Tentamen 5 november 2008 in HO 3136

Transcriptie

1 Hugo Hoekstra ntegrated Optical MicroSstems, EL-EW Electrodnamics 1141 Tentamen5118.doc Tentamen 5 november 8 in HO 3136 Universiteit Twente Algemene opmerkingen: Beschikbare tijd: 13.3 t/m 17. uur. Materiaal toegestaan tijdens tentamen: boek (Griffiths), formuleblad, print-out powerpointpresentaties van het college, rekenmachine. Als er in het boek oplossingen en deeloplossingen worden gegeven, hoeven die niet opnieuw worden berekend of uitgewerkt. Het is voldoende bij de uitwerking tijdens de toets te verwijen naar, bij voorbeeld, het nummer van de vergelijking of het voorbeeld. Opgave 1 (5 Een golfgeleider bestaande uit metalen wanden met een rechthoekige doorsnede is gevuld met lucht en de lengterichting is evenwijdig aan de as. De hoogte (langs de as) is a, de breedte (langs de as) is b. a. Laat ien dat voor de grensvlakken tussen lucht en metaal (opgevat als een ideale geleider) geldt dat E = en B =. (3 We oeken veldoplossingen voor het licht dat in die golfgeleider propageert van de vorm: ik ( ω t) ik ( ω t) E ( t,,, ) = E ( e, ) en B ( t,,, ) = B ( e, ), en we beperken ons hierbij tot oplossingen waarvoor geldt B = (TM golven of modi). b. Laat ien dat alleen oplossingen met magnetische velden van de vorm: B, = bsin( k)cos( k), B, = bcos( k)sin( k), met k = mπ / a en k = nπ / b, m, n=,1,..., voldoen aan de golfvergelijking en bovengenoemde randvoorwaarden. (6 c. Geef de relatie tussen b en b. (4 d. Geef uitdrukkingen voor de componenten van E en ga na of aan de randvoorwaarde E = is voldaan. (4 e. Laat ien dat er geen veldoplossingen met ( mn, ) = (,), (,1) of (1,) bestaan. (5 f. Geef een uitdrukking voor de dispersierelatie (d.w.. een relatie tussen ω en k). (3

2 Opgave (1 Twee ronde metalen schijven staan evenwijdig aan elkaar opgesteld oals aangegeven in onderstaand figuur. De straal van de schijven is R en de afstand tussen de platen is d R. Het midden van elke schijf is verbonden met een metalen draad. Op t= gaat een stroom lopen door elk van die draden, odat één plaat negatief en de andere positief wordt opgeladen. Aangenomen wordt dat de ladingsverdeling over beide schijven gelijkmatig is en dat voor de hieronder genoemde veldoplossingen retardatie effecten verwaarloosd kunnen worden. d a. Geef een uitdrukking voor de elektrische veldsterkte op posities tussen de twee schijven. (6 b. Geef een uitdrukking voor de magnetische veldsterkte op posities tussen de twee schijven. Maak gebruik van een cirkelvormig oppervlak ergens tussen de twee schijven; gebruik cilindrische coördinaten. (5 c. Geef uitdrukkingen voor de energiedichtheid u em en de Ponting vector S en controleer de continuïteitsrelatie uem / + t S =. (5 d. Geef een uitdrukking voor de magnetische veldsterkte op posities tussen de twee schijven gebruikmakend van de wet van Ampère en het cilinderoppervlak oals getekend hieronder. Vergelijk het antwoord met dat op vraag b. Aanwijing: Door owel de aanvoerdraad als de schijf loopt een stroom. (5

3 Opgave 3 (13 De vectorpotentiaal en de scalarpotentiaal in vacuüm ijn gegeven door: A= A ˆ ˆ sin( k ωt) + Asin( k ωt) V = Ac sin( k ωt) met ω = ck. a. geef een uitdrukking voor het elektrische veld. (4 b. Geef een uitdrukking voor het magnetische veld (B). (4 c. Zijn bovengenoemde veldoplossingen ook mogelijk met een scalarpotentiaal V = en een andere vectorpotentiaal A? Zo ja, geef de uitdrukking voor dee vectorpotentiaal. (5 Opgave 4 ( Tussen twee geleidende, vierkante platen, die evenwijdig aan elkaar ijn opgesteld op afstand d, bevindt ich een laag niet geleidend materiaal (dikte d, permittiviteit ε ( ε )) en een luchtlaag (dikte d 1, permittiviteit ε ). Op één van de platen bevindt ich een oppervlaktelading met ladingsdichtheid σ, op de andere plaat is de ladingsdichtheid σ (ie figuur). - d 1 d a. Geef een uitdrukking voor de elektrische veldsterkte tussen de twee platen, in owel het gebruikte (niet geleidende) materiaal als de luchtlaag. (6 b. Waar bevindt ich gebonden oppervlaktelading? Geef (een) uitdrukking(en) voor de grootte daarvan. (5 c. Als het oppervlak van elke plaat A ( A ( d1+ d) ) is, hoe groot is dan de capaciteit van de twee platen? (4 d. Geef een uitdrukking voor de kracht die uitgeoefend wordt op de bovenste plaat. (5 Opgave 5 (1 Een kleine, cirkelvormige draadlus (straal a) ligt op een afstand boven het middelpunt van een grote cirkelvormige lus (staal b). De vlakken van de twee lussen ijn evenwijdig en staan loodrecht op de gemeenschappelijke (-) as. a. Door de grote lus loopt een stroom. Geef een uitdrukking voor de (magnetische) flu door de kleine lus. Dee lus is o klein dat de magnetische veldsterkte over de lus constant verondersteld mag worden. (7 b. Hoe groot is de flu door de grote lus als er een stroom door de kleine lus loopt? De kleine lus kan opgevat worden als een magnetische dipool. Hint: een integratie van de magnetische veldsterkte over het vlakke oppervlak van de grote lus is erg omslachtig; oek naar een andere mannier om de flu te bepalen. (9 c. Geef uitdrukkingen voor de wederijdse inducties en laat ien dat M1 = M 1. (5

4 Opgave 1. a. Metaal is geleider E =, met E is continu volgt er: E = bij het grensvlak. E = en Farada s wet: B / t = in metaal, dus geen B veld met frequentie ω in het metaal. Met B is continu aan het grensvlak volgt: B =. b. De algemene oplossingen die aan de golfvergelijking voldoet ijn B, = bsin( k + φ)sin( k + φ) en B sin( )sin( ), = b k + ϕ k + ϕ. Alleen oplossingen met φ = en k = mπ / a en oplossingen met ϕ = en k = nπ / bvoldoen aan B = bij de grensvlakken. Omdat ook moet gelden dat B = blijven alleen de oplossingen B, = bsin( k )cos( k ), B, = bcos( k )sin( k ) over. c. Uit B = volgt dat b = kb / k. d. Uit B= εµ E / t met E/ t = iωe volgt: E, = cb, ; E, = cb, ; E, = ic bsin( k)sin( k )( k + k ) /( k ω) e. Als ( mn, ) = (,) ijn alle B-velden nul; dit geldt ook als ( mn, ) = (,1) omdat dan geldt: b = kb / k = en B, =. Vanwege smmetrie geldt hetelfde voor het geval ( mn, ) = (1, ). f. Zie boek Griffiths, p. 49 Opgave. a. Q = t σ = t /( πr ) E = σ / ε = t /( πr ε) 1 E s b. wet van Ampère: πsbφ = πs B φ = c t πcrε c. 1 t s 1 st uem = ( ε E + Bφ / µ ) = +, S 4 4 s = EB φ = 4 π Rε 8π crε µ π R ε t 1 ( sss ) t uem / t = ; S = = 4 4 π R ε s s π R ε, odat inderdaad uem / t+ S = d. Door het cilinderoppervlak loopt een stroom naar binnen, er loopt over de R s s schijf een stroom uit = naar buiten. Dan is in = de totale stroom R R µ s die naar binnen loopt en (wet van Ampère) π sbφ = µ in Bφ = π R, in overeenstemming met het antwoord bij onderdeel b.

5 Opgave 3. a. A E= V = A ˆ ˆ ˆ ck cos( k ωt) + Aωcos( k ωt) + Aωcos( k ωt) = t Aωcos( k ωt)ˆ B= A= A k cos( k ωt)ˆ b. c. A = A ˆ sin( k ωt) Opgave 4. a. Buiten de platen is het elektrische veld (vanwege D = ρ f ; gebruik een pillendoosje met boven- en benedenvlak buiten de condensator). Uit D = ρ f volgt voor het veld in de luchtlaag: D1, = σ E1, = σ / ε. Analoog voor het veld in het dielektrikum: D, = σ E, = σ / ε. b. Uit E = ρ/ ε volgt voor de bovenkant van het dielektrikum (gebruik een pillendoosje met boven- en benedenvlak in de luchtlaag en het dielektrikum, respectievelijk): σtop dielektrikum / ε = σ / ε + σ / ε σtop dielektrikum = σ( ε / ε 1). Voor de onderkant van het dielektrikum: σtot = εσ / ε σonderkdiel = σ(1 ε / ε). De totale gebonden lading is nul, oals te verwachten. c. De potentiaal is Vtop onder = σd / ε + σd1/ ε C = A/( d / ε + d1/ ε) = Aεε /( dε + d1ε) d. Energie van de condensator: W = CV /, de kracht op de bovenste plaat volgt dw Aσ uit: F = =. Alternatief: gebruik.51 van Griffiths. dd ε 1

6 Opgave 5. µ 1sinθπb a. Biot-Savart B =, L b +, flu: Φ 1 = Bπ a 4π L b. Formula for dipole vector potential, integrate over large loop: π bµ πa sinθ B. da=. d S A l = ; or integrate B L over segment of the sphere 4π L with centre the position of the magnetic dipole (with radius L) bounded b the c. loop: π θ 3 dϕ dθµ mcosθ LLsin θ /(4 πl ), use sin θ = b / L. Note that because of B = the flu through that segment of the sphere is equal to that through the (flat) circular area of the loop. Φ1 bµπ a sinθ M1 = = = M 1 L