Zomercursus Wiskunde. Module 15 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 29 april 2011)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Zomercursus Wiskunde. Module 15 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 29 april 2011)"

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2010 Module 15 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 29 april 2011)

2

3 Inhoudsopgave 1 De symbolische logica Wiskundige beweringen Logische connectieven Implicaties Equivalenties Voorrangsregels Tautologieën en contradicties De taal van verzamelingen Basisbegrippen, symbolen en terminologie Bewerkingen met verzamelingen Logica met kwantoren Definitie Negatie van kwantoren Combinaties van kwantoren Bewijstechnieken Neerschrijven van wiskundige teksten Directe bewijzen Bewijzen van beweringen met kwantoren Een bewijs uit het ongerijmde Bewijs van negatieve bewering Bewijs van implicaties uit het ongerijmde Bewijs door contrapositie Het principe van volledige inductie Het functiebegrip Notaties en terminologie Grafische voorstellingen van functies Venndiagrammen Grafiek van een functie f : A R R

4 5.3 Operaties op functies Samenstellen van functies Bewerkingen met functies f : A R Inverteren van functies Inleidend probleem Definities Oplossingen van enkele oefeningen 68

5 15-1 Inleiding Omdat de behandelde topics niet of nauwelijks meer aan bod komen in het secundair onderwijs is deze module opgevat als een naslagwerk en bevat dus veel meer informatie dan in de zomercursus aan bod zal komen. De nieuwe begrippen worden dan ook uitgebreid ingevoerd met veel voorbeelden en oefeningen zodat deze module gemakkelijk kan dienen voor zelfstudie. De module wordt in Zomercursus B gespreid over drie lessen. Les 1: De formele logica, verzamelingenleer, functies(enkel de pijlennotatie) en gebruik van kwantoren. Les 2 en 3: Bewijzen van uitspraken met kwantoren, bewijstechnieken met de nadruk op bewijs uit het ongerijmde en bewijs door contrapositie. Voor eigenschappen van natuurlijke getallen: het bewijs door volledige inductie. In de tekst zijn veel oefeningen opgenomen, van de meeste oefeningen vind je de oplossing achteraan, zijn er nog onduidelijkheden dan kan je contact opnemen met Kaat.zeeuwts@wet.kuleuven.be Om wiskundige definities en redeneringen te kunnen opschrijven hebben we een taal nodig, een communicatiemiddel waarin we onze ideeën exact kunnen formuleren. De meest voor de hand liggende keuze is onze moedertaal (of een andere levende taal), deze voldoet perfect zolang ze maar goed begrepen wordt door onze toehoorders. Maar verder moeten we ook gebruik maken van symbolen en notaties die universeel gekend zijn in de wetenschappelijke wereld. Daartoe voeren we de symbolische logica en de verzamelingenleer in. In de logica maken we duidelijke afspraken over de betekenis van de zo belangrijke logische connectieven en, of, niet, als... dan... We overlopen hoe we de waarheidswaarden van uitspraken kunnen natrekken en formaliseren. We bekijken ook de redeneervormen die gebruik maken van universele stellingen uit de logica, zoals bijvoorbeeld de negatiewetten of de wet van contrapositie. Om uitspraken te kunnen doen over objecten die behoren tot een geheel moeten we het begrip verzameling invoeren en ook de symbolen vastleggen die in de context van verzamelingen onontbeerlijk zijn. Uitspraken als deze eigenschap geldt voor alle elementen uit de verzameling of deze eigenschap geldt voor minstens één element uit de verzameling kunnen we steeds ondubbelzinnig noteren met behulp van kwantoren. Hierdoor krijgen we een krachtige formele wiskundige taal waar de exactheid en éénduidigheid van de gevormde uitspraken de grootste troef is. Helaas is er een nadeel aan die formele taal: indien we wiskundige uitspraken en bijbehorende redeneringen consequent volledig in symbolen zouden neerschrijven, d.w.z. zonder gewone woorden te gebruiken, vervallen we in een puur formalisme met nog moeilijk ontcijferbare teksten tot gevolg. Dit kan natuurlijk niet de bedoeling zijn: ook een wiskundige tekst is bij voorkeur vlot leesbaar. Daarom pleiten we voor een gezond evenwicht in gebruik tussen enerzijds de gewone taal en anderzijds de formele en universele taal van de symbolische logica. We zullen in de wiskunde eigenlijk zelden op zo n extreem formele wijze communiceren, maar eerder kiezen voor een zinvol, complementair gebruik van

6 15-2 gewone taal en formules, op zodanige wijze dat beide elkaar goed ondersteunen. We gebruiken de formele taal als aanvulling en hulpmiddel omdat ze nu eenmaal onze ideeën exacter en compacter kan weergeven. Maar onze teksten moeten in eerst instantie goed leesbaar zijn en bestaan uit goed gevormde en grammaticaal correcte zinnen en moeten de voorleestest moeiteloos doorstaan. Kortom wiskundige teksten mogen nooit verworden tot een wirwar van pijltjes en kwantoren! Anderzijds mag het belang en de kracht van formeel wiskundig taalgebruik niet onderschat worden, het neemt een centrale plaats in in wiskundige logica en is zeer zinvol als kernachtige herformulering van definities, eigenschappen, stellingen en eventueel korte bewijzen. In het laatste hoofdstuk voeren we op een pragmatische manier het functiebegrip in, als een grootheid die afhangt van een andere grootheid. Wat de notaties betreft introduceren we de enige wiskundig verantwoorde notatie m.n. de pijlennotatie waarin het definitiegebied en de doelverzameling intrinsiek deel uitmaken van de notatie, terwijl het functievoorschrift dat nota bene bij de meeste functies niet eens bestaat (denk bijvoorbeeld aan een functie die de tijdsafhankelijkheid van de temperatuur weergeeft) een eerder ondergeschikte rol speelt. 1 De symbolische logica Wanneer wij een redenering willen meedelen in de wiskunde, dan gebruiken wij daarvoor een taal, in ons geval het Nederlands. Soms echter is het moeilijk de juiste bewoordingen te vinden om deze redenering exact uit te drukken. Bovendien heeft ieder een eigen taalgevoel, wat tot gevolg kan hebben dat degene die een zin uitzendt en degene die de zin ontvangt, deze zin soms op verschillende wijze interpreteren. Doe je bijvoorbeeld aan een kleuter de belofte Als je braaf bent, krijg je een zuurtje of een reep chocolade, wat mag die kleuter dan verwachten? Kan hij mits hij braaf is, ook een zuurtje én een reep chocolade krijgen? En wat gebeurt er als hij niet braaf is? Krijgt hij dan niets, of werd er in de belofte niets over gezegd? Om deze mogelijkheid tot verwarring te vermijden onttrekt men de redeneervormen soms aan de gewone taal. Men gaat ze symboliseren. Dit gebeurt in een nieuwe wetenschap: de symbolische of formele logica. We beperken ons hier tot een kleine selectie van notaties uit de logica die soms gebruikt worden voor het formuleren van wiskundige definities, eigenschappen, stellingen en redeneringen. 1.1 Wiskundige beweringen In de logica werken we met zogenaamde proposities. Het begrip propositie is een grondbegrip en wordt dus niet gedefinieerd. Het wordt iets duidelijker als we zeggen dat het taalkundig wordt weergegeven door een zinvolle mededelende volzin. Let op, zinnen met eenzelfde betekenis, al dan niet in een andere taal, bepalen dezelfde propositie.

7 15-3 Voorbeelden 1.1 De aarde is een planeet : een ware propositie = 3 : een onware propositie De vakantie is voorbij : een ware of onware propositie naargelang het tijdstip waarop de uitspraak gedaan wordt. Van een propositie wordt geëist dat ze waar is of onwaar. 1 We spreken hier van tweewaardige logica. Er bestaan ook meerwaardige logica s. Volgende volzinnen zijn dus geen proposities. Tegenvoorbeelden 1.2 Lag ik nu maar in de zon. Bestaan er buitenaardse wezens? Laten we gaan zitten. n is een priemgetal. De eerste drie zijn geen constaterende volzinnen; we kunnen ook niet nagaan of ze waar zijn of niet. Zij stellen dus geen proposities voor. De laatste zin is ook geen propositie omdat we de waarheidswaarde enkel kunnen nagaan als we aan n een waarde toekennen. Zo een zin heet een predikaat. De symbolen in het predikaat die een waarde moeten krijgen om tot een propositie te komen heten vrije variabelen. Het geheel van proposities en predikaten noemen we beweringen of uitspraken. Wij gebruiken letters als p en q om proposities aan te geven en schrijven bijvoorbeeld p(m, n) om een predikaat aan te geven met m en n als vrije variabelen. 1.2 Logische connectieven In de wiskunde moeten we vaak bepalen of een gegeven propositie waar is of niet. Beweringen kunnen soms ingewikkeld zijn en opgebouwd zijn uit een aantal componenten die verbonden worden door logische connectieven. Het waar of onwaar zijn van een samengestelde bewering hangt af van het waar of onwaar zijn van haar componenten. Voorbeeld 1.3 Denken we terug aan de brave kleuter die een zuurtje krijgt of een reep chocolade. In de omgangstaal wordt hier vaak bedoeld dat de kleuter moet kiezen; hij krijgt het ene ofwel het andere, niet beide samen. In de logica is dit echter niet zo: met het connectief of, bedoelen we ofwel het ene, ofwel het andere, ofwel beide. Het symbool voor of is 1 In plaats van te zeggen dat een bewering waar resp. onwaar is, zegt men ook wel dat een bewering waar resp. niet waar is, waar resp. vals is, voldaan resp. niet voldaan is, of dat een bewering geldt resp. niet geldt.

8 15-4 en is afkomstig van het Latijnse woord vel met deze betekenis. 2 We vinden dit terug in volgende definitie. Definitie 1.4 (De disjunctie of ) Als p en q beweringen zijn, dan noteren we de bewering p of q met p q. De betekenis van p q kan het best verduidelijkt worden door middel van een waarheidstabel. Een bewering is ofwel waar ofwel niet waar (onwaar). De waarheid van p q hangt af van de waarheidswaarden van p en q zoals gegeven door de volgende tabel. Hierbij duidt w aan dat de bewering waar is en o dat de bewering onwaar is. p q p q w w w w o w o w w o o o Links in de tabel staan de vier mogelijke waarheidscombinaties van de beweringen p en q. Rechts in de tabel staat de daaruit volgende waarheidswaarde van p q. De derde regel van de tabel drukt dan bijvoorbeeld uit dat indien p niet waar en q wel waar is, dat dan p q waar is. Voorbeeld 1.5 Als we de kleuter een zuurtje en een reep chocolade beloven, zal er groot protest ontstaan indien we hem niet beide lekkernijen geven. Hier komt de logica van de kleuter wel overeen met de wiskundige logica. Definitie 1.6 (De conjunctie en ) We gebruiken en als we willen uitdrukken dat twee beweringen allebei waar zijn. Als p en q beweringen zijn, dan is p en q de bewering die waar is als p en q allebei waar zijn en anders niet waar is. We schrijven p q. De waarheidstabel voor p q is de volgende. p q p q w w w w o o o w o o o o 2 In het Latijn bestaat ook nog het woord aut, dat ofwel betekent maar dan in de exclusieve betekenis: ofwel het ene ofwel het andere, maar niet beide.

9 15-5 Definitie 1.7 (De negatie niet ) Als p een bewering is dan is niet p de tegengestelde bewering, die waar is als p het niet is, en omgekeerd. We noteren dit met p. Dit heet ook wel de negatie van p. De waarheidstabel voor p is de volgende. p p w o o w Oefeningen Welke van de volgende proposities zijn waar, welke zijn onwaar? (a) 5 > = 2 (b) 5 < = 2 (c) 5 < = 2 (d) 5 > = 2 (e) 3 < 2 4 < 1 (f) 3 3 (g) Stel de waarheidstabellen op voor de volgende beweringen. (a) (p q) (b) ( p) ( q) (c) p ( q) (d) p ( p) (e) p ( p) Dit doe je bijvoorbeeld voor oefening (a) door volgende tabel aan te vullen: p q p q (p q) w w w o o w o o

10 Implicaties De wiskunde en ook het dagelijkse taalgebruik lopen over van beweringen van het type Als..., dan.... We stellen vast dat de kloof tussen wat we ermee bedoelen in de omgangstaal en in de wiskunde, hier het grootst is, we nemen die beweringen dan ook zeer uitgebreid onder de loupe. Voorbeelden 1.8 (1) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende bewering: Als n een viervoud is, dan is n even. (2) Veronderstel dat n een natuurlijk getal is. Beschouw volgende bewering: Als n een drievoud is, dan is n even. (3) Beschouw volgende bewering: Als een mus een reptiel is, dan is = 3. (4) Beschouw volgende bewering: Als een mus een reptiel is, dan is = 2. (5) Een bezorgde vader zegt tegen zijn studerende zoon: Als jij kan slagen zonder te studeren, dan ben ik Napoleon. (6) Zelfde context als hierboven maar nu met een andere strategie: Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer. Dergelijke beweringen kunnen waar zijn of onwaar. Maar ze hebben hoe dan ook alle zes dezelfde structuur: Als p, dan q, waarbij p en q staan voor beweringen (die op hun beurt waar of onwaar kunnen zijn). In de logica gebruikt men volgende notatie voor dergelijke beweringen: p q en men leest dit als p impliceert q of gewoonweg als als p, dan q of nog als q volgt uit p. Oefening 1.2 Doe een gok naar de waarheidswaarde van elk van de bovenstaande beweringen. Vooreerst moeten we opmerken dat de Beweringen (3) en (4) ons nogal vreemd doen opkijken. Wat heeft die valse bewering over een mus te maken met de daaropvolgende som? Misschien verwachtte je het niet, maar volgens de logica zijn beide implicaties waar. In het dagelijks leven suggereert de uitspraak p impliceert q dat er een causaal verband bestaat tussen p en q. Dat wil zeggen dat het waar zijn van q een gevolg is van het waar

11 15-7 zijn van p. In de wiskundige betekenis van implicatie wordt geen causaal verband gesuggereerd. In de logica is een implicatie p q altijd waar als p niet waar is, onafhankelijk van het al dan niet waar zijn van q. Dit laatste is misschien moeilijker te begrijpen maar werd door de Romeinen al vertaald in de spreuk Ex falso sequitur quod libet (Uit een foute bewering kun je alles concluderen.) Of vrij vertaald: Als je de valse bewering p gelooft, moet je alles geloven. Om die waarheidswaarden nog aannemelijker te maken zoemen we even in op de belofte in Bewering (6) die er in deze notatie als volgt uitziet: (je bent er door in juni) (je krijgt een brommer) Bekijk alle mogelijke scenario s voor Bewering (6). Elke studerende zoon (of dochter) voelt feilloos aan in welke scenario s zijn (haar) vader zijn belofte Als..., dan... houdt (de belofte is dus waar) en in welke scenario s hij ze niet houdt (de belofte is dus onwaar). Enkel in het tweede scenario zal de student reden hebben om boos te zijn omwille van een gebroken belofte. p is onwaar, je bent er niet door in juni p is onwaar, je bent er niet door in juni scenario p is waar, q is waar, je bent er door in juni je krijgt een brommer p is waar, q is onwaar, je bent er door in juni je krijgt geen brommer q is waar, je krijgt een brommer q is onwaar, je krijgt geen brommer belofte is waar onwaar waar waar We kunnen dus besluiten met volgende definitie. Definitie 1.9 (De implicatie ) Een implicatie is de bewering dat als een bepaalde bewering waar is dat dan ook een andere bewering waar is. We duiden dit aan met het symbool p q (ook andere notaties worden wel gebruikt, zoals p q) en we zeggen: p impliceert q of q volgt uit p, of als p, dan q. p wordt wel eens het antecedens of de hypothese en q het consequens of de conclusie genoemd. De waarheidstabel voor p q is de volgende.

12 15-8 p q p q w w w w o o o w w o o w Dus de enige manier waarop p q niet waar is, is als p waar is en q niet. De negatie van de implicatie p q komt dus neer op zeggen dat p voldaan is en dat toch q niet voldaan is. De ontkenning van Bewering (6) is dus: Je bent er door in juni en toch krijg je geen brommer. Hier komen we later op terug. Overlopen we de waarheidswaarden van de overige beweringen. Vermits een implicatie p q altijd waar is als p onwaar is, is Bewering (5) een ware bewering, zelfs als die niet door Napoleon uitgesproken wordt. Inderdaad, het is een feit dat de eerste nog moet geboren worden die slaagt zonder te studeren, m.a.w. bij (5) is p niet waar. Bewering (1) is wat de waarde van n ook moge zijn, altijd een ware bewering. Inderdaad, als p waar is, d.w.z. als n een veelvoud van 4 is, dan kan men gemakkelijk argumenteren dat n deelbaar moet zijn door 2 en dus even moet zijn; m.a.w. als p waar is, zal q waar zijn. Indien p niet waar is, d.w.z. indien n geen veelvoud is van 4; dan is de implicatie p q sowieso waar. De waarheidwaarde van (2) hangt af van de keuze van n. Als je bijvoorbeeld n = 5 had gekozen wordt Bewering (2): als 5 een drievoud is, dan is 5 even. Dit is een ware bewering om de eenvoudige reden dat 5 geen drievoud is, waardoor de p in deze bewering vals is, en dus de implicatie p q waar is, zelfs als in dit geval (met n = 5) q manifest vals is. 3 Voor andere keuzes van n kan (2) evenwel een valse bewering zijn. Neem bijvoorbeeld n = 9, dan is n een drievoud (dus p is waar), maar n is natuurlijk niet even (dus q is hier vals). Beweringen (3) en (4) zijn waar omdat de bewering p vals is. Definitie 1.10 In de context van implicaties hanteert men ook vaak de terminologie nodige voorwaarde en voldoende voorwaarde. Veronderstel dat de implicatie p q 3 Bewering (2) voor n = 5 is vanuit logisch standpunt eigenlijk helemaal analoog aan bewering (5) als die gezegd wordt door iemand die niet Napoleon is. In beide gevallen zijn immers zowel p en q vals.

13 15-9 geldt. Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: q is een nodige voorwaarde voor p, of, anders gezegd, opdat p zou gelden, is het nodig dat q geldt. Immers, als q vals is, kan p onmogelijk waar zijn. Men kan hetzelfde nog anders zeggen: p is een voldoende voorwaarde voor q, of nog opdat q zou gelden, is het voldoende dat p geldt. Beschouw bijvoorbeeld de (ware) implicatie (1) van hierboven: als n een viervoud is, is n even. Alternatieve manieren om precies hetzelfde te zeggen zijn: of opdat n een viervoud zou zijn, is het nodig dat n even is, opdat n even zou zijn, is het voldoende dat n een viervoud is. In dit voorbeeld is meteen duidelijk dat een nodige voorwaarde niet voldoende hoeft te zijn en omgekeerd. Opmerking 1.11 (Veel gemaakte redeneerfout) Veronderstel dat men een bewering heeft van de vorm p q waarvan men weet dat ze waar is (bijvoorbeeld Bewering (1): (n een viervoud) (n even)). Soms trekt men dan verkeerdelijk de conclusie dat als p niet waar is, dan ook q niet waar zal zijn. In de context van Bewering (1) zou dat betekenen dat men zou besluiten dat als een getal n geen viervoud is, het niet even is. Dit is uiteraard fout, zo is 6 geen viervoud, maar wel even! Als je weet dat de bewering p q een ware bewering is, en je weet dat p niet geldt, dan kan je niets besluiten over de geldigheid van q! Dit is eigenlijk een evidentie. Toch leert de ervaring dat daar in de praktijk al te vaak tegen gezondigd wordt. Wellicht komt dat doordat men in het dagelijks taalgebruik dikwijls slordig omspringt met het gebruik van als..., dan... en daarbij soms meer bedoelt dan men strikt genomen zegt. Beschouw bijvoorbeeld Bewering (6) hierboven die de vader tegen zijn zoon zegt. Wat de vader behalve Bewering (6) wellicht ook bedoelde, zonder het evenwel expliciet te zeggen, is: als je er niet door bent in juni, kan je naar die brommer fluiten, of wat op hetzelfde neerkomt, als je die brommer wil krijgen, dan moet je er door zijn in juni. Als we met p de bewering je bent er door in juni aanduiden en met q de bewering je krijgt een brommer, dan zegt de vader in (6) p q maar daar bovenop bedoelt hij stilzwijgend eigenlijk ook q p. In de wetenschap en in de wiskunde in het bijzonder kunnen we ons natuurlijk dergelijk slordig en dubbelzinnig taalgebruik niet veroorloven.

14 15-10 Heel veel wiskundige resultaten (proposities, stellingen,...) zijn geformuleerd in de vorm: Als bepaalde voorwaarden voldaan zijn, dan geldt volgende conclusie. En in tegenstelling met het soms onzorgvuldig dagdagelijks taalgebruik, wordt daar dan niets meer mee bedoeld dan wat er letterlijk staat. M.a.w. als de voorwaarden van de stelling niet vervuld zijn, dan wordt niets beweerd over de geldigheid van de conclusie. Oefening Beschouw de bewering: Als het vandaag dinsdag is, dan is het morgen zondag. Bepaal de waarheidswaarde van deze implicatie, (a) als ze uitgesproken wordt op dinsdag, (b) als ze uitgesproken wordt op woensdag, (c) als ze uitgesproken wordt op zaterdag. Wat denk je van de bewering: Als het vandaag zaterdag is, dan is het morgen zondag, naargelang de dag dat dit wordt uitgesproken. 1.4 Equivalenties We keren nog even terug naar het vader-zoon-tafereeltje van (6) uit vorige paragraaf. Als we ondubbelzinnig willen formuleren wat de vader in (6) wellicht echt bedoelde, komen we tot de uitspraak: Je krijgt een brommer als en slechts als je er door bent in juni. (1) en dit is eigenlijk de combinatie van twee implicaties: Als je er door bent in juni, dan krijg je een brommer én Als je een brommer krijgt, dan ben je er door in juni. Met de notatie p en q zoals in de vorige paragraaf, kunnen we de uitspraak (1) weergeven als q als en slechts als p, (2) wat dus de combinatie is van twee implicaties: p q én q p. We noteren uitspraak (2) kortweg door q p.

15 15-11 Definitie 1.12 (De equivalentie ) De implicatie q p is de omkering van de implicatie p q. Als beide implicaties gelden dan schrijven we p q en we zeggen dat p en q equivalent zijn. Dus p q betekent (p q) (q p). De waarheidstabel voor p q is de volgende. p q p q q p p q w w w w w w o o w o o w w o o o o w w w In wiskundige bewijzen wordt p q vaak uitgesproken als p als en slechts als q, of in het kort p asa q. Als p q dan noemen we p ook wel een nodige en voldoende voorwaarde voor q en omgekeerd q een nodige en voldoende voorwaarde voor p. Uit de waarheidstabel zien we dat p q waar is als p en q allebei waar zijn of allebei niet waar zijn. Als een van de twee waar is en de andere niet dan is p q niet waar. 1.5 Voorrangsregels In ingewikkelde beweringen kunnen een aantal connectieven gecombineerd worden. Hiervoor gelden de volgende voorrangsregels ( ) / / waarbij de haakjes ( ) de eerste voorrang hebben en de implicatie (of de gelijkwaardige connectieven en ) de laatste. Als er verwarring dreigt over de volgorde dan is het altijd aan te raden om haakjes te zetten. Met bedoelen we dus p q r ( p) (q r) en het kan hier ook geen kwaad om de haakjes te zetten. Als we iets anders zouden bedoelen dan moeten we zeker haakjes zetten.

16 Tautologieën en contradicties Voorbeeld 1.13 Stel dat p de propositie het is mooi weer voorstelt, dan betekent ( p) het is niet zo dat het geen mooi weer is. Wat, als we goed nadenken, precies op hetzelfde neerkomt als de eerste uitspraak. Als je tweemaal ontkent, heb je niets gedaan. M.a.w. geldt p ( p). Stel de waarheidstabel op van deze logische formule. Wat stel je vast? Voorbeeld 1.14 We pikken het voorbeeld van de belofte in Bewering (6) uit Voorbeelden 1.8 terug op. (je bent er door in juni) (je krijgt een brommer). We hebben reeds opgemerkt dat de negatie van de implicatie p q gelijk staat met zeggen dat p voldaan is en dat toch q niet voldaan is. De ontkenning van Bewering (6) is dus: Je bent er door in juni en toch krijg je geen brommer. In logische formules vertaald, wordt dit: (p q) (p q). Deze equivalentie heeft de waarheidswaarde waar, ongeacht de waarheidswaarden van de verschillende proposities die er in voorkomen. Zo n formule noemt men een tautologie. Oefening 1.4 Ga laatste bewering na, stel de waarheidstabel op voor (p q) (p q). Dit doe je door volgende tabel aan te vullen. p q q p q (p q) p q (p q) (p q) w w w o o w o o Voorbeeld 1.15 Beschouw weer de (ware) implicatie (1) van hierboven: als n een viervoud is, is n even. Anders gezegd: opdat n een viervoud zou zijn, is het nodig dat n even is, Het is overduidelijk dat, als de nodige voorwaarde niet voldaan is, dus n niet even is, zeker niet kan gelden dat n een viervoud is. In logische formules vertaald met p de bewering (n is een viervoud) en q de bewering (n is even) voelen we aan dat p q impliceert dat q p.

17 15-13 Maar je kan evengoed nagaan dat het omgekeerde ook geldt. Stel dat q p d.w.z. als voor een getal het feit dat het niet even zijn, impliceert dat het geen viervoud kan zijn, is het even zijn een nodige voorwaarde om een viervoud te zijn of er geldt p q. q p impliceert dat p q. Met andere woorden lijkt (p q) ( q p) een tautologie te zijn. Dit is algemeen zo. Ga dit na met behulp van een waarheidstabel. Deze zeer belangrijke tautologie heet de wet van contrapositie. Voorbeeld 1.16 Door de definitie van de negatie is het makkelijk in te zien dat voor elke propositie p geldt dat als p waar is automatisch p niet waar is en omgekeerd dat als p onwaar is p wel waar is, m.a.w. de conjunctie p p heeft als waarheidswaarde altijd onwaar, onafhankelijk of p waar is of niet. Zo n bewering noemt men een contradictie of tegenspraak. Uiteraard is de negatie van een contradictie een tautologie. Ga na dat de negatie van de contradicitie (p p) equivalent is met de tautologie (p p). Deze tautologie noemt men de wet van de uitgesloten derde. Definitie 1.17 Een bewering samengesteld uit verschillende proposities is een tautologie of logische stelling als haar waarheidswaarde altijd waar is onafhankelijk van de waarheidswaarde van de verschillende proposities waaruit ze bestaat. Een contradictie of tegenspraak is een samengestelde bewering die altijd onwaar is, voor alle mogelijke waarden van de voorkomende proposities. Contradicties zullen een belangrijke rol spelen bij de bewijstechniek bewijzen uit het ongerijmde. We komen hier later op terug. De logica telt vele tautologieën, vooral de equivalenties zijn handig omdat ze ons toelaten beweringen te vervangen door equivalente beweringen die soms beter te begrijpen zijn. Wij beperken ons hier tot de belangrijkste. Stelling 1.18 (Tautologiën of logische stellingen)

18 15-14 ( p) p dubbele negatie (p q) ( p) ( q) negatiewet van De Morgan voor (p q) ( p) ( q) negatiewet van De Morgan voor (p q) (p q) negatie van (p q) ( q p) contrapositie (p q) (q r) (p r) transitiviteit van p (q r) (p q) (p r) distributiviteit van t.o.v. p (q r) (p q) (p r) distributiviteit van t.o.v. q ( q (p p)) redenering uit het ongerijmde p p de wet van de uitgesloten derde Verder zijn, en associatief en commutatief. Oefeningen Controleer met waarheidstabellen dat al deze wetten tautologiën zijn. 2. Beschouw de uitspraak: als het mooi weer is ga ik fietsen. Definieer de nodige proposities en vertaal deze zin in een logische formule. Ontken de formule en vertaal de uitspraak terug in een betekenisvolle zin. Als ik mijn belofte houd en je komt mij fietsend tegen, kan je dan iets zeggen over het weer? Wanneer kan je zeker besluiten dat het slecht (= niet mooi) weer is? Wat moet ik doen als het slecht weer is? 3. Beschouw de uitspraak: als je braaf bent, krijg je een zuurtje of een reep chocolade. Definieer de nodige proposities en vertaal deze zin in een logische formule. Pas contrapositie toe en herformuleer de nieuwe formule in een betekenisvolle zin. Ontken de uitspraak en herformuleer in een betekenisvolle zin. 4. Beschouw de uitspraak: als je goed werkt of steekpenningen geeft ben je erdoor in juli. 4 Pas contrapositie toe en herformuleer de nieuwe formule in een betekenisvolle zin. 5. Beschouw de uitspraak: je slaagt mits je hard studeert of je bent lui. Definiëren we volgende proposities: l : je bent lui, s : je slaagt en h : je studeert hard. Herschrijf de uitspraak als een logische formule. Ontken de uitspraak en voer de negatie zover mogelijk door, gebruik hiervoor de negatiewetten. Herformuleer de bekomen formule in het een betekenisvolle zin. 4 De K.U.Leuven ontkent formeel dat deze uitspraak hier waar zou zijn.

19 Beschouw de uitspraak: als ik praat, dan word ik gestraft. Definiëren we volgende proposities: p : ik praat en s : ik word gestraft. Herschrijf de uitspraak als een logische formule. Welke van de volgende uitspraken zijn hiermee gelijkwaardig? Toon dit aan door de uitspraken om te zetten in logische formules en logische wetten te gebruiken. (a) Als ik gestraft word, dan heb ik gepraat. (b) Als ik niet gestraft word, dan heb ik niet gepraat. (c) Als ik niet praat, dan word ik niet gestraft. (d) Ik praat niet of ik word gestraft. 7. Beschouw de uitspraak: ben je jong of klein, dan kan je gratis naar het pretpark. Welk van volgende uitspraken is hiermee equivalent. (a) Als je moet betalen voor het pretpark, dan ben je noch jong noch klein. (b) Als je moet betalen voor het pretpark, dan ben je geen jonge kleine. 8. Beschouw de uitspraak: van sporten word je gezond en leef je lang. Vertaal deze uitspraak in een logische formule en toon d.m.v. tautologieën aan dat hij equivalent is met van sporten word je gezond en van sporten leef je lang. 9. Bewijs de wet van gevalsonderscheid: ((p q) r) (p r) (q r). Illustreer met een uitspraak. 10. Zijn volgende redeneringen juist? (a) Als ik hard werk, gaat mijn inkomen omhoog. Mijn inkomen gaat omhoog, dus ik werk hard. (b) Sporten is gezond. Indien sporten gezond is, zijn ijsberen groen. Dus ijsberen zijn groen. (c) Als ik met de fiets naar de les ga, ben ik moe als ik aankom. Ik ben altijd moe als ik in de les aankom, dus ga ik steeds met de fiets naar de les. 11. Trek (indien mogelijk) uit de volgende uitspraken relevante conclusies: (a) Als ik zwem, ben ik nat. Ik ben niet nat. (b) Als de burgemeester heeft gelogen, dan krijgt hij rode oren. De burgemeester heeft rode oren. (c) Als mijn informaticaprogramma geen fouten bevat, trakteer ik. Als ik trakteer heeft iedereen slagroom rond zijn mond. Iedereen heeft een schone mond. (d) Als je veel sport ben je gezond. Ik sport niet veel.

20 De taal van verzamelingen 2.1 Basisbegrippen, symbolen en terminologie In de wiskunde hebben we het vaak over een aantal dingen die een geheel vormen, denk maar de even getallen, de breuken, de rechten in een vlak, de punten op een rechte enz. Dit vage begrip willen eenduidiger formaliseren. Definitie 2.1 Met het begrip verzameling is iedereen eigenlijk intuïtief vertrouwd. Het is een grondbegrip en zullen we hier op dit beginnend niveau niet exact definiëren. Een eerste poging tot definitie zou kunnen zijn: een verzameling is een geheel van objecten zodanig dat men van ELK object ondubbelzinnig kan zeggen of het al dan niet tot dat geheel behoort. Men zegt ook wel: een verzameling is VOLLEDIG bepaald door de objecten die ertoe behoren. In regel wordt een verzameling aangeduid met een hoofdletter, maar je zal merken dat dit niet altijd kan. De objecten die tot een verzameling behoren, noemt men de elementen van die verzameling. Ze worden vaak aangeduid met een kleine letter. Als een object a tot een verzameling A behoort noteert men a A (lees: a is een element van A ), als een object b niet tot A behoort, noteert men b / A. Met A x bedoelen we dat de verzameling A het element x bevat en dit is dus equivalent met x A. Analoog gebruiken we A x. De lege verzameling, genoteerd met, is de unieke verzameling zonder elementen. Indien A en B verzamelingen zijn, dan hebben we dat A gelijk is aan B als en slechts als A en B dezelfde elementen hebben. Men noteert A = B. Als A en B verzamelingen zijn en elk element van A ook tot B behoort, dan zegt men dat A een deelverzameling is van B; notatie: A B. Dit betekent dat B ook een deelverzameling is van zichzelf, zodat B B. In sommige teksten gebruikt men de notatie in plaats van om te benadrukken dat de verzamelingen ook gelijk mogen zijn. 5 De relatie A B heet de inclusie van A in B. We schrijven A B of A B om aan te duiden dat A geen deelverzameling van B is. We noteren A B als geldt dat A B maar A B We noemen A een echte deelverzameling van B als A B en A.

21 15-17 Een verzameling A wordt eindig genoemd als ze slechts een eindig aantal elementen bevat; dat aantal noteert men dan met #A. Een verzameling met één element noemt men een singleton. Een verzameling met twee elementen noemt men een paar. Sommige verzamelingen die vaak voorkomen hebben een standaardnotatie, zoals N is de verzameling van natuurlijke getallen. Z is de verzameling van gehele getallen. Q is de verzameling van rationale getallen (breuken). R is de verzameling van reële getallen. C is de verzameling van complexe getallen. Er zijn verschillende manieren om een verzameling te definiëren. Notaties Door opsomming: De elementen worden opgesomd, om aan te geven dat ze samen een verzameling vormen worden ze tussen accolades geplaatst. De verzameling A van de arabische cijfers is A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. De verzameling B van de even getallen is B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, }. waarbij de puntjes betekenen enzovoorts. De volgorde waarin de elementen worden opgesomd, heeft geen belang voor het bepalen van een verzameling. Hoe dikwijls je een ding ook opsomt, in een verzameling telt het maar voor één element. Dus de arabische cijfers kan ook gedefiniëerd worden als A = {7, 2, 2, 6, 5, 4, 9, 8, 3, 3, 0, 1} en toch is #A = Door omschrijving: elementen die aan een voorwaarde voldoen Vorige verzameling B van de even getallen, kan ook als volgt worden weergegeven B = {x x is een natuurlijk getal deelbaar door 2}. Men leest dit als B is de verzameling van de elementen x waarvoor geldt dat x een natuurlijk getal is deelbaar door 2. 5 Laat hier geen verwarring ontstaan met de verwante symbolen < en bij reële getallen. Het symbool < betekent hier strikt kleiner dan, terwijl kleiner dan of gelijk aan betekent, zodat voor een x R het niet waar is dat x < x, maar je wel x x kan zeggen. Bij verzamelingen daarentegen heeft het symbool precies dezelfde betekenis als.

22 Constructieve definitie: Een derde manier om verzamelingen weer te geven is door middel van een formule zoals in het voorbeeld C = {n 2 n N}. Hierin is C de verzameling van alle kwadraten van natuurlijke getallen. Dus een getal behoort tot C als en slechts als het kan geschreven worden als n 2 voor zeker natuurlijk getal n. 4. Door een Venndiagram 6 : Het is soms praktisch een verzameling A voor te stellen door een Venndiagram. Dit is een gesloten kring, de naam van de verzameling wordt buiten de kring geplaatst. De elementen van A worden door stippen binnen de kring voorgesteld. De stippen buiten de kring zijn dingen, die geen elementen van A zijn. We tekenen geen stippen op de kring. Niet alle elementen van A moeten worden weergegeven door een stip. Voorbeeld 2.3 A = {5, 3, 7} Jan Opmerkingen Het is handig voor veel voorkomende verzamelingen een speciale notatie in te voeren (a) De verzameling van de natuurlijke getallen zonder 0. N 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } = {x N x 0}. Met analoge notaties voor de andere getallenverzamelingen zonder 0. (b) De verzameling van de positieve reële getallen, (0 is een positief getal). R + = {x R x 0}. Met analoge notaties voor de andere getallenverzamelingen. (c) De verzameling van de natuurlijke delers van een natuurlijk getal a. del a = {n N n is een deler van a }. (d) De verzameling van de natuurlijke veelvouden van een natuurlijk getal a. an = {an n N}. 6 De Engelse wiskundige John Venn( ) voerde deze voorstellingswijze in een artikel gepubliceerd in A. 9

23 15-19 (e) De verzameling van de even getallen. 2N = {2n n N}. (f) De verzameling van de oneven getallen. 2N + 1 = {2n + 1 n N}. 2. De lege verzameling is deelverzameling van elke andere verzameling A, want, aangezien de lege verzameling geen elementen bevat, kunnen we geen element vinden in de lege verzameling dat niet tot A behoort, m.a.w. A is NIET waar, dus equivalent hiermee: A is waar. 3. Uit de definities volgt dat A = B A B en A B, waarin A B een andere notatie is voor B A. Dit betekent dat we de gelijkheid van twee verzamelingen A en B ook kunnen aantonen door de twee inclusies A B en A B te bewijzen. 4. Het is belangrijk om goed onderscheid te maken tussen de symbolen en. Ze zijn wel nauw verwant omdat x A {x} A. Voorbeelden De verzameling van de mogelijke uitkomsten van de worp met één dobbelsteen worden genoteerd als {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Zij B de verzameling van alle Belgen. De deelverzameling V van de Belgische vrouwen is dan V = {x B x is een vrouw}. In woorden: V is de verzameling van alle x-en uit B die vrouw zijn. Oefeningen Bepaal de volgende verzamelingen door opsomming. A = {x N x is een vijfvoud, groter dan 1 en kleiner dan 14} B = {x N x is een gehele deler van 6} C = {x N x is een oneven getal} 2. Bepaal de volgende verzamelingen door omschrijving. A = {1, 2, 3, 4, } B = { lente, herfst, winter, zomer} C = {1, 3, 5, 7,, 35}

24 Vul de juiste symbolen in. Kies uit,, =,,,,. Soms zijn er verschillende mogelijkheden, geef er één. (1) 5... N (2) {1, 3, 5, 7, 9, 11,... }... {x N x is een oneven getal} (3) {x x is een roos}... {x x is een bloem} (4) {1, 3, 5, 7, 9}...2 (5) {1}... {1, 3, 5, 7, 9} (6) {1}... {{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} (7) {1, 3}... {{1}, {3}, {5}, {7}, {9}} (8) {1, 3}... {1, 3, 5, 7, 9} (9) {1, 3, 5, 7, 9}... (10)... { } (11)... (12) {1, 3, {5, 7, 9}}...5 (13) {2, 3, 5, 11}... {p N p is een priemgetal } (14) 2N N 0 1 = {2n 1 n N 0 } 4. Zijn volgende uitspraken waar of onwaar? (1) {x R x = 0} =. (2) Zij A = {1, 2, {3, 4}}, dan is de verzameling {3, 4} is een deelverzameling van de verzameling A. (3) Zij B = {1, {1}}. Dan is {1} zowel een element als een deelverzameling van B. (4) {{1}} is geen deelverzameling van vorige verzameling B. (5) { } (6) { } (7) C = { } is leeg. (8) C = {{ }} is een singleton. (9) 2N + 1 = 2N 1 = {2n 1 n N} 5. Omschrijf het interval [a, b], waarbij a, b R, als een verzameling.

25 Bewerkingen met verzamelingen Met twee gegeven verzamelingen A en B kun je op een aantal manieren nieuwe verzamelingen bouwen: Definitie 2.6 de doorsnede van A en B; notatie: A B. Lees: A doorsnede B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A en B. Dus A B = {x x A x B}. Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als A B =. de unie, of vereninging van A en B; notatie: A B. Lees: A unie B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A of B. Dus A B = {x x A x B}. Als C = A B waarbij A B =, dan noemt men C de disjuncte unie van A en B. het verschil van A en B; notatie: A \ B. Lees: A min B. Dit is de verzameling van de elementen die behoren tot A maar niet tot B. Dus A \ B = {x x A x / B}. Merk op dat A \ B B \ A. het cartesiaans product, ook de productverzameling van A en B genoemd; notatie: A B. Lees: A maal B. Dit is de verzameling van de koppels (= geordende tweetallen) (a, b) waarbij a A en b B. Dus A B = { (a, b) a A b B }. Als A en B eindige verzamelingen zijn, is A B ook eindig en #(A B) = #A #B. Als A = B dan schrijven we A A = A 2. Er geldt dat twee koppels (a 1, b 1 ) en (a 2, b 2 ) gelijk zijn als en slechts als a 1 = a 2 en b 1 = b 2. Let op dat bij een koppel de volgorde van belang is. Als a b dan geldt (a, b) (b, a). Dit is in tegenstelling tot de situatie bij verzamelingen. Als we een verzameling weergeven door de elementen op te noemen, dan doet de volgorde er niet toe. Er geldt dus {a, b} = {b, a}. Vorige definities kunnen best geïllustreerd worden met Venndiagrammen. 7 genoemd naar René Descartes, Frans filosoof en wiskundige ( )

26 15-22 A B A B A B A B A B Voorbeelden N = 2N (2N + 1) is een disjuncte unie. A\ B 2. [ 2, 4 [ ] 3, 5 [ = ] 3, 4 [. 3. del 8\ del 4 = {8}. 4. Het meest bekende voorbeeld van een cartesiaans product is het reële vlak, na keuze van een rechthoekig coördinatensysteem. 5. Als X = {a, b, c} en Y = {1, 2}, dan is en R 2 = {(x, y) x, y R}. X Y = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} Y X = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. Dit deel van hoofdstuk 2. maakt geen deel meer uit van Zomercurus B Eigenschappen 2.8 Voor twee verzamelingen A en B geldt, (a) A A = A, A A = A, A = A en A =, (b) A \ A = en A \ = A, (c) A B = (A B) (A \ B) (B \ A) is een disjuncte unie. Het gebeurt vaak dat de verzamelingen die we beschouwen deelverzamelingen zijn van een vaste verzameling, zoals bijvoorbeeld de reële getallen. Dit noemen we dan een universele verzameling die we meestal noteren met U. Definitie 2.9 Gegeven een universele verzameling U. Het complement van een deelverzameling A U, notatie A c, is het verschil van U en A. Dus A c = U \ A = {x U x A}.

27 15-23 De doorsnede, unie en complement voor verzamelingen komen overeen met de logische bewerkingen en, of en niet. Eigenschappen 2.10 Neem aan dat A, B en C deelverzamelingen zijn van een universele verzameling U. Dan geldt (a) (associativiteit) A (B C) = (A B) C en A (B C) = (A B) C. (b) (commutativiteit) A B = B A en A B = B A. (c) (distributiviteit) A (B C) = (A B) (A C) en A (B C) = (A B) (A C). (d) (de wetten van De Morgan) (A B) c = A c B c en (A B) c = A c B c. (e) (complementering) A A c = U en A A c =. (f) (dubbel complement) (A c ) c = A. Bewijs We kunnen deze eigenschappen bewijzen met Venndiagrammen. Bij wijze van voorbeeld tonen we de tweede distributieviteitseigenschap met een zogeheten klaverbladdiagram A B A B C A (B C) (A B) (A C) is dubbel gearceerd is gearceerd of dubbel gearceerd C Opmerking 2.11 Stel x een element uit een universele verzameling U beschouw volgende beweringen p : x A en q : x B en r : x C. Dan kan je bovenstaande eigenschappen vertalen door logische stellingen. Zoek in Stelling1.18 bijpassende stellingen voor eigenschap(c).

28 15-24 Hoe vertaal je dan de beweringen x A c, x B c, x (A B) c en x (A B) c? Zie je in waarom de eigenschap 2.10(d) de naam van De Morgan meekrijgt? Zie je hier een verband met een logische stelling uit de logica? Oefeningen Zijn volgende uitspraken waar of onwaar? Verbeter de foute uitspraken. (a) N \ 0 = N 0 (b) {1, {1}} \ {1} = {1} (c) N \ 2N = 2N + 1 (d) R\ ] 2, 5 ] =], 2 [ [ 5, + [ (e) R \ Q is de verzameling van de irrationale getallen. 2. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B wordt gedefinieerd als: A B = (A B) \ (A B) Duid deze verzameling aan op een Venndiagram. 3. Ga met behulp van een Venndiagram na dat A (B C) = (A B) (A C). A, B, C zijn willekeurige verzamelingen. 4. Ga eigenschap 2.8 (c) na met een Venndiagram. 5. Ga eigenschap 2.10 (d) na met een Venndiagram. Definitie 2.12 De machtsverzameling 7 (powerset) P(A) van een verzameling A is de verzameling van alle deelverzamelingen van X. Dus P(A) = {X X A}. Voorbeeld 2.13 Als bijvoorbeeld A = {a, b, c}, dan P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}. De lege verzameling is een element van de machtsverzameling van elke verzameling A omdat A voor elke A. 7 Omwille van eigenschap 2.14 wordt in sommige handboeken i.p.v. P(A) de notatie 2 A gebruikt als notatie voor de machtsverzameling van de verzameling A.

29 15-25 We begrijpen de naamgeving van de machtsverzameling beter als we volgende eigenschap aantonen. Eigenschap 2.14 Als A een eindige verzameling is met #A = n dan is #P(A) = 2 n. We geven een idee van hoe het bewijs kan verlopen. We berekenen het aantal deelverzamelingen van verzamelingen met 0,1,2, elementen. deelverzameling van aantal = {} {} 1 = 2 0 {a} {} en {a} 2 = 2 1 {a, b} {}, {a} en {b}, {a, b} 4 = 2 2 {a, b, c} {}, {a} {b}, {a, b} en {c}, {a, c} {b, c}, {a, b, c} 8 = Telkens als we een element aan de verzameling toevoegen, verdubbelt het aantal deelverzamelingen, omdat we enerzijds de vorige deelverzamelingen behouden en anderzijds nieuwe deelverzamelingen verkrijgen door het nieuwe element aan die vroegere deelverzamelingen toe te voegen. We introduceerden de begrippen doorsnede en unie, telkens van twee verzamelingen. Het komt vrij vaak voor in de wiskunde dat we deze begrippen willen uitbreiden tot een willekeurig aantal verzamelingen. Definitie 2.15 Veronderstel dat I een verzameling is en dat X i een verzameling is voor elke i I. De veranderlijke i dient hier als index en de verzameling I wordt kortweg een indexverzameling genoemd. Dan definieert men de doorsnede, i I X i, en de unie, i I X i, van deze verzamelingen als volgt: X i = {x x X i voor elke i I} en i I X i = {x er is een i I met x X i }. i I Deze nieuwe, algemenere, notaties voor doorsnede en unie zijn vaak bijzonder handig. De indexverzameling I kan eindig of oneindig zijn, en bijgevolg kan men op deze manier doorsnede en unie van een oneindige familie van verzamelingen gaan beschouwen.

30 15-26 Voorbeeld 2.16 [ 1 Beschouw de intervallen X n = n, ] met n N 0. Probeer in te zien dat n X n = ] 0, 2 ] en X n = {1}. n N 0 n N 0 Oefeningen Probeer in te zien welke verzameling bepaald wordt door de volgende unies en/of doorsnedes. ] (a) 0, 1 [ n (b) n N 0 [ 0, 1 n ] (c) n N 0 n N 0 { } 1 n, 1 n 1,, 1 3 Logica met kwantoren 3.1 Definitie Veronderstel dat je ergens een blad papier vindt waarop enkel het volgende staat: x 2 4 = 0. (3) Dan is niet duidelijk wat de schrijver hiermee bedoelde. Vooreerst is niet duidelijk waarvoor x staat. Met wat goede wil kunnen we wel vermoeden dat er bedoeld wordt dat x een reëel getal is. De schrijver had die mogelijke twijfel weggenomen als hij bijvoorbeeld had geschreven: x 2 4 = 0 (x R). Maar nu is nog niet duidelijk wat er precies bedoeld wordt. We geven drie mogelijke interpretaties: (a) Zoek alle x R die voldoen aan x 2 4 = 0. (b) Er bestaat een x R waarvoor x 2 4 = 0. (c) Voor alle x R is x 2 4 = 0. Elk van de drie bovenstaande uitspraken is nu ondubbelzinnig. In (a) krijgen we de opdracht alle reële oplossingen van een vierkantsvergelijking te zoeken. In (b) en (c) worden ondubbelzinnige beweringen gemaakt. Bewering (c) is weliswaar manifest

31 15-27 fout, maar het is wel een duidelijke en ondubbelzinnige uitspraak. De oorspronkelijke uitdrukking (3) daarentegen is helemaal waardeloos; ze is immers zo vaag dat je zelfs niet eens kan zeggen of ze waar of vals is. Wat leren we hieruit? Vooreerst moeten we altijd expliciet aangeven waarvoor de symbolen die we gebruiken, staan (wat is x?). Bovendien moeten we steeds voldoende woorden bij formules geven om tot een ondubbelzinnige uitspraak te komen (voor alle x?, voor sommige x?,...). De zinsneden er bestaat een en voor alle in uitdrukkingen (b) en (c) hierboven geven aan voor hoeveel x-en (voor welke kwantiteit x-en) de uitspraak die volgt zou moeten gelden. Men noemt ze in de logica daarom kwantoren en men voert er notaties voor in: Definitie 3.1 Als p(a) een predicaat is dat afhangt van een veranderlijke a A dan betekenen volgende verkorte notaties voluit in woorden: a A : p(a) a A : p(a) voor elk element a van A geldt p(a) er bestaat (minstens) een element a van A waarvoor p(a) geldt!a A : p(a) er bestaat precies één element a van A waarvoor p(a) geldt is de universele kwantor of alkwantor is de existentiële kwantor of bestaanskwantor! is de uniciteitskwantor We schrijven de kwantor altijd vóór het predicaat. De veranderlijke a is een dummy of gebonden veranderlijke. Ze kan veranderd worden zonder dat de betekenis verandert, indien de nieuwe veranderlijke nog geen andere betekenis heeft op die plaats. We spreken af dat een kwantor betrekking heeft op alles wat er na komt, tenzij het door haakjes anders bepaald wordt. Zo bedoelen we met a A : p(a) q dat p(a) q waar is voor elke a A. Als we bedoelen dat a A : p(a) impliceert dat q waar is, dan we moeten zeker wel haakjes zetten. Dat schrijven we dus ( a A : p(a)) q. In termen van deze notaties kunnen we (b) en (c) nu compact opschrijven als (b ) x R : x 2 4 = 0. (c ) x R : x 2 4 = 0.

32 15-28 Als je dergelijke uitdrukkingen met kwantoren ontmoet, is het voor een goed begrip ervan belangrijk dat je ze spontaan blijft lezen als een volwaardige zin (in de voorbeelden dus in hun oorspronkelijke verwoordingen zoals in (2) en (3)). 3.2 Negatie van kwantoren Voorbeeld 3.2 Nemen we X de verzameling van alle studenten uit de zomercursus en zij p(x) met x X de bewering student x is blond. Dan lezen we de uitspraak x X : p(x) als alle studenten van de zomercursus zijn blond. Deze uitspraak is uiteraard niet waar, en dit toon je aan door één student aan te wijzen die niet blond is, in symbolen uitgedrukt merken we dus dat ( x X : p(x)) x X : p(x) (Vertaal laatste uitdrukking in gewone spreektaal.) Stel anderzijds q(x) de bewering student x heeft groen haar dan zal, mits hier niemand groen haar heeft, de uitspraak ( x X : q(x)) waar zijn, wat je aantoont door na te gaan dat elke student een haarkleur heeft die niet groen is, in symbolen ( x X : q(x)) x X : q(x) (Vertaal laatste uitdrukking in gewone spreektaal.) Samengevat: Eigenschap 3.3 (Negatie van kwantoren) Zij p(x) een predikaat, dan geldt 1. ( x X : p(x)) x X : p(x) 2. ( x X : p(x)) x X : p(x)

33 Combinaties van kwantoren In veel wiskundige formules komen verschillende kwantoren voor, de volgorde waarin ze voorkomen blijkt enorm belangrijk te zijn, dit merk je in volgende oefening. Oefening 3.1 Zij P een verzameling potjes van verschillende formaten, D een verzameling van de bijhorende deksels. Stel dat x D en y P dan definiëren we een predikaat p(x, y) met als betekenis x past op y. Verwoord elk van volgende formules in een zo goed mogelijk klinkende Nederlandse zin en zeg of de bewering waar of onwaar is. Welke beweringen zijn equivalent? (a) x D : y P : p(x, y) (b) y P : x D : p(x, y) (c) x D : y P : p(x, y) (d) y P : x D : p(x, y) (e) x D : y P : p(x, y) (f) y P : x D : p(x, y) Is er een logisch verband tussen (e) en (f)? Wat we hier intuïtief aanvoelen wordt uitgedrukt in volgende eigenschappen. Eigenschap 3.4 (Verwisselen van kwantoren) Zij p(x,y) een predicaat, dan geldt 1. x X : y Y : p(x, y) y Y : x X : p(x, y) 2. x X : y Y : p(x, y) y Y : x X : p(x, y) 3. x X : y Y : p(x, y) = y Y : x X : p(x, y) Het omgekeerde van 3. geldt niet altijd. Bijgevolg mogen gelijksoortige kwantoren verwisseld worden. In 1. zijn beide equivalente uitdrukkingen in feite ook op te schrijven als één bewering met maar één universele kwantor (x, y) X Y : p(x, y).

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 9 juli 2008) Inleiding Omdat de behandelde topics niet of nauwelijks meer aan bod komen in

Nadere informatie

PROPOSITIELOGICA. fundament voor wiskundig redeneren. Dr. Luc Gheysens

PROPOSITIELOGICA. fundament voor wiskundig redeneren. Dr. Luc Gheysens PROPOSITIELOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens PROPOSITIELOGICA Een propositie of logische uitspraak, verder weergegeven door een letter p, q, r is een uitspraak die in een vastgelegde

Nadere informatie

BEWIJZEN EN REDENEREN

BEWIJZEN EN REDENEREN BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Tegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)

Tegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785) Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek

Nadere informatie

Verzamelingen. Hoofdstuk 5

Verzamelingen. Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Dossier 1 SYMBOLENTAAL

Dossier 1 SYMBOLENTAAL Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische

Nadere informatie

Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven

Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum

Nadere informatie

Caleidoscoop: Logica

Caleidoscoop: Logica Caleidoscoop: Logica Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 3 October, 2007 Overzicht 1 2 Negaties We gaan rekenen met proposities (beweringen). Bedenker: George Boole

Nadere informatie

Dossier 2 LOGICA. Dr. Luc Gheysens. fundament voor wiskundig redeneren

Dossier 2 LOGICA. Dr. Luc Gheysens. fundament voor wiskundig redeneren Dossier 2 LOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens Inleiding: logische puzzels Wiskundigen houden meestal van logische puzzels. Dit soort puzzels vormt niet alleen een uitdaging, maar

Nadere informatie

Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica

Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR

Nadere informatie

Propositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen

Propositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen Propositielogica Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn Universiteit Antwerpen 24 augustus 2006 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele

Nadere informatie

Verzamelingen deel 3. Derde college

Verzamelingen deel 3. Derde college 1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.

Nadere informatie

Logic for Computer Science

Logic for Computer Science Logic for Computer Science 06 Normaalvormen en semantische tableaux Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Oneindige verzamelingen 2 Vandaag Wanneer zijn twee formules hetzelfde? Zijn er

Nadere informatie

Propositionele logica

Propositionele logica Logic is the beginning of wisdom, not the end. Captain Spock, Star Trek VI (1991) Hoofdstuk 1 ropositionele logica 1.1 Uitspraken Het begrip uitspraak. We geven hier geen definitie van het begrip uitspraak

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

RAF belangrijk te onthouden

RAF belangrijk te onthouden RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004

Formeel Denken. Herfst 2004 Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Propositielogica

Nadere informatie

Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen. (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online)

Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen. (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online) Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online) Definities Een propositie is een bewering die waar of onwaar is (er is geen derde mogelijkheid).

Nadere informatie

Verzamelingenleer. Inhoud leereenheid 5. Introductie 9

Verzamelingenleer. Inhoud leereenheid 5. Introductie 9 Inhoud leereenheid 5 Introductie 9 1 Verzamelingen 10 2 Deelverzamelingen 15 3 Operaties op verzamelingen 20 3.1 Doorsnede en lege verzameling 20 3.2 Vereniging en verschil 24 3.3 Complement en universum

Nadere informatie

Semantiek 1 college 10. Jan Koster

Semantiek 1 college 10. Jan Koster Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1 Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde

Nadere informatie

Samenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer

Samenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke

Nadere informatie

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).

3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). 3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048

Nadere informatie

Logica voor Informatica. Propositielogica. Syntax & Semantiek. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University

Logica voor Informatica. Propositielogica. Syntax & Semantiek. Mehdi Dastani Intelligent Systems Utrecht University Logica voor Informatica Propositielogica Syntax & Semantiek Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Wat is Logica? Afleiden van conclusies uit aannames Jan Sara Petra Schuldig

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

LOGICA OP HET MENU DEEL 1. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant

LOGICA OP HET MENU DEEL 1. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant LOGICA OP HET MENU DEEL 1 Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant De Griekse filosoof Aristoteles (384 322 v. Chr.) mag men de grondlegger van de formele logica noemen. Hij dacht na over geldige manieren van redeneren,

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

Andere grote namen van wiskundigen en/of filosofen: Plato, Socrates, Descartes (Cartesius), Spinoza, Kant, Russell, Hilbert, Tarski en Brouwer

Andere grote namen van wiskundigen en/of filosofen: Plato, Socrates, Descartes (Cartesius), Spinoza, Kant, Russell, Hilbert, Tarski en Brouwer Formele Logica Grondlegger Aristoteles (384/322 voor Chr.), filosoof. Andere grote namen van wiskundigen en/of filosofen: Plato, Socrates, Descartes (Cartesius), Spinoza, Kant, Russell, Hilbert, Tarski

Nadere informatie

1 Logica. 1.2.1 a. tautologie -1-

1 Logica. 1.2.1 a. tautologie -1- 1 Logica 1.1.1 a. neen: de spreker bedoelt met "hier" de plek waar hij op dat moment is, maar "warm" is subjectief; vgl.: "het is hier 25 graden Celsius". b. ja: de uitspraak is onwaar (=120 uur). c. neen:

Nadere informatie

6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist:

6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist: 6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x ) xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist: Kies als tegenvoorbeeld: P (x ):x 2 > 0enQ (x ):x>0, voor U = R Dan geldt:

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

rh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true.

rh265e 0 true. In onze schrijfwijze wordt dat dus: (de bewering) [ P ] is even waar als (de bewering) P = true. rh265e 0 Elementaire Predikatenrekening 0 Inleiding Dit is een samenvatting 0 van de rekenregels voor proposities en predikaten, zoals behandeld in het vak Logica & Verzamelingen. Enige vertrouwdheid met

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Bijzondere kettingbreuken

Bijzondere kettingbreuken Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en

Hoofdstuk 3. behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en Hoofdstuk 3 Semantiek van de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt de semantiek (betekenistheorie) van de propositielogica behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en logisch

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Logica. Oefeningen op hoofdstuk Propositielogica

Logica. Oefeningen op hoofdstuk Propositielogica Oefeningen op hoofdstuk 1 Logica 1.1 Propositielogica Oefening 1.1. Stel dat f en g functies zijn waarvoor f(x)dx = g(x)+c niet waar is. Als Elio Di Rupo paarse sokken heeft, bepaal dan de waarheidswaarde

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.

Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element. Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2

Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 Logica voor Informatici najaar 2000 Opgaven en Oplossingen Hoofdstuk 2 2.1 Geef de volgende zinnen weer in propositionele notatie: i Als de bus niet komt, komen de tram en de trein We voeren de volgende

Nadere informatie

Opdrachten Tarski s World

Opdrachten Tarski s World Opdrachten Tarski s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen

Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)

Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op

Nadere informatie

LOGICA OP HET MENU DEEL 2. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant

LOGICA OP HET MENU DEEL 2. Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant LOGICA OP HET MENU DEEL 2 Dr. Luc Gheysens en Daniël Tant Augustus De Morgan (180 1871) was een Britse wiskundige die vooral bekend is gebleven voor zijn werk op het gebied van de logica en meerbepaald

Nadere informatie

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00

Uitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave

Nadere informatie

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?

Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? 1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat

Nadere informatie

Proposities. Hoofdstuk 2

Proposities. Hoofdstuk 2 Hoofdstuk 2 Proposities In de wiskunde en in de informatica, en ook in veel andere disciplines, is er behoefte aan redeneren. Om dat goed te kunnen doen moet men allereerst beschikken over een arsenaal

Nadere informatie

verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit

verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit e. A (A B ) = A (A B ) verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit = B A = B A = B A = B A Conclusie: de stelling is juist. = B A commutativiteit dubbel complement

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting

Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

Propositionele logica en predikatenlogica. 1. Noteer volgende Nederlandse uitspraken formeel m.b.v. propositionele logica :

Propositionele logica en predikatenlogica. 1. Noteer volgende Nederlandse uitspraken formeel m.b.v. propositionele logica : HOOFDSTUK 4. LOGICA Opgaven Propositionele logica en predikatenlogica 1. Noteer volgende Nederlandse uitspraken formeel m.b.v. propositionele logica : a) Als de maan ichtbaar is en het niet sneeuwt, al

Nadere informatie

Predikaatlogica, modellen en programma s

Predikaatlogica, modellen en programma s Logica in actie H O O F D S T U K 4 Predikaatlogica, modellen en programma s De taal van de propositielogica is voor veel toepassingen te arm. Dat bleek al in de Klassieke Oudheid, waar logici allerlei

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 13 Ongelijkheden en absolute waarde (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De relaties en < in R 2 2 Oplossen van ongelijkheden met behulp van het

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Geldwisselprobleem van Frobenius

Geldwisselprobleem van Frobenius Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme

Nadere informatie

Tentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010

Tentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010 Tentamentips Tomas Klos 14 december 010 Samenvatting In dit document vind je een aantal tentamen tips. Het gaat om fouten die ik op tentamens veel gemaakt zie worden, en die ik je liever niet zie maken.

Nadere informatie

IJburgcollege Wiskunde C september 2017 Logica Opgavenboek 1 (noteer je uitwerkingen van de opdrachten in het Uitwerkingenboek 1)

IJburgcollege Wiskunde C september 2017 Logica Opgavenboek 1 (noteer je uitwerkingen van de opdrachten in het Uitwerkingenboek 1) IJburgcollege Wiskunde C september 2017 Logica Opgavenboek 1 (noteer je uitwerkingen van de opdrachten in het Uitwerkingenboek 1) 1. Nogal logisch. Opdracht 1.1: Logica kan gebruikt worden voor indoctrinatie.

Nadere informatie

Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3

Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13

Inhoud leereenheid 1. Inleiding. Introductie 13. Leerkern 13. 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 Inhoud leereenheid 1 Inleiding Introductie 13 Leerkern 13 1.1 Wat is logica? 13 1.2 Logica en informatica 13 12 Leereenheid 1 Inleiding I N T R O D U C T I E Studeeraanwijzing Deze leereenheid is een leesleereenheid.

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Logica Wiskunde D-online

Logica Wiskunde D-online 1 Logica Wiskunde D-online Deze tekst is een bewerking van de Syllabus wiskunde D, Logica Havo 4 van Windesheim. Samenstellers: drs. N.J. Wolberink en H Ridderbos, docenten Wiskunde aan Vechtdal College

Nadere informatie

Semantiek 1 college 4. Jan Koster

Semantiek 1 college 4. Jan Koster Semantiek 1 college 4 Jan Koster 1 Uitgangspunt sinds vorige week Semantiek is representationeel (en niet referentieel), gebaseerd op interpretaties van sprekers en hoorders Geen scherpe scheiding tussen

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig

Mededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,

Nadere informatie

Logica 1. Joost J. Joosten

Logica 1. Joost J. Joosten Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde

Nadere informatie

TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur

TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TI1300: Redeneren en Logica, Practicum 2 Deadline: 1 oktober 2010, 10:45 uur Introductie In deze practicumopgave komt de

Nadere informatie

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica

Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen IN1305-I Fundamentele Informatica 1, deel I: Logica 27 oktober 2008, 9.00 12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Propositielogica Het maken van een waarheidstabel

Propositielogica Het maken van een waarheidstabel Informatiekunde naam datum Propositielogica Het maken van een waarheidstabel Eindhoven, 4 juni 2011 De propositielogica Zoekopdrachten met de operatoren AND, OR en zijn zogenaamde Booleaanse expressies.

Nadere informatie

Wiskundige Structuren

Wiskundige Structuren wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Maak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem;

Maak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem; Joost Vennekens joost.vennekens@kuleuven.be Technologiecampus De Nayer We zijn geïnteresseerd in het oplossen van combinatorische problemen, zoals bijvoorbeeld: Bereken een lessenrooster die aan een aantal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Logica 1. Joost J. Joosten

Logica 1. Joost J. Joosten Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde

Nadere informatie