Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,"

Transcriptie

1 Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken te introduceren wordt gegeven via het verband met het algoritme van Euclides (zie bijvoorbeeld Algoritme 4.2 in het dictaat Ringen en Lichamen)... Voorbeeld Veronderstel dat we de grootste gemene deler van 33 en 37 trachten te bepalen volgens de methode van Euclides. Dan krijgen we achtereenvolgens: 37 = = = = = waaruit we zien dat de grootste gemene deler is. Maar delen we in elk van de bovenstaande regels van de vorm a = q b + r 3

2 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken door b dan krijgen we = = = = + 2 = Omdat de breuk rechts steeds de omgekeerde is van de breuk links op de volgende regel krijgen we hieruit door substitutie = = = = Het zal duidelijk zijn waarom de uitdrukking rechts een kettingbreuk genoemd wordt en ook waarom we de minder papierverslindende schrijfwijze [0;462] zullen invoeren...2 Definitie Een eindige kettingbreuk [a 0 ;a a 2...a n ] is een herhaalde breuk van de vorm [a 0 ;a a 2... a n ] = a 0 + a + a a n voor gehele getallen a i met de condities dat a i als i en a n 2. De getallen a i heten de wijzergetallen van de kettingbreuk. De kettingbreuk [a 0 ;a a 2...a n ] bepaalt een rationaal getal p/q dat we de waarde ervan zullen noemen. De rationale getallen [a 0 ; ][a 0 ;a ][a 0 ;a a 2 ]... [a 0 ;a... a n ] heten de convergenten van [a 0 ;a a 2... a n ]. Het getal n is de lengte van de kettingbreuk...3 Opmerking We kunnen de waarde p/q terugvinden door de kettingbreuk van rechts op te rollen (alsof we het Euclidische algoritme teruglezen). De naam convergent zal straks duidelijk worden; we zullen voor de teller en de noemer ervan de standaardnotatie p k / invoeren: p k / = [a 0 ;a a 2... a k ] voor 0 k n met natuurlijk p 0 /q 0 = a 0 / Z en p n /q n = p/q. 4

3 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Merk op dat de eisen a i als i en a n 2 logisch volgen wanneer we kijken naar het algoritme van Euclides. Ook los daarvan ligt de eis dat het laatste wijzergetal groter dan moet zijn voor de hand omdat een kettingbreuk die met a n = eindigt direct ingekort kan worden door het vorige wijzergetal op te hogen: a n + = a n +. De kettingbreuken die we net hebben ingevoerd worden wel regelmatige kettingbreuken genoemd; half-regelmatige kettingbreuken bestaan uit de generalisatie [a 0 ;ǫ a ǫ 2 a 2... ǫ n a n ] = a 0 + a + ǫ ǫ 2 a 2 + ǫ 3... ǫ n a n met ǫ i {±} en condities op a i en ǫ j. Deze kunnen bijvoorbeeld ook verkregen worden door herschrijven van reguliere kettingbreuken waarin negatieve wijzergetallen worden toegelaten. Zie ook opgave??...4 Stelling Elk rationaal getal p/q bepaalt een unieke eindige kettingbreuk. Bewijs Bij gegeven p/unnen we als boven met het algoritme van Euclides altijd een eindige kettingbreuk [a 0 ;a a 2... a n ] vinden. Merk op dat voor t = [0;a a 2... a n ] geldt: 0 t < (met altijd ongelijkheid rechts omdat a n > ) en daarom is a 0 [a 0 ;a a 2... a n ] < a 0 +. Veronderstel nu dat we voor p/q een andere eindige kettingbreuk p/q = [b 0 ;b...b k ] hebben. Dan moet a 0 = p/q = b 0 omdat p/q het unieke gehele getal is met p/q p/q < p/q +. Bekijk nu [a ;a 2...a n ] = [0;a a 2...a n ] = p q p/q = [0;b...b k ] = [b ;b 2...b k ] dan zien we dat [a ;a 2...a n ] = [b ;b 2... b k ] dus a = b als boven enzovoorts. Wanneer we het algoritme van Euclides loslaten zien we aan het voorbeeld p/q = 33/37 gemakkelijk hoe we in het algemeen de kettingbreuk vinden voor gegeven p/q: neem eerst het gehele deel a 0 en trek dat van de breuk af; neem van het resultaat de reciproke en herhaal het proces. Met andere woorden we itereren de operatie x k+ = (.) x k x k met x 0 = p/q totdat x k x k de waarde 0 heeft gekregen. Steeds is a k = x k. Dit heet wel de eindige kettingbreukalgoritme. Het vinden van de convergenten gaat als volgt. Per definitie is p 0 /q 0 = [a 0 ; ] = a 0 /. Dan is p = a 0 + = a a 0 + q a a 5

4 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken en p 2 q 2 = a 0 + a 2 a + = a 0 + a 2 a + = a 2a a 0 + a 2 + a 0. a 2 a + a 2 Natuurlijk is die uit de voorgaande te verkrijgen door a te vervangen door a + /a 2. Net zo vinden we hieruit p 3 = (a 2 + q 3 a 3 )a a 0 + a 2 + a 3 + a 0 (a 2 + a 3 )a + = a 3(a 2 a a 0 + a 2 + a 0 ) + a a 0 + a 3 (a 2 a + ) + a en dan is met inductie eenvoudig in te zien dat algemeen de volgende Stelling geldt waarin de kettingbreuk als het ware voorwaarts opgerold wordt...5 Stelling Voor de convergent p k / van een rationaal getal p/q geldt: p k = a kp k + p k 2 a k + 2. (.2) voor k n als we definiëren dat p = q = Voorbeeld We vatten de wijzergetallen en convergenten uit ons eerste voorbeeld in een tabel samen: n : a n : p n : q n : Lemma Voor de convergenten p k / van een rationaal getal p/q geldt dat p k p k en voor k en zelfs: en bovendien p k > p k (k 3) en > (k 2) Bewijs Gebruik de vergelijking.2: p k p k = ( ) k. p k p k = p k p k = p k a kp k + p k 2 a k + 2 = hetgeen met inductie gelijk is aan = ( )(p k 2 p k 2 ) (a k + 2 ) ( ) k (p q 0 p 0 q ) (a k + 2 ) = ( ) k (a k + 2 ). Dus is p k p k = ( ) k en in het bijzonder zijn p k en onderling ondeelbaar. Ook is = a k + 2 > voor k 2 met inductie omdat a k en > 0 voor k. Ook is p k = a k p k + p k 2 > p k voor k 3 omdat p k 2 > 0 voor k 3. 6

5 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken..8 Stelling Voor de convergenten p k / p k+ /+ van een rationaal getal p/q geldt voor k 0 dat: en bovendien is voor 0 k n. p k p k = ( )k p 0 q 0 < p 2 q 2 < p 4 q 4 < < p q = p n q n < < p 3 q 3 < p q < p q ; p q p k < p q p k Bewijs De eerste bewering volgt direct uit het Lemma. Dat zegt ook dat de rij van q i s strikt stijgt en dus worden de verschillen tussen twee opeenvolgende convergenten steeds kleiner. Daaruit volgt de tweede bewering. Voor de laatste bewering merken we eerst het volgende op voor positieve reële getallen a b en 0 k n: ap k + p k 2 bp k + p k 2 a + 2 b (a b)(p k 2 p k 2 ) = (a b)( ) k Voor oneven k < n geldt dat k oneven en b a of k even en a b. p k < p k+ + < p q < p k en passen we het bovenstaande toe met b = a k+ en a = dan: maar dan is p q > p k+ + = a k+p k + p k a k+ + p k + p k + ; p q p k > p k+ p k p k + p k p k = (p k p k ) = + + ( + + ) = ( + + ) > ( + + ) = (p k p k ) = ( + + ) = p k p k + p k + p k a k+p k + p k a k+ + = p k p k+ + > p k p q. Het geval k is even gaat net zo...9 Toepassing (Tandwielen) Huygens gebruikte convergenten van kettingbreuken in zijn constructie van een planetarium. Met een enkele aandrijfstang en tandwielen met de juiste overbrengingsverhouding moesten in een model alle (toen bekende) planeten in een redelijk accurate omwenteling rond de centrale zon gebracht worden. Die verhouding moest corresponderen 7

6 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken met de verhouding tussen de lengte van het jaar op de betreffende planeet en die op aarde. Omdat de tandwielen daadwerkelijk gemaakt moesten worden mochten aantallen tanden noch te groot noch te klein worden. Voor de binnenste planeet Mercurius vond Huygens bijvoorbeeld een verhouding van 25335/0590. Dat getal heeft kettingbreuk [0; ] en aanvankelijk gebruikte Huygens de vijfde convergent [0;462] = Later ontdekte hij dat de negende convergent zelf weliswaar te veel tanden zou vergen: [0;462 ] = maar omdat 204 = 2 7 en 847 = 7 2 is die betere benadering als verhouding te realiseren door vier tandwielen met 277 en 2 tanden waarvan er twee op dezelfde as zitten...0 Toepassing (Oplossen van lineaire vergelijkingen) De eigenschap dat twee opeenvolgende convergenten voldoen aan p k p k = ± kunnen we gebruiken om de oplossingen te bepalen van de vergelijking ax by = ab Z in gehele getallen xy. Merk op dat gcd(ab) = moet gelden anders zijn er geen oplossingen. Ontwikkel de breuk b/a in een kettingbreuk en beschouw de laatste twee convergenten: p n /q n en p n /q n = b/a. Dan geldt volgens Lemma..7 dat p n q n p n q n = p n a q n b = ( ) n zodat afhankelijk van de pariteit van n een oplossing wordt gegeven door (x 0 y 0 ) = (p n q n ) of door (x 0 y 0 ) = ( p n q n ). Wensen we uitsluitend positieve oplossingen dan kunnen we ook de lengte n van de kettingbreuk even maken door het laatste wijzergetal a n te vervangen door a n. We vinden de algemene oplossing van de vergelijking uit een particuliere oplossing (x 0 y 0 ) simpelweg uit (xy) = (x 0 + zby 0 + za): het is duidelijk dat al deze paren oplossingen geven en anderzijds geldt dat een tweede oplossing (x y ) voldoet aan ax by = = ax 0 by 0 zodat a(x x 0 ) = b(y y 0 ). Omdat ab onderling ondeelbaar zijn moet a een deler zijn van y y 0 en b van x x 0. Het resultaat volgt direkt. Om de vergelijking ax + by = ± op te lossen passen we het volgende toe. Als voorheen ontwikkel je eerst b/a in een kettingbreuk om een particuliere oplossing (x 0 y 0 ) van ax by = ± te vinden dan is (x 0 y 0 ) een oplossing van ax+by = ± en de algemene oplossing wordt gegeven door (x 0 +bz y 0 az). Om vergelijkingen van de vorm ax ± by = c met c > op te lossen vermenigvulidigt men de oplossing voor ax ± by = met c... Voorbeeld Vind alle oplossingen van de vergelijking 34 x + 49 y = 3. 8

7 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken De kettingbreuk van 49/34 is [;233]. De aanpassing hiervan met oneven lengte is [; ] geeft een oplossing van via de voorlaatste convergent uit de rij 34 x + 49 y = want =. De gevraagde algemene oplossing is dan x = z y = 3 ( 25) 34z...2 Toepassing (Stambreuken) Stambreuken of Egyptische breuken zijn breuken met teller. De Egyptenaren schreven hun breuken (met uitzondering van 2/3) als sommen van zulke stambreuken met verschillende noemers. Er zijn verschillende algoritmen om een breuk als som van stambreuken te schrijven (zie ook de opgaven) en daarbij doen zich twee vragen voor: hoe groot worden de benodigde noemers en hoe lang is de ontwikkeling? De volgende methode die van kettingbreuken gebruik maakt levert zowel tamelijk korte ontwikkelingen als kleine noemers. Preciezer gezegd: voor een breuk p/q levert dit algoritme een som van niet meer dan p stambreuken met noemers kleiner dan of gelijk aan q(q ). Laat 0 < p/q < gegeven zijn met gcd(pq) =. Laat de kettingbreuk voor p/q zijn: p/q = [0;a a 2...a n ]. We definiëren de ontwikkeling in stambreuken als volgt met inductie naar de lengte van de kettingbreuk. Als n = dan is p/q = /a en zijn we klaar. Veronderstel nu dat we voor breuken met kettingbreuk ter lengte < n klaar zijn dan gaan we als volgt te werk. Als n oneven is dan is p n /q n < p n /q n = p/q en p q p n q n = p n q n p n q n = p nq n p n q n q n q n = q n q n zodat we klaar zijn. Als n even is dan is p n 2 /q n 2 < p/q en gebruiken we de medianten: p n 2 < p n 2 + p n < < p n 2 + a n p n = p n = p/q. q n 2 q n 2 + q n q n 2 + a n q n q n Omdat p n 2 + jp n q n 2 + jq n p n 2 + (j )p n q n 2 + (j )q n = kunnen we schrijven p q = p n 2 q n 2 + a n j= (q n 2 + (j )q n )(q n 2 + jq n ) (q n 2 + (j ) q n )(q n 2 + j q n ) en zijn we weer klaar met inductie. In totaal hebben we ook niet meer dan + a a n stambreuken nodig waar n het grootste even getal kleiner dan of gelijk aan n is. Er is een aanpassing van dit algoritme dat werkt door de medianten in groepjes bij elkaar te nemen maar dat is enigszins ingewikkeld omdat vermeden moet worden dat twee termen gelijk worden. 9

8 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken..3 Toepassing (Sommen van kwadraten) Laat p een priemgetal zijn. Het is welbekend dat de multiplicatieve groep F p van het eindige lichaam F p cyclisch is: er is een geheel getal g zodat de machten van g modulo p alle p niet-nul restklassen geven. Natuurlijk is g p mod p. De vergelijking x 2 = 0 heeft in F p dan de oplossingen en g (p )/2 mod p; en de vergelijking x 2 + = 0 heeft in F p dan afhankelijk van p géén oplossingen (als p 3 mod 4) één oplossing (als p = 2) of de twee verschillende oplossingen ±g (p )/4 mod p (als p mod 4). We gebruiken dit om te proberen p als som van twee kwadraten te schrijven; omdat dit voor p = 2 een triviaal probleem is nemen we aan dat p oneven is. We zoeken ab zodat p = a 2 +b 2. Als p 3 mod 4 bestaan zulke ab niet want anders is (ab ) 2 mod p in tegenstelling met het boven beweerde. Het volgende vindt nu voor elke p mod 4 een oplossing voor p = a 2 +b 2. Veronderstel dat we w met w 2 mod p hebben gevonden dan bepalen we a b uit w met behulp van kettingbreuken als volgt. (Zie ook verderop...). Kies eerst w Z zo dat w 2 mod p en 0 < w < p/2; ontwikkel vervolgens p/w in een kettingbreuk dan blijkt dat p w = [a 0;a...a m a m...a a 0 ]; de oplossing is te vinden uit de convergenten p m /q m = [a 0 ;a... a m ] en p m /q m = [a 0 ;a... a m ]; namelijk a = p m en b = p m voldoen. Bijvoorbeeld voor p = 9973 hebben we mod p en de kettingbreuk van 9973/2798 is Daaruit vinden we de convergenten [3;3223 3] De tellers van de twee convergenten vlak voor het midden geven de representatie = De reden dat dit algoritme werkt zien we wanneer we het uitgebreide algoritme van Euclides uitwerken; in dit voorbeeld doorlopen we de stappen: = 9973; = 2798; = 579; = 29; = 360; = 39; = 82; = 57; = 25; = 7; = 4; = 3; =. 0

9 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Rij n + wordt hier steeds verkregen uit de rijen n en n door deling met rest in de linkerkolom toe te passen; de quotiënten zijn telkens de wijzergetallen. De symmetrie tussen de rij coëfficiënten in de tweede kolom en de derde kolom wordt veroorzaakt door de eigenschap dat mod 9973: neem elke rij modulo p = 9973 en vermenigvuldig met We vinden de onderste helft van het schema dus eenvoudig uit de bovenste. We kunnen ophouden zodra in de rechterkolom een getal kleiner dan p verschijnt en de gezochte a en b staan dan als coëfficiënt in de tweede en in de derde kolom..2 Oneindige kettingbreuken We verruimen nu onze blik en laten willekeurige reële getallen x toe bij het bepalen van kettingbreuken: dat wil zeggen we passen de iteratie uit. nu toe op x 0 = x R. We krijgen dan x 0 = a 0 + x x = a + x 2 enzovoorts en het is duidelijk dat dit een oneindige rij [a 0 ;a a 2...] van wijzergetallen definieert tenzij x = x 0 rationaal is. Als voorheen bepaalt dit een rij (die nu oneindig mag zijn) van convergenten p q = 0 p 0 q 0 = a 0 p q p 2 q 2. Het is met inductie ook eenvoudig in te zien dat voor n 0 immers voor n = 0 staat er en er geldt dat x = x n+p n + p n x n+ q n + q n ; (.3) x = x a 0 + x = a 0 + x = x 0 x n+ p n + p n x n+ q n + q n = x n+(a n p n + p n 2 ) + p n p n x n+ = (a np n + p n 2 ) + x n+ (a n q n + q n 2 ) + q n (a n q n + q n 2 ) + q n = (a n + x n+ )p n + p n 2 (a n + = x np n + p n 2 x n+ )q n + q n 2 x n q n + q n 2 waar we de recursieve relatie voor tellers en noemers van convergenten uit.2 gebruiken (het bewijs met inductie werkt natuurlijk ook voor oneindige kettingbreuken). Verderop formuleren en gebruiken we een soort omkering van.3. x n+

10 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Net als in het bewijs van..8 zien we voor oneindige kettingbreuken dat de convergenten steeds betere rationale benaderingen geven afwisselend van boven en beneden voor x en dat twee opeenvolgende convergenten op afstand ( ) liggen. Uit Stelling..8 volgt onmiddellijk dat p n x = lim. n q n.2. Stelling Voor de convergenten p k / van een irrationaal getal x geldt: < 2 + ( + + ) < x p k q < < k + qk 2 voor k. Bewijs Uit.3 volgt x p k = x k+ p k + p k p k x k+ + q = ( ) k k ( x k+ + ). Omdat a k+ < x k+ < a k+ + is + < x k+ + < + + dus ( + + ) < x p k <. + De overige ongelijkheden volgen uit < Stelling Voor twee opeenvolgende convergenten p k / p k / van een irrationaal getal x geldt: x p k < of x p k <. Bewijs Uit 2q 2 k p k p k = x p k + x p k en de veronderstelling dat de bewering niet klopt zou volgen: = p k q p k k q k 2qk 2 + 2qk 2 hetgeen equivalent is met ( ) 2 0; een tegenspraak omdat > voor k Stelling Als de breuk p/q voor een convergent p k / van x voldoet aan 0 < q dan geldt p q p k x p q > x p k. 2 2q 2 k

11 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Bewijs Zonder beperking mogen we veronderstellen dat p en q onderling ondeelbaar zijn. Als q = dan p q p k > maar zodat x p k q < k 2 x p k < x p q. Veronderstel nu zonder beperking der algemeenheid dat < q < ; laat de gehele getallen ef gedefinieerd zijn door dan is f 0 en e = (qp k p ) f = (p qp k ) ep k + fp k = p(p k p k ) = ±p e + f = q(p k p k ) = ±q zodat we eventueel door het teken van e en f te veranderen mogen aannemen dat rechts +tekens staan. Omdat e + f = q < hebben e en f tegengesteld teken evenals p k x en p k x. Maar dan hebben e(p k x) en f(p k x) juist weer hetzelfde teken. Bovendien is p qx = e(p k x) + f(p k x) en als f = dan is e 0 omdat q > zodat Uit Stelling.2. volgt p qx > p k x. p k x > ( + ) + > p k x q = p k x. k Dus p qx > p k x en de bewering volgt bij deling door q links en door > q rechts..2.4 Stelling Als de breuk p/q voldoet aan x p q < 2q 2 dan is voor een convergent p k / van x. p q = p k. 3

12 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Bewijs Ontwikkel p/q in een eindige kettingbreuk van oneven lengte n; dan is p/q = p n /q n en p n x = δ q n qn 2 δ < 2. Er bestaat een y > 0 zodat en dan is x = yp n + p n yq n + q n δ q 2 n = p n q n x = p nq n p n q n q n (yq n + q n = ( ) n+ q n (yq n + q n ) en dus waaruit volgt dat q n δ = yq n + q n y = δ q n q n >. Volgens Lemma.2.5 hieronder zijn p n /q n en p n /q n = p/q dan opeenvolgende convergenten van x..2.5 Lemma Als met y R en pqrs Z zodanig dat x = py + r qy + s y > q > s > 0 ps qr = ± dan bestaat er een n 0 zodat y = x n+ p q = p n q n r s = p n q n als x = [a 0 ;a...] x i = [a i ;a i+...] en p i /q i = [a 0 ;a...a i ] voor i 0. Bewijs Ontwikkel p/q in een kettingbreuk p/q = [A 0 ;A...A n ] = v n /w n en laat v n /w n = [A 0 ;A... A n ]. Hier hebben we de kettingbreuk zo aangepast dat voor de lengte n geldt dat ( ) n+ = v n w n v n w n = ps qr = ±. Dan is v n w n v n w n = v n s v n r en volgt v n (w n s) = w n (v n r) en dus (omdat v n w n onderling ondeelbaar zijn en v n > v n ) dat s = w n en r = v n. Maar de kettinbreukontwikkeling van v n y + v n w n y + w n = [A 0 ;A... A n y] (vergelijk.3) en dus is [A 0 ;A...A n ] het beginstuk van de kettingbreuk voor x en y de staart: [A 0 ;A...A n ] = [a 0 ;a... a n ] en y = [A n+ ;A n+2...] = [a n+ ;a n+2...] de staart. 4

13 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Twee reële getallen die zoals in het eerdere Lemma via een unimodulaire transformatie met elkaar in verband staan hebben op mogelijk een verschillend beginstuk na dezelfde kettingbreukontwikkeling. We noemen twee zulke reële getallen x y waarvoor dus geldt: equivalent. x = ay + b met ad bc = ± cy + d.2.6 Stelling Twee irrationale getallen x y met kettingbreukontwikkelingen x = [a 0 ;a...] y = [b 0 ;b...] zijn equivalent dan en slechts dan als er gehele getallen m n 0 bestaan zodat Bewijs Veronderstel dat x n+ = [a n+ ;a n+2...] = [b m+ ;b m+2...] = y m+. x = ay + b cy + d ; en dat (cy + d) > 0. Gebruik.3 om te schrijven: x = a(y m+p m+p m y m+ q m+q m ) + b c y m+p m+p m y m+ q m+q m + d = (ap m + bq m )y m+ + (ap m + bq m ) (cp m + dq m )y m+ + (cp m + dq m ) = αy m+ + β γy m+ + δ. Als m groot genoeg is is cp m + dq m > cp m + dq m > 0. Maar dan is met γ > δ > 0 en x = αy m+ + β γy m+ + δ αδ γβ = (ap m + bq m )(cp m + dq m ) (cp m + dq m )(ap m + bq m ) = (ad bc)(p m q m p m q m ) = ±. Dit kan alleen maar als y m+ gelijk is aan x n+ voor zekere n volgens Lemma.2.5. Omgekeerd als x n+ = [a n+ ;a n+2...] = [b m+ ;b m+2...] dan is x = [a 0 ;a... a n b m+ ;b m+2...] = p nx n+ + p n q n x n+ + q n = p ny m+ + p n q n y m+ + q n zodat x en y m+ equivalent zijn. Omdat ook y en y m+ equivalent zijn volgt equivalentie van x en y uit het feit dat equivalentie een equivalentierelatie is (zie opgave). We richten ons nu op het eenvoudigste soort oneindige kettingbreuken namelijk de repeterende. Het zal blijken dat die precies corresponderen met kwadratisch irrationale getallen maar voordat we dat bewijzen geven we eerst een voorbeeld. 5

14 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken.2.7 Voorbeeld (wortel) We bepalen de kettingbreuk voor 77. Het is belangrijk om op te merken dat we hiervoor alleen maar hoeven te weten dat 8 2 < 77 < 9 2 en dus 8 < 77 < 9. Dan Vervolgens Daarna en x 2 = x 3 = x 4 = x = waaruit volgt x 5 = Tenslotte is zodat x 6 = x 0 a 0 = = x a = x 2 a x 3 a 3 = = x 4 a = x 5 a x 0 = x = 77 dus a 0 = x 0 = 8. x 7 = = dus a = x = = = dus a 2 = x 2 = = = dus a 3 = x 3 = = = dus a 4 = x 4 = = = dus a 5 = x 5 = = = dus a 6 = x 6 = x 6 a 6 = en de kettingbreuk repeteert vanaf hier: 77 8 = x x + [8;3236] waar de overstreping oneindige herhaling van dat blok wijzergetallen aangeeft..2.8 Definitie Een oneindige kettingbreuk [a 0 ;a a 2...] heet periodiek met periodelengte m als er een N 0 bestaat zodanig dat voor alle n N geldt dat a n = a n+m en er geen kleinere m met die eigenschap bestaat. De wijzergetallen a 0...a N vormen dan de preperiode de (zich steeds herhalende) a N...a N+m de periode. Een kettingbreuk heet zuiver periodiek als hij periodiek is en N = 0 genomen kan worden dat wil zeggen er is geen preperiode. Om alle identiteiten in onderstaande bewijzen ook te laten gelden wanneer N = 0 is het handig de (teller en noemer van de) convergent met index 2 te definiëren door p 2 = 0 en q 2 =. De gebruikelijke recursies (zoals p k = a k p k + p k 2 ) blijven dan ook geldig voor k = 0. 6

15 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken.2.9 Stelling (Euler) Een irrationaal getal x met een periodieke kettingbreuk is een element van Q( d) voor een d Z waar d geen kwadraat is. Bewijs Veronderstel dat x = [a 0 ;a... a N a N...a N+m ] en gebruik nu dat x N = x N+m met relatie.3: dan is en daarom x = x Np N + p N 2 x N q N + q N 2 = x N+mp N+m + p N+m 2 x N+m q N+m + q N+m 2 xq N 2 p N 2 xq N p N = x N = x N+m = xq N+m 2 + p N+m 2 xq N+m + p N+m 0 = (q N 2 q N+m q N q N+m 2 )x (p N q N+m 2 p N 2 q N+m + p N+m 2 q N p N+m q N 2 )x + + p N 2 p N+m p N p N+m 2. (.4) Dit is een kwadratische vergelijking die niet ontaard is; immers de kopcoëfficiënt kan alleen nul zijn wanneer q N 2 q N+m = q N q N+m 2 maar omdat q N+m 2 en q N+m onderling ondeelbaar zijn kan dat alleen indien q N m+2 een deler is van q N 2 hetgeen in tegenspraak is met q N m+2 > q N Definities Als x Q( d) dan bestaan er ab Q zodat x = a + b d en we noemen het element x = a d de geconjugeerde van x. Omdat eenvoudig is in te zien dat de geconjugeerde van de som resp. het product van twee elementen van Q( d) de som resp. het product van de geconjugeerden is en de geconjugeerde van een element van Q het element zelf is volgt dat x aan dezelfde kwadratische vergelijking over Q voldoet als x: ax 2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0. voor abc Q. Wanneer x kwadratisch irrationaal is zullen we in het vervolg PQd willen kiezen zodat x = (P+ d)/q zodanig dat PQd Z met d > 0 geen kwadraat en Q een deler van P 2 d. Dat kan altijd omdat voor zekere abc geldt dat ax 2 + bx + c = 0 en volgens de wortelformule kunnen we dan P = b nemen Q = 2a en d = b 2 4ac. Een element x van Q( d) heet gereduceerd als x > en < x < Stelling (Lagrange) Als x irrationaal is en x Q( d) met d Z dan is de kettingbreuk van x periodiek. 7

16 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken Bewijs Schrijf x = x 0 = (P 0 + d)/q 0 met Q 0 P 2 d. Met a 0 = x 0 krijgen we (P 0 a 0 Q 0 ) d x = = = (a 0Q 0 P 0 ) + d x 0 a (P 0 0 a 0 Q 0 ) 2 d d P0 2 Q 0 Q 0 + 2a 0 P 0 a 2 0 Q 0 (P 0 a 0 Q 0 )+ = d Q 0 hetgeen gelijk is aan als we schrijven P + d Q P = a 0 Q 0 P 0 Q = d P 2 0 Q 0 + 2a 0 P 0 a 2 0 Q 0 = d P 2 Q 0 ; dit is opnieuw van onze standaardvorm daar duidelijk Q d P 2. Dus is met inductie voor k te schrijven x k = (P k + d)/q k waar P k = a k Q k P k Q k = d P 2 k Q k + 2a k P k a 2 k Q k = d P 2 k Q k met Q k d P 2 k. We leiden een aantal ongelijkheden af waaruit allereerst volgt dat er maar eindig veel verschillende mogelijkheden zijn voor (P k Q k ) maar waarvan we ook later nog gebruik zullen maken. Conjugeren we de gelijkheid dan krijgen we voor de geconjugeerde zodat x = x 0 = x kp k + p k 2 x k + 2 x 0 = x kp k + p k 2 x k + 2 x k = x 0 2 p k 2 x 0 p k = 2 ( x0 p ) k 2 2 x 0 p k maar omdat p k / convergeert naar x 0 x 0 en 2 < is voor k groot genoeg < x k < 0 terwijl x k > (dus x k is gereduceerd voor k groot genoeg). Maar dan is 2 d Q k = x k x k > 0 dus Q k > 0 en 2P k Q k = x k + x k > 0 dus P k > 0. Bovendien is zodat < x k = P k d Q k < 0 P k < d en d P k < Q k 8

17 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken en en daarom P k + d Q k = x k > dus Q k < P k + d 0 < P k < d en 0 < Q k < 2 d. (.5) Dat voltooit het bewijs. Merk nog wel op dat d < xk = P k + d Q k P k > d(q k ) zodat (omdat P k < d) de ongelijkheid x k > d precies optreedt wanneer Q k =. In het bijzonder is a k < d tenzij Q k = en dan a k < 2 d. (.6).2.2 Stelling (Galois) Een kwadratisch irrationaal getal x heeft een zuiver periodieke kettingbreuk dan en slechts dan als x gereduceerd is. Bovendien heeft in dat geval x de omgekeerde periode: x = [a 0 ;a...a m ] en x = [a m ;a m 2... a 0 ]. Bewijs Veronderstel dat x zuiver periodieke kettingbreuk heeft; dan is a 0 = a m en dus is x = x 0 >. Beschouw nu het kwadratische polynoom uit.4 waarvan x nulpunt is in het huidige geval N = 0 (met de in Definitie.2.8 ingevoerde conventies voor p 2 en q 2 ): f(x) = q m X 2 + (q m 2 p m )X p m 2 ; dan geldt f(0) = p m 2 < 0 terwijl f( ) = q m q m 2 + p m p m 2 > 0 en dus heeft f een nulpunt tussen en 0 dat dan wel x moet zijn. Dan is x juist gereduceerd. Is omgekeerd x gereduceerd kwadratisch dus < x < 0 en x > dan is zodat x 0 = a 0 + x en x 0 = a 0 + x x = a 0 + x 0 < a 0 vanwaar < x < 0. Dan met inductie < x k < 0 voor k 0. Nemen we aan dat x geen zuiver periodieke kettingbreuk heeft (die wel periodiek is met periode m zeg want x is kwadratisch) dan is er een N zodat a N a N+m maar x N = x N+m en we krijgen 0 x N x N+m = a N + x N (a N+m + x N+m ) = a N a N+m Z en dan ook 0 x N x N+m Z terwijl zowel x N als x N+m tussen en 0 ligt: een tegenspraak. 9

18 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken De laatste bewering volgt door te kijken naar x 0 = a 0 + x x = a + x... x m 2 = a m 2 + x m x m = a m + x 0 en de geconjugeerden x 0 = a 0 + x x = a + x... x m 2 = a m 2 + x m x m = a m + x 0 omdat in omgekeerde volgorde lezend x 0 = a m x m x m = a m 2 x m 2... x = a 0 x 0. Omdat x n gereduceerd is voor n 0 is 0 < x n < en daarom staat hier de kettingbreukontwikkeling van / x 0 : [a m ;a m 2... a 0 a m...]..2.3 Stelling De kettingbreuk van d voor d Z (geen kwadraat) heeft de vorm [a 0 ;a a 2... a 2 a 2a 0 ]. Bewijs Laat de periodelengte van de kettingbreuk voor x 0 = d eens m zijn en de preperiode lengte N hebben: d = [a0 ;a... a N a N... a N+m ]. Dan is en x 0 = d = d + x x = d d >. Bovendien is x = d d = d + d > zodat < x < 0. Dus is x gereduceerd en heeft deze volgens de vorige Stelling een zuiver periodieke kettingbreuk x = [a ;a 2...a m ] terwijl Anderzijds is d + d = x = [a m ;a m...a ] = [a m ;a m...a a m ]. d + d = x0 + a 0 = [2a 0 ;a a 2...a m ] en het resultaat volgt..2.4 Opmerking Uit wat we al bewezen hebben over P k en Q k volgt onmiddellijk dat de periodelengte m van d (en daarmee van elk kwadratisch irrationaal getal) begrensd is door 2d; een scherpe bovengrens is van de orde dlog d. Ook is eenvoudig te bewijzen dat in de kettingbreuk van d geldt dat Q k = m k. 20

19 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken.2.5 Toepassing (Pell) De Pell-vergelijking is de vergelijking x 2 dy 2 = met d Z 2 geen kwadraat; er worden niet-negatieve gehele oplossingen voor xy gezocht. We betrekken ook de vergelijking x 2 dy 2 = direct mee in de beschouwing. Omdat x 2 dy 2 = (x y d)(x + y d) = (x d) 2 + 2y d zien we dat voor oplossingen (xy) van de vergelijkingen geldt 0 < x y d < 2y 2 d < 2y 2. Volgens Stelling.2.4 geldt dan dat x/y een convergent van d moet zijn. Dus alle oplossingen van de vergelijkingen x 2 dy 2 = ± zijn te vinden onder de convergenten van d. Om alle oplossingen te bepalen gebruiken we weer de relatie x = x n+p n + p n x n+ q n + q n met x = d en x n+ = (P n+ + d)/q n+. Hieruit volgt (q n Q n+ + q n P n+ p n ) d = p n P n+ + p n Q n+ q n d en dat kan alleen als links en rechts nul staat dus Maar dan is p n = q n Q n+ + q n P n+ en q n d = p n Q n+ + p n P n+. p 2 n q 2 nd = p n (q n Q n+ + q n P n+ ) q n (p n Q n+ + p n P n+ ) = = (p n q n p n q n )Q n+ = ( ) n+ Q n+. Volgens de voorgaande opmerking kan dat laatste alleen ± zijn indien n + een veelvoud is van de periodelengte m van de kettingbreuk voor d. Is die periodelengte m even dan zijn voor k = de tellers en noemers (p km m ) van de convergenten van d dus precies alle oplossingen van de vergelijking x 2 dy 2 = en zijn er geen oplossingen voor de vergelijking met ; is de periodelengte oneven dan zijn beide vergelijkingen oplosbaar en vormen (p km m ) voor k = alle oplossingen voor x 2 dy 2 = en (p km m ) voor k = alle oplossingen voor x 2 dy 2 =..2.6 Toepassing (factorisatie) Een aantal van de beste methoden om een gegeven getal N in factoren te ontbinden is gebaseerd op het idee dat wanneer je twee gehele getallen x en y hebt met 0 < x < y < N zodat modulo N geldt x 2 y 2 dan zal ggd(nx y) een factor voor N opleveren omdat dan N een deler is van x 2 y 2 = (x y)(x + y). Die factor kan triviaal zijn wanneer x y mod N (een geval dat wel op moet treden wanneer N priem is) maar als N minstens twee verschillende priemdelers heeft kan het zijn dat sommige 2

20 Computer Algebra 2005 Hoofdstuk. Kettingbreuken priemfactoren in x+y zitten en andere in x y zodat we een niet-triviale factor detecteren. Het grote probleem is natuurlijk om x en y te vinden. Fermat probeerde x 2 y 2 = N op te lossen door systematisch te zoeken beginnend bij x = N en x telkens met ophogend naar een kwadraat van de vorm x 2 N. Dit werkt aardig wanneer N het product is van twee priemgetallen die heel dicht bij elkaar liggen maar hopeloos als de twee ver uiteen lopen bijvoorbeeld p 3 N. Een succesvolle (en tot in de jaren 980 veel gebruikte) aanpassing maakt gebruik van kettingbreuken als volgt. We gebruiken de in het vorige voorbeeld gevonden identiteit p 2 n Nq2 n = ( )n+ Q n+ voor de convergenten p n /q n van N met xn = (P n + N)/Q n voor n 0 en de ongelijkheid Q n+ < 2 N. Het nut is gelegen in de congruentie p 2 n ( )n+ Q n+ mod N. Om ook rechts een kwadraat te krijgen vereist wat veel geluk maar we kunnen wel congruenties proberen te combineren tot een kwadraat en daarvoor willen we Q n+ klein hebben om deze te kunnen ontbinden in factoren. Het idee is als volgt: leg een lijst van kleine priemgetallen aan (te beginnen met 235 zie echter onder) voer een stap in de kettingbreukontwikkeling van N uit en zie (via deling met rest door de priemen) of Q n+ te ontbinden is met behulp van uitsluitend de priemen uit de lijst. Bepaal dan de exponenten k i in Q n+ = ( ) k 0 p k pkr r en herhaal dit proces. Het doel is om zo een matrix met als rijen de gevonden exponenten modulo 2 op te bouwen en in deze matrix een afhankelijheid tussen de rijen te vinden: zo n afhankelijkheid modulo 2 betekent namelijk dat er een product van overeenkomstige Q s bestaat waarvan de exponenten in de factorisatie bij alle p i en bij even zijn. Met andere woorden dit product is een kwadraat! Omtrent de factor basis (de lijst van priemgetallen tot een te kiezen grens B) is het nuttig op te merken dat natuurlijk eerst gekeken wordt of N door één van die kleine p i deelbaar is maar ook dat slechts ongeveer de helft van de priemgetallen van nut zijn. Immers een priemgetal p dat een Q n+ deelt deelt p 2 n Nq2 n dus N (p n/q n ) 2 mod p. Met andere woorden N moet een kwadraatrest modulo p zijn een eigenschap die eenvoudig te verifiëren is. Het kan zijn dat de periodelengte van de kettingbreuk van N klein is en in dat geval treden maar weinig verschillende waarden Q n+ op. Een manier om dat te verhelpen is door naar de kettingbreuk van kn voor kleine veelvouden van N te kijken. Niet alleen kan de periode zo groter worden maar k kan ook nog eens zo geselecteerd worden dat kn kwadraatrest is voor veel van de priemgetallen tot B. 22

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011 Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER

KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER KETTINGBREUKEN VAN COMPLEXE GETALLEN MART KELDER 7 mei 2009 Inhoudsopgave Reële kettingbreuken 2. Voorwoord 2.2 Verschillende reële kettingbreuken 2.3 Roosters 2.3. Definities 2.4 Voorbeelden van Roosters

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 18 maart 2011

Uitwerkingen toets 18 maart 2011 Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Differentiequotiënten en Getallenrijen

Differentiequotiënten en Getallenrijen Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Irrationaliteit en transcendentie

Irrationaliteit en transcendentie Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012

Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 2012 Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde 202 Cor Kraaikamp August 24, 202 Cor Kraaikamp () Het benaderen van irrationale getallen door rationale. Vakantiecursus Wiskunde

Nadere informatie

cyclotomische polynomen

cyclotomische polynomen Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie