Regeling van de kantelt afel met behulp van een vision systeem.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Regeling van de kantelt afel met behulp van een vision systeem."

Transcriptie

1 Regeling van de kantelt afel met behulp van een vision systeem. Carl Vissers WFW rapportnummer Hoogleraar : Prof. Dr. Ir. J.J. Kok Coach : Ir. J.P.A. Banens Faculteit : W Vakgroep : WFW Sectie : Regeltechniek Technische Universiteit Eindhoven Oktober 1990

2 Inhoud Samenvatting 1 Inleiding Modellering 2.1 Een één-dimensionaal model Parameters : de kogelmassa... Volledige t oest andst erugkoppelling 3.1 Inleiding De optimale regelwet... Wet Kalmanfilter 4.1 Inleiding Aanpassing aan het Kalmanfilter Meetruis Systeemruis... Simulat ieresult at en optimale-regelaar 5.1 Inleiding Vergelijking van het gewone Kalmanfilter met het aangepaste filter Simulatieresultaten Invloed van parameterfouten Schatting van hfk... De optimale PID-regelaar 6.1 Inleiding Simulatieresultaten... Baansturing 7.1 Inleiding Computed Torque Tegenkoppelling De totale regeling Vergelijking van het gewone Kalmanfilter met het aangepaste filter Simulatieresultater: Invloed van parameterfouten Schatting van A& met behulp van een PID-regelaar... Conclusies & aanbevelingen i

3 Appendices A B C Het 2-dimensionale model Het 1-dimensionale model Implementatie van het optimaal geregeide systeem A.l B.l C.I. Referenties I.. 11

4 Samenvatting Dit verslag beschrijft de regeling van de kanteltafel. Aan dit systeem worden metingen verricht van de positie van de kogel en de hoekverdraaiingen van het tafelblad, ten bate van de regeling van de positie of de trajectorie van de kogel. De positiemeting geschiedt met een vision systeem. Dit optisthe meetsysieem beeft een ÏïieetfïequeïItie vzn ongeveer 10 Hz. en een meetvertraging van ongeveer 0.1 sec.. Voor de regeling van de positie van de kogel is gekozen voor de optimale regelwet. De toestandsschatting wordt gedaan met een Kalmanfilter, dat is aangepast voor de meetvertraging van het vision systeem. Wanneer de massa van de kogel op voorhand niet exact bekend is, maken we hiervoor een globale schatting, bijvoorbeeld door een eenvoudige weging. Afhankelijk van de fout in de schatting blijft er een statische afwijking voor de positie van de kogel over. De massa is echter eenvoudig en toch vrij nauwkeurig te schatten uit de motorkoppels en de positie van de kogel. De statische afwijking is ook weggeregeld door een integrerende actie op te nemen in de regelwet. Ook nu kan weer een schatting van de kogelmassa gemaakt worden door gebruik te niaken van de geleverde motorkoppels en de positie van de kogel. Voor de trajectoriesturing is gekozen voor een voorwaartskoppelling in combinatie met de optimale regelwet. Ook nu is het noodzakelijk dat de massa van de kogel vrij nauwkeurig bekend is. Door de kogel vanuit een willekeurig startpunt naar een punt op de baan te sturen met behulp van de optimale PID-regelaar kunnen we een schatting maken van de massa van de kogel. Deze schatting is voldoende nauwkeurig om de kogel de gewenste baan te laten beschrijven

5 1 Inleiding Op dit moment wordt gewerkt aan de bouw van een zgn. kanteltafel. Dit systeem bestaat uit een vlakke plaat die een hoekverdraaiing kan ondergaan om twee onderling loodrechte assen. Deze rotatieassen worden aangestuurd door twee servomotoren. Op de plaat ligt een ronde kogel. Onder invloed van de zwaartekracht en de hoekverdraaiing van de tafd zal de kogel gaan rollen. De positie van de kogel wordt gemeten met behulp van een vision systeem. Simpelweg gezegd bestaat dit systeem uit een videocamera die elke T sec. de positie van de kogel in een x- en een y-coördinaat uitdrukt en doorgeeft aan een P.C.. Verder worden ook de hoekverdraaiingen van de plaat gemeten en doorgegeven aan de P.C.. Met deze P.C. worden de servomotoren aangestuurd. In dit verslag wordt bekeken hoe de kogel van punt naar punt gestuurd kan worden en hoe we de kogel een gewenste baan (in ons geval een cirkelbaan) kunnen laten beschrijven. Problemen die zich hierbij voordoen zullen onder andere zijn : de lage meetfrequentie van het vision systeem (z 10 Hz.) en de (sterk) niet-lineaire bewegingsvergelijkingen van de kanteltafel. Ook zal bij de simulaties rekening gehouden moeten worden met de fysische beperkingen van de tafel. De hoekverdraaiingen van het blad mogen niet groter worden dan 38". Er zal aandacht besteed moeten worden aan de hoekversnelling van de tafel. Deze mag niet te groot worden, zodat de kogel altijd contact houdt met het tafeloppervlak. De berekende motorkoppels moeten binnen de begrenzingen van de motoren vallen, zodat de koppels ook werkelijk geleverd kunnen worden. Verder zal ook de invloed worden bekeken van de massa van de kogel. Deze willen we als "onbekende" systeemparameter invoeren. Afhankelijk van wat we willen zullen we de massa moeten schatten of een regeling ontwerpen die het gewenste resultaat levert, ondanks een fout in de schatting van de massa. 1

6 2 Modellering 2.1 Een één-dimensionaal model Als we de gelineariseerde bewegingsvergelijkingen (A.21) tot en met (A.24) van het tweedimensionale modei bekijken, zien we dat deze voiieciig ontkoppeld zijn. We kunnen, zûndeï afbreuk te doen aan het inzicht in het 2d-systeem7 een meer overzichtelijk 1d-model als leidraad gebruiken. De tekenafspraken zijn hierbij als volgt : Figuur 2.1 K : motorkoppel (systeemingang) ikfk : massa van de kogel Ik : massatraagheidsmoment van de kogel R : straal van de kogel Ig : massatraagheidsmoment van de goot x : positie van de kogel g : versnelling van de zwaartekracht a : hoekverdraaiing van de goot Voor dit systeem luiden de niet-lineaire bewegingsvergelijkingen2 : lzie appendix A voor de afleiding van de bewegingsvergelijkingen 2Zie appendix B voor de afleiding van de bewegingsvergelijkingen 2 (2.1.1) (2.1.2)

7 De gelineariseerde bewegingsvergelij kingen luiden : Ik (Mk + + Mkga = 0 I;& + j"fkgz = K (2.1.3) (2.1.4) Met 1; = Ig + hfkx:. Opm. : Alle simulaties in dit rapport zijn uitgevoerd met het tweedimensionale model. Het één-dimensionale model is alleen gebruikt als een soort verkorte schrijfwijze van het tweedimensionale systeem. 2.2 Parameters : de kogelmassa We willen de massa van de kogel als onbekende systeemparameter invoeren. Immers door een andere kogel op de tafel te leggen is deze parameter eenvoudig te veranderen. De massa hfk is echter niet de enige systeemparameter die dan een andere waarde krijgt. De parameter Ik is afhankelijk van d!fk : (2.2.1) voor een massieve kogel. In het verdere verloop van dit verslag wordt aangenomen dat alleen met massieve kogels gewerkt wordt. 3

8 3 Volledige toestandsterugkoppelling 3.1 Inleiding Om de kogel van een willekeurig beginpunt naar elk gewenst eindpunt te laten bewegen, kunnen we gebruik maken van een PD-regelaar. Veer het &n-dimemion_ale geval luidt de regelwet dan : Hierin zijn Kpl en Kp2 de proportionele acties op de positie z(t) van de kogel respectievelijk de hoekverdraaiing ~ (t) van de goot, terwijl I<dl en I<d2 de overeenkomstige differentiërende acties zijn en z, de gewenste positie voorstelt. Omdat de kolom [z 2 cy &IT de toestand van het systeem voorstelt noemen we (3.1.1) volledige toestandsterugkoppelling. 3.2 De optimale regelwet Een manier waarmee we geschikte waarden voor de regelparameters Kpl, Kp2, Kdl en I<d2 kunnen vinden, is de optimale regelwet. Voor de theorie van het optimale regelprincipe, wordt hier volstaan met een verwijzing naar de literatuur, o.a. [i] en [2]. Een reden om de optimale regelwet te gebruiken is dat stabiliteit, tenminste in het lineaire geval, gewaarborgd is. De gelineariseerde bewegingsvergelij kingen van het één-dimensionale systeem (zie (B. 9) en (B.1û)) kunnen we als volgt in de toestandsvorm schrijven : o o O 0 o 1-0 o o - *; (3.2.1) of Z=Ax+Bu (3.2.2) Nu kunnen we de optimale regelwet L gf [ZI 12 Z3 Z4] bepalen, bijvoorbeeld met behulp van PC-Matlab. Het motorkoppel wordt bepaald volgens : met ji = [(z - z.) 2 Q &IT K(t) = -I&$) - 2,) - Z&) - Z&) - Z&) ( 3.2.3) = -LX (3.2-4) = xt - xrt. De toestandsgrootheid x is hier vet gedrukt om onderscheid te kunnen maken tussen de toestand x van het systeem en de positie 2 van de kogel. Het subscript, is gebruikt om de gewenste toestand van het systeem aan te duiden. 4

9 Hiermee zijn de eerder genoemde regelparameters Kpl, Kpz., Kdl en Kd2 vastgelegd. Door verandering van weegmatrices kan snel een andere regelsituatie verkregen worden. De regelwet (3.2.3) is nog niet compleet. Als de kogel het gewenste eindpunt x, # O heeft bereikt is de ingang K = O. In dit geval is de goot niet in evenwicht vanwege de kracht die de kogel op de goot uitoefent. Om dit te compenseren schrijven we : Men zou de term -Mhgx, voorwaartskoppelling kunnen noemen. Tevens kunnen we concluderen dat de massa van de kogel inderdaad een belangrijke parameter is. Immers : als niet nauwkeurig bekend is, zal de kogel nooit de gewenste positie kunnen bereiken, tenzij we een integrerende regelactie toevoegen. In hoofdstuk 6 komen we hierop terug. 5

10 4 Het Kalrnanfilter 4.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk is gekozen voor volledige toestandsterugkoppelling. Dit houdt dan wei in - -A 1- i.---~.- üab ut: wcat,afiu ---llj:m vu~l~u15 LoL-mnJ ulnuuu mvuu not &in Tn nnq _-_- vpva1 zijn slechts de positie van de kogel en de hoekverdraaiing van de goot cq. de tafel bekend, door metingen met een bepaalde meetonnauwkeurigheid. In dit hoofdstuk zullen we zien dat de toestand van het systeem gereconstrueerd kan worden met behulp van deze metingen en het Kalmanfilter. Voor de theorie van het Kalmanfilter wordt verwezen naar de literatuur, o.a. [i] en [2]. Doel van het filter is dat, uit de beschikbare modelkennis en de gemeten toestandsgrootheden, de overige toestandsgrootheden geschat worden. Algemeen kunnen we voor het filter de volgende vergelijking opstellen : met in ons geval, voor het één-dimensionale model : $(i) = cqt) = [ ijt; J hierbij is : AP : systeemmatrix met daarin modelparameters BP : ingangsmatrix met daarin modelparameters C : uitgangsmatrix Icb : versterkingsmatrix van het Kalmanfilter xm, am : metingen van de positie IC en de hoek Q Het symbool staat voor schatting. De toestandsgrootheid x is vet gedrukt om onderscheid te kunnen maken tussen de toestand x van het systeem en de positie x van de kogel; het subscript is gebruikt om aan te duiden dat het om een meting van een toestandsgrootheid gaat. Het subscript tenslotte is gebruikt om aan te duiden dat de systeemmatrices afhankelijk zijn van de systeemparameters, die niet exact bekend hoeven te zijn. 4.2 Aanpassing aan het Kalmanfilter In (4.1.1) is y(t) de informatie die van het meetapparaat, in ons geval een vision systeem en een hoekopnemer, komt. Het vision systeem levert niet een continu signaal xm(t), maar een signaal (meting) dat elke T (z 0.1) sec. 77ververst wordt. Deze metingen zijn, door 6

11 de meetvertraging in de camera, aanduidingen van waar de kogel T sec. geleden was. Om de metingen te verbeteren, d.w.z. dichter bij de huidige positie te krijgen, schrijven we : x*(t) = xm(to) + /"(T) to dr $*(i!) stelt de verbeterde meting voor, terwijl $,(to) de positie voorstelt. Vervolgens benaderen we waarmee Jlt i(7) dr N (t- to)i(t) x*(t) = xm(to) + (t - to)i(t) de laatst binnengekomen meting van (4-2.3) We gebruiken x*(t) in plaats van het meetsignaal xm(to) in het filter. Opm. Eventueel zou voor (4.2.2) een betere integratiemethode gebruikt kunnen worden. Voorlopig nemen we echter aan dat deze eenvoudige methode voldoende nauwkeurig is. 4.3 Meetruis Volgens [4] moeten we de meetonnauwkeurigheid van het vision systeem op ongeveer 2 mm. stellen. De ruisintensiteit van de meetonnauwkeurigheid in x(t) moeten we dan op ongeveer houden. Bij de simulaties is aangenomen dat de hoeken met een nauwkeurigheid van 0.1" gemeten worden. De daaruit voortvloeiende ruisintensiteit is dan v. 4.4 Systeemruis Bij het lineariseren van (A.17) tot en met (A.20) zijn een aantal termen verwaarloosbaar klein verondersteld, en deze termen uiten zich onder andere in de systeemruis. Om nu de orde grootte van de systeemruis vast te stellen moeten we de grootte van de verwaarloosde niet-lineaire termen te pakken krijgen. Hiertoe is, met behulp van simulaties een aantal significante waarden van de toestandsgrootheden bepaald en vervolgens zijn deze ingevuld in de niet-lineaire termen. Bij deze simulaties is aangenomen dat alle parameters exact bekend zijn. Bijvoorbeeld : Bij het linearisatieproces is in vergelijking (A.ír) sin(&) gelijk gesteld aan (Y. Volgens de Taylorreeks-ontwikkeling var, sin(a) verwaadozen we een term van orde Mkg$. Een significante waarde voor Q is 0.05 rad. Met Mk = 31.4 gram en g = 9.81 m/s2 vinden we voor de orde grootte van de meetruis : 4 - IO-?. Met dezelfde methode vinden we voor de intensiteit op vergelijking (A.18) : 7 - lo-'. Op (A.19) en (A.20) vinden we respectievelijk lo-' en lo-'. Met deze gegevens kunnen we nu de versterking van het Kalmanfilter bepalen, bijvoorbeeld met PC Matlab. 7

12 Opm. Er is ook nog systeemruis ten gevolge van parameterfouten, niet gemodelleerde (of verkeerd gemodelleerde) wrijving etc.. Zolang het systeem nog niet beschikbaar is kan hier echter weinig zinnigs over gezegd worden. De systeemparameters en wrijvingscoëfficiënten zullen door experimenten, metingen en (off-line) systeemidentificatie bepaald moeten worden [5] [7]. 8

13 5 Sirnulatieresult aten optimale-regelaar 5.1 Inleiding Een aantal simulaties is uitgevoerd3, op het twee dimensionale model, waarbij we het systeem simuieren met de niet-lineaire bewregings~~ïge~~kiilgeii (A. i 7) tot ei met (A. 20). Het vision systeem is gesimuleerd door uit de systeemvergelijkingen de coördinaten.(tj en g(t) van de kogel te halen, hierbij meetruis (trekkingen uit een normale verdeling met de in 4.3 bepaalde intensiteit) te voegen, en vervolgens deze waarde T sec. vast te houden en daarna door te sturen naai het filter. Hierdoor simuleren we het vision systeem, met de meetvertraging en met de meetonnauwkeurigheid. Voor de meetvertraging is 0.1 seconde genomen. De hoekverdraaiingen worden op dezelfde manier behandeld, met die uitzondering dat ze direct, zonder meetvertraging aan het filter worden geleverd. Het filter is gesimuleerd volgens de in 4.2 beschreven methode en de "normale" methode, om een vergelijking tussen deze twee mogelijk te maken De regelaar tenslotte is een optimale regelaar, zoals hierboven beschreven, (zie 3), die het ingangskoppel bepaalt uit de geschatte toestandsgrootheden. In een blokschema ziet dit er als volgt uit : Figuur 5.1 Alle simulaties in dit verslag zijn continu uitgevoerd. Voor de praktische implementatie zoals die in de toekomst moet plaatsvinden, is het nuttig om dan ook discrete simulaties te doen. 5.2 Vergelijking van het gewone Kalmanfilter met het aangepaste filter Om te controleren of de in 4.2 aangedragen verandering aan het Kalmanfilter werkelijk een verbetering betekent, zijn simulaties uitgevoerd met elk van beide filters. We moeten dan concluderen dat de responsie van het systeem (baan van de kogel) er in beide gevallen ~~ ~ ~ 3Zie appendix C voor de implementatie van het volledige systeem 9

14 - vrijwel hetzelfde uitziet. In figuur 5.2 is zijn de schattingsfouten (het verschil tussen de werkelijke en de gefilterde positie) van elk filter weergegeven in één figuur. - - : Kaimanñiier 'i ',- \, : Aangepaste filter " I,. O! ;,,*,,' \,;'"-.' l..' ',, \I f I 1 1 ' ' / i-..,. +i / I '( I 1 - ~ r; :. I, -. ~~.... Omdat het aangepaste filter de toestanden beter schat, vooral in het begin van de beweging wanneer de snelheid van de kogel relatief hoog is, is in het verdere verloop van dit verslag de aanpassing doorgevoerd. Een andere reden om te kiezen voor het aangepaste filter zullen we zien als we overstappen op trajectoriesturing. De snelheid van de kogel zal dan niet naar nul gaan, zoals bij punt-punt sturing. Waarschijnlijk zal het aangepaste filter gedurende de gehele beweging de toestanden van het systeem beter schatten dan het oorspronkelijke filter. In hoofdstuk 7 komen we terug op het verschil tussen beide schattingsmethoden. Simulatieresultaten In de figuren 5.3 en 5.4 is voor twee verschillende eindpunten van de kogel de responsie weergegeven.

