6. Beweging van de zon doorheen de seizoenen

Transcriptie

1 6. Beweging van de zon doorheen de seizoenen In deze uitbereiding van het project boldriehoeken tussen hemel en aarde komen enkele interessante, nieuwe problemen aan bod, die te maken hebben met de jaarbeweging van de aarde rond de zon. Uit de positie van de zon op een welbepaald tijdstip van de dag kan bijvoorbeeld de datum van de waarneming bepaald worden maar ook het exacte begintijdstip van de astronomische lente. En uit de breedteligging van een waarnemer op aarde kunnen de hoogste en laagste zonnestand boven de horizon op het middaguur berekend worden. Bovendien is ook de astronomisch daglengte, m.a.w. het exacte tijdsinterval tussen zonsopgang en zonsondergang, doorheen het jaar voor elke waarnemer op aarde berekenbaar. Voor deze nieuwe toepassingen hebben we echter naast de cosinusregel voor boldriehoeken ook een sinusregel voor boldriehoeken nodig. Deze laatste regel heeft veel weg van zijn vlakke tegenhanger. We resumeren beide regels voor willekeurige boldriehoeken zonder bewijs. De belettering van de zijden en de hoeken wijkt iets af van deze in de vorige paragrafen. Voor de liefhebbers van de theoretische achtergrond van de sinusregel, verwijzen we naar UW 20/1. COSINUSREGELS VOOR BOLDRIEHOEKEN: cos a = cos b cos c + sin b sin c cosα cosb = cosa cosc + sin a sin c cos β cosc = cosa cosb + sin a sin b cosγ SINUSREGELS VOOR BOLDRIEHOEKEN: sin a sin b = sinα sin β sin a sin c = sinα sinγ sinb sin c = sin β sinγ Om de zelfstudie te activeren, wisselen we in het vervolg van dit onderzoek voortdurend af tussen werkteksten en informatieve gedeelten. 1

2 Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006 Beweging van de aarde om de zon Zoals je weet uit de lessen aardrijkskunde beweegt de aarde in een baan rond de zon. Deze beweging zullen we de baanbeweging van de aarde noemen. Strikt genomen is die baan ellipsvormig, en nog strikter genomen zelfs dat niet, omdat de vorm en de oriëntatie van deze baan in de loop van de eeuwen langzaam veranderen. In zeer goede benadering kan je de baan van de aarde echter als cirkelvormig beschouwen, wat we vanaf nu ook zullen doen. De tijd T die nodig is voor een volledige omloop rond de zon is per definitie een jaar. Na een tijd T staat de aarde dus opnieuw in hetzelfde punt van haar omloopbaan rond de zon als op t = Zoek de (gemiddelde straal R van de baan van de aarde om de zon op. (R = km 2. Noteer de lengte T van een jaar in dagen van 24 uur. Gebruik een zo nauwkeurig mogelijke waarde. (T =365, Bereken de snelheid V van de aarde rond de zon. Druk deze snelheid uit in km/u. (V = ,7348 km/u Tegelijk met deze jaarlijkse beweging om de zon draait de aarde op iets minder dan een dag (van 24 uur om haar as. Deze beweging noemt men de aswenteling van de aarde. Het is belangrijk te beseffen dat de twee hierboven beschreven bewegingen elkaar in geen enkel opzicht beïnvloeden. Dit betekent ondermeer dat de oriëntatie van de aardas niet verandert in de loop van een jaar. Minieme veranderingen in deze oriëntatie zijn slechts merkbaar op een tijdschaal van duizenden jaren. De zeer langzaam tollende beweging van de aardas noemen we precessiebeweging. We laten dit fenomeen verder volledig buiten beschouwing. Om de schijnbare beweging van de zon over de hemelbol te analyseren steunen we op de onafhankelijkheid van baanbeweging en aswenteling. Willen we bijvoorbeeld uitzoeken hoe een waarnemer op aarde, op een tijdspanne van een maand, de zon ziet bewegen dan leggen we dit als volgt aan boord. Eerst stellen we ons voor dat we de aswenteling stilleggen. De relatieve beweging van de zon is nu enkel te wijten aan de baanbeweging van de aarde en die is eenvoudig te analyseren. Na een maand leggen we de baanbeweging stil en laten we de aarde alsnog het achterstallige aantal rondjes rond haar as maken, ongeveer 30 in aantal. Omdat de aarde nu stilstaat ten opzichte van de zon is ook deze analyse eenvoudig te maken: de zon gedraagt zich nu als een vaste ster. Ze draait 30 cirkeltjes rond de Poolster. De opeenvolging van de twee fictieve bewegingen (de volgorde speelt hier geen rol brengt de zon in hetzelfde punt als de echte, gecombineerde as- en baanbeweging. De details van deze analyse vind je verderop, maar eerst een woordje uitleg over de seizoenen en de ecliptica. De seizoenen Mocht de aarde stilstaan t.o.v. de zon dan zou deze, net als elke andere ster, elke dag dezelfde cirkel beschrijven over de hemelbol. Maar we weten allemaal dat dit in realiteit niet het geval is. Je hebt vast al opgemerkt dat de zon s winters niet hoger boven de horizon komt dan s zomers om pakweg 16u. Omdat licht en warmte van een schuin invallende bundel zonlicht over een groter oppervlak verspreid worden, lijkt het zonlicht minder fel en wordt het aardoppervlak minder opgewarmd. Doordat de zon lager aan de hemel staat, gaat ze ook vlugger onder. De 2

