Algemene Muziekleer. Peter H. Besseling

Transcriptie

1 Dia aal Algemene Muziekleer Peter H. Besseling VWO

2 2 VWO Inhoud Hoofdstuk 1 Notenbalk en sleutels 3 Hoofdstuk 2 Noten en rusten 7 Hoofdstuk 3 Intervallen 13 Hoofdstuk 4 Diatonische reeksen 17 Hoofdstuk 5 Tempo 31 Hoofdstuk 6 Dynamiek 33 Hoofdstuk 7 Uitvoeringspraktijk 35 Hoofdstuk 8 Toonladders 39 Hoofdstuk 9 Drieklanken 43 Hoofdstuk 10 Maatsoorten, twee- en driedeligheid 47 Hoofdstuk 11 Mollen en kruizen 55 Hoofdstuk 12 Harmonische structuren 57 Hoofdstuk 13 Kleinetertstoonladders 67 Hoofdstuk 14 Overzicht toonladders en toonsoorten 71 Hoofdstuk 15 Overzicht intervallen 79 Hoofdstuk 16 Ritme uitvoeren en herkennen 89 Hoofdstuk 17 Partituur, orkesten en ensembles 97 Hoofdstuk 18 Versieringen 103 Hoofdstuk 19 Tonaliteit 107 Hoofdstuk 20 Melodische structuren 115 Index 129 Peter H. Besseling. Baarn, 13 september 2010 Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de auteur. La musique est une science Qui veut qu on rit et chante et dance (Guillaume de Machaut XIVe eeuw) Inhoud

3 3 VWO 1. Notenbalk en sleutels Vastleggen van tonen naar toonhoogte In de Middeleeuwen zijn de kerken en kloosters de belangrijkste centra voor cultuur. Verschillende monniken houden zich bezig met de kerkmuziek en zoeken naar een manier om de verzameling Gregoriaanse gezangen nauwkeurig op schrift vast te leggen. Deze eenstemmige, onbegeleide en in het Latijn gezongen katholieke kerkmuziek wordt genoemd naar paus Gregorius I ( ). In de elfde eeuw komt een systeem met vier lijnen als het meest praktische naar voren. De lijnen liggen telkens een terts uit elkaar en met sleutels leg je een van de lijnen vast als F, G of C. De notennamen zijn dan al heel lang bekend. Het zal je niet verbazen dat de toon waar men van uit gaat volgens de opvattingen van middeleeuwse monniken wel de laagste toon van de Gregoriaanse gezangen moet zijn en dat die a wordt genoemd. De volgende tonen uit de toonladder heten dan in opklimmende hoogte b c d e f en g, waarna je weer opnieuw met a b c verdergaat. Jammer voor latere muzikanten, want je zou liever de noot die nu C heet als beginpunt A nemen. Voor het Gregoriaans zijn vier lijnen voldoende om alle tonen weer te geven, voor latere muziek gebruik je een lijn meer. Muzieknoten kun je als tussenlijnnoten tussen de lijnen, en als lijnnoten op de lijnen schrijven. De blauw omcirkelde noten, die te hoog zijn voor de notenbalk, noteer je op of boven hulplijnen (niet eronder), de groen omcirkelde noten, die te laag zijn voor de notenbalk, op of onder hulplijnen (nooit erboven). Sleutels De bedoeling van de lijnen bepaal je door de plaatsing van een sleutel voor aan de notenbalk. Van oudsher kennen we er drie, de G-, F- en C-sleutel. Tot in de achttiende eeuw kun je kiezen op welke lijn je een sleutel plaatst, maar gaandeweg zet je de G-sleutel alleen nog maar op de tweede lijn van onderen, en de F-sleutel op de tweede lijn van boven. Alleen de C-sleutel gebruiken we nog op twee posities: op de tweede lijn van boven en in het midden. De altsleutel staat precies in het midden van de twee andere sleutels, met de centrale c of c 1 precies in het midden. De krul van de G-sleutel markeert de g 1, de twee puntjes van de F-sleutel oorspronkelijk zijn dit natuurlijk de streepjes van de hoofdletter F markeren de f, en de c 1 staat in de holte van de C van de C-sleutel. 1. Notenbalk en sleutels

4 4 VWO In figuur 1.2 zie je de onderlinge posities van de drie sleutels. Bij de G-sleutel staat de c 1 heel laag, bij de F-sleutel heel hoog en bij de C-sleutel precies in het midden. Voor hoge instrumenten gebruik je dus bij voorkeur de G-sleutel, voor basinstrumenten de F-sleutel en voor de middeninstrumenten de C-sleutel. Tegenwoordig passen we vier sleutels toe. De altsleutel gebruiken we in bladmuziek voor altviool, de tenorsleutel in muziek voor cello, contrabas, fagot en trombone op plaatsen waar het vanwege de vele hulplijnen onpraktisch zou zijn om de hoge noten in een bassleutel te noteren. Als er dan nog veel hulplijnen nodig zijn nemen we onze toevlucht tot de G-sleutel. In het algemeen vinden musici noten met veel hulplijnen lastig om te lezen. Op de bovenste balk van voorbeeld 1.3 zie je de plaatsing van de g 1 in alle vier sleutels, op de tweede balk de centrale c, en op de onderste de f. Het is niet zo eenvoudig om te leren lezen in verschillende sleutels tegelijk, daarom is het maar goed dat we er in de achttiende eeuw voor kiezen om verder te gaan met de combinatie van viool- en bassleutel op de tweede lijn. Zonder onderbreking lopen de noten nu van laag naar hoog door. In figuur 1.4 is met geel de G-lijn gemarkeerd, met rood de F-lijn. Je kunt precies aangeven welke toon je bedoelt door hem te benoemen met hoofdletters, kleine letters en nummers. Het groot octaaf omvat C-B, het klein octaaf c-b. Daarna komt het eengestreept octaaf dat c 1 -b 1 omvat, het tweegestreept octaaf c 2 -b 2, en zo verder. De lage tonen onder het groot octaaf heten contra octaaf en subcontra octaaf, en omvatten C I -B I respectievelijk C II -B II. Zo kun je bijvoorbeeld zeggen dat de snaren van een viool klinken als g d 1 a 1 e 2. Een gitaar is gestemd met E A d g b e 1. Een sopraan in een koor heeft ongeveer de stemomvang c 1 -a 2. De door de hoboïst geblazen 1. Notenbalk en sleutels

5 5 VWO toon waarop een symfonieorkest afstemt heet a eengestreept (octaaf), de laagste toon van een viool noem je g klein (octaaf), de laagste toon op een piano A subcontra (octaaf). Opmerkelijk is de symmetrie in de plaatsing van noten als je c 1 als spiegelvlak neemt. Vergelijk in voorbeeld 1.5 bijvoorbeeld eens de posities van alle c s in beide sleutels en de plaatsing van g in de vioolsleutel en f in de bassleutel. Verder alle d s en de b s: als letters spiegelbeeld van elkaar, als noten op vergelijkbare plaatsen op de notenbalk. De middelste lijn van de G-sleutel is een b, de middelste lijn van de F-sleutel is een d, enzovoort. Ottava en ottava bassa Hoge noten die door een groot aantal hulplijnen moeilijk te lezen zijn kun je beter met behulp van het ottavateken boven de noten opschrijven. De noten onder dit teken klinken een octaaf hoger dan genoteerd. Voor lage noten pas je het ottava bassateken toe onder de noten. In extreme gevallen neem je zelfs wel eens je toevlucht tot het quindecimateken. Waar het teken niet meer nodig is geef je aan met loco, maar dat is niet verplicht, meer voor de duidelijkheid, om vergissingen te voorkomen. Tot slot in figuur 1.7 nog een overzicht waarop je kunt zien hoe je de centrale c in verschillende sleutels steeds lager kunt plaatsen, zodat steeds gemakkelijker hoge noten kunnen worden genoteerd. De vierde sleutel is een octaverende G-sleutel die we toepassen bij tenorpartijen in een koorpartituur. Elke genoteerde noot klinkt een octaaf lager dan in een gewone G-sleutel. klinkt 8 lager Je moet kunnen lezen en noteren in de bas-, alt- en vioolsleutel 1. Notenbalk en sleutels

