Simulatie van de volatiliteit in financiële markten met behulp van niet-evenwichts moleculaire dynamica

Transcriptie

1 Simulatie van de volatiliteit in financiële markten met behulp van niet-evenwichts moleculaire dynamica Liesbeth Baudewyn Promotor: prof. dr. Jan Ryckebusch Begeleiders: Simon Standaert, dr. Kris Van Houcke Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de ingenieurswetenschappen: toegepaste natuurkunde Vakgroep Fysica en sterrenkunde Voorzitter: prof. dr. Dirk Ryckbosch Faculteit Ingenieurswetenschappen Academiejaar

2 Dankwoord Graag wil ik mijn promotor, Prof. dr. Jan Ryckebusch, bedanken om mij de kans te geven om mijn masterproef te schrijven over dit fascinerende onderwerp. Dit onderwerp heeft me een heel jaar lang geboeid, en zal me blijven boeien. Mijn begeleider, Simon Standaert, wil ik bedanken voor de vele raadgevingen en goede ideeën gedurende het jaar. Ik wil beiden ook bedanken voor het verbeteren van de vele spellingsfouten bij het nalezen van mijn masterproef. Mijn klasgenoten wil ik bedanken voor de handige tips, voornamelijk in verband met latex. Mijn laatstejaars vrienden bedank ik voor de vele momenten waarop we elkaar gemotiveerd hebben om onze masterproef tot een goed einde te brengen. Ook mijn ouders wil ik bedanken voor het nalezen van mijn masterproef. i

3 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. 30 mei 2010 ii

4 Overzicht Simulatie van de volatiliteit in financiële markten met behulp van niet-evenwichts moleculaire dynamica Liesbeth Baudewyn Promotor: prof. dr. Jan Ryckebusch Begeleiders: Simon Standaert, dr. Kris van Houcke Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de ingenieurswetenschappen: toegepaste natuurkunde Academiejaar Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Fysica en sterrenkunde Voorzitter: prof. dr. Dirk Ryckbosch Samenvatting Trefwoorden: econofysica, anomale diffusie, moleculaire dynamica, volatiliteit In mijn masterproef leg ik de link tussen diffusie in een vloeistof en de werking van financiële markten. Simulaties van een vloeistof worden uitgevoerd met behulp van de moleculaire dynamica techniek. Simulatie van anomale diffusie is mogelijk wanneer de interactie tussen de deeltjes beschreven wordt door een softcore potentiaal en wanneer de vloeistof uit evenwicht wordt gebracht. De distributie van de stapgroottes van de deeltjes op één tijdstip beschrijft een leptokurtosische distributie. De robuuste eigenschappen van financiële markten worden gedistilleerd uit de intraday gegevens voor de S&P 500 index in de periode vanaf januari 1950 tot en met september Deze proberen we dan te simuleren in een vloeistofmodel. De leptokurtosische distributie die verkregen wordt voor de distributie van de returns is analoog aan de distributie verkregen voor de stapgroottes van vloeistofdeeltjes uit evenwicht. Hierdoor kunnen we de returns linken aan de stapgroottes. Om de distributies van de volatiliteit van de S&P 500 te vergelijken met de distributie van de volatiliteit in het vloeistofmodel moeten we de tijdschaal in de MD simulatie mappen op de reële tijd in financiële markten en de lengte-eenheden van het simulatiesysteem op de ticks van financiële markten. De distributie van de volatiliteit in een vloeistofmodel beschrijft een lognormale distributie met machtswetstaarten, analoog aan de distributie van de volatiliteit van de S&P 500 index. De lange-dracht autocorrelatiefunctie voor de volatiliteit wordt teruggevonden. Deze vertoont echter geen machtswetverval. iii

5 Volatility in financial markets: simulations using non-equilibrium molecular dynamics Liesbeth Baudewyn Supervisor(s): prof. dr. Jan Ryckebusch, Simon Standaert, dr. Kris Van Houcke Abstract The robust properties of financial markets are distilled from the intraday data of the S&P 500 index for the time period starting Jan and ending Sept These properties are simulated in a liquid model using molecular dynamics (MD). Keywords Econophysics, anomalous diffusion, molecular dynamics, volatility I. INTRODUCTION PYSICISTS are increasingly interested in economic time series analysis. In 1995 H.E. Stanley came up with the term econophysics. Econophysics is the branch of physics where financial and economic systems are treated as complex evolving systems, widely studied in physics [1], [2]. In this article we distill the robust properties of financial markets from the intraday data of the S&P 500 index and try to simulate them in a liquid model using MD. Financial markets are often linked to diffusion phenomena in a liquid, particularly to anomalous diffusion. In our analysis we focus on the volatility of financial markets. II. ANOMALOUS DIFFUSION A liquid has been the prime example of a system in which normal diffusion occurs. Gaussian statistics characterizes normal diffusion owing to the central limit theorem (CLT). Anomalous diffusion occurs when the conditions for the CLT are not met: an infinite variance of the single time-step displacement distribution and/or persistent time correlations between the steps. Anomalous diffusion is characterized by a probability distribution function (PDF) with power law tails P (x) x λ. A. Power laws The variable x has a diverging variance if λ < 3. The limiting distribution of the sum of independent variables x i with this property is a Lévy distribution. A Lévy distribution is a leptokurtic distribution, it has a more pronounced peak around the mean and heavier tails than a Gaussian distribution. B. Correlation functions Systems with persistent time correlations in the step increments can generate anomalous diffusion. Long-range correlated random variables are characterized by the lack of a typical temporal scale. This behavior is observed in stochastic processes characterized by a power law autocorrelation function, which can give rise to anomalous diffusion. III. MOLECULAR DYNAMICS MD is a simulation technique that is based on solving the equations of motion for many interacting particles at carefully chosen regular time intervals. In MD simulations with a Lennard-Jones (LJ) potential, normal diffusion is obtained. Anomalous diffusion is attained when the inter-particle interaction is described by a softcore potential and when the liquid is forced out of equilibrium. A. Softcore potential When attempting to create conditions under which anomalous diffusion emerges, the hard core of the LJ potential poses a real challenge. In order to remedy this, we will work with the following softcore potential [3]: H U SC (r) = 1 + exp( (r R R )) U A exp ( (r R A) 2 ) 2δA 2. (1) The parameters, R R, R A, U A and δ A were optimized so as to match the LJ potential except for the short-range part. The parameter H determines the hardness of the core of the potential. B. Non-equilibrium We introduce non-equilibrium conditions by periodically driving the system and modifying the density of the liquid with a factor λ. An increase in the temperature of the system is observed. If the temperature exceeds a certain treshold, the density is rescaled to its original value and the starting temperature is restored, the system is in the cooldown phase. To be able to compare the one-dimensional single time-step displacement distributions P ( x) at different times, the displacements are divided by the standard deviation of the distribution at that time instance. Fig. 1 compares P ( x/σ) for a typical equilibrium time instance with one obtained at a representative non-equilibrium time instance (cooldown phase). Probability x/σ Fig. 1. P ( x ) for equilibrium (Gaussian) and non-equilibrium (anomalous) σ situations with inital density ρ = 0.5 and temperature T = 0.7. Under non-equilibrium conditions, the tails of P ( x σ ) are

6 considerably heavier than under equilibrium conditons, a leptokurtic distribution is observed. In Fig. 2 the cumulative distributions for V T and V TM shown. and are IV. ANALYSIS OF THE S&P 500 INDEX Along the lines of the procedure outlined in [4], we analyze the intraday S&P 500 historical data for the 59-year period starting January 1950 and ending September A. Returns The return G(t) is defined as G(t) = (Z(t+ t) Z(t))/Z(t) where we choose t = 1 day. The PDF of G(t) is highly leptokurtic, analogous to Figure 1, with power law tails with λ 4. The autocorrelation function of G(t) decays exponentially, the returns are short-range correlated. B. Volatility Understanding the statistical properties of the volatility has important practical implications as it quantifies the risk. We define the volatility over a time window T = n t as V T (t) = 1 n t+n 1 t =t G(t ), (2) where n is an integer. V T (t) is log-normally distributed in the centre. For various choices of T (from T = 50 up to T = 200 days), the PDFs collapse onto a single universal curve. Similar to the returns, power law behavior is observed in the tails. The autocorrelation function of the volatility has a power law decay with persistence up to several months. V. SIMULATIONS OF THE VOLATILITY We will try to simulate the properties of V T in a liquid model using MD. Because of the similarity between the PDF of G(t) and the PDF of x i /σ, we link both variables. Analogous to formula 2 we define the volatility V TM over a time window T M for particle i in a MD simulation as V TM (t, i) = 1 t =t+t M 1 x i (t ). (3) T M A. Mapping of time and space t =t The simulation time is mapped on the real stock market time. By comparing the autocorrelation functions of G(t) and these of x(t) we obtain that a timescale of minutes in the S&P 500 is in the order of 100 simulation steps. Mapping the space means mapping the obtained values of V TM onto the values of V T. B. Equilibrium When we compare the PDF of V TM of a liquid in equilibrium with the PDF of V T, we observe similar behavior. For high enough values T M (> 3000) we obtain log-normal behavior. The heavy tails are not observed. C. Non-equilibrium The PDF of V TM obtained at a representative non-equilibrium time instance, has heavier tails than a log-normal distribution. Cumulative distribution V T Fig. 2. Cumulative distribution of V T (T = 100 days) and V TM (T M = 3600). The blue curve is the cumulative distribution of the fitted log-normal. Both cumulative distributions diverge in the tails from this curve. Heavier tails than for a log-normal distribution are observed. A power law is fitted to both. The exponents of both power laws have similar values. The power law behavior observed in the tails of the PDF of V TM is similar to the power law behavior in the tails of the PDF of V T, the exponents are approximately the same. The autocorrelation function of V TM is compared to the one of V T in Fig. 3. Autocorrelation V TM Time t [days] 10 1 Timesteps Fig. 3. Autocorrelation function of V T and V TM. We observe long-range correlation for both. The power law behavior of the autocorrelation function of V T is not obtained using the liquid model. We do have a long-range correlation. VI. CONCLUSIONS The robust properties of financial markets are simulated in a liquid model using MD. To compare the properties of the financial markets with the simulated properties, we have to map the simulation time on the real stock market time and the values of V TM onto the values of V T. The log-normal distribution with power law tails for the PDF of the volatility is observed. The volatility is found to be long-range correlated but no power law decay is obtained. REFERENCES [1] R. N. Mantegna and H. E. Stanley. An introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press, [2] J. Voit. The statistical mechanics of financial markets. Springer, [3] S. Standaert, J. Ryckebusch and L. De Cruz. Creating conditions of anomalous self-diffusion in a liquid with molecular dynamics. J. Stat. Mech., 2010(4):P04004, 2010

7 Inhoudsopgave Dankwoord Toelating tot bruikleen Overzicht Extended abstract Inhoudstabel Tabel van afkortingen en symbolen i ii iii iv vi viii 1 Inleiding 1 2 Diffusie Normale diffusie Anomale diffusie Conclusie Moleculaire dynamica Benaderingen Integratiemethode Programma Conclusie Anomale diffusie in moleculaire dynamica Inleiding Softcore potentiaal Herschalen van de dichtheid Conclusie vi

8 INHOUDSOPGAVE vii 5 Volatiliteit van prijsfluctuaties Returns van de S&P 500 index Volatiliteit van de S&P 500 index Conclusie Simulaties van de volatiliteit Mappen van de tijd en ruimte Volatiliteit in moleculaire dynamica Conclusie Conclusie 78 A Maximum likelihood estimate van de exponenten 82 B Finite-size effecten bij kritische fenomenen 85 Bibliografie 87 Lijst van figuren 90 Lijst van tabellen 95

9 Tabel van afkortingen en symbolen 1 β k B T r Afstand in gereduceerde eenheden Ar Argon m Ar Atoommassa Argon C(t) Autocorrelatiefunctie over de tijd CLT Centraal limiet theorema k B Constante van Boltzmann ɛ Ar Constante die de energie van de interactie bepaalt voor Argon σ Ar Constante die de lengteschaal van de interactie bepaalt voor Argon K(ξ) Cumulant genererende functie p(x) Cumulatieve distributie λ db De Broglie golflengte ρ(x, t) Deeltjesdichtheid J(x, t) Deeltjesstroomdichtheid DFA Detrended fluctuation analysis D Diffusiecoëfficiënt E Energie in gereduceerde eenheden FED Federal Reserve of the Central Bank of the United States F (t) Fluctuatie µ Gemiddelde l Gemiddelde afstand tussen de moleculen v T (t) Geschaalde volatiliteit TLF Getrunceerde Lévy distributie λ Herschalingsfactor H Hardheid softcore potentiaal Hu Hurst exponent φ(q) Karakteristieke functie E k Kinetische energie γ 2 Kurtosis U LJ (r) Lennard-Jones potentiaal t b Moleculaire botsingstijd MD Moleculaire dynamica M(ξ) Moment genererende functie MC Monte-Carlo κ n n e cumulant µ n n e moment NINJA No Income, No Job or Assets Potentiële energie E p viii

10 TABEL VAN AFKORTINGEN EN SYMBOLEN ix S(f) g (2) ( r 1, r 2 ) RDF G t (t) γ 1 VAF U SC (r) X n σ T t σ 2 V T (t) V TM (t) Z(t) PDF P (x) Power spectrum Radiale distributiefunctie Radiale distributiefunctie Return over tijdsvenster t Skewness Snelheidsautocorrelatiefunctie Softcore potentiaal Som van n stochastische variabelen x i Standaarddeviatie Temperatuur in gereduceerde eenheden Tijd in gereduceerde eenheden Variantie Volatiliteit over een tijdsvenster T Volatiliteit van een MD simulatie over een tijdsvenster T M Waarde van een aandeel of een index Waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie Waarschijnlijkheidsdistributie

11 Hoofdstuk 1 Inleiding Vooreerst wordt de link tussen economie en fysica in een korte algemene inleiding duidelijk gemaakt. Daarna wordt het eigenlijke doel van deze masterproef beschreven. Econofysica Heel wat modellen ontwikkeld in de context van de klassieke economie zijn gebaseerd op sterke veronderstellingen die vaak axioma s zijn geworden: rationele verwachtingen en economisch evenwicht. Financiële markten worden verondersteld efficiënt te zijn. Een markt is efficiënt als alle beschikbare informatie onmiddellijk verwerkt wordt wanneer ze de markt bereikt en wanneer dit zich onmiddellijk vertaalt naar een nieuwe waarde van de prijzen van de verhandelde activa [MS00]. Markten in evenwicht worden daarom stabiel verondersteld. Binnen dergelijk beeld kunnen crashes enkel veroorzaakt worden door externe gebeurtenissen zoals natuurrampen, terroristische aanslagen... en nooit door de dynamica van de markt zelf. Dit is in tegenstrijdigheid met de meeste financiële crashes die veroorzaakt werden door markt bubbles (zeepbellen) 1. Er is dus nood aan een bijstelling van de fundamenten van de klassieke economie. De econoom en Nobelprijs winnaar Milton Friedman zei het volgende: In general, the more significant the theory, the more unrealistic the assumptions [Fri66]. Fysici houden niet van theorieën die niet bevestigd worden door de empirische data. Ze hebben geleerd wantrouwig tegenover axioma s te staan. Wanneer de empirische observatie niet overeenkomt met het model, moet het model overboord gegooid of aangepast worden. De term econofysica werd in het leven geroepen in 1995 door de fysicus H.E. Stanley. Econofysica is de tak van de fysica waarin financiële en economische systemen behandeld worden als complexe fysische systemen. Methoden uit de statistische fysica worden toegepast op economische problemen [BP03], [SAGP00], [SAG + 01], [MS00], [Voi05], [SAC + 99], [Lux09]. Door het gedrag van reële financiële markten te observeren, aan de hand van numerieke analyse van financiële tijdsreeksen, kunnen enkele klassieke economische modellen uitgesloten worden doordat ze tegenstrijdig zijn met het geob- 1 Markt zeepbellen komen voor wanneer marktdeelnemers de aandeelprijzen hoger drijven dan hun actuele waarde. Dikwijls wordt dit gedefinieerd als een groei van de index die sterker is dan exponentieel. 1

12 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 2 serveerde gedrag. Voor de distributie van prijsveranderingen 2 wordt bijvoorbeeld een Gaussische distributie met staarten die een machtswet volgen, waargenomen. Deze machtswetstaarten worden verwaarloosd in het populaire Black-Scholes model. Dit model veronderstelt dat prijsveranderingen een Gaussische distributie volgen, waardoor extreme evenementen verwaarloosbaar zijn. Machtswetten doen onmiddellijk een belletje rinkelen bij fysici. De dynamische variabelen van vele complexe systemen voldoen ook aan machtswetten, bijvoorbeeld in de nabijheid van tweede-orde fasetransities (kritische fenomenen). De kritische aard van de dynamica van dergelijke systemen is het gevolg van collectieve effecten. Individuele componenten hebben een eenvoudig gedrag maar hun interacties leiden tot nieuwe emergente fenomenen op het macro niveau. Er wordt verondersteld dat een analoog onderliggend mechanisme toepasbaar is op financiële markten. Economische systemen worden in de econofysica dus beschouwd als complexe interagerende systemen waarvoor een grote hoeveelheid data bestaat 3. De focus op empirische data en het feit dat deze steeds axioma s en modellen overstijgen is een belangrijke bijdrage van de fysica aan de economie [Bou08]. Doelstelling In hoofdstuk 5 probeer ik de robuuste eigenschappen van financiële markten te distilleren uit intraday gegevens voor de S&P 500 index die ik via [yah] verkreeg 4. Ik koos voor de analyse van de S&P 500 index zodat ik een vergelijking kon maken met de analyse uitgevoerd in [LGC + 98]. De voornaamste robuuste eigenschappen die verkregen worden, zijn de Gaussische distributie met machtswetstaarten voor de distributie van de returns, de lognormale distributie met machtswetstaarten voor de distributie van de volatiliteit 5 en de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit die een machtswetverval vertoont. In hoofdstuk 6 probeer ik deze robuuste eigenschappen te simuleren in een vloeistofmodel waarbij ik me vooral concentreer op de volatiliteit. Financiële markten worden vaak gekoppeld aan diffusiefenomenen in een vloeistof [PGA + 00]. Er heerst een zekere vorm van orde in een vloeistof, er zijn interacties tussen de deeltjes, maar de beweeglijkheid van de moleculen is nog groot genoeg om voldoende diffusie te hebben. Deze twee kenmerken kunnen goed gelinkt worden aan financiële markten. Een financiële markt bestaat ook uit vele interagerende componenten. Bij diffusie verandert een deeltje van richting wanneer het botst met een ander deeltje. Prijsfluctuaties daarentegen vinden plaats wanneer er een transactie gebeurt. In hoofdstuk 2 wordt de theorie rond diffusie besproken. Aan de hand van de numerieke techniek moleculaire dynamica (MD) wordt diffusie in een vloeistof gesimuleerd. Deze techniek wordt besproken in hoofdstuk 3. Voor een brede klasse aan molecuul-molecuul interacties verkrijgen we 2 In de economie worden prijsveranderingen gekarakteriseerd door de returns G t (t) = Z(t+ t) Z(t) Z(t) over een tijdsvenster t waarbij Z(t) de waarde is van een aandeel of van een index op tijdstip t. 3 Sinds de intrede van de elektronische handel (rond 1980) is er een grote hoeveelheid aan elektronische hoog-frequente financiële data. 4 Intraminute gegevens zijn niet gratis beschikbaar voor een lange tijdspanne. De gegevens verkregen via [yah] beschrijven enkele decennia. 5 De volatiliteit is een niet-lineaire functie van de returns. De volatiliteit speelt een belangrijke rol bij het bepalen van risico s.

13 HOOFDSTUK 1. INLEIDING 3 normale diffusie. Normale diffusie geeft aanleiding tot Gaussische distributies voor de stapgrootte van de deeltjes. In hoofdstuk 4 wordt de vloeistof uit evenwicht gebracht 6 waardoor anomale diffusie verkregen wordt. De distributie voor de stapgrootte van de deeltjes is een leptokurtosische distributie 7. De eerste robuuste eigenschap van financiële markten komt hier tevoorschijn. De distributie van de returns kan gelinkt worden aan de distributie van de stapgrootte van de deeltjes. Beide distributies zijn leptokurtosisch. Met behulp van deze link, zal ik de robuuste eigenschappen van de volatiliteit proberen te simuleren in hoofdstuk 6. Belangrijk bij de link tussen financiële markten en een vloeistofmodel is het feit dat we de reële tijd mappen op de simulatietijd, en de prijs van de index op de lengteschaal van de simulatie. 6 De vloeistof wordt uit evenwicht gebracht door het herschalen van de dichtheid. 7 Leptokurtosische distributies hebben een kurtosis groter dan nul. Deze distributies hebben vette staarten. De kans op extreme evenementen daalt zeer traag. Distributies met machtwetstaarten vertonen deze eigenschap.

14 Hoofdstuk 2 Diffusie 2.1 Normale diffusie Het klassieke voorbeeld van diffusie is de Brownse beweging, waarbij moleculen zich door willekeurige botsingen met andere moleculen homogeen verspreiden doorheen een oplosmiddel. Dit verklaart het feit dat wanneer je melk bij je koffie giet, je na een tijdje opnieuw een egale kleur verkrijgt. Meer algemeen kunnen we stellen dat diffusie de tijdsevolutie van een som van stochastische variabelen beschrijft. Zo kunnen bijvoorbeeld de prijsfluctuaties van financiële markten gemodelleerd worden aan de hand van een diffusieproces. Louis Bachelier trachtte als eerste de tijdsevolutie van de prijzen van financiële activa te modelleren als een som van stochastische variabelen [Bac00] De diffusievergelijking De Duitser Adolf Fick publiceerde in 1855 de gekende diffusievergelijking [Fic55]. De ééndimensionale diffusievergelijking wordt gegeven door ρ(x, t) t = D 2 ρ(x, t) x 2, (2.1) waarbij ρ(x, t) de deeltjesdichtheid voorstelt en D de diffusiecoëfficiënt is. De diffusievergelijking wordt ook wel de tweede wet van Fick genoemd. Deze geldt wanneer de diffusiecoëfficiënt D een constante is. Wanneer dit niet het geval is dan moeten we een ρ(x,t) x. extra term in rekening brengen: D x De vergelijking 2.1 kan afgeleid worden met behulp van de eerste wet van Fick, ρ(x, t) J(x, t) = D x, (2.2) waarbij J(x, t) de deeltjesstroomdichtheid voorstelt. Wanneer we de eerste wet van Fick combineren met de continuïteitsvergelijking, ρ(x, t) t + J(x, t) x = 0, (2.3) 4

15 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 5 verkrijgen we de diffusievergelijking 2.1. De eerste wet van Fick 2.2 en de diffusievergelijking 2.1 zijn dus equivalent. Een oplossing voor vergelijking 2.1 wordt gegeven door ρ(x, t) = N ( ) 0 exp x2 4πDt 4Dt, (2.4) waarbij N 0 het totaal aantal deeltjes in het systeem voorstelt. Dit is een Gaussische distributie met gemiddelde 0 en variantie 2Dt. Een standaard Gaussische distributie wordt gegeven door P G (x) = ( 1 exp 2πσ 2 ) (x µ)2 2σ 2, (2.5) waarbij µ het gemiddelde en σ 2 de variantie van de distributie is. In Fig. 2.1 worden Gaussische distributies afgebeeld voor verschillende waarden van µ en σ. Figuur 2.1: Gaussische distributies voor verschillende waarden van µ en σ [wik]. De formule 2.2 is een fenomenologische stelling van macroscopische aard die het verband geeft tussen de deeltjesstroomdichtheid J(x, t) en de deeltjesdichtheid ρ(x, t) [Lee00]. Hierdoor bieden de vergelijkingen 2.1 en 2.2 geen inzicht in het onderliggende statistische proces van diffusie : de random walk Random walk Einstein publiceerde in 1905 een artikel [Ein05] over het grillige traject, de Brownse beweging, van pollen in een vloeistof. Hij bemerkte dat deze beweging veroorzaakt werd door willekeurige botsingen met de moleculen van de vloeistof. Hij vereenvoudigde het traject van een deeltje tot een random walk met stappen van vergelijkbare grootte in willekeurige richtingen, die bij benadering met gelijke tijdsintervallen plaatsvonden.

16 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 6 In het ééndimensionale geval wordt een random walk voorgesteld als een deeltje dat op een rechte beweegt en met reguliere tijdsintervallen t, stappen met grootte ±s neemt waarbij s de vrije weglengte is. De som X n van n onafhankelijke identiek verdeelde variabelen x i, waarbij x i de waarden ±s kan aannemen, X n = x 1 + x x n, (2.6) stelt dan de positie voor van het deeltje op de rechte na n stappen. X n kan ook gezien worden als de positie van een deeltje op tijdstip t = n t. Het eerste en tweede moment van de onderliggende variabelen zijn < x i >= 0 < x 2 i >= s 2. (2.7) De opeenvolgende stappen worden ongecorreleerd verondersteld, de variabelen x i zijn onafhankelijk waardoor we krijgen dat Met behulp van formules 2.6, 2.7 en 2.8 verkrijgen we dan < x i x j >= δ ij s 2. (2.8) < X 2 n >= n < X n >= < x i >= 0, (2.9a) i=1 n n n < x i x j >= < x 2 i >= ns 2. (2.9b) i=1 j=1 i=1 De variantie van het proces stijgt dus lineair met het aantal stappen n. De continue limiet van de random walk verkrijgen we door n en t 0 waarbij t = n t eindig blijft. We schrijven X t in plaats van X n in de continue limiet. Er volgt dat < X 2 t >= s2 t t. (2.10) Einstein bekwam op basis van zijn microscopische veronderstellingen opnieuw een Gaussische verdeling voor de deeltjesdichtheid. Door gelijkstelling van de oplossing van de diffusievergelijking 2.4 en de bekomen Gaussische verdeling via het random walk model wordt het volgend verband verkregen, < X 2 t >= 2Dt, (2.11) waarbij D de diffusiecoëfficiënt uit vergelijking 2.1 is. De vergelijking 2.11 is karakteristiek voor het diffusieproces. De gemiddelde kwadratische verplaatsing is evenredig met de tijd. We kunnen de vergelijking 2.11 ook uitbreiden naar dimensie d, < X 2 t >= 2dDt. (2.12)

17 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 7 De diffusiecoëfficiënt D is een maat voor de snelheid waarmee de deeltjes diffunderen. Het is een macroscopische, direct meetbare grootheid die afhangt van de microscopische eigenschappen van de materie. Dit zal handig blijken wanneer we de link leggen tussen D en de correlatiefuncties. Er werden dus drie veronderstellingen gemaakt voor het random walk model: de stappen hebben een gemiddelde weglengte, er is een vast tijdsverschil tussen opeenvolgende stappen en er zijn geen correlaties tussen de opeenvolgende stappen. Efficiënte markt hypothese De allereerste publicatie van een random walk gebeurde niet door Einstein, maar door Louis Bachelier in 1900 [Bac00]. Hij legde het verband tussen fluctuaties in financiële tijdsreeksen, random walks en de diffusievergelijking. Bachelier stelde dat de distributie van prijsveranderingen een Gaussische distributie volgt. De prijsveranderingen kunnen beschreven worden door een stochastisch proces, een ongecorreleerde random walk. Dit betekent dat prijsveranderingen onvoorspelbaar zijn vanuit het standpunt van vroegere prijsveranderingen. Dit was het uitgangspunt van de in 1960 geformuleerde efficient market hypothesis. Een markt is efficiënt wanneer alle beschikbare informatie onmiddellijk verwerkt wordt wanneer ze de markt bereikt en wanneer dit zich onmiddellijk vertaalt naar een nieuwe waarde van de prijzen van de verhandelde activa [MS00]. De efficiënte markt hypothese is een geïdealiseerd systeem. Reële markten zijn enkel benaderend efficiënt. Empirisch bewijs toonde echter aan dat deze hypothese niet overeenkomt met de realiteit. Een meer realistische modellering van financiële markten dringt zich dus op Centraal Limiet Theorema De alomtegenwoordigheid van de Gaussische distributie in de natuur is gelinkt aan het centraal limiet theorema (CLT). Het CLT stelt dat elk fenomeen dat een gevolg is van een groot aantal kleine, onafhankelijke oorzaken, beschreven wordt door een Gaussische distributie. Meer precies stelt het CLT dat de distributie van de som, P (X n ), van n onafhankelijke, identiek verdeelde variabelen x i, met eindig gemiddelde µ i en eindige variantie σ i, een Gaussische distributie zal volgen wanneer n, onafhankelijk van de distributies van x i. In het bijzonder zien we dat wanneer µ i = 0 en wanneer alle x i dezelfde variantie, σ 2 x, hebben, dat P (X n ) een Gaussische distributie volgt, P (X n ) = 1 ( ) exp X2 n 2πnσx 2 2nσx 2, (2.13) met variantie σx 2 n = nσx. 2 Wanneer we t = n t stellen, wordt σx 2 n = σ2 x t. De gemiddelde kwadratische verplaatsing is hier per definitie gelijk aan de variantie 1 t, < Xt 2 >= X 2 np (X n ) dx n = σ 2 X n = σ2 x t t. (2.14) 1 De gemiddelde kwadratische verplaatsing is gelijk aan de variantie omdat de gemiddelde waarde nul is, σ 2 =< x 2 > < x > 2 =< x 2 >.

18 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 8 Deze vergelijking is analoog aan vergelijking Wanneer aan de condities van het CLT is voldaan, zal er dus steeds normale diffusie optreden [VIKH08]. Enkel voor n geldt het CLT theorema. Voor een eindige waarde van n zal enkel het centrum van de distributie x µ x n σ x n een Gaussische distributie volgen. De staarten kunnen sterk afwijken van de staarten van een Gaussische distributie. Hoe meer random variabelen worden opgeteld, hoe meer de distributie in zijn geheel begint te convergeren naar een Gauss. Bovendien eist het CLT dat σ x eindig is. Een derde voorwaarde is het feit dat de variabelen onafhankelijk moeten zijn. In het geval van zwak gecorreleerde variabelen, waarbij een typische correlatietijd bestaat (zie paragraaf 2.2.5), blijft het CLT gelden. De limietdistributie voor sterker gecorreleerde variabelen, waarvan de correlatietijd geen typische schaal heeft, is in het algemeen geen Gaussische distributie meer. 2.2 Anomale diffusie Definitie Om de verschillende soorten diffusie te onderscheiden wordt meestal gekeken naar de tijdsevolutie van de breedte van de distributie, de typische afstand afgelegd door de diffunderende deeltjes. De breedte wordt gekarakteriseerd door de gemiddelde afgelegde afstand < r 2 > < r > 2 = σ. We zullen dus de tijdsevolutie van σ gebruiken om verschillende soorten diffusie te onderscheiden. Uit de vorige paragraaf weten we dat de karakteristieke eigenschap voor een normaal diffusieproces inhoudt dat de variantie van de afgelegde afstand lineair toeneemt met de tijd (zie vergelijking 2.12), σ 2 (t) =< r 2 (t) > < r(t) > 2 t, (2.15) waarbij we nu in drie dimensies werken en waarbij we niet vooraf ondersteld hebben dat het gemiddelde < r(t) > nul is. De ruimtelijke distributie van de deeltjes in een normaal diffusieproces evolueert naar een Gaussische distributie als gevolg van het CLT. Vele natuurfenomenen tonen echter aan dat er afwijkingen mogelijk zijn van een normaal diffusieproces [SAA + 96], [KS05]. De diffusie kan sneller of trager verlopen, er treedt anomale diffusie op. Anomale diffusie wordt gekarakteriseerd door een niet-lineaire toename van de variantie met de tijd, σ 2 (t) =< r 2 (t) > < r(t) > 2 t γ, (2.16) waarbij γ > 0 en γ 1. Wanneer γ > 1 is, verloopt de diffusie sneller dan in het normale geval. Er is sprake van superdiffusie. In het geval dat γ < 1 is, zal de diffusie trager verlopen dan in het normale geval. Er treedt subdiffusie op. Anomale diffusie kan duidelijk enkel optreden wanneer niet voldaan is aan de nodige voorwaarden voor het CLT vermits de karakteristieke vergelijking 2.15 voor normale diffusie een gevolg is van het CLT. De voorwaarden voor het CLT waren eindigheid van de variantie van de stapgroottes en onafhankelijkheid van de individuele stappen. We bekijken de invloed van een oneindige variantie op het CLT in paragraaf Daarna

19 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 9 beschouwen we in paragraaf de situatie wanneer er correlaties optreden tussen de stappen. In beide gevallen spelen machtswetten een belangrijke rol Machtswetten Vele dingen die wetenschappers meten hebben een typische schaal, een typische waarde waarrond metingen gecentreerd zijn, zoals bij de Gaussische distributies in Fig Maar niet alle dingen die we meten hebben een piek rond een typische waarde. Sommige dingen kunnen variëren over een enorm dynamisch bereik. De waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) voor deze fenomenen volgt een machtswet, P (x) = Cx λ, (2.17) waarbij C een constante is en λ de exponent van de machtswet. Machtswetten zijn alomtegenwoordig. Een recent voorbeeld houdt verband met het aantal tags die foto s hebben op de website Flickr. Flickr is een online service waarop mensen hun foto s kunnen uploaden en kunnen delen met familie, vrienden en de hele internetgemeenschap. Gebruikers kunnen een tag aanbrengen op hun foto s. Een tag beschrijft de inhoud van de foto of geeft bijkomende informatie erover. In [SvZ08] analyseert men het tag gedrag van de gebruikers om daarna het taggen te stimuleren met behulp van tag suggesties 2. De fotocollectie die hier wordt geanalyseerd bestaat uit 52 miljoen foto s die in totaal 188 miljoen tags bevatten. Van deze 188 miljoen tags zijn er vele dezelfde. Er zijn in totaal 3.7 miljoen unieke tags. De foto s werden geüpload tussen februari 2004 en juni In Fig. 2.2 zien we de distributie van de tag frequentie. Figuur 2.2: Distributie van de tag frequentie in Flickr op log-log schaal. Deze distributie volgt duidelijk een machtswet[svz08]. 2 Wanneer men foto s uploadt zullen er suggesties op het scherm verschijnen met mogelijke tags. Wanneer deze suggesties goed gekozen worden, zal het taggen gestimuleerd worden. Er zal meer getagged worden.

20 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 10 Op de x-as worden de 3.7 miljoen unieke tags uitgezet, geordend naar dalende tag frequentie. We zien dat de distributie lineair is op log-log schaal waardoor deze kan gemodelleerd worden met behulp van een machtswet. De waarschijnlijkheid van een tag om tag frequentie z te hebben is evenredig met z Wat de werknemers van Flickr, die het taggen willen aanmoedigen, uit deze distributie kunnen concluderen is dat het linkse deel van de distributie in Fig. 2.2 tags bevat die te rigoureus zijn om te gebruiken als tag suggestie. Deze tags worden reeds veel gebruikt waardoor het overbodig blijkt om deze op het scherm als suggestie te laten verschijnen. De vijf meest frequente tags zijn: 2006, 2005, wedding, party en Het meest rechtse deel van de distributie in Fig. 2.2, de staart, bevat de niet veel voorkomende tags. Deze zijn vaak complexe zinnen of fout gespelde woorden. Ook deze tags zullen niet bruikbaar zijn als tag suggestie omdat ze te weinig voorkomen. De kans dat iemand deze tag wil gebruiken is te klein. In Fig. 2.3 wordt de distributie getoond van het aantal tags per foto. De x-as bevat de 52 miljoen foto s, geordend naar dalend aantal tags per foto. We zien duidelijk dat deze distributie opnieuw een machtswet volgt. De waarschijnlijkheid om z tags per foto te hebben is evenredig met z Figuur 2.3: Distributie van het aantal tags per foto in Flickr op log-log schaal. Deze distributie volgt duidelijk een machtswet[svz08]. Wanneer we opnieuw door de ogen kijken van diegenen die het taggen wil aanmoedigen, zien we dat het linkse deel van de distributie in Fig. 2.3 foto s bevat die reeds erg veel tags hebben. Het is moeilijk om voor deze foto s nog goede tag suggesties te bedenken. Het rechtse deel van de distributie in Fig. 2.3 bevat meer dan 15 miljoen fotos die slechts 1 tag hebben en 17 miljoen fotos met slechts 2 of 3 tags. Samen is dit reeds 64% van de foto s. Het is duidelijk dat dit de foto s zijn waar men verwacht dat de tag suggesties het aantal tags zullen verhogen.

21 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 11 Statistische eigenschappen Een machtswet distributie wordt gegeven door vergelijking Opdat deze vergelijking een PDF zou voorstellen mag de functie niet divergeren. Dit betekent dat x > 0 moet zijn. Voor stochastische machtswet verdelingen is dit vaak geen probleem omdat machtswetten enkel blijken voor te komen in de staarten van een PDF. De machtswet stelt de PDF goed voor boven een zekere positieve grenswaarde x min. De distributie moet ook normeerbaar zijn. Er moet dus gelden dat x min P (x) dx = C [ ] x λ+1 1 λ x min <. (2.18) Dit is enkel mogelijk wanneer λ > 1. Wanneer we nu de eindigheid van de momenten onderzoeken zien we dat het n e moment eindig is wanneer < x n >= x min x n P (x) dx = C [ ] x λ+n n λ x min <. (2.19) Het n e moment is eindig wanneer λ > 1 + n. Wanneer λ < 2 zal het gemiddelde van de distributie dus divergeren. Een divergerend gemiddelde betekent dat er zeer grote fluctuaties op de waarde van het gemiddelde zijn wanneer we metingen herhalen. Bij λ < 3 zal de variantie divergeren. Schaalinvariantie Een PDF P (x) die voldoet aan de eigenschap P (bx) = g(b)p (x), (2.20) voor elke b, wordt schaalinvariant genoemd. Wanneer we de schaal of de eenheden waarmee we x meten vergroten met een factor b zal de vorm van de distributie P (x) onveranderd blijven. Een voorbeeld [New05] is dat computerbestanden met grootte 2 kb 1 keer minder voorkomen dan bestanden met grootte 1 kb. Als we de de meetschaal 4 veranderen in megabytes vinden we nog steeds dat bestanden met grootte 2 MB 1 keer 4 minder voorkomen dan bestanden met grootte 1 MB. De vorm van de distributiefunctie van de bestandsgrootte hangt niet af van de schaal waarmee we de bestanden meten. Er wordt nu aangetoond dat deze schaalinvariante eigenschap slechts geldt voor één distributie, namelijk de machtswet distributie [New05]. Wanneer we x = 1 nemen krijgen we uit vergelijking 2.20 een uitdrukking voor g(b): g(b) = P (b) en kunnen we P (1) 2.20 herschrijven als P (bx) = P (b)p (x) P (1). (2.21) Zoals vermeld moet deze vergelijking gelden voor elke b. Hierdoor kunnen we beide leden differentiëren naar b, P (bx) x bx = P (x) P (b) P (1) b. (2.22)

22 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 12 Wanneer we nu b naar 1 laten naderen krijgen we P (x) x x = P (1) P (x), (2.23) P (1) waarbij P de afgeleide van P naar b voorstelt. Dit is een eerste-orde differentiaalvergelijking die de volgende oplossing heeft, ln P (x) = P (1) P (1) ln x + c, (2.24) waarbij c een constante is. Deze kunnen we vinden door middel van x gelijk aan 1 te stellen. Hierdoor bekomen we dat c = ln P (1). Als we nu in 2.24 van beide leden de exponentiële nemen krijgen we P (x) = P (1)x λ, (2.25) waarbij λ = P (1). We zien dus duidelijk dat de machtswet distributie de enige is die P (1) voldoet aan de voorwaarde 2.20 voor een schaalinvariante distributie Veralgemeend limiet theorema In deze paragraaf willen we de invloed van een oneindige variantie op het CLT bekijken. Het geval van superdiffusie wordt nader bekeken 3. Superdiffusie, σ 2 (t) t γ, met γ = 2 komt overeen met een eenparig rechtlijnige beweging van de deeltjes. Dit is het limietgeval, wat betekent dat voor een fysisch diffusieproces γ niet groter dan 2 kan zijn 4. Een anomale random walk wordt een Lévy walk genoemd. We vergelijken deze met de Gaussische random walk in Fig Subdiffusie behandelen we hier niet. Subdiffusie komt voor bij diffusie doorheen een medium met traps of vallen waarin de deeltjes opgesloten kunnen worden. Deze situatie kan veralgemeend worden tot een model van niet-gelokaliseerde vallen, waarbij deeltjes na iedere stap een tijd moeten wachten alvorens ze een volgende stap kunnen zetten. Dit model wordt de continue tijd random walk genoemd. 4 Dit is enkel waar wanneer we een eindige snelheid veronderstellen.

23 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 13 Figuur 2.4: Gaussische random walk (a) na 1000 stappen en (b) na stappen. Lévy walk (c) na 1000 stappen en (d) na stappen. (c) en (d) blijken zelfgelijkend (self-similar) [WS98]. We zien dat voor een Gaussische random walk het traject er anders uitziet bij verschillende tijdschalen ((a) en (b) in Fig. 2.4). Wanneer we kijken naar de Lévy walk zien we dat op alle schalen het traject er hetzelfde uitziet ((c) en (d) in Fig. 2.4). De verzameling van punten bezocht door de Lévy walk hebben een zelfgelijkende (self-similar) structuur. Voor een Gaussische random walk is de gemiddelde afgelegde afstand bepaald door het gemiddeld effect van alle stappen. De afgelegde afstand in een Lévy walk wordt na een tijd overheerst door de contributie van enkele extreem grote stappen. In het geval van de Gaussische random walk is er een karakteristieke schaal in het proces, namelijk de gemiddelde vrije weglengte (zie paragraaf 2.1.2). De Lévy walk is echter schaalinvariant. Om een Lévy walk te bekomen moet de kans voor een deeltje om in een tijd t een afstand x af te leggen, voor grote waarden van x, dus verdeeld zijn volgens een machtswet zodat de PDF van de stapgrootte een oneindige variantie heeft, P (x) x λ, (2.26) waarbij 1 < λ < 3. λ is groter dan 1 opdat P (x) normeerbaar zou zijn, zie formule De bovengrens 3 voor λ is nodig opdat P (x) een oneindige variantie zou hebben, zie formule Door de oneindige variantie is niet aan de voorwaarden voor het CLT voldaan. De vraag is nu wat de limietdistributie is voor een Lévy walk wanneer het aantal stappen naar oneindig gaat. Wat wordt de distributie van de som van n onafhankelijke random variabelen verdeeld volgens 2.26 wanneer n? Het veralgemeend limiet theorema stelt dat de PDF van een som van n onafhankelijke, gelijk verdeelde variabelen convergeert naar een stabiele distributie voor n onder bepaalde voorwaarden. We introduceren het begrip stabiele distributies.

24 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 14 Stabiele distributies Wanneer we de som S n bepalen van n onafhankelijke, identiek verdeelde variabelen x i, X n = x 1 + x x n, (2.27) dan zegt men dat de distributie stabiel is wanneer de functionele vorm van P (X n ) dezelfde is als deze van P (x i ). Oneindige deelbaarheid Een random proces is oneindig deelbaar als voor elk natuurlijk getal k, het proces kan voorgesteld worden als de som van k onafhankelijk gelijk verdeelde random variabelen x i. Deze eigenschap is eigen aan een stabiele distributie. De karakteristieke functie φ(q) van een random proces wordt gegeven door de Fourier getransformeerde van de PDF P (x), φ(q) = + P (x) exp(iqx) dx. (2.28) De karakteristieke functie φ(q) van een oneindig deelbare distributiefunctie kan dus geschreven worden als de k e macht van een karakteristieke functie φ k (q), φ(q) = (φ k (q)) k, (2.29) voor k 0. Wanneer we verderop financiële tijdsreeksen behandelen zullen we het begrip oneindige deelbaarheid nog nodig hebben. Lévy distributies De gehele klasse van stabiele distributies werd bepaald door Lévy en Khintchine [L 25], [KL36]. De karakteristieke functie φ L (q) van een stabiele distributie wordt gegeven door [ ] exp (iµq ) γ q α 1 iβ q απ tan( ), (α 1), q 2 φ L (q) = [ ] exp (iµq ) γ q α 1 + iβ q 2 ln q, (α = 1), q π (2.30) waarbij α ]0, 2] en β [ 1, 1]. De vier parameters α, β, µ en γ bepalen volledig de distributie. β is een maat voor de scheefheid, γ is een positieve schaalfactor en µ is een verschuiving. Wanneer we de symmetrische Lévy distributies (β = µ = 0) bekijken, wordt de karakteristieke functie gegeven door De PDF wordt op die manier uitgedrukt door φ L (q) = exp( γ q α ). (2.31)

25 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 15 P L (x) = 1 π + 0 cos(qx) exp( γ q α ) dq. (2.32) Voor α = 2 is dit een Gaussische distributie. De Lévy distributies met α < 2 nemen voor grote waarden van x af volgens een machtswet, P L ( x ) x (1+α). (2.33) De Lévy distributies volgen dus een machtswet voor grote waarden van x. Hierdoor divergeert het gemiddelde van een distributie met 0 < α < 1, net zoals de variantie van een distributie met 0 < α < 2. Lévy distributies zijn schaalinvariant voor grote waarden van x. Een som van n variabelen, die PDFs hebben met machtswetstaarten die volgens x λ lopen met 1 < λ < 3, convergeert voor n naar een Lévy distributie. Het verband tussen de exponenten wordt gegeven door α = λ 1. (2.34) De Lévy distributies zijn leptokurtosische distributies 5. De kans dat een deeltje bijzonder ver van de oorsprong belandt, neemt daarbij veel minder snel af dan bij een Gaussische distributie. De Lévy distributies hebben bredere staarten dan de Gaussische distributies. Het verband tussen λ en γ (uit 2.16) wordt gegeven door 6 [SJK87] γ = 2: 1 < λ < 2, γ = 4 λ: 2 < λ < 3. We verkrijgen dus superdiffusie (γ > 1) voor 1 < λ < 3, zoals we in vergelijking 2.26 ondersteld hadden Distributies van de prijsfluctuaties van financiële markten In hoofdstuk 5 zullen we een studie doen van de daily returns van de S&P 500 index voor een paar decennia. Hier geven we een selectie van bestaande modellen. In paragraaf werd reeds de efficiënte markt hypothese beschreven. Hierbij wordt verondersteld dat de prijsfluctuaties van financiële markten een Gaussische distributie volgen. We zullen zien dat grote fluctuaties in financiële tijdsreeksen frequenter voorkomen dan voorspeld door een Gaussische distributie. De distributie van prijsfluctuaties hebben vettere staarten. Als eerste alternatief voor de Gaussische distributie nemen we de Lévy distributie. We zullen zien dat hier het tegengestelde waar is, de frequentie van grote fluctuaties in financiële tijdsreeksen wordt overschat. Een ander alternatief wordt gegeven door distributies met staarten die een machtswetverval vertonen met exponenten die buiten het stabiel Lévy gebied, 0 < α < 2, kunnen liggen. 5 Leptokurtosische distributies hebben een kurtosis verschillend van nul. Deze distributies hebben vette staarten. De kans op extreme evenementen daalt zeer traag. Distributies met machtwetstaarten vertonen deze eigenschap. 6 Opnieuw wanneer we een eindige snelheid van de deeltjes veronderstellen.

26 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 16 Getrunceerde Lévy distributies De getrunceerde Lévy distributie (truncated Lévy distribution, TLF) is een stabiele Lévy distributie die gemodifieerd wordt buiten een bepaalde cutoff waarde [MS00], [Voi05]. Een harde cutoff Lévy distributie wordt gedefinieerd door 0, x > l, P T L (x) = cp L (x), l x l, 0, x < l, (2.35) waarbij P L (x) een stabiele Lévy distributie met index α is en c een normeringsconstante. l is de cutofflengte. Deze distributie heeft een eindige variantie waardoor de TLF convergeert naar een Gaussisch proces, de voorwaarden voor het CLT zijn voldaan. De som X n van n onafhankelijke TLFs convergeert dus voor n naar een Gaussische distributie. De snelheid van deze convergentie hangt af van de cutofflengte l. Er is een bepaalde waarde voor n, namelijk n x, waarvoor de PDF P (X n ) een Gaussische distributie wordt. De waarde n x wordt gegeven door n x Al α. (2.36) Een voorbeeld van een oneindig deelbare TLF is deze met een zachte cutoff, de cutoff is niet zo abrupt als in de harde cutoff Lévy distributie, vergelijking De zachte cutoff Lévy distributie wordt gedefinieerd aan de hand van zijn karakteristieke functie, [ (q 2 + l 2 ) α 2 φ(q) = exp c 0 c 1 cos( πα) 2 ( )] cos α arctan(l q ), (2.37) waarbij c 1 een schalingsfactor is en c 0 = l α cos( πα 2 ). (2.38) De gedetailleerde vorm van de cutoff verandert echter niets aan het convergentiegedrag van de TLF naar een Gaussische distributie. Limietdistributie Zoals we zullen zien in het volgend hoofdstuk is de standaarddeviatie van prijsfluctuaties sterk tijdsafhankelijk. Dit fenomeen wordt de tijdsafhankelijke volatiliteit genoemd in de economie. Als gevolg van de tijdsafhankelijke volatiliteit zijn de random variabelen x i niet meer identiek verdeeld. Daarom wordt een nog algemenere limietdistributie geformuleerd die enkel steunt op het feit dat de random variabelen x i onafhankelijk zijn. De waarschijnlijkheidsdistributie van de som X n van n onafhankelijke infinitesimale 7 random variabelen convergeert voor n naar een oneindig deelbare functie zoals gedefinieerd in Met infinitesimaal bedoelen we hier dat geen enkele stochastische variabele x i de som X n mag domineren.

27 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 17 Stationariteit Een stochastisch proces x(t) is stationair wanneer zijn PDF P (x(t)) invariant is onder een tijdstranslatie. Dit wordt strikte stationariteit genoemd. Als gevolg van de hiervoor vermelde tijdsafhankelijke volatiliteit kunnen prijsfluctuaties niet beschreven worden door een strikt stationair stochastisch proces. Er zijn minder strenge definities voor een stationair stochastisch proces. De stationariteit aanwezig in financiële markten is in het beste geval asymptotische stationariteit. Deze wordt als volgt gedefinieerd: een asymptotisch stationair stochastisch proces wordt geobserveerd wanneer de distributies van de random variabelen x(t 1 +c),..., x(t n +c) onafhankelijk zijn van c wanneer c groot is. De asymptotische PDF van de prijsveranderingen wordt verkregen door voldoende lange tijdsreeksen te beschouwen Correlatiefuncties Correlaties tussen de stappen In een random walk zijn de opeenvolgende stappen ongecorreleerd. Als model voor een fysisch diffusieproces schiet de random walk dus tekort omdat het bepaalde eigenschappen niet in rekening brengt, zoals bijvoorbeeld de onderlinge interactie van deeltjes. We kijken nu wat er gebeurt met de gemiddelde kwadratische afstand als de stappen gecorreleerd zijn. We beschouwen een random walk met identiek verdeelde stappen waarvoor < r >= 0 en < r 2 >= σ 2. We beschouwen X n = n i=1 r i. De gemiddelde kwadratische afstand van de gecorreleerde random walk wordt dus < X 2 n >= Voor een stationair proces wordt dit n j=1 < X 2 n >= n < r 2 i > +2 n < r i r j >. (2.39) i=1 n (n k) < r i r i+k >. (2.40) k=1 Als er correlaties zijn tussen r i en r i+k, zal < r i r i+k > 0 wat impliceert dat < X 2 n > nσ 2, in tegenstelling tot formule 2.9. Afhankelijk van het gedrag van de tweede term in formule 2.40 kunnen we twee gevallen onderscheiden. 1. Korte-dracht correlaties De som n k=1 < r i r i+k > is eindig voor grote waarden van n, lim n n < r i r i+k >= c 1, (2.41) k=1 waarbij c 1 een constante is. Wanneer de som k=1 < r i r i+k > dus convergeert, overheerst de eerste term in 2.40 wanneer n voldoende groot wordt. Men zegt dat r i en

28 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 18 r i+k korte-dracht gecorreleerd zijn. Het proces heeft een kort geheugen. Wanneer we enkel positief gecorreleerde grootheden beschouwen, hebben we < r i r i+k >= c 1 0. Voor voldoende grote waarden van n zal de gelijkheid < X n 2 >= n(σ 2 + c 1 ) gelden. Analoog als in paragraaf 2.1 kunnen we X n ook zien als een stochastisch proces in de tijd. X t stelt dan een random proces voor gedetecteerd op tijdstip t = n t. In de limiet n en t 0, kunnen we n schrijven als 1 t en op zijn beurt t (σ2 + c 1 ) als 6D t. We bekomen < X 2 t >= 6Dt, (2.42) wat dezelfde uitdrukking is als formule We verkrijgen dus nog steeds normale diffusie. 2. Lange-dracht correlaties De som n k=1 < r i r i+k > is divergent voor grote waarden van n, lim n n < r i r i+k >=. (2.43) k=1 Men zegt dat r i en r i+k lange-dracht gecorreleerd zijn. De grootheden zijn sterk gecorreleerd, het proces heeft een lang geheugen. Grootheden die lange-dracht gecorreleerd zijn worden gekarakteriseerd door het niet hebben van een typische schaal, ze zijn schaalvrij. Zoals bewezen in paragraaf weten we dat de correlatiefunctie een machtswet moet volgen. Deze lange-dracht correlaties kunnen aanleiding geven tot anomale diffusie. Paarcorrelatie De paarcorrelatiefunctie, ook wel de radiale distributiefunctie (RDF) genoemd, is een correlatiefunctie die een beeld geeft van de spatiale structuur van een systeem. De ruimtelijke correlaties tussen de deeltjes worden gekwantificeerd door de paarcorrelatiefunctie. Deze functie wordt verder besproken in paragraaf Snelheidscorrelatie De snelheidsautocorrelatiefunctie (VAF) is een maat voor de tijdscorrelatie van de snelheden van de deeltjes en wordt gedefinieerd door V (t 1, t 2 ) = 1 Nv 2 0 N v i (t 1 ) v i (t 2 ), (2.44) waarbij N het aantal deeltjes in het systeem is en v 2 0 gedefinieerd wordt als i=1 v 2 0 = 1 N N v i (0) v i (0). (2.45) i=1

29 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 19 Door deze normeringsfactor wordt verzekerd dat V (t, t) = 1, t R. De VAF geeft weer in welke mate de snelheid van een deeltje op een ogenblik t 1, de snelheid op een ander tijdstip t 2 beïnvloedt. Voor een stationair systeem in de tijd, geldt dat V (t 1, t 2 ) = V (t 2 t 1 ) = V (t) = 1 Nv 2 0 N v i (τ) v i (τ + t), τ R. (2.46) Lange tijd werd er gedacht dat voor een typische vloeistof de VAF V (t) naar nul zou naderen na een paar tijdsintervallen die overeenkomen met de typische moleculaire botsingstijd t b. De moleculaire botsingstijd is de gemiddelde tijd tussen twee botsingen. Er werd verwacht dat de botsingen tussen de moleculen de snelheid van de deeltjes zou randomiseren, zodat een molecule heel snel zijn beginsnelheid zou vergeten. Vaak werd de VAF V (t) dus gemodelleerd als een exponentieel dalende functie. Met behulp van moleculaire dynamica simulaties van de zelfdiffusie van harde bollen bekwamen Alder en Wainwright het verrassend resultaat dat de VAF asymptotisch een machtswet volgt [AW70]: i=1 ( V (t) V (0) exp t ) t 0, (t 10t b ), (2.47a) V (t) V (0) t d 2, (t 10t b ), (2.47b) waarbij d het aantal dimensies is. Een dergelijk systeem heeft dus een langer geheugen dan men vroeger vermoedde. Dit fenomeen wordt verklaard door het ontstaan van een vortexbeweging, Fig 2.5. Via een ringvormige opeenvolging van botsingen zal de molecule zijn oorspronkelijke impuls terug verkrijgen. Figuur 2.5: Een vortexbeweging in een vloeistof. De centrale molecule wordt voorgesteld door de kleinste halfcirkel in het midden onderaan. De straal van de vier andere halfcirkels werd zodanig gekozen dat elke schil ongeveer zes vloeistofmoleculen bevat. De simulaties werden verkregen met behulp van moleculaire dynamica (dikke pijlen) en een hydrodynamisch model (fijne pijlen) [AW70]. Verband tussen diffusie en snelheidsfluctuaties Green en Kubo toonden aan dat transportcoëfficiënten kunnen geschreven worden als integralen over tijdscorrelatiefuncties. Ze brachten de macroscopische transporteigenschappen van een systeem in verband met zijn microscopische karakteristieken.

30 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 20 In paragraaf 2.1 vonden we een constante waarde voor de diffusiecoëfficiënt D bij normale diffusie. Wanneer de opeenvolgende stappen niet onafhankelijk zijn, is deze uitdrukking niet langer correct, < r 2 (t)> is geen constante meer. t Om toch een constante waarde voor de diffusiecoëfficiënt D te verkrijgen wordt een veralgemeende definitie gegeven door 1 D = lim t 2t < r 2 (t) >. (2.48) De Green-Kubo relatie brengt deze diffusiecoëfficiënt in verband met de snelheidsautocorrelatiefunctie V (t), D = v2 0 d lim t t 0 V (τ) dτ. (2.49) De diffusiecoëfficiënt is een macroscopisch meetbare grootheid, die afhangt van de snelheidsautocorrelatiefunctie, en dus kan gebruikt worden om de snelheidsautocorrelatiefunctie te bepalen. Tijdsgeheugen Nu willen we de continue limiet van de som van de correlatietermen uit paragraaf bepalen, meer bepaald de continue limiet van k=1 < r i r i+k > uit formule We weten reeds dat X n, de som van n random variabelen, kan gezien worden als een stochastisch proces in de tijd waarbij X t een random proces voorstelt gedetecteerd op tijdstip t = n t. De continue limiet van de som van de correlatietermen voor n is dus gelijk aan t 1 V (τ) dτ. De integraal van de VAF is gerelateerd met het tijdsgeheugen die kan geobserveerd worden in het proces. Het tijdsgeheugen zegt iets over de typische schaal van de VAF. Voor tijdsafhankelijke stochastische processen kunnen we dus de integraal van de autocorrelatiefunctie gebruiken om het onderscheid te maken tussen korte-dracht gecorreleerde en lange-dracht gecorreleerde variabelen. Korte-dracht gecorreleerde variabelen hebben een typische tijdschaal τ c, ook wel de correlatietijd van het proces genoemd. De integraal van de autocorrelatiefunctie is eindig en gelijk aan τ c. Bij benadering kunnen we zeggen dat er correlatie is tot en met τ c. Lange-dracht gecorreleerde variabelen hebben geen typische tijdschaal. De integraal van de autocorrelatiefunctie is oneindig. Het proces is schaalvrij waardoor de autocorrelatiefunctie een machtswet zal moeten volgen. Correlaties in vloeistoffen In een vloeistof bestaat er een interatomaire potentiaal die lange-dracht interacties en sterke correlaties tussen de deeltjes introduceert. Hierdoor heerst er lokaal een zekere orde, die zichtbaar is in de RDF (zie hoofdstuk 3), in tegenstelling tot een gas. Het verschil met een vaste stof is dat er een veel grotere beweeglijkheid is van de deeltjes en dus een veel grotere diffusiecoëfficiënt [Ryc09]. Door de sterke correlaties in vloeistoffen wordt de random walk als model voor het traject van een deeltje in een vloeistof in vraag gesteld. Om inzicht te krijgen in de microscopische eigenschappen van een vloeistof,

31 HOOFDSTUK 2. DIFFUSIE 21 een complex systeem van interagerende deeltjes, wordt een computationele techniek als moleculaire dynamica vaak gebruikt. In hoofdstuk 3 wordt deze methode beschreven. 2.3 Conclusie Wanneer we een diffusieproces discretiseren tot een random walk en aannemen dat de opeenvolgende stappen onafhankelijk zijn van elkaar en dat de variantie van de PDF van de individuele stappen eindig is, kunnen we het CLT toepassen. Hierdoor kennen we het gedrag van de som van een groot aantal deeltjes die een random walk volgen. De ruimtelijke distributie volgt een Gaussische verdeling en de gemiddelde kwadratische verplaatsing is lineair in de tijd. Dit is de karakteristieke eigenschap voor normale diffusie. Anomale diffusie wordt gekarakteriseerd door een niet-lineaire toename van de variantie met de tijd. Er wordt niet voldaan aan de criteria voor het CLT: de stappen zijn gecorreleerd en/of de variantie van de stapgroottes is oneindig. De variantie van de stapgroottes is oneindig wanneer de distributie van de stapgroottes P (x) in de staarten volgens een machtswet verloopt met exponent λ waarbij 1 < λ < 3, formule De veralgemeende limietstelling stelt dat de limietdistributie van de som van de distributies van de stapgroottes een stabiele Lévy distributie is met index α = λ 1, formule Indien er correlaties optreden tussen de opeenvolgende stappen treedt er nog steeds normale diffusie op wanneer deze correlaties korte-dracht interacties zijn. Wanneer er echter lange-dracht correlaties zijn, kan er anomale diffusie optreden. De ruimtelijke correlaties tussen de deeltjes wordt gekwantificeerd met behulp van de RDF en de tijdscorrelatie met behulp van de VAF. Er bestaat een verband, formule 2.49, tussen deze laatste en de diffusiecoëfficiënt D. Een vloeistof is eveneens een voorbeeld van een sterk gecorreleerd systeem waarin de deeltjes door onderlinge interacties coöperatief zullen bewegen. In hoofdstuk 4 zullen we onderzoeken of deze correlaties aanleiding kunnen geven tot anomale diffusie. We hebben ook kort gekeken naar de distributies van prijsfluctuaties van financiële markten. Een Gaussische distributies blijkt een onderschatting van de frequentie van grote prijsfluctuaties terwijl een Lévy distributie een overschatting is. Een alternatief is de getrunceerde Lévy distributie, maar ook dit model blijkt niet perfect want het kan de tijdsafhankelijke volatiliteit niet modelleren.

32 Hoofdstuk 3 Moleculaire dynamica Statistische fysica laat toe om meetbare macroscopische variabelen te voorspellen als een gemiddelde over alle mogelijke microtoestanden waarin het systeem zich kan bevinden. In realiteit is het onmogelijk om de gemiddelden te bepalen door over alle mogelijke microtoestanden te gaan sommeren. De fysische grootheden worden bepaald als gemiddelden over een beperkt aantal microtoestanden. Twee essentiële technieken zijn gebaseerd op dit principe: de Monte-Carlo methode (MC) en de moleculaire dynamica techniek (MD). Bij beide technieken zijn de microtoestanden in een bepaald sample gecorreleerd als gevolg van het feit dat ze successief uit elkaar gegenereerd worden. De simulatie van een dynamisch proces zoals diffusie, waarbij sterk tijdsafhankelijke grootheden een rol spelen, vereist een methode waarin deze tijdscomponent tot uiting komt. MC geeft geen informatie over de dynamische eigenschappen van het systeem en zal dus niet geschikt blijken voor de simulatie van diffusie. MC wordt voornamelijk gebruikt om systemen in evenwicht te bestuderen, maar vertelt weinig over hoe snel evenwicht wordt bereikt. De dynamica van een systeem kan gesimuleerd worden door de microscopische bewegingsvergelijkingen numeriek te integreren, wat het basisprincipice van MD is. Een volume V bevat N deeltjes. De deeltjes interageren met elkaar via een kracht die enkel van de separatie tussen de deeltjes afhangt. De kracht op deeltje i, als gevolg van alle andere deeltjes j, kan dan geschreven worden als [Ryc09] F i = N j=1(j i) F ( r i r j ) 1 ij, (3.1) met 1 ij de eenheidsvector langs r i r j. De toestandsvergelijkingen van het systeem worden bekomen met behulp van de tweede wet van Newton, d 2 r i (t) dt 2 = F i (r 1, r 2,..., r N ) m i, (i = 1,..., N), (3.2) met m i de massa van deeltje i. De oplossingen van de bewegingsvergelijkingen 3.2 beschrijven de tijdsevolutie van de posities, snelheden en versnellingen van de deeltjes. Hieruit kunnen we dan de gemiddelde waarden van enkele eigenschappen van het systeem bepalen. Deze methode is deterministisch, eenmaal de posities en de snelheden van elk atoom gekend zijn, kan de toestand van het systeem voorspeld worden voor elk tijdstip. 22

33 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA Benaderingen Ergodisch principe Wanneer een aantal macroscopische parameters van een systeem constant gehouden worden, kan het overeenkomstig ensemble gebruikt worden om de statistische eigenschappen van het systeem te onderzoeken. Een ensemble is de verzameling van alle mogelijke microscopische configuraties die aanleiding geven tot deze macroscopische parameters. Het ergodisch principe zegt nu dat het systeem alle mogelijke toestanden van het ensemble met dezelfde waarschijnlijkheid kan aannemen. Hieruit kunnen we afleiden dat het tijdsgemiddelde en het ensemblegemiddelde, het gemiddelde van de variabele over alle ensembles, equivalent zijn [GT09]. Voor macroscopische systemen is het meestal onmogelijk om observabelen uit te middelen over alle mogelijke configuraties. Dankzij het ergodische principe kunnen we zeer goede schattingen van de ensemblegemiddelden berekenen via tijdsgemiddelden Klassieke benadering De MD techniek wordt vooral gebruikt om de beweging van moleculen te bestuderen. Hierdoor ontstaat de vraag of de klassieke aanpak, met de tweede wet van Newton, gerechtvaardigd is. Een kwantummechanische simulatie neemt veel meer tijd in beslag en vraagt meestal ontzettend veel computationele kracht. Op basis van twee argumenten kunnen we besluiten dat in de meeste situaties de klassieke aanpak aanvaardbaar is. (1) We beschouwen een verzameling van Argon atomen. De energie vereist om een elektron naar een geëxciteerde toestand te brengen is van de orde 10 ev. Deze energie is veel groter dan de kinetische energie geassocieerd met de beweging van een Ar atoom, die van de orde 0.1 ev is bij kamertemperatuur. Botsingen tussen 2 Ar atomen zullen dus geen invloed hebben op de elektronconfiguratie van beiden. Hierdoor kunnen we een atoom zien als een puntmassa en hoeven we kwantummechanische effecten niet in rekening te brengen [Gio06]. (2) Kwantumeffecten kunnen verwaarloosd worden wanneer [War09] λ db << l, (3.3) waarbij l = ( V ) 1 h 3 de gemiddelde separatie tussen de moleculen en λ N db = 3mkT de de Brogliegolflengte is. Bij kamertemperatuur is λ db voor een Ar atoom van de orde 10 7 Å. De gemiddelde separatie is van de orde 1 Å, wat impliceert dat onder normale omstandigheden aan voorwaarde 3.3 is voldaan. In MD worden Ar atomen frequent gebruikt omwille van hun grote massa waardoor gemakkelijker aan 3.3 is voldaan. Voor deze atomen geeft de klassieke benadering meer realistische resultaten dan voor lichtere atomen.

34 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA Periodieke randvoorwaarden Een volgende benadering moet gemaakt worden door het feit dat de hedendaagse computers slechts een beperkt aantal deeltjes kunnen simuleren. De grootte van realistische systemen is van de orde atomen (getal van Avogadro). Dit aantal is niet haalbaar maar eigenlijk ook niet nodig. Realistische informatie over het gedrag van het systeem kan bekomen worden met simulaties die veel minder deeltjes bevatten. De typische correlatielengtes strekken zich immers uit over lengteschalen vergelijkbaar met een beperkt aantal moleculen. Het grote probleem hierbij is de verhouding oppervlak/bulk atomen die veel groter is dan in het reële systeem. Dit kan omzeild worden met behulp van periodieke randvoorwaarden. Deze benadering bestaat erin om het simulatiesysteem te omringen met oneindig veel replica s van zichzelf zoals afgebeeld op Fig Figuur 3.1: Periodieke randvoorwaarden in twee dimensies. [Van10]. Het gevolg van periodieke randvoorwaarden is dat het aantal interacties dat moet beschouwd worden enorm vergroot, want de interacties tussen deeltje i en j is dan de som van de interacties tussen i, j en al de replica s van deeltje j. De meeste krachten hebben echter een eindige dracht. Meestal wordt gebruikt gemaakt van de minimale beeldconventie (minimum image convention): enkel de meest nabije kopie van ieder ander deeltje wordt in rekening gebracht bij het berekenen van de interacties. 3.2 Integratiemethode Het meest gebruikte algoritme om de differentiaalvergelijkingen 3.2 op te lossen, is het Verlet algoritme. Deze methode biedt enkele voordelen. De globale numerieke fout is van de orde O( t 2 ), waarbij t de grootte is van de stappen waarin de tijd verdeeld is. Deze fout is aanvaardbaar klein. De energie wordt ook goed behouden voor lange simulatietijden, wat zeer belangrijk is voor MD simulaties. Hier beschouwen we een variant op het Verlet algoritme, het snelheids Verlet algoritme.

35 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 25 Het integratie algoritme veronderstelt dat de posities, snelheden en versnellingen kunnen benaderd worden door hun Taylor reeks expansie, r i (t + t) = r i (t) + v i (t) t a i(t) t 2, (3.4a) v i (t + t) = v i (t) + a i (t) t b i (t) t 2, (3.4b) a i (t + t) = a i (t) + b i (t) t +..., (3.4c) waarbij r i de positie, v i de snelheid, a i de versnelling is van deeltje i. Het snelheids Verlet algoritme wordt gegeven door r i (t + t) = r i (t) + v i (t) t a i(t) t 2, (3.5a) v i (t + t) = v i (t) + a i(t) + a i (t + t) t. 2 (3.5b) Het voordeel van deze methode is dat de posities r i (t) en de snelheden v i (t) op dezelfde ogenblikken t kunnen berekend worden. De versnelling a i (t) wordt gegeven door a i (t) = F i (t) m i, (3.6) waarbij F i de kracht is op deeltje i ten gevolge van alle andere deeltjes, formule Interactiepotentiaal Om de kracht F (r) tussen twee deeltjes te kunnen berekenen moeten we de interactiepotentiaal U(r) kennen, waarbij r de afstand tussen de twee deeltjes is. De interactie tussen de deeltjes blijkt in vele gevallen goed benaderd te worden door de Lennard- Jones (LJ) potentiaal, U LJ (r) = 4ɛ i [ ( σ i r )12 ( σ i r )6 ], (3.7) waarbij ɛ i en σ i constanten zijn die respectievelijk de energieschaal en de lengteschaal van de interactie bepalen tussen atomen i. Opnieuw blijken Ar atomen zeer geschikt voor MD toepassingen. De LJ potentiaal is een zeer goede benadering van de empirisch verkregen potentiaal, Fig. 3.2.

36 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 26 Figuur 3.2: Vergelijking van de Lennard-Jones potentiaal met de empirische potentiaalcurve voor Argon [wik]. De term in r 6 is het gevolg van de attractieve Van der Waals kracht. De korte-dracht term in r 12 is het gevolg van een repulsieve kracht die veroorzaakt wordt door overlap van de elektronenwolken. De kracht geassocieerd aan deze potentiaal wordt bepaald door F = U. Op Fig. 3.2 zien we duidelijk dat er voor kleine interatomaire afstanden een sterke repulsieve kracht heerst, wat inhoudt dat de atomen een bepaald volume in de ruimte innemen. Voor een bepaalde interatomaire afstand, wordt de kracht aantrekkend en wanneer de interatomaire afstand te groot wordt, verdwijnt de potentiaal. Hierdoor is de minimale beeldconventie vermeld in een goede benadering. De grootte van ɛ i, σ i en de atoommassa van Ar wordt gegeven door ɛ Ar = J, σ Ar = m, m Ar = kg. (3.8a) (3.8b) (3.8c) Om de berekeningen eenvoudiger te maken, wordt er vaak gewerkt met gereduceerde eenheden. Dit houdt in dat we werken in eenheden waarvoor ɛ Ar, σ Ar en de atoommassa gelijk aan 1 gesteld worden. Energie wordt gemeten in functie van ɛ Ar, E = E ɛ Ar. Alle lengtes worden gemeten in functie van σ Ar, r = r kg m2 Doordat de energie uitgedrukt wordt in J = (de massa vermenigvuldigd met het s 2 kwadraat van de snelheid) kunnen we afleiden dat de tijd gemeten wordt in functie van m Ar σar 2 ɛ Ar, t = t ɛ Ar m Ar. σar 2 De temperatuur is gerelateerd met de energie door de Boltzmannconstante k B waardoor de temperatuur gemeten wordt in functie van ɛ Ar k B, T = T k B ɛ Ar. σ Ar.

37 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA Programma In deze paragraaf beschrijven we de implementatie van de MD techniek. Het programma bestaat uit drie fasen: de initialisatie fase, de evolutie naar evenwicht en de productiefase. In deze laatste fase worden thermodynamische grootheden en correlatiefuncties berekend Initialisatie Het aantal deeltjes N, de dichtheid ρ, de temperatuur T en de grootte van de tijdstap t worden als parameters ingegeven. Nu moeten enkel nog de beginposities en -snelheden vastgelegd worden. Ar heeft de fcc structuur met 4 atomen per eenheidscel. De beginposities worden dan ook gekozen als roosterpunten van een fcc-rooster. De absolute snelheden v i van de deeltjes i (i = 1...N) worden verdeeld volgens een Maxwell-Boltzmanndistributie. Iedere snelheidscoördinaat v x,i, v y,i en v z,i moet dus Gaussisch verdeeld zijn. Elk van de componenten wordt getrokken uit een standaard Gaussische verdeling met gemiddelde = 0 en standaardeviatie = 1. De bekomen waarden worden herschaald met de variantie op iedere snelheidscomponent. Volgens het equipartitietheorema is deze variantie gelijk aan ( k BT ) 1 2. m De totale impuls willen we op nul krijgen. De som van de impulsen van alle deeltjes, de totale impuls, wordt gedeeld door het aantal aanwezige deeltjes, wat ons een gemiddelde impuls, p gemidd, geeft. Van de beginsnelheid van elk deeltje, v i, wordt de vector p gemidd m i afgetrokken, waarbij m i de massa is van deeltje i. Hierdoor wordt de totale impuls nul Evolutie naar evenwicht Na de initialisatie worden de bewegingsvergelijkingen op iedere tijdstip numeriek geïntegreerd met behulp van het snelheids Verlet algoritme, 3.5. Op ieder tijdstip wordt ook gecontroleerd of de deeltjes zich nog allemaal in het oorspronkelijk volume bevinden en als dit niet het geval is worden de periodieke randvoorwaarden toegepast. De relaxatietijd die het systeem nodig heeft om naar evenwicht te evolueren, is afhankelijk van de initiële condities. Gedurende de relaxatie van het systeem zal de temperatuur echter in het algemeen afwijken van de ingegeven temperatuur T. Tijdens deze fase moeten bijgevolg alle snelheden herschaald worden met eenzelfde factor λ om de temperatuur constant te houden. Het herschalen van de snelheid gebeurt om de x tijdstappen. De herschalingsfactor wordt gegeven door λ = (N 1)3T kb N j=1 m jv 2 j, (3.9) waarbij N het aantal deeltjes is, T de vooropgegeven temperatuur en N j=1 m jv 2 j de uitgemiddelde waarde van de impuls van al de deeltjes over x tijdstappen. De waarde λ wordt bekomen met behulp van het equipartitietheorema. Temperatuursevenwicht wordt bereikt wanneer λ naar 1 convergeert (dan geldt het

38 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 28 equipartititheorema 3.12) en wanneer de fluctuaties tussen de opeenvolgende λ s verwaarloosbaar worden (dan is de temperatuur ongeveer constant) Productiefase Wanneer evenwicht bereikt wordt, kunnen de verkregen gegevens geanalyseerd worden. Thermodynamische grootheden als temperatuur, kinetische energie en potentiële energie worden berekend net zoals de cumulanten van posities en snelheden. De paarcorrelatiefunctie en de snelheidscorrelatiefunctie kunnen nu ook verkregen worden. Thermodynamische grootheden Kinetische energie De kinetische energie wordt gedefinieerd door E k (t) = N m j v j (t) 2. (3.10) j=1 In het snelheids-verlet algoritme zijn de snelheden op iedere tijdstip gekend, wat de berekening van E k makkelijk maakt. Potentiële energie De potentiële energie wordt gedefinieerd door N E p (t) = U(min r i r j ), (3.11) i<j=1 waarbij U(min r i r j ) de interactiepotentiaal is. De interactiepotentiaal heeft als argument min r i r j omdat we de minimale beeldconventie gebruiken. De temperatuur wordt bepaald met behulp van het equipartitietheo- Temperatuur rema, T = 2E k 3(N 1)k B. (3.12) Cumulanten De cumulanten κ n van een random variabele X zijn een set van grootheden die een alternatief bieden voor de momenten van de PDF van X. Het n e moment van de random variable X met PDF P (X) wordt gegeven door µ n =< X n >= De moment genererende functie wordt gegeven door x n P (x) dx. (3.13)

39 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 29 M(ξ) =< e ξx >=< 1 + ξx ξn X n +... >= n! µ n ξ n Het n e moment is nu de n e afgeleide van M(ξ) in de oorsprong, µ n = n=0 n!. (3.14) ( ) d n M(ξ) dξ n De cumulanten κ n zijn de coëfficiënten van de Taylor expansie van de cumulant genererende functie, de logaritme van de moment genererende functie, rond de oorsprong, ξ=0. κ n ξ n K(ξ) = ln(m(ξ)) = n! n=1. (3.15) De cumulanten worden verkregen door ln(m(ξ)) in een reeks te ontwikkelen en de coëfficiënten dan gelijk te stellen aan deze uit vergelijking Voor de reeksontwikkeling van ln(m(ξ)) maken we gebruik van ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 +..., (3.16) 4 waardoor we uiteindelijk de volgende formule krijgen voor de eerste vier cumulanten van een distributie, κ 1 = µ 1, (3.17a) κ 2 = µ 2 µ 2 1, (3.17b) κ 3 = 2µ 3 1 3µ 1 µ 2 + µ 3, (3.17c) κ 4 = 6µ µ 2 1µ 2 3µ 2 2 4µ 1 µ 3 + µ 4. (3.17d) Het wordt duidelijk dat κ 1 gelijk is aan het gemiddelde µ van de distributie en κ 2 gelijk is aan de variantie σ 2. De twee andere cumulanten die hier vermeld worden, κ 3 en κ 4 zijn op een normering met de variantie na, respectievelijk gelijk aan de skewness γ 1 en kurtosis γ 2 van de distributie, γ 1 = κ 3 γ 2 = κ 4 κ 2 2 κ 3 2 2, (3.18a). (3.18b) De twee grootheden γ 1 en γ 2 worden op deze manier dimensieloze grootheden. De skewness is een maat voor de asymmetrie van de PDF van een random variabele. Wanneer γ 1 < 0 zal de linkse staart van de distributie langer zijn en zijn er relatief weinig lage waarden, Fig Wanneer γ 1 > 0 zal de rechtse staart van de distributie langer zijn waardoor er relatief weinig hoge waarden zullen voorkomen, Fig. 3.3.

40 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 30 Figuur 3.3: Vergelijking van een waarschijnlijkheidsdistributie met een negatieve en positieve skewness γ 1 [wik]. De kurtosis γ 2 daarentegen is een maat voor de gepiektheid van een distributie. Wanneer het gemiddelde µ 1 verschoven wordt naar nul dan wordt de kurtosis γ 2 = µ 4 3. σ 4 Voor een Gaussische distributie is de kurtosis nul. Distributies met een kurtosis gelijk aan nul worden mesokurtosisch genoemd. Een Gaussische distributie is mesokurtosisch. Een distributie met een positieve kurtosis draagt de naam leptokurtosisch. Deze distributies hebben een scherpere piek rond het gemiddelde en vettere staarten. Dit houdt in dat de waarschijnlijkheid voor waarden dichtbij het gemiddelde groter is dan deze van een mesokurtosische distributie, net zoals de waarschijnlijkheid van extreme waarden. Distributies met een negatieve kurtosis worden platykurtosisch genoemd. Deze hebben een lagere en bredere piek rond het gemiddelde en dunnere staarten wat inhoudt dat de waarden rond het gemiddelde en de extreme waarden minder waarschijnlijk zijn dan bij een mesoscopische distributie. Dit wordt getoond op de volgende figuur. Figuur 3.4: Vergelijking van een waarschijnlijkheidsdistributie met een negatieve, geen en positieve kurtosis [Plo]. Paarcorrelatie en snelheidscorrelatie Paarcorrelatie De n-deeltjes correlatiefuncties geven informatie over de ruimtelijke correlaties in een systeem. De meest gebruikte is de paarcorrelatiefunctie g (2) ( r 1, r 2 ), ook wel RDF genoemd zoals vermeld in In een systeem met N moleculen in een volume V op temperatuur T ( een zogenaamd (N,V,T ) systeem) wordt g (2) ( r 1, r 2 ) gedefinieerd als g (2) ( r 1, r 2 ) = ( V N ) 2 d r3 d r4... d r N exp( β i<j N(N 1) U( r i, r j )) d r1 d r2... d r N exp( β i<j U( r i, r j )), (3.19)

41 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 31 waarbij U( r i, r j ) de interactiepotentiaal is tussen de deeltjes, hier de LJ potentiaal uit 3.7, en β = 1 k B. Doordat de LJ potentiaal enkel afhankelijk is van de grootheid T r = r 1 r 2, zal g (2) ( r 1, r 2 ) ook enkel functie zijn van r. De RDF geeft de gemiddelde deeltjesdichtheid weer in functie van de afstand r tot een referentiedeeltje, berekend in een assenstelsel dat aan dit deeltje gekoppeld is. De fysische betekenis van de twee-deeltjes correlatiefunctie g (2) (r 12 ) wordt als volgt bepaald. Als verondersteld wordt dat de interactie tussen de moleculen enkel afhangt van de grootte van de relatieve afstand tussen de desbetreffende moleculen dan geeft de volgende grootheid, N V g(2) (r 12 )4πr 2 12 r 12, (3.20) het aantal moleculen in een bolschil op een afstand tussen r 12 en r 12 + r 12 gemeten van een arbitraire molecule weer. Hieruit volgt dat N V 0 g (2) (r 12 )4πr 2 12dr 12 = N 1. (3.21) In MD wordt op basis van vergelijking 3.20 de RDF berekend. Een histogram dat voor elk interval [r 12, r 12 + r 12 ] bepaalt hoeveel moleculenparen er zich in bevinden, n(r 12 ), wordt gecreëerd, waarbij r 12 bepaald wordt door de lengte van de box waarin gewerkt wordt en het aantal histogrampunten: r 12 = boxsize/2. histpoints Het totaal aantal moleculenparen in het systeem wordt gegeven door 0 n(r 12 ) r 12 dr 12 = N(N 1) 2. (3.22) Met behulp van de formules 3.21 en 3.22 wordt de volgende formule voor de RDF bekomen, g (2) (r 12 ) = 2V N 2 n(r 12 ) 4πr 2 12 r 12. (3.23) In Fig. 3.5 worden een aantal resultaten van MD simulaties getoond bij verschillende dichtheden.

42 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 32 Radiale distributiefunctie g (2) (r) ρ = 0.5 ρ = 1 ρ = Intermoleculaire afstand r Figuur 3.5: De radiale distributiefunctie voor Ar moleculen bij verschillende dichtheden en een vaste gereduceerde temperatuur, T = 0.7. De dichtheid ρ wordt uitgedrukt in termen van (gereduceerde lengte-eenheid) 3. De afstand r wordt ook uitgedrukt in gereduceerde eenheden (σ Ar ). De MD simulatie werd uitgevoerd voor 1372 deeltjes. Het kwalitatief gedrag van g (2) (r) kan gemakkelijk geïnterpreteerd worden. De sterke repulsie bij zeer kleine intermoleculaire afstanden zorgt ervoor dat g (2) (r) verdwijnt tot de afstand σ Ar. De waarschijnlijkheid om een andere molecule aan te treffen op een afstand < σ Ar is dus nul. Voor de drie verschillende dichtheden wordt een sterk maximum waargenomen rond een afstand σ Ar corresponderend met het minimum in de LJ potentiaal, Fig Wanneer de dichtheid vergroot, worden meerdere pieken waargenomen. De oscillerende structuur ontstaat als gevolg van het feit dat de aanwezigheid van de dichtste naburen op een gemiddelde afstand σ Ar ervoor zorgt dat de tweede dichtste naburen zich op een afstand 2σ Ar gaan concentreren, wat op zijn beurt zorgt dat de derde dichtste naburen zich rond 3σ Ar gaan concentreren enz... De waargenomen oscillerende radiale afhankelijkheid van g (2) (r) dooft uit naarmate de radiale afstand groter wordt, g (2) (r) nadert naar 1. Voor gassen is er voorbij afstanden van de orde σ Ar praktisch geen structuur meer. De moleculen interageren nauwelijks nog met elkaar en het systeem is een continuum. Bij vloeistoffen strekt de orde zich uit over afstanden van een paar keer σ Ar, daar heeft de vloeistof een niet-continue structuur. Op grotere afstanden is het effect van de LJ potentiaal zo klein geworden dat de moleculen niet langer gecorreleerd zijn, de RDF wordt 1 en de vloeistof heeft een continue structuur, Fig. 3.6.

43 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 33 Figuur 3.6: Eenvoudige structuur van een vloeistof zoals gezien vanuit een referentiemolecule (de gearceerde). De orde strekt zich uit over afstanden van een paar keer σ Ar. Bij grote afstanden is het systeem wanordelijk en continu [Cha87]. Bij vaste stoffen oscilleert de RDF over grote afstanden doorheen het ganse systeem. De moleculen gaan zich op een kristallijne manier organiseren en de diffusie van moleculen wordt bemoeilijkt, Fig Figuur 3.7: Eenvoudige structuur van een vaste stof als een twee-dimensionale kristallijne ordening van sferische deeltjes. De orde strekt zich uit over afstanden die groot zijn ten opzichte van σ Ar [Cha87]. Op Fig. 3.8 zien we het fasediagram voor Ar. Hier vinden we de drie fasen, gas, vloeistof en vaste stof terug.

44 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 34 Figuur 3.8: Fasediagram voor Ar. De vette lijnen duiden de grenzen aan tussen vloeistof en gas(tc) en tussen vloeistof en vaste stof (TM). De curve PQRS beschrijft een pad van een typische vloeistoffase (P) naar een typische gasfase (S). Het tripelpunt (T) en het kritisch punt (C) zijn ook aangeduid [fas]. Snelheidscorrelatie De snelheidsautocorrelatiefunctie werd besproken in Op Fig. 3.9 en Fig zien we verschillende VAFs bekomen met het MD programma. De figuren illustreren respectievelijk bij T = 0.7 en T = 3.7 de dichtheidsafhankelijkheid van de VAF. Snelheidsautocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen ρ = 0.5 ρ = 1 ρ = 1.5 Figuur 3.9: De snelheidsautocorrelatiefunctie voor Ar moleculen bij verschillende dichtheden en een vaste gereduceerde temperatuur, T = 0.7. De dichtheid ρ wordt uitgedrukt in termen van (gereduceerde lengte-eenheid) 3. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. De MD simulatie werd uitgevoerd voor 1372 deeltjes.

45 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 35 Snelheidsautocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen ρ = 0.5 ρ = 1 ρ = 1.5 Figuur 3.10: De snelheidsautocorrelatiefunctie voor Ar moleculen bij verschillende dichtheden en een vaste gereduceerde temperatuur, T = 3.7. De dichtheid ρ wordt uitgedrukt in termen van (gereduceerde lengte-eenheid) 3. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. De MD simulatie werd uitgevoerd voor 1372 deeltjes. Bij lage dichtheden zijn er weinig botsingen tussen de moleculen waardoor de VAF zeer langzaam naar nul nadert. Naarmate de dichtheid groter wordt, zal de frequentie van de botsingen tussen de moleculen toenemen. Hierdoor zal de VAF sneller naar nul naderen. Als we de VAF vergelijken bij constante dichtheid maar bij verschillende temperatuur, zien we dat voor een hogere temperatuur de VAF sneller naar nul nadert. Een hogere temperatuur impliceert immers grotere gemiddelde snelheden en dus een hogere frequentie van de botsingen waardoor de VAF sneller naar nul zal naderen. Bij grotere dichtheden merken we op dat de VAF negatief kan worden. Dit is het gevolg van het feit dat een molecule in een vloeistof met vrij hoge dichtheid een gevangene wordt van zijn dichtste nabuur moleculen. Er ontstaan vortexbewegingen zoals besproken in paragraaf Merken we op dat de grootte van de tijdstap t in de simulatie die uitgevoerd werd om Fig. 3.9 en Fig te verkrijgen, gelijk is aan uitgedrukt in gereduceerde eenheden. Wanneer we dit omzetten in reële tijd met behulp van de formules uit paragraaf dan bekomen we dat één tijdstap gelijk is aan t = s. Wanneer we t vergelijken met de tijdstappen waarmee ticks op de beurs worden geregistreerd dan merken we op dat t extreem klein is Verdere resultaten Op Fig zien we de gemiddelde kwadratische verplaatsing in functie van de tijd.

46 HOOFDSTUK 3. MOLECULAIRE DYNAMICA 36 Gemiddelde kwadratisch verplaatsing T = 0.7 T = 1.7 T = Aantal tijdstappen (x 10 3 ) Figuur 3.11: De gemiddelde gekwadrateerde verplaatsing voor Ar moleculen bij een dichtheid ρ = 0.5 voor verschillende temperaturen. De dichtheid ρ wordt uitgedrukt in termen van (gereduceerde lengte-eenheid) 3. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. De MD simulatie werd uitgevoerd voor 1372 deeltjes. Er is een lineaire relatie tussen de gemiddelde kwadratische verplaatsing en de tijd, < x 2 >= 2Dt. De gemiddelde afstand die door een molecule afgelegd wordt groeit met t. Dit gedrag is identiek aan wat men vaststelt in een random walk, zie vergelijking De distributie van de stapgroottes P ( x) kan dus beschreven worden met behulp van een Gaussische distributie. 3.4 Conclusie Het basisprincipe van MD is het numeriek integreren van de microscopische bewegingsvergelijkingen waardoor het de dynamica van een systeem kan simuleren. Hierdoor blijkt MD een geschikte techniek om diffusie te simuleren. Wanneer we de moleculaire interacties benaderen met behulp van de Lennard-Jones potentiaal, merken we op dat de diffusie van de deeltjes verloopt volgens een normaal diffusieproces, die werd beschreven in paragraaf 2.1. De gemiddelde afstand die door een molecule afgelegd wordt groeit met t, wat erop wijst dat de moleculen een random walk uitvoeren. De distributie van de stapgroottes volgt een Gaussische distributie. We slagen er dus niet in om op deze manier anomale diffusie te simuleren. In het volgend hoofdstuk zal besproken worden hoe condities van anomale diffusie gegenereerd kunnen worden.

47 Hoofdstuk 4 Anomale diffusie in moleculaire dynamica 4.1 Inleiding Wanneer anomale diffusie zich voordoet in een vloeistof zal de distributie van de stapgroottes P ( x) voldoen aan een machtswet in zijn staarten. Hierdoor kunnen de deeltjes een relatieve grote afstand afleggen tijdens 1 tijdstap. Deze deeltjes kunnen dan elkaars harde kern (zie de LJ potentiaal voor r 0, formule 3.7) binnendringen waardoor ze op hun beurt opnieuw een grotere snelheid krijgen dan de gemiddelde snelheid, hun kinetische energie stijgt sterk. Dit leidt uiteindelijk tot een kettingreactie waardoor de simulatie oncontroleerbaar wordt. Om de verandering in energie op een aanvaardbaar niveau te houden zou de tijdstap aangepast moeten worden aan het snelste deeltje, wat impliceert dat we met een infinitesimaal kleine tijdstap zouden moeten werken. Dit is praktisch onmogelijk. We hebben dus nood aan een alternatieve potentiaal waarbij het systeem controleerbaar blijft onder anomale condities. 4.2 Softcore potentiaal We zijn op zoek naar een potentiaal die dezelfde eigenschappen vertoont als de LJ potentiaal behalve het gedrag, de divergentie, voor r 0. We werken met de volgende softcore potentiaal [SRC10]: ( H U SC (r) = 1 + exp( (r R R )) U A exp (r R ) A) 2 2δ 2 A. (4.1) De parameters, R R, U A en δ A worden geoptimaliseerd zodat we de LJ potentiaal, U LJ, zo goed mogelijk benaderen (behalve dus voor r 0). De parameter R A bepaalt de lengteschaal in het systeem. Hier kiezen we R A = σ Ar. De parameter H bepaalt de hardheid van de kern van de potentiaal. De softcore potentiaal wordt gekarakteriseerd door de waarde van H. Op Fig. 4.1 wordt de softcore potentiaal afgebeeld voor verschillende waarden van H samen met de LJ potentiaal. 37

48 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA 38 Potentiaal LJ H=5 H=20 H= Intermoleculaire afstand r Figuur 4.1: De softcore potentiaal voor verschillende waarden van H en de Lennard-Jones potentiaal. r wordt uitgedrukt in gereduceerde eenheden Effect van de softcore potentiaal Nu wordt het effect bekeken van de softcore potentiaal op de RDF, op de VAF en op de gemiddelde kwadratische verplaatsing. Radiale distributiefunctie Op Fig. 4.2 wordt de RDF afgebeeld voor een LJ potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 5, 20 en 200. Radiale distributiefunctie g (2) (r) LJ H=5 H=20 H= Intermoleculaire afstand r Figuur 4.2: De RDF voor een Lennard-Jones potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 5, 20 en 200. De simulatie werd uitgevoerd voor 2048 deeltjes met T = 0.7 en ρ = 0.5. r is uitgedrukt in gereduceerde eenheden.

49 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA 39 Bij H = 5, een heel zachte softcore potentiaal, zien we dat de eerste piek bij r 0 de hele RDF domineert. Dit betekent dat een groot deel van de deeltjes heel dicht bij elkaar zitten. Hier wijkt de RDF significant af van deze voor de LJ potentiaal. We zullen voortaan H = 5 niet meer beschouwen. Echter bij H = 20 en 200 zien we dat deze piek verdwijnt. De vorm van de RDF voor deze twee gevallen is gelijkaardig aan deze voor de LJ potentiaal. Het verschil zit in het feit dat de RDF voor H = 20 en 200 naar links is verschoven. Dit is het gevolg van het feit dat de deeltjes dichter bij elkaar kunnen komen wanneer we werken met een softcore potentiaal. Voor H = 20 is de distributie meer naar links verschoven dan voor H = 200, wat overeenkomt met het feit dat H = 20 een zachtere softcore potentiaal beschrijft. Snelheidsautocorrelatiefunctie Op Fig. 4.3 wordt de VAF afgebeeld voor een LJ potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 20 en 200. Snelheidsautocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen LJ H=20 H=200 Figuur 4.3: De VAF voor een Lennard-Jones potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 20 en 200. De simulatie werd uitgevoerd voor 2048 deeltjes met T = 0.7 en ρ = 0.5. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. We zien dat de VAF voor een softcore potentiaal trager afneemt dan voor een LJ potentiaal. Hoe groter H, hoe sneller de VAF afneemt. Het gedrag is kwalitatief hetzelfde. Gemiddelde kwadratische verplaatsing Op Fig. 4.4 wordt de gemiddelde kwadratische verplaatsing afgebeeld in functie van de tijd voor een LJ potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 20 en 200.

50 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA 40 Gemiddelde kwadratische verplaatsing LJ H=20 H= Aantal tijdstappen (x 10 3 ) Figuur 4.4: De gemiddelde kwadratische verplaatsing voor een Lennard-Jones potentiaal en voor een softcore potentiaal met H = 20 en 200. De simulatie werd uitgevoerd voor 2048 deeltjes met T = 0.7 en ρ = 0.5. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. We zien dat er voor alle waarden van H een lineaire relatie bestaat tussen de gemiddelde kwadratische verplaatsing en de tijd, < x 2 > t. De diffusiecoëfficiënt D wordt gegeven door < x 2 >= 2Dt, formule Uit Fig. 4.4 kunnen we afleiden dat D zal afhangen van de zachtheid van de potentiaal. Hoe harder de potentiaal (hoe groter H), hoe kleiner D zal zijn. De botsingen worden inelastischer. Dit lineair verband tussen de gemiddelde kwadratische verplaatsing en de tijd, geeft aan dat de distributie van de stapgroottes P ( x) kan beschreven worden door een Gaussische distributie. We beschrijven dus nog steeds een normaal diffusieproces. In het vervolg zullen we simulaties doen voor H = Herschalen van de dichtheid Om anomale diffusie te simuleren zullen we moeten simuleren onder niet evenwichtscondities. Deze condities introduceren we door middel van het herschalen van de dichtheid met een factor λ op regelmatige tijdstippen. Wanneer λ > 1, dan is het herschalen van de dichtheid equivalent met een vergroting van de molecules. Hierdoor zullen de kernen van de potentialen van sommige deeltjes gaan overlappen. De kinetische energie van deze deeltjes stijgt sterk, waardoor de temperatuur van het systeem ook sterk toeneemt. Het systeem moet controleerbaar blijven. Daarom zullen we een maximale temperatuur invoeren. Wanneer het systeem deze temperatuur bereikt, krijgt de dichtheid terug zijn oorspronkelijke waarde en de snelheden worden herschaald zodat de temperatuur ook opnieuw zijn oorspronkelijke waarde aanneemt. Op Fig. 4.5 wordt het temperatuursverloop afgebeeld.

51 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA Temperatuur Aantal tijdstappen Figuur 4.5: De temperatuur T in functie van de tijd. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. De simulatie werd uitgevoerd voor 8788 deeltjes gedurende 4000 tijdstappen. Om de 300 tijdstappen wordt de dichtheid herschaald met een factor λ = We zien dat het een hondertal tijdstappen duurt vooraleer de temperatuur een nieuwe evenwichtswaarde bereikt Resultaten De kurtosis, formule 3.18, is nul voor een Gaussische distributie, zie paragraaf Voor normale diffusie zal de kurtosis van de distributie van de stapgroottes dus gelijk zijn aan nul. Een goede manier om anomale diffusie te detecteren is te controleren wanneer de kurtosis significant afwijkt van nul. Op Fig. 4.6 wordt de kurtosis van de distributie van de stapgroottes afgebeeld voor een simulatie met 8788 deeltjes.

52 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA Kurtosis Aantal tijdstappen Figuur 4.6: De kurtosis in functie van de tijd voor de simulatie uit Fig De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. We zien dat de tijdstippen waarop de kurtosis significant afwijkt van nul overeenkomen met de tijdstippen waarop het systeem wordt afgekoeld, het systeem is in de cooldown fase. De distributie van de stapgroottes P ( x) beschrijft een anomale distributie tijdens deze fase, Fig Waarschijnlijkheid x/σ Figuur 4.7: De distributie van de stapgrooottesp ( x σ ) afgebeeld tijdens de cooldown fase, tijdstap 1490, (groen) en tijdens evenwicht, tijdstap 10, (rood) op log-log schaal. Het is duidelijk dat de groene curve een anomale distributie beschrijft en de rode een Gaussische distributie. Om P ( x) te kunnen vergelijken op verschillende tijdstippen hebben we de verplaatsingen gedeeld door de standaarddeviatie van de distributie. Hierdoor wordt de breedte

53 HOOFDSTUK 4. ANOMALE DIFFUSIE IN MOLECULAIRE DYNAMICA 43 van verschillende distributies genormaliseerd. We merken op dat tijdens de cooldown fase de distributie een scherpere piek heeft en vettere staarten. Dit is in overeenstemming met de verkregen waarde van de kurtosis. We hebben te maken met een leptokurtosische distributie. We zijn er dus in geslaagd om anomale diffusie te simuleren. 4.4 Conclusie In een systeem dat zich uit evenwicht bevindt, slagen we er in met behulp van een softcore potentiaal, anomale diffusie te simuleren. We brengen het systeem uit evenwicht door de dichtheid te herschalen. Hierdoor zal de temperatuur toenemen. We definiëren echter een maximale temperatuur waardoor we het systeem onder controle kunnen houden. Tijdens de cooldown fase wordt anomale diffusie waargenomen. De distributie van de stapgroottes van de deeltjes volgt een anomale verdeling. We verkrijgen een leptokurtosische distributie. Distributies als deze worden gekenmerkt door een kurtosis verschillend van nul. Ze hebben vettere staarten dan een Gaussische distributie waardoor extreme evenementen waarschijnlijker zijn.

54 Hoofdstuk 5 Volatiliteit van prijsfluctuaties De S&P 500 index is één van de meest gebruikte beursindexen van de Verenigde Staten. De index levert een vrij goed globaal beeld van de ontwikkelingen op de aandelenmarkt. De 500 grootste Amerikaanse bedrijven gemeten naar hun marktkapitalisatie zijn opgenomen in deze index. In referentie [LGC + 98] wordt de S&P 500 index geanalyseerd voor een 13-jarige periode, In het bijzonder worden de statistische eigenschappen van de volatiliteit 1 bestudeerd. De PDF en de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit worden berekend. We hebben op een analoge wijze de S&P 500 index geanalyseerd over een 59-jarige periode, vanaf 3 januari 1950 tot en met 28 september De gegevens komen van [yah] waar de zogenaamde intraday gegevens voor de S&P 500 index vrij beschikbaar zijn. In referentie [LGC + 98] werd gebruik gemaakt van gegevens met een tijdsinterval van 1 minuut (de zogenaamde intraminute data). Onze analyse kan soms niet zo gedetailleerd gebeuren als deze in referentie [LGC + 98] door het feit dat we gebruik maken van dag per dag gegevens. De voornaamste conclusies uit referentie [LGC + 98] worden echter wel verkregen met behulp van deze dag per dag gegevens. Enkel de dagen waarop de beurs open is, worden in rekening gebracht. Op Fig. 5.1 wordt het verloop van de S&P 500 index Z(t) getoond voor de 59-jarige periode die hier bestudeerd zal worden. 1 De volatiliteit is een maat voor hoe waarschijnlijk een markt zal fluctueren, zie paragraaf

55 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES Index Z(t) Tijd t [jaren] (a) 1000 Index Z(t) Tijd t [jaren] (b) Figuur 5.1: De S&P 500 index Z(t) voor de 59-jarige periode, 3 januari september 2009 met sampling interval 1 dag (a) op lineaire schaal (b) op log-lineaire schaal. De index vertoont over het algemeen een stijgend verloop. Opvallend is dat rond enkele jaartallen (1987, 2000 en 2008) de stijgende trend verdwijnt. Op maandag 19 oktober 1987 (Black Monday) crashten de beurzen over de hele wereld. De terugval van de beurzen was de grootste die ooit geregistreerd werd. Dit wordt duidelijk op Fig. 5.2.

56 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 46 Figuur 5.2: De S&P 500 index Z(t) voor het jaar De grote terugval van de beurzen is duidelijk te zien [bla]. Over de oorzaak wordt er nog steeds gediscuteerd. Na deze crash werd de efficiënte markt hypothese, die vermeld werd in hoofdstuk 2, sterk in vraag gesteld. De sterke stijging in de index tussen is het gevolg van de dot-com bubble. De waarden op de aandelenmarkt stegen snel als gevolg van de groei van de internet sector en de daarvan afhankelijke bedrijven. De waarde van internetbedrijven werd overschat door de investeerders. Bijvoorbeeld het bedrijf dat de vliegtickets verkocht op internet voor American Airlines was groter op de beurs dan American Airlines zelf [JE08]. Dit illustreert dat de waarde van sommige bedrijven overschat werd, wat in 2000 leidde tot de ineenstorting van de beurs. Als gevolg van deze crash verlaagde de FED (Federal Reserve of the Central Bank of the United States) de interestvoeten van 6.5 % naar 1%. Hierdoor zagen de banken hun winsten verlagen. Om hun winsten te verhogen gaven Amerikaanse banken leningen uit met een hoger risico op wanbetalingen waardoor ze hogere interesten konden vragen. Hypotheken werden aangeboden aan klanten zonder inkomen of bezit, ook NINJAs genoemd (No Income, No Job or Assets). Omdat de banken hun winsten wilden maximaliseren, verhoogden ze het aantal leningen waardoor de banken uiteindelijk zelf moesten lenen bij buitenlandse banken. De NINJAs konden hun risicovolle hypotheken die te hoog waren niet afbetalen waardoor de banken in de problemen kwamen, ze hadden geld nodig [Aba09]. Hierdoor crashte de beurs eind 2008 opnieuw. 5.1 Returns van de S&P 500 index Wanneer we een fluctuerend financieel systeem beschouwen, willen we de grootte van de fluctuaties bepalen. Een veelgebruikte eenheid hiervoor is de return G(t) die gedefinieerd wordt als de verandering in de logaritme van de index, G t (t) = ln Z(t + t) ln Z(t) Z(t + t) Z(t) Z(t), (5.1)

57 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 47 waarbij t het sampling interval is. In het verdere verloop van dit hoofdstuk zullen we t steeds gelijkstellen aan 1 dag, waardoor we G t (t) voortaan als G(t) noteren. De formule 5.1 maakt duidelijk dat wanneer de veranderingen in de index Z(t) klein zijn, de return gedefinieerd kan worden als de relatieve verandering van de index Z(t). De absolute waarde van de returns voor de gegevens van Fig. 5.1 wordt getoond in Fig Absolute waarde returns G(t) Tijd t[jaren] Figuur 5.3: De absolute waarde van de returns G(t) waarbij t = 1 dag. Deze grootheid beschrijft de amplitude van de fluctuaties van de beursindex Z(t). Wanneer G(t) grote waarden aanneemt, zal de index sterk fluctueren. Op Fig. 5.3 merken we opnieuw pieken op rond 1987, 2000 en Waarschijnlijkheidsdistributie van de returns In Fig. 5.4 tonen we de PDF van de intraday returns van Fig Waarschijnlijkheid P(G) Returns G Figuur 5.4: PDF van de S&P 500 returns op log-lineaire schaal.

58 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 48 De returndistributie volgt duidelijk geen Gaussische distributie, de extreme evenementen 2 zijn waarschijnlijker dan voorspeld voor een Gaussische distributie. We verkrijgen een leptokurtosische distributie, een distributie met vette staarten, analoog aan de distributie van de stapgroottes in Fig Cumulatieve distributie van de returns We zullen nu de cumulatieve distributie bekijken in plaats van de PDF omdat de cumulatieve distributie minder afhangt van de gekozen binning. De cumulatieve distributie van de returns wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid p G (x) dat G een waarde groter dan x aanneemt, p G (x) = waarbij P (G) de PDF is van de returns, Fig x P (G)dG, (5.2) Omdat de PDF van de returns ongeveer symmetrisch is rond nul beschouwen we hier enkel de positieve helft van de distributie. We bekijken de cumulatieve distributie van de positieve staart. De cumulatieve distributie in Fig. 5.5 vertoont asymptotisch een machtswet gedrag, p G (G > x) 1 x α. (5.3) Cumulatieve distributie p G Returns G Figuur 5.5: De cumulatieve distributiefunctie van de positieve returns op log-log schaal. Er wordt een machtswet aan de distributie gefit. 2 Extreme evenementen worden hier gedefinieerd als evenementen die in absolute waarde groter zijn dan vijf maal hun standaarddeviatie σ. Hier in het bijzonder voor de returns wordt dit: G(t) > 0.05.

59 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 49 De exponent α wordt verkregen met behulp van de maximum likelihood estimate methode, dewelke besproken wordt in bijlage A. α is gelijk aan 3.28±0.53, wat buiten het stabiele Lévy gebied, 0 < α < 2, ligt. Als gevolg van de symmetrie van de PDF van de returns volgt de negatieve staart ook een machtswet met dezelfde exponent. Dat de cumulatieve distributie asymptotisch aan een machtswet voldoet, betekent dat de distributie van de returns ook asymptotisch aan een machtswet zal voldoen. De exponent die deze machtswet karakteriseert, kunnen we uit α halen met behulp van formule 5.2. We weten dat de integraal van een machtswet opnieuw een machtswet is. We veronderstellen dus reeds dat P (G) gegeven wordt door een machtswet, P (G) = C G ρ, met C een reële constante. Wanneer we dit invullen in formule 5.2 verkrijgen we p G (x) = C x G ρ dg = C 1 ρ G (ρ 1). (5.4) Vergelijken van formule 5.3 en 5.4 geeft ons dat α = ρ 1. De cumulatieve en de waarschijnlijkheidsdistributie volgen dus beide asymptotisch een machtswet met verschillende exponenten die gerelateerd zijn. Een mogelijk model voor deze distributie is de getrunceerde Lévy distributie (TLF), die beschreven werd in paragraaf De TLF beschrijft de asymptotische returndistributie goed, maar in werkelijkheid is het tweede orde moment van de returns (de volatiliteit, zie paragraaf 5.2) tijdsafhankelijk. Dit kan niet beschreven worden met behulp van de TLF Tijdscorrelatie in de returns Tijdscorrelaties in de returns G(t) worden gekwantificeerd met behulp van de autocorrelatiefunctie C(t) die gedefinieerd wordt als C(t) = < G(t 0)G(t + t 0 ) > < G(t 0 ) > 2 < G 2 (t 0 ) > < G(t 0 ) > 2, (5.5) waarbij t het tijdsverschil is. De gemiddelden over t 0 worden bekomen door het beginpunt t 0 te laten variëren over de helft van de datapunten. Concreet hebben we in deze analyse datapunten voor G(t). De waarde van t 0 varieert dus tussen 0 en Over dit interval nemen we dan het gemiddelde om de noemer in formule 5.5 te bekomen. In Fig. 5.6 wordt de autocorrelatiefunctie van G(t) afgebeeld. Op basis van minuut per minuut gegevens bleek het onmogelijk om deze distributie te simuleren. Daarom werd de figuur uit [LGC + 98] gebruikt. De autocorrelatiefunctie vervalt exponentieel naar nul in minder dan 1 dag, C(t) exp( t/τ) met τ 4 min.

60 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 50 Figuur 5.6: De autocorrelatiefunctie van G(t) voor de S&P 500 index op log-lineaire schaal [LGC + 98]. De korte vervaltijd is in overeenkomst met de efficiënte markt hypothese, zie paragraaf 2.1.2, die stelt dat het onmogelijk is de toekomstige aandeelprijzen te voorspellen op basis van hun voorgaande waarden. Het is onmogelijk om makkelijk geld te verdienen ten gevolge van de tijdscorrelaties in de prijzen van de aandelen. 5.2 Volatiliteit van de S&P 500 index Het exponentiële verval houdt echter niet in dat de returns onafhankelijke random variabelen zijn, er kunnen namelijk hogere orde correlaties optreden. Een hogere orde correlatie houdt in dat de hogere orde momenten van de returns gecorreleerd zijn, bijvoorbeeld de varianties kunnen een lange-dracht correlatie hebben. Verderop zullen we zien dat de autocorrelatiefunctie van niet-lineaire functies van de returns een veel trager verval vertonen, wat impliceert dat ze een langer tijdsgeheugen hebben. Vermoedelijk is er dus nog een ander fundamenteel stochastisch proces aanwezig buiten de returns zelf, een proces dat de statistische eigenschappen van de returns aanstuurt, dat het asymptotisch machtswet gedrag van de returndistributie verklaart. Dit proces wordt de volatiliteit genoemd. De volatiliteit kan op verschillende manieren gedefinieerd worden. De vereiste is dat het een niet-lineaire functie is van de returns. De definitie die hier wordt gebruikt is de volgende, V T (t) = 1 n t+n 1 t =t G(t ), (5.6) waarbij n een geheel getal is. De volatiliteit is het gemiddelde van de absolute waarden van de returns over een zeker tijdsvenster T = n t. Een andere veelvoorkomende definitie is de standaardafwijking van de returns in een bepaald tijdsvenster,

61 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 51 V T (t) = 1 n t+n 1 t =t (< G(t ) 2 > < G(t ) > 2 ). (5.7) De belangrijkste reden waarom we in het vervolg onmiddellijk met de volatiliteit zullen werken is het belang van de volatiliteit bij risicometingen. De volatiliteit geeft aan hoe waarschijnlijk marktschommelingen zijn, wat het de belangrijkste parameter maakt bij het berekenen van risico s. Op Fig. 5.7 tonen we de volatiliteit voor de S&P 500 index met een tijdsvenster T = 100 dagen voor de volledige 59-jarige periode samen met de index Z(t) en de absolute waarde van de returns G(t) over dezelfde periode Volatiliteit G(t) Z(t) Tijd t [jaren] Figuur 5.7: De volatiliteit V T (t) met T = 100 dagen afgebeeld samen met de index Z(t) (op log-lineaire schaal) en de absolute waarde van de returns G(t) over dezelfde 59-jarige periode. De volatiliteit neemt grote waarden aan wanneer Z(t) sterk fluctueert. Opnieuw zien we pieken rond de jaartallen 1987, 2000 en Periodes met hoge volatiliteit lijken zich te groeperen. In Fig. 5.8 zoomen we in op de periode rond 2008.

62 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES Volatiliteit V T (t) / / / /2009 Tijd t [maanden] Figuur 5.8: De volatiliteit V T (t) met T = 20 dagen voor de periode rond We beschouwen hierbij een tijdsvenster T = 20 dagen. Hierdoor zien we meer in detail het verloop van de volatiliteit. We merken duidelijk een oscillerend patroon op in de periodes van grote volatiliteit. Dit oscillerend patroon zou een mogelijke waarschuwing kunnen zijn voor een crash. Theorieën om op basis hiervan een beurscrash te voorspellen zijn analoog aan deze voor het voorspellen van aardbevingen [Sor03]. Voor een aardbeving wordt de volgende vergelijking vooropgezet om de spanning die vrijkomt bij een aardbeving te beschrijven: ɛ(t) = A + B(t f t) m (1 + C cos(ω ln(t f t) + ψ)), (5.8) waarbij t f het ogenblik is waarop de aardbeving plaatsvindt. A, B, t f, m, C, ω en ψ zijn vrije parameters. De spanning volgt dus een machtswet met logaritmische periodische oscillaties in de aanloop naar een aardbeving. Formule 5.8 vertoont een kritisch punt dat kan geïdentificeerd worden met de aardbeving, ɛ(t) divergeert als t = t f. Een logaritmisch periodisch patroon kan als precursor gezien worden voor het kritisch punt, de aardbeving. Vervangen we nu de spanning ɛ(t) door de returns G(t), dan is de voorspelling dat in de periode voor een crash, de returns een machtswet met logaritmisch periodische oscillaties volgen. t f is dan het moment waarop de crash zich voordoet. De aanwezigheid van vele subjectieve parameters maken deze voorspellingen eerder onbetrouwbaar Waarschijnlijkheidsdistributie van de volatiliteit De PDF P (V T ) van de volatiliteit voor verschillende tijdsvensters T wordt afgebeeld op een log-log schaal in Fig. 5.9.

63 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 53 Waarschijnlijkheid P(V T ) T=50 T=100 T= Volatiliteit V T Figuur 5.9: De PDF van de volatiliteit voor 3 verschillende tijdsvensters, T = 50, 100 en 150 dagen op log-log schaal. Hier wordt een logaritmische binning gebruikt om de ruis veroorzaakt door de binning te minimaliseren. Logaritmische binning betekent dat de breedte van de bins steeds een vast aantal keer breder is dan de vorige. De n e bin loopt dan van x n 1 = x min a n 1 tot x n = x min a n waarbij a = De distributies zijn vergelijkbaar voor de verschillende tijdsvensters, waardoor we in het vervolg enkel de distributie voor T = 100 dagen zullen beschouwen. Op Fig wordt een lognormale distributie gefit aan de PDF. De lognormale distributie wordt gegeven door f(x) = 1 xσ 2π exp( (ln(x) µ)2 2σ 2 ), (x > 0), (5.9) waarbij µ en σ respectievelijk het gemiddelde en de standaarddeviatie zijn van de logaritme van x. De logaritme van de lognormaal verdeelde variabele x is Gaussisch gedistribueerd bij definitie. De lognormale distributie komt typisch op de proppen wanneer een variabele het resultaat is van een product van een groot aantal onafhankelijke en identiek verdeelde variabelen.

64 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 54 Waarschijnlijkheid P(V T ) Volatiliteit V T Figuur 5.10: De PDF van de volatiliteit op een log-log schaal met T = 100 dagen. Een lognormale wordt aan de distributie gefit. Het centrale gedeelte van P (V T ) volgt een lognormale distributie met µ = ± en σ = ± Zoals reeds vermeld, en verderop aangetoond, vertoont de volatiliteit een sterke tijdscorrelatie. De centrale limietstelling, die beschreven wordt in paragraaf 2.1.3, zal nog steeds van kracht zijn, hoewel met een tragere convergentie dan voor niet gecorreleerde variabelen. Met toenemende waarden van T zal de PDF van de volatiliteit P (V T ) dus naar een Gaussische distributie convergeren. De combinatie van de sterke correlatie van de volatiliteit en het feit dat de mogelijke waarden van T begrensd zijn doordat de S&P 500 een eindig tijdsinterval doorloopt 3, zorgt ervoor dat de Gaussische limietcurve niet zal bereikt worden. Voor alle mogelijke T waarden (T > 50 dagen) zal het centrale gedeelte van de volatiliteitsdistributie dus een lognormale distributie volgen. Dit wordt duidelijk op Fig De PDF van de volatiliteit wordt hier afgebeeld voor T = De data voor de S&P 500 is slechts voor een beperkt interval beschikbaar.

65 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 55 Waarschijnlijkheid P(V T ) Volatiliteit V T Figuur 5.11: De PDF van de volatiliteit met T = 300 dagen afgebeeld samen met een lognormale (groen) en een Gaussische fit (blauw) op log-log schaal. Het wordt duidelijk dat de lognormale fit nog steeds een betere benadering is dan de Gaussische fit Cumulatieve distributie van de volatiliteit Zoals te zien op Fig. 5.10, volgt de staart van de volatiliteitsdistributie de lognormale niet meer. De staart vertoont een ander gedrag. Om dit nader te onderzoeken, bekijken we de cumulatieve distributiefunctie. De cumulatieve distributie van de volatiliteit wordt gedefinieerd als de waarschijnlijkheid p(x) dat V T een waarde groter dan x aanneemt, p VT (x) = x P (V T )dv T, (5.10) waarbij P (V T ) de PDF is van de volatiliteit, Fig De cumulatieve distributie voor T = 100 dagen wordt afgebeeld in functie van de geschaalde volatiliteit. De volatiliteit wordt geschaald met zijn standaarddeviatie, v T (t) = V T (t) < VT (t) 2 > < V T (t) > 2. (5.11) In de noemer wordt het gemiddelde genomen over het aantal beschikbare waarden van de volatiliteit (hier is dit T ).

66 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 56 Cumulatieve distributie p VT Geschaalde volatiliteit V T Figuur 5.12: Cumulatieve distributiefunctie van de volatiliteit, geschaald met zijn standaarddeviatie, op log-log schaal voor T = 100 dagen. Een machtswet (groen) wordt aan de distributie gefit. De cumulatieve distributiefuctie van de gefitte lognormale uit Fig wordt ook afgebeeld (blauw), dit is een errorfunctie (vergelijking 5.13). De cumulatieve distributie op Fig vertoont asymptotisch een machtswet gedrag, p(v T > x) 1 x µ. (5.12) De exponent µ, die niet te verwarren is met het gemiddelde µ uit formule 5.9, wordt verkregen door opnieuw de maximum likelihood estimation methode toe te passen, bijlage A. Dit levert µ = 3.25 ± 0.07 op, wat opnieuw buiten het stabiele Lévy gebied ligt en benaderend gelijk is aan de exponent α van de returndistributie. Deze waarde van µ impliceert dat de distributie een eindige variantie heeft en convergeert naar een Gaussische distributie. Voor een reeks andere waarden van T wordt benaderend dezelfde exponent µ verkregen, wat aantoont dat de distributie schaalinvariant is. In tabel 5.1 worden de berekende exponenten µ en de bijhorende fouten getoond voor vier verschillende waarden van T. T = 100 µ = 3.25 ± 0.07 T = 150 µ = 3.27 ± 0.07 T = 200 µ = 3.33 ± 0.07 T = 300 µ = 3.42 ± 0.07 Tabel 5.1: De waarde van de exponent µ van de gefitte machtswet aan de cumulatieve distributie van de volatiliteit voor 4 verschillende waarden van de tijdsvensters T. Het feit dat de cumulatieve distributie afwijkt van de machtswet bij lage waarden van de geschaalde volatiliteit is het gevolg van de lognormale verdeling in het centrale gedeelte van de PDF van de volatiliteit. Dit wordt duidelijk wanneer we de cumulatieve

67 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 57 distributie van de volatiliteit vergelijken met de cumulatieve distributie van de lognormale die we gefit hebben aan de PDF van de volatiliteit, Fig De cumulatieve distributie van de lognormale, vergelijking 5.9, wordt gegeven door F (x) = [ ] ln(x) µ 2 erf 2σ 2. (5.13) Op Fig wordt F (x) getoond (de blauwe curve). We zien duidelijk dat de cumulatieve distributie van de volatiliteit in het centrum F (x) volgt en in de staart daarvan afwijkt. De bovengrens 10 voor de geschaalde volatiliteit wordt veroorzaakt door het feit dat het systeem niet groot genoeg is voor zulke hoge waarden van de volatiliteit. Er is een limiet op de grootste waarde die mogelijk is. De geschaalde volatiliteit voldoet aan v T (t) < 10 wat betekent dat de volatiliteit V T (t) < 10 σ, waarbij σ de standaarddeviatie is van de volatiliteit (de noemer in formule 5.11). De waarschijnlijkheid waarmee een markt schommelt heeft dus een maximale waarde. Dit is analoog aan de finite-size effecten die zich voordoen bij kritische fenomenen, bijlageb Vergelijken volatiliteitsverloop van de S&P 500 index met het volatiliteitsverloop van individuele bedrijven De volatiliteit voor enkele individuele bedrijven die deel uitmaken van de S&P 500 wordt ook onderzocht. Twee bedrijven worden nader bekeken, Coca Cola en Microsoft. De data strekt zich uit over een 23-jarige periode, vanaf 24 november 1986 tot en met 2 oktober De returns, formule 5.1, en de volatiliteit, formule 5.6, worden berekend voor elk bedrijf, waarbij Z(t) nu de marktkapitalisatie voorstelt van een bedrijf. De marktkapitalisatie is de prijs van een aandeel vermenigvuldigd met het aantal uitstaande aandelen. Op Fig wordt de cumulatieve distributie in functie van de geschaalde volatiliteit voor Coca Cola en Microsoft vergeleken met deze voor de S&P 500 index (over dezelfde periode).

68 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 58 Cumulatieve distributie Index Coca Cola Microsoft 1 10 Geschaalde volatiliteit V T Figuur 5.13: Cumulatieve distributie functie van de volatiliteit, geschaald met de standaarddeviatie, op log-log schaal voor de 2 bedrijven Coca-Cola (groen) en Microsoft (blauw) en voor de S&P500 index (rood) voor T = 100 dagen. De geschaalde volatiliteit wordt analoog als in formule 5.11 gedefinieerd. De drie curves op Fig vertonen een gelijkaardig verloop. Asymptotisch volgt de cumulatieve distributie functie van de volatiliteit van individuele bedrijven dus opnieuw een machtswet met dezelfde exponent µ Correlatie van de volatiliteit Eerder werd reeds vermeld dat de volatiliteit een lang tijdsgeheugen heeft. De correlatie van de volatiliteit wordt nu berekend. Als tijdsvenster T kiezen we 1 dag. De volatiliteit is dus gelijk aan de absolute waarde van de returns, V T =1 (t) = G(t). Merk op dat we onze analyse baseren op een tijdsreeks van de S&P 500 index waarbij de gegevens beschikbaar zijn voor elke beursdag. Voor een meer optimale berekening van V T =1 (t) zou men in principe moeten beschikken over de tijdsreeks van de returns op een minuut per minuut basis ( t = 1 min). De tijdscorrelaties van de volatiliteit worden gekwantificeerd op drie verschillende manieren: via de correlatiefunctie (formule 5.6), via het power spectrum en via detrended fluctuation analysis (DFA). Correlatiefunctie Op Fig wordt de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V T =1 (t) getoond. Deze wordt analoog gedefinieerd als in formule 5.5. T wordt gelijk aan 1 gekozen opdat we de beste resolutie zouden verkrijgen. De autocorrelatiefunctie vertoont een machtswet

69 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 59 verloop C(t) t γ met γ Autocorrelatiefunctie C(t) Tijd t [dagen] Figuur 5.14: Autocorrelatiefunctie van G(t) op log-log schaal waaraan een machtsfunctie wordt gefit. De autocorrelatiefunctie van de volatiliteit vervalt dus veel trager dan deze van de returns, Fig Het tijdsgeheugen strekt zich uit over verschillende maanden. De aanwezigheid van deze correlaties schept de mogelijkheid om risicoberekeningen te doen. De tijdscorrelaties zijn van de lange orde. Het probleem bij deze methode is dat het afhankelijk is van de geschatte gemiddelde waarde van de tijdreeksen. Dit wordt duidelijk wanneer we terug naar formule 5.5 kijken. In de noemer middelen we uit over t 0. Het bereik waarover t 0 varieert kunnen we vrij kiezen. Het is moeilijk de werkelijke gemiddelde waarde af te schatten, waardoor de autocorrelatiefunctie enkel een kwalitatieve schatting is. Power spectrum Een tweede manier om de correlatie van de volatiliteit te kwantificeren is via het power spectrum. Het power spectrum wordt gegeven door de Fouriergetransformeerde van de autocorrelatiefunctie C(t), S(f) = N 1 t=0 C(t)e 2πtf, (5.14) 4 Hier kunnen we de maximum likelihood estimation methode niet toepassen. Een autocorrelatiefunctie is immers geen distributie. In de afleiding van de maximum likelihood estimation methode in bijlage A werd ook aangenomen dat de exponent van de machtswet groter is dan één. Het zal blijken dat dit niet zo is voor de autocorrelatiefunctie, wat aantoont dat we een andere methode zullen moeten gebruiken om de exponent af te schatten. De exponent wordt verkregen door op een log-log plot een rechte te fitten aan de curve. De helling van de rechte is de exponent van de machtswet. Deze methode is onnauwkeuriger dan de maximum likelihood estimation methode. Om dezelfde reden zullen we de maximum likelihood estimation methode ook niet gebruiken bij het power spectrum en bij DFA.

70 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 60 waarbij N = 7516 dagen (de helft van het aantal datapunten) is en de frequentie f = k waarbij k loopt van 0 tot en met Uit referentie [wik] halen we dat 7516 de Fouriergetransformeerde van x α gelijk is aan 2 sin(πα/2)γ(α+1). Uit voorgaande 2πf (α+1) paragraaf weten we dat C(t) verloopt volgens C(t) t γ met γ = 0.26, Fig De tijd t is steeds positief, waardoor we t γ kunnen gelijkstellen aan t γ. We kunnen dus besluiten dat sin( πγ/2)γ( γ + 1) S(f) = 2 f β, (5.15) 2πf ( γ+1) waarbij f de frequentie is. Wanneer we het power spectrum dus daadwerkelijk berekenen en een machtswet verloop bekomen is dit een bevestiging van het feit dat de autocorrelatiefunctie ook een machtswet verloop vertoont. Op Fig zien we het verloop van S(f) berekend met de functie C(t) van Fig We verkrijgen daadwerkelijk een machtswet verloop voor de laag-frequente waarden van G(t) : S(f) f β met β Power spectrum S(f) Frequentie f [1/dag] Figuur 5.15: Power spectrum S(f) op log-log schaal waaraan een machtswet wordt gefit. Bij grote waarden van de frequentie (f > 0.1) wijkt S(f) af van de gefitte machtswet. Dit is in analogie met het bekomen resultaat in [LGC + 98]. Zoals reeds vermeld, wordt in [LGC + 98] gewerkt met intraminute data. Hierdoor kunnen er aan het power spectrum S(f) twee verschillende machtswetten gefit worden: S(f) f β 1 voor f > f x en S(f) f β 2 voor f < f x, waarbij f x = min 1. Onze gevonden waarde voor β is analoog aan de waarde voor β 2. We onderzoeken of we de frequentie f x kunnen waarnemen op Fig De Amerikaanse beurs is gedurende 6 uren en een half open [mar]. Eén beursdag is dus equivalent aan 390 min. We kunnen f x dus schrijven in eenheden dag 1, f x = min 1 = dag 1 = 0.68 dag 1. (5.16)

71 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 61 We zien in Fig dat voor f x = 0.68 dag 1 het power spectrum S(f) reeds afwijkt van de gefitte machtswet. De frequentie f x = 0.68 dag 1 komt dus niet exact overeen met de frequentie waarop de exponent van de machtswet verandert. Dit is het gevolg van het feit dat we hier met intraday gegevens werken, de waarde van de crossover frequentie kan niet exact bepaald worden. We observeren wel de verandering naar een machtswet met een andere exponent in de buurt van de crossover frequentie f x = 0.68 dag 1. Uit formule 5.15 halen we het verband 1 γ = β. Wanneer we de waarden van γ en β invullen zien we dat dit bij benadering klopt. Detrended fluctuation analysis Een derde manier om de correlatie van de volatiliteit te kwantificeren is de detrended fluctuation analysis (DFA) [LGC + 98]. Deze methode laat toe om lange-dracht correlaties te detecteren bij niet-stationaire tijdsreeksen. Eerst bekijken we nader wat DFA exact inhoudt. We integreren G(t) en construeren een tijdsreeks y(t ), t y(t ) = G(i). (5.17) i=1 In Fig wordt y(t ) uitgezet in functie van t. y(t ) Tijd t [dagen] (x 10 3 ) Figuur 5.16: De tijdsreeks y(t ) in functie van t voor de datapunten van de intraday S&P 500 index voor de periode Van y(t ) wordt nu de globale trend afgetrokken. De globale trend wordt verkregen door middel van een lineaire fit aan de curve over het hele bereik van y(t ). De curve die we verkrijgen door van y(t ) zijn globale trend af te trekken noemen we Y (t ). In Fig wordt Y (t ) afgebeeld in functie van t.

72 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES Y(t ) Tijd t [dagen] (x 10 3 ) Figuur 5.17: Y (t ) in functie van t voor de datapunten. Nu wordt het gebied waarover Y (t ) gedefinieerd is, verdeeld in intervallen van gelijke lengte t. In elk interval doen we een lineare fit aan de curve Y (t ), die dan de trend in dit interval voorstelt. De y coördinaat van de lineare fit in het interval met lengte t wordt voorgesteld door Y t (t ). De fluctuatie wordt dan gegeven door F (t) = 1 N N (Y (t ) Y t (t )) 2, (5.18) t =1 waarbij N het aantal datapunten is. Voor het voorbeeld van de S&P 500 index die het onderwerp van studie voor dit hoofdstuk vormt, is dit Op deze manier krijgen we een relatie tussen F (t), de gemiddelde fluctuatie, en de intervallengte t. Op Fig zien we de fluctuatie F (t) in functie van de intervallengte t waarbij t loopt van 10 dagen tot dagen.

73 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES Fluctuatie F(t) Tijd t [dagen] Figuur 5.18: Flucuatie F (t) op log-log schaal waaraan een machtswet wordt gefit. De lineaire relatie op log-log schaal wijst op de aanwezigheid van een machtswet, F (t) t α. De fluctuaties kunnen gekarakteriseerd worden door de exponent α, de helling van de lijn die log F (t) relateert met log t. Na het fitten van een rechte, vinden we α De waarde voor α kunnen we linken aan de Hurst exponent Hu. De Hurst exponent Hu wordt gedefineerd door [Voi05] p(x(at)) = p(a Hu x(t)) (a > 0). (5.19) Een herschaling van de tijd induceert dus een verandering in de lengteschaal. De Hurst exponent Hu is 0.5 voor een random walk. Een Hurst exponent Hu met als waarde 0.5 impliceert dus dat er geen correlatie is in de tijd. In [RER08] wordt de Hurst exponent berekend aan de hand van een R/S analyse waarbij de link met DFA wordt gelegd. Beide methoden zijn analoog en leveren een machtswet op met als exponent de Hurst exponent, α = Hu. In dit geval voldoet de Hurst exponent aan 0.5 < Hu < 1. Dit impliceert een machtswet correlatie, C(t) t γ. De relatie tussen de Hurst exponent Hu en de exponent γ van de autocorrelatiefunctie is gekend: Hu = 1 γ 2. We weten dat Hu = α dus bekomen we het volgende verband: γ = 2 2α. Na invullen van de gevonden waarden, zien we dat dit bij benadering klopt. Vergelijken volatiliteitscorrelatie van de S&P 500 index met de volatiliteitscorrelatie van individuele bedrijven We tonen in Fig het gemiddelde power spectrum S(f) van Coca-Cola en Microsoft. We bekomen dit power spectrum door het gemiddelde te nemen van S(f) voor deze 2 bedrijven over een 23-jarige periode, van 24 november 1986 tot en met 2 oktober We vergelijken dit gemiddelde power spectrum met het power spectrum van de S&P 500 index over dezelfde periode en we zien dat de exponent van het gemiddeld power spectrum lager is, wat betekent dat er minder correlatie is. Dit is waarschijnlijk

74 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 64 het gevolg van de kruiscorrelatie tussen prijsveranderingen van verschillende bedrijven. In de S&P 500 index zijn 500 bedrijven opgenomen waardoor de kruiscorrelatie tussen prijsveranderingen van deze bedrijven zorgen voor een grotere algemene tijdscorrelatie. Bij het gemiddeld power spectrum worden deze kruiscorrelaties niet in rekening gebracht doordat we naar één enkel bedrijf kijken. Hierdoor is de tijdscorrelatie kleiner. 100 Power spectrum S(f) Frequentie f [1/dag] Figuur 5.19: Gemiddelde power spectrum S(f) voor Coca-Cola en Microsoft (groen) en power spectrum S(f) voor S&P 500 (rood) op log-log schaal. Machtswet van de volatiliteitscorrelatie eigen aan het systeem? Nu wordt er nog nagegaan of de geobserveerde machtswet in de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit eigen is aan het systeem, of eerder een gevolg is van de vorm van de onderliggende distributie die staarten heeft die een machtswet volgen. We doen dit door middel van een techniek gekend als data shuffling. We mengen alle G(t) willekeurig door elkaar. De distributie van G(t) blijft onveranderd maar de tijdscorrelaties in de tijdreeksen worden vernietigd, als die er al zijn. Op Fig zien we dat de helling van het power spectrum S(f) voor de geshuffelde data nul is, op enkele beginpunten na. Dit toont aan dat deze data ongecorreleerd zijn. Uit het feit dat het power spectrum de fouriergetransformeerde is van de autocorrelatiefunctie kunnen we afleiden dat de corresponderende autocorrelatiefunctie een deltafunctie is, wat opnieuw impliceert dat de data ongecorreleerd zijn. We analyseren de geshuffelde data ook met de DFA techniek. Fig toont dat de helling van F (t) gelijk is aan 0.5. Uit de vorige paragraaf weten we dat de helling van F (t) gelijk is aan de Hurst exponent en dat een waarde van 0.5 voor de Hurst exponent inhoudt dat er geen correlaties zijn, er wordt een random walk beschreven. Opnieuw kunnen we concluderen dat de data ongecorreleerd zijn.

75 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES Power spectrum S(f) Frequentie f [1/dag] Figuur 5.20: Power spectrum S(f) van de geshuffelde data G(t) op log-log schaal. 1 Fluctuatie F(t) Tijd t [dagen] Figuur 5.21: Fluctuatie F (t) van de geshuffelde data G(t) op log-log schaal. We kunnen besluiten dat de machtswet van de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit eigen is aan het systeem. Effect van het veranderen van het tijdsvenster op de volatiliteitscorrelatie We gaan na of de exponent die de machtswet correlatie karakteriseert stabiel is. Met andere woorden, is de exponent nog steeds dezelfde als we een periode korter dan de 59-jarige periode uit de voorgaande studie, bestuderen. Om dit te controleren beschouwen we een 1-jarige periode, startend van 3 januari 1950 tot en met 3 januari We voeren nu een DFA analyse uit over deze 1-jarige periode, de exponent α wordt berekend voor deze periode. Hierna veranderen we het startpunt voor de DFA

76 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 66 analyse met 1 maand terwijl de analyse nog steeds over een 1-jarige periode wordt uitgevoerd, namelijk van 3 februari 1950 tot en met 3 februari De procedure herhalen we tot we alle data beschouwd hebben. Op Fig wordt de exponent α bestudeerd als functie van het startpunt. Exponent α(t) Tijd t [maanden] Figuur 5.22: Resultaat van een procedure waarbij in een eerste stap de exponent α wordt berekend over een tijdsinterval van 1 jaar. In een tweede stap wordt het tijdsinterval van 1 jaar dan verschoven met 1 maand. We herhalen stap één en stap twee totdat we de hele dataset hebben beschreven. De waarden op de horizontale as gaan van 0 tot 493. Nul stelt hier het 1e jaar voor van de data, 3 januari 1950 tot en met 3 januari Eén stelt dan 1 jaar voor maar 1 maand later, 3 februari 1950 tot en met 3 februari 1951, enz... De exponent varieert sterk zoals we zien. Dit is voornamelijk het gevolg van het feit dat afhankelijk van het gekozen startpunt er periodes met hoge volatiliteit meegerekend of niet meegerekend worden. We zien duidelijk op Fig dat α systematisch groter is dan 0.5 (α = 0.5 wordt op Fig aangeduid met de groene rechte). Uit paragraaf weten we dat α = 0.5 betekent dat er geen tijdscorrelatie is. Het feit dat α systematisch groter is dan 0.5 wijst dus op het feit dat er duidelijk tijdscorrelaties aanwezig zijn. 5.3 Conclusie Wat we uit dit hoofdstuk kunnen concluderen is dat de waarschijnlijkheidsdistributie van de volatiliteit voor de S&P 500 index een lognormale distributie volgt in het centrale gedeelte. De staarten van de distributie worden beschreven door een machtswet met exponent, 1 + µ 4, die buiten het stabiele Lévy gebied ligt. De returndistributie beschrijft asymptotisch ook een machtswet met dezelfde exponent. De waarschijnlijkheidsdistributie van de volatiliteit is schaalinvariant voor verschillende tijdsintervallen T. Wanneer we kijken naar de volatiliteitsdistributie van individuele bedrijven vinden we ongeveer dezelfde exponent voor de machtswet in de staarten. Het asymptotisch machtswet gedrag is dus universeel.

77 HOOFDSTUK 5. VOLATILITEIT VAN PRIJSFLUCTUATIES 67 Correlaties in de volatiliteit zijn van de lange orde. De autocorrelatiefunctie vertoont een machtswetverval, in tegenstelling tot de autocorrelatiefunctie van de returns die een exponentieel verval vertoont. In [GPA + 99] wordt aangetoond dat het schalingsgedrag van de returndistributie vernietigd wordt wanneer de gegevens geshuffled worden. Deze breakdown van het schalingsgedrag suggereert dat de lange-dracht volatiliteitscorrelaties een mogelijke reden zijn voor het geobserveerde schalingsgedrag van de returndistributie. Een mogelijke definitie van de volatiliteit is dat het een maat is voor de hoeveelheid informatie die toekomt op de markt. De statistische eigenschappen van de returns worden door deze informatie aangestuurd. De volatiliteit kan dus gezien worden als het meer fundamentele proces. In paragraaf werd vermeld dat een vloeistof een sterk gecorreleerd systeem is, waarin de deeltjes door onderlinge interacties coöperatief zullen bewegen. In dit hoofdstuk verkregen we dat de volatiliteit van een financiële tijdsreeks sterke correlaties vertoont. We zullen een vloeistof en een financiële tijdsreeks proberen te linken aan elkaar. In het vorige hoofdstuk hebben we reeds anomale diffusie gesimuleerd in een vloeistof. We verkregen een leptokurtosische distributie voor de distributie van de stapgroottes van de deeltjes in een vloeistof, analoog aan de distributie van de returns in Fig In hoofdstuk 6 proberen we de karakteristieken van de volatiliteit van een financiële tijdsreeks te verkrijgen in een vloeistof aan de hand van MD simulaties.

78 Hoofdstuk 6 Simulaties van de volatiliteit 6.1 Mappen van de tijd en ruimte We willen nu de robuuste eigenschappen van de volatiliteit, verkregen in paragraaf 5.2, simuleren in een vloeistofmodel. In hoofdstuk 4 verkregen we een leptokurtosische distributie voor de stapgroottes van de deeltjes in een vloeistof wanneer deze gedreven werd, Fig De distributie met de vette staarten verkregen we in de cooldown fase, telkens op 1 tijdstip. Deze distributie is analoog aan de distributie van de returns, Fig We linken dus de returns G(t) aan de stapgroottes x i 1 van de deeltjes. σ We kunnen beide grootheden vergelijken wanneer we de tijd en de ruimte mappen op elkaar. We moeten de tijdschaal (uitgedrukt in eenheden van tijdstappen t) in de MD simulatie mappen op de reële tijd in financiële markten. De lengte-eenheden van de MD simulatie moeten we ook mappen op de waarde van de index Mappen van de tijd Om de tijdsmapping uit te voeren zullen we de autocorrelatiefunctie van de stapgroottes x(t) van alle deeltjes vergelijken met de autocorrelatiefunctie van de returns G(t). De autocorrelatiefunctie van de stapgroottes wordt enkel berekend over periodes waarin anomale diffusie optreedt, dit is tijdens de cooldown fases. Enkel in deze periodes verkregen we voor de distributie van de stapgroottes een leptokurtosische distributie, analoog aan deze voor de returns. We grijpen terug naar Fig. 4.6 en zien dat de kurtosis hoge waarden heeft voor de volgende tijdsintervallen: en (de cooldown fases). De autocorrelatiefunctie van de stapgroottes x(t) berekenen we in beide intervallen. De resultaten van deze berekeningen zijn respectievelijk te vinden in Fig. 6.1 en Fig σ is de standaarddeviatie van de distributie P ( x) van alle deeltjes op 1 tijdstip. Delen door σ had als voordeel dat we distributies op verschillende tijdstippen makkelijk konden vergelijken. 68

79 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 69 Autocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen (a) Aantal tijdstappen (b) Figuur 6.1: De autocorrelatiefunctie van de stapgroottes x van alle deeltjes (8788) in het interval tijdstappen op (a) lineaire en (b) log-lineaire schaal. Een exponentiële wordt aan deze functie gefit, exp( t/τ) waarbij τ van de orde 100 is. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. Autocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen (a) Aantal tijdstappen (b) Figuur 6.2: De autocorrelatiefunctie van de stapgroottes x van alle deeltjes (8788) in het interval tijdstappen op (a) lineaire en (b) log-lineaire schaal. Een exponentiële wordt aan deze functie gefit, exp( t/τ) waarbij τ van de orde 100 is. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. Uit Fig. 5.6 van het vorig hoofdstuk kunnen we afleiden dat de autocorrelatiefunctie van de returns G(t) vervalt volgens exp( t ) waarbij τ van de orde van een paar minuten is. Dit wordt ook bevestigd in [Voi05], [BP03]. De autocorrelatiefunctie van de τ stapgroottes van alle deeltjes vertoont een gelijkaardig verval na een aantal tijdstappen. Wanneer we een exponentiële fitten aan beide autocorrelatiefuncties verkrijgen we dat τ van de orde 100 is. We stellen dus dat een paar minuten beurstijd equivalent is aan een honderdtal tijdstappen in de MD simulatie.

80 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT Mappen van de ruimte Om de ruimte te mappen zullen we eerst de volatiliteit in een vloeistofmodel definiëren. Aan de hand van deze definitie zullen we in de waarden van de volatiliteit in een vloeistofmodel mappen op de waarden van de volatiliteit van de S&P 500 index. Dit is analoog aan de lengte-eenheden van de MD simulatie mappen op de waarde van de returns Volatiliteit in moleculaire dynamica De volatiliteit V T (t) in het tijdsvenster T = n t (n N) werd in 5.6 gedefinieerd als V T (t) = 1 n t+n 1 t =t G(t ). (6.1) In de vorige paragraaf hebben we de returns G(t) gelinkt aan de stapgroottes x i van σ de deeltjes. De volatiliteit van deeltje i in het gesimuleerde vloeistofmodel definiëren we bijgevolg als V TM (t, i) = 1 T M t+t M 1 waarbij T M het tijdsvenster is en x i de verplaatsing van deeltje i. t =t x i (t ), (6.2) Evenwichtssituatie We willen de PDF van de volatiliteit in het gesimuleerde vloeistofmodel 3 verkrijgen. We doen dit voor twee verschillende waarden van T M. Als eerste keuze voor T M kiezen we 300. Uit de vorige paragraaf weten we dat dit slechts overeenkomt met enkele minuten beurstijd. Een simulatie met 8788 deeltjes gedurende 4000 tijdstappen nam ongeveer 1 dag in beslag. De simulatie werd uitgevoerd met 1 processor. Een tweede keuze voor T M is Dit komt overeen met ongeveer een halve beursdag 4. Hogere waarden van T M vergen zeer lange simulatietijden. De PDFs van de volatiliteit voor T M = 300 en T M = 3600 die we verkrijgen wanneer we de simulatie uitvoeren in evenwicht 5 worden afgebeeld in Fig Het rechtstreeks uitvoeren van het mappen van de lengte-eenheden van de MD simulatie op de waarde van de returns is onmogelijk omdat we altijd kijken naar x σ, Fig De PDF van de volatiliteit in het gesimuleerde vloeistofmodel stelt de distributie voor van de volatiliteit van alle deeltjes op één tijdstip. 4 Zoals reeds vermeld is de Amerikaanse beurs gedurende 6 uren en een half open [mar]. 5 De simulatie uitvoeren in evenwicht houdt in dat we de dichtheid niet herschalen, het systeem wordt niet gedreven.

81 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 71 Waarschijnlijkheid T M =300 Lognormale fit T M = Volatiliteit V TM [lengte-eenheden simulatie] Figuur 6.3: De PDFs van de volatiliteit V TM met tijdsvensters T M = 300 en T M = 3600 op log-log schaal. Aan de laatste wordt een lognormale gefit. De simulatie werd uitgevoerd voor 8788 deeltjes gedurende 4000 tijdstappen. De volatiliteit wordt uitgedrukt in lengte-eenheden van de simulatie. De PDF van de volatiliteit V TM met T M = 3600 volgt een lognormale distributie met als parameters µ TM = ± en σ TM = ± De PDF met T M = 300 daarentegen wijkt sterk af van een lognormale. Onze doelstelling is om deze PDFs te vergelijken met de PDF van de volatiliteit van de S&P 500 index, Fig De PDF van de volatiliteit van de S&P 500 index volgt in het centrum een lognormale distributie voor T = 50, 100 en 150 dagen. Voor grotere waarden van T zagen we dat de distributie nog steeds een lognormale volgt. Echter voor veel kleiner waarden van T onderzochten we niet wat er met de distributie gebeurt. We gaan dus terug naar de S&P 500 index en berekenen de PDF van de volatiliteit voor T = 3 dagen en vergelijken deze met de PDF voor T = 100 dagen, Fig. 6.4.

82 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 72 Waarschijnlijkheid P(V T ) T=3 Lognormale fit T= Volatiliteit V T Figuur 6.4: De PDFs van de volatiliteit V T van de S&P 500 index met tijdsvensters T = 3 en T = 100 dagen op log-log schaal. Aan de laatste wordt een lognormale gefit. We zien een analoog verloop als in Fig Wanneer we T te klein kiezen wijkt de distributie af van een lognormale. Bij de analyse van de volatiliteit van de S&P 500 index hebben we ons geconcentreerd op het tijdsvenster T = 100 dagen. De distributie van deze volgt een lognormale distributie in het centrum. De lognormale heeft als parameters: µ T = ± en σ T = ± De staarten van de distributie volgen de lognormale echter niet. De distributie van de volatiliteit met T = 100 dagen vertoont machtswetstaarten. In het vloeistofmodel zullen we onze analyse dus verderzetten met T M = 3600 omdat deze een lognormale distributie volgt. Om de machtswetstaarten te verkrijgen zullen we de vloeistof uit evenwicht brengen, we zullen de dichtheid herschalen 6. Vooraleer we dit doen, zullen we de mapping van de ruimte uitvoeren Mappen van de ruimte Op basis van Fig. 6.3 en Fig. 6.4 kunnen we nu de mapping doen van de ruimte. We concentreren ons op de distributies voor T = 100 dagen en T M = Beiden werden gefit aan een lognormale. Een lognormale wordt gegeven door formule 5.9. Om de twee gefitte lognormale distributies te mappen op elkaar stellen we het argument van de exponentiële 7 van beiden aan elkaar gelijk, (ln(v T ) µ T ) 2 2 σ 2 T = (ln(v T M ) µ TM ) 2 2 σ 2 T M, (6.3) waarbij µ T = en σ T = de karakterstieken zijn van de gefitte lognormale distributie aan de PDF van de volatiliteit V T en µ TM = en σ TM = de karakterstieken zijn van de gefitte lognormale distributie aan de PDF van de volatiliteit 6 De vloeistof wordt uit evenwicht gebracht op dezelfde manier als deze beschreven in Het argument van de exponentiële van een lognormale distributie wordt gegeven door (ln(x) µ)2 2 σ 2.

83 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 73 V TM. Wanneer we van beide leden de vierkantswortel nemen en erna de exponentiële, verkrijgen we V T = V σ T /σ TM T M exp(µ T σ T σ TM µ TM ). (6.4) Invullen van de numerieke waarden in 6.4 geeft de volgende herschalingsformule, V T = V T M. (6.5) We zullen in het vervolg dus steeds de waarden van de volatiliteit berekend in de simulatie herschalen volgens formule 6.5. Op deze manier zijn we in staat om op een benaderende wijze de lengte-eenheid van het simulatiesysteem te linken aan de ticks van financiële markten Niet-evenwichtssituatie We weten dat de de PDF van de volatiliteit van de S&P 500 index in de staarten afwijkt van een lognormale distributie, Fig In Fig. 6.3 zien we dat de PDF voor T M = 3600 over heel zijn bereik perfect een lognormale volgt. Analoog als in hoofdstuk 4 zullen we het systeem drijven om de vette staarten te verkrijgen, we brengen het systeem uit evenwicht. We herschalen de dichtheid iedere 300 tijdstappen met een factor λ = Eénmaal de maximale temperatuur bereikt is, komen we in de cooldown fase. De distributies van de stapgroottes van de deeltjes vertonen hier anomaal gedrag, de kurtosis is hoog. We verwachten dus dat de vette staarten aan de lognormale distributie zullen verschijnen tijdens deze cooldown fase. Opdat we hier met T M = 3600 werken laten we de simulatie lopen over tijdstappen. Om de simulatietijd te beperken, wordt het systeem in de cooldown fase gehouden éénmaal deze bereikt wordt. Het tijdsverloop van de kurtosis van de distributie van de stapgroottes van de deeltjes wordt getoond in Fig Kurtosis Aantal tijdstappen Figuur 6.5: Het tijdsverloop van de kurtosis van de distributie van de stapgroottes van alle deeltjes. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden.

84 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 74 We zien dat de kurtosis significant afwijkt van 0 in het interval tijdstappen. Wanneer we de volatiliteit op tijdstip bekijken in Fig. 6.6, zien we dat de distributie in de staart afwijkt van een lognormale 9. In Fig. 6.6 wordt de volatiliteit reeds uitgedrukt in eenheden van de volatiliteit van de index, de volatiliteit is herschaald volgens formule Waarschijnlijkheid Volatiliteit V TM Figuur 6.6: De PDF van de volatiliteit V TM voor T M = 3600 op log-log schaal. De volatiliteit is uitgedrukt in eenheden van de volatiliteit van de index. De distributie wijkt in de staart af van een lognormale. De simulatie werd uitgevoerd voor 8788 deeltjes. We zien de overeenkomst met Fig De cumulatieve distributie wordt nu berekend zodat we het gedrag van de staart nader kunnen bekijken. 8 De volatiliteit over een tijdsvenster T M = 3600 op tijdstip 1750 is de som van de absolute waarden van de stapgroottes vanaf tijdstip 1750 tot en met 5350 gedeeld door We kijken hier enkel naar de volatiliteit op tijdstip Meer statistiek is te verkrijgen wanneer we de volatiliteit op alle tijdstippen tussen 1300 en 2200 beschouwen. Dit geeft echter een compleet analoge distributie.

85 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 75 1 Cumulatieve distributie Volatiliteit V TM Figuur 6.7: De cumulatieve distributie van de volatiliteit V TM voor T M = 3600 op log-log schaal. Aan de distributie wordt een machtswet gefit (groen). De cumulatieve distributie van de lognormale uit Fig. 6.6 wordt ook afgebeeld (blauw). De simulatie werd uitgevoerd voor 8788 deeltjes. De cumulatieve distributie van de volatiliteit in de simulatie wijkt in de staart af van de cumulatieve distributie van de gefitte lognormale (de blauwe curve in Fig. 6.7) wat erop wijst dat de distributie van de volatiliteit in de simulatie vettere staarten bezit dan een lognormale. Via de maximum likelihood estimation methode bereken we de exponent van de machtswet in Fig We verkrijgen de waarde 3.57 ± De cumulatieve distributie van de volatiliteit van de S&P 500 index, Fig. 5.12, volgt een machtswet met exponent µ = 3.25 ± De exponenten zijn van dezelfde orde. Het voorgestelde vloeistofmodel genereert dus genoeg evenementen met een hoge volatiliteit wanneer de vloeistof uit evenwicht wordt gebracht. Autocorrelatie van de volatiliteit De autocorrelatiefunctie van de volatiliteit definiëren we als C(t) = t2 =L/2 i=n t 2 =t 0 t2 =L/2 t 2 =t 0 i=0 V T M (t 2, i)v TM (t 2 + t, i) i=n i=0 V (6.6) T M (t 2, i) 2 waarbij N het aantal deeltjes is, L de lengte van het tijdsinterval en t 0 het begintijdstip. We beschouwen opnieuw dezelfde simulatie met N = 8788 deeltjes over tijdstappen. De autocorrelatiefunctie C(t) met L = 3600 en t 0 = 1615 wordt afgebeeld in Fig We bepalen t 0 door op Fig. 6.5 te kijken op welk tijdstip de kurtosis zijn hoogste waarde aanneemt. De piek van de kurtosis valt op tijdstip De autocorrelatiefunctie wordt opnieuw enkel berekend over periodes waarin anomale diffusie optreedt, periodes waarbij de kurtosis van de distributie van de stapgroottes significant afwijkt van nul.

86 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT Autocorrelatiefunctie Autocorrelatiefunctie Aantal tijdstappen (a) Aantal tijdstappen (b) Figuur 6.8: De autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V TM (t) in het interval tijdstappen op (a) lineaire en (b) log-lineaire schaal. De tijd wordt uitgedrukt in aantal tijdstappen waarbij t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden. De autocorrelatiefunctie neemt zeer traag af. De volatiliteiten blijven sterk gecorreleerd zelfs na 1800 tijdstappen. De karakteristieke lange-dracht correlatie van de volatiliteit wordt verkregen. De machtswet uit Fig vinden we echter niet terug. Dit kan het gevolg zijn van het feit dat we hier werken over een beperkt tijdsinterval van 3600 tijdstappen. Dit is zoals eerder vermeld gelijk aan een drietal uur. De machtswet uit Fig werd teruggevonden over een interval van 1000 dagen. Simulaties die deze tijdspanne beschrijven, duren echter honderden maal langer. Dit vergt een zeer lange simulatietijd. 6.3 Conclusie Wanneer we grootheden uit een vloeistofmodel vergelijken met grootheden uit financiële markten is het belangrijk dat we tijd en ruimte mappen op elkaar. Dit wordt gedaan door middel van de link die we kunnen leggen tussen de stapgroottes x i van σ de deeltjes en de returns G(t). Hierdoor zijn we in staat een definitie voor de volatiliteit V TM in een vloeistofmodel te definiëren, formule 6.2. Voor groot genoege tijdsvensters volgt de distributie van de volatiliteit V TM in het vloeistofmodel een lognormale distributie, Fig De vette staarten die we verkregen voor de distributie van de volatiliteit V T, worden bekomen door de simulatie uit te voeren voor een vloeistof uit evenwicht (analoog als in hoofdstuk 4). De vette staarten worden opnieuw waargenomen tijdens de cooldown fase. Aan de hand van de cumulatieve distributie kunnen we besluiten dat het voorgestelde vloeistofmodel vet genoege machtswetstaarten genereert. De exponent van de gefitte machtswet is ongeveer even groot als deze voor de cumulatieve van de volatiliteit V T. Het machtswetverval van de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V T wordt niet teruggevonden. We bekomen een lange-dracht correlatie tussen de opeenvolgende volatiliteiten V TM die echter geen machtswet volgt. De autocorrelatiefunctie neemt nauwelijks af. Dit kan het gevolg zijn van het beperkte tijdsinterval waarover we simuleren, slechts enkele uren uitgedrukt in beurstijd. Langere tijdsintervallen zouden de simulatietijd heel snel opdrijven. Een bijkomend probleem is dat de kurtosis van de distributie van de

87 HOOFDSTUK 6. SIMULATIES VAN DE VOLATILITEIT 77 stapgroottes slechts hoog blijft gedurende een aantal honderden tijdstappen, Fig Na enkele honderden tijdstappen zal de vloeistof terug normaal gedrag vertonen, de distributie van de stapgroottes is terug Gaussisch. Hierdoor zal de volatiliteitsdistributie zijn vette staarten verliezen. Wanneer we de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit dus over een heel lange tijdsperiode zouden simuleren, zou de vloeistof slechts een beperkt deel van de tijd anomaal gedrag vertonen. Simuleren van de autocorrelatiefunctie over langere tijdsintervallen zou het probleem dus niet oplossen.

88 Hoofdstuk 7 Conclusie De link tussen diffusie in een vloeistof en financiële markten is de rode draad doorheen deze masterproef. Om inzicht te krijgen in de microscopische eigenschappen van een vloeistof, een complex systeem van interagerende deeltjes, worden simulaties uitgevoerd met behulp van de MD techniek. Simulatie van anomale diffusie is mogelijk wanneer de interactie tussen de deeltjes beschreven wordt door een softcore potentiaal en wanneer de vloeistof uit evenwicht wordt gebracht. De vloeistof wordt uit evenwicht gebracht door middel van het herschalen van de dichtheid. De distributie van de stapgroottes tijdens niet-evenwicht is een leptokurtosische distributie. In hoofdstuk 5 hebben we de robuuste eigenschappen van financiële markten uit intraday gegevens gedistilleerd. Dit werd gedaan voor de S&P 500 index over een 59-jarige periode Volatiliteit G(t) Z(t) Tijd t [jaren] Figuur 7.1: Financiële tijdsreeksen voor de S&P 500 index. De volatiliteit V T (t) met T = 100 dagen en sampling interval t = 1 dag wordt afgebeeld samen met de index Z(t) (op log-log schaal) en de absolute waarde van de returns G(t) over dezelfde 59-jarige periode. 78

89 HOOFDSTUK 7. CONCLUSIE 79 Op Fig. 7.1 worden de index Z(t), de absolute waarde van de returns G(t) en de volatiliteit V T (t) vergeleken met elkaar. Crashes worden gekarakteriseerd door hoge waarden voor G(t) en een sterk fluctuerende V T (t). De PDF van de returns G(t) wordt beschreven door een leptokurtosische distributie. In de staarten volgt de PDF van de returns een machtswet met exponent 1 + α De PDF van de volatiliteit V T (t) volgt een lognormale distributie in het centrum. In de staarten wordt opnieuw een machtswet waargenomen met dezelfde exponent als voor de returns. Voor verschillende keuzes van het tijdsvenster T (van T = 50 dagen tot en met T = 200) clustert de PDF van V T (t) rond een universele curve. De autocorrelatiefunctie van de returns vervalt exponentieel. Dit houdt niet in dat de returns onafhankelijke random variabelen zijn. Er kunnen hogere orde correlaties optreden. De autocorrelatiefunctie van de volatiliteit vertoont een machtswetverval met exponent γ Er treden lange-dracht correlaties op. De volatiliteit kan hierdoor gezien worden als het meer fundamentele proces. De statistische eigenschappen van de returns worden door de volatiliteit aangestuurd. In hoofdstuk 6 probeerden we de eigenschappen van de volatiliteit te simuleren aan de hand van een vloeistofmodel. De distributie van de returns kon gelinkt worden aan de leptokurtosische distributie die verkregen werd voor de distributie van de stapgroottes van de deeltjes in een vloeistof uit evenwicht. Om beide grootheden te kunnen vergelijken, moeten we de tijd in een MD simulatie mappen op de reële tijd in financiële markten. Net zoals we de lengte-eenheden van stapgroottes in de MD simulatie moeten mappen op de waarde van de index. Een honderdtal tijdstappen 1 in een MD simulatie blijken equivalent aan een paar minuten beurstijd. Mappen van de ruimte houdt in dat de bekomen waarden voor de volatiliteit in een MD simulatie moeten herschaald worden volgens formule Waarschijnlijkheid e V T V TM Figuur 7.2: Vergelijking van de volatiliteit van markten en een typische vloeistof. Links wordt de PDF van de volatiliteit V T voor T = 3 dagen en T = 100 dagen afgebeeld, rechts de PDF van de volatiliteit V TM voor T M = 300 en T M = Beiden worden afgebeeld op log-log schaal. Een lognormale distributie werd gefit aan distributies met T = 100 dagen en T M = De volatiliteit V TM wordt reeds uitgedrukt in eenheden van de volatiliteit van de index. 1 Eén tijdstap is gelijk aan t = uitgedrukt in gereduceerde tijdseenheden.

90 HOOFDSTUK 7. CONCLUSIE 80 De PDF van de volatiliteit in een vloeistofmodel wordt berekend voor twee verschillende waarden van het tijdsvenster T M = 300 en T M = In Fig. 7.2 worden deze vergeleken met de PDF van de volatiliteit van de S&P 500 index voor twee verschillende tijdsvensters T = 3 dagen en T = 100 dagen. Wanneer we het tijdsvenster te klein kiezen (T = 3 dagen en T M = 300), wijken de distributies van de volatiliteit van de index en van de volatiliteit in een vloeistofmodel af van een lognormale. Voor grotere waarden van het tijdsvenster T (hier T = 100 dagen) volgt de distributie van de volatiliteit van de index een lognormale met machtswetstaarten. Voor T M = 3600 volgt de distributie van de volatiliteit in een vloeistofmodel een lognormale. De machtswetstaarten verkrijgen we door de vloeistof uit evenwicht te brengen. Wanneer de vloeistof niet in evenwicht is, verkrijgen we een lognormale distributie met vette staarten voor de volatiliteit V TM, Fig Waarschijnlijkheid V T V TM Figuur 7.3: Links wordt de PDF van de volatiliteit V T voor T = 100 dagen afgebeeld op log-log schaal, rechts de PDF van de volatiliteit V TM voor T M = Een lognormale distributie werd gefit aan beide. In de staarten wijken beide af van de lognormale. De cumulatieve distributies van de gegevens uit Fig. 7.3 worden vergeleken in Fig Cumulatieve distributie V T V TM Figuur 7.4: Links de cumulatieve distributie van de volatiliteit V T en rechts de cumulatieve distributie van de volatiliteit V TM op log-log schaal. Aan beide werd een machtswet gefit. De blauwe curves zijn de cumulatieve distributies van de gefitte lognormale distributies uit Fig. 7.3.

91 HOOFDSTUK 7. CONCLUSIE 81 Beide cumulatieve distributies wijken af van de cumulatieve van de gefitte lognormale (blauwe curve), ze hebben vettere staarten. De gefitte machtswetten vertonen beiden een exponent 3. Het voorgestelde vloeistofmodel genereert dus evenveel evenementen met hoge volatiliteit. In Fig. 7.5 wordt de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V T vergeleken met deze van de volatiliteit V TM. Beiden vertonen een lange-dracht correlatie Autocorrelatie Tijd t [dagen] Aantal tijdstappen Figuur 7.5: Links de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V T, rechts de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V TM. Beiden worden afgebeeld op log-log schaal. Links wordt op de x-as de tijd uitgedrukt in beursdagen. Rechts wordt op de x-as de tijd uitgedrukt in aantal tijdstappen. We kunnen deze dus enkel vergelijken na mappen van de tijd. wordt niet terugge- De machtswet van de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit V T vonden. We zijn er in geslaagd om de robuuste eigenschappen van financiële markten te simuleren in een vloeistofmodel uit evenwicht. De leptokurtosische distributie voor de returns, de lognormale distributie met machtswetstaarten voor de volatiliteit en de lange-dracht correlatie voor de volatiliteit werden bekomen door simulatie met behulp van de MD techniek. De machtswet voor de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit wordt echter niet teruggevonden. Beperkte simulatietijden kunnen hiervan de oorzaak zijn, we simuleren slechts over enkele uren beurstijd 2. Voor lang genoege simulatietijden vormt het beperkt interval waarover de vloeistof anomaal gedrag vertoont, een bijkomend probleem. De kurtosis van de distributie van de stapgroottes wijkt slechts over enkele honderden tijdstappen significant af van nul, Fig Een oplossing voor dit laatste kan gegeven worden door het verkrijgen van een kurtosis van de distributie van de stapgroottes die hoog blijft gedurende duizenden tijdstappen. 2 De machtswet voor de autocorrelatiefunctie van de volatiliteit werd teruggevonden over een interval van 1000 dagen.

92 Bijlage A Maximum likelihood estimate van de exponenten De maximum likelihood estimate van exponenten van machtswetten is een betrouwbaarder alternatief dan het fitten van een rechte aan de curve op een log-log plot [New05]. Deze methode wordt hier verduidelijkt. In paragraaf hebben we de statistische eigenschappen van machtswetten besproken. De normeerbaarheid van een machtswet distributie p(x) = Cx α zorgt ervoor dat we de constante C verkrijgen, 1 = p(x) dx = C x α dx = C [ ] x α+1, (A.1) x min x min 1 α x min waarbij x min de kleinste waarde is waarvoor de distributie een machtswet volgt 1. We kunnen afleiden uit formule A.1 dat C = (α 1)x α 1 min. De machtswet distributie p(x) wordt dus gegeven door p(x) = α 1 ( ) α x. (A.2) x min x min De waarschijnlijkheid dat een hoeveelheid gegevens bestaande uit n waarden x i, gegenereerd werd uit de distributie A.2 is evenredig met n n ( ) α α 1 x P (x α) = p(x i ) =. (A.3) x min x min i=1 i=1 Deze grootheid wordt de likelihood van de gegevens genoemd. Om de waarde van α te vinden die best past bij deze gegevens, moeten we de waarschijnlijkheid P (α x) van een bepaalde waarde van α berekenen voor de gegeven data x i. Deze is gerelateerd aan P (x α) door de wet van Bayes, P (α x) = P (x α) P (α) P (x). (A.4) De waarschijnlijkheid P (x) is vast doordat x vast is. Met x bedoelen we de hoeveelheid gegevens die we voorhanden hebben. Deze varieert niet. We nemen aan dat P (α) uniform is, namelijk een constante onafhankelijk van α. Hierdoor is P (α x) P (x α). We werken verder met de logaritme van P (α x) die dus op een additieve constante na 1 Opdat formule A.1 zin zou hebben moet uiteraard α > 1. 82

93 BIJLAGE A. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATE VAN DE EXPONENTEN 83 gelijk is aan de logaritme van de likelihood P (x α). We verkrijgen de volgende waarde voor de logaritme van de likelihood, L, L = ln P (x α) = ln P (α x) = Verder uitwerken levert n i=1 L = n ln(α 1) n ln(x min ) α ( ln(α 1) ln(x min ) α ln i=1 x i x min ). (A.5) n ln x i. (A.6) x min De meest waarschijnlijke waarde van α verkrijgen we door de likelihood te maximaliseren ten opzichte van α. Dit is analoog aan het maximaliseren van de logaritme van de likelihood. Wanneer we L/ α = 0 zetten, verkrijgen we n n α 1 ln x i = 0, x min i=1 (A.7) Bij het omvormen naar een vergelijking voor α verkrijgen we [ n α = 1 + n ln i=1 x i x min ] 1. (A.8) Dit is de vergelijking die we gebruiken om de exponent van een distributie die een machtswet volgt af te schatten. De verwachte fout op de waarde α kunnen we nu ook berekenen. De breedte van het maximum van de likelihood als functie van α kan als maat dienen voor de verwachte fout. Wanneer we de exponentiële nemen van formule A.6 verkrijgen we de volgende formule voor de likelihood, waarbij b = n i=1 ln x i x min door 2 [New05] P (x α) = a exp( bα)(α 1) n, (A.9) en a een constante is. Het gemiddelde van α wordt gegeven < α >= exp( bα)(α 1) n αdα 1 exp( bα)(α 1) 1 n dα = exp( b)b 2 n (n b)γ(n + 1) exp( b)b 1 n (n b)γ(n + 1) = n b b, waarbij Γ(x) de Γ-functie is. Het gemiddelde van het kwadraat van α wordt analoog gegeven door [New05] < α 2 >= exp( bα)(α 1) n α 2 dα 1 exp( bα)(α 1) 1 n dα = n2 + 3n + b2 + 2b + 2nb + 2. b 2 De variantie van α wordt dus gegeven door σ 2 =< α 2 > < α > 2 = n2 + 3n + b 2 + 2b + 2nb + 2 (n b)2 = n + 1. b 2 b 2 b 2 2 We veronderstellen dus nog steeds dat α > 1 opdat de distributie normaliseerbaar zou zijn.

94 BIJLAGE A. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATE VAN DE EXPONENTEN 84 De fout op α is dus gelijk aan n + 1 σ = b = [ n n + 1 ln i=1 x i x min ] 1. (A.10) Wanneer n >> 1 kunnen we n + 1 benaderen door n en verkrijgen we σ = [ n n ln i=1 x i x min ] 1 = α 1 n. (A.11)

95 Bijlage B Finite-size effecten bij kritische fenomenen Kritische fenomenen zijn fenomenen die zich bevinden rond een kritisch punt. Het kritisch punt is bij definitie het punt waarop de lengteschaal van het systeem divergeert, er is dus geen schaal in het systeem. Distributies van fysische grootheden moeten daarom een machtswet volgen nabij het kritisch punt, zie paragraaf Een mooi voorbeeld om het finite-size effect bij kritische fenomenen te illustreren wordt gegeven in [New05]. We stellen een bos voor door middel van een percolatie model. In elk vakje van het rooster kan een boom groeien. Opgevulde vakjes stellen bomen voor terwijl lege vakjes open ruimte voorstellen. Figuur B.1: Percolatie model op een vierkant rooster. Opgevulde vakjes stellen bomen voor terwijl lege vakjes open ruimte voorstellen. Eén cluster wordt aangeduid met behulp van de rode lijn [New05]. Bomen verschijnen random met een constante waarschijnlijkheid waardoor de vakjes van het rooster zich random opvullen. Af en toe zal er een bosbrand ontstaan in een random vakje van het rooster waardoor de boom in dat vakje zal opgebrand worden. Wanneer dit vakje tot een cluster behoort, zal in elk vakje van de cluster de boom opbranden. Een cluster is een continue regio van naburige opgevulde vakjes. In Fig. B.1 wordt als voorbeeld één cluster aangeduid met behulp van de rode lijn. In Fig. B.2 85