Vortex-excitatie trillingen getemd

Transcriptie

1 Werkspoorbrug, Utrecht (2) Vortex-excitatie trillingen getemd Tijdens de hevige najaarswinden van 22 bleek dat er ernstige trillingen optraden in de diagonalen van de net ingevaren Werkspoorbrug bij Utrecht. prof. dr. ir. A.C.W.M. Vrouwenvelder Ton Vrouwenvelder is hoogleraar bij de sectie Structural Mechanics aan de Faculteit der Civiele Techniek en Aardwetenschappen van de TU Delft en werkzaam bij TNO Bouw in Delft prof. ir. W. Hoeckman Wim Hoeckman is werkzaam bij Victor Buyck Steel Construction in Eeklo (B) en de Vrije Universiteit Brussel Op grond van de bestaande regelgeving was dit niet verwacht. Omdat de trillingen een onaanvaardbare vermoeiingsbelasting veroorzaakten moest zo snel mogelijk een oplossing worden bedacht. Door de diagonalen tijdelijk met touwen af te spannen aan het brugdek kon tijd worden gewonnen voor een uitgebreidere analyse van het probleem. In dit artikel wordt eerst de berekening aan de hand van bestaande regelgeving nagelopen. De resultaten zijn vervolgens vergeleken met proefnemingen in de praktijk. Aangezien de uitkomsten een grote discrepantie vertonen, worden vervolgens twee alternatieve methoden voorgesteld om te berekenen of trillingen zullen optreden. Deze blijken veel beter overeen te komen met de proefnemingen. Op 22 oktober 22, tijdens hevige najaarswinden en amper twee maanden na het invaren, werd vastgesteld dat met name de langste diagonalen van de Werkspoorbrug aan het trillen waren. Een onderzoek, uitgevoerd door TNO Bouw in Delft, wees uit dat het om Vortexexcitatie trillingen ging, opgewekt door Von Karmanwervels. Bestaande regelgeving Op grond van de bestaande regelgeving waren die trillingen niet verwacht. De voorschriften DS 84 (2) van de Deutsche Bahn geven bijvoorbeeld aan dat er geen schadelijke, door wind opgewekte, trillingen van hangers (met cirkelvormige doorsnede) van boogbruggen optreden zolang l/d 2 [1]. Aangezien de langste diagonaal van de Werkspoorbrug een lengte heeft van l = 35 m en een diameter van D =,394 m (l/d = 89) is ruimschoots aan die voorwaarde voldaan. Von Karmanwervels en eigenfrequentietrillingen veroorzaakt door Von Karmanwervels treden op wanneer de zogenaamde loslaatfrequentie f los van die wervels overeenstemt met de eigenfrequentie van de buisdiagonaal. Dit gebeurt bij een bepaalde kritieke windsnelheid v kr.in het kader Eigenfrequentie is de berekening van deze waarden uitgebreid beschreven. Hieruit volgt dat de langste diagonaal een eigenfrequentie heeft van 2,48 Hz met een bijbehorende kritieke windsnelheid v kr = 4,9 m/s. Navraag bij het KNMI leerde dat de gemiddelde windsnelheid tijdens de najaarswind maximaal ongeveer 1 m/s was, berekend op een hoogte van 3 m met een lokale ruwheidshoogte van,1 m. Wegens het zogenaamde lock-in effect kan de loslaatfrequentie de eigenfrequentie blijven volgen tot een windsnelheid die 1,5 à 2 keer zo hoog kan liggen [2, 4, 1].Hiermee lag de optredende windsnelheid binnen het bereik van de kritieke windsnelheid. De waargenomen trillingen bevestigden dus de theorie. Dempingsmaat Er ontstaat vermoeiingsschade aan de constructie wanneer de amplitude van de trillingen te groot wordt. Deze is in belangrijke mate afhankelijk van het getal van Scruton Sc, een maat voor de structurele demping, zie kader. Dit getal staat via (8) in relatie tot de dempingsmaat δ s die bij geringe waarden gelijk is aan het logarithmisch decrement Λ gedeeld door 2π. De verschillende normen geven uiteenlopende waarden voor deze grootheden. De NEN 6788 is onduidelijk over de omgang met de dwarse Vortex-excitatie trillingen. Indien de aldaar vermelde dempingsmaat δ s =,5 bij de berekening van het Scrutongetal wordt toegepast, dan geldt voor de langste diagonaal: 22π,5 244,37 Sc = 1,25,394 2 =79 Met een dempingsmaat δ s zoals die wordt voorgeschreven door de Europese en Duitse normen van respectievelijk,32 en,25 vindt men Sc = 5 en Sc = 4. Volgens Dyrbye en Hansen treedt geen echte opslingering door wervels meer op indien Sc > 2 [2]. Indien Sc < 1, dan is het risico ervan zeer uitgesproken. Dit wordt bevestigd door Cremona en Foucriat [13]. Die stellen overigens ook, weliswaar voor tuien, dat de opgewekte trillingen zo klein zijn dat er geen corrigerende maatregelen nodig zijn zolang Sc > 15 [13]. Ook volgens de CICIND model code (voor schoorstenen) zijn de dwarstrillingen klein genoeg om geen maatregelen tegen Vortex-excitatie te nemen indien Sc > 15 à 2 [9]. Voor Sc < 5 wordt gesteld dat de dwarse trillingen zeer hevig kunnen zijn en dat daarom dempende maatregelen verplicht zijn. Wanneer 5 < Sc < 15 wordt het gebruik van de draagconstructie toegestaan op voorwaarde dat ze niet zal lijden onder vermoeiingsschade. Alle in de regelgevende literatuur voorgeschreven dempingsmaten leveren dus een voldoende groot getal van Scruton op om te kunnen besluiten dat er geen gevaar voor dwarstrillingen bestaat. Het TNO onderzoek wees tevens uit dat de diagonalen niet via aanstoting van het brugdek konden worden geëxciteerd omdat de eigenfrequenties van brugdek en diagonaal voldoende ver uit elkaar liggen. Ook konden zogenaamde rain-wind induced vibrations worden uitgesloten. 18 BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 24

