Samenvatting-Summary in Dutch. Om de ontwikkelingskosten en -tijd voor nieuwe machines, waar udumstromingen

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Samenvatting-Summary in Dutch. Om de ontwikkelingskosten en -tijd voor nieuwe machines, waar udumstromingen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 0 Samenvatting-Summary in Dutch Hoofdstuk 1: Inleiding Om de ontwikkelingskosten en -tijd voor nieuwe machines, waar udumstromingen een rol spelen, te kunnen drukken, is de interesse voor technieken, die de dierentiaalvergelijkingen die de stroming beschrijven (Navier-Stokes vergelijkingen) numeriek kunnen oplossen, sinds het ontstaan van computers gestadig gegroeid. Hoewel de numerieke stromingsmechanica reeds heel wat problemen aankan, zijn er nog altijd een aantal domeinen waar nog veel onderzoek nodig is. Een daarvan is het domein van de turbulentiemodellering. De meeste industriele stromingen zijn geheel of gedeeltelijk turbulent. Principieel wordt turbulentie beschreven door de Navier-Stokes vergelijkingen. Omwille van de computationele vereisten ten gevolge van hun complexiteit en kleine lengteschalen, kunnen praktische stromingen nog voor een aantal decennia niet m.b.v. DNS (Directe numerieke simulatie) berekend worden, en is deze methode alleen haalbaar voor academische testgevallen. Er is daarom behoefte aan adequate turbulentiemodellen, die ook na het verder doorbreken van DNS van betekenis zullen blijven voor een snelle inschatting van de stroming. De eerste ideeen betreende turbulentiemodellering zijn ondertussen een honderdtal jaar oud, en zijn sindsdien uiteraard sterk geevolueerd. De algebraische en eenvergelijking modellen zijn vrijwel in onbruik geraakt, ten voordele van twee-vergelijkingen modellen die de huidige industriele standaard zijn. Veruit het meest populaire van deze modellen is het k- model, gevolgd door het k-! model. Meer complexe modellen stellen dierentiaalvergelijkingen op voor alle Reynoldsspanningen (Reynoldsspanningen modellen, RSM), en zijn daardoor in staat een aantal eecten te introduceren die de huidige, lineaire, twee-vergelijkingen modellen niet kunnen reproduceren. Gebruik van complexere methodes (LES en DNS) is momenteel nog niet haalbaar voor de aanpak van problemen van industriele complexiteit. De momenteel wijd verspreide twee-vergelijkingen modellen zijn gebaseerd op de 1

2 2 0. Samenvatting-Summary in Dutch Boussinesq-hypothese, die de Reynoldsspanningen op een lineaire manier verbindt met de glijdingstensor. Deze aanpak faalt in niet-triviale stromingen, zoals over gekromde oppervlakken, bij rotatie of bij het optreden van afscheiding. De meeste van de tekortkomingen van dit type modellering kunnen verholpen worden door het gebruik van RSM, wat echter veel complexer en tijdrovender is. Een compromis tussen nauwkeurigheid en eenvoud kan bekomen wordendoorineentwee-vergelijkingen model de lineaire Boussinesq-hypothese te vervangen door een niet-lineaire constitutieve wet die de Reynoldsspanningen a.h.v. schijnbare viscositeiten verbindt met deformatie- en rotatie-componenten. Hoewel dit idee reeds een 20-tal jaar geleden ontstaan is, heeft het slechts recent aandacht gekregen. Auteurs zoals Speziale et al., Shih et al., Hirsch en Khodak [3, 4, 5, 6, 7, 8] hebben hoog-reynolds niet-lineaire modellen ontwikkeld. Laag-Reynolds niet-lineaire turbulentiemodellering blijkt echter nog in de kinderschoenen te staan. Werken van Khodak en Hirsch [1], Abid et al. [9], Craft et al. [10, 11], Lien et al. [12] en Apsley en Leschziner [13] op dat vlak, zijn er slechts gedurende de vorige drietal jaren gekomen. In dit werk wordt een niet-lineair laag-reynolds turbulentiemodel ontwikkeld, gebruik makend van DNS-data. Hoofdstuk 2: De beginselen van turbulentiemodellering. Een aantal basisconcepten van turbulentiemodellering worden hier gentroduceerd. Alles gaat uit van de Navier-Stokes vergelijkingen, die de dierentiaalvergelijkingen zijn die de + r:(u) = 0 + r:(u u)+rp = f + r:(hu) = r:(:u) ;r:q + Q Belangrijk is ook de denitie van deformatie- en rotatietensor, als het symmetrische en asymmetrische deel van ru: S ij = 1 2 j i ) ij = 1 2 j i ) Uitgaande van de Navier-Stokes vergelijkingen ontstaan de Reynoldsgemiddelde vergelijkingen (E.: Reynolds averaged Navier-Stokes, RANS) door het uitmiddellen van

3 3 grootheden over een tijdsperiode die enerzijds voldoende groot is t.o.v. de turbulente tijdsschalen en anderzijds voldoende klein is ten opzichte van de globale tijdsschalen in de stroming. De bekomen vergelijkingen (0.1) zien er formeel hetzelfde uit als de oorspronkelijke Navier-Stokes vergelijkingen het verschil bestaat enkel uit nieuwe termen in de momentumvergelijking, die functie zijn van de Reynoldsspanningen ;u 00 i u 00 j, samen met extra termen in de energievergelijking (turbulente warmteuxvector ;u 00 i i @t i = 0 i u 00 i ij ; 1 3 ijs ii j i~u j j ~ " j H ;q j ; u 00 j iju j i ; u 00 1 j 2 u00 i u 00 j h ~ui ( ij ; u 00 i u 00 j ) i (0.1) # Om met deze vergelijkingen turbulente stromingen te kunnen beschrijven is een model nodig voor de Reynoldsspanningen. Daarvoor kan men bvb. de dierentiaalvergelijkingen die de Reynoldsspanningen beschrijven opstellen, en de verschillende termen in deze dierentiaalvergelijkingen modelleren. Deze aanpak is de Reynoldsspanningen modellering (RSM), waarbij naast de transportvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen ook een transportvergelijking voor de turbulente dissipatie gebruikt wordt. Een aanzienlijke vereenvoudiging ten opzichte van deze werkwijze wordt bekomen door de 6 dierentiaalvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen te vervangen door slechts een dierentiaalvergelijking voordeturbulente kinetische energie k = 1 ug 00 2 i u 00 i, naast de dierentiaalvergelijkingvoor de lengteschaal bepalende grootheid (gewoonlijk de turbulente dissipatie ). De benodigde Reynoldsspanningen worden vervolgens algebrasch verbonden met deformatie- en rotatiecomponenten, door het verwaarlozen van de convectieve termen en de transporttermen in de dierentiaalvergelijkingen voor de Reynoldsspanningen, en het introduceren van het pressure-strain model uit een bestaand Reynoldsspanningen model. De bekomen algebrasche vergelijking is echter een impliciete vergelijking, wat inhoudt dat op iedere tijdstap een sterk gekoppelde niet-lineaire set vergelijkingen moet opgelost worden. Door het ontbreken van dempings- en diusietermen in een dergelijke set vergelijkingen, ontstaan numerieke problemen onder de vorm van stabiliteitsproblemen en trage convergentie. De numerieke inspanning kan daardoor groter worden dan voor een RSM. Vandaar het ontstaan van interesse voor de expliciete vorm van de bekomen algebrasche relaties, die dan samen met de k- vergelijkingen oplossing toelaten. Dergelijke expliciete algebraische Reynoldsspanningen modellen (EARSM) worden afgeleid van de impliciete vergelijkingen door te onderstellen dat de componenten van de anisotropietensor,

4 4 0. Samenvatting-Summary in Dutch gedenieerd als: b ij = u0 iu 0 j 2k ; 1 3 ij (0.2) functie zijn van de deformatie- en rotatiecomponenten. De relatie b = f(s ) wordt vervolgens ingevuld in de impliciete vergelijkingen, en geeft aanleiding tot een expliciete, algebrasche vorm van een bestaand RSM. De aanpak gevolgd in dit werk, nl. niet-lineaire turbulente-viscositeit modellen, is zeer nauw verwant aan de EARSM techniek: in plaats van de relatie b = f(s ) in te vullen in een impliciet algebrasch model, om zo het equivalent van een bestaand RSM te bekomen, wordt deze relatie rechtstreeks geponeerd, en worden de erin optredende coecienten rechtstreeks gekozen. De algemene vorm van een dergelijke constitutieve wet kan geschreven worden als (Shih and Lumley [6, 14], appendix A) 2b ij = u 0 iu 0 j k ; 2 3 ij = ;2c ( ~ Sij ; 1 3 ij ~ S ll ) +c 1 ( ~ S ik ~ Skj ; 1 3 ij ~ S lk ~ Skl )+c 2 ( ~ ik ~ Skj ; ~ S ik ~ kj ) +c 3 ( ~ ik ~ kj ; 1 3 ij ~ lk ~ kl ) +c 4 ( ~ ik ~ Skl ~ Slj ; ~ S ik ~ Skl ~ lj ) +c 5 (~ ik ~ kl ~ Slj + ~ Sik ~ kl ~ lj ; ~ lk ~ kl ~ Sij ; 2 3 ~ kl ~ Slm ~ mk ij ) +c 6 ( ~ S lk ~ Skl ~ Sij )+c 7 ( ~ lk ~ kl ~ Sij ) (0.3) waar de coecienten c i functie zijn van de invarianten. ~ Sij en ~ ij zijn de dimensieloze deformatie- en rotatiecomponenten: ~ Sij = S ij en ~ ij = ij waarbij een turbulente tijdsschaal is. Lineaire twee-vergelijkingen modellen zijn gebaseerd op de Boussinesq-hypothese: ij R = ;u00 i u 00 j =2 t S ij ; 1 3 ijs ll ; 2 3 k ij die eigenlijk kan gezien worden als een eerste-orde benadering van de algemene vorm (0.3). Deze hypothese wordt dan gebruikt in combinatie met twee dierentiaalvergelijkingen: naast een vergelijking voor de turbulente kinetische energie k wordt ook een vergelijking gebruikt voor het aeiden van de lengteschaal bepalende parameter, die in de meest populaire modellen de turbulente dissipatie is. In de plaats van