3 onder de loep nachten duren langer, wat zorgt voor een grotere afkoeling. Deze effecten doen zich tegelijkertijd voor op het hele noordelijke halfrond, en wel des te meer naarmate je dichter bij de polen komt. Het is hierin dat de verklaring moet worden gezocht voor het verschil in gemiddelde temperatuur tussen zomer en winter. Vaak denkt men dat dit te maken heeft met de variatie in afstand tot de zon op de elliptische baan, maar deze redenering klopt niet omdat onze winters juist in de periode vallen dat de aarde het dichtst bij de zon staat. In werkelijkheid is de invloed op de seizoenen van de variatie in afstand tot de zon verwaarloosbaar. De ecliptica Zoals aangekondigd zetten we de aswenteling van de aarde even stil. Op slag staan ook alle sterren stil op de hemelbol. De baanbeweging van de aarde in een cirkel rond de zon vertaalt zich voor de waarnemer op aarde in een schijnbare beweging van de zon rond de aarde. Het is in deze context veel makkelijker om te denken aan een stilstaande aarde en een bewegende zon dan aan het omgekeerde. De situatieschets hieronder is overgenomen uit de tekst over equatoriale en horizoncoördinaten. De ster aan het firmament stelt de zon voor. Er is één cirkel aan de prent toegevoegd: de schijnbare baan van de zon rond de aarde. Deze cirkel wordt de ecliptica genoemd, evenals het vlak waarin deze cirkel ligt. Het eclipticavlak valt niet samen met het eerder bestudeerde evenaarsvlak maar maakt er een hoek ε van ongeveer mee. Een derde belangrijke cirkel op de tekening is de meridiaan door de zon. Deze drie cirkels bakenen een rechthoekige boldriehoek af: de seizoenendriehoek. De seizoenendriehoek zal een cruciale rol spelen in de berekeningen die volgen. Deze boldriehoek neemt de rol over van de sterrenkundige driehoek bij berekeningen in verband met de aswenteling van de aarde. De vierde grote cirkel op de tekening, de horizoncirkel, is naar het achterplan verhuisd. Hij heeft slechts een figurantenrol te vervullen in het volgende onderzoek. 3

