Schuifspanning en afschuifstijfheid in stalen U-profielen

Transcriptie

1 Schuifspnning en fschuifstijfheid in stlen U-profielen CT3000 Bchelor Eindwerk Eindrpport Sectie Constructiemechnic en Stlconstructies Begeleiders: dr. ir. P.C.J. Hoogenboom ir. R. Abspoel Lrs Voormeeren Mei 008

2 Voorwoord Dit bchelor eindwerk, wrin onderzoek wordt gedn nr de schuifspnningen en fschuifstijfheid in stlen U-profielen, dient ter fsluiting vn het bchelorprogrmm vn de studie Civiele Techniek. Hoewel ik voorf nog geen duidelijk beeld hd over de wijze wrop een dergelijk onderzoek ls dit moet worden ngepkt, heeft het mij in de loop vn de tijd zeer gegrepen. Het ws leuk om te zien dt je ddwerkelijk iets n het opbouwen bent, met dit rpport ls eindresultt. Grg wil ik dn ook de heer Hoogenboom en de heer Abspoel bednken voor de goede begeleiding. Delft, mei 008 Lrs Voormeeren 1

3 Smenvtting In dit eindwerk wordt ingegn op de vrg hoe nuwkeurig de bestnde nlytische formules voor de mximle schuifspnning en de fschuifstijfheid zijn, wnneer het onderzoek zich uitsluitend richt op stlen U-profielen. De nuwkeurigheid vn deze nlytische formules wordt gecontroleerd n de hnd vn resultten, die verkregen worden uit het 3-dimensionle eindige-elementenprogrmm ANSYS. Op bsis vn deze resultten is de behoefte ontstn tot het ontwikkelen vn nieuwe, meer nuwkeurige, benderingsformules. Om tot deze resultten te komen, zijn een ntl belngrijke stppen doorlopen. De opbouw vn dit eindwerk sluit hier dn ook rdig op n. Zo zullen in het eerste hoofdstuk de nlytische formules worden fgeleid, voor respectievelijk de schuifspnning en de fschuifstijfheid, die dienen voor het verkrijgen vn inzicht in de wijze wrop de formules zijn opgebouwd. Hoofdstuk richt zich op de uitgngspunten vn wruit het probleem is benderd. Het probleem en de onderzoeksvrgen zullen hier duidelijk worden weergegeven, evenls de gemkte nnmes en rndvoorwrden bij dit probleem. In het 3 e hoofdstuk zl de modellering vn het probleem worden beschreven, wrn in hoofdstuk 4 en 5 chtereenvolgens de resultten ten nzien vn de schuifspnning en de fschuifstijfheid worden behndeld. In deze hoofdstukken zl tevens een verbeterde, meer nuwkeurige, benderingsformule worden ngedrgen. Dit eindwerk wordt fgesloten met de interprettie vn de resultten en nieuwe formules. Verder worden in dit hoofdstuk de kennisleemten blootgelegd en suggesties/nbevelingen gedn voor verdergnd onderzoek. Het resultt vn dit onderzoek kn worden smengevt in de onderstnde formules. Een positieve fwijking (+) stt voor een onderschtting vn de werkelijke wrden, ofwel werkelijk > nlytisch. Mximle schuifspnning in U-profielen Oude formule (mx. fwijking %) V V A t ( h t) τ mx; oud = = s Nieuwe benderingsformule (mx. fwijking +0.79%) Afschuifstijfheid in U-profielen τ mx; nieuw V h 39 r = b 500 t t h t 50 Oude formule (mx. fwijking +5.8%) GAs ; oud = G t ( h t) Nieuwe benderingsformule (mx. fwijking +5.57%) h 689 b 7 b 1099 t 683 r GAs ; nieuw = G t ( h t) b 100 h 0 t 50 b 5000 t

4 Inhoudsopgve Voorwoord 1 Smenvtting Inhoudsopgve 3 1. Anlytische Methode Schuifspnning in een U-profiel Schuifspnning t.p.v. de flenzen Schuifspnning t.p.v. het lijf 5 1. Afschuifstijfheid in een U-profiel Bepling ligging dwrskrchtencentrum 6. Uitgngspunten bij de modellering vn het probleem 7.1 Het probleem 7. Onderzoeksvrg/-grenzen 7.3 Annmen 7.4 Rndvoorwrden 7 3. Modellering Opstellen mechnicschem 9 3. Modellering in ANSYS Progrmmeren in ANSYS Model met momenten ngrijpend in dwrskrchtencentrum Model met opgelegde verpltsing zonder externe belsting Controle ANSYS-resultten model met opgelegde verpltsing Resultten ten nzien vn de schuifspnning Meetresultten 1 4. Vergelijking met de nlytische methode Overzicht onderzochte profielen Voorbeeldberekeningen n de hnd vn bsisprofiel Berekening bi-moment Berekening ligging dwrskrchtencentrum Von Mises-spnning Verbeterde benderingsformule voor de mximle schuifspnning Resultten ten nzien vn de fschuifstijfheid Meetresultten en vergelijking met de nlytische methode Verbeterde benderingsformule voor de fschuifstijfheid Nieuwe benderingsformules geschikt voor bijbehorende dtset Nieuwe lgemeen geldende benderingsformule 3 6. Interprettie, conclusies en nbevelingen Interprettie vn de resultten en nieuwe formules 4 6. Conclusies m.b.t. de onderzoeksvrg Anbevelingen voor verdergnd onderzoek 5 Litertuurlijst 6 Bijlge A Strtnotitie 7 Bijlge B. Besprekingsverslgen 9 Bijlge C. Mtlb-script voor berekening nlytische schuifspnning 31 Bijlge D. Berekening nlytische schuifspnning fgeronde profielen 3 Bijlge E. Meetgegevens ANSYS 35 3

5 1. Anlytische methode In dit hoofdstuk zullen de nlytische formules voor het berekenen vn de schuifspnning [1] respectievelijk de fschuifstijfheid [] vn een U-profiel worden fgeleid. An de hnd vn deze formules zl een Mtlb-script worden geschreven, zodt eenvoudig de numerieke uitkomsten voor de schuifspnning voor een ntl verschillende U-profielen kunnen worden berekend. Het hoofdstuk wordt fgesloten met de bepling vn de ligging vn het dwrskrchtencentrum (D.C.) vn de doorsnede. In de onderstnde fleiding voor de schuifspnning wordt uitgegn vn een belsting in de vorm vn een dwrskrcht V, echter de werklijn vn de dwrskrcht is voorlsnog onbekend. 1.1 Schuifspnning in een U-profiel In het gevl vn een liggerconstructie wrbij het buigend moment niet constnt is over de lengte vn de ligger, zullen er nst normlspnningen ten gevolge vn het buigend moment (en eventueel t.g.v. een normlkrcht) ook dwrskrchten in de doorsneden voorkomen. Dit heeft tot gevolg dt er zowel schuifspnningen in het vlk vn de doorsnede zullen optreden, evenls schuifspnningen (dus schuifkrchten) in de lengterichting vn de ligger. Dit kn men beredeneren indien men vn het fschuivende deel een mootje met lengte x vrijmkt, wrbij x 0. Uit de evenwichtsbetrekkingen vn het elementje volgt dt er een lngsschuifkrcht s benodigd is. Ofwel: F = 0 N + N + N + sx x = 0. Hieruit volgt voor de limiet vn x 0 voor de x schuifkrcht s = dn = V S. z z x dx I zz x Figuur 1.1 Vrijgemkt liggerelementje met lengte x De lgemene formule voor het schuifspnningsverloop in een doorsnede ten gevolge vn een dwrskrcht kn dn worden beschreven door: V z S z I zz b V S σ xm =. Hierin is: b I z z zz de dwrskrcht ter pltse vn de doorsnede vn de ligger het sttisch moment vn het fschuivende deel om de y-s het trgheidsmoment vn het U-profiel ter grootte vn: lijf flens 1 3 h 1 1 zz = zz + zz( steiner ) = w + f = w + f I I I t h b t h t h b t 1 1 breedte vn de snede ter pltse vn het fschuivende deel 4

