Hoofdstuk 20. Priemgetallen Het aantal priemgetallen < X

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 20. Priemgetallen. 20.1 Het aantal priemgetallen < X"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 20 Priemgetallen 20. Het aantal riemgetallen < X In Hoofdstuk 3 hebben we kennis gemaakt met de echt elementaire zaken rond riemgetallen zoals unieke riemontbinding en de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Hier gaan we iets dieer in o de vraag hoeveel riemgetallen er nu eigenlijk zijn. Een eerste indicatie wordt gegeven door een omerkelijk bewijs van Euler over de oneindigheid van de verzameling riemgetallen. Stelling 20.. (Euler) De som, genomen over alle riemgetallen, divergeert. In iets uitgebreidere taal betekent dit dat de som N riem naar oneindig gaat als N. In het bijzonder betekent dit dat er oneindig veel riemgetallen zijn. Het bewijs van Euler beschouwt het roduct ( ) N over alle riemgetallen N. Gebruiken we de meetkundige reeksontwikkeling ( /) = + / + / 2 + dan vinden we ( ) = ( + + ) + 2 N N Om dit laatste roduct te berekenen moeten we haakjes wegwerken en we krijgen een som van termen van de vorm /n waarin n bestaat uit riemfactoren N. 9

2 92 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Bovendien komt, vanwege éénduidige riemontbinding, voor elke n die bestaat uit riemgetallen N de term /n in de sommatie voor. In het bijzonder komt elke term /n met n N voor in onze sommatie. Dus ( + + ) + 2 N Omdat de reeks n= divergeert concluderen we dat het roduct n N ( /) naar oneindig gaat als N. Nu komt de finishing touch. Uit elementaire analyse weten we dat x > log 2 x als 0 < x /2. Hieruit volgt, met x = /, N n= ( > log 2 = 2 log N N N n ( ) ) Omdat het laatste roduct naar gaat als N volgt uit deze ongelijkheid dat de reeks divergeert. Het is niet moeilijk, maar wel technisch, om bovenstaande analyse wat recieser uit te voeren. Het blijkt dat <X in ongeveer hetzelfde temo groeit als log log X. Preciezer, Stelling (Mertens) Het verschil <X log log X gaat naar een limiet A als X. Bovendien geldt A = γ + ( log( ) + ) waarin γ Euler s constante is. riem Hoewel de functie <X naar oneindig gaat als X, gaat dit in een ongelofelijk langzaam temo. Bijvoorbeeld bij X = 0 4 is de som bij X = 0 5 is het Bij X = 0 6, 0 7 vinden we resectievelijk en We beschouwen nu de functie π(x) die het aantal riemgetallen x telt. Dus π(x) = #{ x riem}. Het gedrag van deze funktie is altijd een bron van insiratie geweest voor wiskundigen. De rij riemgetallen heeft een onvoorselbaar gedrag in die zin, als we een riemgetal hebben dan is het onmogelijk te voorsellen wanneer het volgende

3 20.. HET AANTAL PRIEMGETALLEN < X 93 riemgetal zal voorkomen. Bekijken we de funktie π(x) daarentegen dan zien we, mits o grote schaal bekeken, een vloeiend verloo. Ter illustratie volgt hier de grafiek van π(x) voor x 00, Nemen we nu een grotere schaal, dan zien we de srongen niet meer en nemen we een vloeiend verloo van de grafiek waar. Hier is bijvoorbeeld de grafiek voor x 0 5, De grote vraag is of we deze grafiek kunnen identificeren met een ons bekende funktie uit de analyse. Het dichtst bij de werkelijkheid kwam C.F.Gauss. Hij telde het aantal riemgetallen in korte intervallen, maar met grote waarden, en kwam tot de conclusie dat de lokale dichtheid van riemgetallen van de grootte X er uit ziet als / log(x). Wat we hiermee bedoelen illustreren we met de tabel aan het eind van deze aragraaf. Daarin is het aantal riemgetallen s(x) in het interval [x, x ] geteld voor diverse grote waarden van x. Ter vergelijking staat in de laatste kolom 0 5 / log(x), de lengte van ons interval gedeeld door log(x). Uit dit soort gegevens kwam Gauss tot het vermoeden dat π(x) li(x) := x 2 dt log t.

4 94 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Het teken geeft een zogenaamde asymtotische gelijkheid aan. In het algemeen, als we schrijven f(x) g(x) dan bedoelen we daarmee dat f(x)/g(x) als x. Het is trouwens niet moeilijk om aan te tonen dat li(x) x/ log(x) zodat uit het vermoeden van Gauss zou volgen, π(x) x log x Het eerste resultaat in deze richting werd bereikt door Chebyshev in 852. Hij liet zien dat 0.92 x < π(x) <. x log x log x als x voldoende groot is. De methoden van Chebyshev zijn elementair maar zeer ingenieus en we zullen er in een latere aragraaf iets van laten zien. Hier is trouwens de beloofde tabel. x s(x) 0 5 / log(x) De belangrijkste sta in de studie van π(x) werd in 860 gezet door de beroemde wiskundige Riemann. We besteden hier de volgende aragraaf aan De Riemann zeta-functie In zijn studie van π(x) gebruikte Riemann de functie ζ(s) = waarin s een comlex getal is met reëel deel groter dan, odat de reeks convergeert. Tussen haakjes, in deze aragraaf zal het gedrag van ζ(s) voor comlexe s van cruciaal belang zijn. Enige vertrouwdheid met comlexe getallen is hier dus wel gewenst. Hoewel Euler de functie ζ(s) al eerder bekeken had in verband met riemgetallen, is hij toch naar Riemann vernoemd. De relatie met riemgetallen, zoals Euler reeds omerkte, wordt gegeven door de zogenaamde Euler factorisatie. n= n s

5 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE 95 Stelling (Euler) Zij s een comlex getal met reëel deel groter dan. Dan geldt, ζ(s) = ( ) s waarin het roduct genomen wordt over alle riemgetallen. We zullen ons bewijs beerken tot reële getallen s groter dan > om het iets eenvoudiger te maken. Beschouw eerst het roduct ζ(s)( 2 s ) = n= n s (2n). s Rechts staat de som van alle /n s minus de som van /m s over alle even m(= 2n). Het verschil is dus de som van /n s over alle oneven getallen n. Evenzo is ζ(s)( /2 s )( /3 s ) gelijk aan de som van /n s over alle n die noch deelbaar door 2, noch deelbaar door 3 zijn. Kies nu N willekeurig en zij = 2, 2 = 3,..., r de verzameling riemgetallen N. Dan is ζ(s)( / s ) ( / s r) gelijk aan de som van /n s over alle n die niet deelbaar zijn door een riemgetal N. In het bijzonder imliceert dit dat ofwel n = ofwel n > N. Dus n= < ζ(s)( ) ( ) < + s s r n>n n s (20.) We weten door middel van de afschattingen uit de Aendix dat n>n /ns < N s /(s ). Omdat s > volgt hieruit dat n>n /ns 0 als N. Laat nu N in (9.) en we vinden dat ζ(s) ( /s ) =. Hieruit volgt ons Euler roduct. Eén van Riemann s ontdekkingen was dat ζ(s) analytisch kan worden voortgezet tot het comlexe vlak met uitzondering van s =, waar de functie een ool van eerste orde heeft. Het zou te ver voeren om dit hier allemaal uit te leggen. Wat we wel kunnen laten zien is dat, hoewel we ζ(s) alleen definieerden voor s met Res >, deze functie o natuurlijke wijze uit te breiden is tot een functie o het gebied Res > 0, s. Dit gaat als volgt. Voor Res > geldt, ζ(s) s = n s = = n= dx x s dx [x] s ( [x] s x s dx x s ) dx Nu komt de belangrijke omerking. Het verschil /[x] s /x s kunnen we schrijven als [x] x s x = s dt s t s+ [x]

6 96 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Neem nu aan beide zijden de absolute waarde en schat de integraal af, [x] s x s s = s s x [x] x dt t s+ dt [x] t Res+ [x] Res+ Omdat dx/[x] Res+ convergeert voor alle Res > 0, volgt hieruit dat ook de integraal (/[x]s /x s )dx convergeert voor alle Res > 0. Deze integraal definieert dus een functie o, die kan worden gezien als een natuurlijke voortzetting van ζ(s) tot het gebied Res > 0. Het gebied 0 < Res < wordt wel de kritieke strook genoemd. Het gedrag van ζ(s) in de kritieke strook is van cruciaal belang voor de theorie van de riemgetallen en dit was de schitterende ontdekking van Riemann. Eén van de vragen die Riemann over ζ(s) stelde is zo hardnekkig onbeantwoord gebleven, dat het nu te boek staat als het volgende vermoeden, Vermoeden (Riemann hyothese) Alle nulunten van ζ(s) in de kritieke strook liggen o de lijn Res = /2. Talloze wiskundigen na Riemann hebben hun tanden stukgebeten o dit robleem en tot nu is het nog steeds onogelost. Naast het, inmiddels ogeloste, vermoeden van Fermat is dit één van de bekendste roblemen in de wiskunde. Uit Riemann s nalatenscha blijkt dat hij zelf, met de hand, exliciet nulunten berekend had tot vele decimalen nauwkeurig. Dit alleen al mag een restatie van formaat worden genoemd. Omdat de nulunten symmetrisch rond de x-as liggen, kunnen we ons beerken tot nulunten met ositief imaginair deel. Tevens ordenen we deze unten naar stijgend imaginair deel. Recente comuterberekeningen door Brent, v.d.lune, te Riele en Winter hebben aangetoond dat de eerste nulunten inderdaad o de lijn Res = /2 liggen. Verder toonde Levinson in 974 aan dat minstens een derde van de nulunten o deze lijn ligt. Uit het nagelaten werk van Riemann leidde C.L.Siegel af dat Riemann zijn numerieke berekeningen baseerde o een verwante, reële, functie Z(t) die de eigenscha heeft dat Z(t) = ζ( + it) voor alle t R. Voor de aardigheid volgt hier 2 een grafiek van Z(t) gemaakt met het wiskundige akket Mathematica,

7 20.2. DE RIEMANN ZETA-FUNCTIE Wat is het belang van de nulunten van ζ(s)? Het blijkt dat als de Riemann hyothese waar is, dan geldt dat π(x) li(x) x log x naar nul gaat als x. Grof gezegd, het verschil tussen π(x) en li(x) is van de orde van grootte x log x, een stuk kleiner dus dan de grootte van li(x) zelf. Hieronder volgt een grafiek van de functie li(x) π(x) voor x < 0000, Men zou misschien kunnen denken dat het verschil li(x) π(x) altijd ositief is. Het blijkt in ieder geval voor alle x < 0 6 zo te zijn. Dat exerimentele resultaten soms bedriegelijk kunnen zijn werd duidelijk toen Littlewood (94) aantoonde dat li(x) π(x) oneindig vaak van teken verandert. Echter het unt waar li(x) π(x) voor het eerst negatief wordt, heeft men nog nooit gezien. Onder aanname van de Riemann hyothese bewees Skewes in 933 dat dit unt kleiner dan is. Getallen van dit formaat werden al snel Skewes getallen genoemd. Tegenwoordig is deze grens verbeterd en weet men, zonder de Riemann hyothese aan te nemen, dat li(x) π(x) negatief is voor een x kleiner dan Gelukkig hebben we niet de volle Riemann-hyothese nodig om iets over riemgetallen te kunnen concluderen. Met wat minder informatie ook wat te doen. Het

8 98 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN is namelijk niet heel moeilijk om aan te tonen dat ζ(s) geen nulunten o de lijn Res = heeft. Met deze informatie slaagden Hadamard en De la Vallée-Poussin er, onafhankelijk van elkaar, in de volgende stelling te bewijzen. Stelling (Priemgetalstelling, 899) Er geldt, π(x) x log(x). In 949 gaven Selberg en Erdös, min of meer onafhankelijk van elkaar, een elementair bewijs van deze stelling. Elementair wil zeggen dat er geen gebruik wordt gemaakt van eigenschaen van de comlexe ζ-functie. Het wil echter niet zeggen dat het een eenvoudig bewijs is! 20.3 Lokale verdeling In de vorige aragraaf hebben we het gehad over de groei van de functie π(x). Deze functie geeft de globale groei van het aantal riemgetallen weer. Het is ook interessant om eens naar het lokale gedrag te kijken. Een vraag is bijvoorbeeld, gegeven een riemgetal, hoe groot is het volgende riemgetal? Anders gezegd, hoe groot of klein kan de afstand tussen twee oeenvolgend riemgetallen zijn. We kunnen gemakkelijk laten zien dat deze afstand willekeurig groot kan zijn. Kies namelijk N N willekeurig en beschouw de rij getallen N!+2, N!+3,..., N!+N. Omdat N!+k deelbaar is door k is geen van de getallen in onze rij riem. Door N willekeurig groot te kiezen kunnen we o deze wijze het bestaan van willekeurig lange gaten in de rij riemgetallen aantonen. Chebyshev bewees met elementaire methoden dat elk interval van de vorm [n, 2n] een riemgetal bevat. Hiermee werd het zogenaamde ostulaat van Bertrand bewezen. Met behul van de riemgetalstelling is het niet moeilijk om aan te tonen dat voor elke θ > en voldoend grote n elk interval [n, θn] een riemgetal bevat. Met geavanceerde methoden uit de analytische getaltheorie weet men nu dat er een C > 0 bestaat zodat elk interval [n, n + Cn θ ] een riemgetal bevat, waarin θ = /2 /384 (Iwaniec, Pintz, Mozzochi). Indien de Riemann-hyothese waar is kan men θ = /2 aantonen. Grofweg zou dit betekenen dat er tussen elk tweetal gehele kwadraten en riemgetal ligt. Echter, men vermoedt dat er nog iets veel sterkers waar is. Een vermoeden van Cramér zegt dat er een C > 0 is zo dat elk interval [n, n + C(log n) 2 ] een riemgetal bevat. Niemand heeft echter enig idee hoe een dergelijk robleem aangeakt moet worden. Aan de andere kant gebeurt het ovallend vaak dat twee oeenvolgende oneven getallen riem zijn. We noemen dergelijke aren riemtweelingen. Voorbeelden: (7, 73), (997, 999), (2077, 20773), enzovoort. Het blijkt dat ze relatief vaak voorkomen. Het grootst bekende aar in 993 was ± maar

9 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 99 intussen zal dit record wel weer gebroken zijn. Net als bij de riemgetallen kunnen we een telfunctie π 2 (x) invoeren die het aantal riemtweelingen kleiner dan x aangeeft. Om een idee van de groei van π 2 (x) te krijgen treden we in de voetsoren van Gauss en tellen het aantal riemtweelingen s 2 (x) in het interval [x, x+00000] voor diverse x. Ter vergelijking geven we ook het aantal riemgetallen s(x). Hier zijn de resultaten, x s(x) s 2 (x) (.32) 0 5 /(log x) De getallen in de laatste kolom vormen de verwachting van het aantal riemgetaltweelingen o grond van heuristische beschouwingen die we hier niet zullen uitvoeren (zie [HW] hoofdstuk XXII).Het getal.32 bovenin de laatste kolom is een afronding van het oneindige roduct ( /( )2 ) genomen over alle oneven riemgetallen. Als de verwachtingen kloen, dan zou het aantal riemgetaltweelingen kleiner dan x asymtotisch gelijk zijn aan π 2 (x) Cx/(log x) 2 met C = ( /( ) 2 ). Helaas is er nog niets van dit alles bewezen. Het is zelfs niet bekend of er oneindig veel riemgetaltweelingen zijn en de vraag naar de (on)eindigheid van deze verzameling behoort tot de bekendste roblemen in de getaltheorie. Eén van de weinige bewezen resultaten o dit gebied vormt de stelling van Brun (99), die zegt dat de reeks, genomen over alle behorend tot een riemgetaltweeling, convergent is. Dit in tegenstelling tot de som over alle riemgetallen die divergeert, zoals we gezien hebben. Om zijn stelling te bewijzen introduceerde Brun een nieuwe techniek in de getaltheorie, namelijk die van de zeefmethoden. Tegenwoordig is dit één van de standaardtechnieken in wat men noemt de analytische getaltheorie Elementaire beschouwingen Na alle vermoedens en seculaties uit de vorige aragrafen willen we nu ook echt iets gaan bewijzen. Doel van deze aragraaf is het bewijs van de volgende stelling. Stelling Voor elke n 3 geldt, n 2 log n < π(n) < 2 n log n.

10 200 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN Allereerst gebruiken we voor de afleiding van de bovengrens voor π(x) de binomiaalcoëfficient (zie eventueel de Aendix) ( ) 2m 2m(2m ) (m + ) = m m(m ) 2 en het feit dat dit een geheel getal is. De cruciale omerking is dat in de teller alle riemgetallen met m < 2m otreden en dat ze niet door de factoren uit de noemer worden weggedeeld. Dus m< 2m deelt ( ) 2m m en is dus kleiner of gelijk ( ) ( 2m m. We gaan nu de grootte van 2m ) m afschatten. Lemma Voor alle m N geldt, ( ) 2m < 4 m. m Voor m = controleren we dat ( 2 ) = 2 en 4 = 4 en het Lemma is dus juist. Stel nu m > en merk o dat ( 2m m ) = 2m(2m ) m m Ons Lemma volgt nu door inductie naar m. ( ) 2(m ) < 4 m ( ) 2(m ) m Een iets eleganter manier om dit Lemma aan te tonen is de omerking dat uit de binomiaalformule van Newton, 2., volgt dat 2 n = n ( n k=0 k) door x = in te vullen. Hieruit volgt dat ( n ) k) < 2 n voor elke k, n N. In het bijzonder, < 2 2m = 4 m. ( 2m m Hoe dan ook, we concluderen dat voor alle m N geldt, < 4 m. riem m< 2m Het aantal factoren in het roduct is gelijk aan π(2m) π(m). Al deze factoren zijn groter dan m. Dus volgt, m π(2m) π(m) < 4 m. Na het nemen van logaritmen aan beide zijden en deling door log m concluderen we dat π(2m) π(m) < m log 4/ log m. We kunnen nu onze bovengrens door inductie naar n afleiden. Omdat, behalve 2, alle riemgetallen oneven zijn, geldt π(n) (n + )/2. Elementaire analyse laat zien dat (n + )/2 kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 400 en dus is onze bovengrens waar voor alle n 50. Stel nu n > 400 en dat de bovengrens in de Stelling geldt voor alle π(k) met k < n. Stel n = 2m als n even is en n = 2m +

11 20.4. ELEMENTAIRE BESCHOUWINGEN 20 als n oneven is. In de volgende berekening maken we gebruik van onze bovengrens voor π(2m) π(m) en de inductiehyothese, π(n) π(2m) + = π(2m) π(m) + π(m) + < m log 4/ log m + 2m/ log m + = (2 + log 4)m/ log m + ( + log 2)n/ log(n/2) + Elementaire analyse laat zien dat deze laatste bovengrens kleiner is dan 2n/ log n voor alle n 50 en daarmee is onze inductiesta afgerond. Voor de afleiding van de ondergrens gebruiken we een iets ander idee. Beschouw de integraal I m = 0 t m ( t) m dt. Omdat de integrand ositief is in het oen interval geldt I m > 0. Verder geldt t m ( t) m (/4) m voor alle t [0, ]. Dus, I m < (/4) m. Anderzijds is I m een rationaal getal. Dit kunnen we zien door de haakjes in t m ( t) m weg te werken en term voor term te integreren. Haakjes wegwerken levert een lineaire combinatie met gehele coëfficienten van t k met k = m, m +,..., 2m. Integratie van t k levert /(k + ). Met andere woorden I m is een gehele lineaire combinatie van de getallen /(k + ) met k = m,..., 2m. Gevolg, I m is een rationaal getal waarvan de noemer een deler is van kgv(m+, m+2,..., 2m+). Omdat I m niet nul is, is het groter of gelijk /kgv(m +,..., 2m + ). Combineren we dit met de bovengrens voor I m dan vinden we kgv(m +,..., 2m + ) > 4 m en, omdat kgv(, 2,..., 2m + ) kgv(m +,..., 2m + ) Nu volgt een belangrijk Lemma. Lemma Voor elke N N geldt, kgv(, 2,..., 2m + ) > 4 m kgv(, 2,..., N) < N π(n). We kunnen dit zien door o te merken dat het kgv van de getallen, 2,..., N als volgt tot stand komt. Van elk riemgetal bealen we de grootste k zó dat k N en vervolgens vermenigvuldigen we de machten k met elkaar. Dit roduct gaan we nu afschatten, kgv(, 2,..., N) = < = [log N/ log ] (log N/ log ) N = N π(n)

12 202 HOOFDSTUK 20. PRIEMGETALLEN In ons geval volgt door toeassing van dit Lemma dat 4 m < (2m + ) π(2m+). Na het nemen van logaritmen en deling door log(2m + ), geeft dit π(2m + ) > m log 4/ log(2m + ) Kies nu n N willekeurig. Stel n = 2m + als n oneven is en n = 2m + 2 als n even is. Merk nu o dat π(n) = π(2m + ) > m log 4/ log(2m + )) (log 4)(n/2 )/ log(n ) Elementaire analyse laat zien dat de laatste ondergrens groter is dan 0.5n/ log(n) als n 0. En zo vinden we de gewenste ondergrens als n 0. Voor n = 3, 4,..., 9 controleren we de ondergrens numeriek. Tenslotte volgt hier nog een heel amusante ogave van H.W.Lenstra. Bewijs dat er oneindig veel waarden van n zijn zó dat π(n) een deler is van n. Het aardige is dat het bewijs helemaal niet diezinnig is, maar wel veel te leuk om hier te verklaen. Als hint kan ik de lezer meegeven dat we alleen maar lim n π(n)/n = 0 hoeven te gebruiken.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3

3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com

Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Reeksontwikkeling Koen Van de moortel, 20070925-20071008 www.astrovdm.com Vereiste voorkennis: limieten, reeksen, afgeleiden, goniometrische en exponentiële funkties, komplexe getallen Probleemstelling

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

π = 3.141592653589793238462643383...

π = 3.141592653589793238462643383... Hoofdstuk 0 Decimale ontwikkeling 0. Inleiding Het huidige systeem om getallen te noteren stamt uit de Arabische tijd en staat bekend als het decimale getalstelsel. Zoals we weten geven de cijfers in een

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675

Uit een handschrift gedateerd 26 Oktober 1675 Hoe een genie dacht. Van Leibniz zijn een groot aantal wiskundige handschriften bewaard. Leibniz deed wiskunde met de pen in zijn hand, en schreef al zijn gedachten direct op. Daardoor kunnen we zien hoe

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

De betatocht naar roem en rijkdom

De betatocht naar roem en rijkdom Charles Mathy Vincent van der Noort De betatocht naar roem en rijkdom Charles en Vincent zijn hun hele leven op zoek naar roem en rijkdom. Dit heeft ze beide geleid naar de studie wiskunde. Ze laten hier

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte.

Grafieken, functies en verzamelingen. Eerst enkele begrippen. Grafiek. Assenstelsel. Oorsprong. Coördinaten. Stapgrootte. Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Het naaldenexperiment van Buffon

Het naaldenexperiment van Buffon Het naaldenexperiment van Buffon (Ph. Cara, 3 april 2015) 1 Definitie en korte geschiedenis van π Reeds in 400 v.chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1

4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1 Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen

Nadere informatie

Functievergelijkingen

Functievergelijkingen Functievergelijkingen Trainingsweek juni 2008 Basistechnieken Je mag alle getallen in het domein invullen in je functievergelijking. Wat er precies handig is, hangt af van het domein en van de functievergelijking.

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschaelijk Onderwijs 0 0 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk o 6 juni de scores van de alfabetisch eerste tien kandidaten er school o

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Het getal e. Kees Kramer, Albert-Jan Yzelman en Robin Zeeman 6 september 2004

Het getal e. Kees Kramer, Albert-Jan Yzelman en Robin Zeeman 6 september 2004 Het getal e Kees Kramer, Albert-Jan Yzelman en Robin Zeeman 6 september 2004 Geschiedenis van e In dit onderdeel gaan we kijken naar de geschiedenis van het getal van Euler, e. Vreemd genoeg is het zo,

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie