Beschrijven en Bewijzen

Transcriptie

1 Beschrijven en Bewijzen

2

3 Beschrijven en Bewijzen H. Zantema en P.W.H. Lemmens Delft University Press / 1999

4 Uitgegeven door: Delft University Press Postbus MG DELFT tel fax in opdracht van: Universiteit Utrecht Informatica Instituut Postbus TB UTRECHT tel fax ISBN: X Copyright c by the authors All rights reserved. No part of the material protected by this copyright notice may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission from the publisher: Delft University Press. Printed in the Netherlands

5 Voorwoord 5 Dit is de tekst die gebruikt wordt als materiaal bij het vak Beschrijven en Bewijzen in de opleiding Informatica aan de Universteit Utrecht. Een groot deel hiervan is gebaseerd op delen van het collegedictaat Inleiding Logica en Discrete Structuren zoals dat in de jaren 80 door de tweede auteur is ontwikkeld; de afgelopen jaren is de tekst aanzienlijk uitgebreid en aangepast door de eerste auteur. In de meest uiteenlopende facetten van de informatica is het wenselijk of noodzakelijk de gemaakte claims objectief en gedegen te onderbouwen, niet in de laatste plaats om anderen van de geldigheid ervan te kunnen overtuigen. Voor het geven van een onderbouwing van de geldigheid van een bewering is een heel scala van wiskundige bewijstechnieken en redeneervormen beschikbaar: bewijzen. Alvorens deze technieken toepasbaar te maken en op een uniforme wijze over de problemen te kunnen communiceren, is het in het algemeen noodzakelijk het onderhavige probleem in een formeel raamwerk te modelleren: beschrijven. Deze tekst is er op gericht te oefenen in dit modelleren, en vaardigheden op te doen in het toepassen van bewijstechnieken waarbij onderweg een stuk wiskundig begrippenapparaat wordt eigen gemaakt. In wat meer klassieke terminologie zou het ook Logica en Verzamelingenleer hebben kunnen heten, waarbij dan wel de nadruk niet alleen op de begrippen zelf ligt, maar vooral op het omgaan met dergelijke precies gedefinieerde begrippen.

6 6

7 Inhoudsopgave 1 Waarom iets bewijzen? Bewijzen uit het ongerijmde Bewijzen met gevalsonderscheid Bewijzen met inductie Bewijzen met invarianten Nog wat terminologie Proposities Samenstellen van proposities Waarheidstafels Tautologieën Gelijkwaardige proposities Speciale vormen Opgaven Bewijzen met deductie Afleidingsregels Subbewijzen en hulpstellingen Opgaven Predicaten Vrij en gebonden, universum Gelijkwaardige predicaten Substitutie Afleidingsregels Opgaven Verzamelingen Operatoren op verzamelingen Machtsverzameling en cartesisch product Vereniging en doorsnede over een indexverzameling Opgaven

8 8 INHOUDSOPGAVE 6 Afbeeldingen Injectieve, surjectieve en bijectieve afbeeldingen Enkele speciale afbeeldingen Afbeeldigen op eindige verzamelingen Samenstellen van afbeeldingen Inverse afbeeldingen en dekpunten Opgaven Volledige inductie Inductieve definities Binomiaalcoëfficiënten Opgaven Relaties en grafen Relaties Grafen Equivalentierelaties en partities Opgaven Ordeningen Maxima en minima, boven- en ondergrenzen Sorteren en lexicografische ordening Opgaven Oneindige verzamelingen Het diagonaalargument Opgaven Extra opgaven 153 Index 166

9 Hoofdstuk 1 Waarom iets bewijzen? Teken eens een cirkel of aardappel of iets wat daar op lijkt met een punt op de rand. De cirkel bestaat nu uit een stuk. Teken nu een tweede punt op de rand, en verbind die met het eerste punt. Nu bestaat de cirkel uit twee stukken, zie onderstaand plaatje Teken nu een derde punt op de rand van de cirkel, en verbind die met de eerder gekozen punten. Nu bestaat de cirkel uit vier stukken. Teken nu een vierde punt op de cirkel, en verbind die met de eerder gekozen punten. Nu is de cirkel opgedeeld in acht stukken. Zie de plaatjes hieronder. 9

10 10 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? We doen het nog een keer: we kiezen een vijfde punt en verbinden dat met de eerdere vier punten. Als we goed tellen zien we dat nu de cirkel in zestien stukken is opgedeeld. Het zal duidelijk zijn wat het patroon hierin is: we beginnen met een stuk, en elke keer als er een punt bij komt krijgen we twee keer zo veel stukken. Bij een punt hebben we zo 1 = 2 0 stukken, bij twee punten 2 = 2 1, bij drie 4 = 2 2, bij vier 8 = 2 3 en bij vijf 16 = 2 4. We concluderen: Als je n punten op een cirkel met elkaar verbindt, verdeel je daarmee de cirkel in 2 n 1 stukken. Dit lijkt allemaal best aannemelijk, en je bent niet zo gauw geneigd om dit nog uit te proberen voor zes of meer punten, want daarvoor moet je toch wel heel veel tekenen en tellen. Toch is het de moeite waard om dat wel eens te doen: bij zes punten lukt het je namelijk helemaal niet om 32 stukken te krijgen, en blijf je bij 31 steken, ook als je er voor zorgt dat er nergens drie verbindingslijnen door een punt gaan. We zijn er dus met zijn allen ingeluisd, en de hele bewering is niet waar, althans niet voor zes of meer punten. Wat is nu de moraal van dit verhaal? Dat is dit: als je echt zeker wilt weten dat een bewering waar is, kun je niet vertrouwen op een paar voorbeelden en een aannemelijk verhaal dat een patroon in die voorbeelden verklaart, en dat daarom dat patroon altijd wel zal gelden. In de praktijk, zeker in die van de informatica of van die van medische apparatuur, zijn er heel veel situaties waarin je geen genoegen kunt nemen met een paar testgevallen en een aannemelijk verhaal dat het wel goed zit. Durf je te vliegen in een vliegtuig waarvan je zelf de besturingssoftware hebt geschreven, en best wel voor een redelijk aantal gevallen hebt uitgetest? Er zijn mensen om het leven gekomen door een veel te hoge straling, veroorzaakt door een foutje in de software van bestralingsapparatuur. Dit zijn toch dingen die je graag zou willen voorkomen. Nu kun je niet verwachten dat dat voor heel gecompliceerde dingen altijd zal lukken, maar een stap in die richting kan al heel waardevol zijn. En voor veel beweringen van een eenvoudiger type dan dat je correctheid eist van een ingewikkeld stuk software lukt dat prima. Wat wil je dan wel hebben? Een sluitende redenering dat een bepaalde bewering geldig is. Die redenering kun je dan voor je zelf gebruiken, om je zelf ervan te overtuigen dat je bewering klopt. Maar je kunt diezelfde redenering ook gebruiken om iemand anders te overtuigen. Of misschien jezelf weer, over een hele tijd als je de redenering weer vergeten mocht zijn. Daarvoor is het wel nodig

