Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 1

Transcriptie

1 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. Eerst even een overzicht van de hieraan verbonden leerstof : - Getallenverzamelingen en bewerkingen, opbouw, volgorde, - Machtsverheffen, worteltrekken, rekenregels, gebruik Grafische Rekenmachine (GR), - Machten en logaritmen, betekenis en enkele rekenregels, - Rekenen met letters, distributieve eigenschap, algebraïsch manipuleren van formules, - Eerstegraads vergelijkingen, oplossingsverzameling, eerstegraads ongelijkheden, intervallen, bijzondere gevallen: vals en identiek, - Tweede- en hogere graads vergelijkingen, het principe, de rol van het getal 0, - Verzamelingen, schrijfwijze, doorsnede, vereniging, verschilverzameling, Venndiagram, aantallen elementen van verzamelingen, niet dubbel tellen, complement, - Sigma-teken en matrices, notatie met enkel en dubbel sigma-teken, - Coördinaten in een rechthoekig assenstelsel, oppervlaktes van figuren, begrensd door rechte lijnen, de stelling van Pythagoras, - het berekenen van (hellings)hoeken m.b.v de tangens, - Relaties en functies, origineel, beeld, domein en bereik, gebruik GR, - De richtingscoëfficiënt en de vergelijking (vgl) van een rechte lijn, gebruik GR, oefenen met het computerprogramma VU-grafiek in het opstellen van de vgl van een rechte lijn, - Stelsels van eerstegraads vergelijkingen, oplossingen en grafische betekenis, - Functies i.h.a., gemiddelde verandering in een periode, het definiëren van de verandering cq helling van de grafiek van een functie in een punt, - de begrippen top en extreme waarde (minimum of maximum), stijgen en dalen, - grafieken van exponentiële functies, asymptotisch gedrag, - het verschil tussen lineaire groei en exponentiële groei, de groeifactor, het groeipercentage, - Een inleiding in de theorie van de differentiaalrekening, regels voor het differentiëren, het berekenen van de helling en de vergelijking van de raaklijn met en zonder GR, - De afgeleide functie en de relatie met stijgen of dalen en extreme waarden, - Een inleiding in de theorie van de integraalrekening, eenvoudige regels voor het integreren, het berekenen van oppervlaktes, begrensd door willekeurige grafieken, met en zonder GR, - Combinatoriek, permutaties, variaties en combinaties, faculteiten en binomiaalcoëfficiënten, het begrip even waarschijnlijke mogelijkheden, rooster- en andere diagrammen, - Begrippen frequentie, relatieve frequentie en cumulatieve frequentie, - Kansexperiment, uitkomstenverzameling, gebeurtenis, - Theoretische kansdefinitie van Laplace, somregel en complementregel, voorwaardelijke kans en stochastische (on)afhankelijkheid, - Samengesteld experiment, vermenigvuldigingsregel, kansexperimenten met en zonder terugleggen, verschillende wijzen van aanpak: productregel, vaasmodel, - Definitie van het begrip stochast, de schrijfwijze en het gebruik ervan, - De gewone en de cumulatieve kansverdeling van een stochast, - Het binomiaal kansexperiment als bijzonder geval van de productregel, de parameters gedefinieerd, de binomiaalcoëfficiënt opnieuw belicht, de kansverdeling, gebruik GR, - Een inleiding in het toetsen van hypothesen.

2 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz.. ( x ) (3 x) = ( x 4) x 3 6 vermenigvuldigen met 6: ( x ) 3(3 x) = ( x 4) 6x haakjes weg :x 9+ 3x = x 4 6x gelijksoortige termen samen nemen:5x = 5x 4. I : (8x 7) = (7x 3) uit a = b vo t a = b of a = b lg : 8x 7 = 7x 3 of 8x 7 = (7x 3) = 7x x 7 x = x + 7 x = x = 4 5x = 30 x = = a II : (x 5)(4 3 x ) = (x 5)(5x + ) Uit ab = a c vo lg t : a = 0 of b = c : x 5 = 0 of 4 3x = 5x + x = 5 4 = 5x + 3x x =,5 8 = 8 x x = = b 3. = = 0 x x a x x a geen oplos sin gen als D < 0 : = 4 = ( ) : D b ac hier a 4 + 4a < 0 4a < 4 a < a x + b x + c heeft geen opl. als D < 0, opl. als D = 0, opl. als D > ( ) = (3 ) x (3 ) 3 3 ( ) = ( 3) x x = 3 ofwel = 3 x 9 geeft 3 = 3 x = 9 zodat x = 8 x gebruikte regels : a a = a p q p+ q ( a ) = a p q pq a b = ( ab) p p p 3x x = x = = a b als x x dan a b

3 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Wortels op deze manier optellen mag niet, vermenigvuldigen wel : antwoord C Het zo vermenigvuldigen van wortels wordt gebruikt om wortels te vereenvoudigen. Zo is = 4 3 = 3 en 8 = 9 = 3 6. rico AC = y x C C y x A A = = = ; vergelijking wordt : y = 3 x + b a is dus gelijk aan 3 ; dan C invullen : 4 = b b = 4 ( Wellicht ken je nog het begrip startwaarde, dan zie je zo dat b = 4 ) 7. loodrecht erop betekent product van rico s = (op z n kop en ervoor) 3 dus rico gevraagde lijn = a = zodat vergelijking : y = x + b Nu het punt B invullen : = b = + b b = 8. Teken de gegeven punten A, B en C in een assenstelsel en teken er een rechthoek omheen met zijden die evenwijdig zijn aan de assen :

4 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Oppervlakte van grote rechthoek eromheen = 5 4 = 0 cm Opp. van drie rechthoekige driehoeken is samen gelijk aan,5 cm omdat onder : 0,5 5 =,5 ; rechts : 0,5 3 = 3 ; links : 0,5 4 3 = 6 zodat de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan : 0,5 = 8,5 cm 9. lengte van zijde AC = (Pythagoras) = = 5 = 5 Opp ABC = (ook) 0,5 hoogtelijn uit B zijde AC (zie tekening) 8,5 = 0,5 afstand van B tot AC 5 afstand van B tot AC = 7 3, 4 5 = cm 0. Bij het punt B zie je in de figuur van opgave 6 een drietal hoeken die samen 80 zijn. Twee van die hoeken kunnen met de tangens worden berekend, omdat ze in een rechthoekige driehoek liggen (onder en boven) : B in ABC = 80 nd tan ( 5 ) nd tan ( 3 ) = 67,6 68. log = x ( ) x = x = x = ( ) x = x = 3. Uit (5 x ) = 5 x volgt dat : 5x = 0 of (5x ) = Uit a b = a volgt immers : a = 0 of b = en uit (5 x ) = volgt weer dat : 5x = of 5x = Zo krijg je drie eenvoudige sommetjes i.p.v. één moeilijke som : 5 x = 0 geeft 5 x = dus x = 0,4 5 x = geeft 5 x = 3 dus x = 0,6 5 x = geeft 5 x = dus x = 0, Gegeven is de matrix 4 x x 3 aij = x 3 x+ 4 3x 9 zodat : 3. De som van de tweede kolom = a + a + a 3 = 4. De som van de tweede rij = a + a + a 3 + a 4 + a 5 = i = 3 i = a i j = 5 j = a j

5 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz De som van de eerste en de tweede kolom = a + a + a + a + a 3 + a 3 = i= 3 j= i= j= a ij 6. i= 3 j= 4 a ij = a + a 3 + a 4 + a 3 + a a 3 4 i= j= = x + + = 3 x i= 3 j= 3 a a = ( a + a 3 ) ( a 3 + a 3 + a 3 3 ) i 3j i= j= = a + a 3 a 3 a 3 a 3 3 = a a 3 a 3 3 = 4 = i= 3 j= 5 a ij = a 4 + a 5 + a a 3 5 = + x = x + i= j= 4 geeft dus het sommetje : x + = waaruit volgt dat : x = 8. Uit x+ 3 y= 87 volgt : 3 y = x + 87 nu delen door 3 geeft : y = 3 x Uit x y = volgt : y = x nu delen door geeft : y = x 6 0. Grafieken : zie volgende blz. formule () gaat door ( 0, 9 ) en ( 43,5 ; 0 ), is dus dalend formule () gaat door ( 0, 6 ) en (, 0 ), is dus stijgend. Het snijpunt kunnen we berekenen of met de optie intersect bepalen uit het CALC-menu, nadat we de functies van 8 en 9 hebben ingevoerd. Hier volgt een berekening : x + 3 y = 87 maal x + 3 y = 87 x y = maal x 4 y = aftrekken 7 y = 63 x = + y y = 9 x = + 8 x = 30

6 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 6. Het snijpunt is dus S = ( 30, 9 ) zodat gevraagde rico = Eerst maar even de grafieken van formule () en () : = 9 0,3 30 =. Ze liggen allebei (tegelijkertijd) boven de x-as tussen hun snijpunten met de x-as. Formule () : x+ 3 y= 87 Als y = 0 dan x = 87 dus x = 43,5 Formule () : x y = Als y = 0 dan x = Antwoord is dus het open interval ; 43,5 3. Als x P = 5, dan y P = 87, dus 3 y P = 57, dus y P = 9 = y Q Als y Q = 9, dan x Q 38 =, dus x Q = Stel A B heeft x elementen, A \ B heeft 4 elementen minder dan A B, dus dan A \ B heeft x 4 elementen en A heeft er x + x 4 = x 4 A B heeft 76 elementen, dus B heeft er 76 ( x 4 ) = 80 x N( A) N( B ) = 5 betekent hier dus x 4 = 80 x 5 kruislings vermenigvuldigen geeft : 5 ( x 4 ) = ( 80 x ) haakjes weg en verhuizen geeft : x = 80 zodat x = 5 Hoeveel elementen heeft B dan? 80 5 = 65

