Meten, rekenen en redeneren in de ruimte

Transcriptie

1 Dag van Wiskunde tweede en derde graad 18 november 2006 Werkwinkel 9 Meten, rekenen en redeneren in de ruimte Jan Roels Deze workshop sluit aan bij de volgende eindterm van de tweede graad: de leerlingen lossen eenvoudige problemen i.v.m. ruimtelijke situaties op door gebruik te maken van eigenschappen van vlakke figuren. De deelnemers berekenen afstanden en hoeken van concrete voorwerpen en kunnen zo ervaren hoe tastbare ruimtelijke voorwerpen een hulpmiddel zijn om het nodige ruimtelijke inzicht te verwerven en de overstap naar mentaal redeneren te kunnen maken. De workshop is in grote mate gebaseerd op het artikel Ruimtemeetkunde in de tweede graad uit Uitwiskeling 16/4. In dit artikel vind je achtergrondinformatie bij de workshop. Enkele uittreksels uit dit artikel zijn bijgevoegd. Meer informatie over het tijdschrift Uitwiskeling vind je op

2 Een schommel D 1 m C 4 m A E F B 1 m Hierboven is het vooraanzicht van een schommel getekend. In de tekening is CE evenwijdig met AD en DF evenwijdig met BC. 1. Bereken AB. 2. In werkelijkheid stelt AD niet één staander voor, maar twee. De ene staander loopt, behalve naar links, ook 2 m naar achteren. De andere loopt twee meter naar voor. We willen weten hoe lang die staanders zijn. (De schommel past in een balk. Teken eventueel de schommel in deze balk om je redeneringen te ondersteunen.) S A U T B V Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 2

3 Een piramidevormig dak 4 m 8 m Op een huis met een vierkantig grondplan wil men een dak in de vorm van een piramide zetten. (Zie figuur.) 1. Hoe lang moeten de vier draagbalken uit de hoeken van het gemetste gedeelte tot de top zijn? Maak eerst vlakke tekeningen waarin je de afstanden (op schaal) kan meten en redeneer hierop om de afstanden te berekenen. 2. Bereken de hoek in de top tussen twee overstaande draagbalken. (Men heeft deze hoek nodig om de draagbalken goed te kunnen afzagen.). Misschien maak je opnieuw best eerst een tekening waarin je de hoek kan meten. 3. Op de zolder wil men nog een kamer met rechtopstaande muren maken. Hoe groot kan deze kamer zijn als men die minstens 1,8 meter hoog wil hebben? 4. Bereken de inhoud van deze kamer. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 3

4 De inhoud van een regelmatig viervlak Bepaal de inhoud van een regelmatig viervlak met zijde a. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 4

5 Een tetraëder in een kubus 1. Hieronder zie je een kubusvormige doos met ribbe 10 cm en een regelmatig viervlak met ribbe 14 cm. Zou dit viervlak volledig en ongeschonden in de doos kunnen?? 10 cm 14 cm 2. Bereken nu op een andere manier de inhoud van de tetraëder die net in de kubus past. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 5

6 De wereld rond Een schip bevindt zich op de evenaar op 40 westerlengte en vaart noordwaarts tot 40 noorderbreedte. Vervolgens vaart het van daaruit 30 oostwaarts en legt aan te Lissabon. 1. Welke afstand heeft het schip afgelegd? (De omtrek van de aarde in noord-zuid richting is ongeveer km. Je mag de aarde volledig bolvormig stellen.) Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 6

7 Ruimtemeetkunde in de tweede graad Een stukje geschiedenis Ruimtemeetkunde in het secundair onderwijs heeft een bewogen geschiedenis achter de rug. We overlopen deze evolutie kort omdat dit helpt om de nieuwe positie te schetsen die de ruimtemeetkunde in de komende jaren zou moeten innemen. Vóór de tijd van de Moderne Wiskunde was er in het vijfde jaar een serieuze brok ruimtemeetkunde, althans voor de leerlingen die een richting met veel wiskunde kozen. Vooreerst was er de stereometrie. Hierin werd de ruimtemeetkunde (grosso modo) behandeld zoals in het boek De elementen van Euclides uit de Griekse Oudheid. Anderzijds was er de beschrijvende meetkunde, waarin problemen uit ruimtemeetkunde opgelost werden door te tekenen. In deze periode stonden het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht en het systematisch redeneren op meetkundige basis centraal. De Moderne Wiskunde bracht hierin een radicale ommekeer. Het axiomasysteem van Euclides werd vervangen door een axiomasysteem gebaseerd op vectorruimten. Het redeneren bleef aanwezig, maar gebeurde nu veel meer op een algebraïsche basis. Samen met de vectorruimten kwam ook de analytische studie van de ruimte op het programma. De beschrijvende meetkunde werd een onderdeel van het vak wetenschappelijk tekenen en de band met wiskunde verdween. In de praktijk kwam het er op neer dat ruimtemeetkunde een bijproduct werd van lineaire algebra (sommige leerplannen vermeldden zelfs geen aparte titel ruimtemeetkunde meer!). Bij het oplossen van problemen uit ruimtemeetkunde haalden analytische methoden de bovenhand en het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht werd eigenlijk verwaarloosd. In het vrij onderwijs kwam er een correctie via een leerplanwijziging in De nadruk kwam weer meer te liggen op de meetkunde zelf i.p.v. op de algebra, met expliciete aandacht voor het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht en voor het redeneren op meetkundige basis. In die zin werd aangeknoopt met de periode vóór de Moderne Wiskunde. Eén van de nieuwe verworvenheden, namelijk de analytische studie van ruimtemeetkunde, bleef behouden. Op een voorzichtige manier werd ook de idee losgelaten dat ruimtemeetkunde behandeld moet worden volgens een globaal deductief systeem: om niet te lang stil te moeten staan bij evidente eigenschappen werd geadviseerd om te vertrekken van een grotere verzameling axioma s dan strikt noodzakelijk is, er werd op gewezen dat men kan oefenen in het bewijzen en deduceren zonder dat men werkelijk alles gaat bewijzen, er werd gesuggereerd dat het ordenen van de kennis in een deductief systeem eventueel ook achteraf kan gebeuren Drie componenten Doorheen de geschiedenis die we hierboven geschetst hebben, kunnen we drie belangrijke componenten onderscheiden binnen het onderwijs in de ruimtemeetkunde: de meetkundige inhoud zelf: vooral het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht, maar ook een deel basiskennis over ruimtefiguren logische aspecten: redeneren en bewijzen, deductief ordenen van de kennis gebruik van analytische en algebraïsche hulpmiddelen Er was een wisselende aandacht voor deze drie componenten in de loop van de geschiedenis. Constanten daarentegen waren dat ruimtemeetkunde (in deze vorm) voorbehouden werd aan wiskundig sterke leerlingen en dat dit onderwerp in het vijfde en zesde jaar geprogrammeerd stond. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 7

8 Nu Met betrekking tot de eerste component, het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht, gaat men er tegenwoordig van uit dat dit voor alle leerlingen van belang is. Daarom is, in het kader van de eindtermen, ruimtemeetkunde niet langer voorbehouden voor de wiskundig sterke leerlingen, maar vinden we dit onderwerp terug in de basisvorming. Bovendien is men er nu van overtuigd dat je vroeg genoeg met ruimtemeetkunde moet beginnen als je het ruimtelijk inzicht wil stimuleren. Dit verklaart waarom ruimtemeetkunde nu ook opgenomen is in de eindtermen van de eerste en de tweede graad (dit laatste nog onder voorbehoud omdat de goedkeuring van de eindtermen in het Vlaamse Parlement nog steeds op zich laat wachten). De tweede en de derde component, de logische aspecten en de algebraïsche hulpmiddelen, blijven grosso modo, zoals vroeger, voorbehouden voor de wiskundig sterke leerlingen en blijven in de derde graad (onder voorbehoud, want de besprekingen hierover zijn nog aan de gang). Samenvattend kan je stellen dat het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht bij de leerlingen de voornaamste bedoeling van ruimtemeetkunde in de tweede graad is (en ook van die in de eerste graad). Een meer systematische behandeling van ruimtemeetkunde, met aandacht voor de logische en de analytische aspecten, is voorbehouden voor de derde graad. Overeenkomsten én verschillen tussen de eerste graad en de tweede graad In de vorige paragraaf werd vooral de nadruk gelegd op de overeenkomsten tussen de ruimtemeetkunde die in de eerste en de tweede graad behandeld moet worden. We blijven nu even stilstaan bij de verschillen tussen deze twee. In de loop van de vier jaren zou er een evolutie moeten plaatsvinden. In de eerste graad worden enkele soorten ruimtelichamen centraal gesteld (kegel, cilinder, piramide, prisma, bol, ). Van deze ruimtefiguren worden voorstellingen gemaakt, doorsneden bepaald, oppervlakte en inhoud berekend, Meer dan dat hoeft er in de eerste graad niet te gebeuren. In de tweede graad wordt vanuit deze ruimtelichamen heel voorzichtig de stap gezet naar (onbegrensde) rechten en vlakken en eigenschappen over onderlinge ligging. Het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht centraal stellen Uit recent onderzoek blijkt dat het wel degelijk mogelijk is om het ruimtelijk inzicht van de leerlingen te verbeteren. Het werken met modellen van ruimtefiguren en het maken en lezen van tekeningen spelen hierbij een grote rol. Uit onderzoeken blijkt verder dat het ruimtelijk inzicht juist niet gestimuleerd wordt als de logische of analytische aspecten te veel of te vroeg op de voorgrond staan. Drie manieren om ruimtelijke situaties voor te stellen Bij ruimtemeetkunde willen we drie manieren onderscheiden om met ruimtelijke situaties om te gaan: je kan de ruimtelijke situatie tastbaar aanwezig maken in de vorm van een ruimtelijk model, je kan er een vlakke voorstelling van maken en tot slot kan je je een beeld vormen in je hoofd van de ruimtelijke situatie. Als je ruimtelijk inzicht hebt, dan betekent dat dat je je een correct mentaal beeld kunt vormen (op basis van een beschrijving in woorden, een tekening, ) van een ruimtelijke situatie en dat je dat beeld ook succesvol kunt hanteren om problemen op te lossen. Onderzoek toont aan dat het voor het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht van belang is om voldoende lang met ruimtelijke modellen te werken. Je kan die ruimtelijke modellen dan van alle kanten bekijken, je kan ze in verschillende standen zetten, je kan bepaalde onderdelen meten Zeker in de eerste graad, maar ook nog in de tweede graad, zijn dergelijke modellen eigenlijk onontbeerlijk. Je kan de leerlingen Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 8

9 bijvoorbeeld enkele eenvoudige modellen zelf laten maken (kubus ) en hen die laten gebruiken in de klas, op een overhoring Je kan dergelijke ruimtelijke modellen (of materiaal waarmee je ze kunt maken, b.v. Polydron; aankopen, maar je kan ze ook eenvoudig zelf maken. Met stevig papier of karton kan je een kubus, een balk, een piramide, regelmatige veelvlakken maken (of door je leerlingen laten maken). Ook kinderspeelgoed (K nex, Meccano, Lego ), rietjes, barbecuestokjes, pingpongballetjes kunnen hier heel wat diensten bewijzen. Geleidelijk aan moeten de leerlingen ook loskomen van deze modellen. Uiteindelijk moeten ze er toe komen dat ze problemen kunt oplossen i.v.m. een ruimtelijke situatie zonder dat die tastbaar aanwezig is. Forceer de leerlingen hierbij echter niet. Laat hen toe om hun model terug boven te halen als blijkt dat ze dit echt nodig hebben. Vlakke voorstellingen ontmoeten de leerlingen niet alleen tijdens de wiskundeles. Denk maar aan een plan van een huis of een werktuig, bouwplannen bij Lego of K nex, foto s Als je er even over bij stilstaat, dan zie je dat er in feite verschillende soorten vlakke voorstellingen gebruikt worden. Een eerste soort vlakke voorstellingen zijn allerlei perspectieftekeningen (gebaseerd op evenwijdige of centrale projectie). Op basis van een dergelijke tekening kan je je een goed beeld vormen van de ruimtelijke situatie die afgebeeld is. Moeilijker wordt het als je moet gaan meten: de lengte van een lijnstuk, de grootte van een hoek, de vorm van een veelhoek worden in zo n tekening niet getrouw weergegeven. Ook op het vlak van onderlinge ligging van rechten (snijden en evenwijdig zijn) is het opletten geblazen. Bovenaanzichten, voor- en zijaanzichten worden ook heel veel gebruikt om een ruimtelijke situatie voor te stellen. Wiskundig gezien gaat het hier ook over een evenwijdige projectie, maar het projectievlak is nu evenwijdig met een aantal belangrijke richtingen van het voorwerp zodat de figuur nu geen natuurgetrouwe indruk meer wekt. Het voordeel van een dergelijke tekening is dat een aantal hoeken en lengten nu wel getrouw weergegeven worden. Een laatste soort van tekening die we willen onderscheiden, zullen we een detailtekening noemen. Je kan bijvoorbeeld denken aan de detailtekeningen die je soms op een plan van een huis aantreft. Van een bepaald detail (b.v. een Velux-raam en wat er rond voorzien moet worden om het raam te plaatsen) kan je de werkelijke afmetingen niet rechtstreeks uit het plan halen omdat het dak een hoek maakt met het projectievlak. Daarom wordt een aparte tekening gemaakt van het stuk van het dak waar dit raam moet komen. Deze detailtekening is een gewone tekening op schaal van een vlakke situatie. Voor het ontwikkelen van ruimtelijk inzicht is het van belang dat leerlingen dergelijke vlakke tekeningen op een gepaste manier leren hanteren: ze moeten in staat zijn om zich een beeld te vormen van de ruimtelijke situatie op basis van de tekening én tegelijk moeten ze de voornaamste beperkingen van de tekening kennen. We blijven even stilstaan bij de vraag of de leerlingen zelf tekeningen moeten kunnen maken dan wel of het volstaat dat ze tekeningen kunnen interpreteren. We vinden dat de leerlingen eenvoudige tekeningen (een kubus, een vierzijdige piramide, de tekening van de schommel ) zeker zelf moeten kunnen maken. Als de situaties ingewikkelder worden, zal het zelf maken van een perspectieftekening zeker te moeilijk zijn voor de leerlingen. Maar ook dan nog kunnen ze bepaalde dingen zelf tekenen: iets aanvullen in een tekening (bijvoorbeeld een driehoek waarin ze de stelling van Pythagoras kunnen gebruiken), een tekening waarin een detail van de ruimtelijke situatie in ware grootte en vorm op staat (zie bijvoorbeeld de opgave over het dak) Er worden nog andere manieren gebruikt om een verband te leggen tussen een ruimtelijke situatie en vlakke figuren. Zo wordt bijvoorbeeld ook gebruik gemaakt van vlakke doorsneden en van ontwikkelingen van ruimtefiguren. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 9

10 Vlakke meetkunde in de ruimte Heel wat eigenschappen uit de vlakke meetkunde hebben ook toepassingen in de ruimte: Pythagoras, congruentie en gelijkvormigheid, goniometrische formules Dit inzien en het vlak (de vlakken) kunnen bepalen waarin bepaalde eigenschappen kunnen gebruikt worden, is een belangrijk aspect van ruimtelijk inzicht. Deze ruimtelijke toepassingen kunnen met het nieuwe leerplan onmiddellijk bij de vlakke eigenschappen behandeld worden. Bekende voorbeelden zijn: het bepalen van de lengte van de diagonaal van een zijvlak van een balk, de schuine hoogte van een kegel en de lengte van het langste lijnstuk dat in een cilinder past. Daarbij volstaat het telkens om één gepast vlak te vinden en de stelling van Pythagoras toe te passen. Ook heel bekend maar iets ingewikkelder is het bepalen van de lengte van een (ruimte-) diagonaal in een balk. Je vindt die door tweemaal de stelling van Pythagoras toe te passen. Hieronder vind je nog een voorbeeld waarbij de stelling van Pythagoras en gelijkvormigheid gebruikt moeten worden. We werkten dit voorbeeld uit in de vorm van een werktekst om aan te geven welke stappen de leerlingen kunnen zetten om zulke problemen op te lossen. Sommige leerlingen hebben de tussenvraagjes misschien niet nodig. Voor andere leerlingen kan deze uitwerking een houvast bieden om analoge problemen aan te pakken. In de deelvraagjes zit in zekere zin een heuristiek vervat, namelijk het werken met detailtekeningen. Daarnaast biedt het (op schaal) tekenen van de vlakke figuren waarvan men de afmetingen wil bepalen ook een mogelijkheid tot controle van de berekeningen. Een schommel D 1 m C 4 m A E F B 1 m Hierboven is het vooraanzicht van een schommel getekend. In de tekenig is CE evenwijdig met AD en DF evenwijdig met BC. 1. Bereken AB. 2. In werkelijkheid stelt AD niet één staander voor, maar twee. De ene staander loopt, behalve naar links, ook 2 m naar achteren. De andere loopt twee meter naar voor. We willen weten hoe lang die staanders zijn. a. De schommel past in een balk. Teken de schommel in deze balk. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 10

11 S A U T B V b. Kun je op de tekening hierboven nameten hoe lang de staander in werkelijkheid is? (Neen.) c. En op de tekening van de schommel die in de opgave gegeven werd? (Ook niet.) d. Kan je een tekening bedenken waarop de lengte van de staander wel zou kunnen worden gemeten? (De lengte van de staander is de lengte van DS als we het vlak SDU tekenen.) e. Welke afmeting ontbreekt er nog om deze tekening te kunnen maken? (de lengte van AD) f. Kun je deze lengte meten in een van de beide figuren waarover je nu beschikt? (Ja, in de tekening uit de opgave.) g. Maak nu de tekening uit d en meet hoe lang de staander is. h. Gebruik nu tot slot de beide tekeningen om de lengte van de staander te berekenen. (Eerst berekenen we de lengte van AD, gebruik makend van de tekening uit de opgave: als we DE verlengen (noem het snijpunt met AB b.v. E ) kunnen we AD berekenen met de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek ADE. Daarna gebruiken we de tweede tekening en passen de stelling van Pythagoras toe in de rechthoekige driehoek ADS.) Ook bij de studie van gelijkvormigheid en de goniometrische formules in rechthoekige driehoeken in het derde jaar kunnen voorbeelden uit de ruimte aan bod komen. De oefening Een piramidevormig dag is hier een voorbeeld van. Hier vertrekken we van een perspectieftekening. Eventueel moet via een extra vraag nog eens duidelijk gemaakt worden dat je op zulke tekeningen de meeste afstanden en hoeken niet kan meten of kunnen enkele deelvraagjes de leidraad tot het oplossen van zulke problemen nog eens aangeven. Uiteraard zijn er heel wat mooie toepassingen van goniometrie in de ruimte, denk b.v. aan de onbereikbare toren. Ook hier vind je de oplossing door geschikte vlakken te kiezen. De oefening De wereld rond sluit daar ook bij aan. Het is aangewezen om bij deze opgave een (wereld-) bol ter ondersteuning van de redeneringen te voorzien. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 11

12 Een regelmatig viervlak Een tetraëder in een kubus Hieronder zie je een kubusvormige doos met ribbe 10 cm en een regelmatig viervlak met ribbe 14 cm. Zou dit viervlak volledig en ongeschonden in de doos kunnen?? 10 cm 14 cm In eerste instantie zullen sommigen denken dat dit niet kan omdat het grondvlak van het viervlak alvast niet in het grondvlak van de kubus past. Eventueel moet dan de tip volgen dat het grondvlak van het viervlak niet moet samenvallen met het grondvlak van de kubus. Na wat proberen zullen ze dan inzien dat het viervlak eventueel wel op de volgende manier in de kubus kan. Dan wordt duidelijk dat die 14 cm niet toevallig gegeven is. 14 cm is net iets minder dan 10 2 cm, en dat is de lengte van de diagonaal van de zijvlakken van de kubus. Eventueel kan dan de volgende omgekeerde vraag gesteld worden: Hoe groot is de kleinste kubus waarin een regelmatig viervlak met ribbe a op deze manier past? Op een voor- of boven- of zijaanzicht is duidelijk te zien dat dit een kubus met ribbe a 2 is. Op zo n aanzicht kunnen we de leerlingen ook wijzen op de stand van overstaande ribben van het viervlak. Ze ontdekken de eigenschap: overstaande ribben van een regelmatig viervlak kruisen elkaar loodrecht. Je kunt dus een regelmatig viervlak maken door vier rechthoekige piramiden weg te knippen van een kubus. Vervolgens kunnen we de leerlingen het volume van het regelmatig viervlak dat net in de kubus past, laten berekenen. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 12

13 Sommige (de meeste?) leerlingen doen het met oppervlakte grondvlak maal hoogte gedeeld door 3 en moeten dan verschillende keren de stelling van Pythagoras toepassen. Op zich is dit een mooie toepassing op het gebruik van deze stelling in de ruimte. Maar andere leerlingen hebben minder werk en geen wortels: V viervlak = V kubus 4 V rechthoekige piramide = 10 cm 10 cm 10 cm 4 10 cm 10 cm cm = 1000 cm 3. 3 Het volume van het viervlak is dus juist één derde van dat van de kubus! Deze alternatieve berekeningswijze verklaart meteen waarom in de rechtstreekse berekening alle wortels wegvallen. Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 13

14 Bibliografie [1] J. Deprez en J. Roels, Ruimtemeetkunde in de tweede graad, Uitwiskeling 16/4 (2000), [2] N. Berendsen e.a., Netwerk3 vwo, Wolters-Noordhoff (Groningen), 1994 [3] N. Berendsen e.a., Netwerk3 vwo, Wolters-Noordhoff (Groningen), 1994 [4] G. Cuisinier, D. Legrand, J. Vanhamme, Géometrie de l espace par le biais de l ombre à la lampe, Proposition 18 du G.E.M., Erasme (Namur), 1995 [5] C. Gerlach, Was alles in dem Würfel passt, Mathematiklehren 98 (2000), [6] J. Deprez e.a., Ruimtemeetkunde, Acco (Leuven), 1987 [7] H. Eggermont, G. Kesselaers en G. Van Leemput., Ruimtemeetkunde, Uitwiskeling 10/2 (1994), [8] Hawex, Wiskunde B, Verkenning in de ruimte, Freundenthalinstituut (Utrecht), 1997 [9] P. H. Maier e.a., Räumliches Vorstellungsvermögen, De Mathematikunterricht 45/3 (Mei 1999) [10] K. Thaels, H. Eggermont, D. Janssens, Van ruimtelijk inzicht naar ruimtemeekunde (Cahiers voor didactiek 12), Wolters Plantyn (Deurne), 2001 Werkwinkel 9: Meten, redeneren en rekenen in de ruimte, Jan Roels 14