11 1.1. BEWIJZEN UIT HET ONGERIJMDE 11 dat je de redenering opschrijft, en wel zodanig dat iemand anders aan de hand van wat je hebt opgeschreven de hele redenering ook kan volgen. En liefst ook omgekeerd: alles wat je hebt opgeschreven speelt een essentiële rol in de redenering. Zo n redenering noemen we een bewijs. De onderdelen van zo n bewijs hebben een heel preciese betekenis. Een redenering met een heel preciese betekenis kun je alleen maar geven als alles wat je daarin zegt, inclusief de hele bewering waar het om gaat, heel precies beschreven is. En daarmee zijn de voornaamste ingrediënten van dit vak Beschrijven en Bewijzen genoemd. Vaak maak je hierbij dankbaar gebruik van manieren om je beweringen heel kort in een soort formuletaal op te schrijven, waarbij je een bijbehorend stel spelregels hebt. In dit dictaat zullen uitgebreid dergelijke notaties en begrippen aan de orde komen, over proposities en predicaten en uit de wiskunde. Voordat we dat gaan doen lopen we eerst een aantal bewijsprincipes langs met bijbehorende voorbeelden, om een beetje een gevoel voor wat bewijsprincipes te ontwikkelen voor we ons in ingewikkelde notaties gaan storten. 1.1 Bewijzen uit het ongerijmde Bewering: Een postbode levert 130 poststukken af in een straat met 43 adressen. Dan is er in die straat minstens één adres waarop vier of meer poststukken zijn afgeleverd. Hoe kun je het makkelijkst inzien dat deze bewering inderdaad klopt? Stel eens dat de geconcludeerde bewering er is minstens een adres waarop vier of meer stukken zijn afgeleverd niet waar is. Dan zijn er op elk adres dus hoogstens drie stukken afgeleverd. Met 43 adressen totaal betekent dat dat er in totaal hoogstens 3 43 = 129 stukken zijn afgeleverd. En dat is in tegenspraak met het gegeven dat er in totaal 130 stukken zijn bezorgd. Dus is de geconcludeerde bewering er is minstens een adres waarop vier of meer stukken zijn afgeleverd wel waar, en hebben we de bewering bewezen. Het patroon in deze redenering komt heel vaak voor. Steeds is er een bewering waarvan je wilt bewijzen dat die waar is. De redenering ziet er dan als volgt uit: Stel de bewering is niet waar. Vanuit deze aanname trek je, eventueel samen met aannamen die deel uitmaken van de gegevens in de bewering, allerlei conclusies, tot je op een bewering uitkomt die niet waar is, of in tegenspraak is met gegevens in de bewering. Daaruit concludeer je dat de aanname de bewering is niet waar, niet kan kloppen, en is daarmee de bewering zelf wel waar. Een redenering van deze vorm wordt wel een bewijs uit het ongerijmde genoemd, in het Engels: proof by contradiction. In dit speciale voorbeeld wordt een telargument gegeven, dat ook wel het pigeon hole principle (duiventilprincipe) wordt genoemd; we komen daar later nog op terug (Stelling 6.5). Als je van een bewering waarvan je denkt dat die waar is, probeert te bewijzen dat die inderdaad waar is, is het een goed idee om eens op een rijtje te zetten wat er allemaal gebeurt als die bewering niet waar is. Als het lukt om daar iets onzinnigs uit te concluderen, is de hele redenering om te vormen tot een bewijs uit het ongerijmde. Een waarschuwing is hier echter wel op zijn plaats: elke bewering die te bewijzen is, is op deze manier als volgt

12 12 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? te bewijzen met een bewijs uit het ongerijmde. Stel de bewering is niet waar, geef een bewijs van de bewering, dit is in tegenspraak met de aanname dat de bewering niet waar is, en dus is de bewering waar. Wat betreft de geldigheid is hier niets tegenin te brengen, maar deze redenering bevat wel een hoop overbodige ballast: het bewijs van de bewering zelf is natuurlijk een stuk korter dan datzelfde bewijs met nog een hoop geredeneer er om heen. Uit het oogpunt van efficientie is een kort bewijs altijd te prefereren boven een langer bewijs. Tegen de tijd dat je een bewijs uit het ongerijmde hebt gevonden, is het dan ook altijd een goed principe om te kijken of je de redenering uit het ongerijmde wel echt nodig hebt, en niet in feite dezelfde redenering korter rechtstreeks kunt geven. Nauw verwant aan een bewijs uit het ongerijmde is een bewijs met contrapositie. Dat betekent dat je als een bewering van de vorm Als P geldt, dan geldt ook Q wilt bewijzen, in plaats hiervan ook mag bewijzen Als Q niet geldt, dan geldt ook niet P. Merk op dat we twee keer het woord niet hebben toegevoegd, en P en Q hebben omgewisseld. We laten nu zien met een bewijs uit het ongerijmde dat dit nieuwe bewijsprincipe inderdaad klopt. We willen de bewering Als P geldt, dan geldt ook Q bewijzen, en stellen dat dit niet waar is. Dat kan alleen maar als er een situatie bestaat waarin P wel waar is, maar Q niet; we komen hier later uitgebreid op terug. We hadden aangenomen dat we konden bewijzen Als Q niet geldt, dan geldt ook niet P. Omdat in de betreffende situatie Q niet geldt, kunnen we dus concluderen dat dan ook P niet geldt. Maar dit is in tegenspraak met de eerdere aanname dat in die situatie P juist wel geldt. Zoals gezegd is het een goed principe om van een bewering die je zou willen bewijzen, te gaan uitpluizen wat er allemaal gebeurt als die bewering niet waar is. Als het lukt om daar een tegenspraak uit af te leiden, is daarmee de bewering bewezen met een bewijs uit het ongerijmde. Als het echter niet lukt een tegenspraak te vinden, kun je juist gaan zoeken naar een voorbeeld waarvoor de bewering niet waar is. Als je zo n voorbeeld hebt gevonden, heet dat een tegenvoorbeeld, (Engels: counterexample) waarmee dan juist bewezen is dat de bewering niet waar is. Opgave 1.1 Geef van elk van de volgende beweringen een bewijs of een tegenvoorbeeld: in elke groep van 50 mensen zijn er zes of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijn; in elke groep van 50 mensen zijn er vijf of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijn; in elke groep van 50 mensen zijn er vier of meer die allemaal in dezelfde maand jarig zijn.

13 1.2. BEWIJZEN MET GEVALSONDERSCHEID Bewijzen met gevalsonderscheid Als je de getallen van 1 tot en met 100 bij elkaar optelt, wat komt er dan uit? Als je gaat rekenen: = 3, = 6, = 10, = 15, enzovoorts, dan ben je nog al even bezig. Het kan ook handiger: = 101, = 101, = 101,..., = 101. Nu hebben we de 100 getallen in 50 groepjes van twee opgesplitst, waarbij voor elk groepje van twee de som 101 is. Het totaal is dus = Laten we het algemener bekijken (overigens ook een algemeen principe: probeer eerst een speciaal geval en als je daar iets voor verzonnen hebt, probeer dat dan algemener te maken). Als k en n gehele getallen zijn met k < n, en ik tel alle n k + 1 getallen van k tot en met n bij elkaar op, wat komt daar dan uit? Met hetzelfde truukje van zonet tellen we de eerste bij de laatste op, de op een na eerste bij de op een na laatste, en zo verder: k + n = k + n, (k + 1) + (n 1) = k + n, (k + 2) + (n 2) = k + n,.... Hoe eindigt dit? We zien dat het uitmaakt of het aantal n k + 1 even is of niet. Als dit aantal even is, krijgen we precies n k+1 2 groepjes van twee waarvan de som steeds k + n is. De som van de hele rij getallen is dus (k + n) n k+1 2 = (k+n)(n k+1) 2. Als het aantal oneven is, krijgen we n k 2 groepjes van twee waarvan de som steeds k + n is, en houden we het middelste van de rij getallen over. Dat middelste getal is het gemiddelde van de eerste en de laatste, dus k+n 2. De som van al deze getallen is dus (k + n) n k 2 + k + n 2 = (k + n)(n k) + (k + n) 2 = (k + n)(n k + 1). 2 We zien dus dat ook in dit geval de som van de hele rij (k+n)(n k+1) 2 is, en concluderen dat het in alle gevallen zo is. We hebben dus bewezen: Als k en n gehele getallen zijn met k < n, dan is de som van alle getallen van k tot en met n gelijk aan (k+n)(n k+1) 2. In het bewijs van deze bewering hebben we een gevalsonderscheid (Engels: case analysis) gemaakt: voor het geval dat het aantal even was hebben we een bewijs gegeven, en voor het geval dat het aantal oneven was hebben we een ander bewijs gegeven. Aangezien elk geheel getal even of oneven is, hebben we hiermee voor alle gevallen een bewijs gegeven. Net zoals bij bewijzen uit het ongerijmde is het bij bewijzen met gevalsonderscheid een goed principe om te kijken of je het gevalsonderscheid wel echt nodig hebt. Als je het namelijk niet nodig hebt, kun je waarschijnlijk een korter bewijs geven. In dit voorbeeld is dat inderdaad mogelijk als we met het maken van groepjes van twee niet stoppen als we op de helft zijn, maar nog even doorgaan: k + n = k + n, (k + 1) + (n 1) = k + n, (k + 2) + (n 2) = k + n,......, (n 1) + (k + 1) = k + n, n + k = k + n. Nu hebben we evenveel groepjes van twee gemaakt als het aantal getallen wat we bij elkaar op wilden tellen, namelijk n k + 1. Elk van deze groepjes heeft k + n als som, al deze

14 14 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? groepjes hebben dus samen (k + n)(n k + 1) als som. In deze groepjes komen elk van de getallen precies twee keer voor: een keer als linkerlid van een groepje en een keer als rechterlid. Daarmee is tweemaal de gevraagde som dus gelijk aan (k + n)(n k + 1), en concluderen we zonder gevalsonderscheid te maken dat de gevraagde som altijd gelijk is aan (k+n)(n k+1) 2. In het eerste bewijs hebben we een opsplitsing in twee gevallen gemaakt: het aantal is even of het aantal is oneven. Het is ook mogelijk een probleem in meer dan twee gevallen op te splitsen. Van belang is altijd dat alle situaties die aan de voorwaarden van de bewering voldoen, onder tenminste een van de aangegeven gevallen vallen: de opsplitsing moet uitputtend zijn, in het Engels: exhaustive. Dat sommige situaties onder meer dan een van de gevallen vallen is niet erg. Dit illustreren we met het volgende voorbeeld: Voor elk reëel getal x geldt dat x x 0. We bewijzen dit als volgt: we maken het gevalsonderscheid x 0 of x 0. Dit onderscheid is inderdaad uitputtend: voor elk reëel getal x geldt een van beide voorwaarden. Als x 0 dan is x x het product van twee getallen die elk tenminste 0 zijn; het product is dan ook tenminste 0. Als x 0 dan is x 0, en is x x = ( x) ( x) het product van twee getallen die elk tenminste 0 zijn; het product is dan ook tenminste 0. Voor beide gevallen hebben we nu een bewijs gegeven, en daarmee is het bewijs voltooid. Merk op dat het geval dat x = 0 onder beide gevallen valt. In feite hebben we de bewering voor dit geval dus twee keer bewezen. Het is een goed gebruik bij gevalsonderscheid te beginnen bij de makkelijkste gevallen en het moeilijkste voor het laatst te bewaren. Opgave 1.2 Wat komt er uit als je alle even getallen van 2 tot en met 100 bij elkaar optelt? En wat komt er uit als je alle oneven getallen van 17 tot en met 47 bij elkaar optelt? Geef een formule die voor elke n aangeeft wat de som is van alle even getallen van 2 tot en met 2n. Opgave 1.3 Bewijs dat het kwadraat van een oneven getal altijd te schrijven is als 8n + 1 voor een geheel getal n. 1.3 Bewijzen met inductie Voor beweringen die afhangen van een natuurlijk getal n is het vaak handig in het bewijs gebruik te maken van het gegeven dat de bewering voor kleinere waarden dan n al waar is. Dat je daarmee toch een correct bewijs mee kunt leveren zegt het principe van volledige inductie. In hoofdstuk 7 zal dit uitgebreid aan de orde komen. 1.4 Bewijzen met invarianten Alvorens het principe uit te leggen beginnen we met een aantal puzzels.

15 1.4. BEWIJZEN MET INVARIANTEN 15 De keukenvloer We hebben een vierkante keukenvloer met een zijde van n decimeter. In de rechter onderhoek en in de linker bovenhoek mist een vierkante decimeter (voor een verwarmingsbuis). Voor welke n kan de keukenvloer met tegels van 2 1 decimeter betegeld worden? Bijvoorbeeld voor n = 6 is de situatie als volgt: vloer tegels De koffiekan In een koffiekan zitten 25 zwarte en 25 witte bonen. De volgende handeling wordt uitgevoerd zolang dat mogelijk is: haal twee bonen uit de kan; als ze dezelfde kleur hebben, stop dan een zwarte boon in de kan; als ze verschillend van kleur zijn, stop dan de witte terug in de kan. Er is een voldoende voorraad extra zwarte bonen. Vraag: wat is de kleur van de laatste boon in de kan? Het lijnen-spel Het speelbord bestaat uit een rechthoek met punten. Twee spelers, A en B, doen om beurten een zet; A begint. Speler A doet een zet door twee aangrenzende punten met een horizontale of een verticale lijn te verbinden, speler B doet hetzelfde, maar dan met stippellijnen. Spelers mogen reeds verbonden punten niet nog eens verbinden. Na vier zetten van beide spelers kan het bord er bijvoorbeeld uitzien als links in onderstaand plaatje. Speler A wint als hij een gesloten figuur kan maken, zoals in het rechter plaatje; speler B heeft een andere opdracht: B wint als ze A kan verhinderen een gesloten figuur te maken. Vraag: is er voor één van beide spelers een winnende strategie? Zo ja, welke?

16 16 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? Solitaire We beschouwen het spelletje solitaire, dat de naam zegt het al je in je eentje kunt spelen. We kijken hier naar de Franse versie van het spel, dat gespeeld wordt op een bord bestaande uit 37 velden dat er als volgt uitziet: In de beginsituatie is het middelste veld leeg en staat er op elk ander veld een pionnetje, dus 36 in totaal. Nu mag er geslagen worden: horizontaal en verticaal mag een pionnetje over een een buurpionnetje heenspringen naar het daarachter gelegen lege veld, waarbij het pionnetje waar over heen gesprongen is weggenomen wordt. Laten we pionnetjes met een zwart rondje aangeven en onbezette velden met een open rondje; als dan de volgende situatie op het bord voorkomt dan kan het linker pionnetje over zijn rechterbuurman heenspringen en is het resultaat: Na één zet kan het bord er dus als volgt uit zien: De bedoeling van het spel is nu om net zo lang volgens deze spelregel te spelen totdat er nog maar slechts één pionnetje over is, dat dan liefst ook nog in het midden moet staan. In

17 1.4. BEWIJZEN MET INVARIANTEN 17 het begin is het niet zo moeilijk om te zetten, maar na een tijdje spelen staan er ineens een stuk of wat pionnetjes verspreid over het bord waarvan er geen twee naast elkaar staan, en kan er dus niet meer gezet worden. De vraag is nu: is het mogelijk om te eindigen in een situatie waarbij er nog maar één pionnetje over is? De oplossingen Deze vier puzzels zijn allemaal gebaseerd op herhaling: herhaald tegels leggen, herhaald bonen trekken, herhaald regels toepassen en herhaald zetten doen. Ze kunnen opgelost worden door steeds een geschikte invariant te beschouwen: een eigenschap die steeds blijft gelden. We geven eerst de definitie. Definitie 1.1 Een invariant is een eigenschap van een proces of een programma, die voldoet aan het volgende: aan het begin geldt de invariant, en als de invariant geldt en er wordt vervolgens een stap gedaan, dan geldt na afloop van die stap de invariant weer. Als we zo n eigenschap hebben, blijft die dus altijd gelden, hoeveel stappen er ook worden uitgevoerd. Als na eindig veel stappen het proces of programma voltooid is, geldt de invariant na afloop dus nog steeds. Deze observatie is cruciaal voor de oplossingen van elk van de puzzels, en is een belangrijk bewijsprincipe in de informatica. Hier volgen de oplossingen: De keukenvloer We maken een gevalsonderscheid. Als n oneven is dan is n 2 oneven, en n 2 2 dus ook. Een vloer van een oneven aantal dm 2 is nooit te betegelen met tegels die elk 2 dm 2 groot zijn. Als n even is dan kleuren we de vloer in gedachten als een schaakbord: om en om wit en zwart, met de rechter onderhoek wit. De twee verwarmingsbuizen staan in een wit veld. Er moeten dus twee zwarte velden méér betegeld worden dan witte velden. Omdat elke tegel één zwart en één wit veld bedekt, zullen we, hoe we ook tegelen, altijd twee zwarte velden overhouden. Een betegeling is dus niet mogelijk. We hebben gebruik gemaakt van de invariant aantal onbetegelde zwarte velden = aantal onbetegelde witte velden + 2 Deze uitspraak is in het begin waar, en blijft invariant bij het leggen van een tegel. De uitspraak geldt dus voor alle gedeeltelijke betegelingen, en er is geen betegeling waarin geen onbetegelde zwarte velden over zijn.

18 18 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? De koffie-kan Allereerst merken we op dat bij elke trekking er twee bonen verwijderd worden, en één teruggelegd. Na 49 trekkingen zal er dus nog één boon over zijn. Het ondoenlijk alle mogelijkheden te proberen, dat zijn er heel erg veel. In plaats daarvan zoeken we naar een geschikte invariant. We kijken naar het netto effect op het aantal witte en zwarte bonen bij elk van de vier mogelijke trekkingen: trekking actie Z W ZZ +Z 1 0 W W +Z +1 2 ZW +W 1 0 W Z +W 1 0 Het aantal witte bonen in de kan blijft gelijk of neemt met twee af. Het oneven-zijn van het aantal witte bonen is dus een invariant in dit spel! Het aantal witte bonen blijft dus altijd oneven, in het bijzonder aan het eind. De laatste boon is dus altijd wit. Opgave 1.4 In een doos zitten 100 rode, 100 witte en 100 blauwe ballen. Zolang dat mogelijk is, worden er drie ballen uit de doos gepakt. Als alle drie de ballen dezelfde kleur hebben, wordt er één van die drie teruggelegd. Als alle drie de ballen een verschillende kleur hebben, wordt een rode bal teruggelegd. Als er twee ballen dezelfde kleur hebben, wordt de afwijkende derde teruggelegd en bovendien een blauwe. Is het mogelijk te eindigen met een rode en een blauwe bal? Het lijnen-spel Op een bord van 2 2 punten kan A niet winnen: er zijn minstens 4 lijnen nodig om een gesloten figuur te maken. Laten we daarom eerst kijken of er een winnende strategie voor B is. Het spel vaak spelen geeft weinig inzicht in een strategie. Daarom kijken we naar de eigenschappen van gesloten figuren. Als B kan verhinderen dat één van deze eigenschappen op het bord komt, kan ze winnen. De invariant luidt dan: het bord bevat geen figuur met de betreffende eigenschap. Welke eigenschappen heeft een gesloten figuur? Er zitten parallelle lijnen in, maar die kan B niet verhinderen. Er zit een even aantal parallelle lijnen in, maar ook dat kan B niet verhinderen. Er zitten tenminste vier hoeken in, maar B kan niet verhinderen dat A hoeken tekent. Er zit minstens één L-vormige hoek in met de punt links onder, en díe kan B verhinderen! Elke keer als A een horizontale of verticale lijn trekt, kan B deze aanvullen tot een L-vorm (tenzij A op de boven- of rechterrand zet; dan mag B een willekeurige zet doen). A kan dan nooit zelf een L-vorm in zijn figuur maken, en dus geen gesloten figuur. Op grond van de invariant: het bord bevat geen L-vormen van A kunnen we concluderen: B heeft een winnende strategie.

19 1.4. BEWIJZEN MET INVARIANTEN 19 Solitaire We maken een indeling van de 37 velden in A-velden, B-velden en C-velden, en wel als volgt: A B C A B C A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C B C A B C A B C Verder definiëren we: a is het aantal A-velden waarop een pionnetje staat, b is het aantal B-velden waarop een pionnetje staat, c is het aantal C-velden waarop een pionnetje staat. Opgave 1.5 Bewijs dat het solitaire spel niet kan eindigen in een situatie waarin er nog slechts één pion op het bord staat. (Aanwijzing: gebruik de invariant: a, b en c zijn alle drie even of ze zijn alle drie oneven.) Bij puzzels zoals deze worden invarianten vaak gebruikt om aan te tonen dat bepaalde oplossingen niet mogelijk zijn. Gelukkig spelen ze in de informatica meestal een wat positievere rol, namelijk om aan te tonen dat na afloop van het uitvoeren van een programma een bepaalde gewenste eigenschap wèl geldt. Een aardig voorbeeld hiervoor is het volgende programma waarmee je handig twee getallen kunt vermenigvuldigen: z := 0; a := A; b := B; zolang a 0 doe dan: als a oneven is dan: a := a 1; z := z + b als a even is dan: a := a/2; b := 2b

20 20 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN? Hierin zijn A en B de getallen die je wilt vermenigvuldigen; aangenomen wordt dat A 0. In de variabele z komt het antwoord te staan, en a en b zijn hulpvariabelen. De notatie x := betekent dat de variabele x de waarde krijgt. Dat na afloop de waarde van z inderdaad A B is, volgt uit het feit dat z + a b = A B een invariant is van het zolang -stuk van het programma. Voordat aan de uitvoering van dat stuk van het programma begonnen wordt heeft z de waarde 0 en geldt a = A en b = B. Dan geldt inderdaad z + a b = 0 + A B = A B. Als de invariant geldt en a is oneven, dan wordt een stap gedaan waarbij a wordt vervangen door a 1 en z wordt vervangen door z + b. Vanwege (z + b) + (a 1) b = z + a b = A B geldt na afloop van die stap dus weer de invariant. Als de invariant geldt en a is even, dan wordt een stap gedaan waarbij a wordt vervangen door a/2 en b wordt vervangen door 2b. Vanwege z + (a/2) 2b = z + a b = A B geldt na afloop van die stap dus weer de invariant. We concluderen dat na afloop 1 de invariant nog steeds geldt. In dat geval is a = 0, want zolang a 0 stop het programma nog niet. Vanwege de invariant hebben we dan z = z + 0 b = z + a b = A B waarmee we bewezen hebben dat z inderdaad de waarde van het gevraagde product heeft. Opgave 1.6 Bereken met bovenstaande methode. Opgave 1.7 Met de volgende regels kun je van rijtjes symbolen andere rijtjes symbolen maken: 1. achter een rijtje met een I aan het eind mag je een U zetten; 2. van het rijtje Mx mag je Mxx maken, voor elk rijtje symbolen x; 3. als er III in een rijtje staat, mag je dat vervangen door U; 4. als er UU in een rijtje staat, mag je dat weglaten. Als voorbeeld bekijken we een aantal rijtjes die je uit MI kunt produceren: a. MI gegeven b. MII uit a volgens regel 2 c. MIIII uit b volgens regel 2 d. MIIIIU uit c volgens regel 1 e. MUIU uit d volgens regel 3 f. MUIUUIU uit e volgens regel 2 g. MUIIU uit f volgens regel 4 Vraag: is het mogelijk om beginnend met het rijtje MI uit te komen op het rijtje MU? Zo ja, hoe? Zo nee, waarom niet? (Aanwijzing: laat zien dat in geen enkel opgebouwd rijtje het aantal I s een drievoud is.) 1 Het is inderdaad in te zien dat dit programma niet oneindig lang doorgaat, en zelfs vrij snel tot zijn einde komt

21 1.5. NOG WAT TERMINOLOGIE Nog wat terminologie Een belangrijke bewering waarvoor een bewijs bestaat, wordt vaak een stelling genoemd; in het Engels theorem. Een iets minder belangrijke bewering waarvoor een bewijs bestaat, wordt wel een propositie genoemd; in het Engels proposition. Een bewering met een bewijs waarvan het belang niet op zich zelf staat, maar voornamelijk dient als hulpresultaat om een stelling te bewijzen, heet een lemma. Een gevolg van een stelling wordt wel corollarium genoemd; in het Engels corollary. Het precies vastleggen van de betekenis van een nieuw begrip heet een definitie. Een fundamentele bewering die je niet bewijst maar als uitgangspunt hanteert heet een axioma. Bij een bewijs is het handig om te zien waar het begin en eindigt. Meestal begint het met het woord bewijs (in het Engels proof), en eindigt het met een blokje. In sommige teksten wordt een bewijs wel afgesloten met de afkorting Q. E. D.. Dit staat voor quod erat demonstrandum, hetgeen Latijn is voor hetgeen bewezen moest worden. In dit dictaat zullen we een bewijs vaak afsluiten met de woorden einde bewijs. Een bewering waarvan je verwacht dat die waar is, maar waarvoor geen bewijs gevonden is, heet een vermoeden; in het Engels conjecture. Het is verbazend dat er veel eenvoudig te formuleren beweringen bestaan waarvan de juistheid wel vermoed wordt, er is dan ook nooit een tegenvoorbeeld voor gevonden, maar waarvoor ook na uitgebreide inspanning van zeer knappe mensen nog nooit een bewijs is gevonden. Enkele voorbeelden van dergelijke vermoedens zijn: Elk even getal groter dan 2 is de som van twee priemgetallen. Er bestaan oneindig veel priemgetallen p waarvoor p + 2 ook een priemgetal is. Begin met een willekeurig positief geheel getal. Herhaal steeds het volgende proces: als het even is deel je het door twee, en als het oneven is vermenigvuldig je het met drie en telt er daarna 1 bij op. Vermoeden: dit proces komt altijd terecht in Het komt ook wel voor dat dergelijke vermoedens toch nog bewezen worden. Een frappant voorbeeld hiervoor is de laatste stelling van Fermat, rond 1637 door Fermat geformuleerd: er bestaan geen gehele getallen n > 2 en a, b, c > 0 waarvoor a n + b n = c n. Hoewel Fermat zelf beweerde hiervoor een wonderbaarlijk bewijs te hebben gevonden dat helaas te groot was om in de kantlijn op te nemen, is dat bewijs niet bewaard gebleven en is deze bewering honderden jaren een vermoeden geweest. Tot 1993: toen gaf Andrew Wiles hiervan een bewijs, dat compact opgeschreven enige honderden pagina s besloeg, exclusief de bewijzen van de vele gebruikte veelal zeer diepe al eerder bekende stellingen.