7 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 7 klasse A B C de kans op zo'n bord 0,5 0,3 0, verkoopsprijs per bord 0,- 0,- 5,- (Euro s) 5. De kans dat drie willekeurig gekozen borden behoren tot drie verschillende kwaliteitsklassen is gelijk aan P ( A B C ). Dat berekenen we met de productregel, waarbij we dus alert moeten zijn op het aantal rijtjes : P = 0,5 0,3 0, 3! = 0,5 0,3 0, 6 = 0,8 6. De kans dat drie willekeurig gekozen borden behoren tot dezelfde kwaliteitsklasse is gelijk aan P ( A A A of B B B of C C C ) Dat berekenen we met de productregel en de somregel : P = 0, , , 3 = 0,6 7. De kans dat drie willekeurig gekozen borden samen meer kosten dan 0,- berekenen we met de complementregel : P ( samen meer dan 0 ) = P ( samen 0 of minder ) = P ( C C C of B C C ) zodat : P ( samen meer dan 0 ) = ( 0, 3 + 0,3 0, 3 ) = 0, Een willekeurig gekozen partij bestaat uit 80 borden. De kans dat deze partij meer dan 0 borden bevat van kwaliteitsklasse B, is binomiaal met n = 80 en p = 0,3 ; we gebruiken tevens de complementregel, die hier zegt : P ( meer dan 0 ) = P ( alles behalve 0 of minder ) daarom P = binomcdf ( 80, 0.3, 0 ) 0,80 9. Een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit 0 borden. De kans dat deze partij tussen de 0 en 30 borden bevat van kwaliteitsklasse C, is ook binomiaal, nu met n = 0 en p = 0, ; we doen vervolgens t/m 9 minus t/m 0 zodat P = binomcdf ( 0, 0., 9 ) binomcdf ( 0, 0., 0 ) 0, Een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit x borden. De kans dat deze partij minstens 5 borden bevat van kwaliteitsklasse A, is groter dan 0,94. Opnieuw binomiaal, nu met n = x en p = 0,5 Voer in Y = binomcdf ( X, 0.5, 4 ) ; neem in TBLSET TblStart = 50 en Tbl = en kijk in TABLE X = 6 geeft 0,938 en X = 6 geeft 0,950 Het antwoord luidt dus : x is minstens 6

8 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Weer een andere willekeurig gekozen partij bestaat uit 0 borden. Als deze partij precies 5 borden bevat van kwaliteitsklasse A en precies 3 borden van kwaliteitsklasse B, dan bevat deze partij dus ook precies borden van kwaliteitsklasse C. Omdat ze met z n drieën zijn, kunnen we de functie binom niet gebruiken. We rekenen deze kans dus uit met de productregel ( binom is immers een bijzonder geval van de productregel ) waarbij we weer alert moeten zijn op het aantal rijtjes : P ( A A A A A B B B C C ) = 0,5 5 0,3 3 0, aantal rijtjes 0,085 0! Het aantal rijtjes berekenen we op z n banaan : 5! 3!! ( 0 posities, waarvan 5 keer dezelfde en 3 keer dezelfde en keer dezelfde ) 3. Een werknemer van de verpakkingsafdeling laat een doos uit zijn handen vallen. In deze doos zitten 5 borden uit klasse A, 3 borden uit B en borden uit C. Helaas sneuvelen er 4 van deze 0 borden bij deze valpartij. De kans dat er van iedere kwaliteitsklasse minstens één bord kapot is, berekenen we met het vaasmodel, omdat het gaat om trekken zonder terugleggen : Minstens één bord van iedere kwaliteitsklasse betekent A A B C of A B B C of A B C C : P = = 0,5 ( precies ) 0 4 Gegeven zijn de parabolen y = ( x 8)( 44 x) en y = 8 + ( x 3) 33. Hoe berekenen we de top van y = ( x 8)( 44 x)? Door de schrijfwijze van y kunnen we zien wanneer er nul uitkomt : y = 0 als x 8 = 0 of 44 x = 0 dus als x = 8 of x = 44 de grafiek van y snijdt de x-as dus in de punten ( 8, 0 ) en ( 44, 0 ) vanwege de symmetrie zit de top in het midden : x top = = 36 y top vinden we door x top in te vullen bij y : y top = 8 8 = 8 De grafiek van y heeft als top het punt ( p, q ), dus p = 36 en q = Het bereik van de functie y = 8 + ( x 3) kunnen we achterhalen door ons te realiseren dat het om een dalparabool gaat en de top te berekenen : Er wordt telkens iets bij 8 opgeteld, de kleinste uitkomst = 8 als x = 3, anders gezegd : de top van de grafiek van y = ( 3, 8 ) Het bereik is de verzameling uitkomsten, dus het bereik = [ 8,

9 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 9 De grafieken van y ( berg ) = ( x 8)( 44 x ) en y ( dal ) = 8 ( 3) x + : 35. als y 0, dan zit de bergparabool y tussen zijn nulpunten, dus 8 x 44 ; wat doet y dan? kleinste uitkomst van y is bij x = x top = 3, dus kleinste uitkomst = y top = 8 ; grootste uitkomst van y is bij de x die het verst van x top verwijderd is, dus grootste uitkomst is bij x = 44, grootste uitkomst = =,5 zodat de waarden die y aanneemt gelijk is aan het interval [ 8 ;,5 ] 36. Als y y dan x linker snijpunt x x rechter snijpunt De x coördinaten van de snijpunten bepalen we met de optie intersect uit het CALC-menu. Wat blijkt? De snijpunten zijn ( 9, 30 ) en ( 4, 78 ) Dus het antwoord luidt : 9 x 4 ofwel x [ 9, 4 ] 37. De lijn y = p is een horizontale rechte lijn. Er wordt dus gevraagd voor welke waarde van p zo n horizontale rechte lijn de grafieken in precies drie punten tegenkomt. y = 0 komt de grafieken twee keer tegen ; y = 8 drie keer ; y = 60 vier keer ; y = 78 weer drie keer. Voor welke p precies drie keer? p { 8, 30, 78, 8 } ( als die horizontale lijn door een top of door een snijpunt gaat )

10 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Voor de hoek die de grafiek van y maakt met de x-as kunnen we de optie dy / dx gebruiken uit het CALC-menu, dat is de rico van de raaklijn, dus tevens de tangens van de richtingshoek van die raaklijn. Schakel Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 8 en je vindt dy / dx = 3 Nu de hoek nog : gevraagde hoek = nd tan ( 3 ) Nu de hoek die de grafieken van y en y met elkaar maken in het linker snijpunt van de grafieken van y en y, dus in het punt ( 9, 30 ) : Schakel Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 9 en je vindt dy / dx = 8 Hoek van raaklijn aan y in ( 9, 30 ) met de x-as = nd tan ( 8 ) = 87,95 Schakel Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 9 en je vindt dy / dx = Hoek van raaklijn aan y in ( 9, 30 ) met de x-as = nd tan ( ) = 63,43 Dus hoek tussen raaklijnen aan y en y in ( 9, 30 ) = 80 87,95 63, De raaklijn aan de grafiek van y in het linker snijpunt van de grafieken van y en y heeft als vgl y = x + 88 Deze vergelijking vind je via optie 5 uit het DRAW-menu met X = 9 De raaklijn aan de grafiek van y in het rechter snijpunt van de grafieken van y en y heeft als vgl y = 0 x Deze vergelijking vind je ook via optie 5 uit het DRAW-menu met X = 4 Voor het snijpunt van die twee raaklijnen geldt : x + 88 = 0 x te herleiden tot : 8 x = 80 waaruit volgt : x = 45 De y-coördinaat van het snijpunt = = zodat het gevraagde snijpunt S gelijk is aan S = ( 45, ) 4. Lijn m is de raaklijn aan de grafiek van y in het punt op de grafiek van y met x-coördinaat = 34. Schakel Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Ga naar optie 6 in het CALC-menu, voer in X = 34 en je vindt dy / dx = 8 Lijn n is de raaklijn aan de grafiek van y die evenwijdig is met lijn m. De afgeleide van y moet gelijk zijn aan 8, eerst de haakjes wegwerken : y = 8 + ( 3) x = 8 + ( x 6 x + 96) = x 3x + 508,5 Startklaar, differentiëren maar ; ervóór en eentje minder, dus de afgeleide van y is gelijk aan 8 betekent hier : x 3 = 8 x = 39 Welke x is dat? De x van het raakpunt op de grafiek van y Nu nog de vergelijking van die raaklijn, doen we met optie 5 uit het DRAW-menu Schakel Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Voer X = 39 in, je vindt : y = 8 x 5

11 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 4. De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de grafiek van y en de x-as, is gelijk aan Voer in Y = ( x 8)(44 x) ; zorg ervoor dat andere grafieken zijn uitgeschakeld, zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y Je ziet een bergparabool die de x-as snijdt in ( 8, 0 ) en ( 44, 0 ) ; Kies nu optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 8 en upper limit = 44 : De GR kleurt het gevraagde gebied en meldt dat de oppervlakte = cm 43. De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de grafiek van y en de grafiek van y, is gelijk aan 70 cm Voer in Y = ( x 8)(44 x) ; Y = 8 + ( x 3) en Y 3 = Y Y Schakel Y en Y even uit zodat je in jouw venster alleen de grafiek hebt van Y 3 Je ziet een bergparabool die de x-as snijdt in ( 9, 0 ) en ( 4, 0 ) ; 9 en 4 zijn immers de x-coördinaten van de snijpunten van Y en Y ; Kies nu optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 9 en upper limit = 4 : De GR kleurt het gevraagde gebied en meldt dat de oppervlakte = 70 cm 44. De oppervlakte van het gesloten gebied, dat wordt begrensd door de x-as, de grafiek van y (twee keer) en de grafiek van y, is gelijk aan de oppervlakte van het gesloten gebied dat wordt begrensd door de grafiek van y en de x-as verminderd met het antwoord van opgave 4. Dus de gevraagde oppervlakte = = cm 45. Door de snijpunten van de grafieken van y en y gaat de lijn k, lijn k gaat dus door ( 9, 30 ) en ( 4, 78 ) yb ya lijn k heeft als richtingscoëfficiënt = = = 4 xb xa 4 9 dus vgl : y = 4 x + b ; invullen : 30 = b b = 86 Voer in Y = 8 + ( x 3) ; Y 4 = 4 x 86 en Y 5 = Y 4 Y Zorg dat je alleen de grafiek van Y 5 in het venster krijgt, kies weer optie 7 in het CALC-menu, neem lower limit = 9 en upper limit = 4 De GR berekent dat de gevraagde oppervlakte gelijk is aan 44 cm 46. Stel A B heeft x elementen, A \ B heeft 9 elementen meer dan A B, dus dan A \ B heeft x + 9 elementen en A heeft er x + x + 9 = x + 9 B heeft 56 elementen, dus B \ A heeft er 56 x N( A) 3 N( B\ A ) = 4 betekent nu x = 56 x 4 kruislings vermenigvuldigen geeft : 4 ( x + 9 ) = 3 ( 56 x ) haakjes weg en verhuizen geeft : x = 3 zodat x = Hoeveel elementen heeft A B dan? = 77

12 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. aantal uren per week >5 onderbouw klas klas klas bovenbouw klas klas Het gaat hier om voorwaardelijke kansen : bij A kijken we alleen naar de leerlingen in de onderbouw, dat zijn er 90. Bij B kijken we alleen naar de leerlingen die hoogstens 3 uur per week, dus 3 uur of minder, aan een bijbaantje besteden (0) : P ( A ) = = en P ( B ) = = De gebeurtenissen A en B zijn stochastisch onafhankelijk, als P ( A \ B ) = P ( A ) m.a.w. als de voorwaarde er niet toe doet. hier : P (zit in klas 3 \ heeft geen bijbaantje ) = terwijl P ( zit in klas 3 ) = 50 deze twee breuken zijn allebei te vereenvoudigen tot 5 antw. B 49. Opnieuw twee voorwaardelijke kansen. Bij C alleen naar de leerlingen kijken die minstens uur per week aan een bijbaantje besteden, dat zijn er 65. Hoeveel van die 65 leerlingen zitten er in de bovenbouw? Dat zijn er 4, dus P ( C ) = 4 65 Bij D alleen naar de leerlingen in de onderbouw kijken, dat zijn er 90. Hoeveel van die 90 leerlingen besteden minstens uur per week aan een bijbaantje? Dat zijn er 3, dus P ( D ) = 3 90

13 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz En daar is weer het vaasmodel, 90 knikkers waarvan 67 wit ( geen bijbaantje ) en 3 rood ( wel bijbaantje ). We moeten de kans berekenen op of 3 rode, als we er 0 trekken zonder terugleggen. Bedenk dat je 8 witte trekt, als je rode trekt en dat je 7 witte trekt als je 3 rode trekt : P = , Nog een keer het vaasmodel, nu met 60 knikkers, waarvan 8 wit (geen bijbaantje) en 4 rood (wel bijbaantje). Nu moeten we de kans berekenen op minstens witte. Dat doen we met de complementregel : alles behalve witte of 0 witte : P = , De eerste leerling kan kiezen uit 40 en de tweede uit 39 en de derde uit 38 enz Er is dus sprake van een variatie, een rijtje van een deel van de club : = = 40! 0! 53. Elke klas vertegenwoordigd betekent uit klas 4 en uit klas 5 of uit klas 4 en uit klas 5, met de en / of regel : = = 30 = leerlingen op een rij, uit klas 3, 3 uit klas 4 en 5 uit klas 5 Op hoeveel manieren kan dat, als zij klasgewijs naast elkaar staan? Het gaat om drie groepjes, maar je moet bedenken dat binnen zo n groepje weer permutaties mogelijk zijn, daarom : Antwoord = 3!! 3! 5! = 3! 3! 5!

14 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 4 Gegeven is de matrix a ij 4x x+ x 3 x = x 5 3x x x zodat 55. De som van de derde kolom = a 3 + a 3 + a a 4 3 = i = 4 i = a i De som van de derde rij = a 3 + a 3 + a a 3 4 = j = 4 j = a 3 j 57. De som van de eerste en de tweede rij = a + a + a 3 + a 4 + a + a + a 3 + a 4 = i= j= 4 i= j= a ij 58. i= j= 4 a ij = i= j= 3 ( a 3 + a 4 + a 3 + a 4 ) = ( + x + + x + ) = x = x 59. j= 4 i= 3 a a = ( a 3 + a a 3 4 ) ( a 4 + a 4 + a 3 4 ) 3 j i 4 j= i= = a 3 + a 3 3 a 4 a 4 = x ( x + ) = 5 3 x x = 4 x + i= 4 j= a ij = a 3 + a 3 + a 4 + a 4 i= 3 j= = x x = 3 x + 9 geeft dus het sommetje : 3 x + 9 = 4 x + 7 x = 7 dus x =

15 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz H0 : p = 0,3 ( Monique ) X g : verwerp H0 n =0, toets : H : p = 0,4 ( Lylian ) X < g : accepteer H0 Je kunt op twee manieren een verkeerde beslissing nemen : H 0 verwerpen terwijl H 0 waar is of H 0 accepteren terwijl H 0 niet waar is. Waar gaan we zoeken? Tussen 0,3 0 en 0,4 0, dus tussen 36 en 48. Om de meest geschikte waarde van het criterium g te vinden, maken wij de volgende tabel Y = P(X g n = 0, p = 0,3) Y = P(X < g n = 0, p =0,4) de som = X = g = binomcdf (0, 0.3, X ) = binomcdf ( 0, 0.4, X ) Y + Y 40 0,408 0,0553 0,96 4 0,843 0,080 0, ,37 0,3 0, ,0990 0,56 0, ,0695 0,04 0,709 Wat blijkt? Wij moeten g = 4 nemen, opdat de kans op een verkeerde beslissing zo klein mogelijk is. Hoe ziet de toets er dan uit? H0 : p = 0,3 H : p =0,4 n =0, toets : X 4 : verwerp H0 X < 4 : accepteer H0 6. De kans dat Monique ten onrechte gelijk krijgt is P ( X g n = 0 en p = 0,4 ) die vinden wij dus bij Y. We zien dat die tabel naar beneden afneemt, wanneer is die kans kleiner dan %, dus kleiner dan 0,0? Kijk in die tabel : X = 48 geeft 0,04 en X = 49 geeft 0,0075 Dus 49 of meer van deze 0 Leidse inwoners moeten aangeven dat zij hoog zijn opgeleid om Amalia tevreden te stellen. 6. De kans dat Lylian ten onrechte gelijk krijgt is P ( X < g n = 0 en p = 0,3 ) die vinden wij dus bij Y. We zien dat die tabel naar boven afneemt, wanneer is die kans kleiner dan %, dus kleiner dan 0,0? Kijk in die tabel : X = 38 geeft 0,039 en X = 37 geeft 0,049 Dus 37 of minder van deze 0 Leidse inwoners moeten aangeven dat zij hoog zijn opgeleid om Alexia tevreden te stellen. 63. rico AB = y x B B y x A A = = = = ,75 = rico gevraagde lijn = a daarom vgl : y = 0,75 x + b ; Nu het punt C invullen : 3 = 0,75 + b 3 = 0,75 + b ; hieruit volgt dat b = 3,75

16 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Je kunt hoek C bijvoorbeeld in drie stukken verdelen : C in ABC = 90 + nd tan (0,4) + nd tan (0,75) 49 Teken de gegeven punten A, B en C in een assenstelsel en teken er een rechthoek omheen met zijden die evenwijdig zijn aan de assen : 65. Oppervlakte van grote rechthoek eromheen = 6 8 = 48 cm Oppervlakte van drie rechthoekige driehoeken en rechthoekje is samen gelijk aan 4 cm omdat onder : 0,5 8 6 = 4 ; rechts boven : 0,5 5 = 5 ; links onder : 0,5 4 3 = 6 en links boven : 3 = 6 zodat de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan : 48 4 = 7 cm 66. Lengte van zijde AC = (Pythagoras) = = 5 = 5 Opp ABC = (ook) 0,5 hoogtelijn uit B zijde AC (zie figuur) 7 = 0,5 afstand van B tot AC 5 afstand van B tot AC = 4,8 5 = cm N.B. : Hier ligt de hoogtelijn uit B niet binnen, maar buiten ABC. Een hoogtelijn gaat vanuit een hoekpunt loodrecht naar de overstaande zijde.

17 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Neem Y = ( x + 3) ( x 6x + 0) Eerst maar even de grafiek van f ( x) = ( x + 3) ( x 6 x + 0) Kies een geschikt venster, bijvoorbeeld [ 5, 5 ] [ 0, 40 ] : We moeten nagaan, voor welke gehele waarden van p de vergelijking f ( x ) = p precies vier oplossingen heeft. Dat betekent dat een horizontale lijn de grafiek van Y precies vier keer moet tegenkomen. Kijk naar de grafiek op de volgende blz. y = 5 komt de grafiek helemaal niet tegen : 0 oplossingen voor f ( x ) = 5 y = 0 komt de grafiek twee keer tegen : oplossingen voor f ( x ) = 0 y = 60 komt de grafiek vier keer tegen : 4 oplossingen voor f ( x ) = 60 y = 0 komt de grafiek weer twee keer tegen : oplossingen voor f ( x ) = 0 Wanneer vier keer? Als p tussen de hoogtes van de twee rechter toppen zit. Middelste top : optie 4 in CALC-menu, van tot : maximum 90,53 Rechter top : optie 3 in CALC-menu, van tot 4 : minimum 34,97 Welke gehele waarden voor p? vanaf p = 35 t/m p = Voor de hoek die de grafiek van f ( x ) maakt met de y-as hebben we de helling nodig voor x = 0. We gaan dus vanuit het grafieken venster naar optie 6 van het CALC-menu en voeren in x = 0 : we vinden dat de helling = dy / dx = 6 Nu nog de hoek met de y-as : Hoek met x-as = nd tan ( 6 ) = 80, 54, Afgerond op gehelen = 8, dus hoek met y-as = 90 8 = 9

18 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Neem Y = ( x + 3) ( x 6x + 0) en Y = 50 Gebruik optie 5 (intersect) uit het CALC-menu vier keer en je vindt voor de x-coördinaten van de snijpunten achtereenvolgens 4 ;,45 ; en 3,45 Wanneer ligt de grafiek onder de lijn y = 50? als x [ 4 ;,45 ] [ ; 3,45 ] 70. Eerst de vergelijkingen nodig van de raaklijn als x = 3 en als x = 3 Daarvoor gebruiken we optie 5 (tangent) van het DRAW-menu : y = 0 en y = x Waar snijden deze lijnen elkaar? in ( 0, 0 ) 7. Bereken de oppervlakte van het gesloten vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f ( x) = ( x + 3) ( x 6 x + 0) en de coördinaatassen Ga naar het CALC-menu, kies optie 7, neem lower limit = 3 en upper limit = 0 De GR kleurt het gevraagde gebied en geeft aan dat de oppervlakte = 38,6 cm 7. Neem Y = ( x + 3) ( x 6x + 0) Neem Y = nderiv ( Y, X, X ) en Y 3 = nderiv ( Y, X, X ) Als x =,7 dan is Y > 0 en Y 3 < 0 Uit Y > 0 volgt dat Y stijgend is Uit Y 3 < 0 volgt dat het afnemend stijgend is 73. Neem Y = ( x + 3) ( x 6x + 0) Neem Y = nderiv ( Y, X, X ) en Y 3 = nderiv ( Y, X, X ) Als x =,7 dan is Y < 0 en Y 3 > 0 Uit Y < 0 volgt dat Y dalend is Uit Y 3 > 0 volgt dat het afnemend dalend is 74. Gegeven is de vergelijking ( 4)(3 9) 0 x x + = Door de schrijfwijze kunnen we zien wanneer er nul uitkomt : een product is gelijk aan nul, als een van de factoren gelijk is aan nul. hier : x = of x + = zodat : 4 x = 3x = 9 x = 8 of x = 3 dus p = 3 en q = 8 p < 0 en q > 0

19 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Gegeven is de vergelijking x 5x + 6 = 0 Door te ontbinden in factoren krijgen we dezelfde schrijfwijze als in opg. 74 : x 5x + 6 = ( x )( x 3) Dat noemen we de som-product-methode, hier met som = 5 en product = 6 Nu is het weer eenvoudig : x = 0 of x 3 = 0 zodat x = of x = 3 dus p = en q = 3 p > 0 en q > Gegeven is de vergelijking x + 5x + 3 = 0 Nu is het lastig om te ontbinden in factoren, daarom gebruiken we de a, b, c formule D = b 4 a c = = 5 4 = b ± D 5 ± 6 4 x = = zodat x = =, 5 of x = = a dus p =,5 en q = p < 0 en q < Gegeven is de vergelijking x + 5x 3 = 0, ook met de a, b, c formule D = b 4 a c = = = 49 b ± D 5 ± 7 x = = zodat x = = 0,5 of x = = 3 a dus p = 3 en q = 0,5 p < 0 en q > Gegeven is de vergelijking ( x + )(x )(4 x) = ( x + )(x ) Wat opvalt, is dat links en rechts twee dezelfde factoren staan. Die kunnen we wegstrepen, als we ons maar realiseren dat ze ook nul kunnen zijn : x + = 0 of x = 0 of 4 x = Bedenk dat wegstrepen betekent dat je door die factoren deelt! Daarom en niet 0. x = of x = 0,5 of x = 3 grootste oplossing = Als je met vermenigvuldigt, blijft de hoeveelheid hetzelfde, als je met meer dan vermenigvuldigt, neemt de hoeveelheid toe, als je met minder dan vermenigvuldigt ( maar meer dan 0 ), neemt de hoeveelheid af. 0 % erbij betekent maal, en 0 % eraf betekent maal 0,9 antw. C 80. Na een week is hoeveelheid C toegenomen met 84 % betekent dat hoeveelheid C iedere week vermenigvuldigd wordt met,84. Hoe zit dat dan per dag? Als iedere dag maal g, dan moet g g g g g g g = g 7 gelijk zijn aan,84 7 Dus g =,84 09 ieder dag komt er 9, % bij ( hoe reken je die laatste stap uit? eerst, dan keer 00 )

20 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz Iedere week 6,5 % erbij betekent iedere week maal,065 Hoeveel weken duurt het tot er is vermenigvuldigd met? Dan geldt :,065 t log = ; wat is t dan? t = log,065 weken 8. Wekelijkse afname van 70,5 % betekent iedere week maal 0,705 = 0,95 dan als iedere dag maal g : g 7 7 = 0,95 ; wat is g dan? g = 0,95 0,840 en dat betekent een dagelijkse afname van = 6 % 83. In acht dagen maal 0,5 : dan als iedere dag maal g : g 8 = 0,5 ; wat is g dan? 8 g = 0,5 0,97 en dat betekent een dagelijkse afname van 00 9,7 = 8,3 % 84. Jaarlijkse afname van 3,4 % betekent ieder jaar maal 0,034 = 0,966 Hoeveel jaar duurt het tot er vermenigvuldigd is met 0,5? Dan geldt : 0,966 t log 0,5 = 0,5 ; wat is t dan? t = 0 log 0,966 jaar 85. Het aantal manieren waarop de letters van het woord beneden kunnen worden gerangschikt, zodat er een verschillende lettervolgorde ontstaat, berekenen we 7! 5040 op z n banaan : 40 3!! = 6 = ( 7 posities waarvan 3 dezelfde (letter e) en dezelfde (letter n)) 86. De eerste student kan kiezen uit 50 en de tweede uit 49 en de derde uit 48 enz Er is dus sprake van een variatie, een rijtje van een deel van de club : = = 50! 0! 87. We maken een tabel en vullen de gegevens in : < 4 4 t/m 6 > 6 M 5 0 V de gebeurtenissen "mannelijk student" en "cijfer lager dan een 4" zijn stochastisch onafhankelijk, hoe vertalen we dat? Stel het aantal mannelijke studenten met < 4 is gelijk aan x, zie volgende blz :

21 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. < 4 4 t/m 6 > 6 M x 5 0 V dan geldt dus : x 6 x 0 = ( ofwel = ) hieruit volgt dat x =, waarna we de rest van de tabel kunnen invullen : < 4 4 t/m 6 > 6 M V het totale aantal cijfers hoger dan een 6 is dus gelijk aan 88. Je kunt natuurlijk gaan proberen met bijvoorbeeld de letters A t/m F, maar dan ben je best een tijdje zoet. In deze cursus leer je hoe je zoiets kunt uitrekenen. 6 kiezen uit 6 kan op = 5 manieren en 4 kiezen uit de overgebleven 4 kan op = 6 manieren en de laatste blijven vanzelf over. De vermenigvuldigingsregel zegt : 6 4 = 90 manieren, Maar wij moeten bedenken dat de drie groepjes op 3! = 6 manieren verwisseld kunnen worden, dus vanwege het dubbel tellen moet dit antwoord nog gedeeld worden door 3! Antwoord is dus 5 manieren 89. Bij Simone doet de volgorde er wel toe en bij Karen niet, daarom is er bij Simone sprake van een variatie en bij Karen van een combinatie : a = = 7 npr 4 = 840 ( optie uit MATH-PRB-menu ) 7 b = = 7 ncr = 35 ( optie 3 uit MATH-PRB-menu ) 4

22 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 90. groepjes op een rij kan op! manieren en 3 wiskundeboeken onderling verwisselen kan op 3! manieren en 4 psychologieboeken onderling verwisselen kan op 4! manieren : antwoord =! 3! 4! manieren 9. Ellen denkt van de 3 keer op kruis : p = 3 Floor denkt van de keer op kruis : p = H0 : p = 3 X g : verwerp H0 n = 60, toets : H : p = X > g : accepteer H0 Je kunt op twee manieren een verkeerde beslissing nemen : H 0 verwerpen terwijl H 0 waar is of H 0 accepteren terwijl H 0 niet waar is. Waar gaan we zoeken? Tussen 60 en 3 60, dus tussen 30 en 40. Om de meest geschikte waarde van het criterium g te vinden, maken wij de volgende tabel X = g Y = P(X g n = 60, p = 3 ) Y = P(X > g n = 60, p = ) de som Y 3 = binomcdf ( 60, 3, X ) = binomcdf ( 60,, X ) = Y + Y 33 0,0397 0,83 0,8 34 0,0680 0,5 0, ,0 0,0775 0, ,685 0,046 0, ,444 0,059 0,703 Wat blijkt? Wij moeten g = 35 nemen, opdat de kans op een verkeerde beslissing zo klein mogelijk is. Hoe ziet de toets er dan uit? H0 : p = 3 X 35 : verwerp H0 n =60, toets : H : p = X > 35 : accepteer H0

23 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 3 De oorspronkelijke toets kan ook worden gelezen als : H0 : p = wat Ellen zegt H : p = wat Floor zegt n =60, toets : X g : geef Floor gelijk X > g : geef Ellen gelijk 9. De kans dat Floor ten onrechte gelijk krijgt is de kans dat Floor gelijk krijgt, terwijl zij het niet heeft = P ( X g n = 60 en p = 3 ) die vinden wij dus bij Y. We zien dat die tabel naar boven afneemt, wanneer is die kans kleiner dan %, dus kleiner dan 0,0? Kijk in die tabel : X = 3 geeft 0,04 en X = 30 geeft 0,0056 Er moet dus 30 of minder keer kruis worden gegooid om Leontien tevreden te stellen. 93. De kans dat Ellen ten onrechte gelijk krijgt is de kans dat Ellen gelijk krijgt, terwijl zij het niet heeft = P ( X > g n = 60 en p = ) die vinden wij dus bij Y. We zien dat die tabel naar beneden afneemt, wanneer is die kans kleiner dan %, dus kleiner dan 0,0? Kijk in die tabel : X = 38 geeft 0,037 en X = 39 geeft 0,0067 Er moet dus 39 of meer keer kruis worden gegooid om Marjolein tevreden te stellen. 94. Soms moeten we gewoon het aantal mogelijkheden systematisch uitschrijven : Doos I Doos II Doos III Wat blijkt? Er zijn 0 even waarschijnlijke mogelijkheden, met in 4 van de 0 gevallen precies 0 ballen in doos I de kans = 0, x dx = 0 3 x = = = lijn m heeft rico = y x B B ya = = = x A startwaarde = 4, dus vergelijking van lijn m : y 3 = x + 5 4

24 Uitwerkingen meerkeuzevragen wiskunde psychologie, voorbeeldopgaven juli 05, blz. 4 yb ya lijn n heeft rico = = = = xb xa startwaarde =, dus vergelijking van lijn n : y = x Voor het snijpunt geldt : 4 5 x + = 5 8 x verhuizen geeft : x x = 3 maal 40 : 5 x 4 x = zodat x S = 0 ; en y S? invullen : y S = 0 + = 75 + = 76 8 conclusie : a = 0 en b = 76 antwoord A 97. Uit log y = x + volgt : y vergelijken met y b g 0 x + = = x = geeft : b = 00 en g = 0 x x x 0 0 = 0 00 = Zo n route heeft de vorm R B R R B. Om in ( 3, ) te komen moet je namelijk 3 keer naar rechts ( R ) en keer naar boven ( B ) Het maakt echter niet uit in welke volgorde die letters staan, 5! 0 0 daarom op z n banaan : aantal routes = 0 3!! = 6 = = 99. Marije kan register open trekken of of 3 of 4 of 5 of 6 of 7. 7 Zij kan register open trekken op manieren, op 7 manieren, 7 3 op 3 manieren, , 6 op 7 6 manieren en 7 op 7 7 manieren. 7 Totaal aantal manieren = = ( 7 ncr ) + ( 7 ncr ) + ( 7 ncr 3 ) ( 7 ncr 7 ) = = 7 Merk op dat je ook kunt zeggen : ( 7e rij van driehoek van Pascal) e i n d e