Open Universiteit Nederland Leerstofgebied technische wetenschappen. Cursusteamleiding mw. drs. J.S. Lodder

Transcriptie

1 Cursusdeel Blok 8 8 Continue wiskunde Complexe getallen

2 Open Universiteit Nederland Leerstofgebied technische wetenschappen Cursusteamleiding mw. drs. J.S. Lodder Cursusteam dhr. dr. A.G. van Asch, auteur, Technische Universiteit Eindhoven dhr. dr. R.J. Beerends, auteur mw. drs. J.S. Lodder, auteur dhr. dr. ir. F.J.L. Martens, auteur, Technische Universiteit Eindhoven mw. drs. M.E. Bitter, onderwijstechnoloog mw. drs. G.J.J. van Prooyen, onderwijstechnoloog dhr. drs. A.H.D.M. van Gijsel, redacteur Disciplineleiding dhr. drs. G. Zwaneveld Programmaleiding dhr. prof.dr. J. van de Craats Extern referent dhr. prof.dr. F. Simons, Technische Universiteit Eindhoven

3 Open Universiteit Cursusdeel Blok 8 8 Continue wiskunde Complexe getallen 3

4 Productie Open Universiteit Nederland, Heerlen Basisvormgeving BRS maatschap van vormgevers, Amsterdam Omslag Buro Jo Hendriks bno, Cottessen Illustraties en lay-out Soezie van den Heuvel Maria Kampermann Druk- en bindwerk Open Universiteit Nederland, Heerlen Behoudens uitzondering door de Wet gesteld mag zonder schriftelijke toestemming van de rechthebbende(n) op het auteursrecht niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotocopie, microfilm of anderszins, hetgeen ook van toepassing is op de gehele of gedeeltelijke bewerking. Save exceptions stated by the law no part of this publication may be reproduced in any form, by print, photoprint, microfilm or other means, included a complete or partial transcription, without the prior written permission of the publisher. Eerste druk: 999 Illustratieverantwoording omslagfoto Tacoma Narrows Bridge, Washington Corbis UK Ltd, London, Museum of History and Industry ISBN (serie) ISBN (deel 8) Cursuscode T

5 Structuur van de cursussen Continue wiskunde Continue wiskunde Blok Introductie Rijen en reeksen 3 Limieten en continuïteit 4 Differentiaalrekening 5 Integraalrekening Continue wiskunde Blok Leereenheid Bladzijde 6 Functies van meer variabelen Introductie tot de cursus Kernbegrippen Lineaire benaderingen 3 Taylor-benaderingen en extremen 4 Practicum computeralgebra Casus: de warmtevergelijking Opgaveneenheid blok 6 Bijlage: Bewijzen van stellingen Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 6 7 Differentiaalvergelijkingen 5 Differentiaalvergelijkingen en richtingsvelden 6 Eersteordedifferentiaalvergelijkingen 7 Stelsels differentiaalvergelijkingen 8 Practicum computeralgebra Casus: de ontwikkeling van een epidemie Opgaveneenheid blok 7 Bijlage: Bewijzen van stellingen Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 7 8 Complexe getallen 9 De complexe getallen en het complexe vlak 3 30 Poolcoördinaten en complexe e-machten 9 3 Tweedeorde lineaire differentiaalvergelijkingen 45 3 Practicum computeralgebra 7 Casus: de harmonische oscillator 77 Opgaveneenheid blok 8 87 Aanwijzingen en Terugkoppelingen 89 Register blok Kansrekening 33 Kansen en kansmodellen 34 Stochastische variabelen en verwachting 35 Variantie en de Centrale limietstelling 36 Practicum computeralgebra Casus: schatten en toetsen Opgaveneenheid blok 9 Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 9 0 Numerieke methoden 37 Nulpuntsbepalingen 38 Numerieke integratie 39 Numerieke oplossingen van differentiaalvergelijkingen 40 Practicum computeralgebra Casus: banen Opgaveneenheid blok 0 Bijlage: Bewijzen van stellingen Aanwijzingen en Terugkoppelingen Register blok 0 Chaos en fractals 4 Chaos en fractals Terugkoppeling Eindtoets Register 5

6 Open Universiteit Continue wiskunde 6

7 Introductie blok 8 Introductie blok 8 In het vorige blok is een flink aantal differentiaalvergelijkingen bestudeerd en hebben we gezien hoe deze optreden bij allerlei verschijnselen waar verandering een rol speelt, zoals groei, verhitting, verdamping en elektrische schakelingen. Alle vergelijkingen hadden tot nu toe in ieder geval één ding gemeen: ze waren van de eerste orde. In dit blok komen (voornamelijk) tweedeordedifferentiaalvergelijkingen aan bod, waarin dus naast x, y en y' ook de tweedeordeafgeleide van y naar x voorkomt. Tweedeordevergelijkingen zijn echter aanzienlijk moeilijker dan eersteorde. Vandaar dat we ons tot één eenvoudig type zullen beperken, namelijk de tweedeordedifferentiaalvergelijkingen ay" + by' + cy = g(x) met constante coëfficiënten a, b en c, waarbij a 0 en g(x) een gegeven functie van x is. Het verrassende is eigenlijk dat, ondanks de eenvoudige vorm, dit soort differentiaalvergelijkingen in veel toepassingen optreedt. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is de elektrische schakeling met een spanningsbron, weerstand, spoel en condensator, die we in de introductie tot blok 7 zijn tegengekomen. Een ander voorbeeld is een zogeheten massa-veer-systeem, dat we in de casus bij dit blok zullen behandelen. In beide systemen treden dan ook vergelijkbare verschijnselen op. Een bekend (en berucht) voorbeeld is resonantie, wat zowel desastreuze gevolgen als nuttige toepassingen kent. In de casus bij dit blok komen we daar op terug. Nu lijken de genoemde voorbeelden nogal simplistisch. Maar hier geldt iets waar al eerder op gewezen is: eenvoudige voorbeelden kunnen model staan voor ingewikkelder situaties waarin dezelfde soort verschijnselen optreden. De eenvoudige systemen zijn dan een eerste benadering van de complexere systemen. Door die eenvoudige benaderingen eerst te bestuderen, krijgen we een beter inzicht, waardoor we hopelijk ook het moeilijker geval beter aan kunnen pakken. De methode van eenvoudig naar ingewikkeld passen we ook toe op de vergelijkingen ay" + by' + cy = g(x). Een eenvoudig geval is y" y = 0, ofwel y" = y. Op haar beurt lijkt y" = y weer op y' = y, een eersteordevergelijking waarvan we een oplossing kennen, namelijk y(x) = e x. Maar dan is y(x) = e x ook een oplossing van y" = y, immers, uit y' = y volgt dat y" = (y')' = y' = y. Natuurlijk is ook direct wel duidelijk dat y"(x) = e x als y(x) = e x. Hoe dan ook, we hebben nu een oplossing van een tweedeordedifferentiaalvergelijking gevonden! Een stapje ingewikkelder is y" = ay, waarbij a een constante is. We proberen dezelfde lijn vol te houden en bekijken eerst y' = ay, die als oplossing y(x) = e ax heeft. Twee maal differentiëren levert dat y"(x) = a e ax = a y(x). In plaats van een oplossing van y" = ay hebben we dus een oplossing van y" = a y gevonden, maar door worteltrekken is dit te repareren: y(x) = e ( a)x (en ook y(x) = e ( a)x ) is een oplossing van y" = ay. 7

8 Open Universiteit Continue wiskunde Dit lijkt prima, maar voor a < 0 is er natuurlijk een probleem! Als we ons voor het gemak beperken tot a =, dus tot y" = y, dan zou y(x) = e ( )x een oplossing moeten zijn, maar het lijkt lastig om aan e ( )x een betekenis toe te kennen. Toch is dit precies wat we in leereenheid 9 en 30 gaan doen: we zullen een nieuwe verzameling getallen introduceren, de zogeheten complexe getallen, waarbij in het bijzonder aan en aan e ( )x een betekenis wordt toegekend. Daarbij zal het niet verbazen, gezien de definitie van worteltrekken, dat voor het complexe getal zal gelden dat ( ) =. Vervolgens zullen we in leereenheid 3 zien dat de complexe getallen een handig hulpmiddel zijn waarmee zelfs alle tweedeordevergelijkingen ay" + by' + cy = 0 zijn op te lossen. De functie e ( )x speelt daarin een belangrijke rol. Overigens worden complexe getallen in veel meer situaties toegepast. Ook in blok over Chaos en fractals komen ze bijvoorbeeld goed van pas. Zojuist werd al aangegeven dat het complexe getal een oplossing van x = zal zijn. Maar, vraagt u zich wellicht af, waarom zouden we betekenis aan een oplossing van x = willen toekennen? Historisch is men zich hier zorgen om gaan maken toen bleek dat bepaalde resultaten alleen te verklaren waren door met oplossingen van x = te rekenen. Men werd dus door de feiten gedwongen om complexe getallen toe te laten. Iets dergelijks doet zich wel vaker in de wiskunde voor. Een eenvoudig voorbeeld is het bepalen van oplossingen van x =. Er is een eenvoudige reden waarom zo n oplossing zou moeten bestaan: als we de lengte x van de diagonaal in het eenheidsvierkant willen bepalen, dan zoeken we precies een getal x waarvoor geldt x =. Zie figuur. x FIGUUR De lengte x van de diagonaal voldoet aan x = Dat x voldoet aan de vergelijking x =, wisten de Grieken al: uit de stelling van Pythagoras voor rechthoekige driehoeken volgt dat + = x. Het bepalen van de oplossing x stelde de Grieken echter voor een probleem. Ze kenden namelijk alleen een realiteit toe aan wat wij de rationale getallen noemen, dus alleen aan getallen uit Q. Tegelijkertijd konden ze bewijzen (rond 500 v. Chr.) dat een oplossing van x =, wat de lengte van de diagonaal moet zijn, niet een rationaal getal kan zijn. De stap om de rationale getallen Q uit te breiden tot de reële getallen R was nog te lastig, en dit probleem zaaide grote verwarring bij de Grieken. Veeltermvergelijking De vergelijking x =, ofwel x = 0, is een voorbeeld van een veeltermvergelijking, dat wil zeggen: een vergelijking van de vorm p(x) = 0, waarbij p(x) een veelterm is, dus p(x) = a n x n + a n x n a x + a 0. Hierbij is n een geheel getal, a i (i = 0,,..., n) zijn zekere gegeven reële constanten en x is een reële onbekende. We nemen aan dat p(x) echt graad n heeft, dus a n 0. Het bestuderen van oplossingen van p(x) = 0 was in de 6e-eeuwse wiskunde een belangrijk onderwerp. Centraal stond de vraag of er voor de oplossing(en) van zo n vergelijking een formule bestond. 8

9 Introductie blok 8 Kwadratische vergelijking Voor de oplossing(en) van een kwadratische vergelijking ax + bx + c = 0 is er de zogeheten wortelformule: Wortelformule b b ac x = ± a 4 () (volgens afspraak geldt a 0). Deze formule geeft de reële oplossing(en) als b 4ac 0. Als b 4ac < 0, dan heeft ax + bx + c = 0 geen reële oplossing; het prototype is de vergelijking x =. Er bestaat immers geen reëel getal x waarvoor geldt x =. Maar dit lijkt veel op het probleem dat de Grieken hadden: er bestaat geen rationaal getal x waarvoor geldt x =. Zouden we wellicht een nieuw stuk wiskunde kunnen ontdekken door op zoek te gaan naar nog onbekende niet-reële getallen die wel voldoen aan x =? Zoals gezegd valt op deze analogie wel iets af te dingen: de Grieken hadden een goede reden om een oplossing van x = te zoeken, omdat dat getal de lengte van de diagonaal in een eenheidsvierkant is. Waarom zouden we x = willen oplossen? Zolang we ons tot kwadratische vergelijkingen beperken, zijn hier inderdaad geen argumenten voor te vinden. Dat verandert als we vergelijkingen van graad 3 bestuderen en historisch is dit ook de manier geweest waarop niet-reële getallen voor het eerst zijn verschenen. Een derdegraadsvergelijking is een veeltermvergelijking van de vorm Derdegraadsvergelijking ax 3 + bx + cx + d = 0 Een hoogtepunt in de 6e-eeuwse wiskunde was de ontdekking, door een Italiaanse school van wiskundigen uit Bologna, dat er ook voor derdegraadsvergelijkingen een wortelformule is. Allereerst is zo n vergelijking te vereenvoudigen tot een vergelijking van de vorm x 3 + px + q = 0 Voor de oplossing(en) van x 3 + px + q = 0 werd de volgende formule afgeleid, die nu bekend staat als de formule van Cardano: Formule van Cardano x = q + q + p3 + 3 q q + p3 () 4 7 Ars Magna = Grote Kunst Deze formule werd voor het eerst in 545 in het boek Ars Magna van de Italiaan Hieronimo Cardano (50-576) gepubliceerd, hoewel Cardano de oplossingsmethode onder een eed van geheimhouding had vernomen van de Venetiaan die onder de bijnaam Tartaglia (stotteraar) bekend stond. Voor meer details hierover en over de ruzie die ontstond, verwijzen we naar Geschiedenis van de wiskunde van D. J. Struik. Zowel de herleiding van de algemene derdegraadsvergelijking tot x 3 + px + q = 0 als de afleiding van de formule van Cardano, zouden hier te ver voeren en laten we achterwege. 9

