Voordracht in de serie "Elementaire 6nderwerpen van hoger stand2unt belicht 11 door Prof.Dr H. Bremekamp REEKSONTWIKKELINGEN

Transcriptie

1 '.-«~\THEMATISCH CENTRUM 2e Boerhaavestraat 49 AMSTERDAM (,) zw 19 Voordracht i de serie "Elemetaire 6derwerpe va hoger stad2ut belicht 11 door Prof.Dr H. Bremekamp 29 mei 1956 REEKSONTWIKKELINGEN - Hat oderwerp ka elemetair warde geoemd, omdat het zoder dat de aam wordt geoemd alter sprake komt op de lagere school, amelijk bij de repeterede breuke. Ee oeidig voortlopede 1-delige breuk is immers ee machtreeks aar machte va 16 Waeer me de verschillede herleidige ez. die daar plege te warde uitgevoerd agaat e zich afvraagt, wat valt daar uit mathematisch oogput op aa te merke 1 da ka het atwoord zijq: Er is iet gedefiieerd, wat oder ee oeidig voortlopede 1-delige breuk te verstaa is. Terloops gaf ik daarva al ee defiitie, daara ka me de verschillede bewijze gemakkelijk i orde make. Nog lets meer voor de had ligged is de defiitie: de oeidig voortlopede tiedelige breuk is de limiet va de getallerij, die me verkrijgt door achtereevolges 1,2,. decimale op te sch j ve. Dat die limiet bestaat, volgt daaruit dat we ee mootoo stijgede getallerij hebbe, die iet obepaald stijgt. Het is gemakkelijk i te zie, dat deze defiitie e de vorige op het zelfde eerkome. De repeterede breuke ka me oak als meetkudige reekse opvatte. Hebbe we met meer algemee meetkudige reekse te doe, dus 1+x+x ~ 1~x' da treedt de covergetievraag op de voorgrod. Deze drigt zich vazelf op, als me, zoals me bij het oderwijs gew~olijk begit, de reeks als gegeve beschouwt e de som vra~gt. Bij reeksotwikkelig heeft me met het omgekeerde vraagstuk te doe. Gegeve ee fuctie, gevraagd ee methodc om de achtereerwolgede terme der otwikkelig te vide. Voor het geval ~ ka me daartoe de delig uitvoere. Gaat me 1- va meer igewikkelde algebrarsche breuke uit, da komt me op deze wijze tot wederkerige reekse. Ook i adere gevalle zij machtreekse de meest voor de had liggede otwikkelige. Stelt me zich op het stadput, zoals i de achttiede eeuw gebruikelijk was, dat de mogelijkheid daarva vazelf spreekt~ da vidt me oder eige oderstellige omtret diffcretieerbaarheid ez. gemakkelijk de coefficiete. Dat voert tot de reeks va Taylor. Wij zulle die beschouwe i de vorm va Mac Lauri, otwikkelig i de om- ;

2 ' 'I -2- g~vig va de oorsprog 2 f ( ) = f ( ) + f 1 ( Q) + ½r f If ( Q) Het is duidelijk, dat deze formule gee zi heeft, als de reeks iet covergeert. Het ka echter voorkome, dat de reeks covergeert e toch 1 - """"'2" iet f(x) voorstelt. Voorbeeld f(x) = e x voor x IO, f(x)=o voor =O. De methode om de geldigheid der otwikkelig te oderzoeke is welbeked. Wij eme aa, dat f(x) obeperkt differetieerbaar is e trachte i de formule 2 f(x) = f(o) + xf'(o) + 2T f"(o) + voor R(x) ee geschikte uitdrukkig te vide, am2lijk zodaig dat we kue bewijze lim R (x)=o. De meest bekede vorm is de zogeaamde ~co restterm va Lagrage (.( if< 1). Deze is echter iet voldoede om b.v. de geldigheid der otwikkelig va (1-x)k e l(1-x) voor O <x ~1 te bewijze. Me ka da de restterm va Cauchy gebruike De gebruikelijke afleidig va deze formules is tamelijk gekusteld. Ik bewijs als voorbeeld de laatste rij_ 2 ( )-1-1 r(x) = r(y) + (:Ri Y) f'(y) + (x2y) " ( ) ~-y ( ) ( ) f y ( -1 )! f y +R y -1-1 da is R(x)=O e R(O)=f(x)-f(O)-xf'(O) (-1 )! f(o) R~(y): - ((~:~~~1 f(y). Passe wij u de middelwaardestellig toe, die krachtes de igevoerde R (x )-R ( ) oderstellige geldt x = R 1 (zo/x), da vide we -1-1 x ( 1_?.J')D-1 9- f (x )-f( O }-xf' ( )- - (-1)! f(o)= {-1 )! f(& x). Ee adere afleidig, waarbij de opzet mider voor de had ligt, maar die verder heel vlot verloopt, is de volgede J f'.(x-y)dy = f(x)-f()=f'()x + l f"(x-y)y dy =... O O x2 " x-1 (-1) 1 j -1 + xf'(o)+ N f ()-. + (-1)! f () + (-1)! f (x-y)y dy. e

3 I de complexe fuctietheorie lope de overeekomstige bewijze veel eevoudiger. De daarbij i te voere voorwaarde va complexe differetieerbaarheid i ee put (de oorsprog) is ee zware eis, (ze heeft de obeperkte complexe differetieerbaarheid i dat put tot gevolg). Me ka atuurlijk ook daar de reeks bij de de term afbreke e ee restterm toevoege, die me gemakkelijk door ee cotouritegraal ka voorstelle. Dat ka zij ut hebbe om de auwkeurigheid der beaderig te schatte, maar voor het bewijs va de mogelijkheid der otwikkelig is het iet odig. Ook bij het werke met reekse met reele terme ka de restterm ook i de practische toepassige goede dieste bewijze om de fout te schatte, die me maakt als me bij ee willekeurige term afbreekt. Soms ka me die eevoudiger schatte. Ee zeer bekede stellig is, dat bij altererede reekse met i absolute waarde mootoo dalede terme de fout steeds kleier is da de absolute waarde va de eerste verwaarloosde term (iet allee bij machtreekse). Dat geldt ook bij sommige otwikkelige, die tot divergete reekse voere. Wij kome hiermede op het gebied der asymptotische reekse. De oudst bekede asymptotische reeks is de reeks va Stirlig voor l r (x), grodig behadeld door Cauchy, maar lage tijd opgevat als ee op zich zelf staad curiosum tot i 1886 Poicare zij theorie der asymptotische reekse gaf aar aaleidig va zij otdekkig, dat de reekse die de astroome sids lag met succes i de storigstheorie gebruikte dat karakter hadde. I hetzelfde jaar publiceerde Stieltjes zij verhadelig over deze reekse, waarbij ze otstaa als otwikkelig va kettigbreuke. Het voorbeeld, dat ik wilybehadele komt ook bij Stieltjes voor. De itegra~llogarithme li(y)=j ~. O J.D U Door de substitutie Y=e-x, u=e-v gaat dit over i - li(c-x)= j"" e/ dv. (x )) Door herhaald partieel itegrere vide we li ( -x) -x ( ! 3! e =C x f waa rbij R(x) = (-1)- 1!J e~:1 dv, dus V V De reeks tusse haakjes divergeert maar }Rj is kleier da de eerste weggelate term e bij grote x ka die zeer klei worde. I dit voorbeeld zochte we de waarde der beschouwde fuctie voor zeer grate waarde va x. Zo is het i de meeste toepassige, waarbij we da ~e otwikkelig krijge aar machte va 1. Ee meer algemee precede om die otwikkelig te vide is als volgt.

4 Zij lim f(x) ~a, lim x(r(x)-a )=a~, lim x2(r(x)-a - x-4 co o I --+ voort. Zo kome we tot a1 f(x) = a + x e zo Als deze otwikkelig slaagt, wat iet altijd het geval is - het ka wel zij dat d~,} gevoerde limiete iet alle bestaa - ka me stela +t,x le R == met lim I:: (x)=o. ~ (.) Daarbij blijkt ook, dat als de otwikkelig mogelijk is, zij ook odubbelziig bepaald is. Het omgekeerde geldt iet. Twee verschillede fucties f(x) e f(x) kue wel dezelfde asymptotische otwikkelig hebbe. Dat is amelijk het geval, als i de ot ~ikkelig va f(x)- f(x) alle coefficiete O warde, zoals bv. als f ( ) ( )... x - kx j x - tf x :::e, of e voor K } O. De ker va de theorie va Poicar~ ligt ih het bewijs, dat met asympto~ tische reekse op voo~ de had liggede wijze de hoofdbewerkige kue warde uitgevoerd. Wat de optellig e aftrekkig betreft ligt dat voor ~e had. Oak voor de vermeigvuldigig is het bewijs vrij eevoudig. Daaruit volgt oak de geldigheid der machtsverheffig e da dat me i ee polyoom i f(x) de asymptotische otwikkelig va f(x) ka substituere. Wij kue og ee stap verder gaa e de asymptotische otwikkelig va f(x) substituere i ee covergete machtreeks i f(x}. Zij e f(x) ""' a a 1 + x... + f ( f ) = C O +c 1 f +,, + C p f p +,,,, ee reeks, waarva de covergetiestraal groter is da I a!. 'f (f) bepaalt da ee zekere fuctie va x, t (x), waarva de asymptotische otwikkelig gevode wordt door i 'f) (f) de asympttotische otwikkelig va f te substituere. Het bewijs verkrijgt me door de zo bepaalde coefficiete achtereevolges te vergelijke met die welke door het bovegeschetste pr'ocede gevode word e. Me toot die overeestemmig ook aa zoder rekeig door de opmerkig., dat aa de gehele berekeig iets veradert, als me de letters a zodaige waarde toeket, dat de reeks voor f covergcert, Da vidt me ook voor Cf> ee (voor x groat geoeg) covergete reeks. Wij kue dit u toepasse om ook de t voerbaarheid va de delig te bewijze. Wij Wille u het termsgewijs itegrere beschouwe. Zij a + (x) f(x) met 1 f (x)""'o ,- Wij zoeke ee asymptotische otwikkelig voorj f(x)dx. Beschouw

5 -5- Wij zoeke hierva de limiet voo1, ~ r::ij Zij /l- x de grootste waa rde, die /t (x)i aaeemt voor waardy)bove x,fl, adert dus tot O, als x \ J t \ x / Jo d obepa8 ld toeeemt, e dx <( ).{.. ~ Wij vide dus / 81} 82 a3 a ' S l f(x) dx = ,.. + L:..:.- met lim 'JJ""O. x o x x 2x 2 ( -1 ) x -1 x -1 x --; ct)i Om u te kome totf x f(x)dx schrijve we J x f(x)dx ~J U O Jx oo [ f(x)-a - o s: De eerste itegraal hagt iet va x af. Noeme we 8 ff ( ) -a O - : } dx-a x -a,\ l =C, I da vide we J f(x)dx = C + a W8armee de 3symptotische otwikkelig is verkrege. Het blljkt, dat ze door terrsgewijs itegrere wordt gevode. Met het differetiere is eige voorzichtigheid odig. Wij wete amelijk iet, of de afgeleide ee asymptotische otwikkelig toelaat. I- -x " ( ) derdaad is dat iet ste s het geval, voorbeeld e sie 1 kue we bewere: Als de afgeleide f 1 (x) ee asymptotische otwikkelig toelaat, da kue wij die vide door de asymptotische otwikkelig va f(x) termsgewijs te differetierc; immers de atste moet gevode kue warde door die va f'(x) termsgewijs tc it rere. Wij beschikke u over de hul dele voor ee eerste oderzoek aar de oplossige va differctiaalvergelijkige, di ee 8Symptotische otwikkelig toelate. Als we wete, dat die er zij kue we ze met de methode der obepaalde coefficiete vide. Ik begi met ee zeer eevoudig voorbeeld dy =+ ux c2 c1 Substitueer Y=C r:s L. a == ii

6 -6- Wij vide a a 2!a J!a Y= D + w + b3 x3 + b 4 x 4 De coefficiete zij zo bcpaald, dat i de asymptotische otwikkelig va hetgee het eerste lid wordt, als we daari de gevode y substituere, alle coefficiete O zij. Wij wete evewel, dat daardoor og iet verzekerd is, dat de fuctie da idetick O is. Uit oze bewerkig moge we dus iet cocludere, dat de gevode reeks de asymptotische otwikkelig va ee oplossig is. Het eige, dat wij kue bewere is, dat waeer er ee oplossig is, die ee asymptotische otwikkelig toelaat, de coefficiete gee adere kue zij da de hier gevodee. I dit eevoudige geval kue we het otbrekede gemakkelijk aavulle. Wij kue de vergelijkig amcjijk met elemetaire middele opdoor asymptotische losse e vide. Y=Ce -bx +ae -bx J -- e O dx e otwik- kelig va de itegraal wat voor C=O met de eerst gevodee overeekomt. Wat We i dit voorbeeld zie gaat i hoofdzaak algemee door, I de theorie der asymptotische reekse is over de som der reeks gee sprake. I ee adere gedachtekrig bij het omgaa met divergete reekse, stelt me zich juist voor aa de reeks door ee geschikt gekoze defiitie ee som toe te kee. Me zal er aar streve ee zodaige defiitie te geve, dat ze toegepast op ee covergete reeks de gewoe som oplevert. De eevoudigste defiitie is die va Cesaro Ee divrgete reeks, voor welk deze limiet bestaat, oemt Cesaro ekelvoudig obepaald e hij defiieert de som va de reeks als S. Ee eevoudig voorbeeld is het beroemde twistput uit de achttiede eeuw Adere voorbeelde 1 + cos it"'+ cos 2 ' :r ½ siv"'+ si 2if+ si 21J-+ ::!½ cotg ½-J': Het is gemakkelijk te bewijze, dat deze defiitie toegcpast op ee covergete reeks de gewoe som oplevert. Immers als lim s=s, ka ~ me bij gegeve posi tieve f m zo bepa le, da t voor ) m, I s-s I "-. Noeme we s-s=e ' da is s +s s=s +s sm+(-m+1)s+lm+em+1+. +f, dus jso+s~+... +s -s) < \so+s1:.. sm I+! (m~1)sj + -~+1 E,,

7 -7- waaruit het beweerde blijkt. Ee itcressate toepassig va deze defiitie op sommige divergete Fourierreekse is i 194 gegeve door Fejer. Wa wer r.- = so+s-i+... +s iet l"jk ~ u - tot ee limiet adert, is het moge 1 v +~+~.. v. dat O tot ee limiet adert, da ka me deze limiet als de som defiiere e zo ka m~ doorgaa. Dat is de methode va Halder. Cesaro gaat eigszis aders te werk. Hij bepaalt ee gemiddelde a eerst aa de terme skgwichte te hebbe toegeked. g ( r ) s +g ( r ) s + ;.itg ( r ) s H ~ f t s 1. o -1 1 o, lj eie 11eer = 1m. ( r) ( r} ( r) ~ g +g-1 + ;+go waarbij g (r)=1, g~(r)=r,. gk(r)= r(r+1). (r+k-1) 1 k! (r) r(r+1).. ~r+--1),g =.i:! Hieruit volgt g (r)+g (r)+ g (r)=g (r+1) o 1 Me vidt, dat als bovestaade limiet voor zekere r bestaat, da bestaat ze ook voor r+1 (e dus voor alle volgede ragummers). Als r de kleis te waa rde is, waa rvoor de limie-t bes ta at, oemt C2sa ro de reeks r-voud ig obepaald. Later is de spreekwijze Cr sommeerbaar i gebruik geome. Door Prigsheim is i 1916 bewez, dat de defiities va Holder e va Cesaro elkaar volkome dekke. co Als de reeks \' r 4-.J u C sommeerbaar is, rla is ~ t.- u x coverget voor (r) --(r) r g so+g-1 s1+.. +go 8 fxl < 1. Immers als g (r)+g (r) ~ ~g ~) ~ S, o S ( r) wa t we zulle schrijve lim,,o r+ ~ ( r+1)...,. gl"l ( 1) ( 11 = S., da zulle de reeks e LS ( l'.' )x e L...l g x dezelfde covergc:tiestraal hebbe e "C g r+ x is iet a~ers da de biomiaalreeks voor (1-x)-(r+'1), deze c~vergetiestraal is dus 1. Verder is L sjr~ = L. sx. ( 1-x )-r = L ux ( 1-x )-r-'1, a 1 thas formeel d i: ( ) r+1 L (rl. us ux = 1-x S~., waaruit het beweerde volgt. (""'I u x = li'm Ls(r)x li'm s(r} Verder hebbe we lim L = --,--~ = s x~1 x--41 I::"g (r+1)x ~ g(r+1) ee uitbreidig va de stellig va Abel. C(r) sommeerbare reekscr is tamelijk bepcrkt. Uit. u :l S ka me afleide 11~- = O....+ r De defiitie va Borel ka i meer gevalle worde toegepast. Zij luidt U S = J e-x (u +u 1x.J.. 2 f x 2 +. )dx.,

8 -8- als het tweede lid betekeis heeft. Borel stclt deze voor als ee uitbreidig va de gemiddeldemethode. Hij stelt eerst s = a oso +a 1 s1 +a2s2+... a o +a 1 +a2+... Hij eemt a =c x e laat vervolges x obepaald toeeme. Hij ver- lagt, dat de reekse e teller e oemer voor alle x covergere, weges de oemer moet dus L cx ee gehele fuctie voorstelle. Borel kiest L c x=ex, dbs c =...::!,. (Me krijgt geeralisaties door i plaats ~. va ex te kieze ex). Dus. -x( 1 2 ) s = lim e s +s~x+ - 2, s 2x () I Deze uitdrukkig trasformeert Borel u, aaemede, dat de reeks Du va die aard is, dat de volgede herleidige geldig zij.. s2 2 ZiJ s +s1x+ '2[ x +... =s(x), da is s(o)=u, dus S-u =e-x s(x) lco = JoO d~ [ e-x s(x) J dx,,& { e-xs(x)]~ e-x { s' (x)-s(x)j e s' (x)=s1+s2x+ ;+ x 2 +,,,, d '( ) I ) us s x -s,x =U1+u2x+ 2[ 3 x Noeme we dit u 1 (x) da wordt i J e,~ ] S S-u = e-x u 1 (x)dx = [ e-x u1(x)ax. + e-x(j u1(x)dx)dx, \ ( O O U2 2 Hieri valt de geitegreerde term weg e J~ u1(x)dx=u1x+ '21" x +.. Schrijve we u VOOJ" u og Ia" e -xu dx, aa vide we S = J""' e-x(u +u1x+ ;f x )dx, de gestelr'je dcfiit; i?fg2itilll P B ".' l V, ':!rt voor de uitkomst het symbool,qo ;s u i. o Me ka deze uitkomst oak afleide uit ee algemee pricipe door Hardy geformuleerd (193). Het bewijs, dat deze defiitie to~gepast op ee covergete reeks de gewoe som oplevert is wat moeijijk8r da bij de defiitie va Cesaro.. u Gegeve is dus Lu =S, waartiit volgs L ~ x is voor alle waarde va Joo -x co. x coverget. Te bewijze e 1 -, x dx=s. o o. Wij hebbe G l oo (G u -x U xdx -x L e xdx :1! 1) e LT - \..

9 -9- omdat ee machtreeks uifor coverg~ert i ioder iterval, dat geheel ~~2 het covergctieiterval ligt. Nu is -x e x dx==! co e -x x dx= "" w j"\-x x dx, le() G 11 = "' -x ~ - e x dx = L.,,.! o G co s- U V _, " O= ( -1 ( ) -2 ) G +G + -1 G + +!G+! = 2 -G( G e 1+G+ 2T waaruit bli,jkt, dat voor iederc positieve:: G,v met rmotoo sti,jgt e steeds < 1 is, Hct gaat er u om, te vid,~., wat 'l: uv wordt als G obepaald toceemt, Wij kue,bij willekeurige posi~ieve S,m zo bepale dat voor ) m z. U V = m L U V + I s-s / < ~. W(; hebbe da m L m+1 -G ~ U V =C Y' w De eerste term adert tot O, als G obopaald toc::eemt. Op de laatste U V, passe we ee herleidig toe overeekomed met de welbekede trasfor : a tie va AbGl, Voor icdere > 1:1 is 23 u v =(s +,,-s )v +, 1 +(s +')-s,,,)v (s -s,,)v m I m m m c m~1 m -, m+1 S ( V -V ) +s V.,., -1-1 e daar v L,,, v 2-v +,,,...,v -v,, alle positief zij, vidg weals mt1 m+ m, - 1 g de grootste e k de kleiste der groothed~ smj sm+~ ~s is Y"'", u v <gv -k(v +,,+v_ + -v +,,+H.+v -v,,)=(g-k:)v +, 1 m L r,1 1-1 m 1~ll ]~ g(s+f,::: k ) s - E_,., O<v <1,.c:,VCllZO E:: m+1 U V dus 11 z: u v } -2 c e daar dit voor ic.:dcrc gcldt c,,o m+1 /L uvj <2E. m+1 G oo J u -. -,1 d. i,j viol:,- us ic,er~ d a ac 1 o -x 6,.., T r.1 :x.r ' x --s,.,! 7-1 ". _,.J..,l hier hebbg we ee alogo va het thcorema va cv I'" Joo -t,., u =S '-? bc::schouw ux == e Z u~ xtdt=,jo V, c:<) 5

10 -1- Zij - da is, voor O < x c:.1 )~ positie;f t:: wij hebbe 5 u x = ( 1 +}) Joo e -,( 1 + S) 2: u~ -r d,.-,., Joo -T ~ U -/- dt d..., l Gegeve J.s e w - 1 = s. Daar, t:ze itegraa. bgstaat is de io. tegraal i de vorigd formule uiform coverget i ee iterval dat het eidput ~ = b~vat, dus C<) 1 im. J u 11 x = x~ 1 lim J-,o d"r=s. Hieruit blijkt ook, dat als voor ee reeks de Cesarosom e de Borelsom beide b2staa, da zij ZG gelijk. J oo Borel oemt ee reeks voor Wdlke de itegraal. e -x u(x) betekeis. heeft somoeerbaa r. Voor cjl: the.::orh' is or; va,ji&lag het b;c::grip absoluut som-,,,.. -x Jmeerbc1ar. Daarvoor worclt ver1c:1st, dat j e lu() /dx e ook oo oa 1- e -x lu 1 ( x) 1 dx ej c -x I u (,() ( x )} c1x voor a llc A blctel{eis hcbbc;. Wij kum:m hi~bij og ~pmerkc, clat uit he:t bestaa v,:ij,::;-xlu'(x)ldx da t va J t;-x tu( x) I dx volgt raa r r,iet omgc..:keerd. Als voorbeelde va sommeerbare r~ekse kue w~ dezelfde reekse eme voor welke we de Cesarosom bereked hebbe -x( x ) -2x dx =_1_, if oo 2 1() ,. 1 c.~ ! -.,.. d :::: e 2 Om ee eevoudig voorbeeld tu hcbbe, waarbij de Cesarosom iet bestaat eme we voor x 1 / 2 3.\. -t. 2 _ J.-t(1+x). 1-x+x -x +... GJ e (1-xt+ xt... )at,,,,,_;; d::: De r""eks i dit voorbeeld is voor -1 < x ~1 coverget, voor di,.;; waarcle h2eft de itegraal va Bore l dus ook bc:t1.c:l{eis e ook de wae.1rde 1 1x. Wij kuc oak complaxe waarde va x i oze beschouwig betrekke. Oze uitkomst geldt voor Rex )-1. Wij ku2 dat oak zo uitdrukke. Voor de fuctie, die i de omgevig va de oorsprog wordt gegeve door 2 de reeks 1-x+x -... geeft de it raal va Borel voor die reeks de aalytlschc voortzett1g over hct halfvlak R(; ),-1. I dit voorbeeld lcvert dat dus iets ieuws, daar de eevoudige voorstc::llig ~ de oo lytisch--- voortz c:ttig ovc:r l:h::t gehel<2 vlak gee ft. I 1,- igewikkclder gevalle kue we op deze wijze voor de bestuderig va de fuctie gewichtige bijdrage vurkrijge. We kue og opmerke,dat i os voorbeeld de zaak vcreevoudigd werd doordat de beschouwde fuctie maar ee siguliur put heeft. I hut algemce ka me bewijze,dat als ~ee sigulicr put is va ee fuctiu die door ee machtreeks i

11 -11- de omgcvig va d oorsprog (of ee will~k~urig put) Q g~gev 1s de it2graal va Borel toegepast op di8 reeks ee aalytische voo tig geeft, die iet verder rikt da de rcchte i 1loodrecht op Op di8 wijzc vide we voor ee fuctie met ee eidig aatal siguliere pute de aalytische voortzettig over ce gebied begresd door rechte lije de sommeerbaarheidsveelhoek. I hgt vorige hebbe weals toepassig va de somdefiitie de aalytische voortzettig va ce fucti gezocht. Me ka ook omgekeerd te werk gaa e de aalytische voortzettig va de fuctie gebruike om tot ee somdefiitie voor ee divergete reeks te kome. Zij Lu ee divergete reeks, zodaig dat de reeks Lu x iet de covergetie straal O heeft. Deze stelt da i de omgevig va de oorsprog ee aalytische fucti~ f(x) voor. Me ka da de som defiiere als de waardc va die fuctie voor =1. Daarbij komt het er dus op aa de aalytische voortzettig va die fuctie te bepale. Mitt~g- Leffler heeft ee uitdrukkig opgesteld i de vorm va ee reeks va polyome, die de fuctie voorstelt i het gehcle gebied waar ze bestaat behoudes ee aatal coupures, de ster va de fuctie.