Leerwerktaak: Differentiatie tijdens de wiskundeles

Transcriptie

1 Leerwerktaak: Differentiatie tijdens de wiskundeles Titel Gekoppeld aan beroepstaak OWE ILS-wi 614 Gekoppeld aan de volgende competenties(s) Niveau Geschikt voor de volgende vakken Ontwerper/ ontwerpgroep/ sectie/ school Relevantie/ kader Relatie kennisbasis Omschrijving/ instructie Differentiatie tijdens de wiskundeles Beroepstaak 1: Lesgeven en trainen in het vak/ leergebied Beroepstaak 2: Begeleiden van lerende(n) Beroepstaak 3: Ontwikkelen van leerarrangementen in het vak / leergebied Beroepstaak 5: Ontwikkelen van vakdeskundigheid Wpl 2 lesgeven 2. Pedagogisch competent 3. Vakinhoudelijk en vakdidactisch competent 4. Organisatorisch competent 7. Competent in reflectie en ontwikkeling Niveau 2: hoofdfase Wiskunde Leerwerkgroep WPL2 (HAN en opleidingsscholen) Leerlingen zijn verschillend en leren verschillend, de kunst van een docent is hier op gepaste wijze mee om te gaan. Differentiatie tijdens wiskundelessen wordt bewust en onbewust toegepast door een docent. Een belangrijk aspect, omdat ook de schoolinspectie dit een belangrijk item vindt tijdens de lessen. Om je te trainen hoe en wanneer je met differentiëren bezig bent kun je deze zeer belangrijke leerwerktaak uitvoeren. 1.3 Beheerst het gebruik van vakdidactische vaardigheden 3.3 Kan reflecteren op gedane ervaringen en benoemen Oriëntatie Lees hoofdstuk 1, 3 en 4 uit is te - leren!. - Ga voor jezelf na wat versta ik onder differentiëren en wat zou ik mogelijkerwijs zelf als vernieuwend kunnen toevoegen aan mijn les. - Lees bijlage II differentiëren en ontwerpen naar inhoud. - Maak voor jezelf een keuze waarin je wil gaan differentiëren (instructie, leerstof, leertijd of op grond van leervoorkeuren). - Ga na hoeveel en welke leerlingen zorg nodig hebben en hou rekening met dyslectische en zwakke leerlingen. - Ga jezelf inlezen door het bijbehorende hoofdstuk uit het boek is te leren! door te nemen. - Lees hoofdstuk 5 als je kiest voor differentiëren in instructie - Lees hoofdstuk 6 als je kiest voor differentiëren in leerstof - Lees hoofdstuk 7 als je kiest voor differentiëren in leertijd - Lees hoofdstuk 8 als je kiest voor differentiëren op grond van leervoorkeuren. Als je kiest voor leerstijlen zoek dan ook bijvoorbeeld op Leerstijlen van Kolb. 1

2 (Mocht je meer over differentiëren willen weten zijn de andere hoofdstukken in het boek ook erg zinvol om door te lezen. En het internet staat er vol mee) Uitvoering Ontwerp een lesvoorbereiding voor een wiskundeles voor de stof die je daadwerkelijk behandelt, waarin de keuze voor differentiëren die je gemaakt hebt verwerkt is, en die qua niveau voor de leerlingen goed uitvoerbaar is. - Kies een onderwerp dat past bij het huidige lesprogramma, waarbij je minstens 1 les gaat maken. - Bereid een wiskundeles voor waarin je uitwerkt hoe je de gekozen stof gaat geven d.m.v. differentiëren. - Geef aan hoe je aandacht gaat besteden aan de volgende drie groepen leerlingen in de klas: Leerlingen die goed mee kunnen komen (basisprogramma), leerlingen die goed in het vak zijn en snel (en nauwkeurig) hun werk af hebben (plusprogramma) en de leerlingen die moeite hebben met jouw vak en extra uitleg nodig hebben (hulpprogramma). - Maak een checklist waarmee je kan nagaan of je lesstof, maar ook je gekozen werkwijze een juiste keuze is. Voer je les (incl. de gekozen differentiatiestijl) uit, en vraag je SPD (en je medestudent) om het te observeren met behulp van je checklist en het evaluatieformulier. Reflectie De student bekijkt zelf nogmaals de (zoveel mogelijk uitgeschreven) lesstof en literatuurlijst (met boeken en websites waar je de informatie vandaan hebt). Daarbij kunnen onderstaande vragen een hulpmiddel zijn. - Beargumenteer welke elementen uit de gekozen theorie jij belangrijk vindt. - Hoe heb je dat deel van de theorie gekoppeld aan de praktijk (in je lesvoorbereiding en daarna in de gegeven les)? - Analiseer na de les de voor jouw relevante lessituaties en beschrijf eventueel jouw toekomstige aangepaste gedrag om bewust te kunnen differentiëren. - Reflecteer op je eigen inzicht in differentieerstijl en verwoordt hoe dit je doceerstijl beïnvloedt. - Beschrijf je aanpassingen (en de reden van aanpassing) in de lesvoorbereiding voor een volgende keer. De student evalueert met de SPD (en evt. medestudent). Hulpmiddel daarbij is de ingevulde checklist, het evaluatieformulier en bovenstaande vragen. De student maakt aantekeningen van de feedback. De student beschrijft vervolgens aanpassingen (en de reden van aanpassing) in de lesvoorbereiding voor een volgende keer. 2