22 22 HOOFDSTUK 1. WAAROM IETS BEWIJZEN?

23 Hoofdstuk 2 Proposities In de wiskunde en in de informatica, en ook in veel andere disciplines, is er behoefte aan redeneren. Om dat goed te kunnen doen moet men allereerst beschikken over een arsenaal van begrippen en uitdrukkingswijzen. Alleen wanneer men over deze zaken tot overeenstemming kan komen, bestaat er een redelijke kans dat twee of meer beoefenaren van een vak met elkaar kunnen praten zonder al te vaak in onzekerheid te verkeren over de betekenis van mededelingen die worden uitgewisseld. We geven een paar voorbeelden van zinnen die men in de krant zou kunnen lezen: niemand kan dit bijna doen kamer aangeboden voor student, tot 25 jaar wegens lekkage kerncentrale gesloten Er bestaat in bovenstaande voorbeelden weinig kans op misverstanden omdat verkeerde (?) interpretatie onwaarschijnlijke situaties schetst. Echter... het laatste bericht zou ook op de deur van een winkel kunnen hangen. En het is menigmaal voorgekomen dat een verdachte vrijgesproken is op grond van een onduidelijk gestelde beschuldiging. Voorbeelden van een vaktaal in andere disciplines vinden we heel duidelijk in de protocollen van gerechtelijke uitspraken, en in notariële akten. Ook daar heeft men gekozen voor bepaalde vaste formuleringen om de zaken ondubbelzinnig vast te leggen. Voor een buitenstaander wordt het daardoor echter meestal niet duidelijker, vaak is juist het tegendeel het geval! De manier waarop iets is opgeschreven valt onder het begrip syntax, de betekenis van het opgeschrevene valt onder het begrip semantiek. We kunnen dus zeggen dat zeven en 7 syntactisch verschillend en semantisch hetzelfde zijn. We definiëren, omschrijven is een beter woord, nu het belangrijkste begrip van dit hoofdstuk. Graag zouden we dat wat preciezer doen, maar dat precieze begrippenapparaat moeten we juist nog opbouwen. Definitie 2.1 Een propositie is een zinvolle bewering, een vaststelling met een duidelijke betekenis: waar of niet waar. 23

24 24 HOOFDSTUK 2. PROPOSITIES Het is erg lastig om een fundamenteel begrip zoals propositie ondubbelzinnig vast te leggen. Hoe objectief zijn zinvol en duidelijk? Wanneer we ons beperken tot de beweringen in een programmeertaal, dan is het tamelijk eenvoudig om precies te definiëren wat een propositie is, dat wil zeggen: hoe een propositie er syntactisch uitziet. We hebben dan een erg beperkte woordenschat, en kunnen gebruik maken van de syntactische schema s die de programmeertaal definiëren. Wij zullen ons hier echter niet zo strikt vastleggen op de syntax, omdat we de theorie toepasbaar willen laten zijn op algemene onderwerpen uit wiskunde èn informatica. Voorbeelden van proposities zijn: in deze zaal zitten 140 mensen een plus een is twee drie plus vijf is zes de maan is een spiegel = 6 dit bewijs is fout 1 1 = 0 We laten nu een paar voorbeelden zien van uitspraken die geen proposities zijn, en geven bij iedere uitspraak een kort commentaar tussen haakjes x is gelijk aan y (ik weet niet wat x is en wat y is) ga naar huis (dit is geen vaststelling, maar een bevel) zou het regenen? (wel goed is het regent ) jan te ver kaas (wat zou hiervan de betekenis zijn?, dit voldoet ook niet aan de syntax van de nederlandse taal) Tenslotte nog een paar voorbeelden van uitspraken die wat complexer van aard zijn, en daarom meer aandacht vragen als het gaat om de vraag of het proposities zijn alle mensen zijn dieren als het gras nat wordt, dan regent het Jan is een zoon van Kees en Mien is de moeder van Jaap de zon schijnt of het regent Een nieuw element in bovenstaande uitspraken is dat er verschillende beweringen in één uitspraak worden gedaan. We komen hierop nog terug. In enkele van de voorbeelden hebben we al gezien dat een propositie niet waar hoeft te zijn. In de definitie van het begrip propositie hebben we gëist dat hij hetzij waar hetzij onwaar is (precies één van beide). Dit betekent echter niet dat we over de waarheid onmiddellijk uitsluitsel moeten kunnen geven. Zo beschouwen we de uitspraak onder de eerste tien miljard decimalen van π komen precies één miljard cijfers 9 voor wel als een propositie. Immers zij is waar of onwaar, maar we kunnen (nog) niet vaststellen of zij waar dan wel onwaar is. Daarentegen is deze zin is onwaar

25 2.1. SAMENSTELLEN VAN PROPOSITIES 25 geen propositie. Immers deze bewering kan niet waar zijn (want dan zegt zij zelf onwaar te zijn) en zij kan ook niet onwaar zijn (want dan zegt zij zelf waar te zijn). Men kan ook zeggen dat deze bewering zowel waar als onwaar is. Naar onze begrippen is de betekenis van deze bewering niet duidelijk. Merk op dat we gebruik hebben gemaakt van een nog onuitgesproken afspraak, die we nu expliciet zullen vastleggen. Afspraak: niet onwaar betekent hetzelfde als waar Deze fundamentele afspraak (we noemen zoiets ook wel een axioma) is een grondpeiler van de klassieke logica. Hierdoor wordt het mogelijk om een bewijs uit het ongerijmde te leveren zoals dat in het vorige hoofdstuk ook al aan de orde kwam: als de ontkenning van een propositie onwaar is, dan is de propositie zelf waar! In het vervolg zullen we de betekenis van een propositie verengen tot het waar danwel onwaar zijn van de propositie. 2.1 Samenstellen van proposities We hebben net al door voorbeelden aangestipt dat het wenselijk is als we proposities kunnen samenstellen. In feite willen we iets meer, namelijk zo n samenstelling zou weer een propositie moeten zijn. Daarvoor is nodig dat de samenstelling ook voldoet aan de definitie van propositie, en dus moeten we precies vastleggen wat we zullen bedoelen met uitspraken zoals... en of... als... dan dan, en slechts dan, als... niet... waarin op de plaats van de stippeltjes proposities kunnen worden ingevuld. Een eerste stap in de goede richting is het vastleggen van een notatie voor deze samenstellingen. Het is niet verstandig om hiervoor alleen het gewone woordgebruik te kiezen. Immers aan het begin van dit hoofdstuk hebben we al gezien dat hierdoor misverstanden zouden kunnen ontstaan bij de interpretatie. Daarnaast heeft het invoeren van een compacte notatie het voordeel dat ingewikkelder uitdrukkingen die we daarmee opbouwen, nog steeds betrekkelijk compact opgeschreven kunnen worden. Notatie Laten p en q proposities voorstellen. We gebruiken de volgende notaties: p q voor p en q p q voor p of q p q voor als p dan q p q voor p dan, en slechts dan, als q p voor niet p

