Hoofdstuk 4 Kansrekening

Transcriptie

1 Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29

2 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen uitkomst is gebeurtenis = verschijnsel = event A : oneven aantal ogen gooien B : hoogstens 4 ogen gooien samengestelde gebeurtenissen E 1 : 1 oog gooien E 2 : 2 ogen gooien E 3 : 3 ogen gooien E 4 : 4 ogen gooien enkelvoudige gebeurtenissen E 5 : 5 ogen gooien E 6 : 6 ogen gooien Kansrekening p 2/29

3 Gebeurtenissen het resultaat van een experiment is dus steeds juist één enkelvoudige gebeurtenis een gebeurtenis is een verzameling van één of meer enkelvoudige gebeurtenissen de verzameling van alle enkelvoudige gebeurtenissen geassocieerd met een experiment wordt de resultatenruimte (sample space) genoemd (notatie : S) A E 2 S E 1 E 3 E 4 E 5 E 6 Kansrekening p 3/29

4 Bewerkingen op gebeurtenissen De som G 1 + G 2 van twee gebeurtenissen G 1 en G 2 is de gebeurtenis dat minstens één van beide gebeurtenissen optreedt Deze gebeurtenis komt overeen met de verzameling G 1 G 2 G 1 G 2 G 1 G 2 S G 1 of G 2 Het product G 1 G 2 van twee gebeurtenissen G 1 en G 2 is het verschijnsel dat beide gebeurtenissen optreden Deze gebeurtenis komt overeen met de verzameling G 1 G 2 G 1 G 2 G 1 G 2 S G 1 en G 2 Kansrekening p 4/29

5 Gebeurtenissen Twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit indien, bij het optreden van één van de gebeurtenissen, de andere niet kan optreden Twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten vormen samen de volstrekt onmogelijke gebeurtenis, genoteerd als Een gebeurtenis die overeenkomt met de resultatenruimte S treedt zeker op bij een volgend experiment en wordt het absoluut zeker verschijnsel genoemd en genoteerd als U De gebeurtenis die optreedt als en slechts als A niet optreedt wordt de complementaire gebeurtenis van A genoemd en genoteerd als A Ze komt overeen met de verzameling S \ A A A = A + A = U Kansrekening p 5/29

6 Voorwaardelijke gebeurtenissen De voorwaardelijke gebeurtenis A B beschrijft het optreden van het verschijnsel A op voorwaarde dat het verschijnsel B is opgetreden A : oneven aantal ogen gooien B : hoogstens 4 ogen gooien B A = (E 1 + E 3 ) (E 1 + E 3 + E 5 ) A B = (E 1 + E 3 ) (E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) Kansrekening p 6/29

7 Rekenen met gebeurtenissen A (B + C) = A B + A C A (B C) = (A B) (A C) Kansrekening p 7/29

8 Kans De kans (waarschijnlijkheid, probabiliteit) P(A) geassocieerd met een gebeurtenis A is een maat voor het geloof dat de gebeurtenis zal optreden bij een volgende herhaling van het experiment theoretisch : P(A) = aantal gunstige gevallen totaal aantal (even mogelijke) gevallen praktisch : n A P(A) = lim f A = lim n n n Kansrekening p 8/29

9 Axioma s 0 P(A) 1 P(U) =1 A A P( ) =0 B x x P(A + B)=P(A)+P(B) P(A B) Optellingswet B x P(A B)=P(A) P(B A) =P(B) P(A B) Vermenigvuldigingswet 0 P(E i ) 1 E i P( i E i )=1 Kansrekening p 9/29

10 Afgeleide formules A A = en A + A = U P(A A) =0 en P(A + A) =1 1=P(A + A) =P(A)+P(A) P(A A) =P(A)+P(A) P(A) =1 P(A) P(B) =P(U B) = P((A + A) B) = P(A B + A B) = P(A B)+P(A B) P(A A B) = P(A B)+P(A B) P(A B) =P(B) P(A B) Kansrekening p 10/29

11 Afgeleide formules P(A + B + C) = P(A +(B + C)) = P(A)+P(B + C) P(A (B + C)) = P(A)+P(B)+P(C) P(B C) P(A B + A C) = P(A)+P(B)+P(C) P(B C) P(A B) P(A C) + P((A B) (A C)) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) P(A B C) =P(A) P((B C) A) =P(A) P(B A) P(C (A B)) Kansrekening p 11/29

12 Afgeleide formules A A A + B : B x x B x P(A + B) =1 P(A B) P(A B) =1 P(A + B) A + B = A B A B = A + B Kansrekening p 12/29

13 Onafhankelijke verschijnselen Twee verschijnselen A en B zijn onafhankelijk als P(B A) =P(B) of, equivalent daarmee, als P(A B) =P(A) De vermenigvuldigingswet P(A B) =P(A) P(B A) =P(B) P(A B) wordt dan vereenvoudigd tot P(A B) =P(A) P(B) Kansrekening p 13/29

14 Onafhankelijke verschijnselen A : oneven aantal ogen gooien B : hoogstens 4 ogen gooien A en B zijn onafhankelijk, want P (A) = P (E 1 + E 3 + E 5 )= 3 6 = 1 2 P (A B) = P ((E 1 + E 3 ) (E 1 + E 2 + E 3 + E 4 )) = 2 4 = 1 2 P (B) = P (E 1 + E 2 + E 3 + E 4 )= 4 6 = 2 3 P (B A) = P ((E 1 + E 3 ) (E 1 + E 3 + E 5 )) = 2 3 Kansrekening p 14/29

15 Afgeleide formules Vereenvoudiging van optellings- en vermenigvuldigingswet als A en B elkaar uitsluiten : P(A + B) =P(A)+P(B) als A en B onafhankelijk zijn : P(A B) =P(A) P(B) Kansrekening p 15/29

16 De regel van Bayes Gegeven : S k toestanden S 1, S 2,, S k S i S j = als i j S 1 + S S k = U P(S 1 ),P(S 2 ),,P(S k ) S 1 S 2 S 3 S 4 S 1 A P (A S i ) voor i =1, 2, k Gevraagd : P (S i A) = P(A S i) = P(S i) P(A S i ) P(A) P(A) A = A U = A (S 1 +S 2 + +S k )=A S 1 +A S 2 + +A S k P(A) = P(A S 1 )+P(A S 2 )+ + P(A S k ) = P(S 1 ) P(A S 1 )+P(S 2 ) P(A S 2 )+ + P(S k ) P(A S k ) A Kansrekening p 16/29

17 De regel van Bayes Gegeven : S k toestanden S 1, S 2,, S k S i S j = als i j S 1 + S S k = U P(S 1 ),P(S 2 ),,P(S k ) P (A S i ) voor i =1, 2, k Gevraagd : P (S i A) Oplossing : S 1 S 2 S 3 S 4 S 1 A A P (S i A) = = P(S i ) P(A S i ) P(S 1 ) P(A S 1 )+P(S 2 ) P(A S 2 )+ + P(S k ) P(A S k ) P(S i ) P(A S i ) k P(S j ) P(A S j ) j=1 Kansrekening p 17/29

18 Nuttige telregels algemeen principe variaties permutaties combinaties Kansrekening p 18/29

19 Algemeen principe Stel dat een eerste experiment n 1 uitkomsten heeft, een tweede n 2,,enuiteindelijk een k-de experiment n k uitkomsten, dan geven de k experimenten in die volgorde aanleiding tot n 1 n 2 n k verschillende uitkomsten Kansrekening p 19/29

20 Variaties Een variatie van n elementen in groepen van k is een geordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n elementen V k n is het aantal variaties van n elementen in groepen van k Kansrekening p 20/29

21 Voorbeeld variaties van n =5elementen A, B, C, D, E in groepen van k k =1: V 1 5 =5 V 1 n = n k =2: V 2 5 =5 4 V 2 n = n (n 1) k =3: V 3 5 =5 4 3 V 3 n = n (n 1) (n 2) k : V k n = n (n 1) (n 2) (n k +1) ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED DAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC Kansrekening p 21/29

22 Variaties Vn k (n k)(n k 1) 21 = n (n 1) (n 2) (n k +1) (n k)(n k 1) 21 n! = (n k)! Opgelet : 0! = 1 Kansrekening p 22/29

23 Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop je de medailles kunt verdelen bij een wedstrijd met 8 atleten Dit is een variatie-probleem, want herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de uitslag bezetten) de volgorde (goud, zilver, brons) is belangrijk V k n = V 3 8 = 8! (8 3)! =8 7 6 = 336 Kansrekening p 23/29

24 Permutaties Permutaties zijn bijzondere gevallen van variaties Een permutatie van n elementen is een variatie van n elementen in groepen van n P n is het aantal permutaties van n elementen P n = Vn n = n! (n n)! = n! Kansrekening p 24/29

25 Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop de uitslag van een wedstrijd met 8 atleten kan eindigen Dit is een permutatie-probleem, want herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de uitslag bezetten) de volgorde is belangrijk P n = P 8 =8!= = Kansrekening p 25/29

26 Combinaties Een combinatie van n elementen in groepen van k is een ongeordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n elementen C k n is het aantal combinaties van n elementen in groepen van k Kansrekening p 26/29

27 Combinaties De bepaling van Cn k gebeurt in twee stappen : doe alsof de volgorde wel een rol speelt en tel hou daarna wel rekening met de volgorde Kansrekening p 27/29

28 Voorbeeld combinaties van n =5elementen A, B, C, D, E in groepen van 3 stap 1 : stap 2 : C 3 5 = aantal = V 3 5 /P 3 =5 4 3/3! =60/6 =10 ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED BAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA Kansrekening CEB p 28/29 CED

29 Voorbeeld Bepaal het aantal manieren waarop de lotto kan ingevuld worden Dit is een combinatie-probleem, want herhaling is onmogelijk (elk getal kan slechts 1 keer aangekruist worden) de volgorde (waarin de getallen aangekruist worden) is onbelangrijk C k n = C 6 42 = 42! 36! 6! = = Kansrekening p 29/29