3 Resultaatverwachting (product) Aanbevolen literatuur/bronnen Bijlagen De student verwerkt uiteindelijk de bevindingen in het logboek. Schrijf je bevindingen op in de weekreflectie, zodat je ze makkelijk mee kan nemen in het woordrapport bij je tussenen eindevaluatie. Beantwoord daarin de volgende items: wat je leerdoel was, wat je daadwerkelijk hebt gedaan, wat goed ging en wat je nog wil/moet leren. Noteer ook hoe zinvol je je tijd besteedt hebt met het uitvoeren van deze leerwerktaak. Vergeet dit niet toe te lichten. Tip: Neem deze bevindingen ook op in je dossier DPF als bewijsvoering. Berben, M. & Teeseling, M. van (2014). is te leren. Omgaan met verschillen in het voortgezet onderwijs. Amersfoort: CPS. ISBN Geerts, W., Kralingen, R., van. (2011). Handboek voor leraren. Bussum: Uitgeverij Coutinho. Bijlage I. Evaluatieformulier differentiëren tijdens de wiskundeles Bijlage II. Ontwerpen voor differentiatie (naar inhoud) 3

4 Bijlage I. Evaluatieformulier tijdens de wiskundeles Naam student: Datum: Naam SPD:.. School: Kenmerk n.v.t. Ja? Hoe? Geef voorbeeld(en) uit de les : zwak, : onvoldoende, : voldoende, : uitstekend. Overige feedback SPD: Ontwikkelingsadvies van je SPD en evt. toekomstig leerdoel: Het leerdoel van de student was: Daarvoor is deze leerwerktaak ( tijdens de wiskundeles met zijn bijbehorende competenties Beroepstaak 1: Lesgeven en trainen in het vak/ leergebied, Beroepstaak 2: Begeleiden van lerende(n), 3. Vakinhoudelijk vakdidactisch competent, 4. Organisatorisch competent en 7. Competent in reflectie en ontwikkeling) uitgevoerd. Startniveau van de student: Gevolgde aanpak: Wat geleerd (noem een voorbeeld): Leerpunten die overblijven: Dit formulier is een hulpmiddel voor de SPD bij het schrijven van het woordrapport (tussen- en eindbeoordeling) 4

