Eerstegraads functies en rechte lijnen. Introductie 45. Leerkern 46

Transcriptie

1 Open Inhoud Universiteit leereenheid Wiskunde voor milieuwetenschappen Eerstegraads functies en rechte lijnen Introductie 5 Leerkern 6 De grafiek van een eerstegraads functie 6 Van grafiek naar functievoorschrift 9 De richtingscoëfficiënt nader bekeken 5 Evenredige grootheden 56 5 Snijpunten van grafieken 58 6 Eerstegraads ongelijkheden 6 7 Meer over rechte lijnen 6 Samenvatting 69 Zelftoets 7 Terugkoppeling 7 Uitwerking van de opgaven 7 Antwoorden op de zelftoets 8

2 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen Introductie Er bestaat een verscheidenheid aan mogelijke verbanden tussen milieuwetenschappelijke grootheden. Hier bekijken we een vrij eenvoudig verband: het lineaire verband. Zo n lineair verband wordt beschreven met eerstegraads functies en grafisch weergegeven door een rechte lijn. In deze leereenheid vindt u een aantal voorbeelden zoals nulde-orde chemische reacties, de beweging van voertuigen met constante snelheid, het energieverbruik in huis, de ideale gaswet, en de opbouw van druk in de aardkorst. In leereenheid zijn enkele eerstegraads functies al de revue gepasseerd. In deze leereenheid worden de eigenschappen van dergelijke functies op een rijtje gezet. Daarbij bespreken we onder meer de standaardvorm van een eerstegraads functie, de richtingscoëfficiënt en evenredige grootheden. Vervolgens bespreken we enkele aspecten van rechte lijnen, zoals de vergelijking van een rechte lijn en het berekenen van snijpunten van rechte lijnen. Ten slotte bekijken we het opstellen en oplossen van eerstegraads ongelijkheden. LEERDOELEN Na bestudering van deze leereenheid weet u wat er onder het begrip eerstegraads functie wordt verstaan weet u dat de grafiek van een eerstegraads functie een rechte lijn is kent u enkele belangrijke kenmerken van een eerstegraads functie, zoals de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as kent u de standaardvorm van het functievoorschrift van een eerstegraads functie kunt u op basis van de grafiek het functievoorschrift bepalen kunt u herkennen wanneer twee grootheden recht evenredig zijn weet u dat een rechte lijn ook beschreven kan worden zonder een directe koppeling aan een eerstegraads functie kent u diverse vormen van de vergelijking van een rechte lijn en kunt u deze in elkaar omzetten kent u de bijzondere vorm van de vergelijkingen van horizontale en verticale rechte lijnen kunt u de snijpunten bepalen van rechte lijnen in het algemeen en van grafieken van eerstegraads functies in het bijzonder kunt u eerstegraads ongelijkheden zowel grafisch als algebraïsch oplossen. 5

3 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen LEERKERN Eerstegraads functie Graad Zie appendix A, paragraaf A.7. VOORBEELD. De grafiek van een eerstegraads functie Een functie met een functievoorschrift van de vorm f ( x) = ax + b is een eerstegraads functie. Met graad wordt hier bedoeld: de hoogste macht waarin de invoervariabele x voorkomt. Omdat x = x, is de graad van deze functie. Met a = en b = krijgen we de functie f( x) = x+ ofwel f( x) = x. Met a = en b = krijgen we gx ( ) = x+. Met a = en b = krijgen we hx ( ) = x+, ofwel hx ( ) = x. Met a = en b = krijgen we kx ( ) = x+, ofwel kx ( ) =. De grafiek van f( x) = x+ hebben we al stap voor stap getekend in paragraaf.. Eerst hebben we een aantal punten van de grafiek berekend: x f(x) + = 5 + = + = + = Vervolgens zijn de punten uit de tabel getekend in een assenstelsel, zie figuur.. Deze punten liggen op een rechte lijn. Als we meer punten van deze grafiek zouden tekenen, dan komen deze alle op deze rechte lijn te liggen en omgekeerd liggen alle punten op deze lijn op de grafiek van f. f y-as 6 5 x-as FIGUUR. Grafiek van de functie f( x) = x+ De grafieken van de andere drie functies uit voorbeeld. ziet u in figuur.. 6

4 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen h y-as 6 5 k x-as g FIGUUR. Grafieken van gx ( ) = x+, hx ( ) = xen kx ( ) = OPGAVE. (*) a Bereken g (), g () en g ( ) en controleer dat de bijbehorende punten op de in figuur. getekende grafiek van g liggen. b Doe hetzelfde voor h (), h () en h ( ). c Wat valt u op aan de uitvoerwaarden van de functie k? OPGAVE. (*) Het snijpunt van de grafieken van g en h kunnen we aflezen in de grafiek: (, ). a Controleer dat dit punt inderdaad op beide grafieken ligt door g () en h () te berekenen. b Lees het snijpunt van de grafieken van g en k af in figuur.. c Controleer op de manier van vraag a dat dit punt inderdaad op de grafiek van g ligt. OPGAVE. GEOGEBRA Open GeoGebra werkblad : Eerstegraads functies op studienet. U ziet de grafiek van een functie f ( x) = ax + b. De waarden van a en b kunt u aanpassen met de schuifknoppen. a Onderzoek hoe de grafiek loopt als a positief is en als a negatief is. b Hoe loopt de grafiek als a =? c Hoe verandert de grafiek als u de waarde van b verschuift? Welk effect heeft de waarde van b op de plaats van het snijpunt van de grafiek met de y-as? 7

5 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen OPGAVE. MAXIMA In deze opgave vergelijken we telkens de grafieken van twee functies. Als u behoefte hebt aan extra oefening met het tekenen van grafieken, kunt u de grafieken tekenen door eerst een viertal punten uit te rekenen en deze in een assenstelsel te tekenen. (Zie figuur.). U kunt de grafieken ook tekenen in Maxima. Om twee grafieken in dezelfde figuur te tekenen, voert u eerst de functievoorschriften in zoals bij opgave.8. Vervolgens vult u het Plot D scherm in zoals hieronder, dus met f, g in de eerste regel. In het scherm hieronder zijn verder de x- en de y-waarden zo ingesteld dat zowel het domein als het bereik het interval 6,6 is. De optie set size ratio zorgt ervoor dat de x-as en de y-as even groot worden afgedrukt. a Teken de grafieken van de functies f( x) = x en gx ( ) = x+ in één figuur. b Doe hetzelfde voor f( x) = x+ en gx ( ) = x. c Idem voor f( x ) = 5 en gx ( ) = 5x. Richtingscoëfficiënt Stijgen Dalen In de grafieken van figuren. en. en van opgaven. en. kunt u enkele belangrijke kenmerken zien van de rechte lijn als grafiek van een eerstegraads functie: De grafiek van de functie f ( x) = ax + b is een rechte lijn. De waarde van a geeft de richting van de lijn aan. a heet dan ook de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn. Als a positief is, dan stijgt de grafiek (dat wil zeggen dat f( x ) toeneemt als x toeneemt); als a negatief is, dan daalt de grafiek van f (dat wil zeggen dat f( x ) afneemt als x toeneemt); als a =, dan is de grafiek een horizontale lijn; als twee eerstegraads functies dezelfde richtingscoëfficiënt a in hun formule hebben, dan zijn hun grafieken twee evenwijdige rechte lijnen; hoe groter a, hoe steiler de grafiek. De grafiek snijdt de verticale as in het punt P met x-coördinaat x = P en y-coördinaat y = b. P OPGAVE.5 Van welke functies in voorbeeld. en opgave. is de grafiek stijgend? En van welke is de grafiek dalend? 8

6 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen OPGAVE.6 Welk van de grafieken in voorbeeld. en opgave. loopt het steilst? En welke grafieken lopen evenwijdig? Hoe kunnen de antwoorden op bovenstaande vragen afgeleid worden uit de functievoorschriften? Lineaire functie Vergelijking van de grafiek van f Zie appendix A, paragraaf A.7. Omdat de grafiek van een eerstegraads functie f ( x) = ax + b een rechte lijn is wordt zo n functie ook wel een lineaire functie genoemd. Functies als f( x ) = 5 en kx ( ) = zijn strikt genomen geen eerstegraads functies, want er staat geen eerstegraads term in het functievoorschrift. Met enig formalisme zouden we dit nuldegraads functies kunnen noemen: omdat x = kunnen we schrijven f( x) = 5 x en kx ( ) = x. Deze constante functies zijn wel lineaire functies: de grafiek is een horizontale rechte lijn. Als we, zoals gebruikelijk bij wiskundige functies zonder context, de uitvoervariabele y noemen, kunnen we de formule f( x) = x+ ook schrijven als y = x+. Deze laatste vorm wordt de vergelijking van de grafiek van f genoemd. In opgaven.5 en.6 hebt u kunnen zien dat alle punten op de rechte lijn van figuur. voldoen aan deze vergelijking, dat wil zeggen dat er een ware bewering ontstaat als we de x-coördinaat en de y-coördinaat van een punt op die lijn invullen in de vergelijking. Hoewel er formeel een verschil bestaat tussen de formule f( x) = x+ (het functievoorschrift van een functie) en de formule y = x+ (de vergelijking van de grafiek van die functie) worden deze formules in de praktijk door elkaar heen gebruikt. OPGAVE.7 (*) De rechte lijnen in figuur. hebben als vergelijkingen: y = x+ (grafiek van g), y = x (grafiek van h) en y = (grafiek van k). a Lees de coördinaten van enkele punten op de grafiek van g af en controleer dat deze voldoen aan de vergelijking y = x+. b Lees de coördinaten van enkele punten op de grafiek van h af en controleer dat deze voldoen aan de vergelijking y = x. c Wat kunt u zeggen over de y-coördinaten van de punten die op de grafiek van k liggen? Van grafiek naar functievoorschrift In de Milieuwetenschappen weten we vaak op grond van meetresultaten en soms ook op grond van theoretische overwegingen wat voor verband er tussen twee variabelen bestaat, maar daarmee hebben we nog geen functievoorschrift. In zo n geval kunnen we beschikbare metingen weergeven als punten in een assenstel en kijken we daarna of we op grond van deze figuur het functievoorschrift kunnen bepalen. BOX. Toepassing: Nuldeorde chemische reacties Een toepassing van lineaire functies is het beschrijven van zogenaamde nulde-orde chemische reacties. Bij een chemische reactie wordt bijvoorbeeld een chemische stof A ontleed in twee componenten B en C. Dit wordt genoteerd als A B+ C. De snelheid van de reactie hangt in principe af van de concentratie c van stof A: hoe hoger de concentratie van A, des te sneller zal de reactie over het algemeen verlopen. Bij een nulde-orde reactie is deze reactiesnelheid echter constant en dus juist onafhankelijk van A. In dat geval verandert de concentratie van de 9

7 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen uitgangsstof A lineair met de tijd. Andere typen reacties bijvoorbeeld eerste-orde en tweede-orde reacties worden met andere typen functies beschreven. Hier komen we later op terug. concentratie (c) tijd (t) FIGUUR. Verloop van de concentratie tegen de tijd voor een nuldeorde chemische reactie Bron: OU Cursus Scheikunde voor milieuwetenschappen (Holtkamp & van Wijnen, ). VOORBEELD. Toepassing: Nulde-orde chemische reactie Een voorbeeld van een nulde-orde reactie is de ontleding van ammoniak aan een platinadraad tot stikstof en waterstof: Pt als katalysator NH N + H Voor deze reactie beschrijft de functie f de ammoniakconcentratie c (in mol per liter) als functie van de tijd t (in seconden). Aan de hand van een experiment zijn de volgende waarden bekend: t (s) c (mol/l) 8 6 Omdat we weten dat f een lineaire functie is, kunnen we op basis van deze tabel de grafiek tekenen. In figuur. ziet u de vier punten A(, ), B(, 8), C(, 6) en D(, ), alsmede de rechte lijn door deze vier punten. De vraag is nu hoe we op grond van de tabel en de grafiek een formule voor de functie f kunnen opstellen. Daartoe onderzoeken we hoe de waarde van de uitvoervariabele c verandert als gevolg van een verandering van de invoervariabele t: Tussen t = en t = neemt de concentratie af van c = tot c = 8, tussen t = en t = neemt de concentratie af van c = tot c = 6 en van t = tot t = neemt de concentratie af van c = 8 tot c =. Algemener geldt: als t toeneemt met, dan neemt c af met ; als t toeneemt met, dan neemt c af met en als t toeneemt met, dan neemt c af met 6. Welke twee punten op de grafiek we ook nemen en hoe groot de toename van t tussen deze twee punten ook is, de afname van c is altijd twee keer zo groot als de toename van t. 5

8 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen c (mol/l) A 9 8 B t = 7 6 C 5 c = 6 D 5 t (s) FIGUUR. Grafiek van de functie f uit voorbeeld. D is de Griekse hoofdletter Delta. afname = negatieve toename Om deze conclusie in een formule te kunnen gieten, voeren we eerst wat notatie in. Gegeven twee punten van de grafiek, bijvoorbeeld A en B. De toename van t noteren we als D t, de toename van c noteren we als D c. Er geldt dus: D t = t t en D c = c c. B A B A Voor de punten A en B in figuur. geldt dan: D t = t t = = en B A D c = c 8 B c = = en voor de punten B en D geldt zoals A aangegeven in figuur.: D t = t t = = en D B D c = c 8 6 D c = =. B Hoewel de waarden van D t en D c niet op voorhand vastliggen (we kunnen de punten waarmee we deze toenames berekenen vrij kiezen), ligt hun verhouding voor alle punten op de grafiek van figuur. wel vast. Welk tweetal punten we ook nemen, er geldt altijd D c = D t, ofwel D c = Dt Nu we geconstateerd hebben dat de verhouding tussen de toename van t en de toename van c tussen twee punten van de grafiek een vast getal is, in ons voorbeeld, kunnen we ook een vergelijking voor de grafiek opstellen. Neem hiertoe een willekeurig punt P(t, c) op de grafiek en neem als vast punt A(, ). 5