5 5 wordt soms ook de relatieve dissipatie van turbulente kinetische energie! gebruikt. Het is van belang het asymptotisch gedrag in wandomgeving te kennen. In de viskeuze sublaag kan men stellen dat het snelheidsproel lineair varieert met de wandafstand, terwijl in de logarithmische laag, iets verder van de wand, de viskeuze spanningen verwaarloosbaar zijn t.o.v. de Reynoldsspanningen, wat leidt tot een logaritmisch snelheidsproel. Om nu de stroming te berekenen met een k- model, zijn twee strategieen mogelijk: hoog- en laag-reynolds modellering. Bij de hoog-reynolds aanpak wordt de stroming niet berekend tot op de wand, maar tot aan een punt dat zich in de logaritmische laag bevindt, en waar randvoorwaarden opgelegd worden die volgen uit de aannames van een logaritmisch snelheidsproel en equilibrium. Daartegenover staat de laag-reynolds aanpak, die wel de berekeningen doorvoert tot op de wand, door het aanpassen van de k- vergelijkingen. Hoofdstuk 3: Numerieke aspecten. Deel1: Eciente oplossingsmethodes Om in de knopen van een rekenrooster een benaderde oplossing voor de dierentiaalvergelijkingen te bekomen, worden deze laatste gereduceerd tot een stelsel algebrasche vergelijkingen m.b.v. een discretisatiemethode. Het is niet de bedoeling om in dit werk uit te wijden over discretisatiemethodes, wel is het van belang aandacht te schenken aan de gebruikte oplossingsmethode. Turbulente stromingen zijn immers complexe stromingen, die jne rekenroosters vereisen, met aanzienlijke stretching en aspect-verhoudingen. Als geen aandacht besteed wordt aan de oplossingsmethode, veroorzaken deze eecten typisch een drastische daling van convergentiesnelheid t.o.v. het berekenen van eenvoudiger stromingsproblemen. Alle in dit werk bestudeerde stromingen zijn twee-dimensionaal en hebben een steadystate oplossing, bijgevolg wordt een impliciete methode gebruikt. De in dit hoofdstuk gebruikte discretisatiemethode werd ontwikkeld door Dick en Steelant [15, 16]. Een eerste oorzaak van de dalende performantie is het toenemende aantal roosterpunten naarmate men complexere stromingen wenst te simuleren. Multigridmethodes bieden hiervoor een oplossing. Een tweede reden is het feit dat het oplossen van de stromingsvergelijkingen aanleiding geeft tot slecht geconditioneerde stelsels. Dit is het geval bij lage Machgetallen en bij gebruik van roosters waarvan de cellen grote aspect-verhoudingen vertonen. Door gebruik te maken van analytische preconditioners kan de stijfheid te wijten aan lage Machgetallen geelimineerd worden maar niet deze te wijten aan de aspectverhoudingen. Bovenvermelde problemen kunnen wel verholpen worden door over te gaan naar (semi)-impliciete methodes in combinatie met multigrid. Een eciente multigridmethode vereist echter een goede smoother voor de demping van de hoogfrekwente componenten in de fout. Daar oplossingsmethodes gebaseerd op relaxatie meestal

6 6 0. Samenvatting-Summary in Dutch goede smoothingeigenschappen vertonen, wordt bij deze analyse de studie beperkt tot deze klasse. De hier bestudeerde relaxatiemethodes zijn van het punt-, lijn- en bloktype, dit zowel voor eerste als tweede-orde discretisatie van de Navier-Stokes vergelijkingen. De invloed van verschillende mogelijke implementaties van de tweede-orde correctie in de multigrid werd bekeken. Tot hiertoe werden enkel de problemen opgesomd die bij laminaire stromingen optreden. Bij turbulente stromingen zorgen de brontermen voor een bijkomende stijfheid van het systeem, naast de reeds hoger vermelde oorzaken. Dit moet bijgevolg afzonderlijk behandeld worden in de analyse. Geteste methodes. Puntmethodes: Hierbij wordt sequentieel door het veld gelopen: de vergelijkingen worden opgelost in een punt en daarna in het volgende punt. In tegenstelling tot Jacobimethodes wordt bij Gauss-Seidel methodes onmiddellijk gebruik gemaakt van de in de vorige punten nieuw bekomen resultaten. Hierbij bestaan verschillende mogelijke ordeningen van punten evenals verschillende mogelijke opeenvolgingen van dergelijk geordende berekeningen. De meest eciente van deze methodes, hier genoteerd als PGS 4,isdezewaarbij het veld 4 opeenvolgende keren doorlopen wordt, telkens met een ordening van de punten gestart uit een andere hoek van het veld. Lijnmethodes: Bij deze methode wordt een volledige lijn ineens op het nieuwe iteratieniveau geplaatst. Hierbij kan met verticale of met horizontale lijnen doorheen het rooster gestapt worden. De symmetrische werkwijze houdt in dat een voorwaarts doorlopen van het veld gevolgd wordt door een achterwaarts doorlopen. De alternerende werkwijze houdt in dat een voorwaarts stappen met verticale lijnen gevolgd wordt door een opwaarts stappen met horizontale lijnen. De meest robuuste lijnmethode blijkt deze te zijn waarin voorgaande methodes gecombineerd worden, namelijk deze bestaande uit een opeenvolging van voorwaartse verticale lijnen, opwaartse horizontale lijnen, achterwaartse verticale lijnen en tenslotte neerwaartse horizontale lijnen. Deze combinatie wordt verder genoteerd als ASLGS. ILU-methodes: Het gelineariseerde probleem kan beknopt geschreven worden als Ax=b, waarin A een ijle matrix is met 5 (co-) diagonalen. Bij ILU(Incomplete Lower Upper )- methodes, wordt de matrix A opgesplitst als A=M-N, waarbij M een ijle matrix is die gemakkelijk kan gefactoriseerd worden in een benedendriehoeksmatrix (L) en een bovendriehoeksmatrix (U): A = M ; N=LU; N. In het geval van een vijf- of een zeven-punts ILU, genoteerd als ILU(0) en ILU(1), heeft de restmatrix twee nevendiagonalen, zodat N kan gesplitst worden in de matrices N1 en N2,

7 7 met respectievelijk een sub- en een superdiagonaal. De elementen van N1 en N2, genoteerd als n1 en n2, zijn matrices (4x4 in het laminaire geval, 6x6 in het turbulente geval). Als de knopen van onder naar boven en van links naar rechts genummerd worden, dan ziet de stencil voor N er in het geval van ILU(0) en ILU(1) als volgt uit: n n en n n Nummering van links naar rechts en van boven naar onder levert volgende stencils: n n en n n2 0 0 : : Men spreekt van een alternerende ILU-methode (AILU) als beide knoopordeningen afgewisseld worden. Hoewel ILU-methodes meer elementen van de stencil verbinden, leidt dit niet noodzakelijk tot een betere smoothing. Zelfs de stabiliteit van een dergelijke methode is niet verzekerd. Om dit te verhelpen, worden de diagonaalelementen van M gedurende het factorisatieproces vermeerderd met behulp van een lumping matrix Nd. Men kan twee manieren bedenken om de in de literatuur bestaande modicatie, waar men zich beperkt tot een enkele vergelijking, uit te breiden naar een set gekoppelde vergelijkingen. Daar waar in het geval van een enkele vergelijking nd = (jn1j + jn2j), kan men bij gekoppelde vergelijkingen hetzij een scalaire lumping toepassen, nd kk = Xneq l=1 (jn1j + jn2j) k =1 ::: neq nd kl = 0 als k 6= l k l =1 ::: neq hetzij een matriciele lumping: nd kl = Xneq l=1 (n1 kl + n2 kl ) k =1 ::: neq waarbij neq het aantal op te lossen vergelijkingen per knoop is. In beide gevallen moet de parameter gekozen worden met het oog op het bekomen van een goede smoothing. Deze aangepaste ILU leidt dan automatisch naar een restmatrix met 3 (co-)diagonalen N=N1+Nd+N2. In het vervolg wordt geopteerd voor een scalaire lumping, en een zeven-punts ILU. De resulterende methode wordt genoteerd als AMILU(1).

8 8 0. Samenvatting-Summary in Dutch Blokmethodes. De voorgaande methodes kunnen niet altijd op het volledige systeem toegepast worden, omwille van geheugenbeperkingen. Men is dan genoodzaakt het systeem op te delen in een aantal blokken, waarop men dan ILU, of een directe Gausseliminatie kan toepassen. Laminaire resultaten. Eerste-orde resultaten. Drie testgevallen werden bestudeerd (zie tabel 0.1). Testgeval Re Mach 1 Vlakke plaat Vlakke plaat BFS Tabel 0.1: Gebruikte testgevallen. Bij alle berekeningen werd multigrid toegepast met vier roosters in een W-cyclus en vier iteraties per niveau. Voor de vlakke plaat werd het rooster zowel in x- als in y- richting "gestretched". Voor het geval van de "backward facing step" (BFS, expansieverhouding 1:2) werd het Reynoldsgetal berekend m.b.v. de hoogte van het afwaartse kanaal. Aangezien het Machgetal bij het eerste testgeval redelijk hoog is, wordt een goede smoothing bekomen met ASLGS en AMILU(1) met = :1. De PGS 4 is zoals men kan verwachten bij dergelijke hoge aspectverhoudingen (AR455), de minst performante. Bij vergelijking met de resultaten voor het tweede testgeval, kan duidelijk het verlies aan ecientie van de klassiek gebruikte PGS 4, en de performantie van ASLGS vastgesteld worden. In dit testgeval is de AMILU(1) met = :1, even ecient als de ASLGS. Het is echter gebleken dat dit niet altijd het geval is. In sommige testgevallen moet verder verhoogd worden om stabiliteit te kunnen bekomen, met een tragere convergentie als gevolg. Tabel 0.2 toont de benodigde CPU-tijd om tot machineprecisie te komen voor de voorgaande testgevallen. Alle tijden worden uitgedrukt relatief t.o.v. de PGS 4 methode voor het eerste testgeval. Men kan vaststellen vast dat de ASLGSmethode duidelijk de andere methodes overtreft. Onafhankelijk van de complexiteit van de stroming, gedraagt ASLGS zich even goed (voor eenzelfde roosterafmeting). Dit staat in tegenstelling tot het gedrag van PGS 4 en AMILU(1) die daarvoor niet robuust genoeg blijken te zijn. Hoewel op basis van het aantal multigridcycli AMILU(1) even performant lijkt als ASLGS, verandert dit beeld volledig indien CPU-kost als referentie gebruikt wordt, vermits AMILU(1) meer tijd verbruikt per cyclus.

9 9 PGS 4 ASLGS AMILU(1) Tabel 0.2: Relatieve CPU-kost voor het bekomen van convergentie bij eerste-orde discretisatie. PGS 4 ASLGS ASLGS AMILU(1) DC DC MD MD Tabel 0.3: Relatieve CPU-kost voor het bekomen van convergentie bij tweede-orde discretisatie. Hogere-orde resultaten. Het hier beschouwde hogere-orde schema is een TVD schema met een MinModlimiter. Hoewel de resultaten voor ASLGS bij de eerste-orde discretisatie merkelijk beter waren dan die voor PGS 4,ishetverschil hier niet meer zo uitgesproken bij gebruik van een defect-correctie aanpak (DC), waarbij de tweede-orde correctie eenmaal wordt toegepast per multigridcyclus. Gebruikt men echter een mixed discretisatie (MD), waarbij tijdens iedere iteratie uitgevoerd op het jnste rooster de tweede-orde correctie wordt vernieuwd, dan wordt de toename van convergentiesnelheid wel signicant. Deze mixed discretisatie kan slechts gebruikt worden in het geval dat een goede smoother gebruikt wordt. Probeert men bijvoorbeeld deze werkwijze toe te passen op een PGS 4 dan is de methode instabiel. Ook vernieuwen van de tweede-orde correctie op alle roosters, veroorzaakt instabiliteit. Verder kan nog opgemerkt worden dat AMILU(1) in dit geval, voor wat het aantal multigridcycli betreft, iets sneller convergeert dan de ASLGS methode. Voor het testgeval met lager Machgetal gelden dezelfde conclusies, alleen zijn de verschillen tussen de methodes veel meer uitgesproken. Tabel 0.3 geeft de relatieve CPU-kost weer voor de verschillende hogere-orde methodes, met dezelfde referentiewaarde als bij de eerste-orde discretisatie. Opnieuw isdevaststelling dat de AMILU(1) methode duurder is dan de ASLGS methode. Verder blijkt ook hier het nut van het gebruik van een mixed discretisatie.

10 10 0. Samenvatting-Summary in Dutch Turbulente resultaten. Het laag Reynolds turbulentiemodel van Yang-Shih [2] werd gebruikt. Een turbulente vlakke plaat en een turbulente BFS werden bestudeerd. Het meenemen van de turbulentievergelijkingen in de multigridcyclus is niet evident vermits correcties komende van de grove roosters aanleiding kunnen geven tot negatieve ken waarden. Twee mogelijkheden worden hier beschouwd. In de eerste versie wordt multigrid toegepast op de Navier-Stokes vergelijkingen, maar worden de turbulentievergelijkingen enkel op het jnste rooster opgelost. Bij de tweede methode worden de turbulentievergelijkingen ook in de multigridcyclus gebracht, maar worden de correcties komende van de grove roosters gedempt. Het toepassen van deze tweede methode blijkt noodzakelijk te zijn bij gebruik van een PGS 4 methode om voor het geval van een turbulente vlakke plaat volledige convergentie te bekomen. Gaat men echter over tot betere smoothers zoals ASLGS of AMILU(1), dan blijkt de eerste methode even performant te zijn. Voor het complexere geval van de BFS blijkt de tweede methode zelfs de convergentie te verhinderen. AMILU(1) blijkt hier niet veel beter te werken dan ASLGS als men naar het aantal multigridcycli kijkt, wat betekent dat de ASLGS methode het zal halen als het op rekentijd aankomt. Conclusie. Voor het geval van lage Machgetallen werd een aanzienlijkeverbetering bekomen t.o.v. PGS 4 door het gebruik van ASLGS en AMILU(1). ASLGS blijkt hierbij het meest geschikt te zijn onafhankelijk van de complexiteitvan stroming en geometrie. Toepassen van een mixed discretisatie verdubbelt de convergentiesnelheid t.o.v. een defect-correctie implementatie. Bij gebruik van goede smoothers is het inbrengen van de turbulentievergelijkingen in de multigridcyclus overbodig, of soms zelfs ongewenst. In de verdere berekeningen wordt bijgevolg geopteerd te werken met een ASLGS, gecombineerd met een mixed discretisatie, waarbij de turbulentievergelijkingen niet worden meegenomen in de multigridcyclus. Hoofdstuk 4: Gebruik van laag-reynolds turbulentiemodellering: motivering Het standaard k- model, dat een hoog-reynolds model is, werd ontwikkeld voor zones met voldoend hoog Reynoldsgetal. Het gevolg is dat dit model niet geldig is in wandomgeving, waar viskeuze eecten belangrijk worden. Voor de berekening van wandgebonden stromingen zijn er twee aanpakken mogelijk. De eerste bestaat erin het k- systeem aan te passen aan laag-reynolds situaties met behulp van empirische functies en wordt een laag-reynolds model genoemd. De tweede aanpak komt erop neer de hoog-reynolds vergelijkingen alleen vanaf de logarithmische laag te gebruiken, en de afstand tussen het eerste roosterpunt endewand te overbruggen met empirische wandfuncties.

