WAFYLISIBICA Theorie 4

Transcriptie

1 WAYLISIBICA Theorie 4. Mechanica De mechanica is het onderdeel van de tuurkunde dat over het algemeen het meest herkenbaar is in het dagelijks leven. In dit hoofdstuk wordt in beknopte vorm een overzicht gegeven van de (klassieke) mechanica. Zo zullen verschillende typen beweging, de krachten die deze beweging veroorzaken en vormen van energie die daarbij van toepassing zijn aan bod komen... Beweging Er wordt wel eens gezegd: Panta rhei, wat zoveel betekent als Alles beweegt. Als je eens om je heen kijkt, blijkt deze stelling ook absoluut waar te zijn. Alles om je heen verplaatst zich voortdurend. Natuurkundigen gaan bij dat om zich heen kijken echter een stapje verder. Zij proberen te achterhalen hoe een waargenomen beweging exact plaatsvindt en/of wat de oorzaak is van die beweging. Om bewegingen te alyseren, zijn diverse grootheden aan de orde. Toch zijn er eigenlijk slechts vier grootheden nodig om een beweging compleet vast te kunnen leggen: de tijd, de plaats, de snelheid en de versnelling. De eenvoudigste van deze grootheden is de tijd (symbool t). Deze behoort tot de zeven basisgrootheden en wordt standaard uitgedrukt in de eenheid seconde (s). De plaats is wat lastiger vast te leggen, afhankelijk van de gegeven situatie. Zo kan er gekeken worden ar de positie van een voorwerp op een bepaald tijdstip. Deze positie wordt ook echt de plaats (symbool x(t); de plaats x op tijdstip t) genoemd. Er kan echter ook gesproken worden over de verplaatsing (s of x). Dit is de afstand die een voorwerp heeft afgelegd, gericht langs een rechte lijn. Tot slot kan er gekeken worden ar de afgelegde weg (s), die de totaal afgelegde afstand aanduidt. Voor zowel de plaats, de verplaatsing als de afgelegde weg geldt echter dat de eenheid de meter (m) is. In voorbeeld. wordt het verschil tussen plaats, verplaatsing en afgelegde weg verder toegelicht. Voorbeeld. In figuur. staat een foto afgebeeld van La grande roue, een groot reuzenrad. De straal van dit reuzenrad bedraagt 0 m. Op de foto zijn twee punten aangegeven, A en B, die exact tegenover elkaar liggen op het rad. De posities A en B zijn plaatsen. Door een (x,y)- coörditenstelsel vast te leggen, kunnen deze posities eenvoudig met coörditen worden vastgelegd. De getekende rechte pijl geeft een weergave van de verplaatsing x. De verplaatsing kan dus eenvoudig berekend worden: x r x 0 40 m De afgelegde weg s bij verplaatsing van punt A ar punt B beschrijft een cirkelboog, die in deze situatie bestaat uit een halve cirkel. Ook de afgelegde weg is dan te berekenen: s π r s π 0 64 m A ig..: La grande roue s B

2 WAYLISIBICA Theorie 5 De snelheid (v) die een bewegend voorwerp bezit, is een maat voor het tempo waarmee de beweging plaatsvindt. De snelheid geeft daarbij niets meer aan dan de grootte van de verplaatsing (of afgelegde weg) per tijdseenheid (dus per seconde). Aangezien verplaatsingen standaard in meter worden uitgedrukt, leidt dit tot de standaardeenheid meter per seconde (m/s) voor snelheid. Het zal je bekend zijn dat snelheid echter veel vaker wordt uitgedrukt in kilometer per uur (km/uur). Uiteraard is dit toegestaan en in veel situaties zelfs gewenst, maar in formules waarin een snelheid vermeld staat, dient deze altijd te worden uitgedrukt in m/s. In de praktijk bestaan er diverse typen bewegingen. Grofweg zijn deze in te delen in drie categorieën: bewegingen met een constante snelheid, versnelde bewegingen (bewegingen waarbij de snelheid in de loop van de tijd toeneemt) en vertraagde bewegingen (bewegingen waarbij de snelheid in de loop van de tijd afneemt). Om aan te geven in welke mate een beweging versneld of vertraagd is, heeft men het begrip versnelling geïntroduceerd. Deze grootheid geeft aan met welke waarde de snelheid toeneemt of afneemt per seconde. In formulevorm kan de definitie van versnelling als volgt worden weergegeven: v a t In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s ), v voor de snelheidsverandering (in m/s) en t voor het tijdsinterval waarin de snelheidsverandering plaatsvindt (in s). Hierbij dient te worden opgemerkt dat de snelheidsverandering v altijd bepaald wordt door de eindsnelheid te verminderen met de beginsnelheid. Dit heeft tot gevolg dat de versnelling een positieve waarde heeft als er sprake is van een versnelde beweging en een negatieve waarde als er sprake is van een vertraagde beweging... Eenparige beweging De meest eenvoudige bewegingsvorm is wel de eenparige beweging. Dit is een beweging die plaatsvindt met een constante snelheid. Een formule voor de plaats van een voorwerp dat een eenparige beweging uitvoert, is redelijk eenvoudig op te stellen: ( t) v t x( 0) x + In deze formule is x(t) de plaats op een tijdstip t (in m), v de snelheid (in m/s), t de tijd (in s) en x(0) de plaats van het voorwerp op tijdstip t 0 s (de startpositie, in m). Vaak wordt er echter voor gekozen de startpositie op 0 m te stellen. In plaats van de plaats kan dan onmiddellijk de verplaatsing s(t) berekend worden. De formule krijgt dan de vorm: s ( t) v t In de bewegingsleer is het gebruikelijk om grafieken te tekenen waarin de, van belang zijnde, grootheden (plaats, snelheid en later ook versnelling) staan uitgezet tegen de tijd. Voor een eenparige beweging 30 3 x (m) v (m/s) zien deze diagrammen eruit zoals weergegeven in figuur. ((x,t)-diagram) en.3 ((v,t)- diagram). 0 0 x (m) v (m/s) t (s) 0 t (s) ig..: (x,t)-diagram voor een eenparige beweging t (s) 0 t (s) ig..3: (v,t)-diagram voor een eenparige beweging.

3 WAYLISIBICA Theorie 6.3. Omgaan met bewegingsdiagrammen Zoals al aangegeven in paragraaf. is het in de bewegingsleer gebruikelijk om grafieken (diagrammen) te tekenen waarin de, van belang zijnde, grootheden (plaats, snelheid en versnelling) staan uitgezet tegen de tijd. Uit deze diagrammen is veel informatie af te leiden. Niet alleen door de, op de assen uitgezette, grootheden direct af te lezen, maar ook door de betreffende grafiek nog aan een dere inspectie te onderwerpen. In figuur.4 staat het (x,t)-diagram voor een eenparige beweging nogmaals weergegeven. Door waarden te verbinden aan de assen van de grafiek kan worden achterhaald dat de grafiek steiler zal verlopen als de snelheid groter wordt. De steilheid van de grafiek is blijkbaar een maat voor de snelheid van de beweging. Deze richtingscoëfficiënt kan berekend worden door twee punten (A en B) op de grafiek te kiezen en de desbetreffende verplaatsing x en het tijdsinterval t te bepalen. De snelheid wordt dan berekend volgens de formule: x v t x t B B x t A A 30 x (m) t (s) 0 t (s) ig..4: (x,t)-diagram voor een eenparige beweging. In de praktijk is het echter niet altijd mogelijk de richtingscoëfficiënt van een grafieklijn direct te bepalen. Als de grafiek immers geen rechte lijn beschrijft, is het niet mogelijk een richtingscoëfficiënt direct te bepalen. Om de snelheid op een tijdstip te kunnen berekenen, zal er een raaklijn moeten worden getekend aan de grafiek op het desbetreffende tijdstip. Een raaklijn is een rechte lijn die raakt aan een punt van de grafiek en die de richting van de grafiek in dat punt aangeeft. x (m) 0 0 A t B x Voorbeeld In figuur.5 staat het (x,t)- diagram weergegeven van een bewegend voorwerp. Doel van dit voorbeeld is het bepalen van de snelheid van het bewegende voorwerp op tijdstip t 6,0 s. Hiertoe dient er op het tijdstip een raaklijn te worden getekend, zie figuur.5. Op de raaklijn kunnen vervolgens twee punten worden gekozen, waarmee de waarde voor de verplaatsing x en het tijdsinterval t bepaald kunnen worden. De snelheid kan dan worden berekend: x x (m) t (s) t ig..5: (x,t)-diagram van een bewegend voorwerp. x 67 0 v ( 6,0) 9, 6 m/s t 0 3,0 Naast het bepalen van de richtingscoëfficiënt in een grafiek, is het tevens mogelijk om te bekijken of het oppervlak onder de grafiek betekenis heeft.

4 WAYLISIBICA Theorie 7 In figuur.6 staat het (v,t)-diagram voor een eenparige beweging nogmaals weergegeven. De grafiek laat duidelijk zien dat de snelheid constant is. Het oppervlak onder het diagram kan berekend worden door de snelheid v te vermenigvuldigen met het tijdsinterval t. Een snelheid vermenigvuldigt met een tijd leidt tot de verplaatsing. Uit de definitie van snelheid kan immers worden afgeleid: x v x v t t 3 v (m/s) t (s) 0 t (s) Het oppervlak onder een (v,t)-diagram stelt dus de verplaatsing voor. Zowel de richtingscoëfficiënt als het oppervlak kan worden afgeleid voor zowel een (x,t)-, een (v,t)- als een (a,t)-diagram. De resultaten hiervan staan weergegeven in tabel.. (x,t)-diagram (v,t)-diagram (a,t)-diagram richtingscoëfficiënt snelheid v versnelling a geen betekenis oppervlak geen betekenis verplaatsing x snelheidsverandering v Tabel.: Mogelijkheden met mechanica-diagrammen. v (m/s) t ig..6: (v,t)-diagram voor een eenparige beweging. v.4. Eenparig versnelde beweging In paragraaf.. is de eenparige beweging aan bod gekomen. Dit is een beweging die plaatsvindt met een constante snelheid. Een ander bewegingstype waar redelijk eenvoudig aan te rekenen is, is de eenparig versnelde beweging. Dit is een beweging die plaatsvindt met een constante versnelling. In de praktijk betekent dit dat de snelheid in de loop van de tijd voortdurend toeneemt (versnelling is positief) of afneemt (versnelling is negatief) met een constante waarde. Voor een eenparig versnelde beweging hebben de bewegingsdiagrammen standaard de vorm zoals weergegeven in figuur.7 ((s,t)-diagram),.8 ((v,t)- diagram) en.9 ((a,t)-diagram). Uit bovenstaande grafieken zijn formules op te stellen voor de eenparig versnelde beweging. 00 s (m) 80 0 v (m/s) 8 0 a (m/s ) t (s) 0 ig..7: (s,t)-diagram voor een eenparig versnelde beweging t (s) 0 ig..8: (v,t)-diagram voor een eenparig versnelde beweging t (s) 0 ig..9: (a,t)-diagram voor een eenparig versnelde beweging. De snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging luidt: ( t) a t v( 0) v + In deze formule staat v(t) voor de snelheid op een tijdstip t (in m/s), a voor de versnelling (in m/s ), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t 0 s (de beginsnelheid, in m/s). De verplaatsingsfunctie (in de meeste gevallen wordt er bij

5 WAYLISIBICA Theorie 8 versnelde bewegingen slechts gewerkt met de verplaatsing en niet met de plaats) voor een eenparig versnelde beweging luidt: s ( t) a t + v( 0) t In deze formule staat s(t) voor de verplaatsing op een tijdstip t (in m), a voor de versnelling (in m/s ), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t 0 s (de beginsnelheid, in m/s). Er moet drukkelijk worden opgemerkt dat, in de meeste praktijksituaties, beide vergelijkingen nodig zijn om een probleem op te lossen, zoals ook wordt toegelicht in voorbeeld 3. Voorbeeld 3 In figuur.0 staat een gedeelte van de baan weergegeven van de Goliath. Het treintje wordt langs de baan aan de rechterzijde van de foto opgehesen en stort zich vervolgens langs een steile helling ar beneden. Op de baan zijn twee punten (A en B) aangegeven die op een afstand van 6 m van elkaar liggen. In punt A staat het treintje genoeg stil, terwijl het in punt B een snelheid heeft van 58 km/uur. De beweging van het treintje is eenparig versneld. Bereken de versnelling van het treintje op dit gedeelte van de baan. Bij dit soort opgaven is het zaak een goed beeld te krijgen van de gegeven situatie en waarden die gegeven zijn. Een duidelijke weergave van de situatie staat in figuur.0 (maar een schematische tekening kan ook gewenst zijn). Verder is bekend: de verplaatsing tussen de punten A en B bedraagt 6 m: s ( t) 6 m de snelheid in punt A (de beginsnelheid) bedraagt 0 m/s: v ( 0 ) 0 m/s de snelheid in punt B bedraagt 58 km/uur: ( t) 58 v km/uur 6, m/s Deze gegevens kunnen worden ingevuld in de formules voor de eenparige beweging: s( t) a t + v( 0) t 6 a t v t a t + v 0 6, a t ( ) ( ) Er is nu een situatie ontstaan met twee vergelijkingen, waarin twee onbekenden te herkennen zijn (de versnelling a en de tijd t). Dit probleem kan worden opgelost door een van de vergelijkingen dusdanig om te schrijven dat hij kan worden ingevuld in de andere vergelijking:, a t 6 6 a t a t t invullen 6 6 6, t t 3, s 8,05 Dit tijdstip kan vervolgens worden ingevuld: ( 3,) 6, a 3, B v a 5, 0 m/s A ig..0: Een deel van de baan van Goliath.

6 WAYLISIBICA Theorie 9 Op het moment dat een voorwerp valt en dus alleen onderhevig is aan de zwaartekracht en er verder geen (of uwelijks) sprake is van luchtweerstand, zal de versnelling van het vallende voorwerp een constante waarde hebben. Het voorwerp voert derhalve een eenparig versnelde beweging uit met een versnelling van 9,8 m/s. Deze versnelling wordt de valversnelling g genoemd. De vergelijkingen voor de eenparig versnelde beweging kunnen dan geschreven worden als: ( t) g t + v( 0) t y v t g t + v 0 ( ) ( ) Daarbij moet worden opgemerkt dat de verplaatsing hier y(t) wordt genoemd omdat er sprake is van een verticale beweging en dat de beginsnelheid v(0) gelijk is aan 0 m/s als er sprake is van een valbeweging. Is er bijvoorbeeld sprake van een lancering (in verticale richting) dan is er echter wel sprake van een beginsnelheid..5. Horizontale worp Wanneer een voorwerp in horizontale richting gelanceerd wordt en vervolgens uitsluitend onderhevig is aan de zwaartekracht, is er sprake van een bijzondere bewegingsvorm die men de horizontale worp noemt. De baan die het voorwerp doorloopt, beschrijft een halve parabool, zoals weergegeven in figuur.. Alyse van deze twee-dimensiole bewegingsvorm levert op dat de horizontale component van de beweging eenparig is en dat de verticale beweging een valbeweging betreft. In figuur. is dit te zien doordat de vector voor de horizontale component van de snelheid (v x ) een constante grootte heeft, terwijl de vector voor de verticale component van de snelheid (v y ) groter wordt in de loop van de tijd. De formules die de horizontale worp beschrijven luiden: s x s y v y ( t) v t x g ( t) g t ( t) t iguur.: Een bal die in horizontale richting wordt weg geschoten beschrijft een horizontale worp. In deze formules staat s x (t) voor de verplaatsing in horizontale richting (in m), s y (t) voor de verplaatsing in verticale richting (in m), v x voor de horizontale component van de snelheid (in m/s), v y voor de verticale component van de snelheid (in m/s), g voor de valversnelling ( 9,8 m/s ) en t voor de tijd (in s)..6. Krachten Het begrip kracht wordt veelvuldig gebruikt in het dagelijks taalgebruik. Een kracht in de tuurkunde is echter een uwkeurig omschreven grootheid. Krachten zijn niet te zien. Alleen hun gevolgen zijn waarneembaar. Een gevolg van krachtwerking kan een vervorming van een voorwerp zijn en/of een snelheidsverandering van een voorwerp. De definitie van kracht kan worden omschreven als de eigenschap die het ene voorwerp

7 WAYLISIBICA Theorie 0 uitoefent op een ander voorwerp. Hoewel deze definitie erg vaag is, staan er toch een aantal interessante veronderstellingen in. Zo kan er uit geconcludeerd worden dat er voor krachtwerking altijd twee objecten nodig zijn. Een object dat de kracht uitoefent en een object dat de kracht ondervindt. Kracht is een vectorgrootheid. Dat wil zeggen dat een kracht zowel een grootte als een richting heeft, vergelijkbaar met grootheden als snelheid en versnelling. Verder bezit een kracht drie eigenschappen die inzicht geven in een situatie. Op de eerste plaats is dit de grootte van de kracht. Deze wordt uitgedrukt in Newton (N). Verder heeft een kracht een richting. Tot slot heeft een kracht een aangrijpingspunt. Dit aangrijpingspunt bepaalt voormelijk op welk voorwerp de krachtwerking plaatsvindt. iguur. toont een gedeelte van de helling waarlangs het treintje van de Robin Hood (houten achtbaan) wordt n opgehesen. Op het treintje werken in span deze situatie vier krachten. Allereerst is dit de zwaartekracht z, die aangrijpt in het zwaartepunt (middelpunt) van het treintje en loodrecht ar beneden gericht is (ar het w middelpunt van de aarde). Ook de helling oefent een kracht uit op het treintje, anders zou het treintje door z de helling heen zakken. Deze kracht wordt de normaalkracht n genoemd iguur.: Krachtwerking tijden het ophijsen van de Robin Hood. en deze staat loodrecht op de helling gericht. Verder is er een kabel aan het treintje bevestigd dat er voor zorgt dat het treintje langs de helling ar boven beweegt. De kracht in de kabel wordt de spankracht span genoemd en staat langs de helling ar boven gericht. Tot slot is er sprake van een wrijvingskracht w op het treintje. Een wrijvingskracht staat altijd gericht tegengesteld aan de bewegingsrichting en is hier dus langs de helling ar beneden gericht. In de situatie van figuur. zijn vier verschillende krachten aan bod geweest. In de praktijk bestaan er echter nog meer krachten. Een aantal daarvan staan met hun bijzonderheden weergegeven in tabel.. Kracht Zwaartekracht Symbool z Bijzonderheden De zwaartekracht is de kracht die de aarde uitoefent op ieder voorwerp dat zich op aarde bevindt. De zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt van een voorwerp en is altijd loodrecht ar beneden gericht (ar het middelpunt van de aarde). De zwaartekracht kan berekend worden met de formule: z m g Normaalkracht n In deze formule staat z voor de zwaartekracht (in N), m voor de massa (in kg) en g voor de valversnelling ( 9,8 m/s). De normaalkracht is een kracht die op een voorwerp werkt wanneer er sprake is van een ondersteunend oppervlak. De normaalkracht is altijd gericht loodrecht op dit ondersteunende oppervlak.

8 WAYLISIBICA Theorie Spierkracht spier De spierkracht is de kracht die uitgeoefend wordt door mens of dier. De spierkracht is altijd gericht in de richting waarin het voorwerp dat de kracht ondervindt, beweegt of kan gaan bewegen. Spankracht span De spankracht is de kracht die werkt in touwen, koorden of kabels. De spankracht is gericht in het verlengde van het betreffende koord. Veerkracht v De veerkracht is sterk vergelijkbaar met de spankracht. In situaties waarin veerkrachten van toepassing zijn, is er echter geen sprake van koorden maar van veren. Belangrijk verschil hierbij is ook dat de veerkracht toeneemt als de veer een grotere uitrekking vertoont. Dit verschijnsel wordt weergegeven door de wet van Hooke: v C u In deze formule staat v voor de veerkracht (in N), C voor de veerconstante (dit is een maat voor de stugheid van de veer, in N/m) en u voor de uitrekking (in m). Wrijvingskracht w De wrijvingskracht is een kracht die een beweging tegenwerkt. De wrijvingskracht is dan ook altijd gericht tegengesteld aan de bewegingsrichting of mogelijke bewegingsrichting van een voorwerp. Er bestaan drie vormen van wrijving: schuifwrijving, voor situaties waarin twee oppervlakken over elkaar heen schuiven, rolwrijving, voor situaties waarin wielen van aan de orde zijn, luchtweerstand, voor situaties waarin een voorwerp zich door de lucht beweegt (in de praktijk dus genoeg iedere situatie). Onderscheid in de drie vormen van wrijving is in de meeste situaties niet noodzakelijk. Daarom wordt er meestal over slechts één wrijvingskracht gesproken. Tabel.: Soorten krachten. In de meeste praktijksituaties, waarin krachten van toepassing zijn, werken meerdere krachten op één voorwerp. Hierdoor is het van belang om van deze krachten de resulterende kracht r te bepalen. Deze resulterende kracht, ook wel de somkracht genoemd, geeft de optelling van de werkende krachten weer, zowel wat betreft grootte als wat betreft richting. In voorbeeld 4 wordt een optelling van twee krachten weergegeven, gebruik makend van de zogeamde parallellogrammethode. Voorbeeld 4 In figuur. is een punt P weergegeven waarop twee krachten werken, en. De som van deze twee krachten kan verkregen worden door lijnen te tekenen vanuit de kop van de krachten en die evenwijdig lopen aan beide krachten. Het snijpunt bepaalt de kop van de resulterende kracht. P r iguur.: De parallellogrammethode toegepast.

9 WAYLISIBICA Theorie Het grote deel van de parallellogrammethode, zoals besproken in voorbeeld 4, is het gegeven dat het in deze methode altijd om een bedering gaat. Er moeten krachten getekend worden en de lengte van de krachtvectoren moet worden opgemeten en gekoppeld aan een krachtenschaal. De uwkeurigheid is bij deze methode niet altijd voldoende. Daarom is het in de meeste situaties wenselijk om op een meer rekenkundige wijze te werk te gaan. In paragraaf.7 wordt hierop der ingegaan. Het is echter zaak om bij een rekenkundige alyse van krachtwerking er voor te zorgen dat alle krachten in gelijke of tegengestelde richtingen wijzen. Krachten die in dezelfde richting werken, kunnen immers bij elkaar worden opgeteld en krachten die in een tegengestelde richting werken, kunnen van elkaar worden afgetrokken. Om dit te bewerkstelligen, dienen krachten ontbonden te worden. Voor het ontbinden van een kracht dient er een assenstelsel te worden gedefinieerd. In figuur.3 is de x-as horizontaal en de y-as verticaal gepositioneerd. In de praktijk is dit echter niet nodig. Er bestaan situaties waarin het handiger is de assen schuin te plaatsen. De x- en de y-as dienen onderling echter wel loodrecht op elkaar te staan. Op de assen ontstaan nu de x- en de y- componenten van de kracht. Bij dere bestudering blijkt dat de optelling van de krachten x en y weer tot de oorspronkelijke kracht leidt. Zoals in figuur.3 te zien is, is de hoek tussen de kracht en de x-as aangegeven. Aan de hand van deze hoek kan de grootte van de x-component van de kracht x berekend worden: x cos α x cosα Op een zelfde manier kan ook de y-component van de kracht y berekend worden: x sin α x sinα Hierbij moet wel worden opgemerkt dat bovenstaande formules geen standaardformules zijn. Ze gelden slechts in de situatie, zoals weergegeven in figuur.3. Mocht er een andere hoek gegeven zijn, ontstaan er andere formules. De regels voor sinus en cosinus (en eventueel tangens) zullen dus in iedere situatie apart bekeken moeten worden. y y α x iguur.3: Het ontbinden van een kracht. x.7 Krachtenevenwicht In paragraaf.6. zijn een aantal eigenschappen van krachten aan bod gekomen. In deze paragraaf wordt voormelijk gekeken ar voorwerpen die stilstaan of die bewegen met een constante snelheid. In figuur. stond een gedeelte van de helling weergegeven waarlangs het treintje van de Robin Hood wordt opgehesen. In de figuur is te zien dat er op het treintje vier krachten werken: de zwaartekracht z, de normaalkracht n, de spankracht span en de wrijvingskracht w. Als er van wordt uitgegaan dat het treintje met een constante snelheid de helling op wordt gehesen, dan zal de resulterende kracht op het treintje 0 N bedragen. Voor je gevoel is dit waarschijnlijk moeilijk te bevatten, maar toch is het zo. Later als de eerste wet van Newton besproken wordt, wordt hier op terug gekomen. Eenvoudiger te begrijpen is een situatie waarin een voorwerp stilstaat. Alle krachten die op dat moment op het voorwerp werken, heffen elkaar op. De resulterende kracht zal hier dus gelijk zijn aan 0 N. In formulevorm kan dit worden weergegeven door:

10 WAYLISIBICA Theorie 3 r r 0 N Wellicht de eenvoudigste situatie waarbij krachtenevenwicht optreedt, is bij een boek dat op tafel ligt. Op het boek zal de zwaartekracht werken en een normaalkracht die door de tafel op het boek wordt uitgeoefend. Deze twee krachten zijn even groot en tegengesteld gericht. Een lastiger situatie ontstaat als krachten niet in elkaars verlengde op een voorwerp werken. In voorbeeld 5 wordt deze situatie besproken. Voorbeeld 5 Op een punt P werken drie krachten. Twee van deze krachten, en, zijn getekend in figuur.4. De grootte van kracht bedraagt 60 N en de grootte van kracht bedraagt 35 N. De richtingen van beide krachten zijn aangegeven in figuur.4. Bereken de grootte en de richting van de kracht 3 die het geheel in evenwicht houdt. In figuur.4 zijn de krachten en ontbonden in hun x- en y-componenten. De grootte van deze componenten kan berekend worden:, x cos 40 ( ) ( 40 ) 46, 0 ( ) ( 40 ) 38, 6 ( ) ( 5 ) 9, ( ) ( 5 ) 33, 8, x 60 cos N sin 40, y, y 60 sin N sin 5, x, x 35 sin N cos 5, y, 35 cos N y y,y 60 N,x P 40,x x 5 35 N,y iguur.4: Krachtenevenwicht. Gegeven is dat punt P in rust is. De resulterende kracht op P is dus gelijk aan 0 N: r r 0 N In de praktijk betekent dit dat zowel de in de x- als in de y-richting de resulterende kracht gelijk is aan 0 N. Er wordt nu vanuit gegaan dat de kracht 3 gericht is ar rechtsboven in figuur.4. Kracht 3 heeft dus een positieve x- en een positieve y- component. Opstellen van een krachtenevenwicht leidt tot:, 0 N r x +, x, x 3, x + 46,0 9, + 3, x + 0 N, 0 N r y +, y, y 3, y + 38,6 33,8 + 3, x + 0 N 0 N 36, 9 N (dus gericht ar links) 3, x 0 N 4, 8 N (dus gericht ar beneden) 3, x

11 WAYLISIBICA Theorie 4 De aanme zei dat kracht ar rechtsboven gericht zou zijn (met een positieve x- en y-component). Deze aanme blijkt dus onjuist te zijn. Kracht 3 is gericht ar linksonder (met een negatieve x- en y-component). De grootte van kracht 3 kan berekend worden met de stelling van Pythagoras: 3 3, x 3, y + ( 36,9) + ( 4, ) ( 36,9) + ( 4,8) N 3 De richting van kracht 3 kan het best worden aangegeven met behulp van een hoek. Deze hoek is gedefinieerd ten opzichte van de (negatieve) x-as: tan α 3, y 3, x 4,8 tan α α 7, 4 36,9.8. Wetten van Newton De koppeling tussen beweging en krachtwerking werd voor het eerst geformuleerd door Isaac Newton (64 77), zie figuur.5. Hij formuleerde drie wetten waarmee hij achtereenvolgens verklaringen wist te geven voor bewegingen die plaatsvinden met een constante snelheid, bewegingen die plaatsvinden met een constante versnelling en de krachtwisselwerking tussen gekoppelde objecten. De eerste wet van Newton wordt ook wel de traagheidswet genoemd. Deze wet luidt: Als een voorwerp stilstaat of beweegt met een constante snelheid, dan is de, op het voorwerp werkende, resulterende kracht gelijk aan 0 N. Deze wet is eigenlijk ook al aan de orde geweest in paragraaf.7. Daar werd immers een situatie bekeken waarbij het voorwerp stilstond. Volgens de eerste wet van Newton blijkt stilstaan, tuurkundig gezien (wat betreft krachtwerking), dus hetzelfde te zijn als bewegen met een constante snelheid (eenparige beweging). De tweede wet van Newton beschrijft situaties waarin er wel sprake is van een resulterende kracht. Na onderzoek is gebleken dat een voorwerp waarop een constante resulterende kracht werkt een eenparig versnelde beweging (constante versnelling) uitvoert. De tweede wet van Newton kan worden samengevat aan de hand van de volgende formule: r r m a r iguur.5: Isaac Newton In deze formule geldt dat r staat voor de resulterende kracht (in N), m voor de massa (in kg) en a voor de versnelling (in m/s ). De formule geeft tevens aan dat de richting van de resulterende kracht gelijk is aan de richting van de versnelling. In de praktijk betekent dit dat een voorwaarts gerichte kracht een versnelling teweeg brengt, terwijl een achterwaarts gerichte kracht een vertraging (negatieve versnelling) tot gevolg heeft. De tweede wet van Newton wordt in pretparkattracties veelvuldig toegepast. Krachten en de versnellingen die deze tot gevolg hebben, zijn in een attractiepark immers aan de orde van de dag. In voorbeeld 6 wordt een veel voorkomende situatie der beschouwd.