6 1.1.1 Schuifspnning t.p.v. de flenzen Voor de fschuiving vn de flenzen geldt dn met = en S = t m h : z f b t f Vz t f m h Vz m σ xm ( m) = = t h t f h tw h + b t f w h + b t f 1 6 Hieruit blijkt dt het schuifspnningsverloop in de flenzen lineir verloopt. Zie figuur Enkele kenmerkende wrden voor de schuifspnningen op de flenzen zijn die ter pltse vn het vrije uiteinde: m = 0 σ (0) = 0 N / mm xm en ter pltse vn de overgng vn de flens en het lijf: Vz b m = b σ xm( b) = N / mm 1 h tw h + b t f 6. Figuur Afschuivende flens 1.1. Schuifspnning t.p.v. het lijf Om de schuifspnning ter pltse vn het lijf te berekenen moeten we voor de berekening vn het sttisch moment vn het fschuivende deel ( S ) tevens de flens meenemen. Zie de figuur hiernst. Dus met de wrden z b = t w en h h m h h m Sz = t f b + tw m = t f b + tw m tw wordt de vergelijking voor de schuifspnning in het lijf ls functie vn m: h h m Vz t f b + tw m tw σ xm ( m) = 1 1 tw h tw h + b t f 1. Figuur 1.1. Afschuivende flens + lijf In tegenstelling tot de schuifspnning in de flenzen is er hier niet sprke vn een lineir schuifspnningsverloop, mr vn een prbolisch verloop met de top ter pltse vn de hlve lijfhoogte. Zie figuur Enkele krkteristieke wrden voor de schuifspnning in het lijf zijn die ter pltse vn de overgng vn het lijf en de flens: h Vz t f b m = 0 σ (0) xm = N / mm 1 1 tw h tw h + b t f 1 en hlverwege het lijf: 5

7 Figuur Schuifspnningsverloop h h h h Vz t f b + tw tw h h m = σ xm ( ) = N / mm 1 1 tw h tw h + b t f 1 Wt opvlt n de bovenstnde vergelijkingen is dt ze erg omslchtig vn vorm zijn. Om deze reden is het hndig de formules te progrmmeren in een numeriek progrmm ls Mtlb of Mple, zodt we vn veel U-profielen met verschillende fmetingen de schuifspnningen kunnen berekenen. Merk verder op dt indien de dikten vn de flenzen en het lijf gelijk zijn t f = tw, dt het gevl is bij koudgevormde U-profielen, de schuifspnning ter pltse vn de overgng flens-lijf gelijk is. 1. Afschuifstijfheid in een U-profiel De fschuifstijfheid kn worden fgeleid indien een mootje beschouwd wordt met lengte dx. Zie figuur 1.. Hierbij beschouwen we chtereenvolgens de kinemtische en constitutieve betrekkingen. De kinemtische betrekkingen beschrijven de reltie tussen de fschuifhoek γ en de verticle deflectie v s in de formule: dv γ s. dx Als we uitgn vn een lineir elstisch mteril dn kunnen we de constitutieve reltie tussen de fschuifhoek γ en schuifspnning τ vstleggen door middel vn de formule (gebseerd op de Wet vn Hooke σ = Eε ): τ = Gγ Figuur 1. Afschuiving Het verbnd tussen de dwrskrcht V en de schuifspnning τ kunnen we ls volgt beschrijven: V τ = wrbij s A s A het effectieve fschuifoppervlk vn de profieldoorsnede is. Combintie vn bovenstnde formules geeft uiteindelijk de volgende differentilvergelijking: dv dx V GA γ = s =. Hierin is s s 1.3 Bepling ligging dwrskrchtencentrum GA de zogeheten fschuifstijfheid vn de ligger. Op bsis vn de resultten vn het onderzoek vn Timoshenko is voor de ligging vn het dwrskrchtencentrum (D.C.) vn een U-profiel een formule ontwikkeld: 3 b t f e = 6 b t + h t f w Hierbij is e de fstnd tussen het dwrskrchtencentrum en het hrt vn het lijf vn het U-profiel, links vn het lijf. Zie figuur.4 (hoofdstuk ). h is de hoogte vn het profiel gemeten tussen het hrt vn de flenzen. 6

8 . Uitgngspunten bij de modellering vn het probleem.1 Het probleem Dit bchelor eindwerk gt over de verschillen die er bestn tussen de resultten verkregen uit nlytische berekeningen en de resultten verkregen vi numerieke methoden. Specifiek gt het om de berekening vn de schuifspnning en de fschuifstijfheid in stlen U-profielen.. Onderzoeksvrg/-grenzen In hoeverre wijken de resultten vn de 3-dimensionle eindige-elementenmethode f vn de resultten die zijn verkregen volgens de meer conventionele nlytische methode, wnneer we ons beperken tot het berekenen vn de grootste schuifspnning en fschuifstijfheid vn een stlen U- profiel? Dit onderzoek zl zich richten op het modelleren vn een U-vormig stlen profiel met rechte hoeken dn wel met fgeronde hoeken. Dit zl gedn worden voor koudgevormde U-profielen met verschillende fmetingen, wrbij de dikte vn de flens dus niet verloopt. Bovendien geldt voor koudgevormde profielen dt de dikten vn de flens en het lijf gelijk zijn, dus t f = tw. De fmetingen zullen zodnig gekozen worden dt deze overeenstemmen met de profielfmetingen die voornmelijk in de bouw worden toegepst. Hierbij zl hoofdzkelijk worden gekeken nr de schuifspnning ter pltse vn de middendoorsnede vn de ligger..3 Annmen Het stlen U-profiel zl gemodelleerd worden in stlsoort S355. Dit stl heeft een representtieve elsticiteitsmodulus vn en fschuifmodulus Erep = N / mm 3 G rep 3 Erep = = = N / mm (1 + υ) ( ) 4 ervn uitgnde dt de dwrscontrctiecoëfficiënt vn stl υ = 0.3 is..4 Rndvoorwrden Bij het onderzoek nr de grootte vn de schuifspnningen en fschuifstijfheid in stlen U-profielen t.g.v. dwrskrchtbelsting, is het vn groot belng dt de ligger vrij is vn schuifspnningen die worden veroorzkt door torsie. Om torsie (en dus torsiespnningen) te voorkomen, is het noodzkelijk het profiel in het dwrskrchtencentrum te belsten. Echter, een U-profiel heeft de eigenschp dt het dwrskrchtencentrum niet in de profieldoorsnede zelf ligt, mr drbuiten. Dit in tegenstelling tot dubbel-symmetrische profielen ls I- of H-profielen. Bij het progrmmeren in ANSYS dient hiervoor een oplossing te worden bedcht, ngezien de belsting in ANSYS op het profiel zélf moet worden ngebrcht en dus niet in het luchtledige. Een mogelijke oplossing hiervoor is het nbrengen vn uitstulpingen ter pltse vn de uiteinden, en vervolgens dr het profiel te belsten. Figuur.4.1 Dwrskrchtencentrum buiten doorsnede 7

9 Een ndere rndvoorwrde heeft betrekking op de verstoringen die veroorzkt worden door de introductie vn de belstingen op het profiel, evenls de rectiekrchten bij de opleggingen. Om deze reden is het belngrijk de lengte vn de ligger zodnig te kiezen, dt het middendeel vn de ligger vrij is vn verstoringen. Als vuistregel geldt dt er geen verstoringen meer optreden op een fstnd h vnf het ngrijpingspunt vn de belstingen. Om zeker te zijn dt er in het middendeel lleen schuifspnningen nwezig zijn ten gevolge vn dwrskrcht, wordt er voor de lengte vn de ligger 4 ml de profielhoogte h ngehouden, ofwel L 4h. Zie figuur.4.. Figuur.4. Voornzicht ligger De ltste rndvoorwrde bij de modellering heeft betrekking op de opleggingen. Om een 3- dimensionle ligger sttisch bepld op te leggen, zijn er 6 oplegrecties benodigd. 3 Recties zullen verticl vn richting zijn om te voorkomen dt de ligger in verticle richting zl trnsleren, en 3 zullen horizontl vn richting zijn. In figuur.4. zijn de lléén zichtbre oplegrecties weergegeven. Loodrecht op het vlk vn de figuur bevinden zich nog horizontle oplegrecties, evenls 1 verticle oplegrectie (chter punt A, dnwel B). 8

10 3. Modellering Bij de modellering vn het U-profiel dient er rekening te worden gehouden met de uitgngspunten geformuleerd in het vorige hoofdstuk. In dit hoofdstuk zl een beschrijving volgen over de wijze wrop het probleem in het 3-dimensionle eindige-elementenprogrmm ANSYS ingevoerd zl worden. Hierbij zl er begonnen worden met het opstellen vn een juist mechnicschem, zodt voldn wordt n de rndvoorwrden omtrent torsie en de verstoring door introductie vn rectiekrchten. 3.1 Opstellen mechnicschem Wnneer men geïnteresseerd is in de mximle schuifspnningen in het profiel, ten gevolge vn lléén dwrskrchtbelsting, dn is het noodzkelijk de belsting n te lten grijpen in het dwrskrchtencentrum (D.C.). Uit het vorige hoofdstuk volgt dt het D.C. bij het niet-symmetrische U- profiel buiten de doorsnede ligt. Een ndere gewenste omstndigheid is het verkrijgen vn een nietverlopende dwrskrchtenlijn. Dit is mogelijk wnneer de helling vn de momentenlijn constnt is. Dit volgt uit de evenwichtsbetrekking: dm V dx = Figuur Dwrskrchtenlijn en momentenlijn Bovenstnde momenten- en dwrskrchtenlijn kunnen gegenereerd worden door de ligger op de uiteinden te belsten met momenten vn dezelfde grootte en richting. Zie figuur Figuur 3.1. Mechnicschem Uit de momentenlijn volgt dt er ter pltse vn de middendoorsnede enkel en lleen schuifspnningen ten gevolge vn de dwrskrcht nwezig zullen zijn; geen buigspnningen ngezien er ter pltse vn de middendoorsnede geen moment heerst. 3. Modellering in ANSYS Bij de modellering in ANSYS is er gebruikt gemkt vn de uitgngspunten geformuleerd in het vorige hoofdstuk, evenls vn het bovenstnde -dimensionle mechnicschem. Uiteindelijk zijn er bij de modellering in het 3-dimensionle eindige-elementenprogrmm modellen bedcht en fhnkelijk vn de resultten vn deze modellen is er uiteindelijk 1 juist model geconstrueerd dt voldoet n lle gewenste mechnische eigenschppen en uitgngspunten. Beide modellen zullen de revue psseren. Echter, eerst zl er kort wt verteld worden over het progrmmeren in ANSYS. 9

11 3..1 Progrmmeren in ANSYS ANSYS is een 3-dimensionl eindige-elementenprogrmm wrbij gebruik wordt gemkt vn de eindige-elementenmethode (Finit Element Method). Voor de modellering vn een U-profiel wordt gebruik gemkt vn blokvormige elementjes, elementtype SOLID95. Alle elementjes tezmen vormen de 3-dimensionle ligger. Hierbij zl de nuwkeurigheid vn de resultten smenhngen met de gekozen grootte vn de elementjes. Zo zullen de berekeningen nuwkeuriger zijn bij het gebruik vn erg kleine elementjes. Bovendien heeft het elementtype SOLID95 de eigenschp dt er op 0 locties (nodes) binnen het element gegevens worden verzmeld. Dit komt eveneens de nuwkeurigheid ten goede. Voor de berekening vn de schuifspnningen en fschuifstijfheid in U- profielen is het noodzkelijk dt er een hoge mte vn nuwkeurigheid wordt ngestreefd, ngezien de te verwchten fwijkingen vn de nlytische resultten in de ordergrootte vn enkele procenten zullen liggen. Een goede keuze in de elementgrootte en het elementtype is dn ook een belngrijke stp geweest in de modellering. 3.. Model met momenten ngrijpend in dwrskrchtencentrum In dit model is het U-profiel gemodelleerd ls een ligger met op de uiteinden een moment ngrijpend in het dwrskrchtencentrum, zols beschreven in de prgrf opstellen mechnicschem. Omdt het lstig is de momenten buiten de doorsnede n te lten grijpen, is ervoor gekozen de momenten te ontbinden in een krchtenkoppel ter grootte vn: M F1 = h Echter, dit krchtenkoppel dient verpltst te worden nr de linker boven- en onderhoek vn het U-profiel, dt opnieuw een krchtenkoppel met zich meebrengt, dt ngrijpt op de hoeken vn de flenzen, ter grootte vn: F F e b M e h b 1 = =. Figuur Krchtenkoppels Figuur 3... Duidelijke torsievervormingen nwezig Mechnisch gezien is de bovenstnde bewerking geoorloofd. Echter, n de invoer vn dit model in ANSYS, wren er nst schuifspnningen ook torsiespnningen nwezig. Dit ws te zien n de kleine vervormingen vn het profiel door torsie. Hoewel het ndeel vn torsie in de schuifspnningen gering ws, wren deze resultten in strijd met de theorie. Een verklring voor deze fwijking kn gezocht worden in het feit dt de krchts- en verpltsingsgrootheden door fronding wellicht niet geheel meer overeenstemde met de excte wrden, wrdoor er zich een torderend moment vormde. De conclusie is dn ook dt deze methode erg gevoelig is voor frondfouten. Het volgende model heeft deze eigenschp niet, en is om deze reden dn ook erg geschikt voor de definitieve modellering. 10

12 3..3 Model met opgelegde verpltsing zonder externe belsting Dit model onderscheidt zich vn het eerste model doordt er in dit model geen extern ngrijpende belsting nwezig is. In dit model wordt fschuiving gegenereerd door het opleggen vn een verticle verpltsing (±10mm) in één vn de uiteinden. Dit heeft tot gevolg dt er zich inwendig een constnte dwrskrcht vormt, hetgeen bij dit onderzoek gewenst is. De ligger wordt n de uiteinden in de uiterste 4 hoeken vn het profiel opgelegd. Hierbij worden in elk oplegpunt de verpltsingen in lle 3 de richtingen vstgelegd, dus u, u en u. Vervolgens is men x y z in stt uit de verticle oplegrecties de dwrskrcht in de ligger te beplen. An de hnd vn de nu bekende dwrskrcht is men in stt de nlytische schuifspnningen in het U-profiel te berekenen, zodt de nlytische resultten vergeleken kunnen worden met de uit ANSYS verkregen resultten. Figuur Opgelegde verpltsing In tegenstelling tot het vorige model is hier duidelijk sprke vn pure fschuiving, en dus geen vervorming door torsie. Dit lijkt dus een uiterst geschikt model om mee verder te werken. Verder dient er opgemerkt te worden dt dit model mechnisch gezien equivlent is met het eerste model, echter de bendering is verschillend. Bij het eerste model wordt er door de extern ngrijpende momenten een dwrskrcht gegeneerd die fschuiving tot gevolg zl hebben. In dit model wordt er fschuiving opgelegd, wrdoor er zich inwendig een dwrskrcht vormt Controle ANSYS-resultten model met opgelegde verpltsing Het is belngrijk om de geldigheid vn het bovenstnde model (met opgelegde verpltsing) te verifiëren voordt er conclusies getrokken kunnen worden omtrent de fwijkingen tussen de nlytische resultten en de resultten verkregen uit het 3-dimensionle eindigeelementenprogrmm ANSYS. Er zijn een ntl controles voorhnden. Het is gewenst dt er geen normlspnningen ten gevolge vn normlkrchten nwezig zijn. De nwezigheid vn normlkrchten is gecontroleerd door de som vn de krchten in de z-richting (lengterichting vn de ligger) te beplen. Het blijkt dt: F = 0 z. Er is dus geen resulterende normlkrcht nwezig. Figuur Opleggingen bevinden zich op de hoeken Tevens kunnen we controleren of het moment M ter pltse vn de uiteinden gelijk is n: Uit de oplegrecties verkregen uit ANSYS blijkt dt deze betrekking inderdd opgt. V L M = Misschien wel de belngrijkste controle is de eerste vergelijking vn de resultten voor de mximle schuifspnning in het lijf met de nlytisch berekende wrde hiervoor. Al direct blijkt dt deze resultten dicht bij elkr liggen (ordergrootte fwijking 1-10%). Kortom, het model met de opgelegde verpltsing lijkt hét geschikte model voor dit onderzoek, ngezien n lle controles wordt voldn. 11

13 4. Resultten ten nzien vn de schuifspnning Dit hoofdstuk bevt een beschrijving vn de resultten ten nzien vn de schuifspnning fkomstig uit het 3-dimensionle eindige-elementenprogrmm ANSYS. Verder zl in dit hoofdstuk de vergelijking met de nlytische methode n bod komen, en een verbetering voor de bestnde nlytische formule voor de mximle schuifspnning worden voorgedrgen. 4.1 Meetresultten Uit de nlytische fleidingen in het eerste hoofdstuk is nr voren gekomen dt het verloop vn de schuifspnning in het lijf kwdrtisch is, met de top vn de prbool hlverwege de lijfhoogte. An de hnd vn deze gegevens zl een eerste vergelijking met de meetresultten uit ANSYS snel en eenvoudig kunnen pltsvinden. De eerste contourplots uit ANSYS ten nzien vn de schuifspnning in het lijf wijzen direct op een piekspnning ter pltse vn het midden vn het lijf, zols blijkt uit figuur 4.1. Ook is duidelijk dt de mximle schuifspnningen hlverwege het lijf dicht in de buurt liggen vn de voorf beplde nlytische wrden (ordergrootte enkele procenten). Figuur 4.1 Contourplot Von Mises-spnning (middendoorsnede) en contourplot schuifspnningen (voornzicht) In de contourplot vn de Von Mises-spnning is bovendien duidelijk zichtbr dt er in de flenzen inderdd een lineir schuifspnningsverloop heerst. Dit is te zien n de onderling gelijke fstnden tussen de contourlijnen. Tevens is in de figuur te zien dt een juiste keuze is gemkt ten nzien vn de gekozen lengte vn de ligger, ngezien de middendoorsnede vrij is vn verstoringen door de introductie vn de oplegrecties. Wt verder opvlt zijn de schuifspnningspieken ter pltse vn de overgng tussen het lijf en de flenzen. 4. Vergelijking met de nlytische methode 4..1 Overzicht onderzochte profielen Om een geschikte vergelijking te mken met de nlytische wrden voor de schuifspnning, is het noodzkelijk een goede keuze te mken wt betreft de te onderzoeken profielen. Een efficiënte methode voor het verkrijgen vn veel informtie uit een beperkte dtset, is het kiezen vn een bsisprofiel, wrn verschillende prmeters vervolgens 1 voor 1 proportioneel worden vergroot of verkleind. Dit geeft inzicht in de mte vn fhnkelijkheid vn de prmeter op de wrde vn de mximle schuifspnning. Figuur 4..1 Prmeters 1

14 Bij dit onderzoek is er gebruik gemkt vn een dtset, bestnde uit bsisprofielen, te weten een profiel met h=180mm, b=70mm, t=8mm en een profiel met h=0mm, b=80mm, t=9mm. Uitgnde vn deze profielen zijn vervolgens de hoogte (h), de breedte (b), de dikte vn flens en lijf (t), de binnenste frondingstrl (r 1 ) en de buitenste frondingstrl (r ) vernderd. Zie figuur en tbel Tevens is in deze tbel de dwrskrcht (V) in de ligger ngegeven. Deze is nodig voor de berekening vn de nlytische schuifspnning. Dit komt lter in dit hoofdstuk nog uitvoerig n bod. Profielnummer h [mm] b [mm] t [mm] r 1 [mm] r [mm] V [N] Tbel 4..1 Overzicht vn de prmeters vn de onderzochte profielen 4.. Voorbeeldberekeningen n de hnd vn bsisprofiel 1 In deze prgrf zullen n de hnd vn een bsisprofiel lle berekeningen volgen die dienen voor het verkrijgen vn inzicht in de wijze wrop de resultten tot stnd zijn gekomen. Hierbij wordt uitgegn vn profielnummer 1 uit de bovenstnde tbel, dus het U-profiel met rechte hoeken en een hoogte vn 180mm, breedte vn 70mm en een dikte vn flenzen en lijf vn 8mm. Om tot een kwntittieve vergelijking te komen tussen de nlytische resultten en die fkomstig uit het eindige-elementenprogrmm ANSYS, is het noodzkelijk de grootte vn de dwrskrcht in de ligger te chterhlen. An de hnd vn de resultten voor de verticle oplegrecties is het mogelijk de dwrskrcht in de ligger te berekenen. Deze is nmelijk qu grootte gelijk n de sommtie vn de 4 verticle oplegrecties n 1 uiteinde vn de ligger. Hieronder volgt een overzicht vn de rectiekrchten voor dit bsisprofiel. Merk op dt er in lle 8 de oplegpunten rectiekrchten in lle 3 de richtingen nwezig zijn. Oplegpunt F x [N] F y [N] F z [N] Tbel Overzicht vn de rectiekrcht bij de opleggingen De dwrskrcht heeft dus een grootte vn: 4 V = F = = 7095.N y i= 1 y; i De formule voor de berekening vn de nlytische schuifspnning is ls volgt, wnneer het gedefinieerde ssenstelsel uit ANSYS wordt ngehouden: V S τ mx; nlytisch = b I y y yy Figuur 4.. Rectiekrchten CT3000 Bchelor Eindwerk 13 Mei 008

15 Hierbij is het vn belng dt we het trgsheidsmoment I yy en het sttisch moment vn het fschuivende deel S y exct berekenen. Met exct wordt hier bedoeld dt vereenvoudigingen ls het verwrlozen vn de eigen trgheid vn de flenzen niet mg pltsvinden. Dit in tegenstelling tot de lgemene npk die in hoofdstuk 1 is behndeld. Omdt de fwijking tussen de nlytische en eindige-elementenmethode in de ordergrootte vn enkele procenten gezocht wordt, mogen dergelijke onnuwkeurige vereenvoudigingen in dit onderzoek niet gemkt worden. Om het trgheidsmoment exct te berekenen wordt de volgende vergelijking gehnteerd: lijf flens flens h t I yy = I yy + I yy + I yy( steiner ) = t h + ( b t) t + ( b t) t 1 1. Invullen vn de gegevens vn bsisprofiel 1 geeft: I yy = (70 8) 8 + (70 8) 8 = mm 1 1 Hetzelfde geldt voor de berekening vn het sttisch moment vn het fschuivende deel: h 180 h h t S y = t + ( b t) t = 8 + (70 8) 8 = mm Met 8 schuifspnning. Invullen vn formule voor de schuifspnning geeft: τ. 4 3 b = t = mm zijn lle gegevens bekend voor het exct berekenen vn de nlytische = = N / mm mx; nlytisch 7 Hieronder volgt een overzicht voor de onderzochte profielen met zowel de nlytische resultten voor de schuifspnning, ls de resultten fkomstig uit het eindige-elementenprogrmm. Tevens is in de ltste kolom de procentuele fwijking tussen beide resultten weergegeven. De wrden liggen op enkele uitzonderingen n erg dicht bij elkr. Profielnummer Anlytische τ mx [N/mm ] Meetwrden τ mx [N/mm ] Procentuele fwijking v/d nlytische wrden [%] Tbel 4... Overzicht vn de resultten ten nzien vn de schuifspnning Wt direct opvlt is het feit dt de werkelijke schuifspnning in het gevl vn een profiel met vergrote hoogte, erg veel kleiner is dn verwcht zou worden op bsis vn de theorie (zie profiel 5 en 11). Kennelijk trekken de flenzen bij dergelijk hoge profielen een onverwcht ndeel vn de schuifspnning nr zich toe. Bovendien is het zichtbr dt er een onderschtting vn de mximle schuifspnning pltsvindt bij de nlytische methode, in het gevl dt de breedte nzienlijk wordt vergroot (zie profiel 6 en 1). De ddwerkelijke invloed vn de breedte is dus kleiner dn nlytisch verwcht zou worden. Tevens is te zien dt de fronding vn de binnenhoek vrijwel niet vn invloed is op de mximle schuifspnning in het lijf. De verklring hiervoor kn gezocht worden in het feit dt het kleine oppervlk vn deze fronding vrijwel niet bijdrgt n het trgheids- en sttisch moment... 14

16 4..3 Berekening bi-moment Uit de gegevens over de grootte en de richting vn de rectiekrchten zou het bi-moment B kunnen worden berekend. Echter, gezien de richting vn de rectiekrchten, en de interprettie vn het bi-moment volgens figuur 4..3, voert de berekening hiervn te ver; ook gezien de relevntie ervn op dit onderzoek Berekening ligging dwrskrchtencentrum Figuur 4..3 Het bi-moment Figuur Rectiekrchten De ligging vn het dwrskrchtencentrum kn berekend worden n de hnd vn de oplegrecties. Dit zl gedn worden voor het bsisprofiel 1, ngezien de oplegrecties hiervn reeds n bod zijn gekomen. Ter verduidelijking zl hier nogmls figuur 4.. worden gebruikt. Echter, nu met de numerieke wrden erbij vermeld. De krchten in x-richting vormen koppels die verschillend vn grootte en richting zijn. Zie figuur Dit geeft een resulterend koppel om de z-s ter grootte M vn: z; r M z; r = = Nmm Dit resulterende koppel kn gezien worden ls de verpltsing vn de dwrskrcht over een voorlsnog onbekende fstnd x + x1, wrbij x 1 de fstnd is vn de zwrtelijn vn de verticle krchten, gezien vnf de buitenzijde vn het lijf. De fstnd x 1 kn ls volgt worden berekend: 4 xi Fy ; i i= x1 = = = mm F i= 1 y; i x is de fstnd tot het dwrskrchtencentrum (D.C.) gezien vnf de buitenzijde vn het lijf. De wrde vn x volgt uit de volgende vergelijkingen: + = M = Nmm = geeft: x = x = = 0.75mm 1 z; r x x mm Vy 7095.N Hieruit volgt de excentriciteit e, ngezien de excentriciteit e gemeten wordt vnuit het hrt vn het lijf. Dus: t 8 e = x + = = 4.75mm. Volgens Timoshenko geldt voor dit profiel: e = = 4.83mm (180 8) 8 De wrden komen dus uitstekend overeen.. Figuur Ontbinding in krchtenkoppels 15

17 4.3 Von Mises-spnning Het criterium vn Von Mises [3] geeft n wnneer een object plstisch vervormt onder meerdimensionle spnningen. In het kder vn dit onderzoek is de Von Mises-spnning vn invloed omdt de schuifspnningen in het lijf en in de flenzen niet in hetzelfde vlk werken. Om toch de invloed vn beiden mee te nemen zl er hier ndcht n worden besteed. De Von Mises-spnningsformule luidt ls volgt: 1 σ = σ σ + σ σ + σ σ + σ + σ + σ Von Mises [( xx yy ) ( yy zz ) ( zz xx ) 6 xy 6 yz 6 zx ] In het gevl vn het onderzoek nr (zuivere) schuifspnningen σ 0; σ 0, dus met fwezigheid vn normlspnningen door buiging en normlkrcht σ = 0; σ = 0; σ = 0 en σ = 0, kn deze formule worden vereenvoudigd tot: xx yy zz xy yz xz 1 6 σ = σ + σ = σ + σ = σ + σ Von Mises 6 yz 6 zx ( yz zx ) 3( yz zx ) Tevens kn er n de hnd vn deze formule worden gecontroleerd of de spnningen de vloeispnning vn het stl niet overschrijden. Zols uit onderstnde figuur 4.3 blijkt, blijft de Von Mises-spnning ter pltse vn de middendoorsnede ruim onder de vloeispnning 105 N / mm < 355 N / mm. Figuur 4.3 Contourplot Von Mises-spnning (voornzicht U-profiel) 16

18 4.4 Verbeterde benderingsformule voor de mximle schuifspnning Uit de vergelijking vn de nlytische resultten voor de schuifspnning en die fkomstig uit het eindige-elementenprogrmm, is nr voren gekomen dt er behoefte bestt n een nieuwe nuwkeurige benderingsformule. Het is vereist dt de nieuwe formule de invloed vn de verschillende prmeters op een juiste mnier weergeeft. Hoewel niet lle prmeters een even grote invloed hebben op de mximle schuifspnning, is het wel de moeite wrd ze lleml mee te nemen in de berekening voor de nieuwe formule. Uit de wrde vn berekende coëfficiënten blijkt dn vnzelf of één vn de prmeters lsnog mg worden verwrloosd in de nieuwe formule. De formule die voornmelijk in de prktijk wordt gebruikt voor de bendering vn de mximle schuifspnning, volgt uit de verhouding tussen de dwrskrcht V en het fschuifoppervlk A : V V A t ( h t) τ mx; oud = = s Gezien de eenvoudige vorm vn deze formule in tegenstelling tot die fgeleid in hoofstuk 1, die gebseerd is op VS τ = I b z zz, is ervoor gekozen deze prktijkformule ls uitgngspunt te nemen voor de nieuwe benderingsformule. Hieronder volgt voor de volledigheid dn ook de nuwkeurigheid vn deze formule. Zols uit de tbel volgt, wordt de mximle schuifspnning telkens onderscht. Dit is een onveilige bendering. Profielnummer Prktijk τ mx [N/mm ] Meetwrden τ mx [N/mm ] Procentuele fwijking v/d prktijkwrden [%] Tbel Nuwkeurigheid prktijkformule Het is gewenst om de dimensie vn de nieuw gedefinieerde schuifspnning niet te vernderen ten opzichte vn deze oude formule. Om dit te bewerkstelligen ligt het voor de hnd de oude formule te vermenigvuldigen met een dimensieloze fctor. Om de fctor dimensieloos te houden, mogen er lléén quotiënten vn prmeters in voorkomen. Hierbij moet worden opgemerkt dt de prmeters r 1 en r niet in de noemer vn de breuken mogen worden geschreven, ngezien deze vk de wrden 0 nnemen. Om een nuwkeurige formule te vinden, die tevens nog hnteerbr is, ofwel niet te groot vn vorm is, moet een fweging gemkt worden tussen de gewenste nuwkeurigheid en grootte vn de formule. Echter, l snel blijkt dt er een uiterst nuwkeurige formule verkregen wordt uit de volgende korte vorm: s V h r τ = α + α + α t h t b t mx; nieuw 3 4 ( α1 ) 17

19 Met behulp vn het curvefittingprogrmm Dtfit, is het mogelijk de optimle wrden voor deze coëfficiënten te beplen. Dit resulteert uiteindelijk in de volgende erg ccurte formule voor de mximle schuifspnning: τ mx; nieuw V h 39 r = b 500 t t h t 50 Uit de tbel hieronder volgt dt de nieuwe benderingsformule voor de mximle schuifspnning inderdd uitstekend benderd wordt door de bovenstnde vergelijking. De procentuele fwijking blijft zonder uitzondering ruim binnen een procent; een nvrdbre fout. Profielnummer Werkelijke Schuifspnning uit Procentuele fwijking v/d schuifspnning nieuwe formule werkelijke wrden [%] [N/mm ] [N/mm ] , , , , , , , , , , , ,00 Tbel 4.4. Toetsing vn de nuwkeurigheid vn de nieuwe formule voor de mximle schuifspnning 18

20 5. Resultten ten nzien vn de fschuifstijfheid In dit hoofdstuk zullen de resultten ten nzien vn de fschuifstijfheid vn stlen U-profielen worden behndeld. An de hnd vn de meetresultten voor de fschuifstijfheid, verkregen uit het eindigeelementenprogrmm ANSYS, en de vergelijking met de nlytisch gevonden wrden hiervoor, zl indien nodig een verbetering vn de huidige formule voor fschuifstijfheid worden voorgedrgen. Voordt dit zl gebeuren, zl er eerst wt verteld worden over de wijze wrop de fschuifstijfheid is bepld uit de meetresultten vn ANSYS. Figuur 5. Afschuiving U-profiel duidelijk zichtbr (voornzicht) 5.1 Meetresultten en vergelijking met de nlytische methode Om de werkelijke fschuifstijfheid vn een U-profiel te berekenen, is het noodzk de verpltsing vn een ntl voorf gedefinieerde nodes/knooppunten te kennen. Hierbij zijn er 4 nodes gekozen, nodes n de uiterste bovenzijde vn het profiel en nodes n de uiterste onderzijde, ter pltse vn de buitenzijde vn het lijf. Voor de onderlinge fstnd tussen deze nodes is er gekozen voor elementgroottes. In combintie met de gegevens over de verpltsingen vn deze nodes in y- en z- richting, zijn lle gegevens bekend voor de berekening vn de fschuifhoek γ. Er dient opgemerkt te worden dt de fschuifhoek γ, de hoek is ten gevolge vn lléén verticle fschuiving. Omdt er in het model tevens verpltsingen in de richting vn de liggerlengte nwezig zijn, dienen deze rotties vn het lijf ook meegenomen te worden in de berekening vn de fschuifhoek. Uit de figuur hieronder volgt dt de fschuifhoek gelijk is n: Figuur 5.1 Afschuiving en verdriing mootje dz Met η γ = η θ y dz = en θ y z γ = dz h z h = geeft dit: Nu de grootte vn de fschuifhoek bekend is, is het mogelijk de grootte vn de werkelijke fschuifstijfheid te berekenen. De nieuwe fschuistijfheid volgt uit de volgende betrekking: GA s; nieuw Dit is gedn voor lle eerdergenoemde profielen. Hieronder volgt eerst een herhling vn de onderzochte profielen, wrn een overzicht volgt met de vergelijking tussen de resultten voor de werkelijke en nlytische fschuifstijfheid. V = γ 19

21 Profielnummer h [mm] b [mm] t [mm] r 1 [mm] r [mm] V [N] Tbel Overzicht vn de prmeters vn de onderzochte profielen Profielnummer Anlytische fschuifstijfheid [N] Werkelijke fschuifstijfheid [N] Procentuele fwijking v/d nlytische wrden [%] Tbel 5.1. Overzicht vn de resultten ten nzien vn de fschuifstijfheid Er is duidelijk zichtbr dt de fschuifstijfheden verkregen uit de meetresultten uit ANSYS, vrij veel fwijken vn de theoretische wrden. De theoretische mximle wrden zijn op 1 profiel n, nzienlijk kleiner dn de gemeten fschuifstijfheden. Dit verschil kn eenvoudigweg verklrd worden door het feit dt in de huidige formule voor de fschuifstijfheid de veronderstelling wordt gemkt dt het fschuifoppervlk A goed wordt benderd door het product vn de lijfdikte en de s lijfhoogte. Hierbij wordt dus de bijdrge vn de flenzen en frondstrlen n de fschuifstijfheid verwrloosd. In formulevorm wordt dit: GA ; = G t ( h t) s oud Wt tevens opvlt n de wrden in de bovenstnde tbel is de grote invloed vn de breedte vn de flenzen op de fschuifstijfheid. Ter vergelijking kunnen de profielen 1 en 6 dienen, met ls enig verschil tussen beide profielen de grotere breedte vn de flens bij profiel 6. Theoretisch hebben de flenzen, en dus de breedte vn de flenzen, een verwrloosbre invloed op de fschuifstijfheid. Echter, bekijkt men de toenme vn de fschuifstijfheid door de verndering vn de breedte, dn blijkt dt het ndeel vn de flenzen zeker niet verwrloosd mg worden. Dit uit zich dn ook in de een toenme vn de fschuifstijfheid met wel 10%, wnneer profielen 1 en 6 beschouwd worden. In het gevl vn profiel 7 en 1 is dit ndeel zelfs gelijk n 15%. In tegenstelling tot de breedte is de invloed vn de binnenste frondingstrlen wél verwrloosbr. Gezien de oude formule voor de fschuifstijfheid, is de dikte t vn het profiel vn grote invloed op de fschuifstijfheid. Dit uit zich ook duidelijk in de resultten, zie profiel 4 en 10. Een ltste opmerking kn gemkt worden over profielen 3 en 9, de profielen met fgeronde binnenen buitenhoeken. An de resultten te zien is er duidelijk sprke vn een fnme vn de fschuifstijfheid door de fronding vn de buitenhoeken, dn wnneer deze niet zijn fgerond. Dit verschijnsel kn verklrd worden door een fnme vn de werkende lijfhoogte, ngezien deze nog mr gelijk is n h r in plts vn h t in het gevl dt r > t. Zie hiervoor bijlge D. 0

22 5. Verbeterde benderingsformule voor de fschuifstijfheid An de hnd vn de voorgnde resultten is gebleken dt de behoefte bestt n een nieuwe, meer ccurte, benderingsformule voor de fschuifstijfheid. Het is vereist dt de nieuwe formule de invloed vn de verschillende prmeters op een juiste mnier weergeeft. Hoewel niet lle prmeters een even grote invloed hebben op de werkelijke fschuifstijfheid, is het wel de moeite wrd ze lleml mee te nemen in de berekening voor de nieuwe formule. Er bestn meerdere mnieren om een nieuwe, meer nuwkeurige formule op te stellen. Echter, de oplosmethode is fhnkelijk vn de gewenste vorm vn de nieuwe formule. Dus het is belngrijk eerst een gewenste vorm voor de nieuwe formule voor de fschuifstijfheid op te stellen Nieuwe benderingsformules geschikt voor bijbehorende dtset Het is gewenst om de dimensie vn de nieuw gedefinieerde fschuifstijfheid niet te vernderen ten opzichte vn de oude formule. Om dit te bewerkstelligen ligt het voor de hnd de oude formule te vermenigvuldigen met een dimensieloze fctor. Om de fctor dimensieloos te houden, mogen er lléén quotiënten vn prmeters in voorkomen. Hierbij moet worden opgemerkt dt de prmeters r 1 en r niet in de noemer vn de breuken mogen worden geschreven, ngezien deze vk de wrden 0 nnemen. Een gewenste vorm voor de nieuwe formule voor de fschuifheid kn nu ls volgt gedefinieerd worden: h b b r1 r GAs ; nieuw = G t ( h t) α1 + α + α3 + α4 + α5 + α6 b h t t t Om deze fctoren te berekenen zijn evenveel vergelijkingen benodigd ls dt er n onbekenden zijn, ofwel 6. Hiervoor zijn de gegevens vn profiel 1 tot en met 6 geschikt. Om dit stelsel vergelijkingen op te lossen, is het hndig het probleem in mtrixform te noteren: h1 b1 b r 1 1;1 r;1 1 GAs ; nieuw;1 b1 h1 t1 t1 t α 1 1 GAs ; nieuw; h b b r 1; r α ; 1 GA s; nieuw;3 b h t t t α 3 G t ( h t) = GA s; nieuw;4 1 α4 GA 1 α s; nieuw;5 5 GA 1 α s; nieuw;6 6 1 Dit stelsel is op te lossen door de volgende vergelijking: h1 b1 b r 1 1;1 r;1 1 b ; ;1 1 h1 t1 t1 t GAs nieuw α 1 1 h 1; ; s; nieuw; b b r r GA α 1 b h t GA t t s; nieuw;3 α3 G t ( h t) 1 = GAs ; nieuw;4 α4 1 GA α s; nieuw;5 1 GA s; nieuw; α 6 1

23 Oplossen vn de bovenstnde vergelijking resulteert in een nieuwe verbeterde formule voor de fschuifstijfheid: h 63 b b 1 r GAs ; nieuw = G t ( h t) b 100 h 33 t 7 t Er dient opgemerkt te worden dt deze nieuwe formule (met nme) geldig is voor de gebruikte dtset, dus de profielen 1 tot en met 6. Om te toetsen of de nieuwe formule voor de fschuifstijfheid inderdd de werkelijke wrden goed bendert, worden de prmeters vn profiel 1 tot en met 6 ingevuld. Dit resulteert in de onderstnde tbel weergegeven nuwkeurigheid. Profielnummer Werkelijke Afschuifstijfheid uit Procentuele fwijking v/d fschuifstijfheid [N] nieuwe formule [N] werkelijke wrden [%] Tbel Toetsing vn de nuwkeurigheid vn de nieuwe formule Zols uit bovenstnde tbel blijkt, bendert de nieuwe formule de ddwerkelijke fschuifstijfheid bijn perfect. De wrden zijn llen kleiner dn de ddwerkelijke wrden, dus de nieuwe formule zit n de veilige knt. Ditzelfde kn gedn worden voor de profielen 7 tot en met 1. Dit geeft de volgende verbeterde formule: h 10 b 19 b 1 r GAs ; nieuw = G t ( h t) b 3 h 50 t 7 t Ook voor deze formule wordt de nuwkeurigheid gecontroleerd, welke wordt weergegeven in de onderstnde tbel. Profielnummer Werkelijke Afschuifstijfheid uit Procentuele fwijking v/d fschuifstijfheid [N] nieuwe formule [N] werkelijke wrden [%] Tbel Toetsing vn de nuwkeurigheid vn de nieuwe formule Hier geldt hetzelfde ls voor de eerste formule; de wrden worden uitstekend benderd. Echter, het is gewenst een lgemeen geldende formule voor de fschuifstijfheid te vinden, die geldig is voor lle willekeurige wrden voor de prmeters. Om een dergelijke formule te vinden, is het noodzkelijk gebruik te mken vn een curvefittingprogrmm, zols Dtfit of eventueel MtLb. In dit onderzoek is gekozen voor het progrmm Dtfit.

24 5.. Nieuwe lgemeen geldende benderingsformule Bij het gebruik vn het curvefittingprogrmm Dtfit is het eveneens noodzkelijk een voorf gewenste vorm voor de nieuwe formule voor de fschuifstijfheid te definiëren. Om een nuwkeurige formule te vinden, die tevens nog hnteerbr is, ofwel niet teveel quotiënten vn prmeters bevt, moet een fweging gemkt worden tussen de gewenste nuwkeurigheid en grootte vn de formule. In dit onderzoek is gestreefd nr een mximle fwijking vn 5% met de wrden voor de werkelijke fschuifstijfheid uit ANSYS. Gezien deze eis, bleek de meest geschikte vorm de volgende: h b b t r GAs ; nieuw = G t ( h t) α1 + α + α3 + α4 + α5 + α6 b h t b t Coëfficiënten oplossen met behulp vn Dtfit, gf de volgende lgemeen geldende nuwkeurige formule voor de fschuifstijfheid: h 689 b 7 b 1099 t 683 r GAs ; nieuw = G t ( h t) b 100 h 0 t 50 b 5000 t Ook hier wordt de nuwkeurigheid vn de formule gecontroleerd, zie hiervoor de onderstnde tbel. Profielnummer Werkelijke Afschuifstijfheid uit Procentuele fwijking v/d fschuifstijfheid [N] nieuwe formule [N] werkelijke wrden [%] Tbel 5.. Toetsing vn de nuwkeurigheid vn de nieuwe formule Uit de tbel volgt dt de nieuwe formule inderdd de gestelde grens vn mximl 5% fwijking goed bendert. Enige ndeel bij deze lgemeen geldende formule is dt de fschuifstijfheid in sommige gevllen wordt overscht, zols blijkt uit de plusjes (+) in de tbel. Dit is met nme het gevl bij profiel 4, wrbij de flens- en lijfdikte zijn vergroot. Dit verschijnsel is niet meer terug te zien in profiel 10, wrbij de dikte vn het profiel ook is vergroot. Hier is zelfs sprke vn een onderschtting. Een onderschtting (-) is dn ook een veilige bendering. Hoewel de nieuwe benderingsformule voor de fschuifstijfheid lleszins geschikt is, dient er wel kritisch mee te worden omgegn. 3

25 6. Interprettie, conclusies en nbevelingen In dit hoofdstuk zullen de resultten uit de vorige hoofdstukken, evenls de nieuwe formules de revue psseren. Deze zullen worden geïnterpreteerd, wrn er conclusie zullen worden getrokken. Ter fsluiting vn dit hoofdstuk zullen er nbevelingen worden gedn voor verdergnd onderzoek. 6.1 Interprettie vn de resultten en nieuwe formules Wt opvlt n de nieuwe benderingsformule voor de mximle schuifspnning is dt tegen de verwchtingen in de hoogte vn het schuifoppervlk (ietwt) kleiner is dn h t, dit uit zich dn ook in de term h.89 t. τ mx; nieuw V h 39 r = b 500 t t h t 50 Dit impliceert dt de flenzen inderdd niet vn directe invloed zijn op de grootte vn de mximle schuifspnning, zols wél werd verwcht op bsis vn de resultten voor de schuifspnning vn de hoge profielen, wrbij de gemeten schuifspnning nzienlijk kleiner ws dn ws voorspeld door de theorie. Echter, de flenzen hebben wel degelijk een indirecte invloed op de mximle schuifspnning. Dit komt dn ook tot uiting in de dimensieloze fctor wrin de breedte vn de flenzen voorkomt. Verder is het de moeite wrd te vermelden dt deze nieuwe formule een mximle fwijking met de meetwrden geeft vn 0.79%. Met zo n kleine fout is het niet vn groot belng of die fout n de veilige of onveilige knt zit. De resultten vn de fschuifstijfheid tonen ook opmerkelijke verschijnselen. Zo wordt de fschuifstijfheid vn profielen met een grote breedte, profielen 6 en 1, ontzettend onderscht (tot wel 45%). Blijkbr zorgen de flenzen voor een niet-verwrloosbr ndeel in de totle fschuifstijfheid. Ditzelfde kn gezegd worden wnneer de dikte vn de profielen wordt vergroot. In dit gevl wordt de wrde tot wel 50% onderscht. Dit verschil kn ook verklrd worden door het feit dt de oude formule voor de fschuifstijfheid uitgt vn een schuifoppervlk dt het product is vn de lijfhoogte en de lijfdikte. In werkelijkheid zullen de flenzen ook een deel vn de fschuifstijfheid genereren, wrdoor de term h t niet juist meer is. Alleen de fschuifstijfheid vn slnke profielen met een grote hoogte (profielen 5 en 11) wordt reltief goed benderd h 689 b 7 b 1099 t 683 r GAs ; nieuw = G t ( h t) b 100 h 0 t 50 b 5000 t In tegenstelling tot de nieuwe benderingsformule voor de schuifspnning leenden de resultten voor de fschuifstijfheid zich minder goed voor een formule wrbij de hoogte vn het schuifoppervlk vribel werd gesteld ( h α t ). Om deze reden is er gekozen voor de vermenigvuldiging vn de bestnde formule met een dimensieloze fctor. Hoewel bij deze nieuwe benderingsformule de fout beperkt blijkt tot ongeveer 5%, dient de formule kritisch te worden gebruikt. Mede omdt de fwijkingen ook n de onveilige knt voorkomen, wrdoor de wrde voor de fschuifstijfheid wordt overscht. 6. Conclusies m.b.t. de onderzoeksvrg De conclusie vn dit onderzoek is dt er wél degelijk een niet-verwrloosbr verschil bestt tussen de nlytische wrden en de wrden verkregen uit het eindige-elementenprogrmm. Hoewel de nlytische wrden voor de fschuifstijfheid zonder uitzondering te lg worden verondersteld, ordergrootte vn enkele tientllen procenten, leidt dit in de prktijk wellicht vk tot overdimensionering. 4

26 In tegenstelling tot de fschuifstijfheid, gt deze betrekking voor de schuifspnning niet zo mkkelijk op. Bij de nlyische schuifspnning vindt zowel over- ls onderschtting plts. Overschtting vn de mximle schuifspnning is niet gevrlijk, hoewel dit misschien leidt tot overdimensionering. Echter, de mte wrin er overschtting pltsvindt, blijft in de ordergrootte vn enkele procenten. Dus er is geen sprke vn écht onnodig mterilgebruik. Om een duidelijker beeld te vormen vn dit verschijnsel, dienen meer profielen te worden onderzocht. 6.3 Anbevelingen voor verdergnd onderzoek Wetenschppelijk onderzoek is in feite niets nders dn het oplossen vn problemen die zich stuk voor stuk gedurende een onderzoek ndienen. Hierbij zullen zich ook problemen ndienen die niet relevnt zijn voor het specifieke probleem dt onderzocht wordt, of wr simpelweg geen tijd en onderzoeksbudget meer voor gereserveerd is, hoewel deze problemen vk erg interessnt vn rd zijn. Ook in dit reltief kleine eindwerk, deden zich problemen voor die interessnt zijn voor verdergnd onderzoek. Zo is het interessnt om te onderzoeken hoe nuwkeurig ddwerkelijk de formule vn Timoshenko is voor de ligging vn het dwrskrchtencentrum, ngezien er in het eerste model toch nog torsie geconstteerd werd. Zols blijkt bij het terugrekenen, n de hnd vn de rectiekrchten, is de fwijking erg klein vn rd in het gevl vn een profiel met rechte hoeken. Stel dt er gebruik wordt gemkt vn een U-profiel met fgeronde hoeken, hoe verndert de ligging vn het dwrskrchtencentrum dn? Het opstellen vn een nieuwe formule door een correctiefctor op de bestnde formule vn Timoshenko is wellicht een oplossing. Verder is het interessnt om n de hnd vn lbortoriumproeven, de geldigheid te controleren vn de oude formules voor de mximle schuifspnning en fschuifstijfheid. Hoe nuwkeurig zijn deze formules ddwerkelijk? Het opstellen vn nieuwe benderingsformules vnuit de invlshoek vn een lbortoriumproef lijkt een erg interessnt probleem. Het is in wezen dezelfde opdrcht ls dit eindwerk, echter de vergelijking vn de nlytische wrden geschiedt n de hnd vn lbortoriumresultten. Hier kn dn ook eventueel de koppeling worden gemkt tussen de resultten verkregen uit lbortoriumproeven en die verkregen uit het eindige-elementenprogrmm ANSYS. Zo kn gecontroleerd worden hoe nuwkeurig dit eindige-elementenprogrmm nu de werkelijkheid bendert. Tot slot is het n te bevelen dit onderzoek uit te breiden met meer profielen, zodt de nuwkeurigheid vn de nieuwe benderingsformules zl toenemen; evenls het scl n profielen voor welke de nieuwe formules geldig zijn. 5