Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics.

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Pairtrading een model gebaseerd op de Brownse brug (Engelse titel: Pairtrading, a model based on the Brownian bridge) Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Dirk Hazenoot Delft, Nederland 9 oktober 1 Copyright c 1 door Dirk Hazenoot. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Pairtrading een model gebaseerd op de Brownse brug (Engelse titel: Pairtrading, a model based on the Brownian bridge) Dirk Hazenoot Technische Universiteit Delft Begeleiders Dr. E.A. Cator Dr. J.H.M. Anderluh Overige commissieleden Prof.dr.ir. A.W. Heemink Dr.ir. M. Keijzer 9 oktober 1 Delft

4

5 Voorwoord De media berichten met enige regelmaat over gorilla s die met bananen en andere voorwerpen de beurzen verslaan. Die berichten fascineren mij. Want financieel deskundigen zouden toch in staat moeten zijn met hun kennis en ervaring gebruikmakend van de meest geavanceerde computerprogramma s en databestanden het toeval in die mate uit te sluiten dan wel te beperken dat zij de gemiddelden van de AEX, de Dow Jones en andere indexen kunnen overtreffen. Die fascinatie heeft mij ertoe doen besluiten serieus na te denken over een succesvolle strategie voor beurshandelaren. Ik heb mij daarbij beperkt tot het zogenoemde pairtrading. Een financieel instrument waarvan beurshandelaren bij hun bedrijfsvoering gebruik kunnen maken. In mijn bacheloreindwerk doe ik verslag van mijn onderzoek en van mijn resultaten. Een woord van dank ben ik verschuldigd aan mijn begeleider Dr. E.A. Cator die mij op allerlei wijzen heeft geholpen bij het tot stand brengen van mijn bacheloreindwerk. Dr. J.H.M. Anderluh is zo vriendelijk geweest mij te helpen met het verkrijgen van de noodzakelijke beursdata. Ook hem ben ik dank verschuldigd. Tenslotte bedank ik ir. W.L. Reekers werkzaam als Manager Supply Chain Optimisation bij SHELL Global Solutions voor zijn kritische opmerkingen. Voor op- en aanmerkingen van eventuele lezers van dit eindwerk houd ik mij graag aanbevolen. Dirk Hazenoot Oostzaan/Delft oktober 1 v

6 Inhoudsopgave Voorwoord Samenvatting Lijst met gebruikte symbolen v viii ix 1 Inleiding 1 Introductie in pairtrading.1 Algemeen Geschiedenis van pairtrading Eenvoudige strategie Voorbeeld Rekentijd Model voor koersveranderingen Normale verdeling Brownse beweging Brownse brug Model Strategie Strategie positie openen Strategie positie sluiten Grafische weergave Aanvullende regel Bepaling optimale aantal aandelen, N Algemeen Situatie Situatie Voorbeeld bij bepalen N Invloed van t op N σ 1 < σ Testprogramma Algemeen Toelichting variabelen Verhouding µ σ σ Verificatie en Validatie van het model Verificatie Testcase 1: K wordt niet gehaald en σ 1 > σ Testcase : K wordt gehaald en σ 1 > σ Testcase 3: K wordt niet gehaald en σ 1 < σ Testcase 4: K wordt gehaald en σ 1 < σ Uitkomsten verificatieonderzoek Validatie Testen Uitkomsten van het paar TOTAL en SHELL Uitkomsten van het paar ING en AEGON Bespreking uitkomsten vi

7 7.4 Opmerkingen bij de aannamen van het model Slotopmerkingen Conclusies en verbeterpunten 37 Bijlagen 38 Referenties 39 Appendix 4 Verklarende woordenlijst 43

8 Samenvatting Pairtrading is een financieel instrument waarvan beurshandelaren gebruik kunnen maken. Dit instrument kenmerkt zich door het openen of het sluiten van een aandelenpositie waarbij een tweetal aandelentransacties tegelijkertijd worden uitgevoerd. Deze transacties zijn tegengesteld in die zin dat het ene aandeel wordt gekocht en het (equivalent van het) andere aandeel wordt verkocht. In dit bacheloreindwerk doen we verslag van ons onderzoek naar de vraag of het mogelijk is om voor beurshandelaren een strategie te ontwikkelen waarmee zij met behulp van pairtrading winsten kunnen realiseren. Om deze vraag te beantwoorden hebben we een wiskundig model ontwikkeld. Dit model hebben we gebaseerd op de zogenoemde Brownse brug omdat deze brug bepaalde eigenschappen heeft die vergelijkbaar zijn met de verschilkoers van pairtrading. Vervolgens hebben we uit dit model een strategie afgeleid. Deze strategie hebben we tenslotte met beursdata getest. Bij de verificatietesten van ons model zijn we ervan uitgegaan dat de diverse essentiële aannamen geldig zijn. Deze testen wijzen uit dat ons model goed werkt. Dat betekent dat onze strategie kan worden toegepast. Bij de validatietesten van ons model echter mogen we er a priori niet vanuit gaan dat deze aannamen geldig zijn. Die geldigheid moeten we - middels verantwoorde testen - vaststellen. Daarin zijn we onvoldoende geslaagd. Daaruit mogen we echter niet de conclusie trekken dat deze aannamen niet geldig zijn. We hebben ze immers in overleg zorgvuldig en met overtuiging gekozen. Toch brengt die onzekerheid mee dat ons model en onze strategie nog niet succesvol door beurshandelaren kunnen worden ingezet. Daartoe zouden we methoden moeten ontwikkelen waarmee we onze aannamen kunnen testen op hun geldigheid. Daarnaast zouden we ook gebruik moeten kunnen maken van meer gecoïntegreerde paren. Tevens zouden we in staat moeten zijn over een langere periode testen uit te voeren. Tenslotte zouden we de schattingen van de variabelen a, µ, σ en σ 1, moeten verbeteren. Deze werkzaamheden vallen evenwel buiten het bestek van dit bacheloreindwerk. viii

9 Lijst met gebruikte symbolen a Verhouding tussen aandeel A en aandeel B. â Schatting voor a. a(t) Verhouding tussen p(t) en Z 1. B(t) Brownse brug. C(t) Hoeveelheid geld in bezit op tijdstip t. E[Z 1 p(t)] Verwachting op t van de slot-verschilkoers. γ(t) Het p(t)-onafhankelijke deel van Z 1. K Maximaal toelaatbaar verlies op één handelsdag. µ = E[Z 1 ] Verwachting op t = van de slot-verschilkoers. ˆµ Schatting voor µ. N(t) Hoeveelheid aandelen A in bezit op tijdstip t. N Aantal aandelen voor optimale winst bij t. p(t) Relatieve verschilkoers. σ Standaardafwijking van Z 1 op t =. ˆσ Schatting voor σ. σ 1 Standaardafwijking van de Brownse brug. ˆσ 1 Schatting voor σ 1. t Tijdstip waarop een positie wordt geopend. W(t) Waarde van de portfolio op tijdstip t. W i(t) Wienerproces. Z Openings-verschilkoers (t = ). Z 1 Slot-verschilkoers (t = 1). ix

10 1 Inleiding In ons onderzoek staat de vraag centraal of het mogelijk is om voor beurshandelaren een strategie te ontwikkelen waarmee zij met behulp van pairtrading winsten kunnen realiseren. Om deze vraag te beantwoorden hebben we een wiskundig model ontwikkeld. Dit model hebben we gebaseerd op de zogenoemde Brownse brug omdat deze brug bepaalde eigenschappen heeft die vergelijkbaar zijn met de verschilkoers van pairtrading. Vervolgens hebben we uit dit model een strategie afgeleid. Deze strategie hebben we tenslotte met beursdata getest. In ons onderzoeksverslag besteden we in hoofdstuk aandacht aan het financiële instrument pairtrading. In hoofdstuk 3 beschrijven we een eenvoudige handelsstrategie. In hoofdstuk 4 behandelen we ons wiskundig model. In hoofdstuk 5 zetten we onze strategie uiteen. In hoofdstuk 6 behandelen we het testprogramma en geven we een schatting voor een viertal variabelen gebaseerd op beursdata. In hoofdstuk 7 behandelen we de verificatie en de validatie van het model. In hoofdstuk 8 tenslotte zetten we onze conclusies uiteen. 1

11 Introductie in pairtrading.1 Algemeen Pairtrading is een financieel instrument dat zich kenmerkt door het openen of het sluiten van een aandelenpositie waarbij een tweetal aandelentransacties tegelijkertijd worden uitgevoerd. Deze transacties zijn tegengesteld in die zin dat het ene aandeel wordt gekocht en het andere wordt verkocht. Bij het handelen in aandelen wordt in de regel geprobeerd overgewaardeerde aandelen te verkopen en ondergewaardeerde aandelen te kopen. De verwachting is immers dat de aandelen later in de tijd hun echte prijs krijgen. Om te weten wanneer een aandeel over- of ondergewaardeerd is zou je de echte waarde moeten kennen. Maar de echte waarde van een aandeel bepalen is (in de praktijk) vaak moeilijk. Pairtrading werkt daarom niet met absolute prijzen, maar met relatieve prijzen. We gaan ervan uit dat de relatieve prijzen van twee aandelen van vergelijkbare bedrijven (uit dezelfde branche) ongeveer gelijk zullen zijn. Als de relatieve prijzen verschillen en de waarde van aandeel A is groter dan de waarde van aandeel B onderscheiden we drie situaties, te weten: situatie 1. het ene aandeel A is overgewaardeerd en het andere aandeel B is goedgeprijsd; situatie. het ene aandeel B is ondergewaardeerd en het andere aandeel A is goedgeprijsd; situatie 3. het relatieve prijsverschil kan natuurlijk ook een combinatie zijn van situatie 1. en situatie.: beide aandelen (A en B) zijn niet goedgeprijsd en aandeel A is overgewaardeerd en aandeel B is ondergewaardeerd. Pairtrading bestaat uit het verkopen van het hooggeprijsde aandeel en het kopen van (het equivalent van) het laaggeprijsde aandeel. Immers we verwachten dat het verschil in prijs in de toekomst niet meer zal bestaan. Het verschil tussen de prijs van het ene aandeel A en (het equivalent van) het andere aandeel B wordt de spread genoemd. In het algemeen geldt dat hoe groter de spread des te meer winst een beurshandelaar met pairtrading kan realiseren. Pairtrading is marktneutraal. Dat wil zeggen dat de beweging van de markt geen invloed heeft op de winsten van de beurshandelaar. Een stijging van de gehele markt (bijvoorbeeld de AEX stijgt) zal normaliter zorgen voor een prijsstijging van beide aandelen (A en B), maar zorgt niet voor een verandering van het relatieve prijsverschil tussen beide aandelen. Bij een opwaartse marktbeweging (alle aandelen worden meer waard) loopt een beurshandelaar in pairtrading dit marktvoordeel mis en bij een neerwaartse marktbeweging (alle aandelen worden minder waard) ontloopt hij het marktnadeel.. Geschiedenis van pairtrading Pairtrading is eind jaren zeventig van de vorige eeuw door Gerry Bamberger - werkzaam als beurshandelaar bij de Amerikaanse bank Morgan Stanley - ontwikkeld. In het begin van de jaren tachtig ontstond de behoefte om de beurshandel volledig te automatiseren. Daartoe werd bij de bank Morgan Stanley een groep opgericht die bestond uit wiskundigen, natuurkundigen en computerwetenschappers. Deze groep - die geleid werd door Nunzio Tartaglia - slaagde erin een geautomatiseerd handelssysteem te ontwikkelen. Dit computersysteem was in staat zelf op de beurs te handelen. Tot die tijd werden alle beslissingen door een natuurlijk persoon genomen. Pairtrading was bij de bank Morgan Stanley bekend. De Tartagliagroep ontwikkelde een manier om pairtrading met dit computersysteem te kunnen gebruiken. Tevens ontwikkelde zij een techniek om twee aandelen te identificeren waarvan de prijzen waren gecorreleerd. Als er een niet verwachte afwijking tussen deze twee aandelen werd aangetroffen, werd er automatisch een transactie geïnitieerd. Hierbij werden deze twee aandelen verhandeld. De verwachting was dat de afwijking na verloop van tijd zou verdwijnen. De Tartagliagroep begon in 1987 met pairtrading op de aandelenmarkt en had hiermee groot succes. Toch viel de groep in 1989 uit elkaar. Sommige leden gingen bij een ander bedrijf werken en zo werd pairtrading algemeen bekend. Vandaag de dag is pairtrading een veel gebruikt financieel instrument van partijen die op de beurs handelen.

12 3 Eenvoudige strategie We willen een strategie ontwikkelen voor beurshandelaren zodat zij met pairtrading winsten kunnen maken. Daartoe bouwen we een wiskundig model. En we testen deze strategie met behulp van echte beursdata. Dit wiskundig model bouwen we stapsgewijs op. Daarmee maken we in dit hoofdstuk een begin door aan de hand van een eenvoudig voorbeeld een aantal acties te formuleren. We maken daarbij gebruik van fictieve slotkoersen. 3.1 Voorbeeld Met behulp van Matlab hebben we een stationaire reeks gegenereerd uit een stabiel AR(1)- model met verwachting nul. Hierbij hebben we het tijdstip t = een bepaalde waarde gegeven. Omdat we dit eenvoudige voorbeeld op een heldere wijze willen illustreren hebben we een AR(1)- model zo gekozen dat de grafiek een aantal keer de boven- en de ondergrens ( en -) passeert. Vervolgens hebben we met behulp van dit stabiele AR(1)- model de fictieve slotkoersen van de aandelen A en B vastgesteld. Daartoe hebben we aandeel B op tijdstip t= een waarde van 5 toegekend en met behulp van een aandelenkoers genererende functie - die ook wordt gebruikt bij optiewaardering met Black en Scholes - de slotkoersen van B op verschillende tijdstippen berekend. We gaan ervan uit dat de gemiddelde waarde van aandeel A twee keer zo hoog is als de gemiddelde waarde van aandeel B. We kunnen nu de fictieve slotkoers van aandeel A afleiden uit: A B = stabiele AR(1)-model, omdat B en de waarde van het stabiele AR(1)-model bekend zijn. In figuur 1 zijn deze slotkoersen A en B weergegeven. Slotkoersen van twee aandelen 18 Waarde aandeel tijd in dagen Figuur 1: Slotkoersen Aandeel A is blauw en aandeel B is rood. Voor pairtrading hebben we de gemiddelde verhouding tussen de slotkoersen van de aandelen A en B nodig. Deze verhouding leiden we af uit de gegenereerde data. Daartoe maken we gebruik van de 3

13 kleinste kwadraten methode. We plaatsen de waarden van aandeel A in de kolomvector x en de waarden van aandeel B in de kolomvector y. De verhouding tussen A en B (variabele a) wordt dan gegeven door de formule: a = (x T x) 1 x T y =.5 (1) Het aandeel A is dus gemiddeld.5 keer zoveel waard als het aandeel B. We gaan nu kijken naar het verschil tussen aandeel A en.5b. In figuur hebben we A.5B tegen de tijd in dagen uitgezet. 6 4 A.5*B tijd in dagen Figuur : Verschil tussen aandeel A en aandeel B. Als A.5B negatief is dan is het aandeel A ondergewaardeerd t.o.v. aandeel B en dan is aandeel B op zijn beurt overgewaardeerd t.o.v. aandeel A. We zullen daarom actie 1 toepassen. Actie 1: We kopen een aandeel A en verkopen het equivalent van aandeel B 1. In dit geval kopen we dus één aandeel A en verkopen we.5 aandelen B. Als A.5B positief is dan is A overgewaardeerd is t.o.v. B en B uiteraard ondergewaardeerd is t.o.v. A. We zullen daarom actie toepassen. Actie : We verkopen een aandeel A en kopen het equivalent van aandeel B. In dit geval verkopen we dus één aandeel A en kopen we.5 aandelen B. 1 Voor een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 4. Voor een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 4. 4

14 Vervolgens moeten we de handelsgrenzen vaststellen. Bij handelsgrenzen die dicht bij elkaar liggen zal je vaak handelen maar verdien je per actie weinig. Bij handelsgrenzen die ver uit elkaar liggen verdien je per actie veel meer, maar het gebeurt minder vaak. We kiezen daarom bij dit voorbeeld een bovengrens van twee en een ondergrens van min twee. Bij deze grenzen zijn de opbrengsten per actie en het aantal acties relatief groot. We voeren een actie uit op het moment dat de grafiek van figuur de boven- of ondergrens (grijze stippellijnen) overschrijdt. We merken op dat een snijpunt van de grafiek in figuur met een boven- of ondergrens niet per se samenvalt met het einde van een handelsdag. Op een aantal snijpunten hebben we nog geen slotkoers en moeten we onze actie uitstellen tot het einde van de handelsdag. De waarde van onze actie kan dus een flink stuk boven of onder een grens liggen. In figuur snijdt de grafiek de boven- en ondergrens een aantal keren. Onze eerste actie voeren we uit aan het einde van dag 1 want op dat tijdstip gaat de verschilkoers voor de eerste keer door één van zijn grenzen. In dit geval de ondergrens. De waarde van de verschilkoers is.. Deze waarde ligt onder de grens van.. We kopen een aandeel A en verkopen het equivalent van aandeel B (actie 1). Nu moeten we wachten tot de grafiek de bovengrens overschrijdt. Dit doet zich voor aan het einde van de 37 e dag. Op het einde van dag 37 is de verschilkoers We verkopen een aandeel A en kopen het equivalent van aandeel B (actie ). Nu moeten we weer wachten tot de grafiek de ondergrens overschrijdt (dag 63) enz, enz. Alle handelsmomenten (acties 1 en acties ) hebben we in de onderstaande tabel weergegeven. Dag Verschilkoers Actie Openen/Sluiten Prijs A Prijs B Winst Openen Totaal: Sluiten Totaal: Openen Totaal: Sluiten Totaal: Openen Totaal: Sluiten Totaal Openen Totaal Sluiten Totaal: Totaal Tabel 1: Handelsmomenten en opbrengsten We merken volledigheidshalve op dat we tussen de dagen 1 en 37 niet handelen. Onze positie wijzigt dus niet. Actie 3 Positie behouden, niets verkopen, niets kopen 3. We handelen niet in het geval de grafiek zich tussen de boven- en ondergrens ( grensgebied ) bevindt. Maar buiten het grensgebied zien we ook af van handelen in het geval er al een actie heeft plaatsgevonden en de grafiek vervolgens onder of boven het grensgebied blijft. We behouden onze positie: we verkopen niets en kopen niets. We merken op dat in het geval we één keer actie 1 uitvoeren en vervolgens één keer actie we per saldo geen aandelen meer in ons bezit hebben. We bezitten dan alleen nog geld. Kortom we hebben met 3 Voor een grafische weergave van deze actie verwijzen we naar de appendix: figuur 16 op pagina 4. 5

15 deze strategie winst gemaakt 4. De opbrengst van alle acties bedraagte In ons eenvoudige voorbeeld werken we steeds met 1 aandeel A en.5 aandelen B. Deze aantallen van 1 en.5 zijn (elk) te vermenigvuldigen met ieder (hetzelfde) reëel getal. De opbrengst (van e19.94) wordt in dat geval ook met dat reële getal vermenigvuldigd. Opbrengst * reëel getal = totale opbrengst. Voorbeeld: Stel reëel getal = 1,; dan bedraagt de totale opbrengst e19.94 * 1, = e199,4. Zoals we hierboven hebben uiteen gezet moet actie 1 altijd worden gevolgd door actie en actie moet op zijn beurt weer worden gevolgd door actie 1 enz, enz. Aan het einde van de (gekozen) periode van handeldagen zijn actie 1 en actie in dit geval precies even vaak voorgekomen. We hebben op het einde dus geen enkel aandeel meer in ons bezit; we hebben namelijk alle posities gesloten. Kortom, als we aannemen dat we short 5 kunnen gaan zonder kosten, dan hebben we dus zonder enige inleg (van vreemd of eigen vermogen) een winst gemaakt van e199,4. We hebben geen enkel aandeel in bezit dus we lopen geen enkel risico meer. We hebben een oneindig rendement op ons vermogen gerealiseerd. Een mooi resultaat! Helaas is pairtraden niet zonder risico s. Als we naar figuur kijken dan zien we dat de grafiek steeds rond beweegt. Hierdoor kunnen we steeds op en op een positie innemen en op en op een positie verlaten. Het is dus van essentieel belang dat de grafiek steeds om blijft bewegen. Want als de grafiek vanaf een bepaalde tijd steeds onder de blijft ontstaat een situatie waarin we onze positie op een gegeven moment met verlies moeten sluiten. Datzelfde geldt ook als de grafiek steeds boven de blijft bewegen. Kortom, de ontwikkelingen op de beurs kunnen ons ertoe doen besluiten om onze pairtradingstrategie los te laten. 3. Rekentijd Aan pairtrading kleeft ook een ander belangrijk nadeel. We moeten immers gebruik maken van een tweetal aandelen ( pair ) waarvan het koersverschil mean-reverting is. Mean-reverting wil zeggen dat een rij steeds om een vast punt beweegt. Stationaire reeksen bezitten de eigenschap dat ze mean-reverting zijn. We kunnen ze dus gebruiken om vast te stellen of het gewogen koersverschil van een pair stationair is. Als twee aandelen een stationair verschil hebben wordt dit pair gecoïntegreerd genoemd. Er bestaan verschillende manieren om op coïntegratie te testen. Een manier is de Engle-Grangermethode. Deze methode vergt echter vrij veel rekentijd: Als je vier aandelen wilt testen moet je 3++1 paren testen. Als je n aandelen wilt testen moet je: (n 1)+(n ) = 1+(n 1) (n 1) = n n paren testen. Het aantal te testen paren is lineair met de rekentijd. De rekentijd loopt dus kwadratisch op. Bij 15 aandelen krijg je 15 paren. Het testen van 15 paren in Matlab kost ongeveer drie minuten. Het testen van 1, aandelen (a-select gekozen) zal dus zo n drie jaar duren. Maar na drie jaar zijn de uitkomsten totaal onbruikbaar geworden. 4 In de grafiek is het openen van een positie weergegeven met een groene bol. Het sluiten van een positie met een rode bol. Dus na iedere rode bol is geld het enige dat de handelaar bezit. 5 Zie verklarende woordenlijst. 6

16 4 Model voor koersveranderingen Tot nog toe hebben we alleen gekeken naar de slotkoersen van twee aandelen over een bepaalde periode (van dagen). Met behulp van deze gegevens besloten we of we een positie openden of - wanneer we al een positie hadden ingenomen - we deze positie sloten. Dat besluit namen we maar één keer per dag op basis van de slotkoers. Omdat de beurskoersen van aandelen voortdurend veranderen (volatiliteit) is het niet rationeel om de koersveranderingen tijdens die handelsdagen niet te gebruiken bij het ontwikkelen van onze strategie. Daarbij gaan we ervan uit dat de volatiliteit tijdens de handelsdag groter is dan de volatiliteit van de slot-verschilkoersen omdat we dit volatiliteitsverschil op de beurs lijken waar te nemen. In dit hoofdstuk zullen we een model voor de koersveranderingen afleiden uit de Brownse brug. In het volgende hoofdstuk bepalen we - aan de hand van dit model - onze strategie. Deze strategie testen we vervolgens met echte data. 4.1 Normale verdeling De normale verdeling en de Brownse beweging vormen de basis van ons model. Daarom behandelen we deze begrippen op een beknopte wijze. De normale verdeling is een continue kansverdeling en noteren we als N(µ,σ ). µ staat voor de verwachting en σ voor de standaardafwijking. Figuur 3 is een illustratie van een tweetal grafieken Figuur 3: Normale verdelingen: N(,4) is blauw en N(,16) is rood. Als geldt dat X en Y normaal verdeeld zijn en onafhankelijk dan geldt: X N(µ x,σx), Y N(µ y,σy) () bx +cy N(bµ x +cµ y,b σx +c σy) b,c R (3) Als X en Y beide normaal verdeeld zijn maar niet onafhankelijk dan geldt: X N(µ x,σx), Y N(µ y,σy) X +Y N(µ x +µ y,σx +σy +Cov(X,Y)) Cov(X,Y) betekent de covariantie tussen X en Y. Covariantie geeft de mate aan van de samenhang tussen X en Y. De covariantie wordt op de volgende manier berekend: Cov(X,Y) = E[XY] E[X]E[Y] Uit de definitie volgt dat Cov(X,X) = Var(X), Cov(X,Y) = Cov(Y,X) en Cov(aX,Y) = acov(x,y) met a een reëel getal. Verder is de covariantie bilineair. Dat houdt in dat: Cov(X +dz,y) = Cov(X,Y)+dCov(Z,Y) d R (4) 7

17 De normale verdeling kan worden uitgebreid naar meer dan één dimensie. Neem µ R k, k N en Σ R k k. X R k is nu multivariate normaal verdeeld met: X N k (µ,σ) µ = [E[X 1 ],E[X ],...,E[X k ]] Σ = [Cov(X i,x j )] voor i,j = 1,,...,k Als de covariantie tussen X i en X j voor i j gelijk is aan nul dan zijn X i en X j van elkaar onafhankelijk. 4. Brownse beweging Een Brownse beweging wordt ook wel Wienerproces genoemd. Voor een Wienerproces, W i(t), gelden de volgende voorwaarden: Wi() = Wi(t) Wi(s) N(,t s) met s < t t Wi(t) is continu Ieder increment Wi(t) Wi(s) van een Wienerproces is onafhankelijk van het pad naar s. Dit proces kunnen we grafisch weergeven. Daarvoor hebben we 1 onafhankelijke trekkingen a i uit de normale verdeling N(,σ ) genomen met σ =.1. Vervolgens berekenen we Wi(t) = t 1 i=1 a i. Zie figuur 4 links..6 Brownse Beweging 1 Brownse Brug tijd tijd Figuur 4: Brownse beweging en bijbehorende Brownse brug. 4.3 Brownse brug Een Brownse brug is een Brownse beweging die begint en eindigt in nul. De begin- en eindwaarde van deze brug liggen dus vast. Een Brownse brug kan als volgt worden gemodelleerd uit een Brownse beweging: B(t) = Wi(t) twi(1) waarin Wi(t) staat voor een Brownse beweging en B(t) voor de Brownse brug. In figuur 4 zien we aan de rechterkant de bewerking van de Brownse beweging die aan de linkerkant van deze figuur staat. In rood is (afgerond) twee maal de standaardafwijking Var(B(t)) getekend. Als we nu een willekeurig punt van de Brownse brug nemen dan heeft dit punt 95% kans om binnen de rode lijnen te liggen. Een Brownse brug kan een weergave van het verloop van het koersverschil bij pairtrading zijn. Hierbij is op het begin (t = ) en op het einde (t = 1) van de handelsdag het koersverschil gelijk aan nul. Als 8

18 een handelsdag begint met een koersverschil ongelijk aan nul (b R) en eindigt met een koersverschil ongelijk aan nul (c R) dan moeten we bij de Brownse brug nog de lineaire functie b+(c b)x optellen. Dan begint de handelsdag op tijdstip t = in b en eindigt deze dag op tijdstip t = 1 in c. We nemen aan dat het koersverschil over een handelsdag zich zal gedragen als een Brownse brug met lineaire trend. Een Brownse brug B(t) heeft de volgende eigenschappen. B() = B(1) = E[B(t)] = Var(B(t)) = t(1 t) Cov(B(s),B(t)) = s(1 t) met s < t Voor een uitwerking van de covariantie verwijzen we naar formule (6) die in de appendix is opgenomen (pagina 4). 4.4 Model We hebben in het voorafgaande de basis van ons model behandeld, te weten: de normale verdeling, de Brownse beweging en de Brownse brug. We zijn nu in staat ons model te bouwen. Daartoe hebben we nu alleen nog de verschilgrafiek van een pair aandelen nodig. Deze grafiek stellen we samen gebruikmakend van de methode en van formule (1) die we in hoofdstuk 3 hebben gebruikt. Het begin van een handelsdag nemen we t = en het einde van een handelsdag t = 1. Deze koersmomenten worden vaak gebruikt. We voeren daarom speciale notatie in: Verschilkoers t = t = 1 Eergisteren Z 4 Z 3 Gisteren Z Z 1 Vandaag Z Z 1 Tabel : Verschillende Z s uitgelegd. Zoals uit de tabel blijkt geven we met Z 1 de verschilkoers op eind van de handelsdag (t = 1) aan. Tijdens de handelsdag willen we een schatting voor Z 1 hebben. Aan de hand van deze schatting zullen we handelen. Uit figuur 5 lezen we de slot-verschilkoersen van de afgelopen k dagen af: Z k+1,z k+3,...,z 1 (5) Op t = bepalen we een schatting van Z 1 aan de hand van de voorgaande slot-verschilkoersen. We nemen aan dat Z 1 normaal verdeeld is en krijgen dan: Z 1 N(µ,σ ) (6) µ en σ worden geschat uit (5). Voor de handelsdag hebben we aangenomen dat geldt: t 1. Naarmate de dag vordert wordt t steeds groter en krijgen we meer informatie beschikbaar. De verschilkoers op t is bekend tot en met t en schrijven we als p(t). 9

19 Figuur 5: Z 11,Z 9 t/m Z 1 (blauw) met gegeven p(t) van Z tot p(.5) (rood). In figuur 5 zien we de slot-verschilkoersen van de afgelopen 5 dagen. Verder zien we in figuur 5 dat we naarmate t groter wordt (op het interval [,1]) over steeds meer informatie over de verwachte slot-verschilkoers Z 1 beschikken. We willen weten wat de invloed van p(t) (verschilkoers) op de slotverschilkoers Z 1 is. We modelleren p(t) op de volgende manier. p(t) = (1 t)z +tz 1 +σ 1 B(t) Z is de gegeven openings-verschilkoers (t = ). Voor Z 1 zie formule (6). B(t) is een Brownse brug. Z 1 en B(t) zijn onafhankelijk. De covariantie tussen Z 1 en B(t) is dus nul. Nu kunnen we met behulp van formule () een normale verdeling voor p(t) opstellen: p(t) N((1 t)z +tµ,t σ +t(1 t)σ 1) De covariantie tussen p(t) en Z 1 is: Cov(p(t),Z 1 ) = Cov((1 t)z +tz 1 +σ 1 B(t),Z 1 ) gebruik formule (4) = tcov(z 1,Z 1 )+σ 1 Cov(B(t),Z 1 ) = tσ + We delen Z 1 op in twee delen. Een p(t)-afhankelijk deel te weten a(t)p(t) en een p(t)-onafhankelijk deel te weten γ(t). Z 1 = a(t)p(t)+γ(t) = a(t)p(t)+(1 a(t)) ( Z1 p(t) ) (= Z 1 ) 1

20 ( Z1 We willen dat (1 a(t)) p(t) ) onafhankelijk is van p(t). Er moet dus gelden: Cov(p(t),Z 1 a(t)p(t)) = (7) We weten Cov(p(t),Z 1 ) en Cov(p(t),p(t)) =Var(p(t)). Invullen geeft: Cov(p(t),Z 1 a(t)p(t)) = Cov(p(t),Z 1 ) a(t)var(p(t)) = tσ at σ a(t)t(1 t)σ 1 = tσ a(t) = t σ +t(1 t)σ 1 (8) Omdatweervanuitzijngegaandatdevolatiliteittijdensdehandelsdag(σ 1 )groterisdandevolatiliteit van de slot-verschilkoersen (σ ) geldt: σ 1 > σ. Daaruit volgt dat: a(t) 1. Voor een uitwerking verwijzen we naar paragraaf 4 van de appendix (pagina 34). Voor de a(t) uit (8) geldt dus dat p(t) en γ(t) onafhankelijk zijn. Voor γ(t) kunnen we nu de verwachting en de variantie berekenen. E[γ(t)] = E[Z 1 a(t)p(t)] = µ a(t)((1 t)z +tµ) Var(γ(t)) = Cov(γ(t),γ(t)) = Cov(Z 1 a(t)p(t),z 1 a(t)p(t)) uitschrijven geeft: = Var(Z 1 ) a(t)cov(z 1,p(t))+a (t)var(p(t)) = σ a(t)tσ +a (t)(t σ +t(1 t)σ1) = σ t σ 4 t σ +t(1 t)σ 1 De voorwaardelijke verwachting van Z 1 gegeven p(t) is dus: Z 1 p(t) N ( µ a(t)((1 t)z +tµ)+a(t)p(t),σ tσ a(t) = t σ +t(1 t)σ 1 t σ 4 t σ +t(1 t)σ 1 ) (9) (1) E[Z 1 p(t)] = µ a(t)((1 t)z +tµ)+a(t)p(t) (11) Var(Z 1 p(t)) = σ t σ 4 t σ +t(1 t)σ 1 (1) We merken op dat de standaardafwijking van Z 1 dus niet afhankelijk is van de verschilkoers p(t). Maar je moet p(t) oftewel t wel weten om de standaardafwijking van Z 1 te kunnen bepalen. 11