15 0.2 KOGELBAAN KOGELBAAN C I I I -0.0' i ' -0.1 O x m x m Figuur 5.3 Figuur 5.4 In beide gevallen is het startpunt van de kogel (0.2,0.2). De kogel bereikt in beide situaties het gewenste eindpunt, resp. (0,Q) en (0.1,0.1), na ongeveer 5 sec. Dit gebeurt zonder doorschot. Ook is geconstateerd dat de versnelling van de tafel niet te groot is, zodat de kogel altijd contact houdt met de tafel, en dat de hoekverdraaiingen van de tafel niet de maximaal toegestane waarden overschrijden zodat ook wordt voldaan aan de fysische beperkingen van het mechanische systeem. 11

16 5.4 Invloed van parameterfouten Vooraf zijn alle systeemparameters bekend verondersteld, behalve de kogelmassa. Alle andere parameters moeten met off-line methoden bepaald worden. Als de kogelmassaniet exact bekend is, maken we hiervoor een schatting i&. Gebleken is dat het sytzem, met de gekmer, instelling VBII de regelaar en het filter stabiel blijft voor tenminste 4 : 25 5 &kk 5 50 met h!k = 31.4 gram, de massa van de kogel uit een (Genius)muis. De resultaten van simulaties met h!fk = 50 gram en kfk = 25 gram zijn weergegeven in de figuren 5.5 en 5.6. KOGELBAAN KOGELBAAN x [m] x [m] Figuur 5.5 Figuur 5.6 Te zien is dat de kogel in beide gevallen niet het gewenste eindpunt, aangegeven met *, bereikt. Door de fout in de schatting blijft er een statische afwijking over. 5.5 Schatting van Mh Om deze statische afwijking weg te regelen zouden we bijvoorbeeld de massa van de kogel nauwkeuriger kunnen proberen te schatten5. Wanneer de kogel stilligt nemen we aan dat het systeem voldoet aan de gelineariseerde bewegingsvergelijkingen. We kunnen dan bepalen volgens : (5.5.1) *Met een andere instelling van de regelaar en het filter kan wellicht een ruimere marge gevonden worden 5Zie hoofdstuk 6 voor een andere oplossing 12

17 Het probleem hierbij is dat voor x alleen een schatting?, geleverd door het (aangepaste) Kalmanfilter voorhanden is. Door de aanwezigheid van meetruis, modelfouten en parameterfouten zal deze schatting afwijken van de werkelijke positie van de kogel. We kunnen dit probleem gedeeltelijk elimineren door te middellen over een bepaald aantal schattingen A X Uit simdaties is gev!ekm dzt r&k!elliig over twee seconden -dit zijn dan twintig schattingen voor Mk- een redelijk resultaat geeft. In tabel 5.1 is het resultaat weergegeven van een reeks simulaties. Deze resultaten zijn als volgt verkregen : Gegeven is een beginschatting d k1 voor de kogelmassa. Op grond hiervan worden de regelwet L en de versterking van K het Kalmanfilter bepaald. Bepaal, als de kogel stilligt een nieuwe schatting k k2 op de hierboven beschreven manier (5.5. i). Met behulp hiervan wordt een nieuwe regelwet en een nieuw filter bepaald. Hiermee kunnen we dan opnieuw simuleren etc.. Schatting Massa in gram Stat. afw. in mm. Tabel 5.1 Gebleken is dat de massa van de kogel na drie keer simuleren op een paar tiende gram nauwkeurig bekend is, en dat dan ook de gewenste positie voldoende nauwkeurig bereikt wordt. (Het aantal maal simuleren hangt natuurlijk ook af van de beginschatting). In de praktijk is de bovenbeschreven methode verre van ideaal : De regelwet en de versterking van het filter moeten telkens opnieuw berekend worden en de kogel moet telkens weer in de beginpositie gelegd worden. Beter is de volgende manier : Gegeven is een beginschatting 2k1. Bepaal op grond hiervan de regelwet L en de versterking K van het Kalmanfilter. A Bepaal, als de kogel stilligt, een nieuwe schatting Alk2 en ga hiermee verder, zonder de regelwet of het filter aan te passen èn zonder te kogel terug te leggen. Ook dit proces zal een aantal maal herhaald moeten worden. In figuur 5.7 is de kogelbaan weergegeven, zoals deze bepaald is met behulp van een simulatie. In tabel 5.2 zijn de schattingen van de massa vermeld zoals deze achtereenvolgens bepaald zijn. 13

18 1 - KOGELBAAN x m Figuzlr Massa in gram 1 50 I 32.3 I Tabel 5.2 In figuur 5.7 is het gedrag van de kogel te zien : Met de beginschatting gaat de kogel niet op het gewenste punt liggen. Als de schatting van de massa aangepast wordt gaat de kogel dichter bij het gewenste punt liggen. De nieuwe schatting kkk, is echter nog niet nauwkeurig genoeg, zodat het gewenste eindpunt nog niet wordt bereikt. Pas met de tweede aanpassing van de schatting wordt het gewenste eindpunt bereikt. Er zijn zeer zeker veel elegantere methoden om de massa van de kogel te schatten, zoals bijvoorbeeld het optimale filter [5]. Nadeel hiervan is dat deze methode veel rekentijd vergt en daarom moeilijk on-line kan werken. Onderzoek heeft echter aangetoond dat een on-line implementatie wel haalbaar zou kunnen zijn als we gebruik kunnen maken van transputers [6]. Voor de schatting van de massa van de kogel is niet direct een on-line methode nodig. Het is ook denkbaar de kogel een bepaalde beweging te laten uitvoeren en de meetgegevens op te slaan. Hieruit zou dan via een off-line methode de massa van de kogel bepaald kunnen worden [

19 6 De optimale PID-regelaar 6.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk is de statische afwijking weggeregeld door de massa van de kogel beter te schatten. Een andeïe maiiieï om de statische &iijking weg te regelen is het invoeren van een integrerende actie. Als regelwet krijgen we dan voor hei id-systeem : Om de optimale regelwet te kunnen bepalen moeten we de toestand van het systeem uitbreiden tot: De toestandsbeschrijving van het Id-systeem luidt dan : r x-x,. - - O O O O o o 0--6.Po Mk+$ O Q o = y o o (J:- x,)dr x - J:, 5 <y &IT (6.1.2) - - Jyx-xr) O x - 2, O O It: + 0 K f O Q O O - & 1 -Mkgx, - I; - I: - Met behulp van P.C. Matlab kunnen we weer de optimale regelwet bepalen. 6.2 Simulat ieresultaten - (6.i.3) Een simulatie is uitgevoerd met de optimale PID-regelaar, waarbij we de massa Mk schatten op 50 gram, terwijl de massa in werkelijkheid 31.4 gram bedraagt. Het resultaat is weergegeven in figuur

20 KOGELBAAN x m 1%Juur 6.2 We zien dat de kogel nu wel het gewenste eindpunt bereikt, zij het met enig doorschot. In figuur 6.2 is het resultaat weergegeven van een simulatie waarbij kfk = kfk. In feite hebben we dan geen integrerende actie nodig om de kogel op de gewenste positie te krijgen. We zien dat de kogel de gewenste positie bereikt, maar dit gebeurt nadat eerst het gewenste punt is gepasserd. Wanneer we de polen van het geregelde systeem berekenen, blijkt dat de twee dominante polen zuiver reëel zijn, dus het geregelde systeem is (boven) critisch gedempt. KOGELBAAN O a 2 r b -O-$ O 0.1 x [ml Figuur

21 De oplossing van de bewegingsvergelijkingen van het geregelde systeem is de som van een aantal e-machten. Bekijken we de som van twee e-machten, dan kan deze eerst positief en later negatief zijn. In figuur 6.3 is een benadering voor de positie van de kogel gemaakt op grond van de twee meest dominante polen. - : Werkelijke baan - - : Benadering o. 2 o. 1 O l i I i I I Figuur 6.3 We zien dat de benadering (voor voldoende grote t) de baan vad de kogel naiiwkeurig volgt. Hiermee is aangetoond dat het (boven) critisch gedempte systeem geen doorschot heeft, maar wel het gewenste punt kan passeren. Verder is in figuur 6.2 te zien dat, met name het laatste stukje van de beweging nogal 'bibberig' verloopt. Dit wordt veroorzaakt door de aanzienlijke meetruis die het vision systeem produceert. De regelaar reageert op deze meetruis waardoor de kogel niet helemaal stil gaat liggen. Overigens zal dit effect in de praktijk niet zo duidelijk te zien zijn, omdat er dan sprake zal zijn van demping, waardoor de kogel minder snel zal reageren. 17

22 7 Baanst uring 7.1 Inleiding In dit hoofdstuk wordt een regelwet afgeleid, waarmee we de kogel een gewenste baan kunnen iaten beschrijven. Er zal gebruik gemaakt worden van de hierboven afgeleide volledige toestandsterugkoppelling (zie 3), in combinatie met voorwaartskoppelling, welke we vanaf nu computed torque zullen noemen. Later zal ook een manier gezocht worden om de massa van de kogel te schatten. 7.2 Computed Torque We zullen hier het twee-dimensionale model beschouwen, hoewel de afleidingen voor het één-dimensionale model geheel analoog verlopen. Van de te beschrijven baan, in ons geval een cirkelbaan, zijn voor de kogel de gewenste coördinaten, x,(t) en y,(t), en afgeleiden naar de tijd, als functie van de tijd bekend. Beschouw de gelineariseerde bewegingsvergelij kingen (A.21) en (A.22). Uit deze vergelijkingen volgt direct : (7.2.1) (7.2.2) Hiermee hebben we dus ook de voor de te beschrijven kogelbaan gewenste hoekverdraaiingen a, en p, gevonden en kunnen we eenvoudig de afgeleiden bepalen : (7.2.3) (7.2.5) (7.2.6) ( 7.2.7) (7.2.8) Invullen in (A.23) en (A.24), waarbij we lineariseren rond z = O, y = O, a = O en,í? = O, 18

23 levert ons de voorwaartskoppelling : ( 7.2.9) (7.2.10) Net als iii het vorige hoofdstuk zijn de toestandsgrootheden niet exact bekend, maar zijn alleen schattingen hiervan bekend. Hetzelfde geldt voor Mk. 7.3 Tegenkoppelling De tegenkoppelling, de feitelijke regeling, is wederom een optimale regelwet. De afleiding daarvan verloopt hetzelfde als in 3 en kan daarom hier achterwege blijven. De tegenkoppelling voor het twee-dimensionale systeem luidt : 7.4 De totale regeling De totale regeling werkt nu als volgt : met behulp van de metingen en de beschikbare modelkennis worden in het Kalmanfilter de toestandsgrootheden van het systeem geschat. Met deze schattingen en de gewenste toestand worden Kfal en lifbz bepaald. Met de gewenste toestand bepalen we Ktfl en Kifz. We voeren vervolgens deze koppels toe aan het systeem etc. In een blokschema ziet de regeling er als volgt uit : TORQUE FILTER Figuur 7.1 Voor de tegenkoppelling is gekozen voor de optimale regelwet. Er zijn natuxrlijk vee! meer mogelijkheden om de kogel een bepaalde baan te laten beschrijven. Vooral de schakelvlakmethode lijkt zeer geschikt voor baansturing, vooral wanner de parameters nog niet exact bekend zijn [û] [9]. 19

24 ~ 7.5 Vergelijking van het gewone Kalmanfilter met het aangepaste filter Twee simulaties zijn gedraaid, met dezelfde systeemparameters, maar eenmaal met het Kalmanfilter en eenmaal met het aangepaste filter, om nogmaals het verschil tussen beide methoden aan ie onderzoeken. In figüüi 7.2 zij= in figuur UP uchattingsfouten (het verschil tussen de werkelijke en de gefilterde x-coördinaat) van eik fiiter tegen de tijd uiigezet. Nog duidelijker dan bij punt-punt sturing is hier de verbetering in de schatting te zien. x-x A - -: Kalmanfilter -: Aangepaste filter 7.6 Simulat ieresult at en t [SI Figuur 7.2 Allereerst is een simulatie uitgevoerd waarbij is aangenomen dat Mk exact bekend is. De gewenste baan is een cirkel met een straal van 10 cm., die in 6.3 seconden moet worden doorlopen. Het resultaat van deze simulatie is te zien in figuur

25 - -: Gewenste baan -: Kogelbaan KOGELBAAN 0 * I I I O 0.1 x \ml Figuur 7.3 Het startpunt van de kogel is het punt x = O, y = O. Het resultaat is duidelijk : de kogel gaat vanuit het startpunt vrij snel de gewenste baan beschrijven. 7.7 Invloed van parameterfouten Vervolgens is met behulp van simulaties de invloed van een fout in de schatting A& onderzocht. Hiertoe is een simulatie uitgevoerd waarbij we && op 50 gram schatten, terwijl de werkelijke massa 31.4 gram is. Het resultaat is weergegeven in figuur

26 KOGELBAAN si- - : Gewenste baa - : Kogelbaan x íml Figuur 7.4 De kogel gaat vanuit de beginpositie (O, O) wel een cirkel beschrijven, maar deze cirkel heeft niet de gewenste straal. Er blijft, net als bij de punt-punt regeling, een statische afwijking over ten gevolge van de fout in M k. 7.8 Schatting van Mk met behulp van een PID-regelaar Om de kogel de gewenste baan te laten beschrijven op de hierboven voorgestelde manier moeten we de massa van de kogel vrij nauwkeurig schatten. Dit kan op de manier zoals die is gepresenteerd in 5.5. We gaan als volgt te werk : stuur met behulp van de optimale PID-regelaar de kogel naar een punt op de cirkel, bijvoorbeeld het punt x=o, y=o.l. Als de kogel op dit punt is gekomen kunnen we de massa op dezelfde manier schatten als in 5.5 is gedaan. In figuur 7.5 is het resultaat6 weergegeven van een simulatie die op deze manier is uitgevoerd. De beginschatting van hfk was 50 gram, terwijl de massa in werkelijkheid 31.4 gram bedroeg. Omdat de kogel het laatste stuk van de beweging naar het beginpunt van de cirkelbaan vrij langzaam rolt, is het mogelijk gebleken om de massa tijdens het rollen te schatten. Deze schatting leverde een waarde voor k k van 31.9 gram op. Met deze waarde wordt de cirkelbaan voldoende nauwkeurig beschreven. 6Met de nieuwe schatting M k is opniew de regelwet en het filter berekend 22

27 KOGELBAAN I I - - : Gewenste baan - : Kogelbaan - Y E h ' I I I O 0.1 x [ml Figuur 7.5 Ook nu moet opgemerkt worden dat er veel elegantere schattingsmethoden zijn, die in een volgend onderzoek bekeken kunnen worden. 23

28 8 Conclusies & aanbevelingen o De optimale regelwet is geschikt om de kogel van punt naar punt te sturen. Wanneer ten gevolge van een fout in lkk, een statische afwijking overblijft, kunnen we die op twee manieren wegregelen : 1. Door de massa van de kogei te schatten 2. Door het invoeren van een integrerende actie Schatting van de massa is omslachtiger, hoewel de door mij toegepaste methode zeer eenvoudig is. Als we vervolgens overstappen op baansturing is schatting van de massa toch noodzakelijk gebleken. o De aanpassing aan het Kalmanfilter verbetert de schattingen van de toestandsgrootheden. Net is nu geen bezwaar meer dat de positiemetingen met 0.1 seconde vertraging geleverd worden door het vision systeem. o Het is de bedoeling dat de kanteltafel io de toekomst ook werkelijk gaat werken. Alle systeemparameters zullen dan bepaald moeten worden door metingen en (off-line) systeemidentificatie [7]. o In het model van het systeem, dat in appendix A is bepaald, is aangenomen dat het hele systeem wrijvingsloos is. In werkelijkheid is dit natuurlijk niet het geval. De wrijvingsparameters zullen moeten worden vastgelegd, met behulp van experimenten of met behulp van systeemidentificatie (51. Eventueel moet het model dan worden aangepast. Hetzelfde geldt voor de speling, hoewel aanpassing van het model hiervoor moeilijker lij kt. o Bij de opstelling van het model is aangenomen dat de kogel zonder slip rolt. Bekeken moet worden of dit ook werkelijk het geval en eventueel zal weer een aanpassing aan het model gemaakt moeten worden. o In het model is de invloed van de massa van de motor die zorgt voor rotatie om de,&as weggelaten. Deze motor beweegt met de plaat mee en zal invloed hebben op het massatraagheidsmoment bij rotatie om de a-as en op het koppel dat de andere motor moet leveren. Het model lijkt hiervoor vrij eenvoudig aan te passen. o In dit rapport wordt gesproken over motorkoppels. Het gebruik van het woord motorkoppels is eigenlijk niet juist. Bedoeld zijn de koppels die op de plaat werken. De motoren zorgen voor deze koppels via een bepaalde overbrenging. o Het is verstandig om de regeling vanuit een Matlab omgeving te sturen. Op deze manier wordt voorkomen dat degene die met de tafel aan het werk gaat al te veel tijd moet besteden aan programmeerwerk. 24

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Toets Algemene natuurkunde 1

Toets Algemene natuurkunde 1 Beste Student, Toets Algemene natuurkunde 1 Deze toets telt mee voor 10% van je totaalscore, twee punten op twintig dus. Lees eerst aandachtig de vragen zodat je een duidelijk beeld hebt van wat de gegevens

Nadere informatie

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave.

Theory Dutch (Netherlands) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Q1-1 Twee problemen uit de Mechanica (10 punten) Lees eerst de algemene instructies uit de aparte enveloppe voordat je begint met deze opgave. Deel A. De verborgen schijf (3.5 punten) We beschouwen een

Nadere informatie

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Figurenlijst... 1 Inleiding... 2 Gedrag van het zonnepaneel gekoppeld aan een weerstand... 2 Gedrag van de DC-motor

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

tijd [n*t1] hoek (rad) tijd [n*t2] hoek (rad) 0 0,52 0 0,52 1 0,40 1 0,46 2 0,30 2 0,40 3 0,23 3 0,34 4 0,17 4 0,30 5 0,13 5 0,26 6 0,1 6 0,23

tijd [n*t1] hoek (rad) tijd [n*t2] hoek (rad) 0 0,52 0 0,52 1 0,40 1 0,46 2 0,30 2 0,40 3 0,23 3 0,34 4 0,17 4 0,30 5 0,13 5 0,26 6 0,1 6 0,23 TENTAMEN DYNAMICA (Vakcode 140302) 1 februari 2008, 09:00 12:30 Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken. Begin elke opgave op een nieuwe bladzijde. Tips: Lees eerst het tentamen als geheel.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen

TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TENTAMEN CTB1210 DYNAMICA en MODELVORMING d.d. 28 januari 2015 van 9:00-12:00 uur Let op: Voor de antwoorden op de conceptuele

Nadere informatie

De comfortabele auto

De comfortabele auto De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 5 november 2015 Patrick Baesjou Vraag 1 [17]: a. Voor de veerconstante moeten we de hoekfrequentie ω weten. Die wordt gegeven door: ω = 2π f ( = 62.8 s 1 ) Vervolgens

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 8 april 010 van 09.00u tot 1.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

De bepaling van de positie van een. onderwatervoertuig (inleiding)

De bepaling van de positie van een. onderwatervoertuig (inleiding) De bepaling van de positie van een onderwatervoertuig (inleiding) juli 2006 Bepaling positie van een onderwatervoertuig. Inleiding: Het volgen van onderwatervoertuigen (submersibles, ROV s etc) was in

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Advanced Creative Enigneering Skills

Advanced Creative Enigneering Skills Enigneering Skills Kinetica November 2015 Theaterschool OTT-2 1 Kinematica Kijkt naar de geometrische aspecten en niet naar de feitelijke krachten op het systeem Kinetica Beschouwt de krachten Bewegingsvergelijkingen

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Eenparige cirkelvormige beweging

Eenparige cirkelvormige beweging Eenparige cirkelvormige beweging Inleidende proef Begrip eenparige cirkelvormige beweging (ECB) definitie Een beweging gebeurt eenparig cirkelvormig als de beweging in dezelfde zin gebeurt, op een cirkelbaan

Nadere informatie

Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur

Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 11 November 2008-14.00-17.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Meet- en Regeltechniek

Meet- en Regeltechniek Meet- en Regeltechniek Les 7: De klassieke regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA ( )

TENTAMEN DYNAMICA ( ) TENTAMEN DYNAMICA (1914001) 8 januari 011, 08:45 1:15 Verzoek: Begin de beantwoording van een nieuwe opgave op een nieuwe pagina. Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden beoordeeld. Opgave 1 (norm:

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Eindronde practicumtoets A. 5 juni beschikbare tijd: 2 uur (per toets A of B)

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Eindronde practicumtoets A. 5 juni beschikbare tijd: 2 uur (per toets A of B) NATONALE NATUURKUNDE OLYMPADE Eindronde practicumtoets A 5 juni 00 beschikbare tijd: uur (per toets A of B) Bepaling van de grootte van het gat tussen de geleidingsband en de valentieband in een halfgeleider

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,

Nadere informatie

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A:

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A: Meting zonnepaneel Om de beste overbrengingsverhouding te berekenen, moet de diodefactor van het zonnepaneel gekend zijn. Deze wordt bepaald door het zonnepaneel te schakelen aan een weerstand. Een multimeter

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Tentamen Systeemanalyse (113117)

Tentamen Systeemanalyse (113117) Systeemanalyse (113117) 1/6 Vooraf Tentamen Systeemanalyse (113117) 17 augustus 2010, 8:45 12:15 uur Dit is een open boek tentamen, hetgeen betekent dat gebruik mag worden gemaakt van het dictaat Systeemanalyse

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

jaar: 1989 nummer: 25

jaar: 1989 nummer: 25 jaar: 1989 nummer: 25 Op een hoogte h 1 = 3 m heeft een verticaal vallend voorwerp, met een massa m = 0,200 kg, een snelheid v = 12 m/s. Dit voorwerp botst op een horizontale vloer en bereikt daarna een

Nadere informatie

De wijde wereld in wandelen

De wijde wereld in wandelen 127 De wijde wereld in wandelen Valrisico schatten door het meten van lopen in het dagelijks leven Om een stap verder te komen in het schatten van valrisico heb ik het lopen in het dagelijks leven bestudeerd.

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Gevorderde onderwerpen

Gevorderde onderwerpen Hoofdstuk 5 Gevorderde onderwerpen Doelstellingen 1. Weten wat M-cirkels voorstellen en de functie ervan begrijpen 2. Bodediagram van een algemene transfertfunctie kunnen tekenen 3. Begrijpen dat een regelaar

Nadere informatie

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1

1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1 1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

STUDIERICHTING:... NAAM:... NUMMER:... VOORNAAM:... SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 23 JANUARI 2006 MECHANICA

STUDIERICHTING:... NAAM:... NUMMER:... VOORNAAM:... SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 23 JANUARI 2006 MECHANICA FYSICA I J. DANCKAERT SCHRIFTELIJKE OVERHORING VAN 3 JANUARI 006 MECHANICA OPGEPAST - Deze schriftelijke overhoring bevat 3 verschillende soorten vragen : A) Meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend

Nadere informatie

V: Snelheidsregeling van DC-motor

V: Snelheidsregeling van DC-motor V: Snelheidsregeling van DCmotor 1 Inleiding Deze laboproef omvat de snelheidsregeling van een klein DCmotortje. De motor wordt aangestuurd via een vermogentrap die een Hbrug bevat. De Tacho geeft de sneldheid

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Tentamen - uitwerkingen

Tentamen - uitwerkingen Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer

Nadere informatie

Theorie windmodellen 15.1

Theorie windmodellen 15.1 Theorie windmodellen 15.1 15 THEORIE WINDMODELLEN 15.1 Inleiding Doordat er drukverschillen zijn in de atmosfeer waait er wind. Tengevolge van horizontale drukverschillen zal een luchtbeweging willen ontstaan

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen.

ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. Bereken de spankracht in het koord. ATWOOD Over een katrol hangt

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e!

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e! Case 1 en Simulink 1. Diodefactor bepalen Om de diodefactor te berekenen werden eerst een aantal metingen gedaan met het zonnepaneel en de DC- motor. Er werd een kring gemaakt met het zonnepaneel en een

Nadere informatie

4. Maak een tekening:

4. Maak een tekening: . De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door

Nadere informatie

Parameterkrommen met Cabri Geometry

Parameterkrommen met Cabri Geometry Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

1 De Hamilton vergelijkingen

1 De Hamilton vergelijkingen 1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van

Nadere informatie

Testen en metingen op windenergie.

Testen en metingen op windenergie. Testen en metingen op windenergie. Inleiding Als we rond groene energie begonnen te denken, dan kwam windenergie als een van de meest vanzelfsprekende vormen van groene energie naar boven. De wind heeft

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule:

Een kogel die van een helling afrolt, ondervindt een constante versnelling. Deze versnelling kan berekend worden met de formule: Voorbeeldmeetrapport (eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat) Eenparig versnelde beweging stopwatch en meetlat. Doel van de proef Een kogel die van een helling afrolt, voert een eenparig versnelde

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS 1 24 APRIL 2013 11:00 12:45 uur MECHANICA 1 Blok en veer. (5 punten) Een blok van 3,0 kg glijdt over een wrijvingsloos tafelblad met een snelheid van 8,0 m/s

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Arbeid & Energie. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be. Assistent: Erik Lambrechts

Arbeid & Energie. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be. Assistent: Erik Lambrechts Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Arbeid & Energie Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik Lambrechts

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven. " '"of) r.. I r. ',' t, J I i I.

EXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWIJS IN 1979 , I. Dit examen bestaat uit 4 opgaven.  'of) r.. I r. ',' t, J I i I. .o. EXAMEN VOORBEREDEND WETENSCHAPPELUK ONDERWJS N 1979 ' Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE.,, Dit examen bestaat uit 4 opgaven ',", "t, ', ' " '"of) r.. r ',' t, J i.'" 'f 1 '.., o. 1 i Deze

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 4 mei 13.30 16.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen; het examen bestaat uit 18

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Docentenhandleiding Blok I3+I4 (H5+H6) Besturen en Regelen met de PC Reinder Jongsma

Docentenhandleiding Blok I3+I4 (H5+H6) Besturen en Regelen met de PC Reinder Jongsma Docentenhandleiding Blok I3+I4 (H5+H6) Besturen en Regelen met de PC Reinder Jongsma 1. Leerdoelen en subdoelen van het blok Leerdoelen Systematisch analyseren van een programma van eisen Doorgronden van

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Regeltechniek. Meten. Uitgave : Jan Heynen PID-regeling 1

Regeltechniek. Meten. Uitgave : Jan Heynen PID-regeling 1 Regeltechniek Meten Regelen Vergelijken Uitgave : Jan Heynen PID-regeling 1 Inleiding Regelingen zijn een bestanddeel van ons leven. Voorbeeld autonome lichaamsregelingen : Hartslag Lichaamstemperatuur

Nadere informatie

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Verslag: Case 1 Team: Hyperion

Verslag: Case 1 Team: Hyperion Verslag: Case 1 Team: Hyperion Glenn Sommerfeld Jeroen Vandebroeck Ilias viaene Christophe Vandenhoeck Jelle Smets Tom Wellens Jan Willems Gaetan Rans 1. Zonnepaneel 1.1 Meetwaarden Om de eigenschappen

Nadere informatie

Meet- en Regeltechniek

Meet- en Regeltechniek Meet- en Regeltechniek Les 2: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

gaterinzageiegging 7904882

gaterinzageiegging 7904882 Octrooiraad gaterinzageiegging Nederland (19) NL 0 Inrichting voor het maken van een panoramische röntgenopname van de kaak en het gebit van een patiënt. lnt.ci 3.: A61B6/14, G03B41/16. @ @ Aanvrager:

Nadere informatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie Experts in Technisch Rekenwerk Postbus 260 2600 AG DELFT MEMO Datum Auteur(s) Onderwerp BvtH/M08.079 24-nov-2008 Bas van 't Hof Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA tel. 015-285 0125 fax. 015-285

Nadere informatie

De hoogte tijd grafiek is ook gegeven. d. Bepaal met deze grafiek de grootste snelheid van de vuurpijl.

De hoogte tijd grafiek is ook gegeven. d. Bepaal met deze grafiek de grootste snelheid van de vuurpijl. et1-stof Havo4: havo4 A: hoofdstuk 1 t/m 4 Deze opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Bij het et krijg je in 1 minuten ongeveer deelvragen. Oefen-examentoets et-1 havo 4 1/11 1. Een lancering.

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Mkv Dynamica. 1. Bereken de versnelling van het wagentje in de volgende figuur. Wrijving is te verwaarlozen. 10 kg

Mkv Dynamica. 1. Bereken de versnelling van het wagentje in de volgende figuur. Wrijving is te verwaarlozen. 10 kg Mkv Dynamica 1. Bereken de versnelling van het wagentje in de volgende figuur. Wrijving is te verwaarlozen. 10 kg 2 /3 g 5 /6 g 1 /6 g 1 /5 g 2 kg 2. Variant1: Een wagentje met massa m1

Nadere informatie

Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie

Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie Vuistregels voor energie-efficiënte robotprogrammatie Inleiding Energie-efficiëntie is zelden de primaire zorg bij het programmeren van een robot. Hoewel er in onderzoek reeds methodes werden ontwikkeld

Nadere informatie

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur

Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur EINDEXAMEN VOORBEREIDEND WETENSCHAPPELIJK ONDERWIJS IN 1977 Vrijdag 19 augustus, 9.30-12.30 uur NATUURKUNDE Zie ommezijde Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van het Besluit

Nadere informatie

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire

Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling

Nadere informatie