Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen versie juli-2014

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen versie juli-2014"

Transcriptie

1 Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen versie juli-014 T.J. Kleintjes

2 1 Precisie en juistheid Opgave 1.1 Precisie en juistheid bij het schieten A B nauwkeurig en juist onnauwkeurig en juist C D nauwkeurig en onjuist onnauwkeurig en onjuist Opgave 1. Opgave 1.3 Precisie en juistheid van metingen - nauwkeurig en juist D - nauwkeurig en onjuist C - onnauwkeurig en juist B - onnauwkeurig en onjuist A Hoe nauwkeurig is een meting bij een bepaalde meetmethode? a v = 135 ± 3 km/h 3 relatieve onnauwkeurigheid = 100 %, % 135 v = 135 km/h ±, % b Opgave 1.4 Meer metingen doen: duplo en triplo (meetonnauwkeurigheid bekend) 15 a relatieve onnauwkeurigheid = 100 % 11,9 % 16 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

3 b De meting wordt nauwkeuriger dus absolute c 15 onnauwkeurigheid = 10,6 onnauwkeurigheid 11(afgerond) onnauwkeurigheid = 15 10, 6 afgerond 11 mg/l Aantal metingen (n) onnauwkeurigheid 1 ± 15 ± 11 3 ± 9 4 ± 8.. ± n 3 n 3 9 n d gemiddelde = 17, 3 3 De meting wordt 3 nauwkeuriger dus absolute onnauwkeurigheid = 15 8, 66 afgerond 9 mg/l 3 Zoutgehalte = 17 ± 9 mg/l Zoutgehalte = 17 mg/l ± 7,1 % Opgave 1.5 Meetonnauwkeurigheid onbekend a b w = hoogste waarde laagste waarde = 35,5 3,8 =,7 g/100g 33, 3,8 35,5 c gemiddelde = 33, 8 g/100g 3 d verschil = 35,5 33,8 = 1,7 g/100g e de spreiding = 1,7 g/100g 1,7 f de spreiding in % = 100% 5,0% 33,8 g vetgehalte = 33,8 ± 1,7 g/100 g vetgehalte = 33,8 g/100 g ± 5,0 % 1.1 R1 bijvoorbeeld 100, 97 en 103 R bijvoorbeeld 00, 100 en Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

4 R3 R4 R5 die kun je niet vergelijken, omdat het gemiddelde verschilt nee omdat de relatieve onnauwkeurigheid rekening houdt met de gemiddelde waarde Opgave 1.6 Opgave 1.7 Het suikergehalte van cola gemiddelde waarde = 8,9 g/100 ml spreiding (absolute onnauwkeurigheid) = 9,3 8,9 = 0,4 g/100 ml spreiding in % (relatieve onnauwkeurigheid) = 0,4 100% 4,5% 8,9 suikergehalte = 8,9 ± 0,4 g/100 ml Bacteriën tellen gemiddelde waarde per plaat = 51 KVE onnauwkeurigheid = = 14 KVE 14 onnauwkeurigheid in % = 100% 7,5% 51 KVE waarde = 51 ± 14 KVE 10 4 keer verdund dus KVE waarde = ± KVE/mL betere notatie: KVE waarde = (51 ± 14)10 4 KVE/mL relatief KVE waarde = KVE/mL ± 7,5% Opgave 1.8 Juistheid van een meting bepalen c a b je moet de werkelijke waarde van het controlemonster weten gemiddelde = 4,3 mg/l (controlemonster niet meenemen!!) spreidingsbreedte = 4,3 4,0 = 0,3 mg/l absolute onnauwkeurigheid = 0,3 0,3 relatieve onnauwkeurigheid = 100% 1,% 4,3 ja, het gemeten controlemonster valt binnen de opgegeven grenzen, dus er is geen reden om aan te nemen dat de meting niet juist zou zijn Opgave 1.9 Het -teken a Van 100 tot 00 4,5 % van 00 g = 9 g 4 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

5 of van 00 tot g b tussen 191 g en 09 g c Van 100 tot 00 4,5 % van 175 ml = 7,9 ml 9 d 9 ml van 65 ml = 100% 3,4% 65 Meetresultaten verschillen. Hoe komt dat? Opgave.1 Opgave. Opgave.3 Opgave.4 Toevallige meetfout door de waarnemer 1,55 cm cijfers achter de komma Meer streepjes is nauwkeuriger? boven 1,8 cm 1 decimaal onder 1,86 cm decimalen Afleesonnauwkeurigheid bij glaswerk middelste maatcilinder:3,0 ml afleesonnauwkeurigheid 0,1 ml rechter maatcilinder: 0,34 ml afleesonnauwkeurigheid 0,01 ml buret: 46, 55 ml afleesonnauwkeurigheid 0,0 of 0,03 ml De schaalverdeling bepaalt hoe goed je kunt aflezen a de thermometer links heeft als kleinste schaaldeel 0,1 C en de thermometer rechts heeft als kleinste schaaldeel 1 C b links 3,35 C en rechts 3,4 C c links 0,0 C en rechts 0, C d de thermometer links.1 R1 4 significante cijfers R er is een schatting gemaakt tussen de streepjes van 3,1 en 3, dus het kleinste schaaldeel is 0,1 C R3 het laatste cijfer R4 4 significante cijfers R5 ongeveer 0,05 ml R6 nee, de relatieve onnauwkeurigheid wordt dan veel te groot R7 het is eigenlijk niet fout, want je kunt het niet beter met de beschikbare middelen 5 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

6 Opgave.5 Opgave.7 Opgave.8 Opgave.9 Toevallige fout bij aflezen van grafieken a bij 1,3 C max. vochtigheid = 18,5 ± 0, g/m 3 (of 0,3) bij 1,3 C max. vochtigheid = 18,5 g/m 3 ± 1,08 % bij 6,7 C max. vochtigheid = 7,5 ± 0, g/m 3 (of 0,3)) bij 6,7 C max. vochtigheid = 7,5 g/m 3 ±,67 % 7,5 b relatieve vochtigheid = 100% 40,5 % 18,5 c totale onnauwkeurigheid = 1,08 % +,67 % = 3,75 % absolute onnauwkeurigheid = 3,75 % van 40,5 % = 1,5 % relatieve vochtigheid = 40,5 ± 1,5 % (absoluut) relatieve vochtigheid = 40,5 % ± 3,75 % (relatief) Systematische fout bij een liniaal a het nulpunt ligt niet gelijk met de zijkant van het kaartje b ongeveer 0,5 cm c de fout precies bepalen en alle meetwaarden corrigeren Systematische fouten a niet waterpas zetten b niet goed kalibreren (ijken) c niet op nul stellen d bij de verkeerde temperatuur gebruiken Systematische fout: de instrumentonnauwkeurigheid a Hygrometer waarde = 66,5 % afleesonnauwkeurigheid 0,-0,5 % instrumentonnauwkeurigheid 1,0 % (1 schaaldeel = %) ½ schaaldeel = 1 %) Universeelmeter waarde = 14,19 V afleesonnauwkeurigheid 0 V (!!) instrumentonnauwkeurigheid 0,01 V (1 schaaldeel=0,01 V) b waarde = 8,1 C afleesonnauwkeurigheid 0,1-0, C instrumentonnauwkeurigheid 0,5 C (1 schaaldeel = 1C ½ schaaldeel = 0,5 C) c volume = 4,4 ml afleesonnauwkeurigheid 0,0-0,03 ml instrumentonnauwkeurigheid 0,05 ml (1 schaaldeel = 1mL ½ schaal = 0,5 ml) 6 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

7 Opgave.10 Wat doe je met twee onnauwkeurigheden? a Als je door het aflezen er bijv. 0, C naast kunt zitten en het instrument wijkt maximaal 0,5 C af, dan kun je maximaal 0,7 C ernaast zitten b 74,0 C c Ongeveer 0, C d C = 4 C e Maximaal 4 C + 0, C = 4, C f gecombineerde onnauwkeurigheid 4 0, 4, 0 g T = 74 4 C 4 h relatieve onnauwkeurigheid = 100% 5,4% 74 i De grootste afwijking is 4 C, dus dat is hetzelfde Opgave.11 Twee onnauwkeurigheden 1 spreiding totaal spreiding biolog ische spreiding bio log ische spreiding 1 spreiding 8 8,9 % Opgave.1 Twee onnauwkeurigheden spreiding totaal spreiding 1 0,45 0,30 fout analist 0,45 0,30 fout analist spreiding fout analist 0,45 0,30 0,335 Opgave.13 Opgave.14 Verschilmeting a V = V begin V eind = 35,18 11,56 = 3,6 ml b Dat betekent dat alle metingen maximaal 0,05 ml kunnen afwijken c Het verschil blijft dan precies hetzelfde dus 3,6 ml d De onnauwkeurigheid in de resultaat is dan de afleesonnauwkeurigheid, dus 0,04 ml e Bij een verschilmeting met één instrument hoef je alleen rekening te houden met de afleesonnauwkeurigheid Instrumentonnauwkeurigheid in de manual a resolution = 0,1 C (of F) 7 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

8 b accuracy = 0, C (of 0,4 F) 0, c 115,8 0, C afwijking in % = 100 % 0,17 % 115,8. Opgave.15 Opgave.16 R8 Nee, het is de maximale afwijking die de thermometers onderling kunnen verschillen R9 Worstcase betekent slechtste geval R10 Dat ze maximaal 0,5 C verschillen R11 schatting van de fout: ongeveer 1,3 R1 Hier is een verandering opgetreden waardoor het gemiddelde is verschoven en er een systematische afwijking is ontstaan R13 Een toevallige fout zal soms boven en soms onder de werkelijke waarde liggen, dus de precisie wordt daardoor beïnvloed. R14 Door een systematische fout ligt de gevonden waarde gemiddeld altijd boven of onder de werkelijke waarde, dus de juistheid wordt daardoor beïnvloed. Een moderne thermometer a hij meet de temperatuur d.m.v. infraroodstraling, hij werkt dus op afstand (contactloos) b T > 100 ºC dus 3 % of reading betekent 3 % van de afgelezen waarde = 3 % van 34 C = 10,6 C en dat is groter dan 3C, dus het is 10,6 C en dat is afgerond 10 ºC c je hoeft niet te schatten, de aflezing is digitaal Andere foutbronnen a door niet loodrecht kijken wordt een verkeerde waarde afgelezen b bij alle meters met wijzerplaten. c A leest 54 cm 3 af B leest 50 cm 3 af C leest 40 cm 3 af d A zit er 8% naast, B nul % en C zit er liefst 0% naast 3 Spreiding van data (meetresultaten) Opgave 3.1 Steekproef en populatie a Dat is praktisch onmogelijk en ook veel te duur 8 Uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

9 3.1 b d R1 R R3 c random aselect betekent dat een keuze wordt gemaakt op basis van willekeurigheid dus dat elk individu uit de populatie even veel kans maakt om gekozen te worden. (wikipedia) representatief betekent dat de steekproef ongeveer dezelfde samenstelling heeft als de populatie (dus mannen vrouwen, leeftijdsopbouw, etcetera) je kiest steeds de beste leerlingen uit iedere klas bij een steekproef over de cijferverdeling van het biologieproefwerk je onderzoekt het gemiddelde inkomen van Nederlanders en ondervraagt alleen mensen in een villawijk populatie steekproef R4 Bij het bevolkingsonderzoek naar baarmoederhalskanker worden alle vrouwen van 30 t/m 60 jaar onderzocht, het gaat hier namelijk om de individuele gezondheid Opgave 3. Spreidingsbreedte en centrummaten a zo n analyse is altijd een steekproef b w = max min = 14,8 13,7 = 1,1 m% c 13, ,5 15 d gemiddelde = 14,1 m% 13, ,5 15 e mediaan ligt tussen meetwaarde 5 (= 14,0) en 6 (= 14,1) dus 14,05 m% 13, ,5 15 f Er zijn twee modussen: 13,9 en 14,5 9 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

10 13, ,5 15 Opgave 3.3 Lichaamslengte a gemiddelde = 178,8 mediaan = 179,5 er is geen modus 3. R5 verschil met gemiddelde , , , , 18 3, 179 0, 188 9, 180 1, 173-5, , 178,8 0,0 R6 R7 Zie boven., het gemiddelde van de verschillen is nul. Dat is niet zo verrassend want het is juist een eigenschap van de gemiddelde waarde gemiddelde mediaan som van de negatieve afwijkingen som van de positieve afwijkingen helft van de waarnemingen helft van de waarnemingen?????? b de mediaan ligt vlakbij het gemiddelde dus er geen sprake van een scheve verdeling Opgave 3.4 Examenscore a de notatie is heel compact, hier staan 35 meetwaarden. b gemiddelde = 71,4; mediaan = 71; modus = 75 (3 x) 10 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

11 Opgave 3.5 Boxplot a b er is een symmetrische verdeling. Het gemiddelde en de mediaan zijn vrijwel gelijk Opgave 3.6 Percentielen a meetwaarden, 60 % van 34 = 0,4, dus het 60 e percentiel is de 1 ste meetwaarde = 74 b de mediaan en het bovenste kwartiel 3.3 R8 R9 R10 R11 Goed of fout: niet juist, dat geldt voor de mediaan dat kan, we zagen dat al eerder het gemiddelde wordt sterk beïnvloed, de mediaan niet (de middelste blijft de middelste)en de modus en de frequentie ook niet Een smal kwartiel in een boxplot komt overeen met een hoog / laag blok in een histogram. Geef in de boxplot aan waar (ongeveer) het gemiddelde ligt Opgave 3.7 Histogram Bovenstaand histogram loopt van 155,6 cm tot 179,6 cm. De klassenbreedte is de breedte van 1 kolom uitgedrukt (in dit geval) in cm. a Hoeveel klassen zijn er gebruikt? 11 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

12 b gewoon tellen, dus 7 179,6 155,6 klassenbreedte 3, 43 7 c aantal klassen n 40 6, 4 afgerond 7 d dat is hetzelfde als in het histogram van het programma e maximum = 195,8 cm minimum = 155,6 cm als we kiezen voor 1 klassen, wordt de klassenbreedte: 195,8 155,6 klassenbreedte 5,7 cm 7 f de verdeling is symmetrisch 3.4 R1 Het inkomen in Nederland is niet symmetrisch verdeeld: hij is rechts-scheef verdeeld modaal is afgeleid van modus, het meest voorkomende, dus dat is ongeveer euro Opgave 3.8 Spreidingsmaat a A is minder precies, de meetwaarden liggen gemiddeld verder van de gemiddelde waarde b Daar komt altijd nul uit d 1 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

13 σ n 1 7,3 variatiecoëfficiënt 100 % 100 % 4,3 % x 30 d dat is heel hoog Berekening gemiddelde afwijking meting B nummer meting gemiddelde verschil verschil i x i x x i - x (x i - x ) n = 9 x = 30 (x i - x ) = 0 (x i - x ) = 9 ( x i x) 9 n1 36,5 6,0 n 1 8 σ 1 6 variatiecoëfficiënt n 100 % 100 % 0 % x 30 e meting B is preciezer dan meting A 3.5 R14 Het is eigenlijk niet één formule maar een voorschrift om in een aantal stappen en bewerkingen de uitkomst te vinden R15 De standaarddeviatie bij een steekproef is groter R16 Een steekproef geeft veel meer onzekerheid dan een hele populatie R17 Een tabel maken en alle meetwaarden verwerken volgens het voorschrift dat deze formule voorstelt R18 Je deelt dan door 49 i.p.v. 50, dat geeft een klein verschil Voorbeeld 1, 60 en 1, 58 n R19 Fout, de meetwaarden zijn meer verspreid R0 nul R1 Bij ziekenhuis 1 moet je altijd 30 minuten wachten. Bij ziekenhuis is er een kans dat je meteen aan de beurt bent, maar een even grote kans dat je een uur moet wachten, dus.. n 13 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

14 R De linker meting ligt wel erg ver van de andere af, hier kan iets fout gegaan zijn, je moet eerst onderzoeken of de meting een uitschieter is R3 Het is wel een maat maar niet precies hetzelfde, een andere steekproef geeft vast en zeker een andere waarde. Je kunt dit verhelpen door de steekproef heel groot te maken. Opgave 3.9 Opgave 3.10 Opgave 3.11 Opgave 3.1 Opgave 3.13 Bloedonderzoek x = 0,436 L/L n-1 = 0,04643 L/L variatiecoëfficiënt = 10,6 % Kleine meetseries a 3,34 0, g/l (= de spreiding) b n-1 = 0,31 g/l de afwijking is groter dan we eerst hadden aangenomen c 3,34 0,31 g/l d gemiddelde = 3,33 maximale afwijking = 3,56 3,30 = 0,3 n-1 = 0, bij 3 metingen zijn de spreiding en de standaarddeviatie ongeveer gelijk Herhaalbaarheid a n-1 = 0,00157 moll -1 b variatiecoëfficiënt = 1,5 % c ---- Reproduceerbaarheid a n-1 = 0,01013 moll -1 b variatiecoëfficiënt = 9,6 % c de reproduceerbaarheid is slechter dan de herhaalbaarheid van de ene analist. Ze werken niet allemaal even nauwkeurig. d Het verschil lijkt wel veel te groot Gebruik van Excel a b 4 Uitschieters bepalen en afronden 14 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

15 Opgave 4.1 Uitschieters: de Dixons-test of Q-test a het vermoeden bestaat dat 3,7 een uitschieter is, het verschil met de dichtstbijzijnde waarde is 1, b 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 3,7 lijkt zo een uitschieter c 3,7 -,5 = 1, d w = 3,7-1,7 =,0 e verdachte waarneming naastligge nde waarneming Qtest w 1,,0 0,6 f Kritische waarden voor het bepalen van één uitschieter (Dixons-test of Q-test) n Q kritisch 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41 0,39 n Q kritisch 0,37 0,35 0,34 0,33 0,3 0,31 0,30 0,9 0,8 n Q kritisch 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 Opgave 4. g 0,6 > 0,41 dus 3,7 is inderdaad een uitschieter h eerst 3,7 weglaten nieuwe verdachte = 1,7 dus,1-1,7 = 0,4 w =,5-1,7 = 0,8 verdachte waarneming naastligge nde waarneming Qtest w opzoeken in tabel Q kritisch = 0,44 0,5 > 0,44 dus 1,7 is ook een uitschieter Nitraatgehalte 1 ste verdachte =,5,5-1,9 = 0,6 w =,5-1,1= 1,4 verdachte waarneming naastligge nde waarneming Qtest w opzoeken in tabel Q kritisch = 0,41 0,4 0,5 0,8 0,6 0,43 1,4 15 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

16 0,43> 0,43 dus,5 is net een uitschieter nieuwe verdachte = 1,1 dus 1,1-1,4 = 0,3 w = 1,9-1,1 = 0,7 verdachte waarneming naastligge nde Qtest w opzoeken in tabel Q kritisch = 0,44 0,43 < 0,44 dus 1,1 is geen uitschieter!! waarneming 0,3 0,43 0,7 Opgave 4.3 Waar ligt de eerste uitschieter (oplossen van een vergelijking)? a b ( x 3,5) 0,94 x 4, 0,94x,09 x 4,,11 0,06x,11 x 35,!!!! 0,06 c waarschijnlijk niet 4.1 R1 R R3 R4 R5 zie vorige opgave dat hangt af van: het aantal waarnemingen dat in het rechter gedeelte ligt verdachte naastligge nde 7,4 Q test 0,49 w 15 in de tabel zien we dat bij totaal 8 waarnemingen er een uitschieter is als er rechts maar 1 waarde zou liggen was die waarschijnlijk wel een uitschieter; doordat de andere er dichtbij ligt wordt verdachte - naastliggende te klein waarschijnlijk zijn beide rechtse metingen uitschieters Opgave 4.4 Uitschieters: de boxplot a waarschijnlijk alle waarden vanaf 79,0 zijn uitschieters, dat zijn er 16 b c ja d 150 waarnemingen: mediaan is nr 75 dus mediaan = 69,5 K O ligt tussen 37 en 38 dus K O = 66,5 K B ligt tussen 11 en 113 dus K B = 71,65 ΔK = 1,5 (K B - K O ) = 1,5 (71,65-66,5) = 1,5 5,15 = 7,75 K O - ΔK = 66,5-7,75 = 58,775 K B + ΔK =71,65 + 7,75 = 79,375 onderkant: geen uitschieters bovenkant: alles vanaf 79,375 dus 15 uitschieters, ongeveer zoals we al vermoedden 16 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

17 Opgave 4.5 Opgave 4.6 Opgave 4.7 Uitschieters: gebruik van SPSS volgens SPSS geen uitschieters Afrondingsregels a 5,37 w 5,47 5,8 b is niet bekend: b 0, 005 n 3 ligt tussen 0,001 en 0,01 dus afronden op 0,001 dus 3 decimalen. Afronden oefenen a x = 149,907 g/l n-1 = 0,11394 g/l b b = 1 = 1 0,11394 = 0,056 afronden op 0,01 x = 149,91 g/l n-1 = 0,11 g/l c Chloor in bleekloog (g/l) 1 149,85 149, , ,78 5 Normaalverdeling Opgave 5.1 IQ a Het bestaat uit een groot aantal staafjes b streepjes tellen: tussen 100 en 10 liggen 0 streepjes, dus klassenbreedte = 1 c gemiddelde = mediaan = modus = 100 d 50 % e die zijn er waarschijnlijk wel maar die aantallen zijn te klein om hier weer te geven f ongeveer 84 g = 16 h onderkant: = 68 bovenkant: = 13 Opgave 5. Vuistregels normaalverdeling a 34 % + 34 % = 68 % 17 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

18 b 68 % + 13,6 + 13,6 % = 95, % c 95, % +,1 +,1 = 99,4 % d -- e f, % (=,1 + 01) ligt op de onderste grens 8,4 54 = dus = 14, kg g 110,8 kg h 13,6 % Opgave 5.3 Significantie a Boven en onder standaarddeviatie ligt samen 4,8 %. Als we dat afronden tot 5 % hebben we precis de grenzen te pakken. Een zwangerschap is significant te lang na = 86 dagen b 86 dagen is 86/7 = 40 weken en 6 dagen c significant laag IQ onder = 68 significant hoog IQ boven = R1 R Welke van de volgende zaken zouden volgens jou een normaalverdeling kunnen hebben? Leg uit waarom. de lengte van alle studenten op de schoolvoor LMP wel het gewicht van alle vrouwelijke studenten wel de leeftijd van alle studenten niet de geboortedata van alle studenten niet het aantal uren dat iedere student per week aan de studie besteedt wel de tijdsduur van mobiele telefoongesprekken van studenten wel het aantal uren dat een student TV kijkt wel de meest spitse en dus hoge normaalverdeling Opgave 5.4 Kansrekening a allebei b uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

19 c De kans om geen 5 te gooien, dus om een 1, 3, 4 of 6 5 te gooien is d Omdat je dan veel vaker moet gooien. e keer, het gaat over kansen, niet over 6 zekerheid f g twee P(x = kop) = 0,5 h 50 % i met totaal 36 mogelijke worpen krijg je 11 verschillende uitkomsten 1 j van de 36 geeft 1 punten, dus ,001 k Opgave 5.5 Opgave 5.6 Kansrekening en medische testen a 1 % van de baby s heeft het syndroom, dat zijn er dus 0, = 100 b 90 % kans dat de testuitslag positief is, dus dat zijn er 0,9100 = 90 c dat zijn er = d 1 % kans op vals positief, dus dat zijn 0, = 99 e totaal = 189 f Kans = werkelijk aantal positief % 100% 5,9% totaal gemeten positief 189 g dat is een beroerde test h de kans wordt dan 9,17%, een onzinnige test dus Kansrekening en normaalverdeling a dat is 1 rechts van het gemiddelde; ,1 = 84,1 % is kleiner dan 188 cm, dus ,1 = 15,9 % is langer dan 188 cm b dat is 15,9 % van = 9540 mannen c 0,159 (15,9 %)? d P(lengte >188) = 0,159 e links van het gemiddelde, dus, % ofwel P(l <164 cm) = 0,0 f 84,1 = ,1 %, dus 84,1 % en dat ligt bij 1 links van het gemiddelde, dus P(l >17 cm) = 0,841 g 196 cm = + 04 cm = +3 daartussen ligt,1 % P(196 cm < l < 04 cm) = 0,01 19 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

20 h moeilijk in te schatten, de lijn loopt niet recht Opgave 5.7 Opgave 5.8 Standaard normaalverdeling a ,1 = 84,1 % b 100 0,1 0,5 = 99, 4 % c moeilijk in te schatten, de lijn loopt niet recht d 99,38 % e ,38 = 0,6 % f -- Hartslag x a Z, tabel P(Z <90) = 0,977 = 97,7 % P(Z >90) = 1-0,977 = 0,08 dus,8 % 5. R3 We moeten uitrekenen hoe groot de kans is om bij een steekproef een man aan te treffen met een hartslag minder dan 55. Dat is het blauwe gebied in de tekening linksonder. b tabel P(Z <1,5) = 0,933 = 93,3 % P(Z >1,5) = 1-0,933 = 0,0668 = 6,68 % 6,68 % x gebied links van 75: Z 0, 5 geeft 10 69,15 % x gebied links van 65: Z 0, 5 geeft ,15 = 30,85 % daartussen ligt: 69,15 30,85 = 38,3 % 0 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

21 Opgave 5.9 Opgave 5.10 Opgave 5.11 Standaard normaalverdeling en metingen 5 % van 3,5 mg/l = 1,175 afgerond 1, mg/l x 5 3,5 Z 1,5 1, Z-tabel: P(Z <1,5) = 0,8944 P(Z >1,5) = 1 0,8944 = 0,1056 (of 10,95 %) Standaard normaalverdeling en microbiologische metingen a gehalte = = = 10 4 KVE b logwaarde gehalte = log(10 4 )= 4,0 onderste grens 4 0,15 = 3,70 bovenste grens 4 + 0,15 = 4,30 c 10 3,70 KVE < gehalte <10 4,30 KVE 501 KVE < gehalte < KVE d De gevonden gemiddelde waarde ligt niet midden tussen de uiterste waarden Lampen a de kans is 0,0061 ofwel 0,61% b 1 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

22 0,61 % van de lampen brandt langer dan 900 uur Opgave Opgave 5.13 Kwaliteitscontrole bij de bakker x a Z 1, 7 en dat geeft 0,8980, dus 11 89,80 % van de broden ligt beneden de 450 g. Hij levert te weinig waar voor zijn geld b Uit het histogram blijkt dat we maar de helft van een normaalverdeling zien. Het is dus zeer waarschijnlijk dat de bakker de broden voor deze klant netjes heeft uitgezocht. De andere klanten krijgen dan nog meer broden die te weinig wegen. R4 Goed R5 1,5 Chipszakken vullen a 9 gram dus tussen 191 en 09 g b uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

23 c We kijken alleen aan de onderkant (teveel vindt de consument niet erg, de fabrikant wel): 1, % van de productie voldoet niet aan de norm 0,1 % is 3, het gemiddelde moet dan 3 4 = 1 g verder liggen dus = 03 g 6 Van steekproef naar populatie Opgave 6.1 Steekproeven a met slechts drie mannen zegt dit natuurlijk bijzonder weinig over de hele populatie. b waarschijnlijk is dat al een iets betere schatting. c hoe groter de steekproef hoe betrouwbaarder meestal het resultaat. d De gemiddeldes liggen dicht bij elkaar maar de standaarddeviatie wordt kleiner als het aantal samples per steekproef groter wordt. e De nauwkeurigheid neemt dus toe met het aantal samples. f de beste schatting van de gemiddelde lengte van de populatie mannen boven de 0 is 180,7 cm g het 99 % betrouwbaarheidsinterval hoort bij een kans van 0,995 (99% ligt tussen 0,005 en 0,995); dit levert een Z-waarde van, ,7,5751,5 180,7,5751,5 176,8 cm < μ < 184,6 cm Het 99 % betrouwbaarheidsinterval is dus groter dan het 95 % betrouwbaarheidsinterval h 180,7 1,96,5 180,7 1,96, 5 dus bij 10 samples 175,8 cm < μ < 185,6 cm en bij 50 samples 177,8 cm < μ < 183,6 cm bij een grotere steekproef wordt de schatting nauwkeuriger Opgave 6. Standaardfout en populatie a SE n n SE n n 10 3 samples SE n 4, 3 7, 3 n samples SE n,5 10 7, 9 n 3 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

24 10 5 samples SE n 1,5 5 7, 5 n b Ze verschillen heel weinig. De laatste zal wel het meest betrouwbaar zijn. Het klopt heel behoorlijk. Als je alles herhaalt komt er toch ook niet steeds weer hetzelfde uit. Opgave 6.3 Kan het niet met wat minder steekproeven? 6.1 R1 R R3 Bij de lengtemeting heb natuurlijk mensen met allemaal verschillende lengtes, maar ook de meting zelf is niet nauwkeurig. De spreiding in de resultaten van de zoutmeting wordt allen bepaald door de onnauwkeurigheid van mijn meetmethode. Het monster is overal gelijk. Het heeft maar één onbekend) zoutgehalte. De populatie is de verzameling van alle mogelijke metingen. a b c d e f meting zoutgehalte x = 15,1 mg/l en n-1 = 0, mg/l n =,5 % van 15,1 mg/l = 0,38 mg/l Bereken de standaardfout SE. n 0,38 SE SE 0, n 3 Bereken het 95 % betrouwbaarheidsinterval voor de werkelijke waarde van het zoutgehalte. 15,1 1,960, 15,1 1,960, 14,67 mg/l 15,53 mg/l Je kunt de steekproef groter maken dus meer metingen aan hetzelfde monster doen. Nee, want het 99 % betrouwbaarheidsinterval is groter dan het 95 % interval. Het aantal metingen verandert namelijk niet door een andere berekening. De steekproef blijft even (on)nauwkeurig. Reken uit hoe groot de steekproef minstens moet zijn om een afwijking van maximaal % te krijgen. % afwijking betekent % van 15,1 = 0,30 dus 1,96 SE = 0,30 0,30 SE 0,15 1,96 n n 0,38 SE n,53 n SE 0,15 n,53 6,4 4 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

25 afgerond n =7 je moet dus nog 4 meting extra doen. Opgave 6.4 Opgave 6.5 Opgave 6.6 Simulatie van steekproeven uit een populatie a 5 b afwijking = 16 13,18 =,8,8 afwijking = 100 % 17,6 % 16 c 8 5 = 40 0,10 d afwijking = 100 % 0,65 % het gemiddelde van 16 de steekproef komt steeds dichter bij die van de populatie te liggen d Die is,38 n f SE n SE n,38 5 5, 3 n Hoe meer metingen je doet, hoe beter dit gaat kloppen Betekenis van het betrouwbaarheidsinterval a 10 steekproeven b 9 van de 10 dus 90 % c 15 van de 0 dus 75 % d -- Schatting van het populatiegemiddelde bij een kleine steekproef a Tabel: 95%; tweezijdig; n =5 dus v = 4 t =,78 b n1 n1 x t x t n n 0,18 0,18 1,53,78 1,53, BI: 1,31 g/kg < μ < 1,75 g/kg c De maximale waarde van 1,0 kg valt buiten het betrouwbaarheidsinterval, dus het gehalte is te hoog 6. R4 R5 R6 een kleiner gebied kun je met minder zekerheid voorspellen dat de werkelijke waarde erin ligt zie vorige vraag bij eenzelfde betrouwbaarheid (bijv. 95 %) wordt het interval kleiner want n wordt groter, bovendien wordt de t-waarde kleiner, dus ook daardoor wordt het interval kleiner 5 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

26 Opgave 6.7 Opgave 6.8 Opgave 6.9 Schatting van het populatiegemiddelde bij een grote steekproef a n =00, dus v = n 1 = 199, tabel: t = 1, x 1,64 x 1, < < b x 1,64 x 1, < < 1608 en dat blijft door de afronding hetzelfde BI bij controles - Koloniegetalbepaling a gemiddelde n1 n1 x t x t n n ,78 75, BI: 60 KVE/g < μ < 90 KVE/g b Ja, het hele interval ligt onder de 100 dus het kiemgetal is niet te hoog Controle - Zout in mineraalwater a Tabel: 95%; tweezijdig; n =5 dus v = 4 t =,06 gemiddelde: n1 n1 x t x t n n ,06 130, BI: 15 mg/l < μ < 135 mg/l b Geef een schatting voor de standaarddeviatie van de populatie. schatting SE = n-1 =1 mg/l n SE n SE n mg/l n x c Z 0, Z-tabel: P(Z <0,33) = 0,693 P(Z >0,33) = 1 0,693 = 0,3707 Dus 37,1 % van de flessen zal waarschijnlijk meer dan 150 mg/l zout bevatten 6 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

27 Opgave 6.10 Opgave 6.11 BI van verschillen: is het gehalte significant gedaald? a standaarddeviatie = 0, = 5 UI/L b tussen en + c = 5 = 50 UI/L BI: < μ < BI: 450 UI/L < HGC < 550 UI/L d standaarddeviatie tweede meting = 0, = 4 UI/L UI/L TOT e = 35 = 70 het verschil is = 5 het verschil kan dus 70 UI/L afwijken BI: 5 70 < μ < BI: 45 < verschil < 95 UI/L f het als er geen verschil zou zijn tussen de metingen van 500 en 475 dan zou het verschil nul zijn; dit getal nul ligt ruim binnen dit interval dus het verschil is niet significant, dat betekent dat we door de onzekerheid van de meetmethode niet mogen aannemen dat de metingen van het gehalte HCG echt verschillen. Statistisch significant of praktisch significant? a Middel B geeft de grootste gemiddelde gewichtsafname, maar ook de grootste onzekerheid, de afname kan zelfs negatief zijn, dat betekent dus sommige gebruikers een gewichtstoename kunnen verwachten. Van middel A wordt in ieder geval iedereen (95% betrouwbaar) lichter. b Wie graag een gok waagt neemt middel B, als je op zekerheid speelt neem je A. 7 Kwaliteitszorg en controlekaarten Opgave 7.1 Variaties a -- b Omdat dat afhangt van de gewenste nauwkeurigheid c -- d 0 op de 100 dus 1 op 5, dus 4 rode ballen e toeval f het kan theoretisch wel, maar de kans is ontzettend klein. 7 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

28 LDL (mmol/l) Opgave 7. Opgave 7.3 Oorzaken van variaties en controlekaarten Controlekaarten van losse (enkele) meetwaarden b Welke conclusies zou je kunnen trekken? a Maak een controlekaart van de uitslagen met grenzen. LDL gehalte 5 4,5 4 3,5 meetwaarden ondergrens bovengrens maand b het LDL gehalte stijgt en wordt te hoog Opgave 7.4 Opgave 7.5 Controlekaarten voor apparatuur of meetmethode a,4 = 4,8 % b 0, = 0,4 % Kwaliteitscontrole bij de melkproductie a x = 44,9 g/l en n-1 = 0,9 g/l b Tabel: 95%; tweezijdig; n =10 dus v = 9 t =,6 n1 n1 x t x t n n 0,9 0,9 44,9,6 44,9, ,9 0,64 44,9 0,64 De σ grenzen liggen op 0,6 en + 0,6 g/l 1 = 0,5 0,6 = 0,3 g/l dus 44,6 en 45, g/l = 0,6 dus 44,3 en 45,5 g/l 3 = 3 0,3 = 0,9 g/l dus 44,0 en 45,8 g/l c 8 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

29 vetgehalte (g/l) vetgehalte (g/l) controlemonster vetgehalte (g/l) 45,7 45, 44,7 44, 43, dag d De waarden in de tabel kloppen niet, de juiste zijn: 45,3 45,1 44,4 44,0 44,8 45,8 45,6 44,7 controlemonster vetgehalte (g/l) 45,7 45, 44,7 44, 43, dag e op dag 4 is er een meting buiten de waarschuwingsgrens en op dag 6 zelfs een buiten de actiegrens. Opgave 7.6 Opgave 7.7 Hoe bepalen we nu of de kwaliteit onbeheerst is? a ja, op dag 4 en dag 6 b op dag 4 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie op dag 6 de 1 3 regel: hier had actie ondernomen moeten worden c zie b, de meting herhalen; onderzoek doen naar de oorzaak; na opheffen oorzaak herhalen van de meting; nieuwe kaart starten. Is er actie nodig? a dag 6 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie 9 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

30 b c dag 16 de 4 1 regel: hier had actie ondernomen moeten worden dag 3 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie dag 13 de 4 1 regel: hier had actie ondernomen moeten worden dag 7 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie dag 14 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie Opgave 7.8 Controleregels in chemie en microbiologie a 95% betrouwbaarheidsinterval geeft de grenzen aan, dus = 5700 en = is dan 1,5 500 = 3750 Dus de 3 grenzen zijn: = 4450 en = Dus: b dag 5 t/m 14 de 10 x regel c dag 7 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie dag 8 de regel: hier had actie ondernomen moeten worden dag 11 de 4 1 regel: hier had actie ondernomen moeten worden dag 19 de 1 3 regel: hier had actie ondernomen moeten worden d nee EXTRA INFORMATIE Opgave 7.9 Een kijk achteraf: de runchart 4 meetwaarden en 7 runs: dit duidt op afwijkingen er is een shift: een run van 8 ook dit duidt op afwijkingen er is geen trend waarneembaar 8 Correlatie en regressie Opgave 8.1 Wel of geen verband tussen de grootheden? a waar je ongeveer een rechte lijn door de punten kunt trekken, dus de bovenste en de onderste b de bovenste is positief, als de ene grootheid toeneemt, neemt de andere ook toe; de onderste is negatief, als de ene grootheid toeneemt, neemt de andere af c boven r > 0; midden r = 0 en onder r < 0 30 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

31 leeftijd overlijden Opgave 8. Berekenen van de correlatiecoëfficiënt a verband tussen gewicht en overlijden b negatief: zware mensen hebben meer kans vroeg te overlijden c i X i Y i X i X Y Y i ( X i X ) ( Yi Y ) ,5-3 1, , , ,5-5 -7,5 4 67, ,5 7-45, , , , , ,5 7-38,5 n = 10 x i 745 y i 750 r ( x x) ( y y) 331,5 x 74,5 y 75 x 7, 3 y 6, 13 n ( x x) ( y y) 331,5 ( n 1) 97, 36,13 i i i1 x y gewicht (kg) 0,831 d 0,831 > 0,63 dus er is een aantoonbare correlatie e r = 0,831 = 0,691 f voor 69,1 % g 0,846 < 0,878 dus er is geen aantoonbare correlatie, het kan dus toeval zijn i i Opgave 8.3 Bepalen van een lineaire regressielijn 31 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

32 gewichtsverlies (kg) y a r x 6,13 0,831 0,705 7,3 b y a x 75 ( 0,705) 74,5 17,5 De vergelijking van de regressielijn is dus: y = -0,71 x + 17,5 Opgave 8.4 Oefenen met lineaire regressie a volgehouden dagen dieet 3,5 3,5 1,5 1 0, dagen dieet er is aantoonbare correlatie want r = 0,98 vergelijking volgens methode boven: y = 0,0585x 0,687 b y = 0,0585x 0,687 = ,687 x 175 dagen 0,0585 c meerdere redenen: houd je het vol en blijft de afname per dag gelijk? 8.1 R1 R R3 R4 R5 R6 R7 hoe kleiner het aantal hoe groter de invloed van het toeval er is wel een heel grote correlatie maar de lijn loopt niet recht waarschijnlijk een wortelverband laten we hopen van niet de grootte van de bevolking? agressieve kinderen kijken veel vaker TV,.. statisch: ze hebben duidelijk met elkaar te maken maar er kan een heel andere oorzaak zijn oorzakelijk: een van de twee is de oorzaak en de andere is daar een gevolg van Opgave 8.5 Lineaire regressie met Casio fx-8sx 3 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

33 afkeur (%) Opgave 8.6 Lineaire regressie met Excel a verband tussen afkeur en dagproductie y = 0,0013x - 1,818 R = 0, ,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0, productie/dag r = R 0,9887 0, 994 b YES, want 0,994 > 0,666 c Dat is natuurlijk niet waarschijnlijk. de grafiek zal minder steil gaan lopen, want afkeur blijft er altijd 9 Testen van meetresultaten 9.1 R1 R Hoe zou de tekening van de eenzijdige toets eruit zien als we als alternatieve hypothese gesteld hadden: H 1 : µ < 50? Als we het voorbeeld van de cola eenzijdig hadden getest, was de uitslag dan anders geweest? Leg uit, eventueel met een berekening. Opgave 9.1 Testen van het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. a x = 4,5 kg en n-1 = 1,0 kg n 5 b t ( x) 5 4,5 1, 1 n-1 1,0 c,5 % d v = n 1 = 5 1 = 4 tabel: t kritisch =,78. e 1,1 <,78 f de nulhypothese wordt aangenomen g Het gewicht voldoet aan de specificatie van 5 kg met een betrouwbaarheid van 95 % 33 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

34 Opgave 9. Paracetamol a via de website: One sample t test results P value and statistical significance: The two-tailed P value equals By conventional criteria, this difference is considered to be very statistically significant. b zelf berekenen Nulhypothese: Het gewicht voldoet aan de specificatie, de waarde wijkt niet significant af van 00 g H 0 : µ = 00 g Alternatieve hypothese Het gewicht voldoet niet aan de specificatie, de waarde wijkt significant af van 00 g H 1 : µ 00 n t ( x) n ,90 v = n 1 = 6 1 = 5 tabel: 95%; tweezijdig, t kritisch =,57 4,90 >,57, dus de nulhypothese wordt verworpen Het gewicht is significant lager dan 00 g met een betrouwbaarheid van 95 % bij een eenzijdige test is de t kritisch =,0; deze afwijking is nog groter, dus de conclusie is hetzelfde Opgave 9.3 Nieuwe machine a eenzijdig, je wilt bewijzen dat hij sneller is. b Nulhypothese: Het aantal van de nieuwe machine verschilt niet van de oude H 0 : µ = 50 Alternatieve hypothese Het aantal van de nieuwe machine is groter dan van de oude H 1 : µ > 50 n 10 t ( x) ,91 n-1 6 v = n 1 = 10 1 = 9 tabel: t kritisch = 1,83 7,91 > 1,83 dus de nulhypothese wordt afgewezen en de alternatieve dus aangenomen; de nieuwe machine werkt significant sneller dan de oude. 34 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

35 Opgave 9.4 Opgave 9.5 Opgave 9.6 Slootwater a plaatje II past het best b de meetserie van de partner lijkt nauwkeuriger c Eigen metingen Nulhypothese: Het werkelijke gehalte wijkt niet significant af: H 0 : µ = 0,40 Alternatieve hypothese Het werkelijke gehalte wijkt wel significant af: H 0 : µ 0,40 d n t ( x) n-1 0,40 0,38 1 0,0 3,46 v = n 1 = 1 1 = 11 tabel: t kritisch =,0 (geen voorkeur dus tweezijdig testen),0 < 3,46 dus de nulhypothese wordt afgewezen De gevonden waarde wijkt significant af van de werkelijke waarde. Metingen partner Het werkelijke gehalte wijkt niet significant af: H 0 : µ = 0,40 Alternatieve hypothese Het werkelijke gehalte wijkt wel significant af: H 0 : µ 0,40 n t ( x) n-1 0,40 0,44 8 0,01 11,3 tabel: t kritisch =,36 (geen voorkeur dus tweezijdig testen),36 < 11,3 dus de nulhypothese wordt afgewezen De gevonden waarde wijkt significant af van de werkelijke waarde. Beide meetmethoden voldoen niet Vergelijken van twee meetseries T-test van gemiddelde uit twee steekproeven a Bereken S. S v 1 1 v v1 v x1 x b t 5, S 4,5 n1 n c tabel: vtotaal = 150 = 148 4,5 35 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

36 d schatting t kritisch = 1,97 5,07 > 1,97 dus de nulhypothese wordt verworpen Er is wel een significant verschil tussen de gemiddelden Het gemiddelde gewicht van de behandelde groep is dus groter dan die van de controlegroep Opgave 9.7 Opgave 9.8 F-test van standaarddeviaties uit twee steekproeven A( n1) 0,40 a F, 56 0,5 B( n1) b tabel: F kritisch = 3,58,56 < 3,58 dus de nulhypothese wordt aangenomen c De meetseries verschillen niet significant in precisie. Je kunt dus niet zeggen dat serie B nauwkeuriger is. De verschillen zijn aan toeval te wijten Afvalwateronderzoek Gemiddelde Nulhypothese: Er is geen significant verschil tussen de gemiddelden: H 0 : µ 1 = 0 Alternatief: H 1 : µ 1 0 (geen voorkeur voor een van beide methoden), dus tweezijdig testen. S t S v 1 1 v 101,7 101,99 v1 v x 1 x 1 1 n n 1 4,55 6,37 1, ,55 tabel: t kritisch =,3 8,55 >,3 dus de nulhypothese wordt verworpen. Er is een significant (opvallend) verschil in de gevonden gemiddelden 1,67 Standaarddeviatie Nulhypothese: De precisie van methode B is niet significant anders dan de precisie van methode A: H 0 : A = B Alternatief: de precisie van methode B is significant slechter dan de precisie van methode A H 1 : A < B. Dus eenzijdig testen. F A B 1,99 1,7,46 tabel: F kritisch = 3,7,46 < 3,7 dus de nulhypothese wordt aangenomen. De meetseries zijn wel vergelijkbaar wat betreft precisie. 36 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

37 Opgave 9.9 Opgave 9.10 T-test van gemiddelde uit twee steekproeven met gepaarde waarnemingen a op het geluidsignaal b ja c nul? x v n 10 d t, 0 V 34,4 e tabel: t kritisch =,6,0 <,6 dus de nulhypothese wordt aangenomen. f Er is geen significant verschil tussen de gemiddelde reactietijden. Hemoglobinegehalte Nulhypothese Er is geen significant verschil tussen de gemiddelde Hb-gehaltes per patiënt H 0 : x v 0 Alternatieve hypothese Er is wel een significant verschil tussen de gemiddelde Hbgehaltes per patiënt H 1 : xv 0 Hb-gehalte (g/dl) patiënt A B verschil 1 1,5 13,4-0,9 13,6 14,7-1,1 3 16,3 17,1-0,8 4 15,8 15, 0,6 5 14,6 15,3 0,7 6 11,3 13,8 -,5 gemiddeld 14,0 14,9-0,9 0,9 x v n 0,9 6 t,45 (neem x v 0 ) V 0,9 tabel: t kritisch =,57,45 <,57 dus de nulhypothese wordt aangenomen. Er is geen significant verschil tussen beide meetmethoden Opgave 9.11 Opstellen van hypotheses CASUS 1 a Het gemiddelde gehalte van een steekproef uit de partij kindervoeding. 37 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

38 b c d Nulhypothese Er is geen significant verschil tussen het gemiddelde gehalte en de maximale waarde van 0,0 kg H 0 : = 0,0 mg/kg Alternatieve hypothese Het gemiddelde gehalte is significant lager dan de maximale waarde van 0,0 kg H 1 : < 0,0 mg/kg Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen. De t-test voor vergelijking van een gemiddelde van een steekproef met een (on)gewenste waarde CASUS a Steekproeven met methode A en een met methode B worden vergeleken. De standaarddeviaties worden vergeleken. b Nulhypothese Er is geen significant verschil tussen de standaarddeviaties van methode A en B H 0 : A = B Alternatief: de precisie van methode B is significant beter dan de precisie van methode A H 1 : B < A. c Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen. d De F-test voor vergelijking van de standaarddeviaties van twee steekproeven. CASUS 3 a Aan begin en eind van de periode van alle patiënten de bloeddruk meten. Het gemiddelde verschil wordt vergeleken. b Nulhypothese Er is geen significant tussen het gemiddelde verschil van de bloeddrukwaarden per patiënt. H 0 : x v 0 Alternatieve hypothese Het gemiddelde verschil van de bloeddrukwaarden per patiënt is significant lager na de behandeling. H 1 : x v > 0 c Wel een voorkeur dus eenzijdig toetsen. d De gepaarde t-test voor vergelijking van de steekproeven CASUS 4 a De standaarddeviaties van de metingen van de twee analisten worden vergeleken. 38 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

39 b c d Nulhypothese Er is geen significant verschil tussen de standaarddeviaties van analist A en analist B H 0 : A = B Alternatieve hypothese Er is een significant verschil tussen de standaarddeviaties van analist A en analist B. H 1 : B A. Geen voorkeur dus tweezijdig toetsen. De F-test voor vergelijking van de standaarddeviaties van twee steekproeven. Opgave 9.1 Grafische vergelijking van meetmethoden a c R = 0,931 dus R = 0,931 = 0,867 de grenswaarde is 0,811, dus er is aantoonbare correlatie d helling = 1 en asafsnijding = 0 e op het oog lijken deze methoden niet goed vergelijkbaar, de afwijkingen t.o.v. de ideale waarden is redelijk groot Opgave 9.13 Grafische vergelijking van meetmethoden - Uitschieters 39 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

40 methode B patiënt methode A methode B verschil verschil abs test (4x) 1 0,8 0,5 0,3 0,3-3,4 1,4 1,9-0,5 0,5-3, 3 3,7 3, 0,5 0,5-3, 4 6 3,,8,8-0,9 5 8,9 9, -0,3 0,3-3,4 6 1,7 11,5 1, 1, -,5 gemiddeld 0,67 0,93 er zijn geen uitschieters y = 0,903x - 0,18 R = 0,931 Opgave 9.14 Grafische vergelijking van meetmethoden - Valkuilen a alle waarden met methode B zijn groter dan dezelfde van A b y = 1,016x + 1,0096 Vergelijking Hb meetmethoden R = 0, methode A ze komen overeen allen de waarden bij B zijn gemiddeld 1,0 hoger dan die van A c Een van de methodes vertoont een systematische afwijking. Dat kan zowel A als B zijn d het zo niet vast te stellen welke methode afwijkt, je zou de kalibratielijnen per methode moeten bekijken e in het hogere meetgebied wijkt een van de twee methoden af (niet te zeggen welke) Opgave 9.15 Vergelijking van meetmethoden volgens Passing en Bablok a het verschil zit alleen in de onzekerheid van helling en snijpunt met de y-as, de formules zijn gelijk b de ideale waarden (1 en 0) liggen binnen de betrouwbaarheidsintervallen, dus de methoden zijn vergelijkbaar c 40 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

41 M Method comparison M8 de methodes zijn vergelijkbaar Opgave 9.16 Vergelijking van meetmethoden volgens Deming deming normaal helling 0,97476 helling 1,03349 snijpunt 0,38369 snijpunt -0,46153 correlatie 0, correlatie 0, wat opvalt is dat de Demingregressie een kleinere correlatie geeft en een duidelijk afwijkend snijpunt met de y-as Opgave 9.17 De analyse volgens Bland en Altman a onderste grens = 4,4 4,1 = 5,6 bovenste grens = 4,4 + 4,1 = 43,8 b gemiddeld verschil = 4,4 c 4,4 L/min d Bij de ene serie 4,4 optellen of bij de andere 4,4 eraf halen e nee f n = 10 v = 9 t =,6 grens betrouwbaarheidinterval = n 1 4,1 t,6 17, n 10 ondergrens 4,4 17, = 1,6 bovengrens 4,4 + 17, = 1,8 dus 1,6 < afwijking < 1,8 g SE = 3 3 4,1 = 13, n uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

42 h -95,8 < onderste grens < 39,4 30,6 < bovenste grens < 57,0 De afwijkingen lijken toch behoorlijk groot 10 Extra oefeningen Opgave 10.1 Opgave 10. Opgave 10.3 Opgave 10.4 Boxplot A juist B onjuist C juist D onjuist E juist Stam-blad a w = = 39 b n = 1, dus de middelste is 6½ mediaan = c modus = Scheef of symmetrisch? A onjuist B onjuist C juist D juist Tijdsduur Een groep van 1 studenten heeft een test gedaan. De tijden dat ze erover gedaan hebben zijn in minuten: 10, 9, 1, 15,, 11, 17, 0, 19, 6, 13, 17. Bepaal: a sorteren: 9, 10, 11, 1, 13, 15, 17, 17, 19, 0,, 6 dus w = 6 9 = b n = 1, dus de middelste is 6½, dus mediaan = 16 c modus = 17 d gemiddelde = 15,9 (ZRM) e standaarddeviatie (populatie) = 4,99 4,99 f variatiecoëfficiënt = 100 % 31,3 % 15,9 4 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

43 Opgave 10.5 Zoutgehalte a 60,00 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 VAR00001 SPSS: geen uitschieters b 50,39 6,70 en 13,3 % c b = ½σ n-1 = 0,5 6,70 = 3,35 dichtstbijzijnde lagere macht van 10 = 1 dus afronden op 0 decimalen, zie tabel 50 7 en 13,3 % Opgave 10.6 Autobanden a dus 6,9 % van de banden b 0,069, dat is 1 op de 14 Opgave 10.7 Chloridegehalte variatieco efficient gemiddelde 0,017,17 0,08604 mg/l 43 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

44 (g/l) dus (7,11 7,3) Opgave 10.8 Opgave 10.9 Opgave Cacaogehalte van chocolade a 35 % en 4,4 % 4,4 b variatiecoëfficiënt = 100 % 1,1 % 35 c het valt binnen de grenzen, dus de meetmethode is OK d het cacaogehalte is te laag Onderzoek van afvalwater a 6,175 en 0,718 ppm b v = n 1 = 4 1 = 3 t = 3,18 1 0,718 x t n 6,175 3,18 6,175 1,14 ppm n 4 dus afgerond 5,0 ppm < < 7,3 ppm Controle van een standaardoplossing variatiecoefficient gemiddelde 0,03,16 0,063 g/l 3,4 3,4 3,3 3,3 3, 3, 3,1 3,1 3,0 3,0,9 KMnO4 (g/l) dag dag 7 de 1 regel: waarschuwing dus geen actie dag 10 de 4 1 regel: hier moet actie ondernomen worden 44 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

45 (KVE/g) Opgave Reproduceerbaarheid controlemonster (KVE/g) 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00,50,00 1,50 1,00 0,50 0, dag dag 4 dag 7 dag 7+8 dag 9(8) t/m 1 dag 15 1 regel waarschuwing geen actie nodig 1 regel waarschuwing geen actie nodig 4 regel actieregel 4 1 regel actieregel 1 3 regel actieregel Opgave 10.1 Benzeen in sigaren en sigaretten Nulhypothese: Het benzeengehalte van sigaren is gelijk aan dat van sigaretten H 0 : µ = 81 g/g Alternatieve hypothese: Het benzeengehalte van sigaren is groter dan dat van sigaretten H 1 : µ > 81 g/g n 7 t ( x) ,6 n-1 9 v = n 1 = 7 1 = 6 tabel: t kritisch =,45 0,6 >,45 dus de nulhypothese wordt verworpen Sigaren bevatten meer benzeen dan sigaretten 7 e BIJLAGE Meetgegevens grafisch Opgave B7.1 Verschillende grafische weergaven 45 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

46 0 AB B A Opgave B7. Zelf een diagram maken a A 5 B 8 AB b c een steekproef van 5 is te klein om een uitspraak te doen over een zo grote groep als alle Nederlandse studenten Opgave B7.3 Energieverbruik a PJ = Petajoule = J Energieverbruik in Nederland in 006 (PJ) steenkool aardolie aardgas elektriciteit overig 9, , , , , b Maak met behulp van Excel een handige grafiek. elektriciteit overig steenkool aardolie aardgas c d Totaal verbruik = = 799 PJ 1073 aardolie = 100 % 38,3 % 799 kernenergie, windenergie, biomassa, waterkracht (import) Opgave B7.4 Verkiezingen 46 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

47 Frequentie a 17 % betekent tussen 16,5 % en 17,5 %. Voor 17 % heb je dus minstens 0, = stemmen nodig b Dat is 0, = stemmen Er stemden mensen op de PVV d PVV stemmers = 100 % 5,89 %, dat klopt dus e 5,89 % van 150 = 8,8 = 9 zetels Opgave B7.5 Wiskundecijfers a dan raak je het overzicht compleet kwijt b aantal cijfers 6 t/m 10 = = 31 totaal aantal = = 5 31 voldoendes = 100 % 59,6 % 5 Histogram uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

48 Antwoorden Alle antwoorden en uitwerkingen van de opgaven en R-vragen zijn te vinden op de website: 48 uitwerkingen 014 Vervoort Boeken

49 1 e Bijlage Dixons-test of Q-test Kritische waarden voor losse uitschieters n Q kritisch 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41 0,39 n Q kritisch 0,37 0,35 0,34 0,33 0,3 0,31 0,30 0,9 0,8 n Q kritisch 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 49 Bijlagen 01 Vervoortboeken

50 e Bijlage Z-tabel normaalverdeling Z Bijlagen 01 Vervoortboeken

51 3 e Bijlage Student t-tabel T-verdeling Voorbeeld: tweezijdig 95% betrouwbaarheid n = 5 v = 4 Tabel t =,78 v = n 1 eenzijdig 90% 95% 97,5% 99% 99,5% tweezijdig 80% 90% 95% 98% 99% v 1 3,08 6,31 1,71 31,8 63,66 1,89,9 4,30 6,96 9,9 3 1,64,35 3,18 4,54 5,84 4 1,53,13,78 3,75 4,60 5 1,48,0,57 3,36 4,03 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 8 1,40 1,86,31,90 3,36 9 1,38 1,83,6,8 3,5 10 1,37 1,81,3,76 3, ,36 1,80,0,7 3,11 1 1,36 1,78,18,68 3, ,35 1,77,16,65 3, ,35 1,76,14,6, ,34 1,75,13,60, ,34 1,75,1,58,9 17 1,33 1,74,11,57, ,33 1,73,10,55, ,33 1,73,09,54,86 0 1,33 1,7,09,53,85 1 1,3 1,7,08,5,83 1,3 1,7,07,51,8 3 1,3 1,71,07,50,81 4 1,3 1,71,06,49,80 5 1,3 1,71,06,49,79 6 1,31 1,71,06,48,78 7 1,31 1,70,05,47,77 8 1,31 1,70,05,47,76 9 1,31 1,70,05,46, ,31 1,70,04,46, ,30 1,68,0,4, ,30 1,67,00,39, ,9 1,66 1,98,36,6 1,8 1,64 1,96,33,58 51 Bijlagen 01 Vervoortboeken

52 4 e Bijlage F - tabel F-waarden 95% betrouwbaarheid tweezijdig vrijheidsgraden grootste standaarddeviatie (v = n 1) v ,8 799,5 864, 899,6 91,8 937,1 984, 956,7 963,3 968,6 948,9 993,1 1010,0 1018,0 38,51 39,00 39,17 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,43 39,45 39,48 39, ,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,6 14,54 14,47 14,4 14,70 14,17 13,99 13,90 4 1, 10,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 8,84 8,66 8,56 8,36 8,6 5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6,43 6,33 6,1 6,0 6 8,81 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 5,46 5,7 5,17 4,96 4,85 7 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5,1 4,99 4,90 4,8 4,76 4,57 4,47 4,5 4,14 8 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,10 4,00 3,45 3,67 9 7,1 5,71 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,10 4,03 3,96 3,77 3,67 3,0 3, ,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 3,7 3,5 3,4,85 3, ,0 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,9 3,0 3,1 3,06,86,76,5,40 0 5,87 4,46 3,86 3,51 3,9 3,13 3,01,91,84,77,57,46,, ,9 3,93 3,34 3,01,79,63,51,41,33,7,06 1,94 1,67 1,48 5,0 3,69 3,1,79,57,41,9,19,11,05 1,83 1,71 1,39 1,00 F-waarden 95% betrouwbaarheid eenzijdig (v = n 1) vrijheidsgraden grootste standaarddeviatie v ,4 199,5 15,7 4,6 30, 34,0 36,77 38,9 40,54 41,88 46,0 48,0 5, 54,3 18,5 19,0 19, 19,3 19,3 19,3 19,3 19,4 19,38 19,40 19,4 19,4 19,5 19,5 3 10,1 9,55 9,8 9,1 9,01 8,94 8,89 8,84 8,81 8,79 8,70 8,67 8,57 8,53 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,6 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,86 5,80 5,69 5,63 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,6 4,56 4,43 4,36 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,8 4,1 4,15 4,10 4,06 3,94 3,87 3,74 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4,1 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,51 3,44 3,30 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3, 3,15 3,01,93 9 5,1 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,18 3,14 3,01,94,79, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3, 3,14 3,07 3,0,98,84,77,6, ,54 3,69 3,9 3,06,90,79,71,64,59,54,40,33,16,07 0 4,35 3,49 3,10,87,71,60,51,45,39,35,0,1 1,95 1, ,08 3,3,84,61,45,34,5,18,1,08 1,9 1,84 1,64 1, ,00 3,15,76,53,37,5,17,10,04 1,99 1,84 1,75 1,53 1, ,9 3,07,68,45,9,17,09,0 1,96 1,91 1,75 1,66 1,43 1,5 3,84 3,00,60,37,1,10,01 1,94 1,88 1,83 1,67 1,57 1,3 1,00 5 Bijlagen 01 Vervoortboeken

53 5 e Bijlage SPSS Onderzoek van data 1. Start een versie van SPSS. Je komt automatisch in de Data Editor.. Type de gegevens in of importeer ze vanuit een tabel in Word of Excel. 3. In de Variable View (tabblad linksonder op het scherm) kun je de meetserie een naam geven. 4. Kies Analyse Descriptive Statistics Explore 5. Kies de meetserie(s) die je wilt onderzoeken. 53 Bijlagen 01 Vervoortboeken

54 6. Stel in wat je wilt onderzoeken met het knopje Statistics 7. Vink Outliers (= uitschieters) en Percentiles (= kwartielen enzo) aan. Druk daarna op Continue. 8. Kies Plots en vink Histogram aan. Druk op Continue. 9. Druk tenslotte op OK. 54 Bijlagen 01 Vervoortboeken

55 10. Je krijgt een overzicht van: Descriptives: statische parameters zoals minimum, maximum gemiddelde, mediaan, standaarddeviatie Percentiles: de grenzen van 5, 10, 5, 50, 75, 90 en 95 % van de meetwaarden. Extreme Values: de 5 hoogste en 5 laagste waarden. Het Histogram. Het Stem and Leaf (= Stam en Blad) diagram, met uitschieters aangegeven. De Box Plot, met uitschieters aangegeven. Alle uitslagen kunnen bewaard worden en apart bekeken worden met de SPSS Viewer. Ook kunnen ze gekopieerd worden en bijvoorbeeld in Word worden geplakt. 55 Bijlagen 01 Vervoortboeken

56 e BIJLAGE Meetgegevens grafisch Gegevens (data) kunnen op verschillende manieren grafisch (in een plaatje) weergegeven worden. Een uitstekend hulpmiddel hiervoor is Excel, het spreadsheetprogramma van Microsoft. Als voorbeeld de frisdrankenvoorkeur van 170 studenten. Frisdranken voorkeur Cola Cola- Light Dr.Pepper 7Up Sinas Overig Deze tabel kan in Excel met de grafiekentool in een grafiek worden omgezet. Voorbeelden: 70 Dranken voorkeur studenten Dranken voorkeur studenten B A Cola Cola-Light Dr.Pepper 7Up Sinas Overig 0 Cola Cola-Light Dr.Pepper 7Up Sinas Overig Dranken voorkeur studenten Overig Sinas10% Cola 1% 37% 7Up 11% Dr.Pepper 1% Cola-Light 18% C Overig Sinas 7Up Dr.Pepper Cola-Light Cola Dranken voorkeur studenten D Opgave B7.1 Verschillende grafische weergaven Welke naam hoort bij de bovenstaande grafische weergaven? 56 Bijlagen 01 Vervoortboeken

Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen

Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium Uitwerkingen T.J. Kleintjes 1 Precisie en juistheid Opgave 1.1 Precisie en juistheid bij het schieten A B nauwkeurig en juist onnauwkeurig en juist

Nadere informatie

2 Meetwaarden verschillen. Hoe komt dat? 3 Spreiding van data (meetresultaten)

2 Meetwaarden verschillen. Hoe komt dat? 3 Spreiding van data (meetresultaten) Info Statistiek 1 Precisie en juistheid Precisie en juistheid van metingen 1.1 t/m 1.2 Absolute en relatieve onnauwkeurigheid 1.3 Nauwkeurigheid verbeteren door duplo en triplo 1.4 Notatie van onnauwkeurigheden

Nadere informatie

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16

Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n. 10 ( x ) ,16 modulus strepen: uitkomst > 0 Hiermee rekenen we de testwaarde van t uit: n 10 ttest ( x ) 105 101 3,16 n-1 4 t test > t kritisch want 3,16 >,6, dus 105 valt buiten het BI. De cola bevat niet significant

Nadere informatie

Exact competentiegericht

Exact competentiegericht Exact competentiegericht Statistiek voor het laboratorium T.J. Kleintjes Statistiek betekent dat je nooit hoeft te zeggen dat je het zeker weet C.J. Bradfield Didactisch concept : Vervoort Boeken Grafisch

Nadere informatie

9. Testen van meetresultaten.

9. Testen van meetresultaten. Uitwerkige hoofdstuk 9 9. Teste va meetresultate. Opgave 9. Teste va het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. µ a x 4,5 kg e -,0 kg 5 b t ( µ x) 5 4,5, -,0 c,5 % d v 5 4 tabel: t kritisch,78.

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk 9 9. Testen van meetresultaten. Testen van het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. a x = 24,5 kg en n-1 = 0,9 kg n

Uitwerkingen hoofdstuk 9 9. Testen van meetresultaten. Testen van het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.v. a x = 24,5 kg en n-1 = 0,9 kg n Uitwerkige hoofdstuk 9 9. Teste a meetresultate. Opgae 9. Opgae 9. Teste a het uit de steekproef geschatte gemiddelde t.o.. a x = 4,5 kg e - = 0,9 kg b t ( x) 5 5 4,5, - 0,9 c,5 % d = = 5 = 4 tabel: t

Nadere informatie

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen

Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen Statistiek 2 deel A 30 minuten over statistisch toetsen R.J. Baars, MSc Kruytgebouw N710 r.j.baars@uu.nl februari 2014 Opbouw van statistiek Statistiek 1 (periode 2: vandaag) Dit college + zelfstudie +

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen

Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen Hoofdstuk 3 Statistiek: het toetsen 3.1 Schatten: Er moet een verbinding worden gelegd tussen de steekproefgrootheden en populatieparameters, willen we op basis van de een iets kunnen zeggen over de ander.

Nadere informatie

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1

Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 Hoeveel vertrouwen heb ik in mijn onderzoek en conclusie? Les 1 1 Onderwerpen van de lessenserie: De Normale Verdeling Nul- en Alternatieve-hypothese ( - en -fout) Steekproeven Statistisch toetsen Grafisch

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 3. Recap 2. Recap 1. Recap Centrale limietstelling T-verdeling Toetsen van hypotheses Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 3 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Recap Centrale limietstelling

Nadere informatie

Exact Periode 6.1. Juist & Precies Testen

Exact Periode 6.1. Juist & Precies Testen Juist & Precies Testen Exact periode 6.1 Juist en Precies Gemiddelde Standaarddeviatie (=Standaard Afwijking) Betrouwbaarheidsinterval Dixon s Q-test Student s t-test F-test 2 Juist: gemiddeld klopt de

Nadere informatie

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren.

Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. 1 Meten en verwerken 1.1 Meten Meten is weten, dat geldt ook voor het vakgebied natuurkunde. Om te meten gebruik je hulpmiddelen, zoals timers, thermometers, linialen en sensoren. Grootheden/eenheden Een

Nadere informatie

4 HAVO wiskunde A HOOFDSTUK voorkennis 1. soorten verdelingen 2. de normale verdeling 3. betrouwbaarheidsintervallen 4. groepen en kenmerken

4 HAVO wiskunde A HOOFDSTUK voorkennis 1. soorten verdelingen 2. de normale verdeling 3. betrouwbaarheidsintervallen 4. groepen en kenmerken 4 HAVO wiskunde A HOOFDSTUK 6 0. voorkennis 1. soorten verdelingen 2. de normale verdeling 3. betrouwbaarheidsintervallen 4. groepen en kenmerken 0. voorkennis Centrum- en spreidingsmaten Centrummaten:

Nadere informatie

Exact Periode Juist & Precies Testen

Exact Periode Juist & Precies Testen Exact Periode 10.1 Juist & Precies Testen Juist: gemiddeld klopt de uitkomst met wat het moet zijn. Precies: Als we de meting herhalen komt er (bijna) hetzelfde uit. Vijf schietschijven A B C D E A B C

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

2 Data en datasets verwerken

2 Data en datasets verwerken Domein Statistiek en kansrekening havo A 2 Data en datasets verwerken 3 Frequentieverdelingen typeren 3.6 Geïntegreerd oefenen In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs 3 Frequentieverdelingen

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

EXACT PERIODE Q-test (herhaling) F-test t-test (hethaling) gepaarde t-test t-test voor gemiddelden. foutenberekening

EXACT PERIODE Q-test (herhaling) F-test t-test (hethaling) gepaarde t-test t-test voor gemiddelden. foutenberekening EXACT PERIODE 10.1 Q-test (herhaling) F-test t-test (hethaling) gepaarde t-test t-test voor gemiddelden foutenberekening Q-test Eenzelfde bepaling is meerdere malen gedaan. Zit er een uitschieter (ook

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN

HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN HOOFDSTUK 6: INTRODUCTIE IN STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN Inleiding Statistische gevolgtrekkingen (statistical inference) gaan over het trekken van conclusies over een populatie op basis van steekproefdata.

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen

Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen Hoofdstuk 5 Een populatie: parametrische toetsen 5.1 Gemiddelde, variantie, standaardafwijking: De variantie is als het ware de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter de variantie

Nadere informatie

Voorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie

Voorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie Voorbeeldtentamen Statistiek voor Psychologie 1) Vul de volgende uitspraak aan, zodat er een juiste bewering ontstaat: De verdeling van een variabele geeft een opsomming van de categorieën en geeft daarbij

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Lesbrief hypothesetoetsen

Lesbrief hypothesetoetsen Lesbrief hypothesetoetsen 00 "Je gaat het pas zien als je het door hebt" Johan Cruijff Willem van Ravenstein Inhoudsopgave Inhoudsopgave... Hoofdstuk - voorkennis... Hoofdstuk - mens erger je niet... 3

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8

Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N. 1410 woorden 6 januari 2013 5,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1 Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 1 Samenvatting door een scholier 1494 woorden 8 april 2014 7,8 97 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Systematische natuurkunde Grootheden en eenheden Kwalitatieve

Nadere informatie

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier.

Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Toets Stroom 1.2 Methoden en Statistiek tul, MLW 7 april 2006 Deze toets bestaat uit 25 vierkeuzevragen. Kruis per vraag slechts één vakje aan op het antwoordformulier. Vraag goed beantwoord dan punt voor

Nadere informatie

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband

Nadere informatie

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1]

8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Gegeven zijn de volgende 10 waarnemingsgetallen: 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 Het gemiddelde is: De mediaan is het middelste waarnemingsgetal als de getallen naar grootte

Nadere informatie

Statistiek in de alfa en gamma studies. Aansluiting wiskunde VWO-WO 16 april 2018

Statistiek in de alfa en gamma studies. Aansluiting wiskunde VWO-WO 16 april 2018 Statistiek in de alfa en gamma studies Aansluiting wiskunde VWO-WO 16 april 2018 Wie ben ik? Marieke Westeneng Docent bij afdeling Methoden en Statistiek Faculteit Sociale Wetenschappen Universiteit Utrecht

Nadere informatie

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Spreiding en dispersie 6/12/2013 dr. Brenda Casteleyn dr. Brenda Casteleyn www.keu6.be Page 2 1. Theorie Met spreiding willen we in één getal uitdrukken hoe verspreid de gegevens zijn: in hoeveel

Nadere informatie

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK

HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK HOOFDSTUK VI NIET-PARAMETRISCHE (VERDELINGSVRIJE) STATISTIEK 1 1. INLEIDING Parametrische statistiek: Normale Verdeling Niet-parametrische statistiek: Verdelingsvrij Keuze tussen de twee benaderingen I.

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Doel Beheersen van elementaire statistische technieken Toepassen van deze technieken op aardwetenschappelijke data 2 1 Leerstof Boek: : Introductory Statistics, door

Nadere informatie

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015

Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek. Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Cursus TEO: Theorie en Empirisch Onderzoek Practicum 2: Herhaling BIS 11 februari 2015 Centrale tendentie Centrale tendentie wordt meestal afgemeten aan twee maten: Mediaan: de middelste waarneming, 50%

Nadere informatie

Kerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter

Kerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter Voorbereidende opgaven HAVO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk

Nadere informatie

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten

We illustreren deze werkwijze opnieuw a.h.v. de steekproef van de geboortegewichten Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen In het vorige hoofdstuk lieten we zien hoe het mogelijk is om over een ongekende karakteristiek van een populatie hypothesen te formuleren. Een andere manier van

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Frequentieverdelingen

Paragraaf 5.1 : Frequentieverdelingen Hoofdstuk 5 Beschrijvende statistiek (V4 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 5.1 : verdelingen Les 1 Allerlei diagrammen = { Hoe vaak iets voorkomt } Relatief = { In procenten } Absoluut = { Echte getallen

Nadere informatie

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel Foutenleer 1 dr. P.S. Peijzel In dit hoofdstuk zal een inleiding in de foutenleer gegeven worden. Foutenleer is een onderdeel van statistiek dat gebruikt wordt om een uitspraak te kunnen doen over fouten

Nadere informatie

3 Cijfers in orde. Antwoorden- boekje. Met behulp van Excel. Stedelijk. Gymnasium. Nijmegen

3 Cijfers in orde. Antwoorden- boekje. Met behulp van Excel. Stedelijk. Gymnasium. Nijmegen 1 Stedelijk Gymnasium Nijmegen 2 0 6 7 4 5 9 8 3 Cijfers in orde Met behulp van Excel L Antwoorden- boekje 2 Antwoorden Introductielessen Excel Introductieles Excel (1) Opdracht 1 Er staat een zwart blokje

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen. checklist SE1 wiskunde A.pdf 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken

Nadere informatie

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen

SPSS Introductiecursus. Sanne Hoeks Mattie Lenzen SPSS Introductiecursus Sanne Hoeks Mattie Lenzen Statistiek, waarom? Doel van het onderzoek om nieuwe feiten van de werkelijkheid vast te stellen door middel van systematisch onderzoek en empirische verzamelen

Nadere informatie

11.0 Voorkennis. Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k)

11.0 Voorkennis. Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k) 11.0 Voorkennis Let op: Cumulatieve binomiale verdeling: P(X k) = binomcdf(n,p,k) Wanneer je met binomcdf werkt, werk je dus altijd met een kans van de vorm P(X k) Voorbeeld 1: Binomiaal kanseperiment

Nadere informatie

Statistische variabelen. formuleblad

Statistische variabelen. formuleblad Statistische variabelen formuleblad 0. voorkennis Soorten variabelen Discreet of continu Bij kwantitatieve gegevens gaat het om meetbare gegeven, zoals temperatuur, snelheid of gewicht. Bij een discrete

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek 1 Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen»

Nadere informatie

Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA

Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA Hoofdstuk 12: Eenweg ANOVA 12.1 Eenweg analyse van variantie Eenweg en tweeweg ANOVA Wanneer we verschillende populaties of behandelingen met elkaar vergelijken, dan zal er binnen de data altijd sprake

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

HOOFDSTUK 7: STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN VOOR DISTRIBUTIES

HOOFDSTUK 7: STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN VOOR DISTRIBUTIES HOOFDSTUK 7: STATISTISCHE GEVOLGTREKKINGEN VOOR DISTRIBUTIES 7.1 Het gemiddelde van een populatie Standaarddeviatie van de populatie en de steekproef In het vorige deel is bij de significantietoets uitgegaan

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen

Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen Hoofdstuk 6 Twee populaties: parametrische toetsen 6.1 De t-toets voor het verschil tussen twee gemiddelden: In veel onderzoekssituaties zijn we vooral in de verschillen tussen twee populaties geïnteresseerd.

Nadere informatie

META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t

META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t META-kaart domein - Exponentieel verband havo4 wiskunde A H=bxg^t Welk verband zie ik tussen de gegeven informatie en wat er gevraagd wordt? Wat heb ik nodig? Heb ik de gegevens uit de tekst gehaald? Welke

Nadere informatie

Hoofdstuk 7: Statistische gevolgtrekkingen voor distributies

Hoofdstuk 7: Statistische gevolgtrekkingen voor distributies Hoofdstuk 7: Statistische gevolgtrekkingen voor distributies 7.1 Het gemiddelde van een populatie Standaarddeviatie van de populatie en de steekproef In het vorige deel is bij de significantietoets uitgegaan

Nadere informatie

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing

G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd Modeloplossing G0N11a Statistiek en data-analyse: project Eerste zittijd 2007-2008 Modeloplossing Opmerking vooraf: Deze modeloplossing is een heel volledig antwoord op de gestelde vragen. Om de maximumscore op een vraag

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek (2DD14) op vrijdag 17 maart 2006, 9.00-12.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek DD14) op vrijdag 17 maart 006, 9.00-1.00 uur. UITWERKINGEN 1. Methoden om schatters te vinden a) De aannemelijkheidsfunctie

Nadere informatie

Exact Periode 5.1. Rekenvaardigheid Controlekaarten

Exact Periode 5.1. Rekenvaardigheid Controlekaarten Exact Periode 5.1 Rekenvaardigheid Controlekaarten 1 Rekenvaardigheid Opfrissen - Gebruik rekenmachine - Significantie - Afronden - Wetenschappelijke notatie - Eenheden omrekenen 2 Rekenmachine Casio

Nadere informatie

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML

Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML Checklist Wiskunde A HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Ik weet hoe je met procenten moet rekenen: procenten en breuken, percentage berekenen, toename en afname in procenten, rekenen met groeifactoren.

Nadere informatie

9. Lineaire Regressie en Correlatie

9. Lineaire Regressie en Correlatie 9. Lineaire Regressie en Correlatie Lineaire verbanden In dit hoofdstuk worden methoden gepresenteerd waarmee je kwantitatieve respons variabelen (afhankelijk) en verklarende variabelen (onafhankelijk)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Biostatistiek voor BMT (2S390) op 17-11-2003 U mag alleen gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium (dikt. nr. 2218) en van een zakrekenmachine.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie

2 Data en datasets verwerken

2 Data en datasets verwerken Domein Statistiek en kansrekening havo A 2 Data en datasets verwerken 4 Twee groepen vergelijken 4.4 Oefenen In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs 4.4 Oefenen Voorbeeld Bekijk de dataset

Nadere informatie

Overzicht statistiek 5N4p

Overzicht statistiek 5N4p Overzicht statistiek 5N4p EEB2 GGHM2012 Inhoud 1 Frequenties, absoluut en relatief... 3 1.1 Frequentietabel... 3 1.2 Absolute en relatieve frequentie... 3 1.3 Cumulatieve frequentie... 4 2 Centrum en spreiding...

Nadere informatie

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur.

Tentamen Mathematische Statistiek (2WS05), vrijdag 29 oktober 2010, van 14.00 17.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Mathematische Statistiek (WS05), vrijdag 9 oktober 010, van 14.00 17.00 uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden

toetsende statistiek deze week: wat hebben we al geleerd? Frank Busing, Universiteit Leiden toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets Moore, McCabe, and Craig.

Nadere informatie

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1.

Statistiek. Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. Statistiek Statistiek in het laboratorium van de ziekenhuisapotheek; deel 1. M.C. de Brouwer M.C.J. Langen Laboratorium van de ziekenhuisapotheek Midden-Brabant Maria ziekenhuis Dr. Deelenlaan 5 5042 AD

Nadere informatie

2.3 Frequentieverdelingen typeren

2.3 Frequentieverdelingen typeren 2.3 Frequentieverdelingen typeren 2.3.1 Introductie Kijkend naar een datarepresentatie valt meestal al snel op hoe de verdeling van de tellingen/frequenties over de verschillende waarden eruitziet. Zitten

Nadere informatie

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit

Les 1 Kwaliteitsbeheersing. Les 2 Kwaliteitsgegevens. Les 3 Introductie Statistiek. Les 4 Normale verdeling. Kwaliteit Kwaliteit Les 1 Kwaliteitsbeheersing Introductie & Begrippen Monstername Les 2 Kwaliteitsgegevens Gegevens Verzamelen Gegevens Weergeven Les 3 Introductie Statistiek Statistische begrippen Statistische

Nadere informatie

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening

Les 1: Waarschijnlijkheidrekening Les 1: Waarschijnlijkheidrekening A Men neemt een steekproef van 1000 appelen. Deze worden ingedeeld volgens gewicht en volgens symptomen van een bepaalde schimmel: geen, mild, gematigd of ernstig. Het

Nadere informatie

statviewtoetsen 18/12/ Statview toets, 2K WE, 30 mei Fitness-campagne Dominantie bij muizen... 4

statviewtoetsen 18/12/ Statview toets, 2K WE, 30 mei Fitness-campagne Dominantie bij muizen... 4 statviewtoetsen 18/12/2000 Contents............................................................ 1 1 Statview toets, 2K WE, 30 mei 1995 2 1.1 Fitness-campagne................................................

Nadere informatie

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995

Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica. Maandag 29 mei 1995 Schriftelijk examen statistiek, data-analyse en informatica Maandag 29 mei 1995 Tweede jaar kandidaat arts + Tweede jaar kandidaat in de biomedische wetenschappen Naam: Voornaam: Vraa Kengetal g Blad 1

Nadere informatie

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1

Introductie periode 2b. Onderdeel Foutenleer 1 Introductie periode 2b Onderdeel Foutenleer 1 Assistenten: Lai Mei Tang / Vera Kaats Susan Kersjes Maurice Mourad Sandra Veen Marieke Bode Piter Miedema Inhoud: Wat is foutenleer, en wat heeft Excel daar

Nadere informatie

9.1 Centrummaten en verdelingen[1]

9.1 Centrummaten en verdelingen[1] 9.1 Centrummaten en verdelingen[1] De onderstaande frequentietabel geeft aan hoeveel auto s er in een bepaald uur in een straat geteld zijn. Aantal auto s per uur 15 16 17 18 19 20 21 frequentie 2 7 9

Nadere informatie

b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): hoogte

b) Het spreidingsdiagram ziet er als volgt uit (de getrokken lijn is de later uit te rekenen lineaire regressie-lijn): hoogte Classroom Exercises GEO2-4208 Opgave 7.1 a) Regressie-analyse dicteert hier geen stricte regels voor. Wanneer we echter naar causaliteit kijken (wat wordt door wat bepaald), dan is het duidelijk dat hoogte

Nadere informatie

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages.

Figuur 1: Voorbeelden van 95%-betrouwbaarheidsmarges van gemeten percentages. MARGES EN SIGNIFICANTIE BIJ STEEKPROEFRESULTATEN. De marges van percentages Metingen via een steekproef leveren een schatting van de werkelijkheid. Het toevalskarakter van de steekproef heeft als consequentie,

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 2 Paragraaf 8 De klokvorm Opgave 1 a De top van de grafiek van de PvdA ligt bij 30 %. Dus voor de PvdA wordt 30% voorspeld. b De grafiek loopt van ongeveer 27 tot 33, dus het percentage ligt met grote waarschijnlijkheid

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 4 Meetonzekerheid... 4 Significante cijfers en meetonzekerheid... 5 Opgaven... 6 Opgave 1... 6

Nadere informatie

Exact Periode 9.1. Rekenvaardigheid Controlekaarten

Exact Periode 9.1. Rekenvaardigheid Controlekaarten Exact Periode 9.1 Rekenvaardigheid Controlekaarten Rekenvaardigheid Opfrissen - Gebruik rekenmachine - Significantie - Afronden - Wetenschappelijke notatie - Eenheden omrekenen Exact Periode 9.1 2 Rekenmachine

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven uit: CHEMISCHE ANALYSE ISBN , 1 e druk, Uitgeverij Syntax Media Hoofdstuk 1 Chemische analyse bladzijde 1

Uitwerkingen van de opgaven uit: CHEMISCHE ANALYSE ISBN , 1 e druk, Uitgeverij Syntax Media Hoofdstuk 1 Chemische analyse bladzijde 1 Hoofdstuk 1 Chemische analyse bladzijde 1 Opgave 1 Hieronder staat een aantal oorzaken voor het ontstaan van fouten. Geef voor elke oorzaak aan tot welke soort onnauwkeurigheid hij leidt: grove persoonlijke

Nadere informatie

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1]

15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] 15.1 Beslissen op grond van een steekproef [1] Voorbeeld 1: Een vulmachine vult flessen met een inhoud van X ml. X is normaal verdeeld met μ = 400 en σ = 4 Er wordt een steekproef genomen van 40 flessen.

Nadere informatie

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zinvol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel een statistisch onderzoek kunnen beoordelen een statistisch onderzoek kunnen opzetten een probleem vertalen in standaardmethoden gegevens verzamelen,

Nadere informatie

2. In de klassen 2A en 2B is een proefwerk gemaakt. Je ziet de resultaten in de frequentietabel. 2A 2B

2. In de klassen 2A en 2B is een proefwerk gemaakt. Je ziet de resultaten in de frequentietabel. 2A 2B 1. (a) Bereken het gemiddelde salaris van de werknemers in de tabel hiernaast. (b) Bereken ook het mediale salaris. (c) Hoe groot is het modale salaris hier? salaris in euro s aantal werknemers 15000 1

Nadere informatie

DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A

DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A DOEN! - Praktische Opdracht Statistiek 4 Havo Wiskunde A Docentenhandleiding 1. Voorwoord Doel van de praktische opdracht bij het hoofdstuk over statistiek 1 : Het doel van de praktische opdracht (PO)

Nadere informatie

1 a Partij is een kwalitatieve variabele, kindertal een kwantitatieve, discrete variabele. b,c

1 a Partij is een kwalitatieve variabele, kindertal een kwantitatieve, discrete variabele. b,c Hoofdstuk 8, Statistische maten 1 Hoofdstuk 8 Statistische maten Kern 1 Centrum- en spreidingsmaten 1 a Partij is een kwalitatieve variaele, kindertal een kwantitatieve, discrete variaele.,c d kindertal

Nadere informatie

Havo A deel 1 H2 Statistiek - Samenvatting

Havo A deel 1 H2 Statistiek - Samenvatting Havo A deel 1 H2 Statistiek - Samenvatting Begrip 1. Staafdiagram Schetsje: zo ziet het er uit 2. Lijndiagram = polygoon 3. Cirkeldiagram = sectordidagram 4. Beeldiagram = pictogram 5. Stapeldiagram 6.

Nadere informatie

Inleiding tot de natuurkunde

Inleiding tot de natuurkunde OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-08-2010 W.Tomassen Pagina 1 Hoofdstuk 1 : Hoe haal ik hoge cijfers. 1. Maak van elke paragraaf een samenvatting. (Titels, vet/schuin gedrukte tekst, opsommingen en plaatsjes.)

Nadere informatie

Beschrijvend statistiek

Beschrijvend statistiek 1 Beschrijvend statistiek 1. In een school werd het intelligentiequotiënt gemeten van de leerlingen van het zesde jaar (zie tabel). De getallen werden afgerond tot op de eenheid. De berekeningen mogen

Nadere informatie

Data analyse Inleiding statistiek

Data analyse Inleiding statistiek Data analyse Inleiding statistiek Terugblik - Inductieve statistiek Afleiden van eigenschappen van een populatie op basis van een beperkt aantal metingen (steekproef) Kennis gemaakt met kans & kansverdelingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies

Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Hoofdstuk 5: Steekproevendistributies Inleiding Statistische gevolgtrekkingen worden gebruikt om conclusies over een populatie of proces te trekken op basis van data. Deze data wordt samengevat door middel

Nadere informatie

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE A HAVO VAKINFORMATIE STAATSEAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

f. Wat is de halveringstijd van deze uitstervende diersoort uitgaande van de formule: N ,88 t, t in jaren t=0 betekent ?

f. Wat is de halveringstijd van deze uitstervende diersoort uitgaande van de formule: N ,88 t, t in jaren t=0 betekent ? RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM T311-HCMEM-H5679 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting

Nadere informatie

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen

Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen Antwoorden Hoofdstuk 1 Verschillen 1a. Niet sterk, want het is gebaseerd op slechts één zomer. b. Vriendinnen volgen is een vorm van groepsgedrag. Waar heeft Anneke het bericht gelezen? In een kwaliteitskrant

Nadere informatie

11. Multipele Regressie en Correlatie

11. Multipele Regressie en Correlatie 11. Multipele Regressie en Correlatie Meervoudig regressie model Nu gaan we kijken naar een relatie tussen een responsvariabele en meerdere verklarende variabelen. Een bivariate regressielijn ziet er in

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Statistiek. Beschrijvend statistiek

Statistiek. Beschrijvend statistiek Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO

DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO DEEL II DOEN! - Praktische opdracht statistiek WA- 4HAVO Leerlingmateriaal 1. Doel van de praktische opdracht Het doel van deze praktische opdracht is om de theorie uit je boek te verbinden met de data

Nadere informatie