9 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen Als we van A naar P bewegen, dan geldt D c = c c = c en P A D t = t P t = A t = t. Uit D c = D t volgt dan c = t ofwel c = t +. De vergelijking van de rechte lijn in figuur. is dus c = t+. Het bijbehorende functievoorschrift is f( t) = t+. OPGAVE.8 (*) De grafiek van figuur. gaat onder meer door de punten A(, ), B(, 8), C(, 6) en D(, ). Hierboven is beredeneerd dat bij deze grafiek het functievoorschrift f( t) = t+ hoort. a Bereken f (), f (), f () en f () en controleer zo dat de punten A, B, C en D inderdaad op de grafiek van f liggen. b Lees de coördinaten af van twee andere punten op de grafiek van figuur. en controleer op de manier van vraag a dat ook deze punten op de grafiek van f liggen. OPGAVE.9 Toepassing: Nulde-orde chemische reactie We bekijken nog steeds de nulde-orde chemische reactie uit voorbeeld.. We hebben inmiddels gezien dat de concentratie op tijdstip t gegeven wordt door f( t) = t+. a Wat is de concentratie op t =? En op t = 5? b Wat kunt u zeggen over de concentratie op t = 6? c Is de grafiek stijgend of dalend? Wat is hiervan de scheikundige interpretatie? d Wat is het domein van de functie? En wat is het bereik? Merk op dat de richtingscoëfficiënt van de grafiek van f( t) = t+ (a in de formule f () t = at + b ) gelijk is aan Dc/Dt en dat het voor de uitkomst van Dc/Dt niet uitmaakt welk tweetal punten op de grafiek we gebruiken om deze verhouding te berekenen. Verder hadden we in dit voorbeeld de waarde van b ook direct kunnen aflezen uit de grafiek. Enerzijds geldt namelijk dat de grafiek door het punt (, ) gaat, dus f() =. Anderzijds geldt f() = a + b= + b= b. Dit kunnen we samennemen tot b =. De hierboven besproken techniek kunnen we toepassen voor iedere lineaire functie. De cruciale stap hierbij is de bepaling van de richtingscoëfficiënt a. Deze wordt berekend met de coördinaten van twee punten op de grafiek. Richtingscoëfficiënt bepalen. De richtingscoëfficiënt a van de rechte lijn met vergelijking y = ax + b door A x, y en de punten ( A A) (, ) B x y is gelijk aan B B Dy y y B a = = Dx x x B A A In opgave. wordt nog eens geïllustreerd dat het bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt van de grafiek van een eerstegraads functie niet uitmaakt welk tweetal punten op deze rechte lijn we daarbij nemen. 5

10 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen OPGAVE. GEOGEBRA Open GeoGebra werkblad : Richtingscoëfficiënt op studienet. Controleer dat Dy/Dx voor ieder tweetal punten op de grafiek van een functie f ( x) = ax + b gelijk is aan a. VOORBEELD. We gaan een vergelijking opstellen voor de rechte lijn l die door de punten A (,) en B (,5) gaat. We gaan daarbij op zoek naar een vergelijking van de vorm y = ax + b. De richtingscoëfficiënt a berekenen we met de formule Dy y y B A 5 a = = = = = Dx x x B A De waarde van b kunnen we nu op twee manieren vinden: Ga uit van de vergelijking y = ax + b. We weten dat a = en dat het getallenpaar x = en y = een oplossing is van de vergelijking. Er moet dus gelden: = + b = + b b=. Teken de rechte lijn door de punten A (,) en B (,5) in een assenstelsel en kijk waar deze lijn de y-as snijdt. Omdat y met toeneemt als x met toeneemt, neemt y ook af als x afneemt met. Zo zien we dat de rechte lijn ook door het punt (, ) gaat. Op beide manieren vinden we dat b =, de vergelijking van lijn l is dus y = x. OPGAVE. (*) Controleer dat het punt B (,5) ook op de rechte lijn met vergelijking y = x ligt. OPGAVE. (*) Bereken eerst de richtingscoëfficiënten en stel vervolgens een vergelijking op voor de rechte lijnen door de punten: a (, ) en (, ) b (, ) en (6, ) c (, ) en (, 6) OPGAVE. (*) De rechte lijn l gaat door de punten (, ) en (8, ). a Teken lijn l in een assenstelsel. b Stel een vergelijking op voor lijn l. OPGAVE. (*) Van de lineaire functie f is gegeven: f() = en f(6) =. Stel een functievoorschrift op voor f. Opmerking Een rechte lijn ligt vast als we twee punten van die lijn kennen. We kunnen daarom de grafiek van een lineaire functie tekenen zodra we twee punten van die grafiek kennen. Om een nauwkeuriger grafiek te maken is het raadzaam om nog één of twee punten te tekenen. Het berekenen van de coördinaten van nog meer punten is echter niet nodig en bij het uitwerken van een tentamen zelfs ongewenst: het kost kostbare tijd en het suggereert dat de kandidaat niet weet dat er sprake is van een rechte lijn. 5

11 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen De richtingscoëfficiënt nader bekeken De richtingscoëfficiënt is niet alleen een abstracte parameter in de formule y = ax + b, in toepassingen heeft hij vaak ook een concrete betekenis. In deze paragraaf bespreken we het voorbeeld van de beweging van voertuigen met constante snelheid. BOX. Toepassing: Beweging van voertuigen Als toepassing van eerstegraads functies bekijken we de beweging van een voertuig met een constante snelheid. Zijn positie verandert dan lineair met de tijd. Dit kan met een eerstegraads functie worden beschreven. Andere vormen van beweging met versnelling of vertraging worden met andere typen functies beschreven. Hier komen we later op terug. Bron: OU cursus Natuurkunde voor milieuwetenschappen (van Belleghem, ) Aandachtsgebied: Klassieke mechanica, Mobiliteit VOORBEELD. Toepassing: Beweging van voertuigen Een hogesnelheidstrein rijdt vanaf. uur ( t = ) gedurende minuten met een constante snelheid. Om. uur ( t = ) passeert de trein kilometerpaal 6, om.5 uur ( t = 5 ) passeert de trein kilometerpaal 85. A, de afstand (in kilometers) van de trein tot kilometerpaal is hier een eerstegraads functie van de tijd t. Voor deze functie geldt: A () = 6 en A (5) = 85. Om het functievoorschrift te bepalen berekenen we eerst DA a = = = = 5 Dt 5 5 In de formule A = at + b kunnen we nu invullen: A = 6, a = 5 en t =. Dit geeft 6 = 5 + b, ofwel 6 = 5 + b. Hieruit volgt b =. Het functievoorschrift is dus A = 5t+. Nu kunnen we uitrekenen waar de trein zich bevindt op diverse tijdtippen: Op t = geldt A = 5 + = Op t = geldt A = 5 + = 5 Op t = geldt A = 5 + = Op t = geldt A = 5 + = 5 Op t = geldt A = 5 + = Op t = 5 geldt A = = 5 Merk op dat de trein rijdt met een snelheid van 5 km per minuut. De richtingscoëfficiënt is in dit voorbeeld dus niets anders dan de snelheid van de trein! De richtingscoëfficiënt geeft ook precies de afstand die wordt afgelegd in één minuut. Algemener geformuleerd: De richtingscoëfficiënt van de grafiek van een lineaire functie t A geeft aan met hoeveel eenheden de uitvoer A toeneemt als de invoer t toeneemt met één eenheid. 5

12 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen OPGAVE.5 Toepassing: Beweging van voertuigen a Bij welke kilometerpaal is de trein uit voorbeeld. op t =? b Teken de grafiek van de functie t A. c Geef het domein en het bereik van deze functie. Let daarbij op de hierboven gegeven beperkingen voor het domein. Als we van een eerstegraads functie één punt en de richtingscoëfficiënt kennen, dan kunnen we de grafiek ook tekenen zonder eerst de formule op te stellen. De richtingscoëfficiënt geeft immers aan met hoeveel eenheden de uitvoer verandert als de invoer met één eenheid toeneemt. Zo kunnen we ook zonder functievoorschrift een aantal andere punten van de grafiek bepalen en vervolgens de grafiek tekenen. VOORBEELD.5 Toepassing: Beweging van voertuigen Een auto rijdt met een constante snelheid van km/h over de snelweg. Twee minuten nadat hij de snelweg is opgereden (op t = minuten) passeert de auto kilometerpaal. A, de afstand (in km) van de auto tot kilometerpaal is een eerstegraads functie van de tijd t (in minuten). Uit bovenstaande volgt dat de grafiek van deze functie door het punt (, ) gaat. Omdat de auto met een snelheid van kilometer per minuut rijdt, kunnen we gemakkelijk andere punten van de grafiek vinden. Eén minuut na t = passeert de auto kilometerpaal ; twee minuten na t = passeert de auto kilometerpaal 6; drie minuten na t = passeert de auto kilometerpaal 8; etc. De grafiek van de functie t A gaat dus ook door de punten (, ); (, 6) en (5, 8). Het is de rechte lijn die door deze punten gaat. De grafiek van deze functie is zodoende de rechte lijn door het punt (, ) met richtingscoëfficiënt. A in km t in minuten FIGUUR.5 De rechte lijn door (, ) met richtingscoëfficiënt. Let op: de afstand tussen twee dwarsstreepjes langs de verticale as is km. 55

13 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen OPGAVE.6 Toepassing: Beweging van voertuigen Bekijk de grafiek in figuur.5. a Waarom zou het eerste deel van de grafiek gestreept getekend zijn? b Stel een functievoorschrift op voor A als functie van t. OPGAVE.7 (*) De grafiek van een functie f gaat door het punt (, 5). De richtingscoëfficiënt van de grafiek is. a Teken de grafiek van de functie f. b Stel met behulp van deze grafiek een functie voorschrift op voor f. OPGAVE.8 (*) De grafiek van een functie g gaat door het punt (,). De richtingscoëfficiënt van de grafiek is. a Teken de grafiek van de functie g. b Stel met behulp van deze grafiek een functie voorschrift op voor g. Evenredige grootheden Als in de formule f ( x) = ax + b de waarde van b gelijk is aan, dan ontstaat er een bijzondere vorm van een eerstegraads functie. Het functievoorschrift is dan f ( x) = ax en de grafiek van de functie f gaat door de oorsprong (, ). Een dergelijke functie zijn we al tegengekomen in opgave.c (de functie f( x) = 5x). Wanneer het verband tussen twee grootheden met een dergelijke functie wordt beschreven, spreken we van evenredige grootheden. Hieronder leest u over enkele toepassingen waarin dergelijke verbanden en functies een rol spelen. BOX. Toepassing: Lithostatische druk en geothermische gradiënt In de geologie komen we evenredige grootheden tegen bij het beschrijven van druk en temperatuur in de aardkorst. Inzicht in druk en temperatuur is nodig om geologische processen in de aardkorst zoals de vervorming van gesteenten en mineralen te beschrijven. De druk wordt wel lithostatische druk genoemd: de druk die op een bepaald punt in de ondergrond heerst als gevolg van het gewicht van erboven gelegen gesteentemateriaal. M.b.t. de temperatuur wordt gesproken van de geothermische gradiënt: de toename van de temperatuur met de diepte in de aardkorst. Het precieze verloop van de druk en temperatuur is complex en afhankelijk van de geologische situatie ter plekke, maar bij benadering is het verloop lineair. Bron: OU cursus Geologie rondom Plaattektoniek (Leinders, 989) Aandachtsgebied: Geologie VOORBEELD.6 Toepassing: Lithostatische druk en geothermische gradiënt Op een bepaalde plaats zijn metingen gedaan door boringen in de aardkorst tot km diepte. Door deze boringen zijn de volgende gegevens bekend: diepte d (km) druk P (kbar),5 5 7,5 temperatuur T ( C) Deze gegevens zijn verwerkt in onderstaande grafiek, waarin de druk en de temperatuur op twee verschillende verticale assen zijn weergegeven. Voor elke waarde van de diepte op de horizontale as, leest u de waarde van de druk af op de linker as en de waarde van de temperatuur op de rechter as. 56

14 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen druk (kbar) temperatuur ( C) 7,5 5, diepte (km) FIGUUR.6 De lithostatische druk en geothermische gradiënt in de aardkorst OPGAVE.9 Toepassing: Lithostatische druk en geothermische gradiënt a Wat is volgens figuur.6 de druk op 5 km diepte? En wat is de temperatuur? b Zijn de functies voor druk en temperatuur in figuur.6 stijgend of dalend? Wat is hiervan de geologische interpretatie? c Bereken de richtingscoëfficiënten van beide grafieken. Wat is hiervan de geologische interpretatie? d Wat is het domein van de functies in figuur.6? En wat is het bereik? e Leidt de functievoorschriften af. Recht evenredig Evenredigheidsfactor In figuur.6 gaat de grafiek van beide functies door de oorsprong (, ). Omdat de grafiek de verticale as snijdt in het punt (, ), geldt voor de standaardvorm f ( x) = ax + b dat b gelijk is aan, dus dat het functievoorschrift de vorm f ( x) = ax heeft. Voor de temperatuur als functie van de diepte geldt hier T = d. Voor de druk als functie van de diepte geldt hier P =,5d. We zeggen dat de grootheden in deze voorbeelden recht evenredig zijn: de temperatuur is recht evenredig met de diepte met evenredigheidsfactor, de druk is recht evenredig met de diepte met evenredigheidsfactor,5. BOX. Toepassing: Energieverlies in huis Een andere toepassing van lineaire functies is het beschrijven van energieverlies in huis. Er zijn in hoofdlijnen twee processen van energieverlies in huis: transmissie van warmte via muren, ramen en dak, en ventilatie door natuurlijke kieren en gaten en/of een ventilatiesysteem. Hier focussen we op de eerste: transmissie. De totale transmissie van warmte Q via een muur (of raam of dak) van oppervlakte A wordt gegeven door de formule DT Q = A R Hierin is: ΔT het verschil in buiten- en binnentemperatuur ( C) R de totale thermische weerstand van de muur (m C/W) A de oppervlakte (m ). Zonder in details te treden nemen we aan dat de totale waarde van de fractie A/R van een gemiddeld vrijstaand huis zo n W/ C bedraagt. Bron: OU cursus Energy Analysis (Blok, 6), OU cursus Natuurkunde voor milieuwetenschappen 57 (van Belleghem, ), MacKay (9) Aandachtsgebied: Energiegebruik, Thermodynamica

15 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen OPGAVE. Toepassing: Energieverlies in huis Als we in box. Q opvatten als een functie van het verschil tussen de binnentemperatuur en de buitentemperatuur (DT), dan volgt dat Q en DT recht evenredig zijn. a Wat is dan de evenredigheidsconstante? b Geef een functievoorschrift voor Q als functie van DT. c In welke eenheid wordt de grootheid Q aangegeven? 5 Snijpunten van grafieken Bij eerstegraads functies is er vrijwel altijd één snijpunt, verderop in de cursus komen we ook functies tegen waarbij er meer snijpunten mogelijk zijn. Zie paragraaf A.9 en A.. VOORBEELD.7 Bij het werken met functies is de vraag vaak voor welke invoerwaarde we een bepaalde uitvoerwaarde krijgen, of voor welke invoerwaarde twee functies dezelfde uitvoerwaarde geven. Het antwoord op dergelijke vragen vinden we door te kijken naar het snijpunt van een grafiek met een bepaalde horizontale lijn, of naar het snijpunt van twee grafieken. In deze paragraaf bespreken we het berekenen van de coördinaten van dergelijke snijpunten voor grafieken van eerstegraads functies. Dit doen we door het opstellen en oplossen van eerstegraads vergelijkingen. De techniek voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen wordt besproken in appendix A. In figuur.7 ziet u de grafieken van de functies f( x) = x+, gx ( ) = x+ 6 en hx ( ) = x 8. g y-as f x-as h FIGUUR.7 Drie lineaire functies Het snijpunt van de grafieken van f en h is gemakkelijk af te lezen in figuur.7: (, ). Dit kunnen we controleren door te berekenen: f () = + = + = en h () = 8 = 8 =. De snijpunten van de grafiek van g met de grafiek van f en met de grafiek van h zijn niet zo gemakkelijk af te lezen in de grafiek. Om deze snijpunten te bepalen stellen we eerst vergelijkingen op. 58

16 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen Voor het snijpunt van de grafieken van f en g zoeken we een invoerwaarde x waarvoor de uitvoerwaarden van beide functies gelijk zijn. Er geldt dus: f( x) = gx ( ). Als we in deze formule de functievoorschriften van f en g invullen, dan ontstaat de eerstegraads vergelijking x + = x+ 6 Voor het snijpunt van de grafieken van g en h zoeken we de invoerwaarde x waarvoor geldt gx ( ) = hx ( ). Invullen van de functievoorschriften van g en h geeft dan de eerstegraads vergelijking x+ 6 = x 8. OPGAVE. (*) Gegeven de functies f, g en h uit voorbeeld.7. a Los de vergelijking f( x) = gx ( ) op. Controleer uw antwoord door f( x ) en gx ( ) te berekenen voor de gevonden waarde van x. b Los de vergelijking gx ( ) = hx ( ) op. Controleer uw antwoord door gx ( ) en hx ( ) te berekenen voor de gevonden waarde van x. VOORBEELD.7 (vervolg) Het snijpunt van de grafiek van f met de x-as is ook gemakkelijk af te lezen: dat is het punt ( 5, ). Dit kunnen we controleren door te berekenen: f ( 5) = 5 + = + =. ( ) Het snijpunt van de grafiek van g met de x-as is niet af te lezen in de grafiek. Om dit snijpunt te vinden, moeten we de waarde van x vinden waarvoor geldt gx ( ) =. Dit leidt tot de eerstegraads vergelijking x + 6 =. OPGAVE. (*) Los de vergelijking gx ( ) = op en controleer uw antwoord door gx ( ) uit te rekenen voor de gevonden waarde van x. OPGAVE. (*) In deze opgave bekijken we de functie hx ( ) = x 8. a Los op: hx ( ) =. b Bereken de coördinaten van het snijpunt van de grafiek van h met de lijn y = 5. c Controleer uw antwoorden op de manier van opgave.. d Hoe kunt u uw antwoorden controleren in figuur.7? BOX.5 Toepassing: De ideale gaswet en het absolute nulpunt In paragraaf. hebben we al uitgebreid stilgestaan bij de ideale gaswet bij een constante temperatuur. Boyle onderzocht ook het verband tussen druk en volume van een hoeveelheid gas bij verschillende, constante temperaturen. Telkens vond hij dat de relatie P V = constant gold, maar de waarde van de constante was afhankelijk van de temperatuur. Uitgebreidere proeven, onder andere door Gay-Lussac, toonden aan dat er tussen de waarde van de constante en de temperatuur een lineair verband bestond. Figuur.8 geeft enige resultaten van zulke metingen. Het bleek dat bij constant volume de druk-temperatuur-grafieken rechte lijnen waren. Maar bovendien bleek nog een ander belangrijk feit: bij extrapolatie naar druk nul bleek deze druk altijd bij dezelfde temperatuur op te treden, 59

17 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen onafhankelijk van de hoeveelheid gas en van het soort gas! Deze temperatuur moest wel een zeer bijzondere waarde zijn. Omdat een gas met negatieve druk niet voorstelbaar is, moest dit de laagst mogelijke temperatuur, het absolute nulpunt zijn! Bron: OU Cursus Natuurkunde (Swithenby, 987) Aandachtsgebied: Thermodynamica druk (bar) V =,5 m V = m V = m temperatuur ( C) FIGUUR.8 Druk als functie van de temperatuur bij gelijkblijvend volume voor drie volumes Opmerking Opmerking Zie ook appendix B. VOORBEELD.8 Toepassing: De ideale gaswet en het absolute nulpunt Extrapoleren = verlengen van de grafiek tot buiten het domein van de metingen waarop de grafiek gebaseerd is. Bij het maken van berekeningen nemen we dan aan dat het functievoorschrift ook buiten dit domein geldig blijft. In dit geval gaat het om temperaturen buiten het domein waarin de proeven uitgevoerd zijn, dus buiten het interval 5 T. De SI-eenheid voor temperatuur is niet graden Celcius of graden Fahrenheit, maar kelvin (K, dus zonder graden). Deze is gebaseerd op het hier besproken absolute nulpunt. We bekijken weer het vat van voorbeeld.. Het vat wordt telkens in verschillende situaties geprepareerd met constante volumes van respectievelijk, ½, en m. Bij elke situatie wordt voor verschillende waarden van de temperatuur (in het domein van 5 tot graden Celsius) de druk gemeten. Zie figuur.8. 6

18 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen OPGAVE. Toepassing: De ideale gaswet en het absolute nulpunt In box.5 hebben we gezien dat het product P V bij gelijkblijvende temperatuur constant is. De waarde van deze constante is een lineaire functie van de temperatuur. Gegeven de standaardvorm van lineaire functies moet dus gelden: P V = at + b, met a en b nog onbekende constanten. Voor de temperatuur T = C zijn voor drie situaties de waarden voor de druk gegeven: volume (in m ) druk (bar),9,55, a Verifieer dat de waarde van het product P V constant is. Hoe groot is deze constante? Voor de temperatuur T = 7 C was het verband tussen P en V al bekend. Er gold exact P = /V. (Zie opgave.) b Toon aan dat uit bovenstaande volgt dat in P V = at + b geldt: 7 a = en b =. Opmerking Als we zoals in de tabel de waarde van a afronden op drie cijfers achter de komma, krijgen we een te grote afrondingsfout. c Geef het functievoorschrift voor de functie T P als V = m. d Geef dit functievoorschrift ook voor het geval dat V = m. e Bij welke temperatuur is de druk voor beide situaties gelijk? En bij welke waarde van de druk treedt deze situatie op? f Verifieer dat ook voor V =,5 m de situatie het bij e gevonden getallenpaar (P, T) aan het bijbehorende functievoorschrift T P voldoet. g Wat is de fysische interpretatie van het bij e gevonden getallenpaar? 6 Eerstegraads ongelijkheden In deze paragraaf bespreken we hoe eerstegraads ongelijkheden tot stand komen en laten we zien hoe deze zowel grafisch (met behulp van de grafiek) als algebraïsch (met alleen een berekening) kunnen worden opgelost. Als introductie komen we terug op de toepassing Energieverlies in huis, die we aan het eind van paragraaf. besproken hebben (zie box.). VOORBEELD.9 Toepassing: Energieverlies in huis Op basis van de informatie in box. kunnen we bij iedere waarde van de buitentemperatuur een functie maken die het energieverlies geeft als functie van de binnentemperatuur T in. In figuur.9 zijn de grafieken van deze functies getekend voor vier mogelijke buitentemperaturen T uit. 6

19 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen 6 5 energieverlies (kw) casus casus casus casus binnentemperatuur ( C) FIGUUR.9 Verband tussen energieverlies van een huis Q als functie van de binnentemperatuur T in voor een aantal buitentemperaturen T uit OPGAVE.5 Toepassing: Energieverlies in huis Bekijk de grafieken in figuur.9. a Het domein is voor alle functies hetzelfde. Wat is dit domein? b Ook de richtingscoëfficiënt is voor alle functie dezelfde. Wat is de waarde van deze coëfficiënt? c Het bereik is voor alle functies verschillend. Wat is, bijvoorbeeld, het bereik van de functie van casus? d De functies van casus en snijden de horizontale as bij verschillende waarden van de binnentemperatuur. Wat is de fysische interpretatie van deze waarde? e Bepaal de buitentemperatuur voor casus en. f Bepaal het functievoorschrift voor casus. g Het is buiten C als u besluit de thermostaat een graadje hoger te zetten. Hoeveel extra energieverlies levert dat op? Hoeveel spaarlampen van 6 W kunnen daar op branden? Ongelijkheid VOORBEELD.9 (vervolg) Bij de derde casus is de waarde van Q voor een deel van de grafiek positief en voor een ander deel negatief. In opgave.5f hebben we het functievoorschrift voor Q als functie van T in gevonden: Q =,T in. De vraag voor welke waarden van T in is het energieverlies positief? leidt dan tot de ongelijkheid,t >. in De oplossing van deze ongelijkheid kunnen we direct aflezen in de grafiek: Voor T = geldt Q = ; voor T > geldt Q >. in in OPGAVE.6 Toepassing: Energieverlies in huis Voor welke waarden van T in geldt in casus dat Q <? Wat is de natuurkundige interpretatie van een negatief energieverlies? Wat is in de derde casus de buitentemperatuur? De algemene oplossingsmethode voor een ongelijkheid van de vorm f( x) < gx ( ), f( x) gx ( ), f( x) > gx ( ) of f( x) gx ( ) is gebaseerd op dezelfde overwegingen als in voorbeeld.9. 6

20 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen De eerste stap van de oplossing is het oplossen van de vergelijking f( x) = gx ( ), waarmee de snijpunten van de grafieken van f en g bekend zijn. De tweede stap is het tekenen van de grafieken van f en g, met daarin die snijpunten. De derde stap is dan om in de grafiek te kijken waar f kleiner (of groter) is dan g. VOORBEELD. Los op: x+ > x. Stap : Los op: x+ = x x+ = x x = 6 x =. Controle: + = en =. Stap : Teken de grafieken van de functies f( x) = x+ en gx ( ) = x in één figuur. Merk op dat we van beide grafieken al direct twee punten weten: De grafiek van f gaat door het snijpunt S(, ) en door het punt (, ); de grafiek van g gaat het snijpunt S(, ) en door het punt (, ). y-as 5 S f 5 x-as g FIGUUR. De grafieken van f( x) = x+ en gx ( ) = x met snijpunt S(, ) Stap : Links van het snijpunt ligt de grafiek van f boven die van g. Voor x < geldt dus f( x) > gx ( ). Rechts van het snijpunt ligt de grafiek van f onder die van g. Voor x > geldt dus f( x) < gx ( ). De oplossingen van de ongelijkheid x+ > x zijn dus de waarden van x met x <, ofwel het interval,. 6

21 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen OPGAVE.7 Los de ongelijkheid x x op met de methode van voorbeeld.. Dat wil zeggen: a Los de vergelijking x = x op. b Teken de grafieken van de functies f( x) = x en gx ( ) = x in één assenstelsel en markeer het gevonden snijpunt in deze figuur. c Lees de oplossingen van de ongelijkheid af in de figuur. NB: De x-waarde van het snijpunt is nu ook een oplossing van de ongelijkheid. OPGAVE.8 (*) Los de volgende ongelijkheden op de manier van voorbeeld. op: a x < x+ b x+ 5 8x Zie Appendix A, paragraaf A.. Het oplossen van ongelijkheden met behulp van grafieken wordt grafisch oplossen van ongelijkheden genoemd. Eerstegraads ongelijkheden kunnen ook algebraïsch worden opgelost, dat wil zeggen alleen met een berekening. De stappen daarbij zijn exact dezelfde stappen die we nemen bij het oplossen van een eerstegraads vergelijking. Er is alleen een valkuil: als we links en rechts met een negatief getal vermenigvuldigen of door een negatief getal delen, dan klapt het teken van de ongelijkheid om. Kijk maar eens naar de ongelijkheid x > 8. Links door delen geeft x, rechts door delen geeft. De oplossing van de ongelijkheid is echter x < en niet x >. Dit kunt u controleren door zowel enkele getallen groter dan als enkele getallen kleiner dan in te vullen in de ongelijkheid x > 8. Alleen getallen kleiner dan maken de ongelijkheid waar. VOORBEELD. Gegeven de ongelijkheid x x Links en rechts optellen geeft: x x+ Links en rechts x aftrekken geeft: x Als we nu links en rechts delen door of, wat op hetzelfde neerkomt, vermenigvuldigen met, moeten we ook de richting van het ongelijkheidsteken omklappen. Dit geeft: x Precies de oplossing die u als het goed is in opgave.7 gevonden heeft. OPGAVE.9 (*) Los de ongelijkheden uit voorbeeld. en opgave.8 ook algebraïsch op. 7 Meer over rechte lijnen We hebben gezien dat de grafiek van een eerstegraads functie een rechte lijn is. Voor alle punten op deze rechte lijn geldt dat y = f( x), ofwel y = ax + b. Dit is een voorbeeld van een eerstegraads vergelijking in twee variabelen. Zie Appendix A, paragraaf A.9. De meest algemene vorm van een eerstegraads vergelijking in twee variabelen is mx + ny = c. Beide vormen kunnen we in elkaar overzetten door het toepassen van de toegestane stappen die voor alle vergelijkingen gelden. 6

22 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen VOORBEELD. VOORBEELD. De vergelijking y = x + herschrijven we door links en rechts van het =-teken de term x op te tellen. Zo krijgen we x+ y =. Dit is een vergelijking van de vorm mx + ny = c met m =, n = en c =. De vergelijking x+ y = 6 herschrijven we door de toegestane stappen als volgt toe te passen: De vergelijking was: x+ y = 6 Links en rechts x aftrekken geeft: y = 6 x Links en rechts door delen geeft dan: 6 x y = ofwel y = x Dit is een vergelijking van de vorm y = ax + b met a = en b =. Tussen eerstegraads vergelijkingen in één variabele en eerstegraads vergelijkingen in twee variabelen zit een belangrijk verschil. Een vergelijking als x + = 6 heeft maar één oplossing (namelijk x = ), terwijl een vergelijking als x+ y = 6 heel veel oplossingen heeft. We kunnen deze vergelijking immers omwerken naar y = x en deze vergelijking kunnen we opvatten als het functievoorschrift van de functie f( x) = x. Zo kunnen we bij iedere waarde van x een bijbehorende waarde van y vinden die samen een oplossing van de vergelijking vormen. Net als bij functies noteren we de oplossingen als geordende getallenparen (x, y). Op die manier vinden we dat de paren (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) allemaal oplossingen zijn van de vergelijking x+ y = 6. Maar er zijn nog veel meer oplossingen. Voor iedere waarde van x is er immers een passende y-waarde. Om toch een beeld te krijgen van alle oplossingen, kunnen we de gevonden oplossingen tekenen als punten in een assenstelsel en dan kijken we of we een patroon herkennen. Zo krijgen we uiteraard de grafiek van de functie f( x) = x en daarvan weten we al dat het een rechte lijn is. f y-as 5 6 x-as FIGUUR. De grafiek van de functie f( x) = x, ofwel de rechte lijn met vergelijking x+ y = 6 65

23 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen Alle oplossingen van de vergelijking x + y = 6 liggen op de rechte lijn in figuur. en omgekeerd zijn alle punten op de rechte lijn in figuur. een oplossing van de vergelijking x+ y = 6. OPGAVE. (*) Gegeven de vergelijking x+ y = 6 en de functie f( x) = x. a Bereken nog een aantal oplossingen van de vergelijking x+ y = 6 door f( x ) uit te rekenen voor een aantal waarden van x. Neem daarbij ook negatieve waarden van x. b Controleer dat de bijbehorende punten op de rechte lijn in figuur. liggen. c Ga na dat het punt ( 6, ) op de rechte lijn in figuur. ligt. d Controleer dat het getallenpaar ( 6, ) een oplossing is van de vergelijking x+ y = 6 door x = 6 en y = in te vullen in deze vergelijking. OPGAVE. (*) Gegeven de vergelijking x+ 5y = 5. a Vul x = in in de vergelijking. Welke waarde van y hoort hier bij? b Vul y = in in de vergelijking. Welke waarde van x hoort hier bij? c Zet de vergelijking om in de vorm y = ax + b. d Bereken nog enkele oplossingen van deze vergelijking. e Teken de gevonden oplossingen in als punten in een assenstelsel en teken daarin de lijn met vergelijking x+ 5y = 5. Horizontale rechte lijn Vergelijking x-as: y = Verticale rechte lijn Vergelijking y-as: x = Bovenstaande redenering kunnen we toepassen op vrijwel iedere vergelijking van de vorm mx + ny = c. Op de manier van voorbeeld. volgt: c mx c mx m c mx + ny = c ny = c mx y = y = y = x + n n n n n Zo zien we dat we de vergelijking mx + ny = c kunnen opvatten als het m c functievoorschrift van de functie f( x) = x+. De grafiek van deze n n functie is, zoals we gezien hebben, een rechte lijn. De uitdrukking mx + ny = c is zodoende de vergelijking van een rechte m c lijn, namelijk van de grafiek van de functie f( x) = x+. n Twee bijzondere rechte lijnen krijgen we als we m = of n = invullen in de formule mx + ny = c. c Met m = vinden we x + ny = c ny = c y =. n Voor een oplossing van deze vergelijking geldt dat x alle mogelijke waarden kan hebben, alleen y ligt vast. Punten die hieraan voldoen liggen naast elkaar in een assenstelsel. De oplossingen vormen dus de c horizontale rechte lijn met vergelijking y =. Dit is de grafiek van de n c constante functie f( x ) =. n Als bovendien c = krijgen we de vergelijking y =. Dit is de vergelijking van de x-as. c n = geeft mx + y = c mx = c x =. m Voor een oplossing van deze vergelijking geldt dat y alle mogelijke waarden kan hebben, alleen x ligt vast. Punten die hieraan voldoen liggen recht onder en boven elkaar in een assenstelsel. De oplossingen c vormen dus de verticale rechte lijn met vergelijking x =. m Als bovendien c = krijgen we de vergelijking x =. Dit is de vergelijking van de y-as. Verticale rechte lijnen zijn de enige rechte lijnen die niet kunnen worden opgevat als het functievoorschrift van een functie x y. Voor de punten op de lijn x = c is maar één x-waarde mogelijk maar zijn alle y-waarden toegestaan. 66

24 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen OPGAVE. (*) Gegeven de vergelijking x =. a Noteer punten die aan deze vergelijking voldoen (x-waarde én y-waarde) en teken deze in een assenstelsel. Teken ook de rechte lijn door deze punten. b Doe hetzelfde voor de vergelijking y =. OPGAVE. m c Waarom kan de vergelijking mx + ny = c niet in de vorm y = x+ n n geschreven worden als n =? Het snijpunt van twee rechte lijnen waarvan de vergelijking niet in de vorm van een functievoorschrift staat, kan op verschillende manieren bepaald worden. VOORBEELD. In figuur. ziet u de rechte lijnen m en n met vergelijkingen x+ 5y = 5 resp. 7x y = 5. m y-as 6 8 x-as n FIGUUR. De lijnen m en n met vergelijkingen x + 5y = 5 respectievelijk 7x y = 5 Stelsel vergelijkingen Om de coördinaten van het snijpunt te vinden, moeten we de waarden van x en y vinden die aan beide vergelijkingen voldoen. We zoeken dus de oplossing van het stelsel vergelijkingen x+ 5y = 5 7x y = 5 Eén methode om het stelsel uit voorbeeld. op te lossen begint met het omwerken van de beide vergelijkingen tot de vorm y = ax + b. y = x+ 5 Dit geeft 7 y = x 67

25 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen Eliminatiemethode Hieruit volgt dat x + gelijk moet zijn aan 7 x. 5 Nu kunnen we de waarde van x berekenen door de vergelijking 7 x+ = x op te lossen. 5 Vervolgens vinden we de waarde van y door de gevonden waarde van x in te vullen in één van de vergelijkingen. x+ 5y = 5 Voor stelsels vergelijkingen van de vorm is de eliminatiemethode vaak sneller. 7x y = 5 Om deze methode toe te kunnen passen bij dit stelsel vermenigvuldigen we alle termen van de bovenste vergelijking met. x+ y = Zo krijgen we 7x y = 5 Tel nu de beide vergelijkingen bij elkaar op, dan krijgen we ( x+ 7x) + ( y y) = ( + 5). We houden dan over: x = 55. Door deze actie hebben we de variabele y geëlimineerd. Nu volgt x = 5 en uit x+ 5y = 5 volgt dan 5 + 5y = 5 + 5y = 5 5y = 5 y =. Het snijpunt van de lijnen m en n uit voorbeeld. is dus het punt (5, ). OPGAVE. Controleer dat het getallenpaar (5, ) inderdaad een oplossing is van de beide vergelijkingen uit voorbeeld.. OPGAVE.5 (*) Het stelsel x+ 5y = 5 7x y = 5 kan ook worden opgelost door de bovenste vergelijking te vermenigvuldigen met 7 en de onderste met. De resulterende vergelijkingen moeten term voor term van elkaar worden afgetrokken om de variabele x te elimineren. Los het stelsel ook op deze manier op. OPGAVE.6 (*) Los op met de eliminatiemethode: x+ y = 5 x+ y = a b x+ 5y = 8 x+ y = OPGAVE.7 x+ y = 6 x+ y = 6 Gegeven de stelsels vergelijkingen (i) en (ii) x 6y = x 6y = a Ga na dat de eliminatiemethode niet werkt voor deze stelsels. b Schrijf alle vergelijkingen in deze stelsels in de vorm y = ax + b. c Hoeveel oplossingen heeft stelsel (i)? En hoeveel oplossingen heeft stelsel (ii)? 68

26 Leereenheid Eerstegraads functies en rechte lijnen Strijdig stelsel Identiek stelsel x+ y = 6 Het stelsel is een voorbeeld van een strijdig stelsel. x 6y = Aan het antwoord van opgave.7b kunt u zien dat de rechte lijnen met de vergelijkingen x+ y = 6 en x 6y = beide dezelfde richtingscoëfficiënt hebben, maar dat de eerste door het punt (, ) gaat, terwijl de tweede door het punt (, ) gaat. Deze twee rechte lijnen hebben dus geen snijpunt (zie figuur.). x+ y = 6 Het stelsel is een voorbeeld van een identiek stelsel. x 6y = In opgave.7b hebt u als het goed is gezien dat hier in wezen twee keer dezelfde vergelijking staat. Alle punten op de rechte lijn met deze vergelijking zijn oplossing van dit stelsel. y-as 6 8 x-as m n FIGUUR. m is de lijn met vergelijking x+ y = 6 ofwel x 6y = ; n is de lijn met vergelijking x 6y = Samenvatting Eerstegraads functies De richtingscoëfficiënt Een functie met een functievoorschrift van de vorm f ( x) = ax + b heet een eerstegraads functie. De grafiek van zo n functie is een rechte lijn, daarom worden eerstegraads functies ook lineaire functies genoemd. De richtingscoëfficiënt a geeft de richting van de grafiek aan. De grootte van a geeft aan hoe steil de grafiek loopt; als a > is de grafiek stijgend en als a < is de grafiek dalend. De grafiek snijdt de y-as in het punt (, b). Als de richtingscoëfficiënt van twee eerstegraads functies gelijk is, dan lopen hun grafieken evenwijdig. In de formule y = ax + b kan a ook gezien worden als het aantal eenheden waarmee de uitvoervariabele y toeneemt als de invoervariabele x met één eenheid toeneemt. Als a < neemt de uitvoervariabele af als de invoervariabele toeneemt (afname = negatieve toename). 69

27 Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen Constante functies Evenredige grootheden Opstellen van een functievoorschrift Als a = heeft de functie een functievoorschrift van de vorm F(x) = b. Deze constante functie is formeel geen eerstegraads functie, maar wel een lineaire functie: de grafiek is een horizontale rechte lijn. Als b =, dan geldt f ( x) = ax en f () =, dus gaat de grafiek door de oorsprong (,). Grootheden waarvan het verband wordt beschreven met een functie van de vorm f ( x) = ax heten recht evenredig met evenredigheidsfactor a. Als we twee punten op de grafiek van een eerstegraads functie kennen, zeg Ax (, y ) en Bx (, y ), kunnen we de richtingscoëfficiënt A A berekenen met de formule Dy y y B A a = = Dx x x B A B B Het maakt daarbij niet uit welke twee punten op de grafiek we nemen. Voor het bepalen van de constante b uit de formule f ( x) = ax + b zijn er twee mogelijkheden: Lees het snijpunt met de y-as af; b is de y-coördinaat van dit snijpunt. Vul a en de coördinaten van één van de punten A of B in in de formule y = ax + b en bereken vervolgens b. Snijpunten Eerstegraads ongelijkheden Algebraïsche methode De vergelijking van een rechte lijn De snijpunten van de grafieken van twee functies f en g bepalen we door het gelijkstellen van de functievoorschriften. Zo krijgen we de vergelijking f( x) = gx ( ). Als f en g beide eerstegraads functies zijn, is dit een eerstegraads vergelijking. De oplossing van deze vergelijking is de x-coördinaat van het snijpunt. De y-coördinaat van het snijpunt vinden we door f( x ) en/of gx ( ) te berekenen voor de gevonden waarde van x. Het snijpunt van de grafiek van een functie f met een horizontale rechte lijn y = p bepalen we door de vergelijking f( x) = p op te lossen. Een ongelijkheid als x+ x kunnen we op twee manieren 5 oplossen. De grafische methode bestaat uit stappen: Stap : Los de vergelijking x+ = x op 5 (oplossing: x = ) Stap : Teken de grafieken van de functies f( x) = x+ en 5 gx ( ) = x in één figuur Stap : Lees de oplossingen af uit de grafieken (de grafiek van f ligt rechts van x = onder de grafiek van g, dus oplossing x ). Bij de algebraïsche methode gebruiken we dezelfde stappen als bij het oplossen van de vergelijking x+ = x. Als we daarbij delen 5 door of vermenigvuldigen met een negatief getal klapt het teken van de ongelijkheid om: x+ x 6x+ 5 x 6x 65 x. 5 De formule mx + ny = c is een eerstegraads vergelijking in twee variabelen. De oplossingen van de vergelijking mx + ny = c zijn getallenparen (x, y). Als we deze tekenen als punten in een assenstelsel, dan liggen deze punten alle op één rechte lijn. Omgekeerd zijn alle punten op deze lijn een oplossing van de vergelijking. 7