6 6 VWO 1. Notenbalk en sleutels

7 7 VWO 2. Noten en rusten Vastleggen van tonen naar toonduur Muzikale elementen kunnen worden ingedeeld naar toonhoogte, toonduur, toonsterkte, klankkleur, articulatie en speelwijze. Dit noemen we de muzikale parameters. Toonhoogte wordt vastgelegd door de plaats van de noot op de notenbalk, toonduur door de vorm van de noot, de teleenheid en het tempo waarin deze teleenheid beweegt. In dit hoofdstuk komen de notenwaarden aan de orde. Uitgangspunt voor de indeling van de notenwaarden (figuur 2.1) is qua naamgeving de hele noot ( 1 / 1 ). Tegenwoordig is de hele noot de langste noot en de teleenheid meestal een kwartnoot ( 1 / 4 ), soms een halve ( 1 / 2 ) of een achtste ( 1 / 8 ) of zelfs een zestiende ( 1 / 16 ). De onderdelen van een noot heten kop, stok en vlag, die altijd naar rechts moet staan. Met de stok omhoog zit de kop links, met de stok naar beneden zit de kop rechts. Elke volgende kortere notenwaarde is de helft van de daaraan voorafgaande. In figuur 2.2 de notenstamboom. Elke notenwaarde wordt naar beneden toe verdeeld in twee noten met telkens de halve notenwaarde. kop stok vlag wijst altijd naar rechts Een hele rust en een halve rust verwar je gemakkelijk met elkaar. Onthoud dat de grootste, de hele rust, hoog onder aan de lijn hangt, en de kleinste, de halve rust, laag op de lijn ligt. 2. Noten en rusten

8 8 VWO Toonduur is relatief Met de notenwaarden leg je alleen de onderlinge verhouding in toonduur van de tonen vast. De absolute duur van de noten is afhankelijk van de teleenheid en het gekozen tempo waarin geteld wordt. Daarom staat vooraan een stuk altijd het maatcijfer, twee getallen onder elkaar. Het lijkt wel wat op een breuk. Het bovenste cijfer geeft het aantal tellen in de maat aan, het onderste de teleenheid. Om het ritme overzichtelijk te maken wordt dit verdeeld in maten, waarbij het begin van de maat altijd een accent of nadruk heeft, aangegeven door een maatstreep voor de eerste tel. Staat er ଷ als maatcijfer (voorbeeld 2.3), dan is de kwartnoot de teleenheid en zitten er in totaal 3 ସ kwartnoten in de maat. In de eerste maat zit een halve noot = 2 kwarten plus 2 achtsten = 1 kwart, samen is dat 3 kwarten. Het is dus niet nodig dat in een driekwartsmaat alleen kwarten voorkomen. Alle notenwaarden kunnen voorkomen, als je er maar voor zorgt dat al deze noten (en rusten!) samen de waarde van drie kwartnoten hebben. Links van de streep (voorbeeld 2.4) is de teleenheid een kwartnoot, rechts een achtstenoot. Een halve noot duurt links twee tellen, rechts vier tellen; een kwartnoot links één tel, rechts twee. Een zestiende is links een 1 / 4 tel en rechts een 1 / 2 tel. Twee zestienden is daar dus al een tel! Pas wanneer je weet wat de teleenheid is, kun je bepalen hoeveel tellen een noot zal duren. 4 tellen 2 tellen 1 tel 1 / 2 tel 4 tellen rust 1 / 4 tel 2. Noten en rusten

9 9 VWO Waardestrepen of vlaggetjes Als een aantal achtsten of kortere noten elkaar opvolgen, verbind je ze aan elkaar met waardestrepen, waarbij je ervoor moet zorgen dat de maatindeling zichtbaar wordt gemaakt. Alleen in vocale muziek wordt van dit principe afgeweken. Als er op elke noot een lettergreep (of syllabe) van de tekst valt schrijf je de noten meestal los van elkaar met vlaggetjes en als er op een aantal noten één lettergreep moet komen dat noemen we een melisme schrijf je ze met een waardestreep aan elkaar vast. De schrijfwijze op de bovenste notenbalk (voorbeeld 2.5) is dus de gebruikelijke. Soms kies je er in instrumentale muziek doelbewust voor om af te wijken van de gebruikelijke toepassing van waardestrepen, bijvoorbeeld om zichtbaar te maken waar een nieuw motief begint. Wanneer je twee stemmen op één balk noteert staan de stokken van de bovenstem naar boven en die van de onderstem naar beneden. Sopraan en alt moeten in voorbeeld 2.6 op den en Angst dezelfde noot zingen, daarom krijgt deze noot zowel een stok omhoog als omlaag. Op den zelfs met twee verschillende notenwaarden, een kwartnoot voor de sopraan en een achtste voor de alt. Bij secundes komen de noten zo dicht op elkaar te staan dat je ze niet recht onder elkaar kunt opschrijven, daarom zijn op Ängst- en op Pein de noten schuin onder elkaar gezet, hoewel ze tegelijkertijd op de eerste tel moeten klinken. Verlenging van de notenwaarde Met een punt achter de noot (voorbeeld 2.7) verleng je die noot met de helft van de waarde. Je kunt het ook anders zeggen. Zonder punt is een noot tweemaal zijn halve waarde, met een punt wordt hij driemaal zijn halve waarde. In de Middeleeuwen en de Renaissance is een cirkel of halve cirkel met een punt erin de maataanduiding voor tempus perfectum, de volmaakte tijd, omdat de onderverdeling daarvan driedelig is. Driedeligheid drukt volmaaktheid uit en staat symbolisch voor de Heilige Drie-eenheid. Zonder punt is het de tempus imperfectum, de onvolmaakte tijd. 2. Noten en rusten

10 10 VWO In plaats van met punten kun je noten altijd nog verlengen met behulp van een verbindingsboog. Ook rusten kunnen worden verlengd met een punt. Maar nooit met een overbinding. Twee- of driedelige onderverdeling Het uitgangspunt van de notenstamboom is tweedeligheid. Een halve noot is twee kwarten en een kwart noot is weer twee achtsten en zo verder. Hoe kun je dan muziek weergeven waarin de onderverdeling driedelig is. 3 / 8 = 1 / 4!? Daar hebben we iets op bedacht. We verzinnen een zesachtste maatsoort en spreken af dat die twee tellen heeft, met een onderverdeling in drie achtsten. De rode pijl in voorbeeld 2.8 geeft de eerste tel aan, de oranje pijl de tweede. Een andere mogelijkheid is dat we afspreken om drie achtsten in een kwart te gebruiken. We geven dit dan aan met een haak of een boog met het cijfer 3 en we noemen die achtsten in het vervolg triolen. In de rekenkunde kan dat natuurlijk helemaal niet, alleen in de muziek kan een kwart even lang zijn als drie achtsten. In de muziek is 6 / 8 3 / 4! Kijk maar (voorbeeld 2.9). De woordaccenten vallen niet samen met de tweedeligheid in de onderverdeling. 6 / 8 3 / 4?! 2. Noten en rusten

11 11 VWO Antimetrische figuren Als in een muziekstuk de onderverdeling alleen maar tweedelig is of alleen maar driedelig, is er geen probleem. Het wordt lastig als de tweedeligheid wordt afgewisseld met driedeligheid (of omgekeerd), zoals in voorbeeld De triolen werken hier op een manier die vertragend is. Het is versnellen, want je gaat over van 2 naar 3 in een tel, maar net niet genoeg om in de volgende versnelling te kunnen gaan. Dan zou je zestienden, 4 in een tel, krijgen en dat is precies twee keer zo snel. Triolen gaan tegen de overheersende beweging in. Daarom noemen we dit antimetrische figuren. Clair de lune, van Claude Debussy (voorbeeld 2.11) heeft een negenachtste maat met een ritme in een driedelige onderverdeling. Daarin is juist de overgang naar tweedelige onderverdeling lastig. Om dan een onderverdeling in tweeën te kunnen noteren, gebruiken we duolen, die we aangeven met het cijfer 2. In het algemeen: een onderverdeling die tegen de logische verdeling van de maat ingaat noem je een antimetrische figuur. 2 / 8 = 3 / 8! Om gewone noten en triolen precies in verhouding met twee handen tegelijkertijd te leren uitvoeren, gebruik je een extra onderverdeling in zes zestienden, zoals in voorbeeld Bij nadruk op 1 en 4 krijg je links gewone achtsten, bij 1, 3 en 5 triolen in de rechterhand (andersom kan natuurlijk ook). Als je het goed doet, hoor je het ritme van Drie ganzen in t (haverstro, ). 2. Noten en rusten

12 12 VWO Hele rust Het teken voor de hele rust wordt gebruikt om een hele maat rust aan te geven, ook als die maat niet precies de lengte van een hele noot heeft. Dus ook in een driekwartsmaat of een zesachtste maat kun je een hele rust schrijven, die dan precies een maat duurt. Dit geldt niet voor de hele noot! 2. Noten en rusten

13 13 VWO 3. Intervallen Nummeren van noten, toonafstanden In muziek zijn vooral de onderlinge betrekkingen tussen de tonen van belang, veel meer dan de hoogte van de tonen op zichzelf. Daarom zijn er allerlei systemen van relatieve notennamen in gebruik. Het eenvoudigste, met gewone cijfers, heb je nodig om te kunnen begrijpen hoe het organiseren van tonen in meerstemmige muziek in zijn werk gaat. Wij gebruiken hiervoor Latijnse rangtelwoorden, in Angelsaksische landen gebruiken ze Engelse. Van een opklimmende of dalende reeks noten kun je willekeurig een beginnoot als eerste kiezen, daarna nummer je opeenvolgend verder. Je kunt van beneden naar boven tellen, maar omgekeerd kan ook. Door de noten te tellen kun je ook de afstand tussen tonen benoemen. Zo gaat het interval d-g van 1 naar 4, in de muziek zeggen we de 4 e, en dus noemen we deze voortaan kwart. De afstand is niet kwart min prime is terts, zoals je zou verwachten, maar kwart! Het interval d-d is niet 0 maar 1! Het woord interval betekent eigenlijk wel afstand, maar we doen alsof het een nummer is. Interval betekent afstand tussen de tonen en ook afstand tussen de noten. Het notenbeeld is bepalend voor de benoeming van de intervallen. Niet het toetsenbeeld op de piano. Deze afstanden worden gemeten door de letters, de notennamen, te tellen die door dat interval overbrugd worden. Het getal dat je vindt, wordt met dezelfde rangtelwoorden benoemd als de trappen van de toonladder. Tel altijd de eerste noot mee. Dat is logisch wanneer je bedenkt dat het gaat om rangtelwoorden, dus eerste, tweede, derde, nde toon. Samenvattend (op c): Interval Afstand Nummer Naam Engels c c e prime root c d e secunde second c e e terts third c f e kwart fourth c g e kwint fifth c a e sext sixth c b e septime seventh c c e octaaf octave 3. Intervallen

14 14 VWO Hoef je niet te weten. Intervallen op een toon of onder een toon (voorbeeld 3.2). Het maakt echt niet uit of je van boven naar beneden of van onder naar boven telt. Drieklanken en vierklanken benoem je echter altijd vanuit de bastoon, van beneden naar boven. Volgens het woordenboek mag priem niet, maar septiem of septime is allebei goed. Interval Ezelsbruggetje Prime Premier, de eerste minister Secunde Second Terts Derdst (!) Kwart Kwartje, kwartier Kwint Gewoon onthouden Sext Zesde Septime September, de zevende maand toen de Romeinen nog de baas waren. Hun Nieuwjaar viel op 1 maart. Octaaf Oktober, de achtste maand toen de R None November, de negende maand toen de R Decime December, de tiende maand toen de R Harmonisch of melodisch interval Wanneer de tonen van een interval gelijktijdig klinken heet dat een harmonisch interval, wanneer ze na elkaar klinken een melodisch interval. Intervallen in akkoorden Om akkoorden te benoemen kijken we naar de intervallen die tussen de basnoot en de overige noten gevormd worden. Begin van onderaf (voorbeeld 3.3). De bastoon is nummer 1, maar dit wordt nooit opgeschreven. Daarna benoem je de intervallen steeds vanuit de bastoon. Het eerste akkoord, c e g, heeft van de basnoot uit gezien een prime, terts en kwint. In cijfers: 1, 3 en 5. We korten dit af tot 5 (spreek uit: grondligging). De tweede drieklank bestaat uit c e a. Vanuit de basnoot c zie je een terts ce en een sext ca. In cijfers een 1, 3 en 6. We korten dit af tot -akkoord. Nog korter: 6-akkoord (spreek uit: ଷ sextakkoord). De laatste drieklank bestaat uit c f a. Vanuit de bas heeft dit de intervallen 1, 4 en 6. We noemen deze -akkoord, uitgesproken als kwartsextakkoord. ସ 3. Intervallen

15 15 VWO Bij de vierklanken kijken we naar de plaats waar vanuit de basnoot gezien de septime en grondtoon naast elkaar liggen, dus waar een secunde voorkomt. Het eerste 7-akkoord bestaat uit c e g b, in cijfers een 1, 3, 5 en 7. We benoemen alleen de septime (7) en zeggen grondligging: septiemakkoord in de grondligging. Het tweede bestaat uit c e g a, in cijfers 1, 3, 5 en 6. We kijken waar vanuit de basnoot de secunde ligt, dat is op 5 en 6, vandaar de naam -akkoord, uitgesproken als kwintsextakkoord. ହ Het derde akkoord is c e f a, in cijfers 1, 3, 4 en 6. Vanuit de bas gezien ligt de secunde op 3 en 4, dus ସ -akkoord, uitgesproken als tertskwartakkoord. ଷ Het laatste akkoord is c d f a, in cijfers 1, 2, 4 en 6. Het opmerkelijkste interval ligt nu onder, vandaar secundeligging of secunde-akkoord. 3. Intervallen