11 11 Recirculerende stromingen, een van de belangrijke stromingen in dit werk, worden gewoonlijk met een hoog-reynolds turbulentiemodel berekend. Men beweert dan systematisch gebruik te maken van de "standaard" aanpak, maar het is niet evident omerachter te komen wat men dan wel als "standaard" bedoelt. Bovendien blijken verschillende auteurs voor identieke testgevallen, bij toepassen van standaard hoog-reynolds modellering tot verschillende resultaten te komen. In dit hoofdstuk wordt besproken waarom in dit werk geopteerd werd voor laag-reynolds modellering. Berekeningen werden uitgevoerd die de grote invloed van de arbitraire keuze van het eerste roosterpunt bij hoog-reynolds modellen illustreren. De standaard wandfuncties komen tot stand door in het eerste roosterpunt de equilibrium-hypothese (turbulente productie = turbulente dissipatie) te combineren met de aanname van een logaritmisch snelheidsproel, en de onderstelling dat de schuifspanning in het eerste punt gelijk is aan de wandschuifspanning. Combinatie van deze hypotheses met de denitie van de wrijvingssnelheid u en de modellen voor turbulente productie P k en viscositeit t,levert de noodzakelijke randvoorwaarden: P = w, k P = u2 p c, P = u3. In deze randvoorwaarden wordt y u bepaald uit de logaritmische u wet: u = 1 ln B 2 yu. Om deze wet te mogen toepassen, moet het eerste roosterpunt in de logarithmische zone gelegen zijn. Om hieraan te kunnen voldoen neemt men gewoonlijk 30 <y + < 100 in het eerste roosterpunt. De randvoorwaarden impliceren nu echter dat k + =3:3 in het eerste roosterpunt. Inspectie van DNS-resultaten voor een kanaalstroming illustreert al dat deze aanname goed is als y + = 43 in het eerste roosterpunt, maar ver van de werkelijkheid ligt als het eerste roosterpunt gekozen wordt op y + = 80. Dit illustreert reeds de afhankelijkheid van de voorspellingen van de arbitraire keuze van het eerste roosterpunt, maar zelfs voor de keuze y + =43die met voorkennis genomen is, is de vaststelling dat de berekeningsresultaten tamelijk afwijken van de DNS-data. Om aan deze afwijking te verhelpen is het aangewezen een meer gesostikeerde aanpak te hanteren. Voor deze stroming is de aanname dat de schuifspanning in het eerste roosterpunt gelijk is aan de wandschuifspanning immers te grof. Een betere aanpak bestaat erin de waarde van de schuifspanning in het eerste roosterpunt op te leggen aan de hand van de waarden op de wandenopdebovenwand van het eerste controlevolume: P1 = w + y P 1 y P 2 ( P2 ; w ). De k-vergelijking wordt in deze methode opgelost in het eerste roosterpunt, waarbijdewaarde van de turbulente productie opgelegd wordt als: P k = P 1 u c k 2 3 en de dissipatie in het eerste roosterpunt als: =. Hierin worden y y wandschuifspanning en wrijvingssnelheid bepaald uitgaande van de logarithmische wet 1 4 y P 1 p k 1 met: u 2 = w = c 4 k 1 2 ln(b 2 y + P ) u waarbij y+ P = c. Berekeningen voor kanaalstroming met deze methode tonen aan dat de resultaten beter zijn dan met de oorspronkelijke hoog-reynolds aanpak. Ze illustreren echterookdeafhankelijkheid van de resultaten van de keuze van het eerste roosterpunt. Bij een recirculerende stroming (BFS) bekijkt is voorgaande aanpak niet verantwoordbaar. Immers, het eerste roosterpunt moet in de logarithmische laag gelegen zijn, waarvoor de grenzen gegeven worden door: 30 <y + < 100. Daarin is y + = yu, 3 4

12 12 0. Samenvatting-Summary in Dutch wat betekent dat een probleem optreedt daar waar u = 0, gezien dit resulteert in y + =0,waardoor het eerste roosterpunt onmogelijk tussen de opgegeven grenzen kan gelegen zijn. Er is trouwens geen logarithmisch snelheidsverloop binnen een recirculatiezone. Als het bovenstaande algoritme echter blindelings toegepast wordt, zonder kennis van de achterliggende hypotheses, merkt men geen implementatieprobleem: in de denitie van y + P werd u p immers vervangen door c 1 4 k, dus de logaritmische wet wordt niet singulier. Het is echter ongehoord een dergelijk algoritme blindelings toe te passen. Een betere aanpak bestaat erin een twee-lagen model te hanteren, waarbij de logarithmische wet opgelegd wordt als y P + > 11:3, terwijl de wetten van de viskeuze sublaag gebruikt worden als y P + < 11:3. Het alternatief bestaat erin gebruik te maken van een laag-reynolds aanpak, die integratie tot op de wand toelaat door het introduceren van dempingsfuncties die verondersteld worden automatisch deviskeuze eecten in rekening te brengen. Het enige nadeel van deze aanpak is de nood aan jne roosters in wandomgeving, die een toename van rekentijd en geheugengebruik met zich meebrengt. Deze aanpak verwijdert echter de onzekerheid i.v.m. de keuze van het eerste roosterpunt. Gebruik makend van het testgeval van een stroming over een transitionele vlakke plaat, kan worden gellustreerd dat een hoog-reynolds aanpak enkel te verantwoorden is bij voldoend hoge Reynolds-getallen, terwijl een laag-reynolds aanpak het algemeen gezien behoorlijk doet. Het tweede testgeval is een BFS-stroming, bij Re h = 5100, waarvoor DNS-data beschikbaar zijn. Met dit testgeval kan de afhankelijkheid van de positie van het eerste roosterpunt bij een hoog-reynolds aanpak duidelijk gellustreerd worden. Bovendien wordt de afhankelijkheid van deze methode van de detailimplementatie van de hoekpunten aangetoond. Conclusies Bij het toepassen van een hoog-reynolds aanpak is het niet altijd duidelijk wat bedoeld wordt met "standaard" aanpak. Vooral in recirculerende stromingen is de implementatie niet triviaal, en zou een twee-lagen aanpak moeten gebruikt worden. Hoog-Reynolds modellen zijn alleen bruikbaar voor voldoend hoge Reynoldsgetallen. Bij verplaatsing van het eerste roosterpunt kunnen aanzienlijkeverschillen ontstaan in de voorspellingen, die het meest uitgesproken zijn in gevallen waar het Reynoldsgetal niet extreem hoog is. Hoofdstuk 5: Oorsprong van de constanten in het k- model De hoog-reynolds vorm van de k- vergelijkingen is: Dk m ( + t m! + P k ;

13 13 D m! ( + t + c 1P k ; c 2 m De constanten in het standaard k- model zijn: c 1 =1:44, c 2 =1:92, k =1:0, =1:3. De waarde voor de constante c 2 kan afgeleid worden uit de afbraakwet voor homogene turbulentie: k t ;n met n = 1. c 2 Het is recent gebleken dat de waarde ;1 c 2 =1:83 beter geschikt is dan de gebruikelijke c 2 =1:92. De constante c 1 volgt uit het beschouwen van de evenwichtstoestand van homogene afschuifstromingen, waarbij c 1 = c 2;1 +1. Tenslotte wordt de constante P k = bekomen uit = 2 (c 2 ;c 1 ) p c die ontstaat door de wetten geldend in de logarithmische zone in de vergelijking in te vullen. In laag-reynolds omstandigheden wordt de constante c 2 vermenigvuldigd met een functie f 2, gebaseerd op experimentenvoor de afbraakwet bij verschillende Reynoldsgetallen. De constante c wordt eveneens gedempt, m.b.v een functie f, die gewoonlijk opgesteld wordt aan de hand van het wandgedrag van een eenvoudige afschuifstroming. Bovendien wordt in de -vergelijking vaak een bijkomende term E S = const t u j u j ) toegevoegd om het gedrag in de buerzone aan te passen. Hoofdstuk 6: Numerieke aspecten. Deel 2: Nauwkeurigheid. Hier wordt het oplossingsalgoritme dat in de rest van het werk zal gebruikt worden gekozen. Vermits alle beschouwde stromingen incompressibel zijn, is het aangewezen op een incompressibele aanpak over te stappen. Een tweede motivering voor de verandering in numerieke aanpak, is echter een nauwkeurigheidsaspect. Bij een laminaire, incompressibele BFS moet het stromingsbeeld onafhankelijk zijn van het Machgetal als het Reynoldsgetal behouden blijft. Gebruikt men echter de aanpak uit hoofdstuk 3, dan merkt men dat de recirculatiezone krimpt bij dalend Machgetal, totdat ze zelfs helemaal verdwijnt. Om deze redenen wordt overgegaan op een andere numerieke aanpak, nl. de methode ontwikkeld door Vierendeels et al. [17, 18, 19]. Deze methode kan op eenvoudige wijze uitgebreid worden voor turbulente stromingen. Gezien in hoofdstuk 3 werd geconstateerd dat het onnodig is multigrid toe te passen op het twee-vergelijkingen model die de turbulentie beschrijft, en aangezien multigrid wel degelijk de oplossing van de RANS vergelijkingen aanzienlijk kan versnellen, wordt hier geopteerd voor een ontkoppeling van het RANS-gedeelte en het tweevergelijkingen model. Een iteratie bestaat dan uit 1 multigridcyclus voor het RANSgedeelte, gevolgd door een iteratie op het jne rooster voor de twee turbulente vergelijkingen. Bij turbulente stromingen hebben de roosters soms extreme aspect-verhoudingen, zo-