5 Bijlage II. Ontwerpen voor differentiatie (naar inhoud) Nationale wiskunde dagen 2015 Mariken Barents en Jacoliene van Wijk Differentiatie Differentiatie is een hot item momenteel. Dat wil niet zeggen dat het nieuw is. lntegendeel. Lagerwerf heeft het in 2000 al over "georganiseerde differentiatie". Het is wel een heel interessant gebied om te zorgen dat je zoveel mogelijk leerlingen bedient op wat zij nodig hebben. Differentiatie is een breed begrip. De definitie volgens Sousa en Tomlinson: "Differentiatie is geen set van instructiestrategieën, maar een andere manier van denken over lesgeven en leren in: [Berben en van Teeseling, 2014] De basis van differentiëren is het goed kijken naar de leerling, waarna je de leerling onderwijs aanbiedt dat zo goed mogelijk bij hem of haar past. Voor een deel kan dit bereikt worden door leerlingen buiten de les te halen voor bijles of een andere vorm van ondersteuning, of juist een uitdagender lesprogramma als U-Talent, of extra (landelijke) lessen ter voorbereiding op wiskunde wedstrijden, buiten de reguliere lessen om aan te bieden. Als het gaat over differentiatie in de les gaat het meestal over convergente differentiatie, waarbij het de bedoeling is dat alle leerlingen hetzelfde minimum niveau bereiken. Bij divergente differentiatie werken de leerlingen allemaal op hun eigen niveau [KPC, 2013]. Barents en van Wijk hebben in de literatuur gezocht naar de verschillende aspecten waarmee je differentiatie vorm kan geven. Volgens de KPC groep kan differentiatie vorm krijgen met variëren in begeleiding (volgens de taxonomie van Bloom), in een verlengde/verkorte instructie en in verrijking. Onder verrijking wordt dan verstaan: Verdiepende en complexere leerstof, of opdrachten met als doel het vergroten van het analytisch/creatief denkvermogen of het praktisch toepassen van leerstof. [KPC, 2013] Vijf aspecten van inhoud en werkwijze waarnaar men kan differentiëren volgens [Valk, 2014] zijn inhoud, proces, product, emotionele basisbehoefte en leeromgeving. Ook [Berben en van Teeseling, 2O14] komt tot vijf aspecten van differentiëren, namelijk instructie, leerstof, leertijd, leervoorkeuren en toetsing. Als deze drie publicaties en de aspecten waarop gedifferentieerd kan worden naast elkaar worden gelegd, dan kunnen de aspecten worden ingedeeld in drie groepen: differentiatie naar inhoud, naar proces en naar product. Hierbij is de volgende tabel te maken van de verschillende genoemde aspecten: lnhoud Proces Product lnhoud [Valk] Proces [Valk] Product [Valk] Leerstof [Berben] lnstructie [Berben] Toetsing [Berben] Verrijking [KPC] Leertijd [Berben] Leervoorkeur [Berben] Leervoorkeur [Berben] Emotionele basisbehoefte [Valk] Leeromgeving [Valk] Variëren in begeleiding [KPC] Verlengde/verkorte instructie [KPC] Afbakening van het onderwerp in dit document: ontwerpen naar inhoud. ln dit document wordt gekeken naar de inhoudelijke aspecten van het ontwerpen van materiaal, wat eventueel kan leiden tot bepaalde eindproducten, voor differentiatie binnen de muren van de klas, tijdens het "reguliere" lesuur. Verder gaan we uit van de volgende 5

6 twee regels: "Iedereen is de hele les op zijn of haar niveau met wiskunde bezig" en "Iedereen heeft recht op aandacht van de docent" [Valk, 2O ]. In de praktijk betekent deze differentiatie vaak dat de leerlingen op basis van cijfers of diagnostische toetsen worden onderverdeeld in drie niveaugroepen. De basisgroep kent hierbij bijvoorbeeld aan het einde van de les de stof op moeilijkheidsniveau 1 en 2 volgens de Taxonomie van Bloom, de middengroep op niveau 1, 2 en 3 en de groep die meer uitdaging kan gebruiken op niveau 1, 2, 3 en 4 [Berben, 2013]. Bij het ontwerpen gaan we er van uit dat een groot deel van de stof door iedere leerling wordt geleerd, volgens de "leer-piramide" [Valk, 2014]. Figuur 1: Leerpiramide, uit [Valk, 2O14] Catherine Little [Valk, 2013, 2014] heeft in haar onderzoek naar differentiatie zes kenmerken gevonden waar vrijwel alle aspecten waarop gedifferentieerd kan worden aan voldoen: Differentiation features - acceleration: pace, quantity, diagnostics, organization - complexity: number of voriables, skills, resources - depth: conceptual level, product requirements - challenge: level of resources, sophistication of content, explicit reasoning - creativity: choices, products constructed within principles/guidelines, real audience - abstractness; focus on abstract concepts, thinking about big ideas, generalizations aboyt concepts and connections within and across disciplines Bron: [Catharine Little in Valk, 2013, 20L4, uit: VanTassel-Baska, 2OO3; VanTassel-Baska & Stambaugh, 2005] Vrij vertaald naar het Nederlands: Versnellen: tempo, hoeveelheid stof, niveau, organiseren. Complexiteit: aantal variabelen, vaardigheden, hulpmiddelen, bronnen Verdieping: conceptueel niveau, eisen aan het (eind)product Uitdaging: niveau van de hulpmiddelen/bronnen, verfijning van de inhoud, duidelijke redenaties Creativiteit: keuzes, producten ontwikkelen aan de hand van principes/richtlijnen, echt publiek Abstractie: nadruk op abstracte concepten, nadenken over "big ideas" (uitvindingen, revolutionaire ideeën, wetenschappelijke ontdekkingen,...), generalisaties van concepten en verbindingen binnen en tussen verschillende disciplines 6

