Helpdesk uitwerkingen Hoofdstuk 1 Differentiëren

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Helpdesk uitwerkingen Hoofdstuk 1 Differentiëren"

Transcriptie

1 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Differentiëren Etra oefeningen a c 9 8 f ( ) = f ( ) = 9 p( q) = q p ( q) = q 0 () t = = t () t = t = t t a f ( ) = f ( ) = = 0 6 g( ) = 7 g ( ) = 7 + 0= + c () t = t + t+ = t + t + () t = t + t + 0= t + = t + t t q 9 d kq ( ) = + = q + q k ( q) = q + q 0= q 9 q = q q q a ( ) = f 0 f ( ) =. f () = = 7 Raaklijn : y = a+ = + door (, 7) : 7= 7 + = 7 dus y = 7 7 f ( ) = f ( ) =. f () = = 8. Raaklijn : y = a+ = 8+ door (, 0) : 0= 8 + = 6 dus y = 8+ 6 c f( ) = = f ( ) = 0=. f () = = Raaklijn y = a+ = + door (, ) : = + = 0 dus y = a ht () = t + h () t = t. h () = Raaklijn y = at + = t + door (, ) : = + = dus y = t t = 0 h=. Dat is dus het punt (0, ). c Punt (0, ) moet dus het punt (0, 0) worden. Het geheel moet dus omhoog geschoven worden. d ht () = t + a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) + ( + ) f ( ) = + ( ) [ + ] ( + ) [ ] ( ) (+ ) f ( ) = = 6 (6+ ) f ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v

2 Netwerk e editie vwo B c d = = f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = ( + ) + ( + ) = f ( ) = = ( + ) ( + ) ( ) f ( ) = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = = ( + ) f ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) 6 a c d f ( ) = 7+ 6 f ( ) = 7; f () = 7 = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = dus y = f ( ) = + + f ( ) = ; f () = = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = 6 dus y = + 6 f ( ) = f ( ) = = ; f () = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = dus y = + 6 ( + ) [ 6] 6 + f ( ) = f ( ) = + + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f ( ) = = = ; f () = 0 Raaklijn: y = 0 + door (, ) : = 0+ = dus y = 7 a f ( ) = + + f ( ) = + ; f ( ) = 0 + = 0 = 0 ; f (0) is een etreem: een minimum (zie plot) ( + ) g( ) = g ( ) = = ; g ( ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) = 0 = 0 0 = 0 = 0 ; g (0) is een etreem: een maimum (zie plot) c h( ) = + h ( ) = ; h ( ) = 0 + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0of = ; h (0) is geen etreem, h ( ) is wel een etreem: een minimum (zie plot) ( ) ( ) ( ) d j( ) = j ( ) = ( ) ( + ) ( ) 8+ j ( ) = = ( ) ( ) ; j ( ) = ( 6)( ) = = 0 ( ) ( ) = 6of = ; j () is een etreem: een minimum, j (6) is een etreem: een maimum (zie plot) Noordhoff Uitgevers v

3 Netwerk e editie vwo B 8 a q(,0) = 90; q() = 0 q = 00 00p c O = p(00 00p) = 00p + 00p d O = 600p + 00; O = p+00 = 0 p =,7; O ma = 90, e w(,0) = 0,70; w() =, f w(p) = p 0,8 g W(p) = (p 0,8)(00 00p) h W(p) = 00p + 80p 8 W (p) = 600p + 80 ; W (p) = 0 00p + 80 = 0 p =,; W =, Noordhoff Uitgevers v

4 Netwerk e editie vwo B Doorwerking a Δ y = Δ f( p) p f(p) f ( ) = ; f(p) = p p = of p = p = p + p p =p + p = 8 a door q : V = f, door q : V = f 0. 8 V = V + V = f + f 0 ( 0 ) V = f + = f + ( 0 ) ( 0 ) 0 0 dus V = f ( 0 ) 6 ( 0 + 6)( 0 ) V = f V = f 0 ( 0 ) 60 6 ( ) V f = V = f ( 0 ) ( 0 ) V 0 f + = = = = 0 ( 0 ) ( 0)( + 0) = 0 = of = 0 dus 0 = / dv c In is de noemer positief (voor tussen 0 en 0). De teller is een kwadratische functie met een d minimum voor tussen = 0 en = /. De teller is dus negatief voor kleiner dan 0 is en positief voor waarden van groter dan 0. De potentiaal daalt tot = 0 en stijgt daarna. De potentiaal heeft dus een minimum voor = 0. Q Q d Door q : V = f, door q : V = f 0. Q Q V = V + V = f + f 0 ( 0 ) 0 0 V = f. Q + = f Q + ( 0 ) ( 0 ) 0 0 dus V = f Q 0 ( 0 ) 0 0 ( 0 ) V = f. Q = f. Q ( 0 ) ( 0 ) V = 0 f. Q = = 0 = dus ( 0 ) 0 = Als de raaklijnen loodrecht op elkaar staan, dan moeten ze, vanwege de symmetrie, eide een hoek van º met de horizontale as maken. Ze moeten dus hellingsgetallen heen van respectievelijk. f ( ) = f ( ) = ; f ( ) = = ½, zo ook = ½, De vergelijking van de raaklijn in (½, / ) wordt daarmee: y = + en A het punt (0, ¼) Noordhoff Uitgevers v

5 Netwerk e editie vwo B a 8 s as= = = de vergelijking is dus =. a f () = 9. T = (, 9 ) c f (0) = 7. Dus P (0, 7) ligt op de paraool. d f ( ) = f ( ) = 8; f (0) = 8 Raaklijn: y = 8+ door (0, 7); 7 = = 7 dus y = 8+ 7 e =, dus y = en S = (, ) f ys + yp = + 7 = 8, yt 9 g f ( ) = a + + c f ( ) = a+ ; f ( ) = 0 a + = 0 a = = a Dus voor de top T ( T, y T ) geldt inderdaad: T = a h yt = a c a c c a + + = + + = + dus yt = + c a a a a a a i yp = ap + P + c j f ( ) = a+ ; voor de raaklijn in P aan de paraool geldt dus hg = f ( P) = ap + k raaklijn: y = ( ap + ) +... door ( P,( ap + P + c)) : ap + P + c = ( ap + ) P +... ap + P + c = ap + P +... c= ap = c ap dus y = ( ap + ) ap + c l De symmetrieas heeft de vergelijking =. De -coördinaat van S is dus S =, a a de y-coördinaat van S is dan ys = ( ap + ) S ap + c ys = ( ap + ) ap + c a ys = P ap + c a m ( yp + ys) = ap + P + c P ap + c = c + a a ( yp + ys) = + c= yt. Het klopt dus! a Noordhoff Uitgevers v

6 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Eponenten en logaritmen Etra oefening a groeifactor per maand: groeifactor per kwartaal: c groeifactor per week:, `=, 009, `=,087, `=, a h = 0, h 0,99986 t = log 0,8 log 0,8 60 t h 0,99986 c h = 0,7 t = log 0,7 log 0, 7 07 a 7,07,0097 K(t) = (,07) 0 = ; K(t) = (,07) =,. Groeisnelheid dus 0,:7 = 0,0 per dag. c K(t) = (,07) 9 = 8,08 ; K(t) = (,07) 0 = 9,. Groeisnelheid dus,7:7 = 0,8 per dag. a c + 6 7= 0 ( + 9)( ) = 0 = 9of = ( ) = ( + 9)( ) = 0 = 9of = = e + = d e + e = 0 e + 6= 0 ( )( ) = 0 = of = e + = 0 ( ) e e + = 0 + (via de ac-formule): e = of e = ln + of ln = = e (ln ) + ln = 0 ln (ln + ) = 0 ln = 0 of ln = = of = e 0 = =, 7 0,7 0 0, a N (t) = 0 e -t = 0 e t N () = 0 e 0 ( 0,008) 0 y 7 a Zie grafiek hiernaast. Y () = ln. Dus is de helling van de grafiek in het punt (, ): ln. c Beide grafieken zijn symmetrisch in de y-as. De helling van de grafiek van Y in het punt (, ) is dus ln. 8 6 Noordhoff Uitgevers v 6

7 Netwerk e editie vwo B 8 a ln g = 0,6 g = e 0,6 (,8 ) ln g = g = e ( 0,086 ) 9 a 0 ¼ c e 0 a f () = 0 ln0 = ln0 0 g (t) = ¼ t ln ¼ = ln ¼ ¼ t c h (s) = e s = e s a f ( ) = ln f ( ) = dus m = p raaklijn is y = + ; in P(p, ln p), dus ln p = p+ = + en = + ln p. Dus het klopt. p p c y = 0 y =. Dus m = d m = m = p = p e Als de raaklijn door de oorsprong gaat, is = 0. Dus + ln p = 0 ln p =. Dus p = e. a f() = e f () = e ; f (0) = e 0 =. Raaklijn is y = + ; in (0, ); dus = 0 + = en = ; dus y = + f () = e = e. Raaklijn is y = e + ; in (, e), dus e= e + en = 0 ; dus y = e c P is het punt (p, e p ). De richtingscoëfficiënt m van de raaklijn in P is e p. In de figuur is de PR richtingscoëfficiënt m =. Hierin is PR = e p en is ook m = e p. Dus is QR =. QR Noordhoff Uitgevers v 7

8 Netwerk e editie vwo B Doorwerking a 0,98h d ρ 0,98h ρ = e = 0,98 e dh dh = 6 (0 e 0,) = 6 (0, e ) = 6, e dt 0,h 0,h 0,h a dt t t Vt () = = 0 e = 9 e dt t t Vt ( ) c(9 (9 e = )) = c (9 9 + e ) Vt () = c e = 9 e Dat klopt dus, met c = t t a e a 0 = ½ a 0 = ln ½ a = 0, ln½ ( 0,069) e 0,0 = 0,0 0,0 = ln 0,0 = 0 ln0,0 ( 0 mm) a f () = e ; f ( ) = e - = e. Raaklijn is y = + ; in (, e e ); dus = + en = ; dus y = + = + e e e e e e e Δ y e e = = e (,7) Δ e c Omdat in elk punt van de grafiek geldt dat de helling van de raaklijn gelijk is aan de -coördinaat van dat punt, geldt dit in het punt met -coördinaat e. De y-coördinaat van dat punt is dan gelijk aan e e e e. a Voor grote waarden van t loopt de grafiek naar een grenswaarde toe. moet dus kleiner zijn dan. Voor grote waarden van t is a t 0. Daarom is c = 800. Voor t = 0 is t =, daarom moet c a = 00 zijn en is a = 700. Voor t = 6 is H 700. Dus is = = 00 6 = 00 / 700 = / 7 6 = 7 ( 0,7) Afname 0,0% wil zeggen een groeifactor (per dag) g d = 0,9997. Dat is per jaar een groeifactor g j = 0, ,896. Ook e 0, 0,896. Dat klopt dus. c Totale gewicht = aantal vissen gewicht per vis. In formule: G(t) = N(t) F(t). Dus is G(t) = 000e 0,t ( 0,600 0,e 0,7t ) = 6600e 0,t 000e 0,t 0,e 0,7t = = 6600e 0,t 88 e 0,8t. Dat klopt. d G(t) is maimaal wanneer G (t) = 0. G (t) = 6600e 0,t 0, 88e 0,8t 0,8 = = 76 e 0,t + 60 e 0,8t. Via de GR: t, dus na circa maanden. Noordhoff Uitgevers v 8

9 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk De kettingregel Etra oefening a c f ( ) = = f ( ) = = f( ) = = ( ) f ( ) = ( ) = ( ) ( ) f( ) = = ( ) f ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) f = = f ( ) = ( ) = d ( ) ( ) a f ( ) = = ( ) f( ) = = ( ) ( ) f ( ) = ( ) = 6 f ( ) = ( ) = 6 ( ) a ( ) h ( ) = = h( ) ( ) ( ) = h( ) [ ln] h ( ) ln(ln ) = = = = = = ln ln ln ln h ( ) = ln ln = ln = c h ( ) = ln = ( ln) [ ] d h ( ) = = ( + 8) ( + 8) ( ) = ( + 8) = 6 ( + 8) = h 6 ( + 8) a c f ( ) = ln( ) f ( ) = = = g ( ) = e g ( ) = e = 6 e p ( ) = e q ( ) = d e p ( ) = e + 6 e e 6 e e (+ 6 ) (+ 6 ) q ( ) = = = e ( e ) ( e ) a f ( ) = ln ln f ( ) = ln = (ln ) ; f ( ) = 0 (ln ) = 0 ln = = e De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (e, ) Noordhoff Uitgevers v 9

10 Netwerk e editie vwo B f ( ) = + ( ) = + ( ) f ( ) = + = = 0 = = = = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, ) c f ( ) e = = = e e f ( ) = e + e = e e + + f ( ) = = ; f ( ) = 0 e e e e = 0 + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e) d f( ) = e f ( ) = e (+ ) ; f ( ) = 0 e (+ ) = 0 + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e ) e ( ) f ( ) = = ( ) ( ) = 0 = 0 = f ( ) = ( ) = ( ) ; f ( ) = 0 De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, ) f f( ) = e f ( ) = e + e = ( ) e ; f ( ) = 0 ( ) e + = 0 = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e) e ( + ) e e ( + ) e ( + ) e g f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = ( ) ( ) ( ) + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e ) ln ln ln 6 ln 6 f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = 0 = 0 ln ln ln ln ln 6 = 0 ln = = e De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (e, e ) h = 0 6 a c ( ) f = f ( ) = ln ( ) = ( ) ln ; f ( ) = 0 ( ) ln = 0 = 0 =. f () = is een minimum (zie plot) f ( ) = e ( ) f = e ; f ( ) = 0 e = 0 = 0 = 0 ; maar f (0) is geen etreem. ( ) f = f ( ) = ln ( ) ; f ( ) = 0 ln ( ) = 0 = 0 = = of =..; f () = is een minimum, f ( ) = 6 is een 6 maimum (zie plot). Noordhoff Uitgevers v 0

11 Netwerk e editie vwo B d f( ) f( ) = = f ( ) = ( ) ln ; f ( ) = 0 f ( ) = ln ( 8 ) ( ) ln = 0 ( ) = 0 = 0of = of =..; f (0) = is een minimum, f ( ) = 6 is een maimum, f ( ) = 6 is een maimum (zie plot). 7 + ( )( ) f( ) = = a ( )( ) f( ) = = 0 ( )( ) = 0 = of = of = of =. Het gaat dus om punten met -coördinaten en. ( 0 ) ( + ) f ( ) = ( 0 ) ( 0 + 8) 8 ( ) f ( ) = = = f () = 6, raaklijn: y = 6+ door (, 0) : 0 = 6 + = 6, dus y = 6+ 6 f () =, raaklijn: y = + door (, 0) : 0 = + = 6 dus y = 6 Evenwijdig aan de -as, dan is f ( ) = 0 = of = Dat is dus in de punten (, ) en (, ) ( ) = 0 = 0 = of = 8 a f() = g() =. Dat klopt dus. ( ) f( ) = = 9+ f ( ) = ( 9+ ) = 9 + ( 9+ ) De helling aan de grafiek van f is f () = = ( ) g( ) = 9+ = 9+ ( ) g ( ) = 9+ = 9 + De helling aan de grafiek van f is g () = c Raaklijn aan de grafiek van f : y = + door (, ) : = + = 0, dus y = + 0 Raaklijn aan de grafiek van g : y = + door (, ) : = + =, dus y = + De afstand van de snijpunten van de raaklijnen met de y-as is dus 8 De oppervlakte van de driehoek is dus 8 = 6 g ( ) = 0 (0 ) = 9 a ( ) g( ) = 0 = 0 ( ) De helling aan de grafiek van g is g () = 0 De raaklijn aan de grafiek van g : y = + door (, ) : = + =, dus y = + Noordhoff Uitgevers v

12 Netwerk e editie vwo B f ( ) = 0 ( 0) = ( ) f ( ) = 0 = 0 ( ) c De helling aan de grafiek van f is gelijk aan,, dus f ( ) =, =, Q, 0 f ( ) = 0 f ( ) = 0 h ( ) = h ( ) = ( ) = 0+ 0 f² en h² zijn voor geen enkele waarde van aan elkaar gelijk, derhalve zullen ook f en h voor geen enkele waarde van aan elkaar zijn. Noordhoff Uitgevers v

13 Netwerk e editie vwo B Doorwerking () () Vt () P t = = ( V t ) ( ) dp P () t = V() t V () t. Dus op t = is 0, dt = 0, = a f() =, f() = 7, f() = 6 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0 f() 0,79 0,7 0,70 0,69 0,7 0,7 0,80 0,8 0,9,0 c 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 f() 0,79 0,90 0,99 0,999 0,99998 d via de GR: = 0,7 ln ln e e = e = ln f f ( ) = e.[ ln] = ln+ = ( ln+ ) ; f ( ) = 0 ( ln + ) = 0 ln + = 0 ln = f() is dus minimaal voor = = e e De afname van de oppervlakte is: aan de lengte -kant: 8, 0,07 = 0,99 cm aan de reedte -kant: 8, 0,007 = 0,09 cm totaal ongeveer, cm a noem SA = en S P =. S P = S A ra rp = = = 0 r P = = 000 rp ra 0 0 = r P 00 8,7 7,66 dus 77 dm. ( ) ( ) + 0 = r r = + 0 = + 0 r = + 0 dus is S = = = r ( + 0 ) ( ) ds = = d ds = = d (00 + ) (00 + ) 00 + Dat klopt dus! ( ) ( ) r = 000,99 P a jaar d N( t) = N(0) g = g d = log c d =,0 log d Als er p% ij 00% komt, wordt het (00+p)%. De groeifactor is dan 00 + p p = + en de t p formule moet dan ook zijn: Nt () = N(0) + 00 Noordhoff Uitgevers v

