Hoofdstuk 20. Priemgetallen Het aantal priemgetallen < X

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 20. Priemgetallen. 20.1 Het aantal priemgetallen < X"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20. Het aantal riemgetallen < X In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond riemgetallen zoals unieke riemontbinding en de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Hier gaan we iets dieer in o de vraag hoeveel riemgetallen er nu eigenlijk zijn. Een eerste indicatie wordt gegeven door een omerkelijk bewijs van Euler over de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Stelling 20.. (Euler) De som, genomen over alle riemgetallen, divergeert. In iets uitgebreidere taal betekent dit dat de som N riem naar oneindig gaat als N. In het bijzonder betekent dit dat er oneindig veel riemgetallen zijn. Het bewijs van Euler beschouwt het roduct ( ) N over alle riemgetallen N. Gebruiken we de meetkundige reeksontwikkeling ( /) = + / + / 2 + dan vinden we ( ) = ( + + ) + 2 N N Om dit laatste roduct te berekenen moeten we haakjes wegwerken en we krijgen een som van termen van de vorm /n waarin n bestaat uit riemfactoren N. 9

2 92 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Bovendien komt, vanwege éénduidige riemontbinding, voor elke n die bestaat uit riemgetallen N de term /n in de sommatie voor. In het bijzonder komt elke term /n met n N voor in onze sommatie. Dus ( + + ) + 2 N Omdat de reeks n= divergeert concluderen we dat het roduct n N ( /) naar oneindig gaat als N. Nu komt de finishing touch. Uit elementaire analyse weten we dat x > log 2 x als 0 < x /2. Hieruit volgt, met x = /, N n= ( > log 2 = 2 log N N N n ( ) ) Omdat het laatste roduct naar gaat als N volgt uit deze ongelijkheid dat de reeks divergeert. Het is niet moeilijk, maar wel technisch, om bovenstaande analyse wat recieser uit te voeren. Het blijkt dat <X in ongeveer hetzelfde temo groeit als log log X. Preciezer, Stelling (Mertens) Het verschil <X log log X gaat naar een limiet A als X. Bovendien geldt A = γ + ( log( ) + ) waarin γ Euler s constante is. riem Hoewel de functie <X naar oneindig gaat als X, gaat dit in een ongelofelijk langzaam temo. Bijvoorbeeld bij X = 0 4 is de som bij X = 0 5 is het Bij X = 0 6, 0 7 vinden we resectievelijk en We beschouwen nu de functie π(x) die het aantal riemgetallen x telt. Dus π(x) = #{ x riem}. Het gedrag van deze funktie is altijd een bron van insiratie geweest voor wiskundigen. De rij riemgetallen heeft een onvoorselbaar gedrag in die zin, als we een riemgetal hebben dan is het onmogelijk te voorsellen wanneer het volgende

3 20.. HET AANTAL PRIEMGETALLEN < X 93 riemgetal zal voorkomen. Bekijken we de funktie π(x) daarentegen dan zien we, mits o grote schaal bekeken, een vloeiend verloo. Ter illustratie volgt hier de grafiek van π(x) voor x 00, Nemen we nu een grotere schaal, dan zien we de srongen niet meer en nemen we een vloeiend verloo van de grafiek waar. Hier is bijvoorbeeld de grafiek voor x 0 5, De grote vraag is of we deze grafiek kunnen identificeren met een ons bekende funktie uit de analyse. Het dichtst bij de werkelijkheid kwam C.F.Gauss. Hij telde het aantal riemgetallen in korte intervallen, maar met grote waarden, en kwam tot de conclusie dat de lokale dichtheid van riemgetallen van de grootte X er uit ziet als / log(x). Wat we hiermee bedoelen illustreren we met de tabel aan het eind van deze aragraaf. Daarin is het aantal riemgetallen s(x) in het interval [x, x ] geteld voor diverse grote waarden van x. Ter vergelijking staat in de laatste kolom 0 5 / log(x), de lengte van ons interval gedeeld door log(x). Uit dit soort gegevens kwam Gauss tot het vermoeden dat π(x) li(x) := x 2 dt log t.

