Wiskunde voor 3 vwo. deel 2. Versie Samensteller

Transcriptie

1 Wiskunde voor 3 vwo deel 2 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengesteld en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook nvrden ze geen enkele nsprkelijkheid voor enige shde, voortkomend uit (het geruik vn) dit lesmteril Voor deze module geldt een Cretive Commons Nmsvermelding-Niet-ommerieel 3.0 Nederlnd Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkeld voor het vk wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmteril op de wesite is fgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vkken wiskunde A, B en C. Dit lesmteril is mediumneutrl ontwikkeld en op diverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houden we ons ltijd nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhoud Voorwoord 3 1 Ruimtemeetkunde Lihmen Anzihten Doorsneden Inhoud en oppervlkte Totleeld 36 2 Exponentiële vernden Groeiftoren Exponentiële groei Exponentiële funties Totleeld 66 3 Sttistiek Steekproeven Frequenties en klssen Centrum en spreiding Knsen Wegen en omen Totleeld Stelsels vergelijkingen Grfish oplossen Een vriele elimineren Hndig omineren Totleeld Funties Wt is een funtie? Domein en ereik Trnsformtie vn stndrdfunties Funties vergelijken Fmilies vn funties Totleeld 164 Register 168 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoord Het lesmterl in dit oek is geseerd op het mteril dt je kunt vinden op de wesite In de tekst stn dn ook regelmtig verwijzingen nr die wesite. Wr je preies moet zijn op die wesite kun je zien in de kopregel vn iedere pgin. Bij estudering vn het lesmteril kom je in de tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet dn ijvooreeld in de tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnden > Toepssen Je kunt met de muis elk deel vn de wereld ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je die opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je inderdd op de wesite het gekeken. Ieder hoofdstuk estt uit een ntl prgrfen en wordt steeds fgesloten met een prgrf Totleeld wr de leerstof wordt smengevt en/of herhld. Iedere prgrf is ingedeeld in vste rurieken die houvst geven ij de estudering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelden > Verwerken > Toepssen Indien er in het lesmteril wordt verwezen nr werklden dn kun je deze terugvinden op de wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Ruimtemeetkunde Lihmen 6 Anzihten 12 Doorsneden 21 Inhoud en oppervlkte 28 Totleeld 36

8 1.1 Lihmen Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een lk ABCD.EFGH met AB = 10 m, BC = 4 m en AE = 5 m. Bereken GAC. Uitleg Het proleem ij Verkennen 1 op pgin 6 he je wrshijnlijk wel meteen kunnen oplossen. Drij he je dn geruik gemkt vn kennis over ruimtelijke figuren. Je moet weten wt een lk is, wr de rehte hoeken in een lk zitten, en dergelijke meer. Je noemt een ruimtelijke figuur vk een lihm. Zo n lihm heeft één of meer grensvlkken, die vk plt, mr ook geogen kunnen zijn. Geogen grensvlkken he je ij een ol, een kegel, een ilinder. Lihmen die lleen uit pltte grensvlkken estn heten veelvlkken. Deze heen hoekpunten en rien. Ook zijn er dn vk digonlen in twee soorten: zijvlksdigonlen en lihmsdigonlen. Het veelvlk ABCDEF.GHIJKL hiernst ijvooreeld heet een regelmtig zeshoekig prism. Dt komt omdt vn dit lihm: > het grondvlk en het ovenvlk ongruente regelmtige zeshoeken zijn; > lle opstnde zijvlkken rehthoeken zijn. In feite is elke doorsnede vn dit lihm die evenwijdig is met het grondvlk een regelmtige zeshoek. Verder zie je digonlvlk BEKH met drin lihmsdigonl BK. In de Theorie op pgin 8 vind je een overziht vn de elngrijkste lihmen en hun eigenshppen. Opgve 2 Bekijk de Uitleg op pgin 6. Je ziet er een vooreeld vn een prism. Neem n dt vn het grondvlk lle zijden 4 m zijn en dt de opstnde rien lleml 6 m lng zijn. Hoeveel hoekpunten, hoeveel rien en hoeveel grensvlkken heeft dit prism? Hoeveel zijvlksdigonlen heeft dit prism? En hoeveel lihmsdigonlen? Teken het grondvlk vn dit prism op wre grootte. Leg uit, wrom digonl BE = 8 m en digonl BF = 4 3 m. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 d e Teken het digonlvlk BEKH op wre grootte. Bereken de grootte vn EBK in grden nuwkeurig. Teken het digonlvlk BFLH op wre grootte en ereken de grootte vn FBL in grden nuwkeurig. Opgve 3 Je ziet hier een nder prism, de figuur stt ook op het werkld. Hier zijn het voorvlk en het htervlk ongruente gelijkzijdige driehoeken met zijden vn 6 m. Alle ndere grensvlkken zijn vierknten. d Wrom heeft dit prism geen lihmsdigonlen? Hoeveel zijvlksdigonlen heeft dit prism? M is het midden vn rie CF. Teken ΔABM zowel in de figuur ls op wre grootte. Bereken de grootte vn AMB in grden nuwkeurig. Opgve 4 Het lihm hiernst is een regelmtige zeszijdige pirmide ABCDEF.T. Alle zijden vn het grondvlk zijn 6 m. Alle opstnde rien zijn 24 m. Heeft deze pirmide lihmsdigonlen? En zijvlksdigonlen? En digonlvlkken? Bereken de grootte vn BTE in grden nuwkeurig. Bereken de grootte vn BTF in grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 Theorie en vooreelden Een lihm is een ruimtelijke figuur. Een lihm heeft één of meer (eventueel geogen) grensvlkken. Je ziet hier een overziht vn enkele veel voorkomende lihmen. Een lihm met lleen pltte grensvlkken heet een veelvlk. Een veelvlk heeft rien en hoekpunten. Veel veelvlkken heen ook digonlvlkken, die twee overstnde evenwijdige rien verinden. En verder zijn en vk zijvlksdigonlen en lihmsdigonlen. In lihmen kun je lengtes vn lijnstukken en hoeken erekenen met ehulp vn: > de stelling vn Pythgors in rehthoekige driehoeken; > gelijkvormige driehoeken; > goniometrie in rehthoekige driehoeken. Vooreeld 1 Hier zie je een lk ABCD.EFGH. In het digonlvlk ACGE is de lihmsdigonl AG getekend. Ook zie je drin lijnstuk AM, wrij M het midden vn EG is. In deze figuur is AB = 8 m, BC = 6 m en CG = 5 m. Bereken de lengte vn lijnstuk CN in twee deimlen nuwkeurig. Het lijnstuk wrvn je de lengte wilt erekenen ligt in digonlvlk ACGE en dt is een rehthoek met zijden AC = 10 m en CG = 5 m. Met ehulp vn de stelling vn Pythgors kun je de lengte vn zowel AG ls CM erekenen. En dn kun je met gelijkvormigheid werken. Zie je l welke driehoeken gelijkvormig zijn? Je vindt CN 4,71 m. Opgve 5 Bekijk Vooreeld 1 op pgin 8. d Leg uit wrom AC = 10 m. Bereken nu zelf de lengtes vn AG en CN. Welke twee gelijkvormige driehoeken vind je in digonlvlk ACGE? Leg uit wrom ze gelijkvormig zijn. Bereken de lengte vn CN. Opgve 6 Vn een kuus ABCD.EFGH met rien vn 4 m is M het midden vn rie GH. Bereken de lengte vn elke lihmsdigonl vn deze kuus. Bereken de lengte vn AM. PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Opgve 7 Bekijk de vershillende lihmen nog eens, zie de Theorie op pgin 8. Bestt er een veelvlk dt geen enkele digonl heeft? Hoeveel hoekpunten, rien en grensvlkken heeft een regelmtig htzijdig prism? Volgens de formule vn Euler geldt voor een veelvlk (zonder deuken) dt G + H = R + 2 ls G het ntl grensvlkken, H het ntl hoekpunten en R het ntl rien is. d Voldoet een regelmtig htzijdig prism n de formule vn Euler? Welke lihmen heen geen rien? Vooreeld 2 Je ziet hier de regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T. Alle zijden vn het grondvlk zijn 6 m. De hoogte is 4 m. De punten M en N zijn de middens vn de rien wr ze op liggen. Bereken de grootte vn NTM. ΔNTM is gelijkenig, dus NTS is de helft vn NTM. Nu is NS = 3 m en TS = 4 m, dus u u u ( NTS) = 3 4 = 0,75. En dus is NTS 36,9 en NTM 74. Opgve 8 Bekijk in Vooreeld 2 op pgin 9 hoe je met ehulp vn goniometrie een hoek in een ruimtelijke figuur erekent. Wrom is ΔNTM gelijkenig? Wrom wordt er in het vooreeld met tngens gewerkt? Is dt noodzkelijk? Bereken ATC. Opgve 9 Een kuus ABCD.EFGH heeft rien vn 4. P is een punt op rie GH en PH = 1 m. S is het snijpunt vn AP en BH. Bereken de lengte vn AS. Bereken de grootte vn ASB in grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 Vooreeld 3 Hoe ziet een uitslg vn een ilinder met een strl vn 4 m en een hoogte vn 8 m er uit? Als een rehthoek met een lengte die net zo groot is ls de omtrek vn de grondirkel en een reedte vn 8 m. Dr zitten dn twee irkels met een strl vn 4 m n vst, eentje n de ovenknt en eentje n de onderknt. Opgve 10 Teken de uitslg vn de ilinder eshreven in Vooreeld 3 op pgin 10 op shl 1:2. Opgve 11 Teken een uitslg vn een regelmtige vierzijdige pirmide met een grondvlk vn 4 ij 4 m en een hoogte vn 8 m. Verwerken Opgve 12 Gegeven is een kuus ABCD.EFGH met zijden vn 4,5 m. Bereken de grootte vn de hoeken HBD en FCA. Opgve 13 Pirmide ABCD.T heeft vier gelijke opstnde rien vn 10 m. Het grondvlk is een rehthoek met AB = 8 m en BC = 6 m. Bereken de hoogte vn deze pirmide. Bereken de grootte vn de hoeken ATC en BAT. Opgve 14 Blk ABCD.DEFG heeft rien AB = 4, AD = 3 en AE = 3. Punt S is het snijpunt vn lle lihmsdigonlen. Bereken ASB in grden nuwkeurig. Bereken ASC in grden nuwkeurig. De punten P en Q liggen op rie AB. AP = 1 en BQ = 1. R is het snijpunt vn PG en QH. Bereken PRQ in grden nuwkeurig. PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 Opgve 15 Droste hooltjes worden onder ndere verpkt in krtonnen doosjes zols je die hiernst ziet. De odem vn deze doosjes is een regelmtige hthoek met zijden vn ongeveer 7,8 m. De hoogte vn zo n Drostedoosje is ongeveer 3,3 m. Ndt je lle hooltjes op het hl je het plsti wr ze in heen gelegen uit het doosje. d Welke ruimtelijke figuur stelt het doosje ij endering voor? Hoe groot zijn de hoeken vn de hthoekige odem vn zo n doosje? Hoe groot is het lngste rehte stfje dt je nog op de odem vn dit doosje kunt leggen? Geef je ntwoord in één deiml nuwkeurig. Hoe groot is het lngste rehte stfje dt in dit doosje pst? Opgve 16 Je ziet hier de uitslg vn een vierzijdige pirmide ABCD.T met een rehthoekig grondvlk. Hoe lng zijn de rien vn deze pirmide? Hoe hoog wordt deze pirmide? Toepssen Opgve 17: Stolpoerderij Bekijk het sterk vereenvoudigde dk vn een stolpoerderij in > > 3 VWO > Lihmen > Toepssen Geruik de gegevens in de figuur. d Lt zien hoe je de figuur kunt verdelen in een prism en twee pirmides die je kunt smenvoegen tot één vierzijdige pirmide. Wordt dit een regelmtige vierzijdige pirmide? Bereken de lengtes vn de vier opstnde rien vn dit stolpdk. Bereken de drie hoeken vn elk vn de twee driehoekige dkdelen. Bereken de vier hoeken vn elk vn de twee trpeziumvormige dkdelen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 1.2 Anzihten Verkennen Opgve 1 Dit zijn drie nzihten vn een lihm. Om wt voor lihm gt het hier? Mk er een uitslg vn en eshrijf de drvoor noodzkelijke erekeningen. Uitleg Dit is het regelmtige zeszijdige prism ABCDEF.GHIJKL. In zo n regelmtig lihm zijn veel rien en digonlen gelijk n elkr. Toh lijkt dr in de figuur niet zoveel vn. Als je zou gn meten zijn AB, BC en CD zeker niet gelijk, dt komt door de tekening in prllelprojetie. In een prllelprojetie worden lleen even lnge lijnstukken die evenwijdig lopen ook weer even lng. Soms helpt het om dn nzihten vn een lihm te geruiken. Een drienziht zols dt hieronder lt het voornziht, het zijnziht en het ovennziht vn het lihm zien. Drin zie je llerlei grensvlkken in de juiste vorm en op wre grootte. Opgve 2 Bekijk de Uitleg op pgin 12. Je ziet er een regelmtig zeszijdig prism. Neem n dt vn het grondvlk lle zijden 4 m zijn en dt de opstnde rien lleml 6 m lng zijn. Op het werkld ij deze opgve zie je de nzihten vn het prism met enkele hoekpunten erij ngegeven. Het voornziht is 6 m hoog. Hoe reed is de totle reedte vn het voornziht? PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 d e Het zijnziht is ook 6 m hoog. Hoe reed is de totle reedte vn het zijnziht? In welk nziht is een opstnd grensvlk op wre grootte getekend? Zet ij de nzihten op het werkld de letters op de juiste plek ij de hoekpunten. Teken in de nzihten het digonlvlk BEKH. Opgve 3 Het lihm hiernst is een regelmtige zeszijdige pirmide ABCDEF.T. Alle zijden vn het grondvlk zijn 4 m. Alle opstnde rien zijn 12 m. d e Bereken de hoogte vn deze pirmide. Teken een voornziht, een zijnziht en een ovennziht vn deze pirmide op shl 1 : 2. Zet de letters vn de hoekpunten op de goede plts in de nzihten. Welke opstnde rien worden op wre grootte weergegeven? En in welk nziht? Geef het getekende digonlvlk in de nzihten weer. Opgve 4 Je ziet hier een drienziht vn een lihm. De figuur stt ook op een werkld. Om wt voor lihm gt het hier? Bij het zijnziht ontreekt een fmeting. Hoe groot moet de hoogte ervn zijn? De figuur krijgt de nm ABE.DCF. Zet in de nzihten de letters ij de juiste hoekpunten. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 Theorie en vooreelden Je ziet hier een regelmtig driezijdig prism ABE.DCF. Dit lihm is getekend ls prllelprojetie. Mr er is ook een drienziht vn getekend. Dt is een omintie vn een voornziht, een ovennziht en een zijnziht. In nzihten zie je meestl veel fmetingen op wre grootte, je kunt er eter metingen in verrihten dn in een prllelprojetie. Wel is het soms lstig om op sis vn nzihten te herkennen om wt voor figuur het gt. PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 Vooreeld 1 Deze krtonnen doos heeft de vorm vn een vijfzijdig prism. De voorknt en de hterknt zijn symmetrishe vijfhoeken met twee rehte hoeken. De fmetingen vind je ij de figuur. Teken een drienziht vn deze doos. Vn het ovennziht weet je lle fmetingen, dus dt kun je meteen tekenen. Vn het voornziht weet je ook lle fmetingen en ls je dn vn de symmetrie geruik mkt en de psser geruikt voor de twee zijden vn 4 dm, dn kun je ook dt tekenen. Het zijnziht vind je door voornziht en ovennziht te omineren. Opgve 5 In Vooreeld 1 op pgin 15 wordt een drienziht vn een doos getekend. Teken dit drienziht zelf op shl 1 : 20. d De figuur is een prism ABCDE.FGHIJ. Hierin is vijfhoek ABCDE het voorvlk, met AB = BC = 6 dm en AE = 4 dm. Zet de letters in je drienziht op de juiste plek. Bereken nu de hoogte vn de voorknt vn de doos, dus de hoogte vn punt E oven lijn BC in mm nuwkeurig. Bereken de grootte vn AED in grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 Opgve 6 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T zijn lle rien 4 m. Teken een drienziht vn deze pirmide. Vooreeld 2 Vn een ntl eenheidskuusjes kun je een lk stpelen. Het voornziht vn de lk estt uit 12 kuusjes. Het rehter zijnziht vn de lk uit 8 kuusjes. Uit hoeveel kuusjes kn de lk estn? Noem de lengte, reedte en hoogte vn de lk u, u en h. Uit het gegeven ntl kuusjes in het voornziht volgt u h = 12. Uit het gegeven ntl kuusjes in het zijnziht volgt u h = 8. Het ntl mogelijkheden kun je nu in een tel weergeven: u h u totle lk 1 8 X X X X X Mogelijkheden zijn dus 24, 48 en 96 kuusjes. Opgve 7 Bekijk Vooreeld 2 op pgin 16. Wrom volgt uit de gegevens dt u h = 12 en u h = 8? Er worden drie oplossingen gegeven die orret zijn. Zijn er nog meer orrete oplossingen? Wrom is de omintie 1, 12, 4 ijvooreeld niet orret? Opgve 8 Het voornziht vn een lk estt uit 30 kuusjes en het linker zijnziht uit 21. Uit hoeveel kuusjes estt de lk? Opgve 9 Een lk estt in totl uit 432 kuusjes. Het voornziht estt uit 72 kuusjes. Uit hoeveel kuusjes kn het zijnziht dn estn? Opgve 10 Het ovennziht vn een lk estt uit 44 kuusjes en het voornziht uit 66. Uit hoeveel kuusjes estt de lk? PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Vooreeld 3 Je ziet hier het ovennziht en het zijnziht vn een veelvlk. Welk veelvlk etreft het en hoe groot is de totle oppervlkte vn dt lihm? Dit etreft een vierzijdige pirmide ABCD.T met een rehthoekig grondvlk. Voor de totle oppervlkte vn dit lihm moet je de oppervlkte vn het grondvlk en vn de vier opstnde grensvlkken ij elkr optellen. De grensvlkken ABT en CDT zijn twee ongruente gelijkenige driehoeken met een sis vn 8 m en een hoogte die je in het zijnziht op wre grootte ziet. Die hoogte is dus = 3 3 m. De oppervlkte vn elk vn deze twee grensvlkken is = 12 3 m. De grensvlkken BCT en DAT zijn twee ongruente gelijkenige driehoeken met een sis vn 6 m en een hoogte die je in het voornziht op wre grootte ziet. Die hoogte is dus = 2 5 m. De oppervlkte vn elk vn deze twee grensvlkken is = 6 5 m. Nu kun je de totle oppervlkte wel erekenen... Opgve 11 In Vooreeld 3 op pgin 17 zie je twee nzihten vn een lihm. Hoe ziet het voornziht vn dit lihm er uit? En wrom weet je dt zeker? Wrom is de hoogte vn het voornziht niet gelijk n de hoogte vn de driehoek ABT? Lt zien hoe je drvn de hoogte erekend. Bereken de totle oppervlkte vn dit lihm, zowel ext ls in mm 2 nuwkeurig. Opgve 12 Vn een veelvlk is het ovennziht een gelijkzijdige driehoek met zijden vn 4 m en het voornziht een vierknt met zijden vn 4 m. Welk veelvlk is dit? Bereken er de totle oppervlkte vn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 Verwerken Opgve 13 Je ziet hier een pirmide ABC.T wrvn het grondvlk ABC een gelijkzijdige driehoek met zijden vn 6 m is. De top T ligt reht oven het midden M vn rie AC. De rien AT en CT zijn lleei 5 m lng. Teken een voornziht, een zijnziht en een ovennziht vn deze pirmide. Bereken de lengte vn rie BT. Bereken de grootte vn MTB in grden nuwkeurig. Opgve 14 Een veelvlk ABC.DEF heeft ls voornziht een vierknt met zijden vn 4 m en ls zijnziht een gelijkenige driehoek wrvn de sis ook 4 m is. Teken het ovennziht vn dit veelvlk en ereken er de oppervlkte vn. Opgve 15 Het voornziht vn een lk estt uit 40 kuusjes en het ovennziht uit 24 kuusjes. Uit hoeveel lokjes kn dit lihm miniml estn? En mximl? Opgve 16 In het eeldenprk in Zwijndreht stn vershillende eelden. Eén vn die eelden is het eeld op de foto hieronder. De onderknt vn het eeld dt op de sokkel stt, is een vierknt met zijden vn 50 m. Het eeld is 100 m hoog en de lengte vn de ovenknt is 100 m lng. Het voornziht en het zijnziht zijn symmetrish. Teken een ovennziht vn dit eeld op shl 1 : 10. PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 Het grondvlk vn dit eeld is een vierknt ABCD. De ovenknt is een rie EF. In het voornziht zie je de punten A, B en E. Bereken de lengte vn rie BE in mm nuwkeurig. Als het eeld in de verf zou worden gezet, hoeveel m 2 verf is dr dn voor nodig? Opgve 17 Op de foto hieronder zie je kinderen spelen op een speeltoestel. Het speeltoestel is een onstrutie vn metlen uizen wrin een net is gespnnen. Op de tekening ernst zie je de metlen onstrutie die estt uit vier even grote ruiten. Elke zijde vn zo n ruit is 3 meter lng. Elk vn die ruiten heeft ij het punt op de grond een hoek vn 60. Alle vertile stippellijnen stn loodreht op vierknt ABCD. Teken een ovennziht vn de metlen onstrutie op shl 1 : 10. Bereken hoe hoog punt T oven de grond zit, dus de lengte vn TS in m nuwkeurig. Toepssen Opgve 18: Ahtknter (I) Bekijk de htknter in > > 3 VWO > Anzihten > Toepssen Geruik de gegevens in de figuur. d Bereken de zijden vn het ovenvlk EFGH. Bereken de hoeken vn ΔBGF. Teken een drienziht vn deze htknter. Zet de letters vn de hoekpunten op de juiste plts in je figuur. Stel je voor dt deze htknter mssief zou zijn. Hoe groot edrgt dn zijn totle uitenoppervlkte? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 Opgve 19: Ahtknter (II) Vn een ndere htknter is het grondvlk ABCD een vierknt met zijden vn 8 m en het ovenvlk EFGH een vierknt met zijden vn 4 m. De zijden vn lle opstnde gelijkenige driehoeken zijn ook nu 6 m. Bereken vn deze htknter de hoogte TS. Teken een drienziht vn deze htknter. Zet weer de letters vn de hoekpunten op de juiste plts in je figuur. Stel je voor dt deze htknter mssief zou zijn. Hoe groot edrgt dn zijn totle uitenoppervlkte? PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 1.3 Doorsneden Verkennen Opgve 1 Je ziet hier en op het werkld vier kuussen met rien vn 2 m. Joop heeft geproeerd om in elke kuus te lten zien hoe een epld plt vlk de kuus doorsnijdt. Welke tekeningen zijn dn fout? En wrom? Vereter de foute figuren. Welke vorm heeft de doorsnede vn figuur II in werkelijkheid? En welke fmetingen? Uitleg Je ziet hiernst de doorsnede APGQ vn een plt vlk met een kuus getekend. De kuus heeft rien vn 5 m. P en Q zijn de middens vn de rien wrop ze liggen. Als je de kuus in de rihting BD ekijkt zie je A, B, P en Q op één lijn liggen. En drom weet je zeker dt ze in één vlk liggen. Je kunt het ook zo zien: de snijlijnen in twee overstnde evenwijdige grensvlkken vn de kuus (ijvooreeld AP en QC) zijn evenwijdig en dus is APGQ een plt vlk. Bedenk dt lijnen die in één vlk liggen elkr ltijd snijden of evenwijdig lopen. Lijnen die elkr niet snijden èn niet evenwijdig lopen noem je kruisende lijnen. In een vlk kunnen nooit kruisende lijnen liggen! En drom kn de vierhoek APGH nooit een vierhoek in een plt vlk zijn: de lijnstukken AH en PG zijn niet evenwijdig en liggen dus op kruisende lijnen. Als je APGQ op wre grootte wilt zien moet je de kuus zo drien dt je loodreht op dt vlk kijkt. Je ziet dn dt APGQ een ruit is met rien vn ,5 2 = 31,25 m en een digonl PQ vn 50 m. Je tekent hem zelf op wre grootte door eerst PQ te tekenen en dn de zijden vnuit P en Q om te irkelen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 Opgve 2 Bekijk de kuussen in de getekend. Uitleg op pgin 21. Je ziet dt in de ovenste kuus een vlk APGQ is d e Teken het nziht vn de ovenste kuus wrij je kijkt in de rihting vn BD met het vlk APGQ er in. Wrn zie je dt APGQ een plt vlk is? Kun je vn de onderste kuus een nziht tekenen wrij de punten A, P, G en H op één lijn liggen? Wrom zijn de zijden vn APGQ in twee overstnde vlkken vn de kuus evenwijdig? En wrom zijn ze dus ook gelijk? Teken de doorsnede APGQ op wre grootte. Bereken de lengte vn digonl AG. Opgve 3 In de Uitleg op pgin 21 wordt gesproken over kruisende lijnen. Wrom zijn de lijnen AH en PG kruisend? Zijn de lijnen AP en HG kruisend, of snijdend? (Denk er om dt deze lijnen ook uiten de lijnstukken AP en HG doorlopen.) Zijn de lijnen AP en EF kruisend, of snijdend? Opgve 4 In kuus ABCD.EFGH met rien vn 6 m is vierhoek KCGL een doorsnede vn een plt vlk met de kuus. Punt K is het midden vn rie AB. Wrom is driehoek KCG geen omplete doorsnede vn een vlk met deze kuus? Wrom moet punt L het midden vn rie AB zijn? Teken de doorsnede KCGL op wre grootte. Theorie en vooreelden Een doorsnede vn een ruimtelijke figuur met een plt vlk is de figuur die wordt gevormd door lle snijlijnen. Heeft die doorsnede de vorm vn een driehoek, dn kun je ervn verzekerd zijn dt het inderdd om een plt vlk gt. Bij vierhoeken, vijfhoeken, et., moet je nuwkeuriger kijken. Om te ontroleren dt zo n figuur eht vlk is, kun je geruiken dt in een plt vlk lleen evenwijdige of elkr snijdende lijnen liggen. Lijnen die niet evenwijdig zijn èn elkr niet snijden heten kruisende lijnen. Lijnen die elkr kruisen kunnen nooit in één vlk liggen. Om in een doorsnede erekeningen te kunnen uitvoeren teken je hem op wre grootte. Drmee wordt edoeld dt lle hoeken hun werkelijke vorm heen en lle zijden hun werkelijke lengte (eventueel op shl getekend). Bij het tekenen op wre grootte onstrueer je vk driehoeken m..v. de psser. Teken hulpfiguren wrvn je de fmetingen l kent om onekende lengten en hoeken te vinden. PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Vooreeld 1 Je ziet hier een doorsnede AFPQ vn een plt vlk met een lk ABCD.EFGH. Gegeven is AB = 6, BC = 3, CG = 4 en AP = 3. Teken doorsnede DPQG op wre grootte. De lengte vn DG kun je hlen uit rehthoekige ΔDCG: DG = 45. De lengte vn DP kun je hlen uit rehthoekige ΔDAP: DP = 18. Omdt AFPQ een plt vlk is, moet AF PQ. Dus zijn de driehoeken PBQ en DCQ gelijkvormig. Omdt PB = 3 6 DC is ook BQ = 3 6 CG, zodt BQ = 2. En dn kun je de lengtes vn PQ en QG ook erekenen: PQ = QG = 13. Om het trpezium AFPQ te kunnen tekenen, is het hndig om eerst nog de lengte vn een digonl te erekenen, ijvooreeld PG = 34. Nu kun je de figuur onstrueren door twee driehoeken te mken met psser en linil. d e d Opgve 5 In Vooreeld 1 op pgin 23 is een doorsnede vn een plt vlk met een lk getekend. Je wilt die doorsnede op wre grootte tekenen. Reken de lengthen vn DG en DP n. Verklr wrom de driehoeken PBQ en DCQ gelijkvormig zijn. Reken nu de lengtes vn PQ en QG n. Bereken de lengte vn digonl PG. Teken trpezium AFPQ op wre grootte. Opgve 6 Gegeven is lk ABCD.EFGH met AB = 6 m, BC = 4 m en BF = 5 m. M is het midden vn AE, N is het midden vn CG en K ligt op BF met BK = 1 m. Is HMKN een doorsnede vn een vlk met deze lk? Liht je ntwoord toe. Is KEG een doorsnede vn een vlk met deze lk? Liht je ntwoord toe. Is KMN een doorsnede vn een vlk met deze lk? Liht je ntwoord toe. Vierhoek HMBN is een doorsnede vn een vlk met de gegeven lk. Teken deze vierhoek op wre grootte. Shrijf lle noodzkelijke erekeningen op. Opgve 7 Gegeven is lk ABCD.EFGH met AB = 6 m, BC = 4 m en BF = 5 m. M is het midden vn AE, N is het midden vn CG. Er worden nu steeds twee lijnen gegeven. Shrijf op of ze elkr snijden, evenwijdig zijn of elkr kruisen. MH en BN. MB en HC. AE en HG. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 d e f MF en AB. MN en HB. CM en AF. Opgve 8 Hier zie je een regelmtig driezijdig prism ABC.DEF wrvn lle zijden 8 m lng zijn. De punten P, K, L, M en N zijn steeds de middens vn de rien wr ze op liggen. Wrom is vierhoek KLMN de doorsnede vn een vlk met dit prism? Teken vierhoek KLMN op wre grootte. Shrijf lle drvoor noodzkelijke erekeningen op. Bereken (ls je dt ij nog niet het gedn) lle hoeken vn vierhoek KLMN in grden nuwkeurig. Vooreeld 2 Je ziet hier een doorsnede vn een plt vlk met een kuus ABCD.EFGH met rien vn 8 m. Alle hoekpunten vn deze doorsnede zijn de middens vn de rien wr ze op liggen. Teken doorsnede PQRSTU op wre grootte. De doorsnede is een regelmtige zeshoek PQRSTU met zijden = 4 2 m. Hoe je een regelmtige zeshoek tekent he je l eerder gezien. Opgve 9 In Vooreeld 2 op pgin 24 zie je dt de doorsnede vn een plt vlk met een kuus een zeshoek kn zijn. d Wrom weet je zeker dt hier sprke is vn een doorsnede vn een kuus en een plt vlk? Hoe teken je deze zeshoek op wre grootte? Kn de doorsnede vn een vlk en een kuus ook een vijfhoek zijn? Shets of eshrijf drvn een vooreeld. Geef ook vooreelden wrij de doorsnede vn een vlk en een kuus een vierhoek of een driehoek is. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Opgve 10 In een kuus ABCD.EFGH met rien vn 8 m is een doorsnede KLMH getekend. Hierin ligt punt K op rie AE zo, dt AK : KE = 3 : 1. Verder ligt punt M op rie CG zo, dt CM : MG = 3 : 1. Wrom moet punt L dn het midden zijn vn rie BF? Teken deze vierhoek op wre grootte. Shrijf de noodzkelijke erekeningen op. Verwerken Opgve 11 Je ziet hier in lk ABCD.EFGH twee keer een figuur getekend die vier hoekpunten heeft. Leg uit ij welke vn eide figuren er sprke is vn de doorsnede vn een plt vlk en de getekende lk. Liht je ntwoord toe. Opgve 12 Je ziet hier een lk ABCD.EFGH met drin de punten P, Q en R die lle drie het midden vn een rie vn de lk vormen. Shrijf vn de volgende lijnen op of ze elkr snijden, elkr kruisen, of evenwijdig zijn. Liht je ntwoord toe. d e PQ en BF. PQ en RG. PR en GH. RG en PC. PC en AD. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 Opgve 13 Vn de regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T is punt P het midden vn rie CT en punt Q het midden vn rie DT. Verder is gegeven dt AB = BC = 8 m en AT = 12 m. Bereken de lengte vn lijnstuk BP. Vierhoek ABPQ is de doorsnede vn de pirmide met een vlk. Teken deze doorsnede op wre grootte. Bereken de hoeken vn vierhoek ABPQ in grden nuwkeurig. Opgve 14 Op de foto hieronder zie je kinderen spelen op een speeltoestel. Het speeltoestel is een onstrutie vn metlen uizen wrin een net is gespnnen. Op de tekening ernst zie je de metlen onstrutie die estt uit vier even grote ruiten. Elke zijde vn zo n ruit is 3 meter lng. Elk vn die ruiten heeft ij het punt op de grond een hoek vn 60. Alle vertile stippellijnen stn loodreht op vierknt ABCD. De vier ruiten vormen smen met de vier opstnde driehoeken en het vierknte grondvlk een lihm. Bereken de hoeken vn dwrsdoorsnede ACT vn dit lihm in grden nuwkeurig. Neem n dt M het midden vn AD en N dt vn BC is. Teken de dwrsdoorsnede MNGTE vn dit lihm op wre grootte. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 Toepssen Opgve 15: Kuus op zijn punt Bekijk het opengewerkte model vn een kuuswoning in > > 3 VWO > Doorsneden > Toepssen Je gt dit model zelf tekenen met ehulp vn het werkld. Mk de kuus op zijn punt (die lijkt op het hieroven getekende model) f. Neem n dt de middelste vloer de middens vn rien met elkr verindt. Teken die vloer in jouw kuus. Neem n dt de ovenste vloer hlverwege de middelste vloer en de top vn de kuus zit. Er zijn drie opstnde driehoekige zijwnden op gemkt. Teken deze vloer in je kuus inlusief de opstnde zijwnden. Opgve 16: Rekenen n de kuuswoning Je het in de voorgnde opgve zelf een eenvoudige kuuswoning getekend. G er weer vn uit dt de middelste verdiepingsvloer de middens vn rien verindt en dt de ovenste verdiepingsvloer hlverwege de middelste verdiepingsvloer en de top vn de kuus zit. Neem n dt de hoogte tussen de ovenste twee verdiepingsvloeren 2,50 m is. Hoe hoog zit dn de top vn de kuus oven de onderste punt ervn? Hoe groot zijn dn lle rien vn de kuus? De hoek tussen de lijnstukken AH en AG is de hoek die lle grensvlkke vn de kuus met de vertile lijn AG mken. Bereken deze hoek in tienden vn grden nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 1.4 Inhoud en oppervlkte Verkennen Opgve 1 In deze tel zie je een ntl ekende formules voor het erekenen vn een omtrek, een oppervlkte, of een inhoud. Ernst stn de etekenissen vn die formules, mr die stn niet in de juiste volgorde. formule etekenis 1 0,5 sis hoogte omtrek irkel 2 lengte reedte hoogte oppervlkte rehthoek 3 grondvlk hoogte oppervlkte driehoek 4 2π strl d oppervlkte prllellogrm 5 lengte reedte e oppervlkte irkel grondvlk hoogte f inhoud lk 7 sis hoogte g inhoud prism 8 π strl 2 h inhoud pirmide Geef ij elke formule de juiste omshrijving. Uitleg Je ziet hier drie lihmen die lle drie dezelfde hoogte DH heen. Het prism en de pirmide heen ook nog hetzelfde grondvlk ACD en dt is preies de helft vn het grondvlk vn de lk. De inhoud vn de lk is duidelijk het grootst: V(lk) = = 12 6 = 72 eenheden (eenheidskuussen). Het prism is de helft vn de lk, dus: V(prism) = = 6 6 = 36. Merk op dt dit preies de oppervlkte vn het grondvlk (ΔACD) ml de hoogte is. En dt wist je ook wel: het volume vn een prism is V(prism) = G h ls G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 De pirmide heeft hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte ls het prism. Je kunt lten zien, dt er in het prism drie pirmides pssen wrvn het produt vn grondvlk en hoogte hetzelfde is ls dt vn de getekende pirmide. Elk vn deze pirmides heeft drom dezelfde inhoud, nmelijk 1 3 deel vn die vn het prism. Voor de getekende pirmide geldt V(pirmide) = 1 3 G h. Vn lle drie de getekende lihmen is de totle oppervlkte gelijk n de oppervlkte vn hun uitslg. En wt geeurt er met de oppervlkte en de inhoud vn zo n lihm ls lle rien ijvooreeld 3 keer zo groot worden? d Opgve 2 Bekijk de drie lihmen in de Uitleg op pgin 28. De inhoud, het volume, vn een lihm is het ntl eenheidskuusjes dt er in pst. Bij een lk en een prism epl je dn eerst het ntl eenheidskuussen op het grondvlk en dn vermenigvuldig je met het ntl lgen, de hoogte, vn de lk, het prism. Zo krijg je de formule V = G h, wrin V het volume, G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Lt zien, dt de formule V = G h zowel ij de lk ls ij het prism tot de juiste inhoud leidt. De oppervlkte vn een lihm is de oppervlkte vn de uitslg vn dt lihm. Bereken de oppervlkte vn de lk. Bereken de oppervlkte vn het prism. Neem nu eens n dt de fmetingen vn deze figuren 3 keer zo groot worden. Hoeveel keer zo groot wordt dn hun inhoud? En hun oppervlkte? Liht je ntwoord toe. Opgve 3 Bekijk de drie lihmen in de Uitleg op pgin 28. Vergelijk de getekende pirmide met het getekende prism. G n, dt het prism kn worden verdeeld in de pirmides ACD.H, CGH.E en AHE.C. G ook n, dt voor elk vn deze pirmides geldt dt G h = 36 wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Leg uit dt de oppervlkte vn pirmide ACD.H drom V = 1 3 G h moet zijn. Bereken deze inhoud. d Opgve 4 Er zijn ook lihmen met geogen grensvlkken. Een ilinder en een kegel ijvooreeld heen ook een grondvlk met oppervlkte G en een hoogte h. Wrom zl de formule voor de inhoud vn een ilinder V(ilinder) = G h zijn? Bereken de inhoud vn een ilinder met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 5 m. Wrom zl de formule voor de inhoud vn een kegel V(kegel) = 1 3 G h zijn? Bereken de inhoud vn een kegel met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 5 m. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 Theorie en vooreelden Onder de inhoud of het volume vn een lihm wordt het totl ntl eenheidskuussen dt dit lihm opvult verstn. Voor vershillende soorten lihmen kun je die inhoud erekenen met ehulp vn een formule. > De inhoud vn een lk, een prism, of een ilinder met G ls oppervlkte vn het grondvlk en h ls hoogte is: V = G h. > De inhoud vn een pirmide, of een kegel met G ls oppervlkte vn het grondvlk en h ls hoogte is: V = 1 3 G h. Onder de oppervlkte vn een lihm wordt de oppervlkte vn de uitslg vn dt lihm verstn. Om zowel de inhoud ls de oppervlkte vn een lihm te kunnen erekenen moet je de oppervlkteformules vn llerlei vlkke figuren, zols rehthoek, driehoek en irkel kennen. Ook de formule voor de omtrek vn een irkel is vn elng. Zorg dt je l deze formules goed kent! Als je de fmetingen vn een lihm u keer zo groot mkt, dn wordt de oppervlkte u 2 keer zo groot en de inhoud u 3 keer zo groot. u heet de lengtevergrotingsftor, u 2 de oppervlktevergrotingsftor en u 3 de volumevergrotingsftor. Vooreeld 1 Een ilinder heeft een dimeter vn 8 m en een hoogte vn 10 m. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze ilinder. Voor de inhoud V geruik je de formule V = G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Nu is G = π u 2 = π 4 2 = 16π en h = 10. En dus is V = 16π 10 = 160π m 3. Voor de oppervlkte A moet je weten hoe de uitslg vn een ilinder er uit ziet. Die estt uit twee irkels en een rehthoek. De rehthoek heeft reedte 10 m en ls lengte de omtrek vn de grondirkel π 8 = 8π m. Dus krijg je A = 8π π 4 2 = 112π. Opgve 5 In Vooreeld 1 op pgin 30 worden de inhoud en de oppervlkte vn een ilinder met gegeven dimeter en strl erekend. Neem nu een ilinder met dimeter en strl preies 2 keer zo groot. Lt zien dt de inhoud vn deze ilinder 2 3 = 8 keer zo groot is ls die vn de ilinder in het vooreeld. Leg uit hoe de oppervlkte vn de ilinder in het vooreeld wordt erekend. Lt zien dt de oppervlkte vn de ilinder in deze opgve 2 2 = 4 keer zo groot is ls die vn de ilinder in het vooreeld. PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 Opgve 6 Een ilindervormig groentenlik heeft een strl vn 6 m en een hoogte vn 16 m. Het lik is gemkt vn metl met een dikte vn 1 mm. De sttrl en de hoogte zijn gemeten n de innenknt vn het lik. Je wilt de hoeveelheid metl die voor dit lik nodig is erekenen ls er een plsti deksel op zit. Je kunt dit op twee mnieren doen: de oppervlkte vn het lik erekenen en die met de dikte vermenigvuldigen, of vn de inhoud vn een lik met een strl vn 6,1 m en een hoogte vn 16,1 m de inhoud vn een lik met strl 6 m en hoogte 16 m ftrekken. Voer eide erekeningen uit en geef je ntwoord in mm 3 nuwkeurig. Wrdoor ontstt het vershil tussen eide ntwoorden? Opgve 7 Vn een ilinder is het voornziht een rehthoek met een oppervlkte vn 75 m 2. Het ovennziht is een irkel met een oppervlkte vn 60 m 2. Bereken de hoogte vn de ilinder in mm nuwkeurig. Opgve 8 Vn een ilindervormig literlik zijn hoogte en dimeter gelijk. Bereken de hoogte vn de ilinder in mm nuwkeurig. Vooreeld 2 Deze krtonnen doos heeft de vorm vn een vijfzijdig prism. De voorknt en de hterknt zijn symmetrishe vijfhoeken met twee rehte hoeken. De fmetingen vind je ij de figuur. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze doos. Voor de inhoud V vn deze doos geruik je de formule V = G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Hier is het grondvlk het voorvlk vn het prism, de hoogte is 9 dm. G n, dt G = = Nu kun je met de formule erekenen dt de inhoud vn de doos ongeveer 395 dm 3 is. De oppervlkte vn de doos is de oppervlkte vn de uitslg vn deze doos. Die uitslg estt uit twee gelijke vijfhoeken (wrvn je de oppervlkte l het erekend) en vijf rehthoeken. De totle oppervlkte is de som vn de oppervlktes vn deze vijfhoeken en de vijf rehthoeken. Opgve 9 In Vooreeld 2 op pgin 31 zie je hoe je de inhoud en de oppervlkte vn een prism kunt erekenen. Leg uit hoe de oppervlkte vn de vijfhoek die ls grondvlk dient, kn worden erekend. Reken nu de gevonden inhoud vn de doos zelf n. Bereken de totle oppervlkte vn de doos. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 Opgve 10 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T is AB = 4 m en AT = 6 m. Bereken de inhoud en de oppervlkte vn deze pirmide. Opgve 11 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide zijn lle rien even lng. De oppervlkte vn deze pirmide is 1000 m 2. Hoe lng zijn de rien vn deze pirmide in mm nuwkeurig? Vooreeld 3 Bij zndwinning ontstn grote hopen vn vershillende soorten znd. Die hopen znd heen lleml dezelfde kegelvorm. Hoeveel m 3 znd evt zo n kegelvormige hoop met een dimeter vn 4 m en een hoogte vn 1,50 m? En hoeveel m 3 znd evt een hoop znd wrvn de fmetingen 2 keer zo groot zijn? Voor de inhoud V vn een kegel geruik je de formule V = 1 3 G h, wrin G de oppervlkte vn het grondvlk en h de hoogte is. Hier is het grondvlk een irkel met een strl vn 2 m en de hoogte is 1,50 m. De inhoud is dus V = 1 3 π = 2π m 3. Vn de hoop znd wrvn lle fmetingen twee keer zo groot zijn is de lengtevergrotingsftor 2 en dus de volumevergrotingsftor 2 3 = 8. De inhoud vn die zndhoop is drom 2π 8 = 16π m 3. Opgve 12 In Vooreeld 3 op pgin 32 zie je hoe je de inhoud vn een kegel kunt erekenen. Bereken de inhoud vn een kegel wrvn de strl 5 m en de hoogte 10 m is. Hoeveel edrgt de inhoud vn een kegel wrvn de fmetingen hlf zo groot zijn ls die ij? In welke kegel kn meer: een kegel wrvn de strl vn het grondvlk 5 en de hoogte 10 is, of een kegel wrvn de strl 10 en de hoogte 5 is? Verklr je ntwoord. d In welke kegel kn meer: een kegel wrvn de strl vn het grondvlk u en de hoogte u is, of een kegel wrvn de strl u en de hoogte u is? Verklr je ntwoord. Opgve 13 In een etonlok in de vorm vn een kuus met rien vn 50 m wordt een kegelvormig gt geoord. Dit kegelvormige gt heeft een dimeter vn 15 m en een diepte vn 40 m. Uit hoeveel m 3 eton estt dit etonlok met gt? PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 Verwerken Opgve 14 Verflikken zijn er in llerlei mten. In deze opgve wordt uitgegn vn een wiskundig model vn een verflik: een ilinder met een irkel ls odem en een irkel ls deksel. Houd geen rekening met de dikte vn het lik. Een verflik heeft een hoogte vn 14 m en een strl vn 8 m. Bereken hoeveel m 3 de inhoud vn het verflik is. Rond je ntwoord f op een geheel getl. Teken op shl 1 : 4 de uitslg vn dit verflik. Shrijf op hoe je de mten vn je tekening gevonden het. Als je de strl vn een lik verduelt en de hoogte hlveert, lijft de inhoud vn het lik dn hetzelfde? Lt zien hoe je het ntwoord het gevonden. Er zijn likken nodig met een inhoud vn 2500 m 3. De likken worden zo gemkt dt er zo weinig mogelijk metl voor nodig is. De hoeveelheid metl die nodig is voor een lik, is zo klein mogelijk ls de hoogte vn het lik 2 keer zo groot is ls de strl. d Bereken hoeveel m de strl en de hoogte vn dit lik zijn. Geef je ntwoorden in één deiml. Opgve 15 Een sprpot heeft de vorm vn een regelmtige pirmide met een vierknt grondvlk. In de linkerfiguur hieronder zie je een tekening vn de sprpot. Drnst stt een wiskundig model met de mten vn de sprpot. De sprpot heeft een deksel. Dt is pirmide T.EFGH. Het shrnier, wrom de deksel omgeklpt kn worden, is lijnstuk HG. De nk die deze sprpot deu geeft eweert dt de inhoud vn de deksel 4,6% vn de inhoud vn de hele pirmide is. Lt met een erekening zien dt dit niet wr is. De sprpot wordt deu gegeven in de vorm vn een ouwplt. Hoeveel oppervlkte n krton is er nodig voor deze sprpot? Houd geen rekening met de opening om geld in te doen en geef je ntwoord in m 2 nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 Opgve 16 Op de foto hiernst zie je een houder wrin een sfeerlihtje zit. Deze sfeerlihthouder heeft de vorm vn een prism met een gelijkzijdige driehoek ls grondvlk. Op de foto hieronder zie je het ovennziht vn een figuur gemkt vn zes vn deze sfeerlihthouders. Geef de kleinste hoek in grden wrover dit ovennziht drisymmetrish is. Hieronder zie je een tekening vn de sfeerlihthouder. De sfeerlihthouder is mssief en gemkt vn kunststof. De zijden vn het driehoekige grondvlk zijn 10 m. De hoogte vn de sfeerlihthouder is 2 m. Preies in het midden vn de sfeerlihthouder zit een rond gt voor het sfeerlihtje. De dimeter vn dit gt is 3,8 m en de diepte is 1,2 m. Bereken in hele m 3 hoeveel kunststof er nodig is om deze sfeerlihthouder te mken. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 Opgve 17 Droste hooltjes worden onder ndere verpkt in krtonnen doosjes zols je die hiernst ziet. De odem vn deze doosjes is een regelmtige hthoek met zijden vn ongeveer 7,8 m. De hoogte vn zo n Drostedoosje is ongeveer 3,3 m. Ndt je lle hooltjes op het hl je het plsti wr ze in heen gelegen uit het doosje. Bereken de inhoud vn het doosje in m 3 nuwkeurig. Een model vn dit Drostedoosje is een regemtig hthoekig prism met opstnde rien vn 3,3 m en ndere rien vn 7,8 m. Bereken de oppervlkte vn zo n prism in m 2 nuwkeurig. Opgve 18 Je ziet hier een ilindervormige plsti k wr een kegel uit is weggesneden. Bereken de hoeveelheid plsti die hiervoor nodig is. Bereken de hoeveelheid plsti die nodig is voor eenzelfde k wrvn lle fmetingen 1,5 keer zo groot zijn. Toepssen Opgve 19: Stolpoerderij: volume onder het dk Bekijk het sterk vereenvoudigde dk vn een stolpoerderij in > > 3 VWO > Inhoud en oppervlkte > Toepssen Geruik de gegevens in de figuur. Bereken het volume onder dit dk en oven de zoldervloer. Opgve 20: Stolpoerderij: dkoppervlk Geruik de gegevens in de figuur vn het dk vn de stolpoerderij hieroven. Bereken de oppervlkte vn het dk. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 1.5 Totleeld Smenvtten In dit onderwerp he je gezien hoe je lle meetkundige sistehnieken zols het werken met ongruente en gelijkvormige figuren, de stelling vn Pythgors en goniometrie kunt toepssen in ruimtelijke situties, in 3D-situties. De elngrijkste termen uit de ruimtemeetkunde worden herhld. Dit onderwerp is voorl vn elng voor leerlingen die in de ovenouw met wiskunde B verder gn. De onderstnde opgven zijn edoeld om overziht over het onderwerp Ruimtemeetkunde te krijgen. Dit etreft de onderdelen 1, 2, 3 en 4 vn dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen smenvtting ij te mken. De opgven hieronder zijn edoeld om je drij te helpen. Je het geleerd > werken met ongruentie, gelijkvormigheid, de stelling vn Pythgors en goniometrie in ruimtelijke situties ( Theorie op pgin 8); > nzihten en uitslgen vn lihmen mken en die toepssen ij erekeningen, onder ndere vn de oppervlkte vn een lihm ( Theorie op pgin 14); > herkennen wnneer er sprke is vn een doorsnede vn een lihm en een plt vlk en wnneer lijnen elkr snijden of kruisen of evenwijdig zijn ( Theorie op pgin 22); > inhoud en oppervlkte vn diverse lihmen erekenen ( Theorie op pgin 30); Voorkennis > werken met gelijkvormigheid, de stelling vn Pythgors en goniometrie; > omtrek en oppervlkte vn vlkke figuren erekenen; > de nmen vn de elngrijkste ruimtelijke figuren en hun eigenshppen, uitslgen mken, digonlvlkken, (lihms)digonlen herkennen. Opgve 1 Je ziet hier een lk ABCD.EFGH met AB = 12 m, BC = 6 m en CG = 8 m. Punt M is het midden vn lijnstuk BG en punt N is het snijpunt vn AM en HB. Bereken de lengte vn lijnstuk AN en de grootte vn ANB in grden nuwkeurig. Opgve 2 Vn een regelmtige vierzijdige pirmide ABCD.T is het grondvlk een vierknt met zijden vn 5 en is de hoogte 10 m. Bereken de hoeken vn de opstnde zijvlkken. PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 Opgve 3 Hier zie je een vierzijdig prism met een rehte hoek ij hoekpunt A. Alle lengtes zijn gegeven in m. Teken een drienziht vn dit prism. Opgve 4 In de figuur hieronder zie je het ovennziht en het zijnziht vn een veelvlk. Wt voor veelvlk etreft het hier? Mk er een shets vn. Opgve 5 Bekijk de lk vn opgve 1 nog eens. Leg uit wrom de lijnen EG en AM elkr kruisen. Opgve 6 Gegeven is een lk ABCD.EFGH met AB = 12 m, BC = 6 m en CG = 8 m. Punt M is het midden vn rie AB en punt N is het midden vn rie GH. Leg uit wrom EMCN een doorsnede vn een vlk met deze lk is en teken deze vierhoek op wre grootte. Opgve 7 Vn welk lihm is het volume het grootst: een regelmtige vierzijdige pirmide wrvn lle zijden 4 m lng zijn, of een kegel wrvn het grondvlk een dimeter vn 4 m heeft en de hoogte ook 4 m is? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 Opgve 8 Vn een ilinder is de oppervlkte 628 m 2. Verder is de hoogte twee keer zo groot dn de dimeter. Hoe hoog is deze ilinder? Geef je ntwoord in mm nuwkeurig. Testen De volgende opgven zijn edoeld om n te gn of je de onderdelen 1 tot en met 4 vn het onderwerp Ruimtemeetkunde voldoende eheerst. Opgve 9 Hieronder zie je een oomnk die estt uit zes gelijke delen wr je op kunt zitten. De regelmtige zeshoek die de uitenrnd vn deze oomnk voorstelt heeft zijden vn 120 m. De regelmtige zeshoek die de innenrnd vn deze oomnk voorstelt heeft zijden vn 80 m. Hoeveel edrgt de oppervlkte vn deze oomnk? Geef je ntwoord in m 2 nuwkeurig. Opgve 10 Dit is een foto vn een ouwwerk vn zeven doelstenen. Bij deze doelstenen zijn lle rien twee entimeter lng. Je kunt dit ouwwerk vn vershillende knten ekijken. Nst de foto zijn vier kijkrihtingen A, B, C en D ngegeven. Bij een doelsteen is de som vn de ogen vn twee tegenover elkr liggende vlkken ltijd gelijk n zeven. Bijvooreeld: tegenover de twee ligt de vijf. Bereken het minimle ntl ogen dt je kunt krijgen ls je lle ogen optelt vn het nziht vnuit rihting D. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 Opgve 11 Hieronder zie je twee foto s vn een ijsje. Het model vn het ijsje pst preies in een lk ABCD.EFGH, wrvn de vlkken ABCD en EFGH vierknt zijn. Het model estt uit vier even grote, gelijkenige driehoeken. In deze driehoeken geldt AF = AH = CF = CH = 9,8 m en AC = FH = 6 m. Voor het mken vn de verpkking wordt eerst een uitslg getekend en drn de oppervlkte uitgerekend. Mk zelf zo n uitslg en zet de hoekpunten op de juiste plek. Bereken de oppervlkte vn deze uitslg in m 2 nuwkeurig. Bereken de grootte vn AFC in grden nuwkeurig. Opgve 12 Gegeven is een lk ABCD.EFGH met AB = BC = 10 en AE = 12 m. Punt P is het midden vn rie EH en punt Q is het midden vn rie HG. Wrom zijn AP en CQ snijdende lijnen? Wrom zijn AP en CG kruisende lijnen? Bereken de oppervlkte vn de doorsnede ACQP vn een vlk met de gegeven lk. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 Opgve 13 Met etonnen elementen kunnen zndkken vn vershillende vormen worden gemkt. In de foto hieronder zijn vier elementen ngegeven. Vn zo n element is hiernst een ovennziht getekend, met de mten erij. De hoogte vn elk element is 65 m. Hoeveel m 3 eton is er voor elk element nodig? Om de elementen tegen grffiti te eshermen wordt het hele element in de friek met een vloeistof ehndeld. Bereken in gehele m 2 nuwkeurig de oppervlkte die per element ehndeld moet worden. Shrijf je erekening op. Opgve 14 Op een groot lik verf met een inhoud vn 10 liter stt de nm vn de friknt in grote letters. Elke letter is wel 8 m hoog. Dezelfde verf wordt ook verkoht is likken vn 2 liter. Ook drop stt de nm vn de friknt, mr de hoogte vn de letters is nu in de juiste verhouding verkleind. Hoe hoog zijn de letters op de kleine likken? PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 Opgve 15 Op 14 mrt 2003 is de Westersheldetunnel geopend. Dit is een tunnel in Zeelnd die onder het wter vn de Westershelde door gt. De tunnel estt uit twee tunneluizen. Elke tunneluis is geoord met een enorme oormhine met een dimeter vn 11,30 meter. Elke tunneluis is in totl 6600 meter lng. Elke werkdg werd er gemiddeld 12 meter geoord. Bereken hoeveel werkdgen het oren vn één tunneluis heeft geduurd. Shrijf je erekening op. An één knt vn een tunneluis hngt om de 50 meter een rndlusser. Er hngt geen rndlusser n het egin en n het eind vn de tunnel. Bereken hoeveel rndlussers er in één tunneluis hngen. Shrijf je erekening op. Een utomoilist rijdt vnuit Zeeuws-Vlnderen de tunnel in. Het eerste gedeelte vn de tunnel is 1300 meter lng en dlt 60 meter. Bereken hoeveel grden de ngegeven hoek is wronder het eerste gedeelte geoord is. Shrijf je erekening op. De grond die voor het oren vn één tunneluis werd uitgegrven, is fgevoerd door vrhtwgens. Eén vrhtwgen vervoert ongeveer 20 m 3 grond. Hoewel de tunneluis geen ehte ilinder is, kun je de inhoud vn de tunneluis enderen met de formule voor de inhoud vn een ilinder. d Lt met een erekening zien hoeveel vrhtwgens er ongeveer gevuld werden om de grond vn één tunneluis f te voeren. Rond je ntwoord f op duizendtllen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 Toepssen Opgve 16: De oppervlkte vn een kegel Neem een ldje ppier, je moet er een irkel met een strl vn 5 m uit kunnen hlen. Pk ook een psser en een shr. Je gt een kegel mken en de oppervlkte ervn erekenen. Knip uit het stuk ppier een irkel met een strl vn 5 m. Knip uit die irkel een setor met een setorhoek vn 90. Mk een kegel vn het resterende deel vn de irkel. Hoe groot is de omtrek vn de grondirkel vn je kegel? Hoe groot is dus de strl vn de kegel? En wr zit nu de strl vn de oorspronkelijke irkel? Het geogen grensvlk vn de kegel heet de kegelmntel. d e f Hoe groot is de oppervlkte vn de kegelmntel? Als je vn een irkelsetor met een strl vn 5 m en een setorhoek vn 120 een kegel mkt, hoe groot is dn de oppervlkte vn de kegelmntel? En hoe hoog wordt deze kegel? En welke strl heeft deze kegel? Beredeneer dt een kegelmntel met een strl vn u die is gemkt uit een irkel met een strl vn R een oppervlkte heeft vn πu R. Bereken de oppervlkte vn een kegel met een strl vn 4 m en een hoogte vn 5 m. Opgve 17: Een ekertje Een ekertje zols dt hiernst kun je opvtten ls een kegel wr de punt (die op zihzelf ook een kegel is) is fgesneden. Neem n dt het ekertje een ovendimeter vn 10 m heeft en een onderdimeter vn 8 m. En neem ook n dt de hoogte vn het ekertje 12 m is. Hoeveel m 3 edrgt dn de inhoud vn dit ekertje? Hoeveel m 2 n mteril is er voor dit ekertje nodig? PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013