26 26 HOOFDSTUK 2. PROPOSITIES De symbolen,,,, heten connectieven, of ook wel Boolse operatoren. Ze staan respectievelijk bekend onder de namen conjunctie, disjunctie, implicatie, equivalentie, negatie. 2.2 Waarheidstafels We gaan nu de betekenis van deze samenstellingen vastleggen. Omdat de uitspraken p en q proposities zijn, is hun betekenis per definitie duidelijk: waar of niet waar. Omdat er maar twee mogelijkheden zijn kunnen we de betekenis van een samenstelling vastleggen door voor alle mogelijke waarden van p en q het resultaat vast te leggen. We doen dit met behulp van waarheidswaarde en waarheidstafels. Definitie 2.2 De waarheidswaarde van een propositie is 0 of 1: een propositie die waar is, heeft waarheidswaarde 1, een propositie die onwaar is heeft waarheidswaarde 0. Vervolgens stellen we de zogenaamde waarheidstafels op: we sommen systematisch alle combinaties van waarheidswaarden van p en q op, en geven bij elke samenstelling aan wat het gewenste resultaat is. Dit kunnen we voor elke samenstelling afzonderlijk doen, maar we kunnen het ook combineren in een grote tabel: p q p q p q p q p q p Deze tabel kan gezien worden als een compact opgeschreven definitie van alle samenstellingen. Als we willen weten hoe de waarheidswaarde van bijvoorbeeld p q afhangt van de waarheidswaarden van p en van q, dan vergelijken we de kolommen van p en q met de kolom van p q en lezen de gewenste informatie horizontaal af. Hieruit zien we dan de definitie van p q: Definitie 2.3 De propositie p q is waar als p en q beide waar zijn. In alle andere gevallen is p q onwaar. Analoog hebben we de definitie van p q: Definitie 2.4 De propositie p q is onwaar als p en q beide onwaar zijn. In alle andere gevallen is p q waar.

27 2.2. WAARHEIDSTAFELS 27 Hetzelfde kunnen we doen met p. Omdat p alleen afhangt van p kunnen we ook de kleinere tafel raadplegen en vinden als definitie p p Definitie 2.5 De propositie p is waar als p onwaar is en onwaar als p waar is. De definitie van de overige ter sprake gekomen samenstellingen zouden we na deze twee voorbeelden aan de lezer kunnen overlaten, maar we vinden het toch wenselijk om wat uitvoeriger stil te staan bij p q. Uit de tabel zien we Definitie 2.6 De propositie p q is onwaar als p waar en q onwaar is. In alle andere gevallen is p q waar. Een consequentie van deze definitie van p q is, dat er voor de waarheid van p q geen verband tussen p en q vereist is. Als we dus voor p en q twee ware proposities invullen die niets met elkaar te maken hebben, dan is p q een ware uitspraak. Een ware uitspraak is bijvoorbeeld 1 = 1 de diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar Het is af te raden p q uit te spreken als uit p volgt q : geldigheid van p q zegt alleen dat q waar is als p waar is, en niet dat daarbij sprake is van een oorzakelijk verband. Een andere consequentie is, dat p q altijd waar is als p onwaar is. Nu vinden we dat misschien niet zo erg vreemd, omdat we een uitspraak zoals als Pasen en Pinksteren op één dag vallen, dan... niet als een leugen opvatten, ook al zou er op de plaats van de stippeltjes iets onwaars staan. Plastisch gezegd: Uit een absurde veronderstelling kan men alles concluderen. Toch zal menigeen de wenkbrouwen fronsen bij het lezen van de ware uitspraak e = π 1 = 1. Analoge opmerkingen kunnen worden gemaakt over de samenstelling p q. We kunnen samenstellingen weer opnieuw samenstellen en daarmee ingewikkelde constructies maken, zoals bijvoorbeeld

28 28 HOOFDSTUK 2. PROPOSITIES (p q) r (p q) p ((( p) q) (( q) p)) (p q) die alle weer proposities zijn. Hierbij gebruiken we haakjes om de struktuur duidelijk te maken. Veel haakjes zijn overbodig als er (bijvoorbeeld door de syntax) afspraken gemaakt worden over de prioriteit van de connectieven. Wij zullen hierover geen expliciete regels vastleggen, maar toch proberen zo weinig mogelijk haakjes te gebruiken. Zo schrijven we p q in plaats van p ( q) omdat er geen verwarring mogelijk is. Daarentegen schrijven we wel ( p) q in plaats van p q. Van dit soort combinaties kunnen we ook weer waarheidstafels maken: som weer alle mogelijkheden voor p en q systematisch op en bereken wat het resultaat is. Omdat we dat voor elk van de connectieven al hadden vastgelegd, ligt het resultaat voor elke daarmee opgebouwde combinatie ook vast. In onze gewone taal komen nog andere connectieven voor dan alleen de zojuist behandelde. Zo kennen we bijvoorbeeld de uitdrukkingen noch..., noch... òf..., òf... wel..., maar niet... De waarheidstafel van een connectief dat twee proposities p en q verbindt, bestaat uit 4 regels. Er zijn dus 16 verschillende mogelijkheden om een waarheidstafel voor zo n connectief te construeren: op elke plek kunnen we een 0 of een 1 zetten. Daaronder komen ook de connectieven voor die alleen iets doen met p of alleen iets met q of die helemaal onafhankelijk zijn van p en q. Van deze laatste soort zijn er twee, ze worden weergegeven door T en F. De waarheidswaarde van T is in alle gevallen 1, en de waarheidswaarde van F is in alle gevallen 0. De letters T en F zijn afkortingen voor true (waar) en false (onwaar). Je zou bijna denken dat T hetzelfde is als 1 en F hetzelfde is als 0. Dat is niet helemaal waar: T en F zijn proposities en 1 en 0 zijn waarden. Je kunt zeggen dat T en F horen tot de syntax van proposities, net zoals alle connectieven, en dat 0 en 1 de semantiek weergeven van respectievelijk F en T. In de tabel hebben we maar 5 van de 16 mogelijkheden geëtaleerd, enerzijds omdat juist die de connectieven zijn waarvan men zich bedient in redeneringen, anderzijds omdat elke samengestelde propositie reeds kan worden geformuleerd met de connectieven, en. Een paar voorbeelden: p q heeft dezelfde waarheidstafel als ( p) q noch p, noch q heeft dezelfde waarheidstafel als ( p) q We komen hier nog uitgebreid op terug.

29 2.3. TAUTOLOGIEËN Tautologieën Sommige proposities zijn steeds waar, andere zijn soms waar en soms onwaar, afhankelijk van de situatie waarop ze betrekking hebben. Zo is de brug is open waar als de brug open is, en anders is deze uitspraak onwaar. Wanneer men in een computerprogramma twee variabelen x en y heeft, dan is de als test te gebruiken propositie x = y waar als x en y dezelfde waarde hebben, en anders onwaar. De propositie x = x is echter steeds waar. Wat ons vooral interesseert zijn samengestelde proposities en hoe men aantoont dat een propositie steeds waar is. Bij een uit een klein aantal proposities p, q, r,... samengestelde propositie A kan men gemakkelijk controleren of A steeds waar is door de waarheidstafel van A op te stellen en te kijken of de waarheidswaarde van A steeds 1 is. De elementaire bouwstenen p, q, r,... heten wel atomen of atomaire proposities. Omdat elk atoom twee waarheidswaarden kan hebben, bestaat de waarheidstafel voor een propositie opgebouwd uit n atomen uit 2 n regels. Als n = 3 of n = 4 is dat nog best te doen, maar als n minstens 10 is praat je toch wel over meer dan duizend regels, en komt de vraag op of het niet met minder werk kan. We zullen nu een manier aangeven om te manipuleren met samengestelde proposities, het vervangen van een propositie door een andere propositie met dezelfde betekenis. Met dergelijke manipulaties is het opstellen en nalopen van waarheidstafels vaak te vermijden. Twee proposities A en B, beide opgebouwd uit p, q, r,..., hebben dezelfde betekenis precies dan als A B steeds waar is. Dit is hetzelfde als te zeggen dat de waarheidstafels van A en B aan elkaar gelijk zijn. Definitie 2.7 Een tautologie is een steeds ware propositie, oftewel voor elke keuze van waarheidswaarden voor de erin voorkomende atomen is de waarheidswaarde van de propositie 1. Twee proposities A en B heten gelijkwaardig of equivalent als A B een tautologie is, oftewel voor elke keuze van waarheidswaarden voor de erin voorkomende atomen is de waarheidswaarde van A gelijk aan die van B. We schrijven dan wel A B, of ook wel A B. Een propositie is dus een tautologie als hij gelijkwaardig is met T. We maken een lijst van belangrijke tautologieën en een lijst van gelijkwaardige proposities, zodat we die niet telkens weer opnieuw hoeven te bewijzen. De in de lijsten voorkomende letters zijn atomen. Hiervoor mag men willekeurige concrete proposities invullen, onder de conditie dat voor hetzelfde atoom ook steeds dezelfde propositie wordt ingevuld.

30 30 HOOFDSTUK 2. PROPOSITIES Stelling 2.8 Alle proposities in de volgende lijst zijn tautologieën 1. p p 2. (p p) 3. p (q p) 4. ( p) (p q) 5. (p p) q 6. (p q) (p q) 7. ((p q) (q r)) (p r) 8. (p q) (q p) 9. (p q) ((q r) (p r)) 10. ((p q) (r s)) ((p r) (q s)) 11. ((p q) (r s)) ((p r) (q s)) 12. ((p q) (q r)) (p r) 13. T 14. F Het lijkt een lange lijst, maar de regels 1 t/m 6 liggen nogal voor het oprapen. Regel 7 drukt uit dat implicatie transitief is Hopelijk geven de regels 8 en 11 de lezer het gevoel dat het niet allemaal zo vanzelfsprekend is. Een stelling is pas echt een stelling als er ook een bewijs bij is; in dit geval betekent dat dat we voor elke regel moeten bewijzen dat de genoemde propositie een tautologie is. Dat kunnen we met waarheidstafels doen: als we systematisch alle mogelijke combinaties van waarheidswaarden voor p, q en r en we zien dat de waarheidswaarde voor de propositie in alle gevallen 1 is, hebben we bewezen dat het een tautologie is. Dit doen we hier alleen voor regel 7; voor de overige regels gaat het op soortgelijke wijze en laten we het aan de lezer over. Voor regel 7 moeten we laten zien dat ((p q) (q r)) (p r) een tautologie is, en daarvoor moeten we eerst de waarheidswaarden van p q, van q r, van (p q) (q r) en van p r bepalen. Dat zouden we afzonderlijk kunnen doen door hier aparte waarheidstafels van de maken, maar het kan ook in één keer met een grote waarheidstafel, waarin we onder de pijl van p q de waarheidswaarde van p q invullen, vervolgens onder de pijl van q r de waarheidswaarde van q r, dan onder de van (p q) (q r) de waarheidswaarde van (p q) (q r), dan onder de pijl van p r de waarheidswaarde van p r, en tenslotte onder de resterende pijl de waarheidswaarde van de gehele propositie: p q r ((p q) (q r)) (p r)

31 2.4. GELIJKWAARDIGE PROPOSITIES 31 Inderdaad zien we in de met aangewezen kolom alleen maar enen staan, waarmee bewezen is dat de hele propositie een tautologie is. In principe maakt de volgorde van de mogelijke combinaties van waarheidswaarden niet uit, als alle mogelijke combinaties maar opgesomd worden. Hier is de systematiek gevolgd waarbij bij het laatste atoom (r) afwisselend 0 en 1 is ingevuld, bij het voorlaatste (q) afwisselend twee nullen en twee enen, en daar weer voor (bij p) eerst vier nullen en dan vier enen. Dit breidt op een voor de hand liggende manier uit naar elk willekeurig aantal atomen: bij n atomen staan er in de eerste n kolommen de getallen van 0 tot en met 2 n 1 in binaire notatie. 2.4 Gelijkwaardige proposities Stelling 2.9 In de volgende lijst zijn de proposities op eenzelfde regel gelijkwaardig 1. p ( p) p p p p 2. p q q p 3. p q q p 4. p q q p 5. (p q) r p (q r) 6. (p q) r p (q r) 7. p q (p q) (q p) (p q) (( p) q) 8. p q ( p) q 9. p q ( q) p 10. (p q) p q 11. (p q) ( p) q 12. (p q) ( p) q 13. (p q) r (p r) (q r) 14. p (q r) (p q) (p r) 15. p (q r) (p q) r 16. (p q) r (p r) (q r) 17. (p q) r (p r) (q r) 18. p p F p T 19. p p p T T 20. p p p F F Regels 2, 3 en 4 geven aan dat de operatoren, en commutatief zijn. Regels 5 en 6 geven aan dat de operatoren en associatief zijn. Regel 8 geeft eigenlijk de definitie van de implicatie. Regels 10, 11 en 12 laten zien hoe we met ontkenningen moeten omgaan. De regels 11 en 12 staan bekend als de wetten van DeMorgan. Regel 9 geeft de wet van de contrapositie: om de waarheid van p q vast te stellen, kan men even goed de waarheid van ( q) p vaststellen. Regels 16 en 17 beschrijven dat en distributief zijn, preciezer: regel 16 zegt dat distribueert over, en regel 17 zegt dat distribueert over. Regel 18 zegt dat F een