Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde"

Transcriptie

1 Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 29 november 2013 Hoofdstuk 0 1 / 37

2 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening kortrijk.pdf Hoofdstuk 0 2 / 37

3 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: Toegepast op jongleerpatronen: abstraheren = achterwege laten van details redeneren = meer te weten komen over jongleerpatronen Gebaseerd op boek: The Mathematics of Juggling, door Burkard Polster Hoofdstuk 0 3 / 37

4 Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 4 / 37

5 Hoe jongleerpatronen communiceren? (Meer algemeen: hoe complexe informatie overdragen?) Letterlijke weergave? Foto video? Schematische weergave? Nadeel: sommige dingen zijn niet te zien Voordeel: andere dingen worden duidelijker! Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 5 / 37

6 Het jongleerdiagram: Een metronoom tikt oneindig lang. Op de even tikken werpt de linkerhand, op de oneven tikken werpt de rechterhand. We veronderstellen periodiciteit. Het aantal tellen dat een bal in de lucht blijft tellen. Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 6 / 37

7 Een tweede voorbeeld: [441] Een zekere essentie van het patroon wordt zichtbaar, andere aspecten worden onzichtbaar: Timing van de handen. (Hot patato versus lazy juggling) Beweging van de armen. (Bv. Mill s Mess) Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 7 / 37

8 Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 8 / 37

9 Vraag Waarin verschillen even worpen van oneven worpen? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 9 / 37

10 Vraag Waarin verschillen even worpen van oneven worpen? Even worpen gaan naar dezelfde hand. Oneven worpen gaan naar de andere hand. Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 9 / 37

11 Vraag Hoe ziet een 1-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 10 / 37

12 Vraag Hoe ziet een 1-worp eruit? [1] lage worp [31] 2-ball shower [441] [531] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 10 / 37

13 Vraag Hoe ziet een 2-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 11 / 37

14 Vraag Hoe ziet een 2-worp eruit? [2] rust [42] twee in één hand met bal in andere hand [342] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 11 / 37

15 Vraag Hoe ziet een 0-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 12 / 37

16 Vraag Hoe ziet een 0-worp eruit? [0] leeg patroon [20], [40], [60] één, twee, drie in één hand [4440] twee in één hand, één in de andere Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 12 / 37

17 Vraag Hoe zien de patronen [531] en [513] eruit? Wat is het aantal ballen? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 13 / 37

18 Vraag Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen? Hieronder [3] en [4]: Hoe ziet [5] eruit? [6]? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 14 / 37

19 Vraag Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen? Hieronder [3] en [4]: Hoe ziet [5] eruit? [6]? Oneven: n-balwaterval Even: n-balfontein (n/2 in elke hand, asynchroon) Bemerk het verschil even versus oneven. Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 14 / 37

20 Het patroon [7] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 15 / 37

21 Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

22 Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

23 Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

24 Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen [71]: 4 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

25 Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen [71]: 4 ballen in het algemeen [(2n 1)1]: n ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

26 Vraag Is het patroon [98... ] jongleerbaar? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 17 / 37

27 Vraag Is het patroon [98... ] jongleerbaar? Neen, meer algemeen: het patroon [(n + 1)n... ] bestaat niet! Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 17 / 37

28 Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 18 / 37

29 Het aantal ballen Patroon Aantal ballen [531] 3 [441] 3 [4440] 3 [n] n [(2n 1)1] n [(2n)0] n Algemene regel? Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 19 / 37

30 De gemiddelden-stelling Stelling Als [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon is, dan is het aantal ballen gelijk aan het gemiddelde van de cijfers a 1 tot a n. Bewijs Zie later. (Na het verplattingsalgoritme.) Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 20 / 37

31 Bewijs van de gemiddelden-stelling Bewijs Tussen haakjes: een direct bewijs is mogelijk als volgt. Zij b de hoogste worp die voorkomt, en m het aantal ballen, dan is ( S b)m i S a i ( S + b)m. Delen door S en limiet S nemen: m lim S 1 S a i m. Omwille van periodiciteit is de limiet van het gemiddelde gelijk aan het gemiddelde over een periode. Dus lim S 1 S i S a i = 1 n n a n = m. i S i=1 Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 21 / 37