10 Open Universiteit Continue wiskunde Met de formule van Cardano zijn dus oplossing(en) van x 3 + px + q = 0 te bepalen. Men kwam echter al snel met voorbeelden in aanraking waarbij de formule tot vreemde resultaten leidde. Zo is van x 3 3x = 0 direct vast te stellen dat x = 0, x = 3 en x = 3 de drie oplossingen zijn. Passen we echter de formule van Cardano toe met p = 3 en q = 0, dan volgt dat Ga dit na! 3 3 x = + (3) Binnen de reële getallen heeft deze uitdrukking helemaal geen betekenis, omdat het getal in R niet bestaat. Dit zou immers de oplossing van x = moeten zijn. Maar dit geeft ons precies een belangrijke reden om wel de vergelijking x = op te willen lossen! Als we namelijk even net doen alsof bestaat, en bovendien 3 a = 3 a gebruiken, dan zou uit formule 3 in ieder geval de oplossing x = 0 volgen, omdat dan = = 0 paradox = schijnbare tegenstelling Door andere manipulaties met uit te voeren, zijn ook de oplossingen 3 en 3 te verkrijgen, maar daar gaan we verder niet op in. We worden nu met eenzelfde probleem geconfronteerd als ooit de Grieken! Enerzijds heeft x = geen oplossing in R. Anderzijds weten we dat x 3 3x = 0 drie reële oplossingen heeft en dat deze drie oplossingen alleen met de formule van Cardano gevonden kunnen worden door toch symbolisch met de oplossing van x = te rekenen. Het is de Bolognese wiskundige R. Bombelli geweest die in zijn boek Algebra uit 57 voor het eerst systematisch op deze manier met rekende om reële oplossingen van derdegraadsvergelijkingen te bepalen. Hij werkte daarmee in feite met complexe getallen. Wiskundigen zijn echter altijd huiverig geweest om zo maar met symbolen te manipuleren, zonder goed te begrijpen welke theorie daar aan ten grondslag ligt. En niet ten onrechte, want zonder een goede theorie kunnen er paradoxen optreden die opgelost moeten worden voordat men verder kan. Beroemde paradoxen uit de Griekse tijd hangen bijvoorbeeld samen met het feit dat men geen goed begrip van reële getallen en limieten had. En zonder een goed begrip van de niet-reële getallen is de volgende paradox van Bernoulli een probleem: Paradox van Bernoulli ( ) = = = ( )( ) = ( ) ( ) = Hierbij is gebruikt dat een getal x is dat voldoet aan x =. Als we deze paradox niet kunnen oplossen, dan kunnen we wel stoppen met wiskunde! Het wordt dus tijd dat er een verantwoorde theorie komt voor deze getallen. We doen dat in leereenheden 9 en 30 en dan zal ook blijken wat er mis is in de paradox van Bernoulli. In leereenheid 3 passen we de complexe getallen toe in de theorie van de tweedeordedifferentiaalvergelijkingen. 0

11 Introductie blok 8

12 Open Inhoud Universiteit leereenheid 9 Continue wiskunde De complexe getallen en het complexe vlak Introductie 3 Leerkern 3 9. Definitie van complexe getallen 3 9. Rekenen met complexe getallen Optellen en aftrekken Vermenigvuldigen Delen Complex geconjugeerde Kwadratische vergelijkingen 9.4 Het complexe vlak 4 Samenvatting 6 Zelftoets 7

13 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak I N T R O D U C T I E Veel toepassingen van de wiskunde komen uiteindelijk neer op het oplossen van een of andere vergelijking. Een bijzondere klasse van vergelijkingen vormen de veeltermvergelijkingen, dat wil zeggen: vergelijkingen p(x) = 0, waarbij p(x) een veelterm is. De getallen die we in deze leereenheid zullen introduceren, de zogeheten complexe getallen, zijn een belangrijk hulpmiddel bij het oplossen van dit soort vergelijkingen. Het uitgangspunt voor de definitie van de complexe getallen in paragraaf 9. zal de vergelijking x = zijn, die geen oplossingen in R heeft. Zoals we in de introductie op dit blok zagen, komen we vanzelf met de oplossingen van dit soort vergelijkingen in aanraking als p(x) graad 3 heeft en we p(x) = 0 met behulp van de wortelformule van Cardano proberen op te lossen. Na de definitie leren we in de volgende paragraaf met complexe getallen rekenen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Er zal blijken dat dit niet wezenlijk verschilt van de manier waarop we met reële getallen rekenen. De reële getallen kunnen we ons meetkundig voorstellen als de getallenrechte. In de laatste paragraaf zullen we zien dat het platte vlak een handige meetkundige voorstelling voor de complexe getallen geeft. In de volgende leereenheid zal dit een belangrijke rol spelen. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u de definitie van de complexe getallen en de notatie C kent getallen in C kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen het reële en imaginaire deel van een complex getal kunt bepalen de complex geconjugeerde van een complex getal kunt bepalen kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten in C kunt oplossen weet dat getallen in C niet in grootte met elkaar te vergelijken zijn complexe getallen met punten in het vlak kunt weergeven optellen en complex conjugeren in het vlak kunt weergeven L E E R K E R N 9. Definitie van complexe getallen In de introductie op dit blok is uitgebreid gemotiveerd dat de complexe getallen die we willen definiëren, van alles te maken hebben met het oplossen van vergelijkingen en in het bijzonder van kwadratische vergelijkingen. Om nu de definitie van de complexe getallen wat beter verteerbaar te maken, bekijken we eerst eens een situatie die hier verassend veel mee gemeen zal blijken te hebben. 3

14 Open Universiteit Continue wiskunde voldoet aan x =. Als we de vergelijking x = moeten oplossen, dan weten we dat x niet een getal in Z of in Q is, maar dat x het irrationale getal of is. In feite neppen we de boel hier: is immers uitsluitend een symbool dat we gebruiken om het getal x aan te geven waarvan het kwadraat is. Dat er zoiets bestaat als een getal dat met dit symbool correspondeert, berust op intuïtie en gezond verstand : we zien toch dat het de lengte is van de diagonaal in een eenheidsvierkant. Toch is een precieze definitie van het getal, en meer in het algemeen van het begrip reëel getal, een hele grote stap in de wiskunde geweest. Vanaf de Grieken, die al rond 500 v. Chr. wisten dat niet rationaal was en dit soort getallen niet vertrouwden, duurde het tot in de 9e eeuw voordat er een bevredigende en geaccepteerde theorie van de reële getallen was. Het maakt duidelijk dat wat wij tegenwoordig als vanzelfsprekend accepteren, het resultaat is van een lange geschiedenis. Ook voor de complexe getallen heeft zich een lang proces van acceptatie voorgedaan. In 57 werd in het boek Algebra van Bombelli voor het eerst systematisch met wortels uit negatieve getallen gerekend. De grote Franse filosoof en wiskundige R. Descartes ( ) noemde wortels uit negatieve getallen imaginair. Pas in de loop van de 9e eeuw werd een standaard theorie over complexe getallen ontwikkeld en verdween langzaam het mysterieuze aan deze getallen. Als u zelf in het begin ook wat onwennig tegenover complexe getallen staat, dan is dat dus niet zo verwonderlijk. Om te proberen dit te verhelpen, zullen we de analogie met aardig lang volhouden. i voldoet aan x =. Het begint allemaal met de definitie van een nieuw symbool naar aanleiding van een onoplosbare vergelijking. We weten dat x = geen oplossingen heeft in R, terwijl het toch handig kan zijn om met oplossingen van deze vergelijking te rekenen. Net als het symbool definiëren we daarom een nieuw symbool voor de oplossing van x =. U verwacht natuurlijk gewoon, maar het is gebruikelijk om dit met i aan te geven, wat de eerste letter is van imaginair. Dus i = is een getal dat voldoet aan i =. Laten we nu eens kijken waar de analogie met toe leidt. Accepteren we als een getal dat voldoet aan x =, dan is met rekenregels in te zien dat ook een oplossing is van x =. Immers, omdat ( ) = ( ) ( ) en ( ) =, volgt er dat ( ) = ( ), dus ook ( ) =. De oplossingen van x = zijn dus x = of x =. Als we nu even aannemen dat we met i net zo mogen rekenen als met, dan vinden we dat i een tweede oplossing van x = is. Immers, omdat ( i) = ( ) (i) en ( ) =, volgt er dat ( i) = (i), dus zien we dat inderdaad ( i) =. We zeggen nu dat x = als oplossingen x = i of x = i heeft. Andere vergelijkingen waarin een rol speelt, zijn evenzo met rekenregels op te lossen. Zo heeft (x ) = als oplossingen x =+ of x = omdat ( + ) = en ( ) = en er dus volgt dat (( + ) ) = ( ) = en dat (( ) ) = ( ) =. Vervangen we nu weer door i, dan zou volgen dat (x ) = als oplossingen x = + i of x = i heeft. Dit kunnen we op dezelfde manier laten zien: omdat ( + i) = i en ( i) = i, volgt er dat (( + i) ) = i = en ook dat (( i) ) = ( i) =. 4

15 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak We wijzen er nogmaals op dat hierbij is aangenomen dat we op dezelfde manier met dit soort getallen mogen rekenen als met de reële getallen. Als we bijvoorbeeld ( + i) vereenvoudigen tot i, dan gebruiken we de commutativiteit en associativiteit van de optelling. Dit onderwerp komt pas in de volgende paragraaf aan de orde, maar we nemen er nu alvast een voorschot op. OPGAVE 9. a Laat zien dat en oplossingen zijn van x = 8. Pas nu dezelfde rekenregels toe om te laten zien dat i en i oplossingen zijn van x = 4. b Bepaal de oplossingen van (x 3) = 8. Van welke vergelijking zijn 3 + i en 3 i oplossingen? Motiveer uw antwoord. Uit de voorbeelden en opgaven blijkt, dat met getallen als + i en 3 i zekere kwadratische vergelijkingen zijn op te lossen op een manier die sterk lijkt op het rekenen met getallen van de vorm + en 3. Het enige verschil lijkt te zijn dat in plaats van de relatie x = voor het getal, we nu de relatie x = gebruiken voor het getal i. Getallen als + i en 3 i zullen we complexe getallen noemen. Complexe getallen Zuiver imaginair DEFINITIE 9. Notatie C R is een deelverzameling van C. Een complex getal is een getal van de vorm a + bi, waarbij a, b R. De verzameling van alle complexe getallen noteren we met C, dus C = {a + bi a, b R}. Met opzet is niet in de definitie opgenomen dat i een oplossing van x = is. We zullen namelijk in paragraaf zien dat dit volgt uit de rekenregels die we graag voor de complexe getallen willen hebben. We spreken af dat we a bi schrijven voor a + ( b)i. Dus 3 7i is het complexe getal 3 + ( 7)i. Verder schrijven we bi in plaats van 0 + bi. Complexe getallen van de vorm bi (met b R) worden zuiver imaginaire getallen genoemd. De complexe getallen i (waarmee we i bedoelen), 3i, 7i en ( 5)i zijn voorbeelden van zuiver imaginaire getallen. Als we b = 0 nemen in definitie 9., dan ontstaan de complexe getallen a + 0i, waar we a voor zullen schrijven. Maar omdat a R, zien we dat een reëel getal a ook als complex getal a + 0i is op te vatten. De reële getallen R vormen zo een deelverzameling van de complexe getallen C. Na deze definitie en notaties bekijken we in paragraaf 9. rekenregels in C. OPGAVE 9. Ga van de volgende getallen na of het reële, zuiver imaginaire of complexe getallen zijn: 4i, 5 3i, 3 7, πi. OPGAVE 9.3 In deze opgave mag u voor de complexe getallen dezelfde rekenregels toepassen als voor de reële getallen en gebruiken dat i =. a Schrijf x 4x 8 = 0 in de vorm (x a) = b en bepaal de oplossingen. Zijn de oplossingen reële, zuiver imaginaire of complexe getallen? b Doe hetzelfde als in onderdeel a voor x 4x + 8 = 0. 5

16 Open Universiteit Continue wiskunde 9. Rekenen met complexe getallen In de vorige paragraaf werd aangenomen dat er met complexe getallen net zo gerekend mag worden als met reële getallen. Dat we toch wel voorzichtig moeten zijn, laat de paradox van Bernoulli uit de introductie op dit blok zien. Vandaar dat we in deze paragraaf zorgvuldig de bewerkingen die we met complexe getallen willen gaan uitvoeren, langs zullen lopen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Daarbij zetten we in feite de zaak op z n kop: we definiëren die bewerkingen zodanig dat de vertrouwde rekenregels geldig blijven. De reële getallen van de vorm a + b zullen steeds als voorbeeld dienen. 9.. OPTELLEN EN AFTREKKEN Twee getallen van de vorm a + b tellen we als volgt op: (a + b ) + (c + d ) = a + c + b + d = (a + c) + (b + d) In deze berekening worden de commutativiteit (p + q = q + p) en de associativiteit (p + (q + r) = (p + q) + r) van de optelling gebruikt, die we graag ook voor complexe getallen willen behouden. We vervangen nu in de voorgaande uitdrukking door i en definiëren voor twee complexe getallen van de vorm a + bi de optelling geheel analoog als volgt: Optelling in C (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Het resultaat van de optelling noemen we de som van a + bi en c + di. Uit de definitie zien we dat de som van twee complexe getallen opnieuw van de vorm x + yi is met x, y R, en dus een complex getal is. VOORBEELD ( + i) + (3 i) = ( + 3) + ( + ( ))i = 4 i (4 5i) + ( + 5i) = (4 + ( )) + (( 5) + 5)i = + 0i = ( + i) = ( + i) + ( + 0i) = ( + ( )) + ( + 0)i = 0 + i = i Het laatste voorbeeld bewijst een resultaat dat in paragraaf werd gebruikt. «Commutatief Associatief Zodra we meer gewend zijn aan het optellen in C, schrijven we dit niet meer zo uitgebreid op als in het voorgaand voorbeeld. In opgave 9.5 wordt gevraagd om zelf de definitie van aftrekken te geven. Omdat optellen in R commutatief en associatief is, volgt er direct uit de definitie dat dit ook voor optellen in C geldt. Dit betekent dat we bijvoorbeeld de som van + i en 3 i kort zo kunnen opschrijven: ( + i) + (3 i) = i i = 4 i. OPGAVE 9.4 Bereken steeds de som van de volgende complexe getallen: 3 4i en + 7i, 4 ( )i en 6 + ( )i, 3i en, i en, i en + i. Verschil OPGAVE 9.5 a Schrijf het verschil van twee getallen van de vorm a + b opnieuw in deze vorm en definieer vervolgens hoe we twee getallen van de vorm a + i van elkaar aftrekken (het resultaat noemen we het verschil). b Bereken steeds het verschil van de complexe getallen uit opgave

17 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak 9.. VERMENIGVULDIGEN Twee getallen van de vorm a + b vermenigvuldigen we als volgt: Ga dit na! (a + b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd( ) = (ac + bd) + (ad + bc) Let vooral op de coëfficiënt van bd, die afkomstig is van ( ). In deze berekening worden de commutativiteit (dus pq = qp) en de associativiteit (dus p(qr) = (pq)r) van de vermenigvuldiging gebruikt en bovendien de distributiviteit p(q + r) = pq + pr. Al deze regels willen we weer graag voor de complexe getallen behouden. We vervangen nu in de voorgaande uitdrukking door i en ( ) door, waarvan we willen dat het gelijk aan (i) is, en definiëren voor twee complexe getallen van de vorm a + bi de vermenigvuldiging dan volkomen analoog als volgt: Vermenigvuldiging in C (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Laten we verifiëren dat uit deze definitie inderdaad volgt dat i = : i = i i = (0 + i) (0 + i) = (0 0 ) + (0 + 0)i = + 0i = Het resultaat van de vermenigvuldiging noemen we het product van a + bi en c + di. Uit de definitie zien we dat het product van twee complexe getallen opnieuw van de vorm x + yi is met x, y R, en dus een complex getal is. We merken nog op dat het complexe getal yi (y R) nu ook op te vatten is als het product van y en i. VOORBEELDEN ( + i) (3 i) = ( 3 ( )) + ( ( ) + 3)i = 5 + i ( i) ( + i) = ( ( ) ( ) ) + ( + ( ) ( ))i = 0 + i = i (i) (i) = (0 0 ) + (0 + 0)i = 4 + 0i = 4 Het resultaat (i) = 4 werd in opgave 9. gebruikt. «OPGAVE 9.6 Bereken steeds het product van de volgende complexe getallen: + i en 3 4i, 3i en, i en, i en + i. Uit de voorbeelden en opgaven blijkt wel, dat complexe getallen vermenigvuldigen met behulp van de definitie, niet zo prettig werkt: we moeten steeds goed nadenken welke getallen we bij elkaar moeten nemen. Het is eenvoudiger om het product op dezelfde manier uit te rekenenen als het product van getallen van de vorm a + b en daarbij te gebruiken dat i =. Het product van + i en 3 i rekenen we dan bijvoorbeeld zo uit: ( + i) (3 i) = 3 + ( i) + i 3 + i ( i) = 3 i + 3i i = 3 i + 3i + = 5 + i De enige regels die hierbij gebruikt worden, zijn de commutativiteit en associativiteit van de vermenigvuldiging en de distributiviteit,... die echter nog helemaal niet bewezen zijn voor complexe getallen! 7

18 Open Universiteit Continue wiskunde Helaas volgen deze rekenregels niet meer zo direct uit de definitie als dat voor het optellen het geval was. We zullen ze moeten bewijzen door elk van deze regels uit te schrijven. Voor de eenvoudigste regel, de commutativiteit, valt het mee. Er geldt dat (c + di) (a + bi) = (ca db) + (cb + da)i Commutativiteit Associativiteit Distributiviteit en vanwege de commutativiteit van de vermenigvuldiging (en de optelling) in R is dit inderdaad gelijk aan (ac bd) + (ad + bc)i, wat (a + bi) (c + di) is. Hiermee is de commutativiteit van de vermenigvuldiging in C bewezen. In het bijzonder kunnen we in plaats van bi ook ib schrijven. Dit is soms handig om de leesbaarheid te bevorderen: 3 + i is duidelijker dan 3 + i. Dit laatste getal kunnen we beter als ( )i schrijven. In opgave 9.8 vragen we een bewijs voor de associativiteit. De distributiviteit nemen we dan maar op geloof aan (het staat u natuurlijk vrij om het toch te controleren...). Voortaan rekenen we dan producten van complexe getallen met behulp van deze rekenregels uit, waarbij we steeds i vervangen door. OPGAVE 9.7 Bereken de producten uit opgave 9.6 met behulp van de rekenregels. (Als u dat al niet gedaan hebt.) OPGAVE 9.8 Bewijs de associativiteit van de vermenigvuldiging, dus ((a + bi) (c + di)) (e + fi) = (a + bi) ((c + di) (e + fi)) Notatie z = x + yi Nu we steeds meer met complexe getallen gaan rekenen, is het moment gekomen om de notatie te vereenvoudigen. Daartoe noteren we een complex getal x + yi voortaan met één letter, meestal de letter z. Zijn er twee complexe getallen in het spel, dan gebruiken we meestal w en z of de indexnotatie z en z. De commutativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging is dan kort zo op te schrijven: z + w = w + z en z w = w z voor alle z, w C. Ook laten we de vermenigvuldigingspunt vaak weg en schrijven dus zw in plaats van z w. De indexnotatie is vooral handig als we met meer dan twee complexe getallen werken. OPGAVE 9.9 a Noteer de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging en de distributiviteit met behulp van de complexe getallen z, z en z 3. b Bereken z + w, z w, zw en z voor z = 4 + i en w = + 3i. Gehele machten Notatie z n De associativiteit stelt ons in staat om gehele machten van een complex getal z te definiëren. Immers, omdat (z z) z = z (z z), kan er geen verwarring zijn over de volgorde waarin we de producten moeten berekenen als we z 3 als z z z definiëren. Net zo is z n voor een gehele n te definiëren als z z... z (n keer). Ook spreken we af dat z 0 =. OPGAVE 9.0 (Aanw) Bereken z, z 3, z 4 en z 5 voor z = + i. 8

19 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak 9..3 DELEN Als we in het quotiënt uit de noemer weg willen hebben, dan is dit te bereiken door noemer en teller met 4 3 te vermenigvuldigen en de noemer uit te werken: Ga dit na! = = ( )( 4 3 ) 6 9( ) 3 = ( 4 3 ) = + Op deze wijze is ieder quotiënt van twee getallen van de vorm a + b opnieuw in de vorm x + y te krijgen: a+ b c + d ( a+ b )( c d ) ( ac ( ) bd) + ( bc ad) = = ( c + d )( c d ) c ( ) d ac bd bc ad = + c d c d (mits c d 0, maar dat is nu niet zo van belang). Vervangen we in deze uitdrukking door i en = ( ) door = i, dan suggereert dit de volgende definitie voor het delen van complexe getallen: Deling in C a+ bi ac + bd bc ad = + i c + di c + d c + d Omdat c + d alleen 0 is als c = d = 0, zien we dat deze deling in C alleen ongedefinieerd is als de noemer het complexe getal 0 + 0i = 0 is. Het resultaat van de deling noemen we het quotiënt van z = a + bi en w = c + di (w 0). Uit de definitie zien we dat dit quotiënt opnieuw van de vorm x + yi is, met x, y R, en dus een complex getal is. Het is onverstandig om de formule voor de deling uit het hoofd te leren. In plaats daarvan werken we een deling gewoon op dezelfde manier uit als we dat voor getallen van de vorm a + b deden. Analoog aan de berekening van /(4 + 3 ) hiervoor, is bijvoorbeeld /(4 + 3i) te bepalen door noemer en teller met 4 3i te vermenigvuldigen en de noemer uit te werken: Ga dit na! 4 3i 4 3i = = 4 + 3i ( 4 + 3i)( 4 3i) 6 9() i = ( 4 3i) = 3 5 i wat inderdaad het correcte antwoord is (ga dit na door a =, b = 0, c = 4 en d = 3 in de formule voor de deling in te vullen). We geven nog een tweede voorbeeld waarin ook de teller een niet-reëel getal is. 9

20 Open Universiteit Continue wiskunde VOORBEELD Zij z = + i en w = 3 i. We berekenen z/w door noemer en teller met 3 + i te vermenigvuldigen en de noemer uit te werken: z w = + i ( + i)( 3+ i) 3+ i + 3i + i = = 3 i ( 3 i)( 3+ i) 9 4i = ( + 5i) = + i «Notatie z en z n In het algemeen is het quotiënt z/w, met w = a + bi, in de vorm x + yi te krijgen door teller en noemer met a bi te vermenigvuldigen. Dat dit tot het correcte resultaat leidt, is eenvoudig door uitschrijven te controleren en laten we achterwege. Het getal /z noteren we ook als z en de gehele machten (z ) n noteren we dan als z n. OPGAVE 9. a Bereken steeds het quotiënt van de volgende complexe getallen: + i en i, 3i en, en 3i, en + 3i, + i en 3 4i. b Bereken z, z, z 3, z 4 en z 5 voor z = + i (gebruik opgave 9.0). Waarschuwing Geen rekenregels voor worteltrekken gebruiken in C en in C is er geen ordening als in R. Gebruik geen wortelnotatie. Na de paragrafen 9.. tot en met 9..3 ontstaat wellicht de indruk dat alle bewerkingen en rekenregels voor reële getallen wel net zo zullen gelden voor complexe getallen. Hier is echter een waarschuwing op z n plaats. Zo geldt voor (positieve) reële getallen x en y dat xy = x y, maar voor complexe getallen geldt deze regel niet. Juist het gebruik van de onjuiste regel ( )( ) = leidt tot de paradox van Bernoulli (zie de introductie op dit blok). Een ander voorbeeld is de ordening van de reële getallen. Voor ieder tweetal reële getallen x en y geldt dat x y of x y. Maar als we aan de vertrouwde regels voor deze ordening willen vasthouden, dan is zo n ordening voor complexe getallen niet mogelijk. Bekijk maar eens de getallen i en 0, waarvoor dan zou moeten gelden dat i 0 of i 0. Als we i 0 nemen, dan zou ook i i 0 moeten zijn, ofwel 0, wat onmogelijk is. Als we i 0 zouden nemen, dan zou volgen dat i 0, dus ook ( i) ( i) 0, ofwel 0, wat weer onmogelijk is. Er zijn wel andere soorten ordeningen te verzinnen in C, maar die voldoen dan niet aan de bekende regels voor in R. Dit leidt tot een tweede probleem bij de definitie van z voor een complex (of negatief) getal z: van de twee kandidaten die er ook in dit geval zijn, kunnen we niet de positieve oplossing kiezen. Dit probleem is goed oplosbaar, maar valt buiten het bestek van de cursus. Wat blijft is dat de rekenregel xy = x y voor complexe getallen in het algemeen niet correct is. Om problemen te voorkomen, raden we u aan om geen wortelnotatie voor negatieve getallen te gebruiken, dus bijvoorbeeld niet. Wellicht komt u deze wortels wel tegen in de computeralgebra bij dit blok COMPLEX GECONJUGEERDE Complex geconjugeerde Notatie z Als we voor w = a + bi ( 0) het getal /w, en algemener z/w, in de vorm x + yi willen schrijven, dan vermenigvuldigen we noemer en teller met het getal a bi. Het gevolg is, dat in de noemer een reëel getal verschijnt, namelijk (a + bi)(a bi) = a + b, waardoor het vervolgens eenvoudig is om /w in de gewenste vorm x + yi te schrijven. Omdat het paar a + bi en a bi een bijzondere rol speelt in C, is er een apart begrip voor geïntroduceerd: als z = a + bi, dan heet a bi de complex geconjugeerde van z en deze noteren we met z. Dus z = a bi en z z = a + b is reëel. 0

21 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak VOORBEELD De complex geconjugeerde van + 5i is 5i, dus + 5i = 5i, en de complex geconjugeerde van 5i is weer + 5i. De complex geconjugeerde van 4 is 4, dus 4 = 4. De complex geconjugeerde van 3i is 3i, ofwel 3i = 3i. «OPGAVE 9. Gegeven zijn de complexe getallen z = + i en w = 3i. a Bepaal z, w, z, w, z z en w w. b Bepaal z + w, z + w en vervolgens ook z + w. c Bepaal z w, z w en vervolgens ook z w. d Bepaal z/w, z/ w en vervolgens ook z / w. Opgave 9. suggereert de volgende rekenregels voor complex conjugeren: Rekenregels voor complex conjugeren z = z z + w = z + w z w = z w z/ w = z / w Deze regels zijn eenvoudig te bewijzen door uitschrijven. We bewijzen de eerste twee regels. Als z = a + bi, dan z = a bi. Maar omdat a bi als complex geconjugeerde juist weer a + bi heeft, volgt er dat z = z. Als z = a + bi en w = c + di, dan z + w = (a + c) + (b + d)i, dus z + w = (a + c) (b + d)i. Anderzijds geldt z + w = (a bi) + (c di), wat eveneens gelijk aan (a + c) (b + d)i is. Dit bewijst dat z + w = z + w. In opgave 9.3 wordt een bewijs van de andere twee regels gevraagd en brengen we nog wat gevolgen van deze regels onder de aandacht. OPGAVE 9.3 (Aanw) Gegeven zijn de complexe getallen z = a + bi en w = c + di. Bewijs: z w = z w en z/ w = z / w Ga na dat nu ook volgt dat z n = z n voor iedere n N en zelfs voor iedere n Z. 9.3 Kwadratische vergelijkingen Nu we met complexe getallen kunnen optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen, zijn we ook in staat om kwadratische vergelijkingen op te lossen, ook in die gevallen dat de oplossingen niet reëel zijn. Hoe dit gaat, laten we eerst zien aan de hand van een voorbeeld. We beperken ons tot kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten. VOORBEELD De discriminant van de vergelijking z + 4z + 6 = 0 is gelijk aan 6 4 = 8 < 0. Deze vergelijking heeft dus geen reële oplossingen. We gaan op zoek naar complexe getallen z die aan deze vergelijking voldoen. Eerst passen we kwadraatafsplitsen toe: z + 4z = (z + ) 4. Door dit in de gegeven vergelijking in te vullen, volgt er dat (z + ) = = ( ).

22 Open Universiteit Continue wiskunde Als we nu u = z + substitueren, dan volgt voor u de vergelijking u = ( ). Omdat zowel i = als ( i) =, volgt dat deze vergelijking de oplossingen u 0 = i en u = i heeft. Dat dit ook de enige twee oplossingen zijn, volgt uit opgave 9.5. Aangezien z = u, volgt nu dat de oplossingen z 0 en z van z + 4z + 6 = 0 gegeven worden door z 0 = u 0 = + i z = u = i Merk op dat beide oplossingen elkaars complex geconjugeerden zijn. «Met de methode uit het voorbeeld is iedere vergelijking az + bz + c = 0 met reële coëfficiënten a, b en c, a 0 op te lossen. Eerst delen we door a en vervolgens passen we kwadraatafsplitsen toe. Er volgt dan dat b b c b b ac z + + = z ofwel = (9.) a 4a a a 4a Substitueren we u = z + b/a, dan volgt voor u de vergelijking u = w, waarbij w = (b 4ac)/4a. Voor w zijn er nu twee mogelijkheden: w 0 of w < 0. In het eerste geval geldt b 4ac 0 en geldt de bekende wortelformule (zie ook formule uit de blokintroductie): a, b, c reëel! b 4ac 0 b z = ± b 4ac a a In het tweede geval geldt 4ac b > 0 en omdat i =, geldt voor de oplossingen van u = w dat u = i 4ac b / a of u = i 4ac b / a. Na substitutie van z = u b/a volgt dan de wortelformule a, b, c reëel! b 4ac < 0 Complex geconjugeerde oplossingen b z = ± i ac b a a 4 Een belangrijke observatie voor het geval 4ac b > 0 (en nog steeds a, b, c R) is dat de twee niet-reële oplossingen elkaars complex geconjugeerden zijn. Dit is bijvoorbeeld als controle te gebruiken. OPGAVE 9.4 Bepaal de oplossingen van de volgende vergelijkingen en ga steeds na dat de oplossingen elkaars complex geconjugeerden zijn. (Naar keuze kan men kwadraatafsplitsen of een wortelformule toepassen.) a z 4z + 5 = 0 b z + z + 0 = 0 c z z + = 0 OPGAVE 9.5 a Los de vergelijking z = op door substitutie van z = a + bi, (a + bi) uit te werken en in (a + bi) = de reële en imaginaire delen in linker- en rechterlid aan elkaar gelijk te stellen. Dit geeft twee vergelijkingen in a en b die eenvoudig zijn op te lossen. b Gebruik onderdeel a om aan te tonen dat de vergelijking z = p, p R, p > 0 precies twee oplossingen heeft.

23 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak De Hoofdstelling van de algebra U herinnert zich misschien uit de introductie op het blok dat de daar behandelde derdegraadsvergelijking drie oplossingen had. In deze paragraaf hebben we laten zien dat een tweedegraadsvergelijking (met reële coëfficiënten) altijd twee wortels heeft als de discriminant ongelijk is aan 0. Eigenlijk is het vervelend dat we dit geval moeten uitsluiten. Om dit te verhelpen, introduceren we het begrip meervoudige wortel; we definiëren dit begrip meteen algemeen voor polynomen a n z n + a n z n + a n z n a z + a 0 met complexe coëfficiënten a i. Laat p(z) een complexe polynoom zijn en zij a C, zodanig dat p(a) = 0. Als p(z) = (z a) k q(z), waarbij q(a) 0, dan heet a een k- voudige wortel of een wortel met multipliciteit k. Als p(z) = (z ) (z i) 3 (z + i), dan is een -voudige wortel, i een 3-voudige wortel en i een -voudige (ook wel enkelvoudige) wortel. Met gebruik van deze afspraak heeft nu elke tweedegraadsvergelijking twee wortels, ook in het geval dat b 4ac = 0. De wortel z = b/a heeft dan multipliciteit en er zijn dus twee wortels als we met multipliciteit tellen. Als we op deze manier tellen, heeft elke n-degraadsvergelijking n (complexe) wortels. Dit is de beroemde hoofdstelling van de algebra. Laat p(z) een complexe polynoom van graad n zijn. Dan heeft p(z) = 0 precies n wortels, geteld met multipliciteit. Als α, α, α 3,..., α n de n wortels zijn en a n 0 de coëfficiënt van z n, dan geldt dat p(z) = a n (z α )(z α )(z α 3 )...(z α n ) Noch de stelling, noch het bewijs ervan geeft een methode om de nulpunten van een polynoom p(x) van graad n mee te bepalen. Uit de introductie weten we dat juist het zoeken naar formules voor de oplossingen (ofwel wortels) van p(x) = 0, wat om begrijpelijke redenen een wortelformule heet, een centraal thema was in de 6e-eeuwse wiskunde. Een belangrijk resultaat uit deze periode was dan ook de wortelformule van Cardano voor derdegraadsvergelijkingen (formule uit de blokintroductie). Maar hoe zit het dan met een mogelijke wortelformule voor vergelijkingen van hogere graad? Voor graad 4 is het probleem terug te brengen tot het oplossen van een derdegraadsvergelijking. Deze methode werd ontwikkeld door een leerling van Cardano, de Italiaan L. Ferrari, en in Cardano s Ars Magna uit 545 gepubliceerd. Ook voor graad 4 is er dus een wortelformule. Het verassende is nu dat bewezen kan worden dat er voor hogere graad, dus graad n 5, geen wortelformule meer bestaat. Iets preciezer: de oplossingen van p(x) = 0 zijn dan in het algemeen niet meer uit de coëfficiënten van de vergelijking te berekenen door middel van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen (en dus ook tot gehele machten verheffen) en k-demachts worteltrekken. Voor sommige speciale gevallen zijn er natuurlijk wel formules te geven. Pas in 84 (bijna 300 jaar na Cardano en Ferrari!) werd de onmogelijkheid van een wortelformule voor n = 5 bewezen door de toen -jarige Noorse wiskundige N.H. Abel (80-89). Rond 830 werd het probleem in één klap voor willekeurige n 5 opgelost door de geniale Franse wiskundige E. Galois (8-83). Dit resultaat wordt algemeen beschouwd als één van de hoogtepunten in de wiskunde en werd door Galois op ongeveer 0-jarige leeftijd (!) bewezen. Helaas is hij niet veel ouder geworden: Galois stierf in 83 ten gevolge van een duel. De hoofdstelling van de algebra, die beweert dat iedere vergelijking van graad n precies n complexe wortels heeft, kan dus niet via een wortelformule bewezen worden. De naam hoofdstelling is er ook niet voor niets: het vereist behoorlijk wat kennis van complexe functies en er was één van de grootste wiskundigen voor nodig om (in 799) een volledig correct bewijs te geven: C.F. Gauss ( ). Anderen voor hem hadden wel bewijzen gepresenteerd, maar deze bleken steeds onjuistheden te bevatten (men spreekt wel van gaten in een bewijs). 3

24 Open Universiteit Continue wiskunde Reële deel Imaginaire deel Notatie Rez = x Imz = y 9.4 Het complexe vlak We kunnen nu aardig rekenen met complexe getallen, maar er is nog een andere manier om complexe getallen weer te geven, die we zullen gebruiken bij het oplossen van tweedeorde lineaire differentiaalvergelijkingen. Deze tweede manier van weergeven hangt nauw samen met een meetkundige interpretatie van de complexe getallen, die ook op zichzelf verhelderend is en hopelijk complexe getallen nog minder mysterieus zal maken. We sluiten deze leereenheid af met deze meetkundige interpretatie, en gebruiken deze interpretatie in de volgende leereenheid voor de alternatieve weergave van complexe getallen. Een complex getal z = x + yi is volledig bepaald door de twee reële getallen x en y, als we tenminste ook op de volgorde letten: de getallen en 7 stellen + 7i voor, maar 7 en stellen 7 + i voor. We vatten dit samen door het complexe getal z = x + yi te laten corresponderen met het geordende paar (x, y). We noemen x het reële deel van z en we noteren dit met Rez; het getal y heet het imaginaire deel van z en noteren we met Imz. Let op dat het imaginaire deel een reëel getal is (en dus niet yi is!). Aan zo n geordend paar reële getallen kunnen we een punt in het vlak toevoegen. Daartoe kiezen we een assenstelsel, dat wil zeggen: een horizontale en een verticale lijn waarop we gelijke eenheden van lengte nemen, en laten (x, y) met het punt corresponderen dat x eenheden in de horizontale richting en y eenheden in de verticale richting ligt. Het complexe getal + i tekenen we dus als het punt (, ) in het vlak, i C is het punt (0, ), 3 + i C is het punt (3, ), + 3i C is het punt (, 3) en 3 i C is het punt (3, ). Deze vijf voorbeelden zijn in figuur 9. weergegeven, waarbij we een punt niet als paar (x, y) noteren, maar als complex getal x + yi. + 3i 3 + i i + i 3 i FIGUUR 9. Enige complexe getallen getekend in het vlak Reële as Imaginaire as Complexe vlak Notatie Rez en Imz voor de assen De horizontale as noemen we de reële as, de verticale as de imaginaire as. Deze naamgeving ligt voor de hand, omdat de complexe getallen van de vorm a + 0i, wat reële getallen zijn, op de horizontale as liggen, en getallen van de vorm 0 + bi, wat zuiver imaginaire getallen zijn, op de verticale as. Het snijpunt van de twee assen is het complexe getal 0. Voor een willekeurig complex getal z = a + bi ligt Rez = a op de reële as en Imz i = bi op de imaginaire as. Vandaar dat we de assen voortaan aangeven met Rez en Imz. Als we C op deze manier als vlak opvatten, spreken we van het complexe vlak. 4

25 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak Imz b z = a + bi 0 a Rez FIGUUR 9. Het complexe vlak Het idee van het complexe vlak sluit mooi aan bij het beeld van de getallenrechte voor de reële getallen: de getallenrechte is de reële as in het complexe vlak. OPGAVE 9.6 Bepaal het reële en imaginaire deel van de volgende complexe getallen en teken ze in het complexe vlak: 4 + 3i, 4 3i, 4 + 3i, 4 3i,, i, + i 3, i 3. OPGAVE 9.7 Toon de volgende relaties aan tussen complex geconjugeerde en reële en imaginaire deel: Rez = (z + z ) en Imz = (z z ). i Allerlei aspecten van complexe getallen zijn in het complexe vlak weer te geven. Het optellen van complexe getallen komt in het complexe vlak neer op een parallellogramconstructie. Dit is in figuur 9.3a weergegeven. Complex conjugeren komt in het complexe vlak overeen met het spiegelen in de reële as. Zie hiervoor figuur 9.3b. In beide figuren zijn de complexe getallen steeds door een lijn met de oorsprong (0, 0) verbonden om de constructies te verduidelijken. a optellen b complex conjugeren Imz Imz b + d b z = a + bi z + w = (a + c) + (b + d)i b z = a + ib d w = c + di a c a + c Rez a Rez b z = a ib FIGUUR 9.3 Optellen (a) en complex conjugeren (b) in het complexe vlak 5

26 Open Universiteit Continue wiskunde Speciale deelverzamelingen van C komen overeen met bekende meetkundige figuren. De verzameling {z C Rez = a} is bijvoorbeeld een verticale lijn door het punt a op de reële as. De verzameling {z C Imz = b} is een horizontale lijn door het punt bi op de imaginaire as. Deze verzamelingen zijn in figuur 9.4 getekend. In de volgende leereenheid zullen we deze meetkunde van C gebruiken voor een andere weergave van complexe getallen. Imz Rez = a b Imz = b 0 a Rez FIGUUR 9.4 De lijnen Rez = a en Imz = b in het complexe vlak OPGAVE 9.8 (Aanw) a Neem twee complexe getallen z en w in het complexe vlak, teken w en geef vervolgens z w als parallellogramconstructie weer. b Teken de lijn Rez = Imz in het complexe vlak. S A M E N V A T T I N G De complexe getallen C zijn de getallen van de vorm z = a + bi, waarbij a, b R. Complexe getallen met b = 0 zijn reëel en complexe getalen met a = 0 zijn zuiver imaginair. Er geldt dat Rez = a, het reële deel van z, en Imz = b, het imaginaire deel van z. Voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van complexe getallen gelden dezelfde rekenregels als voor reële getallen (zoals commutativiteit, associativiteit en distributiviteit). Het getal i voldoet aan i =. Voor het bepalen van (a + bi)/(c + di) in de vorm x + yi worden noemer en teller vermenigvuldigd met de complex geconjugeerde z = c di van z = c + di, zodat in de noemer het reële getal z z = c + d ontstaat. Voor complex conjugeren geldt z = z, z + w = z + w, z w = z w, z/ w = z / w en z n = z n (n Z). Een kwadratische vergelijking met reële coëfficiënten heeft twee reële (eventueel samenvallende) of twee niet-reële oplossingen. Twee nietreële oplossingen zijn elkaars complex geconjugeerde. Complexe getallen zijn in het complexe vlak te tekenen door z = a + bi te laten corresponderen met het geordende paar (a, b). In het complexe vlak vormen de reële getallen de reële as en de zuiver imaginaire getallen de imaginaire as. 6

27 Leereenheid 9 De complexe getallen en het complexe vlak Z E L F T O E T S Schrijf de volgende complexe getallen in de vorm x + yi. a ( + i) ( 3 + 5i) b ( + i)( 3 + 5i) c ( + i)/( 3 + 5i) d ( + i) e + 3i Im( 3 + 5i) Teken in het complexe vlak de verzamelingen punten die voldoen aan a Imz > en Rez < b z + z = 3 a Geef alle oplossingen van z + z + 5 = 0 in de vorm a + bi en teken ze in het complexe vlak. b Geef alle oplossingen van x 4x + 3 = 0 in de vorm a + bi. 7

28 Open Inhoud Universiteit leereenheid 30 Continue wiskunde Poolcoördinaten en complexe e-machten Introductie 9 Leerkern Complexe getallen in poolcoördinaten Formules van De Moivre en Euler De formule van De Moivre De formule van Euler De Moivre en het delen van complexe getallen Complexe e-machten 40 Samenvatting 4 Zelftoets 4 8