14 Netwerk e editie vwo B t p e Nt () = N(0) + 00 ; ( ) d p N t = N(0) p + = 00 + d 00 = log. Met de regel voor grondtalverandering ij logaritmen en overstappen op het grondtal e wordt dit dan inderdaad: ln d =. p ln + 00 ln ln 0,69 f d = =, p ln( + ) ln, 0 0, ln ln 0,69 g d = = 9,0. p ln( + ) ln,08 0, Na 9 jaar is de waarde verdueld, na 7 jaar verachtvoudigd. h Als d p = 700 in plaats van d p = 70, dan wordt d tienmaal zo groot. Dan moet dat dus de tijd opleveren die nodig is om tienmaal te verduelen. En tienmaal met vermenigvuldigen is hetzelfde als vermenigvuldigen met 0 ofwel met 0. Deze d is daarmee inderdaad de tijd die nodig is om ongeveer 000 maal zo groot te worden. Noordhoff Uitgevers v

15 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Twee afgeleiden Etra oefening a In de jaren tot 996. In de jaren na 99. c Ongeveer ij t = 99,. a Toenemende daling. Afnemende daling. c Bol voor. d f ( ) > 0 wil zeggen dat f toeneemt, f ( ) < 0 wil zeggen dat f afneemt. Dus is er sprake van afnemende stijging. a f ( ) = = f ( ) ( ) = ; f ( ) 0 f = = 0 = of =. Tussen deze -waarden is er sprake van afname van f, f is echter alleen positief voor -waarden onder 0. Het interval is dus [,0]. a c d f ( ) 6 = f ( ) = = f ( ) = e = f ( ) ( ) = f = f ( ) e ln ln ln f( ) = f ( ) = = f = ( ) ( ) = 6 = f f ( ) = e + e = ( + ) e ln ln ln f ( ) = = = ( ) e e e e ( ) e ( ) 6 a f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = 0 = 0 = 0 = Het minimum van f is f() = e. Noordhoff Uitgevers v

16 Netwerk e editie vwo B e ( ) f ( ) = ( e ( ) + e ) e ( ) f ( ) = ( ) ( ) ( e e + e ) e ( ) e e ( ) f ( ) = = e e ( ) e ( + ) e ( + ) e f ( ) = = f ( ) = = ( + ) Voor een uigpunt moet f ( ) = 0. Daarvoor moet + ( = ( ) + ) = 0 en dat lukt niet. Dus heeft de grafiek van f geen uigpunt. 7 a f ( ) = ln= ln ( ) = = ; f ( ) 0 f = = = = 0 = 0 = Het minimum van f is f() =. De top van de grafiek is dus het punt (, ). f ( ) = = f ( ) = + f ( ) = + = + = Voor een uigpunt moet f ( ) = 0. Daarvoor moet = 0 = =. De grafiek heeft dus een uigpunt en dat heeft de coördinaten (, ln ). 8 a h( t) = 00 0,88t h () t =,76t h () t =,76 De zwaartekrachtversnelling op Io is dus,76 m/s. ht ( ) = ,88t = 0 0,88t = 00 t,6, dus na ongeveer 0,66 s ereikt het voorwerp de grond. Dat geeurt met een snelheid van h (0,66) =,76 0,66, dus met ongeveer 8,8 m/s. c Op Jupiter is h ( t) = 6, dus h ( t) = 6t en ht () = 00 t. ht ( ) = 0 00 t = 0 t = 00 t 7,69, dus na ongeveer,77 s ereikt het voorwerp de grond. Dat geeurt op Jupiter met een snelheid van h (,77) = 6,77, dus met ongeveer 7 m/s. 9 a Zie grafiek hiernaast. S = t 6t + 6= ( t t+ ). S = (( t ) + ) S is dus altijd positief, hetgeen etekent dat S altijd toeneemt met toenemende t. c S = t 6t + 6 S = 6t 6, dus S heeft een etreem voor t =, een minimum omdat S overgaat van afname naar toename. S () = =, dus is de opstijfsnelheid nooit minder dan graden per uur. De opstijfsnelheid zit dus op elk moment oven de ondergrens. Noordhoff Uitgevers v 6

17 Netwerk e editie vwo B Doorwerking f ( ) = + a f ( ) = + a f ( ) = + 6a 0 Er zijn drie uigpunten als f ( ) = 0 drie verschillende oplossingen heeft. + 6a= 0 ( 6+ a) = 0, dus moet de discriminant D van 6+ a positief zijn. D = ( 6) a = 6 a. D is positief voor a <. Daarnaast mag a niet gelijk zijn aan 0, omdat dan de oplossing = 0 tweemaal voorkomt. a Anders is er geen sprake van een derdegraads functie. f ( ) = a + + c + d f ( ) = a + + c f ( ) = 6a+. f ( ) = 0is een lineaire vergelijking met precies één oplossing. De grafiek van f heeft inderdaad precies één uigpunt. c 6a + = 0 = = 6a a d Horizontaal, dan is a + + c = 0; uigpunt, dan is = =, dus 6a a a c 0 a + + = a + c = 0 c = a a a a h ( ) = = =, h ( ) = 0 = 0 =. Dus het snijpunt van de grafiek met de -as is het punt (,0). h = = 8( ) 8 = of =. ( ) 8 = = ( )( ) = 0 h( ) < (zie ook de grafiek) < < 8 c f ( ) = ln( ) = ln( ) f ( ) = = = h( ) d f ( ) = 0 h ( ) = 0 =. De etreme waarde van f treedt daarom op voor = en is ongeveer,78. Deze etreme waarde is een maimum. Immers, f ( ) = = + = + is voor = is gelijk aan 6, dat is negatief, de afgeleide neemt dus af, moet dus overgaan van positief naar negatief, dit etekent dat de functie zelf overgaat van stijgen naar dalen. e Dat uigpunt in de grafiek van f vind je ij die waarde van waarvoor h minimaal is. (Het wordt dus een uigpunt met maimale daling) h ( ) = f ( ) = + ; h ( ) = = = = (met 0 ) = = f Als h ook de afgeleide functie van een functie g moet zijn, zullen h en g alleen een constante kunnen verschillen: g( ) = ln( ) + C ; g () = 0, dus ln( ) + C = 0 0+ C = 0 C =. Dus g ( ) = ln( ) + Noordhoff Uitgevers v 7

18 Netwerk e editie vwo B a c d = n +... =. Dus a 0 = 0 e a0 a a a a n f = a + a + a + + n a + = e n ( )... n... 0 n e = a + a 0 + a n a n =. Dus a = n f ( ) = a + 6a + a n( n ) a +... = e 0 n e = a + 6a 0 + a n( n ) a n =. Dus a = f ( ) = 6a + a + 60 a n( n )( n ) a +... = e () n n () n 6 n n f ( ) = a + 0a + 60 a n( n )( n )( n ) a +... = e f ( ) = 0a + 70 a n( n )( n )( n )( n ) a +... = e () n 6 n Het klopt dus dat f () (0) =! a. a = / 0 e a n = / n! f n e = n! g n e = ( n )! a Dat is op het interval 0,8 0, Je moet ervoor zorgen dat 0,9 Y / Y,0 0,7 0, 8 c,6, 6 6 a n f( ) = a + a + a + a a n n f(0) = ln( + 0) = a0 + a 0 + a 0 + a a n = 0. Dus a 0 = 0 n f ( ) = a + a+ a n an +... = + n f (0) = a + a 0 + a n a n =. Dus a = + 0 n f ( ) = a + 6a+ a n( n ) an +... = = + = + + n f (0) = a + 6a 0 + a n( n ) a n =. Dus a = ( ) ( ) f ( ) = ln( + ) ; ln, = f (0,) 0, 0 g( ) 0 = + ; Dat is een onderschatting van zo n 7,%. ln, g(0,) 0, 0, = 0, 7 Noordhoff Uitgevers v 8

19 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Bewijzen in driehoeken Etra oefening a DPC = 0, APB = Nee. a l // m, dus plus =80 o. plus = 90 o. In driehoek ABS moet hoek S dus recht zijn. Het ewijs loopt nu precies omgekeerd: in driehoek ABS is hoek S recht. Daarom moet plus = 90 o zijn en is plus =80 o. Daaruit volgt dat l // m. Zie de figuur hiernaast. In ΔABC is A = 90, A+ B+ C = 80, dus B+ C = 90, dus B + B + C + C = 90 B = B, C = C, dus B + C =. Dus is BCS = en zijn de andere hoeken ij S ook respectievelijk. CAB = QRB (F-hoeken), dus QRB = 0 CBA = PRA (F-hoeken), dus PRA = 60 ARB is een gestrekte hoek, dus R = = 70 a CAB = ACD (Z-hoeken). En evenzo: DBA = BDC (Z-hoeken). Dus is ΔABS ~ΔCDS (hh). Uit deze gelijkvormigheid volgt de volgende verhoudingstael: ΔABS AB = AS = BS = ΔCDS CD = CS = DS = DS AS = BS CS, dus DS =, dus DS = 6. 6 Zie de figuur hiernaast. Δ ADC Δ BDC, want AC = BC, DC = DC en ACD = BCD 7 Δ ADC ~ Δ BEC, want ADC = BEC en C = C (hh) Δ ASE ~ Δ BSD, want ASE = BSD en AES = BDS (hh) Δ ADC ~ Δ AES, want ADC = AES en A = A (hh) Δ BDS ~ Δ BEC, want BDS = BEC en B= B (hh) 8 AD = BE; ADB = BEA ; AE = BD ΔADB Δ BEA ABD = BAE (ZZR). Dus driehoek ABC is gelijkenig. Noordhoff Uitgevers v 9

20 Netwerk e editie vwo B 9 a Δ DEB Δ DAC, want DE = DA, DB = DC en EDB = ADC. Dit laatste valt als volgt te ewijzen: ADB = ADB, EDA = BCD, dus ADB + EDA = ADB + BCD EDB = ADC EB = AC c Zie de figuur hiernaast. Δ APQ ~ Δ EPD, want DEP = QAP en EPD = APQ Δ DCR =Δ QBR, want DCR = QBR en DRC = QRB Δ DBC ~ Δ DEA, want BDC = EDA en de andere hoeken in eide driehoeken zijn allen gelijk, namelijk ½(80 BDC ) respectievelijk ½(80 EDA ) en BDC = EDA 0 Laten we ervan uitgaan dat ABE een gestrekte hoek is. Dan is CAB = DBE (Z-hoeken). En ook: CBA = DEB (Z-hoeken). Dan is DBE = 80 en DEB = 70. Maar dat is in strijd met het gegeven dat deze twee hoeken juist aan elkaar gelijk zijn. Daarom kan ABE geen gestrekte hoek zijn. Δ ABE Δ CDE, want AE = CE, ABE = CDE en EAB = ECD (ZHH). Hieruit volgt dat AB = CD. Noordhoff Uitgevers v 0

21 Netwerk e editie vwo B Doorwerking Zet kruisjes en rondjes ij gelijke hoeken. plus =80 o, dus plus = 90 o. Zie de figuur hiernaast. Kies P op BC zodat BP = AD = BE en trek DP. Nu is Δ CAB een vergroting van Δ CDP (dus is Δ CDP ~ Δ CAB ) en dus is DP // AB. Daardoor is Δ EBF een vergroting van Δ EPD (dus is Δ EPD ~ Δ EBF ) met factor en dus is DF = EF. Zie de figuur hiernaast. a Δ PFD Δ DGP, want PFDG is een rechthoek, dus PF = DG, FD = GP en eide driehoeken heen een rechte hoek. Δ PGA Δ AEP, want APG = ( ABC) = PAE, PGA = AEP( = 90 ) en PA = AP. Bij het eerste congruentiegeval van a is al genoemd: PF = GD. Uit het tweede congruentiegeval van a volgt: AG = EP. Uit deze twee volgt dat AG + GD (= AD ) = PF + PE. Zie de figuur hiernaast. Trek BG loodrecht op PE. Nu is BGED een rechthoek (met BD = GE) en Δ BPF Δ BPG, omdat PBF( = CBA, overstaande hoeken) = PBG( = BAC, F hoeken), BFP = BGP( = 90 ) en BP = BP. Nu kunnen we concluderen: PE = PG + GE, GE = BD, PG = PF, dus PE = PF + BD en BD = PE PF. Δ AQR Δ APR, want AQ = AP, QR = PR en AR = AR. Dus is QAR = PAR en is AR de deellijn van hoek A. 6 A = C, dus AE = CE en dus ook AE = BE Nu is Δ ADE Δ BDE, want AD = BD, AE = BE en ED = ED. Dus is ADE = BDE = 90 7 a ABCD is een vierkant en heeft dus vier gelijke zijden. AP = BQ = CR = DS en dus is ook AS = BP = CQ = DR. De vier driehoeken heen ook allen een rechte hoek en daarmee is ewezen dat de vier driehoeken congruent zijn en dat de zijden van de kleine vierhoek gelijk zijn. Verder is SPQ = 90, omdat ASP + APS = 90, ASP = BPQ en ook BPQ + APS = 90. Zo is ook te ewijzen dat de andere hoeken van PQRS recht zijn, waarmee ewezen is dat PQRS een vierkant is. De oppervlakte van vierkant ABCD = (AP + PB) = AP + AP PB + PB De oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken = ½ AP AS = AP PB. Dus is AP + PB = oppervlakte van vierkant ABCD minus de vier rechthoekige = de oppervlakte van PQRS, ofwel AP + PB = PQ, maar ook BQ + PB = PQ. Noordhoff Uitgevers v

22 Netwerk e editie vwo B 8 a Zie de tekening hiernaast. Als de enen van A loodrecht staan op de enen van B, dan is A = B òf A + B = 80 o. B A Noordhoff Uitgevers v

23 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels Etra oefening a Trek AB, epaal M en teken c. Het middelpunt M van c is het midden van AB. Trek nu MN AS. Zie de figuur hiernaast. MN is de middenparallel in driehoek ABS en dus is AN = SN. Nu geldt: Δ AMN Δ SMN, want AN = SN, MN = MN en AMN = SMN( = 90 ). Dus is AM = SM ( = BM ) en daarom ligt S op c. c P ligt op c. Dan is MA = MB = MP. Zie de figuur hiernaast. MAP = MPA, MBP = MPB, MAP + MPA + MBP + MPB = 80, hieruit volgt dat MPA + MPB = APB = 90. Dus kan P een snijpunt zijn van l en m. d Als de hoek tussen l en m recht is, ligt het snijpunt op c (); als het snijpunt op c ligt, is de hoek tussen l en m recht (c); er kunnen dus geen andere punten op c liggen. Laat M AB het midden zijn van AB. Laat verder D het punt op BC zijn waarij DD //AB en M DD het midden van DD. De meetkundige plaats van de middens van PQ is nu het lijnstuk CM DD (de zwaartelijn in driehoek CDD ) samen met het lijnstuk M DD M AB (een gedeelte van de zwaartelijn in driehoek ABS, met S het snijpunt van AD en BC). a De meetkundige plaats van alle punten P is de halve cirkel waarvan AD de middellijn is. Immers, P is recht. (Vergelijk ook opgave ). Het ewijs loopt analoog aan het ewijs ij opgave. Zie de figuur hiernaast. VV is de genoemde hoogtelijn uit V. (die ook zwaartelijn et cetera is ) Vanwege de symmetrie in de figuur moet V het middelpunt van de genoemde cirkel zijn. Eén van de raakpunten noemen we R, zodat V R de straal van de edoelde cirkel is. De oppervlakte van driehoek V VT is nu op twee manieren uit te rekenen: VV VT = = 6 en VT VR = VR = VR. ( VT = VT + VV = + = ) Hieruit volgt: VR = 6 en VR =. a M is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Omdat CM = CM, PM = QM en CPM = CQM ( = 90 ) is Δ CPM Δ CQM en is CP = CQ. Dus is ook Q = P. Omdat Q en Q overstaande hoeken zijn en E en P Z-hoeken, is daarmee ewezen dat E = Q. Het ewijs dat D = R loopt analoog aan het ewijs dat E = Q. c Analoog aan het ewijs ij a dat CP = CQ verloopt het ewijs dat AR = AQ. Omdat E = Q is AQ = AE en omdat D = R is AR = AD. Waaruit volgt dat AE = AD. Noordhoff Uitgevers v

24 Netwerk e editie vwo B 6 a PTQ = 90, dus ligt T op de halve cirkel met PQ als middellijn. PSQ = 90, dus ligt S op de halve cirkel met PQ als middellijn. Dus heen driehoek PQS en driehoek PQT dezelfde omgeschreven cirkel. Zie de tekening hiernaast. 7 In driehoek MAP is MA = MP, dus MAP = MPA( = 0 ) en AMP = 0. In driehoek MQB is MQ = MB, dus MQB = MBQ( = 0 ) en QMB = 0. AMB is een gestrekte hoek, dus moet ook PMQ een gestrekte hoek zijn. A. M P B Q 8 a Zie de tekening hiernaast. ADE = DAE =, dus DEA = 90. Aldus zijn ook de andere hoeken in vierhoek EFGH recht en is vierhoek EFGH dus een rechthoek. Verder is lijn EG een symmetrieas in de figuur, dus is EH = EF. Daarmee is ewezen dat vierhoek EFGH een vierkant is. D A E H F G C B 9 Als die cirkel AA in A en BB in B moet raken, moet er sprake zijn van rechte hoeken ij A en B (dat is het geval!) en moet MA = MB. Dat laatste volgt uit de congruentie van de driehoeken AMA en BMB. Deze congruentie is te ewijzen via AM = BM (CM is zwaartelijn), AMA = BMB en AA M = BB M ( = 90 ). A C M A B B Noordhoff Uitgevers v

25 Netwerk e editie vwo B Doorwerking OABC OABI OBCI OACI = + +. Van elk van de driehoeken ABI, BCI en ACI is de straal r van de ingeschreven cirkel de hoogte. Dus O = AB r + BC r + AC r is ABC OABC r ( AB BC AC) OABC = + +, dus OABC = r omtrek. Inderdaad is dus r =. omtrek O 6 a ABC r = = =. Dus is straal,9. omtrek De lengte van de straal van de omgeschreven cirkel is in een rechthoekige driehoek gelijk aan de helft van de schuine zijde. Dus is straal =. c Zie de tekening hiernaast. O is het middelpunt van de omgeschreven cirkel, I dat van de ingeschreven cirkel. OI is dus de gevraagde afstand. O en I zijn de projecties van O en I op PR, O en I zijn de projecties op PQ. O is het midden van PR, I P = r met r de straal van de ingeschreven cirkel. O is het midden van PQ, I P = r. K is het snijpunt van I I en OO. Met Pythagoras is nu: IO = IK + KO. Hierin is IK= IK II = PO PI = 0,606 en 0 + KO= OO OK = PO PI =,606 en daarom is 0 + IO = 0,606 +,606,76. a IP is de straal van de ingeschreven cirkel. Dus is IP = IQ. Maar ook is IP = EB. Dus is IQ = EB. Verder is IFQ = BFE en zijn IQF en BEF eide recht. Dus zijn de driehoeken BEF en IQF inderdaad congruent. Net als ij a valt te ewijzen dat de driehoeken DGT en IQT congruent zijn. Verplaatsen van driehoek IQT naar driehoek DGT en van driehoek IQF naar driehoek BEF maakt van rechthoek IECG precies driehoek BCD. Waarmee het gevraagde ewijs geleverd is. c Deze stelling is juist. Genoemde stukken zijn DQ en BQ en deze zijn even lang als respectievelijk GI en EI. Die gelijkheden volgen uit de ewezen congruenties. Noordhoff Uitgevers v

26 Netwerk e editie vwo B a AC AD CD = + = + =, CB CD BD = + = + = AB = 8 AC + BC = + = 66. Dus is driehoek ABC niet rechthoekig. Teken (twee) deellijnen en vind aldus het middelpunt van de ingeschreven cirkel en teken vervolgens die cirkel. O 8 c ABC r = = =, 69. omtrek a De gelijkvormigheid volgt uit ACE = BCF en AEC = BFC. Ook de driehoeken ADE en BDF zijn gelijkvormig: de hoeken D in eide driehoeken zijn overstaand en dus aan elkaar gelijk, terwijl eide driehoeken ook een rechte hoek heen. Uit de gelijkvormigheid van a volgt CA : CB = AE : BF, uit de hiervoor aangetoonde gelijkvormigheid volgt AD : BD = AE : BF Uit deze eide volgt dat AD : BD = CA : CB. 6 a Deze gelijkvormigheid volgt uit: A = A en APQ = ADC. Uit de gelijkvormigheid volgt AP : AD = PQ : DC. Hieruit volgt dat c Deze gelijkvormigheid volgt uit: B= B en BPR = BDC. d Uit de gelijkvormigheid volgt BP : BD = PR : DC. Hieruit volgt dat e AP BP AP BP PQ+ PR= CD+ CD= CD AD BD + AD BD AP + BP AD PQ+ PR= CD= CD= CD AD AD AP PQ = CD. AD BP PR= CD. BD 7 a Zie de tekening hiernaast. Construeer daartoe de middelloodlijn van BP. c Het snijpunt van de middelloodlijn van BP met AP moet punt C zijn. Immers, omdat C op de middelloodlijn ligt, is CB = CP. Noordhoff Uitgevers v 6

27 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk 7 Goniometrie Etra oefening sin a tan = = 0,7 sin = 0,7cos ; sin + cos =. Nu geldt dus: (0, 7 cos ) + cos = cos, 9 cos = cos = met in III is nu cos =,9,9 en sin = 0,7,9 cos = 0, 7 ; sin + cos =. Nu geldt dus: sin + ( 0,7) = sin = 0, met in III is sin 0, nu sin = 0, ; en met tan = is dus tan = 0,7 cos c sin = 0, ; sin + cos =. Dus is ( 0,) + cos = cos = 0, 9 ; met in IV is nu sin 0, cos = 0,9 en met tan = is dus tan = 0,9 cos sin d tan = =, sin =,cos. sin + cos =. Dus is (,cos ) + cos = cos,69cos = cos = met in II is nu cos = en sin =, e cos = 0, 6 ; sin = 0,8 ; en met f sin = 0, ; cos = 0,96 en met sin cos,69 + =. Dus is sin + (0, 6) = sin tan = is dus tan = cos sin + cos =. Dus is (0,) + cos = sin 0, tan = is dus tan = cos 0,96,69,69 sin = 0, 6 met in IV is nu cos = 0, 96 ; met in I is nu a sin = = sin π = π+ k π = π+ k π sin = 0,7 sin 0,8 = 0,8 + k π =,09 + k π sin = = sin π = π+ k π = π+ k π c d sin = 0,8 sin 0,997 = 0,997 + k π =, + k π sin = = sin π = π+ k π = π+ k π e f sin = 0,8 sin,7 =,7 + k π =,08 + k π g sin = = sin π = π+ k π = π+ k π h sin = 0, sin 0,0 = 0,0+ k π =,7+ k π a cos = = cos π = π+ k π = π+ k π cos = 0, 9 cos 0, 0 = 0,0 + k π =,880 + k π cos = = cos π = π+ k π = π+ k π c d cos = 0,7 cos, 00 =, 00 + k π =,88 + k π e cos = = cosπ =π+ k π f cos = 0, 79 cos,88 =,88 + k π =,09 + k π cos = = cos π = π+ k π = π+ k π g h cos = 0, cos,80 =,80 + k π =,80 + k π Noordhoff Uitgevers v 7

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12

Katern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12 Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I Eindexamen wiskunde B- vwo 00-I 4 Antwoordmodel Boottocht Het gezochte punt is het snijpunt van en de middelloodlijn van het lijnstuk van het punt P aximumscore 6 = =, met het midden van dus = 90 Het punt

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden 6.1 Kijkhoeken[1] Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; De twee rode lijnen zijn kijklijnen; De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )

Nadere informatie

C + E = 180 ( AEBC is een koordenvierhoek)

C + E = 180 ( AEBC is een koordenvierhoek) G&R vwo B deel 4 1 Bewijzen in de vlakke meetkunde C von Schwartzenberg 1/16 1 Vermoeden: ACB is constant (in figuur 11 als punt C over de bovenste boog AB loopt) a * 3a * b * 3b Vermoeden: De drie cirkels

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1 H5 Ruimtelijke figuren in het plat VWO 5.0 INTRO a een vierkant ; een lijnstuk ; een vierkant Bijvooreeld zo: Het laagste punt is het midden van het grondvlak. Snij van een kurk aan weerszijden een stuk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde. Syllabus voortentamen Wiskunde B Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Syllabus voortentamen Wiskunde B Deze syllabus bevat een beschrijving van het programma van het voortentamen Wiskunde B dat wordt afgenomen door de Centrale Commissie

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a Voorkennis C A m B C = 10 = 9 ABC is geen rehthoekige driehoek. V-a K m L d M = 10 = 90 L 0 M De rehthoekszijden zijn de zijden LM en KM. De langste zijde is zijde KL. d zijde kwadraat LM = 0 KL =

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES 80 56 0. us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk Mahtsfunties ladzijde 9 Va Voor elke 0 geldt: > 0. Dus de grafiek van f ligt oven de as. 9 of De yas is symmetrieas. d Het punt (0 0). Va y 0 ( ) 0 0 of 0 0 of 0 of of De oördinaten van de snijpunten

Nadere informatie

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO

H15 GELIJKVORMIGHEID VWO Hoofstuk 5 Gelijkvormighei VWO 5 Vergroten en verkleinen a 5 a 9 riehoekjes, zie plaatje: a 0,5:,9, en :, ij 9 inh 7 0,5,57 m ij 7 5 5,9 5,95 m 6,9 0,7 m 9 e 6 a a Die van ij Die van 0 ij 0, ie van 8 ij

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde Opstap eellijn, hoogtelijn, samen 180 en samen 360 O-1a P 60º R d O-2a O-3a d P x x Q e drie deellijnen van de driehoek gaan inderdaad door één punt. M O Zie opdraht O-2a. U S V T UV is de hoogtelijn op

Nadere informatie

2008-I Achtkromme de vragen 9 12

2008-I Achtkromme de vragen 9 12 008-I Achtkrmme de vragen 9 Drie gnimetrische frmules vraf. De verdubbelingsfrmule: sin t = sin t cs t vlgt met t = u uit sin t + sin u = sin t cs u + cs t sin u Pythagras: sin tcs t Lengte parameterkrmme:

Nadere informatie

Gerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde.

Gerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde. Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi, gerichte lengtes Trainingsweekend, 16 februari 2008 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

9 6,5 + 4 is ongeveer 11, dus 7 Vlamingen en 4 Walen. 11 abcde

9 6,5 + 4 is ongeveer 11, dus 7 Vlamingen en 4 Walen. 11 abcde Hoofdstuk GELIJKVORMIGHEID HAVO. INTRO a g Nee, de gezichten zijn even groot, terwijl de lengtes verschillen. h Ja, alle lengtes van de kleine driehoek worden met,4 vermenigvuldigd. Ja, want van Nils driehoek

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2013

Correctievoorschrift VWO 2013 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( ) 77 0,0780,0030 R 7, ( ) 70 0,0780,0030 Dus de overlevingstijd is 70 keer

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 ijdvak Inzenden scores Uiterlijk op 0 mei de scores van de alfabetisch eerste tien kandidaten per school

Nadere informatie

De Stelling van Pascal Inhoud

De Stelling van Pascal Inhoud De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Gelijkvormigheid Voorkennis V-1a /A = 74, /B 1 = 18 en /D 1 = 88 /A + /B 1 + /D 1 = 74 + 18 + 88 = 180 c /B = 104, /C = 55 en /D = 1 d /B = /B 1 + /B = 18 + 104 = 1 en /D = /D 1 + /D = 88 +

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3:

Hoofdstuk 5: Werken met formules. 5.1 Stelsels vergelijkingen. Opgave 1: 44 110 dus 110 bolletjes. 24 15 dus 15 broden. Opgave 2: Opgave 3: Hoofdstuk 5: Werken met formules 5. Stelsels vergelijkingen Opgave : a. 60 0,6 44 44 0 dus 0 bolletjes 0,4 b. 60 90 0,4 4 4 5 dus 5 broden,6 c.,6 0,4 y 60 Opgave : a. 5 y 50 y 5 50 y,5 0 b. p q 6 p q 6

Nadere informatie

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen

Nadere informatie