16

17 17 VWO 4. Diatonische reeksen De a 1 als ijktoon In hoofdstuk 1 is duidelijk gemaakt hoe je met behulp van een systeem van lijnen noten kunt vastleggen en vervolgens kunt benoemen met de eerste zeven letters van het alfabet. Maar hoe kun je precies bepalen welke tonen die noten vertegenwoordigen? Daarvoor moet je een afspraak maken over het precieze trillingsgetal van een of meer tonen. De afspraak is dat a 1 een trillingsgetal van precies 440 Hz heeft. Neem bijvoorbeeld een trillende snaar. Een beweging heen én weer is samen een volledige trilling, en bij een a 1 doet een snaar dat 440 keer per seconde. Van deze vader van alle tonen worden alle andere tonen afgeleid. Het is niet mogelijk om rechtstreeks vanuit deze toon een b of een g te stemmen en zo verder de andere tonen van de toonladder van C. Je kunt alleen kwinten en octaven gebruiken. Zo ga je zigzaggend van a naar d, g, c en f (voorbeeld 4.1); de andere kant op van a naar e en b. De kwint is de moeder van alle intervallen. De zuivere kwinten en octaven van de diatonische toonladders Hoe kun je horen of het interval c-d precies de goede afstand heeft en d niet net iets te hoog of te laag is ten opzichte van c? Alleen met behulp van een omweg over octaven en kwinten kun je de afstand van opvolgende tonen van de toonladder precies bepalen. Andere intervallen zijn niet bruikbaar. De belangrijkste reden is dat je niet op zuivere kwinten en octaven uitkomt en het instrument vals gaat klinken. Als je vanaf f begint en dan de vijfde toets neemt, daarop weer de vijfde en zo verder (voorbeeld 4.2), merk je dat de tonen van de zeven witte toetsen telkens op elkaar zijn afgestemd met een zuivere kwint (klinkt als Altijd is). Er is een complete reeks van zes zuivere kwinten: f c g d a e b. Hoe zit het nu als we deze rij willen uitbreiden naar boven: f c g d a e b f? Of naar beneden: b f c g d a e b? Dat kan niet zomaar, de twee ff-en en de b s zijn dan niet hetzelfde. De oplossing van dit probleem volgt hieronder. Deze zuivere kwinten zijn het uitgangspunt van de toonstructuur. Terugkomend op de vraag waar deze alinea mee begon, is het antwoord dat wanneer je uit gaat van c, d alleen valt te berekenen of 4. Diatonische reeksen

18 18 VWO te stemmen door op c achtereenvolgens eerst g en dan d te stemmen, en onder de laatste een zuiver octaaf (zie voorbeeld 4.10: kwart, kwint en octaaf). Van de ene toon naar de volgende heet in het Grieks δια τονος, diatonos, dat wil letterlijk zeggen: door de tonen heen. Met andere woorden, van toon naar toon gaande, in dit geval met sprongen van een kwint. Alle reine kwinten op witte toetsen Alle reine kwinten op zwarte toetsen Om na de witte toetsen ook de zwarte te stemmen, begin je met b-fis (rode cirkel in voorbeeld 4.3) en vervolg je met cis gis dis ais, en de andere kant op met f-bes en dan es as des ges. De ene pijler van het bruggetje van wit naar zwart ligt in beide gevallen dus op b of f. Van b naar de toets voor fis niet naar f, want daar waren we mee begonnen en daar mag niet meer aan worden getornd. Op een toetsinstrument vallen es en dis, as en gis en nog een paar meer samen. Er ontstaat zo een klavier met twaalf verschillende tonen overeenkomend met zeven witte en vijf zwarte toetsen die onderling een halve toonafstand van elkaar liggen. Verder blijkt de kwint b-f te klein te zijn. Dat kun je niet alleen horen, je kunt het ook zien door de afstanden te tellen. Alle kwinten op witte toetsen zijn zuiver, behalve b-f. De enige kwint op witte toetsen die te klein uitvalt is b-f, en deze wordt daarom verminderd genoemd. De toon b ligt vast als kwint op e en f ligt vast als kwint onder c. Wel zuiver zijn bes-f en b-fis (en dus ook ais-eis). BES FIS B F BeeF bij bf. Be(s)ef dat dit de enige uitzondering is. Bes-f en b-fis zijn volgens afspraak rein. 4. Diatonische reeksen

19 19 VWO Onderstaande tabel kun je maken door op de piano te kijken waar er wel en geen zwarte tussen de witte toetsen zit. Met een zwarte ertussen is er een hele toonafstand, zonder zwarte een halve. De afstand van de eerste tot en met de vijfde toets klinkt telkens hetzelfde, als Altijd is Kort-. Alleen de laatste, van b naar f, niet. Je kunt ook In Den Haag daar woont een graaf spelen, dan hoor je ook goed waar de verschillende secundes zitten. Kwint 1 en 1 / 2 Totaal c-d-e-f-g / / 2 d-e-f-g-a 1-1 / / 2 e-f-g-a-b 1 / / 2 f-g-a-b-c / / 2 g-a-b-c-d / / 2 a-b-c-d-e 1-1 / / 2 b-c-d-e-f 1 / / 2 3 deze is te klein Geluid Het fundament van muziek is natuurlijk geluid, dat je kunt definiëren als het trillen en golven van een elastisch medium binnen het frequentiebereik van het menselijk gehoor ( Hz). Geluid is een al of niet periodische verandering in druk of verplaatsing van deeltjes. Daarbij verplaatst zich deze verandering in een elastisch medium. Geluid is ook de gehoorsensatie die door het oor wordt verwerkt als gevolg van bovengenoemde veranderingen. Zoals je waarschijnlijk al weet, kunnen voorwerpen op meer dan één manier in trilling raken. Of je te maken hebt met een gespannen snaar of een orgelpijp, een trommelvel, een metalen plaat, bij alle is het mogelijk de klank te beïnvloeden door verschillende manieren van aanblazen, aanstrijken, aantokkelen en aanslaan. Meestal bestaat de beweging uit een mengsel van trillingen, met verschillende frequenties (dat zijn de aantallen heen- en weergangen per tijdseenheid). Het is uitzonderlijk als je kunt bereiken dat er maar één zuivere trilling, met één trillingsgetal, wordt voortgebracht. In de regel is de verhouding van de trillingsgetallen niet eenvoudig. Bij een trommelvel bijvoorbeeld of bij een staaf hebben de frequenties geen gemene deler, hoe klein ook. Daar hebben de frequenties die de klank bepalen niet een eenvoudige onderlinge getalsverhouding. Het bijzondere aan de beweging van gespannen snaren en de trillende luchtkolom in blaasinstrumenten is dat er wel een eenvoudige betrekking bestaat tussen de frequenties van de afzonderlijke trillingen. Deze zijn alle veelvouden van een enkele grondfrequentie. Trillende snaren De frequentie van een trillende snaar f s is afhankelijk van de snaarspanning P, de dichtheid r, de diameter Q en de lengte l: f s = ( 1 / 2 l). P/(r. Q) De frequentie is dus omgekeerd evenredig aan de snaarlengte. Trilt een snaar (figuur 4.4) in de gehele lengte l, dan klinkt de laagste toon (grondtoon, frequentie F), waarbij l = 1 / 2 λ. Verkort je de snaar met de helft of veroorzaak je op die plek een knoop door er een vinger licht tegenaan te leggen (dan veroorzaak je een zogenaamde flageolet of fluittoon), wordt l = λ. De trillingsverhouding met de 4. Diatonische reeksen

20 20 VWO hele snaar is dan 2 : 1, de frequentie wordt verdubbeld (2F) en je hoort het octaaf. Deel je de snaar in drieën, dan krijg je l = 3 / 2 λ, de frequentie wordt verdrievoudigd (3F) en dat is de kwint. Ga je op dezelfde manier verder met het verdelen van de snaar krijg je het tweede octaaf (4 : 1), waarbij l = 4 / 2 λ (4F), de grote terts (5F), waarbij l = 5 / 2 λ, enzovoort. Als een snaar vrij trilt klinken deze verschillende trillingen als boventonen van de grondtoon gelijktijdig mee. Door je vinger er op te leggen isoleer je de enkele boventonen. De notennamen zijn van de tonen die je krijgt als de hele snaar als grondtoon c heeft Eerste vijf boventonen l f s = F c / 2 λ = l f s = 2F c / 2 λ = l f s = 3F g / 2 λ = l 4 f s = 4F c / 2 λ = l f s = 5F e / 2 λ = l Buik Bevestigingspunten λ = golflengte De bovenste afbeelding van een trillende snaar (figuur 4.4) hoort bij een wijze van bewegen waarbij de snaar als een geheel trilt: behalve de vaste eindpunten staat er geen punt van de snaar stil. Dan geeft de snaar zijn grondtoon. Bij de tweede beweging trilt de snaar in tweeën. Tussen de eindpunten is er in het midden van de snaar een punt dat niet meedoet aan de trilling. Dit punt, aangegeven met een rode pijl, noemen we een knoop. Dat is het punt waar je je vinger licht tegen de snaar aan legt. Er zijn bewegingen waarbij de snaar in drieën trilt (met twee knopen), in vieren (met drie knopen), enzovoort. De verschillende manieren van trilling noemen we de harmonischen, of bovenharmonischen, of boventonen van de snaar. Deze termen gebruiken we ook voor de tonen die 4. Diatonische reeksen

21 21 VWO de snaar daarbij geeft. De langzaamste trilling, de trilling met de laagste toon, heet de eerste harmonische, of de grondtoon. Daarop volgen de tweede, derde, harmonischen. Trillende luchtkolommen Bij de gedekte pijp kunnen alleen de oneven boventonen tot klinken worden gebracht f = 5F e 2 4 f = 4F c 2 3 f = 3F g 1 2 f = 2F c 1 1 f = F c Buik Buik λ/4 λ/2 knoop open pijp knoop gedekte pijp grondtoon = c met frequentie F Bij de open pijp kunnen alle boventonen tot klinken worden gebracht f = F c 4. Diatonische reeksen

22 22 VWO Dezelfde trillingsverhoudingen gelden voor klinkende luchtkolommen met lengte l: f 1 = c/2l bij een open en f 1 = c/4l bij een aan één kant gesloten, zogenaamde gedekte pijp (c is de geluidssnelheid). Een gedekte pijp (figuur 4.5) hoeft maar half zo lang te zijn als een open pijp om dezelfde toon te geven. Een staande golf heeft in een open pijp aan beide uiteinden een buik, in een gedekte pijp is er bij het gesloten uiteinde altijd een knoop. Dit heeft als resultaat dat open pijpen aan weerszijden resoneren op l = 1 / 2 λ, 2 / 2 λ, 3 / 2 λ, 4 / 2 λ, enzovoort. De gedekte pijpen resoneren op l = 1 / 4 λ, 3 / 4 λ, 5 / 4 λ, enzovoort. Open pijpen (koperen blaasinstrumenten bijvoorbeeld) brengen dus alle boventonen voort, gedekte pijpen alleen de oneven (de klarinet gedraagt zich als een gedekte pijp). In 4.3 zijn de groene pijpen open, de blauwe aan de linkerkant gesloten. We gaan er weer van uit dat de grondtoon c is. De tonen die je bij de open pijp kunt voortbrengen zijn hetzelfde als bij een snaar (zie het notenvoorbeeld). Bij de gedekte pijp zijn alleen nummers 1, 3, 5 enzovoort mogelijk. Intervallen op een snaar Een ander resultaat krijg je wanneer je een snaar telkens verkort. Dat doe je door met je vinger op dezelfde plaatsen als in figuur 4.4 de snaar helemaal neer te drukken tot op de toets. Dan trilt nog maar een deel van de snaar, het deel dat over de kam loopt (figuur 4.6). Met je vinger op de helft klinkt een halve snaar en dan hoor je, omdat de golflengte hetzelfde is als in figuur 4.4 met twee buiken, een octaaf. Als we aannemen dat de hele snaar de grondtoon c heeft, hoor je nu een c 1. De frequentieverhouding ten opzichte van de hele snaar is 2 : 1. Met je vinger op 2 / 3 van de snaar is de golflengte twee keer zo lang als bij 1 / 3 in figuur 4.4. Daar kreeg je een g 1, dus nu bij een tweemaal zo lange golf een octaaf lager een g, de kwint. De frequentieverhouding ten opzichte van de hele snaar is 3 : 2. Op 3 / 4 van de hele snaar is de golflengte drie keer zo lang als bij 1 / 4 in figuur 4.4. Daar kreeg je c 2, nu krijg je een toon die een octaaf plus een kwint lager ligt, dat is f, de kwart. De frequentieverhouding met de hele snaar is 4 : 3. Op 4 / 5 is het trillende gedeelte van de snaar vier keer zo lang als bij 1 / 5. Dat was de terts e 2. Een vier maal zo lange golflengte levert een toon op die twee octaven lager ligt, dat is de e, de terts op de hele snaar. Frequentieverhouding met de hele snaar 5 : 4. Zo kun je doorgaan met 5 / 6 6 / 7 7 / 8 8 / 9 9 / / 16. De intervallen die we het mooiste vinden klinken liggen op een harmonische reeks (in frequentieverhoudingen): ଶ ଷ ସ ହ ଵ ଶ ଷ ସ ହ 4. Diatonische reeksen

23 23 VWO / 2 λ = l f s = F c l = 1 / 1 1 / 2 λ = 1 / 2 l f s = 2F c 1 l = 1 / 2 1 / 2 snaar 1 / 2 λ = 2 / 3 l f s = 3 / 2 F g l = 2 / 3 1 / 3 snaar 1 / 2 λ = 3 / 4 l f s = 4 / 3 F f l = 3 / 4 1 / 4 1 / 2 λ = 4 / 5 l f s = 5 / 4 F e l = 4 / 5 1 / 5 1 / 2 λ = 5 / 6 l f s = 6 / 5 F es l = 5 / 6 1 / 6 Kam neerdrukken op de fret of toets l = 5 / 6 trillende deel van de snaar stempen Zuiverheid Er is wel een probleem. Als je het voorbeeld met de trillende snaar goed hebt begrepen, en de formule nog eens bekijkt, kun je de gevolgtrekking maken dat een zuiver octaaf precies 2 keer zoveel trillingen per seconde (Hertz, eenheid Hz) heeft als zijn grondtoon en een zuivere kwint precies 3 / 2 maal zoveel trillingen per seconde als zijn grondtoon. Als je bijvoorbeeld uitgaat van a 1 = 440 Hz moet volgens deze verhoudingen e 2 = 3 / 2 x 440 = 660 Hz zijn. We zouden graag willen dat c aan het begin en bis aan het einde van de reeks van 12 kwinten c g d a e b fis cis gis dis ais eis bis precies 7 octaven zijn, en dat zijn ze jammer genoeg niet. Een zuiver of rein octaaf is het interval tussen twee tonen waarvan de trillingsgetallen zich verhouden als 1 : 2, bijvoorbeeld tussen 110 en 220 Hz. De sprongen Hz (verschil 220 Hz) en 4. Diatonische reeksen

24 24 VWO Hz (verschil 440 Hz, dat is twee maal het verschil van het vorige octaaf) horen we als twee reine octaven, tweemaal hetzelfde interval. Voor je gevoel worden intervallen bij elkaar opgeteld, maar in feite worden de frequenties met een bepaalde factor vermenigvuldigd. Als een toon een tweemaal zo hoog trillingsgetal heeft als de grondtoon, klinkt hij een octaaf hoger, de snaarlengte is dan de helft korter (voorbeeld 4.7). Noem de frequentie van C I f C, dan is de frequentie van de een octaaf hoger gelegen C: 2 x f C. Van C naar de weer een octaaf hoger gelegen c is ook weer een verdubbeling, dus de frequentie van c is: 2 x (2 x f C ). De frequentie van c 5 is 2 7 x de frequentie van C I en dat is 128. Van C I naar c 5 : 2 x (2 x (2 x (2 x (2 x (2 x (2 x f C )))))) = 2 7 x f C = 128 x f C 1 octaaf = 2 x f C 7 octaven = 2 7 x f C = ଵଶ ଵ = ହଶସଶ x f C ସଽ Ga op de piano na dat deze reeks van 12 kwinten de omvang heeft van 7 octaven (voorbeeld 4.8). Twaalf kwinten op elkaar is: Zeven octaven is: ( 3 / 2 ) 12 = ହଷଵସସଵ = ସଽ 27 = 128 = ଵଶ Ǥସଽ ସଽ = ହଶସଶ ସଽ 1 kwint = ଷ ଶ x f C 12 kwinten = ( ଷ ଶ )12 x f C = ହଷଵସସଵ ସଽ x f C Bij 12 kwinten kom je met iets hoger uit dan 128 met 7 octaven. De verhouding tussen de bis en de c is: bis : c = ହଷଵସସଵ : ହଶସଶ = : / ସଽ ସଽ 80 Bij de c 5 van ongeveer 4000Hz is dat 54,4 Hz en dat verschil moeten we kwijt. In de praktijk worden alle kwinten iets te klein gestemd, met in het middengebied van de piano, tussen f en c 2 een hele kleine zweving, zo klein dat ons gehoor er geen probleem mee heeft en de kwinten zelfs als zuiver 4. Diatonische reeksen

25 25 VWO ervaart. Het vereist heel wat ervaring om dat op een bevredigende manier te doen. Dat is het werk van de pianostemmer. Boventoonreeks Als je een toon zingt of speelt wordt niet alleen een grondtoon voortgebracht die we associëren met de noot die we bedoelen, maar ook nog een klank. Deze bestaat uit een harmonische reeks boventonen, dat wil zeggen dat de frequentie van elk van deze tonen een geheel veelvoud is van het trillingsgetal van de grondtoon. Aan het verschil in intensiteit van elke boventoon herken je de klank van het instrument of de klinker waarop je zingt. Een snaar trilt nooit alleen in zijn volle lengte, er zijn altijd deeltrillingen aan de gang die de klank verrijken. Snaarlengte en trillingsgetal zijn omgekeerd evenredig. Maak een snaar tweemaal zo kort, dan wordt de frequentie twee maal zo groot. Je hoort dan het octaaf. Neem tweederde snaar, dan wordt de frequentie drietweede maal zo hoog: de kwint van Altijd is Kortjakje. Als je op een snaar te werk gaat zoals in figuur 4.4, of op een hoorn steeds hoger overblaast, krijg je een hele reeks van boventonen. De eerste zestien staan in voorbeeld 4.9a, met de verhouding in snaarlengte, waarbij de grondtoon C I de frequentie F heeft. Op een monochord, een snaarinstrument met maar één snaar en een beweegbare kam, zijn beide snaargedeelten tot klinken te brengen (figuur 4.9b). Als het linkerdeel 2 / 3 l is, is het rechterdeel 1 / 3 l. Op de bovenste notenbalk staan de noten van het rechterdeel, op de onderste die van het linkerdeel. Daar krijg je de harmonische intervalreeks te horen (vergelijk met figuur 4.6). Het bruikbare deel staat nog eens op een prettige hoogte genoteerd in voorbeeld 4.9c. x l 4.7b 1 / 2 λ = 2 / 3 l 1 / 2 λ = 1 / 3 l f s = 3 / 2 F G f s = 3 / 1 F g l = 2 / 3 l = 1 / 3 Beweegbare kam Tonen die niet goed in het notensysteem zijn weer te geven, hebben ter aanvulling een + of een gekregen. Het heeft musici, filosofen, natuurkundigen en wiskundigen altijd gefascineerd hoe het mogelijk is dat de bekende klanken zo mooi met harmonische getallen kunnen worden weergegeven. 4. Diatonische reeksen

26 26 VWO Frequentieverhoudingen Voorbeeld 4.9a kan ook met frequentieverhoudingen worden weergegeven, dan krijg je de verhoudingen die in voorbeeld 4.9c staan vermeld. Het getal moet met de frequentie van de grondtoon C I worden vermenigvuldigd om de frequentie van een bepaalde boventoon te kunnen vinden. Stel deze frequentie C I = 65 Hz, dan is de frequentie van de vierde boventoon c 1 = 4C I = 4 x 65 = 260 Hz. De vijfde boventoon e 1 = 5C I = 5 x 65 = 325 Hz. De zesde boventoon g 1 = 6C I = 6 x 65 = 390 Hz. De drieklank c e g heeft de verhouding 260 : 325 : 390, dat is 4 : 5 : 6. Dit klinkt als Zeg Roodkapje, of Een twee drie vier (hoedje van). e 1 = 5C I x C I C I = 65 Hz Zelf aan de slag op viool of gitaar Om hier iets meer van te kunnen begrijpen moet je een experiment doen op een viool of een gitaar of een ander snaarinstrument. De boventoonreeks krijg je te horen en te zien wanneer je met een vinger een snaar op de helft, een derde, een vierde, een vijfde, een licht afdempt (figuur 4.4). Niet helemaal indrukken. Je dwingt de snaar om met twee, drie, vier, vijf, buiken te trillen in plaats van met zijn natuurlijke grondtrilling. In plaats van met zijn natuurlijke grondtrilling trilt de snaar twee, drie, vier, vijf, keer zo snel. Deze techniek staat bekend als het spelen met flageolettonen, letterlijk fluittonen. Wanneer je de snaar op een bepaald punt helemaal indrukt, krijg je de intervalreeks (figuur 4.6). Op 1 / 2 snaar hoor je het hogere octaaf van de losse snaar, op 2 / 3 de kwint (trillingsgetal 3 / 2 ), op 3 / 4 de kwart (trillingsgetal 4 / 3 ) en op 4 / 5 de terts, op 5 / 6 de kleine terts, op 8 / 9 de grote secunde en op 15 / 16 de kleine secunde. Trillingsgetal en snaarlengte zijn omgekeerd evenredig. Boventoonreeks horen op de piano Sla een lage bastoon aan, bijvoorbeeld de C (twee octaven links van het sleutelgat). Als je goed luistert, hoor je minstens de eerste vijf boventonen. Anders sla je die eerst nog even zacht aan (zie voorbeeld 4.9). Deze boventonen zijn volmaakt zuiver. Als je die vergelijkt met de tonen die je hoort wanneer je de toetsen aanslaat, moet je bij sommige een verschil kunnen horen. Vooral bij de e 1. Die is duidelijk hoger dan de boventoon e Diatonische reeksen

27 27 VWO Kwart, kwint en octaaf Het bovenstaande was nogal een ingewikkelde rekenarij, daarom hier een andere manier. Uit voorbeeld 4.9 valt op te maken dat de frequenties van de twee tonen van een kwint zich verhouden als 2 : 3 (= 4 : 6), van een octaaf als 1 : 2 (= 3 : 6) en van een octaaf naar beneden als 2 : 1 (= 6 : 3). Stel, we stemmen eerst op c 1 de kwint g 1, daarna daarop de kwint d 2 (voorbeeld 4.10). Vervolgens stemmen we de d 1 hierop af. Dan geldt g 1 : d 2 : d 1 = 4 : 6 : 3. De kwart g 1 : d 1 = 4 : 3 = 1 : 3 / 4. Dit is overigens ook af te lezen aan de boventoonreeks. 3 / 2 c 1 3 / 2 g 1 1 / 2 d 2 In frequenties is het overzichtelijker. Stel de toon en de frequentie gelijkwaardig, dan g 1 = 3 / 2 c 1. De secunde c 1 -d 1 bereken je als volgt: d 2 = 3 / 2 g 1 = 3 / 2 x ( 3 / 2 c 1 ) = 9 / 4 c 1. Dan is d 1 = 1 / 2 d 2 = 1 / 2 x ( 9 / 4 c 1 ) = 9 / 8 c 1. Voor het vervolg is het wel handig om de verhouding van de grote secunde bij de hand te hebben. Van c 1 naar d 1 stem je via de stappen c 1 -g 1 -d 2 -d 1. Je kunt ook met verhoudingen rekenen. De eerste stap is 2 : 3 (= 8 : 12). De tweede ook weer 2 : 3 (= 12 : 18) en tot slot 2 : 1 (= 18 : 9), dus: c 1 : g 1 : d 2 : d 1 = 8 : 12 : 18 : 9 = 1 : 3 / 2 : 9 / 4 : 9 / 8 Van c naar d is 9 / 8 en dat noemen we een hele toonafstand (grote secunde). c-b# = ହଷଵସସଵ ହଶସଶ 1!! In voorbeeld 4.11 gaan we zigzaggend met kwinten en kwarten van c naar bis, allebei rood omcirkeld. Op de piano is dat dezelfde toets, dezelfde toon. Maar klopt het ook als we gaan rekenen met zuivere intervallen? Voor het gemak rekenen we zoveel mogelijk met secundes via c d e fis gis ais eis bis: 9 / 8 x 9 / 8 x 9 / 8 x 9 / 8 x 9 / 8 x 3 / 4 x 3 / 4 = ହଷଵସସଵ ହଶସଶ Wanneer je teller en nummer deelt door 6561 krijg je ଵ ଽǤଽ 81 / 80, het verschil tussen bis en c. Deze breuk is opmerkelijk, omdat hij iedere keer opduikt wanneer we een poging doen diatonisch, dat wil zeggen met behulp van kwinten en octaven, tonen zodanig op elkaar af te stemmen dat de intervallen die er toe doen, zoals (resulterende) octaven en tertsen, ook zuiver zijn. Dat blijkt steeds niet te kunnen. Iedere keer blijkt deze breuk weer op te spelen en moeten we de kwinten op slinkse 4. Diatonische reeksen

28 28 VWO wijze verkleinen om dat verschil kwijt te raken. Dus bis is iets hoger dan c als je helemaal zuiver stemt. Zuivere tertsen? Een interval dat wij graag zuiver hebben is de grote terts. De basis van de harmonieleer, het beginsel waarmee we verschillende stemmen tegelijkertijd in harmonie laten samenklinken, is de drieklank. Daarin is de terts de middelste toon, de kwint de bovenste. Met de kwint zit het wel goed, daar gaat het stemmen van uit. Volgens de boventoonreeks moet de verhouding c : e : g gelijk zijn aan 4 : 5 : 6. Pythagorasterts ଵ ସ Zuivere terts 5 / 4 = ସ Even narekenen (voorbeeld 4.12), van c naar e over g, d en a: Hoe raken we dit verschil van ଵ kwijt?! 3 / 2 x 3 / 4 x 3 / 2 x 3 / 4 = 81 / 64 Of van c naar e over d (twee grote secundes leveren ook een grote terts op!): 9 / 8 x 9 / 8 = 81 / 64 Hier komt in beide gevallen 81 / 64 verhouding 5 : 4, dus: uit, een pythagorasterts. Een terts van c naar e is zuiver bij de 5 / 4 = 5 / 4 x 16 / 16 = 80 / 64 We zijn dus iets te hoog uitgekomen, op 81 / 64, om precies te zijn. Omdat 80 / 64 x 81 / 80 = 81 / 64, is het verschil 81 / 80 = In de getempereerde stemming van de piano, waarbij alle kwinten iets te krap worden gemaakt, is de terts maar / te hoog. Dat valt mee! 4. Diatonische reeksen

29 29 VWO Zuivere gitaar? De zes snaren van een gitaar (voorbeeld 4.13) zijn gestemd in de volgorde E A d g b e 1. Het zou mooi zijn als alle kwarten zuiver waren en de terts g-b ook. Tenslotte is er nog het dubbeloctaaf E-e 1 en het interval octaaf-plus-kwint A-e 1 en E-b. Kwint + octaaf = 3 = ଵ ଶ ଶ 2 octaven = ଷଶ ଵ Hz te laag Kwint + octaaf = 3 = ଵ ଶ ଶ 2 zuivere octaven = 4 = ଷଶ Van de laagste tot de hoogste snaar kom je 5 intervallen tegen, kwart kwart kwart terts kwart. De verhouding van de hoge e 1 en de lage E is 4 / 3 x 4 / 3 x 4 / 3 x 5 / 4 x 4 / 3 = 320 / 81 Twee zuivere octaven, de verhouding tussen de hoge e 1 en de lage E, is 4 / 1 = 320 / 80 De octaaf-plus-kwint E-b is even groot als A-e 1. De verhouding in het geval van een zuiver interval is 3 : 1 (zie figuur 4.2). Als je uitgaat van A = 110 Hz, dat is twee octaven onder de ijktoon a 1 van 440 Hz, moet de e-snaar uitkomen op 330 Hz, maar hij wordt een komma 81 / 80 te laag: 4 / 3 x 4 / 3 x 4 / 3 x 5 / 4 = 80 / 27 3 (= 81 / 27 ). Dat scheelt 81 / 80. Als we zuiver zouden stemmen, met zuivere kwarten, komen we 4,1 Hz, vier trillingen per seconde te laag uit. Precies 80 / 81. In de praktijk stem je geen kwarten maar, met behulp van flageoletten, kwinten en octaven. Een gitarist stemt zijn instrument op zo n manier dat het verschil op slinkse wijze over alle intervallen wordt verdeeld. Zonder dat je het merkt worden de kwarten net iets groter genomen. De fretten op de toets van de gitaar verdelen de terts overigens precies middendoor. De grote secundes zijn allebei kleiner dan 9 / 8. Gitaarmuziek wordt een octaaf hoger genoteerd dan de werkelijke klank. Een strijkkwartet dan? Een strijkkwartet geldt als het hoogst bereikbare in zuiver musiceren. Maar ook daar spookt de komma 81 / 8o weer rond (voorbeeld 4.14). De eerste en tweede viool hebben op de losse snaren g d 1 a 1 e 2. De altviool heeft c g d 1 a 1. De cello is precies een octaaf lager dan de alt. Als alle losse snaren helemaal in zuivere kwinten zouden worden gestemd komen we weer een komma van 81 / 80 te 4. Diatonische reeksen

30 30 VWO laag uit, om precies te zijn 1.6 Hz. Het schijnt dat strijkers hun kwinten iets te krap stemmen, een halve tot één zweving per seconde in iedere kwint. De komma wordt zo over vijf kwinten verdeeld. 2 octaven plus terts = ଵ ଵ ଵ verschil 2 octaven plus terts = 1 / 5 = ଵ Nog even narekenen. Uitgaande van de hoogste losse snaar, de e 1 van de violen, zou de laagste losse snaar van de alt moeten uitkomen op een zuivere terts plus twee octaven (omdat we naar beneden gaan moeten alle verhoudingen op zijn kop). De verhouding e 2 : c = 5 : 1 (zie figuur 4.4). 1 / 5 = 16 / 80 Over alle kwinten wordt dat echter 2 / 3 x 2 / 3 x 2 / 3 x 2 / 3 = 16 / 81 De losse c-snaar komt iets meer dan 1.6 Hz te laag uit. Weer een illusie armer! Maar als je per kwint Hz te krap stemt en dat is niet storend krijgen we die terts toch goed. Alleen bestemd voor wie helemaal in de natuurkundige kant van de muziek wil duiken. 4. Diatonische reeksen

31 31 VWO 5. Tempo Om het ritme vast te leggen kiezen we heel vaak de kwartnoot als uitgangspunt, en ook de teleenheid voor de slag of puls is meestal een kwart. Het tempo wordt dan bepaald door het aantal slagen per tijdseenheid. Maar het ritme kan ook gebaseerd zijn op achtste of halve noten. Het tempo kan precies vastgelegd worden door met een getal het aantal slagen per minuut aan te geven. Hiervoor gebruiken we de metronoom van Mälzel, uitgevonden in Bij M.M. (Mälzels Metronoom) 60 komen er zestig slagen per minuut, dus één kwartnoot per seconde, bij M.M. 120 twee slagen per seconde. In bladmuziek van populaire muziek en jazz zie je vaak de aanduiding bpm, de afkorting van beats per minute. Tempoaanduidingen Om het tempo aan te geven gebruik je in de klassieke muziek Italiaanse uitdrukkingen, die overal in de muziekwereld dezelfde betekenis hebben. Zo n aanduiding is meestal ook een karakteraanduiding. In de lichte muziek zie je vooral Engelse termen. De tempi worden onderverdeeld in drie hoofdgroepen. Langzame tempi Gematigde tempi Snelle tempi largo breed, langzaam andante gaande allegro vrolijk, opgewekt, snel lento langzaam moderato gematigd presto vlug, snel adagio langzaam, kalmaan grave zwaar, ernstig, plechtig slow langzaam medium gematigd fast snel Met behulp van toevoegingen kunnen deze termen nog genuanceerd worden. Toevoegingen meno minder poco een beetje, weinig -etto een beetje molto veel poco à poco langzamerhand, beetje bij beetje -ino een beetje mosso bewogen più meer -issimo zeer Bijvoorbeeld: allegretto - een beetje snel andantino - een beetje gaande prestissimo - zeer snel 5. Tempo

32 32 VWO Tempoverandering Uitdrukkingen die verandering in tempo aangeven. Uitdrukking Afkorting Betekenis rallentando rall. verlangzamend ritardando ritard. vertragend ritenuto rit. teruggehouden, tegengehouden accelerando acc. versnellend, optrekkend a tempo a.t. in het voorgaande tempo tempo primo het eerstgenoemde tempo hervatten tempo rubato vrij in tempo (gestolen tempo) Ook hierbij zijn weer nuances mogelijk door de toevoeging van woorden als meno en molto en dergelijke. Bijvoorbeeld molto ritardando, poco accelerando. Vergroting, verkleining Als het ritme in een muziekstuk overgaat van kwarten in achtsten, wordt dit ritme tweemaal zo snel maar het tempo blijft in het algemeen gelijk. De notenwaarden worden de helft korter. Omgekeerd, wanneer een ritme overgaat van een beweging in zestienden naar een beweging in achtsten, blijft het tempo gelijk, maar het ritme wordt tweemaal zo langzaam. De notenwaarden worden tweemaal zo groot. Op de bovenste balk staat het originele thema, op de middelste balk wordt dit geïmiteerd in tweemaal zo lange noten: achtsten worden kwarten, zestienden worden achtsten. Dit fragment komt uit Fuga II van het Wohltemperierte Klavier II van Bach. 5. Tempo

33 33 VWO 6. Dynamiek Onder dynamiek verstaan we het verloop van de luidheid of toonsterkte van een compositie of onderdelen daarvan. Her Griekse woord δυναμισ (dunamis) betekent kracht. Ook hiervoor gebruiken we Italiaanse uitdrukkingen en afkortingen daarvan. Er zijn drie soorten dynamische tekens en termen. 1. Met algemene tekens en termen leg je een bepaalde luidheid vast op één niveau, totdat er een andere dynamische aanwijzing komt. Contrast- of terrassendynamiek: er wordt afgewisseld tussen verschillende sterktegraden, die zonder overgang achter elkaar worden geplaatst. 2. Tekens en termen die betrekking hebben op verandering van klanksterkte. Deze termen gaan over de overgangsdynamiek. 3. Tekens en termen die betrekking hebben op de dynamiek van één noot of akkoord. 1. Algemene tekens en termen Teken Term Betekenis pp pianissimo zeer zacht p piano zacht mp mezzo piano matig zacht (mezzo = half) mf mezzo forte matig sterk f forte sterk ff fortissimo zeer sterk 2. Overgangsdynamiek Term Afkorting Betekenis crescendo cresc. sterker worden (groeiend, toenemend) decrescendo decresc. zachter worden diminuendo dimin. / dim. zachter worden (verminderend, afnemend) Sterker en zachter worden kan ook aangegeven worden met deze haarspelden. crescendo decrescendo 3. Accentwerking Teken Term Betekenis sf sforzato plotseling sterker, beklemtoond (geforceerd) sfz sforzando plotseling sterker, beklemtoond (forcerend) Met accenttekens: > = accentteken ^ = kort accentteken 6. Dynamiek

34 34 VWO 6. Dynamiek

35 35 VWO 7. Uitvoeringspraktijk Articulatie Met articulatie bedoelen we de manier waarop opeenvolgende tonen met elkaar verbonden worden. spelen als Term Afkorting Betekenis staccato stacc. gescheiden, losgemaakt portato port. gedragen legato leg. (vast)gebonden Frasering Met de term frasering bedoelen we dat je een compositie zo uitvoert, dat duidelijk te horen is hoe het stuk uit verschillende frasen of zinnen is opgebouwd. Om dit duidelijk aan te geven beginnen musici in de loop van de negentiende eeuw steeds vaker fraseringbogen boven de noten te gebruiken. Een gedeelte onder een boog is wat je op één adem zou kunnen zingen. Een goede frasering geeft aan een stuk iets natuurlijk vloeiends, per boog een bepaalde richting aan de muziek. Uit de Kinderszenen van Schumann: Uitvoeringstekens 7. Uitvoeringspraktijk

36 36 VWO Naam Afkorting of teken Betekenis fermate Dit teken staat meestal boven of onder een noot of een rust, en betekent een verlenging naar keuze van de uitvoerende. Generale Pause G.P. Alle musici stoppen een ogenblik. Da Capo D.C. vanaf het begin herhalen (capo betekent hoofd, bovenstuk) Dal Segno D.S. vanaf het teken herhalen Segno teken, bijvoorbeeld al fine tot aan het einde, slot subito sub. plotseling, ogenblikkelijk attacca meteen doorgaan, het volgende deel aan het voorafgaande vastmaken tutti allen obligaat obl. verplicht (uitgeschreven solopartij) Ima volta Fig. 7.3 Als je dit tegenkomt, speel dan de eerste maal de noten die onder het cijfer 1 staan, daarna herhaal je en sla je bij de herhaling het gedeelte onder het eentje over. Ga dan direct door naar de noten onder 2. IIa volta Fig. 7.3 Herhalingstekens Fig. 7.4 Het gedeelte tussen deze tekens moet worden herhaald. 8 boven of onder de sleutel Fig. 7.5 De klank is een octaaf hoger / lager dan de notatie. In het voorbeeld is in de G-sleutel telkens dezelfde b 1 genoteerd, in de F-sleutel steeds dezelfde d. Uitvoeringstechnieken Naam Afkorting Betekenis pizzicato pizz. getokkeld arco arc. gestreken (arco betekent boog, of strijkstok) con sordino sord. met demper (sordino betekent demper) vibrato met vibrato, schommeling in toonhoogte en/of toonsterkte glissando gliss. glijdende, snelle toonopeenvolging opwaarts of neerwaarts, bijvoorbeeld op de witte of zwarte toetsen, of op een harp Voorbeeld 7.6 arpeggio arp. de tonen van een akkoord worden niet tegelijk gespeeld, maar na elkaar; op de manier van een harp gespeeld gebroken akkoord, aangegeven door een onderbroken of doorgaande golvende lijn fuzz pedaal dat een elektrische gitaar scheurend laat klinken 7. Uitvoeringspraktijk