2 Experimenteel onderzoek Op 2 december 22, twee maanden nadat de trillingen voor het eerst werden vastgesteld, werd een serie metingen uitgevoerd met de bedoeling de eigenfrequenties en de demping van de diagonalen experimenteel te bepalen [14]. Daartoe werd excitatie opgewekt door middel van het aanspannen met een trekkabel en het loslaten via een sliphaak. De kabel is in het midden loodrecht op de diagonaal aangebracht en met een kracht van zo n 2 kn afgespannen aan het brugdek. De uitwijking voor het loslaten was daardoor ongeveer 4 mm. Uit bestudering van het uitdempingsgedrag van de langste diagonaal en het spectrum blijkt dat er hoofdzakelijk sprake is van een beweging met een frequentie van f = 2,5 Hz, wat de theoretische berekening (f = 2,48 Hz) zonder meer bevestigt. Er wordt opgemerkt dat er ook hogere modi van ongeveer 12 Hz en 26 Hz actief zijn, die voor enige verlevendiging in het signaal zorgen. Uit het snelheidssignaal kan de werkelijke dempingsmaat worden berekend. In het kader Dempingsmaat is dit nader toegelicht. Deze blijkt ongeveer vijfmaal zo klein te zijn als de waarde die volgens NEN 6788 moet worden toegepast en driemaal zo klein als de ENV 1991 voorschrijft (δ s =,11 in plaats van respectievelijke,5 en,32). Hierbij hoort ook een veel lager Scrutongetal, namelijk Sc = 17. Von Karmanwervels De loslaatfrequentie f los van de Von Karmanwervels wordt gegeven door bijvoorbeeld Dyrbye en Hansen [2] : f los = vst (1) D v de windsnelheid [m/s] D de diameter van de buisdiagonaal (in dit geval,394 m) St het getal van Strouhal; voor cirkelvormige doorsneden is St =,2 [3] Wanneer de loslaatfrequentie overeenstemt met de eigenfrequentie van de buisdiagonaal treden trillingen op die dwars op de windrichting staan. Deze worden veroorzaakt door Von Karmanwervels en komen overeen met resonantie. Dit gebeurt bij een kritieke windsnelheid v kr, bepaald door: v kr = f los D St Het getal van Scruton Het Scrutongetal is een maat voor de structurele demping en is gedefinieerd als: 22πδ s Sc = ρd 2 μ (2) (8) δ s dempingsmaat constructie [-] ρ de dichtheid van lucht (1,25 kg/m 3 ) De dempingsmaat δ s mag niet worden verward met het eveneens vaak gebruikte logaritmisch decrement Λ van de constructie. Voor geringe dempingsmaten is Λ=2πδ s. Volgens NEN moet voor stalen bruggen δ s =,5 worden aangehouden [5]. Daarentegen bepaalt ENV C.4.5 dat voor stalen gelaste bruggen Λ=,2 geldt, wat overeenkomt met δ s =,32 [3]. De Belgische (wind)norm NBN B Tabel 3 stelt eveneens Λ=,2 voor gelaste staalconstructies, waarbij wordt aangetekend dat die waarde met 5 procent mag worden verhoogd voor berekeningen in bezwijkgrenstoestand [6]. De Duitse normen DIN 4131 (antennes) en DIN 4133 (schoorstenen) schrijven bij gelaste buizen Λ=,15 (of δ s =,25) voor [7, 8]. Eigenfrequentie De eerste eigenfrequentie f [Hz] van een aan een normaalkracht onderworpen staaf (of tui) is: in het geval van scharnierende uiteinden: (3) f= π EI 1+ N 2 μ 4 F eul in het geval van ingeklemde uiteinden: f= 22,4 EI 1+ N 2π μ 4 F eul l de lengte van de staaf [m] E de elasticiteitsmodulus van staal ( kn/m 2 ) I het traagheidsmoment [m 4 ] µ de massa van de diagonaal per eenheidslengte [kg/m] N de aanwezige trekkracht in diagonaal (trek is positief) [kn] F eul de kritieke Eulerse knikkracht voor de diagonaal (bij scharnieren π 2 EI/l 2, bij inklemmingen 4π 2 EI/l 2 ) (4) Indien er geen normaalkracht aanwezig is (N = ), dan valt de laatste wortelterm weg en worden beide formules vereenvoudigd tot: f= π EI (5) 2 μ 4 voor scharnierende uiteinden en f= 22,4 EI 2π (6) voor ingeklemde uiteinden. Als de buigstijfheid verwaarloosbaar is (snaareffect), dan kan men (3) vereenvoudigen tot: f= 1 N (7) 2 μ 2 μ 4 De buisdiagonalen zijn aan de boog en de hoofdligger verbonden middels stijve, gelaste verbindingen die zich gedragen als inklemmingen. De algemene berekening van de brug bevestigt dit en laat toe de rekenkundige lengte l tussen twee theoretische inklemmingspunten te bepalen. Zo kunnen we bijvoorbeeld de eerste eigenfrequentie berekenen voor de langste diagonaal, waarvan de eigenschappen zijn: Buisprofiel CHS 394x27 in S355, Lengte l = 35 m, Doorsnede A = 311,3 1-4 m 2, Massa per eenheidslengte μ = 244,37 kg/m, Traagheidsmoment I = 5, m 4, Normaalkracht (trek) onder eigen gewicht N = kn en F eul = kn Toepassing van (4) levert dan als eerste eigenfrequentie f = 2,48 Hz. Door ook (6) en (7) te berekenen kan worden aangetoond dat zowel het aandeel van de buigstijfheid als dat van de normaalkracht belangrijk zijn. Dit is bijvoorbeeld niet het geval bij zeer lange kabels of tuien, waar meestal alleen de normaalkracht bepalend is. FEBRUARI 24 BOUWEN MET STAAL

3 Figuur 1. Fundamentele buigingsmode. Bepalen van de dempingsmaat Uit praktijkproeven zijn de volgende conclusies te trekken. De uitdempende omhullende van een één-massa-veersysteem wordt gegeven door: u=u exp 2πfδ s t (9) Figuur 2. Uitdempingsgedrag van diagonaal 7 (zuid) in de richting van de kracht (snelheidssignalen op verschillende tijdschalen). t[s]: de tijd vanaf het loslaten De raaklijn vanuit t = wordt gegeven door: u=u 1 2πfδ s t (1) De dempingsmaat kan dan worden berekend als: δ s =1/ 2πft (11) Hierin is t o het tijdstip waarop de raaklijn de nullijn snijdt, met andere woorden het moment waarop de trilling is opgehouden. Uit de praktijkproeven is afgeleid dat t o = 58s. Uiteindelijk wordt gevonden (figuur 2): δ s = 1/(2π2,5 58) =,11 Dit geeft aan dat de diagonalen zich in de transitiezone bevinden van al dan niet gaan trillen. Analyse Nu is gebleken dat de eigenfrequentie van de diagonalen in een gebied ligt waarbij Vortex excitatie trillingen ontstaan en de structurele demping niet voldoende is om dit te stoppen, moet bepaald worden of hierdoor vermoeiingsschade kan worden veroorzaakt in de constructie. Dit gebeurt aan de hand van de berekende kracht die de trilling op de constructie uitoefent, die op zijn beurt afhankelijk is van de maximale zijdelingse verplaatsing (amplitude). Voor het geval van aan beide uiteinden verbonden staafvormige constructies, is weinig literatuur voorhanden om de belasting die met de dwarse verplaatsingen gepaard gaat, te bepalen. Voor uitkragende constructies zoals schoorstenen is er meer informatie beschikbaar. Eurocode 1 geeft een berekeningsmethode voor zowel de amplitude van de trilling als de kracht die daardoor op de constructie wordt uitgeoefend, zie kader Krachten en verplaatsingen. Met de daar gegeven formules vindt men y max = 5,8 mm. In werkelijkheid werden echter veel grotere waarden geconstateerd, namelijk 25 tot 5 mm. Er zijn twee mogelijkheden om tot een betere theoretische benadering te komen. Een eerste benadering Zoals door Rucheweyh is beschreven, is de dwarsbelasting gelijk aan de bij de kritieke windsnelheid optredende langswindbelasting vermenigvuldigd met een liftcoëfficiënt C L [1]. Hij toont dat voor trillingsamplituden tot circa,1 D de liftcoëfficiënt nagenoeg lineair toeneemt met de amplitude en verder afhankelijk is van het getal van Reynolds. Op basis daarvan kan men uit die figuur afleiden dat, voor Re=1,29 1 5, de best passende rechte gegeven wordt door : C L =,1 + 3 y max /D (18) Volgens Rucheweyh kan C L voor kleine waarden van y max /D oplopen tot,7 voor Re < Voor hogere waarden van Re is C L kleiner. De dwarswindbelasting is dan: q =,5ρv 2 kr DC L (19) werkend over een bepaalde effectieve lengte. Met bijvoorbeeld C L =,5 en L e =,33l vindt men dan q statisch = 3, N/m en y statisch = 6,4 1-2 mm De amplitude van de dwarstrilling wordt gegeven door bijvoorbeeld Petersen [4] : y max = y dyn = y statisch /2δ s (2) en de daarmee overeenkomende dynamische belasting: q dyn = q statisch /2δ s (21) wat tenslotte q dyn = N/m en y max = 29 mm oplevert. Volgens deze gedachtengang vindt men dus langs theoretische weg een amplitude die zeer goed overeenstemt met de waargenomen amplitude. Tweede benadering Indien de rekenregels van Eurocode 1 toegepast worden, doch met L e =,33l, dan vindt men K w =,61 en daarmee : y max =,61,11, ,2 17 D=27,2mm wat een waarde van dezelfde orde van grootte oplevert. Met (17) wordt de dwarsbelasting dan F = 1.64φ 1 N/m. Indien die belasting geplaatst wordt op het middelste derdedeel van de diagonaal (L e = 11,7 m), waarbij φ 1 uitgemiddeld wordt over de lengte L e, dan is de uniforme belasting in dat deel q = 1.48 N/m, wat vrij goed overeenkomt met de in de eerste benadering gevonden waarde. Een goede benadering van de amplitude wordt dus gevonden door toepassing van (12) mits L e =,33l centrisch is geplaatst. De Belgische norm ondersteunt die aanname [6]. De met die amplitude gepaard gaande belastingseffecten (buigend moment) kunnen met voldoende zekerheid worden bepaald door een equivalente gelijkmatig verdeelde belasting q te laten aangrijpen op dit middelste derdedeel van de overspanning. Dit is in vrij goede overeenstemming met (17). 2 BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 24

4 Krachten en verplaatsingen bij Vortex-excitatie Eurocode 1 Deel 2.4 Bijlage C is volledig gewijd aan Vortex-excitatie en andere aëro-elastische effecten [3]. In paragraaf C.2.4 bepaalt formule (C.4) de maximale zijdelingse verplaatsing (amplitude) van de dwarstrilling bij de kritieke windsnelheid v kr : y max (12) D =K w K c 1 lat St 2 Sc D de diameter [m] K w de effectieve correlatiefactor voor de lengte [-] K de vormfactor met betrekking tot de buigingsmodus die bij de trillingsvorm hoort [-] c lat de zijdelingse liftcoëfficiënt [-] Sc het getal van Scruton [-] Volgens ENV 1991 [3] is de zijdelingse liftcoëfficiënt c lat enkel afhankelijk van het getal van Reynolds zolang de kritieke windsnelheid v kr,83 maal de gemiddelde windsnelheid v m (wat hier het geval is), volgens: (13) Vermoeiingsberekening Het aantal spanningswisselingen dat voor de vermoeiingsberekening in rekening moet worden gebracht is volgens Eurocode 1 deel 2.4 [3] : N = 6, T f ε v kr /v exp vkr /v (22) T de levensduur van de constructie [jaren] ε een factor die rekening houdt met de bandbreedte van de Vortex resonantie (bij benadering stelt [3] ε =,3) v = v m /5 met v m gelijk aan de basiswindsnelheid (hier v m = 31,4 m/s) Voor T = 1 jaar is gelijk aan N = 15, Re getal van Reynolds ν de kinematische viscositeit van lucht (1,5 1-5 m 2 /s) Bij de kritieke windsnelheid v kr is, voor de buisdiagonalen, Re = 1, De dwarsbelasting is, voor constructies met cirkelvormige doorsnede, in grote mate afhankelijk van Re [2]. Zolang Re < 3 1 5, is de liftcoëfficiënt c lat =,7 [3]. Daarboven vermindert deze factor. Eurocode 1 Deel 2.4 gaat ervan uit dat de dwarsbelasting optreedt over een zogenaamde effectieve correlatielengte L e gelegen in het midden van de staaf. Voor verplaatsingen y max <,1 D geldt L e = 6D. Voor verplaatsingen y max >,6 D is L e = 12D. Daartussen dient lineair te worden geïnterpoleerd [3]. K w en K zijn afhankelijk van de fundamentele buigingsmodus φ 1 (z), die voor de eerste trillingsmodus van ingeklemde staven als volgt is gedefinieerd (zie figuur 1): φ 1 (z) =,5 1 cos 2πz φ 1 (z)dz φ 1 (z)dz Le (14) K w = (15) K= (16) Uitwerking hiervan leert dat voor de ingeklemde diagonalen: K w = L e + 1 π sin π 1 L e of K w =,13 indien L e =6D (y max <,1 D), K w =,27 indien L e =12D (y max >,6 D) en K =,11 Die waarden verschillen trouwens niet veel van die voor scharnierend verbonden diagonalen. Indien de maximale zijdelingse uitwijking berekend wordt met Eurocode 1 (12), dan vindt men: y max =,13,11, ,2 17 D=5,8mm φ 1 (z)dz Eurocode 1 Deel 2.4 geeft ook aan hoe de kracht F [N/m] die met y max gepaard gaat berekend dient te worden. Voor de eerste trillingsmodus geldt: F = µ (2π f ) 2 φ 1 y max (17) Voor de langste buisdiagonaal is F = 35 φ 1 N/m. Bij deze belasting moeten de vermoeiingseffecten worden getoetst. De belasting veroorzaakt een buigend moment van 23,9 knm ter plaatse van beide inklemmingen en een van 14,6 knm in het midden van de diagonaal. Zo n belasting veroorzaakt overigens een verplaatsing in het midden y max =1 mm, wat noch met de realiteit, noch met bovenstaande berekening overeenkomt. 4π φ 1 2 (z)dz Praktisch gesproken betekent dit dat de diagonalen gedurende ongeveer 2 procent van de tijd staan te trillen. Voor dergelijk hoog aantal belastingswisselingen dient de spanningswisseling uiteraard beperkt te blijven tot de vermoeiingsgrens van het constructiedetail. Een uniforme belasting q = 1.5 N/m op het middelste derde deel van de buis levert een inklemmingsmoment M i = 73,73 knm. De spanningswisseling waaraan de diagonalen onderworpen zijn tijdens het trillen is dan Δσ = 2 M i D/(2I) = 2 27,5 N/mm 2 = 55 N/mm 2. Bij de inklemming treedt bovendien een (geometrische) spanningsconcentratiefactor van ongeveer 2 op, zodat de geometrische spanningswisseling uiteindelijk 11 N/mm 2 wordt. NEN 263 is niet geheel duidelijk over de klasse die van toepassing is op het betreffende constructiedetail [12]. Indien middels geometrische spanningen wordt getoetst, geeft (+ toelichting) aan dat voor het moedermateriaal klasse K8 dient te worden aangehouden. Wanneer de in 5.2 van de norm vermelde belastingsfactor γ = 1,2 wordt toegepast, vindt men een maximum toegelaten aantal spanningswisselingen N = (8/1,2 11) 3 17 = 2,2 1 6, wat omgerekend 51 dagen betekent. Als deze factor niet mee wordt genomen is N = 3,8 1 6, wat overeenkomt met 88 dagen. FEBRUARI 24 BOUWEN MET STAAL

5 De vereiste dempingsconstante De trillingsleer leert dat de dempingmaat δ s gegeven wordt als : δ s = d/2m ω (23) met ω = k/m en dus δ s =d/2 km (24) m de modale massa [kg = Ns 2 /m] k de modale stijfheid [N/m] d de modale demping [Ns/m] Δ de dempingsconstante van de demper loodrecht op de diagonaal [Ns/m] φ 1 (z) de vorm van de eerste trillingsmodus, gegeven door (14) z c het aangrijpingspunt van de demper vanaf het uiteinde [m] m= μaφ 1 2 (z)dz k= EIφ 1 " (z) 2 dz d=δφ 1 2 (z c ) (25) (26) (27) Voor demping van de langste diagonaal in de lengterichting van de brug werd gekozen om een demper aan te brengen op z c = 4 m van het uiteinde van de diagonaal. Dit geeft dan: m = 3.27 kg, k = 4, N/m, d =,152 Δ, wat uiteindelijk oplevert: δ s = Δ Van lineair naar kwadratisch Indien niet een lineaire (F = dv) maar een zuiver kwadratische demper (F = d 2 v 2 ) wordt geplaatst, moet ervoor worden gezorgd dat voor bewegingen met een frequentie van 2,5 Hz en verplaatsingen van ongeveer 1 mm in het midden van de diagonaal dezelfde effectieve dempingskracht wordt ontwikkeld. De omrekening voor een demper die in het midden van de diagonaal aangrijpt komt dus (via v = 2πfu) neer op: d (2πfu) = d 2 (2πfu) 2 d 2 = d / (2πfu) d=δ 2 (2πfu)φ 3 1 (z c )=2δ s km (29) met f = 2,5 Hz en u =,1 m. Om een dempingsmaat van,3 te verkrijgen dient dus een demper met dempingsconstante Δ > 15.8 Ns/m te worden ingezet, loodrecht op de buisdiagonaal. Aangezien de demper niet loodrecht maar onder een hoek α = 48 aansluit op de diagonaal, moet deze waarde nog worden gedeeld door cosα, wat uiteindelijk Δ = Δ / cosα > 23.6 Ns/m oplevert. In de gekozen oplossing worden de langsdempers rechtstreeks aan de (stijve) langsligger van de brug bevestigd. De kracht die in een demper ontstaat is : F = Δ (2πƒu) = Δ (2πfu) / cosα (28) Waarin f de eigenfrequentie is van de trillende diagonaal en u de verplaatsing ter plaatse van de demper; 2πƒu stelt niets anders voor dan de snelheid waarmee de demper ingedrukt wordt. De kracht die loodrecht op de buisdiagonaal wordt uitoefend is F= 158 2π 2,5,12 = 298 N. Uitgangspunt hierbij is dat de demper reeds in werking moet treden vanaf een zeer kleine uitwijking van de diagonaal, zo n 1 mm in het midden. Dit correspondeert met 1,2 mm ter plaatse van de demper (,8 mm in de richting van de demper). In de dwarsrichting van de brug bleek het lastiger om dempers te gebruiken, aangezien er geen bereikbaar vast punt voorhanden was wegens de beperkte dwarsruimte. Daarom is besloten extra dwarsportalen over de sporen te plaatsen, die voldoende stijf moesten zijn om als vast punt te kunnen dienen. De portalen zijn ongeveer 8 m hoog ten opzichte van de onderste aansluiting van de diagonalen, dit geeft : m = 3.27 kg, k = 4, N/m, d =,187 Δ, wat uiteindelijk oplevert: δ s = Δ Om ook in deze richting een dempingsmaat van,3 te realiseren, is een demper nodig met een dempingsconstante Δ > 1.3 Ns/m. Volgens (28) is F = 13 2π 2,5,43 = 88 N. Met hetzelfde uitgangspunt moet de demper in werking treden vanaf 4,3 mm ter plaatse en in de richting van de demper. Vermoeiingstoetsing Uit het algemene gedrag van de diagonaal kunnen tenslotte het buigend moment en de daarmee gepaard gaande normaalspanningen bepaald worden. Tezamen met het aantal spanningswisselingen kan hieruit de levensduur van de constructie worden bepaald. De berekening is weergegeven in het kader Vermoeiingsberekening. Zo blijkt dat de diagonalen 2 procent van de tijd staan te trillen en de brug dit, afhankelijk van de gekozen toetsingsmethode, slechts 51 of 88 dagen kan weerstaan. Alhoewel het hier een zeer vereenvoudigde berekening betreft, is de ernst van de gevolgen van de trillingen duidelijk. In feite werden de vermoeiingsberekeningen uitgevoerd met inachtneming van het werkelijke windspectrum en de optredende graad van inklemming van de diagonalen. De resultaten waren echter vergelijkbaar. Grensgeval De hier beschreven trillingen zijn uiteraard niet aanvaardbaar. Zelfs indien ze mechanisch aanvaardbaar zouden zijn, geven ze een groot gevoel van onveiligheid. Als onmiddellijke maatregel werden alle diagonalen middels touwen afgespannen aan het brugdek, zowel in de dwars- als in de langsrichting. Ondanks z n eenvoud bleek dit een effectieve ingreep. Hiermee werd bevestigd wat reeds was aangegeven door het getal van Scruton, name- 22 BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 24

6 De Werkspoorbrug tijdens de proeven, voor oplevering. Met touwen zijn de diagonalen afgespannen. Dempers in langsrichting. lijk dat het optredende trillingsfenomeen een grensgeval was. Dempers Om de trillingen te beperken of zelfs helemaal te elimineren kunnen in eerste aanzet verschillende mogelijkheden worden onderscheiden. Allereerst kan de windstroom worden verstoord zodat de Von Karmanwervels niet kunnen ontstaan. Hiervoor kunnen spiralen of verticale strippen rond de buizen worden aangebracht. Dit gebeurt vaak bij schoorstenen. Deze oplossing werd niet gekozen omdat de totale windbelasting dan aanzienlijk toeneemt. Bovendien gaf een in-situ uitgevoerde proef geen absolute voldoening. Ook heeft een dergelijke aanpassing een nogal grote, ongewenste esthetische impact. Een andere mogelijkheid bestaat uit het onderling doorkoppelen van de diagonalen, zoals bij sommige tuibruggen gedaan is, bijvoorbeeld de Pont de Normandie in Frankrijk en de Faro Brug in Denemarken [16]. Bij koppeling worden de afzonderlijke buizen gedwongen om een gezamenlijke beweging uit te voeren. Een voldoende stijve doorkoppeling vergroot ook de eigenfrequentie. Omdat de wind in principe uit elke richting kan blazen moet de koppeling zowel in de langs- als de dwarsrichting worden gemaakt. In de praktijk werden verschillende oplossingen in detail onderzocht. Vooral in de dwarsrichting bleek het onmogelijk om een voldoende stijve doorkoppeling te ontwerpen. Tenslotte kunnen maatregelen genomen worden om de demping te vergroten. Ook hier is weer een aantal verschillende oplossingen theoretisch mogelijk. Wrijvingsdempers die werken op het principe van droge wrijving, hebben het nadeel dat hun aanspreekgevoeligheid redelijk hoog is, ongeveer vanaf 5 mm. Ook leveren ze een constante dempingskracht, wat betekent dat de dempingsmaat afneemt bij toenemende uitwijking. Vloeistofdempers kunnen worden aangebracht als ringvormige constructies rond (het midden van) de diagonalen. Ze zijn vaak ontworpen voor verticale elementen. De grote afmetingen en de daarmee gepaard gaande esthetische bezwaren verklaren waarom die oplossing niet verder werd onderzocht. Tuned mass dempers hebben het nadeel dat ze, voor de diagonalen in kwestie, nogal zwaar uitvallen (zo n 35 kg) en dat hun efficiëntie moeilijk te voorspellen valt. Het vullen van de buizen met een vloeistof of een vaste stof, was een variant met een nóg experimenteler karakter. Om de ingebruikname van de nieuwe spoorverbinding Amsterdam-Utrecht niet in het gedrang te brengen moest absoluut een oplossing worden gevonden binnen de beschikbare bouwtijd. Er was dus geen tijd voor uitgebreid experimenteel onderzoek. Om die redenen werd tenslotte beslist om de meest gevoelige diagonalen uit te rusten met hydraulische (visceuze) dempers. Berekening dempers Allereerst werd beslist dat de gewenste uiteindelijke dempingsmaat,3 zou moeten bedragen. Het Scrutongetal, bepaald volgens (8), wordt daarmee ongeveer driemaal zo hoog, namelijk ongeveer 5. Alle literatuur is het erover eens er dat geen trillingen optreden bij zo n hoge waarde van Sc. Aangezien er bij de eerste twee diagonalen geen trillingen werden vastgesteld (wat trouwens bevestigd wordt door de theorie: een kortere lengte en dus een veel hogere eigenfrequentie), werden daarop geen dempers geplaatst. In het kader Vereiste dempingsconstante is berekend dat de dempers in de langsrichting een dempingsconstante moesten te hebben van Δ = Δ / cosα > 23.6 Ns/m, terwijl die in de dwarsrichting moest voldoen aan Δ > 1.3 Ns/m. Voor veel instrumenten is een drempelwaarde bekend: bij lagere waarden houdt de goede werking op. Dat komt omdat ruis, wrijving, speling of andere imperfecties een afwijking veroorzaken van de theoretische werking. De feitelijke werking verdient veel aandacht. Een goed werkend dempersysteem neemt energie op ten koste van de oscillatie. Een demper die (nabij het nulpunt) een te lage kracht genereert heeft geen zin: de trilling komt dan toch op gang. Maar ook een te grote FEBRUARI 24 BOUWEN MET STAAL

7 Bevindingen en aanbevelingen Naar aanleiding van het onderzoek naar de trillingsproblematiek van de diagonalen van de Werkspoorbrug is het volgende duidelijk geworden: 1. NEN 6788 (TGB 1972) is onduidelijk over de toe te passen toetsingsmethode met betrekking tot Vortex-excitatie trillingen. 2. NEN 6788 (TGB 1972) overschat de dempingsmaat van gelaste stalen constructies. In het geval van de gelaste diagonalen bedraagt die overschatting een factor De sinds mei 1995 gepubliceerde nieuwe ENV overschat de dempingsmaat eveneens. Met betrekking tot de gelaste diagonalen is de geschatte dempingsmaat ongeveer drie maal te hoog. 4. Het is raadzaam om, voor gelaste stalen constructies, voorzichtigheid aan de dag te leggen omtrent de dempingsmaat. Aanbevolen wordt een dempingsmaat δ s =,1 aan te houden (wat overeenkomt met een logaritmisch decrement Δ =,6), tenzij concrete argumenten een hogere demping rechtvaardigen. Het is in elk geval raadzaam om vooraf in situ metingen ter bepaling van de echte demping in te plannen, onmiddellijk na de verwezenlijking van alle constructies waarin Vortex-excitatie trillingen zouden kunnen optreden. Tijdens die metingen kunnen eveneens de eigenfrequentie(s) van de constructie bevestigd worden. 5. ENV Bijlage C onderschat de effecten van Vortexexcitatie trillingen, zelfs indien met de echte dempingsmaat rekening wordt gehouden. Het vermoeden rijst dat die onderschatting voornamelijk optreedt voor waarden van het getal van Scruton die liggen in het overgangsgebied waar trillingen net wel of net niet zullen optreden. Dit gebied betreft in ieder geval 15 < Sc < 2. Wellicht gaat het over een nog groter gebied, van 5 < Sc < Om de effecten in dit overgangsgebied op een veilige manier te bepalen dient de ontwerper zich voldoende te informeren in de vakliteratuur. Voor trillingen van staafvormige elementen is in deze bijdrage een methode beschreven. Eveneens werd aangetoond dat ENV Bijlage C tot een vergelijkbaar resultaat leidt indien de effectieve lengte L e wordt vergroot tot circa een derde van de lengte. 7. Om rekening te houden met de vastgestelde fenomenen en met de opgedane ervaring is het (dringend) nodig dat NEN 6788 en ENV worden aangepast. 8. Ontwerpers van bruggen wordt aanbevolen om reeds vanaf de aanvang van het ontwerp rekening te houden met de mogelijkheid dat (eventueel in een later stadium) dempende toestellen kunnen worden ingebouwd. kracht kan vervelend zijn omdat het demperuiteinde dan als vast punt gaat fungeren en geen energie opneemt. De bijbehorende zuigerbeweging nadert tot nul. De dwarsdempers zijn bevestigd aan portalen die zijn uitgevoerd in RHS 4x4x12 en ingeklemd op de langsliggers. Als ontwerpcriterium gold een stijfheid van 1 kn/m, wat overeenkomt met een verplaatsing van 1 mm onder een demperkracht van 1 N. Overigens bleek de stijfheid niet van enorm groot belang te zijn. Van groter belang is de eigenfrequentie van het portaal. Om te vermijden dat het portaal zelf gaat trillen, dient die beduidend hoger te liggen dan die van de diagonalen. De eigenfrequentie van het portaal bedraagt ongeveer 7 Hz. Het (trillings- en dempings)gedrag van het gecombineerd stelsel diagonaal-demper-portaal werd in detail onderzocht door TNO [14]. Tenslotte is ervoor gekozen om voor alle dempers in de lengterichting dezelfde dempingsconstante aan te houden. Ook voor de dwarsdempers is dit principe gehanteerd. Bij de kortere diagonalen komt de dempingsmaat δ s dan hoger te liggen, wat alleen maar gunstig is. Laboratoriumproeven Als leverancier van de dempers werd gekozen voor het Duitse ACE. Dit bedrijf was als enige in staat op tijd te leveren en tevens bereid de noodzakelijke laboratoriumproeven uit te voeren. De bedoeling van die proeven was om zowel voor de langs- als de dwarsdemper de vereiste dempingsconstante te meten en eventueel in te stellen. Tijdens de testen bleek dat de dempers een kwadratische dempingsconstante Δ 2, uitgedrukt in N s 2 /m 2, vertonen in plaats van een lineaire dempingsconstante Δ, waarvoor eerder een vereiste minimale waarde is berekend [15]. Deze moet dan ook omgerekend worden naar een waarde waarbij dezelfde effectieve dempingskracht op de diagonaal wordt uitgeoefend, zie kader Van lineair naar kwadratisch. Om een uiteindelijke minimale dempingsmaat van δ s =,3 te verkrijgen, is de voorwaarde voor de kwadratische dempingsconstante (steeds ervan uitgaand dat de demper in werking moet treden bij amplitudes vanaf 1 mm in het midden van de diagonalen) : Δ 2 > Ns 2 /m 2 voor de langsdempers (met F = 38 N) Δ 2 > 17.9 Ns 2 /m 2 voor de dwarsdempers (met F = 38 N) De laboratoriumproeven gaven bovendien aan dat de langsdempers een wrijving van 15 N en de dwarsdempers van 11 N wrijving vertonen, die bij het aanslaan ervan moet overwonnen worden. Een deel van de demping wordt dus door wrijving opgenomen, wat een invloed heeft op de eisen met betrekking tot de kwadratische dempingsconstante. Voor de langsdemper (overbrengingsfactor φ 1 =,123) betekent dit dat de vereiste dempingskracht van 38 N reeds voor een aandeel van, = 18 N (bijna de helft) geleverd wordt door wrijvingsdemping. Pas op het moment dat die wrijvingsdemping volledig is overwonnen treedt de zuiver kwadratische demping in werking. Op basis hiervan wordt de voorwaarde daarvoor herleid naar Δ 2 > 643. Ns 2 /m 2. De geïnstalleerde dempers hebben als karakteristiek Δ 2 = 1.1. Ns 2 /m 2. Theoretisch zou de vereiste dempingskracht van 38 N voor de dwarsdemper (overbrengingsfactor φ 1 =,432) volledig door wrijvingsdemping worden geleverd (, = 48 N). Dit zou betekenen dat er verder geen specifieke voorwaarden gesteld behoeven te worden aan de zuiver kwadratische demping. Volledigheidshalve wordt vermeld dat de geïnstalleerde dempers als karakteristiek Δ 2 = 6. Ns 2 /m 2 hebben. Controleproeven Met de resultaten van de laboratoriumproeven kan theoretisch de daarmee overeenstemmende dempingsmaat bepaald worden. Voor het trillingsgedrag in langsrichting bedraagt de totale bereikte dempingskracht voor de langste diagonaal F = 18 N (uit wrijving) + 34 N (uit kwadratische demping) = 51 N. Dit komt overeen met een modale demping d = 381 Ns/m en een dempingsmaat δ s =,41. In de dwars- 24 BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 24

8 Tabel 1. Tijdens praktijkproeven gevonden dempingsmaten. diagonaal dempingsmaat δ s langsrichting dwarsrichting 3,8,3 4,85,4 5,7,3 6,5,3 7,65,3 Aansluiting langsdemper. richting bedraagt F = 48 N (uit wrijving) + 12 N (uit kwadratische demping) = 6 N. Dit komt overeen met een modale demping d = 381 Ns/m en een dempingsmaat δ s =,48. De dwarse afsteuningsportalen en dwars- en langsdempers (veertig stuks in totaal) werden in een recordtempo vervaardigd en geïnstalleerd in juni en juli 23. Op 14 augustus 23 heeft TNO in situ proeven uitgevoerd teneinde de bereikte dempingsmaat vast te stellen [15]. Van elke type diagonaal 3 tot en met 7 werd er één beproefd; zowel in de langs- als in de dwarsrichting. Daartoe werd de diagonaal door een met een sliphaak uitgeruste spankabel in trilling gebracht. Versnellingsmeters registreerden de versnelling als functie van de tijd. Door integratie kunnen daaruit ook de snelheid en de amplitudes worden berekend. De dempingsmaten die op basis van die proeven werden gevonden zijn samengevat in tabel 1. Allereerst valt op dat alle waarden hoger liggen dan het vooropgestelde minimum. Verder komen ze voor de langsdemping vrij goed overeen met de theoretische voorspelling op basis van de proefresultaten in het laboratorium. De invloed van de lengte van de diagonaal op het langstrillingsgedrag is duidelijk doch klein. Dit valt te verklaren door het feit dat de invloed van de langsdempers varieert omdat ze dicht tegen het uiteinde van de diagonaal zijn geplaatst. Demper in de dwarsrichting. Verder is de bereikte dempingsmaat beduidend hoger in de dwarsrichting dan in de langsrichting. Dit heeft te maken met het (gunstige) feit dat de dempers in realiteit veel sneller beginnen te werken dan was aangenomen. Indien ze bijvoorbeeld reeds beginnen dempen bij een uitwijking van 3 mm in het midden van de diagonaal, dan bedraagt (steeds voor de dwarsdempers) F = 48 N (uit wrijving) + 1 N (uit kwadratische demping) = 49 N, wat overeenstemt met d = 1.4 Ns/m en een dempingsmaat δ s =,13. Omgekeerd betekent een dempingsmaat δ s =,3 in de dwarsrichting dat de (wrijvings-) demping al optreedt vanaf een uitwijking in het midden van de diagonaal van amper 1,3 mm. Dit komt neer op een (aanslag-)gevoeligheid van de dwarse demper van nauwelijks,8 mm. Een soortgelijke berekening voor de langsrichting leert dat de demping effectief wordt vanaf een uitwijking in het midden van de diagonaal van ongeveer 2,5 mm. Dit komt overeen met een aanslaggevoeligheid van de langsdemper van,3 mm. Beide waarden zijn zonder meer zeer goed. Tenslotte wordt nog opgemerkt dat er op de dag van de proefnemingen een wind stond met kracht 4 (snelheden 5,8 à 8,3 m/s), wat overkomt met de kritieke windsnelheden. De diagonalen trilden op dat ogenblik niet meer. Het trillingsprobleem is dus op een afdoende wijze opgelost. Literatuur [1] Vorschrift für Eisenbahnbrücken und sonstige Ingenieurbauwerke (VEI) DS 84, DB Netz, uitgave september 2. Anlage 27. [2] C. Dyrbye en S.O. Hansen, Wind Loads on Structures, John Wiley & Sons, Chichester, June 1999, p , p. 117, p. 12. [3] ENV , Eurocode 1 : Basis of Design and Actions on Structures - Part 2-4 : Actions on Structures - Wind actions, CEN, Brussels, May 1995, p [4] C. Petersen, Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau, Maurer Söhne, München, 21, p [5] NEN 6788 (VOSB 1995), Het ontwerpen van stalen bruggen - Basiseisen en eenvoudige rekenregels, NEN, Delft, december [6] NBN B en 2, Windbelasting op Bouwwerken, BIN, Brussel, december [7] DIN 4131, Antennentragwerke aus Stahl, Beuth Verlag, Berlin, November [8] DIN 4133, Schornsteine aus Stahl, Beuth Verlag, Berlin, November [9] CICIND Model Code for Steel Chimneys, Zürich, Revision 1, Amendment A, March 22. [1]H. Ruscheweyh, Dynamische Windwirkung an Bauwerken - Band 2 : Praktische Anwendungen, Bauverlag, Wiesbaden/Berlin, 1982, p , figuur 4.39 en 4.4. [11]NEN 672, Belastingen en vervormingen - TGB 199, NEN, Delft, december [12]NEN 263, Booglassen - Op vermoeiing belaste constructies - Het berekenen van gelaste verbindingen in ongeleerd en zwakgelegeerd staal tot en met Fe 51 (FE 52), NEN, Delft, maart [13]C. Cremona et J.-Cl. Foucriat, Comportement au vent des ponts, AFGC, Presses de l Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, 22, p. 13, p [14]A. Vrouwenvelder, C. Geurts, J. Wardenier en J. Reusink, TNO Bouw Rapport Nr. 23-CI-R16, Trillingen diagonalen DEMKA-brug II over het Amsterdam-Rijn kanaal, juli 23 (niet verkrijgbaar). [15]J. Oostvogels, TNO Bouw Rapport Nr. 23- CI-R17, De dempers van de Demka II brug, een verslag van de afnametests en de test in situ, september 23 (niet verkrijgbaar). [16]M. Virlogeux, Cable vibrations in cable-stayed bridges, Bridge Aerodynamics, Proceedings of the International Symposium on Advances in Bridge Aerodynamics, Copenhagen, May 1998, A.A. Balkema, Rotterdam, 1998, pp FEBRUARI 24 BOUWEN MET STAAL