O = = = 12 6 = 5 cm. (teken over roosterlijnen een rechthoek er omheen)

Transcriptie

1 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 e oevlakte van figuu is de oevlakte van een echthoek van 7 bij O = 7 = (de halve cikel aan de bovenkant ast ecies in de inham aan de ondekant a O ( QP = O ( QP O ( MQ (zie de figuu hieonde = = it is niet de helft van 7 (de oevlakte van fig b O ( EG = O ( ES O ( GS O ( G (zie de figuu hienaast = 9 9 = 8 us O ( E = 7 8 = O ( EG : O ( E = 8 : = 7 :09 a O ( ( ( b O ( = O ( + O ( (zie hienaast = ah + bh = h( a + b = ( a + b h h b a a b c d e O = (neem de linkekant als basis = cm O = = = = cm (teken ove oostelijnen een echthoek e omheen O = Oaallellogam + Ocikel = + = +, cm = mm O = Otaezium = ( + = = = 9 cm O = Oechthoek + Ohalve cikel = + = + 7,7 cm = 77 mm O = O ( cikel Oviekant = Ocikel O = = 9 8 0, 7 a M: M = M = 0 = 0 b M = M en M = 0 M is gelijkzijdig M = M = = NM: N + MN = M + MN = MN = = MN = O ( M = =, 9 c O ( E = O ( M = =, Neem G - acticum doo (uitwekingen aan het eind OES VOOKENNIS cos( a = = 7 cos(, 7 b tan Q = Q = tan 7 ( sin( = = 7 sin(, 0 7 Vookennis Goniometische vehoudingen (bladzijden, en tan = = tan ( cos(8 = = 7 cos(8, 7 8 sin = = sin 8 ( 7 tan( = = tan( 7, cos I = I = cos 0 ( 0 sin(0 = 7 G = 7 0, 9 G sin(0 7 tan K = K = tan 7 MN 0 ( 0 sin(0 = MN = KL = 7 sin(0, 7 7 7, 7, tan(7 = S S = tan(7, cos P = P = cos 0 0 ( 7 0,, M = = 7 MN = en tan( = MN = MN tan(, O ( E = MN =, 0 tan(,,

2 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 8 M = 0 = 8 cos(, = h h = cos(, en sin(, = = sin(, O ( EG = 8 h = 8 sin(, cos(, 0,8, h 9 tan(70 = 0 = 0 en tan(0 = 0 = 0 tan(70 tan(0 O ( = ( + h = ( ,8 tan(70 tan(0 0 0a 0b 0c 70 0 Zie de figuu hienaast : sin(70 = h h = sin(70 O ( = 8 sin(70 8,8 h eken de hoogtelijn en noem deze h : sin = h h = b sin b 70 O ( = = c b sin = bc sin 8 ONOU: de oevlakte van een diehoek is zijde zijde de sinus van de ingesloten hoek ( doo deze twee zijden a O ( M = 0 0 sin(80 0 sin(80 9, (de fomule van ogave 0c = b O (segment = O (secto M O ( M = sin(80 0, O ( E = O ( M + O (secto M = sin(0 + 7, 7 0 MN MN = MN = ( : sin sin ME = M = M = MN = sin ( (oslaan in X O ( E = O ( ME + O ( sectoen 0 = sin( X + X, 0,, MP MP = MP = (, QMP = MP = sin ( (oslaan in M,, NP: sin NP = NP = sin (, QNP = NP = sin ( (oslaan in N a : sin sin O (gebied = O (secto MPQ O ( MPQ + O (secto NPQ O ( NPQ M = sin( M + N sin( N, e figuen a, b en d kunnen de uitslag van een kubus zijn E N M a e figuen a, b en d kunnen de uitslag van een kubus zijn 7 Zie hienaast de uitslag van de iamide in figuu 8a is een vegoting van E (snavelfiguu Omdat = en E = is de vegotingsfacto = = = + x E E = E = x x = ( + x x = + x x = x = = + x = 8b Zie hienaast een uitslag van de afgeknotte iamide in figuu G E G

3 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 9 Zie hieonde twee mogelijke uitslagen van het lichaam in figuu G S P G G S Q 0 PM = P, Q, en S in de uitslag te tekenen PS in het bovenvlak is even lang als MN in het gondvlak Zie hienaast een uitslag van het lichaam in figuu S N M Q e lengte van de cilindemantels (de echthoeken is (cm us de omtek van de cikels is = = 0,8 (cm e staal van de blauwe cikels is 0,8 (cm het is figuu b S P Q a omtekgondcikel = 90 0 = 90 = (cm 0 b omtekgondcikel = 0, 0 = 0,, (cm 0 c omtekgondcikel = 00 0 = 00,7 (cm 0 omtekgondcikel = 0 = 0 omtekgondcikel (met middeluntshoek = 0 = 0 = de middeluntshoek is a omtekgondcikel (met middeluntshoek = ( = + = 9 + = = 0 = 0 = middeluntshoek is e uitslag is deel van een cikel met staal (zie het gijs gemakeede deel hienaast b omtekgondcikel (met middeluntshoek = ( = + = = 0 = 0 = 88 middeluntshoek is 88 e uitslag is deel van een cikel met staal (zie het geaceede deel hienaast a e uitslag van de cilindemantel is een echthoek van = cm bij cm touwtje b Zie een schets van de echthoek hienaast, de diagonaal stelt het touwtje voo c e stelling van Pythagoas geeft = ( +, (cm 7 Ove een hoogte van = mete is het touw ecies vie kee stak om de mast gewonden, dus ove een hoogte van cm is het touw ecies één kee stak om de mast gewonden e diagonaal van de mantel van de cilinde met h = (cm en =, (de diamete van de mast is 9 cm is (, + (de diagonaal in een echthoek van, cm bij cm het touw is ns cm lang 8 O (cilinde = O (gondcikel + O (cilindemantel = + h = + = + = 8 (cm

4 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 9a omtekgondcikel (met middeluntshoek = ( = + = = us = 0 = middeluntshoek is 0 9b O (kegelmantel = = 7 (cm 0 9c O (kegel = O (gondcikel + O (kegelmantel = + = 9 + = 7 (cm 0 a b c d sin(, = 7 = 7 P (cikel = sin(,, O (kegel = O (gondcikel + O (kegelmantel = +, (cm O (cikel = O (cilindemantel = h O (kegelmantel = O (gondcikel = = 00 = 00 = 00 = + h = = = O (kegelmantel = 0, (cm 7 O (gondcikel = = 0 = 0 = 0 O (kegelmantel = = 7 = 7 Noem de halve tohoek α dan sinα = α = sin ( tohoek α 8 M M = M = + x M N (snavelfiguu x = ( + x x = + x x = N = x = (en M = 0 N N = N = x Van de kegel met to en staal gondcikel = M = is = + h = + 0 = + 00 = = O (kegelmantel = = 7, Van de kegel met to en staal gondcikel = N = is = + h = + = + = 0 = 0 O (kegelmantel = = 0 us O (mantel van afgeknotte kegel = 0 7, O (afgeknotte kegel = O (mantel + O (gondcikel + O (tocikel = , M N (snavelfiguu (zie voo de lettes figuu M M = 0 M = + x (en 0x = ( + x 0x = + x x = N = x = M = N N = N = x Van de kegel met to en staal gondcikel = M = 0 (cm is = + h = + = 9 = 9 O = = Van de kegel met to en staal gondcikel = N = (cm is 0 ( (cm (kegelmantel 0 (cm = + h = + ( = 8 = 8 (cm O (kegelmantel = = 8 (cm O (lamenkaje = 0 (cm 9 9 O (linke cilinde = O (gondcikel + O (cilindemantel = + h = + 0 = + 80 = O (echte cilinde = O (gondcikel + O (cilindemantel = + h = + h = 8 + h 8 + h = h = 0 (delen doo h = 0 h = O (skatebaan = O (echthoek + O (cilindemantel = l b + h = ( + = + 8 = + 8 (m e mateiaalkosten van de staallaten (,7/dm 7/m is ( ( 7 O (mantel figuu a = (cilindemantel figuu b (cm O = h = = O (twee bolletjes met staal = O (bol met staal = 8 = 00 =, =,, P (cikel = O (cikel = O (bol =

5 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 9 P (aadbol = = (km = 0000 = 0000 (km O (oceanen = O (aabol = (km 0,7 0, a 0b 0c O (cilindemantel = = = (cm (in figuu 9a zie je dat h = = = O (bal = = = = (cm h 7 9 us Linda heeft gelijk Zie de figuu hienaast In M is sin(0 = Intesect geeft,9 (cm Vie lagen van die knikkes ls de lagen ecies o elkaa liggen komen ze 8 < 8, = cm hoog (als de lagen in de kuiltjes liggen komen ze minde hoog 0 M 0d 0e O (twaalf knikkes = O (knikke = = (cm 8 9 O (twee ballen = = 7 (cm O (twaalf knikkes O (twee ballen = 8,9 7 a I (kegel = I (cilinde = h = h b I (bol = I (kegel = h (in figuu is h = = E assen ballen in de doos h = us I (doos = G h = = ( = 00% I (die ballen = I (bal = = et ecentage is dus 00% = 00%,7% a G = sin(0 = 8sin(0 I (isma = G h = 8sin(0 8 = sin(0, 7 b G = 0 = 0 (Zij M het midden van K, dan M + GM = G + GM = GM = = = I (iamide = Gh = 0 9 = 0 9 = 80 c I (kegel = Gh =, ( + h = h = = I (iamide = Gh = ( =,0 (cm ( + h = h = = Noem P het snijunt van E en G ; Q het snijunt van I en ( is het snijunt van E en I (woning = I ( I ( EIJ PK I ( K PQ I ( QK GL = I (iamide I (isma I (iamide I (isma = 8 = = 88 (m et huis bestaat uit twee isma's iede met een vijfhoek als gondvlak en een iamide die de zoldes vebindt I (huis = I (isma o de voogond + I (isma + I (iamide o de achtegond = G h + G h + G h = ( + + ( + + = ( (8 + + = = = 8 (m 7 et gondvlak en zeshoek met zijden van, = 7, cm; de hoogte van de doos is,7 =,7 cm I (doos = I (isma = G h = 7, 7, sin(0,7 009 (cm ( G is de oevlakte van gelijkzijdige diehoeken met zijden van 7, cm 8 I (bol = = = = 00 (cm 0 00 I (kegel = Gh = h = 0 = = (cm = 0 kegel = 0 7, (cm I (cilinde = Gh = h = 0 = 0 = 00 (cm = 0 = 0, (cm cilinde

6 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg /9 9 0a 0b I (bol = ; I (kegel = Gh = = en I (cilinde = Gh = = I (kegel : I (bol : I (cilinde = : : = : : = : : = : : I (systeem = I (balk + I (buizen = + (cm 00 7, ( I (systeem I (exta buis = 7, h = I (systeem h = (cm 7, a b eeken lichaaamsdiagonaal G in de kubus met ibbe = (cm G = = + + = = (cm = = (cm I (bol I (kubus = = ( 0, (cm eken het bovenvlak van de kubus met daa omheen de cikel met staal =, (cm Zie hienaast, M, G a Zet het kaetje "o z'n ko" (en sloo het ondestel Zie hienaast (omdat E = en G = is de hoogte van de hele iamide mete b I (ka =, = 8 = 7 (m e emme heeft de vom van een afgeknotte iamide (snavelfiguu,, E, = = x +,, = = x,x = x +, 0,x =, x = = dm (en = 7, dm I (emme =, 7,, (dm = lite x dm dm dm, dm, dm, dm a b iagnostische toets O = = = 9, 8 cm = 98 mm O = + + = = 8 + 9,7 cm = 97 mm a M = 0 = M + M = 80 = 8 M = M M = = b e omtek van omgescheven cikel is = 0 (gegeven = 0 = ( = M sin MN = sin(, = = sin(, = 0 sin(, Omtek( EG = 8 = 8 0 sin(, 0, O ( EG = 8 M M sin M = 8 sin( 70,7, h

7 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg 7/9 sin MN = MN,9 M = MN (oslaan in M M O (segment = O (secto O ( M = sin( M,09 0 a = = + = Zie hieonde de uitslag b Zie de uitslag hienaast a b = + = + = 0 = 0 omtekgondcikel (met middeluntshoek = 0 0 = 0 middeluntshoek is (ongevee 0 e uitslag van de kegelmantel zie je hienaast (haal = 0 uit een diehoek met echthoekszijden en 0 0 a 0 = + h = + 0 = + 00 = = O (kegel = O (gondcikel + O (kegelmantel = + = +, b Van de tokegel met h = 0 = en staal gondcikel = = (snavelfiguu is 0 = + h = + = 9 + = = O (kegelmantel = = O (mantel van afgeknotte kegel =, 7a 7b O (cilinde = O (gondcikel + O (cilindemantel = + h = + 8 = + = 9 O (bol = = = ( = 00% en O (cilinde = 9 00% = 00% = 0% us O (cilinde is 0% gote dan O (bol O (cilinde = O (gondcikel + O (cilindemantel = + h = + = + = O (bol = ( = 00% en O (cilinde = 00% = 00% = 0% us O (cilinde is steeds 0% gote dan O (bol et hangt niet af van de gootte van de staal van de bol 8a 8b I (cilinde = G h = h = = = (cm I (bol = = = = 00 (cm 9a I (iamide = sin(0 0 sin(0 0 0 sin(0,9 G h = = = 9b I (afgeknotte iamide = sin(0 0,, sin(0 0,7 (de maten in de toiamide die eaf gehaald is, zijn deel van de maten in gegeven iamide 9c Zie het bovenaanzicht (dit is het gondvlak hienaast ( ligt ecies boven M In de gijs gemakeede diehoek is: cos(0 = = cos(0 I (kegel = G h = h = ( 0 cos(0 I (kegel buiten de iamide = ( 0 0 sin(0 (zie 9a 7, 70 cos(0 0 0

8 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg 8/9 Gemengde ogaven Oevlakte en inhoud Ga 0 M M = = 7 MN = = sin( = N = N N = 0 sin( 0 us a = = N = 0 sin(, 8 0 Gb O ( E = O ( M = sin(7,, sin( = N = = sin( O (blauw =, sin(7,8,, Ga Noem M het middelunt van c en N het middelunt van c (dan eenvoudige te noteen E geldt MN = MQ = MP = MQ = NQ = = et aallellogam bestaat uit gelijkzijdige diehoeken Zie de figuu hienaast O ( MPNQ = O ( MNQ = sin(0 = 9sin(0 7,79 Gb e gevaagde oevlakte is de oevlakte van het aallellogam (zie Ga en daanaast nog kee de oevlakte van het gijs gemakeede segment 0 O (segment = O (seto MNQ O ( MNQ = sin(0 0 O (ovelaing in figuu G 8 = O ( MPNQ + O (segment, 0 G e lengte van het langste lint is: = = 9 = 9 (cm e lengte van het middelste lint is: = + = = (cm e lengte van het kotste lint is: = + = = (cm e totale lengte van de die linten is: (cm Ga Zie de uitslag hienaast (e is langs de ostaande ibben oengeknit Gb In : = + = = (cm M = = (cm In M: M = ( + + 9, 9 (cm G7 O (cilindemantel = h = 0 = 80 ( cilinde kegel ij de kegel is = + h = + 00 O (kegelmantel = = + 00 E geldt dus: 80 = + 00 e otie intesect geeft dan, G8 et ijje is te maken van een cilinde met h = = 7 (cm (denk de vesteknaad los en stukjes ij in elkaas velengde tegen elkaa aan O (ijje = O (cilindemantel = h = 7 = 09 (cm G 9 e emme is een afgeknotte kegel e hoogte van de hele kegel is h = = 0 (cm (de diamete aan de bovenkant van de emme is cm; cm lage is de diamete nog cm, dus cm minde; wee cm lage is de diamete nog cm en nog één kee cm lage is de diamete dan 0 cm dit is de to van de kegel I (emme = I (KEGEL I (kegel = ( 0 ( 70 (cm I (duel = = 0, ( cm 0 70 In de emme assen duels 0, et duut dus ongevee 8000 seconden at is ns : 0 (minuten : 0 (uu : (dagen, dagen us uim weken G0 I (ondeste helft = I (KEGEL I (kegel = = 8 = 7 us I (diabolovomige lichaam = 7 =

9 G& havo deel Oevlakte en inhoud von Schwatzenbeg 9/9 Ga I (iamide = Gh = ( + 0 = ( + 0 = 0 0 = 0 0 = 00 Gb O hoogte (7 onde de to zijn de lengtematen in het ho vlak 7 deel van de lengtematen in vijfhoek E 0 O hoogte ( onde de to zijn de lengtematen deel (de helft van die in vijfhoek E 0 I (vaag b = ( ( + 0 =, Ga sin α = = invullen in O (kegelmantel = geeft O (kegelmantel = = sinα sinα sinα β β O (kegelmantel = O (cikelsecto = = β = 0 = 0 = 0 sin α 0 0 β Gb O (kegelmantel = maa ook O (kegelmantel = 0 β us = 0 = 0 = 0 = us O (gondcikel = = ( =, Gc O (kegel = O (gondcikel + O (kegelmantel O (gondcikel = O (gondcikel + O (kegelmantel O (kegel = O (gondcikel (gegeven us O (gondcikel = O (kegelmantel it geeft = sin sin ( de tohoek is sin ( 9 sin α = sin α α = α = α = I-8 Goniometie en geheugen a 0 sin(,9 c 7 sin(7,0 b 0 0, 7 cos( d,9 tan( + tan(, = sin c = tan 7 ( a ( + b = cos ( 8 d ( = sin a = en PQ = KL = ( + PQ 908,9 tan b tan,7 E = 80 sin en = = E,8 + =,; = en = 0,98 a,8 c b +, d 7, 0, 7 + a Voe de fomules in o de G In het dede schem (hieonde zie je de coödinaten van het echte snijunt b e coödinaten van het laatst gevonden unt in het gafiekenschem kunnen in het basisschem met X en Y woden ogeoeen