7 Om deze kenmerken vorm te geven zijn er volgens Little eigenlijk vijf knoppen waar je als ontwerper van lesmateriaal aan kan draaien: de vrijheidsgraden voor het ontwerpen voor differentiatie. Of volgens Little: "Adjusting within ranges": Slower <> faster Simple <> complex Concrete <> abstract Structured <> open Foundational <> transformational Bron: [Catharine Little in Valk, 2O13, 2O14, uit: VanTassel-Baska, 2003; VanTassel-Baska & Stambaugh, 2005] Vrij vertaald naar het Nederlands zijn de vijf vrijheidsgraden voor het ontwerpen voor differentiatie volgens Catherine Little in [Valk, 2O ] de volgende: Langzamer <> Sneller Complex <> Eenvoudig Abstract <> Concreet Gestructureerd <> Open Transfer (naar andere vakken) <> Basis van de stof Het is met deze vrijheidsgraden mogelijk om op diverse manieren de leerstof aan te passen, om te schrijven, in te korten,... zodat ongeveer dezelfde opgaven met dezelfde strekking door alle leerlingen kunnen worden gemaakt. Voor de leerlingen die moeite hebben met de stof kan er dan extra herhaling in de stof zijn verwerkt, terwijl de stof voor leerlingen die het makkelijker vinden extra uitdagend gemaakt kan worden. ln de volgende paragrafen worden de vijf vrijheidsgraden verder toegelicht. 7

8 Langzamer/sneller Hierbij gaat het om het tempo waarin (een deel van) de stof verwerkt wordt. Dit kan bijvoorbeeld een letterlijke tempo oefening zijn waarin een bepaalde hoeveelheid stof binnen een bepaalde tijd af moet zijn (te vergelijken met de tafeltoets op de basisschool). Daarnaast kan gevarieerd worden in de hoeveelheid stof die gemaakt moet worden: het overslaan van opgaven of juist het herhalen van bepaalde stof of theorie in de opgaven. Belangrijk hierbij is natuurlijk het vaststellen van het (instap)niveau van de leerling. Als het gaat om overslaan van lessen en/of klassen dan komt er ook een deel organisatie om de hoek kijken, maar dat valt buiten het kader van dit document. Deze vrijheidsgraad in de richting "sneller" is in de differentiatieliteratuur vooral bekend als "compacten", zoals beschreven in de volgende bron: Compacten is het overslaan van overbodige herhalings- en oefenstof. Bij compacten wordt ongeveer % van de oefenstof geschrapt, en circa % van de herhalingsstof. Om te kijken of een leerling in aanmerking komt voor compacten, kan de leerkracht de toets, die aan het einde van het blok komt, alvast afnemen. Als de leerling die stof al goed beheerst, zal hij waarschijnlijk genoeg hebben aan een beperkte hoeveelheid oefenstof [Leren, 2015]. Het sneller doorwerken van de stof zal voornamelijk op het niveau van paragrafen of hoofdstukken gebeuren door het schrappen van hele opgaven. Het schrappen binnen opgaven heeft meestal tot gevolg dat de complexiteit van de opgave toeneemt of bijvoorbeeld de gestructuurdheid afneemt. Deze vrijheidsgraad in de richting "langzamer" kan worden ingevuld door in opdrachten de theorie terug te vragen (wat is de algemene formule van een rechte lijn), door vragen in te voegen die duidelijk maken wat een bepaalde functie of formule voor bijzonderheden heeft (bijvoorbeeld het verkrijgen van een negatief getal onder een wortelteken). Verder kan deze vrijheidsgraad naar "langzamer" ingevuld worden door het opnemen van extra (bestaande) herhalingsopgaven in het programma. Producten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014] waaraan gedacht kan worden bij het ontwerpen richting "langzamer" zijn een samenvatting, een lijst, een overzicht, een voorbeeld, een definitie, een quiz, een memoryspel, een kwartet... Activiteiten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014] waaraan gedacht kan worden bij ontwerpen richting "langzamer" zijn vergelijk, beschrijf, benoem, vat samen, concludeer, identificeer,... 8