32 De gemiddelden-test Gegeven is een rij cijfers [a 1, a 2,..., a n ]. Is dit een geldig (jongleerbaar) patroon? De test Als [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon is, dan moet een geheel getal zijn. a 1 + a a n n Voorbeeld: [7435] is geen jongleerpatroon want = 19 4 is geen geheel getal. Maar: ook [987] zou een patroon zou kunnen zijn: = 8; we zagen al dat dit niet het geval is = 24 3 Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 22 / 37

33 De omgekeerde stelling Vraag Als a 1 + a a n n een geheel getal is, is dan een permutatie van [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon? (Antwoord: Ja! Maar dit is helemaal niet eenvoudig om ook aan te tonen.) Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 23 / 37

34 Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 24 / 37

35 Site-swapping en cyclisch permuteren Doel: jongleerpatronen omzetten in andere jongleerpatronen. Twee methodes: Cyclisch permuteren, bv. [531] [315] (Let op: niet [513], enkel cyclisch.) Site-swap uitvoeren: [ab... ] [(a l)(b + l)... ] Idee achter site-swap is: twee worpen van plaats veranderen. (l = b a + 1) Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 25 / 37

36 Siteswap, illustratie Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 26 / 37

37 Site-swapping en cyclisch permuteren Opmerkingen: Siteswap en cyclische permutaties zijn arithmetische bewerkingen; zij zetten jongleerbare patronen om in jongleerbare patronen en niet-jongleerbare patronen in niet-jongleerbare De som van de cijfers en het aantal cijfers blijven hetzelfde na een cyclische permutatie en na een siteswap Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 27 / 37

38 Het verplattingsalgoritme We krijgen een patroon gegeven en willen bepalen of dit patroon jongleerbaar is. Doorloop volgend algoritme: 1. Zijn alle cijfers gelijk? ja: het patroon is jongleerbaar nee: ga naar stap 2 2. Voer een cyclische permutatie uit, zodanig dat het eerste cijfer van het patroon zo groot mogelijk wordt en het tweede cijfer verschilt van het eerste. Het patroon begint nu met [ab... ]. Is nu a = b + 1? ja : het patroon is niet jongleerbaar nee: ga naar stap 3 3. Voer een siteswap uit van de eerste twee posities. Als het patroon [ab... ] was, wordt het [(a l)(b + l)... ]. Ga naar stap 1. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 28 / 37

39 Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclische permutaties): 642 = = = = = Waarom werkt dit? Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 29 / 37

40 Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclische permutaties): 642 = = = = = Waarom werkt dit? Het aantal grootste cijfers neemt elke siteswap af; maar de som van de cijfers blijft hetzelfde. Dus we kunnen maar een eindig aantal stappen doorlopen en moeten vroeg of laat in één van de twee eindpunten (patroon is jongleerbaar of niet) terecht komen. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 29 / 37

41 Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden. Bewijs Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 30 / 37

42 Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden. Bewijs Stel dat een patroon jongleerbaar is. Doorloop dan het platslageralgoritme met dit patroon. De som van de cijfers verandert niet. Het aantal cijfers verandert niet. Dus het gemiddelde van de cijfers is hetzelfde voor en na het doorlopen van het algoritme Het aantal ballen blijft hetzelfde. Na het doorlopen van het algoritme, is het patroon van de vorm [aaaa... ] Dus is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan het aantal ballen. Dus was dit ook vóór het doorlopen van het algoritme al het geval. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 30 / 37

43 Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 31 / 37

44 Jongleerkaartjes Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 32 / 37

45 Jongleerkaartjes Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 33 / 37

46 Het aantal patronen Stelling 1. Het aantal jongleerpatronen met periode p en ten hoogste b ballen bedraagt (b + 1) p. 2. Het aantal jongleerpatronen met periode p en precies b ballen bedraagt (b + 1) p b p. 3. Het aantal minimale patronen met b ballen en periode p, bedraagt 1 µ(p/d) ( (b + 1) d b d ) ). p d p Bewijs Bewijs maakt gebruik van jongleerkaartjes. Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 34 / 37

47 Hoofdstuk 6 Meer weten? Hoofdstuk 6 Meer weten? 35 / 37

48 En verder... Vele mogelijke manieren om de complexiteit te verhogen: Multiplex-jongleren Meerdere personen of meerdere armen Jongleren met antiballen of antiworpen Hoofdstuk 6 Meer weten? 36 / 37

49 Meer weten? The Mathematics of Juggling Burkard Polster Jongleersimulaties op internet: juggling-simulator-game.html Hoofdstuk 6 Meer weten? 37 / 37

Jongleren met Wiskunde

Jongleren met Wiskunde Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde March 21, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)

Nadere informatie

Werkwinkel Permutatiepuzzels

Werkwinkel Permutatiepuzzels Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:

Nadere informatie

Workshop Permutatiepuzzels

Workshop Permutatiepuzzels Workshop Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde January 26, 2012 Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php)

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Discrete Wiskunde, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Discrete Wiskunde, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Discrete Wiskunde, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Productregel Als gebeurtenis Z bestaat uit de combinatie van delen X en Y, waarbij iedere mogelijkheid voor X kan worden gecombineerd met

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012 Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Sudoku s en Wiskunde

Sudoku s en Wiskunde Non impeditus ab ulla scientia Sudoku s en Wiskunde K. P. Hart 3 februari, 2006 Programma Tellen Makkelijk, medium, moeilijk Hoeveel zaadjes? Een miljoen dollar verdienen? Puzzels Tellen Vooralsnog onbegonnen

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

Verzamelingen deel 3. Derde college

Verzamelingen deel 3. Derde college 1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt

Nadere informatie

The knight s tour. Het paard in schaken beweegt als volgt: Steeds 1 vakje in een richting en 2 in een andere richting, of omgekeerd.

The knight s tour. Het paard in schaken beweegt als volgt: Steeds 1 vakje in een richting en 2 in een andere richting, of omgekeerd. The knight s tour In het Engels heet een paard uit schaken een Knight (Ridder). In het begin zaten er namelijk ridders op de paarden. (link wiki) Stel, je bent een paard uit het schaakspel en je staat

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1

Wiskunde D Online uitwerking oefenopgaven 4 VWO blok 1 les 1 Paragraaf 1 Wegendiagrammen en bomen Opgave 1 a) Een mogelijkheid is om 6 stukjes papier te nemen en daar de cijfers 1 tot en met 6 op te zetten. Schudt de papiertjes door elkaar. Pak één voor één de papiertjes

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal

Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder. Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters

Nadere informatie

Convergentie van een rij

Convergentie van een rij Hoofdstuk Convergentie van een rij. Basis. Bepaal de som van de volgende oneindige meetkundige rijen a) + 0. + 0.0 + 0.00 + 0.000 +... b) 6 + 8 + + 2 +, +... c) 8 + 2 + 2 + 8 +... 2. Schrijf de volgende

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 23 September 1 / 22 1 Kansrekening Indeling: Permutaties en combinaties 2 / 22 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens twee van jullie op dezelfde

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Hebzucht loont niet altijd

Hebzucht loont niet altijd Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke

Nadere informatie

Permutatie. Definitie: een permutatie is een bijectie waarvan het domein en het bereik dezelfde verzameling zijn. Voorbeeld:

Permutatie. Definitie: een permutatie is een bijectie waarvan het domein en het bereik dezelfde verzameling zijn. Voorbeeld: Permutatie Definitie: een permutatie is een bijectie waarvan het domein en het bereik dezelfde verzameling zijn. Voorbeeld: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cykelnotatie Algoritme 1)Maak een cykel van

Nadere informatie

Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren.

Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus ziet er in de winkel uit als een kubus die verdeeld is in 27 kleine kubusjes waar gekleurde plakkertjes op zitten en wel zo dat de negen plakkertjes

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen

Tellen. K. P. Hart. Delft, Faculty EEMCS TU Delft. K. P. Hart Tellen Tellen Tá scéiĺın agam K. P. Hart Faculty EEMCS TU Delft Delft, 16-9-2015 Dingen om te tellen afbeeldingen injecties surjecties bijecties deelverzamelingen van diverse pluimage Wat notatie Afkorting: n

Nadere informatie

1. Drie relaties Prof. dr. H. W. (Hendrik) Lenstra Universiteit Leiden

1. Drie relaties Prof. dr. H. W. (Hendrik) Lenstra Universiteit Leiden 1. Drie relaties Prof. dr. H. W. (Hendrik) Lenstra Universiteit Leiden Laat X een eindige verzameling zijn. Als een equivalentierelatie op X is, geven we met X/ de verzameling equivalentieklassen van aan.

Nadere informatie

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik

Nadere informatie

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel. Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen.

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen. Uitwerking Puzzel 92-5 Knikken Wobien Doyer Lieke de Rooij Als wiskundige krijg je op school al gauw de taak om te roosteren. Frans van Hoeve nam die taak ook op zich voor het maken van roosters voor een

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

Onderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie

Onderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te

In het vervolg gaan we steeds uit van een verzameling A bestaande uit n verschillende objecten. We geven de elementen van A een naam door ze te Tellen 1. Telproblemen Tussen sommige objecten maken we onderscheid (die beschouwen we dus allemaal als verschillend), bijvoorbeeld tussen de 26 letters van het alfabet, tussen een peer, een appel en een

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief

Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Helden van de wiskunde: L.E.J. Brouwer Brouwers visie vanuit een logica-informatica perspectief Herman Geuvers Radboud Universiteit Nijmegen Technische Universiteit Eindhoven 1 Helden van de wiskunde:

Nadere informatie

boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)

boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011) boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus.

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Opgave 1. Niet alle mogelijke posities zijn door middel van draaien te bereiken. Het is bijvoorbeeld

Nadere informatie

EXCEL BASIS 2013

EXCEL BASIS 2013 EXCEL BASIS 2013 WWW.I-LEARNING.BE - 4 FORMULE-INVOER ALS EXCEL EEN BEREKENING MOET DOEN, MOET JE EEN FORMULE OF EEN FUNCTIE INVOEREN 4.1 OPERATOREN + om op te tellen - om af te trekken / om te delen *

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2014 2015, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

eerste en laatste cijfers Jaap Top

eerste en laatste cijfers Jaap Top eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,

Nadere informatie

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door

WISKUNDE B-DAG 2012. Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur. Eenvou(w)dig. De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door WISKUNDE B-DAG 2012 Vrijdag 16 november, 9:00-16:00 uur Eenvou(w)dig De Wiskunde B-dag wordt mede mogelijk gemaakt door Wiskunde B-dag 2012 1 Opgave 6 van de Kangoeroe wedstrijd wizprof 2010: De foto van

Nadere informatie

Discrete Wiskunde, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Discrete Wiskunde, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Discrete Wiskunde, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Mijn contactgegevens Han Hoogeveen BBG 5.07 Email: j.a.hoogeveen@uu.nl Website: http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/b3dw/ Boek + stof F.S. Roberts

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is

Nadere informatie

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.

Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr. Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen

Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen 1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Getallensystemen, verzamelingen en relaties Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,

Nadere informatie

Het notenschrift De basis

Het notenschrift De basis Vervolgcursus Lesweek 1: Het notenschrift De basis Inleiding In deze eerste lesweek van de gevorderden cursus wordt de basis besproken van het notenschrift. Hoe ziet het notenschrift eruit en hoe kunt

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Goochelen en wiskunde

Goochelen en wiskunde Goochelen en wiskunde Tom Koornwinder en Dick Koornwinder T.H.Koornwinder@uva.nl, dick.koornwinder@gmail.com https://staff.fnwi.uva.nl/t.h.koornwinder/ Lezing tijdens het zesde lustrum van de Wiskundige

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Bij elkaar behorende instructies die een probleem oplossen of een taak uitvoeren.

Bij elkaar behorende instructies die een probleem oplossen of een taak uitvoeren. 1 Programma Structuur Diagram: Een gestructureerd programma is een programma dat we gemakkelijk kunnen begrijpen. Dit kunnen we bereiken door het programma op te bouwen uit drie programmacomponenten: Als

Nadere informatie

Redeneren, Abstraheren en Structureren

Redeneren, Abstraheren en Structureren , Abstraheren en Structureren Zaterdag 17 november 2018 We trappen een open deur in als we zeggen: Een goede leraar is Vakbekwaam Didactisch onderlegd Vakbekwaamheid is een conditio sine qua non Didactiek

Nadere informatie

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.

(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis

Nadere informatie

Eenvou(w)dig op weg met Wiskundige onderzoekscompetentie. De Wiskunde B-dag, een initiatief voor de derde graad

Eenvou(w)dig op weg met Wiskundige onderzoekscompetentie. De Wiskunde B-dag, een initiatief voor de derde graad DAG VAN DE WISKUNDE Zaterdag 14 november 2015 Workshop Eenvou(w)dig op weg met Wiskundige onderzoekscompetentie De Wiskunde B-dag, een initiatief voor de derde graad Ellen Vandervieren OPWARMERTJE Een

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Uitleg van de Hough transformatie

Uitleg van de Hough transformatie Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen

Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt

Nadere informatie

Binomiale verdelingen

Binomiale verdelingen Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie