SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water"

Transcriptie

1 SYNOPSIS STROMINGSLEER Voorjaar 2011 RU Nijmegen Willem van de Water

2 2

3 Inhoudsopgave Fenomenologische natuurkunde Dit drijft de stroming Het vectorveld u(x,t) Stroomlijnen en stroomfunctie Vorticiteit Quiz Behoud van massa Verandering van impuls De spanningstensor Verandering van impuls De vervorming van het stromingsveld Vervorming geeft spanning Navier-Stokes vergelijking Quiz Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema Quiz Dimensieloze kentallen Orden van grootte Dynamische gelijkvormigheid Hoeveel dimensieloze parameters? Quiz Laminaire stromingen Wandwrijving Cilindercoördinaten Randvoorwaarden Tijdsafhankelijke stromingen De wet van Stokes

4 5.7 Quiz De grenslaag Loslating Integrale grootheden Von Kármán vergelijking: gemakkelijk Von Kármán vergelijking: algemeen De grenslaag aan een vlakke wand Benaderde oplossing von Kármán vergelijking Quiz Potentiaalstromingen Bouwstenen voor de potentiaalstroming Spiegeling De kracht in een potentiaalstroming Lift Complexe functies De Kutta voorwaarde Meer complexe functies Quiz Antwoorden Quiz Historie Formules Kundu: Fluid Mechanics

5 5 VOORWOORD Dit is een samenvatting van het college stromingsleer zoals dat gegeven werd in Achtergronden en verdieping kunnen worden gevonden in het boek Fluid Mechanics door Kundu en Cohen, Ac. Press, 1990/2000/2001. Een overzicht van de hoofdstukken van dit boek die belangrijk zijn voor dit college is gegeven op blz. 77. Deze samenvatting kan niet wedijveren met dat boek. Bij het college hoort het Oefenboek Stromingsleer, een verzameling opgaven en uitwerkingen die oefening en verdieping biedt.

6 6

7 7 COLLEGE Fenomenologische natuurkunde Stromingsleer is fenomenologische natuurkunde, waarin we eenvoudige relaties tussen oorzaak en gevolg geven, en we ons niet bekommeren over de moleculaire basis daarvan. In de stromingsleer is dat de relatie tussen spanning τ (kracht per eenheid van oppervlakte) en vervorming van het snelheidsveld. Die relatie luidt voor één component van het snelheidsveld die slechts in één richting varieert τ = F A = µdu dy (1.1) De berekening van de evenredigheidsconstante µ (de viscositeit) vereist dat we afdalen naar de moleculaire wereld, en dat doen we niet hier maar in de statistische natuurkunde. In dit college nemen we Vgl. 1.1 voor lief, maar leren haar wél te formuleren voor een vectorveld. 1.2 Dit drijft de stroming Het snelheidsveld u(x, t) wordt voortgedreven door de randen en door de druk p(x, t). Voor de randen geldt altijd de no-slip randvoorwaarde : de snelheid van de stroming aan de rand is dezelfde als die van de rand. Alleen in het extreme geval dat de afmeting van de stroming van de orde van de gemiddelde vrije weglengte voor botsingen tussen de moleculen wordt, komt deze randvoorwaarde ter discussie. De druk is een scalar grootheid: hij hangt niet van de richting af. Om precies te zijn: als we de kracht per eenheid van oppervlakte die gericht is langs de normaal druk p noemen, dan is p een scalar.

8 8 Er is evenwicht van de verticale krachten op de driehoek p 1 ds cos(θ) + p 2 dx 1ρg dx dy = 0, of p 2 1 dx + p 2 dx 1 ρg dx dy = 0. 2 Als de afmeting van het driehoekje naar nul gaat (dy 0) volgt p 1 = p 2, en net zo voor de horizontale component p 1 = p 2 = p 3 ; hetgeen bewijst dat de druk niet afhangt van de richting van het vlak waarop hij werkt. Er werken natuurlijk ook krachten op een oppervlak die niet langs de normaal gericht zijn, die bespreken we in paragraaf 2.3, op blz. 15. In de stromingsleer is (meestal) de werking van de zwaartekracht te verrekenen met de statische druk p y = ρg. (1.2) We zullen zien dat de druk meestal de rol van potentiële energie vervult. In het statische geval zegt Vgl. 1.2 dan ook p + ρgy = C. 1.3 Het vectorveld u(x,t) Om de veranderingen van het vectorveld te beschrijven maken we een afspraak over het gebruik van herhaalde indices. Zo schrijven we bijvoorbeeld de divergentie als u = u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 3 i=1 u i x i u i x i, (1.3) Waar x 1,x 2,x 3 hetzelfde als x,y,z zijn, u 1 de x component van de snelheid is (soms u genoemd), u 2 de y component (v) en u 3 de z component (w). Dus: herhaalde indices is sommeren. De baan van een deeltje in het stromingsveld dat volledig meegesleept wordt door het snelheidsveld (bijv een stukje van de stromende vloeistof of gas) wordt bepaald door dx dt = u(x,t), of components-gewijs dx i dt = u i(x,t). (1.4) Het fundamentele probleem van de stromingsleer is dat de stroming zijn eigen veranderingen meevoert. Neem de verandering van een scalar grootheid F (bijvoorbeeld de temperatuur van de stroming). De verandering van F wordt voortgebracht door de verandering van de tijd, maar ook door de verandering van de plaats (die immers met

9 9 Figuur 1.1: Stroomlijnen van een varend schip volgens (a) de kapitein: de deeltjesbanen zijn stroomlijnen, en (b) de stuurman op de wal: omdat de stroming nu tijdsafhankelijk is, vallen stroomlijnen en deeltjesbanen niet meer samen. Een deeltjesbaan is gestippeld getekend. Voor de twee snelheidsvelden bij (a) en (b) geldt de relatie u (x, t) + U = u(x Ut). de stroming meereist). df = F t df dt dt + F x i dx i, dus = F t + F x i dx i dt = F = F t t + u F i x i + (u ) F. (1.5) Omdat df/dt de verandering in een met de vloeistof meebewegend coordinatensysteem is, wordt ze de materiële afgeleide genoemd (voortaan geschreven als DF/Dt). 1.4 Stroomlijnen en stroomfunctie Stroomlijnen zijn lijnen waaraan elke raakvector de locale snelheid weergeeft, dus de vergelijking van de stroomlijnen is dx u = dy v = dz w Alleen in een tijdsonafhankelijke stroming vallen de stroomlijnen samen met de deeltjesbanen. Dit is niet zo (in het algemeen) voor een tijdsafhankelijke stroming, zoals geïllustreerd wordt in figuur 1.1b. Samenvattend kunnen we schrijven dat voor een twee-dimensionaal stromingsveld

10 10 u(x,y,t),v(x,y,t) de vergelijking van de stroomlijnen is dy dx = v(x,y,t) u(x,y,t), terwijl de deeltjesbanen gegeven worden door dx dt = u(x,y,t), dy dt = v(x,y,t). In twee dimensies kunnen we een stroomfunctie Ψ(x,y) definieren volgens u = Ψ,v = Ψ y x (1.6) De stroomfunctie heeft de stroomlijnen als hoogtelijnen, zie maar dψ = Ψ x Ψ dx + dy = vdx + udy = 0, y omdat langs een stroomlijn geldt u dy = v dx. Als we een stroomfunctie kunnen vinden, is het snelheidsveld automatisch divergentievrij u = 0. (We zullen zo zien dat onsamendrukbare stromingen altijd divergentievrij zijn). Het verschil van de waarde van de stroomfunctie op twee stroomlijnen is gelijk aan de volumestroom Q V tussen die twee stroomlijnen. L B dq V u dy A -v dx Figuur 1.2: Om de volumestroom door de lijn L uit te rekenen, splitsen we de lijn op in kleine segmentjes waarin we behoud van massa gebruiken. Q V = B A u dy v dx = B A Ψ y Ψ B dy + x dx = dψ = Ψ B Ψ A. A Hieraan zien we dat de snelheid toeneemt als de stroomlijnen naar elkaar toe buigen, en vice-versa. De absolute waarde van de stroomfunctie op een stroomlijn is niet relevant, alleen de verschillen doen er toe. Het snelheidsveld blijft onveranderd als we bij de stroomfunctie een constante optellen. Tenslotte, in het snijpunt van twee stroomlijnen is de richting van de raakvector ambigu, en moet de snelheid dus nul zijn. 1.5 Vorticiteit De vorticiteit van het stromingsveld is gedefinieerd als ω = u. Voor een tweedimensionaal vectorveld in Carthesische coördinaten is er alleen een z component

11 11 van de vorticiteit ω z = v/ x u/ y. 1. In twee dimensies in poolcoördinaten (snelheidscomponenten u r,u θ ) is ω z = 1 r r (ru θ) 1 u r r θ (1.7) Terwijl de divergentie figureert in de stelling van Gauss, speelt de vorticiteit een rol in de stelling van Stokes u ds = ω n da (1.8) C A waarbij de gesloten kromme C de rand is van oppervlak A. De grootheid C u ds wordt de circulatie Γ genoemd. Figuur 1.3: Roterende stromingen. (a) Een draaiende emmer water, waarvoor ω = 2 Ω. (b) De badkamer vortex waarvoor ω = 0. Voor vloeistof in een uniforme rotatie, u θ = Ωr,u r = 0 geeft Vgl. 1.7 ω = 2Ω. Voor de badkamer vortex u θ = Γ/(2πr) is ω = 0, behalve in r = 0. En dat laatste moet wel zo zijn omdat de circulatie volgens Vgl. 1.8 Γ is. De badkamervortex lijkt paradoxaal: hij bezit geen vorticiteit, behalve in het singuliere punt midden in het afvoerputje. U kunt gemakkelijk nagaan dat in deze vortex vloeistofpakketjes niet roteren. Tweedimensionale vectorvelden waarvoor u = 0 kunnen beschreven worden door een snelheidspotentiaal Φ, u = Φ. De functies Ψ en Φ beschrijven tezamen onsamendrukbare rotatievrije stromingen in twee dimensies. We zullen ze later tegenkomen als imaginair en reëel deel van een complexe functie. Het zal daar blijken dat er een één op één relatie is tussen (analytische) complexe functies en stromingen in twee dimensies. 1 Vorticiteit kunnen we op een handige manier schrijven met behulp van de Levi-Civita tensor ǫ ijk, die gedefinieerd is als 1 voor ijk = 123, 312, 231 (even permutaties van 123) ǫ ijk = 1 voor ijk = 213, 132, 321 (oneven permutaties van 123) 0 als twee indices hetzelfde zijn Dan is ω i = ǫ ijk u k x j, bijvoorbeeld ω 3 = ǫ 3ij u j x i = ǫ 312 u 2 x 1 ǫ 321 u 1 x 2 = u 2 x 1 u 1 x 2 Voor het ǫ ijk symbool geldt nog de volgende regel ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ im δ jl. Daarmee kunnen alle vectoridentiteiten van het formuleblad (blz. 76) afgeleid worden.

12 Quiz 1. Is het onderstaande plaatje met stroomlijnen realistisch? Wat kunt U zeggen over de grootte van de snelheid in punt A? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de snelheid in punt A groter is dan die in punt B? 3. Wordt de hieronder getekende stroming beschreven door de stroomfunctie Ψ(x, y) = xy? Is de getekende stroming incompressibel? 4. Is de snelheidspotentiaal van de boven getekende stroming φ(x,y) = (x 2 y 2 )/2? Is die stroming rotatievrij? 5. Volgen in het snelheidsveld u(x,y,t) = (x cos t, y sin t) de vloeistofdeeltjes de stroomlijnen? 6. Gegeven is het snelheidsveld u(x,t) u(x,y) = ax + by 2, v(x,y) = ay. Wat is de divergentie, wat is de rotatie, en wat is de circulatie over het vierkant x [0, H], y [0, H]. Controleer Uw antwoord met de stelling van Stokes. 7. Wat is de versnelling die een deeltje ondervindt in de stroming met snelheidsveld u = (u,v) = (αx + βy), met α en β constanten.

13 13 COLLEGE Behoud van massa Beschouw een vast (maar willekeurig) volume V met daarin een vloeistof of gas met soortelijke massa ρ. De totale massa in het volume verandert doordat er een stroming (met u(x,t)) door de rand A naar binnen of naar buiten is. ρ dv + ρ u n da = 0, (2.1) t V A het volume V is vast, en voor de integratie over het oppervlak gebruiken we de stelling van Gauss, ρ u n da = (ρ u) dv, A zodat V V { } ρ t + (ρu) dv = 0, of ρ t + (ρu) = 0, omdat het volume V willekeurig was. Als we gebruik maken van de materiële afgeleide Vgl. 1.5 op blz. 9 kunnen we dit schrijven in termen van de totale verandering van de dichtheid ρ, Dρ Dt + u = 0 (2.2) Als ρ constant is, wordt vergelijking 2.2: u = 0. Voor bijna alle stromingen mogen we ρ constant veronderstellen. Dit gaat pas fout als de snelheid u die van het geluid nadert, immers, een ongelijkheid in dichtheden in verschillende punten van het stromingsveld wordt gladgesmeerd met de geluidssnelheid. 2.2 Verandering van impuls De verandering van impuls in een vast testvolume is gelijk aan de kracht op de vloeistof in dat testvolume. Die kracht kan uitgeoefend worden op alle moleculen in het volume, maar kan ook uitgeoefend worden op de rand A van het testvolume. Een voorbeeld van een volumekracht is de zwaartekracht, een voorbeeld van een oppervlaktekracht is de druk of de schuifspanning.

14 14 Voor de i de component ρu i van de impuls volgt op dezelfde manier als bij Vgl. 2.1 ρu i dv + ρu i u n da = F i, (2.3) t V A waar F de kracht is die op de vloeistof in het volume V wordt uitgeoefend. Vergelijking 2.3 is niets anders dan Newton s wet voor de verandering van de impuls ṗ imp, ṗ imp = F; de conceptuele moeilijkheid is echter de verandering van impuls A ρu i u n da doordat het medium door de randen van het testvolume stroomt. Deze term is kwadratisch in het snelheidsveld. Als voorbeeld berekenen we de kracht die een stationair ( / t = 0) stromende rivier op de brugpijler uitoefent uit de vervorming van het snelheidsveld. Daartoe beschouwen we het in figuur 2.1 getekende controle volume. Figuur 2.1: De kracht op een pijler in de rivier kan berekend worden uit de vervorming van het vectorveld. Daarbij veronderstellen we dat de stroomlijnen alle (nagenoeg) horizontaal zijn, en dat de impuls die door de vlakken (3) uit het controlevolume stroomt, ρ Ue x is. Vóór de pijler is het snelheidsveld uniform met snelheid U. Door de vervorming van het snelheidsveld verdwijnt er een massaflux Q m door de zijvlakken bij (3). Die massaflux volgt uit massabehoud +b b ρ U dy + Q m + +b b ρ u(y) dy = 0, dus Q m = ρ +b b (U u(y)) dy (2.4) De kracht die de pijler op de stroming in het controlevolume uitoefent volgt uit de x-component van de impulsbalans +b b ρ U 2 dy + +b b ρ u 2 (y) dy + Q m U = F, waar we hebben verondersteld dat de snelheid door de zijvlakken horizontaal gericht is en gelijk is aan U, en dus dat de impuls die door de massastroom Q m wordt meegenomen Q m U is. Gebruikmakend van Vgl. 2.4 volgt F = ρ +b b u(y)[u u(y)] dy, aangezien u(y) U, is F < 0, zoals het hoort.

15 15 Figuur 2.2: De werking van de spanningstensor op een oneindig klein kubusje. 2.3 De spanningstensor Stromingsleer gaat over een vectorveld, waarvan de veranderingen méér dan een vector zijn: tensoren. Voor ons is het voldoende om een tensor te zien als een grootheid met 2 indices (die in elk daarvan onder rotaties transformeert als een vector). Zo is τ ij de kracht per eenheid van oppervlakte werkend in de j richting op het vlak waarvan de normaal in de i richting staat. Uit de spanningstensor kunnen we de kracht op een willekeurig georienteerd oppervlak uitrekenen. We bekijken daartoe het krachtenevenwicht op de driehoek in figuur 2.3. Op de rechte zijden werken de componenten van de spanningstensor volgens de definitie. Op de schuine zijde met normaal n werkt de kracht F. Figuur 2.3: De spanningstensor werkend op het vlak met normaal n geeft een kracht F. De x component F 1 van F moet hetzelfde zijn als de resulterende kracht van de spaningstensor F 1 = τ 11 dx 2 + τ 21 dx 1. Per eenheid van oppervlakte is f 1 F 1 /ds dx 2 f 1 = τ 11 ds + τ dx 1 21 ds = τ 11 cos(θ 1 ) + τ 21 sin(θ 1 ) = τ 11 n 1 + τ 21 n 2 = τ i1 n i (2.5)

16 16 Figuur 2.4: De werking van de spanningstensor op een eindig groot vierkant met het punt (x,y) als centrum levert een resulterend draaimoment op tenzij τ 12 = τ 21. Dat geldt evenzo voor de andere componenten, f j = τ ij n i, of f = τ n. (2.6) Let wel dat τ ij n i niet het inproduct van Vgl. 2.6 is, maar τ ji n i ; we zullen echter zó laten zien dat τ symmetrisch is in zijn indices, zodat Vgl. 2.6 toch correct is. Als de spanning slechts bestaat uit de druk, heeft τ alleen diagonale componenten. τ ij = δ ij p, (2.7) in termen van de Kronecker δ, δ ij = 1 als i = j en anders 0. De spanningstensor is symmetrisch in zijn indices τ ij = τ ji. Dit bewijzen we in twee dimensies. Bekijk daartoe de werking van de schuifkrachten (de niet-diagonale componenten van τ) op een vierkant met afmetingen dx = dy. De resultante van de τ 12 en τ 21 is een draaimoment T dat leidt tot een hoekversnelling dω/dt = T/I, met I de massatraagheid van het vierkantje, I dx 3. Het draaimoment berekenen we als T = [τ 12 (x + dx/2,y) + τ 12 (x dx/2,y)] dy dx/2 [τ 21 (x,y + dy/2) + τ 21 (x,y dy/2)] dx dy/2 = [τ 21 (x,y) τ 12 (x,y)] dx dy + O(dx 3 dy) + O(dx dy 3 ), (2.8) waar de laatste twee termen afkomstig zijn van de Taylorontwikkeling van τ 12 en τ 21. Voor het vierkantje (dx = dy), is de hoekversnelling dus dω dt = T I = 1 dx (τ 12 τ 21 ) + O(dx,dy) Dit gaat mis als dx 0, tenzij τ 12 = τ 21. Het bewijs in drie dimensies gaat net zo. Dus τ ij = τ ji, en we hoeven ons dus geen zorgen meer te maken over de volgorde van τ s indices. 2.4 Verandering van impuls Een gedeelte van de kracht F i in Vgl. 2.3 is de spanning die werkt op het oppervlak A van het testvolume, met Vgl. 2.6 volgt dan F i = (τ n) i da +... A

17 17 Een ander stuk van de kracht (de...) is bijvoorbeeld de zwaartekracht ρ g i die alle moleculen in het testvolume naar beneden trekt, dus F i = (τ n) i da + ρg i dv. (2.9) A V Stel dat de spanning τ alleen de druk bevat, dan wordt de integrale vergelijking voor impuls d ρ u i dv + ρ u i (u n) da = p n i da + ρ g i dv. (2.10) dt V A A V De integrale formulering van de stromingsleer, Vgl. 2.1, en Vgl (maar nog zonder wrijving) is een mooi instrument om globale eigenschappen van een stroming uit te rekenen. We zijn immers blind voor de details van het stromingsveld waarover we integreren. Voor de precieze vorm van het snelheidsveld hebben we de vergelijkingen in differentiaalvorm nodig. 2.5 De vervorming van het stromingsveld Om de volgende stap te maken, relateren we nu de spanning τ aan de vervorming van het snelheidsveld. Voor het gemak bekijken we de vervorming weer in twee dimensies. In Fig. 2.5 zijn de drie elementaire vervormingen van een vierkantje geschetst. U kunt zélf gemakkelijk de uitbreiding naar drie dimensies doen. Figuur 2.5: (a) Van de drie denkbare vervormingen van het vectorveld brengen alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen met zich mee. (b) De verandering van de snelheid met de plaats veroorzaakt een relatieve lengteverandering ( u 1 / x 1 ) dt van lijnstukjes. Dit is de bron van alle vervormingen. In een uniform snelheidsveld is er slechts een translatie van vloeistofelementen. Dilatatie. De relatieve verandering van het oppervlak is 1 δv d dt (δv ) = 1 d δx 1 δx 2 dt (δx 1 δx 2 ) = 1 d δx 1 dt (δx 1) + 1 d δx 2 dt (δx 2) = u 1 x 1 + u 2 x 2 = u

18 18 Afschuiving. Deze vervorming beschrijven we met de verandering van de hoeken van het vierkantje dα 1 dt + dα 2 dt = ( u1 + u ) 2 x 2 x 1 We veronderstellen vervolgens dat alleen de dilatatie en de afschuiving spanningen veroorzaken. De rotatie doet dat niet, immers een vloeistof in een uniforme rotatie heeft geen spanningen. Beide oorzaken van spanningen kunnen we samenvatten in de vervormingstensor e met elementen e ij = 1 2 ( ui x j + u j x i ), met de dilatatie het spoor e ii = u (2.11) Met de tensor e hebben we de voor ons relevante vervorming van het vectorveld u vastgelegd. 2.6 Vervorming geeft spanning Het diagonale stuk van de spanningstensor is de alzijdig werkende hydrostatische druk. Die wordt niet bepaald door de vervorming van het snelheidsveld. Daarom splitsen we de druk af door te schrijven τ ij = p δ ij + σ ij. (2.12) Het stuk σ van de spanning is het gevolg van de vervorming. We maken de plausibele veronderstelling van de fenomenologische fysica dat het gevolg (de spanning σ) lineair evenredig is met de oorzaak (de vervorming e). σ ij = K ijmn e mn (2.13) De evenredigheidsfactor K is een tensor met 81 elementen, echter in een isotroop medium kunnen we K schrijven als K ijmn = λδ ij δ mn + µδ im δ jn + γδ in δ jm, die nog maar van drie parameters afhangt. Dit is een algemene eigenschap van tensoren die bewezen wordt in elke inleiding in de tensorrekening. 2 2 We geven een eenvoudig argument voor deze omstandigheid. In de eerste plaats is K een evenredigheidsfactor die niet van de vectoren x of u afhangt. Vervolgens beseffen we dat we K gebruiken

19 19 Omdat τ ij symmetrisch is in i,j, is K dat ook, waaruit volgt dat µ = γ. Dus σ ij = 2µe ij + λe mm δ ij (2.14) Uit Vgl. 2.12, 2.14 volgt dat τ best ongelijke diagonale componenten mag hebben tengevolge van de vervorming van de vloeistof, echter, we eisen dat het gemiddelde van de diagonale componenten gelijk is aan de druk. τ ii = 3p + (3λ + 2µ)e jj, waar τ ii, en e jj de som van de diagonaalelementen is (δ ii = 3). Dus 3λ + 2µ = 0, waarmee er nog maar één parameter over is in de lineaire relatie tussen oorzaak en gevolg: de viscositeit µ. Resumerend τ ij = ( p µ u) δ ij + 2µe ij (2.15) De veronderstelling Vgl is correct voor gassen en veel vloeistoffen; die vloeistoffen heten Newtonse vloeistoffen. Karakteristiek is dat het medium geen geheugen heeft voor de vervorming (en dus niet elastisch is). Sommige vloeistoffen (oplossingen van polymeren bijvoorbeeld) voldoen hier niet aan. Tenslotte, onze keuze λ = 2µ/3, werd ingegeven door de wens om maar één druk te hebben, die dan via de toestandsvergelijking van het gas of de vloeistof gekoppeld is aan de temperatuur. Dus, onze keuze impliceert dat er maar één temperatuur is: alle vrijheidsgraden van het gas zijn in perfect thermodynamisch evenwicht. Dat is niet altijd het geval, met name als de moleculen van het gas roteren of vibreren, en als het heel veel botsingen kost om die interne energie in evenwicht te brengen met de translatie energie. In dat geval kunnen we λ niet meer uitdrukken in µ, en verschijnt er een tweede viscositeit: de bulkviscositeit. We herinneren ons nu de impulsbalans Vgl. 2.10, ρ u i dv + ρ u i u n da = (τ n) i da + t V A A V ρ g i dv Beide oppervlakteintegralen schrijven we met de stelling van Gauss, en aangezien het volume V vast is, volgt t (ρu i)+ (ρu i u) = (τ) i +ρg i, of t (ρu i)+ (ρu i u j ) = τ ij +ρg i (2.16) x j x j Voor de divergentie van de spanningstensor in het rechterlid volgt met Vgl gemakkelijk τ = p + µ 2 u + 1 µ ( u), (2.17) 3 om practische scalar-grootheden uit te rekenen, zoals de component van de kracht f in de richting q die werkt op een vlak met normaal n: ( 1 um f q = q i n j σ ij = q i n j K ijmn 2 + u ) n x n x m In een isotroop medium is dit resultaat invariant onder rotaties en spiegelingen. Maar dat kan alleen als de rechterkant slechts inproducten van de vectoren q, n, u en x bevat. Daar wordt precies voor gezorgd door de Kronecker delta s.

20 20 terwijl we het linkerlid kunnen herschrijven tot ρ u t + ρ(u )u, waarbij we gebruik gemaakt hebben van massabalans Vgl. 2.2 op blz. 13 ρ t + (u )ρ = Navier-Stokes vergelijking Het resultaat is de Navier-Stokes vergelijking (voor een Newtons medium). ρ u t + ρ(u )u = p + µ 2 u + 1 µ ( u) + ρ g (2.18) 3 Voor een onsamendrukbare stroming wordt de vergelijking voor massabalans u = 0, terwijl de op één na laatste term van het rechterlid van Vgl verdwijnt. Voor andere media, met een andere relatie tussen spanning en vervorming, wordt Vgl natuurlijk een andere vergelijking. Het linkerlid van Vgl kunnen we met behulp van de materiële afgeleide schrijven als ρ Du/Dt. Deze traagheidskracht bestaat uit twee delen, een deel dat de instationaire versnelling u/ t bevat en een deel dat de convectieve versnelling (u )u bevat. 2.8 Quiz 1. Is in een twee dimensionaal kanaal dat zich vernauwt, zó dat de doorsnede d(x) = A/x, de versnelling van de stroming evenredig met x? 2. Lucht stroomt stationair door een ronde buis waarvan de diameter verloopt als d(x) = d 0 + Ax. Is de vertraging van de stroming dan evenredig met (d(x)) 5? 3. Laat zien dat voor een tijdsonafhankelijke horizontale (v = 0) onsamendrukbare stroming in het x,y vlak, waarvan de snelheid niet van x afhangt, u(x,y) u(y), de Navier-Stokes vergelijking wordt 1 ρ dp dx + ν d2 u dy = Een bizarre vloeistof heeft de volgende relatie tussen spanning en vervorming τ xy = µ ( ) 3 du. dy Wat wordt, onder dezelfde voorwaarden als bij vraag 3, nu de Navier-Stokes vergelijking?

21 21 5. Een stationaire stroming gaat door een contractie. Bereken de snelheid en de versnelling van de stroming aan het einde van de contractie.

22 22

23 23 COLLEGE Behoud van energie: Bernoulli s vergelijking Als de viscositeit µ = 0, is er geen viskeuze wrijving en wordt de Navier-Stokes vergelijking de Euler vergelijking. u i t + u j u i = 1 p (g z), (3.1) x j ρ x i x i waar we de zwaartekracht die werkt op alle moleculen van de stroming (het is een volumekracht) geschreven hebben als gradiënt van een potentiaal. Als een stationair ( / t = 0) snelheidsveld slechts één component i heeft die alleen maar in de i-richting verandert, dan kunnen we het linkerlid van Vgl. 3.1 schrijven als 1 d 2 dx i (u 2 i), en komt de Euler vergelijking helemaal in gradiënt vorm d dx i ( 1 2 u2 i + p ρ + gz ) = 0, (3.2) de vergelijking van Bernoulli. In het algemene geval maken we gebruik van de vectoridentiteit 3 (u )u = ( 1 2 u2 ) u ( u), of u j x j u i = x i ( 1 2 u ju j ) (u ( u)) i. (3.3) Voor rotatievrije snelheidsvelden u = 0 vinden we de opnieuw de vergelijking van Bernoulli 1 u 2 ju j + p + gz = C (3.4) ρ Als het snelheidsveld niet rotatievrij is, nemen we van de vectorvergelijking ( d 1 dx u 2 ju j + p ) i ρ + gz + (u ( u)) i het inproduct met u, (vermenigvuldigen met u i en sommeren over i), dan is u (u ( u)) = 0, terwijl u i d/dx i precies de gradiënt in de richting van de stroomlijn is. Dus Bernoulli geldt overal in een wrijvingsloze, rotatievrije stroming. Maar als u 0 geldt ze slechts langs een stroomlijn. Tot nu toe namen we aan dat het snelheidsveld onsamendrukbaar is. De vergelijking van Bernoulli geld echter ook als de dichtheid ρ uitsluitend een functie van de druk is, ρ = ρ(p). Dat is het geval bij een ideaal gas bij constante temperatuur of constante entropie. Dan kunnen we 1 ρ p x i 3 Deze en nog veel meer vectorformules zijn te vinden in de formuleverzameling op blz. 73. Deze verzameling is ook beschikbaar op het tentamen.

24 24 Figuur 3.1: De Pitot buis is een handig instrument om de snelheid te meten. In de buurt van de punten 1 en 2 is de stroming rotatievrij. Voor de punten 1 en 2 geldt de vergelijking van Bernoulli: 1 2 u2 1 + p 1 /ρ = 1 2 u2 1 + p 1 /ρ. Aangezien de stroming stagneert bij punt 1 is u 1 = 0, en volgt u 2 uit het gemeten drukverschil u 2 2 = 2(p 1 p 2 )/ρ. schrijven als de gradiënt x 1 x i x 0 ρ dp = [F(p(x)) F(p(x 0 ))] = F x i p p x i = 1 ρ p x i, (3.5) waar F(p) de primitieve is van de functie 1/ρ(p). In dit geval neemt de vergelijking van Bernoulli dus de gedaante aan x 1 u 1 2 ju j + dp + gz = C. x 0 ρ 3.2 Behoud van impulsmoment: Kelvin s theorema Een vortexlijn is een stroomlijn, maar nu voor de vorticiteit: in elk punt wijst de raaklijn in de richting van de vorticiteit ω. De badkuipvortex heeft één vortexlijn. Een vortexbuis is een verzameling vortexlijnen die door een gesloten kromme gaan. De stelling van Kelvin zegt dat in een wrijvingsloze stroming vortexlijnen hun identiteit behouden. Laat Γ de circulatie zijn van een door het snelheidsveld meegenomen vortexbuis (Fig. 3.2), Γ = u ds, C waar s(ξ,t) de parametrische voorstelling is van de rand van het oppervlak waarover we de circulatie berekenen. In de stroming verandert zowel het snelheidsveld als de rand. De materiële afgeleide van de circulatie is daarom DΓ Dt = D Dt C u ds = = = C C C Du Dt ds dξ dξ + d Ds u C dξ Dt dξ [ 1ρ ] p + g ds + u du C [ 1ρ ] p + g ds

25 25 Figuur 3.2: (a) Een vortexbuis is een bundel van vortexlijnen die gaan door een gesloten kromme (B). De raakvector aan een vortexlijn is de vorticiteit ω. De stelling van Kelvin drukt uit dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Het gevolg is dat een situatie zoals geschetst bij (b) in een wrijvingsloze stroming niet kan gebeuren. Als ρ constant is, kunnen we Du/Dt schrijven als de gradiënt van ( p/ρ + g z). Zoals we zagen in Vgl. 3.5 kan dat ook nog als ρ alléén een functie is van p. Aangezien de kringintegraal over een gradiënt verdwijnt, F ds = 0, volgt onmiddelijk de stelling C van Kelvin DΓ Dt = 0. (3.6) Het grijze oppervlak van Fig. 3.2 is op de wand van een vortexbuis geplakt. Aangezien alle vortexlijnen raken aan dat oppervlak is Γ = 0. De stelling van Kelvin zegt dat dit zo blijft, en impliceert dus dat een vortexbuis zijn topologische identiteit behoudt. Let wel, we kunnen de circulatie alleen identificeren met het impulsmoment als de rand C een cirkel is. Behoud van ciculatie is hetzelfde als behoud van impulsmoment als de cirkelvormige rand niet vervormd wordt. 3.3 Quiz 1. De hieronder getekende vaten stromen leeg door de eraan bevestigde slangetjes. Het slangetje van vat A is het langst, L A > L B. Is het juist dat vat A dan ook het langzaamst leegstroomt? 2. Getekend zijn de stroomlijnen in een tijdsonafhankelijke wrijvingsloze stroming. Is het waar dat de druk in punt A groter is dan die in punt B? 3. Kunnen we in de wrijvingsloze stroming met u = cy,v = cx de druk overal berekenen met de vergelijking van Bernoulli?

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B47) op donderdag 8 april 5, 14.-17. uur. Het tentamen levert

Nadere informatie

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven.

Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op donderdag 5 juli 2012, 09.00-12.00 uur. Het tentamen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Stroming & Diffusie (3D030) op donderdag 7 augustus 2008, 14.00-17.00 uur. 1. Beantwoord de volgende vragen

Nadere informatie

Vallen Wat houdt je tegen?

Vallen Wat houdt je tegen? Wat houdt je tegen? Inleiding Stroming speelt een grote rol in vele processen. Of we het nu hebben over vliegtuigbouw, de stroming van bloed door onze aderen, formule 1 racing, het zwemmen van vissen of

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen

Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen Oefeningen Smering : toepassing van de Navier-Stokes vergelijkingen 1. Beschouw een permanente, laminaire stroming in de x-richting van een fluïdum met een laagdikte h, dichtheid en dnamische viscositeit

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige

Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige Hoofdstuk 3 Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper

Nadere informatie

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten

Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten Inleiding tot de dynamica van atmosferen Krachten P. Termonia vakgroep wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, UGent Inleiding tot de dynamica van atmosferen p.1/35 Inhoud 1. conventies: notatie 2. luchtdeeltjes

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: 3 juni 003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Hal Matrixgebouw Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook

Nadere informatie

1 Efficient oversteken van een stromende rivier

1 Efficient oversteken van een stromende rivier keywords: varia/rivier/rivier.tex Efficient oversteken van een stromende rivier Een veerpont moet vele malen per dag een stromende rivier oversteken van de ene aanlegplaats naar die aan de overkant. De

Nadere informatie

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld?

De olie uit opgave 1 komt terecht in een tank met een inhoud van 10 000 liter. Hoe lang duurt het voordat de tank volledig met olie is gevuld? 5. Stromingsleer De belangrijkste vergelijking in de stromingsleer is de continuïteitsvergelijking. Deze is de vertaling van de wet van behoud van massa: wat er aan massa een leiding instroomt moet er

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen

1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen 1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot

Nadere informatie

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen

Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260)

Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) 9 maart 2009, 9.00 12.00 uur MOTIVEER ALLE ANTWOORDEN DE NORMERING EN EEN FORMULEBLAD ZIJN BIJGEVOEGD Ogave 1: Drukverdeling in een centrifuge Een cilindrisch

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming

Nadere informatie

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN

VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN VISCOSITEIT VAN VLOEISTOFFEN 1) Inleiding Viscositeit is een eigenschap van vloeistoffen (en gassen) die belang heeft voor de stromingseigenschappen van de vloeistof. Dit speelt een rol in allerlei domeinen.

Nadere informatie

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08

Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Tentamen Statistische Thermodynamica MS&T 27/6/08 Vraag 1. Toestandssom De toestandssom van een systeem is in het algemeen gegeven door de volgende uitdrukking: Z(T, V, N) = e E i/k B T. i a. Hoe is de

Nadere informatie

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Tijdens dit tentamen is het gebruik van het studieboek van Feynman toegestaan, en zelfs noodzakelijk. Een formuleblad is bijgevoegd. Ander studiemateriaal

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli

Wet van Bernoulli. 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen 2 Druk in stromende vloeistoffen en gassen 3 Wet van Bernoulli 1 Druk in stilstaande vloeistoffen en gassen Druk in een vloeistof In de figuur

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2

Inhoudsopgave. 0.1 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel.. 2 Inhoudsopgave 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel 2 1 01 Netwerkmodel voor passieve geleiding langs een zenuwcel I Figuur 1: Schematische voorstelling van een deel van een axon Elk

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013. TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4. Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013. TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4. Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX VAK: natuurkunde KLAS: Havo 4 DATUM: 20 juni 2013 TIJD: 10.10 11.50 uur TOETS: T1 STOF: Hfd 1 t/m 4 Toegestane hulpmiddelen: Binas + (gr) rekenmachine Bijlagen: 2 blz Opmerkingen voor surveillant XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst

Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Hogeschool Rotterdam Instituut voor Engineering and Applied Science Studierichting Autotechniek Module Aerodynamica ADY03 Reader aerodynamica, Bijlage symbolenlijst Auteur: Versie 0.05 31 oktober 2012,

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) vrijdag 9 januari 2009, 9.00-12.00 uur Het tentamen bestaat

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing

BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,

Nadere informatie

Eenvoud bij tekenen en rekenen

Eenvoud bij tekenen en rekenen Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven in Basisboek Natuurkunde

Uitwerkingen van de opgaven in Basisboek Natuurkunde opgave (blz 4) Uitwerkingen van de opgaven in Basisboek Natuurkunde De zwaarte-energie wordt gegeven door de formule W zwaarte = m g h In de opgave is de massa m = 0(kg) en de energie W zwaarte = 270(Joule)

Nadere informatie

Fietsparadox Fietsen is een alledaagse activiteit. Desalniettemin zijn er redenen genoeg om het bewegen van een fiets nader te onderzoeken.

Fietsparadox Fietsen is een alledaagse activiteit. Desalniettemin zijn er redenen genoeg om het bewegen van een fiets nader te onderzoeken. Charles Mathy Fietsen is een alledaagse activiteit. Desalniettemin zijn er redenen genoeg om het bewegen van een fiets nader te onderzoeken. Natuurkunde is uit, het aantal studenten neemt af. En natuurkunde

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

AAN DE SLAG Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1)

AAN DE SLAG Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1) Arbeid verricht door de wrijvingskracht (thema 1) Is de arbeid die moet verricht worden op een voorwerp om dat voorwerp over een afstand h omhoog te brengen, afhankelijk van de gevolgde weg? Kies een van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1

Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 Uitwerkingen Tentamen Natuurkunde-1 5 november 2015 Patrick Baesjou Vraag 1 [17]: a. Voor de veerconstante moeten we de hoekfrequentie ω weten. Die wordt gegeven door: ω = 2π f ( = 62.8 s 1 ) Vervolgens

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006

Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 2006 Beoordelingscriteria tentamen G&O, 5 juli 006 Opgave 1 a. 5 pt y 1 f x v t ; D y 1, t, v ^ D y 1, x, True y g x v t ; D y, t, v ^ D y, x, True Gewoon invullen in de golfvergelijking. Je moet dus weten

Nadere informatie

Aventuri met Bernoulli De wet van Bernoulli toegepast

Aventuri met Bernoulli De wet van Bernoulli toegepast Inleiding l in de 18e eeuw bedacht Daniel Bernoulli het natuurkundige principe om te vliegen. De wet van Bernoulli is de wet van behoud van energie voor een sterk vereenvoudigde situatie waarin alleen

Nadere informatie

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype.

de weerstandscoëfficiënt van de bochten is nagenoeg onafhankelijk van het slangtype. TNO heeft een onderzoek naar de invloed van een aantal parameters op de wrijvings- en weerstandscoëfficiënten van DEC International -slangen en -bochten uitgevoerd (rapportnummer 90-042/R.24/LIS). De volgende

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 20 tijdvak 2 woensdag 22 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011

vwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011 Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige

Nadere informatie

Dit studiemateriaal is ontwikkeld in het kader van een aansluitingsproject wo-vwo voor het wiskundeonderwijs

Dit studiemateriaal is ontwikkeld in het kader van een aansluitingsproject wo-vwo voor het wiskundeonderwijs Dit studiemateriaal is ontwikkeld in het kader van een aansluitingsproject wo-vwo voor het wiskundeonderwijs in de tweede fase. Andere titels zijn: Foutje? Dat verbeteren we toch! Kunjedecodekraken? Kunjemedekortstewegvertellen?

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College

Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College Herkansing Eindtoets Toegepaste Natuurwetenschappen and Second Chance final assessment Applied Natural Sciences (3NBB) Maandag 15 April, 2013, 14.00 17.00

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 3

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 3 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 3 3.4.1 Basis Tijd meten 1 Juli heeft 31 dagen. Wanneer 25 juli op zaterdag valt, valt 31 juli dus op een vrijdag. Augustus heeft ook 31 dagen. 1 augustus valt dus op

Nadere informatie

Basic Creative Engineering Skills

Basic Creative Engineering Skills Mechanica November 2015 Theaterschool OTT-1 1 November 2015 Theaterschool OTT-1 2 De leer van wat er met dingen (lichamen) gebeurt als er krachten op worden uitgeoefend Soorten Mechanica Starre lichamen

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Botsingen. N.G. Schultheiss

Botsingen. N.G. Schultheiss 1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde

Nadere informatie

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014 Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2

bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2 bij het oplossen van vraagstukken uit Systematische Natuurkunde -------- deel VWO4 --------- Hoofdstuk 2 B.vanLeeuwen 2010 Hints 2 HINTS 2.1 Vragen en Opgaven De vragen 1 t/m 6 Als er bij zulke vragen

Nadere informatie

STROMINGSLEER. A.E.P. Veldman en A. Velická. Natuurwetenschappen en Technologie

STROMINGSLEER. A.E.P. Veldman en A. Velická. Natuurwetenschappen en Technologie STROMINGSLEER A.E.P. Veldman en A. Velická Natuurwetenschappen en Technologie Cursusjaar 2010 2011 STROMINGSLEER Vakcode: WISL-08 BSc Technische Wiskunde (verplicht) BSc Wiskunde BSc Natuurkunde BSc Technische

Nadere informatie

10 Had Halley gelijk: worden de maanden korter?

10 Had Halley gelijk: worden de maanden korter? 10 Had Halley gelijk: worden de en korter? Dit is de laatste module. We kunnen nu (eindelijk!) terugkomen op de vraag waar we twee jaar geleden mee begonnen. Terugblik In 1695 had de Engelse astronoom

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld: (,p,v) aan.

Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld: (,p,v) aan. Hydrodynamica Vloeistof bewegingsleer Leer van beweging van vloeistoffen (en gassen) Een vloeistof bevat te veel deeltjes om er het massamiddelpunt van te bepalen. Oplossing: we definiëren een stromingsveld:

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV

Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1

Deze Informatie is gratis en mag op geen enkele wijze tegen betaling aangeboden worden. Vraag 1 Vraag 1 Twee stenen van op dezelfde hoogte horizontaal weggeworpen in het punt A: steen 1 met een snelheid v 1 en steen 2 met snelheid v 2 Steen 1 komt neer op een afstand x 1 van het punt O en steen 2

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Krachten (4VWO) www.betales.nl

Krachten (4VWO) www.betales.nl www.betales.nl Grootheden Scalairen Vectoren - Grootte - Eenheid - Grootte - Eenheid - Richting Bv: m = 987 kg x = 10m (x = plaats) V = 3L Bv: F = 17N s = Δx (verplaatsing) v = 2km/h Krachten optellen

Nadere informatie

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2)

Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica

Nadere informatie

Practicum handleiding voor de proefopstellingen Stromingsleer. januari 1999, Ir. J.C. van Muiswinkel MEAH-184

Practicum handleiding voor de proefopstellingen Stromingsleer. januari 1999, Ir. J.C. van Muiswinkel MEAH-184 Practicum handleiding voor de proefopstellingen Stromingsleer januari 1999, Ir. J.C. van Muiswinkel MEAH-184 Technische Universiteit Delft Faculteit Ontwerpen, Constructie & Productie Laboratorium voor

Nadere informatie

Uitwerkingen toets emv

Uitwerkingen toets emv Uitwerkingen toets emv 24 april 2012 1 (a) Bij aanwezigheid van een statische ladingsverdeling ρ(r) wordt het elektrische veld bepaald door E = 1 ρ(r ) 4π r 2 ˆrˆrˆr dτ, V waarin V het volume van de ladingsverdeling,

Nadere informatie