9 Eenvoudig/complex Het algemene verschil tussen eenvoudig en complex is dat een eenvoudige opdracht meestal maar uit één deel bestaat en een complexe opdracht een samengestelde opdracht is uit meerdere delen. Daarnaast kan de complexiteit van een opgave vergroot worden doordat het op voorhand niet duidelijk is welke van de meerdere gegeven variabelen en/of formules van belang zijn voor het oplossen van de opgave. Bij deze vrijheidsgraad gaat het daarmee met name om de hoeveelheid informatie waarmee de leerling gaat werken, zoals: Het aantal variabelen in de opdracht; Het aantal vaardigheden waar de leerling over moet beschikken dan wel gaat leren; De hoeveelheid bronnen of leermiddelen waar de leerling mee gaat werken; Het conceptuele niveau van de opdracht; De eisen die worden gesteld aan het eindproduct. Daarnaast is er natuurlijk ook de mogelijkheid om te variëren in de complexiteit van de getallen waarmee de leerling gaat werken: 81 als discriminant in de abc formule rekent prettiger dan 83. Vaak is het makkelijker om te ontwerpen vanuit een complexe opgave en deze dan eenvoudiger te maken, door bijvoorbeeld het probleem kleiner te maken of door een (reken)voorbeeld te geven. Producten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2O14] waaraan gedacht kan worden bij het ontwerpen richting "complexer" zijn grafiek, spreadsheet, demonstratie, kaart, enquête... Activiteiten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2O14] waaraan gedacht kan worden bij het complexer maken van een opdracht zijn onderzoek, verbind, vergelijk, construeer, vul aan... 9

10 Concreet/abstract Deze vrijheidsgraad raakt aan de "concept - context" benadering in de bètavakken biologie en natuurkunde: vanuit de werkelijkheid werken naar een abstract niveau los van de werkelijkheid, of juist omgekeerd: vanuit een bepaalde abstractie kijken naar de werkelijkheid. ln het leerproces komt deze variant ook voor, bijvoorbeeld in [Konings, 2003]: Concreet > schematisch > abstract: fasering in het leerproces: Oriëntatiefase: vertrouwd roken met de context, welke afspraken worden gemaakt? Hoe ziet de handeling in de context er uit? aantal keer herhalen. Welke verkortingen zijn mogelijk? Maken van een schema. Loslaten van de context. Veel wiskundeopgaven zijn al in een concrete context geplaatst. Het is hier vaak de uitdaging om een realistische concrete context te vinden (Hoeveel mensen zijn geïnteresseerd in de hoogte van het snijpunt van twee ladders in een steegje, in een opgave over de stelling van Pythagoras). Bij deze vrijheidsgraad spelen de volgende kenmerken een rol: niveau van de hulpmiddelen/bronnen, verfijning van de inhoud, duidelijke redenaties, nadruk op abstracte concepten, generalisaties van concepten en verbindingen binnen en tussen verschillende disciplines. Bij deze vrijheidsgraad vinden ook de termen "horizontaal en verticaal mathematiseren" een plaats: Het vertalen van een realistische vraagstelling naar een wiskundige formulering en van een wiskundig antwoord naar een realistisch antwoord wordt horizontaal mathematiseren genoemd. Het algemener formuleren van gebruikte wiskunde, wat kon leiden tot verbetering van wiskundige technieken, ontwikkeling van nieuwe inzichten, ontwikkeling van nieuwe vraag stukken, et cetera wordt verticaal mathematiseren genoemd. [Konings, 2003] Het concreet maken van een abstracte opdracht kan door het geven van voorbeelden in euro's bij een formule of het maken van een woordformule bij een abstracte formule. Producten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2O14] waaraan gedacht kan worden bij het ontwerpen richting "concreter" zijn feiten, voorbeelden, toepassingen,... Activiteiten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014) waaraan gedacht kan worden bij het concreter maken van een opdracht zijn benoem, beschrijf, bespreek, leg uit, voorspel... 10

11 Gestructureerd/open Bij deze vrijheidsgraad gaat het om het aantal denkstappen die de leerling zelfstandig moet zetten om tot een juiste oplossing te komen en/of het aantal keuzes dat de leerling zelf heeft bij het maken van een opdracht. Kenmerken die hier een rol speten zijn het conceptueel niveau, eisen aan het (eind)product, duidelijke redenaties, keuzes en producten ontwikkelen aan de hand van principes/richtlijnen' Deze vrijheidsgraad valt deels samen met de wiskundige denkactiviteiten die binnen het nieuwe examenprogramma een rol spelen en waarbij van leerlingen wordt verwacht dat ze zelfstandig meerdere denkstappen kunnen maken. De wiskundige denkactiviteiten zijn probleemoplossen en analytisch denken, modelleren en algebraiseren, ordenen en structureren, formules manipuleren, abstraheren en logisch redeneren en bewijzen [Streun, 2014]. Het aanpassen van een "zware" examenopgave (6 punten, 8 punten) naar een opgave met extra tussenstappen is een goede manier om van een open opgave een meer gestructureerde opgave te maken. De "bolletjeslijst" in het antwoordmodel kan hierbij een goede leidraad zijn. Het meer "open" maken van opdrachten kan meestal vrij eenvoudig door het schrappen van de eerste geleide stappen in een opgave. Producten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014] waaraan gedacht kan worden bij het ontwerpen richting "open" opgaven zijn een film, een nieuw spel, een verhaal, een beoordeling, een evaluatie, een projectvoorstel, Activiteiten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2O14] waaraan gedacht kan worden bij ontwerpen richting "open" opgaven zijn combineer, onderzoek, ontwerp, maak, ontwikkel, stel op, combineer, leg uit, toets,... 11

12 Basis van de stof/transfer (naar andere vakken) Omdat veel wiskundige opgaven een realistische context hebben, bijvoorbeeld het berekenen van het aantal grazers op een hectare natuurgebied (biologie), het berekenen van een logaritme in de vorm van de sterkte van een aardbeving (aardrijkskunde), het berekenen van inkomsten, uitgaven en winst (economie) is de transfer naar andere vakken vrij makkelijk te maken. Het gaat bij de transfer naar andere vakken over het nadenken over big ideas (uitvindingen, revolutionaire ideeën, wetenschappelijke ontdekkingen,...), het generaliseren van concepten, het leggen van verbindingen binnen en tussen verschillende disciplines en eventueel een opdracht maken voor een "echt" publiek. Richting "transfer naar andere vakken" kan deze vrijheidsgraad ook worden ingevuld met verbreding en verrijking. onder verbreding verstaan we die leerstof die een aanvulling op de kerndoelen van het [basis]onderwijs vormt. Daar vallen bijvoorbeeld vreemde talen, maar ook computervaardigheden onder. [Inos, 2015] Verbreding volgens [Valk, 2014]: bij verbreding gaat het om meer van hetzelfde niveau. verbredende leerstof betreft een ander onderwerp op domein dan de basisleerstof. Als de verbreding wordt gekoppeld aan een uitbreiding van de basisleerstof, bijvoorbeeld in de theorie erachter of abstractie, dan is er sprake van verrijking. Bij het ontwerpen binnen deze vrijheidsgraad richting basis van de stof zou kunnen worden teruggekeken naar eerdere hoofdstukken of naar de vaardigheden die vereist zijn bij het onderwerp. Ook kan het zinvol zijn om te kijken wat de minimale doelen zijn die gelden voor dit onderdeel van de stof. Een bron van inspiratie richting transfer naar andere vakken, kan hier de Salvo! reeks zijn, waarbij veel aandacht wordt geschonken aan de verbanden en overeenkomsten tussen bètavakken, maar ook vakken als economie en aardrijkskunde. De leerling kan zelf ook op zoek gaan naar praktijkvoorbeelden van wiskunde (bijvoorbeeld Lime, via Producten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014) waaraan gedacht kan worden bij het ontwerpen richting "transfer naar andere vakken" zijn een presentatie, een verslag, een krant, een project,... Activiteiten op basis van Bloom [Berben en van Teeseling, 2014]waaraan gedacht kan worden bij ontwerpen richting "transfer naar andere vakken" zijn verbind, vergelijk, combineer, plan, herschrijf,... 12

13 Literatuur en overige bronnen [Berben, 2013] Berben, Meike: Is differentiëren te leren?, Van 12 tot 18, mei [Berben en van Teeseling, 2014] Berben, Meike en Teeseling, Mirjam van: is te leren, omgaan met verschillen in het middelbaar onderwijs, CPS, maart [Konings, 2003] Konings, Ton (redactie): Leren effectief lesgeven. Het leren van wiskunde, APS, Amersfoort, [Inos, 2015] Bron: [Lagerwerf, 2000] Lagerwerf, Bram: wiskundeonderwijs in de basisvorming, een didactische ruggesteun voor docenten, APS, september [Leren, 2015] [Streun, 2014] Streun, Anne van : Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten, SLO, Enschede, 2014 [Valk, 2O13, 2014] Cursus "Bevorderen van excellentie in de bètavakken", een intensieve cursus (120 uur) gegeven door Ton van der Valk met o.a. gast- en werkcolleges van Catherine Little, Barry Meatyard en Lianne Hoogeveen' [Valk, 2014] Valk, Ton van der: Excellentie en differentiatie, met praktijkvoorbeelden van VO-scholen uit het netwerk van het Junior College Utrecht, School aan zet, 2O14. Vraag jezelf af: - wat is de essentie van deze opgave? - wat is hier aan de hand? - Wat moet je doen? Oefening ontwerpen volgens forced fit Maak eens van 1 opgave een aantal varianten waarbij je steeds maar 1 variabele verandert. Kies 1 graad en ga van daaruit twee verschillende opgaven ontwerpen. Geschikt zijn vaak de gemengde opgaven achteraan in het hoofdstuk. - Langzamer / sneller (meer basisstappen herhalen, opgaven schrappen zoals voorkennis, herhaling en extra) - Eenvoudig / complex (hoeveelheid gegevens in de opgave, aantal variabelen al dan niet gebruikt, simpele of lastigere getallen, simpele of lastigere namen) - Concreet / abstract (realistische context, los van de werkelijkheid, abstract dus verhaal weglaten) dit abstractere hoeft niet moeilijker te zijn! - Gestructureerd / open (aantal denkstappen en tussenstappen om vraag te beantwoorden) - Basis / transfer naar andere vakken Oefening bedenk niveau hints Bedenk bij 1 opgave verschillende hints die je kan geven aan een individuele leerling. Noteer de verschillende hints die je per niveau kan geven. Huiswerk maken is een hulpmiddel bij het nadenken Leerlingen kunnen ook de opdracht krijgen zelf de opgave in te delen in stappen wat ze moeten doen en wat ze moeten kennen en kunnen 13

14 Uitwerking Havo opgave naar de vijf vrijheidsgraden Naar: hoofdstuk formules, grafieken en tabellen, havo wiskunde A, Getal en Ruimte, deel 1, opgave 9 van de gemengde opgaven. Mariken Barents en Jacoliene van Wijk, versie 1.0, 28 januari 2015 Oorspronkelijke opgave 2 Formules, grafieken en tabellen 9. Een fabrikant van tuinstoelen hanteert voor de dagopbrengst R van het model 'Easy' de formule R = -0,12q Hierin is R in euro s en is q het aantal verkochte stoelen per dag. a Schets de grafiek van R. Een geschikt venster is Xmin=0, Xmax = 1500, Ymin=0 en Ymax= b. Voor welke q is de dagopbrengst maximaal? Hoeveel is die maximale opbrengst? c. Op een dag heeft. de fabrikant een opbrengst van euro. Hoeveel stoelen zijn er op die dag verkocht? Geef beide mogelijkheden. Het bedrijf heeft ook kosten. Per dag zijn deze kosten gegeven door de formule K = q. d Schets de kostengrafiek in de figuur van vraag a. e De grafieken van K en R hebbcn twee snijpunten. Wat is de praktische betekenis van deze snijpunten? Welke aantallen verkochte tuinstoelen horen bij deze snijpunten? f Het bedrijf verkoopt op een dag 500 tuinstoelen. Hoeveel euro is de winst die dag? Hoeveel is dat per tuinstoel? Abstracter (versus concreet) 9. Gegeven is de formule R = -0,12q q a. Schets de grafiek van R. b. Voor welke q is R maximaal? Hoeveel is die R? c. Bij welke q geldt R = ? Gegeven is de formule K = q d. Schets de grafiek van K in de figuur van vraag a. e. De grafieken van K en R hebben twee snijpunten. Bereken deze snijpunten. f. Wat is het verschil tussen K en R bij q = 500? Open (versus gestructureerd) 9. Een fabrikant van tuinstoelen hanteert voor de dagopbrengst R van het model "Easy" de formule R = -0,12q q. Hierin is R in euro's en is q het aantal verkochte stoelen per dag. Het bedrijf heeft ook kosten. Per dag zijn deze kosten gegeven door de formule K = q. Jij bent directeur van dit bedrijf. Motiveer je antwoord op onderstaande vragen met duidelijke berekeningen en/of schetsen en/of toelichting. a. Hoeveel tuinstoelen zou je willen produceren? b. Hoeveel winst maak je per stoel op een topdag? Complexer (versus eenvoudig) 9. Hartman tuinmeubelen is een fabrikant van hoogwaardige outdoor meubelen van materialen als aluminium, wicker, kunststof, teak en rvs. Hun slogan luidt Hartman, door geniet je langer van. Het Hartman hoofdkantoor is gevestigd in Enschede en er zijn verkoopkantoren in België, Duitsland, Tsjechië en Groot Brittannië. Hartman maakt zijn producten volgens een eenvoudige filosofie: tuinmeubelen maken waar men langere tijd van kan genieten. Dit betekent kwaliteit in zijn puurste vorm. Dat is de reden waarom elk model zorgvuldig wordt getest volgens de NEN581 regelgeving. Hartman hanteert voor de dagopbrengst R van een van zijn vestigingen voor de loungestoel "Easy" de formule R = -0,121q q. Hierin is R in euro's en is q het aantal verkochte stoelen per dag. a. Hoeveel stoelen zijn er verkocht bij de maximale dagopbrengst? b. Op een dag bedraagt de opbrengst van de loungestoel "Easy" euro. Hoeveel stoelen zijn er op die dag verkocht? Het bedrijf heeft ook kosten, bijvoorbeeld voor de inkoop van wicker. Wicker is een vezel gemaakt van kunststof die gebruikt wordt in de meubelindustrie. Het heeft een sterke gelijkenis met rotan, maar is veel minder gevoelig voor de weersinvloeden. Daarom is het uiterst geschikt om te gebruiken bij 14

15 tuinmeubilair manden en bloembakken. Maar ook voor ander meubilair wordt het materiaal toegepast. Per dag zijn deze kosten gegeven door de formule K = ,2q. c. Bij welke aantallen stoelen maakt Hartman winst? d. Het bedrijf verkoopt op een dag 511 loungestoelen "Easy". Hoeveel euro is de winst die dag per loungestoel? Basis (versus transfer) 9. Een fabrikant hanteert voor de opbrengst R van een product de formule R = -0,1q q. Hierin is R in euro's en is q het aantal verkochte producten. a. Schets de grafiek van de formule R. Een geschikt venster is Xmin=0, Xmax=1500, Ymin=0 en Ymax= b. Hoeveel is R als q=100? c. Geef de coördinaten van de top van de grafiek. d. Op een dag geldt dat R = Hoeveel producten horen er bij deze opbrengst? Let op: er zijn twee mogelijkheden. Geef ze allebei. Het bedrijf heeft ook kosten. Deze kosten zijn gegeven door de formule K = q. e. Schets de grafiek van de formule K in de figuur van vraag a. f. De grafieken van K en R hebben twee snijpunten. Wat zijn de coördinaten van deze snijpunten? g. Het bedrijf verkoopt 500 producten. Hoeveel euro is dan de winst? Langzamer (versus snel) 9. Een fabrikant van tuinstoelen hanteert voor de dagopbrengst R van het model "Easy" de formule R = - 0,12q q. Hierin is R in euro's en is q het aantal verkochte stoelen per dag. a. Wat voor soort grafiek hoort bij deze formule? Hoe kun je dat zien aan de formule? b. Schets de grafiek van R. Een geschikt venster is Xmin=0, Xmax=1500, Ymin=0 en Ymax= c. Hoeveel is R als q = 100? d. Voor welke q is de dagopbrengst maximaal? e. Hoeveel is de maximale opbrengst bij opgave d? f. Op een dag heeft de fabrikant een opbrengst van euro. Hoeveel stoelen zijn er op die dag verkocht? Let op: er zijn twee mogelijkheden. Geef beide mogelijkheden. Het bedrijf heeft ook kosten. Per dag zijn deze kosten gegeven door de formule K = q. g. Wat voor soort grafiek hoort bij deze formule? Hoe kun je dat zien aan de formule? h. Schets de kostengrafiek in de figuur van vraag a. i. De grafieken van K en R hebben twee snijpunten. Wat is de betekenis van deze snijpunten voor de fabrikant? Welke aantallen verkochte tuinstoelen horen bij deze snijpunten? j. Het bedrijf verkoopt op een dag 500 tuinstoelen. Hoeveel euro is de winst die dag? Hoeveel is dat per tuinstoel? 15