4 94 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Het teken geeft een zogenaamde asymtotische gelijkheid aan. In het algemeen, als we schrijven f(x) g(x) dan bedoelen we daarmee dat f(x)/g(x) als x. Het is trouwens niet moeilijk om aan te tonen dat li(x) x/ log(x) zodat uit het vermoeden van Gauss zou volgen, π(x) x log x Het eerste resultaat in deze richting werd bereikt door Chebyshev in 852. Hij liet zien dat 0.92 x < π(x) <. x log x log x als x voldoende groot is. De methoden van Chebyshev zijn elementair maar zeer ingenieus en we zullen er in een latere aragraaf iets van laten zien. Hier is trouwens de beloofde tabel. x s(x) 0 5 / log(x) De belangrijkste sta in de studie van π(x) werd in 860 gezet door de beroemde wiskundige Riemann. We besteden hier de volgende aragraaf aan De Riemann zeta-functie In zijn studie van π(x) gebruikte Riemann de functie ζ(s) = waarin s een comlex getal is met reëel deel groter dan, odat de reeks convergeert. Tussen haakjes, in deze aragraaf zal het gedrag van ζ(s) voor comlexe s van cruciaal belang zijn. Enige vertrouwdheid met comlexe getallen is hier dus wel gewenst. Hoewel Euler de functie ζ(s) al eerder bekeken had in verband met riemgetallen, is hij toch naar Riemann vernoemd. De relatie met riemgetallen, zoals Euler reeds omerkte, wordt gegeven door de zogenaamde Euler factorisatie. n= n s

5 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE 95 Stelling (Euler) Zij s een comlex getal met reëel deel groter dan. Dan geldt, ζ(s) = ( ) s waarin het roduct genomen wordt over alle riemgetallen. We zullen ons bewijs beerken tot reële getallen s groter dan > om het iets eenvoudiger te maken. Beschouw eerst het roduct ζ(s)( 2 s ) = n= n s (2n). s Rechts staat de som van alle /n s minus de som van /m s over alle even m(= 2n). Het verschil is dus de som van /n s over alle oneven getallen n. Evenzo is ζ(s)( /2 s )( /3 s ) gelijk aan de som van /n s over alle n die noch deelbaar door 2, noch deelbaar door 3 zijn. Kies nu N willekeurig en zij = 2, 2 = 3,..., r de verzameling riemgetallen N. Dan is ζ(s)( / s ) ( / s r) gelijk aan de som van /n s over alle n die niet deelbaar zijn door een riemgetal N. In het bijzonder imliceert dit dat ofwel n = ofwel n > N. Dus n= < ζ(s)( ) ( ) < + s s r n>n n s (20.) We weten door middel van de afschattingen uit de Aendix dat n>n /ns < N s /(s ). Omdat s > volgt hieruit dat n>n /ns 0 als N. Laat nu N in (9.) en we vinden dat ζ(s) ( /s ) =. Hieruit volgt ons Euler roduct. Eén van Riemann s ontdekkingen was dat ζ(s) analytisch kan worden voortgezet tot het comlexe vlak met uitzondering van s =, waar de functie een ool van eerste orde heeft. Het zou te ver voeren om dit hier allemaal uit te leggen. Wat we wel kunnen laten zien is dat, hoewel we ζ(s) alleen definieerden voor s met Res >, deze functie o natuurlijke wijze uit te breiden is tot een functie o het gebied Res > 0, s. Dit gaat als volgt. Voor Res > geldt, ζ(s) s = n s = = n= dx x s dx [x] s ( [x] s x s dx x s ) dx Nu komt de belangrijke omerking. Het verschil /[x] s /x s kunnen we schrijven als [x] x s x = s dt s t s+ [x]

6 96 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Neem nu aan beide zijden de absolute waarde en schat de integraal af, [x] s x s s = s s x [x] x dt t s+ dt [x] t Res+ [x] Res+ Omdat dx/[x] Res+ convergeert voor alle Res > 0, volgt hieruit dat ook de integraal (/[x]s /x s )dx convergeert voor alle Res > 0. Deze integraal definieert dus een functie o, die kan worden gezien als een natuurlijke voortzetting van ζ(s) tot het gebied Res > 0. Het gebied 0 < Res < wordt wel de kritieke strook genoemd. Het gedrag van ζ(s) in de kritieke strook is van cruciaal belang voor de theorie van de riemgetallen en dit was de schitterende ontdekking van Riemann. Eén van de vragen die Riemann over ζ(s) stelde is zo hardnekkig onbeantwoord gebleven, dat het nu te boek staat als het volgende vermoeden, Vermoeden (Riemann hyothese) Alle nulunten van ζ(s) in de kritieke strook liggen o de lijn Res = /2. Talloze wiskundigen na Riemann hebben hun tanden stukgebeten o dit robleem en tot nu is het nog steeds onogelost. Naast het, inmiddels ogeloste, vermoeden van Fermat is dit één van de bekendste roblemen in de wiskunde. Uit Riemann s nalatenscha blijkt dat hij zelf, met de hand, exliciet nulunten berekend had tot vele decimalen nauwkeurig. Dit alleen al mag een restatie van formaat worden genoemd. Omdat de nulunten symmetrisch rond de x-as liggen, kunnen we ons beerken tot nulunten met ositief imaginair deel. Tevens ordenen we deze unten naar stijgend imaginair deel. Recente comuterberekeningen door Brent, v.d.lune, te Riele en Winter hebben aangetoond dat de eerste nulunten inderdaad o de lijn Res = /2 liggen. Verder toonde Levinson in 974 aan dat minstens een derde van de nulunten o deze lijn ligt. Uit het nagelaten werk van Riemann leidde C.L.Siegel af dat Riemann zijn numerieke berekeningen baseerde o een verwante, reële, functie Z(t) die de eigenscha heeft dat Z(t) = ζ( + it) voor alle t R. Voor de aardigheid volgt hier 2 een grafiek van Z(t) gemaakt met het wiskundige akket Mathematica,

7 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE Wat is het belang van de nulunten van ζ(s)? Het blijkt dat als de Riemann hyothese waar is, dan geldt dat π(x) li(x) x log x naar nul gaat als x. Grof gezegd, het verschil tussen π(x) en li(x) is van de orde van grootte x log x, een stuk kleiner dus dan de grootte van li(x) zelf. Hieronder volgt een grafiek van de functie li(x) π(x) voor x < 0000, Men zou misschien kunnen denken dat het verschil li(x) π(x) altijd ositief is. Het blijkt in ieder geval voor alle x < 0 6 zo te zijn. Dat exerimentele resultaten soms bedriegelijk kunnen zijn werd duidelijk toen Littlewood (94) aantoonde dat li(x) π(x) oneindig vaak van teken verandert. Echter het unt waar li(x) π(x) voor het eerst negatief wordt, heeft men nog nooit gezien. Onder aanname van de Riemann hyothese bewees Skewes in 933 dat dit unt kleiner dan is. Getallen van dit formaat werden al snel Skewes getallen genoemd. Tegenwoordig is deze grens verbeterd en weet men, zonder de Riemann hyothese aan te nemen, dat li(x) π(x) negatief is voor een x kleiner dan Gelukkig hebben we niet de volle Riemann-hyothese nodig om iets over riemgetallen te kunnen concluderen. Met wat minder informatie ook wat te doen. Het

8 98 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN is namelijk niet heel moeilijk om aan te tonen dat ζ(s) geen nulunten o de lijn Res = heeft. Met deze informatie slaagden Hadamard en De la Vallée-Poussin er, onafhankelijk van elkaar, in de volgende stelling te bewijzen. Stelling (Priemgetalstelling, 899) Er geldt, π(x) x log(x). In 949 gaven Selberg en Erdös, min of meer onafhankelijk van elkaar, een elementair bewijs van deze stelling. Elementair wil zeggen dat er geen gebruik wordt gemaakt van eigenschaen van de comlexe ζ-functie. Het wil echter niet zeggen dat het een eenvoudig bewijs is! 20.3 Lokale verdeling In de vorige aragraaf hebben we het gehad over de groei van de functie π(x). Deze functie geeft de globale groei van het aantal riemgetallen weer. Het is ook interessant om eens naar het lokale gedrag te kijken. Een vraag is bijvoorbeeld, gegeven een riemgetal, hoe groot is het volgende riemgetal? Anders gezegd, hoe groot of klein kan de afstand tussen twee oeenvolgend riemgetallen zijn. We kunnen gemakkelijk laten zien dat deze afstand willekeurig groot kan zijn. Kies namelijk N N willekeurig en beschouw de rij getallen N!+2, N!+3,..., N!+N. Omdat N!+k deelbaar is door k is geen van de getallen in onze rij riem. Door N willekeurig groot te kiezen kunnen we o deze wijze het bestaan van willekeurig lange gaten in de rij riemgetallen aantonen. Chebyshev bewees met elementaire methoden dat elk interval van de vorm [n, 2n] een riemgetal bevat. Hiermee werd het zogenaamde ostulaat van Bertrand bewezen. Met behul van de riemgetalstelling is het niet moeilijk om aan te tonen dat voor elke θ > en voldoend grote n elk interval [n, θn] een riemgetal bevat. Met geavanceerde methoden uit de analytische getaltheorie weet men nu dat er een C > 0 bestaat zodat elk interval [n, n + Cn θ ] een riemgetal bevat, waarin θ = /2 /384 (Iwaniec, Pintz, Mozzochi). Indien de Riemann-hyothese waar is kan men θ = /2 aantonen. Grofweg zou dit betekenen dat er tussen elk tweetal gehele kwadraten en riemgetal ligt. Echter, men vermoedt dat er nog iets veel sterkers waar is. Een vermoeden van Cramér zegt dat er een C > 0 is zo dat elk interval [n, n + C(log n) 2 ] een riemgetal bevat. Niemand heeft echter enig idee hoe een dergelijk robleem aangeakt moet worden. Aan de andere kant gebeurt het ovallend vaak dat twee oeenvolgende oneven getallen riem zijn. We noemen dergelijke aren riemtweelingen. Voorbeelden: (7, 73), (997, 999), (2077, 20773), enzovoort. Het blijkt dat ze relatief vaak voorkomen. Het grootst bekende aar in 993 was ± maar

9 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 99 intussen zal dit record wel weer gebroken zijn. Net als bij de riemgetallen kunnen we een telfunctie π 2 (x) invoeren die het aantal riemtweelingen kleiner dan x aangeeft. Om een idee van de groei van π 2 (x) te krijgen treden we in de voetsoren van Gauss en tellen het aantal riemtweelingen s 2 (x) in het interval [x, x+00000] voor diverse x. Ter vergelijking geven we ook het aantal riemgetallen s(x). Hier zijn de resultaten, x s(x) s 2 (x) (.32) 0 5 /(log x) De getallen in de laatste kolom vormen de verwachting van het aantal riemgetaltweelingen o grond van heuristische beschouwingen die we hier niet zullen uitvoeren (zie [HW] hoofdstuk XXII).Het getal.32 bovenin de laatste kolom is een afronding van het oneindige roduct ( /( )2 ) genomen over alle oneven riemgetallen. Als de verwachtingen kloen, dan zou het aantal riemgetaltweelingen kleiner dan x asymtotisch gelijk zijn aan π 2 (x) Cx/(log x) 2 met C = ( /( ) 2 ). Helaas is er nog niets van dit alles bewezen. Het is zelfs niet bekend of er oneindig veel riemgetaltweelingen zijn en de vraag naar de (on)eindigheid van deze verzameling behoort tot de bekendste roblemen in de getaltheorie. Eén van de weinige bewezen resultaten o dit gebied vormt de stelling van Brun (99), die zegt dat de reeks, genomen over alle behorend tot een riemgetaltweeling, convergent is. Dit in tegenstelling tot de som over alle riemgetallen die divergeert, zoals we gezien hebben. Om zijn stelling te bewijzen introduceerde Brun een nieuwe techniek in de getaltheorie, namelijk die van de zeefmethoden. Tegenwoordig is dit één van de standaardtechnieken in wat men noemt de analytische getaltheorie Elementaire beschouwingen Na alle vermoedens en seculaties uit de vorige aragrafen willen we nu ook echt iets gaan bewijzen. Doel van deze aragraaf is het bewijs van de volgende stelling. Stelling Voor elke n 3 geldt, n 2 log n < π(n) < 2 n log n.

10 200 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Allereerst gebruiken we voor de afleiding van de bovengrens voor π(x) de binomiaalcoëfficient (zie eventueel de Aendix) ( ) 2m 2m(2m ) (m + ) = m m(m ) 2 en het feit dat dit een geheel getal is. De cruciale omerking is dat in de teller alle riemgetallen met m < 2m otreden en dat ze niet door de factoren uit de noemer worden weggedeeld. Dus m< 2m deelt ( ) 2m m en is dus kleiner of gelijk ( ) ( 2m m. We gaan nu de grootte van 2m ) m afschatten. Lemma Voor alle m N geldt, ( ) 2m < 4 m. m Voor m = controleren we dat ( 2 ) = 2 en 4 = 4 en het Lemma is dus juist. Stel nu m > en merk o dat ( 2m m ) = 2m(2m ) m m Ons Lemma volgt nu door inductie naar m. ( ) 2(m ) < 4 m ( ) 2(m ) m Een iets eleganter manier om dit Lemma aan te tonen is de omerking dat uit de binomiaalformule van Newton, 2., volgt dat 2 n = n ( n k=0 k) door x = in te vullen. Hieruit volgt dat ( n ) k) < 2 n voor elke k, n N. In het bijzonder, < 2 2m = 4 m. ( 2m m Hoe dan ook, we concluderen dat voor alle m N geldt, < 4 m. riem m< 2m Het aantal factoren in het roduct is gelijk aan π(2m) π(m). Al deze factoren zijn groter dan m. Dus volgt, m π(2m) π(m) < 4 m. Na het nemen van logaritmen aan beide zijden en deling door log m concluderen we dat π(2m) π(m) < m log 4/ log m. We kunnen nu onze bovengrens door inductie naar n afleiden. Omdat, behalve 2, alle riemgetallen oneven zijn, geldt π(n) (n + )/2. Elementaire analyse laat zien dat (n + )/2 kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 400 en dus is onze bovengrens waar voor alle n 50. Stel nu n > 400 en dat de bovengrens in de Stelling geldt voor alle π(k) met k < n. Stel n = 2m als n even is en n = 2m +

11 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 20 als n oneven is. In de volgende berekening maken we gebruik van onze bovengrens voor π(2m) π(m) en de inductiehyothese, π(n) π(2m) + = π(2m) π(m) + π(m) + < m log 4/ log m + 2m/ log m + = (2 + log 4)m/ log m + ( + log 2)n/ log(n/2) + Elementaire analyse laat zien dat deze laatste bovengrens kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 50 en daarmee is onze inductiesta afgerond. Voor de afleiding van de ondergrens gebruiken we een iets ander idee. Beschouw de integraal I m = 0 t m ( t) m dt. Omdat de integrand ositief is in het oen interval geldt I m > 0. Verder geldt t m ( t) m (/4) m voor alle t [0, ]. Dus, I m < (/4) m. Anderzijds is I m een rationaal getal. Dit kunnen we zien door de haakjes in t m ( t) m weg te werken en term voor term te integreren. Haakjes wegwerken levert een lineaire combinatie met gehele coëfficienten van t k met k = m, m +,..., 2m. Integratie van t k levert /(k + ). Met andere woorden I m is een gehele lineaire combinatie van de getallen /(k + ) met k = m,..., 2m. Gevolg, I m is een rationaal getal waarvan de noemer een deler is van kgv(m+, m+2,..., 2m+). Omdat I m niet nul is, is het groter of gelijk /kgv(m +,..., 2m + ). Combineren we dit met de bovengrens voor I m dan vinden we kgv(m +,..., 2m + ) > 4 m en, omdat kgv(, 2,..., 2m + ) kgv(m +,..., 2m + ) Nu volgt een belangrijk Lemma. Lemma Voor elke N N geldt, kgv(, 2,..., 2m + ) > 4 m kgv(, 2,..., N) < N π(n). We kunnen dit zien door o te merken dat het kgv van de getallen, 2,..., N als volgt tot stand komt. Van elk riemgetal bealen we de grootste k zó dat k N en vervolgens vermenigvuldigen we de machten k met elkaar. Dit roduct gaan we nu afschatten, kgv(, 2,..., N) = < = [log N/ log ] (log N/ log ) N = N π(n)

12 202 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN In ons geval volgt door toeassing van dit Lemma dat 4 m < (2m + ) π(2m+). Na het nemen van logaritmen en deling door log(2m + ), geeft dit π(2m + ) > m log 4/ log(2m + ) Kies nu n N willekeurig. Stel n = 2m + als n oneven is en n = 2m + 2 als n even is. Merk nu o dat π(n) = π(2m + ) > m log 4/ log(2m + )) (log 4)(n/2 )/ log(n ) Elementaire analyse laat zien dat de laatste ondergrens groter is dan 0.5n/ log(n) als n 0. En zo vinden we de gewenste ondergrens als n 0. Voor n = 3, 4,..., 9 controleren we de ondergrens numeriek. Tenslotte volgt hier nog een heel amusante ogave van H.W.Lenstra. Bewijs dat er oneindig veel waarden van n zijn zó dat π(n) een deler is van n. Het aardige is dat het bewijs helemaal niet diezinnig is, maar wel veel te leuk om hier te verklaen. Als hint kan ik de lezer meegeven dat we alleen maar lim n π(n)/n = 0 hoeven te gebruiken.

Nulpunten op een lijn?

Nulpunten op een lijn? Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt

Nadere informatie

Open priemproblemen. Jan van de Craats

Open priemproblemen. Jan van de Craats Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

De Riemann-hypothese

De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Een miljoenenprobleem Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 200 De Riemann-hypothese De Riemann-hypothese Alle niettriviale nulpunten van de zètafunctie liggen op de kritieke lijn.

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)

Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Arithmetische progressies in random kleuringen van de natuurlijke getallen (Engelse

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011 Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Cryptologie en de Riemann-hypothese

Cryptologie en de Riemann-hypothese Cryptologie en de Riemann-hypothese Fragmenten uit de getaltheorie, met een belangrijke toepassing, plus een hypothese die ondanks 150 jaar zoekwerk (nog) niet bewezen is. Hovo-college Seniorenacademie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Vereiste voorkennis: limieten, reeksen, afgeleiden, goniometrische en exponentiële funkties, komplexe getallen Probleemstelling

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2001-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2001-I Eindexamen wiskunde A- vwo 00-I 4 Antwoordmodel Ogave Contradansen Er zijn mogelijkheden voor elke maat Er zijn dus 8 mogelijke volgordes de conclusie: ja, de bewering is waar Maximumscore 4 Er moet driemaal

Nadere informatie

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675 Hoe een genie dacht. Van Leibniz zijn een groot aantal wiskundige handschriften bewaard. Leibniz deed wiskunde met de pen in zijn hand, en schreef al zijn gedachten direct op. Daardoor kunnen we zien hoe

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

π = 3.141592653589793238462643383...

π = 3.141592653589793238462643383... Hoofdstuk 0 Decimale ontwikkeling 0. Inleiding Het huidige systeem om getallen te noteren stamt uit de Arabische tijd en staat bekend als het decimale getalstelsel. Zoals we weten geven de cijfers in een

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,

en-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast, Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt

Nadere informatie