12 WAYLISIBICA Theorie 5 Voorbeeld 6 In figuur.6 staat een foto weergegeven van een gedeelte van de baan van Goliath, de hoogste achtbaan van Nederland. Het gedeelte, omlijnd door een streepjeslijn, is vergroot en schematisch weergegeven in figuur.7. De lengte van het omlijnde gedeelte van de baan bedraagt 35 m. Verder is bekend dat de hellingshoek 60 bedraagt en dat het treintje een massa heeft van 70 kg. In deze opgave worden wrijvingskrachten verwaarloosd. Bereken de snelheid die het treintje bereikt als dit met een verwaarloosbare snelheid boven op de top van de baan beweegt. Bij dit soort opgaven is het eerst zaak een schematische tekening te maken van de gegeven situatie met de werkende krachten. In figuur.7 is dit gedaan. Het eerste dat berekend kan worden is de zwaartekracht die op het treintje werkt: z m g 70 9, N z In figuur.7 is een x- en een y-richting aangegeven. Hierbij is er voor gekozen de x-richting langs de helling ar beneden te kiezen. Alyse van de figuur leidt tot een tweede plek waar hoek α optreedt, en wel tussen de krachtvectoren z en z,y. Nu kunnen de componenten z,x en z,y van de zwaartekracht berekend worden: ( α ) z, x z sin 7063 sin 60 N ( ) 67 z, x z, y z cos( α ) z, y 7063 cos 60 ( ) 353 N Het treintje beweegt langs de helling ar beneden. Het treintje beweegt dus in de x- richting. Het treintje beweegt echter niet in de y-richting. Volgens de eerste wet van Newton moet de resulterende kracht in de y-richting dan gelijk zijn aan 0 N. De grootte van de normaalkracht kan dan worden afgeleid: r, y 0 N 3 n z, y 3,5 0 N Overigens is het berekenen van de normaalkracht niet van belang voor de verdere oplossing van deze opgave. De enige kracht die in de bewegingsrichting werkt is de x-component van de zwaartekracht z,x. Uit deze kracht kan de versnelling worden berekend met behulp van de tweede wet van Newton: r m a iguur.6: De Goliath, het omlijnde gedeelte staat schematisch weergegeven in figuur.7. z,x α n z y x z,y iguur.7: Schematische weergave van het treintje van de Goliath (blokje) dat een helling afrijdt.

13 WAYLISIBICA Theorie 6 z, x m a a a 8, 5 m/s 70 Deze versnelling is constant omdat zowel de x-component van de zwaartekracht z,x als de massa m gedurende de afdaling niet veranderen. Er is hier dus sprake van een eenparig versnelde beweging. De verplaatsingsfunctie voor dit bewegingstype luidt: s ( t) a t 35 t 35 t s 4,5 8,5, 87 Met de snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging kan dan de snelheid berekend worden: ( t) a t (,87) 8,5,87 4 v v m/s Omgerekend in km/uur bedraagt deze snelheid 88 km/uur. Naast de eerste en de tweede wet bedacht Newton nog een derde wet, de derde wet van Newton. Deze geeft de wisselwerking weer tussen twee objecten die onderling een kracht op elkaar uitoefenen. De derde wet van Newton luidt: Als een voorwerp A een kracht uitoefent op een voorwerp B, dan oefent voorwerp B ook een kracht uit op voorwerk A. Beide krachten zijn even groot, maar tegengesteld gericht. De krachtenkoppels die dus optreden volgens de derde wet van Newton bestaan uit twee even grote, maar tegengesteld gerichte krachten. Vaak wordt er om deze reden gedacht dat deze krachten elkaar op zullen heffen. Dit is echter zeker niet het geval omdat de aangrijpingspunten van beide krachten op verschillende voorwerpen liggen. Het beste voorbeeld van de derde wet van Newton is wellicht het krachtenkoppel van de gewichtskracht en de normaalkracht. De gewichtskracht is de kracht die optreedt doordat een voorwerp op een ondersteunend vlak ligt. De kracht wordt uitgeoefend door het voorwerp en ondervonden door het ondersteunende oppervlak. Het treintje van de Goliath uit voorbeeld 6 zal zo n kracht uitoefenen op de rails. De richting van de gewichtskracht in de situatie van figuur.7 is gelijk aan de richting van de y-component van de zwaartekracht z,y, maar hij grijpt aan op de rails (de gewichtskracht is in figuur.7 niet getekend). Ook de grootte van de gewichtskracht zal gelijk zijn aan de grootte van z,y. Doordat het treintje tegen de rails drukt, zal de rails ook een kracht uitoefenen op het treintje. Deze kracht wordt de normaalkracht genoemd..9. G-kracht De term G-kracht wordt veel gebruikt om de sensatie van attracties aan te duiden. Hoe groter de G-krachten, hoe sensationeler de attractie vaak ervaren wordt. Toch is de term G- kracht erg misleidend. Het gaat hier melijk niet om een kracht, maar om een verhoudingsgetal tussen versnellingen of krachten.

14 WAYLISIBICA Theorie 7 Er bestaan twee definities waarmee de G-kracht kan worden vastgesteld. Er kan voor gekozen worden uit te gaan van de werkzame versnellingen of er kan worden uitgegaan van de krachten die in een bepaalde situatie van toepassing zijn. Wordt er uitgegaan van de versnellingen, dan luidt de definitie van de G-kracht: G kracht a g In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s ) en g voor de valversnelling ( 9,8 m/s ). Een andere definitie voor G-kracht wordt gevonden door de verhouding te bepalen tussen de normaalkracht en de zwaartekracht in een bepaalde situatie. De definitie van G-kracht luidt dan: G kracht n z In deze formule staat n voor de normaalkracht (in N) en z voor de zwaartekracht (in N). Voor beide definities geldt dat de G-kracht geen eenheid heeft. Het verschil tussen de twee definities voor G-kracht is het best aan te duiden door een situatie te bekijken waarin er geen sprake is van een versnelling, a 0 m/s. De G-kracht, zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de versnellingen, zal dan ook gelijk zijn aan 0. De G-kracht, zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de normaalkracht en de zwaartekracht, is nu echter gelijk aan. Als er geen sprake is van een versnelling (het voorwerp staat dan dus stil of beweegt met een constante snelheid) geldt immers dat de normaalkracht even groot is als de zwaartekracht. De keuze voor een definitie van G-kracht hangt sterk af van de toegepaste meetapparatuur. Het is in de praktijk echter niet eenvoudig om direct versnellingen te meten. Hier is vrij specialistische apparatuur voor nodig. Krachten zijn over het algemeen veel eenvoudiger te meten, waardoor de tweede definitie van G-kracht (als de verhouding tussen de normaalkracht en de zwaartekracht) wellicht de voorkeur verdient..0. Eenparige cirkelbeweging Lopende door een attractiepark valt al snel op dat er in allerlei attracties gebruik wordt gemaakt van een draaibeweging. Met niet al te veel moeite kunnen op deze manier hoge snelheden en dito (G-)krachten bereikt worden. De attracties voeren cirkelbewegingen uit. Een cirkelbeweging vindt altijd plaats in een vlak, waardoor er altijd twee-dimensiole situaties ontstaan. Dit in tegenstelling tot de, eerder besproken, eenparige beweging en eenparig versnelde beweging die beiden rechtlijnig zijn (hoewel ze niet noodzakelijkerwijs langs een rechte lijn plaatsvinden, dit kan ook een gebogen lijn zijn). Vanwege het twee-dimensiole karakter van een cirkelbeweging is het enerzijds veel lastiger de beweging vast te leggen en anderzijds juist eenvoudiger omdat de beweging over het algemeen overzichtelijk is. De snelheid die optreedt bij een cirkelbeweging wordt de baansnelheid genoemd. Deze kan berekend worden door de omtrek van één omloop te delen door de tijd die nodig is om de omloop te doorlopen. In formulevorm wordt dit: π r v T In deze formule staat v voor de baansnelheid (in m/s), r voor de straal van de cirkelbaan (in m) en T voor de tijd die nodig is om één omloop te doorlopen (de omlooptijd, in s).

15 WAYLISIBICA Theorie 8 Er bestaat echter nog een tweede type snelheid dat ook kan worden toegepast om een cirkelbeweging mee te alyseren. Deze snelheid wordt de hoeksnelheid genoemd. Hij kan berekend worden door de doorlopen hoek tijdens één omloop te delen door de tijd die nodig is voor de omloop. Hierbij is het wel gebruikelijk de hoek niet aan te duiden in graden, maar in radialen. Een volledige cirkel omspant daarbij een hoek van π radialen ( 360 ). De hoeksnelheid in formulevorm luidt: π ω T In deze formule staat ω voor de hoeksnelheid (in rad/s) en T voor de omlooptijd (in s). Nadere bestudering van de formules voor de baansnelheid en de hoeksnelheid leidt tot het verband tussen deze twee snelheden: v ω r Het verschil tussen baansnelheid en hoeksnelheid is niet bepaald eenvoudig. Daarom kan het een en ander het best onthouden worden door de situatie bij een fietswiel in gedachten te nemen. De spaken beschrijven hierbij de hoeksnelheid, terwijl het ventiel op het eerste gezicht met de baansnelheid beweegt. In voorbeeld 7 wordt het een en ander geïllustreerd. Voorbeeld 7 In figuur.8 staat een foto weergegeven van de G-orce. In deze attractie neemt de passagier plaats in een schuitje dat bevestigd is aan een rad. Dit rad wordt in beweging gebracht en langzaam verticaal geplaatst. De straal van het rad bedraagt 8, m. De tijd die een schuitje nodig heeft om één keer volledig rond te draaien bedraagt 3,9 s. Zowel de baansnelheid als de hoeksnelheid kunnen voor deze attractie eenvoudig berekend worden. Voor de baansnelheid geldt: π r v T π 8, v 3 m/s 3,9 De hoeksnelheid voor deze attractie bedraagt: π ω T π ω,6 rad/s 3,9 iguur.8: De G-orce beschrijft een eenparige cirkelbeweging. De cirkelbeweging van de G-orce, zoals omschreven in voorbeeld 7, is een bijzondere cirkelbeweging. Hij vindt melijk plaats met een constante baansnelheid (en dus ook met

16 WAYLISIBICA Theorie 9 een constante hoeksnelheid). Dit type cirkelbeweging wordt ook wel een eenparige cirkelbeweging genoemd. En toch kan gesteld worden dat een cirkelbeweging niet plaatsvindt met een constante (baan)snelheid. De grootte van deze snelheid kan wel constant zijn, de richting is dat uiteraard zeker niet. Aangezien snelheid een vectorgrootheid is, is er derhalve ook niet echt sprake van een constante snelheid. Dit heeft tot gevolg dat er dus sprake moet zijn van een r r versnelling. Een versnelling kan, volgens de tweede wet van Newton ( r m a ), alleen optreden als er een werkende resulterende kracht is. v In figuur.9 is een schematische weergave te zien van een eenparige cirkelbeweging met een straal r. De baansnelheid v is op drie posities getekend. Enig gevoel leidt tot de richting van de resulterende kracht. Deze zal voortdurend gericht zijn ar het middelpunt (M) van mpz de cirkelbaan. De resulterende kracht bij een mpz M cirkelbeweging wordt ook wel de middelpuntzoekende kracht genoemd. Deze kan berekend worden met de formule: mpz m v r mpz In deze formule staat mpz voor de middelpuntzoekende kracht (in N), m voor de massa (in kg), v voor de baansnelheid (in m/s) en r voor de straal van de cirkelbaan (in m). Zoals al eerder gememoreerd, kan een cirkelbeweging ook worden aangeduid met de hoeksnelheid. Door de uitdrukking waarin de baansnelheid en hoeksnelheid met elkaar verbonden zijn ( v ω r ) in te vullen in de formule voor de middelpuntzoekende kracht, ontstaat een nieuwe formule voor deze grootheid, met daarin de hoeksnelheid in plaats van de baansnelheid: mpz m ω r In de meeste situaties wordt er echter gebruik gemaakt van de uitdrukking voor de middelpuntzoekende kracht waarin de baansnelheid v vermeld staat. Een aandachtspunt bij de bestudering van de krachtwerking bij een cirkelbeweging is echter wel het gegeven dat de middelpuntzoekende kracht géén kracht is, zoals bijvoorbeeld de zwaartekracht, de normaalkracht of de wrijvingskracht dat zijn. De middelpuntzoekende kracht is de beming voor de resulterende kracht die optreedt bij een cirkelbeweging. De middelpuntzoekende kracht wordt daarbij echter altijd geleverd door een andere kracht. In voorbeeld 8 wordt dit verder geïllustreerd. v iguur.9: Een cirkelbeweging, met daarin de baansnelheid v en de middelpuntzoekende kracht mpz aangegeven. v Voorbeeld 8 Bochten in achtbanen zijn vaak geconstrueerd onder een bepaalde hoek. De reden hiervoor is de hoge snelheid die het treintje van een achtbaan vaak heeft in de bocht. Een vlakke bocht zou het treintje niet in staat stellen de hoge snelheid te bereiken en zou tevens als bijzonder onplezierig worden ervaren door de passagiers. In figuur.0 staat een foto van een bocht van de Goliath. iguur.0: Een bocht van Goliath.

17 WAYLISIBICA Theorie 0 Als het treintje door de bocht gaat, werken er twee krachten op (wrijvingskrachten worden buiten beschouwing gelaten), de zwaartekracht z en de normaalkracht n. In figuur. zijn deze krachten getekend en is de normaalkracht ontbonden in een horizontale component n,x en een verticale component n,y (dit in tegenstelling tot de situatie die optrad in voorbeeld 6, het treintje doorloopt nu immers een cirkelbaan in een horizontaal vlak). In verticale richting beweegt het treintje niet (het stijgt niet op en zakt niet door de rails heen) en moet dus gelden dat de resulterende kracht gelijk is aan 0 N: r, y 0 N m g n, y z y x n,y z α iguur.: Schematische weergave van het treintje van de Goliath (blokje) in een bocht. α n n,x In horizontale richting werkt er slechts één kracht, de x-component van de normaalkracht n,x. Deze kracht levert dus de middelpuntzoekende kracht. Er geldt: n, x mpz De kracht n,x kan berekend worden met behulp van de y-component van de normaalkracht n,y en de hellingshoek α. Deze hellingshoek komt in figuur. tevens terug tussen de krachtvectoren n en n,y. Er geldt: tan α n, x n, y Bekend is dat de y-component van de normaalkracht n,y gelijk is aan de zwaartekracht. Dus kan bovenstaande uitdrukking ook worden genoteerd als: n, x n, y n, x m g tanα tanα Er was al afgeleid dat n,x de middelpuntzoekende kracht levert: m v m g tanα r Aangezien in deze uitdrukking aan beide zijden van het -teken de massa m staat, kan deze factor worden weg gedeeld. Er ontstaat dan een uitdrukking voor de snelheid v: v g tan α v r g tanα r Als er van wordt uitgegaan dat de straal van de bocht 7 m bedraagt en dat de hellingshoek 55 is, kan de maximale snelheid waarmee het treintje door de bocht kan rijden, berekend worden: ( ) v 7 9,8 tan 55 v 5 m/s ( 56 km/uur)

18 WAYLISIBICA Theorie.. Harmonische trilling Een trilling is een bijzondere bewegingsvorm. Een voorwerp dat trilt, herhaalt zijn beweging voortdurend. Dat wil zeggen dat de beweging wordt uitgevoerd binnen een bepaald tijdsbestek, de zogeamde trillingstijd en dat de beweging vervolgens (exact) gekopieerd wordt. Een bekend voorbeeld van een trilling is de slingerbeweging, zoals weergegeven in figuur.. Hiertoe wordt een bepaalde massa aan een koord bevestigd, waar aan deze massa een uitwijking gegeven wordt. Grootheden die bij het onderzoek aan trillingen van belang zijn, zijn de uitwijking u (de afstand ten opzichte van de evenwichtsstand, in m), de amplitudo A (de maximale uitwijking, in m) en de trillingstijd T (de tijd nodig voor één volledige trilling, in s). Bij een bekende trillingstijd kan vervolgens de frequentie f berekend worden met behulp van de formule: f T De frequentie wordt daarbij uitgedrukt in Hertz (Hz). Een bijzondere trillingsvorm is de harmonische trilling. De grafiek die de uitwijking u beschrijft als functie van de tijd, vertoont dan het verloop van een sinusoïde, zoals weergegeven in figuur.3. Ook de snelheid v en de versnelling a kunnen als functie van de tijd worden weergegeven voor een harmonische trilling. Ook deze diagrammem zijn weergegeven in figuur.3. De diagrammen staan in uw verband met elkaar. Uit figuur.3 is op te maken dat de snelheid van een (harmonisch) trillend voorwerp maximaal is als de uitwijking gelijk is aan 0 m. Het voorwerp bevindt zich dan in de evenwichtsstand. In de omkeerpunten (daar waar de uitwijking gelijk is aan de amplitudo), zal het voorwerp een moment tot stilstand komen. De snelheid is hier 0 m/s. De versnelling daarentegen is maximaal als ook de uitwijking maximaal is. De versnelling is echter wel tegengesteld gericht aan de uitwijking. Op de iguur.3: Het (u,t)-diagram, (v,t)-diagram en (a,t)-diagram van een harmonische trilling. momenten dat het voorwerp door de evenwichtsstand schiet, zal de versnelling gelijk zijn aan 0 m/s. Het (u,t)-diagram van een harmonische trilling kan ook worden weergegeven met behulp van een formule. Deze luidt: u ( t) A sin ( π f t) In deze formule geldt dat u(t) de uitwijking is op een tijdstip t (in m), A de amplitudo (in m), f de frequentie (in Hz) en t de tijd (in s). Wel moet worden opgemerkt dat de hoekeenheid die in deze vergelijking wordt toegepast de radiaal is. Uit bovenstaande formule kan ook een formule worden afgeleid voor de maximale snelheid waarmee een harmonisch trillend voorwerp beweegt. Deze snelheid is dus de A iguur.: Een slingerbeweging.

19 WAYLISIBICA Theorie snelheid waarmee het (harmonisch) trillende voorwerp door de evenwichtsstand beweegt. De formule voor de maximale snelheid luidt: v max π A T In deze formule staat v max voor de maximale snelheid (in m/s), A voor de amplitudo (in m) en T voor de trillingstijd (in s). Het een en ander wordt toegepast in voorbeeld 9. Voorbeeld 9 Gegeven is een harmonische trilling waarvan het (u,t)-diagram gegeven is in figuur.4. Uit dit diagram zijn de trillingstijd T en de amplitudo A eenvoudig af te lezen. Er geldt: T 0,80 s A,4 cm Als de trillingstijd bekend is, kan ook de frequentie berekend worden: f,5 Hz T 0,80 Met behulp van deze frequentie en de amplitudo kan de vergelijking bepaald worden die het gedrag van de uitwijking voor deze harmonische trilling beschrijft: u u ( t) A sin ( π f t) ( t),4 sin(,50 π t) Met behulp van deze formule kan dan bijvoorbeeld berekend worden op welk(e) tijdstip(pen) de uitwijking +,0 cm bedraagt. Door deze waarde in te vullen voor de uitwijking, kan het eerste tijdstip waarop deze voorwaarde geldt, berekend worden: (,50 ),0,4 sin π t,0,50 π t sin 0, 796,4 0,796 t 0, 0 s,50 π Kijkende ar het (u,t)-diagram van figuur.4 kan echter herkend worden dat de voorwaarde u( t) +, 0 cm op meerdere tijdstippen voorkomt. Onder andere op: t T t 0,80 0,0 0,30 s t T + t 0,80 + 0,0 0,90 s, enz. 3 Tot slot kan nog ook de maximale snelheid van dit harmonisch trillend voorwerp berekend worden: π A π,4 0 v max 0, m/s T 0,80 iguur.4: Het (u,t)-diagram van een harmonische trilling.

20 WAYLISIBICA Theorie 3 Zoals al eerder aangegeven is een trilling een beweging die zichzelf voortdurend herhaalt. Dit is ook de reden dat het interessant kan zijn het aantal doorlopen trillingen aan te geven. Hiertoe is de grootheid fase geïntroduceerd. De fase kan berekend worden met behulp van de formule: ϕ t T In deze formule staat ϕ voor de fase (deze heeft geen eenheid), t voor de tijd (in s) en T voor de trillingstijd (in s). Het bestuderen van een trilling kan redelijk eenvoudig zijn. Bestudering van één periode (één trillingstijd) geeft immers de volledige informatie over de trilling. Het kan daarom interessant zijn, aan te duiden in welk deel van een periode het trillende object zich bevindt. Hiertoe is het begrip gereduceerde fase geïntroduceerd. De fase wordt hierbij in elke periode afzonderlijk gedefinieerd en zal daarom nooit groter worden dan. De gereduceerde fase kan berekend worden met behulp van de formule: ϕ r t T n In deze formule geldt dat ϕ r staat voor de gereduceerde fase (ook deze heeft geen eenheid), t voor de tijd (in s), T voor de trillingstijd en n voor het aantal volledig doorlopen trillingen. Voor de gereduceerde fase geldt dus: 0 ϕ <. r.. Energie, arbeid, vermogen en rendement Op voorwerpen kunnen allerlei krachten werken waardoor voorwerpen in beweging komen. Allerhande bewegingstypen kunnen vervolgens aan de orde zijn: een eenparige beweging, een eenparig versnelde beweging, een cirkelbeweging of een trilling. In de situaties die ontstaan, kunnen voorwerpen diverse vormen van energie bezitten. Energie wordt daarbij uitgedrukt in Joules (J). De energievorm die het eenvoudigst te doorgronden en aan te voelen is, is de bewegingsenergie, ook wel kinetische energie genoemd. De kinetische energie hangt af van de massa van een voorwerp en de snelheid waarmee dit voorwerp beweegt. Dit is in te zien door het besef dat de gevolgen van bijvoorbeeld een botsing groter zullen zijn als de bewegende voorwerpen een grotere massa hebben en/of een grotere snelheid bezitten. De kinetische energie kan berekend worden met behulp van de formule: E kin m v In deze formule staat E kin voor de kinetische energie (in J), m voor de massa (in kg) en v voor de snelheid (in m/s). Een tweede vorm van energie is de zogeamde zwaarte-energie. Een voorwerp dat zich op een bepaalde hoogte bevindt, zal onder invloed van de zwaartekracht versneld ar beneden bewegen. Bestudering van het moment waarop dit voorwerp de grond zal treffen (en dus met de grond botst), leidt tot de veronderstelling dat de zwaarte-energie afhangt van de massa van een voorwerp en de hoogte waarop dit voorwerp zich bevindt. Ook de valversnelling (g) speelt hierbij een rol. De formule waarmee de zwaarte-energie berekend kan worden, luidt: E z m g h

21 WAYLISIBICA Theorie 4 In deze formule staat E z voor de zwaarte-energie (in J), m voor de massa (in kg), g voor de valversnelling ( 9,8 m/s ) en h voor de hoogte (in m). Ook een gespannen veer bezit een bepaalde hoeveelheid energie, veerenergie. Dit is eenvoudig in te zien omdat het moeite kost de veer een bepaalde uitrekking te geven. Naarmate deze uitrekking groter wordt en/of de veer stugger is, zal de hoeveelheid, in de veer opgesloten, energie ook groter worden. De veerenergie kan berekend worden met behulp van de formule: E v C u In deze formule geldt dat E v staat voor de veerenergie (in J), C voor de veerconstante (een constante die de stugheid van de veer aangeeft, in N/m) en u voor de uitrekking (in m). Bovenstaande vormen van energie komen voor in gevallen die goed definieerbaar zijn. Voor situaties waarin dit niet of veel lastiger het geval is, kan de koppeling gebruikt worden tussen energie en krachtwerking. Hierbij gaat het om de arbeid. Deze kan berekend worden met behulp van de volgende formule: W s cosα In deze formule staat W voor de arbeid (in J), voor de kracht (in N), s voor de verplaatsing (in m) en α voor de hoek tussen de kracht en de verplaatsing s (in ). Tevens kan het interessant zijn de hoeveelheid energie of arbeid te berekenen die verbruikt wordt of vrijkomt per tijdseenheid (per seconde). De grootheid die de energie (of de arbeid) verbindt aan de tijd wordt ook wel het vermogen genoemd. Het vermogen kan berekend worden met behulp van de formule: P E t W t v In deze formule staat P voor het vermogen (in J/s of Watt (W)), E voor de energie (in J), t voor de tijd (in s), voor de kracht (in N) en v voor de snelheid. In de praktijk is het echter wel zo dat er bij een energie-omzetting altijd een hoeveelheid energie verloren gaat. Het is onmogelijk om alle energie te gebruiken voor hetgeen deze bedoeld is. Dit heeft tot gevolg dat er altijd sprake is van een rendement. Dit rendement kan gedefinieerd worden als het percentage energie dat nuttig gebruikt wordt en kan berekend worden met behulp van een formule waarin gewerkt wordt met de energie of met behulp van een formule waarin gewerkt wordt met het vermogen: Enut Pnut η 00% of η 00% E P in in In deze formules staat η voor het rendement (in %), E nut voor de nuttig gebruikte energie (in J), E in voor de aan het proces toegevoerde energie (in J), P nut voor het nuttig gebruikte vermogen (in W), P in voor de aan het proces toegevoerde vermogen (in W)..3. Wet van behoud van energie Verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet. Zo kan een voorwerp op het ene moment kinetische energie bezitten en een moment later zwaarte-energie. Bij energie-omzettingen geldt echter altijd de wet van behoud van energie. Deze zegt dat de totale energie die een systeem bezit voortdurend constant blijft. De vorm waarin de energie voorkomt kan daarbij wel variëren. Een en ander wordt geïllustreerd in voorbeeld 0.

22 WAYLISIBICA Theorie 5 Voorbeeld 0 De Goliath is de hoogste achtbaan van Nederland. De eerste top (punt I), zie figuur.5 ligt op een hoogte van 47 m. Met behulp van de wet van behoud van energie kan de snelheid berekend worden die het treintje van de Goliath bereikt in punt II als dit geen wrijving zou ondervinden. Er geldt: III II I E tot, I Etot, II Nu geldt dat het treintje in punt I uitsluitend zwaarte-energie bezit (de snelheid van het treintje is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de snelheid in punt II), terwijl het treintje in punt II uitsluitend kinetische energie bezit (de zwaarte-energie is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de zwaarte-energie in punt I): De wet van behoud van energie wordt dan: E z, I Ek, II m g h I m v II Hoewel de massa in bovenstaande vergelijking geen noodzakelijk gegeven is, kan deze worden vastgesteld op 800 kg. De snelheid in punt II kan nu berekend worden: 800 9, vii v II 30 m/s In werkelijkheid ondervindt het treintje uiteraard wel wrijvingskrachten. Dit is goed te zien aan de tweede top (punt III). Deze top ligt lager dan de eerste top omdat het treintje onderweg energie is verloren. De hoogte van de tweede top bedraagt daarom slechts 35 m. De afstand die het treintje aflegt van punt I ar punt III kan geschat worden op 0 m. De gemiddelde waarde van de wrijvingskracht kan dan berekend worden met behulp van de wet van behoud van energie. Er geldt: E tot, I Etot, III In zowel punt I als punt III bezit het treintje uitsluitend zwaarte-energie (de kinetische energie kan verwaarloosd worden. Onderweg van punt I ar punt III verricht de zwaartekracht arbeid W w. De wet van behoud van energie wordt dan: E + W z, I Ez, III w iguur.5: De twee eerste toppen van Goliath. De gegevens kunnen nu worden ingevuld, waar de gemiddelde grootte van de wrijvingskracht berekend kan worden: m g h I m g h III + s 800 9, , w w 3 w,8 0 N Ook bij een trilling gaat de wet van behoud van energie op. Een trilling is echter een bijzonder bewegingstype. Door een object immers in trilling te brengen, wordt een hoeveelheid energie aan het object toegevoerd. Deze hoeveelheid energie kan op diverse