Helpdesk uitwerkingen Hoofdstuk 1 Differentiëren
|
|
- Melissa Claessens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Differentiëren Etra oefeningen a c 9 8 f ( ) = f ( ) = 9 p( q) = q p ( q) = q 0 () t = = t () t = t = t t a f ( ) = f ( ) = = 0 6 g( ) = 7 g ( ) = 7 + 0= + c () t = t + t+ = t + t + () t = t + t + 0= t + = t + t t q 9 d kq ( ) = + = q + q k ( q) = q + q 0= q 9 q = q q q a ( ) = f 0 f ( ) =. f () = = 7 Raaklijn : y = a+ = + door (, 7) : 7= 7 + = 7 dus y = 7 7 f ( ) = f ( ) =. f () = = 8. Raaklijn : y = a+ = 8+ door (, 0) : 0= 8 + = 6 dus y = 8+ 6 c f( ) = = f ( ) = 0=. f () = = Raaklijn y = a+ = + door (, ) : = + = 0 dus y = a ht () = t + h () t = t. h () = Raaklijn y = at + = t + door (, ) : = + = dus y = t t = 0 h=. Dat is dus het punt (0, ). c Punt (0, ) moet dus het punt (0, 0) worden. Het geheel moet dus omhoog geschoven worden. d ht () = t + a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) + ( + ) f ( ) = + ( ) [ + ] ( + ) [ ] ( ) (+ ) f ( ) = = 6 (6+ ) f ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v
2 Netwerk e editie vwo B c d = = f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = ( + ) + ( + ) = f ( ) = = ( + ) ( + ) ( ) f ( ) = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = = ( + ) f ( ) = ( + ) ( + ) ( + ) 6 a c d f ( ) = 7+ 6 f ( ) = 7; f () = 7 = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = dus y = f ( ) = + + f ( ) = ; f () = = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = 6 dus y = + 6 f ( ) = f ( ) = = ; f () = Raaklijn: y = + door (, ) : = + = dus y = + 6 ( + ) [ 6] 6 + f ( ) = f ( ) = + + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f ( ) = = = ; f () = 0 Raaklijn: y = 0 + door (, ) : = 0+ = dus y = 7 a f ( ) = + + f ( ) = + ; f ( ) = 0 + = 0 = 0 ; f (0) is een etreem: een minimum (zie plot) ( + ) g( ) = g ( ) = = ; g ( ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) = 0 = 0 0 = 0 = 0 ; g (0) is een etreem: een maimum (zie plot) c h( ) = + h ( ) = ; h ( ) = 0 + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0of = ; h (0) is geen etreem, h ( ) is wel een etreem: een minimum (zie plot) ( ) ( ) ( ) d j( ) = j ( ) = ( ) ( + ) ( ) 8+ j ( ) = = ( ) ( ) ; j ( ) = ( 6)( ) = = 0 ( ) ( ) = 6of = ; j () is een etreem: een minimum, j (6) is een etreem: een maimum (zie plot) Noordhoff Uitgevers v
3 Netwerk e editie vwo B 8 a q(,0) = 90; q() = 0 q = 00 00p c O = p(00 00p) = 00p + 00p d O = 600p + 00; O = p+00 = 0 p =,7; O ma = 90, e w(,0) = 0,70; w() =, f w(p) = p 0,8 g W(p) = (p 0,8)(00 00p) h W(p) = 00p + 80p 8 W (p) = 600p + 80 ; W (p) = 0 00p + 80 = 0 p =,; W =, Noordhoff Uitgevers v
4 Netwerk e editie vwo B Doorwerking a Δ y = Δ f( p) p f(p) f ( ) = ; f(p) = p p = of p = p = p + p p =p + p = 8 a door q : V = f, door q : V = f 0. 8 V = V + V = f + f 0 ( 0 ) V = f + = f + ( 0 ) ( 0 ) 0 0 dus V = f ( 0 ) 6 ( 0 + 6)( 0 ) V = f V = f 0 ( 0 ) 60 6 ( ) V f = V = f ( 0 ) ( 0 ) V 0 f + = = = = 0 ( 0 ) ( 0)( + 0) = 0 = of = 0 dus 0 = / dv c In is de noemer positief (voor tussen 0 en 0). De teller is een kwadratische functie met een d minimum voor tussen = 0 en = /. De teller is dus negatief voor kleiner dan 0 is en positief voor waarden van groter dan 0. De potentiaal daalt tot = 0 en stijgt daarna. De potentiaal heeft dus een minimum voor = 0. Q Q d Door q : V = f, door q : V = f 0. Q Q V = V + V = f + f 0 ( 0 ) 0 0 V = f. Q + = f Q + ( 0 ) ( 0 ) 0 0 dus V = f Q 0 ( 0 ) 0 0 ( 0 ) V = f. Q = f. Q ( 0 ) ( 0 ) V = 0 f. Q = = 0 = dus ( 0 ) 0 = Als de raaklijnen loodrecht op elkaar staan, dan moeten ze, vanwege de symmetrie, eide een hoek van º met de horizontale as maken. Ze moeten dus hellingsgetallen heen van respectievelijk. f ( ) = f ( ) = ; f ( ) = = ½, zo ook = ½, De vergelijking van de raaklijn in (½, / ) wordt daarmee: y = + en A het punt (0, ¼) Noordhoff Uitgevers v
5 Netwerk e editie vwo B a 8 s as= = = de vergelijking is dus =. a f () = 9. T = (, 9 ) c f (0) = 7. Dus P (0, 7) ligt op de paraool. d f ( ) = f ( ) = 8; f (0) = 8 Raaklijn: y = 8+ door (0, 7); 7 = = 7 dus y = 8+ 7 e =, dus y = en S = (, ) f ys + yp = + 7 = 8, yt 9 g f ( ) = a + + c f ( ) = a+ ; f ( ) = 0 a + = 0 a = = a Dus voor de top T ( T, y T ) geldt inderdaad: T = a h yt = a c a c c a + + = + + = + dus yt = + c a a a a a a i yp = ap + P + c j f ( ) = a+ ; voor de raaklijn in P aan de paraool geldt dus hg = f ( P) = ap + k raaklijn: y = ( ap + ) +... door ( P,( ap + P + c)) : ap + P + c = ( ap + ) P +... ap + P + c = ap + P +... c= ap = c ap dus y = ( ap + ) ap + c l De symmetrieas heeft de vergelijking =. De -coördinaat van S is dus S =, a a de y-coördinaat van S is dan ys = ( ap + ) S ap + c ys = ( ap + ) ap + c a ys = P ap + c a m ( yp + ys) = ap + P + c P ap + c = c + a a ( yp + ys) = + c= yt. Het klopt dus! a Noordhoff Uitgevers v
6 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Eponenten en logaritmen Etra oefening a groeifactor per maand: groeifactor per kwartaal: c groeifactor per week:, `=, 009, `=,087, `=, a h = 0, h 0,99986 t = log 0,8 log 0,8 60 t h 0,99986 c h = 0,7 t = log 0,7 log 0, 7 07 a 7,07,0097 K(t) = (,07) 0 = ; K(t) = (,07) =,. Groeisnelheid dus 0,:7 = 0,0 per dag. c K(t) = (,07) 9 = 8,08 ; K(t) = (,07) 0 = 9,. Groeisnelheid dus,7:7 = 0,8 per dag. a c + 6 7= 0 ( + 9)( ) = 0 = 9of = ( ) = ( + 9)( ) = 0 = 9of = = e + = d e + e = 0 e + 6= 0 ( )( ) = 0 = of = e + = 0 ( ) e e + = 0 + (via de ac-formule): e = of e = ln + of ln = = e (ln ) + ln = 0 ln (ln + ) = 0 ln = 0 of ln = = of = e 0 = =, 7 0,7 0 0, a N (t) = 0 e -t = 0 e t N () = 0 e 0 ( 0,008) 0 y 7 a Zie grafiek hiernaast. Y () = ln. Dus is de helling van de grafiek in het punt (, ): ln. c Beide grafieken zijn symmetrisch in de y-as. De helling van de grafiek van Y in het punt (, ) is dus ln. 8 6 Noordhoff Uitgevers v 6
7 Netwerk e editie vwo B 8 a ln g = 0,6 g = e 0,6 (,8 ) ln g = g = e ( 0,086 ) 9 a 0 ¼ c e 0 a f () = 0 ln0 = ln0 0 g (t) = ¼ t ln ¼ = ln ¼ ¼ t c h (s) = e s = e s a f ( ) = ln f ( ) = dus m = p raaklijn is y = + ; in P(p, ln p), dus ln p = p+ = + en = + ln p. Dus het klopt. p p c y = 0 y =. Dus m = d m = m = p = p e Als de raaklijn door de oorsprong gaat, is = 0. Dus + ln p = 0 ln p =. Dus p = e. a f() = e f () = e ; f (0) = e 0 =. Raaklijn is y = + ; in (0, ); dus = 0 + = en = ; dus y = + f () = e = e. Raaklijn is y = e + ; in (, e), dus e= e + en = 0 ; dus y = e c P is het punt (p, e p ). De richtingscoëfficiënt m van de raaklijn in P is e p. In de figuur is de PR richtingscoëfficiënt m =. Hierin is PR = e p en is ook m = e p. Dus is QR =. QR Noordhoff Uitgevers v 7
8 Netwerk e editie vwo B Doorwerking a 0,98h d ρ 0,98h ρ = e = 0,98 e dh dh = 6 (0 e 0,) = 6 (0, e ) = 6, e dt 0,h 0,h 0,h a dt t t Vt () = = 0 e = 9 e dt t t Vt ( ) c(9 (9 e = )) = c (9 9 + e ) Vt () = c e = 9 e Dat klopt dus, met c = t t a e a 0 = ½ a 0 = ln ½ a = 0, ln½ ( 0,069) e 0,0 = 0,0 0,0 = ln 0,0 = 0 ln0,0 ( 0 mm) a f () = e ; f ( ) = e - = e. Raaklijn is y = + ; in (, e e ); dus = + en = ; dus y = + = + e e e e e e e Δ y e e = = e (,7) Δ e c Omdat in elk punt van de grafiek geldt dat de helling van de raaklijn gelijk is aan de -coördinaat van dat punt, geldt dit in het punt met -coördinaat e. De y-coördinaat van dat punt is dan gelijk aan e e e e. a Voor grote waarden van t loopt de grafiek naar een grenswaarde toe. moet dus kleiner zijn dan. Voor grote waarden van t is a t 0. Daarom is c = 800. Voor t = 0 is t =, daarom moet c a = 00 zijn en is a = 700. Voor t = 6 is H 700. Dus is = = 00 6 = 00 / 700 = / 7 6 = 7 ( 0,7) Afname 0,0% wil zeggen een groeifactor (per dag) g d = 0,9997. Dat is per jaar een groeifactor g j = 0, ,896. Ook e 0, 0,896. Dat klopt dus. c Totale gewicht = aantal vissen gewicht per vis. In formule: G(t) = N(t) F(t). Dus is G(t) = 000e 0,t ( 0,600 0,e 0,7t ) = 6600e 0,t 000e 0,t 0,e 0,7t = = 6600e 0,t 88 e 0,8t. Dat klopt. d G(t) is maimaal wanneer G (t) = 0. G (t) = 6600e 0,t 0, 88e 0,8t 0,8 = = 76 e 0,t + 60 e 0,8t. Via de GR: t, dus na circa maanden. Noordhoff Uitgevers v 8
9 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk De kettingregel Etra oefening a c f ( ) = = f ( ) = = f( ) = = ( ) f ( ) = ( ) = ( ) ( ) f( ) = = ( ) f ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) f = = f ( ) = ( ) = d ( ) ( ) a f ( ) = = ( ) f( ) = = ( ) ( ) f ( ) = ( ) = 6 f ( ) = ( ) = 6 ( ) a ( ) h ( ) = = h( ) ( ) ( ) = h( ) [ ln] h ( ) ln(ln ) = = = = = = ln ln ln ln h ( ) = ln ln = ln = c h ( ) = ln = ( ln) [ ] d h ( ) = = ( + 8) ( + 8) ( ) = ( + 8) = 6 ( + 8) = h 6 ( + 8) a c f ( ) = ln( ) f ( ) = = = g ( ) = e g ( ) = e = 6 e p ( ) = e q ( ) = d e p ( ) = e + 6 e e 6 e e (+ 6 ) (+ 6 ) q ( ) = = = e ( e ) ( e ) a f ( ) = ln ln f ( ) = ln = (ln ) ; f ( ) = 0 (ln ) = 0 ln = = e De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (e, ) Noordhoff Uitgevers v 9
10 Netwerk e editie vwo B f ( ) = + ( ) = + ( ) f ( ) = + = = 0 = = = = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, ) c f ( ) e = = = e e f ( ) = e + e = e e + + f ( ) = = ; f ( ) = 0 e e e e = 0 + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e) d f( ) = e f ( ) = e (+ ) ; f ( ) = 0 e (+ ) = 0 + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e ) e ( ) f ( ) = = ( ) ( ) = 0 = 0 = f ( ) = ( ) = ( ) ; f ( ) = 0 De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, ) f f( ) = e f ( ) = e + e = ( ) e ; f ( ) = 0 ( ) e + = 0 = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e) e ( + ) e e ( + ) e ( + ) e g f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = ( ) ( ) ( ) + = 0 = De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (, e ) ln ln ln 6 ln 6 f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = 0 = 0 ln ln ln ln ln 6 = 0 ln = = e De helling van de grafiek is gelijk aan 0 in het punt (e, e ) h = 0 6 a c ( ) f = f ( ) = ln ( ) = ( ) ln ; f ( ) = 0 ( ) ln = 0 = 0 =. f () = is een minimum (zie plot) f ( ) = e ( ) f = e ; f ( ) = 0 e = 0 = 0 = 0 ; maar f (0) is geen etreem. ( ) f = f ( ) = ln ( ) ; f ( ) = 0 ln ( ) = 0 = 0 = = of =..; f () = is een minimum, f ( ) = 6 is een 6 maimum (zie plot). Noordhoff Uitgevers v 0
11 Netwerk e editie vwo B d f( ) f( ) = = f ( ) = ( ) ln ; f ( ) = 0 f ( ) = ln ( 8 ) ( ) ln = 0 ( ) = 0 = 0of = of =..; f (0) = is een minimum, f ( ) = 6 is een maimum, f ( ) = 6 is een maimum (zie plot). 7 + ( )( ) f( ) = = a ( )( ) f( ) = = 0 ( )( ) = 0 = of = of = of =. Het gaat dus om punten met -coördinaten en. ( 0 ) ( + ) f ( ) = ( 0 ) ( 0 + 8) 8 ( ) f ( ) = = = f () = 6, raaklijn: y = 6+ door (, 0) : 0 = 6 + = 6, dus y = 6+ 6 f () =, raaklijn: y = + door (, 0) : 0 = + = 6 dus y = 6 Evenwijdig aan de -as, dan is f ( ) = 0 = of = Dat is dus in de punten (, ) en (, ) ( ) = 0 = 0 = of = 8 a f() = g() =. Dat klopt dus. ( ) f( ) = = 9+ f ( ) = ( 9+ ) = 9 + ( 9+ ) De helling aan de grafiek van f is f () = = ( ) g( ) = 9+ = 9+ ( ) g ( ) = 9+ = 9 + De helling aan de grafiek van f is g () = c Raaklijn aan de grafiek van f : y = + door (, ) : = + = 0, dus y = + 0 Raaklijn aan de grafiek van g : y = + door (, ) : = + =, dus y = + De afstand van de snijpunten van de raaklijnen met de y-as is dus 8 De oppervlakte van de driehoek is dus 8 = 6 g ( ) = 0 (0 ) = 9 a ( ) g( ) = 0 = 0 ( ) De helling aan de grafiek van g is g () = 0 De raaklijn aan de grafiek van g : y = + door (, ) : = + =, dus y = + Noordhoff Uitgevers v
12 Netwerk e editie vwo B f ( ) = 0 ( 0) = ( ) f ( ) = 0 = 0 ( ) c De helling aan de grafiek van f is gelijk aan,, dus f ( ) =, =, Q, 0 f ( ) = 0 f ( ) = 0 h ( ) = h ( ) = ( ) = 0+ 0 f² en h² zijn voor geen enkele waarde van aan elkaar gelijk, derhalve zullen ook f en h voor geen enkele waarde van aan elkaar zijn. Noordhoff Uitgevers v
13 Netwerk e editie vwo B Doorwerking () () Vt () P t = = ( V t ) ( ) dp P () t = V() t V () t. Dus op t = is 0, dt = 0, = a f() =, f() = 7, f() = 6 0, 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0 f() 0,79 0,7 0,70 0,69 0,7 0,7 0,80 0,8 0,9,0 c 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 f() 0,79 0,90 0,99 0,999 0,99998 d via de GR: = 0,7 ln ln e e = e = ln f f ( ) = e.[ ln] = ln+ = ( ln+ ) ; f ( ) = 0 ( ln + ) = 0 ln + = 0 ln = f() is dus minimaal voor = = e e De afname van de oppervlakte is: aan de lengte -kant: 8, 0,07 = 0,99 cm aan de reedte -kant: 8, 0,007 = 0,09 cm totaal ongeveer, cm a noem SA = en S P =. S P = S A ra rp = = = 0 r P = = 000 rp ra 0 0 = r P 00 8,7 7,66 dus 77 dm. ( ) ( ) + 0 = r r = + 0 = + 0 r = + 0 dus is S = = = r ( + 0 ) ( ) ds = = d ds = = d (00 + ) (00 + ) 00 + Dat klopt dus! ( ) ( ) r = 000,99 P a jaar d N( t) = N(0) g = g d = log c d =,0 log d Als er p% ij 00% komt, wordt het (00+p)%. De groeifactor is dan 00 + p p = + en de t p formule moet dan ook zijn: Nt () = N(0) + 00 Noordhoff Uitgevers v
14 Netwerk e editie vwo B t p e Nt () = N(0) + 00 ; ( ) d p N t = N(0) p + = 00 + d 00 = log. Met de regel voor grondtalverandering ij logaritmen en overstappen op het grondtal e wordt dit dan inderdaad: ln d =. p ln + 00 ln ln 0,69 f d = =, p ln( + ) ln, 0 0, ln ln 0,69 g d = = 9,0. p ln( + ) ln,08 0, Na 9 jaar is de waarde verdueld, na 7 jaar verachtvoudigd. h Als d p = 700 in plaats van d p = 70, dan wordt d tienmaal zo groot. Dan moet dat dus de tijd opleveren die nodig is om tienmaal te verduelen. En tienmaal met vermenigvuldigen is hetzelfde als vermenigvuldigen met 0 ofwel met 0. Deze d is daarmee inderdaad de tijd die nodig is om ongeveer 000 maal zo groot te worden. Noordhoff Uitgevers v
15 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Twee afgeleiden Etra oefening a In de jaren tot 996. In de jaren na 99. c Ongeveer ij t = 99,. a Toenemende daling. Afnemende daling. c Bol voor. d f ( ) > 0 wil zeggen dat f toeneemt, f ( ) < 0 wil zeggen dat f afneemt. Dus is er sprake van afnemende stijging. a f ( ) = = f ( ) ( ) = ; f ( ) 0 f = = 0 = of =. Tussen deze -waarden is er sprake van afname van f, f is echter alleen positief voor -waarden onder 0. Het interval is dus [,0]. a c d f ( ) 6 = f ( ) = = f ( ) = e = f ( ) ( ) = f = f ( ) e ln ln ln f( ) = f ( ) = = f = ( ) ( ) = 6 = f f ( ) = e + e = ( + ) e ln ln ln f ( ) = = = ( ) e e e e ( ) e ( ) 6 a f( ) = f ( ) = = ; f ( ) = 0 = 0 = 0 = Het minimum van f is f() = e. Noordhoff Uitgevers v
16 Netwerk e editie vwo B e ( ) f ( ) = ( e ( ) + e ) e ( ) f ( ) = ( ) ( ) ( e e + e ) e ( ) e e ( ) f ( ) = = e e ( ) e ( + ) e ( + ) e f ( ) = = f ( ) = = ( + ) Voor een uigpunt moet f ( ) = 0. Daarvoor moet + ( = ( ) + ) = 0 en dat lukt niet. Dus heeft de grafiek van f geen uigpunt. 7 a f ( ) = ln= ln ( ) = = ; f ( ) 0 f = = = = 0 = 0 = Het minimum van f is f() =. De top van de grafiek is dus het punt (, ). f ( ) = = f ( ) = + f ( ) = + = + = Voor een uigpunt moet f ( ) = 0. Daarvoor moet = 0 = =. De grafiek heeft dus een uigpunt en dat heeft de coördinaten (, ln ). 8 a h( t) = 00 0,88t h () t =,76t h () t =,76 De zwaartekrachtversnelling op Io is dus,76 m/s. ht ( ) = ,88t = 0 0,88t = 00 t,6, dus na ongeveer 0,66 s ereikt het voorwerp de grond. Dat geeurt met een snelheid van h (0,66) =,76 0,66, dus met ongeveer 8,8 m/s. c Op Jupiter is h ( t) = 6, dus h ( t) = 6t en ht () = 00 t. ht ( ) = 0 00 t = 0 t = 00 t 7,69, dus na ongeveer,77 s ereikt het voorwerp de grond. Dat geeurt op Jupiter met een snelheid van h (,77) = 6,77, dus met ongeveer 7 m/s. 9 a Zie grafiek hiernaast. S = t 6t + 6= ( t t+ ). S = (( t ) + ) S is dus altijd positief, hetgeen etekent dat S altijd toeneemt met toenemende t. c S = t 6t + 6 S = 6t 6, dus S heeft een etreem voor t =, een minimum omdat S overgaat van afname naar toename. S () = =, dus is de opstijfsnelheid nooit minder dan graden per uur. De opstijfsnelheid zit dus op elk moment oven de ondergrens. Noordhoff Uitgevers v 6
17 Netwerk e editie vwo B Doorwerking f ( ) = + a f ( ) = + a f ( ) = + 6a 0 Er zijn drie uigpunten als f ( ) = 0 drie verschillende oplossingen heeft. + 6a= 0 ( 6+ a) = 0, dus moet de discriminant D van 6+ a positief zijn. D = ( 6) a = 6 a. D is positief voor a <. Daarnaast mag a niet gelijk zijn aan 0, omdat dan de oplossing = 0 tweemaal voorkomt. a Anders is er geen sprake van een derdegraads functie. f ( ) = a + + c + d f ( ) = a + + c f ( ) = 6a+. f ( ) = 0is een lineaire vergelijking met precies één oplossing. De grafiek van f heeft inderdaad precies één uigpunt. c 6a + = 0 = = 6a a d Horizontaal, dan is a + + c = 0; uigpunt, dan is = =, dus 6a a a c 0 a + + = a + c = 0 c = a a a a h ( ) = = =, h ( ) = 0 = 0 =. Dus het snijpunt van de grafiek met de -as is het punt (,0). h = = 8( ) 8 = of =. ( ) 8 = = ( )( ) = 0 h( ) < (zie ook de grafiek) < < 8 c f ( ) = ln( ) = ln( ) f ( ) = = = h( ) d f ( ) = 0 h ( ) = 0 =. De etreme waarde van f treedt daarom op voor = en is ongeveer,78. Deze etreme waarde is een maimum. Immers, f ( ) = = + = + is voor = is gelijk aan 6, dat is negatief, de afgeleide neemt dus af, moet dus overgaan van positief naar negatief, dit etekent dat de functie zelf overgaat van stijgen naar dalen. e Dat uigpunt in de grafiek van f vind je ij die waarde van waarvoor h minimaal is. (Het wordt dus een uigpunt met maimale daling) h ( ) = f ( ) = + ; h ( ) = = = = (met 0 ) = = f Als h ook de afgeleide functie van een functie g moet zijn, zullen h en g alleen een constante kunnen verschillen: g( ) = ln( ) + C ; g () = 0, dus ln( ) + C = 0 0+ C = 0 C =. Dus g ( ) = ln( ) + Noordhoff Uitgevers v 7
18 Netwerk e editie vwo B a c d = n +... =. Dus a 0 = 0 e a0 a a a a n f = a + a + a + + n a + = e n ( )... n... 0 n e = a + a 0 + a n a n =. Dus a = n f ( ) = a + 6a + a n( n ) a +... = e 0 n e = a + 6a 0 + a n( n ) a n =. Dus a = f ( ) = 6a + a + 60 a n( n )( n ) a +... = e () n n () n 6 n n f ( ) = a + 0a + 60 a n( n )( n )( n ) a +... = e f ( ) = 0a + 70 a n( n )( n )( n )( n ) a +... = e () n 6 n Het klopt dus dat f () (0) =! a. a = / 0 e a n = / n! f n e = n! g n e = ( n )! a Dat is op het interval 0,8 0, Je moet ervoor zorgen dat 0,9 Y / Y,0 0,7 0, 8 c,6, 6 6 a n f( ) = a + a + a + a a n n f(0) = ln( + 0) = a0 + a 0 + a 0 + a a n = 0. Dus a 0 = 0 n f ( ) = a + a+ a n an +... = + n f (0) = a + a 0 + a n a n =. Dus a = + 0 n f ( ) = a + 6a+ a n( n ) an +... = = + = + + n f (0) = a + 6a 0 + a n( n ) a n =. Dus a = ( ) ( ) f ( ) = ln( + ) ; ln, = f (0,) 0, 0 g( ) 0 = + ; Dat is een onderschatting van zo n 7,%. ln, g(0,) 0, 0, = 0, 7 Noordhoff Uitgevers v 8
19 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk Bewijzen in driehoeken Etra oefening a DPC = 0, APB = Nee. a l // m, dus plus =80 o. plus = 90 o. In driehoek ABS moet hoek S dus recht zijn. Het ewijs loopt nu precies omgekeerd: in driehoek ABS is hoek S recht. Daarom moet plus = 90 o zijn en is plus =80 o. Daaruit volgt dat l // m. Zie de figuur hiernaast. In ΔABC is A = 90, A+ B+ C = 80, dus B+ C = 90, dus B + B + C + C = 90 B = B, C = C, dus B + C =. Dus is BCS = en zijn de andere hoeken ij S ook respectievelijk. CAB = QRB (F-hoeken), dus QRB = 0 CBA = PRA (F-hoeken), dus PRA = 60 ARB is een gestrekte hoek, dus R = = 70 a CAB = ACD (Z-hoeken). En evenzo: DBA = BDC (Z-hoeken). Dus is ΔABS ~ΔCDS (hh). Uit deze gelijkvormigheid volgt de volgende verhoudingstael: ΔABS AB = AS = BS = ΔCDS CD = CS = DS = DS AS = BS CS, dus DS =, dus DS = 6. 6 Zie de figuur hiernaast. Δ ADC Δ BDC, want AC = BC, DC = DC en ACD = BCD 7 Δ ADC ~ Δ BEC, want ADC = BEC en C = C (hh) Δ ASE ~ Δ BSD, want ASE = BSD en AES = BDS (hh) Δ ADC ~ Δ AES, want ADC = AES en A = A (hh) Δ BDS ~ Δ BEC, want BDS = BEC en B= B (hh) 8 AD = BE; ADB = BEA ; AE = BD ΔADB Δ BEA ABD = BAE (ZZR). Dus driehoek ABC is gelijkenig. Noordhoff Uitgevers v 9
20 Netwerk e editie vwo B 9 a Δ DEB Δ DAC, want DE = DA, DB = DC en EDB = ADC. Dit laatste valt als volgt te ewijzen: ADB = ADB, EDA = BCD, dus ADB + EDA = ADB + BCD EDB = ADC EB = AC c Zie de figuur hiernaast. Δ APQ ~ Δ EPD, want DEP = QAP en EPD = APQ Δ DCR =Δ QBR, want DCR = QBR en DRC = QRB Δ DBC ~ Δ DEA, want BDC = EDA en de andere hoeken in eide driehoeken zijn allen gelijk, namelijk ½(80 BDC ) respectievelijk ½(80 EDA ) en BDC = EDA 0 Laten we ervan uitgaan dat ABE een gestrekte hoek is. Dan is CAB = DBE (Z-hoeken). En ook: CBA = DEB (Z-hoeken). Dan is DBE = 80 en DEB = 70. Maar dat is in strijd met het gegeven dat deze twee hoeken juist aan elkaar gelijk zijn. Daarom kan ABE geen gestrekte hoek zijn. Δ ABE Δ CDE, want AE = CE, ABE = CDE en EAB = ECD (ZHH). Hieruit volgt dat AB = CD. Noordhoff Uitgevers v 0
21 Netwerk e editie vwo B Doorwerking Zet kruisjes en rondjes ij gelijke hoeken. plus =80 o, dus plus = 90 o. Zie de figuur hiernaast. Kies P op BC zodat BP = AD = BE en trek DP. Nu is Δ CAB een vergroting van Δ CDP (dus is Δ CDP ~ Δ CAB ) en dus is DP // AB. Daardoor is Δ EBF een vergroting van Δ EPD (dus is Δ EPD ~ Δ EBF ) met factor en dus is DF = EF. Zie de figuur hiernaast. a Δ PFD Δ DGP, want PFDG is een rechthoek, dus PF = DG, FD = GP en eide driehoeken heen een rechte hoek. Δ PGA Δ AEP, want APG = ( ABC) = PAE, PGA = AEP( = 90 ) en PA = AP. Bij het eerste congruentiegeval van a is al genoemd: PF = GD. Uit het tweede congruentiegeval van a volgt: AG = EP. Uit deze twee volgt dat AG + GD (= AD ) = PF + PE. Zie de figuur hiernaast. Trek BG loodrecht op PE. Nu is BGED een rechthoek (met BD = GE) en Δ BPF Δ BPG, omdat PBF( = CBA, overstaande hoeken) = PBG( = BAC, F hoeken), BFP = BGP( = 90 ) en BP = BP. Nu kunnen we concluderen: PE = PG + GE, GE = BD, PG = PF, dus PE = PF + BD en BD = PE PF. Δ AQR Δ APR, want AQ = AP, QR = PR en AR = AR. Dus is QAR = PAR en is AR de deellijn van hoek A. 6 A = C, dus AE = CE en dus ook AE = BE Nu is Δ ADE Δ BDE, want AD = BD, AE = BE en ED = ED. Dus is ADE = BDE = 90 7 a ABCD is een vierkant en heeft dus vier gelijke zijden. AP = BQ = CR = DS en dus is ook AS = BP = CQ = DR. De vier driehoeken heen ook allen een rechte hoek en daarmee is ewezen dat de vier driehoeken congruent zijn en dat de zijden van de kleine vierhoek gelijk zijn. Verder is SPQ = 90, omdat ASP + APS = 90, ASP = BPQ en ook BPQ + APS = 90. Zo is ook te ewijzen dat de andere hoeken van PQRS recht zijn, waarmee ewezen is dat PQRS een vierkant is. De oppervlakte van vierkant ABCD = (AP + PB) = AP + AP PB + PB De oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken = ½ AP AS = AP PB. Dus is AP + PB = oppervlakte van vierkant ABCD minus de vier rechthoekige = de oppervlakte van PQRS, ofwel AP + PB = PQ, maar ook BQ + PB = PQ. Noordhoff Uitgevers v
22 Netwerk e editie vwo B 8 a Zie de tekening hiernaast. Als de enen van A loodrecht staan op de enen van B, dan is A = B òf A + B = 80 o. B A Noordhoff Uitgevers v
23 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk 6 Driehoeken en cirkels Etra oefening a Trek AB, epaal M en teken c. Het middelpunt M van c is het midden van AB. Trek nu MN AS. Zie de figuur hiernaast. MN is de middenparallel in driehoek ABS en dus is AN = SN. Nu geldt: Δ AMN Δ SMN, want AN = SN, MN = MN en AMN = SMN( = 90 ). Dus is AM = SM ( = BM ) en daarom ligt S op c. c P ligt op c. Dan is MA = MB = MP. Zie de figuur hiernaast. MAP = MPA, MBP = MPB, MAP + MPA + MBP + MPB = 80, hieruit volgt dat MPA + MPB = APB = 90. Dus kan P een snijpunt zijn van l en m. d Als de hoek tussen l en m recht is, ligt het snijpunt op c (); als het snijpunt op c ligt, is de hoek tussen l en m recht (c); er kunnen dus geen andere punten op c liggen. Laat M AB het midden zijn van AB. Laat verder D het punt op BC zijn waarij DD //AB en M DD het midden van DD. De meetkundige plaats van de middens van PQ is nu het lijnstuk CM DD (de zwaartelijn in driehoek CDD ) samen met het lijnstuk M DD M AB (een gedeelte van de zwaartelijn in driehoek ABS, met S het snijpunt van AD en BC). a De meetkundige plaats van alle punten P is de halve cirkel waarvan AD de middellijn is. Immers, P is recht. (Vergelijk ook opgave ). Het ewijs loopt analoog aan het ewijs ij opgave. Zie de figuur hiernaast. VV is de genoemde hoogtelijn uit V. (die ook zwaartelijn et cetera is ) Vanwege de symmetrie in de figuur moet V het middelpunt van de genoemde cirkel zijn. Eén van de raakpunten noemen we R, zodat V R de straal van de edoelde cirkel is. De oppervlakte van driehoek V VT is nu op twee manieren uit te rekenen: VV VT = = 6 en VT VR = VR = VR. ( VT = VT + VV = + = ) Hieruit volgt: VR = 6 en VR =. a M is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Omdat CM = CM, PM = QM en CPM = CQM ( = 90 ) is Δ CPM Δ CQM en is CP = CQ. Dus is ook Q = P. Omdat Q en Q overstaande hoeken zijn en E en P Z-hoeken, is daarmee ewezen dat E = Q. Het ewijs dat D = R loopt analoog aan het ewijs dat E = Q. c Analoog aan het ewijs ij a dat CP = CQ verloopt het ewijs dat AR = AQ. Omdat E = Q is AQ = AE en omdat D = R is AR = AD. Waaruit volgt dat AE = AD. Noordhoff Uitgevers v
24 Netwerk e editie vwo B 6 a PTQ = 90, dus ligt T op de halve cirkel met PQ als middellijn. PSQ = 90, dus ligt S op de halve cirkel met PQ als middellijn. Dus heen driehoek PQS en driehoek PQT dezelfde omgeschreven cirkel. Zie de tekening hiernaast. 7 In driehoek MAP is MA = MP, dus MAP = MPA( = 0 ) en AMP = 0. In driehoek MQB is MQ = MB, dus MQB = MBQ( = 0 ) en QMB = 0. AMB is een gestrekte hoek, dus moet ook PMQ een gestrekte hoek zijn. A. M P B Q 8 a Zie de tekening hiernaast. ADE = DAE =, dus DEA = 90. Aldus zijn ook de andere hoeken in vierhoek EFGH recht en is vierhoek EFGH dus een rechthoek. Verder is lijn EG een symmetrieas in de figuur, dus is EH = EF. Daarmee is ewezen dat vierhoek EFGH een vierkant is. D A E H F G C B 9 Als die cirkel AA in A en BB in B moet raken, moet er sprake zijn van rechte hoeken ij A en B (dat is het geval!) en moet MA = MB. Dat laatste volgt uit de congruentie van de driehoeken AMA en BMB. Deze congruentie is te ewijzen via AM = BM (CM is zwaartelijn), AMA = BMB en AA M = BB M ( = 90 ). A C M A B B Noordhoff Uitgevers v
25 Netwerk e editie vwo B Doorwerking OABC OABI OBCI OACI = + +. Van elk van de driehoeken ABI, BCI en ACI is de straal r van de ingeschreven cirkel de hoogte. Dus O = AB r + BC r + AC r is ABC OABC r ( AB BC AC) OABC = + +, dus OABC = r omtrek. Inderdaad is dus r =. omtrek O 6 a ABC r = = =. Dus is straal,9. omtrek De lengte van de straal van de omgeschreven cirkel is in een rechthoekige driehoek gelijk aan de helft van de schuine zijde. Dus is straal =. c Zie de tekening hiernaast. O is het middelpunt van de omgeschreven cirkel, I dat van de ingeschreven cirkel. OI is dus de gevraagde afstand. O en I zijn de projecties van O en I op PR, O en I zijn de projecties op PQ. O is het midden van PR, I P = r met r de straal van de ingeschreven cirkel. O is het midden van PQ, I P = r. K is het snijpunt van I I en OO. Met Pythagoras is nu: IO = IK + KO. Hierin is IK= IK II = PO PI = 0,606 en 0 + KO= OO OK = PO PI =,606 en daarom is 0 + IO = 0,606 +,606,76. a IP is de straal van de ingeschreven cirkel. Dus is IP = IQ. Maar ook is IP = EB. Dus is IQ = EB. Verder is IFQ = BFE en zijn IQF en BEF eide recht. Dus zijn de driehoeken BEF en IQF inderdaad congruent. Net als ij a valt te ewijzen dat de driehoeken DGT en IQT congruent zijn. Verplaatsen van driehoek IQT naar driehoek DGT en van driehoek IQF naar driehoek BEF maakt van rechthoek IECG precies driehoek BCD. Waarmee het gevraagde ewijs geleverd is. c Deze stelling is juist. Genoemde stukken zijn DQ en BQ en deze zijn even lang als respectievelijk GI en EI. Die gelijkheden volgen uit de ewezen congruenties. Noordhoff Uitgevers v
26 Netwerk e editie vwo B a AC AD CD = + = + =, CB CD BD = + = + = AB = 8 AC + BC = + = 66. Dus is driehoek ABC niet rechthoekig. Teken (twee) deellijnen en vind aldus het middelpunt van de ingeschreven cirkel en teken vervolgens die cirkel. O 8 c ABC r = = =, 69. omtrek a De gelijkvormigheid volgt uit ACE = BCF en AEC = BFC. Ook de driehoeken ADE en BDF zijn gelijkvormig: de hoeken D in eide driehoeken zijn overstaand en dus aan elkaar gelijk, terwijl eide driehoeken ook een rechte hoek heen. Uit de gelijkvormigheid van a volgt CA : CB = AE : BF, uit de hiervoor aangetoonde gelijkvormigheid volgt AD : BD = AE : BF Uit deze eide volgt dat AD : BD = CA : CB. 6 a Deze gelijkvormigheid volgt uit: A = A en APQ = ADC. Uit de gelijkvormigheid volgt AP : AD = PQ : DC. Hieruit volgt dat c Deze gelijkvormigheid volgt uit: B= B en BPR = BDC. d Uit de gelijkvormigheid volgt BP : BD = PR : DC. Hieruit volgt dat e AP BP AP BP PQ+ PR= CD+ CD= CD AD BD + AD BD AP + BP AD PQ+ PR= CD= CD= CD AD AD AP PQ = CD. AD BP PR= CD. BD 7 a Zie de tekening hiernaast. Construeer daartoe de middelloodlijn van BP. c Het snijpunt van de middelloodlijn van BP met AP moet punt C zijn. Immers, omdat C op de middelloodlijn ligt, is CB = CP. Noordhoff Uitgevers v 6
27 Netwerk e editie vwo B Hoofdstuk 7 Goniometrie Etra oefening sin a tan = = 0,7 sin = 0,7cos ; sin + cos =. Nu geldt dus: (0, 7 cos ) + cos = cos, 9 cos = cos = met in III is nu cos =,9,9 en sin = 0,7,9 cos = 0, 7 ; sin + cos =. Nu geldt dus: sin + ( 0,7) = sin = 0, met in III is sin 0, nu sin = 0, ; en met tan = is dus tan = 0,7 cos c sin = 0, ; sin + cos =. Dus is ( 0,) + cos = cos = 0, 9 ; met in IV is nu sin 0, cos = 0,9 en met tan = is dus tan = 0,9 cos sin d tan = =, sin =,cos. sin + cos =. Dus is (,cos ) + cos = cos,69cos = cos = met in II is nu cos = en sin =, e cos = 0, 6 ; sin = 0,8 ; en met f sin = 0, ; cos = 0,96 en met sin cos,69 + =. Dus is sin + (0, 6) = sin tan = is dus tan = cos sin + cos =. Dus is (0,) + cos = sin 0, tan = is dus tan = cos 0,96,69,69 sin = 0, 6 met in IV is nu cos = 0, 96 ; met in I is nu a sin = = sin π = π+ k π = π+ k π sin = 0,7 sin 0,8 = 0,8 + k π =,09 + k π sin = = sin π = π+ k π = π+ k π c d sin = 0,8 sin 0,997 = 0,997 + k π =, + k π sin = = sin π = π+ k π = π+ k π e f sin = 0,8 sin,7 =,7 + k π =,08 + k π g sin = = sin π = π+ k π = π+ k π h sin = 0, sin 0,0 = 0,0+ k π =,7+ k π a cos = = cos π = π+ k π = π+ k π cos = 0, 9 cos 0, 0 = 0,0 + k π =,880 + k π cos = = cos π = π+ k π = π+ k π c d cos = 0,7 cos, 00 =, 00 + k π =,88 + k π e cos = = cosπ =π+ k π f cos = 0, 79 cos,88 =,88 + k π =,09 + k π cos = = cos π = π+ k π = π+ k π g h cos = 0, cos,80 =,80 + k π =,80 + k π Noordhoff Uitgevers v 7
Blok 6B - Vaardigheden
B-a Etra oefening - Basis Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de vierhoek geen rechthoek. Denk ijvooreeld
Nadere informatiedan liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (constante hoek) dus A, B, C en D liggen op één cirkel, dus ABCD is een koordenvierhoek
. Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Opgave : ACB is constant Opgave : a. * b. * c. ACB AMB Opgave 3: a. * b. de drie cirkels gaan door één punt c. de drie lijnstukken gaan door één punt Opgave 4: a. Teken
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExtra oefeningen: de cirkel
Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieVermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d.
17 Vermoeden: De drie deellijnen gaan door 1 punt. 33c. Vermoeden: De drie zwaartelijnen gaan door 1 punt. 33d. 18 Vermoeden: De drie hoogtelijnen gaan door 1 punt 34. a. De drie middelloodlijnen van een
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.
G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c
Nadere informatiewiskunde B bezem vwo 2018-II
wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Extra oefening - Basis B- Van ABC is de asis BC = en de hoogte AD =. De oppervlakte van ABC is : = 9. Van KLM is de asis KM = 5 + 9 = en de hoogte NL. B-a KN = 5 NL = KL = 5 + 69 NL = = De oppervlakte
Nadere informatieBlok 5 - Vaardigheden
Extra oefening - Basis B-a De richtingscoëfficiënt is 7 = 8 =. 7 x = en y = 7 invullen in y = x + b geeft 7 = + b 7 = + b dus b =. Een vergelijking is y = x. b De richtingscoëfficiënt is =. 8 5 x = 8 en
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieVoorbereiding : examen meetkunde juni - oplossingen Naam:. Klas:...
- 1 - Opmerking: Maak ook steeds oefeningen uit toets jezelf! uit je boek. Hermaak ook de oefeningen uit je map Etra opgaven: Nr. Opgave Wegens welk congruentiekenmerk zijn volgende driehoeken congruent?
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.
Nadere informatieHoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen
oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieUitwerkingen toets 8 juni 2011
Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.
Nadere informatieExamen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieVoorbereiding : examen meetkunde juni - oplossingen =
Voorbereiding : eamen meetkunde juni - oplossingen - - Opmerking: Maak ook steeds oefeningen uit toets jezelf! uit je boek. Hermaak ook de oefeningen uit je map Etra opgaven: Nr. Opgave. Wegens welk congruentiekenmerk
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieEerste en derdegraadsfunctie
Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
wiskunde vwo 017-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieKatern 3. Meetkunde. Inhoudsopgave. Inleiding. 1 Hoeken 2. 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4. 3 Driehoeken 8. 4 Vierhoeken 12
Katern 3 Meetkunde Inhoudsopgave 1 Hoeken 2 2 Congruentie en gelijkvormigheid 4 3 Driehoeken 8 4 Vierhoeken 12 5 Lijnen in een driehoek 15 Inleiding De vlakke meetkunde is de meetkunde die zich afspeelt
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieH24 GONIOMETRIE VWO. Dus PQ = 24.0 INTRO. 1 a 6 km : = 12 cm b. 5 a 24.1 HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN. 2 a factor = 3
H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO a 6 km : 0.000 = cm a Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt 7 ze 0 meter in minuten. Dat is 0 0 = 800 meter in een uur. Dat is,8 km/u.. HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN a factor = 0,6 Diepte put
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieIMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 2014
IMO-selectietoets I vrijdag 6 juni 04 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave. Bepaal alle paren (a, b) van positieve gehele getallen waarvoor a + b a b + a en b a ab + b. Oplossing.
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieUitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.
Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde
Nadere informatiede Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1
Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y y = + 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a g = 7 ( a+ ) a + 7 g = 7 a+ 0 b w= 9n(
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatiex y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieVerwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.
200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieParagraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
Nadere informatie2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Nadere informatien: x y = 0 x 0 2 x 0 1 x 0 1 x 0 4 y -6 0 y 1 0 y 0 1 y 2 0 p =. C. von Schwartzenberg 1/10
1a 1b G&R havo B deel C. von Schwartzenberg 1/10 Tien broden kosten 16 euro blijft over voor bolletjes 60 16 = euro. Hij kan nog = 110 bolletjes kopen. 0,0 90 bolletjes kosten 6 euro blijft over voor broden
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2010
Uitwerkingen toets 9 juni 2010 Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek met de eigenschap BAC = 45. Zij D het voetpunt van de loodlijn vanuit C op AB. Zij P een inwendig punt van het lijnstuk CD. Bewijs
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-I
Rakende grafieken? maximumscore 5 Er moet gelden f( x) = gx ( ) en f'x ( ) = g'x ( ) f' ( x ) = en g' ( x) = x x e Uit f'x ( ) = g'x ( ) volgt x = e ( x = e voldoet niet) f ( e ) = en ( e ) ( f ( e) =
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-I
wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatieAntwoordmodel VWO wb I. Boottocht. Maximumscore 5. een correcte tekening van het punt. Maximumscore 6. dus MFS = 90 een correcte tekening
Antwoordmodel VWO w 00-I Boottocht Het gezochte punt is het snijpunt van en de middelloodlijn van het lijnstuk van het punt P aximumscore 6 = =, met het midden van dus = 90 Het punt ligt op de middelloodlijn
Nadere informatie