VAN ATOOM TOT KOSMOS Wie het kleine niet eert... Piet Mulders

Transcriptie

1 VAN ATOOM TOT KOSMOS Wie het kleine niet eert... Piet Mulders P er el er el e e e e L R L R C e R e L T e L e R

2 P.J. Mulders Nationaal Instituut voor Subatomaire Fysica (Nikhef), Faculteit der Exacte Wetenschappen (FEW), Vrije Universiteit Amsterdam mulders ISBN (herziene en uitgebreide uitgave) Reprografie Huisdrukkerij VU, 2015

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding De maat der dingen Energie en impuls Impulsmoment Eenheden Krachten De grote theorieën Speciale relativiteitstheorie Quantummechanica Quantumveldentheorie Algemene relativiteitstheorie Wie het kleine niet eert Atomen Atoomkernen Nucleonen Families van deeltjes Met vereende krachten Gravitatie en kromming van ruimte-tijd Ladingen en krachtdeeltjes Het theoretische raamwerk: veldentheorie Discrete symmetrieën Spontane symmetriebreking en unificatie Het ongrijpbare neutrino Waar komen neutrino s vandaan? Neutrino oscillaties Consequenties van massieve neutrino s De geschiedenis van het heelal De oerknal De temperatuur van het heelal Kosmische straling Samen meer: complexiteit 85

4

5 Voorwoord Voor de meeste aspecten die met de structuur van de materie om ons heen te maken hebben is het voldoende om te weten hoe die is opgebouwd uit atomen en moleculen met als bindende kracht op microscopisch niveau de elektromagnetische krachten en op macroscopisch niveau de zwaartekracht. Onder die laag gaat echter een fascinerende wereld schuil van subatomaire deeltjes, zoals de quarks waaruit de kerndeeltjes in de atoomkernen zijn opgebouwd, de elektronen en de neutrino s, deeltjes die door de Zon in grote aantallen geproduceerd worden en waar het heelal mee doordrenkt is net als met lichtdeeltjes. In dit boekje komt die wereld ter sprake, een wereld waarover we via internationale onderzoeksinspanningen een heleboel te weten zijn gekomen. We zullen ons hier beperken tot de wereld die we uit experimenten kennen. Dat betekent dat snaren en meerdere dimensies niet aan de orde komen. Deze onderwerpen zijn weliswaar ook fascinerend en net als de wiskunde bieden ze mogelijkheden om theorieën consistenter and esthetischer te maken, maar vooralsnog ontbreken de concrete aanwijzingen. De opzet van de gekozen beschrijving wijkt af van die in de meeste boeken of artikelen over materie en krachten. Er is gekozen voor de presentatie van onze huidige inzichten en niet van de vaak lange en moeizame weg via welke de kennis is verworven. Deze historische lijn is in veel boeken terug te vinden. Ook de experimentele inspanningen die nodig waren om de kennis te verwerven komen niet tot hun recht. Die inspanningen zijn zo groot dat de verworven kennis er soms in ondergesneeuwd raakt. Ook hier kan de geïnteresseerde lezer vele boeken vinden of te rade gaan bij de webpagina s van de verschillende experimentele faciliteiten. Wat niveau betreft is de insteek gekozen dat middelbare school kennis op VWO niveau voldoende zou moeten zijn om alles te volgen, al zijn sommige kaders misschien wat aan de pittige kant. Uit eigen ervaring merk ik echter dat juist bij velen die in deze onderwerpen geïnteresseerd zijn behoefte bestaat aan enige diepgang, of het nu gaat om geïnteresseerde leken, amateursterrenkundigen, HOVO-cursisten, scholieren, studenten, wetenschappers in andere disciplines maar ook collega natuurkundigen waaronder leraren. Piet Mulders Januari 2015

6

7 Hoofdstuk 1 Inleiding Hoe ziet de wereld van het kleine er uit. Het bekijken houdt al snel op. Zelfs met een microscoop kunnen we geen details zien die kleiner zijn dan de golflengte van het gebruikte licht. Voor zichtbaar licht is dat zo n 0,4 tot 0,8 µm. We kunnen natuurlijk licht met een kleinere golflengte gebruiken, maar dan hebben we het in letterlijke zin niet meer over zien hoe de wereld er uit ziet, maar wordt het een beeld van de wereld construeren. Wanneer we de wereld van de atomen binnengaan dan is dat toch wat we gaan doen. We kunnen dan ook gebruik maken van het feit dat deeltjes, bijvoorbeeld elektronen, op een schaal die klein genoeg is zich manifesteren als golven, beter geformuleerd beschreven worden met behulp van een quantummechanische golffunctie. Die golffuncties oscilleren in de tijd met frequenties f = E/h bepaald door de energie E van een deeltje en in de ruimte over golflengtes λ = h/p bepaald door de impuls p van een deeltje, Hier is h de constante van Planck. Uitgedrukt in alledaagse eenheden is de constante van Planck een enorm klein getal, h = 6, Js. De quantummechanica speelt in de alledaagse wereld dan ook nauwelijks een rol, maar in de wereld van moleculen, atomen en kleiner speelt die juist de centrale rol. Frequentie en golflengte Oscillerende functies zijn de sinus of cosinus (sin ϕ of cos ϕ) of voor wie daarmee vertrouwd is complexe e-machten (e ±i ϕ ). Het argument (ϕ) geeft de fasehoek van de oscillaties. Die fasehoek loopt in radialen van 0 tot 2π. Voor oscillaties in de tijd (t) is de fasehoek ϕ = 2π t = 2π ft = ωt, T waar T de trillingstijd is; f = 1/T is de frequentie en ω = 2π f = 2π/T is de hoekfrequentie. Voor oscillaties in de ruimte (bijvoorbeeld langs de x-richting) is de fasehoek ϕ = 2π x λ = kx, waar λ de golflengte is; k = 2π/λ is het golfgetal. Omdat ω en k vaak handiger in gebruik zijn dan f of λ, werken we meestal met h = h/2π i.p.v. met h. Voor een quantummechanische golffunctie hebben we dan de belangrijke koppeling van energie en impuls met hoekfrequentie en golfgetal, E = hω en p = hk.

8 8 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Voor lichtdeeltjes zijn energie E en impuls p gerelateerd via de lichtsnelheid, E = pc, waar c de snelheid van het licht is, c = m/s, afgerond km/s. Deze relatie tussen E en p betekent dat ook de golflengte en frequentie van lichtgolven gerelateerd zijn, namelijk f = c/λ. Overigens geldt deze relatie niet alleen voor lichtgolven maar voor alle vormen van elektromagnetische straling, zoals (met steeds kortere golflengtes) radiogolven, infraroodstraling, zichtbaar licht, ultraviolette straling en röntgenstraling. Het golfkarakter van licht verraadt zich in interferentie verschijnselen. Dat licht een deeltjeskarakter heeft is gebleken uit het befaamde foto-elektrisch effect, waarbij het gebruikmakend van licht met een bepaalde frequentie f, alleen mogelijk is gebleken om energie over te dragen ter grootte van pakketjes hf. Dat wil zeggen dat er we licht moeten gebruiken met een frequentie die hoog genoeg is wanneer we met licht een elektron uit een atoom willen meppen. Figuur 1.1: Wanneer is welke beschrijving van belang? In het diagram is een globale opdeling te zien in een aantal domeinen. Welke beschrijving de juiste is wordt bepaald door de afmetingen, energieën en massa s in samenhang met hun beweging. We kunnen enkel ruwweg aangeven hoe die parameters van invloed zijn. De dynamica van elektronen in een draad zijn nog met de vergelijkingen van Newton en Maxwell te beschrijven, in een atoom hebben we de quantummechanica nodig. In het voorgaande zijn we via licht al meteen in de wereld van de quantummechanica en de relativiteitstheorie terecht gekomen. Over het algemeen hebben we meer te maken met de klassieke wereld om ons heen waar we met de wetten van Newton uit de voeten kunnen. Dat is in figuur 1.1 het gebied rechts onderaan, waar snelheden klein zijn vergeleken met de lichtsnelheid c, terewijl andere grootheden juist heel groot zijn vergeleken met de constante van Plank h. Maar wanneer we deze hoek in de figuur verlaten en te maken hebben met systemen waarvan de afmetingen, snelheden, energieen of combinaties daarvan van de orde van grootte van h en/of c worden, dan zijn we aangewezen op andere theorieën om te beschrijven wat er gebeurt. In vergelijking met c (vertikale richting in het diagram) gaat het primair om de snelheid, maar die correspondeert evenzo met de verhouding van impuls en energie of impuls en massa (we zullen dat nog verder uitwerken). Het is noodzakelijk om quantummechanica te gebruiken wanneer relevante combinaties van grootheden vergelijkbaar zijn met de constante van Planck. Relevante combinaties zijn bijvoorbeeld energie tijd of impuls afmeting. Dat kan het geval zijn bij lichtdeeltjes

9 1.1. DE MAAT DER DINGEN 9 Planck lengte atto femto pico nano micro milli kilo Mega Giga Tera Peta Exa nucleon atoomkern atoom golflengte van licht stofmijt mens stad aarde zon afstand aarde zon lichtjaar melkwegstelsel heelal Figuur 1.2: Een exponentiële meetlat van heel klein (boven) tot heel groot (onder), waarbij ieder streepje een factor 10 meer of minder voorstelt. Daarbij zijn de gebruikte voorvoegsels om de machten te benoemen gegeven. Het is gebruikelijk om de eerste letter te gebruiken, dus 1 fm = 1 femtometer = m, m.u.v. micro waarvoor de Griekse letter µ wordt gebruikt, dus 1 µm = 10 6 m. Het in kranten en tijdschriften veelgebruikte meuro voor een miljoen Euro is dan ook niet in overeenstemming met het metrische systeem. Daar zou men ook eens gewoon aan de Me (een miljoen Euro s), Ge (1 miljard Euro s) en Te (1 biljoen Euro s) moeten wennen net als bij informatiedragers, waar iedereen wel netjes de MByte s, GByte s en TByte s hanteert. of zwaardere deeltjes die kort leven. Of wanneer het impulsmoment van een roterend systeem erg klein is, bijvoorbeeld voor elektronen in een waterstofatoom. 1.1 De maat der dingen In het voorgaande hebben we al een voorproefje gezien van de getallen die ons te wachten staan. We gebruiken machten van 10 om grote en kleine getallen weer te geven, bv = 10 3, 1/1000 = 0,001 = 10 3 en 1 = 10 0, waar de getallen 3, 3 en 0 de exponenten zijn. Zo zitten er ruim seconden = s in een jaar en is de lichtsnelheid ongever c = m/s. Het aantal atomen in een hoopje koolstof van 12 gram is maar liefst het onuitsprekelijke getal , bekend als het getal van Avogadro. Voor afmetingen is de meter, passend bij de afmetingen van ons lichaam, een vanzelfsprekende standaard, 1000 m = 10 3 m = 1 km geeft de orde van grootte van een dorp, m = 1000 km is al bijna de orde van grootte van de hele Aarde. Weer drie ordes meer, 1 miljoen (10 6 ) km of 10 9 m zijn we de Maan al voorbij. Dit is ook zo ongeveer de afmeting van de Zon. Een lichtjaar, de afstand die met de snelheid van het licht wordt afgelegd in een jaar is het product van de lichtsnelheid (in m/s) en het aantal seconden in een jaar, wat bij benadering m oplevert. Een heelal dat 15 miljard (1, ) jaar oud is, heeft dan een afmeting van 1, m. Een aantal van deze afstanden zijn op de exponentiele maatlat in figuur 1.2 aangegeven. In een heelal waar de gemiddelde dichtheid niet groter is dan zo n 1 atoom/m 3, levert dit toch het onmetelijke aantal van atomen op.

10 10 HOOFDSTUK 1. INLEIDING In de richting van het kleine belanden we bij m bij het atoom. De protonen en neutronen in de atoomkernen zijn niet groter dan m. Zo ongeveer de kleinst denkbare afstand, de Planck lengte, komen we later nog tegen. Een groot deel van dit verhaal speelt zich af tussen de en m. Laten we even een gedachtenexperiment doen rondom de oerknal. Na 5 seconden was het heelal 1, m groot, 17 ordes van grootte kleiner dan nu. De gemiddelde afstand tussen de atomen in het heelal is nu 1 m. Eenvoudige schaling zou betekenen dat de afstand na 5 s van de orde van m was, twee ordes van grootte kleiner dan zelfs maar de kern van het atoom. Deze manier van schaling is veel te naïef en houdt geen rekening met heel veel andere zaken zoals deeltje-antideeltje creatie of vernietiging. Desalniettemin maakt zo n schaling duidelijk dat voor de ontwikkeling van het vroege heelal de wisselwerkingen tussen deeltjes op subnucleaire afstanden een essentiële rol moet hebben gespeeld. 1.2 Energie en impuls Voor degenen waarvoor energie, impuls net als golflengte, trillingstijd of frequentie bekende begrippen zijn kunnen nu een aantal pagina s overslaan. Wie er meer van wil weten moet gewoon doorlezen, maar zich er niet van laten weerhouden om als het teveel wordt even door te bladeren. De volgende pagina s kunnen altijd als referentie te hulp geroepen worden. Voor een deeltje, of meer algemener een vrij bewegend systeem, hangen de energie E, de impuls p en de massa m samen volgens E 2 p 2 c 2 = m 2 c 4. (1.1) Hier is p de lengte van de impulsvector p die ook een richting heeft (aangegeven als een vetgedrukte letter. Net zoals een positie r wordt vastgelegd door drie componenten x, y en z genoteerd als r = (x, y, z), hebben ook snelheden v en impuls p drie componenten, v = (v x, v y, v z ), etc. De impuls en energie hangen ook samen met de snelheid v via p = E v. (1.2) c2 De massa van het systeem is onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer, maar energie en impuls zijn dat niet. Uit bovenstaande relaties zien we dat objecten met massa altijd E > pc hebben (volgens 1.1) en dus v < c (volgens 1.2). Voor deeltjes zonder massa is E = pc en v = c. Energie en impuls zijn niet alleen elementaire concepten voor natuurkundigen maar ze spelen ook een belangrijke rol in de wereld van alledag. Hun fundamentele betekenis krijgen de grootheden in de relatie met symmetrieën in ruimte en tijd. Als er in een gegeven richting niets is wat verandert voor een object, denk bijvoorbeeld aan een kogel die wrijvingsloos kan rollen in een lange goot, dan verandert de impuls van die kogel niet. Een ander voorbeeld is een bewegend object in de lege interstellaire ruimte. Dit is het fundamentele verband tussen invariantie in een richting in de ruimte, ook wel translatie invariantie genoemd en behoud van impuls. Als er wel iets verandert in een bepaalde richting, dan is er geen behoud van impuls. Dat komt hierna ter sprake als kracht.

11 1.2. ENERGIE EN IMPULS 11 Energie en impuls uitgedrukt in snelheid Als we van buitenaf naar een object of systeem kijken, dan zijn energie, impuls en snelheid gerelateerd via 1.1 en 1.2. We kunnen de vergelijkingen oplossen en energie en impuls in de snelheid uitdrukken als E = m c 2 1 v2 /c 2 en p = m v 1 v2 /c 2. Voor kleine snelheden (v c) kan de wortel worden benaderd en gebruikmakend van β = v/c, 1 γ = β 2 2 β2 = v 2 2 c, 2 krijgen we E m c mv2 en p m v, de bekende alledaagse niet-relativistische uitdrukkingen met behalve de kinetische energie ook het energie-equivalent van de massa, E 0 = m c 2 of m = E 0 /c 2. Ook al zijn beide uitdrukkingen equivalent, toch zegt de laatste vergelijking iets heel belangrijks. Namelijk massa van een object of ook van een ingewikkelder systeem is niets meer dan de energie van het stilstaande object of de energie van het ingewikkeldere systeem wanneer het zwaartepunt in rust is. Een afgesloten hoeveelheid, zeg een liter, water met een temperatuur van 100 o C heeft dus een grotere massa dan diezelfde hoeveelheid water bij een temperatuur van 18 o C. Een auto die met 130 km/u over de snelweg rijdt heeft dezelfde massa als wanneer diezelfde auto stilstaat. Als er niets verandert in de tijd, hebben we op dezelfde manier invariantie in de tijd en daarmee correspondeert een grootheid energie die niet verandert en we hebben behoud van energie. Dit lijkt op het eerste gezicht gekoppeld aan behoud van impuls, en dat is ook het geval voor een geïsoleerd vrijbewegend systeem (zie box voor energie en impuls uitgedrukt in snelheid), maar zelfs bij aanwezigheid van krachten (waarbij de impuls dus niet meer behouden is) is er de grootheid energie die niet verandert als de krachten maar niet van de tijd afhangen. In dat geval is de energie opgebouwd uit bewegingsenergie (kinetische energie) en potentiële energie. Samenvattend zijn behoud van energie en impuls het onvermogen om voor een geïsoleerd systeem absolute tijd of absolute plaats te kunnen geven. Nu is een geïsoleerd systeem een nogal geïdealiseerde situatie. Als fietser merken we bijvoorbeeld dat je laten uitrollen niet eeuwig doorgaat, m.a.w. de impuls (ook wel hoeveelheid van beweging genoemd) verandert. Dat komt door de wrijving tussen banden en wegdek en door de wind. Dat wil zeggen dat je het systeem moet uitbreiden. Het behoud van energie en impuls is daarom praktischer te vertalen in energie en impuls gaan niet verloren. De kinetische energie die je als fietser hebt wordt overgedragen aan het wegdek en banden in de vorm van warmte (bewegingsenergie van moleculen) of aan de luchtmoleculen. Die luchtmoleculen botsen met je lichaam met als gevolg dat zowel van jou (inclusief fiets) als van de luchtmoleculen

12 12 HOOFDSTUK 1. INLEIDING de impuls verandert. De eenheid van energie is de Joule (J). Je hebt bijvoorbeeld voor je stofwisseling zo n 100 J/s nodig. Dat is 100 Watt (W). Dat betekent zo n kj/dag. De energie die je uit de diverse voedingsmiddelen kunt halen staan meestal op de verpakking vermeld. Die energie stelt je in staat om arbeid te verrichten of gaat als warmte naar de omgeving. Het totale energieverbruik per hoofd van de bevolking in Nederland is van de orde van grootte van 10 kw. Dat is dus zo n 100 maal meer dan wat we voor onze stofwisseling nodig hebben, maar denk aan de verwarming en verlichting van onze huizen, transport per auto, trein of vliegtuig en het produceren van alles wat we consumeren. Al die energie moet ergens vandaan komen. In hoofdzaak komt die via via van de kernfusieprocessen die zich in de Zon afspelen en die al miljarden jaren lang als zonnestraling op de Aarde terechtkomt, bij loodrechte inval zo n W/m 2. Het overgrote deel daarvan wordt ook weer door de Aarde uitgestraald, maar het houdt wel de atmosfeer in beweging (zie hoofdstuk 7) en heeft via een omweg ook de voor onze huidige energievoorziening zo belangrijke voorraden steenkool, olie en gas geproduceerd. Op de kernfusieprocessen in de Zon komen we in hoofdstuk 5 nog terug, maar in essentie wordt daar massa omgezet in energie. Laten we om de enorme hoeveelheid energie die via E = m c 2 in massa opgeslagen zit te illustreren, eens kijken naar het energieverbruik in één jaar in Nederland. Dat is voor 16 miljoen inwoners ongeveer s 10 4 J/s J. Dat correspondeert met de energie opgeslagen in een massa van net iets meer dan 50 kg. 1.3 Impulsmoment Naast energie en impuls is ook impulsmoment een behouden grootheid. Hieraan ligt rotatiesymmetrie ten grondslag. Impulsmoment (J) is net als impuls een vector grootheid. Het impulsmoment is opgebouwd uit twee bijdragen, J = L + S. De eerste bijdrage is het baanimpulsmoment, bepaald door de impuls p en de arm ten opzichte van de draaiingsas, wiskundig beschreven als het uitprodukt van de plaats- en impulsvectoren, L = r p = m r v. Het impulsmoment (uitprodukt) is een vector loodrecht op het vlak gevormd door positie r en snelheid v. Behoud van impuls impliceert ook de aanwezigheid van een baanvlak, zoals we dat zien in ons planetenstelsel. Daarnaast is er ook nog een tweede bijdrage tot het impulsmoment, intrinsiek impulsmoment of spin (S) genaamd. Een mooi voorbeeld is de roterende Aarde (spin), die ook in een baan om de Zon draait. 1.4 Eenheden In de subatomaire wereld gebruiken fysici overigens voor energieën bij voorkeur niet de Joule maar de elektronvolt (ev) en veelvouden daarvan. De getallen worden dan hanteerbaarder, bijvoorbeeld in een waterstofatoom is er 13,6 ev nodig om het elektron vrij te maken. Bovendien is het een handige eenheid in de versnellers waarmee onderzoek naar elementaire deeltjes gedaan wordt. Als je een elektron met lading e = 1, Coulomb (C) een spanningsverschil van 1 V laat doorlopen dan is de verkregen energie 1 ev. Met de hierboven gegeven waarde van e is dat desgewenst direct om te rekenen naar Joules, 1 ev = 1, J.

13 1.4. EENHEDEN 13 Figuur 1.3: De ligging van de versnellerringen van CERN onder Genève Meestal gaat men nog een stapje verder en praat zelfs alleen nog maar over energieën. Dat komt omdat bij alles wat er gebeurt zowel de relativiteitstheorie als de quantummechanica de vanzelfsprekende raamwerken zijn waarbinnen alles zich afspeelt. Dat betekent dat afstanden en tijden toch altijd via de lichtsnelheid c gerelateerd zijn. De lichtsnelheid is tenslotte uniek voor iedereen. Dit is ook al erkend in het MKS-eenhedenstelsel, waar de meter niet langer wordt vastgelegd door de lengte van een platina standaard in Parijs, maar eenvoudigweg door te zeggen dat de waarde c = m/s exact is. We kunnen dus de meter ook vergeten; met een lengte van 1 s bedoelen we dan eenvoudigweg c meter. De constante van Planck (voor het gemak de door 2π gedeelde versie h en maar meteen gebruikmakend van veelvouden van ev s), h = 6, MeV s, kan dezelfde rol spelen om de seconde te elimineren ten gunste van energie. Het product h c = 197 MeV fm = 197 ev nm, legt dan het verband tussen lengte en energie. Uit het verband tussen lengte en energie via het product van de fundamentele constantes h en c, vinden we bijvoorbeeld direct de relatie tussen golflengte en energie van straling of de resolutie die met versnellers bereikt kan worden. In een versneller worden deeltjes, zoals elektronen of protonen versneld. In essentie doorlopen deeltjes een voldoende groot potentiaalverschil van bijvoorbeeld miljoenen volts om zodoende energieën

14 14 HOOFDSTUK 1. INLEIDING σ [mb] Γ M Z E[GeV] Figuur 1.4: De resonantiepiek van het Z 0 - deeltje zoals dat verschijnt in elektron-positron botsingen. De energie is de gecombineerde energie van de botsende deeltjes. De werkzame doorsnede zullen we later nog bespreken, maar dit is een maat voor het aantal botsingen. De energie waarbij de werkzame doorsnede piekt bepaalt de massa van het deeltje, de energiespreiding Γ bepaalt de leeftijd van het deeltje. van miljoenen ev s (MeV s) te krijgen. In feite is de benaming versneller wat vreemd, want de snelheid wordt nooit groter dan c. De energie blijft bij het doorlopen van het potentiaalverschil wel toenemen. Voor een elektron met een energie van 1 GeV is dan de energie wel zo n maal groter dan de massa, die correspondeert met een energie m e c 2 = 0,51 MeV. Gebruikmakend van het energie-impuls kader kunnen we nagaan dat dan de snelheid in dat geval ongeveer 0, c is. Voor een elektron met die snelheid geldt bij benadering E = pc en het gedraagt zich als licht met een golflengte van de orde van grootte van h/p = hc/e, dus ongeveer 197 MeV fm/1000 MeV 0,2 fm. Op die manier is met elektronen de afmeting van een proton bepaald, ongeveer 1 fm. Met de grootste versnellers kunnen we nu energieën in de orde van TeV s (1000 GeV) halen, waarmee een resolutie van beter dan 10 3 fm = m gehaald kan worden. Versnellers kunnen lineair zijn of, wat op het eerste gezicht erg logisch lijkt cirkelvormig. In dat laatste geval kunnen we de deeltjes rond laten lopen, in hun baan gehouden door magneten, en kunnen ze bij iedere rondgang verder versneld worden. Bovendien is het mogelijk om negatieve en positieve deeltjes in tegengestelde richtingen te laten draaien, bijvoorbeeld negatief geladen elektronen en hun positief geladen antideeltjes, positronen. Door ze op het juiste moment via een pulsje met de magneten te sturen kan men de bundels frontaal op elkaar laten botsen en komt de totale energie beschikbaar om via E = mc 2 nieuwe deeltjes met zwaardere massa s te creëren. Op deze manier werkte bijvoorbeeld de LEP-versneller bij het versnellercomplex CERN in Genève (zie figuur 1.3). De elektronen en positronen draaien in een ring met omtrek van ruim 27 km, zich uitstrekkend onder de grond bij Geneve tot onder de Jura. Ondanks het feit dat men deeltjes laat rondgaan, kan de ring niet te klein zijn, want als elektronen de bocht om gaan zenden ze lichtdeeltjes uit (behoud van impuls!). Dit leidt tot energieverlies. Om dit energieverlies binnen de perken te houden moet de straal van de baan van de elektronen groot zijn. Bovendien zou afbuiging in een kleine ring erg grote magneetvelden vereisen. In de Large Hadron Collider (LHC) bij CERN in Genève, waarbij in dezelfde ring is gekozen voor het laten botsen van protonen in twee bundels van elk 7 TeV zijn supergeleidende magneten nodig die velden leveren van 8 Tesla. Het magneetveld van de Aarde ter vergelijking is slechts van de orde van grootte van 50 µt (0.5 Gauss). Een voorbeeld waarbij de relatie tussen energie en tijd een rol speelt is de eindige leeftijd van deeltjes. Een van de resultaten van het onderzoek met de LEP versneller is de ontdekking van het Z 0 -deeltje. Een deeltje vertoont zich in de experimenten als een piek in het aantal botsingen als functie van de gecombineerde energie van de botsende elektron- en positronbundels, zoals geschetst in figuur 1.4. Quantummechanisch bepaalt de energie hoe de golffunctie zich gedraagt in de tijd. Een deeltje dat niet stabiel is en

15 1.5. KRACHTEN 15 na een bepaalde tijd uit elkaar valt in andere deeltjes wordt niet beschreven door een golffunctie met maar één energie, maar door een superpositie van golven met meerdere energieën, weliswaar geconcentreerd rondom een centrale waarde. De centrale waarde bepaalt de massa, E piek = m Z c 2 met als resultaat 91,2 GeV, terwijl de spreiding Γ in de energie de levensduur bepaalt, waarbij de evenredigheidsconstante h is (wat zou het anders kunnen zijn?), zodat τ = h/γ. Met de gevonden waarde Γ Z = 2, 5 GeV correspondeert een leeftijd van slechts τ = 2, s. Desondanks speelt dit deeltje zoals we verderop zullen bespreken een belangrijke rol als een van de fundamentele krachtdeeltjes. 1.5 Krachten Dat brengt ons op het begrip kracht dat we tot slot van dit inleidende hoofdstuk willen introduceren. Het effect van krachten blijkt uit een verandering van snelheid of een vormverandering van stoffen. Een kracht heeft zowel een grootte als een richting. De snelheidsverandering (versnelling a) van een voorwerp is evenredig met de kracht (F ), waarbij de verhouding precies de massa (m) van het voorwerp is (een van de wetten van Newton), F = m a. (1.3) De eenheid van kracht is de Newton (N) en is gerelateerd aan de basiseenheden via N = kg m/s 2. Hoe krachten energie en impuls veranderen. Krachten veranderen de behouden grootheden. De verandering van de impuls (p) is afhankelijk van de stoot, bepaald door de tijd (dt) die een kracht werkt (kracht maal tijdsduur), dp = F dt of F = dp dt. De verandering in energie is afhankelijk van de verrichte arbeid, bepaald door de afstand (dx) waarover een kracht langs de weg (F x ) wordt uitgeoefend (inprodukt van kracht en afgelegde weg), de = F x dx of F x = de dx, (vectornotatie : de = F ds of F = E), waarbij het teken uitdrukt dat je energie in een systeem stopt wanneer je het tegen een kracht in versleept en er dus energie instopt. Wanneer het voor de energie geen verschil maakt hoe we een bepaalde positie bereiken (conservatieve krachten) kunnen we bovenstaande vergelijking gebruiken om voor iedere plaats de potentiële energie U(r) te berekenen. Wanneer we de kracht elimineren uit beide vergelijkingen zien we dat de/dp x = dx/dt = v x. Deze laatste en bovenstaande vergelijkingen zijn zowel in de klassieke mechanica als in de relativiteitstheorie geldig. Een voorbeeld van een kracht is de zwaartekracht tussen Aarde en Zon. De kracht zorgt voor de versnelling v 2 /R die nodig is om de richting van de snelheid te veranderen bij een cirkelbeweging (R is straal cirkel, v de baansnelheid). In het geval waarin de

16 16 HOOFDSTUK 1. INLEIDING zwaartekracht de Aarde of welke planeet dan ook (massa m) in een baan om de Zon houdt, krijgen we F = G M zon m R 2 = m v2 R, (1.4) waar G de sterkte van de zwaartekracht geeft, G = 6, m 3 kg 1 s 2. Het is overigens helemaal niet vanzelfsprekend dat dezelfde grootheid die bij het verband tussen kracht en versnelling, de trage massa (de m in vergelijking 1.3 en de m in het rechterlid van vergelijking 1.4) dezelfde is als de zware massa die bij de gravitatiekracht optreedt (de m in het middelste lid van vergelijking 1.4). Dit staat bekend als het equivalentieprincipe en leidt er toe dat in vergelijking 1.4 de massa van de planeet er niet toe doet. Gegeven de afstand tot de Zon (R) kunnen we nu bijvoorbeeld de snelheid van de planeet berekenen of de omloopstijd (T ) uit v T = 2π R. Voor de omloopstijd krijgen we de bekende relatie, een van de wetten van Kepler, G M zon = R3 4π 2 T, 2 die zegt dat voor de planeten het kwadraat van de omlooptijd evenredig is met de derde macht van de afstand. Ook zien we dat we wanneer we de sterkte van de zwaartekracht kennen, we uit afstanden en omloopstijden van planeten de massa van de Zon kunnen berekenen. Dit werkt ook voor dubbelsterren, waar we uit de afstand en omloopstijd van een begeleider de massa van de ster kunnen bepalen. Allereerst gaan we wat dieper in op de concepten.

17 Hoofdstuk 2 De grote theorieën In een fysische theorie proberen we de structuur en fysische wetten te achterhalen waarmee de materie en de beweging in ruimte en tijd begrepen kan worden. Op die manier komt een theoretisch raamwerk tot stand, waarbinnen voorspellingen gedaan kunnen worden. Met deze voorspellingen kan door experimenten of nieuwe waarnemingen de theorie worden getoetst en bevestigd of het is nodig om de theorie aan te passen als dat mogelijk is of om deze te verwerpen. Alle waargenomen verschijnselen die we in de fysische wereld proberen te beschrijven lijken zich af te spelen in drie ruimte dimensies, waarbij we al dan niet als vierde dimensie de tijd hebben als leidraad. De tijd kan worden gemeten met (zeg maar afgelezen worden van) een klok. Dat is niet zo eenvoudig als het lijkt. Niet alleen het perfectioneren van de klok van slinger tot atoomklok, maar zelfs als we de klok hebben dan blijkt dat zo n klok niet synchroon loopt met klokken van bewegende waarnemers. Maar de fysische wetten waarin de tijd een rol speelt, blijken wel netjes onafhankelijk van de beweging van de waarnemer geformuleerd te kunnen worden. Het geheel staat bekend als de speciale relativiteitstheorie. In de ruimte-tijd blijkt het meten van eigenschappen niet zomaar vanzelfsprekend. Proberen we bijvoorbeeld de snelheid of het impulsmoment te meten, dan blijkt de uitkomst soms niet eenduidig te zijn, ook al denken we metingen te doen aan identieke systemen. Maar ook al is de uitkomst niet eenduidig, het blijkt dat die uitkomst wel met een tweede meting bevestigd kan worden. Blijkbaar is door de meting de toestand van het systeem veranderd in een toestand met een unieke waarde voor die desbetreffende eigenschap. Dit meten van eigenschappen van een systeem is een van de meest opzienbarende aspecten in de quantummechanica. De combinatie van de theorieën van quantummechanica en speciale relativiteitstheorie levert weer een volledig nieuwe wereld op, waarin zowel materie als anti-materie voorkomt en waarin massa een eigenschap is van deeltjes die zowel de wisselwerking met het Higgsveld beschrijft als de ruimte-tijd doet krommen. Deze werelden worden separaat beschreven via quantumveldentheorieën, in het bijzonder die van hat zogenaamde standaardmodel van de elementaire deeltjesfysica en de algemene relativiteitstheorie. Voor beide theorieën zijn aanwijzingen in overvloed aanwezig. Het combineren van deze twee in één theoretisch raamwerk vereist weer nieuwe werelden met meer dimensies en nieuwe ruimte-tijd structuren zoals snaren en membramen. Hiervoor zijn vooralsnog geen experimentele aanwijzingen voorhanden, ook al laten de eerdere theorieën nog diverse vragen onbeantwoord, zoals we met name in hoofdstuk 4 zullen zien.

18 18 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIEËN tijd tijd UNIVERSITEIT UNIVERSITEIT we komen terug we komen terug 25 min fijn ok, ik ben onderweg 25 min fijn ok, ik ben onderweg 5 km afstand 5 km afstand kom je me ophalen STATION STATION kom je me ophalen Figuur 2.1: Een trip van universiteit naar station. In de figuren zijn plaats-tijd diagrammen gegeven voor de universiteit, het station en de reiziger, allemaal in blauw. De rode punten op die lijnen geven tijdssignalen aan met 5 minuten tussenpauzes. De reis van universiteit naar station duurt 25 minuten. De uitgewisselde berichtjes zijn op deze schaal instantaan. In het referentiesysteem links zijn universiteit en station in rust (vaste posities), terwijl in het referentiesysteem rechts alles vanuit de reiziger is bekeken. Dit is de relativiteit in de klassieke mechanica. 2.1 Speciale relativiteitstheorie Om de speciale relativiteitstheorie uit te leggen vergelijken we een tochtje in de stad met een reis naar een (denkbeeldige) ster op 3 lichtjaar afstand. In figuur 2.1 hebben we onze trip in de stad beschreven, van universiteit naar station om een gast op te halen. Onderweg worden wat berichtjes uitgewisseld. De verschillen tussen beide diagrammen zijn het gekozen referentiesysteem, respectievelijk de stad of de reiziger. De informatie is dezelfde. Dat wordt bedoeld met relativiteit. We gaan nu een reis naar een (denkbeeldige) dichtbijzijnde ster op 3 lichtjaren afstand maken. Daarvoor hebben we een raket beschikbaar die een snelheid van 0,6 van de lichtsnelheid kan bereiken, zodat we de reis in principe in 5 jaar kunnen voltooien. Vanzelfsprekend zijn we er op voorbereid dat de berichtjes er wat langer over doen. Bijvoorbeeld het bericht of we iemand komen ophalen is 3 jaar geleden verstuurd. We bekijken de reis weer vanuit twee verschillende referentiesystemen, dat van aarde (ster) of dat van de raket (reiziger). Het essentiële verschil is dat de signalen die (met de lichtsnelheid) verstuurd worden geen horizontale lijnen meer zijn, maar lijnen onder een hoek, namelijk een hoek van 45 graden in de figuren, waar we jaren en lichtjaren hebben gekozen als schaal. Maar juist die hoek is dezelfde in beide referentiesystemen, want de lichtsnelheid is hetzelfde voor alle waarnemers, het uitgangspunt van de speciale relativiteitstheorie.

19 2.1. SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 19 AARDE tijd v = 0,6 c we komen terug AARDE tijd v = 0,6 c γ = 1,25 we komen terug fijn ok, ik ben onderweg fijn ok, ik ben onderweg 3 lj afstand afstand kom je me ophalen STER 2,4 lj kom je me ophalen STER Figuur 2.2: Een trip naar een dichtbijzijnde ster. In de figuren zijn plaats-tijd diagrammen gegeven voor de Aarde, de ster en de reiziger, allemaal in blauw. De rode punten op de lijnen geven tijdssignalen aan met 1 jaar tussenpauzes. De reis naar de ster met een snelheid van 0,6 c duurt 5 jaren. Maar dat is vanuit de Aarde (of ster) gezien (het referentiesysteem links). Voor de reiziger duurt het maar 4 jaar vanwege het effect dat bewegende klokken langzamer lopen. De uitgewisselde berichtjes zijn lijnen onder 45 graden. In het referentiesysteem links zijn Aarde en ster in rust (vaste posities). In het referentiesysteem rechts is alles vanuit de raket (reiziger) bekeken. Merk op dat in het rechterplaatje nu de Aarde en ster bewegen en dat nu juist op die lijnen de klokken langzamer gaan. De berichtjes bewegen nog steeds langs lijnen onder 45 graden. Maar zoals te zien is bij het vergelijken van de plaatjes links en rechts, kloppen de tijdsintervallen tussen de diverse gebeurtenissen helemaal. Dat komt juist doordat klokken niet synschroon lopen. Dat is de speciale relativiteitstheorie. Een van de consequenties van het feit dat de lichtsnelheid dezelfde is in alle referentiesystemen, is dat de tijd voor een bewegende klok langzamer moet lopen, wat in heel veel boeken wordt geïllustreerd met een eenvoudig gedachtenexperiment. We zullen dat hier niet herhalen. De factor die hierbij een rol speelt is de befaamde gammafactor, γ = 1 = 1 1 β 2 1 v2 /c, 2 die afhankelijk is van de snelheid en in het bijzonder de verhouding β = v/c. Voor snelheid v = 0, is de gammafactor gelijk aan 1, voor een snelheid v/c = 0,6 is de gammafactor al 1,25, voor een snelheid v/c = 0,99 is de gammafactor al 7,1. Voor v = c wordt γ oneindig. De bewegende klok loopt dan ook langzamer en als gevolg daarvan is onze reiziger bij aankomst bij de ster niet 5, maar slechts 5/1,25 = 4 jaar ouder. In de figuur zien we dat de tijdsintervallen voor bewegende klokken (niet-vertikale lijnen) groter zijn. Voor de

20 20 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIEËN met de lichtsnelheid bewegende berichtjes staat de klok zelfs stil (zie kader over speciale relativiteitstheorie). Speciale relativiteitstheorie. Het verschil tussen de klassieke en de speciale relativiteitstheorie is dat de regels om van het ene referentiesysteem naar het andere te gaan (transformaties) verschillend zijn. Om ze goed te vergelijken kijken we naar tijden t en posities x en vermenigvuldigen we de tijden met de lichtsnelheid (want dan zijn ct en x grootheden met dezelfde dimensie, namelijk lengtes). In het referentiesysteem links in figuren 2.1 en 2.2 geven we tijden en afstanden aan met t en x, in het systeem rechts met t en x. Dan geldt (Gallilei transformatie) : ct = ct en x = x β ct (Lorentz transformatie) : ct = γ ct βγ x en x = γ x βγ ct Voor de Lorentz transformaties is eenvoudig na te gaan dat x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2, dus iets wat met de lichtsnelheid beweegt in een systeem (ongeacht de richting), beweegt ook met de lichtsnelheid in elk ander systeem. De ruimte-tijd transformaties doen in beide gevallen niets met de richtingen loodrecht op de bewegingsrichting (y en z). Met de transformatieregels is eenvoudig na te gaan dat tijdsintervallen van bewegende klokken ( t) langer zijn dan die voor de klok in rust ( τ), om precies te zijn t = γ τ. Dit heet tijddilatatie. Daarmee correspondeert dat afstanden in de bewegingsrichting korter lijken met eenzelfde factor x = x/γ. De afstand tot de ster in het besproken voorbeeld is voor de reiziger in de raket slechts 2,4 lichtjaar. Een bekend voorbeeld waar tijddilatie een rol speelt, is de leeftijd van bewegende deeltjes. Bijvoorbeeld kosmische straling produceert bij botsingen hoog in onze atmosfeer (zeg 10 km) hele lawines van deeltjes, waaronder muonen met een gemiddelde levensduur van 2 µs, dus goed voor 600 meter. Maar muonen blijken juist prima geschikt om dergelijke lawines van deeltjes waar te nemen (bijvoorbeeld het HISPARC project). Inderdaad blijken muonen met energie ën geproduceerd worden die gemakkelijk 100 maal hun rustenergie bedragen en dus hebben we te maken met γ-factoren van 100 en leeftijden van 200 µs. Snelheden optellen gaat relativistisch ook anders. Voor snelheden v 1 en v 2 in dezelfde richting wordt de somsnelheid v = v 1 + v v 1 v 2. c 2 Overigens mogen we energieën en impulsen wel gewoon optellen. Gebruikmakend van de eigentijd worden die gegeven door, E = mc 2 dt dτ = mc2 γ en p = m dx dτ = mcβγ, waarmee energie (E) en impuls maal lichtsnelheid (pc) op dezelfde manier transformeren van het ene naar het andere referentiesysteem als ct en x, E = γ E βγ pc en p c = γ pc βγ E.

21 2.2. QUANTUMMECHANICA 21 tijd t tijd t Aarde Aarde Ster Ster 3 lj x afstand x afstand Figuur 2.3: De trip op en neer naar een dichtbijzijnde ster. Aan de diagrammen in figuur 2.2 is nu de terugreis toegevoegd. In het tweede geval hebben we het referentiesysteem ongewijzigd gelaten. We zien nu dat de terugkerende raket een snelheid van 0,6 c + 0,6 c = 0,88 c (zie kader over speciale relativiteitstheorie) moet hebben om de aarde in te halen. Net als in het voorgaande kloppen alle gebeurtenissen, inclusief het versturen en ontvangen van diverse berichtjes (in de figuur als magenta lijntjes aangegeven). Door de terugreis er aan toe te voegen (figuur 2.3) zien we dat de persoon die met de raket op en neer geweest is uiteindelijk na 8 jaar terug is op Aarde, terwijl daar inmiddels 10 jaar zijn verstreken (de tweeling paradox, raar maar waar). Het maakt niet uit of we dat vanuit het referentiesysteem van de Aarde (en Ster) bekijken of dat we in een bewegend referentiesysteem werken, al is het daarbij wel overzichtelijker om in één plaatje niet van referentiesysteem te wisselen. Verder is het een kwestie van gewoon systematisch te werk gaan in beide referentiesystemen. 2.2 Quantummechanica Is speciale relativiteitstheorie vreemd, quantummechanica is veel ingrijpender wat concepten betreft. In de klassieke mechanica zijn we gewend een object te beschrijven met een positie (zeg de coordinaten x, y en z van de vector r) en een snelheid (de componenten v x, v y en v z van de vector v) waaruit dan ook andere grootheden kunnen worden berekend zoals impuls (de componenten p x = m v x, p y = m v y, p z = m v z van de vector p), (kinetische) energie (E = p 2 /2m) of het impulsmoment opgebouwd uit baanimpulsmoment en spin (de componenten l x = yp z zp y + s x, l y = zp x xp z + s y, l z = xp y yp x + s z van de vector j = l + s = r p + s). In de quantummechanica moeten we radikaal anders denken. Een object kan worden beschreven als zijnde in een toestand psi, genoteerd als

22 22 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIEËN ψ. In zekere zin lijkt het nog wel op de klassieke mechanica, omdat psi kan staan voor de informatie over het systeem, zoals positie, impuls, energie, lading, etc., bijvoorbeeld voor een gelocaliseerde object r = x, y, z, voor een bewegend object p of voor een roterend object s z. Maar nu de essentiële verschillen. De mogelijke eigenschappen van een toestand blijken te corresponderen met de uitkomsten van metingen van zo n eigenschap, bijvoorbeeld een positiebepaling of een snelheidsmeting. De meting fungeert als selectiemechanisme voor de desbetreffende toestand, x of p x. Maar het blijkt onmogelijk om positie en snelheid/impuls beide te bepalen en een toestand x, p x te maken waarvan bij vervolgmetingen zowel de positie als de impuls vastliggen. Dus een toestand x, p x bestaat niet! De grootheden positie en impuls zijn incompatibel. Een unieke bepaling van alledrie de componenten van positie òf alledrie de componenten van de impuls blijkt wel mogelijk. Daarbij is ook de volgorde waarin we eigenschappen selecteren onbelangrijk zolang de grootheden maar compatibel zijn. Het blijkt dat alleen eenzelfde componenten van positie en impuls (dus bijvoorbeeld x en p x ) incompatibel zijn. Dus bijvoorbeeld een quantumtoestand x, y, p z is ook mogelijk. Vervolgens kijken we naar meting van het impulsmoment langs een bepaalde as. Dat kan bijvoorbeeld voor een geladen deeltje zoals een elektron bijvoorbeeld door naar de afbuiging in een (inhomogeen) magneetveld in die richting te kijken. Zo n magneetveld veroorzaakt een kracht die evenredig is met het impulsmoment (Stern-Gerlach meting). Voor impulsmomenten blijken juist metingen van verschillende componenten incompatibel met elkaar te zijn. Bovendien blijkt de uitkomst van de meting in een bepaalde richting ook nog eens alleen specifieke waarden op te leveren. Klassiek zou de spin van een deeltje langs een bepaalde richting, s z alle waarden kunnen aannemen tussen s s z s. Quantummechanisch blijken de afgebogen deeltjes in een Stern-Gerlach apparaat slechts discrete waarden te kunnen aannemen. Voor een elektron is het resultaat s z = m h met m = ± 1. Dit discrete karakter voor het impulsmoment is algemeen. De waarden zijn 2 discreet met tussenstappen van h (de constante van Planck gedeeld door 2π). Voor een elektron zijn er slechts twee mogelijkheden. Men spreekt van een elektron met spin 1/2. De volgende mogelijkheid voor impulsmoment is een toestand met als z-component van het impulsmoment s z = h, 0 of h, dus s z = m h met m = 1, 0 of 1. Dit is een spin 1 object. Macroscopisch merk je niet veel van deze discretizatie, want een massa van 1 kg, rondslingerend aan een touw van 1 m lengte met snelheid 1 m/s, heeft een impulsmoment van 1 kg m 2 /s = 1 Js, en dat is toch wel heel veel maal h (ongeveer maal). Terwijl de spin van elementaire deeltjes in halftallige en heeltallige veelvouden van h voorkomt, komt het baanimpulsmoment alleen in heeltallige veelvouden van h voor. Maar we zijn er nog niet. Een fysisch systeem hoeft namelijk niet in een specifieke toestand te zijn. Een meting is een manier om het systeem in een specifieke toestand te selecteren. Dus wat de z-component van spin betreft zijn er twee mogelijke toestanden s z = + 2 h 1 = z of s z = 1 2 h = z. In het algemeen blijkt een willekeurige spintoestand te worden beschreven als een (lineaire) combinatie van de mogelijke s z - toestanden. ψ = c + z + c z, waarbij c + en c (complexe) getallen zijn (zie kader). Wanneer we een dergelijke toestand door een Stern-Gerlach apparaat sturen dat s z meet, blijkt de uitkomst onvoorspelbaar, namelijk s z = + 2 h 1 of s 1 z = 2 h. Stel dat we het experiment een groot aantal keren herhalen, iedere keer beginnend met dezelfde toestand ψ, dan blijkt dat de waarschijn-

23 2.2. QUANTUMMECHANICA 23 Toestanden in quantummechanica. Quantumtoestanden corresponderend met een bepaalde eigenschap A kunnen worden gerangschikt als toestanden met welbepaalde uitkomsten a 1, a 2,... (eigenwaarden genoemd) en corresponderende toestanden a 1, a 2,... (eigentoestanden genoemd). Een algemene toestand is een lineaire combinatie ψ = c 1 a 1 + c 2 a , waarbij c 1, c 2,... complexe getallen zijn, waarvan de lengte in het kwadraat, c i 2 de waarschijnlijk geeft dat de uitkomst van een meting van grootheid A de waarde a i oplevert. De som van al die kwadraten moet dus netjes een zijn. Deze manier van schrijven van een toestand is te vergelijken met de ontbinding van een vector in componenten, a = a x e x + a y e y + a z e z, waar e i eenheidsvectoren zijn in drie richtingen. De lengte van de vector wordt gegeven door a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z. Complexe getallen. Complexe getallen zijn opgebouwd uit een reëel deel en een imaginair deel, z = Re z + i Im z. Via i 2 = 1 kunnen we eenvoudig rekenen met complexe getallen. De gekwadrateerde lengte van een complex getal wordt gegeven door z 2 = (Re z) 2 + (Im z) 2 = z z, waar z = Re z i Im z de complex geconjugeerde van z is. Complexe getallen met lengte 1 kunnen geschreven worden als e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. lijkheid om s z = + 2 h 1 te vinden gelijk is aan c + 2, terwijl de waarschijnlijk om s z = 2 h 1 te vinden gelijk is aan c 2. Om alle mogelijke quantumtoestanden te kunnen beschrijven blijken complexe getallen c + en c nodig te zijn, maar zodanig dat de som van de lengtes in het kwadraat gelijk is aan 1. Dergelijke toestanden heten genormeerd en garanderen behoud van waarschijnlijkheid. Hierboven is al opgemerkt dat voor impulsmoment verschillende componenten incompatibel zijn. Het is echter wel mogelijk de x-component van de spin te meten en het 1 resultaat geeft voor een elektron ook weer de waarden ± 2 h en corresponderend hebben we toestanden s x = + 2 h 1 = x en s x = 2 h 1 = x. Wanneer we starten met een van deze toestanden en s z meten blijkt dat deze toestanden zich gedragen als x = z z en x = 1 2 z 2 z. Idem dito blijken er twee s y -toestanden te bestaan, die ook uitgedrukt kunnen worden als

24 24 HOOFDSTUK 2. DE GROTE THEORIEËN s z -toestanden, y = z + i 1 2 z en y = 1 2 z i 2 z, waarbij nu een van de coefficienten een imaginair complex getal is. Een geselecteerde s x - 1 of s y -toestand geeft bij meting van s z de waarden ± 2 h met kansen van 50%. Een spinmeting in een willekeurige richting ˆn geeft ook twee uitkomsten voor s n = s ˆn. Als de richting gekarakteriseerd wordt met poolcoördinaten θ (hoek tussen ˆn en z-as) en ϕ (rotatiehoek om de z-as vanaf x-as) worden de spin-up toestand langs die richting, s n = + 1 h = 2 n, gegeven door n = cos (θ/2) z + sin (θ/2) e iϕ z. Voor degenen die vertrouwd zijn met methoden in de lineaire algebra, is de quantummechanica voor een spin 1/2 systeem (zoals een elektron) werken met de twee complexe getallen c + en c, die de toestand in de 2-dimensionale spinruimte vastleggen (na de keuze van de basistoestanden). De spin zelf, of preciezer de drie spincomponenten, kunnen dan worden beschreven als 2 2 matrices (de Pauli matrices). Het is het bekendste voorbeeld van de matrix quantummechanica van Heisenberg. In het geval van oneindig veel basistoestanden, bijvoorbeeld als het om toestanden met welbepaalde positie, x, of om impulstoestanden p x gaat, is de meest algemene toestand ook een lineaire combinatie van x toestanden, ψ = + dx ψ(x) x. We hebben hier een integraal wat in feite niets anders is dan een oneindige som over toestanden. De complexe getallen ψ(x) zijn niets anders dan de getallen c + en c hierboven. Omdat het er oneindig veel zijn vormen de getallen ψ(x) echter de functiewaarden van een functie, de golffunctie ψ(x). Nog steeds wordt (net als bij de c tjes) de waarschijnlijkheid dat het systeem in toestand x is gegeven door ψ(x) 2. Dat is dus de waarschijnlijkheid dat een positiemeting x oplevert. De som van alle waarschijnlijkheden moet weer 1 opleveren, + dx ψ(x) 2 = 1, voor een genormeerde golffunctie. Dit is de golfmechanica van Schrödinger. Maar in termen van Dirac s ket-toestanden is er in wezen geen enkel verschil met de matrixmechanica van Heisenberg, behalve een eindig aantal spin-toestanden versus een oneindig aantal positie-toestanden Het verband tussen energie en tijd komt in de quantummechanica heel duidelijk naar voren. Energie wordt een operator, de Hamiltoniaan of energie-operator genoemd, die beschrijft hoe een systeem in de tijd verandert i h ψ(t) t = H ψ(t). Als we toestanden hebben met welbepaalde energie genoteerd als E n ligt de energie vast, wat betekent dat het een zognaamde eigentoestand van de Hamiltoniaan is, dus