Onzekerheid in prognoses voor Nederlandse sterftedynamica

Transcriptie

1 Onzekerheid in prognoses voor Nederlandse sterftedynamica Louana van Dijk Prof. dr. ir. Michel Vellekoop Bachelorscriptie Actuariële Wetenschappen

2 Inhoudsopgave 1. Inleiding 2 2. Modellen AG en CBS Prognosemodel AG Formulering prognosemodel van het AG Het CBS-prognosemodel Formulering onzekerheid van het CBS 9 3. Modelleren van onzekerheid Genereren sterftekansen Genereren betrouwbaarheidsinterval levensverwachting Gevonden betrouwbaarheidsintervallen Gevonden betrouwbaarheidsintervallen voor de levensverwachting Gevonden betrouwbaarheidsintervallen voor de sterftekansen Toepassing sterftekansen op een eenvoudig pensioencontract Kritische analyse Conclusie 20 Bibliografie 21 Bijlage 1 Levensverwachting 95%-onzekerheidsintervallen 22 1

3 1. Inleiding Het Actuarieel Genootschap (AG) heeft in augustus 2010 de nieuwe overlevingstafels gepubliceerd. Deze nieuwe tafels zijn geïntroduceerd omdat de oude tafels, gepubliceerd in 2007, te veel afweken van de werkelijkheid (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010). Het Actuarieel Genootschap was niet de enige die met nieuwe prognoses kwam over de sterftekansen. Ook het Centraal Bureau voor Statistiek (CBS) heeft nieuwe prognosetafels gepubliceerd. Het is van groot belang dat de overlevingstafels een goede inschatting geven. De tafels worden namelijk intensief gebruikt, onder andere voor de pensioenberekeningen (Nijman, Palm & Van de Poel, 2010). Als de prognoses veel afwijken van de werkelijkheid, kloppen de pensioenberekeningen niet meer. De pensioenfondsen berekenen aan de hand van de prognose hun verwachte verplichtingen. Als de prognoses een onderschatting geven van de werkelijkheid kan er een tekort ontstaan bij de pensioenfondsen. Hierdoor kan de dekkingsgraad te laag worden. Er zijn verschillen en overeenkomsten tussen de modellen van het AG en het CBS (Van Esch, & Op het Veld, 2010). Belangrijk om te weten is dat het CBS en het AG dezelfde populatie hebben onderzocht voor het gebruikte prognose model. Maar ze hebben beide een ander prognosemodel gebruikt waardoor er verschillen zijn tussen de overlevingstafels. Het AG heeft het model gebaseerd op historische data. Het CBS analyseert de sterftekansen uitgesplitst per doodsoorzaak en probeert met behulp van expert opinies tot een goede prognose te komen (Carolina & van Duin, 2010). Daarnaast heeft alleen het CBS rekening gehouden met onzekerheid in de prognose. De vraag die in deze scriptie centraal staat is, Wat voor verschil is er tussen het gebruik van het model van het CBS en het model van het AG?. Om hier antwoord op te geven worden de modellen met elkaar vergeleken. Om dit te kunnen doen wordt eerst één van de twee modellen aangepast. Het model van het AG wordt uitgebreid door ook onzekerheid te modelleren. Als dit is gebeurd worden beide modellen toegepast op een eenvoudig pensioencontract en worden de resultaten met elkaar vergeleken. 2

4 Om antwoord te kunnen geven op de centrale vraag, wordt begonnen met een beschrijving van de prognosemodellen van het AG en het CBS. Dit wordt gevolgd door het modelleren van de onzekerheid in paragraaf 3. Vervolgens worden de sterftekansen met onzekerheid toegepast op een eenvoudig pensioencontract en worden de resultaten gepresenteerd in paragraaf 4. In paragraaf 5 wordt afgesloten met de conclusie. 3

5 2. Modellen AG en CBS Een accurate inschatting van de sterftekansen is erg belangrijk. Doordat het AG en CBS allebei andere modellen gebruiken, wijken de geschatte sterftekansen van elkaar af. Om het verschil tussen de prognoses van het CBS en het AG in kaart te brengen, wordt het model van het AG uitgebreid. Het model van het AG wordt uitgebreid door er onzekerheid bij te modelleren. Om dit mogelijk te maken worden eerst de modellen van het AG en het CBS besproken. 2.1 Prognosemodel AG De levensverwachting is de laatste jaren sterk toegenomen. Dit is voor het AG aanleiding geweest om een nieuw prognosemodel te ontwikkelen (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010). In de oude prognose die het AG heeft gemaakt voor werd een constante ontwikkeling verondersteld van de sterfte. Dit model is aangepast en verbeterd zodat er voor zowel de korte als lange termijn betere prognoses gemaakt kunnen worden van de overlevingskansen. De eerste verandering die het AG heeft doorgevoerd is het introduceren van een kortetermijntrend. In het oude prognosemodel was er sprake van één langetermijntrend. Het nieuwe prognosemodel heeft zowel een lange- als kortetermijntrend. De langetermijntrend (ltt) bepaalt wat het eindniveau van de prognose is. De kortetermijntrend bepaalt hoe de kansen naar dit eindniveau toe convergeren. De kortetermijntrend heeft verder geen invloed op het eindniveau. (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, p. 11). Dit wordt geïllustreerd in figuur 1. 4

6 Figuur 1. Levensverwachting met lange- en kortetermijntrend (Actuarieel Genootschap Actuarieel Instituut, 2010, p. 11) De tweede verandering in het nieuwe model is verkorting van de vijfjaars periodesterftetafel naar een tweejaars periodesterftetafel. Het verkorten van de periode heeft voor- en nadelen, het maakt de prognose actueler, omdat er beter kan worden omgegaan met wijzigingen in de sterftekansen. Maar toevallige gebeurtenissen krijgen meer invloed waardoor de onzekerheid groter wordt (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, p. 12). De laatste verandering is het verlengen van de prognosehorizon van 2050 naar Formulering prognosemodel van het AG Het oude prognosemodel van het AG uit 2005: (1) Zoals blijkt uit formule 1 werd in het oude prognosemodel een constante ontwikkeling van de sterfte verondersteld. In dit model stelt q de sterftekans voor, x is de leeftijd, j is het jaar waarin het model is opgesteld en j+t het prognose jaar. f is de trend, een constante, die is bepaald met behulp van de historische data. Als de sterftekans van dit jaar wordt vermenigvuldigd met de trend dan komt daar de sterftekans van volgend jaar uit. 5

7 Het nieuwe prognosemodel uit 2010 is specifieker gemaakt door de trend ook van het jaar afhankelijk te maken. f(x) wordt dan f(x;t) (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, bijlage 2). Hieruit volgt de volgende formule: (2) Er is in dit specifieke model gekozen om voor f(x;j+i) de volgende formule te gebruiken: Als formule 3 wordt ingevuld in formule 2 volgt dat: (3) (4) Formule 4 is dan weer om te schrijven naar formule 5: (5) In het algemeen geldt de volgende formule: (6) Als formule 6 vervolgens wordt ingevuld in formule 5 geeft dat: (7) Als t een lage waarde heeft, dan heeft de term veel invloed, maar als t hoger wordt dan wordt de e-macht dominant. Daaruit volgt dat de kortetermijntrend is. In formule 7 geldt dat j+t = 2060, de prognose loopt namelijk tot Q(x;j+T) is dan dus de goaltafel. Als de natuurlijke logaritme wordt genomen aan beide kanten en verder wordt herschreven, waarbij t =T, dan wordt de volgende formule gevonden: (8) Alpha beschrijft hier de langetermijntrend. Vervolgens wordt formule 8 ingevuld in formule 7 en wordt de natuurlijke logaritme genomen van beide kanten. (9) De volgende formule geeft het gemiddelde van de waarnemingen over twee jaar. (10) 6

8 De gemiddelde worden vervolgens nog afgerond met een mathematisch algoritme. Na afronding blijven sterftecijfers over leeftijd 0 tot en met 94. Formule 10 is nodig om de lange- en kortetermijntrend te berekenen. De langetermijntrend is gebaseerd op de data tussen 1987 en 2008, dit is gedaan omdat er in 1988 een trendbreuk was. Voor de kortetermijntrend wordt gekeken naar data tussen 2001 en 2008, vanaf hier is de daling van de sterftekansen toegenomen. (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, p. 11). De trend is een constante factor die wordt berekend uit de sterftecijfers uit de bijbehorende jaren. De langetermijntrend is gebaseerd op data tussen 1987 en 2008, dus over jaren wordt de trend berekend. Alleen worden niet de sterftekansen van de betreffende jaren genomen, maar wordt er gerekend met het gemiddelde van en En voor de kortetermijntrend met het gemiddelde van en Bij de langetermijntrend zit er 20 jaar verschil tussen het begin en het eind jaar en bij de kortetermijntrend 6 jaar. Voor de langetermijntrend wordt dan de volgende formule gebruikt: (11) Voor de kortetermijntrend wordt dan de volgende formule gebruikt: (12) Hierbij wordt de volgende formule gebruikt: Er zijn sterftefrequenties beschikbaar van leeftijd 0 tot en met 94 jaar. (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, pp ). Voor hogere leeftijden moet dus een andere oplossing worden gevonden. Vanaf leeftijd 100 is er bijna geen sterfteontwikkeling waardoor de trendfactoren, kort en lang, gelijk aan één kunnen worden gesteld. De trend op leeftijd 94 kan worden berekend en die op 100 is gelijk aan één. Er wordt vanuit gegaan dat vanaf leeftijd 94 de trend lineair afneemt. Voor de starttafel en goaltafel zijn de volgende aannamen gedaan: 7

9 De starttafel: voor x 94 (13) voor x 95 (14) De goaltafel: (15) Er wordt ook vanuit gegaan dat de kansen voor vrouwen altijd kleiner of gelijk zijn. Als dit niet zo is dan zijn de kansen van de vrouw aangepast door ze gelijk te stellen aan die van de man. 2.3 Het CBS-prognosemodel Sinds 2004 maakt het CBS in hun prognose onderscheid in doodsoorzaken. Het model van het CBS is gebaseerd op data die zijn uitgesplitst per doodsoorzaak (met behulp van expert opinies). Dit geeft volgens het CBS een betere voorspelling van de sterftekansen. Er kan beter worden ingespeeld op veranderingen in verschillende factoren die de sterftekansen vergroten of verkleinen. (Van Duin, Garssen & Van der Meulen, 2009, p. 41) De doodsoorzaken worden in vijf groepen ingedeeld. Deze vijf categorieën zijn: hart- en vaatziekten (onderscheiden naar ziekten van de kransvaten, hersenvaten en overige hart- en vaatziekten), kanker (onderscheiden naar longkanker), borstkanker, prostaatkanker, darmkanker en overig kanker ), COPD, niet-natuurlijke doodsoorzaken en overige doodsoorzaken. Daarnaast wordt er gebruikgemaakt van leeftijdsgroepen, deze zijn: 0, 1-19, 20-49, 50-69, en jaar. Per groep wordt de overlevingskans per doodsoorzaak bepaald. Voor de leeftijdsgroepen en jaar worden alleen veronderstellingen gemaakt. Voor deze leeftijdsgroepen is het lastig om te bepalen wat de overlevingskans per doodsoorzaak is omdat er niet veel data beschikbaar is. 8

10 Het CBS schat de afname van de sterftekansen door de logaritme van de sterftekans te fitten aan een lineair regressiemodel, met periode als verklarende variabele. De toekomstige sterftekansen worden bepaald door de jaarlijkse afname toe te passen op het laatste jaar met waargenomen sterftekansen. Daarnaast worden sommige sterftekansen nog aangepast door de inbreng van expert opinies. (Van Duin, Garssen & Van der Meulen, 2009, p. 41). Prognoses wijken altijd af van de werkelijkheid. Het CBS geeft 95%- en 67%- onzekerheidsintervallen rond de prognosewaarde.(carolina & van Duin, 2010, p. 32). Het modelleren van de onzekerheid blijkt niet in de prognose zelf te zijn gedaan, maar er achteraf bij te zijn gemodelleerd (Carolina & van Duin, 2010, p. 36). 2.4 Formulering onzekerheid van het CBS Om bij het prognosemodel van het AG onzekerheid te modelleren, moet duidelijk zijn hoe dat bij het CBS prognosemodel is gedaan. Het CBS rekent als eerst de sterftekansen uit met hun prognose en vervolgens worden deze gebruikt om de levensverwachting te berekenen van een nuljarige. Dit wordt vervolgens voor elk prognosejaar gedaan. (Carolina & van Duin, 2010, p. 36). Het tijdpad van de levensverwachting wordt vervolgens gemodelleerd als een random walk met drift. De eerste formule die wordt geïntroduceerd is: (16) Waarbij (17) Hierbij is de levensverwachting van een nuljarige, en is de gesimuleerde evensverwachting voor een nuljarige met tijdspad i. Achter de levensverwachting staat tussen haakjes g, het geslacht en j, het prognosejaar. Ook staat er een in de eerste formule, dit is de onzekerheid voor tijdspad i in jaar j. De worden getrokken uit een normale verdeling met verwachting 0 en standaardafwijking σ. Er wordt hiervan uitgegaan dat er met een 95%-betrouwbaarheidsinterval wordt gewerkt. 9

11 Voor σ geldt de formule: (18) is hier de breedte van het onzekerheidsinterval rond de levensverwachting in 2050 (het eind van de prognoseperiode) (Carolina, 2010, p. 32). De 1.96 wordt gebruikt vanwege het 95%-betrouwbaarheidsinterval. De formule voor σ is gebaseerd op de formules 19 en 20. (19) Er geldt: (20) De gemiddelde kwadratische afwijking van de levensverwachting in het tijdpad ten opzichte van de prognosewaarde ontwikkelt zich als een random walk zonder drift. Er worden zo voor elk prognosejaar, i tijdspaden voor de levensverwachting van een nuljarige gesimuleerd. Zo ontstaat er een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de levensverwachting van een nuljarige per prognosejaar. Vervolgens kan uit elk tijdspad voor de levensverwachting een tijdspad voor de sterftekansen worden afgeleid. Voor de sterftekans met tijdspad i geldt de volgende formule: (21) moet zo worden gekozen dat als met de sterftekansen de levensverwachting wordt berekend deze precies uitkomt op de waarde van. (Carolina & Van Duin, 2010, p. 36). Elk prognosejaar heeft een onder- en een bovengrens voor de levensverwachting. Alleen deze grenzen zijn nodig om de grenzen voor de sterftekansen af te leiden. 10

12 3. Modelleren van onzekerheid In de vorige paragraaf bleek dat het niet nodig is om het modelleren van de onzekerheid in de prognose zelf te verwerken. Om rekening te houden met onzekerheid in de prognose van de sterftekansen zijn alleen de prognosewaarden van de sterftekansen nodig. Het model van het AG hoeft dus niet omgebouwd te worden. Het prognosemodel wordt gebruikt om de sterftekansen te berekenen die nodig zijn voor de modellering van de onzekerheid. 3.1 Genereren sterftekansen Voor zowel het prognosemodel van het AG als voor het prognosemodel van het CBS worden de sterftekansen met onzekerheid berekend. De sterftekansen van het AG kunnen daarvoor uit de prognose worden gehaald (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, pp ). De sterftekansen van het CBS moeten worden berekend. De benodigde data wordt van de website van statline 1 gehaald. Hier staan de sterftekansen per halve leeftijd gegeven en ze lopen slechts tot 98.5 jaar. Om de sterftekansen voor de leeftijd in gehele jaren te vinden wordt de volgende formule gebruikt: x 88 (22) Met deze formule worden de sterftekansen tot en met de leeftijd 98 berekend. Voor oudere leeftijden is de formule niet geschikt omdat de sterftekansen maar tot leeftijd 98.5 bekend zijn. Om de sterftekansen voor de leeftijden vanaf 99 jaar te berekenen wordt geïnterpoleerd. De sterftekans voor de leeftijd 120 wordt gelijk gesteld aan één. Deze leeftijd wordt gekozen omdat de AG-sterftetafel ook tot de leeftijd 120 loopt. Het interpoleren voor de leeftijden van 99 tot en met 119 werkt als volgt:. x>89 (23) 1 ( a&d3=a&d4= &hdr=t,g1&stb=g2,g3&vw=t) 11

13 3.2 Genereren betrouwbaarheidsinterval levensverwachting Voor zowel het AG als het CBS worden met de gevonden sterftekansen de levensverwachtingen van een nuljarige voor elk prognosejaar uitgerekend. De sterftekansen zijn afhankelijk van zowel de leeftijd als het prognosejaar. Bij het berekenen van de levensverwachting wordt daarom diagonaal door de tabel gelopen. De volgende stappen worden apart uitgevoerd voor het AG en het CBS en ook apart voor mannen en vrouwen. Als de levensverwachtingen zijn uitgerekend worden de tijdspaden per levensverwachting gesimuleerd. Alleen de levensverwachting in het eerste prognosejaar wordt ingevuld en de levensverwachtingen voor de andere prognosejaren worden gesimuleerd. Er worden voor elke levensverwachting 1000 tijdspaden gesimuleerd. Dit wordt gedaan met de formules die zijn beschreven in paragraaf 2.4: Voor σ geldt de formule: is hier de breedte van het onzekerheidsinterval rond de levensverwachting in 2060 (het eind van de prognoseperiode). Van het CBS zijn al betrouwbaarheidsintervallen bekend, voor de mannen is deze 11 en voor de vrouwen 11,9. De breedte van het interval wordt gelijk gesteld aan het gemiddelde van twee, wat gelijk is aan 11,045. Verder wordt er alleen gewerkt met een 95%-betrouwbaarheidsinterval, het 67%- betrouwbaarheidsinterval wordt minder vaak gebruikt en wordt daarom buiten beschouwing gelaten. De waarde voor σ die wordt gevonden is dan gelijk aan De worden dus getrokken uit de volgende verdeling:. Als alle tijdspaden zijn gesimuleerd worden de levensverwachtingen per prognosejaar gesorteerd. Omdat het een 95%-betrouwbaarheidsinterval wordt, moeten per prognosejaar de hoogste 25 en laagste 25 tijdspaden eruit worden gehaald. Nu kan met behulp van formule 20 het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de sterftekansen bepaald worden. Met behulp van bijvoorbeeld de Solver in Excel kan elke worden gevonden. Als deze is gevonden zijn de dus ook bekend. 12

14 4. Gevonden betrouwbaarheidsintervallen 4.1 Gevonden betrouwbaarheidsintervallen voor de levensverwachting Als de bewerkingen zoals omschreven in paragraaf 3.1 en 3.2 uitgevoerd zijn voor het CBS en het AG ( mannen en vrouwen), worden de betrouwbaarheidsintervallen gevonden. Deze zijn weergegeven in bijlage 1. In figuur 2 staan de prognoses voor de levensverwachting van de mannen, voor zowel het CBS als het AG. Ook staan de boven- en ondergrens van de levensverwachting erin. In figuur 3 is hetzelfde gedaan als in figuur 2 alleen nu voor de vrouwen. In tabel 1 en 2 staan de prognoses van de levensverwachtingen en de 95%-betrouwbaarheidsintervallen voor het jaar 2010 en het jaar Figuur 2. Prognose en 95%-betrouwbaarheidsinterval van de levensverwachting voor mannen Figuur 3. Prognose en 95%-betrouwbaarheidsinterval van de levensverwachting voor vrouwen 13

15 Levensverwachting van mannen AG Levensverwachting van vrouwen AG Prognose 95% Ondergrens Prognose 95% Bovengrens Prognose 95% Ondergrens Prognose 95% Bovengrens 79,05 80,66 85,86 91,28 82,93 82,03 87,55 93,08 Tabel 1. Prognose en 95%-betrouwbaarheidsinterval van de levensverwachting voor het AG in 2060 Levensverwachting van mannen CBS Levensverwachting van vrouwen CBS Prognose 95% Ondergrens Prognose 95% Bovengrens Prognose 95% Ondergrens Prognose 95% Bovengrens 78,82 79,41 84,48 90,27 82,72 81,73 87,35 92,48 Tabel 2. Prognose en 95%-betrouwbaarheidsinterval van de levensverwachting van het CBS in 2060 Uit de grafieken en tabellen is af te lezen dat zowel voor de mannen als voor de vrouwen de prognose voor de levensverwachting van het AG hoger is. Dit geldt ook voor de 95%-betrouwbaarheidsintervallen. De levensverwachting van het AG stijgt voor de eerste 25 jaar sneller dan die van het CBS, dit komt door het opnemen van de kortetermijntrend in het model van het AG (Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut, 2010, p 11). 4.2 Gevonden betrouwbaarheidsintervallen voor de sterftekansen Nadat de betrouwbaarheidsintervallen voor de levensverwachting zijn gevonden kunnen de bewerkingen uit paragraaf 3.3 uitgevoerd worden. Deze zijn nodig voor het vinden van de betrouwbaarheidsintervallen voor de sterftekansen. Er ontstaan zo acht prognoses voor de sterftekansen. Gesplitst in CBS of AG, gesplitst per geslacht, en gesplitst in boven- of ondergrens. 14

16 4.3 Toepassing sterftekansen op een eenvoudig pensioencontract Om de verschillen tussen het model van het CBS en het model van het AG te illustreren, worden de gevonden sterftekansen toegepast op een eenvoudig pensioencontract. Bij het eenvoudige pensioencontract wordt van de volgende punten uitgegaan. Een startleeftijd van 25 jaar in 2010 en een pensioenleeftijd van 65 jaar. Een salaris van ,-, een franchise van ,- en een opbouwpercentage van 2,25%. Vervolgens wordt er gewerkt met een rentetermijnstructuur. De Nederlandsche Bank (DNB) heeft besloten dat bij het contant maken van een contract gebruikgemaakt moet worden van de door DNB gepubliceerde actuele rentetermijnstructuur (DNB, 2006, artikel 2). De rentetermijnstructuur is een tabel met spotrates voor de komende 60 jaar. Uit de rentetermijnstructuur kan voor elk jaar de rente worden berekend. Ook wel de forward rate genoemd, deze wordt berekend met de volgende formule: en (24) Het ouderdomspensioen (OP) kan berekend worden met de formule: (25) OP = De formule voor een eenvoudig pensioencontract is als volgt: ) (26) In tabel 3 en 4 op de volgende bladzijde wordt de premie-prognose, met sterftecijfers uit de prognose, berekend uit het gegeven OP van Vervolgens wordt ook de premie-grens, met sterftecijfers uit boven- of ondergrens, berekend uit het gegeven OP van Als laatst wordt met de premie-prognose en de sterftekansen uit de grens het OP-grens berekend. Als deze zijn berekend kan het procentuele verschil tussen premie-prognose en premie-grens worden berekend. Ook het procentuele verschil tussen OP en OP-grens kan nu worden uitgerekend. 15

17 Er is ook nog een andere mogelijkheid om het verschil tussen het AG en het CBS duidelijk te maken. In alle berekeningen die worden gemaakt, is gewerkt met de grenzen van de sterftekansen. De eerste mogelijkheid (tabel 5) is het kiezen van een vaste premie voor alle gevallen. Waarna voor elk geval het bijbehorende OP wordt uitgerekend. De tweede mogelijkheid (tabel 6) is het kiezen van een vast OP van Waarna voor alle gevallen de bijbehorende premie wordt berekend. De berekeningen worden gemaakt met formule 25 en de benodigde gegevens kunnen uit tabel 1 en 2 worden gehaald. 16

18 AG CBS Mannen Onder Mannen Onder Factor xop-x äxop (prognose) 3,833 Factor xop-x äxop (prognose) 3,615 Factor äx (prognose) 24,966 Factor äx (prognose) 24,685 Premie OP (Prognose) 3754,382 Premie OP (Prognose) 3551,483 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 3,194 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 2,994 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 24,236 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 23,960 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 3142,527 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 2955,832 % Verschil Premie OP -16,297% % Verschil Premie OP -16,772% Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 24730,321 Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 24871,410 % Verschil Opgebouwd Pensioen 19,470% % Verschil Opgebouwd Pensioen 20,152% Mannen Boven Mannen Boven Factor xop-x äxop (prognose) 3,833 Factor xop-x äxop (prognose) 3,615 Factor äx (prognose) 24,966 Factor äx (prognose) 24,685 Premie OP (Prognose) 3754,382 Premie OP (Prognose) 3551,483 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 4,452 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 4,274 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 25,648 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 25,419 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 4347,820 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 4183,814 % Verschil Premie OP 15,807% % Verschil Premie OP 17,805% Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 17874,638 Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 17571,456 % Verschil Opgebouwd Pensioen -13,649% % Verschil Opgebouwd Pensioen -15,114% Vrouwen Onder Vrouwen Onder Factor xop-x äxop (prognose) 4,036 Factor xop-x äxop (prognose) 3,996 Factor äx (prognose) 25,223 Factor äx (prognose) 25,142 Premie OP (Prognose) 3943,379 Premie OP (Prognose) 3911,868 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 3,383 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 3,361 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 24,494 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 24,420 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 3317,000 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 3303,222 % Verschil Premie OP -15,884% % Verschil Premie OP -15,559% Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 24608,968 Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 24514,149 % Verschil Opgebouwd Pensioen 18,884% % Verschil Opgebouwd Pensioen 18,426% Vrouwen Boven Vrouwen Factor xop-x äxop (prognose) 4,036 Factor xop-x äxop (prognose) 3,996 Factor äx (prognose) 25,223 Factor äx (prognose) 25,142 Premie OP (Prognose) 3943,379 Premie OP (Prognose) 3911,868 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 4,646 Factor xop-x äxop (In Onder/Bovengrens) 4,569 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 25,883 Factor äx (In Onder/Bovengrens) 25,775 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 4528,075 Premie OP (In Onder/Bovengrens) 4459,909 % Verschil Premie OP 14,83% % Verschil Premie OP 14,010% Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 18027,075 Opgebouwd Pensioen (In Onder/Bovengrens) 18156,349 % Verschil Opgebouwd Pensioen -12,913% % Verschil Opgebouwd Pensioen -12,288% Tabel 3. Pensioengegevens van het AG Tabel 4. Pensioen gegevens van het CBS 17

19 Constante Premie OP AG OP CBS Verschil % Prognose mannen , ,20 5,71% 95% Ondergrens mannen , ,42 6,32% 95% Bovengrens mannen , ,56 3,92% Prognose vrouwen , ,36 0,81% 95% Ondergrens vrouwen , ,44 0,42% 95% Bovengrens vrouwen , ,40 1,53% Tabel 5. Verschil AG/CBS als premie constant Constant OP Premie AG Premie CBS Verschil % Prognose mannen , ,48-5,40% 95% Ondergrens mannen , ,83-5,94% 95% Bovengrens mannen , ,81-3,77% Prognose vrouwen , ,87-0,80% 95% Ondergrens vrouwen , ,22-0,42% 95% Bovengrens vrouwen , ,91-1,51% Tabel 6. Verschil AG/CBS als OP constant Het procentuele verschil tussen premie(prognose) en premie(grens) is berekend in tabel 3 en 4. Ook het procentuele verschil tussen OP en OP(grens) is hier berekend. Het CBS heeft ten opzichte van het AG bij de mannen voor zowel de premie als het OP een grotere procentuele afwijking. Bij de vrouwen is het precies andersom en heeft het AG een grotere procentuele afwijking voor zowel de premie als het OP. Maar het verschil tussen de vrouwen is kleiner dan het verschil tussen de mannen. Er kan ook worden gekeken wat voor verschil er is in OP tussen het AG en het CBS, als ze beiden worden berekend met dezelfde premie en de grenssterftekansen. Of het verschil in premie als het OP constant wordt verondersteld. Deze resultaten staan in tabel 5 en 6. Het verschil in OP tussen het CBS en AG is maximaal 6,3 %. Verder is het verschil bij mannen groter is dan bij vrouwen. 18

20 4.4 Kritische analyse Bij de prognoses wordt er vanuit gegaan dat de sterftekansen voor vrouwen altijd kleiner of gelijk zijn. En als dit niet uit het model komt, dan worden de sterftekansen van de vrouw gelijk gesteld aan die van de man. Nu is het zo dat de vrouw gemiddeld nog ouder wordt dan de man. Maar de prognoses gaan over een periode van 50 jaar, en hierin kan veel veranderen. Het lijkt mij daarom ook verstandig om te kijken of het nog wel verantwoord is om te zeggen dat vrouwen over 50 jaar nog steeds lagere sterftekansen hebben, en om dit niet zo maar aan te nemen in de prognose. Bij de modellering van onzekerheid wordt er voor de storingsterm getrokken uit een normale verdeling. De standaardafwijking is onder andere gebaseerd op de breedte van het betrouwbaarheidsinterval aan het einde van de prognoseperiode. Maar deze is nu nog helemaal niet bekend, en hier wordt dus een veronderstelling over gemaakt. Het zou naar mijn mening beter zijn om bij de modellering van onzekerheid te kijken naar de historische data. De prognose waarde van de afgelopen jaren zijn bekend, maar de echte sterftecijfers zijn ook bekend. Per jaar en per leeftijd zijn dus ook de afwijkingen van de prognose waarden ten opzichte van de echte sterftecijfers bekend. Het is misschien een idee om de sigma leeftijds- en geslachtsafhankelijk te maken en te berekenen aan de hand van de historische afwijkingen. Verder wordt de onzekerheid er nu pas achteraf bij gemodelleerd, het is misschien een goed idee om dit al in de prognose zelf te verwerken. Bij het AG zou dit bijvoorbeeld in de lang- en/of kortetermijntrend gedaan kunnen worden. 19

21 5. Conclusie Het Actuarieel Genootschap (AG) en het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) maken allebei prognoses voor de sterftekansen. Doordat ze allebei andere modellen gebruiken, wijken de geschatte sterftekansen van elkaar af. Om het verschil tussen de prognoses van het CBS en het AG in kaart te brengen is het model van het AG uitgebreid door er onzekerheid bij te modeleren. Omdat bij het CBS de onzekerheid achteraf wordt gemodelleerd is dit ook zo gedaan bij het AG. Aan de hand van de sterftecijfers uit de prognose zijn voor zowel het AG als het CBS de levensverwachtingen van een nuljarige voor elk prognosejaar berekend. Daarna zijn er met behulp van simulatie 1000 tijdspaden per levensverwachting per prognosejaar gecreëerd. Zo ontstaat er voor elk prognosejaar een onder- en een bovengrens voor de levensverwachting. Voor zowel de mannen als voor de vrouwen is de prognose voor de levensverwachting van het AG hoger. Dit geldt ook voor de 95%- betrouwbaarheidsintervallen. Met deze grenzen zijn de betrouwbaarheidsintervallen voor de sterftekansen gevonden. Deze grenzen van de sterftekansen zijn vervolgens toegepast op een eenvoudig pensioencontract. Bij het CBS is het procentuele verschil tussen premie(prognose) en premie(grens) en tussen OP en OP(grens) ten opzichte van het AG bij de mannen groter. Bij de vrouwen is het precies andersom en heeft het AG een grotere procentuele afwijking. Het is ook een mogelijkheid om de verschillen in OP tussen het AG en het CBS met elkaar te vergelijken, als deze beide worden berekend met de grenssterftekansen en dezelfde premie. Of andersom met een vast OP de verschillen in premie met elkaar vergelijken. Het verschil in OP tussen het CBS en AG is maximaal 6,3%. Verder is het verschil bij mannen groter dan bij vrouwen. Het AG schat de sterftekansen lager in dan het CBS wat leidt tot een hogere levensverwachting. Dit resulteert onder andere in een hogere premie voor het OP. Bij het gebruik van de AG-prognose is er dus minder snel kans op een onderschatting van de sterftekansen. Er is dus een kleinere kans dat er een tekort ontstaat bij een pensioenfonds. 20

22 6. Bibliografie Actuarieel Genootschap & Actuarieel Instituut. (2010). AG Prognosetafel Carolina, N. e. (2010). Onzekerheidsmarges voor de sterfteprogose van het CBS. Bevolkingstrends 58(2) Centraal Bureau voor de Statistiek (2011). Sterftecijfers ( HYPERLINK " &D3=a&D4= &HDR=T,G1&STB=G2,G3&VW=T" D3=a&D4= &HDR=T,G1&STB=G2,G3&VW=T ), mei DNB. (2006). Besluit Financieel Toetsingskader voor pensioenfondsen artikel 2 (FTK). DNB. (2007). Financieel Toetsingskader (FTK) voor pensioenfondsen. Duin, C. v. (2009). Bevolkingsprognose : model en veronderstellingen betreffende de sterfte. pp Duin, C. v. (2010). Bevolkingsprognose sterkere vergrijzing, langere levensduur. CBS. Duin, C. v. (2010). Bevolkingsprognose : model en veronderstellingen betreffende de sterfte. CBS. Esch, M. v. (2010). De laatste trends in sterfte. Tijdschrift voor Pensioenvraagstukken. Jong, A. d. (2005). Prognose van sterfte naar doodsoorzaken: model en veronderstellingen. Bevolkingstrends. 53(2). pp Keilman, N. (2008). European demographic forecasts have not become more accurate during the past 25 years, Population and Development Review 34 (1). pp Meijerslaan, P. E. (2010). Boekjes Pensioenbegrippen. Amstelveen: Towers Watson. Nijman, T. F. (2010). De validiteit van het door het Actuarieel Genootschap ontwikkelde prognosemodel voor overlevingskansen. Rapport van de commissie van deskundigen. 21

23 Bijlage 1. Levensverwachting 95%-onzekerheidsintervallen 22

24 23