Hoofdstuk 4 Machtsverbanden

Transcriptie

1 Opstap Derdemachten O-1a I r r r 1 De inhoud van een kuus met r is 1 cm 3. Als I 7 geldt r 3 want Een kuus met I 7 heeft een rie van 3 cm. c r in cm 1 3 d I in cm l in cm r in cm e Bij I ligt r tussen en. f I r r r,3,3,3 79,7; deze uitkomst ligt dichtij. O-a I r,r r, De inhoud van de alk met r is cm 3. I oppervlakte grondvlak hoogte r,r r r 3. c r in cm 1 3 I in cm Zie opdracht O-1d. d Bij I ligt r tussen 3 en. e Bij r 3, is I 3, 3 7,6. Bij r 3, is I 3, 3,7. Bij r 3, ligt I het dichtst ij. O-3a I oppervlakte grondvlak hoogte r,r,r,r 3. r in cm 1 3 I in cm 3, 3,,,6 Zie opdracht O-1d. c De inhoud van de alk uit opdracht O- is vijf keer groter dan de inhoud van de alk uit opdracht O-3. O-a V, 1 1 1,6 De vaas met een diameter van 1 cm heeft een inhoud van,6 liter. V, 1 1 1,916 De vaas met een diameter van 1 cm heeft een inhoud van,916 liter. d in cm V in liters,,3,,6,,6 1,37 7

2 c d Als de diameter van de vaas twee keer zo groot wordt, is de inhoud van de vaas acht keer zo groot. Dat kun je controleren in de tael hieroven. Als de diameter van de vaas cm is, is de inhoud, liter. Als de diameter van de vaas cm is, is de inhoud liter. Als de diameter van de vaas 13 cm is, is de inhoud voor het eerst meer dan 1 liter. O-a r in cm 1 3 inhoud ol,19 33,1 113, 6, 3,6 inhoud cilinder 1,71 6,3 11,37 1,33 39,7 Als de ol en de cilinder dezelfde inhoud heen, geldt dat r tussen 3 en ligt. c r in cm 3, 3,1 3, 3,3 3, 3, 3,6 3,7 3, 3,9, inhoud ol 113, 1,79 137,6 1,3 16,6 179,9 19,3 1,17 9,,7 6, inhoud cilinder 11,37 1,9 16, 171,6 11, 19, 3, 1, 6, 3,9 1,33 verschil,7 6,16 3,9,3 16,9 1,3,1,7 3,3 9, 16,7 d Voor r 3,7 liggen de inhouden van de ol en de cilinder het dichtst ij elkaar. -1 Grafieken tekenen 1a t 1 n ,6 Het duurt 9,6 seconden om een codewoord van vier letters te kraken. t 1 n6 1 6 Het duurt seconden om een codewoord van tien letters te kraken. t 1 n Het duurt 6 seconden om een codewoord van letters te kraken. Een etmaal heeft seconden. 6 : 6 7,7 De computer is iets meer dan 7 dagen ezig. a x y = 3x x y = x is een even exponent en daardoor is x altijd positief. Het maakt niet uit welk getal je voor x neemt. c x is altijd positief. Doordat je dit positieve getal steeds met 3 vermenigvuldigt, wordt de uitkomst nooit positief. d x y = x e is een oneven exponent. Hierdoor is x ij het invullen van een negatief getal altijd negatief. Door het minteken vóór x wordt de uitkomst dan steeds weer positief. 76

3 3a x y = x a y = x y = x y = x Formule A hoort ij grafiek 1. Formule B hoort ij grafiek. Formule C hoort ij grafiek. Formule D hoort ij grafiek 3. y 1 y = x 3 y = x 3 1 y = x O 1 y = x y = x 1 3 y = x y = x 3 De vergelijking x heeft twee oplossingen. De grafiek van y x en de grafiek van y heen twee snijpunten. c De oplossingen van de vergelijking x zijn x of x. d De vergelijking x 3 heeft één oplossing. e De vergelijking x heeft geen oplossingen. De grafiek van y x en van y heen geen snijpunt. f De grafiek van y x en van y heen één snijpunt. De vergelijking x heeft één oplossing. a k O 1 1 a 77

4 a 1 1 k =,a,, k = k =,k +,, c Zie opdracht a. d Je schuift de grafiek van k,a twee hokjes omhoog om de somgrafiek k,k te krijgen. 6a p = r + 1 p p = r + +1 p = r 1 O 1 r De somformule is p r. p = 1 7a x p = 1 x 3 13,,, 13, 3 p p = 1 r O r 1 p = r3 p = Zie opdracht 7a. c Zie opdracht 7a. d Je schuift de grafiek van p 1 r3 vier hokjes omlaag om de somgrafiek te krijgen. e De somformule is p 1 r3. 7

5 ICT Grafieken tekenen I-1a - Uitgezonderd het punt (, ) dat op de x-as ligt, liggen alle punten van de grafiek oven de x-as. c - d Uitgezonderd het punt (, ) dat op de x-as ligt, liggen alle punten van de grafiek onder de x-as. e - f De exponent van x is even en daardoor zijn de uitkomsten steeds of positief. g De uitkomsten van x 6 zijn steeds of positief. Door het minteken vóór x 6 worden de uitkomsten steeds of negatief. I-a - De uitkomsten zijn nu negatief, positief of gelijk aan. c - d Als je een negatief getal invult ij een formule met een oneven exponent, is de uitkomst steeds negatief. Door het minteken vóór 3x 3 verandert de uitkomst van negatief in positief. e - I-3a c I-a - Formule A heeft nooit een negatieve uitkomst. Het is een machtsformule met een even exponent en er staat geen minteken voor. Bij de formules C en D kan de uitkomst zowel positief, negatief als nul zijn. Het zijn machtsformules met een oneven exponent. A 3 C y D 6 1 O B x De formule van de grafiek is k. c - d De grafieken snijden elkaar in twee punten. De vergelijking heeft dus twee oplossingen. e De oplossing is a 3, of a 3,. f De coördinaten van de snijpunten zijn ( 3,; ) en (3,; ). I-a - De grafiek van k,a schuif je in het assenstelsel omhoog. 79

6 I-6a - c In het snijpunt van eide grafieken is de waarde van x ongeveer 1,. d - e De somformule is p,3r 3. f - - Inklemmen a Na één kwartier is t 1. s,t 1,1t, 1 1,1 1, 1,1 1, Na één kwartier heeft ze 1, km afgelegd. Na drie kwartier geldt: s,t 1,1t, 3 1,1 3 1,6 9,9,. De afgelegde afstand na drie kwartier is, km. Dat is ijna acht keer zo veel als na één kwartier. Rik heeft geen gelijk. c s,t 1,1t, 1,1 1, 7, 1 De lengte van de crosscountryloop is 1 km. 9a t in kwartieren s in kilometers 1,1,1,3 1, 1 13,7 1 s in km t in kwartieren c Na vijf kwartier zie je dat de grafiek daalt. De afgelegde afstand zou dan steeds kleiner worden en dat kan natuurlijk niet. d Zie opdracht 9. e Bij t 3, hoort ongeveer een afstand van km. f t in kwartieren 3,3 3, 3, 3,6 3,7 s in kilometers 9,61,,7,9 11,31 g Bij t 3, hoort s. a 3 t k

7 k 1, 1,6 1,7 1, t,13 13,11 16,7 1, Bij k 1,7 geldt t 1. 11a k, 1 1, 1a f = k,1,1 3 f k Zie opdracht 11a. c k geldt voor ongeveer k 1,. d k 1,3 1, 1, 1,6 1,7 f = k,7 7,7,1 13,1 16,7 Voor k 1, geldt f. e k 1,6 1,7 1, 1,9 f = k 13,1 16,7 1, 6,1 Voor k 1, geldt f. f De snijpunten ij de opdrachten d en e zijn ongeveer de punten (1,; ) en (1,; ). k O 1 1 a In het rechter snijpunt geldt dat a tussen 1, en ligt. a 1,7 1, 1,9, k =,a,, 6, Voor a 1,9 geldt k 6. c De grafiek heeft de y-as als symmetrieas. In het linker snijpunt geldt daarom a 1,9. d De coördinaten van de snijpunten zijn ( 1,9; 6) en (1,9; 6). 13a t 1, 1,, 1 1, p = t 3 7,6 1,3,3 1 7,6 3 1

8 3 p 1 1 O t Zie opdracht 13a. c De grafieken snijden elkaar als t tussen 1 en ligt. d t 1,6 1,7 1, 1,9 p = t, 1, 1,9, Voor ongeveer t = 1, geldt p =. e Het snijpunt van de twee grafieken is het punt (1,; ). f Zie opdracht 13a. g De grafieken snijden elkaar als t tussen 1 en ligt. t 1, 1,7 1,6 1, p = t 1,9 1,, 7,6 Voor ongeveer t 1,6 geldt p. Het snijpunt van de twee grafieken is ( 1,6; ). 1a I 3 π r 3 3 π 1, 1, 1, 7, De inhoud van de allon is 7, liter. In één van de taellen van opdracht O- kun je zien dat ij een inhoud van, liter een waarde van r hoort die ligt tussen 1 en. r 1,1 1, 1,3 1, I,6 7, 9, 11, Een tael met een nog kleinere stapgrootte: r 1, 1,6 1,7 1, I,1,3,,7 Bij een inhoud I van, liter hoort r 1,7. De straal van de allon is 1,7 cm. c Bij een inhoud I van liter hoort r 1,6. De straal van de allon is 16, cm. De erekening geeurt op dezelfde manier als in opdracht Tekenen en rekenen 1a r 1 3 I r 3 1 7

9 c I in cm 3 kuus kegel 3 r in cm De hoogte van de kegel is 1,91 cm. De formule wordt 1 3 1,91 π r,1... r en dat komt vrijwel overeen met r. d r 1 3 I r 1 Zie opdracht 1. e r 3 r geldt voor r of voor r. f Voor r geldt: de inhoud van de kuus is 1 cm en de inhoud van de kegel is cm 3. De kuus heeft dus de grootste inhoud. Voor grote waarden van r stijgt de grafiek van de kuus sneller. Je kunt ook zeggen dat een formule met een derdemacht het uiteindelijk altijd wint van een formule met een kwadraat. 16a Het snijpunt van de grafieken ligt tussen x 3 en x. c - d x 3 3,1 3, 3,3 3,... y x 3 7 9, 3, 3,9 39,3... y 3x 9 9,3 9,6 9,9 3,... In het snijpunt geldt x = 3,1. 17a x 1, 1,, 1 1, y x, 1,, 1, y x y O x 3 3

10 c Het linker snijpunt ligt tussen x 1 en x. x,7,6,,,3, y x,9,36,,16,9, y x 1,,,,,6 In het linker snijpunt geldt x =,. De y-coördinaat van het snijpunt is (,16 +,) : =,1. De coördinaten van het linker snijpunt zijn (,;,1). d Het rechter snijpunt ligt tussen x en x 3. x,,3,,,6,7 y x,,9,76 6, 6,76 7,9 y x 1,,6, 6 6, 6, In het rechter snijpunt geldt x,. e De y-coördinaat van het snijpunt is (,76,) :,7. De coördinaten van het rechter snijpunt zijn (,;,7). 1a x 1, 1,3 1, 1, T-1/T-6 y x x y x 7 9 De waarde van x in het linker snijpunt is ongeveer 1,. c De y-coördinaat van het linker snijpunt is (9 9) : 9,. De coördinaten van het linker snijpunt zijn (1,; 9,). d De waarde van x in het rechter snijpunt ligt tussen, en 6. x,,6,7, y x x y x 3 De waarde van x in het rechter snijpunt is ongeveer,7. De y-coördinaat is (37 + ) : = 1,. De coördinaten van het rechter snijpunt zijn (,7: 1,). Test jezelf Zie de antwoorden in je oek. Extra oefening E-1a s t 3 t t t 6 s t 3 t t t 1 s t 3 t t t s t 3 t t t s t 3 t t t c Dat komt omdat de exponent van t een oneven getal is. Als je een positief getal invult, wordt ook de uitkomst positief. Als je een negatief getal invult, krijg je een vermenigvuldiging met een oneven aantal mintekens. De uitkomst wordt dan negatief. d In de formule y x 6 komt een even exponent voor en daardoor zijn de uitkomsten steeds positief.

11 In de formule y x komt ook een even exponent voor. Dit etekent dat x altijd een positieve uitkomst heeft. Maar er staat een minteken vóór x waardoor de uitkomst steeds negatief is. E-a x 1, 1,, 1 1, y,x 6 1,,,,3,3,, 1, c E-3a 1 y 1 1 O 6 Zie opdracht E-a. Zie opdracht E-a. x 1 d De somformule is y,x 6. m g In het rechter snijpunt geldt dat de waarde van g tussen 1, en ligt. c g 1,7 1, 1,9, d m g, 1, 1, 1 m In het rechter snijpunt geldt g 1,9. De waarde van g in het linker snijpunt is 1,9, want de grafiek van m g is symmetrisch ten opzichte van de y-as. De coördinaten van het linker snijpunt zijn ( 1,9; 1). E-a x 1, 1,, 1 1, y y x 6,9,9 6,9,9 y 6 1 O 1 x 6 1

12 c d e f In het rechter snijpunt geldt dat x tussen 1, en ligt. x 1,6 1,7 1, 1,9 y y x 6,6,, 7, In het rechter snijpunt geldt x 1,. De grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as. Daarom geldt in het linker snijpunt x 1,. De coördinaten van eide snijpunten zijn ( 1,; ) en (1,; ). De grafiek van y x 6 ligt geheel onder de grafiek van y 7. Er is geen enkele uitkomst van y x 6 die gelijk is aan 7. E-a a c k a k a k 6 1 O 1 a 6 In het rechter snijpunt geldt dat a tussen 1 en ligt. a 1,3 1, 1, 1,6 k a 3,3 3, 3, 3,6 k a,1,,9 1, In het rechter snijpunt geldt a = 1,. d De y-coördinaat van het rechter snijpunt is (3,,9) : 3,. De coördinaten van het rechter snijpunt zijn (1,: 3,). e In het linker snijpunt geldt dat a tussen en 1, ligt. a 1,9 1, 1,7 1,6 k a,1,,3, k a,,, 1, In het linker snijpunt geldt a = 1,7. De y-coördinaat van het linker snijpunt is (,3 +,) : =,. De coördinaten van het linker snijpunt zijn ( 1,7:,). E-6a In het linker snijpunt geldt x. De coördinaten van het linker snijpunt zijn (, ). c x 1,6 1,7 1, y x y x 3x 1, 17,, In het rechter snijpunt geldt x = 1,7. d De coördinaten van het rechter snijpunt zijn (1,7: 17,). 6

13 V-1a Verwerken en toepassen y 1 6 O 1 y = x 3 + x x 3 In het snijpunt geldt dat x tussen en, ligt. x,1,,3, y x 3!x 9, 9,6, 6, De oplossing van de vergelijking is x,3. V-a K 33,16 V 3 33,16 V V V 33, De Holland Acht moet een kracht leveren van N. K 33,16 V 3 33,16 V V V 33,16,3,3, ,7 Voor V,3 geldt K ,7 N. c V in km/u 6 1 d e K in Newton V in km/u K in Newton K in N V in km/u De snelheid ligt tussen 1 en 1, km/u. V in km/u 1 1,1 1, 1,3 K in Newton De Australische Acht heeft dan een snelheid van 1, km/u. V-3a a in m h in m 6, 6 37,, 3,, 3, 7

14 h a c Als de skiër start, geldt a en is h 6,. De skiër start op 6, meter hoogte. d De skiër is dan op een hoogte van meter. e De grafiek daalt steeds sneller. f Zijn horizontaal afgelegde afstand is dan ongeveer meter. g Hij heeft 3 meter gesprongen. V-a H,1 L,667,1,667 1,3 Het gemiddelde hersengewicht voor de konijnensoort is 1,3 gram. H,1 L,667,1,667,9 Het gemiddelde hersengewicht van de neushoorn is,9 gram. c Bij een lichaamsgewicht van kg hoort een gemiddeld hersengewicht van,1,667 79,3 gram. Dat is meer dan 7 gram. Een giraffe met een hersengewicht van 7 gram weegt dus minder dan kg. d L in grammen H in grammen 96, 99,1 3,9 L in grammen H in grammen 99,6 999,, Het gewicht van een zoogdier met een hersengewicht van 1 kg is ongeveer 76 kg. Rekenen R-1a 1, 11,, 3,, 17 1,,,, 16, 3 c 3,, 9, 1, 3, 33, d 16, 13,, 1,, 19, 3 e 1,,, 1, 6, 31, 1 6 f,, 1, 6, 3, 1, g 63,, 1, 3, 19, h 79, 3, 1, 7, 9, 3

15 R-a De helft van het cirkeldiagram estaat uit carnaval. Van de leerlingen gaat % carnaval vieren. Op wintersport gaat %. c Op wintersport gaan, 3 6 leerlingen. d Bij de sector overig hoort % % % % %. Dat zijn, 3 1 leerlingen. R-3 lengte reedte omtrek oppervlakte rechthoek 1 7 dm m 9 dm, m rechthoek cm dm 1 m cm vierkant 1 m 1 cm 6 m m rechthoek 3 cm 6 dm 16 mm cm R-a De plaats van 7 wordt aangegeven met pijl C. Pijl A geeft ( 1 ) aan. Pijl B geeft ( 1 ) aan. Pijl D geeft ( ) aan. R- jaar 7 9 sparen Arjen 3 7 sparen Kyra 37 sparen totaal jaar 7 9 sparen Arjen 3 7 sparen Kyra 37 sparen verschil Oefenopdrachten werkoek 1a t,1 6 1,96 Het erekenen van de route voor zes ezorgingen duurt 1,96 seconden. t,1 1 7,36 Het erekenen van de route voor 1 ezorgingen duurt 7,36 seconden. c Het erekenen van de route duurt 1 minuten. Dat is 9 seconden. Voor 17 ezorgingen duurt het,1 17 3,1 seconden. Voor 1 ezorgingen duurt het,1 1 9,76 seconden. Het gaat hier om 17 ezorgingen. a Als x 3 is de lengte 9 cm, de reedte 3 cm en de hoogte 6 cm. De inhoud van de alk is cm 3. Voor de inhoud I van de alk geldt: I oppervlakte grondvlak hoogte I (3x x) x 3x x 6 x 3 c x in cm, 1 1,, I in cm 3,7 6, 93,7 9

16 I Hoofdstuk Machtsveranden d 3 1 x e De waarde van x ij een inhoud van de alk van 3 cm 3 ligt tussen 1, en. x in cm 1, 1,6 1,7 1, 1,9 I in cm 3,, 9, 3,99 1,1 Bij een inhoud van 3 cm 3 geldt x = 1,7. f I 6 1,7 3 9,7 en dat is iets minder dan 3 cm 3. 3a a 1 1 p,a,, p,a 3,, p,a,, p,a 16,, 16 Formule A hoort ij grafiek. Formule B hoort ij grafiek. Formule C hoort ij grafiek 1. Formule D hoort ij grafiek 3. a a 1 1 k a De uitkomsten van een machtsformule met een even exponent zijn nooit negatief. c a 1 1 k a d De uitkomsten van k a zijn nooit negatief en daarom zijn de uitkomsten van k a nooit positief. e a 1 1 k a De uitkomsten van de formule k a zijn negatief, nul of positief. f a 1 1 k a De uitkomsten van de formule k a zijn negatief, nul of positief. 9

17 a k 6 k = 3 1 O 1 3 r 6 k =,3r 3 c De somformule is k,3r 3. 6a k 1, 1,, 1 1, k 7,1 3,7,7 3, O 1 k c In het rechter snijpunt ligt de waarde van k tussen 1, en. k 1, 1,6 1,7 1, k,1,1 11,7 16, In het rechter snijpunt geldt k = 1,7. d Het rechter snijpunt is het punt (1,7; ). e De grafiek is symmetrisch ten opzichte van de verticale as. Het linker snijpunt is het punt ( 1,7;). 7a In het rechter snijpunt geldt dat x tussen en 3 ligt. x,1,,3 y x 3 9,3,6 1, y x, 11 11, In het rechter snijpunt geldt x,. c De y-waarde in het rechter snijpunt is (,6 11) :,. Het rechter snijpunt is het punt (,;,). d In het linker snijpunt geldt x,. e De snijpunten van de twee grafieken zijn (,;,), (, ) en (,;,). a Vul in eide formules x, in. y, 3 y (,) (,)

18 Beide uitkomsten liggen in de uurt van 3. Het genoemde punt ligt in de uurt van het linker snijpunt. x,,3,,,6,7 y x y x x 3 39, 36, 33, 319,1 3,3 91, In het linker snijpunt geldt x,6. c De y-coördinaat van het linker snijpunt is (3 3,3) : 37,6. De coördinaten van het linker snijpunt zijn (,6; 37,7). 9