LEERBOEK VAN REKENKUNDE TEN GEBRUIKE VAN DOOR A. DE RIEJ.M:AECKER PROFBSSOR VAN REKENKUNDE IN DE NORMAALSCHOOL VAN SINT-NIKLAAS ---$~""'-- GENT

Transcriptie

1 LEERBOEK VAN REKENKUNDE TEN GEBRUIKE VAN VLAAMSCHH NORMAALSCHOLEN DOOR A. DE RIEJ.M:AECKER PROFBSSOR VAN REKENKUNDE IN DE NORMAALSCHOOL VAN SINT-NIKLAAS ---$~""'-- GENT DRUKKERIJ S. LELIAERT, A. SIFFER & Cic HOOGPOORT

2

3 VOORAFGAANDE BEGRIPPEN. 1. Grootheid. - Eene grootheid is alles wat kan vermeerderd of verminderd worden. Er zijn twee soorten van grootheden: 1 0 De afgebroken grootheid, die bestaat uit voorwerpen van dezelfde soort, b. v. eene verzameling huizen; 2 De onafgebroken grootheid, b. v. eene lijn, een vlak, ~en licht. Om zich van de grootheid een juist denkbeeld te maken, moet men ze meten. Eene grootheid meten is ze vergelijken met eene andere welgekende grootheid van dezelfde soort: <lie welgekende grootheid is de eenheid. 2. Eenheid. - De eenheid is eene grootheid die dient ûm gelijksoortige grootheden te meten. De eenheid der afgebroken grootheid is elkeen der voorwerpen waaruit deze bestaat: b. v. de eenheid van eene verzameling huizen is één huis. Zulke eenheid wordt natuu,.lijke eenheid genoemd. De eenheid der afgebroken grootheid is eene aallgenomene : voor de lengten, b. v. heeft men den meter als eenheid aangenomen. 3. Getal. - Een getal is de uitkomst van de vergelijking eener grootheid met h:lre eenheid. Het getal is met'tbaar of onmeetbaar: meetbaa,., als het bij middel van de eenheid kan gemeten worden; onmeetbaar. als het met de eenheid geene gemeene maat heeft.

4 -4- De meetbare getallen zijn: 1 Het geheel getal: de eenheid zelve of eene verzamelingvan eenheden. 20 Het gebroken getal of breuk: één of meer der gelijkedeelen waar de eenheid in verdeeld is. 3 Het gemengd getal: eene samenstelling van een geheel~ en een gebroken getal. De getallen worden nog verdeeld in beno~mde en onbe- noemde getallen, volgens dat de naam der eenheid er bijgevoegd is of niet. 4. Rekenkunde. - De rekenkunde is de wetenschap. der getallen. Zij leert ons : 10 De verschillige eigenschappen der getallen; 2 De bewerkingen op de getallen; 3 De toepassing dier bewerkingen aan het oplossen van vraagstukken.

5 EERSTE DEEL. DE GEHEELE GETALLEN. HOOFDSTUK I. Tientallige telling. 5. Bepaling. - De telling is de manier van de getallen 1 te vormen, 2 uit te spreken en 3 te schrijven. I. - VORMlNG DER GETALLEN. 6. Het kleinste geheel getal is de eenheid. Men vormt de,andere geheele getallen door bij de eenheid nog eene eenheid te voegen; blj het zoo gevormde getal nog eene eenheid, enz. De reeks getallen die op zulke manier ontstaat, heet de natuurlijke volgreeks del' geheele getallen. Uit de manier zelve van de getallen te vormen, blijkt dat het aantal geheele getallen oneindig groot is. II. - GESPROKENE TELLI;SG. 7. De gesprokene telling is de manier van alle mogelijke 'getallen met een klein aantal woorden, kunstmatig gerangschikt, uit te spreken. De getallen kunnen uitgesproken worden met de vol -gen de woorden: één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, honderd, duizend, millioen, billioen, trillioen, quatrillioen, quintillioen, sextillioen, enz. 8. Rangeenheden. - De negen eerste woorden zijn de namen der ne~en eerste getallen die enkele eenheden 'Voorstellen of eenheden van eersten rang.

6 -6- Tien is de naam van het volgende getal. Het tiental or verzameling van tien enkele eenheden wordt aanzien als eene nieuwe eenheid, eenheid van tweeden rang. Men kan met de tientallen tellen zooals men met de enkele eenheden telt : twee tien, drie tien, vier tien, vijf tien, enz. De verzameling van.tien tientallen is honderd of eenheid van del'den rang. Men telt met de honderdtallen gelijk met de enkele eenheden: tweehonderd, driehonderd, vierhonderd, enz. De verzameling van tien honderdtallen maakt eene nieuwe eenheid uit, welke men duizend noemt of eenheid van vierden rang. Men gaat voort met tien eenheden van een en rang te vereenigen om eene eenheid van eenen naast hoogeren rang' te vormen. Maar, om geene nieuwe woorden noodig tehebben, noemt men de eenheid van vijfden rang, tien duizend, en die van zesden rang, honderd duizend. De verzameling van tien honderdduizendtallen of eenheid van zevenden rang verkrijgt den nieuwen naam van millioen. Maar de eenheden van achtsten en negenden rang heeten tien millioen, en honderd millioen. Het billioell, tien billioen en honderd billioen zijn de eenheden van tienden, elfden en twaalfden rang; het tduioen, tien t/'iluoen, honderd trillioen zijn de eenheden van dertienden, veertienden en vijftienllen rang, enz. In die reeks eenheden waarmede wij kennis gemaakt hebben, is de eenheid van eenen willekeurigen rang tienmaal grooter dan de haar onmiddellijk voorgaande eenheid. Tien is. de basis of grondslag van ons stelsel van telling, dat daarom tientallig stelsel genoemd wordt. De namen van de eenheden der verschilli~e rangen in hunne natuurlijke volgorde ~enomen, zijn de schaal der telling. Elkeen dier namen is een term der schaal. 9. Klaseenheden. - Eenheden die, te beginnen van de enkele eenheid, van duizend- tot duizendmaal grooter worden, maken de reeks der klaseenheden of. voornameeenheden uit: zij zijn dus éen, duizend, millioen, billioen,. tdllioen, enz.

7 -7- De eerste klasse, of die der oorspronkelijke eenheden. wordt uitgedrukt door de enkele eenheden, tientallen, en honderdtallen; de tweede klasse, of die der duizendtallen, door de enkele duizendtallen, de tienduizendtallen en de honderdduizendtallen; de derde klasse, of die der millioenen, door de enkele millioenen, de tienmillioenen en de honderdmillioenen, enz. Elke klasse bevat dus drie achtereenvolgende rangen, te beginnen met de enkele eenheden. 10. Men zal nu gemakkelijk begrijpen hoe men, bij middel van de voorgestelde woorden, al de getallen uitspreken kan. Inderdaad, nemen wij voor oogen de gansche verzameling der enkele eenheden waar een geheel getal uit bestaat, en beginnen" ij met ze te verdeelen in verzamelingen, elk van tien enkele eenheden. Dan zal men in het getal vinden: -t 0 een zeker aantal tientallen; 2 eene rest enkele eenheden zeker kleiner dan tien, welke rest overigens niet altijd bestaat. Indien het aantal tientallen lien overtreft, voegen wij ze dan tien aan tien te zamen. Het getal zal dan bevatten: 1 een zeker aantal honderdtallen; 2" een aantal tientallen kleiner dan tien; 3 een aantal enkele eenheden insgelijks kleiner dan tien: nochtans zullen deze twee laatste deelen niet altijd bestaan. Zoo voortgaande, zal men eindelijk het getal splitsen in zijne eenheden van vet'schillige rangen, waarvan elke rang min dan tien eenheden bevat. Om nu het getal uit te spreken, zal men het aantal eenheden van eiken ràng beurtelings kunnen opgeven, beginnende met de eenheden van den hoogsten rang. VOORBEELD : drie millioen, vijf honderdduizend, twee tienduizend, negen duizend, zes honderd, vier tien en vijf. In plaats van het getal met zijne rangeenheden uit te spreken, is het veel korter achtereenvolgens zijn aantal eenheden van elke klasse op te geven. Het hierboven uitgesproken getal wordt korter gezeid : drie millioen, vijf honderd twee tien en negen duizend, zes honderd vier tien en vijf. 11. Onregelmatigheden. - Volgens de hierboven uitgelegde uitspreekwijze heeft men slechts 14 woorden van-

8 -8- doen om al de getallen tot de billioenen uit te spreken. Het gebi'uik echter heeft onregelmatigheden in die manier ingebracht. 1 In plaats van twee tien, drie tien, vier tien, enz. zegt men twintig, dertig, veertig, enz. ; 2 Om de getallen uit te spreken van tien tot honderd, drukt men eerst de enkele eenheden uit, daarna de tientallen: zoo bekomt men één en tien, negen en veertig, negen en negentig. 3 In plaats van één en tien zegt men elf, en verder, voor de overige getallen tusschen tien en twintig, twaalf, dertien, veertien, vijftien, zestien, zeventien, achttien, negentien. lil. - GESCHREVENE TELLING. 12. De geschrevene telling is de manier van alle mogelijke getallen op eepe korte en duidelijke wijze te schrijven bij middel van bijzondere teekens, die men cijfers noemt. De cijfers zijn ten getaiie van tien, te weten: 1, 2, 3, 4, ä, 6, 7, 8, 9, 0. De eerste negen cijfers, beduidende cijfers genoemd, stellen de negen eerste getallen voor. 13. Overeenkomsten. - De cijfers gekend zijnde, berust de geschrevene telling op de twee volgende overeenkomsten: 1 0 Elk cijfer tel' linkerhand Mn een ander geplaatst, stelt eenheden VrJOt' van eenen naast hoogeren ráng; 2 Het cijfer 0, dat men nul uitspreekt, heeft uit zichzelf geene weerde, maar dien: slechts om de ontbrekende rangen aan te vullen. Zij b. v. bet getal vijthonderd zeven en zestig in cijfers te schrijven. Men zou kunnen schrijven ö honderdtallen, 6 tientallen, 7 eenheden; maar, door toepassing der eerste overeenkomst, heeft men ~67. Om een tiental te schrijven zonder enkele eenheden, schrijft men 10. Zoo ook in de geschrevene getallen 30, 40, 50, 60, zijn er tientallen zonder enkele eenheden; in 504, honderdtallen en enkele eenheden zonder tientallen; in 10234,

9 -9- tienduizendtallen, honderdtallen, tientallen en enkele eenheden, zonder duizendtallen. Bemerkingen. - Het woord cijfer wordt soms figuurlijk gebruikt, om het getal dat het cijfer voorstelt, aan te duiden: h. v. men zegt het -cijfer 5 voor het getal 5. Bij uitbreiding zegt men zelfs het getal 0, alhoewel de nul alle begrip van getal uitsluit. 14. Dubbele weerde der cijfers. - Uit het voorafgaande blijkt, dat men aan de cijfers twee onderscheiden weerden toekent : 1 Eene volstrekte weerde, die onveranderlijk is en alleen van den vorm afhangt; 2 Eene betrekkelijke weerde, die van de plaats afhangt. Het is klaarblijkend dat elk geschreven getal gelijk is aan de som der betrekkelijke weerden van al de cijfers. 15. Voorstelling in cijfers van een uitgesproken getal. _1 0 Indien het getal kleiner is dan 1000, en dus maar eene klasse beval, schrijft men achter elkander, met de honderdtallen beginnende, de honderdtallen, tientallen en enkele ~enhedcn, opmerkende dat, in het Vlaamsch, de enkele eenheden vóór de tientallen uitgesproken worden. Men draagt zorg nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeenheden, 'tenzij deze de hoogste wezen. B. v. zeshonderd vijftien wordt geschreven: Indien het getal grooter is dan 1000, doet het uitspreken zelf de verschillige klassen kennen waaruit het bestaat. Men schrijft iedere klasse, naarmate zij uitgesproken wordt, alsof zij alleen ware, bij middel van een vak van drie cijfers, zorg dragende nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeen heden. VOORBEELDEN: Vierhonderd drie millioen vijf en zestig duizend veertig wordt geschreven: Vier triiiioen, vijf duizend, vierhonderd en twee wordt geschreven: In dit laatste voorbeeld zijn de ontbrekende klassen der billioenen en millioenen voorgesteld door twee vakken, elk van drie nullen.

10 -., Uitspreken van een geschreven getal Indien het getal niet meel' dan drie cijfers heeft, spreekt men beurtelings uit het aantal honderdtallen, enkele eenheden en tientallen. Voorbeeld: 328 wordt uitgesproken: driehonderd acht en twintig. 2 0 Jt;dien het getal meer dan drie cijfers heeft, verdeelt men het, van den rechter- naar den linkerkant, in vakken van drie cijfers, zoodat elk vak eene klasse voorstelt. Daarna spreekt men elk vak uit, te beginnen van den linkerkant, alsof het alleen ware, en voegt er den naam der klasse bij. Voorbeeld : wordt uitgesproken 5 billioen 302 millioen 248 duizend Bemerking. - Uit de overeenkomsten der geschrevene tellingvolgt dat, indien men één, twee, drie nullen, eni. ter rechterhand van een getal plctatst, dit getal daardoor tien-, honderd-, duizendmaal enz. grooter wordt. Inderdaad elk cijfer wordt daardoor één, twee, drie... rangen naar de linkerhand ~erschovell. en verkrijgt eene betrekkelijke weerde die tien-, honderd-. duizend... maal grooter is. Omgekeerd, indien men van een getal eindigende op nullen, één, twee, drie nullen enz. wegneemt, wordt daardoor het getal tien-, honderd-, duizendmaal enz. kleine,'. NOTA OVER DE REKENKUNlIIGE BEWERKINGEN. 18. Eene rekmkundige bewerking is eene samentelling of ontbinding van getallen tot het oplossen van vraagstukken dienstig. De samenstellende bewerkingen zijn de samentelling, de vermenigvuldiging en de machtsverheffing. De ontbindende bewerkmgen zijn de aftrekking, de dee Hng en de worteltrekking. Onder die bewerkingen heeten de samentelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deeling hoofdbewerkingen, omdat zij de voornaamste zijn en meest eigenaardigheid bezitten. Wij zullen beurtelings de hoofdbewerkingen op de geheele getallen beschouwen.

11 -11- HOOFDSTUK Ir. Samentelling. 19. Bepaling. -De samentelling der geheelegetallen is eene bewerking waardoor men al de eenheden van verschillige getallen tot één enkel getal vel'eenigt. Het gevonden getal heet som. De getallen die samengeteld worden, heeten termen der som. Het is klaarblijkend dat, wanneer men benoemde getallen samentelt, deze getallen eenbeden moeten uitdrukken van dezelfde soort, of anders gezegd, dat die getallen moeten geltjknamig zijn. De samentelling wordt aanged~id door het teeken +, dat men plus uitspreekt. Het teeken dat de gelijkheid van twee getallen aanduidt, is =-, en wordt uitgesproken is gelijk aan. Zoo 3 + ö = 8 wordt gelezen: drie plus ö is gelijk aan 8. De ongelijkheid van twee getallen wordt aangeduid door de teekens > en <, die respectievelijk beteekenen is grootet' dan en is kleiner dan. Zoo ö > 3 en 3 < ö worden gelezen : vijf is grooter dan drie, en dl'ie is klemer dan vijf. 20. De beredeneering der samentelling berust op de volgende grondeigenschap (t). Men telt eenige getallen samen, als men in willekeurige orde al de deelen dier getallen samentelt. 21. Eerste geval. - Samentelling van getallen kleiner dan 10. (I) Eene grondeigenschap is eeue eigenschap die noch kan, noch moet. bewezen worden..

12 -1.2- Zij Om deze samentelling te bewerken, telt men achtereenvolgens al de eenheden b. v. van 5 bij 8. Men zegt: = 9; = 10; = 11; =12; = 13. Vervolgens telt men beurtelings al de eenheden van 9 en 6 bij de bekomen som. In het gebruik moet men uit het hoofd kunnen berekenen: 10 de som van twee getallen kleiner dan 10; 2 de som van twee getallen waarvan één grooter en het ander kleiner dan 10 is. Men zal dan zeggen : = 13; = 22; = Tweede geval. - Samentelling van willekeurige getallen. Zij voorgesteld samen te tellen de gelallen 324, 48 en 7'13. Om die samentelling te bewerken, kan men elk gelal splitsen in enkele eenheden, tientallen, honderdtallen; daarna af1.onderlijk de som maken der enkele eenheden, tientallen, honderdtallen, en al de afzonderlijke sommen in een zelfde getal vereenigen. Om zulks gemakkelij k te verrichten, stelt men de getallen onder elkaar, op zulke wijze dat dezelfde rangeenheden in dezelfde verticale kolom staan, en trekt daaronder eene schreef Dat gedaan zijnde, zegt men: 3 en 8 is 11 ; 11 en 4 is is de som der enkele eenheden. Daar de volgende gedeeltelijke sommen geene enkele eenheden kunnen geven, mag men de D eenheden onder de kolom der eenheden schrijven. Het tienta.l wordt gevoegd bij de som der tientallen op te maken uil de tweede kolom. Men zegt 1 mededragen en 1 is 2, 2 en 4 is 6, 6 en 2 is 8. De som heeft dus 8 tientallen, die men onder de kolom der tientallen schrijft.

13 -13 - Eindelijk: 7 en 3 is 10. Er zijn dus 10 honderdtallen. Men schrijft 10 voluit nevens Regel. - Om willekeurige geheele getallen samen te tellen, schrijft men ze onder elkaa/', zoodat de eenheden van denzelfden rang in dezelfde verticale kolom staan. Onder de getallen trekt men eene horizontale Zijl!. Men maakt achtereenvolgens de som der cijfers van elke kolom, te beginnen met de kolom der enkele eenheden. Zoo de som kleiner is dan 10, schrijft men ze onder de kolom; zoo zij echter grooter is dan 10, schrijft men onder de kolom de eenheden der som, en de tientallen worden medegedragen naar de volgende kolom. ij'jen gaat zoo voort tot de laatste kolom, waarondel' men de som voluit schnjft. Indien al de gedeeltelijke sommen kleiner waren dan 10, dan zou men onverschillig de samentelling van de recbternaar de linkerhand, of van de linker- naar de rechterhand mogen bewerken. 24. Proef der samentelling. - Door proef eener' bewerking verstaat men eene tweede bewerking die men doet om zich van de juistheid dér eerste te verzekeren. Om de proef der samentelling te maken, kan men eene van de twee volgende middelen gebruiken, beide gesteund op de grondeigenschap der samentelling (20) : 1 0 De bewerking in eene omgekeerde orde herhalen; 2 0 Zoo zij zeer veel termen heeft, de samentelling in twee of meer deelen splitsen, en de gedeeltelijke sommen tot ééne som vereenigen.

14 -14- HOOFDSTUK lil. Aftrekking. 25. Bepaling. - De aftrekking met geheele getallen is eene bewerking waarin men een geheel getal met al de eenheden van een ander vermindert. De uitkomst heet rest of verschil. Beide getallen waarvan men het verschil zoekt, heeten termen van het verschil. De term van welken men aftrekt, wordt aftrektal; de andere, aftrekker genoemd. Het is klaarblijkend dat, indien de termen benoemde getallen zijn, zij ook moeten gelijknamig wezen. Uit de bepaling blijkt dat het aftrektal gelijk is aan de som van den aftrekker en het verschil. De aftrekking is dus de omgekeerde bewerking van de samentelling: men zal ze nog mogen bepalen: eene bewerki1lg waarin men, de som van twee getallen kennende en een dier getallen, het ande1' getal zoekt. De aftrekking wordt aangeduid door het teeken -, dat men min uitspreekt. Zoo 13-7 wordt gelezen: vijftien min zeven. 26. Wij onderscheiden drie gevallen in het beredeneeren. der aftrekking: 1 Een getal kleiner dan 10 van een ander aftrekken; 2 Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander, zoo gekozen, dat geen zijner cijfers kleiner is dan het overeenkomstig cijfer van den aftrekker; 3 Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander in hetwelk eenige cijfers kleiner zijn dan de overeenkomstige cijfers van den aftrekker. 27. Eerste geval. - Zij De beredeneering van dit geval steunt op de volgende grondeigenschap:

15 -15 - Om een geheel getal af te trekken, mag men beurtelings al zijne eenheden aftrekken. Om dus 6 van 15 af te trekken, kan men achtereenvolgens 15 met elkeen der eenheden van 6 verminderen. Men zegt: 15-1 = 14; 14-1 = 13; 13-1 = 12; 12-1 = 11 ; 11-1 = 10 ; 10-1 = 9. In het gebruik moet men de bewerkingen ineens en uit het hoofd kunnen verrichten. 28. Tweede geval. - Zij b. v De beredeneering van dit geval steunt op de volgende grondeigenschap: Om een getal van een ander at te trekken, mag men, na ze beide in deelen gesplitst te hebben, elk deel van het aftrektal verminderen met een deel van den aftrekker, en daarna al de bekomen resten samenvoegen. Men splitst beide getallen in zijne eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.; men trekt de eenheden van het kleinste af van die van het grootste, en zoo ook voor de tientallen, honderdtallen, enz. Om dit ~emakkelijker te doen, schrijft men het kleinste getal onder het grootste, zoodanig dat de eenheden van denzelfden rang onder elkaar staan Men zegt: 7 van 9 blijft 2; 3 van 3 blijft 0; 2 van 8 blijft 6; 3 van 4 blijft 1. De rest is Derde geval. - Zij In dit geval is de grondeigenschap van het voorgaande ji!.'eval niet toepasselijk, zoo men wil de enkele eenheden van de enkele eenheden, de tientallen van de tientallen, de honderdtallen van de honderdtallen enz. aftrekken. Het aftrektal moet dus anders in deel en gesplitst worden dan volgens de betrekkelijke weerde van elk cijfèr, om, door toepassing van die grondeigenschap, de aftrekking te bewerken

16 -16 - Men redeneert volgender wijze: 8 eenbeden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. 5 tientallen van 3 tientallen is onmogelijk. Ontleenen wij een honderdtal aan de 8 honderdtallen van het aftrektal. Dit honderdtal, dat 10 tientallen doet, gevoegd bij 3 tientallen geeft 13 tientallen. 5 tientallen van 13 tientallen blijft 8 tientallen. In hel aftrektal bestaan nu nog 7 honderdtallen. 9 honderdtallen van 7 honderdtallen is onmogelijk. Ontleenen wij 1 duizendtal aan de 4 duizendtallen van het aftrektal, en 1 duizendtal of tien honderdtallen plus 7 honderdtallen geeft 17 honderdtallen. 9 honderdtallen van 17 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. In bet altrektal blijven er nog 3 duizendtallen. 2 duizendtallen van 3 duizendtallen blijft 1 duizendtal. Men ziet dus dat men inderdaad het aftrektal gesplitst heeft in 9 eenheden, 13 tientallen, 17 honderdtallen, 3 duizendtallen, en respectievelijk van dk deel de 8 eenheden, 5 tientallen, 9 honderdtallen en 2 duizendtallen van den aftrekker heeft afgetrokken, zoodat men de grondeigenschap van het tweede geval heeft toegepast. 30. Regel. - Om een geheel getal van een geheel getal af te trekken, schrijft men het kleinste onder het grootste, zoodat de eellheden van denzelfden rang onder elkaar staan, en men trekt eene streep om de getallen van het verschil, dat men er onder schrijven zal, af te scheiden. Te beginnen van de, echterhand, trekt men elk cijfer van het onderste getal af van het overeenkomstig cijfer van het bovenste, en de rest schrijft men onder de streep in dezelfde kolom van die beide cijfers. Zoo een der onderste cijfers grooter is dan het overeenkomstig cijfer van het bovenste, vermeerdert men dat cijfer met 10 eenheden van zijnen rang om de aftrekking mogelijk te maken; en men vermindert het volgende cijfer van het aftrektal met eene eenheid van zijnen rang. Bemerking. - Zoo de ontleening moet gebeuren wanneer het volgende cijfer 0 is, moet men, bij het ontleenen, verder ~aan dan de hoogere rangeenheid. B. v lk kan geen tientalontleenen, daar er geene zijn. Ik ontleen dan een honderdtal aan de drie honderdtallen, en

17 -17 - aan de 10 tientallen die ik zoo bekom, ontleen ik 1 tiental, zoodat er 2 honderdtallen en 9 tientallen in het aftrektal overblijven. Zij nog Hier zal ik 1 duizendtal of 10 honderdtallen ontleenen, zoodat er 2 duizendtallen overblijven; Tan de tien honderdtallen ontleen ik 1 honderdtal of 10 tientallen, zoodat er 9 honderdtallen overblijven; van de tientallen ontleen ik 1 tiental of 10 eenheden, zoodat er 9 tientallen overblijven geeft 14, waarvan nu 7 kan afgetrokken worden. De volgende cijfers van den aftrekker worden nu respectievelijk afgetrokken van 9, van9 en van De methode in de beredeneering van het derde geval gevolgd, heet methode van ontleening. Er bestaat eene andere methode, die men methode van vergoeding noemt. Behalve de grondeigenschap van het tweede geval, moet men, bij de beredeneering van het derde geval volgens de methode van vergoeding, nog de volgende grondeigenschap voor oogen houden : Het verschil van twee getallen verandert niet als men beide getallen met een zelfde getal vermeerdert. Zij wederom ö8. 8 eenheden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. ti tientallen van 3 tientallen is onmogelijk. Om deze aftrekking m~gelijk te maken, vermeerderen wij het aftrektal met tien tientallen, en zoo bekomen wij 13 tientallen. ö tientallen van 13 tientallen blijft 8 tientallen. Wij hebben het aftrektal met tien tientallen vermeerderd; wij moeten dus, wil de rest dezelfde blijven, den aftrekker met 10 tientallen of een honderdtal vermeerderen. Er bestaan in den aftrekker 9 honderdtallen. 9 honderdtallen + 1 honderdtal geeft tien honderdtallen. Trekken wij dus 10 honderdtallen van de 8 honderdtallen van het aftrektal af; maar dit is onmogelijk. Vermeerderen wij het aftrektal met 10 hondertallen : wij hebben dan 18 honderdtallen. 10 honderdtallen van 18 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. Wij hebben het aftrektal met 10 honderdtallen vermeerdei'd; opdat het verschil gelijk blijve, moeten wij ook den aftrekker met 10 honderdtallen of 1 duizendtal vermeerderen. 2 duizendtallen + 1 duizendtal geeft 3 duizendtallen. 3 duizendtallen van 4 duizendtallen blijft 1 duizendtal. 2

18 - 18- Gebruikt men de methode van vergoeding, dan heeft men den regel, hooger (30) voor de aftrekking gegeven, enkel in zijne laatste woorden te wijzigen: in plaats van en men vermindert het volgende cijfer enz., heeft men en vervolgens voegt men eene eenheid van zijnen mug bij het volgende cijfet van den aftrekker. 32. Opmerkende dat de aftrekker plus de rest gelijk moet zijn aan het aftrektal, kan men nog de aftrekking bewerken zooals in het volgende voorbeeld: plus 1 is 9 (men schrijft 1 onder 8, terwijl men 1 uitspreekt). 5 plus 8 is 13 (men schrijft 8 onder 5). 1 plus 9 is 10, plus 8 is 18 (men schrijft 8 onder 9). 1 plus 2 is 3, plus 1 is 4 (men schrijft 1 onder 2). 33. Proef der aftrekking. - Men maakt de proef der aftrekking op twee manieren: 1 ~ Men telt de rest bij den aftrekker en de som moet gelijk zij n aan het aftrektal; 2 Men trekt de rest af van het aftrektal en het verschil moet gelijk zijn aan den aftrekker. 34. Stelling I. (1) - Om een verschil bij een getal te voegen, kan men den eersten term van het verschil bij het getal voegen en van de bekomene som den tweeden term aftrekken. Zij voorgesteld bij 8 het verschil 12-7 te voegen. Indien wij 12 bij 8 voegen, bekomen wij Maar de uitkomst is klaarblijkend 7 eenheden te groot. De juiste uitkomst zal dus zijn De volgende gelijkheid stelt die eigenschap voor: In het algemeen: 8 + (12-7) = a + (b - c) = a + b - c. (1) Eene stelling is eene waarheid die kan bewezen worden.

19 -19 - Toepassing op het hoofdrekenen: ö = 54 + (100-2) = 54 + ioo = ( ) = Stelling II. - Om van een getal een verschil af te trekken, mag men van het getal den eersten term van het verschil aftrekken, en bij de uitkomst den tweeden term van het verschil voegen. Zij van 40 het verschil af te trekken. Indien wij van 40 den eersten term van het verschil 34 aftrekken zal de uitkomst zijn. Maar de uitkomst is klaarblijkend 1.8 eenheden te klein. De juiste uitkomst is dus De volgende gelijkheid drukt de eigenschap uit: 40 - (34-18) = In het algemeen a - (b - c) = a - b + c Toepassing op het hoofdrekenen: = (100-1) = it) ~ ( ti) =

20 - 20- HOOFDSTUK IV. Vermenigvuldiging. 36. Bepaling. - De vermenigvuldiging van een geheel' getal met een geheel getal is eene bewerking, waardoor men: 'het eerste dier getallen zoo dikwijls neemt als er eenheden in het tweede zijn. Het getal dat men eenige malen neemt, heet vermenigvuldigtal; het getal dat aanduidt hoe dikwijls het vermenigvuldigtal moet genomen worden, heet vermenigvuldiger; deuitkomst van de bewerking heet product. Het product is dus de som van zooveel getallen, alle gelijk aan het vermenigvuldigtal, als er eenheden zijn in den vermenigvuldiger. Daaruit volgt dat het product altijd van denzelfden aard, is als het vermenigvuldigtal. De vermenigvuldiger is altijd een onbenoemd getal. Het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger zijn defactoren van het product. Het teeken der vermenigvuldiging is X, dat wij uitspreken vermenigvuldigd met. Dan staal het vermenigvuldigtal links en de vermenigvuldiger rechts. 3x4=12 beteekent : 3 vermenigvuldigd met 4 is ~elijk aan 12. Met algemeene getallen door letters voorgesteld, of met sommen of verschillen tusschen haakjes, duidt men dikwijls. de vermenigvuldiging aan alleenlijk door de factoren nevens. elkaar te schrijven. b. v. ab (3 + 4) (5-2) 5 (8 + 4) Sommigen spreken het teeken der vermenigvuldi Bemerking. - ging maal uit. bete~kent a X b» (3 + 4) X (5-2)» I) X (3 + 4). Zoo 3 X 5 beteekent 3 maal 5. Dan staat de vermenigvuldiger op de eerste, en het vermenigvuldigtal op de tweede plaats.

21 Beredeneering. - Wij onderscheiden vijf ge 'Vallen: 1 product van een getal van 1 cijfer met een getal van 1 cijfer; 2 product van een setal van verscheidene cijfers met een getal van 1 cijfer; 3 product van een willekeurig getal met de eenheid gevolgd van nullen; 4 0 product van een willekeurig getal met een beduidend eijfer gevolgd van nullen; 5 product van twee willekeurige getallen. 38. Eerste geval. - B. v. 8 X ". Volgens de bepaling moet men 4, getallen samentellen, alle gelijk aan 8 : 8 x 4 = = 32. Deze som moeten wij in eens en uit het hoofd kunnen 'berekenen. In de tafel van vermenigvuldiging leert men al de produceten van twee getallen van 1 cijfer. 39. Tweede geval. - B. v X met 4 vermenigvuldigen, is de som maken van vier getallen gelijk aan SAMENTELLING VERMENIGVULDIGING. 2öö Men zou dus, om den regel der samentelling (23) toe te passen, afzonderlijk de som der enkele eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen moeten zoeken, of 4 maal 8 eenheden, 4 maal ö tientallen, 4 maal ö honderdtallen en 4 maal 2 duizendtallen nemen, vermenigvuldigingen die tot het eerste geval behooren. Indien één der producten grooter is dan 10, worden de tientallen bij het volgende pro.duet gevoegd.

22 - 22- Regel. - Om een getat van verscheidene cijfers tevermenigvuldigen met een getal van één cijfer, vermelligvuldigt men achtereetlvolgens, te beginnen van de rechter hand, ieder cijfer van het vermenigvuldigtal met den vermenigvuldiger. Men schrijft de eenheden van el~ product; de tientallen, zoo er zijn, worden medegedragen om bij het volgende product gevoegd te worden. 40. Derde geval. - B. v x 100. De som maken van 100 getallen gelijk aan 3208 is 3208 honderdmaal grooter maken. In deteliing (17) hebben wij gezien dat men zulks bekomt met twee nullen achter 3208 te plaatsen, wat als product geeft. Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met de eenhfid gevolgd van nullen, sch1'ijfl meu achter het vermenigvuldigtal zooueel nullen als el' achter de eenheid in den vermenigvuldiger zijn. 41. Vierde geval. - Zij b. v x 300. Wij moelen de som maken van 300 getallen gelijk aan Daar 300 gelijk is aan 100 maal 3 (40), kan men deze lange bewerking splitsen in 100 samentellingen, die elk 3 termen zouden hebben gelijk aan = :~208 x 3 De uitkomst van iedere bewerking zal men bekomen door den regel van het lweedegeval (39),en de totale uitkomst. die 100 maal grooter is, door den regel van het derde geval (40). Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met een beduidend cijfer gevolgd van nullen, vermenigvuldigt mell het vermenigvuldigtal met het beduidend cijfer, en schrijft achter het product zooveel nullen als el' nevens het beduidend cijfe,' in den vermenigvuldiger zijn.

23 Vijfde geval. - B. v X 934. Wij moeten de som maken van 934 getallen gelijk aan SAMENTELLING. 3458) 3458t 3458 ( = 3458 X , = 3458 X 30 VERMENIGVULDIGING ~ PRACTJSCHE MANIER = 3458 x Men kan die lange bewerking ontbinden in drie gedeeltelijke samentellingen, en daarna de gedeeltelijke sommen s3menvoegen. Men maakt eerst de som van vier getallen gelijk aan 3458, daarna van 30 en eindelijk van 900. De eerste som wordt bekomen door den regel van het 2de geval, de twee andere door dien van het 3 de geval. De gedeeltelijke sommen zijn 13832, en , en de totale som of het product l\len bemerke dat het tweede gedeeltelijk product (hier 3458 X 30) altijd op eene nul uitgaat of tientallen oplevert; het derde (hier 3458 X 900) altijd op twee nullen uitgaat of honderdtallen oplevert enz. De plaatsen. welke die nullen zouden bekleeden, laat men in de practische manier open. Regel. - Om een willekeurig getal met een willekeurig getal te vermenigvuldigen, schrijft men het vermenigvuldigtal

24 - 24- onder den vermenigvuldiger op zulke wijze dat dezelfde rangeenheden onder elkaar staan, en men trekt eene horizontale lijn om er de gedeeltelijke producten onder te schrijven. Men vermelligvuldigt het vermenigvuldigtal beurtelings met elk cijfer van den vermenigvuldiger, en men schlijft elk product derwijze dat het eerste cijfel' el' van, te beginnen van de rechter hand, in dezelfde verticale kolom sta als het cijfel' vel'menigvuldigel' : daal'na. maakt men de som van al die p"oducten en bekomt zoo het gevraagde product. Bemerkingen Men begint gewoonlijk door de vermenigvuldiging van het vermenigvuldigtal met het cijfer der eenheden, alhoewel dit niet noodzakelijk is. 2 Is een der cijfers van den vermenigvuldiger 0, dan is dat gedeeltelijk product nul. 3 Eindigt het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldiger of beide op nullen, dan maakt men de vermenigvuldiging van de getallen zonder de nullen, en voegt vervolgens bij het product zoo veel nullen als er zijn in het vermenigvuldigtal en den vermenigvuldiger te zamen. 43. Aantal cijfers van het product. - Het product heeft zooveel cijfers als er zijn in het vermenigvuldigtal eu den vermenigvuldiger te za men, ot zooveel min één. Veronderstellen wij b. v. dat het vermenigvuldigtal 5 en de vermenigvuldiger 3 cijfers hebbe; dan heeft het product = 8 cijfers ofwel 8-1 = 7. Inderdaad de vermenigvuldiger is grooter dan 100, dat het kleinste getal met 3 cijfers is, en kleiner dan 1000, het kleiuste getal met 4 cijfers. Het product is dus kleiner dan het vermenigvuldigtal gevolgd van 3 nullen, en grooter dan het vermenigvulrligtal gevolgd van 2 nullen. Het aantal cijfers is dus ten minste =-= 7 en ten hoogste = Gedurig product. - Een gedurig product is de uitkomst der vermenigvuldiging van een getal met een tweede, van het komende product met een derde, van het nieuw komende product met een vierde, enz. Zoo is 3 X Ö X 4 X 6 gelijk aan 3 X 5 of Hi vermenigvuldigd met 4 of 1ö X 4 = 60, en daarbij 60 X 6 of 360. De getallen tusschen welke het teeken X staat, iteeten factoren van het product. Het gedurig product wordt ook genoemd product van meer dan twee factoren.

25 Macht. - Eene macht is epll product van gelijke factoren. Zoois3 X 3 eenemacht,alsook5 X 5 X 5en7 X 7 X 7 X 7. Men onderscheidt de machten volgens het aantal màlen.dat hetzelfde getal factor is in het product. Zoo is: 3 X 3 de tweede macht van 3, 5 X 5 X 5 de derde macht van 5, 7 X 7 X 7 X 7 de vierde macht van 7. De tweede macht heet ook vierkant, en de derde macht, kubiek. Kortheidshalve wordt de macht van een getal aangeduid door den exponent of klein cijfer ter rechterhand bovenaan het getal geplaatst, en aanduidende hoe dikwijls het getal factor is in het product. 3 X 3 wordt geschreven: 3 2, l:ix5x5»» 7x7X7X7 ])» In een gedurig product kan de macht van een getal met nog andere factoren voorkomen. B. V. 3 2 X 7; 3 2 X 5 3 ; 5 X 3". Het aantal factoren van een gedurig product wordt aangeduid door de som der exponenten van al de factoren, zoo nochtans dat elk getal zonder exponent altijd als hebbende exponent 1 gerekend wordt, daar het dan éénmaal als factor voorkomt. In : 32 X 7 zijn 3 facloren. 32 X 5:1 ]) 5» 5 X 35 )) 6» Bemerking. - Het is van belang wel onderscheid te maken b. v. tusschen 3' en 3 X 4 : 3' = 3 X 3 X 3 X 3 3 X 4 =

26 - 26- EIGENSCHAPPEN AANGAANDE DE VERMENIGVULDlGI:'IG. 46. Grondeigenschap. - Men vermenigvuldigt eene som met een getal, als men elken term der som met dit getal vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt. B. v. (3 + 4) X 5 = 3 X X 5. Toepassing op het hoofdrekenen: 45 X 6 = (40 + ö) X 6 = 40 X X Stelling I. - Een product van twee factoren verandert niet, als men die {actoren verwisselt. Men zal b. v. hebben: 5 X 4 = 4 x 5. Inderdaad 5 = Men kan dus, om 5 met 4 te vermenigvuldigen (46), 4 maal elkeen der eenheden nemen waar 5 uit bestaat, of ( ' ) X 4 = Maar 4, vijfmaal herhaald, is gelijk aan 4 X 5. De beredeneering kan in 't kort volgender wijze geschreven worden : o X 4 = ( ) X 4 = = 4 X Proef der vermenigvuldiging. - Uit de voorgaande stelling ziet men dat het product hetzelfde blijft, als men het vermeni~vuldigtal en den vermenigvuldiger verwisselt. Hieruit : om de proef der vermenigvuldiging te maken, verwisselt men de factoren en herbegint de bewerking. 49. Stelling Il een gedurig product mag men de factoren in willekeurige volgorde nemen. Zij het gedurig product 2 X 5 X 6 X 3 X 4. Ik zeg 1 0 dat mende twee eerste factoren mag verwisselen. Volgens wat boven (44) gezeid is, beteekent 2 X ö X 6 X 3 X 4, dat men 2 eerst 5 maal moet nemen, het komende product 6 maal, het nieuw komende product 3 maal, en dit laatste product nog 4 maal.

27 - 27- Volgens de voorgaande stelling (47) is het product 2 X ;) gelijk aan;) X 2, en in plaats van het eerste product beuite Iings te vermenigvuldigen met 6,3 en 4, mag men het tweede product beurtelings door diezelfde getallen vermenigvuldigen; dus: 2 X Ö x 6 X 3 X 4 = ö x 2 X 6 X 3 X 4. 2 Men mag de twee laatste factoren verwisselen. Inderdaad, volgens de voorgaande stelling (47), is 3 X 4 gelijk aan 4 X 3: dus in plaats van 4 maal3 maal het produkt 2 X Ö X 6 te nemen, mag men het 3 maal 4 maal nemen, dus: 2 X ;) X 6 X 3 X 4 = 2 X ;) X 6 X 4 x 3. 3 Men mag twee opeenvolgende factoren verwisselen. Inderdaad, volgens hetgeen vool'3fgaat, is 2 X Ö X 6 gelijk aan 2 X 6 X Ö. Dus in plaats van het product 2 X 1) X 6 beurtelings met 3 en 4 te vermenigvuldigen, mag men 2 X 6 X t beurtelings door dezelfde getallen vermenigvuldigen, Dus: 2 X ;) x 6 x 3 X 4 = 2 x 6 x 1) x 3 x 4. Uit die toegelatene verwisselingen blij kt dat men eiken factor mag br'engen op de plaats waar men wil, of de factoren in eene willekeurige orde nemen. 50. Stelling Men vermenigvuldigt een getal met een produkt van verscheidene factoren, door het achtereenvolgens door elkeen dier factoren te vermenigvuldigen, Zij te bewijzen 13 x (2 x D x 3) = 13 X 2 x 5 x 3. In het product 13 X (2 x D x 3) mag men de 2 factoren verwisselen (47). Waaruit: 13 x (2 x D x 3) = (2 x ö x 3) x 13. Volgens de bepaling van het gedurig product (44) heeft men: (2 x 5 x 3) x 13 = 2 x ö x 3 x 13.

28 - 28- In dit laatste product mag 13 op de eerste plaats gebracht worden (49). Dus : 2 x 5 x 3 x 13 = 13 x 2 x 5 x 3. De bovenstaande beredeneering kan in 't kort zoo geschreven worden : 13 x (2 X 5 X 3) = (2 X 5 X 3) X 13 = 2 X 5 X 3 X 13 = 13 X 2 X 5 X 3. Toepassing op het hoofdrekenen : 25 X 36 = 25 X 4 X 9 = Stelling IV. -.ljfen vermenigvuldigt een product met een product, als men het 11roduct van al de factm'en van beide producten vor'mt. Zij te bewijzen: (3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8) = 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8. Men heeft volgens stelling IU (50) : (3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8) = (3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8. Volgens de bepaling van het gedurig produkt (44) : (3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8 -= 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8. Gevolg I. - Om eene macht van een getal met eene andere macht van hetzelfde getal te vermenigvuldigen, geeft men aan het getal voor exponent de som de,. t!xponenten. tp X 54 = t)7 Want 5 3 X 5 4 =' (5 X 5 X 5) X (5 X 5 X 5 X 5) = 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 5 8 Gevolg II. - Om een product tot eene zekere macht te verheffen, verheft men elken factor tot die macht, en maakt het product dier machten. (2 X 5 X 7)3 = (2 X 5 X 7) X (2 X 5 X 7) X 2 X 5 X 7) = 2 X 5 X 7 X ~ X 5 X 7 X 2 X 5 X 7 ~ 2 3 X lp X 7 3

29 Stelling V. - Men mag in een gedurig product eenige factoren doot hun uitgewerkt product vervangen. Volgens de bepaling van het gedurig product (44) is deze stelling klaarblijkend, wanneer die factoren de eerste zijn. Nu, men kan ze altijd de eerste maken (49). Dm, is de stelling bewezen. 53. Stelling VI. - Omgekeerd, men mag, in een product van verscheidene factoren, een dier factoren vervangen door andere waa/wan hij het product is. De stelling is klaarblijkend (44), indien die factor de eerste is. Nu, men kan hem altijd op de eerste plaats brengen (49). 54. Stelling VII. - Men vermenigvuldigt een product met een getal, als men een der {actoren van het product met dit getal vermenigvuldigt. Te bewijzen (3 X 1) x 7) X 8 = 24 x ;) x 7. Volgens de bepaling van het gedurig product heeft men: (3 X 3 x 7) x 8 = 3 x 3 X 7 X 8. De factoren 3 en 8 door hun uitgewerlit product vervangende: 3 X 3 X 7 x 8 = 24 X 3 X Stelling VIII. - llfen vermenigvuldigt een getal met eelle som, als men het getal met elkeen van de termen diet som vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt. Zij: 3 X (3 + 2). Door verwisseling der factoren (47) : 3 X (3 + 2) = (3 + 2) x 3. Door toepassing van de grondeigenschap (46) : (3 + 2) X 3 = 3 X X 3. Door verwisseling der factoren (47) : t> X X 3 = 3 X X 2.

30 Stelling IX. - Men vermenigvuldigt eene som met eene som, als men elken term van het vermenigvuldigtal beurtelings vermenigvuldigt met elken term van den vermenigvuldiger, en de gedeeltelijke producten samenvoegt. Zij b. v. ( ) X (I> + 6). Volgens de grondeigenschap (46) heeft men: ( ) X (I> + 6) = 2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (1)+6). Volgens stelling VIII (1)1>) : 2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (I> + 6) = ~ X I> + 2 X X ;) + 3 X X I> + 4 X 6. Gevolg. - Het vierkant eener som van twee getallen is gelijk aan het vierkant van het eerste getal, plus tweemaal het product van het eerste getal met het lweede, plus het vierkant van het tweede. ~+~=~+~X~+~=3X3+I>X3+ 3X5+I>XI>=3X3+3XI>+3XI>+I>XI>= X I> X 2 + 1>2. Toepassing op het hoofdrekenen : 43 2 = (40 + 3)2 = X 3 X Stelling X. - Men vermenigvuldigt een verschil met een getal, als men den eersten en den tweeden term van het verschil beurtelings met dit getal vermenigvuldigt, en het tweede product van het eer'ste aftrekt. Zij : (7-3) X 4. Zoo men 7 X 4 als product neemt,.dan is dit te groot met 3 X 4. Het juist product is dus 7 X 3-3 X 4. Toepassing op het hoofdrekenen: 94 X 7 = (100-6) X 7 = Stelling XI. - Men vermenigvuldigt een getal met een verschil, als men het getal beurtelihgs met den eet'sten en

31 - 31- den tweeden term van het verschil vermenigvuldigt, en het tweede product van het eerste aftrekt. 7 X (10-2) = (10-2) X 7 = 10 X 7-2 X 7 = 7 X 10-7 X Stelling XII. - Men vermenigvuldigt een verschil met een verschil, als mell het product maakt van het eerste verschil met den eersten term van hd tweede, en daarvan het product van het eerste verschil met den tweeden term van het tweede aftrekt. (10 - D) X (7-2) = (10-5) X 7 - ilo - 5) X 2 = 10 X 7 - D X 7 - (10 X 2 - D X 2) = 10 X 7 -!J X 7-10 X X 2. Gevolg. - Het vierkant van een verschil van twee getallen is gelijk aan het vief'kant van het eers:e, min tweemaal het product van het eerste met het tweede, plus het vin'kant van het tweede. (10-7)2 = (10-7) X (10-7) = X lo- 10 X = X 7 X Stelling XIII. - Het product van de som van twee getallen met hun verschil is gelijk aan het verschil hunner viakanten. ~+~X~-~=~+~X6-~+~X2= X 6 - (6 X ) = X 6-6 X 2-22 = Toepassing op het hoo/(irekenen : 10D X 9!J = (100 + D) (100-5) = D = (99 + 1) X (99-1) + 1 = 100 X = (98 + 2) X (98-1) = 100 X = (9D + D) X (9D - 5) + D 2 = 100 X D 84 2 = (84 + 6) X (84-6) = 90 X

32 - 32- HOOFDSTUK V. Deeling. 61. Bepaling. - De deeling is eelle bewerking waardoof' men, het product van twee factoren en een dier {actoren kennende, den anderen (actor zoekt. Het product is het deeltal; de bekende factor, de deeler; de gevraagde factor, het quotient. Het teeken der deeling is : ofwel -. Gebruikt men het. eerste, dan komt het deelial vooraan, en de deel er achteraan; gebruikt men het tweede, dan staat het deeltal vanboven en de deeler vanonder. Zoo: : 9 = 7 of 9" = 7 beteekent : 63 gedeeld door 9, is gelijk aan Verhoudings- en verdeelingsdeeling. - De bekende factor kan het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldigei' van het product zijn. Zij b. v. het volgende vraagstuk: Hoeveel kosten ~4 meters laken als 1 meter 9 fr. kost? Om dit vraagstuk op te lossen, moeten wij 24 maal den prijs van 1 meier nemen, zoodat de uitkomst is : 9 fr. X 24 = 216 fr. Veronderstellen wij nu dat het product 216 fr. gekend zij. Volgens dat de gekende factor 24 of 9 Ir. is, heeft men het vermenigvuldigtal of den vermenigvuldiger van het product te zoeken. VOORBEELDEN: 1 Het quotient is het vermenigvuldigtal. Als 24 meters laken 216 fr. kosten, hoeveel kost dan 1 meter 1 Daar 24 m. 216 fr. kosten, zoo kost 1 m. 2'i maal min. Om dus den gevraagden prijs te vinden, moet men 216 fr. in 24 gelijke deelen verdeelen, waarvan. elk deel den prijs van 1 m. zal voorstellen, die hier de onbekende factor van het prouuct is.

33 - 33- De deeiing heeft hier VOOI' doel de verdeeling van het deeltal in zoo veel gelijke deelen als er eenheden in den deeler zijn. Het quotient gelijk aan een dier deelen wordt de helft, het derde, vierde, vijfde, zesde... deel van het deeltal genoemd, volgens dat de deeler 2, 3, 4, 5, 6... is. 2 Het quotiellt is de vermenigvuldiger. Als 1 meter laken 9 fr. kost, hoeveel meters zal men voor 216 fr. hebbenf Daar 1 meter 9 fr. kost, zoo dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, zoo dikwijls zal men 1 meter hebben. Om dus het aantal meters te vinden. moet men zoeken hoe dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, en de uitkomst zal de onb$kende factor van het product zijn. De deeling heeft hier voor doel, te zoeken hoe dikwijls de deel er in het deeltal begrepen is, of el' kan van afgetrokken worden. In het eerste geval noemt men de deeling verdeelingsdeeling of verdeelingsdivisie; in het tweede, verhoudingsdeeling of verhoudingsdivisie. 63. Samenvatting. - De vel'deelingsdivisie is eelle bewerking in welke, het geheel kennende en het aantal gelijke deeleli, men de grootte van elk deel zoekt. Zoo 63 : 9, als verdeelingsdivisie beschouwd, wil zeggen dat men de grootte zoekt van het g e deel van 63. De verhoudingsdivisie is eene bewerking in welke men, het geheel en de grootte van elk deel kermende, het aantal gelijke deelen bepaalt. Zoo 63 : 9, beschouwd als verhoudingsdivisie, wil zeggen dat men zoekt hoe dikwijls 9 in 63 begrepen is of er kan van afgetrokken worden. In de verdeeiingsdivisie zoekt men het vermenigvuldigtal; in de verhoudingsdivisie, den vermenigvuldiger; vandaar dat bij de verdeelingsdivisie het quotient een benoemd getal kan zijn, terwijl, bij de verhoudingsdivisie, het quotient altijd noodzakelijk een onbenoemd getal is, zooals de vermenigvuldiger in de vermenigvuldiging. Uit wat voorafgaat volgt klaarblijkend dat de deeling de omgekeerde bewerking is van de vermenigvuldiging. 3

34 Wederbrenging van de verdeelingsdivbde tot de verhoudingsdivisie en omgekeerd. - Wij hebben gezien (47) dat een product van twee getallen niet verandert, als men vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger verwisselt. Daarom mag men Haar willekeur, voor wat de onbenoemde weerde van het quotient aangaat, den deeler als vermenigvuldigtal of als vermenigvuldiger van het product aanzien. Daaruit volgt dat men zich mag steunen, hetzij op de bepaling van de verdeelingsdivisie, hetzij op die der verhoudingsdivisie om eene algemeene beredeneering der deeling te geven. Voor de geheele getallen zal de deeling voor ons altoos zijn zoeken hoe dikwijls de deeler in het deeltal begrepen is; anders gezeid, wij zullen de deeling beredeneeren als verhoudingsdeeling. 65. Qu<?tient. - Rest. - Eene moeilijkheid komt voor in de deeling der geheele getallen: Het quotient is niet altijd een geheel getal. Wij moeten nu zien welke in dit geval de beteekenis der deeling is. Zij b. v. 25 : 3. Als verdeelingsdivisie beschouwd, wil dat zeggen, het derde deel van 25 zoeken. Maar door de kennis der tafel van vermenigvuldiging weten wij : 25 = 8 x en 21$ < 9 x 3. Als verhoudingsdivisie beschouwd, beteekent 25: 3, zoeken hoe dikwijls 3 in 25 begl'epen is. Insgelijks, volgens de tafel van vermenigvuldiging weten wij : 25 = 3 x en 25 < 3 x 9. Men zegt in beide gevallen dat 8 het geheel gedeelte van het quotient is, of het quotient op min dan ééne eenheid na, en dat 1, kleiner dan de deel er 3, de rest der deeling is.

35 - 35- In hetgeen volgt, zullen wij kortheidshalve den naam van quotient geven aan het geheel gedeelte van het quotient. Het is klaar dat het deeltal gelijk is aan het product van den deeler met het quotient plus de rest. Indien wij dus-door a het deeltal, door b den deeler, door q het quotient en door r de rest voorstellen, hebben wij: a = bq + r. Deze formuul gaat door, zelfs wanneer de deeling opgaat, 't is te zeggen als de rest 0 is, want dan heeft men : a = bq + 0 of a = bq. Men ziet ook dat, voor wat de weerde van hel quotient en van de re8t betreft, het onverschillig is, de deeling als verhoudings- of verdeelingsdivisie te beschouwen. 66. Aantal cijfers van het quotient. - Er bestaat een gemakkelijk middel om te bepalen hoe,-eel cijfers er aal) het quotient zijn. Zij b. v. 2.1, te deelen door 285. Indien men achtereed\'olgens ééne nul, twee, drie nullen achter den deeler schrijft, bekomt men de getallen 2850, 28500, , alle kleiner dan het deeltal. Maar zoo men vier nullen achter 285 schrijft, bekomt men grooler dan het deeltal. Het deeltal is dus grooter dan 1000 maal de deeler, maar kleiner dan maal de deeler, hetgeen volgender wijze geschreven wordt: 285 x 1000 < < 285 x Men besluit er uit dat het quotient begrepen is tusschen 1000 en 10000, en bijgevolg met 4 cijfers geschreven wordt. Regel. - Om het aantal cijfers van het quotient te bepalen, schrijft men achtel' den deeler nullen totdat hij grootel' wordt dan het deeltal : het aantal bijgevoegde nullen is het aantal cijfers van het quotient.

36 Beredeneering der deeling als veli'houdingsdivisie. - De volgende tafel geeft ons de gevallen der beredeneering : DEELING : I deeler < 10 ) deeler: beduidend cijfer quotient < 10 gevolgd van nullen deeler : een, willekeurig getal quotient> Er zijn dus 4 gevallen: 1 deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler insgelij ks; 20 deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler een beduidend cijfer gevolgd van nullen; 3 deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de deeler een willekeurig getal; 4 deeling waarin het quotient grooter is dan Eerste geval. - Quotient < 10; deeler < 10. Zij: 21> : 3. Wij moeten zoeken hoe dikwijls 3 in 2ö begrepen is. Door de kennis der tafel van vermenigvuldiging weet men dat 3 X 8 = 24 en 3 X 9 = 27; dat dus 3 in 23 acht maal en min dan 9 maal begrepen is, ot dat het quotient 8 is. Regel. - Het quotient wordt bepaald dool' de kennis der tafel van vermenigvuldiging. 69. Tweede geval. - Quotient < 10. Deeler, een beduidend cijfer gevolgd van nullen. Zij: 3497 : 400. Wij moeten zoeken hoe dikwijls 400 in 3497 begrepen is, of er kan van afgetrokken worden. 400 kan niet eens meer van 3497 afgetrokken worden dan 4 honderdtallen van 34 honderdtallen; en 4 honderdtallen kan juist zoo dikwijls van 34 honderdtallen afgetrokken worden als 4 van 34.