Continue wiskunde Voorkennis

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Continue wiskunde Voorkennis"

Transcriptie

1 T Continue wiskunde Voorkennis Voorlopige versie september Open Universiteit Nederland OUN

2 Continue wiskunde Inhoud Voorkennis continue wiskunde Introductie Leerkern 1 Getallenverzamelingen 2 Wat is een functie? 3 Polynomen 3.1 Constante functies 3.2 Lineaire functies 3.3 Kwadratische functies 4 Gebroken lineaire functies 5 Goniometrische functies 5.1 Hoek en hoekgrootte 5.2 Sinus 5.3 Cosinus en tangens 5.4 De goniometrische functies sin, cos en tan 6 Het schakelen van functies 7 Inverse functie 8 Machten, exponenten en logaritmen 8.1 Machten en machtsfuncties 8.2 Exponentiële functies 8.3 Logaritmen en logaritmische functies 9 Absolute waarde 10 Vergelijkingen en ongelijkheden 11 Literatuur Samenvatting Zelftoets Terugkoppeling 1 Uitwerking van de opgaven 2 Uitwerking van de zelftoets Bijlage: Standaardfuncties 2 OUN

3 Voorkennis Voorkennis continue wiskunde I N T R O D U C T I E In dit overzicht worden de belangrijkste begrippen en technieken behandeld die u nodig hebt voor het bestuderen van de cursus Continu wiskunde. Centraal staat het begrip functie. Het uitgangspunt daarbij is het idee dat een functie niets anders is dan een mechanisme dat aan een invoergetal op de een of andere manier een uitvoergetal koppelt. Verder gaan we in op de gebruikelijke terminologie bij functies. We behandelen wanneer functies monotoon zijn op een interval. Ook de begrippen inverteerbaarheid en inverse functie worden behandeld. Naast deze wat meer theoretische zaken komen de standaardfuncties uit de continue wiskunde aan de orde. Met name de polynomen, goniometrische, exponentiële en logaritmische functies worden uitvoerig behandeld. Tot slot worden de elementaire technieken voor het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden herhaald. In het materiaal zijn veel opgaven opgenomen. U hoeft die niet allemaal te maken, maar we raden u aan om bij de onderdelen die u minder goed beheerst wel veel opgaven te maken. In het literatuuroverzicht vindt u bovendien verwijzingen naar boeken die ook veel oefenmateriaal bevatten. LEERDOELEN Na het bestuderen van dit overzicht wordt verwacht dat u de verschillende getalverzamelingen kent, evenals de eigenschappen van bewerkingen op deze getallen weet wat het begrip functie inhoudt de terminologie kent die bij functies gebruikt wordt: invoer, uitvoer, origineel, beeld, domein, bereik, samengestelde functie, grafiek weet wat intervallen zijn en de verschillende notaties voor intervallen kent de begrippen monotoon (niet-)dalende/stijgende functies kent een aantal standaardfuncties kent, waaronder de polynomen, de goniometrische, exponentiële en logaritmische functies, en hun grafieken kunt tekenen met behulp van de standaardfuncties nieuwe functies kunt maken van een functie kunt uitmaken of zij een inverteerbare functie is, eventueel na inperking van het domein weet dat de exponentiële en logaritmische functies elkaars inverse zijn. Studeeraanwijzingen In de bijlage bij deze leereenheid staat een uitgebreid overzicht van alle besproken functies. OUN 3

4 Continue wiskunde L E E R K E R N 1 Getallenverzamelingen Natuurlijke getallen Het getalbegrip heeft zich waarschijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met die waarop u zelf de getallen geleerd hebt. De basis is het tellen. Dat kan zijn het aftellen van een rij objecten of gebeurtenissen (de eerste, de tweede, de derde,...), of ook het tellen van een aantal voorwerpen: één glas melk, twee boterhammen, drie mandarijnen, enzovoorts. Op deze manier ontstaat de verzameling natuurlijke getallen, aangegeven met het symbool N. We laten tegenwoordig deze verzameling beginnen met 0, dus: N = {0, 1, 2, 3,...} Hier hanteren we een gebruikelijke notatie voor de expliciete definitie van een verzameling: tussen de accoladen worden de elementen opgesomd. Met de puntjes geven we aan dat er geen grootste natuurlijke getal bestaat. Bij elk natuurlijk getal m is er immers een natuurlijk getal m + 1 dat groter is, er kan dus onbeperkt doorgeteld worden. Gehele getallen Binnen de natuurlijke getallen kunt u elk tweetal getallen optellen en vermenigvuldigen, maar bijvoorbeeld 5 7 kan niet. Aftrekken is wel altijd mogelijk na toevoegen van de negatieve getallen. Samen met de natuurlijke getallen vormen de negatieve getallen de verzameling van de gehele getallen Z: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Om een soortgelijke reden is het nodig om breuken te introduceren. De verzameling Q van de rationale getallen was het resultaat: Rationale getallen Q = p q p, q Ζ, q 0en p zoveel mogelijk vereenvoudigd q Het symbool betekent: is element van; we gebruiken voor is geen element van. Verder wordt in het rechterlid een bekende notatie voor verzamelingen gebruikt: {x...} is de verzameling van alle x die voldoen aan de voorwaarden die na de streep beschreven worden. In het rationale getal p/q heet p de teller en q de noemer. Een belangrijke eigenschap van de rationale getallen is dat hun waarde niet verandert als teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk 0) vermenigvuldigd of door hetzelfde getal (ongelijk 0) gedeeld worden. Dat betekent dat we breuken kunnen vereenvoudigen en dat we breuken met verschillende noemers kunnen optellen en aftrekken (door de breuken gelijknamig te maken). VOORBEELDEN Een voorbeeld van het vereenvoudigen van een breuk is (de teller en noemer worden door 15 gedeeld): = = 1 3 Een voorbeeld van het aftrekken van twee breuken is: 4 OUN

5 Voorkennis = = = = «Rekenregels We brengen de volgende rekenregels nog even in herinnering. Voorwaarde is steeds dat de noemer ongelijk aan 0 is. In de tweede regel zijn optellen en aftrekken samengenomen. ap bp = a b a b ± c d = ad bd ± bc ad ± bc = bd bd a b c d = ac bd a b / c d = a b d c = ad bc VOORBEELD Een voorbeeld van het delen is: 2 3 / 6 7 = = = = 7 9 «Irrationale getallen Reële getallen Tenslotte zijn er behalve de rationale getallen nog andere getallen, zoals π (dat een rol speelt in de formule voor de omtrek van een cirkel) en 2 (dat de lengte van de diagonaal geeft van een vierkant met zijde 1). Dit zijn voorbeelden van irrationale getallen. De rationale getallen en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen. Overigens zullen we in antwoorden altijd de exacte waarde van reële getallen laten staan, dus bijvoorbeeld π + 2 2, tenzij een benadering gevraagd wordt of handig is in verband met de plaatsing op de getallenrechte. De onderlinge samenhang tussen de vier verzamelingen blijkt in figuur 1. Daar zijn de getallenverzamelingen N, Z, Q en R met getallenlijnen weergegeven. Over de rationale getallen is nog op te merken dat als ze allemaal geplaatst zouden worden, het zou lijken alsof de getallenlijn helemaal vol zou lopen: inktpuntjes hebben immers een zekere dikte. Toch zijn er wiskundig gezien nog gaten: de plaatsen van de irrationale getallen. Pas als ook de irrationale getallen geplaatst zijn, is de getallenlijn helemaal vol. FIGUUR 1 De getallenverzamelingen N, Z, Q en R Met figuur 1 is ook bedoeld weer te geven dat elke verzameling een deelverzameling is van elke verzameling er onder: OUN 5

6 Continue wiskunde N Z Q R Het teken staat voor: is deelverzameling van, dus A B betekent: de verzameling A is een deelverzameling van de verzameling B. Dit betekent: voor elk element a A geldt dat a B. Voor de volledigheid merken we nog op dat we de deelverzamelingen van Z, Q en R die uit de positieve elementen bestaan, weergeven met een plusteken: Z +, Q + en R +. De deelverzamelingen die de negatieve elementen bevatten, worden door een minteken aangegeven: Z, Q en R. Het getal 0 is dus geen element van de verzamelingen Z +, Q +, R +, Z, Q en R. OPGAVE 1 Herschrijf tot een zo eenvoudig mogelijke breuk: 25 a b c / OPGAVE 2 Herschrijf tot een zo eenvoudig mogelijke breuk: 2ab a + a c 3c 4 + a b ab a 2 b 3ab c 2b / 6b a De reële getallen van klein naar groot geordend, worden weergegeven door de getallenlijn. Delen van de getallenlijn, de intervallen, zijn dan aaneengesloten deelverzamelingen van R. De definitie is als volgt. Interval DEFINITIE 1 Een deelverzameling I van R heet een interval als aan de volgende voorwaarde is voldaan: als a, b I, dan geldt dat elke x met a < x < b ook een element van I is. Stel dat a en b reële getallen zijn met a < b. We onderscheiden de volgende intervallen: [a, b] = {x R a x b} <a, b] = {x R a < x b} [a, b> = {x R a x < b} <a, b> = {x R a < x < b} <, b] = {x R x b} <, b> = {x R x < b} [a, + > = {x R x a} <a, + > = {x R x > a} een gesloten interval een halfopen interval een halfopen interval een open interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval Merk op dat volgens definitie 1 ook R een interval is. We gebruiken hier de symbolen + en (spreek uit: plus oneindig en min oneindig) om aan te geven dat de betreffende verzamelingen naar 6 OUN

7 Voorkennis rechts of naar links onbegrensd zijn (+ en zijn dus geen getallen!). Meestal wordt in plaats van + alleen geschreven. De onbegrensde intervallen worden ook wel als volgt genoteerd:, b] = {x R x b}, b = {x R x < b} [a, = {x R x a} a, = {x R x > a} VOORBEELD In figuur 2 staan voorbeelden van intervallen. Een open rondje geeft aan dat we het getal niet meetellen, een gesloten rondje dat we het wel meetellen. FIGUUR 2 Intervallen op de getallenlijn «2 Wat is een functie? Een functie is een mechanisme dat bij een bepaalde invoer een bepaalde uitvoer oplevert. In een plaatje ziet dat er zo uit: FIGUUR 3 Een schematische voorstelling van een functie Stellen we, zoals in figuur 3, de invoer voor door x en de uitvoer door y, dan wordt de functie wel als volgt genoteerd: x y. De letters x en y zijn gebruikelijk, maar andere komen ook voor (als de invoer een tijdstip is, wordt bijvoorbeeld de letter t gebruikt, en als de invoer een natuurlijk getal is, de letter n). De functie zelf krijgt ook een naam. Meestal, zoals in figuur 3, is dit kortweg f, maar ook hier worden allerlei andere symbolen gebruikt. De notatie is dan: x y of x f(x) Vaak kan het verband tussen invoer en uitvoer uitgedrukt worden met behulp van een formule. Is zo n formule gegeven, dan worden functies in het algemeen als volgt genoteerd: f: x... of korter f(x) =... Functievoorschrift Op de puntjes staat dan die formule. We zeggen wel dat f(x) =... het functievoorschrift van f is. OUN 7

8 Continue wiskunde VOORBEELD f : x x 2 + 1, f(4) = 17 g(x) = 10 x 2, g(3) = 1 De enige eis die we aan een functie stellen, is dat bij een bepaalde invoer één uitvoerwaarde hoort. Het is overigens niet zo dat verschillende invoerwaarden ook verschillende uitvoerwaarden hoeven te hebben. Soms is niet door middel van een formule, maar bijvoorbeeld in een tabel expliciet gegeven welke invoer welke uitvoer oplevert. VOORBEELD Tabel 1 zou het resultaat van een serie metingen kunnen zijn. TABEL 1 Een functie, gegeven door een tabel x y Vanwege de eis dat bij een bepaalde invoer één vaste uitvoer hoort, mag in de tabel bij x = 1 dus niet ook nog bijvoorbeeld de waarde y = 35 verschijnen. «De in- en uitvoer van een functie vormen een geordend paar (x, y) of, als de functie f heet, het paar (x, f(x)). Het paar is geordend, want op de eerste plaats staat de invoer en op de tweede plaats de uitvoer. Het paar (3, 7) dat in tabel 1 voorkomt, is dus niet hetzelfde als het paar (7, 3) dat ook in de tabel voorkomt. Grafiek Oorsprong Van een functie is een grafiek te maken. Zo n grafiek bestaat uit punten in een plat vlak dat van een coördinatenstelsel is voorzien. Een coördinatenstelsel wordt bepaald door twee onderling loodrechte getallenlijnen die elkaar snijden in een punt dat de oorsprong van het coördinatenstelsel heet. De oorsprong, meestal met een hoofdletter O aangegeven, valt samen met het nulpunt van de twee assen. De invoergetallen staan op de horizontale as, de uitvoergetallen op de verticale. Elk invoer-uitvoer-paar (a, f(a)) is het coördinatenpaar van een punt van de grafiek. In figuur 4 staat de grafiek van een functie waarvan geen functievoorschrift gegeven is. In de grafiek is het punt (a, f(a)) aangegeven. Merk op dat de eis dat bij een invoer precies één vaste uitvoer hoort, betekent dat een verticale lijn de grafiek hoogstens in één punt mag snijden. Een horizontale lijn mag de grafiek wel in meer dan één punt snijden. In dat geval zijn er verschillende invoergetallen met dezelfde uitvoer. In tabel 1 hebben 4 en 5 dezelfde uitvoer 9. 8 OUN

9 Voorkennis FIGUUR 4 Voorbeeld van de grafiek van een functie Origineel Functiewaarde of beeld Domein Waardenverzameli ng of bereik In de wiskunde worden de volgende termen bij functies gebruikt. Een invoerwaarde wordt meestal origineel genoemd, en een uitvoerwaarde functiewaarde of beeld. De verzameling van alle originelen bij een bepaalde functie heet het domein van die functie. De verzameling van alle functiewaarden of beelden heet de waardenverzameling of het bereik. Als f een functie met domein D en bereik B is, heet f wel een functie van D naar B. De notatie daarvoor is f: D B Vaak wordt niet expliciet vermeld wat het domein van een functie is. We maken hier de afspraak dat, als er niets over de invoerverzameling van een functie wordt gezegd, we de grootst mogelijke deelverzameling van R nemen waarvoor het functievoorschrift zinvol is. Zowel bij het domein, als bij het bereik is men vaak niet eenduidig in het spraakgebruik. Men spreekt van een functie van R naar R (f: R R), ook in het geval dat het domein en/of bereik echte deelverzamelingen van R zijn. Men spreekt bijvoorbeeld over de functie x x als een functie van R naar R, terwijl het domein en het bereik beide de niet-negatieve reële getallen zijn. De lezer of toehoorder wordt geacht dit zelf correct in te vullen. Er zijn gevallen waarin alleen de beelden van een deel van de originelen van belang zijn. Stel dat A een deelverzameling van het domein D is, dan noteren we de beelden bij de functie f van de elementen van A met f(a) = {f(a) a A} VOORBEELD Bij de functie f: x x 2 is het beeld van de verzameling {x R 2 x 3} de verzameling {x R 0 x 9}, dus f({x R 2 x 3}) = {x R 0 x 9} «We wijzen erop dat x, y en f slechts namen zijn. In de praktijk worden ze vaak zo gekozen, dat ze goed aansluiten bij de namen van de grootheden waarvoor men een wiskundige beschrijving geeft. Zo is bijvoorbeeld de functie f: x 1/cosx OUN 9

10 Continue wiskunde met als domein alle x met π/2 < x < π/2, dezelfde functie als de functie u: ϕ 1/cosϕ met π/2 < ϕ < π/2. Soms is er een interval in het domein van een functie waar geldt dat met toenemende invoer ook de uitvoer toeneemt. In figuur 5 is [p, q] zo n interval. We zeggen dat de functie f monotoon stijgend is op [p, q]. FIGUUR 5 De functie f is op [p, q] monotoon stijgend Op een vergelijkbare wijze kan een functie monotoon dalend op een interval zijn. We geven de definities van deze twee begrippen en ook van twee nauw verwante begrippen. Monotoon stijgend Monotoon dalend Monotoon nietdalend Monotoon nietstijgend DEFINITIE 2 Gegeven een functie f gedefinieerd op een interval I. De functie f heet monotoon stijgend, als voor elke x, y I met x < y geldt: f(x) < f(y). De functie f heet monotoon dalend, als voor elke x, y I met x < y geldt: f(x) > f(y). De functie f heet monotoon niet-dalend, als voor elke x, y I met x < y geldt: f(x) f(y). De functie f heet monotoon niet-stijgend, als voor elke x, y I met x < y geldt: f(x) f(y). Opmerking: wat wij monotoon stijgende functies noemen wordt in de literatuur ook wel strikt monotoon stijgend genoemd. OPGAVE 3 Bepaal van de volgende functies een zo groot mogelijk domein a f(x) = x(1 2x) 1 b f(x) = x x+ 2 OPGAVE 4 2 Gegeven is de functie f(x) = 1 + x 2 De grafiek van deze functie ziet u in figuur 6. a Bepaal het domein en het bereik van f. b Bepaal f({x R 1 x 3}. 10 OUN

11 Voorkennis FIGUUR 6 De grafiek van de functie f uit opgave 4 3 Polynomen Functies als x 3x 4 en x x 2 + 2x 1 zijn voorbeelden van een grote klasse van veelvoorkomende functies: de polynomen of veeltermfuncties. Wij zullen steeds de term polynomen gebruiken. Eén van de redenen voor het feit dat ze veel voorkomen, is dat bij het berekenen van een functiewaarde alleen de elementaire rekenkundige bewerkingen optreden: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen (machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen) en we geen gebruik maken van delen. Polynoom De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 + a n x n met a n 0, n N Graad Coëfficiënt Identieke functie Constante functie De exponent n van de hoogste macht van x heet de graad van de polynoom; de getallen a 0, a 1,..., a n heten de coëfficiënten. De lineaire en kwadratische functies (zoals x 3x 4, x x 2 + 2x 1) zijn polynomen van graad n met respectievelijk n = 1 en n = 2. De eenvoudigste polynoom van de eerste graad, x x, heet de identieke functie. Constante functies, x c (c 0), hebben graad 0. In de volgende deelparagrafen zetten we de belangrijkste eigenschappen van constante, lineaire en kwadratische functies bij elkaar. Constante functie Functievoorschrift x c 3.1 CONSTANTE FUNCTIES Parameter Bijzonderheden Grafiek Bij deze functie is de uitvoer c, ongeacht de invoer. De grafiek is een horizontale lijn, die de y-as snijdt in c. De constante functies vormen tezamen een verzameling functies: voor elke c is er precies één zo n functie. Men noemt c in dit verband de parameter van die verzameling. De keuze van de parameter bepaalt welke functie men uit de verzameling beschouwt. FIGUUR 7 De functie x c OUN 11

12 Continue wiskunde 3.2 LINEAIRE FUNCTIES Lineaire of eerstegraadsfunctie Identieke functie Functievoorschrift x ax + b met a 0 Bijzonderheden Hier is een klasse van functies gedefinieerd, één voor elke a, b R. Deze a en b zijn weer parameters. Voor a = 1 en b = 0 krijgen we de functie x x. Deze functie heet de identieke functie. In het algemeen is de grafiek een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a, die de y-as in b snijdt en de x-as in b/a. De richtingscoëfficiënt is de verhouding tussen een verticale en een horizontale verandering: a = Δy/Δx. Deze verhouding is dus constant. Voor a > 0 is een lineaire functie monotoon stijgend op R; voor a < 0 is een lineaire functie monotoon dalend op R. Grafiek FIGUUR 8 De functie x ax + b met a KWADRATISCHE FUNCTIES Kwadratische of tweedegraadsfunctie Parabool Discriminant abc-formule Functievoorschrift x ax 2 + bx + c met a 0 Bijzonderheden Hier is weer een klasse van functies gedefinieerd: één functie voor elke waarde van de parameters a, b en c. De grafiek is een parabool, voor a > 0 een dalparabool, voor a < 0 een bergparabool. De parabool is een symmetrische figuur, waarvan de symmetrieas ligt bij x = b/2a. De grafiek snijdt de y-as bij c. Er zijn alleen snijpunten met de x-as in het geval b 2 4ac 0. De uitdrukking b 2 4ac heet de discriminant. De snijpunten worden gevonden door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. Als b 2 4ac 0, dan zijn volgens de abc-formule de oplossingen x = b + b 2 4ac 2a en x = b b2 4ac 2a Als b 2 4ac > 0, dan zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as. Als b 2 4ac = 0, dan zijn er twee samenvallende snijpunten. Als b 2 4ac < 0, dan is er geen snijpunt. 12 OUN

13 Voorkennis Grafiek FIGUUR 9 De functie x ax 2 + bx + c met a 0 VOORBEELD De functie f(x) = 3x 2 + 5x 2 heeft als grafiek een dalparabool, want de coëfficiënt voor de kwadratische term is negatief. De symmetrieas heeft vergelijking x = 5/( 6), dus x = 5/6. De oplossingen van de vergelijking 3x 2 + 5x 2 = 0 zijn volgens de abc-formule: x = ( 3) ( 2) 2 ( 3) = 2 3 en x = ( 3) ( 2) 2 ( 3) = 1 De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn dus de punten ( 2, 0) en 3 (1, 0). OPGAVE 5 Geef het functievoorschrift van de lineaire functie waarvan de grafiek de punten (a, b) en (c, d) bevat. OPGAVE 6 Het volgende verband tussen de variabelen x en y is gegeven: x p + y q = 1 Hierbij zijn p en q ongelijk 0. a Herschrijf dit verband in de vorm y =... b Bepaal de snijpunten van de grafiek met de x-as en de y-as. OPGAVE 7 Gegeven de functie f(x) = x 2 2x. a Herleid dit functievoorschrift tot de vorm f(x) = a(x p) 2 + q. b De grafiek van f wordt gespiegeld in de x-as. Geef het functievoorschrift dat bij de gespiegelde grafiek hoort. OPGAVE 8 Gegeven de functie f(x) = x 2 + px + 1. Voor welke waarden van p snijdt de grafiek van f de x-as? OPGAVE 9 Gegeven de functie f(x) = ax 2 + bx + c met a 0. Een ander functievoorschrift voor deze functie is f(x) = a(x p) 2 + q. a Druk p en q uit in a, b en c. We geven de discriminant aan met D = b 2 4ac. Veronderstel D 0. In dit geval heeft deze functie ook het voorschrift f(x) = a(x s)(x t). b Druk s en t uit in a, b en c. OUN 13

14 Continue wiskunde 4 Gebroken lineaire functies Een veelvoorkomende functie is de gebroken lineaire functie. Deze wordt verkregen door een lineaire functie, x ax + b, te delen door een andere lineaire functie, x cx + d. We krijgen zo de functie: Gebroken lineaire functie Functievoorschrift x ax + b cx + d met ad bc, x d/c en c 0 Hyperbool Asymptoot Bijzonderheden Grafiek Om te voorkomen dat er door 0 gedeeld wordt, moet d/c als origineel worden uitgesloten, zodat het domein R { d/c} is (met A B bedoelen we alle elementen van A die niet tot B behoren). De voorwaarde ad bc wordt gegeven om te voorkomen dat de noemer deelbaar is op de teller, waardoor de functie eigenlijk constant is (bijv (2x + 4)/(x + 2) = 2). De constanten a, b, c en d zijn parameters. De grafiek is een hyperbool. De verticale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn x = d/c, de horizontale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn y = a/c. Deze lijnen zijn de asymptoten van de grafiek. De hyperbool is puntsymmetrisch in het snijpunt van de asymptoten, wat wil zeggen dat bij puntspiegeling ten opzichte van dit snijpunt de hyperbool op zichzelf wordt afgebeeld. FIGUUR 10 De functie ax + b met ad bc, x d/c en c 0 cx + d VOORBEELD In figuur 11 staat de grafiek van de functie x 3x/(x 1). De horizontale asymptoot is de lijn y = 3, de vertikale asymptoot is de lijn x = 1. FIGUUR 11 De grafiek van een gebroken lineaire functie «14 OUN

15 Voorkennis OPGAVE 10 Gegeven de functie f(x) = 3x 6 2x + 1 a Bepaal van de grafiek de asymptoten en de snijpunten met de assen. b Herleid het functievoorschrift tot de vorm f(x) = a x b + c OPGAVE 11 Gegeven de functie f(x) = ax + 2 bx + 3 Bepaal a en b zodat f puntsymmetrisch is ten opzichte van het punt (6, 6). OPGAVE 12 In figuur 12 ziet u de grafieken van de functies f en g. Het functievoorschrift van f is f(x) = 2 + x 3 2x De grafiek van g ontstaat uit die van f door een verschuiving over een afstand 3 naar links. Geef een functievoorschrift voor g. FIGUUR 12 De grafiek van de functies uit opgave 12 OUN 15

16 Continue wiskunde 5 Goniometrische functies gonè (grieks) = hoek metron (grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het oorspronkelijk om het meten van hoeken (in het platte vlak) ging. Tegenwoordig gaat het bij goniometrie om functies van R naar R. Maar bij het werken met die functies moet regelmatig worden teruggegrepen op hun meetkundige afkomst. In deze paragraaf herhalen we de voorkennis die u over het onderwerp goniometrie moet hebben. Het betreft hier de begrippen sinus, cosinus en tangens, meestal afgekort tot sin, cos en tan. De volgorde van bespreken is als volgt. Eerst herhalen we de basisbegrippen hoek (in het platte vlak) en hoekgrootte in graden en radialen. Daarna komt de sinus, cosinus en tangens van een van een hoek tussen 0 en 2π radialen aan de orde. We beschikken dan over voldoende gereedschap om ons doel te kunnen bereiken: de functies sin, cos en tan van R naar R. 5.1 HOEK EN HOEKGROOTTE Gestrekte hoek Rechte hoek De basis van de goniometrie is de hoek in het platte vlak. Om het begrip hoekgrootte in graden te definiëren, bekijken we eerst een bijzondere hoek: de gestrekte hoek, waarbij de twee halve rechte lijnen in elkaars verlengde liggen. De grootte hiervan is per definitie vastgesteld op 180 graden. Door deze hoek in even grote delen op te delen, ontstaan andere hoeken. Zo geeft opdelen in twee even grote delen twee rechte hoeken, elk van 90 graden. Het opdelen kan bijvoorbeeld gedaan worden met behulp van een gradenboog. Zie figuur 13. FIGUUR 13 De gestrekte hoek met een grootte van 180 graden, twee rechte hoeken elk met een grootte van 90 graden en de gradenboog Hoekgrootte in graden Op de gradenboog kan de gestrekte hoek opgedeeld worden in 180 hoekjes van 1 graad. De grootte van een hoek in graden wordt nu bepaald door het aantal malen dat er een hoek van 1 graad inpast. In het vervolg zullen we niet de graad, maar de radiaal als eenheid voor de hoekgrootte gebruiken. We gebruiken die in de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R. 16 OUN

17 Voorkennis Eenheidscirkel Radiaal Omtrek van een cirkel Om tot de radiaal als maat voor de hoekgrootte te komen, gaan we als volgt te werk. Er wordt een cirkel met straal 1 getekend, de eenheidscirkel, waarbij het middelpunt met het hoekpunt samenvalt. De lengte van de door de hoek uitgesneden cirkelboog is een maat voor de grootte van de hoek. Preciezer gezegd: het reële getal dat de lengte van die eenheidscirkelboog tussen de benen van de hoek aangeeft, is de grootte van de hoek. De eenheid is de radiaal, afgekort tot rad, maar wordt vaak weggelaten. Om de grootte van een hoek in radialen te vinden, gebruiken we dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr en van de eenheidscirkel dus 2π 6,28 (het symbool staat voor ongeveer gelijk aan ). Zo heeft een gestrekte hoek een grootte van π 3,14 rad en een rechte hoek een grootte van 1 π 1,57 rad. 2 Om een indruk te krijgen van een hoek met een grootte van 1 rad, kunnen we het volgende doen. We nemen een cirkel en een touwtje met een lengte gelijk aan de straal van die cirkel. We krijgen dan een hoek van 1 rad als we dit touwtje langs de cirkelomtrek tussen de benen van de hoek leggen. Trekken we vervolgens het touwtje strak, terwijl we de uiteinden ervan op de cirkelomtrek houden, dan ontstaat een gelijkzijdige driehoek. We zien dus dat een hoek van 1 rad net iets kleiner dan een hoek van 60 graden is. In feite is een hoek van 1 rad ongeveer 57,2958 graden. FIGUUR 14 Een hoek van 1 rad en een gelijkzijdige driehoek We kunnen dus, naar analogie met de gradenboog, een radialenboog, maken: een halve cirkel met straal 1 en langs de cirkelboog een verdeling van 0 tot en met π 3,14. Zie figuur 15. FIGUUR 15 Een hoek van π rad, 1 π rad en een radialenboog 2 Omrekenen van graden en radialen Om een hoekgrootte van graden naar radialen om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 graad even groot is als een hoek van π/180 radialen 0,01745 radialen. Om een hoekgrootte van radialen naar graden om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 radiaal even groot is als een hoek van 180/π graden 57,2958 graden. OUN 17

18 Continue wiskunde OPGAVE 13 Hoe groot is een hoek van 30 graden in radialen? Hoeveel graden komt overeen met 0,1π rad? En met 2 1 rad? 2 In de volgende tabel staat van een aantal veelvoorkomende hoeken de grootte in graden en radialen. TABEL 2 hoekgrootte in graden Een aantal hoeken in graden en radialen hoekgrootte in radialen π / 6 45 π / 4 60 π / 3 90 π / 2 In de praktijk worden de begrippen hoek en hoekgroote niet steeds onderscheiden, maar slordig door elkaar gebruikt. Uit de definitie dat een gestrekte hoek 180 graden of π radialen is, volgt dat de som van de drie hoeken van elke driehoek ook 180 graden of π radialen is, zie figuur 16. FIGUUR 16 De som van de drie hoeken van een driehoek is 180 graden of π radialen: A = C 1, B = C 2, A + B + C = C 1 + C 2 + C = π. 5.2 SINUS In deze paragraaf laten we eerste zien hoe de sinus van een hoek tussen 0 en 2π wordt gedefinieerd. De gang van zaken is als volgt. We kiezen een coördinatenstelsel waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en het eerste been van de hoek met de positieve x-as. We tekenen een cirkel met straal 1, waarvan het middelpunt samenvalt met het hoekpunt van de gegeven hoek. De sinus van de hoek is nu de y- coördinaat van het snijpunt van het andere been met de cirkel. Zie figuur OUN

19 Voorkennis FIGUUR 17 De definitie van de sinus van een hoek tussen 0 en 2π radialen: sin (MA, MB) = y B, sin (MA, MC) = y C Met behulp van deze definitie en wat eenvoudige meetkunde is nu voor een aantal eenvoudige hoeken de sinus te bepalen: TABEL 3 Enige veelvoorkomende hoeken en hun sinus graden radialen sinuswaarde π / 6 1/2 45 π / 4 60 π / 3 2 /2 3 /2 90 π / 2 1 Een gevolg van de gegeven definitie is dat de sinus van een hoek tussen 0 en π positief is, en van een hoek tussen π en 2π negatief. OPGAVE 14 Bepaal met behulp van de definitie en de gegeven sinuswaarden de sinus van 2π/3, 3π/2 en 7π/ COSINUS EN TANGENS Sinus van een hoek In de vorige paragraaf is de definitie van de sinus gegeven met behulp van een cirkel met straal 1. Diezelfde methode passen we nu toe om ook de cosinus en tangens te definiëren. We brengen weer een coördinatenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en de positieve x-as met het eerste been. Ook nu tekenen we weer een eenheidscirkel, waarvan het middelpunt met het hoekpunt (en de oorsprong) samenvalt. Het hoekpunt heet weer M, het snijpunt van het tweede been met de cirkel heet B. Verder noemen we weer (MA, MB) = α. Zie figuur 18. OUN 19

20 Continue wiskunde FIGUUR 18 De definities van sin, cos en tan van een hoek met behulp van de eenheidscirkel In de figuur zijn de coördinaten van B gelijk aan (x, y). Voor de volledigheid is de definitie van de sinus weer herhaald. Sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en 2π radialen. sinα = y cosα = x tanα = y/x = sinα/cosα met de gebruikelijke uitzonderingen als de noemer 0 wordt. De benaderde waarden van sinus, cosinus en tangens kunt u bijvoorbeeld met behulp van een rekenmachine vinden. Uit deze definities volgen een aantal verbanden die voor alle hoeken gelden. sin 2 α + cos 2 α = 1 cosα = sin(π/2 α) De tweede verklaart de naam co-sinus: de sinus van het complement. Het complement van een scherpe hoek is de hoek waarvan de grootte gelijk is aan de aanvulling (complement) tot een rechte hoek. Zo is de aanvulling van een hoek met een grootte van α gelijk aan π/2 α. OPGAVE 15 Verklaar de genoemde twee eigenschappen. Denk bij de eerste aan de stelling van Pythagoras. De tweede is rechtstreeks met de definitie te doen. Vergeet daarbij niet, een tekening te maken. OPGAVE 16 Hoe groot zijn de cosinus en tangens van hoeken van 0, π/6, π/4, π/3 en π/2? 5.4 DE GONIOMETRISCHE FUNCTIES SIN, COS EN TAN Na deze voorbereidingen kunnen we de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R geven. Definities van x sinx, x cosx, x tanx Voor elke toegelaten x R definiëren we sinx, cosx en tanx als volgt. Eerst reduceren we x tot x' [0, 2π] door een geheel veelvoud van 2π bij 20 OUN

21 Voorkennis x op te tellen of ervan af te trekken. Vervolgens definiëren we, lettend op het domein: sinx = sinx' cosx = cosx' tanx = tanx' domein R domein R domein R, x 1 π + k π, k Z 2 In deze definitie is x' dus zo gekozen dat het verschil van x en x' een geheel veelvoud van 2π is en x' [0, 2π]. Van de functies x sinx, x cosx, beide met domein [0, 2π] en x tanx met domein [0, 2π], x 1 π, x 1 1 π staan in figuur 19 de grafieken. 2 2 Grafieken van sin, cos, tan FIGUUR 19 De grafieken van sin, cos en tan beperkt tot originelen uit [0, 2π] In tabel 4 staat een aantal veelvoorkomende functiewaarden. TABEL 4 Enige veelvoorkomende sinus-, cosinus- en tangenswaarden sin0 = 0 cos0 = 1 tan0 = 0 sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = 3 /2 tan(π/6) = 3 /3 sin(π/4) = 2 /2 cos(π/4) = 2 /2 tan(π/4) = 1 sin(π/3) = 3 /2 cos(π/3) = 1/2 tan(π/3) = 3 sin(π/2) = 1 cos(π/2) = 0 tan(π/2) = Eigenschappen van de sinus-, cosinusen tangensfunctie Uit de hier gegeven definities volgt dat de grafieken van de functies x sinx, x cosx en x tanx van R naar R periodieke herhalingen zijn van de in figuur 19 gegeven grafieken. We kunnen dit op de volgende manier wat preciezer formuleren: OUN 21

22 Continue wiskunde Voor elke x R en elke k Z geldt: sinx = sin(x + k 2π) cosx = cos(x + k 2π) Sinus en cosinus zijn periodiek met periode 2π. Tangens is periodiek met periode π. We zeggen wel: de sinus- en cosinus-functies zijn periodiek met periode 2π. Voor de tangensfunctie geldt dat ze op het interval [π, 2π] een herhaling is van het deel op het interval [0, π]. Deze functie is dan ook periodiek met periode π: Voor elke x 1 π + n π (n Z) en elke k Z geldt: 2 tanx = tan(x + k π) Meer eigenschappen Met behulp van de gegeven definitie zijn allerlei verbanden tussen sin, cos en tan af te leiden. De belangrijkste zetten we hier onder elkaar: tanx = sinx/cosx sin 2 x + cos 2 x = 1 (sin 2 x staat voor (sinx) 2 ) sin( x) = sinx sin(π x) = sinx cos(π x) = cosx cos( x) = cosx tan( x) = tanx sinx = cos(π/2 x) cosx = sin(π/2 x) tanx = 1/tan(π/2 x) sin(2x) = 2sinx cosx cos(2x) = cos 2 x sin 2 x = 1 2sin 2 x = 2cos 2 x 1 sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny sin(x y) = sinx cosy cosx siny cos(x + y) = cosx cosy sinx siny cos(x y) = cosx cosy + sinx siny OPGAVE 17 Laat zien met behulp van sin 2 x + cos 2 x = 1: 1 + tan 2 x = 1/cos 2 x. OPGAVE 18 Laat zien, uitgaande van cos2x = cos 2 x sin 2 x, met behulp van sin 2 x + cos 2 x = 1: cos2x = 2cos 2 x 1 = 1 2sin 2 x. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen Tot slot van deze paragraaf gaan we in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. We bespreken eerst een voorbeeld. 22 OUN

23 Voorkennis VOORBEELD Los op: sinx = 0.5 voor x R. Uitwerking In tabel 4 staat dat sin(π/6) = 2 1. Met behulp van een tekening (figuur 20) vinden we nu twee oplossingen: 7π/6 en 11π/6. Merk op dat dit in overeenstemming is met formules sinx = sin(π x) en sinx = sin(x + k 2π): π 11π/6 = 5π/6, en dus sin(7π/6) = sin( 5π/6) = sin( 5π/6 + 2π) = sin(11π/6). Nu gebruiken we de periodiciteit (sinx = sin(x + k 2π)) van de sinusfunctie om alle oplossingen op te schrijven: x = 7π/6 + k 2π of x = 11π/6 + k 2π met k Z Oplossen van goniometrische vergelijkingen sinx = sinα cosx = cosα tanx = tanα FIGUUR 20 De oplossingen van de vergelijking sinx = 0.5 «De in het voorbeeld beschreven procedure is algemeen geldig. Voor vergelijkingen waarin de cosinus of de tangens voorkomt, gelden vergelijkbare formules. We presenteren hier alleen de resultaten, inclusief die voor vergelijkingen met de sinus. De oplossingen van de vergelijking sinx = sinα (α gegeven) zijn: x = α + k 2π of x = π α + k 2π met k Z De oplossingen van de vergelijking cosx = cosα (α gegeven) zijn: x = α + k 2π of x = α + k 2π met k Z De oplossingen van de vergelijking tanx = tanα (α gegeven) zijn: x = α + k π met k Z OPGAVE 19 Los de volgende vergelijkingen op. a cosx = 0.5 b tanx = 1 c sin2x = d 2cos2x = 3 OPGAVE 20 Los de volgende vergelijkingen op. a sin 2 x + 2cos 2 x = 2 b cos 2 x sin 2 x = OUN 23

24 Continue wiskunde OPGAVE 21 Los de volgende vergelijkingen op. 1 a cosx = sin(x + π) 8 b sin2x = cos(x 1 π) 4 OPGAVE 22 Toon aan cosx 1 = sin2 x cos x + 1 voor x π + k 2π met k Z OPGAVE 23 a Bepaal a, b en c zodat cos 2 x = a + bcoscx. b Bepaal m en n zodat sin 2 xcos 3 x = cos m x cos n x. OPGAVE 24 Bepaal alle nulpunten van de functie f(x) = sin(1/x). OPGAVE 25 Herschrijf cos(1 1 π x) tot een uitdrukking waar alleen de sinus in 2 voorkomt. 6 Het schakelen van functies Functieketting Een manier om nieuwe functies te maken, is het schakelen van functies achter elkaar, zodat een ketting van functies ontstaat: de uitvoer van een functie treedt op als invoer voor de functie die de volgende schakel in de ketting is. VOORBEELD Gegeven zijn de functies f: x 2x en g: x sinx. De uitvoer van de functie f is de invoer voor de functie g. Dit levert de functie x sin(2x); zie figuur 21. FIGUUR 21 Schakelen van 2x en sinx tot sin(2x) Concreet betekent dit voor het origineel π/6: π/6 2 π/6 = π/3 sin(π/3) = 3/2 «In het algemeen ziet een ketting van twee functies, eerst y = f(x), dan z = g(y), er als volgt uit. Zie figuur 22. FIGUUR 22 Een ketting van twee functies 24 OUN

25 Voorkennis Samenstelling van f en g g o f, uitspraak: g na f Nu treedt de uitvoer y = f(x) van de functie f op als invoer van de functie g. Let erop dat de invoer bij de functie g in figuur 22 y genoemd wordt en de uitvoer z (en niet weer x en y), om verwarring te voorkomen. De uiteindelijke uitvoer is dan z = g(y) = g(f(x)). Per saldo hebben we dus de functie x g(f(x)) gemaakt. Deze functie heet de samenstelling van f en g en wordt genoteerd als g o f (uitspraak: g na f). Let op de volgorde waarin de functies f en g werken! Om bij de functie z = g(f(x)) de uitvoer z van de invoer x te berekenen, wordt van binnen naar buiten gewerkt: eerst f dan g. Meestal gaat het erom bij een gegeven functieketting te analyseren uit welke schakels deze bestaat. We geven hier een voorbeeld. VOORBEELD Los op de vergelijking: 2cos 2 x + cosx 1 = 0. Uitwerking Het linkerlid van de gegeven vergelijking is een ketting van twee functies: eerst de functie y = cosx, gevolgd door de functie z = 2y 2 + y 1. Door nu eerst de vergelijking 2y 2 + y 1 = 0 op te lossen, vinden we y = 1/2 of y = 1. Omdat y = cosx, is de gegeven vergelijking gelijkwaardig met cosx = 1/2 of cosx = 1. De oplossingen zijn dus: x = π/6 + k 2π of x = π/6 + k 2π of x = π + k 2π met k Z «OPGAVE 26 Gegeven de functies f : x Bepaal g o f en f o g. x en g : x sinx. OPGAVE 27 Schrijf de functie x 1 (x 2) 2 op twee verschillende manieren als samenstelling van twee functies f en g. OPGAVE 28 Los op: 3sin 2 x + 2sinx 1 = 0. OPGAVE 29 De functie y = x/(x 2) is op te vatten als een ketting van drie functies f o g o h. Door de functie y te herschrijven kan dit met functies f en h van de vorm x ax + b en voor g een functie van de vorm x c/x. Bepaal deze functies f, g en h. OPGAVE 30 Gegeven de functies f: x x 2 en g: x x. a Kies het domein D van f zodanig, dat g(f(x)) = x, voor alle x D. b Is het bereik B van f het grootst mogelijke domein van g? c Geldt ook: f(g(y)) = y voor alle y B? OUN 25

26 Continue wiskunde 7 Inverse functie In opgave 30 levert het schakelen van twee functies de identieke functie x x op. In deze paragraaf bespreken we onder welke voorwaarde dat het geval is. Veronderstel dat f een functie is met domein D en bereik B waarvoor geldt: x D f(x) = y B Veronderstel verder dat we voor alle y B de pijlen kunnen omkeren en weer bij de oorspronkelijke x D terugkomen. Zie figuur 23. Blijkbaar is er dan een functie, zeg g, waarvoor geldt: y B g(y) = x D Een voorbeeld van deze situatie is de functie x 2x + 4 met D = R en B = R. De functie g is hier: y (y 4)/2 = 1 y 2 met y R. We zeggen dat g 2 de inverse functie van f is. FIGUUR 23 De functies x 2x + 4 en y 1 2 y 2 Merk op dat in figuur 23 de getallenlijn met de invoergetallen bij de inverse functie verticaal staat, in tegenstelling met wat gebruikelijk is. De invoergetallen heten hier ook y in plaats van x. Als u dat wilt kunt u het rechterplaatje spiegelen in de lijn y = x en de variabelen aanpassen om de meer gebruikelijke grafische voorstelling uit figuur 24 te krijgen. FIGUUR 24 De functie x 1 2 x 2 We hebben hier dus de situatie dat het na elkaar schakelen van de functies f: x 2x + 4 en g: x 2 1 x 2 tot de functie g o f de identieke functie x x oplevert. Dit omkeren van de pijlen, dus van f-beeld y teruggaan naar het origineel x, is alleen mogelijk als aan de volgende eis voldaan is: er zijn geen twee verschillende originelen x 1 en x 2 met 26 OUN

27 Voorkennis hetzelfde beeld y. De hiervoor besproken functie x 2x + 4 met D = R en B = R voldoet aan deze eis. Een voorbeeld van een functie die niet aan deze eis voldoet, is de functie f: x x 2 met x R. Immers 2 en 2 hebben hetzelfde beeld 4. Door het domein van f tot bijvoorbeeld [0, > te beperken, kunnen we ervoor zorgen dat f wel aan de eis voldoet. Voor elke y [0, > geldt dat er precies één x [0, > is met y = x 2, namelijk x = y. De functie die in dit geval van het bereik van f teruggaat naar het domein van f, is precies de wortelfunctie. We zeggen dat f inverteerbaar is op [0, > en dat y = x 2 en x = y elkaars inverse zijn. Zie figuur 25. Inverteerbaar Inverse functie of inverse DEFINITIE 3 FIGUUR 25 Op R horen bij de meeste beelden van de functie x x 2 twee originelen, op [0, > bij elk beeld precies één. De definities van inverteerbaar en inverse functie luiden als volgt. Stel dat f een functie is met D als domein en B als bereik. De functie f heet inverteerbaar als bij elk element y in het bereik B precies één element x in het domein D bestaat zodat f(x) = y. De functie die voor elke y B de bijbehorende x D bepaalt, heet de inverse functie of kortweg de inverse van f. Deze functie wordt genoteerd met f 1. Dus voor een inverteerbare f met domein D en bereik B geldt: als f: D B en x y = f(x), dan f 1 : B D en y x = f 1 (y) Merk op dat hier de exponent 1 niet betekent tot de macht 1, dat wil zeggen 1 gedeeld door, maar de inverse van. Van de eigenschappen van inverteerbare functies vermelden we hier de volgende. Als het punt (x, y) op de grafiek van een inverteerbare functie ligt, dan ligt (y, x) op de grafiek van diens inverse functie. De grafieken van een functie en haar inverse zijn dus elkaars gespiegelde in de lijn y = x. Is f een inverteerbare functie met domein D en bereik B, dan geldt voor elke x D dat f 1 (f(x)) = x, en voor elke y B dat f(f 1 (y)) = y: de samenstelling van een functie en haar inverse is de identieke functie. De inverse van de inverse van een functie is weer de oorspronkelijke functie (f 1 ) 1 (x) = f(x) voor alle x D. Verder geldt dat een functie die monotoon stijgend of monotoon dalend is op een interval, op dat interval inverteerbaar is. OUN 27

28 Continue wiskunde Omdat veel standaardfuncties op delen van hun domein monotoon zijn, kunnen we door het domein in te perken van zo n functie een inverteerbare functie maken. Zo hebben we hiervoor de functie f(x) = x 2 inverteerbaar gemaakt door het domein te beperken tot [0, >. OPGAVE 31 Gegeven f(x) = ax + b. a Voor welke waarden van a is f inverteerbaar? b Geef in het geval f inverteerbaar is, het voorschrift van f 1. OPGAVE 32 Gegeven f(x) = x 2 + 2x. a Bepaal de kleinste waarde van a zodat f inverteerbaar is op het domein [a,. b Bepaal voor deze waarde van a een functievoorschrift van f 1. 8 Machten, exponenten en logaritmen Macht, exponent en grondtal Exponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 3 4 is niets anders dan de herhaalde vermenigvuldiging In de macht 3 4 is 4 de exponent van deze macht bij het grondtal 3. In deze paragraaf herhalen we de definities voor het geval de exponent van een macht niet een positief natuurlijk getal is. Vervolgens kunnen we dan op twee manieren functies definiëren: is de exponent vast, dan krijgen we de zogeheten machtsfuncties: x x a ; is het grondtal vast, dan krijgen we de zogeheten exponentiële functies: x a x. Door van deze laatste functies de inverse te nemen, krijgen we de logaritmische functies: x a logx. 8.1 MACHTEN EN MACHTSFUNCTIES Machtsverheffen We beginnen onze beschouwingen met te herhalen wat we bedoelen met machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen: Voor elke x R en elk positief natuurlijk getal n geldt: x n = x x... x (n factoren) Stap 1: exponent 0 Vervolgens leggen we vast wat we onder een macht met exponent 0 verstaan. Voor x R geldt: x 0 = 1. Merk op dat door deze definitie 0 0 gelijk is aan 1. U moet daar niet teveel achter zoeken. Stap 2: negatieve gehele exponenten Hierna volgt de definitie van een macht met een negatieve gehele exponent. Voor x R, x 0 en k is een negatief geheel getal geldt: x k = 1/x k. De reden voor de beperking x 0 is dat er niet door 0 gedeeld mag worden. 28 OUN

29 Voorkennis Stap 3: rationale exponenten Nu herhalen we de definitie van een macht met een gebroken exponent. Eerst nemen we exponenten van de vorm 1/n, n = 1, 2,... Voor x > 0 en n is een positief natuurlijk getal geldt: x 1/ n = Wellicht ten overvloede roepen we in herinnering dat de n-de wortel uit x (x > 0) gedefinieerd is als de inverse bewerking van verheffen tot de 5 n-de macht. Zo geldt 32 = 2, want 2 5 = 32. En de definitie van een macht met een willekeurige gebroken exponent is als volgt. Voor x > 0 en m/n Q met n > 0 geldt: x m/n = n x m = n ( x ) m. Merk op dat in deze definitie het geval m < 0 is meegenomen. Zo geldt bijvoorbeeld: n. x 2 5/3 3 = 2 5 = 3 1/2 5 3 = 1/ 2 5 = 1/2 5/3 Beperken tot positieve grondtallen De reden dat we ons bij machten waarvan de exponent geen geheel getal is, tot positieve grondtallen beperken, is de volgende. Stel, we zouden op de volgende wijze ( 2) 1/3 berekenen: ( 2) 1/3 = ( 2) 2/6 = (( 2) 2 ) 1/6 = 4 1/6 = (2 2 ) 1/6 = 2 2/6 = 2 1/3 Nu geldt echter ook dat ( 2) 1/3 = 2 1/3 3 3, want 2 = 2. Om dit soort ongerijmdheden te vermijden, sluiten we negatieve grondtallen bij nietgehele exponenten uit. Het grondtal 0 sluiten we uit om te voorkomen dat er bij een negatieve exponent door 0 gedeeld wordt. Stap 4: reële exponenten Rekenregels voor machten Regel 1 Regel 2 Regel 3 Regel 4 Op machten met irrationale (dus reële, maar niet-rationale) exponenten gaan we op deze plaats niet al te diep in. We volstaan met op te merken dat elk irrationaal getal p willekeurig dicht door rationale getallen q te benaderen is. De macht x p benaderen we nu met de macht x q, en de definitie hiervan is in stap 3 gegeven. De volgende vier regels gelden: voor x > 0, y > 0 en a, b R (xy) a = x a y a x a x b = x a+b (x a ) b = x ab x a /x b = x a b De vierde regel volgt overigens uit de tweede regel via de eigenschap dat delen door een getal y 0 hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/y. OPGAVE 33 Schrijf als wortel en vereenvoudig zo mogelijk: 4 2/3 ; 3 1/7 ; 16 3/4. OUN 29

30 Continue wiskunde OPGAVE 34 Schrijf als macht van 2: ; 2 3 ( 1 2 )4 ( ) 2 De nu volgende regels voor het rekenen met wortels zijn een speciaal geval van de regels voor machten: ( a) 2 = a voor alle a 0 a 2 = a voor alle a 0 a 2 = a voor alle a 0 ab = a b voor alle a 0 en alle b 0 a b = a b voor alle a 0 en alle b > 0 Machtsfunctie Exponentiële functie We gebruiken nu de gegeven definities om twee typen functies te definiëren: de machtsfuncties en de exponentiële functies. In de macht x y kan x variabel en y vast genomen, we krijgen dan de zogeheten machtsfuncties, dat zijn dus functies van het type x x a. Nemen we x vast (positief) en y variabel, dan krijgen we de zogeheten exponentiële functies, dat zijn functies van het type x a x. Op deze exponentiële functies komen we in paragraaf 8.2 terug. VOORBEELDEN Voorbeelden van machtsfuncties zijn: x x 0, x x, x x 2, x x 3, x x 1/2, x x 1/2 en x x 2 x 7/5 (want 2 1.4). In figuur 26 staat van een aantal van de genoemde functies de grafiek. FIGUUR 26 De grafieken van de functies x x 2, x x 3, x x 1/2, x x 1/2 «Domein van een machtsfunctie In het algemeen geldt voor het domein van een machtsfunctie het volgende: Is de exponent een natuurlijk getal, dan is het domein R. Is de exponent een negatief geheel getal, dan is het domein R {0}. Is de exponent een niet-geheel positief reëel getal, dan is het domein {x R x 0}. Is de exponent een niet-geheel negatief reëel getal, dan is het domein {x R x > 0}. 30 OUN

31 Voorkennis OPGAVE 35 Schets de grafiek van x x 0, x x, x x 3 en x x 2. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 36 Gegeven voor elke gehele n < 0 de functie x x n. a Geef het domein en bereik van de functie x x n. Maak onderscheid tussen even en oneven waarden van n. b Welke asymptoten heeft de grafiek? c Geef aan op welk interval de functie monotoon is. Machtsfuncties met een positieve exponent zijn monotoon stijgend op het interval [0, >, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de exponent negatief, dan zijn zij monotoon dalend op het interval <0, >, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de exponent 0, dan is er sprake van de constante functie x 1, en die is niet inverteerbaar. In opgave 3.25 hebt u hiervan voorbeelden gezien. We kunnen van regel 3 gebruik maken om van een inverteerbare machtsfunctie de inverse te bepalen. Er geldt het volgende. Inverse van een inverteerbare machtsfunctie De functie x x a met a > 0 is inverteerbaar op [0, >. De inverse is x x 1/a. De functie x x a met a < 0 is inverteerbaar op <0, >. De inverse is x x 1/a. Het bewijs komt neer op het toepassen van regel 3: (x a ) 1/a = x, voor alle x in het domein van x x 1/a. Merk op dat voor het geval a een positief natuurlijk getal is, hier niets anders staat dan dat verheffen tot de a-de macht en trekken van de a-de wortel inverse bewerkingen zijn. In figuur 27 staan de grafieken van twee machtsfuncties en hun inversen. FIGUUR 27 De grafieken van x x 3, x x 1/3 en hun inversen OPGAVE 37 Waarom is x x 2 niet inverteerbaar op R {0}? Wat is de inverse van x x 2 op <0, >? Teken de grafiek van de functie x x 2. OUN 31

32 Continue wiskunde OPGAVE 38 Gegeven de functie f: x x 3/2. a Geef het functievoorschrift van f 1. b Los op: f(x) = f 1 (x). We bekijken de functie g: x x 1/3. c Teken de grafiek van g. d Is g inverteerbaar? Zo ja, geef dan het functievoorschrift van g EXPONENTIËLE FUNCTIES VOORBEELDEN Hiervoor hebben we al de definitie van een exponentiële functie gegeven. Voorbeelden van exponentiële functies zijn: x 1 x, x 2 x, x (1/2) x. In figuur 28 staan van de laatste twee functies de grafieken. FIGUUR 28 De grafieken van de functies x 2 x, x (1/2) x «Grondtal Het algemene voorschrift van een exponentiële functie is van de vorm x a x met a > 0, a 1 De constante a is een parameter en heet het grondtal. Domein van een exponentiële functie Bijzonderheden De drie voorbeeldfuncties hebben als domein R en dat geldt ook in het algemeen: alle exponentiële functies hebben als domein R. Omdat de exponenten de gehele R doorlopen, nemen we als grondtal uitsluitend positieve reële getallen. Voor a > 1 is de exponentiële functie monotoon stijgend op R; voor 0 < a < 1 monotoon dalend op R. De grafiek heeft een horizontale asymptoot voor y = 0. Het snijpunt met de y-as ligt bij 1. OPGAVE 39 Schets de grafieken van de exponentiële functies x 1 x, x 3 x, x (1/3) x. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 40 De grafieken van de functies f(x) = 3 3 2x en g(x) = ( 3) x hebben precies een snijpunt. Bereken de coördinaten van dit snijpunt. OPGAVE 41 De grafiek van de functie f(x) = 3 3 x is te verkrijgen uit de grafiek van g(x) = 3 x door alle y waarden met 3 te vermenigvuldigen. De grafiek van f kan ook verkregen worden uit die van g door een verschuiving. Welke verschuiving is dit? 32 OUN

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost.

Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de juiste volgorde te worden opgelost. SBC AMDG Ma 13/12/04 klas : 5WEWI8 5GRWI8 Van Hijfte D. toegelaten : grafisch rekentoestel Examen Wiskunde deel I (90p) Per nieuwe hoofdvraag een nieuwe bladzijde gebruiken. De vragen hoeven niet in de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16

De notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16 Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Leerstof voortentamen wiskunde B. 1. Het voortentamen wiskunde B

Leerstof voortentamen wiskunde B. 1. Het voortentamen wiskunde B Leerstof voortentamen wiskunde B In dit document wordt de leerstof beschreven van het programma van het voortentamen wiskunde B op havo niveau te beginnen met het voortentamen van december 2017. Deze specificatie

Nadere informatie

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar

rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar Hoofdstuk 5 - machten, eponenten en logaritmen rekenregels voor machten en logaritmen wortels waar of niet waar 0. voorkennis HERLEIDEN VAN MACHTEN - rekenregels voor machten Bij het vermenigvuldigen van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken

Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

6. Goniometrische functies.

6. Goniometrische functies. Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen.

Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet vermenigvuldigen om een nieuwe hoeveelheid te krijgen. Samenvatting door een scholier 1569 woorden 23 juni 2017 5,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Moderne wiskunde Wiskunde H1 t/m H5 Hoofdstuk 1 Factor = het getal waarmee je de oude hoeveelheid moet

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Paragraaf 11.0 : Voorkennis

Paragraaf 11.0 : Voorkennis Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Willem van Ravenstein

Willem van Ravenstein Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Hoofdstuk 3 - Transformaties Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Calculus I, 19/10/2015

Calculus I, 19/10/2015 Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,

Nadere informatie

Inhoud college 6 Basiswiskunde

Inhoud college 6 Basiswiskunde Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.

Nadere informatie

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de

Nadere informatie

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.

In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. 03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het

Nadere informatie

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048

Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048 Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09

Nadere informatie