COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR

Transcriptie

1 COMMENTAAR EN SUGGESTIES VOOR PREVENTIE EN REMEDIËRING BIJ IDP4 WISKUNDE 2008 Marleen Duerloo pedagogisch begeleider VVKBaO In deze bijdrage bespreek ik twee vragen van de online proef wiskunde 2008 voor het vierde leerjaar. Bekijk je graag de volledige vragenreeksen die we stelden? Je vindt ze in een pdfbestand op onze website bij IDP algemeen. Dit schooljaar waren leerlingen ingeschreven leerlingen hebben alle vragen beantwoord leerlingen maakten de wiskundeproef, De gemiddelde score bedraagt 75 %. Vraag 1 bleek de gemakkelijkste vraag met 84 % goede antwoorden, de vragen 6 en 14 de moeilijkste met slechts 58 % correcte antwoorden. Bij die twee vragen geef ik commentaar en suggesties. 1 DE GEMIDDELDE RESULTATEN VAN WISKUNDE 75 % vraag A B C D E Goed Fout DE MOEILIJKSTE VRAGEN Vraag 6 MR88 Vraagstukken over één grootheid oplossen: geldwaarden G36 Getallen afronden (de graad van nauwkeurigheid wordt bepaald door het doel van het afronden en door de situatie) Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

2 Jelle wil zoveel mogelijk cd s kopen. Hij heeft 50 euro. Superkoopje 7,99 per stuk Hoeveel cd s kan Jelle kopen? Reken handig. Antwoord A 4 (5 %) B 5 (12 %) C 6 (58 %) D 7 (17 %) E 8 (8 %) Analyse van het antwoorden Mogelijke oorzaken: De meeste leerlingen zien de tip Reken handig over het hoofd. Ze maken ingewikkelde berekeningen met kommagetallen en maken rekenfouten. Andere leerlingen ronden 7,99 correct af. Maar maken dan een berekeningsfout. Sommige zijn in de war omdat het een niet-opgaande deling is. Misschien zijn er ook leerlingen die precies gerekend hebben. Ze deden 50 : 8 = 6,257. Ze ronden dan fout af naar 7. Nog andere vertrekken met een fout gegeven bijvoorbeeld 40 euro in plaats van 50 euro. Ze vinden dan 5 als uitkomst. Suggesties voor preventie en remediëring Een kind dat gedurende acht basisschooljaren leert rekenen door voorgeschreven, eenzijdige oplossingsmanieren klakkeloos na te doen en in het geheugen te prenten, kan straks wellicht als een gedresseerd aapje rekenkunstjes opvoeren, maar zijn sprankelende kleuterlogica is in de kiem gesmoord. Zo n kind kan reproduceren, maar zeker niet redeneren. (Kool, 2007:2). Waarmee ik niet wil gezegd hebben dat we in Vlaanderen geen aandacht meer moeten besteden aan automatiseren en standaardprocedures leren beheersen. De Nederlandse wiskundige Ed de Moor formuleert hetzelfde idee erg fijnzinnig: Rekenen is leuker dan als je denkt. (de Moor, 2007:29). En dat is meteen prachtig verwoord hoe we ons wiskundeonderwijs moeten benaderen. Reflecteren we vanuit die idee over de aanpak van vraag 6. Ik wilde niet alleen nagaan of kinderen een vraagstuk kunnen oplossen over één grootheid (MR88), maar ook of ze in staat zijn handig te rekenen met afgeronde getallen (G36). Bekijken we eerst hoe leren redeneren kan en nadien hoe je een leerlijn handig rekenen aanpakt. 2.1 Leren redeneren Wat mag je van bij het begin van leerlingen verwachten bij het oplossen van vraagstukken? Kwaliteitsvol wiskundeonderwijs leidt ertoe dat kinderen niet meteen aan het rekenen slaan, maar altijd eerst even nadenken. Een mooi voorbeeld daarvan is de volgende vraag als Wiskunde is leuker dan je denkt. die al eerder in IDP is uitgetest maar door de erg zwakke score niet door de selectie raakte. Jammer! Hoewel het vraagstuk echt helemaal niet moeilijk is. Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

3 Op vakantie Caroline stuurt 7 kaarten naar haar vriendinnetjes. Hoeveel euro betaalt ze daarvoor? Dat is euro. Wie hier meteen rekent met de getallen uit de opgave heeft veel kans dat er ergens een reken- en/of een herleidingsfout volgt. 7 x 40 cent = 280 cent 7 x 60 cent = 420 cent 280 cent cent = 700 cent = 7 euro Hoeveel makkelijker is het niet om eerst na te gaan hoeveel 1 kaartje mét postzegel kost? 60 cent + 40 cent = 100 cent = 1 euro 7 x 1 euro = 7 euro Wanneer we enkel naar het resultaat kijken, maakt de aanpak niks uit. Maar hoeveel mooier en handiger is de tweede oplossingswijze niet? En zo, vind ik, wordt rekenen pas echt wiskunde. Niet alleen het product telt, het leren communiceren over het proces helpt kinderen om te leren denken (DO3 en DO6). Dat hoeft niet noodzakelijk met heel ingewikkelde vraagstukken. Jan woont 7,5 km van de school. s Middags blijft hij op school eten. Hoeveel km legt hij wekelijks af? Antwoord: 7,5 km x 2 x 5 = 15 km x 5 = 75 km of ook nog = 7,5 km x 10 = 75 km Welke oplossingswijze geeft het minste kans op het maken van een rekenfout? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

4 Vanaf de kleuterklas Wat zegt SLO, het Nederlandse expertisecentrum leerplanontwikkeling, over praktische en formele rekenwiskundige problemen leren oplossen en redeneringen helder leren weergeven? In wiskunde gaat het er om dat je op grond van redeneren laat zien dat een berekening of een betoog klopt. Het is daarom wenselijk dat leerlingen leren hun redeneringen en (deel)berekeningen weer te geven, zodat de denkstappen voor hen zelf scherper worden, voor anderen zichtbaar zijn en aangevuld of gecorrigeerd kunnen worden. Een voorbeeld uit Octoplus 1C Wolters Plantyn Hoeveel vissen kunnen er in het aquarium zitten? Kleur wat kan. Laat leerlingen verwoorden waarom ze voor een bepaald(e) antwoord(en) kiezen. En verder: Kinderen leren berekeningen beredeneren en aanpakken onderbouwen in de context van allerlei wiskundige activiteiten. In interactie met medeleerlingen en met de leraar leren ze na te denken over aanpakken en redeneringen en te vertellen waarom ze in een situatie bepaalde denkstappen gezet hebben. Ze ervaren dat bij elke leerling de aanpak mee wordt ingegeven door de situatie en dat die ook afhankelijk is van het persoonlijke netwerk van rekenfeiten, rekenprocedures, strategieën, bekende redeneringen en zo meer. Net hetzelfde is in onze domeinoverschrijdende doelstellingen verwoord. Kinderen leren praktische problemen van wiskundige aard oplossen. Die praktische problemen doen zich in het dagelijkse leven in een grote variatie voor. Bijvoorbeeld op het gebied van hoeveelheden, groottes, tijd, ruimte en vormen, geldbedragen, verhoudingen, percentages, schaal, en deel-geheelrelaties. Het onderzoeken, begrijpen en modelleren van de probleemcontext is een wezenlijk onderdeel bij het zoeken naar een oplossing. In veel gevallen wordt het probleem omgezet in een rekenformule, die dan handig uit het hoofd, met standaardprocedures, al cijferend of met de zakrekenmachine wordt opgelost. Maar dus niet altijd! Zoek 3 kaarten die samen 10 waard zijn. Er zijn twee oplossingen mogelijk. Kies voor elke oplossing een kleur. Octoplus 1D Wolters Plantyn Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

5 We overlopen de verschillende mogelijkheden. Hiervoor putten we uit de leerlijnen die SLO in Nederland uitwerkte. Welke soort problemen kun je leerlingen voorleggen? Vanaf de kleuters problemen in verband met aantallen bijv. Zijn er evenveel?; Zijn er genoeg?; Zijn er meer of minder? de telrij bijv. Waar staat de 9?; Wat zijn de buren van 5? lengte en gewicht bijv. Wie is het grootst?; Kan ik mezelf zwaarder maken? Vanaf het eerste leerjaar problemen in verband met optellen en aftrekken bijv. Hoeveel mensen zitten er in de bus vóór, en ná de stop bij de bushalte?; Welke dominostenen hebben in totaal vijf stippen?; Welke sommen kun je maken met de getallen 3, 5 en 8? de structuur van getallen bijv. Hoe kun je 12 betalen? Of 75 eurocent?; Wat krijg je terug als je 4 betaalt met een briefje van 5,00? vermenigvuldigen bijv. Hoeveel eieren zitten er in vijf doosjes van 6?; Waarom is 5 x 3 evenveel als 3 x 5? rekenstrategieën bijv. Hoe kun je handig uitrekenen?; Als je weet dat 5 x 12 = 60 Hoeveel is dan 6 x 12? Vanaf het derde leerjaar problemen in verband met de structuur van de telrij bijv. Hoe weet je dat 625 groter is dan 619?; Hoe ver liggen 398 en 402 van elkaar af?; Welk getal ligt midden tussen 500 en 1000? de structuur van getallen bijv. Wat verandert er aan de waarde van 563 als ik in plaats van de 6 een vier schrijf?; Welk getal komt vóór 350?; Waarom mag je bij 10 keer een geheel getal, een nul achter dat getal zetten? delen bijv. In elke bus gaan 45 personen. Hoeveel bussen zijn nodig om 560 personen te vervoeren?; Hoe kun je zien of een getal deelbaar is door 5? rekenstrategieën bijv. Hoe kun je 12 x 75 handig uitrekenen? komma's bijv. Wat betekent 34,15?; Kan ik met de bordmeetlat meten hoe dik een (stapel van 10 of 100) schrift(en) is? de volgorde van bewerkingen bijv. Maakt de volgorde waarin je rekent uit bij x 8? Vanaf het vijfde leerjaar problemen in verband met breuken bijv. Wanneer krijg je het meest: als je drie pannenkoeken met vijf mensen verdeelt of als je 4 pannenkoeken met 6 personen deelt? omzettingen bijv. Hoeveel meter per seconde ga je als je 60 km / uur rijdt?; Hoeveel % is 1/3? kommagetallen bijv. Welk getal is het grootst: 0,446 of 0,45? verhoudingen bijv. Welke olie is het duurst: 0,75 l voor 3,40 of 0,8 l voor 3,60?; Hoe lang is Chili (landkaart en schaal)?; Waarom is 10% korting op 110 geen 10?; Als een stok van 1 meter een schaduw van 65 cm geeft, wat is dan de hoogte van de school? de rekenmachine bijv. Hoe bereken je 5 x x 56?; Wat is de rest van 678 : 34? maten bijv. Welke rechthoek met een omtrek van 60 cm heeft de grootste oppervlakte? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

6 2.2 Leren handig rekenen Leren handig rekenen heeft zowel te maken met inzicht in de getallen, als met inzicht in de eigenschappen van en de relaties tussen bewerkingen. Maar je moet ook nagaan welke rekenwijze het meest geschikt is. Een schatter kan niet zonder redeneren. Rekenen hoeft niet altijd precies te zijn. We oefenen heel vaak en grondig nauwkeurig rekenen. Of we dat met hoofdrekenen, cijferen of met de zakrekenmachine doen, maakt eigenlijk niet zoveel uit. Als het antwoord maar goed is tot op 3 cijfers na de komma. De vierde rekenwijze schattend rekenen komt haast altijd onvoldoende aan bod. Dat is erg jammer want een schatter kan niet zonder redeneren (Janson, 2007:22). Bij schattend rekenen gaat het er om dat een leerling 'moeilijk te bepalen hoeveelheden', 'lastige aantallen' of 'lastige getallen' overzichtelijk en hanteerbaar maakt. Dat kan door hoeveelheden te vergelijken met bekende aantallen, ze handig te structureren, of getallen te vervangen door beter 'hanteerbare ('handige') getallen'. Wat hanteerbaar is, hangt af van de telstrategieën, de (bij de context passende) referentie aantallen, getallen en maten en het netwerk van rekenfeiten en basisberekeningen waarover die leerling beschikt (SLO). Vanaf het tweede leerjaar Leerlingen moeten niet alleen leren schatten, maar ook leren bepalen wanneer het goed is precies te tellen of te rekenen en wanneer zij aan schatten de voorkeur moeten geven (B52). Bij het vraagstuk van het aantal cd s is rekenen met handige getallen voldoende én wenselijk. Kinderen die hier nauwkeurig willen rekenen, slaan (vaak) de bal mis. Het oplossen van praktische en wiskundige problemen leidt tot een repertoire van oplossingsstrategieën en rekenstrategieën. Kinderen leren in probleemsituaties: een adequate strategie te kiezen, op strategieën te variëren en ze aan de probleemcontext aan te passen, ze in veel voorkomende situaties vlot toe te passen, en na te denken over hun aanpak. Putten we opnieuw uit de leerlijnen die SLO bedacht. Welke soort oefeningen passen bij schattend rekenen? Vanaf het eerste leerjaar rekenen via ronde getallen bij verschillende bewerkingen: is bijna 18, want 9 is bijna tien; is ongeveer (want 28 is bijna 30); 7 x 49 is iets minder dan 7 x 50 en is dus iets minder dan 350 schatten of een optelling klopt op basis van snel hoofdrekenen door afronding op handige getallen: bijv. het totaal van een kassabon schattend controleren door naar beneden of naar boven per artikel op hele euro's af te ronden en die getallen (globaal) op te tellen) Vanaf het derde leerjaar rekenen via ronde getallen en kennis van rekenfeiten bij verschillende bewerkingen: 28 x x x x x : 8; ik weet 80 : 8 = 10, dus het antwoord is iets meer dan 10 onze gemeente ( inwoners) geeft de voetbalclub Dat is ruim 10 per inwoner! berekenen van lengten, inhouden, oppervlakten op basis van bekende referenties beoordelen hoe nauwkeurig gerekend moet worden op basis van de grootte van de getallen en de aard van de context Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

7 herkennen welke schatstrategie het best passend is en deze kunnen toepassen beredeneren hoe ver de geschatte uitkomst af zal wijken van de werkelijke uitkomst Bijv. Ik mag 7,99 afronden naar 8. Dat maakt geen verschil voor de uitkomst. Vanaf het vijfde leerjaar weten hoe men schattend rekent in allerlei maatschappelijke contexten en tevens begrijpen waarom dat daar zo gebeurt redeneren met orden van grootte bijv euro of 1,5 miljoen, nadruk op 1,5 miljoen als duizenden of op één en een half miljoen kritisch analyseren van en betekenis geven aan berekeningen met geschatte of afgeronde getallen; zijn de juiste keuzes gemaakt en correcte conclusies getrokken? schatten bij bewerkingen met kommagetallen, waarbij de positie van de komma en het effect van de cijfers achter de komma worden herkend. Dit geldt voor zowel benoemde als onbenoemde kommagetallen schatten van de uitkomsten van cijfersommen bij hele en vooral bij kommagetallen schatten van uitkomsten van bewerkingen als controle op uitkomsten bij gebruik van een rekenmachine beredeneerd vergelijken van verschillen door gebruik te maken van percentages bijv. In 2005 is de prijs van een ijsje gestegen van 0,80 naar 1,00; in 2006 steeg de prijs van zo'n ijsje van 1,00 naar 1,20. Was de sterkte van de prijsstijging gelijk, hoger of lager? Deze strategieën komen zowel met kale getallen als in contextproblemen aan de orde. Belangrijke contexten zijn geld en tijd. Bijvoorbeeld: Je koopt 3 dvd s van 2,45 per stuk, en je betaalt met een tien euro. Hoeveel krijg je terug? De trein vertrekt om uur. Op je horloge is het kwart voor 5. Over hoeveel minuten vertrekt de trein? In een berekening met miljoenen rond je niet af op tientallen. Bij schattend rekenen, zegt Dolf Janson, moet je het antwoord van een berekening op een passende en handige manier benaderen. Passend wil zeggen dat de mate van nauwkeurigheid bij de getallen en de context van die opgave moet passen. In een berekening met miljoenen rond je niet af op tientallen. Je moet je rekenwerk handig uitvoeren, want de schatting mag niet meer tijd kosten dan een precieze berekening. Tenslotte moet het schatten informatief zijn, dat wil zeggen dat het zin moet hebben. In veel gevalle n betekent dit dat precies uitrekenen daarna niet meer hoeft. Wat vraagt dit van de aanpak in de klas? Janson geeft het volgende recept: 1. Daag je leerlingen voortdurend uit om eerst na te gaan welke berekening er aan de orde is voor ze gaan rekenen. 2. Laat ze zich afvragen wat het effect van de bewerking zal zijn? Wordt het meer/minder? En binnen welk getallenbereik speelt de opgave zich af? Twee voorbeelden: Je hebt 5 en je doet er 7 bij. Kom je dan voorbij de 10 of niet? Hoe weet je dat? Hoeveel is ongeveer? - Op dat moment moet de leerling razendsnel de volgende kenmerken herkennen: - het gaat over honderdtallen; - de bewerking is optellen de uitkomst wordt groter; - de uitkomst kan nooit groter zijn dan 800 ( ); Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

8 - de context bepaalt of ongeveer betekent of een afronding op honderdtallen passend is = 700 of dat een afronding op tientallen beter is = 710. De afrondingsregels kunnen toepassen. Snel het dichtstbijzijnde tiental of honderdtal vinden. Uit onderzoek blijkt, stelt Janson, dat het aanleren van dit type vaardigheden niet enkel bepaald wordt door het kennen van regels en feiten, maar vooral door van anderen te horen hoe ze het doen. Welke overwegingen hanteren anderen om hun keuze te maken? Denk als leraar hardop, benoem ogenschijnlijk vanzelfsprekende herkenningspunten en maak je afwegingen expliciet. Moet ik nu afronden naar boven of beneden? O, ik zie het al: 237 ligt dichter bij 200 dan bij 300, dus moet ik naar beneden afronden. Laat leerlingen per twee of drie samen schatten. Om beurten hardop denken waarbij de ander(en) goed luisteren of zij het ook zo zouden doen. Liefst in min of meer heterogene groepjes. De nog wat onzekere leerlingen horen het goede voorbeeld en worden zonodig gecorrigeerd of aangevuld. Verder gevorderde leerlingen worden uitgedaagd om heel precies te Schatten moet je luisteren of de juiste afwegingen worden gemaakt en (gaan) durven. moeten die zo nodig uitleggen, wat voor hen een verdiepend effect kan hebben. Schatten moet je (gaan) durven. Dat lijkt misschien vreemd, schrijft Janson, maar het heeft alles te maken met onze aangeleerde fixatie op dat ene goede antwoord. Daarvan afwijken, maakt je onzeker. Willen we het toch met z n allen proberen schattend rekenen aan te leren en vooral voor te doen vanaf het tweede leerjaar en waarom niet z elfs al op het einde van het eerste leerjaar. Bekijken we dan nu de tweede vraag die slechts 58 % scoorde. Vraag 14 MK36 Spiegelbeelden ontdekken in de omgeving en in vlakke figuren: a) door een spiegel te gebruiken, door te vouwen b) door te meten en daarbij de termen spiegelbeeld, spiegeling en spiegel(as) gebruiken Hieronder zie je een tekening van een bootje. Yannick probeert met een spiegel spiegelbeelden te maken. Welk spiegelbeeld kan Yannick NIET maken? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

9 A B 10 % 8 % C D E (*) 9 % 58 % 15 % Analyse van het antwoorden Mogelijke oorzaken: Het is vreemd dat het meest gekozen fout antwoord E in feite het echte spiegelbeeld in het water is. Waarschijnlijk worden aan Spiegelbeelden ontdekken in de omgeving onvoldoende oefenkansen gegeven en stap pen de meeste methodes te snel over naar Spiegelbeelden ontdekken in vlakke figuren. Kinderen kunnen natuurlijk moeilijk een echte spiegel gebruiken op het computerscherm. De opgave vraagt dus ook wel vaardigheid in het zich mentaal voorstellen van een ruimtelijke situatie (MK6). Het voordeel van de meerkeuzevraag is dat je op zoek kunt gaan naar de plaats waar de spiegel moet staan. A B C D E (*) Zo wordt het misschien duidelijker welke mogelijkheden allemaal wel kunnen en welke niet. Misschien komt deze oefenvorm de spiegelas plaatsen niet of onvoldoende in wiskundemethodes aan bod. Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

10 Suggesties voor preventie en remediëring Ooit zat ik in een Nederlandse meetkundeconferentie in een wel heel heterogeen groepje samen met een professor fysica. We moesten het probleem oplossen: Hoe groot moet een pa sspiegel zijn om jezelf er helemaal in te kunnen zien? We wilden een schets maken van het probleem. De professor vroeg me toen: Waar zie je het spiegelbeeld?. En hoewel ik talloze spiegelbeelden getekend heb, kwam ik toen pas tot het besef dat je het spiegelbeeld achter de spiegel ziet. Kwaad op mezelf maar ook wel op het wiskundeonderwijs dat ik kreeg. Van jongs af aan raken kinderen hun spiegelbeeld aan in de spiegel. Net als een hond soms doet, zie je baby s achter de staande spiegel gaan kijken waar die andere hond, dat ander kindje dan wel zit. De fascinatie voor spiegels blijft bestaan. Maak er gebruik van. Kinderen kunnen eindeloos voor de spiegel staan om te kijken wat er gebeurt als ze hun hand opsteken, een been optillen of een knipoogje geven. De lepel naast je bord en rimpelende wateroppervlakken laten ook verbazingwekkende beelden zien. Bij niet-vlakke spiegels treden allerlei vervormingen op. De verklaringen van die spiegelbeelden vormen geen leerstof voor de lagere school. De bela ngrijkste transformatie voor de onderbouw van de basisschool is de lijnspiegeling. Met behulp van een gewone spiege l kun je op een eenvoudige wijze van allerlei vlakke figuren de symmetrieas(sen) bepalen. Nog beter is een spiegel die spiegelt, maar waar je ook doorheen kunt kijken. Een stukje gekleurd perspex werkt uitstekend als doorkijkspiegel. Maar er zijn ook mira spiegels in de handel. Die kun je handig neerzetten. Je ziet het spiegelbeeld echt achter de spiegel. Bij spiegelen is iets tegelijkertijd hetzelfde en toch ook anders. Deze eigenschap heeft iets toverachtigs. Het zou jammer zijn om daarvan bij kleuters geen gebruik van te maken. Kinderen komen in hun directe leefwereld voortdurend spiegelingen tegen. Dit begint al met het eigen lichaam. Zo zijn je handen ten opzichte van elkaar gespiegeld en ook je voeten. Dat heeft consequenties voor je handschoenen en schoenen. Wanneer je je schoenen aandoet, moet je goed kijken naar de vorm. Sommige kleuters kunnen al goed uitleggen waarom hun voeten (schoenen) die goed op elkaar lijken, toch verschillen. Vanaf de kleuters Geef kleuters volop gelegenheid hun ervaringen met spiegelingen en spiegels uit te breiden. De onderwijsactiviteiten spitsen zich toe op het vrij experimenteren met vlakke spiegels en het onderzoeken van spiegelingen en spiegelbeelden. Enkele ideeën uit de TAL-brochure Jonge kinderen leren meten en meetkunde. Sommige ideeën verschenen al eerder in Commentaar en suggesties bij IDP2005. Bang voor monsters Beer durft niet over een brug lopen. Als hij in het water kijkt, ziet hij een eng monster dat heel boos naar hem kijkt. Hij vraagt hulp aan grote beer. Die zegt dat kleine beer naar het monster moet lachen. Dan zal het monster ook naar hem lachen. Heeft groter beer gelijk? Kan hij toveren? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

11 Regenplassen Na een zware regenbui zoeken de kleuters een grote waterplas op de speelplaats of op een veilige parking. Ze zien een boom in de plas. Waar staat die boom? Is er nu één boom of zijn er twee? Kunnen de kinderen zichzelf ook in de plas zien? Kunnen ze hun schoonzolen in de plas zien? Plaats een stok of een paaltje verticaal naast de plas zodat die in het water weerspiegelt. Wat gebeurt er met het spiegelbeeld als je met een andere stok golfjes in de plas maakt? Spiegelspel Twee op elkaar lijkende kinderen staan tegenover elkaar. Het ene kind neemt houdingen aan. Het andere kind doet na. Je kunt bij dit spel meerdere leerlingen betrekken door het spiegelbeeld te laten beoordelen op zijn juistheid. probeer mekaars oor, neus, te raken, maar je mag enkel in de spiegel naar elkaar kijken; kam je haar terwijl je in de spiegel kijkt; ga een stap van de spiegel weg, dan doet je spiegelbeeld dat ook (idem dichterbij, idem opzij); doe een stap naar links, je spiegelbeeld stapt naar rechts ; pink met je rechteroog, je spiegelbeeld doet dat met het linkeroog. Om het hoekje kijken Spiegels verruimen je blik. Met een spiegel kun je meer zien dan zonder. Maak een zakspiegel vast aan een bezemsteel. En kijk op allerlei geheime plekken: onder de kast of zelfs om de hoek van de deur. Hoe kun je met een spiegel achter de kast kijken? Of onder de kast? Achter je hoofd? De kinderen demonstreren elkaar wat ze gevonden hebben. Spiegels verruimen je blik. Bij de tandarts Je kunt niet in je eigen mond kijken. Maar wel met een spiegel. Kun je zo tellen hoeveel tanden je hebt? Of iemand anders? Meerdere spiegels Plaats twee spiegels in een hoek tegen elkaar en zet er een voorwerp voor (het voorwerp weerspiegelt meerdere keren). Denk hierbij ook aan de spiegels van een toiletkast of aan het effect van spiegels die precies recht tegenover elkaar staan; als je daartussen staat, word je een oneindig aantal keren heen en weer gespiegeld. Samen een vlinder vouwen Een klassieker: de kinderen vouwen een A4-blad dubbel. Ze tekenen aan de ene kant de helft van een bloem. Het midden van de bloem valt samen met de vouwrand. Daarna geven de kinderen de tekening door aan een medeleerling die de tekening afmaakt. De twee helften moeten goed op elkaar lijken. Tekening uit Zonnekind 44/ Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

12 Toveren met een spiegel? Het kan o.a. met Spiegelen op de computer Op vind je een computerspelletje waarbij kinderen met een virtuele spiegel over een tekening kunnen schuiven. Iedere stand levert een ander resultaat op. Hoe werkt het? Een beetje vreemd meisje, vind je niet. Lacht ze nou, of is ze boos? Tja, ze doet het eigenlijk allebei. Je kunt een spiegeltje op de tekening zetten, kijk zo: Aan de ene kant zie je dan een meisje dat blij kijkt, maar als je het spiegeltje andersom zet kijkt ze boos. Het computerprogramma 'Spiegel' doet precies hetzelfde. Alleen heb je nu geen echte spiegel meer nodig. Sleep de spiegel aan de bolletjes naar een andere plek. Speel maar eens met het programma en kijk of je de dingen kunt vinden die in de plaatjes verstopt zijn. Toelichting Het doel van deze activiteit is dat kinderen ervaren dat je met behulp van een spiegel geteke nde figuren van vorm kunt laten veranderen. En ook dat je het aantal getekende v oorwerpen kunt wijzigen. Door de spiegel op een bepaalde plaats te zetten in de tekening kunnen kinderen dus een beetje toveren. In feite zijn deze veranderingen het gevolg van het manipuleren van de symmetrieas. Door de spiegel te bewegen kan je de as zowel binnen als buiten de figuur leggen. In het eerste geval ontstaat een symmetrische figuur. Leg je de symmetrieas buiten de figuur, dan krijg je twee figuren die gespiegeld zijn ten opzichte van elkaar. Zelf aan het werk Hoe kun je met de spiegel en deze tekening: twee boten naar elkaar toe laten varen? de matroos met twee handen laten zwaaien? beide handen van de matroos in de zak stoppen? een bootje maken en de matroos en de vlag laten verdwijnen? d e boot omgekeerd zetten? Misschien zijn er wel kinderen die opmerken dat wanneer de zeeman beide handen in zijn zak heeft, de boot groter wordt. En dat wanneer de zeeman met beide handen wuift, de boot verkleint. Dit is een gevolg van het feit dat de boot asymmetrisch van vorm is. Dergelijke opdrachten zijn op concreet niveau uit te voeren door met een spiegel allerlei standen uit te proberen. Zet je leerlingen op het spoor van voorstellen en redeneren door: 1. eerst na te denken over de juiste plaats van de spiegel 2. daarna pas de spiegel te plaatsen 3. vervolgens te controleren of hun voorspelling klopt. Oudere kinderen kunnen dan de spiegelas tekenen op de plaats van de spiegel. Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

13 Vanaf het eerste leerjaar Letters en spiegels Op losse kaartjes staan per kaartje de letters van het alfabet. Bij iedere letter zoeken de kinderen uit wat er gebeurt als ze de letters voor de spiegel zetten. Wordt de letter o anders? Wat gebeurt er met de d, de b, de p, de q? En wat met n en u? En met l? De eigenaar van een boot wil dat de naam van zijn roeiboot ook in het water goed te lezen is. Welke naam zou hij dan kunnen kiezen? Nog meer leuke opdrachten Kinderen ontwerpen spiegeltekeningen. Dat zijn tekeningen waarin iets verstopt zit dat je maar ontdekt door een spiegel op de tekening te plaatsen. (Zie principe van Rekenweb.) Kinderen schrijven een stukje poëzie (bijvoorbeeld over een spiegel), maar schrijven dat neer in spiegelschrift. Nadien proberen ze elkaars gedicht te lezen in de spiegel. Maak de letters weer heel met je spiegel Experimenteren Gebruik een spiegel die je loodrecht op het tafelblad zet. Kijk enkel langs de kant van de spiegel die spiegelt. Maak één, twee, drie, vier tot tien bollen. Zet de spiegel zo dat de figuur niet verandert als je in de spiegel kijkt. Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

14 Verbeter wat niet klopt Kleur de blokken in de spiegel in de goede kleur Uit ZK Tangrams Maak het spiegelbeeld. L ukt dit niet meteen: leg dan eerst het tangram dat je ziet op de tekening. Lukt het nog niet: gebruik een spiegel. Bouwwerk Bouw eerst het bouwwerk. Bouw daarna wat je in de spiegel ziet. Wat valt je op? Welke verschillen zie je? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

15 Mentaal denken Welke afdruk is niet met de stempel gemaakt? Zet daar een kruisje bij. Tip Wanneer het mentaal niet lukt, laat dan de stempeltekening maken in papier en uitknippen. Die leerlingen voeren dan dezelfde opdracht uit met materiaal. Het zou ideaal zijn wanneer leerlingen dit uit zichzelf zouden doen (DO2). Met dit soort van oefeningen ontdekken kinderen de eigenschappen van spiegelingen bij vlakke spiegels: - De vorm en de grootte van een figuur blijven bij spiegelen dezelfde. - Hoe dichter je bij de spiegel komt, hoe dichter het spiegelbeeld komt. - Links bij de figuur komt overeen met rechts bij het spiegelbeeld en omgekeerd. - Het voor- en achterwaarts bewegen van het voorwerp verloopt in de spiegel in tegengestelde zin. - Als je voor de spiegel staat, zie je je spiegelbeeld op dezelfde afstand achter de spiegel. Vanaf het vierde leerjaar Hierna volgen enkele uitdagende oefeningen van de universiteit van Würzburg (Duitsland) met een mira spiegel. Het is misschien handig om hier een mira spiegel bij de hand te hebben. Zo kan je meteen zelf aan het experimenteren gaan. Draai met je mira spiegel de dartspijl en zorg dat hij in het midden van de schijf terecht komt. Hoeveel centimeter beweegt het spiegelbeeld van de dartspijl als je de mira spiegel een centimeter in de richting van de schijf beweegt? Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

16 Rechts en links naast de nagels is een liniaal getekend. Hoe kun je de lengte van de nagels met een mira spiegel meten? Op het afgebeelde minigolfveld moet de bal voorbij de hindernisen in het holletje gespeeld worden. Hoe doe je dat met een mira spiegel? Stel vast welke driehoeken gelijkvormig en even groot zijn. Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde

17 Teken met behulp van je spiegel de symmetrieassen in de volgende figuren. Teken het spiegelbeeld van deze vierhoek. Zet je miraspiegel op de rechte g en teken de spiegelpunt A, B, C en D. Verbind de spiegelpunten. Je kunt daarbij de mira spiegel als liniaal gebruiken. Teken: een loodrechte door het punt p op AB een evenwijdige met AB door het punt p een vierkant met A en B als hoekpunten een gelijkzijdige driehoek met A en B als hoekpunten Mogelijke vragen Hoe kun je aan beide leerlijnen tegelijkertijd werken? Om te werken aan de leerlijn spiegelingen lijkt het me te volstaan om kinderen voldoende experimenteerkansen te bieden en daarop te leren reflecteren. Om de doelstellingen van vraag 6 grondig aan te pakken is er meer werk aan de winkel. Het vraagt van sommige leerkrachten zelfs een mentaliteitsverandering in hun denken over het leergebied wiskunde. Dit vraagt tijd en veel leerkansen en reflectie van leerkrachten over hun aanpak in de klas. Onze school wil graag de doelstelling van een andere vraag remediëren. Hoe doen we dat? He t is goed mogelijk dat de beoogde doelstelling in eerdere commentaar en suggesties werd uitgewerkt. Je kunt hiervoor zelf de documenten raadple gen op bij IDP wiskunde. Of je mailt me met je concrete vraag: marleen.duerloo@vsko.be. In elk geval veel succes én plezier met de concrete uitwerking van de optimalisering van je wiskundeonderwijs. Bronnen De Moor, Ed, Vroeger in Volgens Bartjens, jaargang: /2008 nr.2, p. 29. Janson, Dolf, Een schatter kan niet zonder redeneren, in Volgens Bartjens, jaargang: /2008 nr.2, p. 22. Kool, Marjolein, Leren redeneren in Volgens Bartjens, jaargang: /2008 nr.2, p Tijdschriften van Averbode: Zonnekind, Zonnestraal en Zonneland VVKBaO (1998). Leerplan wiskunde, Brussel. VVKBaO (2002) Toelichtingen bij leerplan: meetkunde. 3 juni geraadpleegd op 13 juni Commentaar en suggesties voor preventie en remediëring bij IDP4 wiskunde