Uitvinden & Oefenen. 9 November 2013 [NVvW] Martin Kindt [Fisme]

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitvinden & Oefenen. 9 November 2013 [NVvW] Martin Kindt [Fisme]"

Lucas Hendrickx
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Uitvinden & Oefenen a a = + b = 0 a + b + c = 8 a + b + c + d = 68 a + b + c + d + 5e = 9 a + b + c + d + 5e + 6f = a + b + c + d + 5e + 6f + 7g = 00 9 November 0 [NVvW] Martin Kindt [Fisme]

2 Zoals U uit de door U toegezonden bescheiden heeft kunnen lezen is ook een voorstel tot naamsverandering gedaan Als dit voorstel aangenomen wordt zal de vereniging voortaan de naam van een van nederlands grootste mathematici L.E.J. Brouwer mogen dragen. 968, voorzitter Ir. B. Groeneveld

..... Als dit voorstel aangenomen wordt zal de vereniging voortaan de

3 0 Huygensjaar

4 Denk niet dat de boeken die ik zojuist heb genoemd, volstaan om tot de kern van alle wetenschap door te dringen. Ten eerste is daar een goed verstand voor nodig en ten tweede voortdurende oefening Het is een groot voordeel als men zelf ook iets uitvindt. Daar zal men meer profijt van hebben dan van voortdurend routinematige les. Op zo n manier van studie dring ik sterk aan.

Ten eerste is daar een goed verstand voor nodig en ten tweede voortdurende oefening.

5 I II III Stambreuksommen a + b = c abc-formule??

6 Papyrus Rhind inzicht in al het zijnde, kennis van alle geheimen... Hoe 7 broden te verdelen over 0 werkers? 5

7 7-0 = + 5 6

8 Stambreuken De Egyptenaren gebruikten alleen breuken met teller, dus:,,, 5, We noemen dit stambreuken. Uitzondering was de breuk die ze de twee delen noemden. Andere breuken werden door de Egyptenaren gesplitst in twee of meer stambreuken. De noemers van die stambreuken waren dan verschillend. Voorbeeld: wèl 7 =, maar niet = a. Controleer de Egyptische splitsing van 7 b. Splits nu in twee verschillende stambreuken: 8 = + 9 = + 9 = = + = = = = + - = + = - 7

Andere breuken werden door de Egyptenaren gesplitst in twee of meer stambreuken.

9 erfenis van 9 kamelen zoons O M J 5 8

10 oefenen met muurtjes

11 Kan de som van twee stambreuken zelf ook stambreuk zijn? Zo ja, geef zoveel mogelijk voorbeelden. 0

12 verschillende Kan de som van twee stambreuken zelf ook stambreuk zijn? Zo ja, geef zoveel mogelijk voorbeelden. + 6 = + - = = = = = = = = - enzovoort enzovoort enzovoort

+ 6 = + - = 5 + - 0 = 6 + - = 8 + - = 6-0 + - 0 = 8 9 + -

13 67 Parijs Leibniz (66-76) Chr. Huygens geeft deze opgave aan Leibniz: ad inf =?

14 DRIEHOEKSGETALLEN

15 Nikomachos van Gerasa (ca. 00 AD) n n of n n (n + ) of n + n n (n + )

16 ad inf. 5

17 Nicolas Oresme = > > >

18 = exponentieel uitgedund 7

19 oefenen en uitvinden

20 Patroon...?

21 Patroon...?

22 n n + n n n n + n n + n + n +

23 deel door = maal =

24 Muurtje van Leibniz 6 5

25 5 6 Harmonische driehoek SOM

26 Sgn ( + ) = Sgn (a + b c ) E.W. Dijkstra b a c

27 Lex Schrijver + = 5 heeft door de eeuwen heen de algebra en de meetkunde geïnspireerd. 6

28 Knip de vierkanten van de tegelzetter uit blauwe of witte kartonnen kaarten. Schrijf op elk vierkant het aantal tegels. Neem drie vierkanten en leg daar een driehoek mee... IOWO-pakketje Pythagoras 7

29 Zijn er buiten de,,5-driehoek nog andere rechthoekige driehoeken waarvan de zijden zich verhouden als drie opeenvolgende natuurlijke getallen? 8

30 A A N S C H O U W E L IJ K,,,,, 5, 6 5, 6, 7,, 5 9

31 A R I T M E T I S C H < + < + = > > >

33 A L G E B R A Ï S C H x + (x + ) = (x + ) x x = 0 x = x =,,5,0,

34 cosinusregel (x + ) = (x + ) + x x (x + ) cos x (x + ) cos = (x )(x + ) cos x = - = x x

35 cos x x - = x cos ,5 90 8,8 78,5 75,5 7, 7,8 70,5 69,5

36 Frederik Schuh ( ) Bij mijn voortgezet onderwijs heb dikwijls gewenst dat mijn leerlingen toch maar niet de formule voor de wortels van een vierkantsvergelijking van buiten kenden ik acht het van buiten kennen der formule ook schadelijk als daardoor de weg vergeten wordt, waarlangs het resultaat bereikt wordt, nl. het afsplitsen van een vierkant... 5

37 x + 0x = 6 x 0x = 6 x x 5 x 5x x 5x 5 5x 5 = 5 5x = 6 x = 5 5 de erfenis van al-khwarizmi 6

38 x + 0x = 6 x(x + 0) = 6 x + 5 Babylonische methode? x x (x + 5 5)(x ) = 6 (x + 5) 5 = 6 (A + B)(A B) = A B (x + 5) = 5 7

39 ontwerp: P. Kjaerholm 8

40 x(x + 0) 00 0 = = 0 x 6 x + 0 x x + 0 = 0 9

41 B A A B (A + B) = (A B) + AB B B A B A A Elementen van Euclides (boek, propositie 8) 0

42 (A + B) = (A B) + AB ax + bx + c = 0 x(ax + b) = -c ax(ax + b) = -ac B A (ax + b) = (b) + (-ac)

43 (A + B) = (A B) + AB Vul voor A en B kwadraten van natuurlijke getallen in en je hebt een Pythagorees drietal! Voorbeeld: A = en B = 5 = +

44 Oefenen is noodzakelijk om door inzicht verworven vaardigheden te verankeren. Het effect van oefeningen zal voor de meeste leerlingen groter zijn naarmate de opdrachten meer van het denkvermogen vragen, meer eigen inbreng van de leerling uitlokken en meer mogelijkheden tot reflectie bieden. Kortom naarmate zij een meer productief karakter hebben.

45 0 geboden bij productief oefenen. stel omkeervragen ter bevordering van de geestelijke wendbaarheid van de leerling. varieer zo veel mogelijk in oefenvormen. construeer rijtjes met onderlinge verbanden tussen de opgaven (uitdaging tot redeneren). construeer rijtjes met regelmaat die de vraag naar generalisatie oproepen 5. oefen formele substitutie (reductie van expressies tot bekende standaardvormen) 6. daag uit tot eigen producties 7. besteed aandacht aan het verbaal lezen en schrijven van algebraregels of formules 8. laat redeneren bij ongelijkheden en optimaliseringsproblemen 9. oefen het combineren van eenvoudige formules of vergelijkingen 0. onderhoud en versterk, waar mogelijk, eerder verworven vaardigheden Uit: P. Drijvers (red.) Wat a is, dat kun je niet weten, FI 006

46 Het is meestal noodzakelijk, maar niet voldoende, dat algoritmen en automatismen inzichtelijk worden verworven.het leerproces dient op een wijze te worden gestuurd dat de bronnen van inzichtelijkheid in het proces van algoritmisering en automatisering niet verstopt raken. Dit kan bereikt worden door telkens weer, in dit proces, maar ook na voltooiing daarvan, waar het te pas komt, bij deze bronnen terug te keren, in de zin van een steeds intensere bewustmaking van hetgeen in de eerste aanleg nauwelijks bewust werd, en steeds krachtiger verbalisering van hetgeen in eerste aanleg vermoedelijk in t geheel niet werd geverbaliseerd. Hans Freudenthal (Didactische Fenomenologie van Wiskundige structuren) 5

47 TOEGIFT : Bewijs van Edsger Dijkstra Sgn ( + ) = Sgn (BCE + CAD BAC) = Sgn(a + b c ) b C a BCE a CAD = = b BAC c A D E c B 6

Vergelijkbare documenten

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen