Inleiding 1. Onderzoeksvragen Reguliere polygonen en polyhedra 5

Transcriptie

1

2 Inhoudsopgave Inleiding 1 Onderzoeksvragen 3 1. Reguliere polygonen en polyhedra polygonen polyhedra de formule van Euler in 3 dimensies de formule van Euler in reguliere polyhedra de formule van Descartes vertexfiguren quasi-reguliere polyhedra Tegelingen en honingraten tegelingen honingraten quasi-reguliere honingraten semi-reguliere honingraten formule van Euler in honingraten en 4 dimensies Introductie tot 4 dimensies dimensionale analogie flatland Euclidische ruimte in 4 dimensies Projectie projectie in het algemeen projectie in 2 en 3 dimensies projectie in 4 en hogere dimensies Doorsnede van een hyperkubus indexeren van vlakken en hypervlakken indexeren van punten het lijn-object algoritme voor het vinden van eerste snijvlak met x 4 = algoritme voor het vinden van het aangrenzende vlak algoritme voor het vinden van het volgende snijpunt 31

3 6. Rotatie in 4 dimensies introductie tot matrices rotatiematrices Polytopen in 4 en hogere dimensies polychora vertexfiguren bij polychora de vertexfiguren van een hyperkubus reguliere polychora het aantal reguliere polychora polytopen in dimensie n regulariteit bij polytopen in dimensie n families reguliere polytopen de simplex de kruispolytoop de hyperkubus Gegeneraliseerde formule van Euler formule van Euler in elke dimensie gegeneraliseerde formule van Euler in families reguliere polytopen de simplex de kruispolytoop de hyperkubus het incidentiegetal k-ketens k-ketens als vectoren rang de rang van een incidentiematrix bewijs van de gegeneraliseerde formule van Euler 49 Samenvatting en conclusie 51 Reflectie 55 Bronvermelding 56 Logboek 58 Bijlagen 60

4 Inleiding Inleiding Het bestuderen van meetkunde in 4 en hogere dimensies is een relatief nieuw gebied in de wiskunde. Ludwig Schläfli wordt, samen met Bernhard Riemann en Arthur Cayley, vaak gezien als de grondlegger van hoger-dimensionale meetkunde. De belangrijkste bijdrage van Schläfli was het beschrijven van alle reguliere polytopen in 4 dimensies. Daarnaast is hij de bedenker van het Schläflisymbool, waarmee polytopen in elke dimensie vrij simpel genoteerd kunnen worden. Ondanks dat hogere dimensies pas vanaf het begin van de 19 e eeuw als een serieus gebied van de wiskunde worden beschouwd, zijn er vele referenties van voor die tijd naar hogere dimensies (waarvan de meeste van filosofen afkomstig zijn). De lijn heeft een grootte in één richting, het vlak in twee richtingen, en een lichaam in drie richtingen, en verder dan deze is er geen richting omdat deze drie alle richtingen zijn. 1 De bewonderenswaardige Ptolemaeus heeft bewezen dat er niet meer dan drie afstanden zijn, vanwege de noodzakelijkheid dat afstanden gedefinieerd moeten worden, en dat afstanden bepaald moeten worden met behulp van drie loodrechte lijnen, en omdat het maar mogelijk om drie onderling loodrechte lijnen te nemen, twee om waarmee het vlak is gedefinieerd en een derde om diepte te meten; zo dat als er enig andere afstand zou zijn deze volledig zonder betekenis en definitie zou zijn. 2 In het klassieke Griekenland werd een nummer beschouwd als een lijn, het product van twee getallen werd beschouwd als een vlak en het product van drie getallen als een lichaam. Toen het noodzakelijk werd om meer dan 3 getallen te vermenigvuldigen, werden termen als vlak-vlak en vlak-lichaam geïntroduceerd. Hiernaast verhinderde de meetkundige benadering van vergelijkingen klassieke wiskundigen ervan zich te wagen aan vergelijkingen met vier of meer variabelen, omdat deze beschouwd werden als onwerkelijk. Toen deze vergelijkingen niet meer te vermijden waren, betekende dit een onmogelijke uitbreiding van het toenmalige geometrisch begrip. In de hedendaagse wiskunde heeft hoger- dimensionale meetkunde vele toepassingen, waaronder in de statistiek, de mathematische fysica en complexe analyse. Aangezien van een complexe functie zowel de afhankelijke als de onafhankelijk variabele een complex getal is met zowel een reëel als een imaginair deel, zijn er vier dimensies nodig om een grafiek van deze functie te plotten. Om de eigenschappen van deze grafiek te bestuderen, kan er gebruik worden gemaakt van vierdimensionale meetkunde. Wij zullen in dit onderzoek niet al te diep ingaan op de meetkunde van vier dimensies, maar wij zullen wel begrip proberen te kweken van wat hoger-dimensionale ruimte precies inhoudt. Waar wij wel dieper op in zullen gaan zijn reguliere polytopen in vier dimensies, wat de analogen zijn van polygonen en polyhedra in respectievelijk twee en drie dimensies. Na het onderzoeken van deze polytopen, inclusief generalisaties hiervan die gelden voor elke dimensie, zullen wij op zoek gaan naar een patroon in het aantal lager-dimensionale polytopen dat een polytoop in een bepaalde dimensie n bevat. 1 Citaat van Aristoteles (384 tot 322 v.chr.), 2 Citaat van Simplicius (6 e eeuw na Christus) Beide citaten zijn verkorte vertalingen vanuit Manning, Geometry of four dimensions, blz. 1 1

5 Inleiding We hebben voor dit onderwerp gekozen omdat we de 4 e dimensie allebei een fascinerend onderwerp vinden, en erg benieuwd waren naar de manieren waarop wij als driedimensionale wezens de 4 e dimensie kunnen bevatten of zelfs weergegeven in drie dimensies. Daarnaast zijn we van mening dat polyhedra al een bepaalde mysterie en schoonheid hebben, en we wilden graag weten hoe hoger-dimensionale polytopen in elkaar steken. Om ons onderzoek iets meer richting te geven, hebben we advies gevraagd van prof. dr. E.J.N. Looijenga, die hoogleraar is aan de universiteit Utrecht. Hij heeft ons met name geadviseerd om ons meer te focussen op de formule van Euler, en die tip heeft ons profielwerkstuk naar onze mening erg goed gedaan. We hebben geprobeerd om voor elk nieuw concept dat we in hogere dimensies introduceren, eerst nog eens duidelijk na te gaan hoe dit concept in lagere dimensies werkt. Hierdoor kan het soms misschien lijken alsof we dingen herhalen die al bij iedereen bekend zijn, maar dit is noodzakelijk om de vaak veel lastigere concepten in hogere dimensies goed te kunnen doorzien. 2

6 Onderzoeksvra gen Onderzoeksvragen Voor dit onderzoek stellen de vraag: Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal deelpolytopen in reguliere polytopen van elke dimensie? We zullen eerst polygonen en polyhedra behandelen. Dit doen we om begrip te krijgen van de fundamentele eigenschappen van polytopen, om deze later door te kunnen trekken naar hogere dimensies. Daarna zullen we een simpele definitie geven van regulariteit, en er wordt uitgelegd waarom deze definitie alle verwachte eigenschappen van regulariteit met zich meebrengt. Vervolgens gaan we de formule van Euler bewijzen, welke een verband legt tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een polyhedron. Na een begrip te hebben ontwikkeld van polygonen en polyhedra, zullen we ingaan op tegelingen en honingraten. Tegelingen zijn oneindige vlakken gevuld met precies in elkaar passende polygonen, honingraten zijn oneindige ruimten gevuld met precies in elkaar passende polyhedra. Honingraten zijn een goede overbrugging van polyhedra naar polytopen in hogere dimensies, omdat deze eigenschappen hebben van zowel polyhedra als van 4-dimensionale polytopen. Voor honingraten zullen we onderzoeken of hiervoor een formule is op te stellen voor het verband tussen het aantal vertices, ribben, polygonen en polyhedra, net zoals we de formule van Euler hebben gevonden voor polyhedra. Daarna zullen we een introductie geven van 4 dimensies en in het bijzonder van Cartesiaanse coördinatenstelsel, omdat dit noodzakelijk is om te begrijpen wat hogere dimensies inhouden. Ook zullen we onderzoeken welke manieren er zijn voor 3-dimensionale wezens om 4 dimensies te begrijpen. We willen weten of er hoger-dimensionale analogen zijn van concepten zoals doorsneden en projecties. Als we een redelijk idee hebben gekregen van hogere dimensies, zullen we dieper ingaan op wat polytopen nou precies zijn in 4 en vervolgens hogere dimensies en zullen we onderzoeken welke eigenschappen van polygonen en polyhedra zijn door te trekken naar hogere dimensies. Ook zullen we het begrip regulariteit generaliseren. We onderzoeken ook of er bepaalde reguliere polytopen zijn die analogen hebben in elke dimensie. Ten slotte proberen we de formule van Euler te generaliseren, zodat deze geldt voor polytopen in elke dimensie en zullen we het gevonden verband proberen te bewijzen. Hieronder is overzichtelijk weergegeven welke hoofdvraag en welke deelvragen we stellen voor dit onderzoek. Hoofdvraag Wat voor regelmaat is er te ontdekken in het aantal punten, ribben, polygonen en hogerdimensionale analogen hiervan in convexe reguliere polytopen van elke dimensie? 3

7 Onderzoeksvra gen Deelvragen Welke eigenschappen en principes van Euclidische ruimte en Cartesiaanse coördinatenstelsels kunnen we doortrekken naar hogere dimensies? Op wat voor manieren kunnen wij als driedimensionale wezens vierdimensionale polytopen weergeven in driedimensionale ruimte? Wat voor eigenschappen van polygonen en polyhedra kunnen we doortrekken naar hogerdimensionale polytopen, en dan met name naar polychora? Hoe kunnen we regulariteit voor convexe polychora en voor convexe hoger-dimensionale polytopen definiëren? Zijn er bepaalde typen polytopen die te generaliseren zijn voor elke dimensie, en is er een verband te ontdekken in het aantal lager-dimensionale polytopen dat deze bevatten? 4

8 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra 1. Reguliere polygonen en polyhedra 1.1 Reguliere polygonen 3 Polygonen zijn er in allerlei soorten en maten. Er zijn er zelfs oneindig veel verschillende polygonen mogelijk, dus zullen wij onze beperken tot de reguliere polygonen. Een polygoon is regulier als er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: (1) De ribben van het polygoon zijn allemaal van dezelfde lengte. (2) Alle inwendige hoeken van het polygoon zijn gelijk. Reguliere polygonen worden genoteerd met het Schläfli-symbool {p}, waarin p het aantal vertices of ribben is, met p > 3. We nemen als voorbeeld de {5}, oftewel het pentagoon (de vijfhoek) ABCDE, zie het onderstaande figuur. Doordat alle hoeken en ribben gelijk zijn weten we dat het middelpunt en het zwaartepunt van een regulier polygoon hetzelfde zijn. Met de afstanden van het middelpunt tot de vertices allemaal gelijk en zo ook de afstanden van het middelpunt tot de ribben (ofwel de middelpunten van de ribben), zijn er twee cirkels de tekenen: (1) De ingeschreven of binnencirkel c 1 met straal r 1 die de ribben in hun middelpunten raakt. (2) De omgeschreven of buitencirkel c 2 met straal r 2 die door de vertices gaat. Beide cirkels hebben M (middelpunt van het betreffende polygoon) als middelpunt, men zegt dan dat c 1 en c 2 concentrisch zijn. Wanneer we vanuit het middelpunt een lijn naar elk middelpunt van een rib en elke vertex trekken ontstaan er twee driehoeken per rib. In totaal zijn er dan 2p van deze driehoeken, dus voor het pentagoon zijn het er 10. In het onderstaande figuur is één zo n driehoek ( AKM ) weergegeven. Als we stellen dat het polygoon zijden heeft van lengte 2l dan volgt AK = l. Ook zien we dat KM = r 1, AM = r 2 en, omdat er 2p driehoeken samenkomen in M. Omdat AKM een rechthoekige driehoek is kun we gebruik maken van goniometrische formules. Zo kunnen we bijvoorbeeld r 1 en r 2 uitrekenen. Van driehoek AKM kunnen we ook de volgende dingen uitrekenen (som hoeken is gelijk aan 180ᵒ) 3 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op Coxeter, Regular Polytopes, blz

9 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra Ook geldt daarnaast (gestrekte hoek) Hieruit volgt De inwendige hoeken van een regulier polygoon zijn 2 KAM dus volgt Voor de omtrek S van een regulier polygoon geldt natuurlijk 1.2 Polyhedra 4 Ook voor de polyhedra zijn er oneindig veel mogelijkheden en daarom beperken wij ons net als bij polygonen tot de reguliere en quasi-reguliere polyhedra. We behandelen eerst de reguliere polyhedra. Een polyhedron is regulier als deze aan de volgende eisen voldoet (1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon. (2) Alle grensvlakken zijn gelijk. (3) De vertices zijn alle op dezelfde wijze omringd met grensvlakken. Reguliere polyhedra worden genoteerd als {p,q} waarin p het soort polygoon is waarvan hij gemaakt is, en q het aantal polygonen dat samenkomt in een vertex. Polyhedra worden genoemd naar het aantal zijvlakken dat ze hebben. De {5,3} bijvoorbeeld is een volume of lichaam ingesloten door pentagonen, met drie daarvan samenkomend in elke vertex. Als we de zijvlakken tellen komen we op 12 reguliere polygonen. De {5,3} wordt dan ook het dodecahedron genoemd (dodeca = 12). In reguliere polyhedra zijn alle vertices gelijk verdeeld, wat inhoudt dat alle vertices even ver van het middelpunt M liggen. Er is dus een sfeer waarop alle vertices liggen, de zogenaamde omtreksfeer S 0. Hieruit volgt natuurlijk dat er ook een sfeer is voor de ribben en een sfeer voor de grensvlakken van polyhedra. De sfeer die de ribben in het midden raakt heet de middensfeer S 1 en de sfeer die de grensvlakken in hun middelpunt raakt heet de binnensfeer S 2. Ze hebben allemaal hetzelfde middelpunt en dus zijn S 0, S 1 en S 2 concentrisch. Elk van de hoeken die samen komen in een vertex is een inwendige hoek ( γ) van het polygoon. De totale hoek rondom een punt is dus, wat minder moet zijn dan 2π. Anders zouden de ribben namelijk allemaal in hetzelfde vlak liggen. Het is dan geen polyhedron, maar een vlak gevuld met polygonen. Als groter zou zijn dan 2π, zouden de grensvlakken van de polyhedron het inwendige volume snijden. Wij houden ons alleen maar bezig met convexe polyhedra, waar dit niet het geval is. Dus kunnen we zeggen 4 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op Coxeter, Regular Polytopes, blz

10 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra Ook hier geldt natuurlijk weer p > 3, maar ook q > 3. Daarnaast moeten er uiteraard meer dan 2 polygonen in een vertex samen komen anders sluiten de ribben niet aan. Samen met die twee voorwaarden kunnen we afleiden dat Dus weten we dat 3 < p < 5 en 3 < q < 5, en kunnen we afleiden dat er mogelijke combinaties van p en q zijn. Door de voorwaarde van convexiteit vallen er echter 4 van de 9 af, zoals hieronder is afgeleid * + Tetrahedron * + Octahedron * + Icosahedron 7

11 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra * + Kubus * + * + * + Dodecahedron * + * + We kunnen dus concluderen dat er maar 5 convexe reguliere polyhedra zijn. Deze bijzondere polyhedra zijn destijds door Plato bestudeerd en worden daarom ook wel de 5 Platonische lichamen genoemd. We zullen nu kort ingaan op hoe de Platonische soliden te construeren zijn. Een punt T en een regulier polygoon {p} vormen een piramide wanneer het punt T met elke vertex van het polygoon {p} verbonden wordt, waarbij het punt T zo gekozen is dat alle gecreëerde lijnstukken van gelijke lengte zijn. Wanneer het polygoon een gelijkzijdige driehoek {3} is en de lijnstukken vanaf de vertices naar het punt T even lang zijn als de ribben van deze driehoek, dan hebben we te maken met een tetrahedron. Wanneer het polygoon een vierkant {4} is en de lijnstukken vanaf de vertices naar het punt T even lang zijn als de ribben van het vierkant, dan hebben we een piramide met een vierkant als basis en 4 gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken. Door twee van deze piramides tegen elkaar te plaatsen zo dat ze een gemeenschappelijke basis hebben, is het mogelijk om een octahedron te construeren. Een prisma wordt getraceerd wanneer een {p} wordt verplaatst in een richting loodrecht op het vlak waar deze inligt. Door een prisma te nemen met een vierkant {4} als basis, en de afstand tussen het bovenvlak en het ondervlak gelijk te stellen aan de lengte van de ribbe van de beide vierkanten, construeren we een kubus. Door het bovenvlak van een prisma te draaien, krijgen we een antiprisma. Als we een antiprisma nemen waarvoor geldt p = 5, en op zowel het bovenvlak als het ondervlak van deze antiprisma een piramide plaatsen (dus met een {5} als basis), krijgen we een polyhedron waarin elke vertex is omringd door 5 gelijkzijdige driehoeken, dus de icosahedron. Er is geen simpele manier om de 5 e Platonische solide te construeren, maar we kunnen 6 vijfhoeken aan elkaar plaatsen zo dat er een vijfhoek is die omringd 8

12 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra wordt door 5 andere vijfhoeken en elke vijfhoek behalve de middelste 3 vijfhoeken raakt. We krijgen een soort van kom, waarvan we er twee op elkaar kunnen passen om een dodecahedron te vormen. 1.3 De formule van Euler in 3 dimensies 5 De formule van Euler legt een verband tussen het aantal vertices, ribben en grensvlakken van een polyhedron. Om de formule van Euler in 3 dimensies te kunnen begrijpen, is enige kennis van grafentheorie vereist. Grafentheorie is de tak van wiskunde die de eigenschappen van grafen bestudeert. Een graaf in het algemeen is een verzameling knopen (punten) verbonden door takken (lijnen). Grafentheorie wordt soms beschouwd als een onderdeel van topologie, een uitgroeisel van de meetkunde waar geen aandacht wordt besteed aan afstand en rechtlijnigheid, maar dat zich bezighoudt met de manier waarop figuren met elkaar verbonden zijn. Wij zullen ons alleen maar bezighouden met enkelvoudige, niet-gerichte grafen. Dit zijn grafen waarbij ten eerste elke 2 knopen verbonden zijn door ten meeste één tak, en ten tweede de takken geen richting hebben. De formele definitie van een enkelvoudige, niet-gerichte graaf G is G = (V,E), een geordend paar van een niet-lege, eindige verzameling V en een verzameling E bestaande nietgeordende tweetallen van elementen uit V, dus E [V] 2. De verzameling V bestaat dus uit de knopen, en de verzameling E uit de takken van de graaf. In het onderstaande plaatje wordt als voorbeeld de graaf G = (E,V) weergegeven, waarbij E = {1,2,3} en V = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. 4 Elke graaf G heeft een duale graaf G*. 5 Een duale graaf is te construeren door in elk ingesloten vlak (waarbij het oneindige vlak dat de graaf omgeeft ook als ingesloten vlak wordt beschouwd) een knoop te plaatsen en vervolgens van deze knopen elk paar te verbinden waarvan de bijbehorende vlakken een tak gemeenschappelijk hebben. Elke tak van de duale graaf snijdt dan de bijbehorende tak van de originele graaf. Een graaf met N 0 knopen, N 1 takken en N 2 vlakken levert dus een duale graaf op met N 2 knopen, N 1 takken en N 0 ingesloten vlakken. Hierbij wordt elk van de N 2 knopen van de duale graaf omgeven door een vlak van de originele graaf. Dualiteit is een symmetrische relatie, wat inhoudt dat elke graaf de duale graaf van zijn duale graaf is oftewel G = G**. Ten slotte is een boom een graaf die aan de volgende eigenschappen voldoet: (1) De graaf bevat geen kringen, wat ketens zijn van opeenvolgende takken waarbij het beginpunt van de eerste tak samenvalt met het eindpunt van de laatste tak. 5 De formule van Euler is op vele manieren te bewijzen, maar wij hebben gekozen voor het bewijs van von Staudt, zoals deze beschreven is in Coxeter, Regular Polytopes, blz geraadpleegd op 30 december geraadpleegd op 29 december

13 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra (2) De graaf is samenhangend, wat inhoudt dat er voor iedere 2 knopen i en j een keten van opeenvolgende takken is tussen i en j. Het aantal N 0 knopen en N 1 takken van een boom voldoen aan de volgende gelijkheid Een Schlegel-diagram is gedefinieerd als een projectie van een polytoop in n-dimensionale ruimte op (n-1)-dimensionale ruimte. Het Schlegel-diagram van polyhedra is te beschouwen als een graaf, waarbij de N 0 punten kunnen worden beschouwd als de knopen, de N 1 ribben als de takken van en de N 2 grensvlakken als de ingesloten vlakken van de graaf. 6 Beschouw een willekeurige boom T 1 waarvan de knopen de N 0 vertices van de Schlegel-graaf G S zijn, en waarvan de takken N 0 1 van de N 1 takken van G S zijn. De takken van de duale graaf van de Schlegel-graaf G S * die afkomstig zijn van de takken van de graaf G S die geen onderdeel uitmaken van de boom T 1, vormen nu een graaf G 2. Van de graaf G 2 zijn de takken volledig gescheiden van de boom T 1, omdat alle takken van G 2 niet afkomstig zijn van takken van de boom T 1. Hieruit volgt dat de graaf G 2 voldoet aan de volgende eigenschappen: (1) De graaf G 2 kan bevat geen kringen, omdat kringen in deze graaf de originele graaf in 2 vlakken zou verdelen. Beide vlakken zouden knopen van de boom T 1 bevatten, waardoor deze niet meer samenhangend zou zijn, wat per definitie onmogelijk is. (2) De graaf G 2 is samenhangend, omdat de enige manier waarop er tussen 2 knopen i en j geen keten mogelijk zou zijn is als een kring van de boom T 1 de graaf G 2 zou onderbreken, maar bomen hebben per definitie geen kringen. Dus kunnen we de conclusie trekken dat G 2 ook een boom is, met N 2 punten en dus met N 2 1 takken. We weten dat alle takken van G 2 afkomstig is van een tak van de graaf G 1, en dat elk van de N 1 takken van de graaf G S of een van deze takken is, of een tak is van de boom T 1. Hieruit kunnen we de conclusie trekken dat Hieruit kunnen we de formule van Euler afleiden, namelijk: In de onderstaande afbeelding is het bovenstaande bewijs geïllustreerd in het Schlegeldiagram van een tetrahedron. Hierbij stelt de rode graaf G S * voor, de groene stippellijn T 1 en de blauwe stippellijn T 2. Te zien is dat, overeenkomstig met de beschreven theorie, alle takken van T 2 gescheiden zijn van de takken van T geraadpleegd op 6 januari

14 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra 1.4 De formule van Euler en reguliere polyhedra 7 Wanneer we het polyhedra bestuderen, kunnen we een aantal verbanden leggen tussen N 0, N 1 en N 2. We zien namelijk dat in elke vertex q ribben bij elkaar komen, maar elke ribbe verbindt twee vertices en wordt dus wanneer we het aantal ribben tellen met behulp van q twee keer meegeteld. Dus de helft van het aantal vertices maal q is het aantal ribben, dus Ieder grensvlak heeft p ribben, maar elke rib is gemeenschappelijk aan twee polygonen. De helft van het aantal zijvlakken maal p is dus het aantal ribben, dus Door de twee bovenstaande formules samen te voegen, krijgen we Stel. Dan geldt er, waaruit volgt De formule van Euler N N N 2 geeft ook al een verband aan. Door de hierboven gemaakte conclusies in te vullen krijgen we We kunnen nu N 0, N 1 en N 2 in p en q uitdrukken ( ) Hieruit volgt samen met Uit deze formules is af te leiden dat de kubus en de octahedron een gelijke hoeveelheid ribben hebben, maar een omgekeerde hoeveelheid vertices en grensvlakken. Een dergelijke relatie tussen polyhedra noemen we dualiteit. De tetrahedron is duaal aan zichzelf. Voor de icosahedron en de dodecahedron geldt ook een duale relatie. Duale polyhedra passen precies in elkaar, zoals in de onderstaande afbeeldingen is weergegeven voor respectievelijk de dodecahedron en de kubus. 7 De formules die in deze en de volgende paragraaf bewezen worden zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 13, 23 11

15 Hoofdstuk 1: Reguliere polygonen en polyhedra 1.5 De formule van Descartes Eerder beschreven we dat de hoeken bij een vertex in totaal minder moeten zijn dan 2π. Het verschil tussen de totale hoek en 2π noemen we δ. De totale hoek is zoals eerder bewezen, en dus geldt voor δ dat We kunnen δ ook uitdrukken in N 0, zoals hieronder is aangetoond ( ) ( ) We hebben aangetoond dat, en dus is de formule van Descartes te herleiden tot 1.6 Vertexfiguren 8 We hebben gedefinieerd dat een polyhedron regulier is, als er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: (1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon. (2) Alle grensvlakken zijn gelijk. (3) De vertices zijn alle op dezelfde wijze omringd met grensvlakken. Er is echter een veel simpelere manier om regulariteit te definiëren, namelijk met behulp van vertex figuren. Het vertexfiguur van een vertex P van een polygoon, is het lijnstuk dat de middelpunten van de twee aangrenzende ribben verbindt. 8 Voor een reguliere polygoon {p} met ribben van lengte 2l, kan de lengte van het vertex figuur als volgt worden afgeleid: (1) Beschouw het vertexfiguur AB, waarbij A en B middelpunten zijn van 2 opeenvolgende ribben van {p}. (2) Het rib waar A op ligt is zo door te trekken, dat geldt dat de lengte van AC gelijk is aan de lengte van de zijde waar A op ligt, oftewel 2l. (3) Nu is, dus kunnen we gebruik maken van goniometrische formules. (4) In geldt nu dat (5) Dus kunnen we concluderen dat de lengte van het vertexfiguur gelijk is aan Het vertexfiguur van een vertex P van een polyhedron, is de polygoon waarvan de ribben de vertexfiguren zijn van alle omliggende grensvlakken. Zo is het vertexfiguur van elk punt van een kubus een gelijkzijdige driehoek. Met behulp van vertexfiguren kunnen we regulariteit voor polyhedra nu op de volgende manier definiëren. Een polyhedra is regulier, indien er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: (1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon. (2) Van alle vertices is het vertexfiguur een reguliere polytoop. 8 Alle definities in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 16 en Coxeter, Introduction to geometry, blz geraadpleegd op 10 januari

16 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten Omdat alle grensvlakken volgens deze definitie regulier zijn, weten we dat alle ribben van de polyhedron van gelijke lengte zijn. Daarnaast weten we, omdat volgens deze definitie alle vertexfiguren regulier zijn, dat alle grensvlakken gelijk zijn. Als een vertex P van een polyhedron namelijk aan verschillende grensvlakken zou grenzen zou het vertexfiguur van die vertex zijden van verschillende lengte hebben, namelijk 2l cos( /p) voor verschillende waarden van p. Elk van de hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is ook gelijk. Dit is het geval omdat alle hoeken tussen grensvlakken die in een vertex P voorkomen, corresponderen met een hoek in de basis van een piramide met het vertexfiguur van P (wat per definitie een reguliere polygoon is en dus gelijke hoeken heeft) als basis en het punt P als top. Elk grensvlak van deze piramide is een gelijkzijdige driehoek met zijden l, l en 2l cos( /p). Het aantal zijden q van de basis, kan niet verschillen zonder de hoek tussen aangrenzende grensvlakken te veranderen. Hieruit kunnen we concluderen dat q hetzelfde is voor alle vertices, en dus dat alle vertexfiguren gelijk moeten zijn. Samengevat is een reguliere polyhedron een polytoop {p,q}, waarvan de grensvlakken {q} s zijn met zijde 2l en de vertexfiguren {p} s zijn met zijde 2l cos( /p), en waarvan we weten dat aan de hand van de definitie van regulariteit de volgende eigenschappen af te leiden zijn: (1) Alle ribben van de polyhedron zijn gelijk. (2) Elk van de hoeken tussen aangrenzende grensvlakken is gelijk. (3) Alle reguliere vertexfiguren zijn gelijk. 1.7 Quasi-reguliere polyhedra 10 Wanneer we alle vertexfiguren van een regulier polyhedron nemen ontstaat er een nieuw polyhedron met ribben. We stellen nu voor het gemak dat dit nieuw polyhedron ribben heeft van lengte 2n. Dit polyhedron bestaat uit die vertexfiguren en de kleinere {p} s die ontstaan door het verbinden van de vertexfiguren. Met andere woorden, dit polyhedron bestaat uit het convexe omhulsel van de vertexfiguren. Deze polyhedra worden quasi-reguliere polyhedra genoemd, omdat ze gedeeltelijk aan de voorwaarden voor regulariteit voldoen. Ze voldoen namelijk aan de volgende voorwaarden (1) Elk grensvlak is een reguliere polygoon. (2) Alle (niet-reguliere) vertexfiguren zijn gelijk. Hieruit is af te leiden dat alle ribben van quasi-reguliere polyhedra gelijk zijn, met lengte 2l. Ook volgt uit de definitie dat alle hoeken tussen aangrenzende vlakken gelijk zijn, en dat elk grensvlak omringt is door grensvlakken van een andere soort. De quasi-reguliere polyhedra worden genoteerd als, -, waarbij p en q staan voor de twee verschillende reguliere polygonen waarvan de polyhedra gemaakt is. Deze getallen kunnen niet gebruikt worden voor de formules in het voorgaande hoofdstuk, omdat deze getallen niet voor hetzelfde staan als in het vorige hoofdstuk. Natuurlijk staat, - voor hetzelfde figuur als, -. Een, - kan zowel met een {p,q} als met een {q,p} geconstrueerd worden. Op de volgende pagina is bijvoorbeeld aangegeven hoe een { } uit zowel een {3,4}, dus octahedron, en een {4,3}, dus een kubus, geconstrueerd kan worden. Deze quasi-reguliere polyhedron wordt een cuboctahedron genoemd. 10 De definities in deze paragraaf zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz. 17,18 13

17 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten Hieronder staat weergegeven hoe een { } uit zowel een {3,5}, dus icosahedron, en een {5,3}, dus een dodecahedron, geconstrueerd kan worden. Deze heet een icosidodecahedron. Als er in een vertex van een, - r {p} s en r {q} s samenkomen, is dit natuurlijk hetzelfde voor elke vertex. Het vertexfiguur is dan een polygoon met 2r ribben, waarvan dan lengte om en om gelijk is aan 2l cos( /p) en 2l cos( /q). De hoeken in de grensvlakken van een quasi-reguliere polyhedron moeten natuurlijk minder zijn dan 2π, dus geldt Hierin moeten p en q beiden groter dan of gelijk zijn aan 3, omdat {p} en {q} anders geen polygonen zijn. Dus weten we dat r altijd gelijk is aan 2, en dus dat van alle quasi-reguliere polyhedra het vertexfiguur een rechthoek is. De enige oplossingen van deze vergelijkingen (met r = 2) zijn { { }, { } en }. De { } is gewoon een octahedron, dus een reguliere polyhedron, maar deze voldoet dus ook aan de eigenschappen van een quasi-reguliere polyhedron. 14

18 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten 2. Tegelingen en honingraten 2.1 Tegelingen 11 Een tegeling is een oneindig vlak gevuld met polygonen die precies aansluiten en niet overlappen. Een bekende voorbeelden van tegelingen zijn tegelvloeren. Reguliere tegelingen zijn gemaakt van één soort regulier polygoon. Ze worden hetzelfde genoteerd als het reguliere polyhedron, dus met het Schläfli-symbool {p,q}, maar bij tegelingen is de som van de hoeken van alle polygonen in één vertex gelijk aan 2π. Met andere worden, δ = 0. We kunnen nu het volgende afleiden De enige mogelijke oplossingen zijn. Er zijn dus maar 3 reguliere tegelingen namelijk {3,6}, {4,4} en {6,3}, welke hieronder in de genoemde volgorde zijn weergegeven. Met de formule van Descartes kunnen we zien dat een tegeling een oneindige hoeveelheid punten bevat, wat te verwachten is aangezien een tegeling een oneindig vlak is. We zien dat We kunnen een tegeling niet alleen op een plat vlak definiëren, maar ook op het oppervlakte van een sfeer. Het oppervlakte van deze sfeer is niet begrensd, maar is wel eindig (dus met een niet-oneindig oppervlakte). Voorbeelden van sferische tegelingen zijn de strandbal en de voetbal. Reguliere sferische tegelingen worden op een zelfde manier genoteerd als polyhedra, dus met het Schläfli-symbool {p,q}. Hier staat p uiteraard voor het soort polygoon en is q het aantal polygonen dat samenkomt in één vertex. Het is natuurlijk zo dat de hoeken van alle polygonen in één vertex gelijk zijn aan 2π. Polygonen die zich op het oppervlakte van een sfeer bevinden, hebben ribben die een onderdeel zijn van cirkels binnen de betreffende sfeer door het middelpunt van die sfeer. 11 Deze paragraaf is grotendeels gebaseerd op geraadpleegd op 5 januari 2011, en Coxeter, Regular Polytopes, blz. 58,59 15

19 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten Daarom zullen we deze sferische polygonen noemen, om ze te onderscheiden van normale polygonen. In de onderstaande afbeelding is se sferische tegeling {3,5} te zien. Sferische tegelingen hebben veel gemeen met polyhedra. In feite is het zo dat alle niet-meetkundige eigenschappen (met andere woorden, alle eigenschappen die niet met lengte of rechtheid te maken hebben) van een sferische tegeling {p,q} gelijk zijn aan die van de corresponderende polyhedron. Zo hebben de sferische tegeling {3,5} en het polyhedron {3,5} exact dezelfde vertices. De hoeken van sferische polygonen zijn simpel te berekenen met behulp van de formule van Descartes. Deze zijn namelijk gelijk aan de som van de hoeken van polygonen in de corresponderende polyhedron en de sferische overmaat, oftewel δ gedeeld door het aantal polygonen in een vertex, dus q. De hoek ε in een sferische polygoon is dus Deze formules is redelijk logisch, want in één vertex komen q polygonen samen, waarvan de som van alle hoeken gelijk is aan 2π. Zoals gezegd hebben sferische tegelingen veel overeenkomsten met polyhedra. Zo zijn van een sferische tegeling ook het aantal punten, vertices, ribben en polygonen gelijk aan die van de corresponderende polyhedron. Een interessant gevolg hiervan is dat de formule van Euler ook geldt voor sferische tegelingen. Als we van een vlakke tegeling een bepaald ingesloten deel van een tegeling met N 2 1 polygonen, N 1 ribben en N 0 vertices kiezen, en het oneindige vlak dat dit deel omringd ook beschouwen als één polygoon, krijgen we een eindige verzameling polygonen waarvoor de formule van Euler ook geldt. 2.2 Honingraten 12 Honingraten zijn oneindige ruimten opgevuld met polyhedra (ook wel cellen genoemd) die precies op elkaar aansluiten en niet overlappen. Een honingraat is regulier wanneer alle polyhedra regulier en gelijk zijn. Reguliere honingraten worden genoteerd met het Schläfli-symbool {p,q,r}, waarin p en q voor de polyhedra {p,q} staan en r voor het aantal polyhedra staat dat een rib omringt. De enige reguliere honingraat die aan deze voorwaarden voldoet is {4,3,4}, oftewel een ruimte gevuld met kubussen. Elke vertex behoort aan 8 kubussen, elke rib is een onderdeel van 4 kubussen en elk polygoon is onderdeel van 2 kubussen. 12a geraadpleegd op 6 januari b De definities van regulier, quasi-regulier en semi-regulier voor honingraten zijn afkomstig van Coxeter, Regular Polytopes, blz

20 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten Het vertexfiguur van een vertex P van een honingraat, is de polyhedron waarvan de grensvlakken de vertexfiguren zijn van P met alle omliggende polyhedra. In een vertex waarin r {p,q} s samenkomen, is het vertexfiguur een polyhedron {q,r}. Het soort grensvlak van het vertexfiguur is dus afhankelijk van hoeveel {p} s er aan elke vertex grenzen in elk van de polyhedra van de honingraat. Het aantal grensvlakken dat samenkomt in één vertex van het vertexfiguur is dus afhankelijk van het aantal polyhedra dat om één ribbe liggen. Het vertexfiguur van de regelmatige honingraat {4,3,4} is een {3,4}, oftewel een octahedron Quasi-reguliere honingraten Een honingraat is quasi-regulier wanneer de cellen van de honingraat regulier zijn, maar de vertexfiguren quasi-regulier. Er is ook maar één quasi-reguliere honingraat, namelijk de honingraat die bestaat uit tetrahedra en octahedra. Deze wordt genoteerd als { }, omdat hij bestaat uit {3,3} s en {3,4} s. De hoek tussen aangrenzende vlakken is gelijk aan 70,529ᵒ in tetrahedra en aan 109,471ᵒ in octahedra. Het valt gelijk op de som van deze hoeken gelijk is aan 180ᵒ, waaruit we de conclusie kunnen trekken dat deze figuren inderdaad samen een honingraat kunnen vormen waarin elke rib 2 octahedra en 2 tetrahedra raakt. Het vertexfiguur van een vertex P van een { } bestaat uit gelijkzijdige driehoeken (het vertexfiguur in een tetrahedron) en vierkanten (het vertexfiguur van een octahedron). We weten dat er om elke rib 2 octahedra en 2 tetrahedra liggen, dus is het vertexfiguur van { } een polyhedron waarin in elke vertex 2 vierkanten en 2 gelijkzijdige driehoeken samenkomen, met andere woorden een cuboctahedron Semi-reguliere honingraten Wanneer we van een reguliere honingraat {4,3,4} alle vertexfiguren nemen, krijgen we een rooster van octahedra waarvan elke vertex gemeenschappelijk is aan 2 octahedra. Naast octahedra worden er ook cuboctahedron ingesloten, er is dus een honingraat mogelijk van deze 2 polyhedra. Deze honingraat is in het onderstaande plaatje weergegeven. Dit is een semi-reguliere honingraat omdat de polyhedra zowel regulier als quasi-regulier zijn en de vertexfiguren geen van beide. Deze honingraat wordt genoteerd met het Schläfli-symbool, -. 17

21 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten Zoals te zien is elke vertex in deze honingraat omringd door 4 cuboctahedra (welke een rechthoek als vertexfiguur heeft) en 2 octahedra. Hieruit kunnen we afleiden dat het vertexfiguur in een punt van de honingraat een balk is. 2.3 De formule van Euler in honingraten en 4 dimensies We kunnen ook een formule opstellen met het aantal deelpolytopen in een honingraat, met behulp van de formule van Euler voor 3 dimensies. We zeggen dat een ingesloten deel van de honingraat N 3 1 polyhedra heeft, N 2 polygonen, N 1 ribben en N 0 vertices. De oneindige ruimte die dit deel omgeeft beschouwen we, net als in 2 dimensies, als één polyhedron. In totaal zijn er dus N 3 polyhedra. We zullen gebruik maken van het getal N jk, dat staat voor het aantal k-dimensionale deelpolytopen die een bepaalde j-dimensionale deelpolytoop raken. Zo geldt bijvoorbeeld N 10 = 2, want elke lijn wordt begrenst door twee punten, en N 23 = 2, want elk vlak is gemeenschappelijk aan 2 polyhedra in een honingraat. Voor lijnen en polygonen geldt respectievelijk dat N 20 = N 21, omdat bij een polygoon het aantal ribben gelijk is aan het aantal vertices, en N 12 = N 13, omdat in een honingraat elke lijn aan net zoveel vlakken als polyhedra grenst. Het is duidelijk dat voor de sommen en geldt dat. Als voorbeeld hiervan kunnen we kijken naar polyhedra. We nemen j = 3 en k = 2. De som is nu gelijk aan twee keer het aantal ribben in de polyhedron, aangezien elke rib twee keer geteld word (in polyhedra is elk rib gemeenschappelijk aan twee grensvlakken). De som is ook twee keer het aantal ribben, aangezien elk apart element van de sommatie N 23 gelijk is aan 2, en de som genomen wordt over alle k s. Door de formule van Euler toe te passen op één polyhedron van de honingraat, krijgen we het volgende Door de formule van Euler toe te passen op een vertexfiguur van de honingraat, dus niet van één bepaalde polyhedron, krijgen we de onderstaande formule. Hierin staat N 01 voor het aantal ribben dat samenkomt in één vertex van de honingraat, en dus voor het aantal punten van het vertexfiguur van de honingraat. Op een zelfde manier staat N 02 voor het aantal ribben van het vertexfiguur, en staat N 03 voor het aantal grensvlakken van het vertexfiguur. De deze twee formules te sommeren over alle cellen en alle vertices van de honingraat (van het gekozen deel, niet van de hele honingraat), krijgen we volgende 18

22 Hoofdstuk 2: Tegelingen en honin graten (de sommaties zijn hier ) (de sommaties zijn hier ) ( ) ( ) ( ) ( ). We weten dat (1), aangezien. (2), aangezien. (3), wat duidelijker genoteerd kan worden als Dus kunnen we de bovenstaande formule herleiden tot Deze formule geldt niet alleen maar voor honingraten, maar ook voor polychora. In het laatste hoofdstuk zullen we deze formule generaliseren Dit bewijs is een uitgebreide variant van het bewijs geleverd in Coxeter, Regular Polytopes, blz

23 Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s 3. Introductie tot 4 dimensies 3.1 Dimensionale analogie Om een redelijk begrip te ontwikkelen van de 4 e dimensie, is dimensionale analogie een onmisbaar instrument. Dimensionale analogie is het bestuderen hoe wiskundige relaties en eigenschappen in (n-1) dimensies zich verhouden tot wiskundige relaties en eigenschappen in n dimensies, en daaruit afleiden hoe dezelfde wiskundige eigenschappen in n dimensies zich verhouden tot die in (n+1) dimensies. Dimensionale analogie stelt ons tot op bepaalde hoogte ertoe in staat om de elementaire eigenschappen van polytopen in 4 dimensies (en later ook in hogere dimensies), af te leiden uit de eigenschappen van polyhedra en polygonen, en in sommige gevallen zelfs lijnstukken en punten. Zo is bijvoorbeeld bekend dat een lijn wordt ingesloten door 2 punten, dat een vierkant wordt ingesloten door 4 lijnen en dat een kubus wordt ingesloten door 6 vlakken. Het is aan de hand van deze getallen te verwachten dat de vierdimensionale analoog van een kubus, de hyperkubus, wordt ingesloten door 8 kubussen. Dit geldt niet als sluitend bewijs (dat zullen we later leveren), maar kan wel als richtlijn wordt gebruikt. 3.2 Flatland Zoals gezegd is het door middel van dimensionale analogie mogelijk op eigenschappen van (n+1)-dimensionale ruimte af te leiden, door te bestuderen hoe n-dimensionale ruimte zich verhoudt tot (n-1)-dimensionale ruimte. Om gevoel te krijgen voor de eigenschappen van 4-dimensionale ruimte, kunnen we bestuderen hoe een hypothetisch tweedimensionaal wezen een begrip zou kunnen ontwikkelen van 3-dimensionale ruimte. Een goede manier waarop een tweedimensionaal wezen zich driedimensionale ruimte zou kunnen voorstellen, is door het simpelweg te beschouwen als een oneindige verzameling tweedimensionale deelruimten (oftewel vlakken), opgestapeld in een 3 e dimensie, elk op infinitesimaal kleine afstand van de aangrenzende vlakken. In welke richting deze 3 e dimensie gaat zal het tweedimensionale wezen niet kunnen begrijpen, aangezien zijn ruimtelijk inzicht zich beperkt tot dimensie 2 en lager. Op deze zelfde manier kan een 0-dimensionaal wezen zich een 1-dimensionale ruimte voorstellen als een oneindige verzameling punten opgestapeld in de 1 e dimensie, en kan een 1-dimensionaal wezen zich een 2-dimensionale ruimte voorstellen als een oneindige verzameling lijnen. Om deze kennis in een wat meer concrete zin zichtbaar te maken, zou het tweedimensionale wezen de doorsneden kunnen bestuderen van 3-dimensionale figuren, bijvoorbeeld de kubus. Het 3-dimensionale figuur is op deze manier voor te stellen als een oneindige verzameling van deze doorsneden, waarvan elk het deel is van het figuur dat zich in één bepaalde deelruimte van de 3-dimensionale ruimte bevindt. Om een kubus, of een hypervierkant zoals het tweedimensionale wezen het waarschijnlijk zou noemen, te construeren kan op de volgende manier van dimensionale analogie gebruik worden gemaakt 20

24 Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s (0) Een punt wordt gebruikt om een specifieke positie in een ruimte aan te duiden. Een punt heeft geen lengte, oppervlakte, of hoger-dimensionale analogieën hiervan, en is dus 0-dimensionaal. (1) Door dit punt een willekeurige richting over een bepaalde afstand in een rechte lijn te bewegen, wordt er een lijnstuk getraceerd. Een lijnstuk is dus een 1-dimensionaal object. (2) Door deze lijn een richting loodrecht op zichzelf (dus in de 2 e dimensie) over een afstand gelijk aan zijn lengte in een rechte lijn te bewegen, wordt er een vierkant getraceerd. Een vierkant is dus een 2-dimensionaal object. (3) Door dit vierkant een richting loodrecht op zichzelf (dus in de 3 e dimensie) over een afstand gelijk aan de lengte van het in stap 1 getraceerde lijnstuk in een rechte lijn wordt te bewegen, wordt er een kubus getraceerd. Een kubus is dus een 3-dimensionaal object. Met behulp van deze (ietwat simplistische) definitie van een kubus, zou het tweedimensionale wezen kunnen bestuderen hoe de doorsnede van een kubus in een vlak eruit ziet, en zo een idee kunnen krijgen van de 3-dimensionale analoog van het vierkant. Afhankelijk van de manier waarop de kubus geroteerd is, kan de doorsnede alles zijn van een punt tot een zeshoek. Op dezelfde manier kunnen wij als 3-dimensionale wezens een beeld krijgen van de 3-dimensionale ruimte door deze voor te stellen als een oneindige verzameling 3-dimensionale deelruimten, opgestapeld in de 4 e dimensie, elk infinitesimaal kleine afstand van de aangrenzende deelruimten. Een 4-dimensionaal figuur is op deze manier voor te stellen als een oneindige verzameling van deze doorsneden, waarvan elk het deel is van het figuur dat zich in één bepaalde 3-dimensionale deelruimte van de 4-dimensionale ruimte bevindt. We zouden een hyperkubus, de 4-dimensionale analoog van een kubus, als volgt kunnen definiëren:. (4) Door een kubus een richting loodrecht op zichzelf over een afstand gelijk aan de lengte van het in stap 1 getraceerde lijnstuk in een rechte lijn te bewegen, wordt er een hyperkubus getraceerd. Een hyperkubus is dus een 4-dimensionaal object. De constructie van een hyperkubus vanuit een punt wordt in de onderstaande afbeelding weergeven. 14 Ook kan er een beter begrip worden ontwikkeld van (n+1)-dimensionale ruimte met behulp van projecties waar we, samen met een meer gedetailleerde behandeling van de doorsnedes van zowel de kubus als de hyperkubus, later dieper op in zullen gaan. 14 Deze manier van het construeren van een hyperkubus wordt door zeer veel auteurs gebruikt. Deze constructie is een variant van de constructie op Coxeter, Introduction to geometry, blz

25 Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s 3.3 Euclidische ruimte in 4 dimensies In de wiskunde, als ook in de natuurkunde, is de dimensie van een bepaalde ruimte of object gedefinieerd als het minimale aantal coördinaten wat nodig is om elk punt in de ruimte te specificeren. Een n-dimensionale ruimte is gedefinieerd als de verzameling van alle punten die worden verkregen wanneer we n+1 niet-gelijke punten nemen die niet in één (n-1)-dimensionale ruimte liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en ten slotte alle punten nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. 15 Zo bestaat een vlak, of een 2-dimensionale ruimte, uit alle punten die verkregen worden wanneer we drie punten nemen die niet op dezelfde lijn liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle punten nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. Een Euclidische ruimte van dimensie n, genoteerd als E n, wordt gedefinieerd aan de hand van een Cartesiaans coördinatenstelsel. Het Cartesiaanse vlak in E 2 is een 2-dimensionaal coördinatenstelsel met 2 loodrechte assen, elkaar snijdende in de oorsprong O. Voor elke as moet noodzakelijk een oriëntatie bepaald zijn, die aangeeft in welke richting de as positief en negatief is. Dit coördinatenstelsel definieert een punt aan de hand van een tweetal coördinaten, welke gedefinieerd kunnen worden als de afstanden (met teken, dus mogelijk negatief) van de loodrechte projecties van het betreffende punt op twee loodrechte assen, respectievelijk de x-as (de lijn y = 0) en de y-as (de lijn x = 0) tot de oorsprong, genoteerd als (x,y). Cartesiaanse coördinatenstelsels hebben analogen in elke reële dimensie. Een Cartesiaans coördinatenstelsel in E 3 wordt gedefinieerd met 3 onderling loodrechte assen, en dus ( ) = 2 onderling loodrechte vlakken door de oorsprong. Dit is het geval omdat een vlak wordt bepaald aan de hand van 3 punten, en dus ook bepaald kan worden aan de hand van 2 snijdende lijnen. Elk punt in E 3 gedefinieerd aan de hand van een drietal coördinaten, welke gedefinieerd zijn als de afstanden van de loodrechte projecties van het punt op de drie loodrechte vlakken, respectievelijk het yz-vlak (het vlak x = 0), het xz-vlak (y = 0) en het xy-vlak (z = 0), genoteerd als (x,y,z). Hiernaast is weergegeven hoe een coördinaat van een punt kan worden bepaald door het projecteren van het punt op één van de drie loodrechte vlakken door de oorsprong. Een fundamentele eigenschap van een n-dimensionale ruimte, is de mogelijkheid van n onderling loodrechte lijnen door een punt O. 16 Analoog aan de definities van het twee- en driedimensionale coördinatenstelsel, wordt een Cartesiaans coördinatenstelsel in E 4 gedefinieerd met 4 onderling loodrechte assen door de oorsprong. Dit is per definitie onmogelijk in ons 3-dimensionale universum, net zoals 3 loodrechte assen een onmogelijkheid zijn in het Cartesiaanse vlak. Vierdimensionale ruimte is zoals gezegd te beschouwen als een oneindige verzamelingen 3-dimensionale deelruimten. Een 3-dimensionale deelruimte wordt meestal een hypervlak genoemd. Een hypervlak is gedefinieerd als alle punten die verkregen worden wanneer we 4 punten nemen die niet op één vlak liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle punten nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. De definitie van 4-dimensionale ruimte is bestaat uit alle punten die verkregen worden wanneer we 5 punten nemen die niet op hetzelfde 15 Manning, Geometry of four dimensions, blz Coxeter, Regular Polytopes, blz

26 Hoofdstuk 3: Introductie tot 4 dimensie s hypervlak liggen, alle punten nemen die lineair zijn met 2 van die punten, en vervolgens alle punten nemen die lineair zijn met de dan verkregen punten. In E 4 zijn er ( ) = 4 onderling loodrechte hypervlakken door de oorsprong. Dit is het geval omdat een hypervlak wordt bepaald aan de hand van 4 punten, en dus ook bepaald kan worden aan de hand van 3 snijdende lijnen. Elk punt in E 4 wordt gedefinieerd aan de hand van een viertal coördinaten, welke gedefinieerd zijn als de afstanden van de loodrechte projecties van het punt op vier loodrechte hypervlakken, respectievelijk het x 2 x 3 x 4 - hypervlak (x 1 = 0), x 1 x 3 x 4 - hypervlak (x 2 = 0), x 1 x 2 x 4 - hypervlak (x 3 = 0) en het x 1 x 2 x 3 - hypervlak (x 4 = 0). In het algemeen geldt dat in n-dimensionale ruimte E n, een Cartesiaans coördinatenstelsel wordt gedefinieerd met n onderling loodrechte assen, en dus met ( ) onderling loodrechte (n-1)-deelruimten door de oorsprong. Dit is het geval omdat n-dimensionale ruimtes worden bepaald aan de hand van n+1 punten, en dus ook bepaald kan worden aan de hand van n snijdende lijnen. Elk punt in E n wordt gedefinieerd aan de hand van n coördinaten. Een coördinaat x N is de afstand van de loodrechte projectie van het punt op de (n-1)-deelruimte x n = 0. 23

27 Hoofdstuk 4: Projectie 4. Projectie 4.1 Projectie in het algemeen Een projectie in het algemeen is een meetkundige transformatie, waarbij een n-dimensionale ruimte tot een (n-1)-dimensionale ruimte wordt gereduceerd. Er zijn verschillende projectiemethodes, maar wij zullen ons alleen maar richten op perspectivische projectie. Deze projectiemethode heeft, net als alle andere projectiemethoden, eenvoudige veralgemeniseringen in hogere dimensies. Wij zullen ons allereerst focussen op projectie van een driedimensionale ruimte op een projectievlak, en later zullen wij kort ingaan op projectie van een vierdimensionale ruimte op een driedimensionale projectieruimte. 4.2 Projectie in twee en drie dimensies Om een idee te krijgen van wat projectie inhoudt, zullen we eerst ingaan op projectie in 2 dimensies, dus de projectie van een tweedimensionale projectieruimte op een (eendimensionale) projectielijn. Naast een projectielijn definiëren we ook een waarnemer E, waarbij E niet op de projectielijn l ligt. De perspectivische projectie p van E op l is de transformatie die elk punt A E afbeeldt op het punt A, oftewel p: A A, wat het snijpunt is van lijn AE en projectielijn l. Om de formules voor de coördinaten van A enigszins te simplificeren, nemen we aan dat de projectielijn samenvalt met de x-as, en dat de waarnemer E zich op de negatieve y-as bevindt. 17 Te zien is dat, omdat. Hieruit volgt waarbij ez is gedefinieerd als de afstand van E tot de projectielijn, oftewel z E. Bij projectie in drie dimensies, dus de projectie van een driedimensionale projectieruimte op een (tweedimensionaal) projectievlak, definiëren we in plaats van een projectielijn l een projectievlak V. De perspectivische projectie p van E op l is nu de transformatie die elk punt A E afbeeldt op het punt A, wat het snijpunt is van lijn AE en projectievlak V. We nemen aan de V samenvalt met het xy-vlak, en dat E zich op de negatieve z-as bevindt. Voor de coördinaten van A geldt nu: 17a geraadpleegd op 10 november b geraadpleegd op 10 november

28 Hoofdstuk 4: Projectie Deze formules op dezelfde manier af te leiden als de projectieformule in twee dimensies. In de aangegeven projectie van een kubus op een projectievlak, is te zien dat afstanden en hoeken vertekend zijn. In werkelijkheid zijn alle ribben van de kubus even lang en zijn alle hoeken 90. Zo lijken de zijvlakken van de kubus in de projectie op trapezia, terwijl deze in werkelijkheid natuurlijk vierkanten zijn. 4.3 Projectie in vier en meer dimensies We hebben gezien dat om een n-dimensionale ruimte te reduceren tot een (n-1)-dimensionale ruimte, we gebruik kunnen maken van de formules van perspectivische projectie. Bij het afleiden van de projectie-formules in 2 dimensies zagen we dat er bij perspectivische projectie p: A A voor punt A geldt Dit kunnen we in n dimensies generaliseren tot het coördinaat x N (N = 1, 2,..., n) De onderstaande afbeelding is een projectie van hyperkubus op een 3-dimensionale projectieruimte, welke vervolgens geprojecteerd is op een 2-dimensionaal projectievlak om te kunnen worden weergegeven op papier. Net zoals bij een projectie van de kubus zijn afstanden en hoeken vertekend. Zo lijkt geen van de driedimensionale elementen die de hyperkubus bevat op een kubus, terwijl elk van deze elementen in werkelijkheid wel een kubus is. De beste eigenschap van projecties, en de reden dat er veel situaties zijn waarin ze meer bruikbaar zijn dan doorsnedes, is dat de topologische eigenschappen van de geprojecteerde polytoop intact blijven. Dit houdt in dat er duidelijk te zien is welke vertices met elkaar verbonden zijn, en waar zich vlakken en zo mogelijk hoger-dimensionale analogen hiervan zich bevinden. 25

29 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus 5. Doorsnede van een hyperkubus Om een beter begrip te kunnen ontwikkelen van de hyperkubus, hebben we een programma ontwikkeld dat in staat is de doorsnede van een hyperkubus met het hypervlak x 4 = 0 te bepalen. Het is niet goed mogelijk om aan de hand van doorsnede precieze eigenschappen van de hyperkubus af te leiden, maar het is een zeer goed instrument om een algemeen idee te krijgen van de bouw van een hyperkubus. 5.1 Indexeren van vlakken en hypervlakken Om het snijvlak van een hyperkubus (met ribbe r) met het hypervlak x 4 = 0 te vinden, beschouwen we deze als bestaande uit 8 onafhankelijke kubussen. Noodzakelijkerwijs is het eerste wat we moeten het indexeren van deze kubussen. Hiervoor wordt er bij het starten van het programma niet alleen een hyperkubus gecreëerd, welke we de reële hyperkubus zullen noemen, maar wordt er ook nog een tweede hyperkubus gecreëerd, welke we de binaire kubus zullen noemen. Van beide hyperkubussen zijn de coördinaten van alle punten gedefinieerd met het middelpunt van de hyperkubus als oorsprong. De reële hyperkubus kan transformaties en rotaties ondergaan, maar de binaire hyperkubus kan dit niet en heeft per definitie een ribbe van lengte 1. De binaire hyperkubus heeft dus altijd de coördinaten (½±½, ½±½, ½±½, ½±½). De indices van de kubussen die de hyperkubus bevat worden gedefinieerd aan de hand van de binaire hyperkubus, maar aangezien de indices bepaald worden op het moment dat beide hyperkubussen gecreëerd worden, blijven deze ook geldig wanneer de reële hyperkubus gaat roteren. De beste methode om de hyperkubus te indexeren is op basis van welk coördinaat binnen de binaire hyperkubus constant is. De indexering die dit oplevert wordt weergegeven in de onderstaande tabel. index kubus \coördinaat x 1 x 2 x 3 x [0,1] [0,1] [0,1] 1 1 [0,1] [0,1] [0,1] 2 [0,1] 0 [0,1] [0,1] 3 [0,1] 1 [0,1] [0,1] 4 [0,1] [0,1] 0 [0,1] 5 [0,1] [0,1] 1 [0,1] 6 [0,1] [0,1] [0,1] 0 7 [0,1] [0,1] [0,1] 1 Zoals te zien is gelden de indexen 0 en 1 voor binaire kubussen waarin het x 1 -coördinaat constant is, de indexen 2 en 3 voor binaire kubussen waarin het x 2 -coördinaat constant is, de indexen 4 en 5 voor binaire kubussen waarin het x 3 -coördinaat constant is en de indexen 6 en 7 voor binaire kubussen waarin het x 4 -coördinaat constant is. Bij elk van deze tweetallen correspondeert de lage, even index met de kubus waarvoor geldt x n = 0 en de hoge, oneven index met de kubus waarvoor geldt x n = 1. Om de index van een kubus om te rekenen naar de dimensie van het constante coördinaat, zullen we gebruik maken van de volgende formule: 26

30 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus Hierbij staat %2 voor het feit dat we rekenen met modulus 2. Modulair rekenen is een vorm van geheeltallig rekenen, waarbij de modulus m als bovengrens fungeert. 18 Met modulus m wordt er alleen maar gerekend met de getallen 0, 1,, m-1. Als uit een berekening een uitkomst volgt die groter dan of gelijk is aan de modulus, moet er eerst m van de uitkomst afgetrokken worden totdat het resultaat kleiner is dan m. Er wordt dus als het ware gewerkt met een cirkelvormige getallenlijn. Bij het rekenen met modulus 2 wordt er alleen gerekend met de getallen 0 en 1. Zo geldt bijvoorbeeld = 0. Wij zullen van nu af aan bij zowel deze coëfficiënten als bij incidentiegetallen gebruik uitsluitend gebruik maken van rekenen met modulus 2. De grootte van het coördinaat voor respectievelijk de binaire kubussen en de reële kubussen is te berekenen met de formule voor de binaire kubus voor de reële kubus Om het snijvlak van een kubus met het hypervlak x 4 = 0 te vinden, zullen we deze op hun beurt beschouwen als 6 losse vlakken. Voor het indexeren van de grensvlakken van een kubus zullen we op een vergelijkbare manier te werk gaan als bij het indexeren van de kubussen. We zullen opnieuw gebruik maken van de binaire hyperkubus. De indexering van de grensvlakken van kubussen is tegen de eerste verwachting in veel gecompliceerder dan zijn hoger-dimensionale tegenpool, aangezien er een patroon gezocht moet worden in het onveranderde coördinaat van de grensvlakken van meerdere kubussen. Het zou een monnikenwerk zijn om voor elk van de 8 kubussen een aparte indexering te definiëren, dus streven we naar een gegeneraliseerde indexering, die geldt voor alle kubussen. De beste, zo niet de enige manier om dit te bereiken is door in een bepaalde binaire kubus niet te werken met x 1, x 2, x 3, en x 4, maar met x A, x B, x C en x D. Hierbij zijn x A, x B en x C de drie variabele coördinaten in een kubus, en is x D het invariabele coördinaten. Hierbij hebben A, B en C voor elke index kubus vaststaande waarden, welke worden weergegeven in de onderstaande tabel. index kubus \coördinaat x A x B x C x D (constant) De grensvlakken worden voor elke kubus gedefinieerd aan de hand van x A, x B en x C, dus niet aan de hand van x 1, x 2, x 3 en x 4. De indices van de grensvlakken, die dus voor elke kubus gelden, worden weergegeven in de onderstaande tabel. Index vlak \coördinaat x A x B x C 0 0 [0,1] [0,1] 1 1 [0,1] [0,1] 2 [0,1] 0 [0,1] 3 [0,1] 1 [0,1] 4 [0,1] [0,1] 0 5 [0,1] [0,1] geraadpleegd op 28 september

31 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus Om deze indexering enigszins te verduidelijken is bij alle vlakken in het onderstaande Schlegeldiagram de index weergegeven. Om de index van een vlak om te rekenen naar de dimensie van het constante coördinaat, zullen we gebruik maken van de volgende formule. De formule heeft als uitkomst 1, 2 of 3, maar deze moeten geïnterpreteerd worden als A, B of C: De variabele coördinaten in een vlak met een bepaalde index kunnen worden weergegeven in de volgende tabel index vlak variabel coördinaat 1 variabel coördinaat 2 0 x B x C 1 x B x C 2 x A x C 3 x A x C 4 x A x B 5 x A x B 5.2 Indexeren van punten De laatste taak die nu nog verricht moet worden met betrekking tot indices is het indexeren van de punten van de kubussen. De punten in de binaire kubus, die worden genoteerd als (x A,x B,x C ), zijn uiteraard de punten (±1, ±1, ±1). Alle punten in de binaire kubus kunnen worden voorgesteld als één binair getal van 3 bits, waarbij elke bit in het binaire getal staat voor één coördinaat. De meest rechtse bit staat voor het x A -coördinaat, de middelste bit voor het x B -coördinaat en de meest linkse bit voor het x C -coördinaat. De index van een punt is in deze context de decimale weergave van het binaire getal dat zijn positie aangeeft. De coördinaten van een punt in een bepaalde kubus is nu als volgt uit te drukken ( ), door de (decimale) index op te splitsen in de bits van het binaire getal dat de positie van het punt aangeeft. Bij het creëren van een kubus, wat gebeurt op het moment dat het programma opstart, gebeuren er twee belangrijke dingen: (1) Er wordt, voor alle indices i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, een punt Q(x A, x B, x C ) gecreëerd behorende tot de binaire kubus, waarvan de coördinaten worden berekend met de bovenstaande formule voor het omzetten van een index in een punt. 28

32 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus (2) Er wordt, voor alle indices i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, een punt P(x 1, x 2,x 3,x 4 ) gecreëerd behorende tot de reële kubus, waarvan de coördinaten berekend worden door simpelweg het coördinaat van het corresponderende punt van de binaire kubus scalair te vermenigvuldigen met. De enige complicatie is dat er zorgvuldig gekeken moet worden welke coördinaten van P(x 1, x 2,x 3,x 4 ) variabel zijn. De coördinaten van dit punt moeten dus als volgt berekend worden: De letters A, B en C slaan hier uiteraard op de dimensie van het coördinaat. Nu geldt er voor het overige coördinaat x D dat. 5.3 Het lijn-object Alle algoritmes die vanaf nu beschreven worden, zijn algoritmes die in het programma bij elk nieuw frame uitgevoerd worden, dus bij benadering 25 keer per seconde. De eerste van deze algoritmes is het vinden van het eerste snijvlak van een kubus met het hypervlak x 4 = 0. Bij het creëren van de kubus, dus op het moment dat het programma start, wordt er voor elke kubus een abstract object gecreëerd, waar we naar zullen verwijzen met, of kortweg V. Op het moment van creëren is dit een lege verzameling. Aan kunnen echter dynamisch elementen, in ons geval punten worden toegevoegd. Het object is een geordende verzameling, in de zin dat er bekend is in welke volgorde de punten aan het object zijn toegevoegd. 5.4 Algoritme voor het vinden van het eerste snijvlak met x 4 = 0 Om het eerste snijvlak te vinden met x 4 = 0, wordt er het volgende gedaan. Ten eerste wordt het vlak met index 0 en het punt met index 0 geselecteerd. Naast dit punt wordt ook het punt geselecteerd dat verkregen wordt wanneer van het eerste variabele coördinaat (binnen het geselecteerde vlak, zie de tabel op de vorige pagina) wordt veranderd, in dit geval x B. Om de index van een punt (van de binaire kubus) S 2 te berekenen dat slechts verschilt in één coördinaat x N (hierbij geldt dat N = 1 overeen komt met x A, N = 2 overeen komt met x B en N = 3 overeen komt met x C ), zullen we gebruik maken van de volgende formule. Hierbij zijn de coördinaten van S 1 en S 2 altijd 0 of 1, aangezien dit punten van de binaire kubus zijn. Als een punt met index 7, dus Q 7 (1, 1, 1), bijvoorbeeld verplaatst wordt over x B, is de index van het tweede punt S 2 gelijk aan, dus Q 5 (1, 0, 1). Wij zullen de twee geselecteerde punten noteren als S 1, in dit geval het punt Q 1 (0, 0, 0), en S 2, in dit geval Q 3 (0, 1, 0). Dit doen we om te verduidelijken dat het hier gaat om tijdelijke selecties, en S 1 en S 2 dus zelf geen punten zijn. We zullen de index van het geselecteerde vlak weergeven met i V, nu geldt er dus i V = 0. Na het bepalen van S 2 wordt er nagegaan of er aan de volgende voorwaarde wordt voldaan ( ) ( ), 29

33 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus met andere woorden: één van de punten S 1 en S 2 ligt boven het hypervlak x 4 = 0, en het andere punt ligt onder het hypervlak. In het geval dat deze er aan deze voorwaarde wordt voldaan, worden de coördinaten van het snijpunt I van het lijnstuk S 1 S 2 met het hypervlak x 4 = 0 geïnterpoleerd. In deze afbeelding is te zien dat voor elk coördinaat x N van punt I geldt dat Het punt I is zowel te zien als een punt in 3-dimensionale ruimte (aangezien deze zich altijd in hetzelfde hypervlak x 4 = 0 bevindt), als een punt in 4-dimensionale ruimte met x 4 = 0. Wij zullen I beschouwen als een punt met 3 coördinaten. Dit zijn coördinaten gedefinieerd als (x 1, x 2, x 3 ), dus niet als (x A, x B, x C ). Vervolgens worden de volgende stappen nog drie keer uitgevoerd (1) S 1 wordt gelijkgesteld aan S 2, dus er wordt voor S 1 het punt geselecteerd dat aanvankelijk voor S 2 geselecteerd was. (2) S 2 wordt geselecteerd met behulp van de bovenstaande formule voor, waarbij N {2, 3} (want bij i V = 0 variëren alleen x B en x C ) en N is ongelijk aan de voorgaande N. (3) Als er aan de bovenstaande voorwaarde wordt voldaan wordt er een punt geïnterpoleerd, met behulp van de formule voor interpolatie. Als er voordat de controle van de bovenstaande voorwaarde vier keer is uitgevoerd 2 punten aan het object V zijn toegevoegd, worden deze stappen gestaakt en wordt er een volgend vlak geselecteerd (i V wordt dus veranderd). Het algoritme voor het vinden van de 2 snijpunten van de ribben van het vlak met index 0 en het hypervlak x 4 = 0 wordt wat duidelijker weergegeven in de onderstaande afbeelding. Hierin is de volgorde van de selectie van punten weergegeven. Als er geen snijpunten gevonden kunnen worden in het vlak met index 0, worden alle bovenstaande stappen gevolgd, maar dan met i V = 1. Mocht het het geval zijn dat er voor i V = 1 ook geen snijpunten worden gevonden, worden hetzelfde gedaan met i V = 2. We noteren de index van het eerste vlak waarin een snijlijn gevonden wordt met i V,start, dus er geldt i V,start {0,1,2}. Als er voor alle drie de gevallen geen snijpunten worden gevonden, is het onmogelijk dat de betreffende kubus x 4 = 0 snijdt. 30

34 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus 5.5 Algoritme voor het vinden van het aangrenzende vlak Als er wel 2 snijpunten worden gevonden is de volgende taak het vinden van het vlak (of beter gezegd van i V ), dat de lijn S 1 S 2 gemeenschappelijk heeft met het eerste vlak. Hierbij zijn S 1 en S 2 de geselecteerde punten op het moment dat het 2 e snijpunt van x 4 met het eerste vlak werd gevonden. Er is geen simpele methode of formule om het aangrenzende vlak te vinden. We zullen om deze te vinden gebruik maken van de weergegeven tabel. Nu wordt er voor elk van de 3 aangrenzende vlakken van S 1 gecontroleerd of er aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: (1) Het aangrenzende vlak van S 1 grens ook aan S 2. (2) Het vlak is ongelijk aan het voorgaande vlak. index punt 0 0, 2, 4 1 1, 2, 4 2 0, 3, 4 3 1, 3, 4 4 0, 2, 5 5 1, 2, 5 6 0, 3, 5 7 1, 3, 5 aangrenzende vlakken Er is maar één vlak wat aan deze beide voorwaarden voldoet, en dat is het vlak dat de lijn S 1 S 2 gemeenschappelijk heeft met het voorgaande vlak. 5.6 Algoritme voor het vinden van het volgende snijpunt In het nu geselecteerde vlak is al één snijpunt bekend, aangezien het 2 e snijpunt van het voorgaande vlak ook in dit vlak ligt. Het 2 e snijpunt wordt op gelijke wijze gevonden als de vorige snijpunten, er gebeurt namelijk het volgende (1) S 1 wordt gelijkgesteld aan S 2, dus er wordt voor S 1 het punt geselecteerd dat aanvankelijk voor S 2 geselecteerd was. (2) S 2 wordt geselecteerd met behulp van de formule voor, waarbij N twee waarden kan aannemen, namelijk de waarden die overeenkomen met de variabele coördinaten binnen het nu geselecteerde vlak. Ook is N ongelijk aan de vorige N. (3) Als er aan de voorwaarde ( ) ( ) wordt voldaan wordt er een punt geïnterpoleerd, met behulp van de formule voor interpolatie. Als er voordat deze stappen vier keer zijn uitgevoerd een snijpunt wordt gevonden wordt er een volgend vlak geselecteerd, volgens het algoritme dat hiervoor beschreven is. Als het vlak wat uit dat algoritme komt gelijk is aan het eerste vlak, dus i V = i V,start, dan is er een gesloten lijn gecreëerd. Dit is de lijn die het snijvlak van de betreffende kubus met het hypervlak x 4 = 0 voorstelt. Verrassend genoeg is het enige wat er na het definiëren van alle bovenstaande algoritmes nog moet gebeuren, het uitvoeren van dit algoritme voor alle 8 kubussen, waarna de volledige doorsnede van de hyperkubus met x 4 = 0 wordt weergegeven. Aangezien het snijvlak van elke aparte kubus een polygoon is, is deze doorsnede een polyhedron. Het algoritme van één kubus, waarvan het snijvlak met x 4 = 0 een zeshoek is, wordt duidelijker weergegeven in de afbeelding rechts. Hierin is weer de volgorde van de selectie van punten weergegeven en de volgorde van de selectie van vlakken in dikgedrukte letters. 31

35 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus Alle bovenstaande stappen worden dus uitgevoerd voor alle kubussen van de hyperkubus. Dit levert, als de kubus het hypervlak x 4 = 0 snijdt, een polygoon. De doorsnede van de hyperkubus is, als deze het hypervlak x 4 = 0 snijdt, dus een polyhedron met maximaal 8 grensvlakken, waarvan elk een polygoon is met maximaal 6 ribben. Dit wordt in de onderstaande afbeeldingen geïllustreerd. In de doorsnede hebben alle grensvlakken een andere kleur zodat zichtbaar is van welke kubus zij afkomstig zijn, welke hiernaast zijn weergegeven. Hieronder is ter verduidelijking in de projectie van een hyperkubus een groene kubus aangegeven. In deze bovenstaande doorsnedes zijn de groene grensvlakken afkomstig van deze kubus, dus van de kubus met index 2. 32

36 Hoofdstuk 5: Doorsnede van een hyperkubus Het is belangrijk te zien dat als het hypervlak zich in de hoek van de hyperkubus bevindt, de doorsnede bij benadering een tetrahedron is. Dit zullen we later gebruiken voor het definiëren van regulariteit voor polytopen in 4 dimensies. De rotatie van de hyperkubus in 4 dimensies gebeurt met behulp van rotatiematrices, welke kort in het volgende hoofdstuk aan bod zullen komen. 33

37 Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s 6. Rotatie in 4 dimensies 6.1 Introductie tot matrices Een mxn-matrix is een rechthoekig getallenschema met m rijen en n kolommen. 19 Als m gelijk is aan n wordt er gesproken van een vierkante matrix. Een element van een matrix op rij r en in kolom k wordt genoteerd als A rk. Zo is in de onderstaande vierkant matrix A 23 = 7. A = [ ] Het vermenigvuldigen van matrices levert een nieuwe matrix op. Een mxn-matrix kan alleen vermenigvuldigd worden met een nxp-matrix, wat een mxp-matrix oplevert. Vermenigvuldiging met een matrix met andere afmetingen is niet gedefinieerd. Een opmerkelijke eigenschap van matrixvermenigvuldiging is dat deze niet-commutatief is, wat wil zeggen dat de uitkomst van een vermenigvuldiging afhangt van welk getal zich aan welke kant van het vermenigvuldigingsteken bevindt. In feite is het in de meeste gevallen zo dat een vermenigvuldiging niet gedefinieerd is als de volgorde omgedraaid word behalve bij vermenigvuldiging van vierkante matrices, maar zelfs dan is de vermenigvuldiging in het algemeen niet-commutatief. Het vermenigvuldigen van een mxn-matrix A en een nxp-matrix B levert een mxp-matrix op, waarvan de elementen als volgt zijn 20 In de afbeelding links wordt dit duidelijker weergegeven. Het element van de mxpmatrix AB, die de uitkomst is van de vermenigvuldiging van de mxn-matrix A en de nxp-matrix B, op rij r en in kolom k is dus de som van de producten van de elementen van rij r van matrix A en kolom k van matrix B. Een voorbeeld van een willekeurige matrixvermenigvuldiging is hieronder weergegeven. [ ] [ ] [ ] [ ] De eenheidsmatrix is de matrix die, wanneer een matrix A met deze matrix vermenigvuldigd wordt, een matrix oplevert die gelijk is aan A. Een eenheidsmatrix bestaat uit alleen maar enen, met uitzondering van de elementen waarvoor geldt dat r = k. Hieronder wordt gedemonstreerd dat voor een 2x2-matrix, de vermenigvuldiging inderdaad geen effect heeft. * + * + [ ] * geraadpleegd op 18 januari a geraadpleegd op 18 januari b Beauregard, Linear algebra, blz

38 Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s 6.2 Rotatiematrices 21 Een rotatiematrix is een matrix die gebruikt wordt om (een verzameling van) punten te draaien. In twee dimensies heeft elke rotatiematrix de volgende vorm [ ] Deze matrix draait een gegeven punt om de oorsprong, door deze te vermenigvuldigen met de positiematrix van het punt, op de volgende manier [ ] [ ] * + [ ], dus na een rotatie over een hoek α, krijgt het punt de volgende coördinaten In drie dimensies kan er om drie assen gedraaid worden, wat respectievelijk de volgende matrices oplevert [ ] [ ] [ ] Bij verdere bestudering van deze matrices vallen twee dingen op (1) Bij vermenigvuldiging van de positiematrix met elk van de drie matrices, verandert het coördinaat van de as waarom gedraaid wordt niet. (2) De rotatiematrix is een eenheidsmatrix, met uitzondering van een (vierkante) deelmatrix die gelijk is aan de rotatiematrix voor 2 dimensies. Er veranderen dus, net als bij tweedimensionale rotatie, twee coördinaten van het gedraaide punt. Rotatiematrices zijn gedefinieerd voor elke dimensie, maar wij zullen ons alleen bezighouden met rotatiematrices in 4 dimensies. Net als bij rotatiematrices in lagere dimensies veranderen er per rotatie maar twee coördinaten, er wordt dus in 4 dimensies om een vlak gedraaid. Rotatiematrices in 4 dimensies zijn, net als die in 3 dimensies, eenheidsmatrices met uitzondering van een vierkante deelmatrices die gelijk is aan de rotatiematrix voor 2 dimensies. Als voorbeeld is hieronder de rotatiematrix voor rotatie om het x 1 x 2 -vlak weergegeven. [ ] 21 geraadpleegd op 19 januari

39 Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s 7. Polytopen in 4 en hogere dimensies 7.1 Polychora Om de eigenschappen van polychora, de 4-dimensionale analogen van polygonen en polyhedra, af te leiden zullen wij nogmaals gebruik maken van dimensionale analogie. Deze afleidingen zijn geen sluitende bewijzen, maar zij bieden wel een handvat voor het redeneren met polychora. Op enkele van deze eigenschappen zullen we later nog dieper ingaan, met onder andere analogen en ook formules die voor elke gehele dimensie gelden. We weten dat alle polygonen bestaan uit een oppervlakte, dus een 2-dimensionale ruimte, die wordt ingesloten door lijnen en dat polyhedra bestaan uit een volume, dus een 3-dimensionale ruimte, die wordt ingesloten door polygonen. Dus kunnen we afleiden dat polychora bestaan uit een hypervolume, dus een 4-dimensionale ruimte, die wordt ingesloten door polyhedra, oftewel door hypervlakken. We kunnen hiernaast nog een belangrijke eigenschap van polychora afleiden. Voor een polyhedron is gedefinieerd dat elk rib van de polyhedron gemeenschappelijk moet zijn aan twee van de grensvlakken van de polyhedron. Het is simpel te zien dat voor polygonen geldt dat elk punt gemeenschappelijk is aan twee van de ribben van de polygoon, aangezien elke vertex zowel het eindpunt is van een rib als het beginpunt van het volgende rib. Hieruit kunnen we afleiden dat in een polychora elk vlak gemeenschappelijk moet zijn aan twee van de hypervlakken van de polychoron. Opnieuw zullen we ons alleen maar bezighouden met convexe polytopen. Een convexe polychoron is een polytoop waarvan geen van de hypervlakken die de polychoron begrenst het inwendige hypervolume van de polychoron snijdt. Samengevat voldoet een convexe polychoron dus per analoog aan de volgende eigenschappen: (1) Het inwendige hypervolume van de polychoron wordt begrensd door (een gesloten verzameling van) polyhedra of hypervlakken. (2) In een polychoron is elk vlak gemeenschappelijk aan twee polyhedra. (3) Geen van de begrenzende hypervlakken snijdt het inwendige hypervolume. 7.2 Vertexfiguren bij polychora We hebben een vertexfiguur van een punt P van een polyhedron gedefinieerd als de polygoon waarvan de ribben de vertexfiguren zijn van alle omliggende grensvlakken. Op analoge wijze kunnen we definiëren dat het vertexfiguur van een punt P van een polychoron, de polyhedron is waarvan de grensvlakken de vertexfiguren zijn van alle omliggende grenspolyhedra, gegeven dat al deze vertexfiguren in hetzelfde hypervlak liggen. 22 Om dit wat concreter weer te geven zullen we nu aantonen dat het vertexfiguur van elk punt van een hyperkubus een tetrahedron als vertexfiguur heeft, zoals we al zagen bij het bestuderen van de doorsnedes van de hyperkubus. Omdat een tetrahedron 4 punten heeft en een hypervlak wordt gedefinieerd aan de hand van 4 punten, liggen al deze punten, en daarmee alle vertexfiguren waar deze tetrahedron uit bestaat, per definitie op één hypervlak. 22 Coxeter, Regular Polytopes, blz

40 Hoofdstuk 7: Polytopen in 4 en hogere dimensie s 7.3 De vertexfiguren van een hyperkubus Allereerst gebruiken we een hyperkubus met de punten (1±1, 1±1, 1±1, 1±1). Als we kunnen bewijzen dat voor deze hyperkubus geldt dat alle vertexfiguren tetrahedra zijn is dit uiteraard gelijk bewezen voor alle hyperkubussen, aangezien alle hyperkubussen congruent zijn. Een tetrahedron in 3 dimensies kan heel simpel geconstrueerd worden door 4 vertices van een kubus te kiezen. In de afbeeldingen links is te zien dat alle ribben van zo n tetrahedron diagonalen zijn van een grensvlak van de kubus. In termen van dimensies kunnen we zeggen dat, aangenomen dat dit een kubus is waarvan de ribben evenwijdig zijn met de assen van het coördinatenstelsel, van de 3 coördinaten van elke combinatie van twee van de punten van de tetrahedron er 2 verschillen. De verschillen hebben natuurlijk allemaal dezelfde grootte, aangezien alle ribben van een kubus even lang zijn. Bij een kubus met ribbe r levert een constructie op deze manier een tetrahedron op met ribben van lengte. We kunnen dus zeggen dat als voor 4 gegeven punten dat elk tweetal punten in 2 coördinaten verschilt, en al deze verschillen gelijk zijn, we te maken hebben met een tetrahedron. Het volgt uit deze voorwaarde dat de tetrahedron gelijke ribben heeft, namelijk bij een verschil van r tussen coördinaten. Als er niet aan deze eis voldaan wordt is het niet onmogelijk dat we toch te maken heb met een tetrahedron, maar als er wel aan voldaan is weten we zeker dat we wel met een tetrahedron te maken hebben. In feite is het voor elke tetrahedron mogelijk om het coördinatenstelsel zo te definiëren dat er wel aan deze eis voldaan wordt. In een hyperkubus komen in elke vertex 4 ribben samen. Het vertexfiguur bevat alle punten die halverwege al deze ribben liggen. Aangezien we een hyperkubus gebruiken met de punten (1±1, 1±1, 1±1, 1±1), weten dat alle punten van het vertexfiguur op een afstand van 1 van de betreffende vertex liggen. We kunnen nu makkelijk beredeneren dat elk punt van het vertexfiguur in twee coördinaten verschilt, met een verschil van 1. Zo verschillen, van het punt halverwege het rib in de x 1 -richting en het punt halverwege het rib in de x 2 -richting, het x 1 -coördinaat en het x 2 coördinaat met een verschil van 1. We weten dus ook dat het lijnstuk x 1 x 2 een lengte heeft van. We weten dat de 4 punten een 3-dimensionaal figuur en geen 4-dimensionaal figuur definiëren, omdat een hypervlak gedefinieerd wordt met vier punten en de 4 punten dus per definitie in één hypervlak liggen. Hierbij hebben we bewezen dat alle vertexfiguren van een hyperkubus tetrahedra zijn. Hieronder wordt een hyperkubus weergegeven met het vertexfiguur van één punt. 37