Bernardinuscollege Scienceklas 6 VWO. Inleiding in de Relativiteitstheorie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Bernardinuscollege Scienceklas 6 VWO. Inleiding in de Relativiteitstheorie"

Transcriptie

1 Bernardinuscollege Scienceklas 6 VWO Inleiding in de Relativiteitstheorie J.L.M. Jansen, sept-okt 2006

2 Inhoudsopgave Voorwoord.. blz 3 Inleiding. blz 5 1. De Klassieke Natuurkunde (= natuurkunde tot 1900).. blz Inleiding.. blz Volledige inhoud klassieke natuurkunde blz Het relativiteitsprincipe van Galileï... blz 9 2. De Speciale Relativiteitstheorie (1905).. blz De postulaten van de speciale relativiteitstheorie.. blz Van lichtklok tot tijdsdilitatie blz Tijd is relatief. blz De lorentzcontractie... blz De tweelingparadox... blz De lorentzvergelijkingen blz De ruimte-tijd is 4-dimensionaal... blz E = mc blz F ma blz Opnieuw E = mc blz De Algemene Relativiteitstheorie (1915).. blz Zware massa = trage massa?! blz Relativiteit binnen één inertiaalstelsel.. blz Er is geen zwaartekracht... blz Een klein beetje relativistische kosmologie.. blz 28 Besluit... blz 29 Noten. blz 30 Bijlage: afleiding lorentzvergelijkingen blz

3 Het meest onbegrijpelijke aan de natuur is zijn begrijpelijkheid Albert Einstein Voorwoord Deze module voor de scienceklas voor eindexamenleerlingen van het VWO behandelt de beginselen van de Speciale Relativiteitstheorie van Albert Einstein. Het is een natuurkundige theorie waarvan iedereen wel eens heeft gehoord maar waarschijnlijk denkt dat deze te ingewikkeld is om te kunnen begrijpen. Dat is zeker niet zo, vooral omdat het wiskundig niveau van de theorie niet hoog is en voor de betere leerling (in het vak natuurkunde) goed is te doen. Voor de Algemene Relativiteitstheorie geldt dat deze van een (te) hoog wiskundig niveau is; van deze theorie zullen we dan ook alleen kwalitatief enkele aspecten beschouwen. Kort gezegd handelt de relativiteitstheorie over de rol van de waarnemer bij het doen van tijden afstandmetingen; hoe een waarnemer een gebeurtenis (die op zichzelf zeer eenvoudig kan zijn) zal beschrijven en hoe een tweede waarnemer die ten opzichte van de eerste waarnemer beweegt, de zaken vanuit zijn standpunt zal zien. Dit lijkt op het eerste gezicht niet zo interessant, maar Einstein toonde aan dat als de onderlinge snelheid tussen beide waarnemers erg hoog wordt, zij steeds meer van mening zullen verschillen over dezelfde gebeurtenissen die zij waarnemen. Zo blijken wel zeer vreemde verschijnselen op te treden die onze intuïtieve ideeën over ruimte en tijd volkomen op zijn kop zetten. Zo zullen we zien hoe meetlatten inkrimpen, hoe horloges langzamer gaan lopen en zelfs hoe je ouder (of juist jonger) kunt worden dan je (eventuele) tweelingbroer- of zus! Over de relativiteitstheorie is naast veel goede echter ook veel misleidende literatuur geschreven, met name in kranten, populairwetenschappelijke maandbladen en (natuurlijk) op Internet. De essentiële kenmerken van de theorie worden vaak gemist of zelfs gewoonweg verkeerd weergegeven. Dit dictaat geeft zeker geen volledig overzicht van de theorie en al haar toepassingen, maar probeert wel de belangrijkste aspecten aan te halen en een aantal misverstanden over de theorie te voorkomen. We zullen ons daarbij niet verlagen tot uitspraken in de trant van: volgens de relativiteitstheorie geldt dan dat, of Einstein toonde aan dat, maar resultaten zoveel mogelijk zelf afleiden, in het algemeen via gedachte-experimenten (Gedanken-experimente), soms dezelfde die Einstein indertijd gebruikte. Afgezien van de inleidende paragrafen, is dit dictaat niet geschreven voor zelfstudie; het uitwerken en interpreteren van de vraagstukken gebeurt tijdens de lessen alsmede het afleiden van bijvoorbeeld de verschillende relativistische effecten en coördinatentransformaties. Enkele plaatsen in de tekst waar dit gebeurt zijn te herkennen aan de toevoeging [L]. Het dictaat is meer als een houvast bedoeld waarin de belangrijkste resultaten worden opgesomd. Bedenk dat relativistisch redeneren een hachelijke zaak is; bij het lezen van dit dictaat lijken de zaken soms bedrieglijk eenvoudig. Het is met name vaak moeilijk om in onjuiste redeneringen te ontdekken waar de fout schuilt in ieder geval veel lees- en redeneerplezier! - 3 -

4 Albert Einstein - 4 -

5 Inleiding Albert Einstein werd op 14 maart 1879 geboren in het Duitse Ulm en stierf in Princeton N.J. op 18 april Hij wordt algemeen beschouwd als een van de grootste fysici aller tijden en is onder het grote publiek wellicht de beroemdste, dit dankzij zijn relativiteitstheorie. Van geboorte was Einstein Duitser, maar hij verwierf later de Zwitserse nationaliteit, vervolgens opnieuw de Duitse nationaliteit maar werd uiteindelijk in 1941 genaturaliseerd tot burger van de Verenigde Staten. Hij studeerde aan de Technische Hogeschool te Zürich, werkte van 1902 tot 1909 bij de Octrooiraad te Bern en was daarna o.m. hoogleraar in de theoretische fysica aan de universiteiten van Zürich, Praag en Berlijn. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd was Einstein zeker geen gemiddelde student (dit misverstand komt voort uit het feit dat waar hij studeerde het hoogst haalbare cijfer een 6 was). Hij werd echter ook niet als een potentieel genie beschouwd en verkreeg aanvankelijk ook geen baan in het wetenschappelijk onderzoek. Zoals al vermeld ging hij werken bij de Octrooiraad te Bern, een rustige baan met genoeg vrije tijd. Buiten de wetenschappelijke wereld om werkte hij aan meerdere belangrijke natuurkundige problemen uit zijn tijd en publiceert op 26-jarige leeftijd in 1905 vier artikelen die ieder afzonderlijk in aanmerking zouden kunnen komen voor een Nobelprijs. Voor een daarvan, het artikel over het fotoelektrisch effect, wordt aan hem in 1922 de Nobelprijs voor Natuurkunde (de Nobelprijs van 1921) uitgereikt. In dit artikel stelt hij de these van lichtquanten (fotonen), die uiteindelijk een van de grondslagen van de moderne atoomfysica (quantummechanica) is geworden. In een van de andere artikelen, over de Brownse beweging, geeft Einstein een nieuw bewijs voor het bestaan van atomen (o.m. door het getal van Avogadro opnieuw af te leiden), een bestaan dat dan nog steeds omstreden is. Het artikel dat uiteindelijk de meeste aandacht trok, luidt Zur Elektrodynamik bewegter Körper dat de grondslagen van de Speciale Relativiteitstheorie (SRT) bevat. De klassieke mechanica die ruim twee eeuwen lang het wetenschappelijk wereldbeeld vormde, werd door Einstein omvergeworpen en daarmee ook onze intuïtieve ideeën over ruimte en tijd. In 1916, Einstein werkte toen als hoogleraar aan de universiteit van Berlijn ( ), publiceerde hij de Algemene Relativiteitstheorie (ART). Zoals de naam suggereert, is deze theorie een uitbreiding van de SRT. In tegenstelling tot deze theorie, die in zekere zin al was voorbereid door experimentele resultaten en het werk van andere natuurkundigen (al was Einstein hier slechts gedeeltelijk van op de hoogte), was de ART geheel Einstein s eigen schepping en wordt algemeen beschouwd als een van de grootste prestaties die ooit door een menselijke geest is geleverd. De theorie geeft een elegante verklaring voor het verschijnsel zwaartekracht in die zin dat er eigenlijk helemaal geen zwaartekracht bestaat, maar dat het de kromming van de tijd-ruimte is die een zwaartekracht suggereert. De theorie vormt eveneens de basis voor de moderne kosmologie die de tijdevolutie van het heelal (als geheel) probeert te beschrijven. De theorie geeft de theoretische mogelijkheid voor het bestaan van zogenaamde zwarte gaten en andere exotische natuurverschijnselen. Bij de zonsverduistering van 1919 werd een van de voorspellingen van deze theorie bevestigd en Einstein werd op slag wereldwijd beroemd. Met name zijn eenvoud, bescheidenheid, sociale bewogenheid, humor en beminnelijkheid (Maralyn Monroe vond hem de meest sexy man die ze ooit ontmoet had) dragen ertoe bij dat hij wereldwijd een zeer populair persoon wordt. Zo is bijvoorbeeld nog overwogen Einstein het presidentschap van de nieuwe staat Israel aan te bieden

6 In de jaren twintig en dertig verschijnt een andere theorie op het toneel die nog revolutionairder is dan de relativiteitstheorie: de zogenaamde Quantummechanica. Hoewel Einstein een van de (ongeveer) zes grondleggers van deze theorie is, keert hij zich, net als twee van de andere grondleggers, van de theorie af als duidelijk wordt wat de consequenties ervan zijn. Zo zegt de quamtummechanica dat (sub)atomaire verschijnselen principieel onvoorspelbaar zijn. Einstein werpt zich op als de voorvechter van de natuurkundigen die dit niet kunnen verteren ( God dobbelt niet ) en voert felle discussies met de Deense natuurkundige Niels Bohr. Deze aanvaardt de quantummechanica juist tot in zijn uiterste consequenties en betoogt in tegenstelling tot wat Einstein probeert te bewijzen, dat de onvoorspelbaarheid geen gebrek van de theorie is, maar juist een wezenlijk kenmerk van de natuur is [1]. In 1920 werd Einstein ook bijzonder hoogleraar te Leiden. Met de opkomst van Hitler- Duitsland in 1933 doet hij afstand van zijn Duits staatsburgerschap (hij was jood en had van kind af aan al een grote afkeer van autoriteit) en vestigt zich na een kort verblijf in België en Engeland in de Verenigde Staten [2]. Tijdens de oorlog wijst hij Roosevelt op de mogelijkheid van de fabricage van een atoombom door de Duitsers en dat het misschien beter zou zijn als de Geallieerden Duitsland vóór zouden zijn in de ontwikkeling van de bom. Na de oorlog en de verwoesting van Hirosjima en Nagasaki wordt Einstein een militant voorvechter van de internationale vrede. Ook op jongere leeftijd was hij reeds pacifist; zo beweerde hij o.a.: de ware helden van de 1 e wereldoorlog waren zij die dienst weigerden (hierop stond de doodstraf). Op wetenschappelijk gebied probeert Einstein op latere leeftijd tot een zogenaamde Algemene Veldentheorie te komen, die alle bekende natuurkundige krachten in één theorie overkoepelt. Hij slaagt hier niet in, onder andere omdat later zal blijken dat hiervoor de tijd nog niet rijp was (later zijn nog diverse andere krachten ontdekt). Een algemene veldentheorie is tot op de dag van vandaag nog steeds de Holy Grail voor de natuurkunde. Ironisch genoeg vormt hiervoor juist Einstein s algemene relativiteitstheorie de grote spelbreker: 99% van alle bekende natuurkundige verschijnselen wordt uiteindelijk verklaard door de quantummechanica en slechts de zwaartekracht, beschreven door de algemene relativiteitstheorie, valt hier buiten. Op zeer kleine afstanden (nog kleiner dan een atoom) zijn de twee theorieën volkomen in tegenspraak, zodat een unificatie van de zwaartekracht met de overige natuurkrachten nog steeds niet bereikt is. De laatste jaren hebben meerdere natuurkundigen daarom stilletjes gehoopt dat de algemene relativiteitstheorie door moderne experimenten omvergeworpen zou worden. De experimenten gaven echter juist een bevestiging van de juistheid van de algemene relativiteitstheorie (tot op 15 significante cijfers(!)) en de laatste tijd worden in de astronomie steeds meer verschijnselen ontdekt die tot nu toe alleen door de algemene relativiteitstheorie bevredigend kunnen worden verklaard. Misschien bevindt de natuurkunde zich in eenzelfde crisissituatie als eind vorige eeuw, waarvoor een genie als Einstein nodig was om met een revolutionaire omwenteling de natuurkunde weer op het juiste spoor te brengen (aannemende dat zo n spoor bestaat). [x] = noot x en is te vinden vanaf blz

7 1. De Klassieke Natuurkunde (= natuurkunde tot 1900) 1.1 Inleiding Sinds Newton de klassieke mechanica bedacht en publiceerde in zijn beroemde driedelige Philosophiae Naturalis Principia Mathematica [3] in 1687, maakte de natuurkunde tot de 19 e eeuw betrekkelijk weinig fundamentele vooruitgang. Newton was zijn tijdgenoten eigenlijk zo n twee eeuwen vooruit en hij wordt dan ook algemeen beschouwd als de grootste natuur- (en wiskundige) aller tijden. Zo ontdekte hij o.a. (onafhankelijk van Leibnitz) de differentiaal/ integraalrekening die misschien wel het belangrijkste wiskundige instrument voor natuurwetenschappers vormt. Mede door het enorme succes van de klassieke mechanica en in het bijzonder de zwaartekrachttheorie ontstond een (mechanisch) wereldbeeld onder natuurwetenschappers waarin alle verschijnselen door Newton s mechanica succesvol beschreven zouden kunnen worden. Zo kon men bijvoorbeeld het bestaan en de plaats van nog niet eerder ontdekte planeten voorspellen; iets wat in die tijd (18 e eeuw) als bijna een vorm van magie werd beschouwd. Met de ontdekking van elektrische en magnetische verschijnselen begon aan het eind van de 18 e eeuw langzamerhand meer twijfel te ontstaan of ook deze verschijnselen op een mechanische manier beschreven konden worden. Ook op het gebied van de optica, die handelt over de beweging van het licht, was het niet duidelijk hoe men alle experimentele resultaten kon verklaren binnen Newton s theorie. Tenslotte publiceerde James Clark Maxwell in 1865 een zeer elegante theorie die een uitstekende verklaring bood voor alle bekende elektromagnetische verschijnselen. Daarbij hanteerde hij een wiskundige formulering in termen van een magnetisch en elektrisch veld. Ook gaf deze theorie een beschrijving van lichtverschijnselen door te laten zien dat licht eigenlijk een onderdeel was van het hele spectrum van elektromagnetische straling. Er was echter een groot probleem: de theorie was in strijd met de klassieke mechanica. In het bijzonder voldeed de theorie van Maxwell niet aan het zogenaamde relativiteitsprincipe van Galileï dat een wezenlijk bestanddeel vormde van Newton s theorie. Beide theorieën voldeden op hun eigen deelterreinen echter uitstekend en daarom probeerde men de zaak te redden door te veronderstellen dat het licht niet door het vacuüm reist zoals in Maxwell s theorie, maar door een zogenaamde ether. Deze zou dan een heel ijle/vluchtige stof zijn die de gehele ruimte tussen en in alle lichamen zou beslaan. Op deze manier kon men dan misschien een mechanisme ontdekken in hoe het licht door deze ether bewoog om zo de elektromagnetische theorie te kunnen beschrijven binnen het raamwerk van de klassieke mechanica. Bij deze pogingen werden door Poincaré, Fitzgerald en Lorentz [4] zelfs al de relativistische vergelijkingen gevonden die later het hoofdbestanddeel van de speciale relativiteitstheorie zouden vormen! Deze waren echter op een ad hoc manier geformuleerd met geen ander doel dan aan het bestaan van een ether te kunnen vasthouden. Anderzijds kwam het bestaan van de ether onder vuur te liggen doordat herhaalde pogingen om de snelheid van de aarde in relatie tot deze ether te meten tot tegenstrijdige resultaten leidden. Het was echter Einstein die zijn collega s ervan overtuigde dat de ethertheorie geen bestaansrecht had, maar daarentegen de klassieke mechanica van Newton rigoureus veranderd diende te worden. Hij leidde de al eerder gevonden relativistische vergelijkingen af, uitgaande - 7 -

8 van twee postulaten, gaf er de juiste natuurkundige interpretatie aan en vormde er, hoewel volledig in strijd met wat het gezonde verstand ons vertelt, een logisch consistent geheel van. Interessant is dat door het nemen van de juiste wiskundige limieten de klassieke mechanica van Newton uit de relativiteitstheorie kan worden verkregen. Dit geldt echter allerminst voor de ideeën die uit de interpretatie van de wiskundige vergelijkingen volgen, die een dergelijke continue overgang helemaal niet kennen [5]. Het is gebleken dat andere nadien geformuleerde natuurkundige theorieën alleen dan op een consistente wijze konden worden geformuleerd, als ze binnen het kader van de speciale relativiteitstheorie werden geformuleerd (= invariant onder de lorentztransformatie). Zo spreekt men bijvoorbeeld van relativistische quantummechanica en relativistische kosmologie. Samen met vele overtuigende experimenten is de speciale relativiteitstheorie hierdoor tot op de dag van vandaag nog steeds boven alle twijfel verheven. 1.2 Volledige inhoud klassieke natuurkunde 1 e Wet van Newton / traagheidswet: Een voorwerp waarop geen resulterende kracht werkt, volhardt in zijn bewegingstoestand; dat is een toestand van rust of een eenparig rechtlijnige beweging. 2 e Wet van Newton: Werkt op een voorwerp wel degelijk een resulterende kracht, dan resulteert dit in een snelheidsverandering evenredig met deze kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het voorwerp: F res = m.a met a = dv/dt. 3 e Wet van Newton: Krachten treden altijd op als onderdeel van een wederzijdse wisselwerking; oefent voorwerp A een kracht uit op voorwerp B, dan oefent B (gelijktijdig) een even grote maar tegengesteld gerichte kracht uit op A: F AB = - F BA. Gravitatiewet: Tussen ieder tweetal massa s werkt een aantrekkende kracht, evenredig met hun massa s en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand (gemeten tussen hun massamiddelpunten): F z = G.m 1.m 2 /r 2. Elektromagnetische wisselwerking: Elektrisch geladen deeltjes ondervinden t.g.v. een elektrisch veld een kracht evenredig met de sterkte van dat veld en evenredig met hun lading. Bewegen deze deeltjes in een magnetisch veld, dan ondervinden zij bovendien een kracht die wederom evenredig is met deze veldsterkte en lading, maar ook evenredig met hun snelheid: F L = qe + qvb + al dan niet expliciete aannames als: - absolute ruimte - absolute tijd - translatie-invariantie m.b.t. ruimte Wet van behoud van impuls (p = mv) - translatie-invariantie m.b.t. tijd Wet van behoud van energie - 8 -

9 Opgave 1 - rotatie-invariantie m.b.t. ruimte Wet van behoud van draai-impuls (L = mvr) De bewering over volledigheid in de titel van deze paragraaf lijkt nogal overdreven. a. Ken je een mechanisch probleem dat alleen oplosbaar is met gebruikmaking van het begrip energie? b. Leg uit waarom bijvoorbeeld de algemene gaswet niet in bovenstaand rijtje hoeft te worden opgenomen. c. Kun je ook een bewerking bedenken waaronder de wereld niet invariant is? 1.3 Het relativiteitsprincipe van Galileï De 1 e Wet van Newton spreekt over rust of beweging met een constante snelheid in een rechte lijn. We hebben allemaal wel eens ervaren dat we dachten in een vertrekkende trein te zitten, om vervolgens te ontdekken dat onze trein nog steeds stil stond, terwijl juist de trein tegenover ons van het perron vertrok. Dit is logisch, immers beweging is altijd ten opzichte van iets anders. Wij stonden stil t.o.v. het perron, maar hadden (tijdens onze misvatting) net zo goed kunnen zeggen dat we toch bewogen, namelijk als we de andere trein als uitgangpunt hadden gekozen, wat we feitelijk deden toen we uit het raam naar de andere trein keken. Bevinden we ons op een schip op open zee en komen we een ander schip tegen, dan is het helemaal slechts een kwestie van smaak, welk schip we (voor het gemak) kiezen als stilstaand schip of welk schip doorgaat als bewegend. Voor wie dit nog niet overtuigend is, kan de twee schepen vervangen door twee ruimteschepen in een verder leeg heelal. Ook de trein die stil staat t.o.v. het perron of het schip t.o.v. de zee, is vanuit een ander gezichtspunt toch als bewegend te beschouwen, bijvoorbeeld als we de zon als uitgangspunt kiezen, waaromheen de trein, het schip, het perron, de zee en de hele aarde bewegen.. Kortom: (de mate van) snelheid (of rust) is relatief: het is altijd ten opzichte van een (vrij) gekozen referentiepunt. Opgave 2 Op open zee bevinden zich twee schepen A en B met respectievelijk een snelheid u en v t.o.v. de zee. We zien dat de beide routes van de schepen elkaar kruisen in punt P. De vraag is: zullen zij botsen? a. Kies schip A als stilstaand. Wat is nu de snelheid van schip B t.o.v. schip A? Construeer deze snelheid in de bovenstaande tekening. b. Laat nu zien dat de schepen zullen botsen en waar schip B schip A treft. Deze relativiteit van beweging lijkt voor de hand liggend, maar is toch niet zo simpel als het lijkt. Als de trein afremt of een (scherpe) bocht neemt, voelen we dit (in onze maag) en zien we dit (een bekertje valt om) zonder dat we naar buiten hoeven te kijken om te zien of onze snelheid inderdaad verandert ten opzichte van iets anders. Zo zouden we in een geblindeerd - 9 -

10 ruimteschip op basis van welk mechanisch experiment dan ook, niet kunnen vaststellen of we in rust zijn of in een rechte lijn met constante snelheid bewegen. Als er echter sprake is van een versnelling of een kromming van de lijn waarlangs we bewegen, dan zouden we dat onmiddellijk opmerken: bijvoorbeeld een bal op een biljarttafel zou vanzelf gaan rollen. Blijkbaar is er iets anders ten opzichte waarvan we dan in zo n geval bewegen (van bewegingstoestand veranderen) en wel de lege ruimte. Newton sprak daarom van een absolute ruimte, die een standaard referentiekader vormt voor alle waarnemers. Dat rust en beweging relatief zijn, is dus eigenlijk helemaal niet logisch omdat je je snelheid (of rusttoestand) alleen maar kunt bepalen t.o.v. een bepaald referentiepunt/kader, maar juist heel bijzonder omdat het alleen maar geldt voor een beweging met een constante snelheid in een rechte lijn (eenparig rechtlijnig dus). Ook voor de tijd nemen we aan dat deze een soort absolute achtergrond vormt, met dat verschil dat deze altijd uit zichzelf in beweging is: het heden verplaatst zich continu naar wat nu nog toekomst is. Wel neemt Newton aan dat deze tijd voor iedere waarnemer dezelfde is en in hetzelfde tempo voortschrijdt. Deze beide begrippen van tijd en ruimte komen weliswaar sterk overeen met onze intuïtieve ideeën, maar Einstein zou aantonen dat ze toch niet houdbaar zijn. Laten we uitgaan van twee waarnemers S en S, die beide uitgerust zijn met dezelfde meetlatten / zelfde assenstelsels om afstanden te bepalen en klokken om de tijd te meten. Waarnemer S, staande op de wal, ziet een schip met constante snelheid v langzij komen. Tegelijkertijd vliegt een meeuw met constante snelheid u tussen wal en schip door en passeert (volgens S) op zeker moment een bepaalde patrijspoort van het schip. Op dat moment t kent hij aan de meeuw de coördinaten x, y en z toe. Waarnemer S bevindt zich op het schip en ziet dezelfde meeuw voorbijvliegen. S ziet de meeuw dezelfde patrijspoort op moment t passeren en kent vanuit zijn eigen (meevarende) assenstelsel aan de meeuw de coördinaten x, y en z toe. [Op basis van de translatie- en rotatie-invariantie van de ruimte kunnen S en S hun assenstelsels altijd zo kiezen dat hun x-as en x -as samenvallen en dat hun klokken op t = t = 0 beginnen te lopen op het moment dat hun beide assenstelsel-oorsprongen samenvallen.] Het klassieke relativiteitsprincipe (= het relativiteitsprincipe van Galileï) houdt in dat als de ene waarnemer, S, met zijn referentiestelsel zich met constante snelheid v in een rechte lijn beweegt t.o.v. een andere waarnemer, S, beide waarnemers equivalent zijn. Dit betekent dat

11 als de ene waarnemer de bewegingsvergelijkingen van een bepaald lichaam binnen zijn referentiekader heeft kunnen vinden (zoals F = m.a), de andere waarnemer binnen zijn referentiekader dezelfde (vorm) vergelijkingen moet kunnen vinden (F = m a ). Simpel gezegd: voor beiden geldt dezelfde natuurkunde. We definiëren: Inertiaalstelsel = waarnemer met klok en meetlat/assenstelsel die zich t.o.v. een waargenomen voorwerp in een eenparige beweging bevindt (en dus ook omgekeerd). Een bijzonder geval is: Ruststelsel = waarnemer met klok en meetlat/assenstelsel die t.o.v. van het waargenomen voorwerp in rust is (een tweede waarnemer (in een ander inertiaalstelsel) zou zeggen dat de waarnemer met het voorwerp mee beweegt). en formuleren het experimentele gegeven van het: Relativiteitsprincipe van Galileï: Alle inertiaalstelsels zijn equivalent, d.w.z. in al deze inertiaalstelsels gelden dezelfde natuurwetten (formules). Wiskundig gezien betekent dit dat de natuurwetten invariant moeten zijn (= dezelfde vorm behouden) onder een Galileï-transformatie (= hoe wiskundig over te stappen van het ene inertiaalstelsel naar het andere). We lichten dit toe aan het voorbeeld van de meeuw. Stel dat op het moment waarop de meeuw de patrijspoort passeert, de patrijspoort geopend wordt en de meeuw een ontwijkende manoeuvre maakt, d.i. de snelheid van de meeuw verandert op dat moment of anders gezegd: er is sprake van een versnelling en dus een kracht die op dat moment op de meeuw werkt (door de stand van zijn vleugels te veranderen verandert de liftkracht op zijn vleugels). Volgens het relativiteitsprincipe van Galileï moeten zowel S als S dezelfde kracht op de meeuw zien werken (aannemende dat zij aan de meeuw dezelfde massa toekennen). Galileï-transformatie: S (ruststelsel) S (inertiaalstelsel Transformatieregels [L] met snelheid v) tijd t t t = t plaats x x x = x v.t snelheid u u u = u v massa m m m = m en dus ook: versnelling a a a = a kracht F F F = F Leid af dat inderdaad geldt dat u = u v en daarmee a = a [L] Beide waarnemers zien dus dat de meeuw ten opzichte van hun eigen assenstelsel een andere positie en snelheid heeft, maar wel dezelfde versnelling ondervindt. Waarnemer S en waarnemer S zien op de meeuw dus toch dezelfde kracht werken (volgens F = m.a)

12 Opgave 3 Waarnemer S, laat een bal uit zijn handen vallen. S meet deze val met een videocamera op een statief dat op het dek staat. a. Schets in een tekening de posities van de bal met tussenpozen van gelijke tijdsduur zoals S de val ervaart. b. Dezelfde vraag maar nu voor S. We zeggen dat de bewegingsvergelijking F = m.a invariant is onder de Galileï-transformatie: er komen geen extra termen in de vergelijking bij als we kiezen de zaken vanuit waarnemer S te bekijken i.p.v. vanuit waarnemer S. We zien dat de snelheid die de waarnemer S aan het lichaam toekent, vermeerderd wordt met de tegengestelde snelheid waarmee hij zich van waarnemer S verwijdert. De snelheids- en plaatsfunctie zijn dus strikt genomen niet invariant onder de Galileï-transformatie, de extra termen die in deze functies optreden hebben echter geen fysische betekenis (vanwege de al genoemde translatie invariantie van de ruimte en tijd). Omgekeerd, geloof je in de juistheid van de relativiteit van rust en eenparige beweging en dus in het relativiteitsprincipe van Galileï, dan moeten de bewegingsvergelijkingen invariant zijn onder de Galileï-transformatie. Dat is dan de reden waarom in de bewegingswet F = ma geen x of v voorkomt; S en S zouden dan ieder een andere F op de meeuw zien werken (bij dezelfde versnelling(!)). Op deze wijze vormen de transformatieregels een leidraad voor het vinden van de juiste natuurwetten. Daarmee lijkt het hele relativiteitsbegrip t.a.v. een eenparig rechtlijnige beweging afgerond en zo werd het ook eeuwenlang beschouwd tot Einstein ten tonele verscheen

13 2. De Speciale Relativiteitstheorie (1905) 2.1 De postulaten van de speciale relativiteitstheorie Einstein stelt in 1905 de volgende twee uitgangspunten voor (i.p.v. inertiaalstelsel gebruiken we de term inertiaalwaarnemer): A. Speciale Relativiteitsprincipe: alle inertiaalwaarnemers zijn equivalent B. Lichtpostulaat: alle inertiaalwaarnemers meten dezelfde lichtsnelheid c Dit is de gehele speciale relativiteitstheorie. Alles wat volgt is slechts een strikt logische consequentie van de toepassing van deze twee postulaten. We lichten de twee postulaten eerst toe: T.a.v. A: Het relativiteitspostulaat is een directe generalisatie van Galileï s relativiteitsprincipe van de klassieke mechanica. Het verschil schuilt hierin dat dit relativiteitsprincipe alleen betrekking heeft op de wetten van de mechanica. Einstein realiseerde zich dat bij het daadwerkelijk doen van een waarneming niet alleen mechanische kwesties een rol spelen, maar ook bijvoorbeeld elektromagnetische verschijnselen: je ziet bijvoorbeeld d.m.v. het licht, dat een elektromagnetisch verschijnsel is. Een ander voorbeeld is het gebruik van een atoomklok bij tijdmetingen, die werkt op basis van atomaire verschijnselen. Hoe nauwkeuriger je kijkt, hoe meer verschillende onderdelen van de fysica een rol blijken te spelen bij het doen van een waarneming. Daarom breidde Einstein de equivalentie van waarnemers uit tot de gehele fysica: op geen enkele wijze, door welk fysisch experiment dan ook, kan een waarnemer vaststellen dat hij beweegt in absolute zin (zolang deze beweging eenparig rechtlijnig is). Niet alleen de bewegingsvergelijkingen van de klassieke mechanica, maar alle natuurkundige theorieën moeten zodanig geformuleerd worden dat zij invariant zijn voor de nog te vinden modificatie van de Galileï-transformatie (dat zullen de Lorentzvergelijkingen van paragraaf 2.6 zijn). T.a.v. B: Experimenten die de snelheid van de aarde t.o.v. de ether probeerden te meten, gaven geen resultaat (snelheid 0). Men probeerde de snelheid van de aarde te meten t.o.v. het licht dat volgens de theorie gedragen werd door de ether. Men vond echter, ongeacht of men nu de snelheid van het licht bepaalde in de bewegingsrichting van de aarde of loodrecht daarop, steeds dezelfde waarde. Dit is een zeer merkwaardig resultaat. Je zou immers volgens de vectoriële optelling van snelheden verwachten dat men twee verschillende resultaten zou vinden. Als we echter het bestaan van de ether ontkennen, zoals Einstein deed, kunnen de resultaten van deze experimenten ook anders geïnterpreteerd worden. Ongeacht de beweging van de waarnemer (of lichtbron) vindt men kennelijk steeds dezelfde waarde voor de lichtsnelheid. Hoewel strijdig met onze intuïtie, hebben experimenten dit fenomeen overtuigend aangetoond (de lichtsnelheid c is overigens maar liefst (bijna) km per seconde als het licht in vacuüm beweegt). Einstein was waarschijnlijk niet op de hoogte van deze experimenten (met name het beroemde Michelson-Morley experiment) en gebruikte deze dan ook niet als uitgangspunt bij het opstellen van dit postulaat. Verderop in dit dictaat wordt duidelijk waarom de lichtsnelheid binnen het kader van de relativiteitstheorie constant is

14 Hoewel achteraf gezien beide postulaten in zekere zin voor de hand lagen en zelfs gedeeltelijk al op een wiskundige wijze geformuleerd waren door o.a. Lorentz, lag de (geniale) bijdrage van Einstein hierin: Het kiezen van juist deze twee feiten als postulaten en dus niet als verschijnselen die verklaard moesten worden binnen de reeds bestaande (klassieke) natuurkunde. Hoewel de combinatie van deze twee postulaten onmiddellijk consequenties geven die volledig in strijd zijn met onze intuïtie en het toen al twee eeuwen bestaande natuurkundige wereldbeeld (de klassieke mechanica), slaagde Einstein erin deze uit te werken tot een innerlijk consistent geheel dat de klassieke mechanica vervangt. Rest ons niets anders te doen dan in te zien wat schort aan (de ideeën achter) de klassieke mechanica. We beginnen met de consequenties ten aanzien van het tijdbegrip. 2.2 Van lichtklok tot tijdsdilitatie Een lichtklok werkt als volgt: twee evenwijdige spiegels staan op afstand L van elkaar opgesteld. Tussen deze twee spiegels reist een lichtstraal heen en weer. De reistijd van het licht om weer bij de uitgangspositie te komen is dan 2L/c. We hebben op deze manier dus een klok die na elke t = 2L/c tikt (zie de linkerfiguur hieronder). Stel nu dat deze klok met een bepaalde snelheid v beweegt t.o.v. waarnemer S. Volgens deze waarnemer zal het licht de weg afleggen zoals in de rechterfiguur weergegeven. S ( = waarnemer in ruststelsel; dus v = 0 t.o.v. klok) S (= waarnemer met snelheid v t.o.v. de klok) volgens S: Δt = 2L / c volgens S : Δt = 2 (L 2 + (½vΔt ) 2 ) / c In de uitdrukking voor S is het 2 e (= licht) postulaat toegepast. Substitutie van L = ½cΔt in de uitdrukking voor S en enig heen en weer geschuif geeft [L]: Δt = γ Δt met γ = 1/ (1 v 2 /c 2 ) [1]

15 Merk op dat de zogenaamde gammafactor γ altijd groter dan (of gelijk aan) 1 is; oftewel S kent aan de duur van een tik van klok een langere tijd toe dan S! Toepassing van het 1 e (= relativiteits) postulaat laat zien dat deze uitdrukking geldt voor alle klokken ongeacht hun mechanisme: stel S bouwt een willekeurige andere klok die in hetzelfde tempo loopt als de (stilstaande) lichtklok en zet deze ernaast. Waarnemer S zal ook deze klok in hetzelfde tempo zien lopen als de lichtklok ongeacht het mechanisme dat de klok aandrijft. Als de klokken immers niet synchroon zouden lopen, dan zou S op basis hiervan moeten concluderen dat hij daadwerkelijk bewoog. Dit is echter in strijd met het relativiteitspostulaat dat zegt dat beweging (met constante snelheid in een rechte lijn) slechts relatief is. Maar als iedere denkbare klok zich zo gedraagt, dan gedraagt de tijd zelf zich volgens deze uitdrukking die bekend staat als de tijdsdilitatie: - vergeleken met de tijdsduur die een klok in het ruststelsel registreert, registreren klokken in een bewegend inertiaalstelsel een langere tijdsduur, - en wel met een factor γ, dus afhankelijk van de snelheid v van de waarnemer, - de tijdsduur geldend in het ruststelsel wordt ook wel de eigentijd genoemd, deze tijdsduur is dus de kortst mogelijke die een klok voor een bepaalde gebeurtenis registreert. Bewegende waarnemers S kennen een langere tijdsduur toe aan een gebeurtenis/proces dan een stilstaande waarnemer S (d.i.: stilstaand t.o.v. de gebeurtenis) doet. Als een waarnemer S in zijn ruimteschip op een (licht)klok 1 seconde ziet verstrijken, dan is volgens een bewegende waarnemer S een langere tijdsduur (met een factor γ) verstreken; S ziet de gebeurtenissen in S vertraagd verlopen. In het bijzonder: S ziet waarnemer S ook in een trager tempo verouderen. Opgave 4 a. Bereken de grootte van de γ-factor in de volgende gevallen: - een voor de klas ijsberende docent, dus v = 1 m/s. - een straaljager die Mach 2 vliegt. - een elektron dat om een atoomkern cirkelt: v is ongeveer 10% van c (!). - een elektron dat in een deeltjesversneller is versneld tot v = 0,998 c (!). - een foton. b. Hoe snel moet een waarnemer t.o.v. een klok bewegen zodat een tijdsduur van 1 seconde (volgens S in het russtelsel) volgens S een minuut duurt? Opgave 5 Schets de grafiek van γ tegen v (dat is dus ook de grafiek van Δt tegen Δt). Opgave 6 Muonen zijn elementaire deeltjes die instabiel zijn; hun levensduur (eigenlijk halfwaardetijd) bedraagt 2,2 μs (in hun ruststelsel). Muonen worden gevormd op een hoogte van 10 km (als kosmische straling op onze atmosfeer botst) en verkrijgen daarbij een snelheid van 0,998 c. a. Verklaar waarom volgens de klassieke natuurkunde geen muonen het aardoppervlak zouden moeten bereiken. b. Verklaar waarom we deze muonen toch detecteren met op de grond geplaatste meetapparatuur (gebruik je 4 e antwoord van vraag 4a)

16 2.3 Tijd is relatief Uit de vorige paragraaf volgt dat het tijdsdilitatie-effect: relatief is, dat is ten opzichte van een waarnemer S ten opzichte waarvan waarnemer S beweegt (eenparig rechtlijnig). qua grootte afhankelijk is van de snelheid v van S t.o.v. S. Opnieuw toepassen van het 1 e postulaat geeft echter ook dat het tijdsdilitatie-effect wederzijds is, volgens S verstrijkt er meer tijd dan de klok van S aangeeft, maar S beweert hetzelfde over de klok van S (!). S ziet S trager ouder worden en S ziet juist S trager worden. In paragraaf 2.5 zetten we deze discussie verder. Einstein verduidelijkte aan de hand van het volgende gedachte-experiment dat (dus) ook het idee van gelijktijdigheid (in absolute zin) moet worden opgegeven. Stel je een trein voor die met een bepaalde snelheid v over de rails beweegt. In deze trein staat in het midden een zekere waarnemer S. Langs de rails staat een tweede waarnemer S die naar de voorbijrijdende trein kijkt. Langs de rails staan op een afstand die gelijk is aan de lengte van de trein (zoals waargenomen door S ) twee fototoestellen geplaatst die flitsen zodra de voor- resp. achterkant van de trein voorbijkomt. De trein komt langs rijden. S die midden tussen de fototoestellen staat, ziet de flitsen van de toestellen hem gelijktijdig bereiken en hij concludeert daarom dat de toestellen gelijktijdig flitsten. Waarnemer S, ondanks het feit dat hij zich in het midden van de treinwagon bevindt, concludeert echter dat de rechterflits vóór de linkerflits zal zijn uitgezonden. Immers, S reist naar rechts en dus zal de rechterflits eerder bij hem arriveren dan de linker. Bedenk dat óók S het licht met snelheid c ziet naderen (2 e postulaat) én dat hij, op basis van het 1 e postulaat, niet zal hoeven (mogen) corrigeren voor het feit dat hij de echte beweger is, wat hij volgens de klassieke natuurkunde wel had moeten doen. Deze situatie is overigens niet wederkerig in de volgende zin:

17 Opgave 7 Hoe oordeelt S over de situatie die S ervaart; bereiken ook voor S de lichtstralen S tegelijkertijd? Gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen die op verschillende plaatsen plaatsvinden, valt alleen te definiëren binnen één inertiaalstelsel. Ieder ander inertiaalstelsel zal concluderen dat de gebeurtenissen in ieder geval niet gelijktijdig zijn; er bestaat geen alom vertegenwoordigd NU. Dit verlies van het idee van gelijktijdigheid en de wederzijdse relativiteit van het tijdsdilitatieeffect dwingt ons tot de opgave van de newtoniaanse absolute tijd en het is in dit opzicht dat geldt: tijd is relatief. Overigens blijft de (causale) volgorde van gebeurtenissen behouden: als waarnemer S met een pistool door het hoofd wordt geschoten, ziet óók S eerst het pistool afgaan, vervolgens de kogel van het pistool naar S reizen en tenslotte 2.4 De lorentzcontractie Omdat inertiaalwaarnemers het onderling niet eens zullen zijn over verstreken tijden, maar wel over de (zelfde) snelheid c van het licht, zullen zij óók onderling van mening verschillen over afgelegde afstanden. S ( = waarnemer in ruststelsel; dus v = 0 t.o.v. de meetlat) S (= waarnemer met snelheid v t.o.v. de meetlat) Stel dat S volgens S een tijd Δt nodig heeft om zijn meetlat te passeren. Voor S geldt dan voor de lengte van de meetlat: L = v.δt Hoe ervaart S het passeren van deze meetlat? Voor S is het juist de meetlat die beweegt (t.o.v. S ). Vergeleken met S is voor S gedurende deze meting een kortere tijd verstreken en wel met een factor γ; volgens S is de verstreken tijd Δt = Δt/γ. S concludeert dat de meetlat een lengte heeft van L = v.δt = v.δt/γ = L/γ. Aangezien γ altijd groter (of gelijk is) aan 1, wordt een bewegende meetlat blijkbaar altijd verkort waargenomen t.o.v. de lengte van de meetlat zoals gemeten in zijn ruststelsel (= eigenlengte). Deze inkorting van lengtes staat bekend als de lorentzcontractie: L = L / γ met γ = 1/ (1 v 2 /c 2 ) [2]

18 Evenals de tijdsdilitatie is ook de lorentzcontractie een wederzijds verschijnsel: S vindt dat de meetlat van S is ingekrompen en S vindt dat andersom van de meetlat die S gebruikt. De eigenlengte is de grootst mogelijke lengte die een waarnemer (n.l. diegene die in rust t.o.v. de meetlat is) aan de meetlat kan toekennen. Alle andere inertiaalwaarnemers zullen een kortere lengte vinden. Omdat waarnemers het onderling oneens zijn over gemeten afstanden en dus ook het afstandsbegrip geen absolute grootheid meer is, moet ook Newton's idee van de absolute ruimte worden opgegeven. Nota bene: het handelt hier om de lengte in de richting van de onderlinge snelheid (zie bijlage over afleiding lorentzvergelijkingen) van S en S ; dat is de reden waarom we in de afleiding van de tijdsdilitatie m.b.v. de lichtklok de loodrechte lengte L voor beide waarnemers gelijk konden kiezen. Opgave 8 Terug naar de muonen van opgave 6. Verklaar waarom de muonen vanuit hún optiek de grond weten te bereiken. Opgave 9 Terug naar opgave 7. Welk gegeven heeft S nodig om voor elkaar te krijgen dat de lichtflitsen hen inderdaad gelijktijdig bereiken? Is de lorentzcontractie nu echt? S vindt immers dat een ruimteschip waarin S zich bevindt, in de lengterichting is ingekrompen, maar S beweert hetzelfde over het ruimteschip waarin S zich bevindt. Wie heeft er nu gelijk? Het antwoord op deze vraag luidt niet dat dit slechts een kwestie van opinie is, dat de lorentzcontractie er alleen maar schijnt te zijn / alleen maar gezien wordt doordat een waarnemer in beweging is: Opgave 10 Albert heeft als hobby polstok springen. Hij heeft ook een schuurtje, maar de polstol is net te lang om erin te passen. Geen nood, zegt tweelingbroer Niels: Ik neem gewoon een flinke aanloop, zodat de stok wèl in de schuur past. a. Zal Niels tijdens het rennen inderdaad ervaren dat de stok past? b. Zal Albert dat ervaren? Past de stok nu wel of niet? Stel dat we in het midden van de schuur een bom plaatsen die afgaat indien de uiteinden van de stok net in de schuur passen (tegelijkertijd contact maken met de (binnen)wanden van de schuur), c. Gaat de bom af? 2.5 De tweelingparadox Opgave 11 De afstand tot onze dichtstbijzijnde ster (op de zon na), Proxima Centauri, is 4,3 lichtjaar. Iemand reist met een ruimteschip naar Proxima Centauri en weer terug. Hij doet dit met een constante snelheid van v = 0,8 c t.o.v. de aarde. a. Bij het vertrek van de reiziger wordt een klok op aarde gestart. Hoeveel tijd is op deze klok verstreken als de reiziger terugkeert? b. In het ruimteschip wordt eenzelfde klok meegenomen op reis. Bereken uit de lorentzcontractie hoeveel tijd op deze klok is verstreken bij terugkomst op aarde. c. Hoeveel tijd is volgens de reiziger op de klok op aarde verlopen? Volgens de waarnemer op aarde loopt de klok van de reiziger langzamer en volgens de reiziger loopt juist de klok op aarde langzamer. Als de reiziger en thuisblijver tweelingbroers

19 zijn, wie is dan bij terugkomst op aarde het meest verouderd en dus de oudste van de twee?! Volgens het relativiteitspostulaat zijn beide standpunten gelijkwaardig. Als de reizigers elkaar gedurende de reis bekijken (m.b.v. heen en weer reizende lichtstralen) zal de thuisblijver weliswaar op een bepaald moment vinden dat de reiziger minder oud is (hij kan als bewijs een foto maken en doorseinen naar de reiziger), maar dat zal de reiziger niet overtuigen, hij zal volgens zijn klok van mening zijn dat dat bepaald moment van de thuisblijver veel vroeger plaatsvond! Deze kwestie staat bekend als de tweelingparadox, want bij terugkomst op aarde, blijkt de reiziger jonger te zijn dan de thuisblijver! Over deze paradox valt veel te zeggen, óók binnen het kader van de algemene relativiteitstheorie. We merken het volgende op: het relativiteitspostulaat is niet van toepassing: de reiziger zal namelijk om terug te keren op aarde op een gegeven moment zijn snelheid moeten vertragen, tot stilstand moeten komen, omdraaien en versnellen om (met constante snelheid) weer terug te keren. Gedurende deze manoeuvre (en tijdens het opstijgen en landen) heeft de reiziger dus geen constante snelheid in een rechte lijn en dit maakt hem in absolute zin tot reiziger. De thuisblijver ervaart deze versnellingen immers niet en de reiziger wordt daarmee de échte beweger. De reiziger verbreekt daarmee de symmetrie die volgens het relativiteitspostulaat tussen de twee waarnemers bestaat. Om tijdsduren zoals geregistreerd in twee verschillende referentiekaders (die van de reiziger en die van de thuisblijver) gelijktijdig (volgens beiden) te kunnen vergelijken, zal een waarnemer altijd zo n terugkeermanoeuvre moeten uitvoeren. Het is de daadwerkelijke (fysieke) verplaatsing van het ene inertiaalstelsel naar het andere dat het relativistisch effect asymmetrisch doet zijn. Toch is hiermee het verhaal niet af. Ook tijdens de versnelde beweging loopt de reizende klok trager, maar dit valt binnen het kader van de algemene relativiteitstheorie; zelfs wanneer de reis een cirkelbeweging zou beschrijven (en er dus nooit sprake is van een eenparig rechtlijnige beweging), ook dan zal het verschil in leeftijd gevonden worden (bijv. in cirkelvormige deeltjesversnellers (maar dan met elementaire deeltjes)) [6]. 2.6 De lorentzvergelijkingen Zoals de naam suggereert, zijn de vergelijkingen die de coördinatentransformatie van S naar S beschrijven al vóór de relativiteitstheorie ontdekt en wel met name door Lorentz. Echter, zoals reeds in de inleiding vermeld, wist Lorentz hier geen juiste, consistente en algemene interpretatie aan te geven. Met deze lorentztransformatieregels kunnen we van de coördinaten x, y, z, en t zoals waarnemer S die (in het ruststelsel) gebruikt, overstappen naar de coördinaten x, y, z en t zoals S die gebruikt. De afleiding is niet moeilijk maar wel lang; hij is daarom als bijlage bijgevoegd. Klassiek Galileï-transformatie Relativistisch Lorentztransformatie t = t t = γ [t vx/c²] x = x vt x = γ [x vt] y = y y = y z = z z = z

20 met (weer) γ = 1/ (1 v 2 /c 2 ) Zoals door de reeds bekeken tijdsdilitatie- en lorentzcontractie-effecten te verwachten, zijn de relativistische transformatieregels ingewikkelder dan die van de klassieke mechanica. We bekijken ze in onderstaande opgaven wat nauwkeuriger. Opgave 12 a. Druk x en t uit in x en t. Waarom had je dit antwoord ook meteen kunnen opschrijven? b. Wat gebeurt met de lorentztransformatie als je v naar 0 laat naderen? Opgave 13 Opgave 14 In een bepaald referentiekader S is een voorwerp evenwijdig aan de x -as vast geplaatst. De eigenlengte L van het voorwerp loopt in S van x A tot x B, dus L = x B x A. Leid uit de lorentzvergelijkingen af dat de lengte het voorwerp volgens waarnemer S gelijk is aan L/γ (t = t A = t B ). Een klok op plaats x A in S registreert een bepaalde eigentijd(sduur) T. Leid uit de lorentzvergelijkingen af dat volgens S een tijd γt verstreken is (x = x A = x B ). Waarschuwing: met de Lorentzvergelijkingen kun je ieder willekeurige plaats (x,t) transformeren naar (x,t ) en daarmee ook afstanden en tijdsduren. Deze verschillen i.h.a. géén factor γ (maar een ingewikkelder factor). De lorentzcontractie en tijdsdilitatie gelden uitsluitend onder de voorwaarden tussen haakjes zoals in de opgave 13 en 14 vermeld. Opgave 15 Binnen een bepaald inertiaalstelsel S heeft een voorwerp een constante snelheid v evenwijdig aan de x-as. a. Laat d.m.v. de Lorentzvergelijkingen zien dat een waarnemer S die t.o.v. dit referentiekader beweegt met een snelheid u evenwijdig aan de x-as, een snelheid w aan het voorwerp toekent die gelijk is aan: w = (u + v) / (1 + uv/c²) [3] Hint: volgens S is v = x/t en volgens S is v = x /t. b. Wat had deze uitdrukking klassiek moeten zijn? Onder welke voorwaarde geeft formule 3 het klassieke resultaat? c. Welke snelheid vind je voor een ruimteschip dat met v = 0,75 c reist en dat een raket met snelheid u = 0,75 c lanceert? d. c + c =? Onder andere op deze wijze is in te zien dat snelheden groter dan de lichtsnelheid in de relativiteitstheorie niet kunnen voorkomen. Verder volgt uit vraag d. dat de lorentzvergelijkingen garanderen dat iedere inertiaalwaarnemer inderdaad de waarde c voor de lichtsnelheid vindt: e. Wat is w als volgens S de lichtsnelheid gelijk is aan c (dus als v = c)?

21 Opgave 16 Laat zien dat x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 [4] 2.7 De ruimte-tijd is 4-dimensionaal Wat is de betekenis van de uitdrukking van opgave 16? Inertiaalwaarnemers zijn het onderling oneens over ruimtelijke afstanden en tijdsduren, maar zij zijn het wél eens over de grootte van het linker- (of rechter)lid van de uitdrukking in opgave 16! Mooier gezegd: deze uitdrukking is invariant onder de lorentztransformatie. De grootheid s = (x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 ) kan geïnterpreteerd worden als een afstand (ct heeft eenheid m), maar dan wél in een soort menging van ruimte- en tijdafstand (deze menging is overigens ook duidelijk zichtbaar in de uitdrukking voor t in de lorentztransformatie). Waarnemers zijn het oneens over een driedimensionale ruimtelijke afstand (x 2 + y 2 + z 2 ) en óók niet eens over een tijd t en tijdafstand ct, maar blijkbaar wél over de ruimte-tijdafstand s. Het is in deze zin dat de ruimte-tijd een 4-dimensionaal continuüm is. Kiezen we als tijdcoördinaat niet de klassieke tijd t maar i.p.v. daarvan de complexe tijd [L] (-1)t en daarmee als 4 de coördinaat x 4 = (-1)ct, dan geldt dat afstanden in deze ruimte gemeten kunnen worden volgens de 4-dimensionale variant van de stelling van Pythagoras: s = (x x x x 4 2 ). We komen hier in hoofdstuk 3 op terug. 2.8 E = mc 2 We bekijken een ander gedachte-experiment van Einstein [8]. Zie de figuur hieronder. Voor een foton geldt dat deze een impuls p bezit ter grootte E/c (dit is een experimenteel gegeven en is essentieel in de volgende afleiding, er bestaan echter ook andere afleidingen die geen beroep doen op dit experimentele gegeven). Een doos zendt een foton uit vanaf de linkerkant en wordt een tijd later aan de rechterkant geabsorbeerd. Aangezien het foton impuls bezit, krijgt de doos op moment van uitzenden een terugslag naar links en wel ter grootte p = E/c. Stellen we de massa van de doos gelijk aan M dan volgt uit impulsbehoud dat de doos een hierdoor een snelheid v = E/(Mc) verkrijgt. Op het moment dat de doos het foton aan de rechterkant weer absorbeert, komt de doos weer tot stilstand en heeft deze zich ondertussen over een afstand s = vt = vl/c = EL/(Mc 2 ) verplaatst met L de lengte van de doos. In eerste instantie lijkt het nu alsof het zwaartepunt van de doos zich heeft verplaatst maar dat kan niet omdat er geen uitwendige kracht op de doos werkt; de krachtenwisselwerkingen tussen foton en doos zijn immers slechts inwendige krachten

22 Blijkbaar moeten we veronderstellen dat het foton niet alleen maar energie maar ook massa heeft verplaatst van links naar rechts. Laten we die massa m noemen. Als we inderdaad aannemen dat het zwaartepunt van de doos op zijn plaats blijft, moet dan gelden: Ms = - ml. Substitutie van de uitdrukking voor s hierin levert de wellicht beroemdste wetenschappelijke formule ooit: E = mc 2 [5] Overigens staat deze formule in Einstein s eerste artikel over dit onderwerp niet zo geformuleerd als hierboven, maar (terecht) als m = E/c 2 met als conclusie dat aan energie (van bijvoorbeeld het foton in bovenstaand geval) blijkbaar een (trage) massa moet worden toegekend. We komen terug op de interpretatie van deze uitdrukking in paragraaf F ma In de speciale relativiteitstheorie blijven de klassieke wetten van behoud van impuls p = mv en energie E (met mc 2 óók als een vorm van energie) geldig. We bekijken de botsing tussen twee identieke deeltjes met massa m en tegengestelde snelheden v. De botsing is volkomen inelastisch: beide deeltjes gaan na de botsing als één deeltje verder. Vanwege de wet van behoud van impuls blijven ze als één deeltje met massa M = 2m stilliggen omdat hun gezamenlijke impuls vóór de botsing ook 0 was. Echter, dat geldt alleen voor een waarnemer S die stil staat t.o.v. van die nieuwe massa M; deze waarnemer bevindt zich in het zogenaamde zwaartepuntstelsel van de twee deeltjes. We bekijken dezelfde botsing nu vanuit een waarnemer S die met het linkerdeeltje m L mee beweegt, anders gezegd: S bevindt zich in het ruststelsel van het linkerdeeltje. Klassiek gezien zou het rechterdeeltje m R dan voor S snelheid 2v verkrijgen maar uit opgave 15 volgt dat dit 2v/(1 + v 2 /c 2 ) is. Voor massa M geldt dan dat de snelheid volgens S v zal zijn. Uit de (nieuwe) wet van behoud van energie en impuls volgt dan dat: m L c 2 + m R c 2 = Mc 2 en m R.2v/(1 + v 2 /c 2 ) = M.v Elimineren van M geeft m L = (1 + v 2 /c 2 ) /(1- v 2 /c 2 ). m R. Nu is de factor vóór m L gelijk aan de γ-factor (die hoort bij snelheid 2v/(1 + v 2 /c 2 ) (!)) en waren m R en m L twee identieke deeltjes met als enige verschil voor S dat het rechter stil staat en het linker beweegt (met snelheid 2v/(1 + v 2 /c 2 )). M.a.w. de massa van het bewegende deeltje is (volgens S ) groter dan de massa van het stilstaande deeltje en wel met een factor γ: m = γm 0 met γ = 1/ (1 v 2 /c 2 ) [6]

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.

Nadere informatie

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale

Nadere informatie

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar )

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar ) Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar 2016-2017) February 5, 2017 Tijd: 2 uur 30 min Afsluitend Maximum Marks: 78+5(bonusopgave) 1. In wereld van serie Star-Trek kunnen mensen

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" 8 september 203 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of

Nadere informatie

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding De speciale relativiteitstheorie 1. Inleiding In de fysica zijn er waarschijnlijk weinig theorieën die de vorige eeuw zoveel tot de verbeelding van de mensen gesproken hebben als de relativiteitstheorie

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum:

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667 Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 GLIESE 667 WE GAAN OP REIS De invloed van de mensheid reikt steeds verder. In de oertijd kon een mens zich maar enkele kilometers van zijn

Nadere informatie

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud

Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud Higgs-deeltje Peter Renaud Heideheeren Inhoud 1. Onze fysische werkelijkheid 2. Newton Einstein - Bohr 3. Kwantumveldentheorie 4. Higgs-deeltjes en Higgs-veld 3 oktober 2012 Heideheeren 2 1 Plato De dingen

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende

Nadere informatie

Massa. Energie. E = m c 2. (licht-) Snelheid. en hoe u het zelf had kunnen bedenken. Dr. Harm van der Lek. Natuurkunde hobbyist

Massa. Energie. E = m c 2. (licht-) Snelheid. en hoe u het zelf had kunnen bedenken. Dr. Harm van der Lek. Natuurkunde hobbyist Massa Energie E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht-) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist 2 Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo

Nadere informatie

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk

Nadere informatie

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B Einstein (2) In het vorig artikeltje zijn helaas de tekeningen, behorende bij bijlage 4,"weggevallen".Omdat het de illustratie betrof van de "eenvoudige" bewijsvoering van de kromming der lichtstralen

Nadere informatie

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1 Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

E = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1.

E = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1. Energie Massa E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo

Nadere informatie

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum:

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B RELATIVITEIT KEPLER 22B Tolpoortje chterste krachtveld de raket binnen is. aket 200 m Krachtveld. het tolsystee zet zodra he krachtveld a Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B KEPLER 22B VERDER EN VERDER

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA)

Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Werkblad 3 Bewegen antwoorden- Thema 14 (NIVEAU BETA) Theorie In werkblad 1 heb je geleerd dat krachten een snelheid willen veranderen. Je kunt het ook omdraaien, als er geen kracht werkt, dan verandert

Nadere informatie

De Large Hadron Collider 2.0. Wouter Verkerke (NIKHEF)

De Large Hadron Collider 2.0. Wouter Verkerke (NIKHEF) De Large Hadron Collider 2.0 Wouter Verkerke (NIKHEF) 11 2 De Large Hadron Collider LHCb ATLAS CMS Eén versneller vier experimenten! Concept studie gestart in 1984! Eerste botsingen 25 jaar later in 2009!!

Nadere informatie

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1.

oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1. Opgaven en uitwerkingen vind je op www.agtijmensen.nl Oefen vt vwo5 h6 Elektromagnetisme Opgave 1. Elektrisch veld In de vacuüm gepompte beeldbuis van een TV staan twee evenwijdige vlakke metalen platen

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven

Nadere informatie

Botsingen. N.G. Schultheiss

Botsingen. N.G. Schultheiss 1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde

Nadere informatie

Relativiteitstheorie VWO

Relativiteitstheorie VWO Inhoud... 2 Waarnemingen verrichten... 2 Relativiteitsprincipe van Galileo Galilei... 3 Het (tijd, plaats)-diagram... 4 Iedereen kijkt naar Bobs raket... 4 Het relativiteitsprincipe van Galilei en de snelheid

Nadere informatie

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum:

QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX. Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX QUANTUMFYSICA DE EPR-PARADOX Naam: Klas: Datum: DE EPR-PARADOX DE EPR-PARADOX EEN GEDACHTE-EXPERIMENT Volgens de wetten van de quantummechanica kunnen bepaalde deeltjes spontaan vervallen.

Nadere informatie

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd

nieuw deeltje deeltje 1 deeltje 2 deeltje 2 tijd Samenvatting Inleiding De kern Een atoom bestaat uit een kern en aan de kern gebonden elektronen, die om de kern cirkelen. Dat de elektronen aan de kern gebonden zijn, komt doordat er een kracht werkt

Nadere informatie

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van

Nadere informatie

Relativiteitstheorie. Wat zijn de eigenschappen van ruimte en tijd?

Relativiteitstheorie. Wat zijn de eigenschappen van ruimte en tijd? Relativiteitstheorie D. G.B.J. Dieks Wat zijn de eigenschappen van ruimte en tijd? In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over `De elektrodynamica van bewegende lichamen'. De titel suggereert

Nadere informatie

De lichtsnelheid kromt de ruimte. Mogelijke verklaring voor de grens van het heelal

De lichtsnelheid kromt de ruimte. Mogelijke verklaring voor de grens van het heelal 1 De lichtsnelheid kromt de ruimte Mogelijke verklaring voor de grens van het heelal Inleiding 2 De lichtsnelheid, zo snel als 300.000.000 meter per seconde, heeft wellicht grote gevolgen voor de omvang

Nadere informatie

Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein. B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron. C. Eigentijd. D.

Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein. B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron. C. Eigentijd. D. Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de

Nadere informatie

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF Tweede Fase Het neutrinomysterie Foto: CERN 1 Het was op het nieuws, het was in de krant, iedereen had het er over: neutrino s die sneller gaan dan het licht.

Nadere informatie

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur

NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Tweede ronde - theorie toets. 21 juni beschikbare tijd : 2 x 2 uur NATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE Tweede ronde - theorie toets 21 juni 2000 beschikbare tijd : 2 x 2 uur 52 --- 12 de tweede ronde DEEL I 1. Eugenia. Onlangs is met een telescoop vanaf de Aarde de ongeveer

Nadere informatie

Begripsvragen: Elektrisch veld

Begripsvragen: Elektrisch veld Handboek natuurkundedidactiek Hoofdstuk 4: Leerstofdomeinen 4.2 Domeinspecifieke leerstofopbouw 4.2.4 Elektriciteit en magnetisme Begripsvragen: Elektrisch veld 1 Meerkeuzevragen Elektrisch veld 1 [V]

Nadere informatie

Tentamen - uitwerkingen

Tentamen - uitwerkingen Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Einsteins heilige graal. Jeroen van Dongen, U. Amsterdam

Einsteins heilige graal. Jeroen van Dongen, U. Amsterdam Einsteins heilige graal Jeroen van Dongen, U. Amsterdam Thema: De Algemene Relativiteitstheorie: Kwam tot stand door een samenspel van wis- en natuurkunde Motiveerde Einsteins zoektocht naar een geünificeerde

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Q3-1 De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Lees eerst de algemene instructies in de aparte envelop alvorens te starten met deze vraag. In deze opdracht wordt de fysica van de deeltjesversneller

Nadere informatie

hoofdstuk R Noordhoff Uitgevers bv

hoofdstuk R Noordhoff Uitgevers bv R 2 hoofdstuk R 244022_Physics 4NA TF.indd 2 30/07/14 1:07 PM Relativiteit In 1905 publiceerde Albert Einstein de speciale relativiteitstheorie, die zo radicaal vernieuwend was dat hij er de wetenschapper

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de

Nadere informatie

Formuleblad relativiteit (deel 1)

Formuleblad relativiteit (deel 1) Formuleblad relativiteit (deel 1), www.roelhendriks.eu 1 Formuleblad relativiteit (deel 1) c v β en 1 1 β γ 1 c v t t o 1 c v L L o ) ( ct β x γ x ) ( x β ct γ ct ) ( ct β x γ x + ) ( x β ct γ ct + Δx

Nadere informatie

http://web.science.uu.nl/hovo/ Beschrijven van beweging Referentiestelsel Positie (x,y,z,t) Snelheid, verandering van de positie per eenheid van tijd. Versnelling, verandering van de snelheid per eenheid

Nadere informatie

De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox. Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde

De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox. Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde Juli 2010 Inhoud Inleiding SRT postulaten en Lorentz transformatie Tijddilatatie

Nadere informatie

Populair-wetenschappelijke samenvatting

Populair-wetenschappelijke samenvatting Populair-wetenschappelijke samenvatting Dit proefschrift gaat over zwaartekracht, en een aantal van de bijzondere effecten die zij heeft op de beweging van sterren wanneer die extreem dicht bij elkaar

Nadere informatie

De Broglie. N.G. Schultheiss

De Broglie. N.G. Schultheiss De Broglie N.G. Schultheiss Inleiding Deze module volgt op de module Detecteren en gaat vooraf aan de module Fluorescentie. In deze module wordt de kleur van het geabsorbeerd of geëmitteerd licht gekoppeld

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S.

Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Speciale relativiteit Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Bentvelsen 1 Even voorstellen S. Bentvelsen

Nadere informatie

Bijlage 1. Bijlage 2.

Bijlage 1. Bijlage 2. ALBERT EINSTEIN Inleiding: Alhoewel een artikelenreeks over Einstein en zijn wetenschappelijke betekenis niet direct actueel genoemd kan worden, heb ik na ampele overwegingen, hier toch voor gekozen, en

Nadere informatie

3 Veranderende krachten

3 Veranderende krachten 3 Veranderende krachten B Modelleren Een computermodel van bewegingen in SCYDynamics NLT-module Het lesmateriaal bij deze paragraaf vormt een onderdeel van de NLT-module Dynamische Modellen VWO. Wat gaan

Nadere informatie

Schoolexamen Moderne Natuurkunde

Schoolexamen Moderne Natuurkunde Schoolexamen Moderne Natuurkunde Natuurkunde 1,2 VWO 6 24 maart 2003 Tijdsduur: 90 minuten Deze toets bestaat uit 3 opgaven met 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten

Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten 1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor

Nadere informatie

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 Fysica: mechanica, golven en thermodynamica Prof. J. Danckaert PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 OPGEPAST Veel succes! Dit proefexamen bestaat grotendeels uit meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend

Nadere informatie

jaar: 1989 nummer: 17

jaar: 1989 nummer: 17 jaar: 1989 nummer: 17 De snelheidscomponent van een deeltje voldoet aan : v x = a x t, waarin a x constant is en negatief. De plaats van het deeltje wordt voorgesteld door x. Aangenomen wordt dat x= 0

Nadere informatie

Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur

Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur Zoektocht naar de elementaire bouwstenen van de natuur Het atoom: hoe beter men keek hoe kleiner het leek Ivo van Vulpen CERN Mijn oude huis Anti-materie ATLAS detector Gebouw-40 globe 21 cctober, 2006

Nadere informatie

Tijd & causaliteit Relativiteitstheorie Pijl van de tijd Samenvatting. Tijd in de fysica. Paul Koerber

Tijd & causaliteit Relativiteitstheorie Pijl van de tijd Samenvatting. Tijd in de fysica. Paul Koerber Tijd in de fysica Paul Koerber Postdoctoraal Onderzoeker FWO Instituut voor Theoretische Fysica, K.U.Leuven Kunsthumaniora Brussel, 2 maart 2011 1 / 16 Wat is tijd? Een coördinaat om de positie van een

Nadere informatie

Sterrenkunde Ruimte en tijd (3)

Sterrenkunde Ruimte en tijd (3) Sterrenkunde Ruimte en tijd (3) Zoals we in het vorige artikel konden lezen, concludeerde Hubble in 1929 tot de theorie van het uitdijende heelal. Dit uitdijen geschiedt met een snelheid die evenredig

Nadere informatie

Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen

Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen Het Standaardmodel Het ongrijpbare Higgs-deeltje gegrepen Lezing 13 februari 2015 - Koksijde Christian Rulmonde Er zijn 18 elementaire deeltjes waaruit de materie is opgebouwd. Ook de deeltjes die de natuurkrachten

Nadere informatie

Tekstboek Module 1. Bewustwording

Tekstboek Module 1. Bewustwording Tekstboek Module 1. Bewustwording Dag 1. Doe Het Zelf Werkelijkheid. Daar gaan we! Vandaag start je met dag 1 van module 1: bewustwording. Deze module vormt het fundament van de cursus. Je ontdekt tijdens

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

BEWEGING HAVO. Raaklijnmethode Hokjesmethode

BEWEGING HAVO. Raaklijnmethode Hokjesmethode BEWEGING HAVO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen

Nadere informatie

Krachten (4VWO) www.betales.nl

Krachten (4VWO) www.betales.nl www.betales.nl Grootheden Scalairen Vectoren - Grootte - Eenheid - Grootte - Eenheid - Richting Bv: m = 987 kg x = 10m (x = plaats) V = 3L Bv: F = 17N s = Δx (verplaatsing) v = 2km/h Krachten optellen

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 4: Lineaire regressie Inleveren: Uiterlijk 15 februari voor 16.00 in mijn postvakje Afspraken Overleg is toegestaan, maar iedereen levert zijn eigen werk in. Overschrijven

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I Eindexamen vwo natuurkunde 03-I Beoordelingsmodel Opgave Sprint maximumscore De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagram (vanaf 4 seconde) een rechte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van

Nadere informatie

Samenvatting snelheden en 6.1 6.3

Samenvatting snelheden en 6.1 6.3 Samenvatting snelheden en 6.1 6.3 Boekje snelheden en bewegen Een beweging kan je op verschillende manieren vastleggen: Fotograferen met tussenpozen, elke foto is een gedeelte van een beweging Stroboscopische

Nadere informatie

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012

Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012 - Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de

Nadere informatie

RELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré

RELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré RELATIVITEIT N.G. SCHULTHEISS. Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel

Nadere informatie

Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP

Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese

Nadere informatie

Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte

Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Bekijk een willekeurig pad van naar. Verdeel het pad in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden. De lengte

Nadere informatie

Relativiteit. N.G. Schultheiss

Relativiteit. N.G. Schultheiss 1 Relativiteit N.G. Shultheiss 1 Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel

Nadere informatie

Oplossing examenoefening 2 :

Oplossing examenoefening 2 : Oplossing examenoefening 2 : Opgave (a) : Een geleidende draad is 50 cm lang en heeft een doorsnede van 1 cm 2. De weerstand van de draad bedraagt 2.5 mω. Wat is de geleidbaarheid van het materiaal waaruit

Nadere informatie

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 2

Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 2 Antwoorden Natuurkunde Hoofdstuk 2 Antwoorden door Daan 4301 woorden 3 april 2016 6,8 6 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Systematische natuurkunde 2.1 Onderzoek naar bewegingen Opgave 1 a De (gemiddelde)

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be

toelatingsexamen-geneeskunde.be Fysica juli 2009 Laatste update: 31/07/2009. Vragen gebaseerd op het ingangsexamen juli 2009. Vraag 1 Een landingsbaan is 500 lang. Een vliegtuig heeft de volledige lengte van de startbaan nodig om op

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/28941 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Ortiz, Pablo Title: Effects of heavy fields on inflationary cosmology Issue Date:

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Bekijk bovenstaande figuur. We weten dat EF horizontaal loopt, en GF verticaal. Dus is EG de middellijn van de cirkel met middelpunt H die door E, G en F gaat (omgekeerde stelling

Nadere informatie

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS

XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS XXX INTERNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE PADUA, ITALIË THEORIE-TOETS 22 juli 1999 70 --- 13 de internationale olympiade Opgave 1. Absorptie van straling door een gas Een cilindervormig vat, met de as vertikaal,

Nadere informatie

Examen HAVO - Compex. natuurkunde 1,2 Compex

Examen HAVO - Compex. natuurkunde 1,2 Compex natuurkunde 1, Compex Examen HAVO - Compex? Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 30 mei totale examentijd 3,5 uur 0 06 n dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer niet

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Relativistische interacties. N.G. Schultheiss

Relativistische interacties. N.G. Schultheiss 1 Relativistische interacties N.G. Schultheiss 1 Inleiding Botsingen van deeltjes zijn met behul van energie en imuls te beschrijven. Bij elastische botsingen blijft de som van de kinetische energie gelijk.

Nadere informatie

Folkert Buiter 2 oktober 2015

Folkert Buiter 2 oktober 2015 1 Nuchter kijken naar feiten en trends van aardbevingen in Groningen. Een versneld stijgende lijn van het aantal en de kracht van aardbevingen in Groningen. Hoe je ook naar de feitelijke metingen van de

Nadere informatie

Loesje over de de Oerknal: Eerst was er niets en toen is dat nog ontploft ook

Loesje over de de Oerknal: Eerst was er niets en toen is dat nog ontploft ook 1 Loesje over de de Oerknal: Eerst was er niets en toen is dat nog ontploft ook Natuurkundigen weten weinig over het moment van de Oerknal. Wat we wel begrijpen is de evolutie van ons Universum vanaf zeg

Nadere informatie