4 Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006 evenaar ecliptica lentepunt Momenteel staat de zon boven de evenaar (zie figuur. Dit betekent dat wij in Europa in het warme gedeelte van het jaar zitten. Enkele maanden geleden stond de zon in het snijpunt van de ecliptica en de evenaar, het lentepunt γ, op 20 maart om precies te zijn. De Griekse letter gamma (γ vertoont gelijkenis met van het astrologische teken voor het sterrenbeeld Steenbok (, waarin het lentepunt zich een paar duizend jaar geleden bevond. Tegenwoordig bevindt het lentepunt zich in het sterrenbeeld van de vissen. Drie maanden na de doorgang door het lentepunt bevindt de zon zich in haar hoogste punt. De zon staat dan op een hoogte ε boven de evenaar. De astonomische zomer begint, het is 21 juni. Vanaf dan zakt de zon langzaam omlaag om ten slotte in het tegenpunt van γ, het herfstpunt, weer onder de evenaar te duiken. Dit gebeurt dit jaar op 23 september. Vervolgens breken de koude maanden aan. De zon zakt naar haar diepste punt op de ecliptica op een hoogte ε onder de evenaar. Op 22 december van dit jaar zullen we de diepste fase bereiken. Na weer eens drie maanden zal de zon haar jaarcyclus beëindigen in het lentepunt. De vier keerpunten in het zonnejaar dragen officiële namen: de lente- en herfstequinox (of de nachteveningen: dag en nacht zijn even lang en het zomer- en wintersolstitium (of zonnewenden: de zon keert terug. Van op aarde kunnen waarnemers niet met het blote oog zien welke sterren er achter en in de omgeving van de zon staan. Sterren in de buurt van de zon worden immers te intens overstraald. Maar toch bestaat er een eenvoudig trucje om uit te vissen welke sterren er achter de zon zitten. Het sterrenbeeld dat vandaag achter de zon zit, staat over een half jaar op middernacht precies in het zuiden aan de nachthemel. Doorheen het jaar draaien er twaalf verschillende sterrenbeelden achter de zon door, voor elke maand eentje. Deze twaalf sterrenbeelden vormen de zodiak of de dierenriem. De afbeelding hierboven toont de zon twee maanden na de lente-equinox. De zon staat dan in het teken van de stier: de foto lijkt gemaakt op 25 april. Om duidelijk aan te geven in welk deel van het jaar we vertoeven, kunnen we twee speciale hoeken definiëren. De eerste hoek is het verschil tussen de uurhoek van de zon en de uurhoek van het lentepunt. We noemen deze hoek α de rechte klimming. De andere hoek die je op de 4

5 onder de loep tekening ziet, geeft de afstand van de zon tegenover het lentepunt weer, gemeten over de ecliptica. We noemen deze hoek λ de lengte van de zon. De rechte klimming, de lengte en de declinatie van de zon zijn met elkaar verbonden door de sinus- en de cosinusregel in een rechthoekige boldriehoek. De verbanden tussen deze drie hoeken worden over enkele bladzijden uitgerekend. Een grootheid die later nog te pas komt, is de hoeksnelheid Ω van de zon. Dit is de hoek die de zon per tijdseenheid aflegt over de ecliptica, of anders gezegd de constante toename van de lengte λ per tijdseenheid. De term constant moet hier echter wel met een korreltje zout genomen worden: de aarde doorloopt haar baan iets sneller in de nabijheid van de zon dan in de omgeving van de verste verwijdering. De variabiliteit in de hoeksnelheid, gekend als de perkenwet van Kepler, laten we in deze loep echter achterwege. We stellen de constante hoeksnelheid Ω gelijk aan 360 /jaar of 0, /uur. De hoeksnelheid Ω van de baanbeweging mag niet verward worden met de hoeksnelheid ω van de aswenteling. Deze laatste snelheid werd eerder berekend als 15, /uur. In tegenstelling met de lengte λ, heeft de rechte klimming α geen constante hoeksnelheid. De grootheden α en λ zijn immers door goniometrische formules met elkaar verbonden. Als we de aswenteling van de aarde weer in gang zetten, gaat de hele hemelbol ronddraaien rond de poolster P: de zon, de vaste sterren, het lentepunt, het herfstpunt Je kan op de bovenstaande afbeelding merken dat het lentepunt op het punt staat te verdwijnen achter de horizon. Omdat het lentepunt op de evenaar ligt, zal het precies in het westen ondergaan. Alle punten op de evenaar komen immers precies in het oosten op en verdwijnen precies in het westen. De zon zelf moet nog een hele poos wachten om onder te gaan. Dat zie je aan de uurhoek H. Het is nog maar pas middag geweest. De foto hierboven lijkt gemaakt om half vier in de namiddag. Nu de baanbeweging van de zon samen met de aswenteling weer in gang gezet is, wordt het tijd om enkele standaardproblemen op te lossen. Zonshoogte op het middaguur De zon bereikt haar hoogste stand boven de horizon op het middaguur. s Zomers moeten we steiler omhoog kijken om de zon te zien op het middaguur dan s winters. We maken enkele berekeningen in dit verband. 1. Hoeveel graden bevindt de zon zich boven de hemelevenaar op het middaguur tijdens de zonnewenden (zie vorige afbeelding? ( tijdens de zomer: ε = 23 30' en tijdens de winter: ε = 23 30' 2. Hoeveel graden is het evenaarsvlak gekanteld tegenover het horizonvlak voor een waarnemer op een breedteligging ϕ = 50? Maak voor deze vraag een gestileerde voorstelling van de bovenstaande prent met de hemelequator, de horizon en de aardas. ( ϕ = Bereken uit deze resultaten de horizonstand van de zon op het middaguur, zowel tijdens het zomersolstitium als tijdens het wintersolstitium. (tijdens de zomer: ϕ + ε = 63 30' en tijdens de winter: ϕ ε = 16 30' 5

6 Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006 Datumbepaling uit declinatie van de zon Op een dag in de lente meet men de declinatie van de zon. Men vindt Bereken de lengte λ van de zon met de sinusregel in de seizoenendriehoek. sin λ sinδ (Uit = leiden we af dat sin λ = 0, en dat λ = 53 51' 08,99". sin90 sinε 2. Bereken de rechte klimming α met de cosinusregel in de seizoenendriehoek. (Uit cos λ = cosα cosδ + sinα sinδ cos 90 leiden we af dat cos α = 0, en dat α = 51 27' 39,46". De hoek α is iets kleiner dan de hoek λ. Naar deze opmerking zal later nog verwezen worden, bij beschouwingen over de middelbare zon. 3. Bereken de datum van de waarneming door gebruik te maken van de hoeksnelheid Ω. (Aangezien Ω=360 /jaar vinden we dat de lengte λ = 53 51' 08,99" afgelegd wordt in 54 dagen en 14 uren. De 54 ste dag na de lente-equinox van 20 maart valt op 13 mei. Dit is de datum van de waarneming. 4. Stel dat we ons vergist hebben in de opgave: in feite gebeurde de waarneming in de zomer. Wat verandert er dan in je antwoord? (We vinden nog steeds dat sin λ = 0, Voor de lengte van de zon moeten we nu de supplementaire hoek nemen: λ = ' 51,01". We bevinden ons op 127 dagen en 22 uur na de doorgang door het lentepunt. Het is bijgevolg 25 juli. Het begin van de astronomische lente In 2006 begon de astronomische lente op 20 maart om 19u26 precies. In 2007 zal dit op 21 maart zijn om 01u07, in 2008 op 20 maart om 06u48, in 2009 op 20 maart om 12u44, in 2010 op 20 maart 18u32, in 2011 op 21 maart 0u21 enz. In de volgende 20 jaar zijn lente-equinoxen op 21 maart eerder zeldzaam. Het begin van de astronomische lente mag niet verward worden met het begin van de weerkundige lente. De weerkundige seizoenen hebben een vaste afbakening bij de maandwisselingen. Zo begint de weerkundige lente op 1 maart. We doen een waarneming op 12 januari om 10u01 s morgens. De zon staat 14 boven de horizon op een azimut van Bereken de declinatie van de zon. Gebruik de sterrenkundige driehoek. (Gegevens: ϕ = 40 en A = 152 en h = 76 Berekening: cos δ = cosϕ cosh + sinϕ sin h cos A = 0,36... δ = 21 25' 48,45" 2. Bereken de lengte van de zon. Maak gebruik van de seizoenendriehoek. (Gegevens: δ = 21 25' 48,45" en ε = 23 30' sinδ Berekening: sin λ = = 0,91... λ = 66 23' 17,98" sinε 3. Hoeveel dagen, minuten en seconden ligt de zon nog verwijderd van het lentepunt? Gebruik bij de berekening de waarde van Ω. 6

