Vezelversterkte kunststoffen. Mechanica en ontwerp

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vezelversterkte kunststoffen. Mechanica en ontwerp"

Transcriptie

1 Vezelversterkte kunststoen Mechanica en ontwerp

2

3 Vezelversterkte kunststoen Mechanica en ontwerp A.H.J. Nijho VSSD

4 VSSD Eerste druk 004, verbeterde herdruk 005, 006 Uitgegeven door VSSD: Leeghwaterstraat 4, 68 CA Delt, The Netherlands tel , teleax , e-ail: hl@vssd.nl internet: URL et inoratie over dit boek: Aan docenten die dit boek in cursusverband gebruiken, kunnen de illustraties in dit boek desgewenst in digitale vor beschikbaar gesteld worden. Men kan de collectie aanvragen bij eailadres hl@vssd.nl Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave ag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautoatiseerd gegevensbestand, o openbaar geaakt, in enige vor o op enige wijze, hetzij elektronisch, echanisch, door otokopieën, opnaen, o op enige andere anier, zonder vooragaande schritelijke toesteing van de uitgever. All rights reserved. No part o this publication ay be reproduced, stored in a retrieval syste, or transitted, in any or or by any eans, electronic, echanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written perission o the publisher. NUR 94, 97 Trew.: vezelversterkte kunststoen Gedrukte versie: ISBN ISBN Elektronische versie: ISBN ISBN

5 v Voorwoord Moderne vezelversterkte kunststoen dateren uit de vliegtuigbouw rond het begin van de tweede wereldoorlog. Sedertdien is de ontwikkeling en toepassing ervan gestaag voortgezet. Niet alleen in de lucht- en ruitevaart, aar ook in andere sectoren van de techniek, et nae in de cheische technologie en de transportsector; en et bekende toepassingen in de sport, zoals ski's, polsstokken, tennisrackets, hockeysticks, surplanken, roeiboten en zeiljachten. Zo werd er binnen de Adeling Werktuigbouwkunde van de Technische Hogeschool te Delt onder leiding van pro. dipl.-ing. J. Beyer, hoogleraar Textieltechniek, een pottwijnachine ontwikkeld, waarvan de potten een soort centriuges een vezelversterkte kunststo (vvk) wand hadden. Een van de aanknopingspunten was de in de textielwereld bekende wikkeltechniek, waaree nu buizen en vaten werden vervaardigd uit in hars gedrenkte garens. De leeropdracht van zijn opvolger, pro. ir. K. van Harten, ovatte dan ook, naast Textieltechniek, Vezelversterkte Kunststoen. In zijn laboratoriu is op laatstgenoed terrein voornaelijk onderzoek verricht aan vervaardigingstechnieken die zijn saen te vatten onder de ter Resin Transer Moulding, et de nadruk op de zogenaade vacuüinjectie van hars in et droog, langvezelig ateriaal gevulde allen. O te kunnen concurreren et conventionele constructieaterialen is het noodzakelijk o de ogelijkheid de eigenschappen van een vvk constructie o onderdeel richting te geven, zoveel ogelijk te benutten. Voor het optiaal ontwerpen van en in vvk is daaro kennis van en rekenen et richtingsahankelijke eigenschappen onontbeerlijk. In dat kader zijn twee colleges opgezet: 'Ontwerpen in vezelversterkte kunststoen', een derdejaars keuzevak voor werktuigbouwkundige en andere studenten, en een hoodvakcollege 'Mechanica van vezelversterkte kunststoen'. Het collegedictaat van het derdejaarsvak dat voornaelijk is gebaseerd op de lainatentheorie, is ook op hts-en (de tegenwoordige technische hogescholen) gebruikt. Beide dictaten zijn nu geïntegreerd in dit boek. De geboden sto is er op gericht o inzicht te kweken in vooral het echanisch gedrag van vvk's. O het boek tevens geschikt te aken voor zelstudie wordt de theorie in kleine stappen aangeboden. Bij de opzet van de sto is uitgegaan van de begrippen stijheid en sterkte, en van een acro- en een icroniveau o naar vvk's te kijken. Op acroschaal wordt vvk als zijnde hoogeen aar anisotroop beschouwd. Dit leidt tot gebruik van de lineaire elasticiteitstheorie voor hoogene, anisotrope aterialen. En qua sterkte tot een enoenologische behandeling van breukcriteria voor dergelijke aterialen. Deze aterie wordt vervolgens in verschillende hoodstukken toegepast, et de nadruk op een stijheid- en sterkteanalyse van lainaten, regels voor de opbouw van lainaten het koppelgedrag en het verijden ervan en optialisatie. Kort is aandacht besteed aan hygrotherische eecten, ysische transportverschijnselen en de tijdsahankelijkheid van het echanisch gedrag. Praktische berekeningen zijn gebaseerd op experienteel verkregen waarden van stijheid en sterkte. Zo kan dit gedeelte van de sto apart worden bestudeerd. (Zie onderstaand selectie spoor door het boek.) O de richtingsahankelijke stijheidseigenschappen van vvk te schatten op basis van saenstelling en eigenschappen van de coponenten zijn odellen nodig waarbij de coponenten duidelijk zijn te onderscheiden. Naast de eenvoudige odellen worden

6 vi VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP voor een beter begrip ook eer ingewikkelde odellen behandeld. Ook voor het leren begrijpen van het breukgedrag is het nodig het ateriaal op vezelniveau te benaderen, waarbij ook een beroep wordt gedaan op inleidende breukechanica. In het laatste hoodstuk wordt de sto gebruikt bij de odelvoring van weeselversterking, en bij het analyseren van twee werktuigkundige vvk-toepassingen: bladveren en vliegwielen. De intentie van het boek is een Nederlandstalige ingang te voren voor de erendeels Engelstalige vakliteratuur. De technische vakliteratuur is toegespitst op het ateriaal en het ontwerpen en vervaardigen erin en ervan. In die literatuur wordt voornaelijk gebruikgeaakt van de verkorte indexnotatie voor spanningen, vervoringen en elasticiteitsconstanten. (Dat is ook het geval in onderstaand selectie spoor.) Voor degenen die zich verder willen verdiepen in de eer theoretische vakliteratuur is ook de tensornotatie ingeleid en op soige plaatsen toegepast. Deze gedeelten kunnen zonder ernstig bezwaar worden overgeslagen. Belangrijke bronartikelen staan in de tekst vereld. Voor verdere verdieping wordt verwezen et een nuer tussen vierkante haken naar de boeken in de, overigens beknopte, literatuurlijst. Met behulp van internet is deze oeiteloos aan te vullen et eer recente werken. Bij het aronden van het anuscript heb ik dankbaar gebruik kunnen aken van de kritiek van dr.ir. K.M.B. Jansen en vooral van het stiulerende en aanvullende coentaar van pro.dr.ir. R. Marissen. Delt, 003. Ir. A.H.J. Nijho Een selectie spoor door de sto, et de nadruk op stijheid en sterkte van lainaten. De vezelversterkte kunststo wordt daarbij opgevat als zijnde hoogeen en anisotroop.. Inleiding.. Continuüechanica van hoogene, anisotrope aterialen. Paragraen en 7 overslaan. 3. Continuüechanica van orthotrope lagen. 4. Microodellen voor coposietstijheden. Alleen de orules (4.39, 40, 4 en 43) zonder aleiding, plus par Breukcriteria. Behalve de aleidingen in subparagraa.. 8. De klassieke lainatentheorie. Paragraa 4 overslaan. 9. De invloed van de opbouw van een lainaat. Paragraen en 5 overslaan. 0. Het optialiseren tijdens het ontwerpen.. Toepassingsvoorbeelden. Paragraa overslaan.

7 vii Inhoud Voorwoord v. Inleiding.. De anisotropie van vezelversterkte kunststoen.. Kort historisch overzicht.3. Saenstelling; engselregel 4.4. Technische constanten van een anisotroop ateriaal 5.5. Eenvoudige odellen voor de stijheid van unidirectioneel ateriaal 7.6. Eenvoudige odellen voor de sterkte van unidirectioneel ateriaal.7. Speciieke stijheid en speciieke sterkte 8.8. Reële waarden voor stijheid en sterkte van vezelversterkte kunststoen 9. Continuüechanica van hoogene, anisotrope aterialen 5.. Spanningen en vervoringen in verkorte notatie 5.. Spannings- en vervoringsleer in tensornotatie 8.3. De algeene wet van Hooke Speciieke vorveranderingsarbeid Materiaalsyetrie: orthotropie en transversale isotropie Technische constanten Grenzen voor de technische constanten Continuüechanica van orthotrope lagen Vlakspanningstoestand Transoratie in de vor van rotatie in het vlak van de laag Het cyclische karakter van de gereduceerde stijheidsconstanten 6 4. Modellen voor de coposietstijheden Statistische hoogeniteit Eectieve elasticiteitsconstanten Eectieve elasticiteitsconstanten bij transversale isotropie De toepassing van iniu-energieprincipes Vergelijking van heterogeen ateriaal et hoogeen ateriaal Andere sets stijheidsorules voor u.d. vvk s en dispersies Onderlinge vergelijking Fysische eigenschappen van vezelversterkte kunststoen Expansie ten gevolge van veranderingen in de ogeving Transportverschijnselen in vezelversterkte kunststoen Breukcriteria voor vezelversterkte kunststoen 6.. Breukcriteria voor orthotrope aterialen 6... Lineaire breukcriteria 6... Kwadratische breukcriteria Het tensorieel breukcriteriu Hybride breukcriteria Onderlinge vergelijking van de verschillende breukcriteria bij VST 8

8 viii VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP 6.3. Nabeschouwing 3 7. Bezwijkechanisen De spanningsverdeling rond een scheurtip Scheurgroei bij brosse aterialen De krachtoverdracht tussen een korte vezel en de atrix De shear-lag-theorie voor een enkele korte vezel De slip-theorie voor een enkele korte vezel De pull-out-proe en de ragentatieproe Bezwijkechanisen bij u.d. vvk 6 8. De klassieke lainatentheorie Inleiding tot de klassieke plaattheorie De lainatentheorie De stijheidsanalyse van een lainaat Hygrotherische eecten De sterkteanalyse van een lainaat 8 9. De invloed van de opbouw van een lainaat Bijzondere stijheidseecten De verschuivingstelling Bijzondere opbouw van lainaten De technische constanten van een ontkoppeld lainaat Therische uitzetting van een vlak quasi-isotroop lainaat Interlainaire spanningen aan de vrije randen Aanbevelingen voor de opbouw van een lainaat 0. Het optialiseren tijdens het ontwerpen Het eerste concept van een lainaat Wiskundig optialiseren Speciieke stijheids- en sterktewaarden 3. Tijdsahankelijk gedrag van vezelversterkte kunststoen 9. Lineair visco-elastisch gedrag 9... Lineaire visco-elasticiteit 9... Kruip Relaxatie Verband tussen kruip en relaxatie Quasi-elastisch gedrag 37.. Visco-elasticiteit bij vvk lainaten Een u.d. lael Lainaten Veroeiing Wöhler-kroen Breukcriteria voor veroeiing Geaccuuleerde veroeiingsschade Bedrijszekerheid 50

9 ix INHOUD. Toepassingsvoorbeelden 53.. Weeselversterking Een syetrische weeselversterkte laag, opgevat als hoogene laag Een syetrische weeselversterkte laag, opgevat als lainaat Een asyetrische weeselversterkte laag 58.. Bladveren 6... Een veer: accuulator van elastische energie 6... Vezelversterkte kunststo als (blad)verenateriaal Een bladveer et rechthoekige dwarsdoorsnede Vliegwielen De energie-inhoud van isotrope vliegwielen Vliegwielen uit vvk Prototypen van vvk vliegwielen 78 A. Appendices bij hoodstuk 4 83 A.. De orule van Eshelby 83 A.. Het variatieprincipe van Hashin en Shtrikan 88 A. Appendices bij hoodstuk 7 9 A.. De oplossing van een bipotentiaalvergelijking 9 A.. Spannings- en verplaatsingsveld rond een scheurtip in een plaat 94 Literatuur 97 Index van onderwerpen (et Engelse vertaling van de trewoorden) 99 Index van (de eest gebruikte, speciieke) sybolen 30

10

11 Inleiding.. De anisotropie van vezelversterkte kunststoen In de technische sector worden voor het aterialiseren van een ontwerp veelal hoogene, isotrope aterialen gebruikt, en dan voornaelijk etalen. Hoogeen betekent dat het ateriaal in elk punt dezelde eigenschappen heet; deze zijn dus plaatsonahankelijk. Isotroop wil zeggen dat de eigenschappen richtingsonahankelijk zijn. De in de natuur groeiende constructieaterialen als vezels, hout en been, zijn in het algeeen niet hoogeen en isotroop. Zij hebben een structuur die in groeirichting andere eigenschappen aan het ateriaal verleent dan in richtingen dwars erop. Zo is in hout een in de groeirichting georiënteerd vaatstelsel te onderkennen, en bestaan de celwanden ervan uit kruislings op elkaar liggende lagen van evenwijdige vezels in een inbeddingsateriaal. Daardoor geïnspireerd worden steeds eer coposietaterialen ontwikkeld en toegepast. Hieronder worden aterialen verstaan die zijn saengesteld uit ten inste twee verschillende, duidelijk onderscheiden coponenten. Deze aterialen zijn dus heterogeen van structuur: plaatselijk bevindt zich o de ene coponent o een andere; de eigenschappen zijn plaatsahankelijk. Als er sprake is van twee coponenten, dan ungeert de ene coponent eestal als inbeddingsateriaal en wordt daaro atrix genoed. De andere coponent dient ter versterking van de atrix. Naar de vor kan er bij het versterkingsateriaal onderscheid worden geaakt tussen partikels en vezels. De partikels hebben aetingen kleiner dan 50, waarvan er in het algeeen geen overheerst (bol, kubus, viervlak, o daarop gelijkend), behalve bij plaatjes. Daaro zijn de partikelversterkte aterialen eestal ook isotroop. Maar bij een vor als die van plaatjes kan er anisotropie optreden, zoals bij coatings et aluiniu plaatjes die parallel aan het oppervlak gaan liggen: de eigenschappen zijn dan richtingsahankelijk. Vezelversterkte aterialen zijn opgebouwd uit vezels die zijn ingebed in een atrix. Diverse aterialen kunnen als atrix worden toegepast: beton (et staalvezels), etalen (zoals aluiniu et boronvezels), kunststoen. De onderhavige aterie blijt beperkt tot vezelversterkte kunststoen; ook wel gewapende kunststoen genoed, al kan laatstgenoede benaing een wijdere betekenis hebben en ook kunststoen ovatten die et een vulsto versterkt zijn (in de vor van een dispersie). Vezel is de algeene benaing voor een constructie-eleent dat gekenerkt wordt door zijn kleine aetingen in de dwarsdoorsnede en zijn in verhouding daartoe grote lengte en daaree gepaard gaande grote lexibiliteit. Een continue vezel wordt vaak ilaent genoed. Een onoilaent is een 'garen' dat slechts uit één, relatie dikke, ilaent bestaat. Een garen dat uit eerdere, vaak zeer vele, ilaenten bestaat wordt ultiilaentgaren genoed.

12 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP De eest bekende vezelsoorten ter versterking van kunststoen zijn glas-, koolstoen araidevezels. De diaeter van deze vezels ligt in de orde van 0. Ter vergelijking: een ensenhaar is een actor 0 dikker. Voor het opneen van de echanische belasting voren de vezels de belangrijkste coponent van het coposietateriaal. De atrix zorgt voor het onderlinge, stijve verband, beschert de vezels tegen echanische en cheische aantasting en draagt in eer o indere ate belasting over van de ene vezel op de andere. Daarvoor is een goede hechting tussen vezels en atrix van wezenlijk belang. De als atrix in gebruik zijnde kunststoen kunnen globaal worden onderscheiden in twee groepen: theroharders en theroplasten. Theroharders (harsen) harden, na enging in de vloeibare ase, uit door netwerkvoring (Eng. cross-linking). Bij te hoog oplopende teperaturen verbrost de uitgeharde hars en valt uiteen. Voorbeelden ervan zijn onverzadigde polyesterharsen en epoxyharsen. Theroplasten daarentegen bestaan gewoonlijk uit lange ketenoleculen. Zij verweken bij toeneende teperatuur, worden dan plastisch. Dit proces is reversibel: bij akoelen worden ze weer stij. Voorbeelden zijn polypropeen en polyaide. Er wordt hier uitgegaan van langvezelige versterking, waarbij de vezeloriëntatie een wezenlijke rol speelt in het gedrag van de vezelversterkte kunststo (vvk). En wel in een zodanige ate dat het zaak is o de vvk er zel voor te ontwerpen. De richtingsahankelijkheid blijt niet alleen beperkt tot de echanische eigenschappen, aar strekt zich uit tot vele andere ysische eigenschappen. Een beknopt overzicht: - vorverandering ten gevolge van echanische belasting: stijheid; t.g.v. teperatuurverandering: therische expansie; t.g.v. opnae van vloeisto: zwelling; - transport elektrische geleiding; diusie van gas o vloeisto; - geleiding van warte: wartegeleidingscoëiciënt; agnetisch veld: agnetische pereabiliteit; elektrisch veld: diëlektrische constante; - bezwijken t.g.v. echanische belasting: sterkte; t.g.v. verschil in therische uitzetting. De atheatische beschrijving van het stijheidsgedrag van een coposietateriaal blijkt ook bruikbaar te zijn voor de beschrijving van het gedrag et betrekking tot andere richtingsahankelijke eigenschappen... Kort historisch overzicht De ens aakt coposietaterialen sedert hij de wanden van zijn uit takken gevlochten hut dichtseerde et lee. Het gebruik van stenen in de vor van gedroogde engsels van stro en lee was in de oudheid wijd verspreid: bij zowel Chinezen als Egyptenaren en Israëlieten. De unctie van het stro was tweeledig: wateravoer o tot in de kern te drogen, en versterking o ook bij scheurvoring voor verband te zorgen. De Egyptenaren lijden ineerlagen op elkaar o de sterkte van het hout te verhogen en de gevolgen van zwellen en kripen tegen te gaan. Er is daarvan een

13 . INLEIDING 3 vondst bekend uit ca. 500 v. Chr. In het gra van Toetanchaon (ca. 350 v. Chr.) zijn coposietbogen gevonden die zijn opgebouwd uit op elkaar gelijde dierlijke pezen en houtlagen. Soortgelijke gelaineerde bogen zijn ook aangetroen bij de Mongolen. Andersoortige gelaineerde structuren heet en gevonden bij cereoniële zwaarden uit het Oude China en Japan: daarbij zijn bewerkt ijzer en staal op elkaar geseed. De geschiedenis van vezelversterkte kunststoen is echter vrij recent; lit.: [34]. Het kunststotijdperk laat en aanvangen in 868, toen John Wesley Hyatt in de USA het celluloid ontwikkelde. Het beginpunt van de vezelversterkte kunststoen ligt in 907. In dat jaar vroeg Leo H. Baekeland, een beroed uitvinder van Belgische origine, in de USA patent aan op een proces waarbij de reeds bekende reactie van phenol en oraldehyde zodanig werd beheerst, dat op een gewenst ogenblik een versterkingsateriaal, zoals zaagsel, weesel, papier o ander vezelateriaal, kon worden toegevoegd, en na het harden een zeer bruikbaar isolatieateriaal werd verkregen. In 909 werd het patent verleend, in 9 de erknaa bakelite geïntroduceerd. In 93 vroeg Daniel J. O Connor een Aerikaans patent aan - dat pas in 98 werd verleend - voor de vervaardiging van het zogenoede orica. Het vervaardigingsproces bestaat uit het wikkelen van papier, dat vóór het wikkelen wordt gedrenkt in hars; de niet-geharde buis wordt doorgesneden, vlak gedrukt en tijdens het persen uitgehard tot een vlakke plaat. In eerste instantie werd orica gebruikt ter vervanging van ica voor elektrische isolatiedoeleinden, vandaar de naa. In de werktuigbouw werden in het begin van de dertiger jaren van de agelopen eeuw tandwielen, vervaardigd uit et linnen o katoenen weesels versterkte phenolhars (celleron), in grote aantallen gebruikt voor de overbrenging van krukas naar nokkenas in autoobielotoren o het lawaai te reduceren. Van oudere datu is de weeselversterking van rubber. In 845/6 ontwikkelde en octrooieerde de Schot R.W. Thoson een luchtband voor rijtuigen, overigens zonder veel coercieel succes. In 887 vond John Boyd Dunlop, eveneens een Schot, de luchtband opnieuw uit, verbeterde deze en verkreeg er in 888 octrooi op. In datzelde jaar werd de eerste luchtbandenabriek gesticht. Deze banden waren voor rijwielen bested. De exponentiële groei van het gebruik van vezelversterkte kunststoen begon in 940. Voor het bescheren van radarantennes in ilitaire vliegtuigen werden radar does (agekort tot radoes) ontwikkeld uit onverzadigde polyester versterkt et glasvezels. Deze koepels bleken bestand tegen de aerodynaische belastingen en extree weersinvloeden, én - daar ging het o - ze waren doorlaatbaar voor radarstraling. In 944 vloog het eerste vliegtuig (een BT-5) et een vezelversterkte kunststo rop. Na de tweede wereldoorlog werden de glasvezelversterkte kunststoen in de burgeraatschappij geïntroduceerd. De toepassing ervan blee stijgen: boten, autoobielen, vrachtwagens, bussen, opslagvaten, aterialen in de elektroindustrie, pijpleidingen, drukvaten, windolenwieken. En niet te vergeten in de sportsector: polsstokken, vishengels, ski s, zeiljachten en otorboten, zeilplanken, hockeysticks, tennisrackets, enzovoort. Tegelijkertijd breidde het aantal aterialen, waarvan coposieten (kunnen) worden geaakt, zich gestaag uit. Naast de glasvezel kunnen hier genoed worden de koolstovezel en de araidevezel. Deze vezels worden weer in verschillende typen,

14 4 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP dikten en voren op de arkt gebracht. Ook polyesterhars is in verschillende soorten verkrijgbaar, et elk zijn speciiek toepassingsgebied. Een van de belangrijkste therohardende harsen naast polyester is epoxyhars, eveneens in vele soorten verkrijgbaar, ook als tweecoponentenlij. En verder neet de toepassing van theroplastische kunststoen zoals polyaide en polypropeen, en eer geavanceerde als polyetheriide als inbeddingsateriaal toe..3. Saenstelling; engselregel O de saenstelling van vezelversterkt ateriaal te bepalen, wordt er een proestuk uitgenoen waarvan ag worden verondersteld, dat het qua saenstelling representatie is voor dat ateriaal. Noe de assa van het proestuk M c, en het volue ervan V c (subscript c van coposietateriaal). De assa s van de azonderlijke coponenten zijn respectievelijk M (subscript van Eng. ibre, ilaent) en M (subscript van atrix), en de volues V en V. Stel dat er geen holtes (Eng. voids) in het ateriaal aanwezig zijn, dan geldt: Mc = M + M; Vc = V + V. Massa en volue zijn aan elkaar gerelateerd door de voluieke assa r, dit is de assa per volue-eenheid. De respectieve voluieke assa's zijn: M M Mc r = ; r = ; rc =. (.) V V V De volueracties v van de coponenten zijn: c v V V = ; v = ; v + v =. (.) V V c c Indien deze volueracties bekend zijn evenals de voluieke assa s van de coponenten, dan volgt daaruit de voluieke assa van de coposiet: r = c M + M V c V r + V r = V c Æ r = v r + v r. (.3) c Deze laatste orulevor wordt engselregel (Eng. rule o ixture) genoed. In de praktijk wordt de saenstelling van bijvoorbeeld glas/polyester bepaald door van een proestuk assa en volue te eten en vervolgens in een oven het polyester te verwijderen ('a te branden'), waarna het overblijvende glasateriaal kan worden geanalyseerd (opbouw van het vezelpakket, assa). Odat de voluieke assa van de glasvezels genoegzaa bekend is, kunnen nu onder eer de volueracties worden berekend. Bij het vervaardigen van vvk producten zijn in het algeeen van het vezelateriaal de assa s bekend (bijvoorbeeld van een weesel o een gesneden-vezelat de areïeke

15 . INLEIDING 5 assa, dat is de assa per oppervlakte-eenheid) en wordt de hoeveelheid hars agewogen. Anders gezegd, de assaracties van de coponenten zijn gegeven. M Vr r M Vr r = = = v ; = = = v ; + =. (.4) M V r r M V r r c c c c c c c c Indien de voluieke assa s van de coponenten bekend zijn, kunnen et (.3) en (.4) de assaracties worden berekend. En ogekeerd, uit de assaracties de volueracties. Uit (.4) volgt de orule waaree de voluieke assa van het coposietateriaal kan worden berekend uit de assaracties van de coponenten: v + v È = = + Æ rc = Í + rc rc r r ÎÍ r r - Substitutie in (.4) levert de volueracties. Uitgewerkt:. (.5) v = r r + r ; r v = r + r. (.6) Juist deze volueracties blijken voor diverse berekeningen nodig te zijn..4. Technische constanten van een anisotroop ateriaal O het stijheidsgedrag van isotroop, lineair elastisch ateriaal te karakteriseren worden de technische constanten elasticiteitsodulus E, glijdings- o aschuivingsodulus G, en poissonverhouding o dwarscontractiecoëiciënt gebruikt. Hiervan zijn er twee onderling onahankelijk (o.o.); de derde kan berekend worden uit de andere et de relatie E G = + ( ). (.7) Aangenoen wordt dat de elasticiteitsoduli voor trek en druk aan elkaar gelijk zijn. Daarnaast wordt voor kunststoen vaak gebruik geaakt van de copressieodulus K (Eng. bulk odulus). Nee, o deze te deiniëren, een lichaa van het bewuste ateriaal et daaraan gekoppeld een orthogonaal assenstelsel xxx 3. Het lichaa wordt onderworpen aan een hydrostatische spanningstoestand et alzijdige spanning p. Bijvoorbeeld door het te dopelen in een vloeisto die wordt gecoprieerd. Ten gevolge van deze spanningstoestand treedt er een relatieve volueverandering e v op, voluetrische rek o voluerek genoed, waarvoor geldt: DV V V V ev = = - = - = ( + e)( + e)( + e3) - ª e + e + e3. V V V

16 6 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP Hierin is V het oorspronkelijke volue en V het volue van het lichaa onder de gegeven hydrostatische spanning; et e i, i = 3,, worden de (klein veronderstelde) relatieve rekken in de onderling loodrechte coördinaatrichtingen x, x, x3 aangeduid. Bij isotroop ateriaal zullen die gelijk zijn. De deinitie van de copressieodulus K luidt nu: p p K =. (.8) e e + e + e v 3 Bij druk zijn zowel p als e v negatie. Bijgevolg is K positie. Het gebruik van de copressieodulus blijt niet beperkt tot copressie, aar wordt ook uitgebreid tot expansie. Voor isotroop ateriaal gelden de onderlinge verbanden: E GE ( + ) G K = = = 3 ( - ) 9G- 3E 3 ( - ). (.9) Voor de beschrijving van het stijheidsgedrag van anisotroop, lineair elastisch ateriaal kunnen evenzo de technische constanten worden gebruikt, aar deze grootheden zijn dan wel richtingsahankelijk. Voor een goed begrip is het dan ook noodzakelijk o deze technische constanten opnieuw te deiniëren. Ga uit van genoed orthogonaal assenstelsel xxx 3. O de elasticiteitsodulus in de x -richting te kennen, dient er een lijnspanning in die richting, s, te worden aangelegd; de overige spanningscoponenten zijn dan 0. De rek in die richting, hier priaire rek genoed, wordt weergegeven et e. Met superscript vóór e wordt aangegeven dat deze rek e wordt veroorzaakt door noraalspanning s. Zie ig..(a). x E s = ; e = - e e x t = t G t = g g s s t h h + e ) ( b b + e ) ( x x (a) (b) Fig... Deinitie van (a) elasticiteitsodulus E en poissonverhouding, en van (b) glijdingsodulus G.

17 . INLEIDING 7 Het quotiënt van lijnspanning en priaire rek is per deinitie gelijk aan de elasticiteitsodulus in de lijnspanningsrichting: E s e. (.0) Dezelde lijnspanning in x -richting veroorzaakt een dwarsrek in x -richting, aangeduid et e. De bijbehorende poissonverhouding is gelijk aan het quotiënt van dwarsrek en priaire rek, aangevuld et een inteken o het ateriaalgedrag et een positieve waarde te karakteriseren: e -. (.) e O de situatie ondubbelzinnig vast te leggen zijn er twee indices nodig. Aspraak is o die te geven in de volgorde 'oorzaak en gevolg'. Index duidt op de (enige) spanningscoponent die ongelijk 0 is, en op de richting van de door die spanning veroorzaakte (dwars)rek. Bij dezelde lijnspanningstoestand is op analoge wijze de poissonverhouding 3 te deiniëren. Evenzo wordt bij een lijnspanningstoestand in x -richting et de technische constanten E, 3 en de vervoring van het ateriaal beschreven; en bij lijnspanning in x 3 -richting et de technische constanten E 3, 3 en 3. Let op: uit de deinities volgt direct dat in het algeeen π, enzovoort. Een schuispanning t = t in het xx -vlak veroorzaakt er een technische hoekvervoring g, d.i. de hoekverkleining van de rechte hoek tussen de positieve takken van x - en x -as, ook wel aschuihoek genoed. Verder wordt zuivere schuispanning aangenoen: de andere spanningscoponenten zijn 0. Zie ig..(b). De bijbehorende glijdingsodulus is dan, voorzien van de twee indices en, per deinitie: G t. (.) g Op dezelde wijze zijn de glijdingsoduli G 3 en G 3 aatgevend voor de stijheid tegen aschuiving in het xx3 - respectievelijk x 3 x -vlak..5. Eenvoudige odellen voor de stijheid van unidirectioneel ateriaal De eest eenvoudige vor van een ateriaal et versterking van continue vezels ilaenten is die waarbij de ilaenten alle evenwijdig aan elkaar ingebed liggen: unidirectioneel ateriaal, agekort et u.d. ateriaal. Ter illustratie daarvan kan dienen een gepultrudeerde staa et een constante doorsnede en de ilaenten in de lengterichting van de staa. De ilaentrichting van het u.d. ateriaal wordt de

18 8 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP longitudinale richting genoed, aangeduid et subscript L; een richting loodrecht daarop transversale richting, onderscheiden et subscript T. Wordt zo n staa in lengterichting getrokken, dan wordt zowel de ilaenten als de ohullende atrix eenzelde longitudinale rek opgelegd: ilaenten en atrix vervoren in dit geval gezaenlijk. Deze situatie kan worden beschreven et een parallelodel (zie ig..). De door ilaenten en atrix ingenoen oppervlakken in de dwarsdoorsnede zijn constant en respectievelijk aangeduid et A en A. In longitudinale richting wordt een kracht F uitgeoeend; deling door de totale oppervlakte van de dwarsdoorsnede, A + A, levert de globale (o geiddelde) longitudinale spanning, s L. De totale kracht is op te vatten als de so van de kracht in de ilaenten, F, en die in de atrix, F. Dus: F = sl( A + A) = F + F = s A + sa. (a) Voor de longitudinale spanning geldt zodoende de engselregel A A sl = s + s = vs + vs. (b) A + A A + A Odat de dwarsdoorsneden steeds identiek zijn, zijn de oppervlakteracties gelijk aan de volueracties! Er wordt aangenoen dat de verschillen in dwarscontractie tussen ilaenten en atrix ogen worden verwaarloosd (!). Dan ag worden verondersteld dat zowel in de ilaenten als in de atrix een lijnspanningstoestand heerst. : atrix : vezel A A = = v v A A A = A + A F = s L A s s F F = s = s A A b be L Fig... Parallelodel voor in longitudinale richting belaste unidirectionele vezelversterkte kunststo.

19 . INLEIDING 9 Gee de elasticiteitsodulus van ilaenten en atrix beide isotroop verondersteld aan et respectievelijk E en E. Dan geldt voor de rek(ken) in longitudinale richting, conor (.0): s s s L e = = e = = e =. (c) L E E E L Hieree is de longitudinale elasticiteitsodulus van het u.d. ateriaal, E L, geïntroduceerd. Met behulp van (b) volgt daarvoor uit (c) de engselregel E L s v v v L s + s s vs = = = + = v E + v E e e e e L L. (.3) O een idee te hebben van het aandeel van de vezels daarin: de elasticiteitsodulus van een glasvezel is ruwweg het 0-voudige van die van een theroharder; en araide en koolsto zijn nog aanzienlijk stijver dan glas. : vezel : atrix b v b b v s T F F = s T A v b ( + e ) b + e ) ( T v b ( + e ) Fig..3. Serieodel voor in transversale richting belaste unidirectionele vezelversterkte kunststo.

20 0 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP De eest sipele benadering o de transversale elasticiteitsodulus te schatten is bovenstaand parallelodel in dwarsrichting te belasten et een lijnspanning. Zo wordt het serieodel verkregen (zie ig..3). Nu heerst in beide coponenten dezelde transversale spanning s T, onder invloed waarvan de rekken in belastingsrichting verschillend zijn, e en e. De transversale rek van de coposiet, e T, is gelijk aan de gewogen so van deze coponentrekken: et = ve + ve (d) Odat de spanningen gelijk zijn en er lijnspanning ag worden verondersteld, geldt: s = Ee = s = Ee = st = ETeT. (e) Uit de twee laatste vergelijkingen volgt: E T e v v v v v T e + e e e v = = = + = + s s s s E E T T. (.4) Deze orule is op te vatten als een engselregel voor de reciproke waarden van de elasticiteitsoduli, /E. De schatting van de transversale odulus et behulp van (.4) blijkt nogal a te wijken van de realiteit en is daaro in de praktijk niet bruikbaar! Deze awijking wordt vooral veroorzaakt, doordat het serieodel ipliceert dat de dwarscontractie in beide coponenten (in ten inste één richting) gelijk is. Maar in u.d. ateriaal liggen de ilaenten ingebed in de atrix, waardoor het atrix-'netwerk' vrijer kan contraheren. Er zijn gebiedjes die et een serieodel kunnen worden vergeleken naast gebiedjes die eer op een parallelodel lijken (zie ig..4). s T a b s T Fig..4. Dwarsdoorsnede van transversaal belaste u.d. vvk et gebiedjes et een serieodel (a) en et een parallelodel (b). Het odel kan worden verbeterd door een cobinatie te neen van een serieodel en een parallelodel. Nee een eenheidscel bestaande uit een ilaent et vierkante doorsnede en atrixateriaal aan twee onderling loodrechte zijden. Door repetitie van de eenheidscel ontstaat een u.d. ateriaal et een vierkant rooster van identieke vezels et vierkante doorsnede. De eenheidscel heet ribben et lengte, zodat de vierkante vezeldoorsnede zijden ter lengte v heet. Nu kan de eenheidscel op twee anieren worden opgedeeld: in een parallelodel van atrix en een serieschakeling van ilaent en atrix (ig..5, deling a-a) respectievelijk een serieodel van atrix

21 . INLEIDING - s T v v a b a s T v b - v Fig..5. Een transversaal belaste eenheidscel et vierkante vezel voor u.d. vvk. Het odel is op te vatten als een parallelodel van atrix en een serieschakeling van vezel en atrix (scheiding a-a) o als een serieodel van atrix en een parallelschakeling van vezel en atrix (scheiding b-b). en een parallelschakeling van ilaent en atrix (ig..5, deling b-b). Eerstgenoed odel levert et de regels (.3) en (.4) voor de transversale elasticiteitsodulus de schatting E T È v v = v Í + - E E ÎÍ - + ( - v ) E. (.5) Het tweede odel levert de schatting E T È = Í ÎÍ v v E + ( - v ) E v + - E -. (.6) De verdere aleiding wordt aan de lezer overgelaten. Dezelde eenheidscel is geschikt voor de schatting van de longitudinaal-transversale poissonverhouding LT (zie ig..6). Er heerst dan een lijnspanning in longitudinale richting ('oorzaak'), et in beide coponenten dezelde longitudinale rek e L. Duid de poissonverhouding van een ilaent aan et en die van de atrix et. Als de ilaent vrijelijk kan contraheren, dan zullen de zijden van de vierkante doorsnede een actor - e L kleiner worden en de oppervlakte een actor ( - e L ). Een soortgelijke contractie ondervindt de atrix als deze niet wordt gehinderd door de ilaenten. Voor de respectieve oppervlakten in onbelaste en belaste toestand zonder en et accent geldt dus: A = A( - e L) ª A( -e L); () A = A ( - e ) ª A ( - e ). L L

22 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP - LT e L - v s L v ( - ) v s L v - v ( - ) v - LT e L Fig..6. Een longitudinaal belaste eenheidscel et vierkante vezel voor u.d. vvk. De vierkante doorsneden van vezel en eenheidscel blijven vierkant, aar contraheren in verschillende ate. Voor de totale oppervlakte geldt bij benadering: A = A + A ª A( - e L) + A( - e L) = È A + A (g) = ( A + A) Í- e L. ÎÍ A + A Uitgedrukt in LT : A = A( - LTeL) ª A( -LTe L). (h) Uit een vergelijking van beide laatste orules volgt voor de longitudinaal-transversale poissonverhouding de engselregel: A A LT = + = v + v. (.7) A + A A + A.6. Eenvoudige odellen voor de sterkte van unidirectioneel ateriaal Unidirectioneel ateriaal heet diverse sterkten die gekoppeld zijn aan de hoodrichtingen van het ateriaal: de longitudinale treksterkte en druksterkte, de transversale trek- en druksterkte, de longitudinaal-transversale aschuisterkte en de transversale aschuisterkte. De gebruikelijke versterkingsvezels glas, koolsto en araide gedragen zich bij zeer goede benadering lineair elastisch tot aan breuk. Zij zijn zeer veel stijver en sterker dan de kunststo atrix. De longitudinale sterkten worden gedoineerd door de vezels, its de breukrek van de atrix voldoende groot is ten opzichte van die van de vezels, de andere sterkten eer door de atrix.

23 . INLEIDING 3 spanning s s t vezel vezelbreuk = v Fig..7. Het verband tussen de spanning-rekdiagraen van vezels, atrix en daaruit opgebouwde u.d. vvk. s s s L t ( e t ) v s L = v t ( e t u.d. vvk atrixbreuk v s atrix = 0 + v s ) e t e t Bij een trekproe aan een u.d. staa zullen de vezels breken als hun breukrek is bereikt. Als de breukrek van de atrix groter is, is de atrix nog niet aan breuk toe its de verlenging wordt opgelegd. Zie het spanning-rekdiagra in ig..7. Noe de spanning die op dat oent in de vezels heerst, de treksterkte van de vezels o vezelsterkte, aangeduid et s t (subscript t van trek). Als de bijbehorende breukrek van de vezels wordt aangegeven et e t, dan kan de spanning in de atrix op dat oent worden weergegeven et s ( e t ). De longitudinale treksterkte van de u.d. staa, s Lt, is gelijk aan de geiddelde o globale spanning bij vezelbreuk die volgt uit het parallelodel: s = v s + v s ( e ) ª v s. (.8) Lt t t t rek e Het aandeel van de atrix in de longitudinale treksterkte van de u.d. vvk is gewoonlijk te verwaarlozen. Interezzo. Maar de treksterkte van een vezel is niet uitsluitend een ateriaalparaeter. Tijdens een trekproe breekt de vezel in de zwakste doorsnede, zoals een ketting in de zwakste schakel (Eng. weakest link). Zodoende is de treksterkte ahankelijk van de inspanlengte: bij toeneende inspanlengte neet de waargenoen treksterkte a. Nee in gedachten een vezel et een gegeven lengte en bepaal er de sterkte van. Vervolgens wordt die vezel verdeeld in twee evenlange helten. De ene helt et de zwakste doorsnede heet dezelde sterkte als de oorspronkelijke, aar de andere helt is sterker. Het geiddelde van de sterkte van beide helten is daaro groter dan de oorspronkelijke waarde.

24 4 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP a +, b + = = Ì E + E e a + a a + a a + a s Ï Ó a kracht +,b + a E s a = + + = E + E e a + a a + a a b = s, a, a b = s ( = s a e ) ( e ) b a b b Fig..8. Het kracht-rekdiagra van vezels en azonderlijk, alsede van de 'bundel' van deze twee vezels. Het kracht-rek verloop van de bundel na breuk van vezel is ahankelijk van de wijze van belasting: a--a bij toeneende kracht, b--b bij toeneende rek. a: oppervlakte dwarsdoorsnede; e: breukrek; s: sterkte. e e ( > e) rek e Bij het trekken van een bundel vezels wordt iedere vezel dezelde verlenging opgelegd. De kracht in iedere vezel is een ageleide grootheid. Een vezel breekt op het oent dat de kracht in de bewuste vezel de sterkte van de zwakste doorsnede overschrijdt. Daaro breken de vezels individueel, na elkaar, en zijn de breukplaatsen willekeurig verdeeld over de gehele inspanlengte: de breukzone valt saen et de inspanlengte. De bundelsterkte is door dat proces beduidend kleiner dan de so van de sterkten van de azonderlijke vezels. In ig..8 wordt dat gedeonstreerd aan de hand van het geval van een 'bundel' van twee vezels. Als de eerste vezel bezwijkt, zal de tweede vezel bij een trekproe et een continu toeneende kracht oniddellijk ook bezwijken (traject a), aar bij een trekproe et continu toeneende verlenging verder worden uitgerekt tot zijn eigen breukrek is bereikt (traject b). Indien de bundel vezels geïpregneerd is et een kunststo, wordt door deze atrix verhinderd dat de vezels onahankelijk van elkaar worden belast. Terwijl van een azonderlijke vezel het ene lengtesegent bij dezelde kracht eer uitrekt dan het andere ('dunnere en dikkere doorsneden'), ondergaan in een geïpregneerde bundel de vezels tussen twee dwarsdoorsneden dezelde verlenging. De breukplaats wordt bepaald door de zwakste bundeldoorsnede; de breukzone is zeer kort van lengte. Op grond daarvan is de treksterkte van de geïpregneerde bundel aanzienlijk groter dan die van de bundel in niet-geïpregneerde toestand en ook groter dan de so van de treksterkten van de vezels.

25 . INLEIDING 5 Gezien het in dit interezzo gestelde is het voor het toepassen van orule (.8) noodzakelijk voor s t de treksterktewaarde in te vullen die wordt geeten aan een geïpregneerde bundel. Gewoonlijk wordt door de abrikant deze sterktewaarde opgegeven. Overigens treedt ook bij de geïpregneerde bundel het lengte-eect op. De longitudinale druksterkte, s Lc (subscript c van copressie), is eestal lager dan de longitudinale treksterkte, absoluut gezien. Van de longitudinale elasticiteitsodulus ag in het algeeen worden verondersteld dat hij voor druk dezelde waarde heet als voor trek. Maar de vezels kunnen bij longitudinale druk uitknikken in de relatie slappe atrix, en koolsto- en araidevezels kunnen daarenboven nog inwendig stuik en knik vertonen. Trek- en druksterkte in transversale richting worden vooral door de atrix bepaald. Vanwege de hoge stijheid van de vezels oet bij transversale trek de verlenging in die richting praktisch geheel worden opgebracht door de atrix. Beschouw een eenheidscel et twee helten van cirkelvorige vezeldoorsneden die door repetitie uitgroeit tot een vierkant rooster et ronde vezeldoorsneden (zie ig..9). Bij trek in de richting van de verbindingslijn tussen de vezeliddens zullen de grensvlakken van de eenheidscel loodrecht op de trekrichting parallel blijven vanwege syetrie. Met het gevolg, dat zich in het atrixbruggetje tussen de twee vezels in trekrichting een sterke rekconcentratie voordoet. (Vaak wordt over spanningsconcentratie gesproken, aar hier is rekconcentratie eer op zijn plaats.) De vervoringstoestand in dat bruggetje is bepalend voor de transversale treksterkte van het u.d. ateriaal, odat hier veel eerder de grenswaarde van de vervoring van de atrix wordt bereikt dan in het doorlopende atrixgebied langs de vezeldoorsneden. l b - l l b b l >> a - la Æ eb >> e a Æ stt << st. (.9) l a Bijgevolg is de transversale treksterkte van het u.d. ateriaal, s Tt, aanerkelijk kleiner dan de treksterkte s t van de atrix. s T t s T t l b l b l a l a Fig..9. Rekconcentratie in het atrixbruggetje tussen twee vezels bij transversale trekbelasting van u.d. vvk.

26 6 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP Het zal duidelijk zijn dat hechting tussen vezel en atrix een belangrijke rol speelt bij diverse bezwijkechanisen. Door een zorgvuldige keuze van op elkaar agestede coponenten en een goede uitvoering van het vervaardigingsproces is een zodanige hechting te verwezenlijken, dat niet onthechting aar atrixsterkte bepalend is voor de transversale sterkte-eigenschappen van de vvk. Bij transversale druk treedt een ander bezwijkechanise op, naelijk aschuiving in vlakken evenwijdig aan de vezels die een hoek van +/- 45º aken et de drukrichting. (Zie ig..0.) In die vlakken is de schuispanning het hoogst. Het is de atrix die door aschuiving bezwijkt. Odat bij druk van een kunststo staa eenzelde bezwijkechanise optreedt aschuiving van de kunststo is de transversale druksterkte van het u.d. ateriaal, s Tc, ongeveer gelijk aan de druksterkte s c van de atrix. s Tc ª s. (.0) c s T c Fig..0. Transversale druk bij u.d. vvk. De schuispanning is axiaal in vlakken die een hoek van +/- 45 aken et die lijnspanningsrichting. s T c Ook de longitudinaal-transversale aschuisterkte in een vlak evenwijdig aan de vezels wordt gedoineerd door de aschuisterkte van de atrix. Zie ig..(a). Er treedt breuk op door aschuiving van de atrix evenwijdig aan de vezels. In het transversale vlak heerst dezelde schuispanning, aar de vezeldoorsneden daarin verhinderen de aschuiving. In de praktijk wordt deze aschuisterkte geeten aan een korte u.d. proestaa et vierkante dwarsdoorsnede. De staa wordt getest et een driepunts buigproe et korte opleglengte (ig..). Door de dwarskracht ontstaat er over de dwarsdoorsnede een parabolisch schuispanningsverloop, et een axiu in het idden onder het iddelste drukpunt. Daar bezwijkt de staa door aschuiving in het iddenvlak. De zo bepaalde longitudinaal-transversale aschuisterkte (Eng. ILSS: interlainar shear strength) volgt uit de orule: F slt = 3 ax. (.) 4bh

27 . INLEIDING 7 (a) (b) Fig... Bijzondere schuispanningen bij u.d. vvk. (a) Longitudinaaltransversale schuispanning (de evenwijdige lijnen geven de vezelrichting aan). (b) Transversale schuispanning. Hierin zijn b en h respectievelijk breedte en dikte (hoogte) van de staadoorsnede; in het geval van een vierkante doorsnede zijn deze vanzelsprekend aan elkaar gelijk. Bij aschuiving in het transversale vlak werken de schuispanningen in vlakken evenwijdig aan de vezels. Zie ig..(b). Odat het bezwijkechanise dan ongeveer gelijk zal zijn aan dat bij longitudinaal-transversale aschuiving, zal de bijbehorende transversale aschuisterkte in de buurt liggen van de longitudinaaltransversale aschuisterkte. Wel zullen de vezels hier eerder een obstakel voren tegen aschuiving odat de schuispanning loodrecht op de vezels staat. Maar de breuk kan ook nu, o de vezels heen, uitsluitend door de atrix lopen. a F h F a F b dsn. a-a t 3F t ax = 4bh t Fig... Driepunts buigproe van u.d. vvk et korte opleglengte ter bepaling van de interlainaire aschuisterkte.

28 8 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP Het is in de praktijk niet verantwoord a te gaan op voorspelde sterktewaarden. Voor sterkteberekeningen aan vvk producten dient te worden uitgegaan van experientele gegevens. Verder zal het noodzakelijk zijn prototypen, zo ogelijk op ware grootte, eventueel in het laboratoriu, aar dan wel liest onder praktijkostandigheden, uitgebreid te beproeven. Denk daarbij ook aan de invloed van tijd, teperatuur, vochtigheid, straling, etc..7. Speciieke stijheid en speciieke sterkte Een belangrijk arguent voor het gebruik van vvk is het kunnen creëren van een lichte constructie. De ogelijkheid daartoe wordt vaak gestaad door waarden voor de speciieke stijheid en de speciieke sterkte. O het begrip speciieke stijheid nader te bekijken, worden twee cilindrische staven van verschillend ateriaal, onderscheiden et de subscripts en, et elkaar vergeleken. Aan deze staven wordt de eis gesteld, dat ze onder invloed van eenzelde kracht F in lengterichting dezelde rek e vertonen. Als A de oppervlakte van de staadoorsnede is en E de elasticiteitsodulus van het ateriaal, dan geldt voor spanning en rek: F s F s = ; e = =. (a) A E EA De gestelde eis resulteert in een gelijke trekstijheid EA. A E EA = EA Æ =. (b) A E De zwaarte van een staa kan worden uitgedrukt in de assa per lengte-eenheid, l, lineïeke assa genoed. Als r de voluieke assa is van het ateriaal, dan geldt: l = ra. (.) De lineïeke assa s van de staven verhouden zich dan tot elkaar als: l ra re = = = l r A r E E E r. (.3) r Dus, hoe groter de speciieke elasticiteitsodulus E / r van het ateriaal is, des te lichter zal de staa zijn voor eenzelde trekstijheid. Een andere eis voor de vergelijking van twee staven kan zijn dat ze bezwijken bij dezelde grootte van de trekkracht. Als s t de treksterkte is, dan is de trekkracht bij breuk gelijk aan: Ftb = st A. (c) Uit de gestelde eis volgt: A st Ftb= Ftb Æ sta = st A Æ =. (d) A st De lineïeke assa s van de staven verhouden zich dan tot elkaar als: l ra rst st r = = =. (.4) l ra rst st r In woorden: hoe groter de speciieke treksterkte s t / r van het ateriaal is, des te lichter zal de staa zijn voor eenzelde trekkracht bij breuk.

29 . INLEIDING 9 In de volgende paragraa zal worden ingegaan op werkelijk haalbare waarden..8. Reële waarden voor stijheid en sterkte van vezelversterkte kunststoen Materiaaleigenschappen zijn eestal ahankelijk van de ogeving, van de condities waaronder deze eigenschappen zich aniesteren. Bij kunststoen zijn dat allereerst de atoserische condities, zoals luchtteperatuur en (relatieve) luchtvochtigheid (r.h.: relative huidity). De versterkingsvezels glas, koolsto en araide zijn daarvoor inder gevoelig. Maar dat neet niet weg, dat interlaboratoriuproeven onder geconditioneerde ostandigheden dienen te worden verricht. Voor kunststoen: 3 C en 50 % r.h. Proeven o reële ateriaalgegevens die bruikbaar zijn voor constructieberekeningen, te verkrijgen, vragen evenzo o nauwkeurig vastgelegde condities, zij het dan vaak o in het laboratoriu nagebootste praktijkostandigheden. Niet alleen de airconditioning, aar ook andere testvoorwaarden spelen een belangrijke rol. Nee een trekproe o de stijheid en sterkte van een vezel te bepalen. Dan blijken inspanlengte en treksnelheid (niet in absolute zin, aar relatie, dus in procenten rek per tijdseenheid) van grote invloed te zijn op de eetresultaten. Een hoge treksnelheid (zoals bij ipact) levert aanzienlijk hogere waarden voor odulus en treksterkte dan een standaard treksnelheid. O te kunnen couniceren is het noodzakelijk standaard testethoden te gebruiken, aar voor speciieke toepassingen is het eveneens noodzakelijk de invloed van awijkende ostandigheden op het gedrag van het ateriaal kwantitatie te kennen. In par..6 is al aandacht besteed aan de invloed van de hars op de sterkte van een vezelbundel, waarbij vooral is gekeken naar de rol van de inspanlengte (weakest link theory) en de verkleining van de lengte van de breukzone door de hars. Er zijn echter ook andere ysische redenen voor het versterkend eect van de hars: de hars beschert de brosse ilaenten (inder spanningsconcentratie bij de haarscheurtjes Eng. laws in de ilaenten, vooral bij glas), en bij ilaentbreuk leidt de hars iddels schuispanning kracht in bij de ilaenteinden, zodat de gebroken ilaent op enige astand van de breukplaats weer volledig bijdraagt aan het opneen van de belasting (de invloedszone van een ilaentbreuk is klein; daaro blijt de breukzone ook zo kort). Op grond van al deze overwegingen is het gewenst stijheid en sterkte van versterkingsvezels te eten aan verstijde (d.w.z. in hars gedrenkte en uitgeharde) ilaentbundels, et toerekening aan de ilaenten. Het verdient dan verder de voorkeur o in de engselregels (.3) voor de longitudinale odulus en (.8) voor de longitudinale treksterkte de bijdrage van de kunststo atrix te verwaarlozen. Glasvezels Het hoodbestanddeel van glas is Si-oxyde (kwarts). Daarin kunnen diverse andere oxyden worden bijgeengd, zoals die van B, Al, Na, K, Ca en Mg, waaree de eigenschappen van het glas worden beïnvloed. Op die anier zijn eerdere glasvezelsoorten ontwikkeld, die ter onderscheiding een (hood)letteraanduiding hebben eegekregen.

30 0 VEZELVERSTERKTE KUNSTSTOFFEN MECHANICA en ONTWERP De verreweg het eest toegepaste glasvezel is de E-glasvezel. Deze glassoort was oorspronkelijk bedoeld voor elektrotechnische doeleinden, et nae vanwege zijn elektrisch isolerend verogen. Hij is daaro dan ook ar aan K en Na, die anders aan het oppervlak in cobinatie et water voor geleiding zouden zorgen. De saenstelling van E-glas en enkele andere glasvezel-soorten staan vereld in tabel.. Voor E-glas blijkt de saenstelling qua verhouding niet zo kritisch te zijn: daaro is de saenstelling in ranges gegeven. glastypen E-glas (range) C-glas S-glas bestanddelen [assaprocenten] SiO Al O B O ,5 MgO CaO Na O 0-3* 8 K O 0,5 Fe O 3 0,05-0,4 F 0-0,5 TiO 0-0,4 *incl. K O. Tabel.. Cheische saenstelling van de eest toegepaste glasvezel-soorten, weergegeven in procenten van de assa. C-glas heet een relatie hoge cheische bestendigheid en wordt daaro in de vor van een oppervlaktevlies gebruikt als barrière tegen een agressie ediu ter beschering van het achterliggende lainaat et E-glasvezels. S-glas heet een (relatie) zeer hoge sterkte, aar het is door hoge abricagekosten duur en kot daaro alleen voor speciale toepassingen in aanerking. De D-glasvezel is een voorbeeld van een vezel die voor een speciaal doel is ontwikkeld. Vanwege zijn goede eigenschappen ten aanzien van radarstralen en zijn lage voluieke assa is hij geschikt voor radoes. In tabel. staan enkele eigenschappen et de nadruk op de echanische van E- glasvezels en S-glasvezels naast die van enkele koolstovezel-soorten en een araidevezel. Vooral glas is zeer gevoelig voor (haar)scheurtjes aan de oppervlakte. Ter illustratie daarvan staan in de tabel ook de praktisch niet bruikbare waarden voor treksterkte en breukrek van de aagdelijke (Eng. virgin) vezels.

Verslag practicum composieten Kevin Kanters & Bastiaan de Jager. Inhoudsopgave

Verslag practicum composieten Kevin Kanters & Bastiaan de Jager. Inhoudsopgave Inhoudsopgave 1. Inleiding. 3 2. Trekstaven. 4 2.1. Berekeningen trekstaven. 4 2.2. Meetresultaten trekstaven. 7 3. Buigbalken. 8 3.1. Berekeningen buigbalken. 8 3.2. Meetresultaten buigbalken. 10 4. Coposiet

Nadere informatie

Vezelversterkte kunststoffen. Mechanica en ontwerp

Vezelversterkte kunststoffen. Mechanica en ontwerp Vezelversterkte kunststoffen Mechanica en ontwerp Vezelversterkte kunststoffen Mechanica en ontwerp.h.j. Nijhof VSSD VSSD Eerste druk 2004-2006 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 C Delft,

Nadere informatie

9 Stugheid en sterkte van materialen.

9 Stugheid en sterkte van materialen. 9 Stugheid en sterkte van aterialen. Onderwerpen: - Rek. - Spanning. - Elasticiteitsodulus. - Treksterkte. - Spanning-rek diagra. 9.1 Toepassing in de techniek. In de techniek ko je allerlei opstellingen

Nadere informatie

Van aardgas naar methanol

Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol Van aardgas naar methanol J.A. Wesselingh G.H. Lameris P.J. van den Berg A.G. Montfoort VSSD 4 VSSD Eerste druk 1987, 1990, 1992, 1998, licht gewijzigd 2001 Uitgegeven door: VSSD

Nadere informatie

Tentamen MATERIAALKUNDE I, code

Tentamen MATERIAALKUNDE I, code Universiteit Tente Faculteit der Construerende Technische Wetenschappen Vakgroep Productietechniek ateriaalkundig Laboratoriu Agricola Tentaen ATRIAALKUND I, code 11505 1 augustus 007, 13.30-17.00 uur

Nadere informatie

General tolerances - Part 1 : Tolerances for linear and angular dimensions without individual tolerance indications. Inleiding

General tolerances - Part 1 : Tolerances for linear and angular dimensions without individual tolerance indications. Inleiding UDC 21.75.1:744.4 Algeene toleranties Deel 1: Toleranties voor lineaire en hoekaten zonder azonderlijke tolerantieen General tolerances - Part 1 : Tolerances or linear and angular diensions without individual

Nadere informatie

Stabiliteit voor ontwerpers

Stabiliteit voor ontwerpers Stabiliteit voor ontwerpers Stabiliteit voor ontwerpers D. Dicke VSSD VSSD Eerste druk 1991 Tweede druk 1994-2005 Uitgegeven door VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27

Nadere informatie

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- AT1 - OPGAVEN en UITWERKINGEN 1/10

Mechanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- AT1 - OPGAVEN en UITWERKINGEN 1/10 VAK: echanica - Sterkteleer HWTK Set Proeftoets - AT echanica - Sterkteleer - HWTK PROEFTOETS- AT - OPGAVEN en UITWERKINGEN / DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAA EN LEERLINGNUER! Beschikbare tijd: inuten

Nadere informatie

b Wat zijn de waarden van de hoofdspanningen in het kubusje? (zie figuur)

b Wat zijn de waarden van de hoofdspanningen in het kubusje? (zie figuur) Tentamen Materiaalmodellen en Niet-lineaire Mechanica docent: P.C.J. Hoogenboom 8 januari 2013, 18:00 tot 19:30 uur Toegestaan is gebruik van dictaat, aantekeningen, boeken, calculator en een laptop-computer

Nadere informatie

Inleiding Administratieve Organisatie. Opgavenboek

Inleiding Administratieve Organisatie. Opgavenboek Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek Inleiding Administratieve Organisatie Opgavenboek drs. J.P.M. van der Hoeven Vierde druk Stenfert Kroese, Groningen/Houten Wolters-Noordhoff bv voert

Nadere informatie

Opgave 1.2. Theorie: Blz. 37/38

Opgave 1.2. Theorie: Blz. 37/38 Ogave. Theorie: Blz. 7/8 Ti: Bereken P in uit orule (.60) door een bekend unt in te vullen. Bijvoorbeeld: T 00 7 K et de bekende druk P 0 Pa. Gegeven: L 4000 J/ol T gev 0 0 K R 8,47 J/ol,K Oloing: P (0

Nadere informatie

Betonstaal met betere aanhechting Afmetingen, massa, toelaatbare afwijkingen Algemene eisen

Betonstaal met betere aanhechting Afmetingen, massa, toelaatbare afwijkingen Algemene eisen D.C.: 669.14-422.1:691.328 Februari 1979 Betonstaal met betere aanhechting Afmetingen, massa, toelaatbare afwijkingen Algemene eisen EURONORM 82-79 Deel 1 Inhoud 1 TOEPASSINGSGEBIED 2 DEFINITIES 3 AANDUIDING

Nadere informatie

De trekproef. De trekproef - inleiding. De trekproef - inleiding. De trekproef - inleiding. Principe. Bepalen van materiaaleigenschappen

De trekproef. De trekproef - inleiding. De trekproef - inleiding. De trekproef - inleiding. Principe. Bepalen van materiaaleigenschappen De trekproef Principe Materiaal inklemmen tussen klemmen welke met een constante snelheid uit elkaar bewegen Hoe belangrijk is het om materiaaleigenschappen te kennen? Uitvoering: volgens genormaliseerde

Nadere informatie

Prof. Margriet Van Bael STUDENTNR:... Conceptuele Natuurkunde met technische toepassingen. Deel OEFENINGEN

Prof. Margriet Van Bael STUDENTNR:... Conceptuele Natuurkunde met technische toepassingen. Deel OEFENINGEN FEB Exaen D0H1A 7/01/014 NAAM... Prof. Margriet Van Bael Conceptuele Natuurkunde et technische toepassingen Deel OEFENINGEN Instructies voor studenten Noteer je identificatiegegevens (naa, studentennuer)

Nadere informatie

Cultuur telt: sociologische opstellen voor Leo d Anjou

Cultuur telt: sociologische opstellen voor Leo d Anjou Cultuur telt: sociologische opstellen voor Leo d Anjou Cultuur telt: sociologische opstellen voor Leo d Anjou Dick Houtman, Bram Steijn en John van Male redactie Shaker Publishing BV Maastricht Copyright

Nadere informatie

Onderzoek als project

Onderzoek als project Onderzoek als project Onderzoek als project Met MS Project Ben Baarda Jan-Willem Godding Eerste druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten Ontwerp omslag: Studio Frank & Lisa, Groningen Omslagillustratie:

Nadere informatie

* * Europese Stichting tot verbetering van de levens- en arbeidsomstandigheden. van. arbeidsrecht. arbeidsverhoudingen

* * Europese Stichting tot verbetering van de levens- en arbeidsomstandigheden. van. arbeidsrecht. arbeidsverhoudingen m * * Europese Stichting tot verbetering van de levens- en arbeidsomstandigheden L E X I C O N van arbeidsrecht en arbeidsverhoudingen ** k EUR op ir EUROPESE STICHTING TOT VERBETERING VAN DE LEVENS- EN

Nadere informatie

STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT02 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc 1/11

STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT02 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc 1/11 VAK: Stooturbines A Set Proeftoets AT0 STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT0 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc / IT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Beschikbare tijd: 00 inuten Uw naa:...

Nadere informatie

Vraagstukken Thermodynamica W. Buijze H.C. Meijer E. Stammers W.H. Wisman

Vraagstukken Thermodynamica W. Buijze H.C. Meijer E. Stammers W.H. Wisman Vraagstukken Thermodynamica W. Buijze H.C. Meijer E. Stammers W.H. Wisman VSSD VSSD Eerste druk 1989 Vierde druk 1998, verbeterd 2006-2010 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The

Nadere informatie

Gemeente Amsterdam Gemeenteraad Gemeenteblad Voordracht voor de raadsvergadering van <datum onbekend>

Gemeente Amsterdam Gemeenteraad Gemeenteblad Voordracht voor de raadsvergadering van <datum onbekend> Geeenteblad Voordracht voor de raadsvergadering van Jaar Publicatiedatu Agendapunt besluit B&W Onderwerp Vaststellen van de Verordening interferentiegebieden bodeenergiesysteen 24 Tekst van openbare besluiten

Nadere informatie

Grafentheorie voor bouwkundigen

Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen Grafentheorie voor bouwkundigen A.J. van Zanten Delft University Press CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Zanten, A.J. van Grafentheorie voor bouwkundigen /

Nadere informatie

Notities College Gecondenseerde Materie Elektronen in kristallen I: Klassiek vrije elektronengas, Drude model:

Notities College Gecondenseerde Materie Elektronen in kristallen I: Klassiek vrije elektronengas, Drude model: Notities College Gecondenseerde Materie Elektronen in kristallen I: Klassiek vrije elektronengas, Drude odel Elektronen in kristallen, ofwel elektronenstructuur, tegenhanger van de geoetrische structuur.

Nadere informatie

Langere vraag over de theorie

Langere vraag over de theorie Langere vraag over de theorie (a) Magnetisch dipooloent Zoals het elektrisch dipooloent is het agnetisch dipooloent een vectoriële grootheid. Het agnetisch dipooloent wordt gedefinieerd voor een gesloten

Nadere informatie

3. Beschouw een zeer goede thermische geleider ( k ) in de vorm van een cilinder met lengte L en straal a

3. Beschouw een zeer goede thermische geleider ( k ) in de vorm van een cilinder met lengte L en straal a 1. Op een vierkantig substraat bevinden zich 4 IC s (warmtebronnen), zoals op de bijgevoegde figuur. Als een van de warmtebronnen een vermogen van 1W dissipeert als warmte (en de andere geen vermogen dissiperen),

Nadere informatie

m = = ρ ρ V V V V R4 m in kg en V in m 3 hoort bij ( coherent) ρ in kg/m 3 m in g en V in ml hoort bij ( coherent) ρ in g/ml

m = = ρ ρ V V V V R4 m in kg en V in m 3 hoort bij ( coherent) ρ in kg/m 3 m in g en V in ml hoort bij ( coherent) ρ in g/ml Reflectievraen versie 21 Per edachte..1 R1 R2 1 d is elijk aan 1 c en daaro heb je de nijin te zeen dat 1 k/d elijk is aan 1 k/c. Het is dus eienlijk eer slordiheidsfout dan een denkfout. Model: 1 k/d

Nadere informatie

2. Vind een configuratie voor een lens-geleiding die aan de specificaties kan voldoen. Geef deze configuratie weer in voldoende schetsen.

2. Vind een configuratie voor een lens-geleiding die aan de specificaties kan voldoen. Geef deze configuratie weer in voldoende schetsen. Uitwerking van de ontwerpopdracht Constructieprincipes door: Anton Verbruggen. 1. Welke coördinaten oeten worden vastgelegd. Alle behalve de z-as. Overigens ga ik ervan uit een zeer geringe rotatie o de

Nadere informatie

Belastingwetgeving 2015

Belastingwetgeving 2015 Belastingwetgeving 2015 Opgaven Niveau 5 MBA Peter Dekker RA Ludie van Slobbe RA Uitgeverij Educatief Ontwerp omslag: www.gerhardvisker.nl Ontwerp binnenwerk: Ebel Kuipers, Sappemeer Omslagillustratie:

Nadere informatie

: Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. : Het tentamen bestaat uit 3 bladzijden inclusief dit voorblad.

: Vermeld op alle bladen van uw werk uw naam. : Het tentamen bestaat uit 3 bladzijden inclusief dit voorblad. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica Materiaalmodellen en niet-lineaire mechanica docent : dr. ir. P.C.J. Hoogenboom

Nadere informatie

Hygroscopische eigenschappen

Hygroscopische eigenschappen 2013/12 Hout Hygroscopische eigenschappen Hout en vocht Hout is een natuurproduct dat na droging en verwerking gevoelig blijft voor vocht. Dit betekent dat het kan uitzetten en krimpen. Gebeurt dit ongelijkmatig,

Nadere informatie

Tentamen Materiaalmodellen en Niet-lineaire Mechanica Docent: P.C.J. Hoogenboom 29 mei 2012, 18:00 tot 19:30 uur. Vraagstuk 1 (30 minuten, 3 punten)

Tentamen Materiaalmodellen en Niet-lineaire Mechanica Docent: P.C.J. Hoogenboom 29 mei 2012, 18:00 tot 19:30 uur. Vraagstuk 1 (30 minuten, 3 punten) Tentamen Materiaalmodellen en Niet-lineaire Mechanica Docent: P.C.J. Hoogenboom 29 mei 2012, 18:00 tot 19:30 uur. Vraagstuk 1 (30 minuten, 3 punten) Een gewapend betonnen constructiedeel heeft in een maatgevend

Nadere informatie

STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT01 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc 1/13

STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT01 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc 1/13 VAK: Stooturbines A Set Proeftoets AT0 STOOMTURBINES - A - PROEFTOETS- AT0 - OPGAVEN EN UITWERKINGEN.doc /3 DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER! Bescikbare tijd: 00 inuten Uw naa:...

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Hout. Houteigenschappen 2013/12

Hout. Houteigenschappen 2013/12 2013/12 Hout Houteigenschappen Hout is een natuurproduct. Elke houtsoort heeft zijn eigen unieke eigenschappen. Deze eigenschappen kunnen echter per soort enigszins variëren. Om tot optimaal gebruik en

Nadere informatie

Serie: Elementaire theorie accountantscontrole. Auditing & Assurance: Bijzondere opdrachten. Hoofdredactie Prof. dr. G.C.M.

Serie: Elementaire theorie accountantscontrole. Auditing & Assurance: Bijzondere opdrachten. Hoofdredactie Prof. dr. G.C.M. Serie: Elementaire theorie accountantscontrole Auditing & Assurance: Bijzondere opdrachten Hoofdredactie Prof. dr. G.C.M. Majoor RA Auteurs Drs. B.A. Heikoop-Geurts RA M.J.Th. Mooijekind RA Drs. H.L. Verkleij

Nadere informatie

Wat je moet weten over klimaatinstallaties

Wat je moet weten over klimaatinstallaties Wat je moet weten over klimaatinstallaties Het hoe en waarom van klimaatinstallaties in een notendop Philomena M. Bluyssen COLOFON Tekst Deze gids is geschreven door Philomena M. Bluyssen van de Technische

Nadere informatie

PT Mechatronica. Ontwerpopdracht Constructie Principes

PT Mechatronica. Ontwerpopdracht Constructie Principes PT Mechatronica Ontwerpopdracht Constructie Principes Project PT Mechatronica (-) Auteur(s) P.C.Horsan Datu Titel Ontwerpopdracht Constructie Principes ID CP- Status Filenaa cp final.doc Versie 0. Afgedrukt

Nadere informatie

Financiële rapportage en analyse MBA

Financiële rapportage en analyse MBA Financiële rapportage en analyse MBA Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren UITWERKINGEN Tweede druk Financiële rapportage en analyse Uitwerkingen Financiële rapportage en analyse Uitwerkingen Henk Fuchs Sarina

Nadere informatie

Gebuikershandleiding bordes HANDLEIDING. Standaard laadbordes

Gebuikershandleiding bordes HANDLEIDING. Standaard laadbordes Laadbordes HANDLEIDING Standaard laadbordes 2008 Bomecon, Nijkerk, Nederland. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand,

Nadere informatie

Fiscale Jaarrekening. Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN. Tweede druk

Fiscale Jaarrekening. Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN. Tweede druk Fiscale Jaarrekening Henk Fuchs Yvonne van de Voort UITWERKINGEN Tweede druk Fiscale jaarrekening Uitwerkingen opgaven Fiscale jaarrekening Uitwerkingen opgaven Henk Fuchs Yvonne van de Voort Tweede

Nadere informatie

opgaven- en werkboek GECONSOLIDEERDE JAARREKENING Henk Fuchs 1e druk

opgaven- en werkboek GECONSOLIDEERDE JAARREKENING Henk Fuchs 1e druk opgaven- en werkboek Henk Fuchs GECONSOLIDEERDE JAARREKENING 1e druk Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Geconsolideerde jaarrekening Opgaven- en werkboek Henk Fuchs Eerste druk Noordhoff

Nadere informatie

Copyright SBR, Rotterdam

Copyright SBR, Rotterdam Copyright SBR, Rotterdam Vervormingen in gevelconstructies Vermijden van schade Copyright SBR, Rotterdam Copyright SBR, Rotterdam Vervormingen in g'evelconstructies Vermijden van schade 68 Stichting Bouwresearch

Nadere informatie

Basisstudie in het boekhouden

Basisstudie in het boekhouden OPGAVEN Basisstudie in het boekhouden M.H.A.F. van Summeren, P. Kuppen, E. Rijswijk Zevende druk Basisstudie in het boekhouden Opgavenboek Opgavenboek Basisstudie in het boekhouden M.H.A.F. van Summeren

Nadere informatie

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003

www.dubbelklik.nu Handleiding Paint 2003 Handleiding Paint 2003 www.dubbelklik.nu Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand dan wel openbaar gemaakt in enige

Nadere informatie

De basis van het Boekhouden

De basis van het Boekhouden De basis van het Boekhouden Werkboek Niveau 3 BKB/elementair boekhouden Hans Dijkink de basis van het boekhouden Niveau 3 BKB/elementair boekhouden Werkboek Hans Dijkink Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik

Nadere informatie

Aan de slag. Handleiding Voorraadbeheer

Aan de slag. Handleiding Voorraadbeheer Aan de slag in beroep en bedrijf Handleiding Voorraadbeheer februari 2007 Branche Uitgevers 1 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd

Nadere informatie

Wat je moet weten over binnenlucht

Wat je moet weten over binnenlucht Wat je moet weten over binnenlucht een eenvoudige gids om jezelf te leren je binnenmilieu te verbeteren Philomena M. Bluyssen COLOFON Tekst Deze gids is geschreven door Philomena M. Bluyssen van de Technische

Nadere informatie

Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010. 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012

Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010. 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012 Auteur boek: Vera Lukassen Titel boek: Visio 2010 2011, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: maart 2012 ISBN: 978-90-817910-1-4 Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet

Nadere informatie

Meetonzekerheid bij de bepaling van de dichtheid van een cent

Meetonzekerheid bij de bepaling van de dichtheid van een cent Novubandproef 4-M01 ersie 0.1 Len 2010 Meetonzekerheid bij de bepalin van de dichtheid van een cent (bij Systeatische natuurkunde wo4 1.6) Benodid ateriaal: Hollandse cent, of eventueel een ander untstuk

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica

Nadere informatie

BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE DRAAD met hoge ductiliteit

BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE DRAAD met hoge ductiliteit OCBS Vereniging zonder winstoogmerk Keizerinlaan 66 B 1000 BRUSSEL www.ocab-ocbs.com TECHNISCHE VOORSCHRIFTEN PTV 302 Herz. 7 2015/6 PTV 302/7 2015 BETONSTAAL GERIBDE en GEDEUKTE STAVEN GERIBDE en GEDEUKTE

Nadere informatie

Jaarrekening. Henk Fuchs OPGAVEN- EN WERKBOEK. Tweede druk

Jaarrekening. Henk Fuchs OPGAVEN- EN WERKBOEK. Tweede druk Jaarrekening Henk Fuchs OPGAVEN- EN WERKBOEK Tweede druk Jaarrekening Opgaven- en werkboek Jaarrekening Opgaven- en werkboek Henk Fuchs Tweede druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten Opmaak binnenwerk:

Nadere informatie

Handleiding Eetmeter. Aan de slag. in beroep en bedrijf. Handleiding Eetmeter. februari 2007

Handleiding Eetmeter. Aan de slag. in beroep en bedrijf. Handleiding Eetmeter. februari 2007 Aan de slag in beroep en bedrijf februari 2007 Branche Uitgevers 1 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand dan wel

Nadere informatie

Bedrijfsadministratie

Bedrijfsadministratie Bedrijfsadministratie Opgaven Niveau 5 MBA Peter Kuppen Frans van Luit Bedrijfsadministratie MBA Niveau 5 Opgaven Opgaven Bedrijfsadminstratie MBA Niveau 5 P. Kuppen F. van Luit Eerste druk Noordhoff

Nadere informatie

Fase A. Jij de Baas. Gids voor de Starter. 2012 Stichting Entreprenasium. Versie 1.2: november 2012

Fase A. Jij de Baas. Gids voor de Starter. 2012 Stichting Entreprenasium. Versie 1.2: november 2012 N W O Fase A Z Jij de Baas Gids voor de Starter Versie 1.2: november 2012 2012 Stichting Entreprenasium Inleiding 2 School De school Inleiding 2 Doelen 3 Middelen 4 Invoering 5 Uitvoering 6 Jij de Baas:

Nadere informatie

De Kern van Veranderen

De Kern van Veranderen De Kern van Veranderen #DKVV De kern van veranderen marco de witte en jan jonker Alle rechten voorbehouden: niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand,

Nadere informatie

Integrale Plananalyse van Gebouwen Doel, methoden en analysekader

Integrale Plananalyse van Gebouwen Doel, methoden en analysekader boektitel Integrale Plananalyse van Gebouwen Doel, methoden en analysekader Voorwoord Integrale Plananalyse van Gebouwen Doel, methoden en analysekader onder redactie van: Theo van der Voordt Hielkje

Nadere informatie

Belastingwetgeving 2015

Belastingwetgeving 2015 Belastingwetgeving 2015 Opgaven Niveau 5 MBA Peter Dekker RA Ludie van Slobbe RA Uitgeverij Educatief Belastingwetgeving Opgaven Niveau 5 MBA Peter Dekker RA Ludie van Slobbe RA Eerste druk Uitgeverij

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Zevende, herziene druk, derde oplage Illustraties Richard Flohr. C.E. Zegwaart-Braam

Zevende, herziene druk, derde oplage Illustraties Richard Flohr. C.E. Zegwaart-Braam verzorging/biologie 1 Zevende, herziene druk, derde oplage 2010 Illustraties Richard Flohr C.E. Zegwaart-Braam ISBN 978-90-76612-84-3 Spondi, Didam, The Netherlands Alle rechten voorbehouden. Niets uit

Nadere informatie

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Hoofdstuk 1 : Krachten, spanningen en rekken Voorbeeld 1.1 (p. 11) Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten

Nadere informatie

7. COMPAROLOGIE IN DE MARITIEME TECHNIEK

7. COMPAROLOGIE IN DE MARITIEME TECHNIEK 7. COMPAROOGIE IN DE MARITIEME TECHNIEK Exerienteel onderzoek kan worden gescheiden in twee tyen onderzoek. Het eerste is het zogenaade directe onderzoek. Hierbij wordt het te onderzoeken roblee o het

Nadere informatie

Auteurs boek: Vera Lukassen en René Valster Titel boek: Basis Computergebruik Versies: Windows 7 & Windows 8

Auteurs boek: Vera Lukassen en René Valster Titel boek: Basis Computergebruik Versies: Windows 7 & Windows 8 Auteurs boek: Vera Lukassen en René Valster Titel boek: Basis Computergebruik Versies: Windows 7 & Windows 8 2014, Serasta Uitgegeven in eigen beheer info@serasta.nl Eerste druk: Augustus 2014 ISBN: 978-94-91998-03-4

Nadere informatie

Basiskennis Calculatie

Basiskennis Calculatie Basiskennis Calculatie Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren UITWERKINGEN Derde druk Basiskennis Calculatie Uitwerkingen Basiskennis Calculatie Uitwerkingen Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren Derde druk Noordhoff

Nadere informatie

Het meten met Multimeters.

Het meten met Multimeters. School voor Luchtvaart Naa Student: en Mechatronica Klas: Praktijk Elektrotechniek: Datu: Practicu elektrootoren Koffer nuer: Het eten et Multieters. LET OP Het doel van deze oefening is het in de praktijk

Nadere informatie

Elementaire praktijk van de Financiering Werkboek

Elementaire praktijk van de Financiering Werkboek Elementaire praktijk van de Financiering Werkboek Niveau 4 PDB Mariëlle de Kock elementaire praktijk van de financiering Niveau 4 PDB Werkboek Mariëlle de Kock Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten Ontwerp

Nadere informatie

Basisvaardigheden rekenen voor de pabo

Basisvaardigheden rekenen voor de pabo Basisvaardigheden rekenen voor de pabo Basisvaardigheden rekenen voor de pabo Ed de Moor Willem Uittenbogaard Sieb Kemme eindredactie Noordhoff Uitgevers Groningen Houten Eventuele op- en aanmerkingen

Nadere informatie

Verzameling oud-examenvragen

Verzameling oud-examenvragen Verzameling oud-examenvragen Achim Vandierendonck Vraag 1 (6 punten) Beschouw een zeer goede thermische geleider (k ) in de vorm van een cilinder met lengte L en straal a 1. Rond deze geleider zit een

Nadere informatie

Bedrijfsadministratie MBA

Bedrijfsadministratie MBA Bedrijfsadministratie MBA Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren UITWERKINGEN Tweede druk Bedrijfsadministratie MBA Uitwerkingen Bedrijfsadministratie MBA Uitwerkingen Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren Tweede

Nadere informatie

Samenvatting. Samenvatting

Samenvatting. Samenvatting Samenvatting Het tablet is om vele redenen een populaire toedieningsvorm van geneesmiddelen. Het gebruikersgemak en het gemak waarmee ze grootschalig kunnen worden geproduceerd zijn slechts twee van de

Nadere informatie

Bedrijfsadministratie MBA

Bedrijfsadministratie MBA Bedrijfsadministratie MBA Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren OPGAVEN- EN WERKBOEK Tweede druk Bedrijfsadministratie MBA Opgaven- en werkboek Bedrijfsadministratie MBA Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren Tweede

Nadere informatie

Lastechnologie. G. den Ouden VSSD

Lastechnologie. G. den Ouden VSSD Lastechnologie Lastechnologie G. den Ouden VSSD 4 VSSD Eerste druk 1987 Derde druk 1993-2006 Uitgegeven door: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. + 31 15 2782124, telefax +31

Nadere informatie

Praktische toelichting op de UAV 2012

Praktische toelichting op de UAV 2012 Praktische toelichting op de UAV 2012 Praktische toelichting op de UAV 2012 prof. mr. dr. M.A.B. Chao-Duivis Eerste druk s-gravenhage - 2012 1 e druk ISBN 978-90-78066-56-9 NUR 822 2012, Stichting Instituut

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

Hou het eenvoudig Effectief communiceren in organisaties

Hou het eenvoudig Effectief communiceren in organisaties Hou het eenvoudig 30-09-2008 09:10 Pagina 1 Hou het eenvoudig Effectief communiceren in organisaties Hou het eenvoudig 30-09-2008 09:10 Pagina 2 Hou het eenvoudig 30-09-2008 09:10 Pagina 3 Arie Quik Hou

Nadere informatie

4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID

4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID 4.1.5 OPLOSSINGEN OEFENINGEN MASSADICHTHEID P Los de rekenvraastukken op een apart blad op volens de ethode Geeven Gevraad Oplossin Forule Berekenin Antwoord P P Soie vraastukken oet je in eerdere stappen

Nadere informatie

Bouwen in Beton BOUBIBdc1. Scheurvorming in beton Docent: M.Roos

Bouwen in Beton BOUBIBdc1. Scheurvorming in beton Docent: M.Roos Bouwen in Beton BOUBIBdc1 Scheurvorming in beton Docent: M.Roos Scheurvorming Toetsing scheurwijdte Stromingschema scheurwijdte Scheurvorming Op buiging belaste gewapende betonelementen scheuren onder

Nadere informatie

Elementaire praktijk van de Kostencalculatie Werkboek

Elementaire praktijk van de Kostencalculatie Werkboek Elementaire praktijk van de Kostencalculatie Werkboek Niveau 4 P Mariëlle de Kock elementaire praktijk van de kostencalculatie Niveau 4 (P) Werkboek Mariëlle de Kock Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten

Nadere informatie

Figuur 1: Overzicht spanningen éénzijdig verlopende doorsnede

Figuur 1: Overzicht spanningen éénzijdig verlopende doorsnede 1. Abstract In dit artikel wordt ingegaan op de spanningsverdeling in niet prismatische houten liggers met een éénzijdig verlopende doorsnede. Ten gevolge van niet evenwijdig aan de houtvezel verlopende

Nadere informatie

Uitwerking examen natuurkunde 2009 (tweede tijdvak) 1

Uitwerking examen natuurkunde 2009 (tweede tijdvak) 1 Uitwerking exaen natuurkunde 009 (tweede tijdvak) Opgave Optische uis. Teken eerst de verbindingslijn tussen de punten P en Q (lichtstraal in nevenstaande figuur). Deze rechte lijn is ongebroken en gaat

Nadere informatie

Informatieblad. NEN-EN 1303:2015 Hang- en sluitwerk - Cilinders voor sloten Samenvatting van de eisen en classificatiemethode

Informatieblad. NEN-EN 1303:2015 Hang- en sluitwerk - Cilinders voor sloten Samenvatting van de eisen en classificatiemethode Inforatieblad NEN-EN 1303:2015 Hang- en sluitwerk - Cilinders voor sloten Saenvatting van de eisen en classificatieethode VHS Inforatiebladen CILINDER TYPES Deze uitgave is onderdeel van een serie VHSpublicaties

Nadere informatie

Examen Klassieke Mechanica

Examen Klassieke Mechanica Examen Klassieke Mechanica Herbert De Gersem, Eef Temmerman 2de bachelor burgerlijk ingenieur en bio-ingenieur 14 januari 2008, academiejaar 07-08 NAAM: RICHTING: vraag 1 (/3) vraag 2 (/5) vraag 3 (/5)

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 3 Materialen

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 3 Materialen Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 3 Materi Samenvatting door een scholier 1210 woorden 6 april 2015 6,9 35 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Hoofdstuk 3: Materi Eigenschappen van moleculen: -Ze verschillen

Nadere informatie

Vervormingseigenschappen

Vervormingseigenschappen Vervormingseigenschappen Betonconstructies kunnen niet uitsluitend worden ontworpen op druk- en treksterkte. Vervormingen spelen ook een belangrijke rol, vooral doorbuiging. Beheersing van de vervorming

Nadere informatie

Gebruiksaanwijzing. Opstarten. Inhoud. Inzetten / Vervangen van Batterijen. Nederlands

Gebruiksaanwijzing. Opstarten. Inhoud. Inzetten / Vervangen van Batterijen. Nederlands Gebruiksaanwijzing ederlands De veiligheidsvoorschriften, saen et de gebruiksaanwijzing, dienen zorgvuldig te worden gelezen, voordat het product in gebruik wordt genoen. "Veiligheidsvoorschriften" nhoud

Nadere informatie

Bio-based brug Emmen

Bio-based brug Emmen Bio-based brug Emmen Durability van VVVK draagconstructies in een vochtige omgeving VVVK: Vlas Vezel Versterkte Kunststof Ir. P.G.F. Bosman Lectoraat Kunststof Technologie Duurzame brug Dichtheid geen

Nadere informatie

ZEN design line. ClimateCare van Mitsubishi Electric. Specificaties. Zen. Je voelt het verschil. by Mitsubishi Electric. Climate Control systemen

ZEN design line. ClimateCare van Mitsubishi Electric. Specificaties. Zen. Je voelt het verschil. by Mitsubishi Electric. Climate Control systemen liatecare van Mitsubishi Electric. de naa ZEN. De essentie van ZEN is ongehecht zijn ag gezien worden aar is subtiel en inialistisch waardoor het akkelijk geabsorbeerd wordt in de ruite. Uiteraard bent

Nadere informatie

Periodeafsluiting. Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren OPGAVEN- EN WERKBOEK. Tweede druk

Periodeafsluiting. Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren OPGAVEN- EN WERKBOEK. Tweede druk Periodeafsluiting Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren OPGAVEN- EN WERKBOEK Tweede druk Periodeafsluiting Opgaven- en werkboek Periodeafsluiting Opgaven- en werkboek Henk Fuchs Sarina van Vlimmeren Tweede

Nadere informatie

GEBRUIKERSHANDLEIDING

GEBRUIKERSHANDLEIDING GEBRUIKERSHANDLEIDING Hijsjuk BOMECON NIJKERK Telefoon: 033 2463200 Fax : 033 2460936 E-mail : info@bomecon.nl Website : www.bomecon.nl GEBRUIKERSHANDLEIDING Hijsjuk 2011 Bomecon, Nijkerk, Nederland. Alle

Nadere informatie

Projectalliantie. Procesinnovatie bij complexe bouwprojecten

Projectalliantie. Procesinnovatie bij complexe bouwprojecten Projectalliantie Procesinnovatie bij complexe bouwprojecten Omslag, The National Museum of Australia, Canberra, Australië, foto J.S.J. Koolwijk, 2003 Projectalliantie Procesinnovatie bij complexe bouwprojecten

Nadere informatie

Opgave 1. Voor de grootte van de magnetische veldsterkte in de spoel geldt: = l

Opgave 1. Voor de grootte van de magnetische veldsterkte in de spoel geldt: = l Opgave 1 Een kompasnaald staat horizontaal opgesteld en geeft de richting aan van de horizontale r component Bh van de magnetische veldsterkte van het aardmagnetische veld. Een spoel wordt r evenwijdig

Nadere informatie

Juridische handreiking relatie BIM-protocol en de DNR 2011 (voor adviseurs en opdrachtgevers) prof. mr. dr. M.A.B. Chao-Duivis

Juridische handreiking relatie BIM-protocol en de DNR 2011 (voor adviseurs en opdrachtgevers) prof. mr. dr. M.A.B. Chao-Duivis Juridische handreiking relatie BIM-protocol en de DNR 2011 (voor adviseurs en opdrachtgevers) prof. mr. dr. M.A.B. Chao-Duivis s-gravenhage, 2015 Omslagfoto Het voorbereiden van renovatiewerkzaamheden

Nadere informatie

Handleiding Sonus Communicator voor Rion NL-22 - NL-32

Handleiding Sonus Communicator voor Rion NL-22 - NL-32 versie: V1.0 projectnummer: 04023 datum: oktober 2004 Postbus 468 3300 AL Dordrecht 078 631 21 02 2004, Dordrecht, The Netherlands Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd,

Nadere informatie

Phydrostatisch = gh (6)

Phydrostatisch = gh (6) Proefopstellingen: Bernoulli-opstelling De Bernoulli-vergelijking (2) kan goed worden bestudeerd met een opstelling zoals in figuur 4. In de figuur staat de luchtdruk aangegeven met P0. Uiterst links staat

Nadere informatie

INSPECTIE BOUWKUNDIGE BRAND- VEILIGHEID Specifieke normen en verwijzingen

INSPECTIE BOUWKUNDIGE BRAND- VEILIGHEID Specifieke normen en verwijzingen INSPECTIE BOUWKUNDIGE BRAND- VEILIGHEID Specifieke normen en verwijzingen Publicatiedatum : 1 augustus 2014 Ingangsdatum : 1 augustus 2014 VOORWOORD Pagina 2/5 De Vereniging van Inspectie-instellingen

Nadere informatie

Niet-lineaire mechanica datum: Algemeen 2 Vraag 1 3 Vraag 2 8 Vraag 3 11 Vraag 4 14 Vraag 5 17 Vraag 6 19

Niet-lineaire mechanica datum: Algemeen 2 Vraag 1 3 Vraag 2 8 Vraag 3 11 Vraag 4 14 Vraag 5 17 Vraag 6 19 Naam: Patrick Damen Datum: 17 juni 2003 INHOUDSOPGAVE Algemeen 2 Vraag 1 3 Vraag 2 8 Vraag 3 11 Vraag 4 14 Vraag 5 17 Vraag 6 19 pagina: 1 van 20 Algemeen Om de zestal vragen van de opgave niet-lineaire

Nadere informatie