0 0 e 1 = = = = 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4.

Transcriptie

1 Oude tentamenopgaven LinAlg deel II (Uitwerkingen volgen na de opgaven) 1. Beschouw de vectorruimte M 2,2 over R bestaande uit de 2 2-matrices met reële coëfficienten. Zij A een 2 2-matrix. De afbeelding T : M 2,2 M 2,2 wordt gegeven door T : X AX + (AX) t waarin Y t de getransponeerde van een matrix Y is. (a) Toon aan dat T een lineaire afbeelding (je kunt gebruiken dat (C + D) t = C t + D t voor elk tweetal matrices C, D). (b) Van M 2,2 is de volgende geordende basis gegeven: ( ) ( ) ( ) e 1 = e = e = e = ( 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4. ( ) ). Bereken de matrix van 2. Zij P n de vectorruimte van alle polynomen met reële coëfficienten en graad n. (a) Bepaal de rang en een basis van het stelsel vectoren in P x + 2x 3, 2 x + x 2 + x 3, x 2 + x 3, 3 x 2 + x 3 (b) Zij W het opspansel van de vectoren uit het vorige onderdeel. Voor welke waarde(n) van α ligt de vector 1 + αx + αx 3 in W? De lineaire afbeelding D : P 2 P 2 wordt gegeven door D(p(x)) = p (x) waarin het accent differentiatie naar x betekent. (c) Geef de matrix van D ten opzichte van de standaardbasis 1, x, x 2 van P 2. (d) Bepaal, door een coördinatentransformatie, de matrix van D ten opzichte van de geordende basis 1 x, 1 + x + x 2, x Zij W R 4 de lineaire deelruimte gegeven door x + y z = 0 2y + z + u = 0 waarin x, y, z, u de standaardcoördinaten in R 4 zijn. Op R 4 nemen we het dotproduct als inwendig product. 1

2 (a) Laat zien dat (1, 0, 1, 1) t W. (b) Bepaal een orthormale basis van W die 1 3 (1, 0, 1, 1) t bevat. (c) Bepaal de orthogonale projektie van p = (1, 1, 1, 1) t op W. Onder de afstand van een vektor v tot W verstaan we de lengte van de vektor v v waarin v de orthogonale projektie van v op W is. (d) Zij f 1, f 2 een orthornomale basis van het orthogonale complement van W. Bewijs dat de afstand van v tot W gegeven wordt door (v f1 ) 2 + (v f 2 ) Laat V = R 3 en zij <, > het standaard inwendig produkt op V. Zij a = (0, 1, 1) t en definieer T : V V door x, a T (x) = x 2 a, a a. (a) Laat zien dat T een lineaire afbeelding is. (b) Laat zien dat T orthogonaal is. (c) Laat zien dat T symmetrisch is. (d) Bepaal de eigenwaarden van T en de dimensies van de bijbehorende eigenruimten. (e) Geef een meetkundige interpretatie van T. 5. Zij V de vectorruimte R 3 met daarop het standaardinproduct. Gegeven is een lineaire afbeelding T : V V die t.o.v. de standaardbasis van R 3 de matrix A = heeft. Gegeven is dat T een eigenwaarde 2 heeft. (a) Bereken de eigenwaarden van T met de corresponderende eigenvectoren. (b) Bepaal een orthogonale matrix U en een diagonaalmatrix D zó dat A = U 1 DU. (c) Laat zien dat 1 (T + 7Id) een orthogonale projectie is en bepaal 9 de vergelijking van het vlak waarop geprojecteerd wordt. Hierin is Id de identieke afbeelding met matrix I 3. 2

3 6. Zij V de vectorruimte R 3 met standaard inproduct ( dotproduct ). Zij a, b V. De lineaire afbeelding A : V V wordt gedefinieerd door A(x) = (a x)b + (b x)a. (a) Bewijs dat A een symmetrische afbeelding is. Neem nu aan dat a en b onafhankelijk zijn. (b) Bepaal kern en beeld van de afbeelding A. Veronderstel nu dat a, b een orthonormaal stelsel in V is. (c) Bereken de eigenwaarden van A en de bijbehorende eigenvectoren. (d) Is er een basis van V zó dat de matrix van A ten opzichte van deze basis een diagonaalmatrix is? Zo ja geef deze basis en de diagonaalmatrix. 7. (Toegegeven, dit was een lastige) In de ruimte M 2,2 van 2 2-matrices met reële coefficienten is het inproduct A, B = Spoor(AB t ) gegeven, waarin B t de getransponeerde van B is. (Je mag, waar nodig, gebruiken dat Spoor(AB) = Spoor(BA) en Spoor(A t ) = Spoor(A)) (a) Bewijs dat A, B inderdaad een inproduct is. (b) Bepaal ten aanzien van dit inproduct een orthonormale ( ) ( basis van ) de deelruimte van M 2,2 opgespannen door en (c) Zij U, V een tweetal orthogonale matrices. Bewijs dat de lineaire afbeelding T : M 2,2 M 2,2 gegeven door A : X UXV een orthogonale afbeelding is t.a.v. het inproduct.,.. 8. Bepaal een nieuw rechthoekig coördinatenstelsel in het platte vlak zodanig dat de kegelsnede C gegeven door 2x 2 + 4xy y 2 + 2x y = 0 in de nieuwe coördinaten de standaardgedaante Ax 2 + By 2 = 1 krijgt. Van welk type is de kegelsnede C? 3

4 UITWERKINGEN 1. (a) We moeten aantonen dat T (X + Y ) = T (X) + T (Y ) voor alle X, Y M 2,2 en T (λx) = λt (X) voor alle λ R en X M 2,2. Merk op dat T (X+Y ) = A(X+Y )+(A(X+Y )) t = AX+AY +(AX) t +(AY ) t = T (X)+T (Y ). Verder T (λx) = A(λX) + (A(λX)) t = λax + λ(ax) t = λt (X). (b) We berekenen T (e i ) voor i = 1, 2, 3, 4 en bepalen de coördinaten van de beelden t.o.v. e i. Merk op dat ( ) ( ) ( ) Ae 1 = = ( ) ( ) ( ) Ae 2 = = ( ) ( ) ( ) Ae 3 = = ( ) ( ) ( ) Ae 4 = = Hieruit volgt: T (e 1 ) = T (e 2 ) = T (e 3 ) = T (e 4 ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = ( ) ( ) t ( ) = En dus zien we: T (e 1 ) = 2e 1 + 2e 2 + 2e 3 + 0e 4 T (e 2 ) = 0e 1 + 1e 2 + 1e 3 + 4e 4 T (e 3 ) = 4e 1 + 1e 2 + 1e 3 + 0e 4 T (e 4 ) = 0e 1 + 2e 2 + 2e 2 + 2e 4 4

5 De gevraagde matrix is (a) De coördinaten van de polynomen ten opzichte van de standaardbasis zijn 1 0, 1 1, 0 1, Het is voldoende de rang en een basis van deze kolomvectoren te vinden. We doen dit door rijreductie van de matrix Vegen met de eerste rij levert Vegen met de tweede rij: en vegen met de derde rij: Op plaats 1,2,3 zien we drie pivotelementen. De rang is dus 3 en de eerste drie vectoren vormen een basis. 5

6 (b) Door uitschrijven in coordinaten zien we dat we moeten nagaan voor welke α het stelsel α α oplosbaar is. Dezelfde reductiestappen als boven geven: α (α 1)/ (2α 5)/3 Dit stelsel heeft een oplossing precies dan als 2α 5 = 0, dus α = 5/2. (c) Merk op: D(1) = 0 = x + 0x 2 D(x) = 1 = x + 0x 2 D(x 2 ) = 2x = x + 0x 2 De gevraagde matrix wordt dus (d) Noem de standaardbasis E en de basis van de opgave F. De boven gevonden matrix noteren we met DE E. De gevraagde matrix noteren we als DF F. Er geldt DF F = IE F DE E IF E, waarin IF E de coördinatentransformatie matrix van E naar F is, en IF E = (IF E ) 1. Er geldt IE F = Hieruit volgt en daaruit weer IF E = (IE F ) 1 = D F F = I E F D E EI F E =

7 3. (a) Substitueer x = 1, y = 0, z = 1, u = 1 in x + y z en 2y + z + u en merk op dat we in beide gevallen nul krijgen als antwoord. (b) Eem basis van W wordt gegeven door (1, 0, 1, 1) en (2, 1, 1, 1) (los gewoon x + y z = 0, 2y + z + u = 0 op). Pas hierop Gram- Schmidt toe. v 1 = (1, 0, 1, 1) v 2 = (2, 1, 1, 1) (2, 1, 1, 1) v 1 v 1 2 v 1 = (2, 1, 1, 1) (2, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 1) 2 (1, 0, 1, 1) = (2, 1, 1, 1) 2 3 (1, 0, 1, 1) = 1 (4, 3, 1, 5) 3 We krijgen een orthonormale basis door v1 en v2 door hun lengte te delen 1 3 (1, 0, 1, 1), 1 51 (4, 3, 1, 5). (c) Geef de boven gevonden orthonormale basis van W aan met a 1, a 2. Dan wordt de projectie van p op W gegeven door In ons geval is dit gelijk aan (p a 1 )a 1 + (p a 2 )a 2. 1 ((1, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1))(1, 0, 1, 1) ((1, 1, 1, 1) (4, 3, 1, 5))(4, 3, 1, 5) 51 = 1 ( 1, 5, 4, 14). 17 (d) De afstand van v tot W is gelijk aan de lengte van de projectie van v op het orthogonaal complement van W. Deze projectie wordt gegeven door de formule (v f 1 )f 1 + (v f 2 )f 2. De lengte van deze vector is gelijk aan (v f 1 ) 2 + (v f 2 ) (a) We moeten laten zien dat T (x + y) = T (x) + T (y) voor alle x, y R 3 en T (λx) = λt (x) voor alle x R 3 en λ R 3. Merk op, inprodx + y, a T (x + y) = x + y 2 a a, a x, a a = x + y 2 a 2 y, a, a a, a a = T (x) + T (y) 7

8 Verder, λx, a T (λx) = λx 2 a, a a x, a = λx 2λ a, a a = λt (x) (b) Merk hiertoe op dat voor alle x R 3, T (x) 2 = T (x), T (x) x, a a = x 2 a, x 2 x, a, a a, a a ( ) ( ) 2 x, a x, a = x, x 2 2 x, a + 2 a, a a, a a, a x, a 2 a 2 = x, x x, a, a a, a = x 2 (c) Merk hiertoe op dat voor alle x, y R 3, y, a x, T (y) = x, y a, a a = x, y y, a x, a a, a De laatste uitdrukking is symmetrisch in x en y en is dus ook gelijk aan y, T (x) = T (x), y. (d) Omdat T symmetrisch is, zijn de eigenwaarden reëel en omdat T orthogonaal is, zijn deze eigenwaarden ±1. Zij v een eigenvector met eigenwaarde 1. Dat wil zeggen, v = T (v) = v v, a a, a a De vector voldoet aan deze vergelijking precies dan als v, a = 0, m.a.w. als v loodrecht op a staat. De dimensie van de eigenruimte bij eigenwaarde 1 is dus twee. Stel nu dat v een eigenvector met eigenwaarde 1 is. Dan geldt v = T (v) = v 8 v, a a, a a

9 en dus moet v een scalair veelvoud van a zijn. Merk op dat T (a) = a. Dus vormen de veelvouden van a de eigenruimte bij eigenwaarde 1. Dus dimensie is 1. (e) De afbeelding T is een spiegeling in het vlak loodrecht op a. 5. (a) We berekenen eerst de eigenruimte bij eigenwaarde 2 door oplossing van het stelsel Alle drie de vergelijkingen zijn veelvouden van de eerste en dus wordt de eigenruimte gegeven door x + 2y 2z = 0. De derde eigenvector staat loodrecht op deze eigenruimte (A heeft immers een orthonormale basis van eigenvectoren) en is dus (1, 2, 2) t. De eigenwaarde vinden we door de A hierop los te laten. We vinden de eigenwaarde 7. (b) Om de matrix U te bepalen moeten we een orthonormale basis van eigenvectoren vinden. Als eerste nemen we 1 (1, 2, 2). Verder 3 kiezen we twee orthonormale vectoren in het vlak x + 2y 2z = 0. Een basis hiervan wordt bijvoorbeeld gegeven door (0, 1, 1) en ( 4, 1, 1). Deze zijn al orthogonaal (als je dit niet meteen kunt vinden kun je Gram-Schmidt gebruiken). Nu nog lengte 1, en we hebben 1 2 (0, 1, 1) en 1 3 ( 4, 1, 1). Zij nu de matrix C de matrix 2 met deze eigenvectoren als kolommen. Dan geldt C 1 AC = D waarin D de diagonaalmatrix met diagonaalelementen 7, 2, 2 is. De gevraagde matrix U is dus de inverse van C, en omdat C orthogonaal is, geldt ook 1/3 2/3 2/3 U = C t = 0 1/ 2 1/ 2 4/3 2 1/3 2 1/3. 2 (c) De matrix van T ten opzichte van de boven gevonden eigenvectoren is de diagonaalmatrix D met elementen 7, 2, 2. Hieruit volgt dat de matrix van 1(T + 7Id) gelijk is aan 1(D + 7I 9 9 3). Deze laatste matrix is een diagonaalmatrix met elementen 0, 1, 1. Met andere woorden, de nieuwe afbeelding beeldt (1, 2, 2) af naar de nulvector en de vectoren in het vlak x + 2y 2z = 0 naar zichzelf. Dit is een orthogonale projectie op het vlak x + 2y 2z = 0. 9

10 6. (a) Er geldt, x (A(y)) = x ((a y)b + (b y)a) = (a y)(x b) + (b y)(x a) Deze laatste uitdrukking is symmetrisch in x en y. x (A(y)) = y (A(x)) = A(x) y. Dus geldt (b) Stel dat x in de kern zit, dwz A(x) = 0. Met andere woorden, (x b)a + (x a)b = 0. Omdat a en b onafhankelijk zijn, volgt hieruit dat x b = 0 en x a = 0. Met andere woorden, x staat loodrecht op a en b en is dus een scalair veelvoud van a b. Omgekeerd controleren we direct dat elke vector loodrecht op a en b in de kern zit. De kern heeft dus dimensie 1 en daaruit volgt dat het beeld dimensie 3 1 = 2 heeft. Aangezien het beeld in het opspansel van a en b bevat is, volgt hieruit dat het beeld gelijk is aan dit opspansel. (c) Het opspansel van a en b zullen we aangeven met W. De eigenruimte bij eigenwaarde 0 staat loodrecht op W. De overige eigenvectoren liggen dus in W. Stel dat αa + βb een eigenvector is met eigenwaarde λ. Dan geldt, A(αa + βb) = ((αa + βb) b)a + ((αa + βb) a)b = βa + αb en dit moet gelijk zijn aan λ(αa + βb). Dus β = λα en α = λβ. Hieruit volgt dat λ = ±1 en α = β als λ = 1 en α = β als λ = 1. Een basis van eigenvectoren van W wordt gegeven door a + b en a b met eigenwaarden 1 respectievelijk 1. Een orthonormale basis van V wordt nu gegeven door a b, (a+b)/ 2, (a b)/ 2. De matrix van A ten opzichte van deze basis heeft de diagonaalvorm. De diagonaalelementen zijn de eigenwaarden 0, 1, (a) Spoor(AB t ) is inderdaad een inproduct dit blijkt uit: i. A, B = Spoor(AB t ) = Spoor((AB t ) t ) = Spoor(BA t ) = B, A 10

11 ii. A, B + C = Spoor(A(B + C) t ) = Spoor(AB t ) + Spoor(AC t ) = A, B + A, C iii. A, λb = Spoor(AλB t ) = λspoor(ab t ) = λ A, B ( ) a b iv. Stel A =. Dan geldt c d A, A = Spoor(AA t ) ( ) a = Spoor 2 + b 2 ac + bd ac + bd c 2 + d 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Dus A, A 0 voor alle a, b, c, d en A, A = 0 precies dan als a = b = c = d = 0, maw A = 0. ( ) ( ) (b) Stel v 1 = en v =. We bepalen een orthonormale basis met 1 1 Gram-Schmidt. v 1 = v 1 v 2 = v 2 v 2, v 1 v 1, v 1 v 1 = v v 1 ( ) 1 0 = ( ) 1 1 = 1 0 ( 1/3 ) 2/3 1/3 1 Na normalisatie krijgen we de orthonormale basis ( ) ( ) , (c) Er geldt, gebruikmakend van U t = U 1 en V t = V 1, dat A(X) 2 = A(X), A(X) = UXV, UXV 11

12 = Spoor(UXV (UXV ) t ) = Spoor(UXV V t X t U t ) = Spoor(UXV V 1 X t U 1 ) = Spoor(UXX t U 1 ) = Spoor(XX t U 1 U) = Spoor(XX t ) = X 2 ( ) De symmetrische matrix behorend bij 2x 2 + 4xy y 2 is. De 2 1 eigenwaarden zijn 3, 2 en de bijbehorende eigenvectoren (2, 1), ( 1, 2). De genormaliseerde eigenvectoren zijn 1 5 (2, 1) en 1 5 ( 1, 2) en de matrix met deze vectoren als kolommen is C = 1 ( ) We voeren nieuwe coördinaten x, y in via ( ) ( ) x x = C y y. De vergelijking 2x 2 +4xy y 2 +2x y = 0 gaat over in 3(x ) 2 2(y ) 2 + 5x = 0. Na kwadraat afsplitsen: 3(x + 5/2) 2 2(y ) 2 = 5/4. Voer de nieuwe coördinaten x = x 5/2, y = y in. Dan vinden we 3(x ) 2 2(y ) 2 = 5/4 en dus Dit is een hyperbool (x ) (y ) 2 = 1. 12