7 onder de loep λ 365,24219 ( = 67, waaruit we besluiten dat het nog 67 dagen, 8 uur 360 en 31 minuten duurt vooraleer het lentepunt bereikt wordt. 4. Bereken het exacte lentetijdstip. In welk jaar bevinden we ons? En op welke dag van de week? Je mag voor deze laatste vraag een eeuwige kalender opsporen op het internet. (Als we 67 dagen, 8 uur en 31 minuten verder tellen in een niet-schrikkeljaar dan komen we uit op 20 maart 18u32. Volgens de inleiding zou dit lentepunt zich voor het eerst voordoen in In dit jaartal valt 20 maart op een zaterdag. Lengte van dag en nacht Op 21 juli bereikt de zon haar maximale declinatie ( δ = ε. We berekenen nu het tijdsverloop tussen zonsopgang en zonsondergang op de langste dag van het jaar. Dit is meteen ook de tijdsduur voor de langste nacht op 22 december. Om de berekening eenvoudig te houden gaan we er van uit dat we op de korte tijdspanne van één dag de beweging van de zon langs de ecliptica mogen verwaarlozen. We behandelen de zon dus als een vaste ster. 1. Teken een sterrenkundige driehoek voor de zon op 21 juli bij zonsondergang. Geef de lengtes van de zijden en bereken vervolgens de uurhoek bij zonsondergang. (Gegevens: ϕ = 40 en δ = 66 30' en h = 90 cos h cosϕ cosδ Berekening: cos H = = 0,51... H = ' 39,12" sinϕ sin δ 2. Wegens de symmetrie om de plaatselijke zuidmeridiaan, is de uurhoek bij zonsopgang gelijk aan H. De lengte van de dag is dus de tijd die de zon nodig heeft om over een hoek 2H om de poolster te draaien. Bereken de astronomische daglengte door gebruik te maken van de waarde van ω. 2H 23 56' 04" ( = 16, waaruit we besluiten dat het op 21 juli 16 uur minuten en 2 seconden licht blijft. 3. Doe deze berekeningen over voor een willekeurig punt van het noordelijke halfrond op aarde. Maak een grafiek van de astronomische daglengte in functie van de breedtegraad. Waarom is het domein van deze functie beperkt tot het interval [0, ]? (Gegevens: ϕ = 90 γ en δ = 66 30' en h = 90 Berekening: cosh cosϕ cosδ cos( 90 ϕ cos66 30' tanϕ cos H = = = sinϕ sinδ sin 90 ϕ sin 66 30' tan ( ' Hieruit leiden we af dat niet groter mag zijn dan Wanneer φ toch groter is, zal de teller van de breuk groter zijn dan de noemer en kan er geen inverse cosinus van de breuk genomen worden. De fysische interpretatie van deze beperking is nog eenvoudiger: boven de kreeftskeerkring bestaat er geen astronomische daglengte, het is ofwel eindeloos dag ofwel eindeloos nacht. Dit klinkt nogal raar. 7

8 Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006 Misschien is het dan ook beter af te spreken dat de astronomische daglengte buiten de poolcirkels 24u is. Het feit dat cos(h negatief is wil zeggen dat H een stompe hoek is en dat 2H een overgestrekte hoek. Fysisch betekent dit dat het overal op het noordelijke halfrond meer dan 12 uur licht is op de langste dag van het jaar. Om de astronomische daglengte in het noordelijke halfrond te kennen, passen we de volgende formule toe. 180 tanϕ f ( ϕ = 2 Acos( π tan 66 30' tanϕ 24 = Acos(. tan 66 30' π Deze grafiek met domein [0; 66,5] kan om de verticale as gespiegeld worden tot een grafiek met domein [-66,5; 0]. Op de intervallen [-90; -66,5] en [66,5; 90] tekenen we de grafiek van een constante functie met beeldwaarde 24. 8