voor alle schakels. Dit is het geval als t a een constante functie is (onafhankelijk a a van q a ) voor alle schakels, en dit op zijn beurt is het geval als α of β (of beiden) gelijk zijn aan nul. Maar in dat geval is er alleen sprake van 'free-flow' reistijden op alle schakels en is de alles-of-niets toedeling gelijk aan de gebruikersoptimale toedeling (want in deze alles-of-niets toedeling kan geen enkele individuele reiziger zijn reistijd verkorten door een andere route te kiezen). Dus voor α * β = 0 geldt: alles-of-niets = gebruikersoptimaal = systeemoptimaal.

11 11/16 Vraag 2 a) Bewering 1. De groei van de automobiliteit (uitgedrukt in voertuigkilometers) zal ervoor zorgen dat het steeds drukker wordt op de invalswegen van de grote steden. Onjuist. Uit cijfers over de ontwikkeling van de mobiliteit van de Belgische bevolking in de afgelopen decennia blijkt dat niet zozeer het aantal verplaatsingen (per persoon) toeneemt maar vooral de lengte van de verplaatsing(en). Deze ontwikkeling kan overigens in de meeste West-Europese landen worden waargenomen. De groei van de automobiliteit berust dus vooral op een groei van de lengte van de autoverplaatsingen en niet zozeer op het feit dat meer autoverplaatsingen zouden worden gemaakt. Bijgevolg zal het als gevolg van de groei van de automobiliteit ook niet veel drukker worden op de invalswegen van de grote steden. Dat zal overigens wel het geval zijn als in de grote steden meer verkeer aantrekkende activiteiten worden gehuisvest, maar deze ontwikkeling stond in de vraag niet vermeld. Bewering 2. Het is belangrijker de capaciteit van het autosnelwegennet verder uit te breiden dan de capaciteit van het regionale wegennet, want op deze wijze wordt extra capaciteit voorzien voor de omvangrijke groep lange-afstandsverplaatsingen. Onjuist. In de eerste plaats is het aandeel van de lange-afstandverplaatsingen in het totaal aantal verplaatsingen erg beperkt en bijgevolg wordt de belasting van het autosnelwegennetwerk slechts ten dele veroorzaakt door langeafstandsverplaatsingen. Het aandeel in de belasting is wel groter dan het aandeel in de verplaatsingen omdat lange-afstandsverplaatsingen nu eenmaal meer wegvakken belasten. Een aanzienlijk deel van de belasting van het autosnelwegennet bestaat uit korte en middellange regionale en lokale verplaatsingen. Deze situatie is ontstaan doordat ook dit verkeer bewust naar het autosnelwegennet wordt geleid en op dit netwerk wordt afgewikkeld. Dit beleid wordt vaak gecomplementeerd (ondersteund) door het beperken/bemoeilijken van het gebruik van regionale wegverbindingen. Het gevolg is dat congestie ontstaat op het autosnelwegennet door het intensieve gebruik van dit netwerk voor de afwikkeling van regionale en lokale verplaatsingen. De eenzijdige oriëntatie voor wat betreft de afwikkeling van het verkeer op het autosnelwegennet genereert dus 2 problemen: het netwerk raakt sneller overbelast en als er problemen zijn op het autosnelwegennet, zijn er minder terugvalopties (alternatieve routes) via het regionale netwerk. Om deze problemen te voorkomen is het verstandiger een samenhangend regionaal netwerk in stand te houden waarop de regionale verplaatsingen kunnen worden afgewikkeld. Dit regionale netwerk kan tevens fungeren als terugvaloptie voor het autosnelwegennet (en omgekeerd). Daardoor wordt de robuustheid van het wegennetwerk aanzienlijk vergroot. Overigens zal een deel van de verplaatsing altijd op het regionale en stedelijke netwerk moeten worden afgewikkeld. Het is belangrijk de verkeersafwikkeling op de aansluitingen tussen deze netwerken te controleren en te regelen (doseren, buffers, etc.). Een sterke concentratie van de afwikkeling van het verkeer op het autosnelwegennet leidt tot veel aansluitingen op dit netwerk. Bij iedere aansluiting is er kans op verstoringen in de verkeersafwikkeling en bijgevolg zal een dergelijk

12 12/16 beleid de functie van het autosnelwegennet (het faciliteren van langeafstandsverplaatsingen met een bijbehorende snelheid ( km/uur)) ondergraven. b) Positie van De Lijn: Voor de vervoermaatschappij zijn de kosten (het aantal bussen en bestuurders benodigd om op een lijn een zekere frequentie aan te bieden) belangrijk. Daarnaast wil men natuurlijk een goede verplaatsingskwaliteit aanbieden aan de reiziger. Snelheid is een belangrijk element van deze kwaliteit maar stiptheid en regelmaat zijn zeker zo belangrijk. Besef dat de reiziger wachttijd 2 maal zo hoog waardeert als de rijtijd in het voertuig. Als de regelmaat afneemt betekent dat dat de spreiding in de trajecttijden van de verschillende voertuigen toeneemt. Het (paradoxale) effect hiervan kan zijn dat de dienstregelingtijd (bijv. bij een uitvoeringsniveau van 85%) langer wordt waardoor de vervoermaatschappij wordt genoodzaakt meer voertuigen in te zetten om met gewenste frequentie te kunnen rijden. Met andere woorden: de kosten stijgen en de aangeboden kwaliteit blijft ongeveer hetzelfde (snelheid verbetert maar regelmaat neemt af). Positie van de reiziger: Voor de reiziger zijn de kosten-overwegingen van de vervoermaatschappij niet interessant. De reiziger is vooral geïnteresseerd in de aangeboden kwaliteit. Voor de reiziger geldt de afweging reistijdverbetering versus een betere betrouwbaarheid van de dienstuitvoering (minder lang wachten). De uitkomst van deze afweging is afhankelijk van de lengte van de verplaatsing en de frequentie die op de lijn wordt onderhouden. Bij een erg lange verplaatsing zal de snelheidsverbetering zwaarder doorwegen dan de verbeterde regelmaat terwijl bij korte verplaatsingen juist de verbeterde regelmaat belangrijk is. Daarnaast kan bij heel hoge frequenties het belang van een hoge snelheid iets meer doorwegen dan bij lage frequenties maar dit effect is beperkt. Bij lage frequenties is het vooral belangrijk te vermijden dat het voertuig te vroeg vertrekt. c) Zie cursustekst Verkeers en vervoersystemen, hfdst rondom figuur 30 Vraag 3 a) Het evenwicht ontstaat daar waar de private marginale kosten (dat zijn de enige kosten die de automobilist in zijn overwegingen betrekt) gelijk zijn aan de marginale baten = de vraagfunctie). De private marginale kosten zijn gelijk aan de som van marginale resourcekosten, marginale belastingkosten en de door de automobilist ervaren reistijdkosten: 20 q / 300 = (2,5 + q /1200) waaruit volgt: q bestaand = 3000 vrtg/uur (gegeneraliseerde) prijs bestaand voor een rit van A naar B is 10 euro

13 13/16 b) Na tolheffing moeten we bij de private kosten uit vraag a) nog 2,5 euro tol optellen: 20 q / 300 = 2, (2,5 + q / 1200) waaruit volgt q nieuw = 2400 vrtg/uur (gegeneraliseerde) prijs nieuw voor een rit van A naar B is 12 euro (niet 12,5 euro, want de automobilist boekt door de lagere q nog 0,5 euro reistijdwinst!) c) prijselasticiteit = % verandering vraag / % verandering prijs % verandering vraag = -600 / 3000 = -20% % verandering prijs = +2 / 10 = +20% Dus prijselasticiteit = -1 d) Automobilisten: Blijvers betalen nu 12 euro in plaats van 10 euro: Zij gaan er -2 x 2400 = euro/u op achteruit in hun welvaart. (Hun resource + belasting + tijdkosten zijn nu 9,5 euro; hun tolkosten zijn 2,5 euro). Stoppers verliezen baten gelijk aan 600 x ( ) / 2 = 6600 euro/u, maar besparen 10 x 600 = 6000 euro/u. Zij gaan er -600 euro/u op achteruit in welvaart. Achteruitgang welvaart blijvers plus stoppers = euro/uur (= arcering in onderstaande figuur). Overheid: Ontvangt tol van 2400 automobisten: 2400 x 2,5 = euro/uur Ontvangt geen belastingen meer van 600 automobilisten = 600 x 2 = euro/uur Toename welvaart van de overheid = euro/uur Slachtoffers milieuschade: Zij gaan er 600 x 2 = euro/uur op vooruit in hun welvaart Welvaartsverandering voor de samenleving als geheel: = +600 euro/uur e) Werkelijke kosten voor de samenleving als geheel zijn: tijdkosten, resourcekosten voor autobezit en autogebruik en milieukosten. Dit zijn werkelijke kosten omdat zij

14 14/16 bronnen (resources) verbruiken zoals arbeid, tijd, grondstoffen etc. Tax en tol zijn (in beginsel) geen kosten voor de samenleving als geheel. Zij verbruiken geen bronnen, het zijn slechts inkomensoverdrachten. (Hoewel tax en tol geen kosten (of baten) voor de samenleving als geheel representeren hebben zij wel invloed op de welvaart omdat zij het gedrag van mensen beinvloeden.) De werkelijke kosten voor invoering van de tol zijn: 3000 x ( 3 (resourcekosten) + 5 (tijdkosten) + 2 (milieukosten) ) = euro/uur Na invoering van de tol zijn de werkelijke kosten: 2400 x ( 3 (resourcekosten) + 4,5 (tijdkosten) + 2 (milieukosten) ) = euro/uur De kostenbesparing is dus = 7200 euro/uur Omdat er minder automobilisten zijn is er ook een batenverlies Het batenverlies bedraagt : 600 ( ) / 2 = 6600 euro/uur De welvaartswinst voor de samenleving bedraagt dus = 600 euro/uur (hetzelfde bedrag als we vonden in vraag d) ) Vraag 4 e i. Aangezien q=k V geldt: q ( k ) w( J k ) = ; zie figuur ii. iii. iv. Het x-t diagram komt overeen met de grote driehoek in de figuur (geschaduwd, dus zonder de kleine driehoek achter de truck) Door de oneindige vrije snelheid is de verblijftijd waar geen file optreedt gelijk aan 0. Blijft over het filegebied, waar de totale verblijftijd = k ds. Het aantal S voertuigverliesuren is daarom gelijk aan de oppervlakte van de aangeduide driehoek ( 15 T 5 Tw w J T ) vermenigvuldigd met de homogene dichtheid (½ J ) in dit gebied = De truck legt een bewegende randvoorwaarde op, die stelt dat de relatieve intensiteit die voorbij de truck gaat = 0 en de snelheid van verkeer opwaarts w. Stroomafwaarts van de truck ontstaat dus een 0-toestand (waardoor de instroom in de file tijdelijk stopt en de filestaart tussen t=4t en t=5t krimpt met snelheid w). Stroomopwaarts van de truck wordt de snelheid van verkeer gedwongen w te zijn, met volgens het fundamenteel diagram een bijhorende dichtheid k= ½ J. Hierdoor genereert de truck een schokgolf met dezelfde snelheid als die van de oorspronkelijke filestaart. Wanneer de truck weer verdwijnt, ontstaat een waaier met kritische dichtheid en capaciteitsstroom, waarvan de meest opwaartse karakteristiek met snelheid w de schokgolf inhaalt en oplost (op t=8t); de meest afwaartse karakteristiek met snelheid raakt de filestaart onmiddellijk op t=5t. Door dit laatste groeit de file terug aan met snelheid w, totdat de instroom in de

15 15/16 filestaart terugvalt op de oorspronkelijke verkeersvraag ¾ Jw (zodra de file achter de truck opgelost is op t=8t), en de filestaart ook de oorspronkelijke schokgolfsnelheid van ½ w weer aanneemt. a. Uit de figuur zie je eenvoudig dat het aantal voertuigverliesuren even groot is als in vraag iii: de door de truck gegenereerde file beslaat immers precies dezelfde oppervlakte als diegene die uit de oorspronkelijke file uitgesneden wordt, en de dichtheid erin is ook gelijk. b. De voertuigverliesuren zijn gelijk, omdat het niets uitmaakt waar de voertuigen voor de wegversmalling wachten (in de oorspronkelijke file of tijdelijk opgehouden door de truck). Zolang het knelpunt gedurende 15T aan capaciteit benut wordt bij eenzelfde verkeersvraag, zullen er even veel voertuigen even lang in de wachtrij staan, wat ook de positie of dichtheid van die wachtrij is, en of er daarin nu wel of niet tijdelijk verstoringen optreden zoals een trage truck. c. Bij een andere snelheid van de truck, verandert de vorm van de driehoek file erachter; de uitsnede uit het filegebied blijft gelijk. Rijdt de truck sneller dan w, dan wordt de oppervlakte van de driehoek erachter groter, maar de dichtheid erin kleiner; rijdt de truck trager, krijgen we een kleinere driehoek met hogere dichtheid, maar het product van oppervlakte en dichtheid blijft steeds gelijk. Hoe dan ook zullen omwille van de argumenten in b de voertuigverliesuren precies gelijk blijven.

16 16/16 x 0-2Tw -½w 4T 5T 8T 10T 15T w -w k= ½J w t -4Tw -5Tw 0 C=Jw k= ½J q Jw -7Tw Randvoorwaarde door truck: v = +w ¾ Jw ½ Jw -½w w ½ J -w J k ¾ Jw 0 t