14 14 0. Samenvatting-Summary in Dutch dat het gebruik van een alternerende lijnmethode aangewezen is i.p.v. de lijnmethode die in [17, 18, 19] gebruikt wordt. Hoofdstuk 7: Ontwikkeling van een niet-lineair, laag- Reynolds turbulentiemodel Tegenwoordig wordt algemeen aanvaard dat lineaire twee-vergelijkingen turbulentiemodellen slechts gebrekkige voorspellingen kunnen leveren voor complexe stromingen, waar afscheiding, kromming, rotatie of stagnatiezones een belangrijke rol spelen. Een aantal van die tekortkomingen kunnen verholpen worden door het gebruik van RSM, maar dit ten koste van veel meer berekeningstijd en complexiteit. Een compromis tussen nauwkeurigheid en eenvoud kan bekomen worden door het opstellen van een constitutieve relatie die de Reynoldsspanningen verbindt met nietlineaire expansies van deformatie en rotatie, door middel van schijnbare viscositeiten. Voorbeelden zijn de modellen van Shih et al. [6], Khodak en Hirsch [1] en Craft et al. [11]. De eerste twee modellen zijn kwadratische hoog-reynolds modellen, terwijl de laatste twee laag-reynolds modellen respectievelijk van tweede- en derde-orde zijn. Het cubisch model van Craft et al. is reeds zeer complex vermits het een extra transportvergelijking introduceert voor de A 2 -invariant. Het model van Khodak en Hirsch heeft als bijzonder kenmerk, dat kromming en rotatie expliciet in rekening gebracht worden door het invoeren van een Richardson-getal. In dit hoofdstuk wordt een niet-lineair, anisotroop model ontwikkeld volgens de ideeen van Speziale en Shih, maar uitgebreid voor laag-reynolds eecten. Een bijkomende cubische term wordt ingevoerd om eecten van rotatie en kromming in rekening te brengen. Het ontwikkelde model wordt vervolgens getest voor de niet-triviale BFS stromingssituatie. Volgens Pope [20] en Lumley [21] kan een algemene, coordinaat-invariante betrekking tussen spanningen en snelheidsgradienten, tot derde-orde termen, geschreven worden als 2b ij = u 0 iu 0 j k ; 2 3 ij = ;2c ( ~ S ij ; 1 3 ij ~ S ll ) +c 1 ( ~ S ik ~ Skj ; 1 3 ij ~ S lk ~ Skl )+c 2 ( ~ ik ~ Skj ; ~ S ik ~ kj ) +c 3 (~ ik ~ kj ; 1 3 ij ~ lk ~ kl ) +c 4 ( ~ ik ~ Skl ~ Slj ; ~ S ik ~ Skl ~ lj ) +c 5 ( ~ ik ~ kl ~ Slj + ~ S ik ~ kl ~ lj ; ~ lk ~ kl ~ Sij ; 2 3 ~ kl ~ Slm ~ mk ij )

15 15 +c 6 ( ~ S lk ~ Skl ~ Sij )+c 7 ( ~ lk ~ kl ~ Sij ) (0.4) Een laatste concept dat nog moet besproken worden vooraleer het model zelf kan opgesteld worden is realiseerbaarheid. Realiseerbaarheid, gedenieerd als het niet negatief zijn van de turbulente normaalspanningen, samen met de Schwarz ongelijkheid is een fysisch en mathematisch basisprincipe waaraan elk turbulentiemodel zou moeten voldoen. Bij de standaard k- formulering is hieraan evenwel niet voldaan. Vandaar dat een eerste stap in dit onderzoek een overgang is van de standaard, lineaire, eerste-orde formulering naar een realiseerbare eerste-orde formulering. Beschouw een situatie waarbij S 22 = ;S 11 en alle andere deformatie- en rotatiecomponenten nul zijn. De normale spanning u 0 1u 0 1 kan dan geschreven worden als: u0 1 u0 1 2k = 1 3 ; ~c ~ S11. Fysisch geldt dat u 0 1u 0 1 daalt als ~ S11 toeneemt. Denieert men nu ~ S = q2 ~ Sij ~ Sij dan luiden de realiseerbaarheidsvoorwaarden hier: u 0 1u 0 1 2k > 0 voor 0 < ~ S<1 u 0 1u 0 1 2k! 0 voor ~ S!1 ( u0 1u 0 1 2k ) ~ S! 0 voor ~ S!1 Aan deze voorwaarden kan voldaan worden door te stellen: ~c = 1 A +1:5 ~ S waarbij nu nog de constante A te bepalen valt. Daartoe wordt een kanaalstroming beschouwd, waarbij de evenwichtswaarde voor ~ S 3:3. Daar het standaard k- model op deze evenwichtssituatie is afgestemd wordt de constante A zo gekozen dat ~c =0:09, d.w.z. A = 6. Om het model uit te breiden voor gebruik tot op de wand, zijn laag- Reynolds aanpassingen vereist. De turbulente tijdsschaal wordt daarom genomen als: = k + r in overeenstemming met het gebruikte laag-reynolds twee-vergelijkingen model. De dempingsfuncties, ontwikkeld voor laag-reynolds aanpassing van het standaard k- model kunnen niet gebruikt worden, vermits c vervangen werd door een niet-lineaire relatie. Daarom is het noodzakelijk een nieuwe functie f op te stellen om de turbulente viscositeit in wandomgeving gepast te dempen. Gebruik makend van de kenmerken van een volontwikkelde kanaalstroming, kan aangetoond worden dat de

16 16 0. Samenvatting-Summary in Dutch tweede-orde termen geen invloed hebben op u 0 1u 0 2,wat toelaat een eerste-orde model te ontwikkelen zonder voorafgaande kennis van de vorm van de tweede-orde termen, vermits u 0 1u 0 2 de enige Reynoldsspanning is die deze stroming benvloedt. Door een gepaste keuze van de coecienten (c 6 = c 7 ), kan er ook voor gezorgd worden dat de cubische termen geen invloed hebben op de stromingsvoorspellingen voor een eenvoudige kanaalstroming. De functie f kan dan verkregen worden door de werkelijke waarde voor u 0 1u 0 2 (zoals volgt uit DNS-data van Kim et al. [22]) te vergelijken met de voorspelling die bekomen wordt uit het hoog-reynolds model: f theor = ;u0 u k S ~ 12 c. Om nu een betrekking op te stellen waarmee f kan bepaald worden, moet eerst een parameter gekozen worden, die dienst zal doen als wandindicator. Verschillende mogelijkheden zijn: R t = k2 R k = k R S y = p ky. In dit werk wordt geopteerd voor de parameter R y, die niet alleen de meest geschikte wandindicator is, maar bovendien ook numeriek gezien de meest stabiele is. De volgende functie werd dan bekomen door curve-tting: f =1; e (;:04Ry0:5 ;1:10 ;4 R y2 ;8:10 ;11 R y 5 ) Bij het opstellen van deze functie werd er zorg voor gedragen dat het correcte asymptotische wandgedrag ontstaat. Het op deze manier ontstane eerste-orde model, wordt gebruikt in combinatie met het laag-reynolds twee-vergelijkingen model van Yang en Shih [2]. Hierin wordt de turbulente viscositeit nu echter berekend met: t = c f k, waar c en f bepaald worden zoals in het nieuwe tweede-orde model, en wordt de turbulente productie berekend uit: P k = ;u 0 iu 0 js ij. Net zoals het lineaire laag-reynolds model van Yang en Shih (LYS), levert het ontwikkelde niet-lineaire model van eerste orde (NL1), afgezien van de anisotropieen, uitstekende resultaten voor een kanaalstroming. Deze eerste-orde aanpak faalt echter van zodra een complexere stroming, zoals een BFS stroming beschouwd wordt. Abid et al. [23] stellen dat het falen van het model wat de voorspelling van de recirculatiezone van een BFS betreft, zou gelegen zijn aan de onbekwaamheid de anisotropieen correct te voorspellen. Door het invoeren van tweede-orde termen, wordt de mogelijkheid geboden anisotropieen voor te stellen. Resultaten, bekomen uit Rapid Distortion Theory door Reynolds [24] en Mansour [25], tonen aan dat er geen eect is van zuivere rotatie op initieel isotrope turbulentie. Als gevolg hiervan moet de coecient c 3 in vergelijking (0.4) nul zijn. De resterende tweede-orde termen kunnen gehergroepeerd worden tot: ~c 1 (2 ~ Sik ~ Skj + ~ ik ~ Skj ; ~ Sik ~ kj ; 2 3 ij ~ S lk ~ Skl ) ~c 2 (2 ~ S ik ~ Skj ; ~ ik ~ Skj + ~ S ik ~ kj ; 2 3 ij ~ S lk ~ Skl ) :

17 17 Deze termen zorgen voor de herverdeling van de kinetische energie, en het zo creeren van anisotropie. Bij het opstellen van de tweede-orde termen, werd opnieuw rekening gehouden met het realiseerbaarheidsconcept, waaruit volgt dat deze termen naar 0 moeten gaan als ~ S!1en/of ~!1. Een mogelijkheid om hieraan te voldoen, bestaat erin de coecienten ~c 1 en ~c 2 op te bouwen als de inverse van een veelterm van derde orde in ~ X = 1 2 ( ~ S + ~ ). Opnieuw werd gebruik gemaakt van de beschikbare DNS-data voor kanaalstroming om de benodigde coecienten te bepalen via curve- tting: ~c 1 = 1 17:41 + :5194 ~ X 2 + : ~ X 3 ~c 2 = ;1 27:38 + 4:09 ~ X 2 + : ~ X 3 : Een beoordelingsmethode voor opgestelde constitutieve relaties die in dit werk frequent gebruikt wordt, bestaat uit a priori testen. Hiermee wordt bedoeld dat de gegevens uit de DNS-databank ingevuld wordenindevooropgestelde constitutievewet, en dat de Reynoldsspanningen (of anisotropieen) die op deze manier bekomen worden, vergeleken worden met hun DNS waarden. Wordt het voorgestelde tweede-orde model voor het kanaaltestgeval op die manier getest, dan kan men ondanks de behoorlijke kwaliteit van de anisotropieen 3 regio's onderscheiden waar de tweede-orde termen falen. Een eerste daarvan bevindt zich in het midden van het kanaal: daar waar de deformatie- en rotatiecomponenten nul zijn, zijn ook de anisotropieen nul, in tegenstelling tot de DNS waarden. Dit probleem is onvermijdelijk als een constitutieve wet wordt gebruikt die functie is van deformatie en rotatie. De tweede probleemzone bevindt zich inwandomgeving: de anisotropiewaarden blijken veel te klein te zijn in wandomgeving, wat kan verklaard worden door de kleine waarde van de gebruikte turbulente tijdsschaal daar. Een laatste probleemzone bevindt zich in de omgeving y + 50, en kan verklaard worden door het feit dat de anisotropieen bij het naderen van de wand beginnen te veranderen vanaf y + 75, terwijl de dimensieloze deformatie slechts begint teveranderen vanaf y Het voorgestelde tweede-orde model (NL2S) isteschrijven als: u 0 iu 0 j k = 2 3 ij ; 2c ( ~ S ij ; 1 3 ij ~ S ll ) + c 1 (2 ~ S ik ~ Skj + ~ ik ~ Skj ; ~ S ik ~ kj ; 2 3 ij ~ S lk ~ Skl ) + c 2 (2 ~ Sik ~ Skj ; ~ ik ~ Skj + ~ Sik ~ kj ; 2 3 ij ~ S lk ~ Skl ) (0.5) Het belang van niet-lineaire en anisotrope turbulentiemodellen, evenals het onderscheid tussen beiden kan gellustreerd worden met behulp van een anisotropiediagram. Op guur 0.1 worden de termen van de anisotropietensor b ij voorgesteld, zoals ze volgen uit DNS-data voor kanaalstroming en homogene afschuiving en uit een experiment voor homogene afschuiving. Men kan reeds onmiddellijk de gebreken van de

18 18 0. Samenvatting-Summary in Dutch g d a b c b ij e h f -0.4 Sτ Figuur 0.1: Anisotropiediagram. a: DNS-data Kim et al. [22] voor kanaalstroming bij Re = 180 b: DNS-data Kim et al. [22] voor kanaalstroming bij Re = 395 c: Experimenten Tavoularis en Corrsin [26] voor homogene afschuiving d: DNS-data Lee et al. [27] voor homogene afschuiving e: b 12 voor een lineair eerste-orde model f: b 12 voor een niet-lineair eerste-orde model g: b 11 voor het tweede-orde model h: b 22 voor het tweede-orde model 3: b 11 4: b 22 +: b 12 klassiek gebruikte modellen vaststellen. Enerzijds ligt het probleem bij het lineair zijn van de modellen: het gedrag van de experimentele b 12 is allesbehalve lineair in ~ S in tegenstelling tot de b 12 die bekomen wordt met een lineair model (curve e). Overgang naar een niet-lineair eerste-orde model blijkt dus noodzakelijk (curve f), maar is onvoldoende om anisotropie te bekomen: zolang het model van eerste orde blijft zullen b 11 en b 22 nul blijven. Gaat men nu over naar een model waarin tweede-orde termen opgenomen worden, dan kan men anisotropie bekomen (curves g en h). Het moet benadrukt worden dat de coecienten van de tweede-orde termen bekomen werden door enkel naar het anisotropiegedrag van een kanaalstroming te kijken, maar dat het bekomen model blijkbaar ook in andere afschuifstromingen behoorlijk presteert. Verder wordt nog een cubische term ingevoerd. De nood hiervoor is enerzijds te verklaren door het feit dat bij een BFS stroming, de ingevoerde ansiotropieen weliswaar een daling van de turbulente productieterm tot gevolg hebben, maar dat dit gunstige eect tegengewerkt wordt door het eect dat de tweede-orde termen in deze stroming hebben op u 0 1u 0 2. Het toevoegen van derde-orde termen die de voorspellingen voor simpele afschuifstromingen niet benvloeden, zou dit kunnen verhelpen. Afgezien van de vorige, meer praktische beweegreden, is een aanpassing onontbeerlijk indien men het eect van rotatie op bijvoorbeeld een kanaalstroming wil kunnen weergeven. De ontwikkeling van de additionele term is dan ook gebaseerd op dit laatste standpunt. Voor een kanaal roterend om de z-as, met een constante hoeksnelheid S =(0 0 S 3 )

19 19 is er slechts een relevante momentumvergelijking: 0=; 1 dp eff dx ; du0 v 0 dy + d2 u dy 2 Hierbij is het centrifugaaleect opgenomen in de eectieve druk p eff, terwijl het Corrioliseect geen component heeft in deze richting. Kenmerkend voor een dergelijk roterend kanaal, naast het Reynoldsgetal is ook het rotatiegetal Ro = 2S 3 h U b. Net zoals bij een niet-roterende kanaalstroming is de voorspelde stroming ook hier onafhankelijk van de tweede-orde termen. Wegens het ontbreken van rotatie-eecten in de eersteorde term, zal bij restrictie tot een tweede-orde model de stromingsvoorspelling voor een roterend kanaal identiek zijn aan deze voor een niet-roterend. Bijgevolgisdein- voering van cubische termen noodzakelijk om het asymmetrische snelheidsproel dat optreedt bij rotatie te kunnen weergeven. In de algemene wet (0.4), zijn de c 4 -enc 5 - termen nul voor een incompressibele 2D stroming. De keuze c 6 = c 7 verzekert dat de cubische termen geen invloed hebben op een eenvoudige afschuifstroming, maar slechts tussenkomen als kromming of rotatie een rol spelen. De termen met coecienten c 6 en c 7 kunnen eigenlijk ook gezien worden als een eerste-orde term, vermits ze opgebouwd zijn als een product van een invariant en een eerste-orde term. Omwille van hun onderscheiden rol worden ze hier echter als een aparte term beschouwd. Voor 2D, incompressibele stromingen, kan de enige overblijvende derde-orde term herschreven worden als: ;2c 3 ( ~ S 2 ; ~ 2 )( ~ S ij ; 1 3 ij ~ S ll ) Om de coecient c 3 te bepalen werden DNS data van Andersson en Kristoersen [28, 29] voor een roterend kanaal gebruikt. Voor deze stroming worden de componenten van de rotatietensor uitgebreid met de componenten van de systeemrotatie: ~ ij = " 1 2 j i ) ; S k ijk # Een poging om het algemene gedrag bij toename van het rotatiegetal weer te geven gaf aanleiding tot de volgende coecient: c 3 = 1: ~ S2 +5~ 2 +0:15j ~ S4 ; ~ 4 j : Met dit derde-orde model kan het algemene gedrag voor een roterend kanaal weergegeven worden: toename van de turbulent kinetische energie aan de drukzijde, daling

20 20 0. Samenvatting-Summary in Dutch aan de zuigzijde. Het eect wordt niet voor alle rotatiegetallen kwantitatief gereproduceerd, maar kwalitatief is de algemene trend bij toenemend rotatiegetal wel aanwezig. De turbulente stroming over een BFS is een van de meest gebruikte testgevallen voor het uittesten van turbulentiemodellen voor afgescheiden stromingen. Het combineert eecten van tegenwerkende drukgradient, kromming van de stroomlijnen,... waardoor het een strenge test vormt voor turbulentiemodellen. Als een model deze stroming correct kan simuleren is het waarschijnlijk dat het ook in andere complexe stromingen goed zal presteren. Met behulp van DNS hebben Le en Moin [30] een BFS berekend bij Re h = Dit vormt bijgevolg een uitstekend testgeval, en wordt dan ook in dit werk uitvoerig gebruikt, zowel voor a priori testen als voor validatie van berekeningsresultaten. De mogelijkheid om met tweede-orde termen anisotropieen te reproduceren in deze stroming komt naarvoor bij het uitvoeren van a priori testen voor deze BFS. Enkel in de zone waar u y nul is, kunnen de tweede-orde termen niet tussenkomen. Ondanks de goede a priori resultaten, zijn de uitgevoerde berekeningen teleurstellend. Het invoeren van tweede-orde termen zorgt wel voor een langere secundaire recirculatiezone (kleine zone in de hoek), maar de primaire recirculatiezone wordt korter, zodat de totale recirculatielengte afneemt. Wat wel behoorlijk verbetert, is de sterkte van de recirculatiezone: het tweede-orde model NL2S voorspelt een minder sterke recirculatie (kleinere grootte van de minimum wrijvingscoecient) dan de eersteorde modellen. Invoeren van cubische termen lijkt echter geen signicante invloed te hebben op de wrijvingscoeent. Snelheidsproelen op verschillende stromingsgewijze locaties verbeteren wel bij gebruik van een complexer model, maar in wandomgeving blijkt de verbetering slechts marginaal te zijn. Wat wel markant verbetert, is de turbulente kinetische energie voorspelling: het invoeren van de hogere-orde termen geeft niet alleen een verschuiving van de piek naar de juiste locatie, maar ook een daling van de overschatting van de grootte. De tweede-orde termen hebben inderdaad de voorspellingen voor de normale Reynoldsspanningen verbeterd, maar de resultaten zijn minder goed dan volgt uit de a priori testen omwille van de nog steeds gebrekkige voorspellingen voor de snelheid en de turbulente kinetische energie. Conclusies. In dit hoofdstuk werd een nieuw niet-lineair, laag-reynolds model ontwikkeld en getest. Gebruik makend van a priori testen werd aangetoond dat de anisotropievoorspellingen behoorlijk zouden zijn indien snelheden en turbulente grootheden correct voorspeld worden. Uit berekeningen blijkt echter dat, hoewel het model behoorlijk werkt voor een al dan niet roterend kanaal, de BFS-stroming nog altijd niet goed kan voorspeld worden. Hoewel het ontwikkelde model een aantal waardevolle aspecten in rekening brengt (realiseerbaarheid, anisotropie, rotatie-invloed), blijkt het niet geavanceerd genoeg om te dienen als werktuig voor voorspelling van recirculerende stromingen. Er werd opgemerkt dat de voorspellingen het slechtst zijn in wandomgeving. Vermits de tweede-orde termen niet het juiste gedrag hadden tot op de wand, is het noodzakelijk de implicaties van deze tekortkoming te onderzoeken.

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model.

Figuur 1. Schematisch overzicht van de structuur van het twee-stadia recourse model. Samenvatting In dit proefschrift worden planningsproblemen op het gebied van routering en roostering bestudeerd met behulp van wiskundige modellen en (numerieke) optimalisatie. Kenmerkend voor de bestudeerde

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie Experts in Technisch Rekenwerk Postbus 260 2600 AG DELFT MEMO Datum Auteur(s) Onderwerp BvtH/M08.079 24-nov-2008 Bas van 't Hof Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA tel. 015-285 0125 fax. 015-285

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Gestelde vragen en antwoorden 1. Kan er ook een webinar gegeven worden op het gebruik van een plaat met ribben. Dit voorstel is doorgegeven, en al intern

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

Instabiliteiten en turbulentie in stroming van polymeren. Prof. Dr. Ir. W. van Saarloos Hoogleraar Universiteit Leiden

Instabiliteiten en turbulentie in stroming van polymeren. Prof. Dr. Ir. W. van Saarloos Hoogleraar Universiteit Leiden Instabiliteiten en turbulentie in stroming van polymeren Prof. Dr. Ir. W. van Saarloos Hoogleraar Universiteit Leiden Inleiding: spontane patroonvorming Hoe ontstaan de ribbels op het strand ten gevolge

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Samenvatting. Watergeweld bij offshore constructies

Samenvatting. Watergeweld bij offshore constructies Samenvatting Watergeweld bij offshore constructies Een offshore constructie voor de productie of het opslaan van olie of gas ligt vaak op een vaste plaats voor een aantal jaren. Zulke constructies staan

Nadere informatie

Conclusies. Martijn de Ruyter de Wildt en Henk Eskes. KNMI, afdeling Chemie en Klimaat Telefoon +31-30-2206431 e-mail mruijterd@knmi.

Conclusies. Martijn de Ruyter de Wildt en Henk Eskes. KNMI, afdeling Chemie en Klimaat Telefoon +31-30-2206431 e-mail mruijterd@knmi. Lotos-Euros v1.7: validatierapport voor 10 en bias-correctie Martijn de Ruyter de Wildt en Henk Eskes KNMI, afdeling Chemie en Klimaat Telefoon +31-30-2206431 e-mail mruijterd@knmi.nl Conclusies Bias-correctie:

Nadere informatie

4. Resultaten. 4.1 Levensverwachting naar geslacht en opleidingsniveau

4. Resultaten. 4.1 Levensverwachting naar geslacht en opleidingsniveau 4. Het doel van deze studie is de verschillen in gezondheidsverwachting naar een socio-economisch gradiënt, met name naar het hoogst bereikte diploma, te beschrijven. Specifieke gegevens in enkel mortaliteit

Nadere informatie

Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd?

Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd? Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd? 9 februari 2007 Overzicht 1 Situering 2 Numerieke simulatie 3 Gedempt massa-veersysteem 4 Numerieke simulaties voor trillingen 5 Versnellingstechnieken

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen

Nadere informatie

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel

Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem

Nadere informatie

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/32149 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Renema, Jelmer Jan Title: The physics of nanowire superconducting single-photon

Nadere informatie

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s

Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Uitgebreid eindwerkvoorstel Lokaliseren van personen en objecten met behulp van camera s Sofie De Cooman 21 December 2006 Stagebedrijf: Interne begeleider: Externe begeleider: BarcoView Koen Van De Wiele

Nadere informatie

Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst?

Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst? Matthias Van Wonterghem, Pieter Vanhulsel Aluminium en hoge snelheid, een mooie toekomst? Milieu is een hot topic. En terecht. Het is nu dat er moet gediscussieerd worden om onze huidige levenskwaliteit

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige Hoofdstuk 3 Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper

Nadere informatie

Harmonischen: een virus op het net? FOCUS

Harmonischen: een virus op het net? FOCUS Amplitude Harmonischen: een virus op het net? FOCUS In het kader van rationale energieverbruik (REG) wordt steeds gezocht om verbruikers energie efficiënter te maken. Hierdoor gaan verbruikers steeds meer

Nadere informatie

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Het tablet is om vele redenen een populaire toedieningsvorm van geneesmiddelen. Het gebruikersgemak en het gemak waarmee ze grootschalig kunnen worden geproduceerd zijn slechts twee van de

Nadere informatie

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen 1. Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid en dnamische viscositeit

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1

Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica. 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 Tentamen Planning 2de semester Wetenschappelijk verslag Lenzen en Hydrodynamica 17 februari 2006 Meten en experimenteren 1 tentamen Wie minimum 10/20 heeft behaald op het tentamen is vrijgesteld van het

Nadere informatie

Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie

Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomfunctie André Blonk Momenteel wordt de stroming van grondwater veelal met numerieke methoden berekend. Het numerieke geweld doet de kracht en de schoonheid

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting De wereldpopulatie verbruikt steeds meer energie. Momenteel wordt deze energie vooral geleverd door fossiele brandstoffen. Een groot nadeel van fossiele brandstoffen is dat hun aanwezigheid

Nadere informatie

Laagfrequente geluidroosters ir. Chris van Dijk (Alara-Lukagro) Huijgensweg 3, 2964 LL Groot-Ammers 0184-661700 ch.van.dijk@alara-lukagro.

Laagfrequente geluidroosters ir. Chris van Dijk (Alara-Lukagro) Huijgensweg 3, 2964 LL Groot-Ammers 0184-661700 ch.van.dijk@alara-lukagro. Laagfrequente geluidroosters ir. Huijgensweg 3, 2964 LL Groot-Ammers 0184-661700 ch.van.dijk@alara-lukagro.com, Een akoestisch rooster dient altijd twee doelen. Enerzijds is er een geluidseis en anderzijds

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

math inside Model orde reductie

math inside Model orde reductie math inside Model orde reductie Model orde reductie Met het voortschrijden van de rekenkracht van computers en numerieke algoritmen is het mogelijk om steeds complexere problemen op te lossen. Was het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus

Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Implementations of Tests on the Exogeneity of Selected Variables and Their Performance in Practice M. Pleus Dat economie in essentie geen experimentele wetenschap is maakt de econometrie tot een onmisbaar

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.

Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden. Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.. Doel. Het is de bedoeling een grote schakeling met weerstanden te vervangen door één equivalente weerstand. Een equivalente schakeling betekent dat een buitenstaander

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie

De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie De link tussen onderzoek en praktijk op het gebied van gebouwsimulatie Piet Standaert Physibel Samenvatting Als ontwikkelaar van bouwfysische software bevindt men zich in een positie tussen onderzoek en

Nadere informatie

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding

Waterweerstand. 1 Inleiding. VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding VWO Bovenbouwpracticum Natuurkunde Practicumhandleiding Waterweerstand 1 Inleiding Een bewegend vaartuig ondervindt altijd weerstand van het langsstromende water: het water oefent een wrijvingskracht uit

Nadere informatie

SECTIE NULGELEIDER BIJ ASYMMETRISCH BELASTE EN VERVUILDE NETTEN

SECTIE NULGELEIDER BIJ ASYMMETRISCH BELASTE EN VERVUILDE NETTEN TECHNOLOGIEWACHT: ENERGIE SECTIE NULGELEIDER BIJ ASYMMETRISCH BELASTE EN VERVUILDE NETTEN FOCUS: In een driefasig symmetrisch belast net leveren alle fasen even grote sinusvormige stromen die onderling

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Niet-symmetrisch driefasig systeem

Niet-symmetrisch driefasig systeem Niet-symmetrisch driefasig systeem Niet-symmetrisch driefasig systeem - Situering - Symmetrische componenten - Gevolgen - Conclusie Situering In het ideale geval is een driefasig net volledig symmetrisch:

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Update over Advies Commissie UFR Alleen voor professionele beleggers

Update over Advies Commissie UFR Alleen voor professionele beleggers Investment Solutions & Research Update oktober 2013 Update over Advies Commissie UFR Alleen voor professionele beleggers Door Peter van der Spek, Remmert Koekkoek, Daniel Lai - Customized Overlay Management

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 a De trekkracht volgt uit: F t A f s 10 100 235 235000 N 235 kn b De kracht kan als volgt worden bepaald: 1 l l l E l F E A F EA l 2,1 10 5 10 100 10/2000

Nadere informatie

Wiebelende Tafels. Hans Maassen

Wiebelende Tafels. Hans Maassen Wiebelende Tafels ans Maassen Welke parameters zijn er bij de constructie van tafels voor verantwoordelijk of deze gaan wiebelen of niet? oe moeten deze parameters worden ingesteld om wiebelen te voorkómen?

Nadere informatie

5. Discussie. 5.1 Informatieve waarde van de basisgegevens

5. Discussie. 5.1 Informatieve waarde van de basisgegevens 5. 5.1 Informatieve waarde van de basisgegevens Relevante conclusies voor het beleid zijn pas mogelijk als de basisgegevens waaruit de samengestelde indicator berekend werd voldoende recent zijn. In deze

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

De twee snelheidsconstanten hangen op niet identieke wijze af van de temperatuur.

De twee snelheidsconstanten hangen op niet identieke wijze af van de temperatuur. In tegenstelling tot een verandering van druk of concentratie zal een verandering in temperatuur wel degelijk de evenwichtsconstante wijzigen, want C k / k L De twee snelheidsconstanten hangen op niet

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Probeer alle gebieden in DiceLand te veroveren door alle tegenstanders uit te schakelen of probeer met de hoogste score te winnen.

Probeer alle gebieden in DiceLand te veroveren door alle tegenstanders uit te schakelen of probeer met de hoogste score te winnen. DiceLand Auteur: Spartaco Albertarelli Uitgegeven door Kidult Game, 2002 Een tactische veroveringsspel voor twee spelers met dobbelstenen in de hoofdrol. Doel Probeer alle gebieden in DiceLand te veroveren

Nadere informatie

LEERACTIVITEIT: De stroomkring in beeld

LEERACTIVITEIT: De stroomkring in beeld LEERACTIVITEIT: De stroomkring in beeld Duur leeractiviteit Graad Richting Vak Onderwijsnet Leerplan 2 3 ASO/TSO Fysica Toegepaste Fysica Elektriciteit Vrij onderwijs/go Bruikbaar in alle leerplannen met

Nadere informatie

Samenvatting. Het gebruik van ultrafiltratie (UF) membranen als oppervlakte water zuiveringstechnologie

Samenvatting. Het gebruik van ultrafiltratie (UF) membranen als oppervlakte water zuiveringstechnologie Samenvatting Het gebruik van ultrafiltratie (UF) membranen als oppervlakte water zuiveringstechnologie is in de laatste vijftien jaar enorm toe genomen. Ultrafiltratie membranen zijn gemakkelijk op te

Nadere informatie

Numerieke methoden. v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) 5 VWO

Numerieke methoden. v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) v (m/s) t (s) 5 VWO In de natuurwetenschappen probeert men inzicht te krijgen in hoe de wereld om ons heen werkt. Daartoe doet men waarnemingen en voert men experimenten uit. Op basis van de gegevens die daaruit voortkomen

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

Van slinger. tot seismograaf

Van slinger. tot seismograaf Van slinger tot seismograaf Leerlingenhandleiding Inleiding In de komende weken gaan jullie werken aan een mini-profielwerkstuk (mini- PWS). Het mini-pws is een voorbereiding voor je uiteindelijke PWS,

Nadere informatie

Samenvatting. (Summary in Dutch)

Samenvatting. (Summary in Dutch) (Summary in Dutch) Inflatie is de stijging van het algemeen prijspeil. De jaren 70 en 80 van de vorige eeuw waren periodes van relatief hoge inflatiecijfers in West-Europa, terwijl lage inflatie en deflatie

Nadere informatie

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel

Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden

Nadere informatie

Vallen Wat houdt je tegen?

Vallen Wat houdt je tegen? Wat houdt je tegen? Inleiding Stroming speelt een grote rol in vele processen. Of we het nu hebben over vliegtuigbouw, de stroming van bloed door onze aderen, formule 1 racing, het zwemmen van vissen of

Nadere informatie

Technische Analyse. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep

Technische Analyse. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Een onderneming van de KBC-groep Technische Analyse Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE Technische Analyse INTERMEDIATE p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Grafische technische analyse 4 Patronen 4 Kop-schouder Top formatie

Nadere informatie

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e!

Case 1 en Simulink. 1. Diodefactor bepalen. I = I sc - I s (e! Case 1 en Simulink 1. Diodefactor bepalen Om de diodefactor te berekenen werden eerst een aantal metingen gedaan met het zonnepaneel en de DC- motor. Er werd een kring gemaakt met het zonnepaneel en een

Nadere informatie

Gevorderde onderwerpen

Gevorderde onderwerpen Hoofdstuk 5 Gevorderde onderwerpen Doelstellingen 1. Weten wat M-cirkels voorstellen en de functie ervan begrijpen 2. Bodediagram van een algemene transfertfunctie kunnen tekenen 3. Begrijpen dat een regelaar

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

De eigen vermogens voor de fusie zullen opgeteld worden in het eigen vermogen na de fusie.

De eigen vermogens voor de fusie zullen opgeteld worden in het eigen vermogen na de fusie. Fusies en absorpties SigmaConso llen White Principieel kan een fusie van twee vennootschappen van dezelfde consolidatiekring geen impact hebben op de geconsolideerde rekeningen. Economisch gezien, wat

Nadere informatie

Samenvatting De belangrijkste onderzoeksvraag waarop het werk in dit proefschrift een antwoord probeert te vinden, is welke typen taalkundige informatie het nuttigst zijn voor de lexicale desambiguatie

Nadere informatie

http://techniline.sirris.be/s/p.exe/wservice=wo/webextra/prg/olarticleprint?vwebse...

http://techniline.sirris.be/s/p.exe/wservice=wo/webextra/prg/olarticleprint?vwebse... Page 1 of 5 Techniline v3 27-08-2010 Mechatronics Machines verbruiken minder energie door slimme keuze elektrische aandrijving (27-08-2010) Nr. 0 Ecologische en economische motieven, zoals nieuwe machinenormen

Nadere informatie

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Figurenlijst... 1 Inleiding... 2 Gedrag van het zonnepaneel gekoppeld aan een weerstand... 2 Gedrag van de DC-motor

Nadere informatie

DIAMAGNETISCHE LEVITATIE MET BISMUTH.

DIAMAGNETISCHE LEVITATIE MET BISMUTH. DIAMAGNETISCHE LEVITATIE MET BISMUTH. Dank zij de komst van sterke neodymium magneten is het mogelijk om het afstotend gedrag van sommige diamagnetische materialen zichtbaar te maken. Ofschoon er veel

Nadere informatie

Samenvatting Dit proefschrift gaat over Monte Carlo simulatie van polymeersystemen. Polymeren zijn grote moleculen die opgebouwd zijn uit kleinere chemische eenheden die monomeren genoemd worden. Bekende

Nadere informatie

Optimalisatie van de eerste klinische studies in bi ondere patie ntengroepen: op weg naar gebruik van semifysiologische

Optimalisatie van de eerste klinische studies in bi ondere patie ntengroepen: op weg naar gebruik van semifysiologische Nederlandse samenvatting Optimalisatie van de eerste klinische studies in bi ondere patie ntengroepen: op weg naar gebruik van semifysiologische farmacokinetische modellen Algemene inleiding Klinisch onderzoek

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

Power quality: een breed domein

Power quality: een breed domein Power quality: een breed domein Power quality: een breed domein - Inleiding - Harmonischen in stroom en spanning - Amplitude van de netspanningen - Driefasige netspanningen - De netfrequentie - Alles behandeld?

Nadere informatie

2. Simulatie van de impact van een "centen i.p.v. procenten"-systeem

2. Simulatie van de impact van een centen i.p.v. procenten-systeem Bijlage/Annexe 15 DEPARTEMENT STUDIËN Impact van een indexering in centen i.p.v. procenten 1. Inleiding Op regelmatige tijdstippen wordt vanuit verschillende bronnen gesuggereerd om het huidige indexeringssysteem

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

Inleiding tot de economie Test december 2008 H17 tem H25 VERBETERING 1

Inleiding tot de economie Test december 2008 H17 tem H25 VERBETERING 1 Inleiding tot de economie Test december 2008 H17 tem H25 VERBETERING 1 Vraag 1 Bin. Munt/Buit. munt Hoeveelheid buitenlandse munt Beschouw bovenstaande grafiek met op de Y-as de hoeveelheid binnenlandse

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie