Oefentoets web wiskunde A - uitwerkingen

Transcriptie

1 Oefentoets web wiskunde A - uitwerkingen oktober 09 Opdracht De functies zijn f(x) x + x + 6 en g(x) x. We moeten oplossen f(x) g(x) dus x + x + 6 x x + 6x ABC formule: x 6± 6 5 6± 6 0 6± 6 6± Dus de snijpunten van f en g zitten bij x 6+ en x 6 5. We moeten nu oplossen x x + x + 6. manier : Eerst moeten we de bijbehorende vergelijking oplossen. Bij onderdeel a hebben we gezien dat de oplossingen van f(x) g(x) gelijk zijn aan x en x 5. Nu moeten we bepalen wanneer de ongelijkheid x x + x + 6 geldt. Hiervoor vullen we een waarde voor x < 5 een waarde 5 < x < en een waarde x > in: Een waarde x < 5. Kies bijvoorbeeld x 6: Linkerkant: g( 6) 6 + Rechterkant: f( 6) ( 6) < dus in dit gebied geldt de ongelijkheid niet. Een waarde 5 < x < kies bijvoorbeeld x : Linkerkant: g( ) + 5 Rechterkant: f( ) ( )

2 5 > dus in dit gebied geldt de ongelijkheid wel. Een waarde x > kies bijvoorbeeld x 0: Linkerkant: g(0) 0 Rechterkant: f(0) < 6 dus in dit gebied geldt de ongelijkheid niet. Dus x x + x + 6 voor 5 x. manier : Je vult een x waarde in één van de gebieden in zoals hierboven beschreven en concludeert of de ongelijkheid daar wel/niet geldt. In deze uitwerking gaan we er even van uit dat je voor het gebied x < 5 hebt gekozen: Kies bijvoorbeeld x 6: Linkerkant: g( 6) 6 + Rechterkant: f( 6) ( 6) < dus in dit gebied geldt de ongelijkheid niet. Nu is het zo dat we te maken hebben met een kwadratische vergelijking en een lineaire lijn. Deze kwadratische vergelijking en lineaire lijn hebben twee snijpunten en dan is het altijd zo dat als de ongelijkheid in een bepaald gebied geldt dat het dan niet in het gebied ernaast geldt maar wel weer in het gebied daarnaast. De ongelijkheid geldt dus om en om wel/niet. Omdat de ongelijkheid niet geldt voor x < 5 moet dit betekenen dat het wel geldt in het gebied tussen de snijpunten, maar dan weer niet in het gebied x >. Dus x x + x + 6 voor 5 x. manier : De afstandsfunctie (die de positieve afstand geeft) is A(x) g(x) f(x) x x. De factor voor de x is negatief en dat betekend dat het hier om een bergparabool gaat. Bij onderdeel a hebben we gezien dat de oplossingen van f(x) g(x) gelijk zijn aan x en x. De afstandsfunctie heeft daar dus zijn nulpunten. Omdat het een bergparabool is betekend dit dat de afstand tussen deze punten positief is en dus dat g(x) f(x) voor 5 x. manier : Uit de graek is te zien dat g(x) f(x) tussen de snijpunten. Bij onderdeel a hebben we gezien dat de oplossingen van f(x) g(x) gelijk zijn aan x en x 5. Dit betekend dat g(x) f(x) voor 5 x. c) ( f(x) g(x) x + x + 6 ) ( x) ( x + x + 6 ) + ( x x x ) x + x + 6 x x x x 7x x + 6

3 d) We moeten nu de plaats van de extreme waarden van h(x) f(x) g(x) bepalen. Hiervoor moeten we de afgeleide gelijkstellen aan nul h (x) 0. h (x) 6x x. Dus oplossen 6x x 0 ABC formule: x ± 6 ± 96 9 ± ± De x coördinaten van de extrema van de functie h(x) zijn x en x + 6. e) Op dit interval is g(x) > f(x). De afstandsfunctie is dus A(x) g(x) f(x) ( x) (x + x + 6) x x x 6 x 6x 5 Nu moeten we oplossen A (x) 0 A (x) x 6. We moeten oplossen x 6 0. Dus x 6 x 6. Verder manier : Vanuit het gegeven plaatje zien we dat dit inderdaad om de maximale afstand moet gaan dus bij x is de afstand tussen de functies f(x) en g(x) maximaal. Verder manier : A (x) A (x) < 0 voor alle waarden van x dus bij de gevonden waarde van x zit een maximum in afstand. Opdracht De hoeveelheid eendenkroos verdubbelt per drie dagen. De groeifactor per drie dagen is dus g dagen. Nu g dag g dagen. De algemene formule is: N(t) N(0) g t dag 0.5 ( ) t ( 0.5 t ).

4 c) We moeten nu oplossen: 0.5 t dus ( ) t 6 t Nu passen we de basisregel voor logaritmische vergl. toe: g a b a log g (. Nu g, a t en b 6, dus t log (6) t log (6) Dit kan niet verder vereenvoudigd worden. Na log (6) dagen wordt m van de vijver bedekt door het kroos. d) De afname is 0% per week. Dit betekent dat na een week telkens nog 70% over is van de voorgaande hoeveelheid. Dus g week De groeifactor per dag is nu g weken g week ( 7 0 Opdracht ) De gegeven functie is f(x) x + x + x We moeten de nulpunten, maxima, minima, domein en bereik bepalen van deze functie. Voor de nulpunten lossen we op f(x) 0 x + x + x 0 x ( x + x + ) 0 Dus x 0 of x + x + 0 Voor de tweede vergelijking passen we de abc-formule toe: x ± ± + ± Het nulpunten van deze functie zitten dus bij x 0, x + en. Voor de maxima en minima lossen we op f (x) 0 waarna we met de tweede afgeleide de aard van de extreme waarde bekijken: f (x) 6x + x + f (x) x + Oplossen f (x) 0:

5 6x + x + 0 Abc-formule: x ± 6 ± +96 ± 00 ±0 ± 0 6 ± 5 6 Dus x of x Nu bekijken welk van deze extreme waarden een maximum is en welke een minimum: f () + 0 < 0 dit is dus ene maximum f ( ) > 0 dus hier zit een minimum. Nu bepalen we het domein en bereik: Alle waarden voor x mogen ingevuld worden in deze functie. Het domein is dus heel R. Deze functie heeft geen asymptoten dus alle waarden voor y worden bereikt. Het bereik is heel R. De gegeven functie is g(x) x 5 0 x We moeten de nulpunten, maxima, minima, domein en bereik bepalen van deze functie. Voor de nulpunten lossen we op g(x) 0 x 5 0 x 0 x 5 0 x 5 x 5. Er zit een nulpunt bij x 5. Voor de maxima en minima lossen we op g (x) 0 waarna we met de tweede afgeleide de aard van de extreme waarde bekijken: g (x) nat tan n (0 x) (x 5) (x 5) (0 x) (0 x) (0 x) (x 5) (0 x) 0 x ( x+5) (0 x) 0 x+x 5 (0 x) 5 (0 x) We lossen op g (x) 0 dus 5 (0 x) 0. Dat zou betekenen dat 5 0, dit kan niet en dus zijn er geen oplossingen. Deze functie heeft geen minima/maxima 5

6 Nu bepalen we het domein en bereik: Voor het domein bepalen we de verticale asymptoot van g(x): Dit is de x waarde die niet ingevuld mag worden. De noemer mag geen nu zijn, dus we lossen op 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Het domein van de functie is dus R\ { } 0 ( ) (. Dit kan ook genoteerd worden als, 0 en 0, ). Voor het bereik bepalen we de horizontale asymptoot: Voor de horizontale asymptoot moeten we het getal voor de x in de teller delen door het getal voor de x in de noemer, Dan: y asym. Het bereik is dus R\ { }. Opdracht x x + 5 x x + 0 Abc-formule: (eerst discriminant bepalen mag natuurlijk ook) x ± ( ) ± 9 ± ± Dus x + en x. 6x x 6x (x) 6x x x 6x + 0 Abc-formule: Eerst discriminant bepalen mag natuurlijk ook. 6

7 x 6± ( 6) 6± 6 6± 6± Dus x 6+ en x 6. Nu moeten we deze oplossingen nog controleren door ze aan beide kanten van de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: De oplossing x : Links: 6. Rechts:. links rechts dus dit is een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. De oplossing x : Links: 6. Rechts:. links rechts dus dit is een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. De oplossingen van de vergelijking zijn dus x en x. c) Manier : We passen de basisregel voor logaritmen toe. Als g a b a log g ( 7 x 7 ) x log 7 (7 log 7 (7) Manier : x x 7 x 7 7 x 7 x x x 7

8 Opdracht 5 Een sinusoïde met evenwichtswaarde B, amplitude A, frequentie f en fasehoek φ wordt gegeven door s(t) B + A sin(π f t + φ) De periode T wordt gegeven door T f dus de frequentie is f T. Daarnaast zijn de coördinaten van een startpunt gelijk aan ( ) t, s(t) ( φt ) π, B We beginnen met het bepalen van de amplitude. Deze is gelijk aan de helft van de afstand, in de y-richting, tussen twee toppen. In dit geval zien we dat de functiewaarden van 6 tot en met lopen. De totale afstand tussen de toppen is dus wat betekent dat de amplitude gelijk is aan A. De evenwichtswaarde B zit op de helft tussen de maximale en minimale waarde, dus in dit geval is de evenwichtswaarde B. Nu bepalen we de periode van de functie en daarmee de frequentie. We zien dat de functie een dal heeft bij x en bij x. De periode is dus T. De frequentie is dus f. Nu moeten we alleen nog de fase bepalen en dit doen we aan de hand van een startpunt. In dit geval kun je bijvoorbeeld als startpunt ( t, s(t) ) ( ( ) (, ) of t, s(t) 6, ) kiezen. In deze uitwerking rekenen we verder met ( t, s(t) ) (, ) als startpunt. Dit betekent dat ( ) (, φ T ) π, ( φ ) π, ( ) φ, π ( π ) φ, Nu weten we dat π φ dus φ ( ) ( π ) π π 6 π De uiteindelijke formule is: ( s(t) + sin π t ) π Opdracht 6 manier : ( + sin πt ) π.

9 f(x) log (x) Manier : Noem u x f (x) (log (x)) () (log (x)) x ln() x ln() x ln() f (x) (log (x)) () (log (x)) (log (u)) u u ln() x ln() x ln() g(x) x x manier : g(x) x x x x x Dus manier : (met productregel): g (x) x x g (x) (x) x + x x) (x) x ( ) + x x x + x x + x x x 9

10 c) h(x) x+ x dus h (x) nat tan n (x ) (x+) (x+)(x ) Opdracht 7 (x ) (x ) (x+) (x ) x x (x ) (x ) Dit is een meetkundige rij. begint alleen niet op 0 maar op. Dus noem b k, oftewel k b +. Dan wordt de som k k 5 b+ b0 5 b b0 5 b b0 5 b Nu hebben we een meetkundige rij beginnende op b 0 met a 0, r en n 5 dus n + 6. Dus 5 b ( 6) b0 ( 6) b0 Het aantal termen is n

11 (Om dit te bepalen kun je ook eerst kijken wat je moet doen als de range van bijvoorbeeld 00 tot 0 had gelopen. Dan krijg je termen. Als je dit natelt, dan klopt het). De eerste term is a 00. De laatste term is a n a Dus de som wordt: Opdracht 0 ( ) We hebben 5 citroenen en 5 limoenen. Er zijn dus 0 vruchten in totaal. We pakken vijf keer. Nu wordt de kans op 5 limoenen gevraagd. P (5 limoenen) #mogelijke volgordes P (één volgorde) Het aantal mogelijke volgordes waarop 5 limoenen gelegd kunnen worden is één. De kans op die ene volgorde is: P (LLLLL) Dus: P (5 limoenen) Dit mag zo blijven staan. Nu wordt gevraagd om de kans op meer dan drie limoenen. Dit is dus de kans P ( limoenen OF 5 limoenen) P ( limoenen OF 5 limoenen) P ( limoenen) + P (5 limoenen) De kans op 5 limoenen hebben we al bij onderdeel a bepaald. Nu hoeven we dus alleen de kans op limoenen te bepalen. P ( limoenen) #mogelijke volgordes P (één volgorde) Het aantal mogelijke volgordes waarop limoenen en één citroen gelegd kunnen worden is gelijk aan: ( 5! 5 )!! 5

12 De kans op één van de volgordes is: Dus: Nu P (LLLLC) ! P (5 limoenen) (!! P ( limoenen OF 5 limoenen) P ( limoenen) + P (5 limoenen) 5!!! Opdracht 9 We hebben 0 tegels in vijf verschillende kleuren ( tegels van elke kleur). De tegelrand bestaat ook uit 0 tegels. Verder staat gegeven dat tegels van dezelfde kleur naast elkaar mogen zitten. Het gaat nu dus om het aantal manieren waarop we de 0 tegels kunnen ordenen. En er zijn vijf groepen van tegels die niet van elkaar te onderscheiden zijn. Het aantal manieren van ordenen is dus Opdracht 0 0!!!!!! Het gaat om 0 vragen waarbij elke vraag mogelijke antwoorden heeft. Je vult op de gok alle 0 vragen in. Gevraagd wordt om de kans dat je meer dan de helft van de vragen goed hebt dus P (0 G). Hierbij gaat het om een binomiale verdeling (het kan ook met een vaasmodel maar dan wordt het een stuk ingewikkelder). Per vraag is de kans gelijk aan dat je deze goed gokt. In dit geval is n 0 p k 0 Dus P (0 G) ( 0 0 Het mag ook genoteerd worden als: ( 0 P (0 G) 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ) )

13 Opdracht Er wordt gevraagd om P (X > 5). P (X > 5) P (X < 5) De waarde 5 zit boven het gemiddelde en dus kunnen we de formule voor een binomiale verdeling toepassen: Nu wordt gevraagd om de kans: P (X > 5) P (X < 5) P ( ) Z < P ( ) Z < 5 0 P (Z < 0.5) P (X < 5 of X > 5) P (X < 5) + P (X > 5) P (X > 5) + P (X > 5) P (X > 5) ( P (X < 5)) ( P ( )) Z < ( P ( )) Z < 5 0 ( P (Z <.5)) ( 0.9)