SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water"

Transcriptie

1 SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

2 2

3 Inhoudsopgave Fenomenologische natuurkunde Dit drijft de stroming Het vectorveld u(x,t) Stroomlijnen en stroomfunctie Vorticiteit Quiz Behoud van massa Verandering van impuls De spanningstensor Verandering van impuls De vervorming van het stromingsveld Vervorming geeft spanning Navier-Stokes vergelijking Quiz Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema Quiz Dimensieloze kentallen Orden van grootte Dynamische gelijkvormigheid Hoeveel dimensieloze parameters? Quiz Laminaire stromingen Wandwrijving Cilindercoördinaten Randvoorwaarden Tijdsafhankelijke stromingen De wet van Stokes

4 5.7 Quiz De grenslaag Loslating Integrale grootheden Von Kármán vergelijking: gemakkelijk Von Kármán vergelijking: algemeen De grenslaag aan een vlakke wand Benaderde oplossing von Kármán vergelijking Quiz Potentiaalstromingen Bouwstenen voor de potentiaalstroming Spiegeling De kracht in een potentiaalstroming Lift Complexe functies De Kutta voorwaarde Meer complexe functies Quiz Antwoorden Quiz Historie Formules Kundu: Fluid Mechanics

5 5 VOORWOORD Dit is een samenvatting van het college stromingsleer zoals dat gegeven werd in Achtergronden en verdieping kunnen worden gevonden in het boek Fluid Mechanics door Kundu en Cohen, Ac. Press, 1990/2000/2001. Een overzicht van de hoofdstukken van dit boek die belangrijk zijn voor dit college is gegeven op blz. 77. Deze samenvatting kan niet wedijveren met dat boek. Bij het college hoort het Oefenboek Stromingsleer, een verzameling opgaven en uitwerkingen die oefening en verdieping biedt.

6 6

7 7 COLLEGE Fenomenologische natuurkunde Stromingsleer is fenomenologische natuurkunde, waarin we eenvoudige relaties tussen oorzaak en gevolg geven, en we ons niet bekommeren over de moleculaire basis daarvan. In de stromingsleer is dat de relatie tussen spanning τ (kracht per eenheid van oppervlakte) en vervorming van het snelheidsveld. Die relatie luidt voor één component van het snelheidsveld die slechts in één richting varieert τ = F A = µdu dy (1.1) De berekening van de evenredigheidsconstante µ (de viscositeit) vereist dat we afdalen naar de moleculaire wereld, en dat doen we niet hier maar in de statistische natuurkunde. In dit college nemen we Vgl. 1.1 voor lief, maar leren haar wél te formuleren voor een vectorveld. 1.2 Dit drijft de stroming Het snelheidsveld u(x, t) wordt voortgedreven door de randen en door de druk p(x, t). Voor de randen geldt altijd de no-slip randvoorwaarde : de snelheid van de stroming aan de rand is dezelfde als die van de rand. Alleen in het extreme geval dat de afmeting van de stroming van de orde van de gemiddelde vrije weglengte voor botsingen tussen de moleculen wordt, komt deze randvoorwaarde ter discussie. De druk is een scalar grootheid: hij hangt niet van de richting af. Om precies te zijn: als we de kracht per eenheid van oppervlakte die gericht is langs de normaal druk p noemen, dan is p een scalar.

8 8 Er is evenwicht van de verticale krachten op de driehoek p 1 ds cos(θ) + p 2 dx 1ρg dx dy = 0, of p 2 1 dx + p 2 dx 1 ρg dx dy = 0. 2 Als de afmeting van het driehoekje naar nul gaat (dy 0) volgt p 1 = p 2, en net zo voor de horizontale component p 1 = p 2 = p 3 ; hetgeen bewijst dat de druk niet afhangt van de richting van het vlak waarop hij werkt. Er werken natuurlijk ook krachten op een oppervlak die niet langs de normaal gericht zijn, die bespreken we in paragraaf 2.3, op blz. 15. In de stromingsleer is (meestal) de werking van de zwaartekracht te verrekenen met de statische druk p y = ρg. (1.2) We zullen zien dat de druk meestal de rol van potentiële energie vervult. In het statische geval zegt Vgl. 1.2 dan ook p + ρgy = C. 1.3 Het vectorveld u(x,t) Om de veranderingen van het vectorveld te beschrijven maken we een afspraak over het gebruik van herhaalde indices. Zo schrijven we bijvoorbeeld de divergentie als u = u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 3 i=1 u i x i u i x i, (1.3) Waar x 1,x 2,x 3 hetzelfde als x,y,z zijn, u 1 de x component van de snelheid is (soms u genoemd), u 2 de y component (v) en u 3 de z component (w). Dus: herhaalde indices is sommeren. De baan van een deeltje in het stromingsveld dat volledig meegesleept wordt door het snelheidsveld (bijv een stukje van de stromende vloeistof of gas) wordt bepaald door dx dt = u(x,t), of components-gewijs dx i dt = u i(x,t). (1.4) Het fundamentele probleem van de stromingsleer is dat de stroming zijn eigen veranderingen meevoert. Neem de verandering van een scalar grootheid F (bijvoorbeeld de temperatuur van de stroming). De verandering van F wordt voortgebracht door de verandering van de tijd, maar ook door de verandering van de plaats (die immers met

9 9 Figuur 1.1: Stroomlijnen van een varend schip volgens (a) de kapitein: de deeltjesbanen zijn stroomlijnen, en (b) de stuurman op de wal: omdat de stroming nu tijdsafhankelijk is, vallen stroomlijnen en deeltjesbanen niet meer samen. Een deeltjesbaan is gestippeld getekend. Voor de twee snelheidsvelden bij (a) en (b) geldt de relatie u (x, t) + U = u(x Ut). de stroming meereist). df = F t df dt dt + F x i dx i, dus = F t + F x i dx i dt = F = F t t + u F i x i + (u ) F. (1.5) Omdat df/dt de verandering in een met de vloeistof meebewegend coordinatensysteem is, wordt ze de materiële afgeleide genoemd (voortaan geschreven als DF/Dt). 1.4 Stroomlijnen en stroomfunctie Stroomlijnen zijn lijnen waaraan elke raakvector de locale snelheid weergeeft, dus de vergelijking van de stroomlijnen is dx u = dy v = dz w Alleen in een tijdsonafhankelijke stroming vallen de stroomlijnen samen met de deeltjesbanen. Dit is niet zo (in het algemeen) voor een tijdsafhankelijke stroming, zoals geïllustreerd wordt in figuur 1.1b. Samenvattend kunnen we schrijven dat voor een twee-dimensionaal stromingsveld

10 10 u(x,y,t),v(x,y,t) de vergelijking van de stroomlijnen is dy dx = v(x,y,t) u(x,y,t), terwijl de deeltjesbanen gegeven worden door dx dt = u(x,y,t), dy dt = v(x,y,t). In twee dimensies kunnen we een stroomfunctie Ψ(x,y) definieren volgens u = Ψ,v = Ψ y x (1.6) De stroomfunctie heeft de stroomlijnen als hoogtelijnen, zie maar dψ = Ψ x Ψ dx + dy = vdx + udy = 0, y omdat langs een stroomlijn geldt u dy = v dx. Als we een stroomfunctie kunnen vinden, is het snelheidsveld automatisch divergentievrij u = 0. (We zullen zo zien dat onsamendrukbare stromingen altijd divergentievrij zijn). Het verschil van de waarde van de stroomfunctie op twee stroomlijnen is gelijk aan de volumestroom Q V tussen die twee stroomlijnen. L B dq V u dy A -v dx Figuur 1.2: Om de volumestroom door de lijn L uit te rekenen, splitsen we de lijn op in kleine segmentjes waarin we behoud van massa gebruiken. Q V = B A u dy v dx = B A Ψ y Ψ B dy + x dx = dψ = Ψ B Ψ A. A Hieraan zien we dat de snelheid toeneemt als de stroomlijnen naar elkaar toe buigen, en vice-versa. De absolute waarde van de stroomfunctie op een stroomlijn is niet relevant, alleen de verschillen doen er toe. Het snelheidsveld blijft onveranderd als we bij de stroomfunctie een constante optellen. Tenslotte, in het snijpunt van twee stroomlijnen is de richting van de raakvector ambigu, en moet de snelheid dus nul zijn. 1.5 Vorticiteit De vorticiteit van het stromingsveld is gedefinieerd als ω = u. Voor een tweedimensionaal vectorveld in Carthesische coördinaten is er alleen een z component

11 11 van de vorticiteit ω z = v/ x u/ y. 1. In twee dimensies in poolcoördinaten (snelheidscomponenten u r,u θ ) is ω z = 1 r r (ru θ) 1 u r r θ (1.7) Terwijl de divergentie figureert in de stelling van Gauss, speelt de vorticiteit een rol in de stelling van Stokes u ds = ω n da (1.8) C A waarbij de gesloten kromme C de rand is van oppervlak A. De grootheid C u ds wordt de circulatie Γ genoemd. Figuur 1.3: Roterende stromingen. (a) Een draaiende emmer water, waarvoor ω = 2 Ω. (b) De badkamer vortex waarvoor ω = 0. Voor vloeistof in een uniforme rotatie, u θ = Ωr,u r = 0 geeft Vgl. 1.7 ω = 2Ω. Voor de badkamer vortex u θ = Γ/(2πr) is ω = 0, behalve in r = 0. En dat laatste moet wel zo zijn omdat de circulatie volgens Vgl. 1.8 Γ is. De badkamervortex lijkt paradoxaal: hij bezit geen vorticiteit, behalve in het singuliere punt midden in het afvoerputje. U kunt gemakkelijk nagaan dat in deze vortex vloeistofpakketjes niet roteren. Tweedimensionale vectorvelden waarvoor u = 0 kunnen beschreven worden door een snelheidspotentiaal Φ, u = Φ. De functies Ψ en Φ beschrijven tezamen onsamendrukbare rotatievrije stromingen in twee dimensies. We zullen ze later tegenkomen als imaginair en reëel deel van een complexe functie. Het zal daar blijken dat er een één op één relatie is tussen (analytische) complexe functies en stromingen in twee dimensies. 1 Vorticiteit kunnen we op een handige manier schrijven met behulp van de Levi-Civita tensor ǫ ijk, die gedefinieerd is als 1 voor ijk = 123, 312, 231 (even permutaties van 123) ǫ ijk = 1 voor ijk = 213, 132, 321 (oneven permutaties van 123) 0 als twee indices hetzelfde zijn Dan is ω i = ǫ ijk u k x j, bijvoorbeeld ω 3 = ǫ 3ij u j x i = ǫ 312 u 2 x 1 ǫ 321 u 1 x 2 = u 2 x 1 u 1 x 2 Voor het ǫ ijk symbool geldt nog de volgende regel ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ im δ jl. Daarmee kunnen alle vectoridentiteiten van het formuleblad (blz. 76) afgeleid worden.

12 Quiz 1. Is het onderstaande plaatje met stroomlijnen realistisch? Wat kunt U zeggen over de grootte van de snelheid in punt A? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de snelheid in punt A groter is dan die in punt B? 3. Wordt de hieronder getekende stroming beschreven door de stroomfunctie Ψ(x, y) = xy? Is de getekende stroming incompressibel? 4. Is de snelheidspotentiaal van de boven getekende stroming φ(x,y) = (x 2 y 2 )/2? Is die stroming rotatievrij? 5. Volgen in het snelheidsveld u(x,y,t) = (x cos t, y sin t) de vloeistofdeeltjes de stroomlijnen? 6. Gegeven is het snelheidsveld u(x,t) u(x,y) = ax + by 2, v(x,y) = ay. Wat is de divergentie, wat is de rotatie, en wat is de circulatie over het vierkant x [0, H], y [0, H]. Controleer Uw antwoord met de stelling van Stokes. 7. Wat is de versnelling die een deeltje ondervindt in de stroming met snelheidsveld u = (u,v) = (αx + βy), met α en β constanten.

13 13 COLLEGE Behoud van massa Beschouw een vast (maar willekeurig) volume V met daarin een vloeistof of gas met soortelijke massa ρ. De totale massa in het volume verandert doordat er een stroming (met u(x,t)) door de rand A naar binnen of naar buiten is. ρ dv + ρ u n da = 0, (2.1) t V A het volume V is vast, en voor de integratie over het oppervlak gebruiken we de stelling van Gauss, ρ u n da = (ρ u) dv, A zodat V V { } ρ t + (ρu) dv = 0, of ρ t + (ρu) = 0, omdat het volume V willekeurig was. Als we gebruik maken van de materiële afgeleide Vgl. 1.5 op blz. 9 kunnen we dit schrijven in termen van de totale verandering van de dichtheid ρ, Dρ Dt + u = 0 (2.2) Als ρ constant is, wordt vergelijking 2.2: u = 0. Voor bijna alle stromingen mogen we ρ constant veronderstellen. Dit gaat pas fout als de snelheid u die van het geluid nadert, immers, een ongelijkheid in dichtheden in verschillende punten van het stromingsveld wordt gladgesmeerd met de geluidssnelheid. 2.2 Verandering van impuls De verandering van impuls in een vast testvolume is gelijk aan de kracht op de vloeistof in dat testvolume. Die kracht kan uitgeoefend worden op alle moleculen in het volume, maar kan ook uitgeoefend worden op de rand A van het testvolume. Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht, een voorbeeld van een oppervlaktekracht is de druk of de schuifspanning.

14 14 Voor de i de component ρu i van de impuls volgt op dezelfde manier als bij Vgl. 2.1 ρu i dv + ρu i u n da = F i, (2.3) t V A waar F de kracht is die op de vloeistof in het volume V wordt uitgeoefend. Vergelijking 2.3 is niets anders dan Newton s wet voor de verandering van de impuls ṗ imp, ṗ imp = F; de conceptuele moeilijkheid is echter de verandering van impuls A ρu i u n da doordat het medium door de randen van het testvolume stroomt. Deze term is kwadratisch in het snelheidsveld. Als voorbeeld berekenen we de kracht die een stationair ( / t = 0) stromende rivier op de brugpijler uitoefent uit de vervorming van het snelheidsveld. Daartoe beschouwen we het in figuur 2.1 getekende controle volume. Figuur 2.1: De kracht op een pijler in de rivier kan berekend worden uit de vervorming van het vectorveld. Daarbij veronderstellen we dat de stroomlijnen alle (nagenoeg) horizontaal zijn, en dat de impuls die door de vlakken (3) uit het controlevolume stroomt, ρ Ue x is. Vóór de pijler is het snelheidsveld uniform met snelheid U. Door de vervorming van het snelheidsveld verdwijnt er een massaflux Q m door de zijvlakken bij (3). Die massaflux volgt uit massabehoud +b b ρ U dy + Q m + +b b ρ u(y) dy = 0, dus Q m = ρ +b b (U u(y)) dy (2.4) De kracht die de pijler op de stroming in het controlevolume uitoefent volgt uit de x-component van de impulsbalans +b b ρ U 2 dy + +b b ρ u 2 (y) dy + Q m U = F, waar we hebben verondersteld dat de snelheid door de zijvlakken horizontaal gericht is en gelijk is aan U, en dus dat de impuls die door de massastroom Q m wordt meegenomen Q m U is. Gebruikmakend van Vgl. 2.4 volgt F = ρ +b b u(y)[u u(y)] dy, aangezien u(y) U, is F < 0, zoals het hoort.

15 15 Figuur 2.2: De werking van de spanningstensor op een oneindig klein kubusje. 2.3 De spanningstensor Stromingsleer gaat over een vectorveld, waarvan de veranderingen méér dan een vector zijn: tensoren. Voor ons is het voldoende om een tensor te zien als een grootheid met 2 indices (die in elk daarvan onder rotaties transformeert als een vector). Zo is τ ij de kracht per eenheid van oppervlakte werkend in de j richting op het vlak waarvan de normaal in de i richting staat. Uit de spanningstensor kunnen we de kracht op een willekeurig georienteerd oppervlak uitrekenen. We bekijken daartoe het krachtenevenwicht op de driehoek in figuur 2.3. Op de rechte zijden werken de componenten van de spanningstensor volgens de definitie. Op de schuine zijde met normaal n werkt de kracht F. Figuur 2.3: De spanningstensor werkend op het vlak met normaal n geeft een kracht F. De x component F 1 van F moet hetzelfde zijn als de resulterende kracht van de spaningstensor F 1 = τ 11 dx 2 + τ 21 dx 1. Per eenheid van oppervlakte is f 1 F 1 /ds dx 2 f 1 = τ 11 ds + τ dx 1 21 ds = τ 11 cos(θ 1 ) + τ 21 sin(θ 1 ) = τ 11 n 1 + τ 21 n 2 = τ i1 n i (2.5)

16 16 Figuur 2.4: De werking van de spanningstensor op een eindig groot vierkant met het punt (x,y) als centrum levert een resulterend draaimoment op tenzij τ 12 = τ 21. Dat geldt evenzo voor de andere componenten, f j = τ ij n i, of f = τ n. (2.6) Let wel dat τ ij n i niet het inproduct van Vgl. 2.6 is, maar τ ji n i ; we zullen echter zó laten zien dat τ symmetrisch is in zijn indices, zodat Vgl. 2.6 toch correct is. Als de spanning slechts bestaat uit de druk, heeft τ alleen diagonale componenten. τ ij = δ ij p, (2.7) in termen van de Kronecker δ, δ ij = 1 als i = j en anders 0. De spanningstensor is symmetrisch in zijn indices τ ij = τ ji. Dit bewijzen we in twee dimensies. Bekijk daartoe de werking van de schuifkrachten (de niet-diagonale componenten van τ) op een vierkant met afmetingen dx = dy. De resultante van de τ 12 en τ 21 is een draaimoment T dat leidt tot een hoekversnelling dω/dt = T/I, met I de massatraagheid van het vierkantje, I dx 3. Het draaimoment berekenen we als T = [τ 12 (x + dx/2,y) + τ 12 (x dx/2,y)] dy dx/2 [τ 21 (x,y + dy/2) + τ 21 (x,y dy/2)] dx dy/2 = [τ 21 (x,y) τ 12 (x,y)] dx dy + O(dx 3 dy) + O(dx dy 3 ), (2.8) waar de laatste twee termen afkomstig zijn van de Taylorontwikkeling van τ 12 en τ 21. Voor het vierkantje (dx = dy), is de hoekversnelling dus dω dt = T I = 1 dx (τ 12 τ 21 ) + O(dx,dy) Dit gaat mis als dx 0, tenzij τ 12 = τ 21. Het bewijs in drie dimensies gaat net zo. Dus τ ij = τ ji, en we hoeven ons dus geen zorgen meer te maken over de volgorde van τ s indices. 2.4 Verandering van impuls Een gedeelte van de kracht F i in Vgl. 2.3 is de spanning die werkt op het oppervlak A van het testvolume, met Vgl. 2.6 volgt dan F i = (τ n) i da +... A

17 17 Een ander stuk van de kracht (de...) is bijvoorbeeld de zwaartekracht ρ g i die alle moleculen in het testvolume naar beneden trekt, dus F i = (τ n) i da + ρg i dv. (2.9) A V Stel dat de spanning τ alleen de druk bevat, dan wordt de integrale vergelijking voor impuls d ρ u i dv + ρ u i (u n) da = p n i da + ρ g i dv. (2.10) dt V A A V De integrale formulering van de stromingsleer, Vgl. 2.1, en Vgl (maar nog zonder wrijving) is een mooi instrument om globale eigenschappen van een stroming uit te rekenen. We zijn immers blind voor de details van het stromingsveld waarover we integreren. Voor de precieze vorm van het snelheidsveld hebben we de vergelijkingen in differentiaalvorm nodig. 2.5 De vervorming van het stromingsveld Om de volgende stap te maken, relateren we nu de spanning τ aan de vervorming van het snelheidsveld. Voor het gemak bekijken we de vervorming weer in twee dimensies. In Fig. 2.5 zijn de drie elementaire vervormingen van een vierkantje geschetst. U kunt zélf gemakkelijk de uitbreiding naar drie dimensies doen. Figuur 2.5: (a) Van de drie denkbare vervormingen van het vectorveld brengen alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen met zich mee. (b) De verandering van de snelheid met de plaats veroorzaakt een relatieve lengteverandering ( u 1 / x 1 ) dt van lijnstukjes. Dit is de bron van alle vervormingen. In een uniform snelheidsveld is er slechts een translatie van vloeistofelementen. Dilatatie. De relatieve verandering van het oppervlak is 1 δv d dt (δv ) = 1 d δx 1 δx 2 dt (δx 1 δx 2 ) = 1 d δx 1 dt (δx 1) + 1 d δx 2 dt (δx 2) = u 1 x 1 + u 2 x 2 = u

18 18 Afschuiving. Deze vervorming beschrijven we met de verandering van de hoeken van het vierkantje dα 1 dt + dα 2 dt = ( u1 + u ) 2 x 2 x 1 We veronderstellen vervolgens dat alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen veroorzaken. De rotatie doet dat niet, immers een vloeistof in een uniforme rotatie heeft geen spanningen. Beide oorzaken van spanningen kunnen we samenvatten in de vervormingstensor e met elementen e ij = 1 2 ( ui x j + u j x i ), met de dilatatie het spoor e ii = u (2.11) Met de tensor e hebben we de voor ons relevante vervorming van het vectorveld u vastgelegd. 2.6 Vervorming geeft spanning Het diagonale stuk van de spanningstensor is de alzijdig werkende hydrostatische druk. Die wordt niet bepaald door de vervorming van het snelheidsveld. Daarom splitsen we de druk af door te schrijven τ ij = p δ ij + σ ij. (2.12) Het stuk σ van de spanning is het gevolg van de vervorming. We maken de plausibele veronderstelling van de fenomenologische fysica dat het gevolg (de spanning σ) lineair evenredig is met de oorzaak (de vervorming e). σ ij = K ijmn e mn (2.13) De evenredigheidsfactor K is een tensor met 81 elementen, echter in een isotroop medium kunnen we K schrijven als K ijmn = λδ ij δ mn + µδ im δ jn + γδ in δ jm, die nog maar van drie parameters afhangt. Dit is een algemene eigenschap van tensoren die bewezen wordt in elke inleiding in de tensorrekening. 2 2 We geven een eenvoudig argument voor deze omstandigheid. In de eerste plaats is K een evenredigheidsfactor die niet van de vectoren x of u afhangt. Vervolgens beseffen we dat we K gebruiken

19 19 Omdat τ ij symmetrisch is in i,j, is K dat ook, waaruit volgt dat µ = γ. Dus σ ij = 2µe ij + λe mm δ ij (2.14) Uit Vgl. 2.12, 2.14 volgt dat τ best ongelijke diagonale componenten mag hebben tengevolge van de vervorming van de vloeistof, echter, we eisen dat het gemiddelde van de diagonale componenten gelijk is aan de druk. τ ii = 3p + (3λ + 2µ)e jj, waar τ ii, en e jj de som van de diagonaalelementen is (δ ii = 3). Dus 3λ + 2µ = 0, waarmee er nog maar één parameter over is in de lineaire relatie tussen oorzaak en gevolg: de viscositeit µ. Resumerend τ ij = ( p µ u) δ ij + 2µe ij (2.15) De veronderstelling Vgl is correct voor gassen en veel vloeistoffen; die vloeistoffen heten Newtonse vloeistoffen. Karakteristiek is dat het medium geen geheugen heeft voor de vervorming (en dus niet elastisch is). Sommige vloeistoffen (oplossingen van polymeren bijvoorbeeld) voldoen hier niet aan. Tenslotte, onze keuze λ = 2µ/3, werd ingegeven door de wens om maar één druk te hebben, die dan via de toestandsvergelijking van het gas of de vloeistof gekoppeld is aan de temperatuur. Dus, onze keuze impliceert dat er maar één temperatuur is: alle vrijheidsgraden van het gas zijn in perfect thermodynamisch evenwicht. Dat is niet altijd het geval, met name als de moleculen van het gas roteren of vibreren, en als het heel veel botsingen kost om die interne energie in evenwicht te brengen met de translatie energie. In dat geval kunnen we λ niet meer uitdrukken in µ, en verschijnt er een tweede viscositeit: de bulkviscositeit. We herinneren ons nu de impulsbalans Vgl. 2.10, ρ u i dv + ρ u i u n da = (τ n) i da + t V A A V ρ g i dv Beide oppervlakteintegralen schrijven we met de stelling van Gauss, en aangezien het volume V vast is, volgt t (ρu i)+ (ρu i u) = (τ) i +ρg i, of t (ρu i)+ (ρu i u j ) = τ ij +ρg i (2.16) x j x j Voor de divergentie van de spanningstensor in het rechterlid volgt met Vgl gemakkelijk τ = p + µ 2 u + 1 µ ( u), (2.17) 3 om practische scalar-grootheden uit te rekenen, zoals de component van de kracht f in de richting q die werkt op een vlak met normaal n: ( 1 um f q = q i n j σ ij = q i n j K ijmn 2 + u ) n x n x m In een isotroop medium is dit resultaat invariant onder rotaties en spiegelingen. Maar dat kan alleen als de rechterkant slechts inproducten van de vectoren q, n, u en x bevat. Daar wordt precies voor gezorgd door de Kronecker delta s.

20 20 terwijl we het linkerlid kunnen herschrijven tot ρ u t + ρ(u )u, waarbij we gebruik gemaakt hebben van massabalans Vgl. 2.2 op blz. 13 ρ t + (u )ρ = Navier-Stokes vergelijking Het resultaat is de Navier-Stokes vergelijking (voor een Newtons medium). ρ u t + ρ(u )u = p + µ 2 u + 1 µ ( u) + ρ g (2.18) 3 Voor een onsamendrukbare stroming wordt de vergelijking voor massabalans u = 0, terwijl de op één na laatste term van het rechterlid van Vgl verdwijnt. Voor andere media, met een andere relatie tussen spanning en vervorming, wordt Vgl natuurlijk een andere vergelijking. Het linkerlid van Vgl kunnen we met behulp van de materiële afgeleide schrijven als ρ Du/Dt. Deze traagheidskracht bestaat uit twee delen, een deel dat de instationaire versnelling u/ t bevat en een deel dat de convectieve versnelling (u )u bevat. 2.8 Quiz 1. Is in een twee dimensionaal kanaal dat zich vernauwt, zó dat de doorsnede d(x) = A/x, de versnelling van de stroming evenredig met x? 2. Lucht stroomt stationair door een ronde buis waarvan de diameter verloopt als d(x) = d 0 + Ax. Is de vertraging van de stroming dan evenredig met (d(x)) 5? 3. Laat zien dat voor een tijdsonafhankelijke horizontale (v = 0) onsamendrukbare stroming in het x,y vlak, waarvan de snelheid niet van x afhangt, u(x,y) u(y), de Navier-Stokes vergelijking wordt 1 ρ dp dx + ν d2 u dy = Een bizarre vloeistof heeft de volgende relatie tussen spanning en vervorming τ xy = µ ( ) 3 du. dy Wat wordt, onder dezelfde voorwaarden als bij vraag 3, nu de Navier-Stokes vergelijking?

21 21 5. Een stationaire stroming gaat door een contractie. Bereken de snelheid en de versnelling van de stroming aan het einde van de contractie.

22 22

23 23 COLLEGE Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking Als de viscositeit µ = 0, is er geen viskeuze wrijving en wordt de Navier-Stokes vergelijking de Euler vergelijking. u i t + u j u i = 1 p (g z), (3.1) x j ρ x i x i waar we de zwaartekracht die werkt op alle moleculen van de stroming (het is een volumekracht) geschreven hebben als gradiënt van een potentiaal. Als een stationair ( / t = 0) snelheidsveld slechts één component i heeft die alleen maar in de i-richting verandert, dan kunnen we het linkerlid van Vgl. 3.1 schrijven als 1 d 2 dx i (u 2 i), en komt de Euler vergelijking helemaal in gradiënt vorm d dx i ( 1 2 u2 i + p ρ + gz ) = 0, (3.2) de vergelijking van Bernoulli. In het algemene geval maken we gebruik van de vectoridentiteit 3 (u )u = ( 1 2 u2 ) u ( u), of u j x j u i = x i ( 1 2 u ju j ) (u ( u)) i. (3.3) Voor rotatievrije snelheidsvelden u = 0 vinden we de opnieuw de vergelijking van Bernoulli 1 u 2 ju j + p + gz = C (3.4) ρ Als het snelheidsveld niet rotatievrij is, nemen we van de vectorvergelijking ( d 1 dx u 2 ju j + p ) i ρ + gz + (u ( u)) i het inproduct met u, (vermenigvuldigen met u i en sommeren over i), dan is u (u ( u)) = 0, terwijl u i d/dx i precies de gradiënt in de richting van de stroomlijn is. Dus Bernoulli geldt overal in een wrijvingsloze, rotatievrije stroming. Maar als u 0 geldt ze slechts langs een stroomlijn. Tot nu toe namen we aan dat het snelheidsveld onsamendrukbaar is. De vergelijking van Bernoulli geld echter ook als de dichtheid ρ uitsluitend een functie van de druk is, ρ = ρ(p). Dat is het geval bij een ideaal gas bij constante temperatuur of constante entropie. Dan kunnen we 1 ρ p x i 3 Deze en nog veel meer vectorformules zijn te vinden in de formuleverzameling op blz. 73. Deze verzameling is ook beschikbaar op het tentamen.

24 24 Figuur 3.1: De Pitot buis is een handig instrument om de snelheid te meten. In de buurt van de punten 1 en 2 is de stroming rotatievrij. Voor de punten 1 en 2 geldt de vergelijking van Bernoulli: 1 2 u2 1 + p 1 /ρ = 1 2 u2 1 + p 1 /ρ. Aangezien de stroming stagneert bij punt 1 is u 1 = 0, en volgt u 2 uit het gemeten drukverschil u 2 2 = 2(p 1 p 2 )/ρ. schrijven als de gradiënt x 1 x i x 0 ρ dp = [F(p(x)) F(p(x 0 ))] = F x i p p x i = 1 ρ p x i, (3.5) waar F(p) de primitieve is van de functie 1/ρ(p). In dit geval neemt de vergelijking van Bernoulli dus de gedaante aan x 1 u 1 2 ju j + dp + gz = C. x 0 ρ 3.2 Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema Een vortexlijn is een stroomlijn, maar nu voor de vorticiteit: in elk punt wijst de raaklijn in de richting van de vorticiteit ω. De badkuipvortex heeft één vortexlijn. Een vortexbuis is een verzameling vortexlijnen die door een gesloten kromme gaan. De stelling van Kelvin zegt dat in een wrijvingsloze stroming vortexlijnen hun identiteit behouden. Laat Γ de circulatie zijn van een door het snelheidsveld meegenomen vortexbuis (Fig. 3.2), Γ = u ds, C waar s(ξ,t) de parametrische voorstelling is van de rand van het oppervlak waarover we de circulatie berekenen. In de stroming verandert zowel het snelheidsveld als de rand. De materiële afgeleide van de circulatie is daarom DΓ Dt = D Dt C u ds = = = C C C Du Dt ds dξ dξ + d Ds u C dξ Dt dξ [ 1ρ ] p + g ds + u du C [ 1ρ ] p + g ds

25 25 Figuur 3.2: (a) Een vortexbuis is een bundel van vortexlijnen die gaan door een gesloten kromme (B). De raakvector aan een vortexlijn is de vorticiteit ω. De stelling van Kelvin drukt uit dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Het gevolg is dat een situatie zoals geschetst bij (b) in een wrijvingsloze stroming niet kan gebeuren. Als ρ constant is, kunnen we Du/Dt schrijven als de gradiënt van ( p/ρ + g z). Zoals we zagen in Vgl. 3.5 kan dat ook nog als ρ alléén een functie is van p. Aangezien de kringintegraal over een gradiënt verdwijnt, F ds = 0, volgt onmiddelijk de stelling C van Kelvin DΓ Dt = 0. (3.6) Het grijze oppervlak van Fig. 3.2 is op de wand van een vortexbuis geplakt. Aangezien alle vortexlijnen raken aan dat oppervlak is Γ = 0. De stelling van Kelvin zegt dat dit zo blijft, en impliceert dus dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Let wel, we kunnen de circulatie alleen identificeren met het impulsmoment als de rand C een cirkel is. Behoud van ciculatie is hetzelfde als behoud van impulsmoment als de cirkelvormige rand niet vervormd wordt. 3.3 Quiz 1. De hieronder getekende vaten stromen leeg door de eraan bevestigde slangetjes. Het slangetje van vat A is het langst, L A > L B. Is het juist dat vat A dan ook het langzaamst leegstroomt? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de druk in punt A groter is dan die in punt B? 3. Kunnen we in de wrijvingsloze stroming met u = cy,v = cx de druk overal berekenen met de vergelijking van Bernoulli?

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen

Nadere informatie

SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar...

SVP AANGEVEN: het practicum FTV is uitgevoerd in jaar... TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op dinsdag 17 april 1, 9.-1. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Vallen Wat houdt je tegen?

Vallen Wat houdt je tegen? Wat houdt je tegen? Inleiding Stroming speelt een grote rol in vele processen. Of we het nu hebben over vliegtuigbouw, de stroming van bloed door onze aderen, formule 1 racing, het zwemmen van vissen of

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing

Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa

Nadere informatie

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1 De Hamilton vergelijkingen

1 De Hamilton vergelijkingen 1 De Hamilton vergelijkingen Gegeven een systeem met m vrijheidsgraden, geparametriseerd door m veralgemeende coördinaten q i, i {1,, m}, met lagrangiaan L(q, q, t). Nemen we de totale differentiaal van

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen 1. Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid en dnamische viscositeit

Nadere informatie

Het drie-reservoirs probleem

Het drie-reservoirs probleem Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D3) op maandag 3 juli 26, 14.-17. uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie 3D030) op donderdag 18 augustus 2011, 14.00-17.00 uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende

Nadere informatie

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige Hoofdstuk 3 Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes

Nadere informatie

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld?

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld? 5. Stromingsleer De belangrijkste vergelijking in de stromingsleer is de continuïteitsvergelijking. Deze is de vertaling van de wet van behoud van massa: wat er aan massa een leiding instroomt moet er

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysica van Transportverschijnselen (3NB90) Donderdag 16 augustus 2012, 14.00-17.00. Het tentamen levert

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009,

Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) april 2009, Tentamen Stromingsleer en Warmteoverdracht (SWO) 544 6 april 009,.0 7.00 AANWIJZINGEN Geef duidelijke toelichtingen bij de stappen die je neemt en noem eventuele aannames. Bekritiseer je uitkomsten als

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76

Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Auteur(s): Harry Oonk Titel: In de afdaling Jaargang: 10 Jaartal: 1992 Nummer: 2 Oorspronkelijke paginanummers: 67-76 Deze online uitgave mag, onder duidelijke bronvermelding, vrij gebruikt worden voor

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 20 juni 2011 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 23 januari 2009, academiejaar 08-09 IW2 en BIW2 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/4) vraag 2 (/4) vraag 3 (/5) vraag 4 (/4) vraag 5 (/3) TOTAAL (/20)

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

relativiteitstheorie

relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Bionica en Zwemmen. Weerstand in water. J.J. Videler Brakel 28 maart 2009

Bionica en Zwemmen. Weerstand in water. J.J. Videler Brakel 28 maart 2009 Bionica en Zwemmen Weerstand in water J.J. Videler Brakel 28 maart 2009 1 Krachtenspel op een zwemmer Onder water! Archimedes kracht Stuwkracht Opdrijfpunt Zwaartepunt Weerstand (Orde van grootte 100 N)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen

TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit der Civiele Techniek en Geowetenschappen TENTAMEN CTB1210 DYNAMICA en MODELVORMING d.d. 28 januari 2015 van 9:00-12:00 uur Let op: Voor de antwoorden op de conceptuele

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260)

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) 9 maart 2009, 9.00 12.00 uur MOTIVEER ALLE ANTWOORDEN DE NORMERING EN EEN FORMULEBLAD ZIJN BIJGEVOEGD Ogave 1: Drukverdeling in een centrifuge Een cilindrisch

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS APRIL :00 12:45 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2013 TOETS 1 24 APRIL 2013 11:00 12:45 uur MECHANICA 1 Blok en veer. (5 punten) Een blok van 3,0 kg glijdt over een wrijvingsloos tafelblad met een snelheid van 8,0 m/s

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

Tentamen Warmte-overdracht

Tentamen Warmte-overdracht Tentamen Warmte-overdracht vakcode: 4B680 datum: 21 juni 2010 tijd: 14.00-17.00 uur LET OP Er zijn in totaal 4 opgaven waarvan de eerste opgave bestaat uit losse vragen. Alle opgaven tellen even zwaar

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op maandag 20 juni 2011, 14.00-17.00 uur. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen Druk in een vloeistof In de figuur

Nadere informatie

jaar: 1989 nummer: 25

jaar: 1989 nummer: 25 jaar: 1989 nummer: 25 Op een hoogte h 1 = 3 m heeft een verticaal vallend voorwerp, met een massa m = 0,200 kg, een snelheid v = 12 m/s. Dit voorwerp botst op een horizontale vloer en bereikt daarna een

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 10 cm en h3 = 15 cm.

In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 10 cm en h3 = 15 cm. Fysica Vraag 1 In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 1 cm en h3 = 15 cm. De dichtheid ρ3 wordt gegeven door:

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Viscositeit. par. 1 Inleiding

Viscositeit. par. 1 Inleiding Viscositeit par. 1 Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en van gassen) die aangeeft hoe ondoordringbaar de vloeistof is voor een vast voorwerp. Anders gezegd met de grootheid viscositeit

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005

Uitwerking tentamen Stroming 15 juli 2005 Uitwerking tentamen Stroming 5 juli 005 Opgave Hydrostatica : Manometer ρ A = 890 kg/m3 g= 9.8 m/s ρ B = 590 kg/m3 ρ ZUIGER = 700 kg/m3 D ZUIGER = m ha= 30 m hb= 5 m pb= 50000 Pa (overdruk) Vraag : Hoogte

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Tijdens dit tentamen is het gebruik van het studieboek van Feynman toegestaan, en zelfs noodzakelijk. Een formuleblad is bijgevoegd. Ander studiemateriaal

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Toets Algemene natuurkunde 1

Toets Algemene natuurkunde 1 Beste Student, Toets Algemene natuurkunde 1 Deze toets telt mee voor 10% van je totaalscore, twee punten op twintig dus. Lees eerst aandachtig de vragen zodat je een duidelijk beeld hebt van wat de gegevens

Nadere informatie

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Hogeschool Rotterdam Instituut voor Engineering and Applied Science Studierichting Autotechniek Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Auteur: Versie 0.05 31 oktober 2012,

Nadere informatie

VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013. TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4. Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013. TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4. Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013 TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4 Toegestane hulpmiddelen: Binas + (gr) rekenmachine Bijlagen: 2 blz Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Elektro-magnetisme Q B Q A

Elektro-magnetisme Q B Q A Elektro-magnetisme 1. Een lading QA =4Q bevindt zich in de buurt van een tweede lading QB = Q. In welk punt zal de resulterende kracht op een kleine positieve lading QC gelijk zijn aan nul? X O P Y

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Kleine Mechanica van de Schaatsslag

Kleine Mechanica van de Schaatsslag Kleine Mechanica van de Schaatsslag Kees Doets h.c.doets@gmail.com Samenvatting Hoe komt het dat je met schaatsen vooruit gaat door zijwaarts af te zetten? Dat mysterie wordt hier opgehelderd. Ook wordt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) vrijdag 9 januari 2009, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5 vrijdag 29 januari 2010, 9.00-12.00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie