Overlevingstafels en longitudinale analyse

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Overlevingstafels en longitudinale analyse"

Transcriptie

1 9 Overlevigstafels e logitudiale aalyse Survival-aalyse / Duurmodelle Thaya Carolia, Léader Kuivehove e Ja va der Laa Statistische Methode () De Haag/Heerle,

2 Verklarig va tekes. = gegeves otbreke * = voorlopig cifer ** = ader voorlopig cifer = geheim = ihil = (idie voorkomed tusse twee getalle) tot e met (,) = het getal is kleier da de helft va de gekoze eeheid iets (blak) = ee cifer ka op logische grode iet voorkome 8 9 = 8 tot e met 9 8/9 = het gemiddelde over de are 8 tot e met 9 8/ 9 = oogstaar, boekaar, schoolaar ez., begied i 8 e eidiged i 9 6/ 7 8/ 9 = oogstaar, boekaar ez., 6/ 7 tot e met 8/ 9 I geval va afrodig ka het voorkome dat het weergegeve totaal iet overeestemt met de som va de getalle. Colofo Uitgever Cetraal Bureau voor de Statistiek Heri Faasdreef 3 49 JP De Haag Prepress Cetraal Bureau voor de Statistiek - Grafimedia Omslag TelDesig, Rotterdam Ilichtige Tel. (88) Fa (7) Via cotactformulier: Bestellige Fa (45) Iteret ISSN: Cetraal Bureau voor de Statistiek, De Haag/Heerle,. Verveelvoudigig is toegestaa, mits het CBS als bro wordt vermeld. 665 X-37

3 Ihoudsopgave. Ileidig op het deelthema...4. Cocepte e parameters va duurverdelige Overlevigstafels Kapla-Meier-schatter voor de survivalfuctie Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard Het vergelike va duurverdelige Parametrisch model voor de hazard Co-model / proportioal-hazard-model Logistisch model voor discrete dure Literatuur...4 3

4 . Ileidig op het deelthema. Algemee beschrivig e leeswizer.. Beschrivig va het deelthema Dit deelthema beschrift methode waarmee dure kue worde geaalyseerd. Ee duur ka gezie worde als de tid tusse twee gebeurteisse: geboorte/sterfte, otslag/vide ieuwe baa, huwelik/scheidig, etc. Eerzids worde methode besproke die ee beschrivig geve va de duurverdelig. Aderzids worde methode besproke die probere de duurverdelig te modellere e da vooral de ivloed va achtergrodkemerke op de duur. Hiermee kue vrage als: Lope bedrive uit klasse A ee grotere kas op faillissemet da bedrive uit klasse B?, Zitte vrouwe lager i de WW da mae?, beatwoord worde. Het grote probleem bi het aalysere va dure zit hem vooramelik i het feit dat bia altid de duur voor ee gedeelte va de populatie og iet is afgerod. Va deze obecte is de duur iet beked. Er is allee beked dat de duur lager is da ee bepaalde waarde. Aagezie dit meestal ee selectieve groep is, moete methodes die gebruikt worde voor het aalysere va dure deze gedeeltelike iformatie op éé of adere maier verwerke i hu schattige. De hier besproke methode doe dit... Probleme e oplossige Wat maakt omgaa met dure aders da het omgaa met bivoorbeeld het ikome va persoe? Me zou toch gewoo de gemiddelde duur kue uitrekee. Twee zake make de situatie iets igewikkelder. Te eerste, heeft me bia altid te make met cesurerig e trucatie, e te tweede, compliceert het tidsaspect, dat per defiitie ee rol speelt bi dure, het bepale va de populatie. Hieroder worde beide pute behadeld.... Cesurerig e trucatie I het algemee zal de periode waari me dure waareemt beperkt zi. Zo is aa de ee kat de waaremigsperiode i ieder geval beperkt tot het u. Va dure die op dit momet og iet zi afgeslote is de eidtid e daarmee de legte va de duur iet beked. Aa de adere kat wordt de waaremig i het algemee ook beperkt, bivoorbeeld doordat het register dat gebruikt wordt iet verder terug gaat. Me heeft dus te make met dure die og iet afgeslote zi. Het probleem dat daarbi optreedt is dat het i het algemee de lagere dure zi die og iet zi afgeslote. Deze iet-afgeslote dure kue dus iet buite de aalyse gehoude worde. 4

5 A C B? D? E F? T T waareemperiode Figuur... Mogelike waaremige aa dure. Op de horizotale as loopt de tid; de lie geve dure aa. Figuur.. toot de verschillede mogelikhede die kue optrede. De lie geve dure aa. De waareemperiode loopt va T tot T. Dure zoals A worde volledig waargeome. Bi B wordt de duur rechts gecesureerd: het eide va de duur wordt iet waargeome; er is allee beked dat de duur lager is da ee bepaalde waarde. Rechtse cesurerig komt i de praktik bia altid voor. Stel me is i geïteresseerd i de levesduur va persoe gebore i 97. Va de meeste persoe is i de duur og iet afgelope e is dus allee beked dat de duur lager is da 39 aar. Als me bi het bepale va het gemiddelde egeert dat er dure gecesureerd zi, zal het gemiddelde ooit meer da 39 kue zi, wat duidelik ee oderschattig is va de werkelike levesduur. Naast rechte cesurerig ka er atuurlik ook likse cesurerig optrede. Dit de situatie E. I dat geval is allee beked dat de duur bi het begi va de waareemperiode al begoe is, maar me weet iet hoelag de duur al bezig was aa het begi va de waareemperiode. Dit is ee va de verveledste gevalle, omdat zoder heel erg sterke aaames te doe er gee goede methode zi die hiermee kue omgaa. Gelukkig weet me i het algemee wel hoelag de duur al gaade was. Zo weet me bivoorbeeld wel de geboortedatum va persoe die gebore zi voordat het GBA beschikbaar kwam. Deze situatie wordt geschetst door C. Dit wordt (rechtse) trucatie geoemd. Ook immigratie is hier ee voorbeeld va: deze persoe hebbe ook al ee levesduur voordat ze i de populatie kome. Op zich is de duur dus beked va C e me zou dit dus gelik kue stelle aa A. Echter, er zi ook gevalle als D, die ook getruceerd zi, maar die geheel iet worde waargeome. Getruceerde dure die wel worde waargeome zulle i het algemee lager zi da getruceerde dure die iet worde waargeome. Me moet dus ee of adere correctie toepasse om te voorkome dat de legte va de dure wordt overschat. 5

6 Er zi atuurlik ook allerlei combiaties va likse e rechte cesurerig e trucatie mogelik, zoals F. Doordat cesurerig e trucatie i de praktik bia altid voorkome, moete bi het make va statistieke va dure altid methodes gebruikt worde die op éé of adere maier hiermee kue omgaa.... Populaties i de tid Doordat het proces dat me probeert te beschrive zich i de tid afspeelt, heeft ook de selectie i de tid va de populatie die me wil beschrive ee sterke ivloed op de uitkomste. Ee klei voorbeelde. Stel i ee ver lad met ee veel eevoudiger rechtssysteem krige veroordeelde of aar gevageisstraf of aar e lope straffe altid va auari tot 3 december. Ieder aar worde mese veroordeeld voor aar e mese tot aar. Wat is de gemiddelde gevageisstraf? Ituïtief zal me ( + )/(+)=5,5 aar zegge. Echter, als me de gevageispopulatie op ee bepaalde datum zou oderzoeke, komt me tot ee geheel ader resultaat. Op auari zitte er persoe met ee straf va aar. Verder zitte persoe die afgelope auari zi veroordeeld tot ee straf va aar, persoe die tot aar zi veroordeeld auari va het voorgaade aar, etc. Op auari zitte er i totaal dus persoe die zi veroordeeld tot aar i de gevageis. De persoe die op auari i de gevageis zitte zi dus gemiddeld tot ( + )/( +) = 9, aar veroordeeld. I het eerste geval bestaat de populatie uit persoe waarva de duur op ee bepaald momet begit: ee startcohort. I het tweede geval bestaat de populatie uit persoe die op ee bepaald momet i ee duursituatie zitte: populatie op peilmomet. I het algemee zal ee startcohort meer overeekome met wat me ituïtief verwacht da ee populatie op peilmomet. De duurverdelig horede bi ee startcohort geeft aa welke duur me ka verwachte als me ook i ee duursituatie terecht komt. Ee derde mogelikheid aast startcohort e populatie op peilmomet, is door te kike aar dure die bie ee bepaalde periode valle. Me kikt da iet aar de totale duur, maar allee aar het stuk duur dat bie de periode valt, of eigelik aar de kas op bivoorbeeld overlide bie de periode gegeve de leeftid. Ee voorbeeld hierva zi periodelevestafels welke i de demografie veel gebruikt worde....3 Leeswizer Voor het beschrive va duurverdelige zi ee aatal adere mate/fucties beschikbaar da de stadaard verdeligsfuctie, gemiddelde, mediaa, etc. Deze worde besproke i hoofdstuk. Deze mate zi ook odig om de methode besproke i de daarop volgede hoofdstukke te kue begripe. 6

7 De besproke methode kue i de eerste plaats oderscheide worde door de aaames die gedaa worde over de verdeligsfuctie. De iet-parametrische methode make gee aaames over de verdeligsfuctie. Dit heeft als voordeel dat de verdeligsfuctie beschreve wordt zoals hi wordt waargeome, maar deze methode zi mider toepasbaar als iet heel de verdeligsfuctie wordt waargeome e zi allee beschrived. Het is echter wel mogelik om te toetse of verdelige va elkaar verschille. Dit wordt besproke i hoofdstuk 6. De parametrische methode (parametrisch model voor de hazard, hoofdstuk 7, e het logistische model, hoofdstuk 9) eme aa dat de verdeligsfuctie ee bepaalde verdelig volgt die afhagt va bepaalde achtergrodkemerke va de obecte. Met de parametrische methode ka dus de ivloed va achtergrodkemerke op de duur bestudeerd worde. Daaraast kue deze methode, doordat de duurverdelig helemaal bepaald wordt, gebruikt worde om allerlei kemerke (zoals gemiddelde) va de verdelig af te leide. De semi-parametrische methode (het Comodel, hoofdstuk 8, e ook het logistische model, hoofdstuk 9, ka soms hieroder geschaard worde) modellere wel het effect dat achtergrodkemerke hebbe op de duurverdelig, maar ze probere zo weiig mogelik aaames te doe over de vorm va de duurverdelig. Deze methode kue dus vooramelik gebruikt worde om de ivloed va achtergrodkemerke op de duurverdelig te bestudere. Om tot schattige va bivoorbeeld gemiddelde of mediae dure te kome moete deze methode gecombieerd worde met iet-parametrische schatters zoals de Kapla- Meierschatter. I het algemee ka duur als ee cotiue variabele worde gezie. Zo is levesduur i dage praktisch gezie ee cotiue variabele. De meeste methode eme aa dat duur ee cotiue variabele is. Echter, me ka duur vaak ook zie als ee discrete variabele. Vaak komt dit doordat de auwkeurigheid waarmee de duur gemete wordt ee discretisatie veroorzaakt, zoals levesduur i dage. I ekele gevalle is de duur werkelik discreet, zoals het aatal sollicitatiebrieve dat iemad moet versture voordat hi wordt aageome. Overlevigstafels kue gebruikt worde om discrete dure te beschrive. Het logistische model ka gebruikt worde om discrete dure te modellere. De eigeschappe va de verschillede methode zi samegevat i tabel... 7

8 Tabel... Toepassigsmogelikhede voor de verschillede methode Methode Parametrisch Cotiu/discreet Overlevigstabels (hst.3) ee discreet Kapla-Meierschatter (hst. 4) ee cotiu Nelso-Aaleschatter (hst. 5) ee cotiu Vergelike duurverdelige (hst. 6) ee cotiu Parametrisch model (hst. 7) a cotiu Comodel (hst. 8) semi cotiu Logistisch model (hst. 9) semi/a discreet. Afbakeig e relatie met adere thema s Duurdata is ee vorm va logitudiale data. I dit deelthema wordt allee de aalyse e beschrivig va duurdata besproke. I de Methodereeks is er ee apart deelthema Overlevigstafels bie het thema Overlevigstafels e logitudiale aalyse. Ee aatal meer complee methode worde hier iet besproke, zoals Herhaalde gebeurteisse. Sommige gebeurteisse kue meerdere male optrede. Zo kue persoe meerdere kere werkloos worde. Als me specifiek geïteresseerd i het herhaald optrede zi de methode die hier beschreve worde iet geschikt. Compleere methode zi da odig. Vaak is het mogelik om dit probleem weg te defiiëre door bivoorbeeld te kike hoelag het duurt voordat persoe die i werkloos geworde zi voor het eerst ee baa vide. Competig risks. De methode besproke i dit deelthema gaa erva uit dat er slechts éé soort gebeurteis ka optrede. I het voorbeeld va werkloosheid kue mese werk vide of iactief worde. Als het odig is om oderscheid tusse beide gebeurteisse te make, zi competig risks modelle odig..3 Plaats i het statistisch proces Duuraalyses hebbe vooral ee plaats i de aalysestap va het proces. Daaraast kue de methodes ook diee als iput voor bivoorbeeld regressie-imputatie (zie thema Imputatie)..4 Defiities Zake als hazard, survivalfuctie etc. worde i het volgede hoofdstuk gedefiieerd. 8

9 . Cocepte e parameters va duurverdelige. Korte beschrivig I dit hoofdstuk worde iet zozeer methode besproke, maar verschillede parameters va duurverdelige waarmee duurverdelige kue worde aageduid, zoals de mediaa e het gemiddelde. Teves worde belagrike cocepte die veelvuldig gebruikt worde i de duuraalyse behadeld. Belagrike cocepte zi odermeer de survivalfuctie e de hazard. Methodes die i latere hoofdstukke worde besproke make uitvoerig gebruik va de cocepte e parameters die i dit hoofdstuk zulle worde besproke.. Toepasbaarheid I dit hoofdstuk worde verschillede populatieparameters waarmee duurverdelige kue worde aageduid besproke. Belagrike populatieparameters i de survivalaalyse zi het gemiddelde e de mediaa. Ook worde er cocepte besproke die gagbaar zi i de duuraalyse, maar mider gagbaar zi buite de duuraalyse. Me dekt aa de survivalfuctie, de hazardfuctie e de cumulatieve hazardfuctie..3 Uitgebreide beschrivig.3. Cotiue verdelige Ee erg belagrik begrip i de duuraalyse is de survivalfuctie. Stel f (t) is de kasdichtheidsfuctie va de stochast T. Merkt op dat t omdat dure iet egatief kue zi. De cumulatieve verdeligsfuctie F (t) is da gedefiieerd als t F ( t) = P( T t) = f ( )d. (.3.) De survivalfuctie wordt u als volgt gedefiieerd t S( t) = P( T t) = f ( d). (.3.) Voor de survivalfuctie geldt dat S ( ) = e S( ) limt S( t) ==. Ee praktische iterpretatie va de survivalfuctie is dat zi de fractie persoe aageeft die op tidstip t og gee gebeurteis hebbe odergaa. Stel dat me begit met persoe e dat a ee zeker tidstip t 5 mese uitgestroomd zi, da moete 9

10 er dus og 75 mese uitstrome. De survivalfuctie is u gelik aa.75, dus S(t)=.75. Ee ader belagrik cocept i de duuraalyse is de hazardfuctie h (t). De hazardfuctie is gedefiieerd als P( t T t + t T t) f ( t) h( t) = lim t =. (.3.3) t S( t) De hazardfuctie ka gezie worde als het mometae tempo waarmee ee gebeurteis optreedt op tidstip t, gegeve dat de gebeurteis iet opgetrede is voor tidstip t. De fucties f ( t), ( ts ), e h (t) kue oderlig i elkaar over worde geschreve. De volgede vergelikig geldt bivoorbeeld t S( t) = ep( h( )d). (.3.4) Het is u hadig om de cumulative hazardfuctie te defiiëre t H ( t) = h( )d. (.3.5) Het is u eevoudig i te zie dat S( t) = ep( ( th )). (.3.6) Teslotte ka f (t) uitgedrukt worde i h (t) op de volgede wize t f ( t) = h( t) ep( h( )d). (.3.7) Deze vergelikige like misschie op het eerste gezicht abstract, maar veel methode die og i de volgede hoofdstukke aa de orde kome make uitvoerig gebruik va deze vergelikige..3. Discrete modelle Als dure bivoorbeeld afgerod, gegroepeerd of uitgedrukt zi i het aatal keer dat ee bepaalde cyclus is opgetrede ka me gebruik make va discrete modelle. Stel dat de duur T de waardes t,, K ka aaeme met < tt. < L Stel verder dat de kasfuctie gelik is aa f ( t ) = P( T ) t ==,,K. (.3.8) t

11 De survivalfuctie is da gelik aa S( t) P( T t) f ( t ). (.3.9) : t De hazardfuctie is het discrete geval is t f ( t ) h( t ) P( T t T t ),,K. (.3.) S( t ) Net als i het cotiue geval kue f ( t), ( ts ), e h(t) i elkaar worde overgeschreve. Dit beteket dus ook dat het theoretische gezie iet uitmaakt welke va de fucties beschikbaar is om de duurverdelig eeduidig vast te legge. Verder geldt i het discrete geval dat f t ) S( t ) S( t ) e dit impliceert dat ( S( t ) h( t ),,K. (.3.) S( t ) Bovedie impliceert dit : t t S( t) ( h( t )). (.3.) De cumulatieve hazardfuctie is simpelweg gelik aa de som va de hazards H ( t) h( t ). (.3.3) : t t Ee adere defiitie va de cumulatieve hazardfuctie die gagbaar is H ( t) log ( ts ). (.3.4) Deze vergelikig maakt gebruikt va vergelikig (.3.)..4 Parameters va duurverdelige Verdelige worde gekemerkt door verschillede parameters. Ekele bekede parameters zi het gemiddelde e de mediaa. Bi duuraalyses wordt vaak vauit de survivalfucties gedacht. Daarmee wordt bedoeld dat de defiitie va de parameters vaak afgeleid is met behulp va de survivalfuctie. Hieroder worde verschillede voorbeelde hierva gegeve. Het pde kwatiel is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is aa p. if t : S t)( p. (.4.) p Ee belagrik kwatiel dat i de praktik veel wordt gebruikt is de mediaa. De mediaa is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is aa.5.

12 { t : ( ).5} ξ.5 = if ts. (.4.) Dit is dus de duur waarop S(t) va ee waarde groter da.5 aar ee waarde kleier da.5 sprigt. Adere veel voorkomede kwatiele zi.5 e.75. Het gemiddelde is gelik aa de oppervlakte oder de survivalfuctie µ = S( )dtt. (.4.3) Bi discrete verdelige gaat de itegraal over i ee som..5 Voorbeeld Hieroder ziet me ee typische survivalfuctie afgebeeld. Het is duidelik te zie dat de fuctie begit bi e eidigt bi. I de grafiek is met ee stippelli de mediaaξ. 5 aageve. De oppervlakte oder de grafiek is gelik aa het gemiddelde. S(t) ξ t

13 3. Overlevigstafels 3. Korte beschrivig De overlevigstafel ook sterftetafel geoemd is ee statistische beschrivig va het sterftepatroo i ee bevolkig (over de are hee) e geeft het aatal overlevede, de cumulatieve hazardfuctie e de hazard rates va de oderliggede bevolkig weer. I de demografie wordt de hazard gewoolik gedefiieerd als de kas dat iemad uitstroomt tusse e +, gegeve dat hi de duur gehaald heeft. h = Pr( T < + T ). (3..) Deze kas, weergeve i formule (3..), ka geschat worde door gebruik te make va het uitstroomtempo. Het uitstroomtempo m is gedefiieerd als het aatal persoe dat uitstroomt met ee duur tusse e + gedurede de periode ( D ) te dele door het aatal persooperiode dat risico heeft gelope bie deze duurcategorie e bie de periode ( L ), D m =. (3..) L Het aatal persoe dat aa het begi va het duuriterval dat loopt va tot + risico loopt om uit te strome i het iterval wordt gegeve door l. Het verwachte aatal persoe dat i het iterval uitstroomt, wordt dus gegeve door D = l h, (3..3) Stel dat de persoe die uitstrome tides het iterval dit gemiddeld a a doe. Het aatal persooperiode i het betreffede iterval wordt da gegeve door L = ( l D ) + a D = l { ( a ) h. (3..4) } Door vergelikig (3..), (3..3) e (3..4) te combiere e op te losse voor wordt de relatie tusse de hazard e het uitstroomtempo gevode: h, h m =. (3..5) ( + a ) m Als a gelik is aa ee half, i.e. als wordt aageome dat de persoe die uitstrome tides het iterval dit gemiddeld halverwege het iterval doe, wordt de actuariële schatter voor de hazard verkrege. Deze hazard ka omgereked worde aar de survivalfuctie: S( t) = ( ). : < t h 3

14 3. Toepasbaarheid De overlevigstafel is éé va de oudste e meest gebruikte methode om levesdure te beschrive (zie bivoorbeeld Berkso e Gage, 95; Cutler e Ederer, 958; Geha, 969). Het is i weze ee aagepaste e uitgebreide versie va de frequetietabel e ka goed toegepast worde i geval va gecesureerde data. De duurverdelig wordt verdeeld i ee bepaald aatal itervalle. Voor elk iterval ka vervolges het aatal of de fractie idividue bepaald worde die aa het begi va het iterval i leve zi, de fractie waarva de duur i het iterval beëidigd wordt (termial evets, sterfte) e het aatal gecesureerde gevalle. 3.3 Uitgebreide beschrivig 3.3. Theoretische achtergrod I het algemee wordt er ee oderscheid gemaakt tusse verschillede soorte overlevigstafels. Deze overlevigstafels worde oderscheide op basis va de samestellig va de oderliggede populatie (bevolkigstafels vs. ervarigstafels) e de maier waarop deze populatie wordt waargeome (geeratietafels vs. periodetafels). Hieroder worde ee aatal overlevigstafels besproke (zie ook Wolthuis e Bruig, 996). Geeratietafels (Cohort-tafels) Geeratietafels of cohorttafels beschrive de sterfte i ee bepaalde geboortecohort. Hiervoor wordt het sterfteverloop va ee groep persoe vaaf geboorte, va aar tot aar gevolgd totdat de laatste persoo va deze groep is overlede. Op grod va de waargeome sterftequotiëte ka ee sterftetafel worde gecostrueerd. Deze aapak leidt ertoe dat er bi ieder geboorteaar ee aparte sterftetafel hoort. Omdat de sterftetafel pas gecostrueerd ka worde op het momet dat de laatste persoo va de desbetreffede geeratie of geboortecohort is overlede, kue de gegeves va de verkrege sterftetafel sterk verouderd zi. Periodetafels Periodetafels worde gecostrueerd op basis va ee sythetische geboortecohort, door waaremige te verzamele voor ee bepaald kalederaar of meerdere kalederare same. Voor ieder kalederaar uit de waaremigsperiode worde eearige sterftequotiëte qˆ waargeome voor alle leeftide. Het sterftequotiët qˆ voor de gehele waaremigsperiode wordt da vaak gelik gesteld aa het rekekudige gemiddelde va de sterftequotiëte voor de afzoderlike are. Op 4

15 basis va deze (gemiddelde) sterftequotiëte ka ee sterftetafel worde gecostrueerd. Vaak worde de sterftequotiëte eerst og afgerod om statistische afwikige te elimiere ( mortality graduatio ). Op basis va de samestellig va de waargeome groep of populatie ka voor de periodetafels ee oderscheid worde gemaakt i ervarigstafels e bevolkigstafels. Ervarigstafels Ee ervarigstafel wordt samegesteld aa de had va het sterfteverloop oder de verzekerde va ee verzekerigsmaatschappi e wikt vaak af va het sterfteverloop va de bevolkig. Het doel hierbi is om autoselectie va de kat va de verzekerde i kaart te brege. I plaats va éé sterftequotiët dat voor eeieder gelik is, wordt hier verodersteld dat sprake is va ee zekere variatie i sterftequotiëte per leeftid. I de praktik blikt amelik dat mese, ook al hebbe ze ee gelike leeftid, toch va elkaar verschille wat betreft sterfterisico. Dit verschil wordt o.a. veroorzaakt door erfelike aaleg, leefwize e woo- e werkomgevig va de persoo. Bevolkigstafels I het algemee geldt dat deze sterftetafels worde gecostrueerd met sterftecifers va ee lad of va ee gedeelte va ee lad, waarva de sterfte gedurede ee aatal are is waargeome. Hierbi wordt traditioeel ee oderscheid gemaakt tusse mae e vrouwe. Voor elk aar wordt voor iedere leeftid afzoderlik ee sterftequotiët bereked. Bi het berekee va deze sterftequotiëte wordt er rekeig mee gehoude dat i de loop va het aar de bevolkigssamestellig veradert door immigratie e emigratie. Dit is belagrik omdat allee de mese die i het lad woe, worde opgeome i deze sterftetafels. Voor iedere leeftid wordt het gemiddelde geome va de bibehorede waargeome sterftequotiëte i de periode, waarmee vervolges de bevolkigstafel wordt gecostrueerd Stadaard overlevigstafel aalyse I de praktik zi er verschillede methode om de bevolkigstafels op te stelle. I deze paragraaf wordt de stadaardmethode, gebaseerd op cohorttafel, beschreve. Ee cohort wordt gedefiieerd als ee groep idividue die ee willekeurige steekproef vormt va ee populatie. Zoals eerder vermeld ka de overlevigstafel worde gezie als ee uitbreidig va de relatieve frequetietabel voor gecesureerde data, iettemi met de overlevigstafel ligt de adruk op het schatte va de voorwaardelike of coditioele sterftekas i ee iterval gegeve overlevig aa het begi va het iterval, e de overlevigskas tot het eid va het 5

16 iterval. Voor ee uitgebreider uitleg va oderstaade beschrivig, zie Lawless (3). Stel, de tid is verdeeld i k + itervalle I = t, t ) voor =,..., k + e [ t =, t = T e = k t k +, waar T ee bovelimiet is voor de observaties. Voor elke persoo uit ee willekeurige steekproef va grootte, wordt of de levesduur d of de cesurerigsmomet/tid L geobserveerd. Echter, voor de gegroepeerde data is allee beked i welk iterval bepaalde idividue sterve of worde gecesureerd e iet de eacte levesdure e cesurerigstide. De data bestaat da uit het aatal levesdure e cesurerigstide die i elk iterval voorkome. Voor het laatste iterval I k+ wordt verodersteld dat het allee levesdure bevat, aagezie alle overlevede op tidstip T i het iterval I k+ kome te overlide. Da kue de volgede variabele gedefiieerd worde: N : de omvag va de risicopopulatie op tidstip leve e iet gecesureerd), I t (i.e. aatal persoe i D : aatal dode i iterval I = t, t ) (i.e. aatal levesdure bie desbetreffede iterval), [ W : aatal cesurerigsgevalle i I = t, t ) (i.e. withdrawals ). [ Hieruit volgt, N = e = N D W N voor =,..., k +. Gegeve de survivalfuctie S (t) voor de duurverdelig, worde de (coditioele) overlevigs- e bibehorede sterftekase gedefiieerd als: P = S( t ) : kas op overlevig voorbi tidsiterval I P p = : kas op overlevig voorbi I, gegeve overlevig op I P q = p : kas op sterfte i I, gegeve overlevig op I voor =,..., k +. Verder geldt P =, P + = e =. Uit bovestaade k q k + volgt dat de ovoorwaardelike of ocoditioele overlevigskas herschreve als P ka worde P = p p p voor =,..., k +. (3.3.) Dat is, de kas op overlevig voorbi iterval I is gelik aa het product va de coditioele overlevigskase tot e met I. Dit resultaat vormt de basis voor de overlevigstafelbeaderig voor survivalaalyse. Bi de overlevigstafelaalyse worde de parameters q e p geschat e vervolges wordt met behulp va 6

17 vergelikig (3.3.) P geschat. De resultate worde da getood i de vorm va ee tabel, die de oorsprokelike data e de schattige q ˆ e P ˆ weergeeft. I het algemee bevatte de kolomme dus, voor elk iterval I, de waarde voor N, D, W, q ˆ e P ˆ. Hieroder worde de twee gevalle besproke voor het berekee va q ˆ, amelik bi afwezigheid va cesurerig (i.e. W = ) e i het geval va cesurerig ( W > ) Schattig q als W = Als ee bepaald iterval I gee cesurerigsgevalle bevat, wordt q geschat als qˆ D =. (3.3.) N Dit volgt direct uit de defiitie va multiomiaal verdeeld met kasverdelig gegeve door q. I dit geval is het aatal dode D Pr( D,..., D ) = k k +! D π (3.3.3) D! D! D! k k + = met D Dk + = e π π k + =. De parameter gelik aa π geeft de ocoditioele kas op sterfte i iterval π I weer e is = P P = p p q. (3.3.4) Hieruit volgt ee likelihoodfuctie die proportioeel is aa k + k + D N D D = = (3.3.5) L ( p p q ) = ( p q ) waarbi N = D D. D Deze fuctie is maimaal voor qˆ ˆ = p =, zolag N >, N {,..., k + }. Als N = voor ee bepaalde, da bestaat er gee maimumlikelihood-schatter voor q (de bibehorede parameters q e p kome iet voor i de likelihoodfuctie) e wordt verodersteld dat q ˆ =. De maimumlikelihood-schatter voor Pˆ pˆ pˆ N P is gelik aa: + = = (3.3.6) 7

18 waarbi N = N + D. Dit laatste volgt uit de aaame dat p ˆ = als N =. N + is biomiaal verdeeld, met kasverdelig Pr( N + ) = P ( P ). (3.3.7) De verdelig va P ˆ volgt da simpelweg uit bovestaade, met verwachtigswaarde e variatie gelik aa respectievelik. E( Pˆ ) = P e ˆ P ( P ) Var( P ) =, Schattig q als W > I geval va cesurerig, zal de schatter oderschatte, aagezie de gecesureerde persoe i qˆ D = de echte waarde q N I zoude kue zi gestorve vóór het eide va het iterval als er gee cesurerig had plaatsgevode. De meest gebruikte e voor de had liggede schattig voor q is da qˆ D D = = N N W. (3.3.8) Vergelikig (3.3.8) vidt me door aa te eme dat gecesureerde persoe gemiddeld gedurede de helft va ee iterval behore tot de risicopopulatie. Met adere woorde wordt er aageome dat de cesurerige uiform verdeeld zi over het iterval Alteratieve overlevigstafelaalyse Ee traditioele methode om overlevigstafels te costruere aast de eerder beschreve stadaardmethode, staat beked als de methode va Chiag (96a, b, 968, 984). Bi de methode va Chiag is keis va de cesurerigstide va de duur va alle waargeome idividue, iclusief sterfte vereist. De sterftetafel volges de methode va Chiag wordt aa de had va ee aatal variabele opgebouwd, die elk ee kolom va de tafel weergeve. I het vervolg wordt elk va deze variabele va de overlevigstafel gedefiieerd e zal de relatie t.o.v. de overige groothede worde verklaard. Ee uitgebreide beschrivig va de toepassig va deze methode op het CBS is te vide i Va der Meule (9). De eerste kolom va ee overlevigstafel bevat de leeftid. De hoogst voorkomede leeftid wordt aageduid met. Alle leeftide zi als ee iterval 8

19 gedefiieerd bestaade uit twee opeevolgede getalle, amelik [, + ) behalve. De hoogst voorkomede leeftid is ee ope iterval. I de meeste gevalle wordt gelik gesteld aa aar. De leeftidspecifieke sterftequotiëte qˆ worde i de tweede kolom weergegeve. Het geschatte sterftequotiët ka worde bepaald volges vergelikig (3.3.9) qˆ d m = = voor =,, K,. l + m ( - a ) (3.3.9) Hierbi is d gelik aa het aatal persoe dat komt te overlide op het leeftidsiterval [, + ) e l is het aatal overlevede op leeftid. De variabele m is de sterfte-itesiteit op leeftid e is de fractie die geleefd werd door de persoe die i het leeftidsiterval [, + ) zi kome te overlide. Deze twee groothede zi i kolom vif e zes opgeome e worde i het vervolg uitgelegd. Het sterftequotiët qˆ geeft de coditioele kas weer op sterfte i iterval [, + ), gegeve overlevig aa het begi va het iterval. Als het sterftequotiët va leeftid beked is, ka hieruit het overlevigsquotiët voor leeftid worde afgeleid a pˆ = qˆ voor =,, K,. (3.3.) De derde kolom geeft per leeftid het aatal levede l op leeftid aa. De sterftetafels zi i het algemee iet gebaseerd op waaremige va ee werkelike groep ularige, maar op ee fictieve groep ularige. Deze fictieve groep va ularige (= l ) wordt ook wel de radi va de sterftetafel geoemd. De radi va ee sterftetafel wordt willekeurig gekoze e ka dus verschille va adere sterftetafels. Meestal is de radi ee veelvoud va ee macht va tie, bivoorbeeld. De fictieve groep ularige wordt vervolges gevolgd tot e met de laatste levede. Het aatal waargeome levede va leeftid vermeigvuldigd met het overlevigsquotiët va die leeftid levert het aatal persoe dat éé aar later og i leve is, ofwel l ˆ + = p l voor =,, K, -. (3.3.) Hiermee ka het aatal persoe d dat komt te overlide op het leeftidsiterval [, + ) bereked worde volges d = qˆ l voor =,, K, -. (3.3.) Dit ka ook i terme va het overlevigsquotiët worde uitgedrukt. Als het sterftequotiët i bovestaade vergelikig wordt vervage door het overlevigsquotiët da leidt dit tot de volgede relatie 9

20 = l pˆ ) = l pˆ l = l l. (3.3.3) d ( + Hieruit volgt dat het aatal overlidesgevalle i de groep -arige gelik is aa het verschil tusse het aatal levede va leeftid e het aatal levede are later. De variabele l e d zi afhakelik va de radi e kome da ook iet overee met de werkelike geobserveerde data. Ze geve ekel het aatal levede e het aatal overledee voor de sterftetafel met radi l weer. I de vifde kolom staat de fractie a. Dit is de fractie va het leeftidsiterval [, + ) die de overlede persoe d gemiddeld hebbe geleefd. Alle d persoe zi tides het iterval [, + ) kome te overlide e hebbe dus complete are geleefd plus ee fractie va het het iterval [, + ). Voor iedere leeftid wordt het gemiddelde va deze fracties weergegeve door De sterfte-itesiteit waargeome sterfte waargeome levesare vergelikig. a. m wordt bepaald door het quotiët te eme va de d bie het leeftidsiterval [, + ) e het aatal L i de cohort i het iterval. Dit leidt tot oderstaade m d = voor =,, K,. L (3.3.4) Het aatal geleefde are L bie het leeftidsiterval, ) [ + is i kolom zeve opgeome. Elk persoo die aa het eid va het iterval [, + ) og i leve is, levert ee bidrage va aar aa overlide bie dit iterval gemiddeld ee fractie voor =,, K, -: L, terwil elk persoo die komt te a bidraagt. Hieruit volgt L ( l d ) + d = a (3.3.5) De eerste term aa de rechterkat va de bovestaade vergelikig geeft het totale l d. De tweede aatal are dat wordt geleefd door de levede, amelik ( ) term geeft het aatal aar weer dat werd geleefd door de d overledee. De hoogstvoorkomede leeftid ω i de sterftetafel is ee ope iterval.voor dit iterval wordt L bereked op basis va de sterfte-itesiteit voor de persoe vaaf leeftid. De berekeig va L geschiedt volges: l L =. (3.3.6) m Voor de hoogst voorkomede leeftid i de sterftetafels is het aatal geleefde are bie de leeftidsiterval gelik aa het quotiët va het aatal levede op

21 leeftid e de sterfte-itesiteit op leeftid. Met L ka het totale aatal are T, geleefd door de persoe vaaf leeftid, i kolom acht weergegeve. Deze grootheid is belagrik voor de berekeig va de levesverwachtig. T is gelik aa de som va het aatal geleefde are i elke leeftidsiterval vaaf leeftid : T = L + L+ + K + L voor =,, K,. (3.3.7) Uitgedrukt i terme va T + : T = L + T+ voor =,, K, -. (3.3.8) I de laatste kolom wordt de resterede levesverwachtig ê voor leeftid vermeld. Dit getal geeft het gemiddeld aatal are weer dat ee persoo met leeftid zal leve. De levesverwachtig wordt als volgt bereked: eˆ T = voor =,, K,. l (3.3.9) Als de leeftid hierbi wordt opgeteld levert dit de levesverwachtig vaaf geboorte op. 3.4 Voorbeeld Hieroder is ee overlevigstafel te zie zoals deze op het CBS wordt gepubliceerd. I deze tabel zi iet alle kolomme volges de methode va Chiag vermeld. De eerste kolom geeft leeftid ( ) weer. I de tweede kolom is de sterftekas ( qˆ ) opgeome. De derde e vierde kolomme vermelde respectievelik het aatal levede ( l ) e overledee ( d ). Teslotte geeft de laatste kolom de resterede levesverwachtig weer ( ê ). Overlevigstafels; geslacht e leeftid Vrouwe Leeftid Sterftekas Levede Overledee Levesverwachtig (aar) (aatal) (aatal) (aar) , , , , , , , , , , , ,

22 3.5 Kwaliteitsidicatore Schattige voor de variatie va de stadaardschatters q ˆ, p ˆ e P ˆ worde gegeve door de formules die zi afgeleid door Greewood (96). I dit geval geldt: var ˆ ( pˆ ) = pˆ qˆ N (3.5.) e qˆ ˆ q var ˆ ( qˆ ) = N (3.5.) Hieruit volgt dat ˆ ˆ qˆ qˆ ˆ qˆ var ˆ ( P ) P P i i i = = i= ( qˆ ) i ˆ i Ni = Ni pi. (3.5.3) I het speciale geval waarbi W =, ka bovestaade gesimplificeerd worde tot ˆ ( ˆ ˆ P P ) var ˆ ( P ) = (3.5.4) Betrouwbaarheidsitervalle voor Pˆ = Sˆ ( a ) volge da direct uit de stadaard theorie voor de biomiale verdelig. De betrouwbaarheidsitervalle voor de geschatte sterftequotiëte volges de methode va Chiag zi symmetrisch e gebaseerd op de aaame dat leeftidsspecifieke mortaliteit biomiaal verdeeld is (Chiag, 984). De variatie va q ˆ is da asymptotisch ormaal verdeeld e ka geschat worde met qˆ ( ˆ q) var( ˆ qˆ ) =. (3.5.5) D Het ( α)% betrouwbaarheidsiterval zou dus geschat kue worde met qˆ ± z var( qˆ ), (3.5.6) ˆ α waarbi de is het α percetiel va de stadaard ormale verdelig. z α

23 4. Kapla-Meier-schatter voor de survivalfuctie 4. Korte beschrivig De Kapla-Meier-schatter geeft ee iet-parametrische schattig va de survivalfuctie. Deze ka vervolges gebruikt worde om bivoorbeeld de mediae of gemiddelde duur uit te rekee. 4. Toepasbaarheid De Kapla-Meier-schatter is te gebruike voor het schatte va de survivalfuctie voor cotiue dure. Schattige va bivoorbeeld de gemiddelde of mediae duur kue gebaseerd worde op de Kapla-Meier-schatter. Aagezie de Kapla-Meier-schatter iet parametrisch is, worde er gee aaames gedaa over het verloop va de duurverdelig. Het adeel hierva is dat het beperkt mogelik is om de ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur te bestudere. Het is atuurlik wel mogelik om voor verschillede groepe de survivalfuctie te schatte e deze met elkaar te vergelike. Dit is het oderwerp va hoofdstuk 6. De schatter is dus vooral beschrived te gebruike. De Kapla-Meier-schatter is gebaseerd op de aaame va iet-iformatieve cesurerig, wat ihoudt dat keis va het cesurerigstidstip gee etra iformatie geeft over de overlevigskase op ee tidstip a cesurerig aaemed dat de persoo iet gecesureerd is. Aa deze aaame wordt bivoorbeeld iet voldaa als persoe die i ee slechte gezodheidstoestad verkere vaker worde gecesureerd da persoe die gezod zi. Als iet aa de voorwaarde is voldaa zi de schatters iet zuiver. 4.3 Uitgebreide beschrivig Stel we hebbe idividue e er zi k ( k ) verschillede tidstippe t << < t K t k waarop gebeurteisse plaatsvide. Er kue meerdere gebeurteisse plaatsvide op ee tidstip t ; d is het aatal gebeurteisse dat plaatsvidt op t. De Kapla-Meier-schatter is gedefiieerd als: d S ˆ ( t) =, (4.3.) : t < t waarbi het aatal persoe is dat risico loopt op t. Dit is het aatal persoe dat ee duur heeft lager of gelik aa t e og iet gecesureerd is voor t. Cesurerig wordt dus verwerkt i : tot het cesurerigsmomet telt ee persoo mee i daara iet meer. Op het momet va cesurerig daalt. Als ee persoo gecesureerd is op ee tidstip t e er vidt ook ee gebeurteis plaats op tidstip t da wordt aageome dat de cesurerig et iets a t 3

24 plaatsvidt. De persoo wordt da dus tot de risicogroep gereked op t. I feite wordt dus aageome dat de duur va de persoo lager is da t, wat wel zeer waarschilik is voor iemad die op t wordt gecesureerd. Als de lagste waargeome duur gecesureerd is, da is de schatter gedefiieerd tot dit cesurerigsmomet. De schatter ka gezie worde als gebaseerd op vergelikig (.3.), waar de survivalfuctie ook wordt gegeve als ee product va éé mi de hazard. Hier wordt de hazard geschat met d /, het aatal gebeurteisse gedeeld door het aatal persoe dat ee gebeurteis zou kue odergaa. De Kapla-Meier-schatter is oder vri algemee voorwaarde ee cosistete schatter va de survivalfuctie (de schattig adert de werkelike survivalfuctie als ). Door gebruik te make va vergelikig (.3.6) ka de schatter ook gebruikt worde om ee schattig te verkrige va de cumulatieve hazard: ˆ H KM ( Sˆ( t) ) ( t) = log. (4.3.) Het subscript KM wordt gebruikt om ee oderscheid te make met de i het volgede hoofdstuk besproke Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard. Het is echter iet goed mogelik om de Kapla-Meier-schatter te gebruike voor ee schattig va de hazard. Het aatal gebeurteisse d op ee tidstip t is vaak klei, waardoor de schattig ogal sterk fluctueert. Sommige pakkette (waaroder STATA) kue wel ee soort gladgestreke schattig geve die allee gebruikt ka worde om kwalitatief aar de data te kike. De mediaa is gedefiieerd als de kleiste waarde va t waarvoor S(t) kleier of gelik is da.5 is e ka dus makkelik uit de Kapla-Meier-schatter geschat worde. ˆ 5 { t : ˆ( ).5} ξ. = if ts. (4.3.3) Dit is dus de duur waarop S ˆ( t ) va ee waarde groter da.5 aar ee waarde kleier da.5 sprigt. Het gemiddelde wordt geschat door de oppervlakte oder de geschatte survivalfuctie. T µ ˆ = Sˆ( t)dt, (4.3.4) waari T de lagste duur is die is waargeome. Als de lagste duur ee gebeurteis betreft, da bereikt S ˆ( t ) daar ul e is µˆ ee zuivere schatter. Als de lagste duur ee cesurerig betreft da bereikt S ˆ( t ) ul iet e zal µˆ ee oderschattig geve va het werkelike gemiddelde. 4

25 Kapla-Meier survival estimate aalysis time 95% CI Survivor fuctio Figuur 4.4. Kapla-Meier-schatter va de survivalfuctie voor werkloosheidsuitkerigsdure i dage. Het betrouwbaarheidsiterval is i gris weergegeve (door de grote hoeveelheid data is het betrouwbaarheidsiterval dermate klei dat het slecht te zie is). De groee streepes geve cesurerige aa. 4.4 Voorbeeld Figuur 4.4. toot de Kapla-Meier-schatter voor werkloosheidsuitkerige. Duidelik is te zie dat het meredeel va de persoe ee duur heeft kleier da ee aar. De mediaa is 97 dage. Aagezie dit ee grote dataset betreft, likt de schatter cotiue. Echter, de survivalfuctie is, zoals uit vergelikig (4.3.) blikt, ee (rechtscotiue e liksgelimiteerde) stapfuctie, die iedere keer als er ee gebeurteis optreedt ee stap aar beede gaat. 4.5 Kwaliteitsidicatore De variatie va de Kapla-Meier-schatter wordt gegeve door de formule va Greewood (Lawless, 98) { Sˆ( t) } d v âr = Sˆ( t). (4.5.) : t < t ( d ) De schattig S ˆ( t ) is asymptotisch ormaal verdeeld. Het ( α)% betrouwbaarheidsiterval zou dus geschat kue worde met 5

26 { Sˆ( )} Sˆ( t) ± z α vâr t, (4.5.) de waari z α het α percetiel is va de stadaard ormale verdelig. Echter om te zorge dat het betrouwbaarheidsiterval bie het iterval [,] blift wordt meestal ee trasformatie toegepast. ep ± z { } ( ) α vâr Sˆ( t) Sˆ( t) log Sˆ( t) S ˆ( t). (4.5.3) Voor het bepale va ee ( α)% betrouwbaarheidsiterval voor ξ. 5 wordt gebruik gemaakt va ideeë va Brookmeyer e Crowley (98). Zi otwikkelde ee betrouwbaarheidsiterval op basis va hypothesetoetse. Als iterval eemt me alle waardes va ξ.5 die iet verworpe zulle worde als me de ulhypotheses ξ.5 = ξ.5 test tege de alteratieve hypothese ξ.5 ξ.5 met ee obetrouwbaarheidsdrempel va α. Meer formeel bestaat het betrouwbaarheidsiterval uit alle waardes va ξ.5 die voldoe aa g( Sˆ( ξ.5 )) g(.5) g ( Sˆ( ξ )) Sˆ( ξ )ˆ( τ ξ z ) α. (4.5.4) waarbi g ee ader te bepale fuctie is, zoals g() = of g() = log(-log()) wat meestal gebruikt wordt. De odergres va het betrouwbaarheidsiterval wordt bepaald door de kleiste waarde voor t te kieze waarvoor geldt dat ep z vâr{ ˆ( )} ( ˆ( ) log ˆ( )) α S t S t S t S ˆ( t).5. (4.5.5) Voor de bovegres va het betrouwbaarheidsiterval kiest me de kleiste waarde t waarvoor geldt dat ep + z vâr{ ˆ( )} ( ˆ( ) log ˆ( )) α S t S t S t S ˆ( t).5. (4.5.6) De variatie voor het gemiddelde wordt gegeve door Klei e Moeschberger 3, paragraaf 4.5, k T d i Sˆ( t)dt i= ti i ( i ( µ ˆ ) = var, (4.5.7) d ) waaruit het ( α)% betrouwbaarheidsiterval geschat ka worde door ˆ ( µ ˆ ) i µ ± z α var. (4.5.8) 6

27 5. Nelso-Aale-schatter voor de cumulatieve hazard 5. Korte beschrivig De Nelso-Aale-schatter geeft ee iet-paramatrische schattig va de cumulatieve hazard. Deze ka vervolges gebruikt worde om bivoorbeeld de mediae of gemiddelde duur uit te rekee. 5. Toepasbaarheid De Nelso-Aale-schatter is te gebruike voor het schatte va de cumulatieve hazard voor cotiue dure. Schattige va bivoorbeeld de gemiddelde of mediae duur kue gebaseerd worde op de Nelso-Aale-schatter. Aagezie de Nelso-Aale-schatter iet parametrisch is, worde er gee aaames gedaa over het verloop va de duurverdelig. Het adeel hierva is dat het beperkt mogelik is om de ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur te bestudere. Het is atuurlik wel mogelik om voor verschillede groepe de survivalfuctie te schatte e deze met elkaar te vergelike. Het vergelike va survivalfucties wordt besproke i hoofdstuk 6. De schatter is dus vooral beschrived te gebruike. De Nelso-Aale-schatter is gebaseerd op de aaame va iet-iformatieve cesurerig, wat ihoudt dat keis va het cesurerigstidstip gee etra iformatie geeft over de overlevigskase op ee tidstip a cesurerig aaemed dat de persoo iet gecesureerd is. Aa deze aaame wordt bivoorbeeld iet voldaa als persoe die i ee slechte gezodheidstoestad verkere vaker worde gecesureerd da persoe die gezod zi. Als iet aa de voorwaarde is voldaa zi de schatters iet zuiver. 5.3 Uitgebreide beschrivig Stel we hebbe idividue e er zi k ( k ) verschillede tidstippe t < t K << t k waarop gebeurteisse plaatsvide. Er kue meerdere gebeurteisse plaatsvide op ee tidstip t ; d is het aatal gebeurteisse dat plaatsvidt op t. De Nelso-Aale-schatter is gedefiieerd als: d H ˆ ( t) =. (5.3.) : t < t t waarbi het aatal persoe is dat risico loopt op t. Dit is het aatal persoe dat ee duur heeft lager of gelik aa t e og iet gecesureerd is voor t. Cesurerig wordt dus verwerkt i : tot het cesurerigsmomet telt ee persoo mee i daara iet meer. Op het momet va cesurerig daalt. 7

28 Als ee persoo gecesureerd is op ee tidstip t e er vidt ook ee gebeurteis plaats op tidstip t da wordt aageome dat de cesurerig et iets a t plaatsvidt. De persoo wordt da dus tot de risicogroep gereked op t. I feite wordt dus aageome dat de duur va de persoo lager is da t, wat wel zeer waarschilik is voor iemad die op t wordt gecesureerd. Als de lagste waargeome duur gecesureerd is, da is de schatter gedefiieerd tot dit cesurerigsmomet. Door gebruik te make va vergelikig (.3.6) ka de schatter ook gebruikt worde om ee schattig te verkrige va de survival fuctie: ˆ S FH ( H ˆ ( t) ) ( t) = ep. (5.3.) Deze schatter voor de survivalfuctie wordt ook wel de Flemmig-Harrigtoschatter geoemd. Vadaar dat het subscript FH gebruikt wordt. Voor grote datasets ( ) is de Flemmig-Harrigto-schatter gelik aa de Kapla-Meierschatter. Het verloop va de hazard ka gemakkeliker gezie worde met de cumulatieve hazard da met de survivalfuctie. Ee costate hazard geeft ee lieaire cumulatieve hazard; ee toeemede hazard ee covee cumulatieve hazard e ee afemede hazard ee cocave cumulatieve hazard. 5.4 Voorbeeld Nelso-Aale cumulative hazard estimate aalysis time 95% CI Cumulative hazard Figuur 5.4. Nelso-Aale-schatter va de cumulatieve hazard voor werkloosheidsuitkerigsdure i dage. Het betrouwbaarheidsiterval is i gris weergegeve (door de grote hoeveelheid data is het betrouwbaarheidsiterval dermate klei dat het slecht te zie is). De groee streepes geve cesurerige aa. 8

29 Figuur 5.4. toot de Nelso-Aale-schatter voor werkloosheidsuitkerige. De cumulatieve hazard is duidelik cocaaf: aarmate persoe lager ee werkloosheidsuitkerig hebbe eemt de kas om uit de werkloosheidsuitkerig te strome af. De kas op uitstrome eemt a 6 aar (ogeveer dage) sterk toe. Dit wordt veroorzaakt doordat de legte va de duur wettelik beperkt is. 5.5 Eigeschappe Op theoretische grode ka er iet echt ee voorkeur aa de Nelso-Aale-schatter of Kapla-Meier-schatter gegeve worde. Voor grote datasets geve beide ageoeg dezelfde uitkomste. 5.6 Kwaliteitsidicatore De variatie va de Nelso-Aale-schatter wordt gegeve door (Klei e Moeschberger, 3) ( Hˆ ( t) ) = d v âr. (5.6.) : t < t t Voor variaties e betrouwbaarheidsitervalle voor overige statistieke gebaseerd op de Nelso-Aale-schatter zie paragraaf

30 6. Het vergelike va duurverdelige 6. Korte beschrivig I dit hoofdstuk worde verschillede toetse besproke die gebruikt kue worde om duurverdelige te vergelike. 6. Toepasbaarheid Deze methode kue gebruikt worde om te toetse of groepe met verschillede achtergrodkemerke sigificat verschillede duurverdelige hebbe. Zo ka me bivoorbeeld toetse of persoe met ee opleidig ee kortere uitkerigsduur hebbe da persoe zoder opleidig. 6.3 Uitgebreide beschrivig Er zi verscheidee toetse die gebruikt kue worde. We zulle toetse bespreke die het meest i de praktik gebruikt worde. Dit zi de volgede toetse: lograk-toets, Wilcoo-toets e de Taroe-Ware-toets. Adere meer specifieke toetse ka me vide i Lawless (3). I het algemee is het weselik om de duurgegeves aa ee beschrived oderzoek te oderwerpe voordat me gaat toetse. Het is verstadig om ee grafiek te make va de survivalfucties va de verschillede groepe die me west te vergelike. Teves is het aa te rade om op zi mist de schattig va de mediaa e het gemiddelde met hu variatie e betrouwbaarheidsiterval op te vrage. Bovedie is het belagrik om te bekike wat het cesurerigspatroo is va de verschillede groepe die vergeleke diee te worde. I ieder geval moet het percetage cesurerige per groep beked zi. Stel dat het aatal persoe is dat risico loopt op t. De riskset wordt aagegeve door. Stel verder dat er k ( k ) verschillede tidstippe t < t K << tk worde waargeome waarop gebeurteisse plaatsvide e dat we r groepe met elkaar wille vergelike. De toetsigsgroothede va de verschillede toetse kue i ee zelfde vorm worde geschreve. De toetse verschille allee maar i het soort gewicht dat gekoze wordt. De toetsigsgrootheid is waarbi u ~ χ r u V. (6.3.) k u = W ( t )( d E, K, dr Er). (6.3.) = 3

31 met d r als het aatal gebeurteisse i groep r op tidstip t, E r het verwachte aatal gebeurteisse i groep r op tidstip t e W(t ) het gewicht dat bi ee specifieke toets hoort op tidstip t. Verder is V ee r r covariatie matri met elemete V il k W ( t ) d ( i ( ) d ) il i. (6.3.3) met i, l =,, r e I[ i l]. il Ee erg populaire toets is de lograk-test. I de meeste software pakette is dit de stadaard toets die wordt bereked. Bi de lograk-test is W(t )=. Opgemerkt moet worde dat deze toets beter iet gebruikt ka worde als de survivalfucties kruize. Ee adere toets is de Wilcoo-toets, hierbi is W(t )=. Door dit gewicht wordt er meer adruk gelegd bi vroege dure. Helaas is deze toets redelik obetrouwbaar als de cesurerigspatroe over de groepe verschille. Teslotte is er de Taroe-Ware toets. Deze is mider gevoelig da de Wilcoo-toets voor verschillede cesurerigspatroe bi groepe. Het gewicht bi de Taroe-Ware-toets is W t ). Tezi me i het bizoder geïteresseerd is i korte dure zal de ( Taroe-Ware-toets i het algemee betere resultate late zie. 3

32 7. Parametrisch model voor de hazard 7. Korte beschrivig Bi deze methode wordt ee parametrisch model geschat voor de hazard. De hazard hagt daarbi af va achtergrodkemerke va de idividue. Zo zou bivoorbeeld de uitkerigsduur kue afhage va geslacht e leeftid. Doordat dure vaak erg scheef verdeeld zi e doordat er cesurerig optreedt is het iet mogelik om ormale regressie toe te passe op de waargeome dure. Het model dat het meest gebruikt wordt is het proportioal-hazards-model: h i ( t ) = r i h ( t ). (7..) Hieri wordt aageome dat de hazard voor iederee dezelfde vorm heeft, amelik h ( t ), de baseliehazard. Idividuele persoe wike va deze baselie hazard af met de risicofactor r i, welke afhagt va de achtergrodkemerke va het idividu. Hoe hoger de risicofactor des te groter is de kas dat de gebeurteis optreedt. De baseliehazard modelleert de duurafhakelikheid va de hazard. Voor h ( t ) kue zeer veel fucties gekoze worde. Zo zi het epoetiële model e het Weibullmodel veel gebruikte modelle, maar ook polyome e splies worde wel gebruikt. I de beschrivig zulle we os beperke tot het epoetiële model e het Weibullmodel. Naast het proportioal-hazards-model bestaat er ook het accelerated-failure-timemodel, waarbi persoe dezelfde verdeligsfuctie voor de dure hebbe, maar waarbi de tid seller of lagzamer loopt voor persoe afhakelik va de achtergrodkemerke va de persoe. Deze modelle zulle iet besproke worde. Hiervoor wordt aar de literatuur verweze (bivoorbeeld Lawless, 98; Klei e Moeschberger, 3). 7. Toepasbaarheid Met deze methode ka ee parametrische beschrivig verkrege worde va de duurverdelig. De methodes zi toepasbaar voor cotiue dure. De ivloed va bepaalde achtergrodkemerke op de duur ka hiermee bestudeerd worde. Het is echter wel oodzakelik om ee parametrisch model aa te eme voor de duurverdelig. Het ka lastig zi om ee model te vide dat de waargeome verdelig goed beschrift. Voor ee correcte schattig va de parameters is het echter oodzakelik om ee correct model te gebruike. Als me allee geïteresseerd is i de relatieve ivloed va achtergrodkemerke op de hazard e iet i het modellere va de gehele verdelig ka het i hoofdstuk 8 besproke Co-model gebruikt worde, dat gee aaames doet voor de baseliehazard h ( ). t 3

33 7.3 Uitgebreide beschrivig Zoals gezegd wordt de hazard gemodelleerd als ee baseliehazard vermeigvuldigd met de risicoscore. Nu moete op ee of adere maier de k achtergrodkemerke,,, i deze risicoscore verwerkt worde. Hiervoor wordt meestal ee epoet gebruikt: va idividu i, X ( ) i = i, i K ik ( β ) h ( t) = ep( β + + β ) h ( ) hi ( t) = ri h ( t) = ep X i i K k ik t. (7.3.) Dit zorgt ervoor dat de risicoscore altid positief is; de hazard mag/ka amelik iet egatief zi. De risicoscore geeft aa hoeveel meer risico ee persoo loopt op het optrede va ee gebeurteis te opzichte va de baseliehazard. Om het model te kue schatte is het verder odig om voor h ( t ) ee fuctie te kieze. Hiervoor zi zeer veel keuzes mogelik. Hier worde allee het epoetiële model e het Weibullmodel besproke. Adere keuzes zi het logormale, log-logistische e Gompertz model. Bi het epoetiële model, wordt aageome dat de hazard costat is voor iederee. Allee het iveau verschilt tusse idividue. De baseliehazard wordt dus gegeve door h ( t) = λ met. (7.3.) > Ee costate hazard vertaald zich i ee lieair toeemede cumulatieve hazard aagezie volges vergelikig (.3.5) t t H ( t) = h( u)du = λdu =λt. (7.3.3) De Nelso-Aale-schatter zou dus gebruikt kue worde om a te gaa of het epoetiële model ee redelik model zou kue zi. I de praktik zal dit model iet vaak voorkome, omdat de hazard i het algemee wel afhagt va de duur. Zo eemt het risico op overlide toe met leeftid (a ee dalig i de eerste levesare) e eemt het risico op het vide va ee baa i het algemee af met de werkloosheidsduur. Ee model dat wel met ee stigede of dalede hazard ka omgaa is het Weibullmodel, waarva de baseliehazard gegeve wordt door p h ( t) = λpt met > e p >. (7.3.4) Als p gelik is aa éé da is dit model gelik aa het epoetiële model. Voor p> eemt de hazard toe met de duur e voor p< eemt de hazard af. Ee toe- of afemede hazard vertaald zich i ee covee of cocave hazard. 7.4 Kwaliteitsidicatore Voor de beoordelig va de kwaliteit va duurmodelle zi veel verschillede residue beschikbaar. Dit komt voor ee groot gedeelte doordat gee va de 33

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval

Betrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij

Nadere informatie

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.

Een toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek. 006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te

Nadere informatie

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:

We kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen: Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:

Nadere informatie

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling

Praktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.

Nadere informatie

Periodiciteit bij breuken

Periodiciteit bij breuken Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat

Nadere informatie

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.

Nadere informatie

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...

Opgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100... Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is

Nadere informatie

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef

Steekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte

Nadere informatie

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal

Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa. Statistiek 2 voor TeMa Inleiding. Studiemateriaal Algemee iformatie http://www.wi.tue.l/wsk/oderwijs/s95 College e istructies College: woesdag uur - HG6.96 Istructies maadag uur 5-6 HG6.09 Auditorium oodgebouw, uit Opdrachte: opgave uit boek e dictaat

Nadere informatie

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw

Vuilwaterafvoersystemen voor hoogbouw Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw 1.2 Vuilwaterafvoersysteme voor hoogbouw Nu er steeds hogere e extremere gebouwe otworpe worde, biedt ee ekelvoudig stadleidigsysteem de mogelijkheid om gemakkelijker

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2

Nadere informatie

Rijen. 6N5p

Rijen. 6N5p Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - II Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde A vwo 2010 - I Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4

Nadere informatie

Convergentie, divergentie en limieten van rijen

Convergentie, divergentie en limieten van rijen Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe

Nadere informatie

7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] 7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u

Nadere informatie

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde

1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere

Nadere informatie

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling

Opgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).

Nadere informatie

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED

DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED DE ROL VAN GIS BIJ DE HEDONISCHE WAARDEBEPALING VAN VASTGOED Prof. ir. P. Ampe, Prof. dr. ir. A. De Wulf, ig. J. De Corte. 1. Ileidig e probleemstellig. Sedert deceia gebruike schatters zowel i België

Nadere informatie

Werktekst 1: Een bos beheren

Werktekst 1: Een bos beheren Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig

Nadere informatie

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten

1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke

Nadere informatie

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting.

Stochastische loadflow. Beschrijving model belasting. Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l 95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig...

Nadere informatie

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review)

G0N34a Statistiek: Examen 7 juni 2010 (review) G0N34a Statistiek: Exame 7 jui 00 review Vraag Beoordeel de volgede uitsprake. Als ee uitspraak iet juist is of ovolledig, leg da uit waarom e verbeter de uitspraak.. Bij het teste va hypotheses is de

Nadere informatie

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam

Een andere kijk op Financiële Rekenkunde Wim Pijls, Erasmus Universiteit Rotterdam Ee adere kijk op Fiaciële Rekekude Wim Pijls, Erasmus Uiversiteit Rotterdam. Ileidig Het vak Fiaciële Rekekude levert vawege zij sterk wiskudig karakter ogal wat probleme op i het oderwijs. Veel leerlige

Nadere informatie

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D

Levende Statistiek, een module voor VWO wiskunde D Op het Stedelijk Gymasium te Leide is de module Levede Statistiek uitgeprobeerd, Ee verslag va Jacob va Eeghe e Liesbeth de Wreede. Levede Statistiek, ee module voor VWO wiskude D Statistiek is typisch

Nadere informatie

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III

Commissie Pensioenhervorming 2020-2040. Nota over de actuariële neutraliteit. Bijlage III Commissie Pesioehervormig 00-040 Nota over de actuariële eutraliteit Bijlage III. I het kader va de ivoerig va ee «deeltijds pesioe» wordt de kwestie va de actuariële correctie va de uitkerige i geval

Nadere informatie

χ 2 -toets voor homogeniteit χ 2 -toets voor goodness-of-fit ten slotte

χ 2 -toets voor homogeniteit χ 2 -toets voor goodness-of-fit ten slotte toetsede statistiek week 1: kase e radom variabele week 2: de steekproeveverdelig week 3: schatte e toetse: de z-toets week 4: het toetse va gemiddelde: de t-toets week 5: het toetse va variaties: de F-toets

Nadere informatie

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013

Toelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013 Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage

Nadere informatie

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178

Machtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178 Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel

Nadere informatie

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28.

PUBAS, een vernieuwd systeem voor arbeidsbegroting In: Agro Informatica 4 (oktober 1999), p. 25 28. PUBAS, ee verieuwd systeem voor arbeidsbegrotig I: Agro Iformatica 4 (oktober 999), p. 25 28. Aet Vik, tel. 037-476452 Gerrit Kroeze, tel. 037-476459 Istituut voor Milieu- e Agritechiek, Cluster Systeemkude

Nadere informatie

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO

Evaluatierapport. Tevredenheidsonderzoek NMV Nederlandse Montessori Vereniging 2005. Eindrapportage. BvPO Evaluatierapport Tevredeheidsoderzoek NMV Nederladse Motessori Vereigig 2005 Eidrapportage BvPO Bureau voor praktijkgericht oderzoek, Groige BvPO BUREAU VOOR PRAKTIJKGERICHT ONDERZOEK POSTBUS 9505, 9703

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 3 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 30 mei 2012 tijdsduur: 90 miute (09:30-11:00 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Statistiek = leuk + zinvol

Statistiek = leuk + zinvol Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via

Nadere informatie

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten

Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke

Nadere informatie

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl

Kanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................

Nadere informatie

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12

Deel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12 Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exame VW 007 tijdvak woesdag 6 mei.0-6.0 uur wiskude B Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 0 vrage. Voor dit exame zij maximaal 8 pute te behale. Voor elk vraagummer staat hoeveel

Nadere informatie

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak

Dit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3NA10 of 3AA10) Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHISCHE UIVERSITEIT EIDHOVE Tetame Ileidig Experimetele Fysica (3A10 of 3AA10) Tetame OGO Fysisch Experimetere voor mior AP (3M10) d.d. 0 jauari 010 va 9:00 1:00 uur Vul de presetiekaart i blokletters

Nadere informatie

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1

12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1 WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de

Nadere informatie

OV-Taxi Zuid-Kennemerland/IJmond

OV-Taxi Zuid-Kennemerland/IJmond P r o v i c i e N o o r d - H o l l a d jaarverslag OV-Taxi Zuid-Keemerlad/IJmod 2007 jaarverslag OV-Taxi Zuid-Keemerlad/IJmod 2007 1 jauari 2007 t/m 31 december 2007 P R O V I N C I E N O O R D - H O

Nadere informatie

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013

Ongelijkheden. IMO trainingsweekend 2013 Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal

Nadere informatie

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6

HOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6 HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld

Nadere informatie

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking

Iteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking 1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde

Nadere informatie

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties

7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg

Nadere informatie

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg

Tabellenrapportage CQ-index Kraamzorg Tabellerapportage CQ-idex Kraamzorg Jauari 2011 Ihoud Pagia Algemee uitleg 1 Deelame e bevalmaad 1 De itake 2 3 Zorg tijdes de bevallig 3 4 Zorg tijdes de kraamperiode 4 10 Samewerkig e afstemmig 11 Algemee

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.

Hoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt. Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee

Nadere informatie

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven

Huisstijl en logogebruik Associatie KU Leuven Huisstijl e logogebruik Associatie KU Leuve Associatie huisstijlhadboek > Ihoudstafel 1 Ihoudstafel 1. Gebruik va de huisstijl of opame va het associatielogo 3 2. Huisstijl Associatie KU Leuve 4 2.1 Opame

Nadere informatie

Effectief document- en risicobeheer

Effectief document- en risicobeheer Tekee voor efficiecy Effectief documet- e risicobeheer Met KOVO s techisch iformatiecetrum (TIC) altijd toegag tot actuele tekeige e documete é voldoe aa de eise va wet- e regelgevig. Succesvol documetbeheer

Nadere informatie

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht

Hoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.

Nadere informatie

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc

www. POspiegel.nl Online Instrument voor CB Het Talent schooljaar februari DigiDoc POspiegel.l Olie Istrumet voor CB Het Talet schooljaar 2009-2010 februari 2010 2010 DigiDoc www. Algemee Algemee. pagia 1 Eigeschappe Equête Nummer ENQ60536 Naam schooljaar 2009-2010 Istellig CB Het Talet

Nadere informatie

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij

Een meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude

Nadere informatie

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door

De standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:

Nadere informatie

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning

Aanvraag voor een woning in de gemeente(n)... 1. Personalia aanvrager huurwoning Aavraagformulier Huurwoig Hoofdkatoor: J.L. va Rijweg 20, Postbus 612 2700 AP Zoetermeer Tel. : 079-329 66 66 Fax : 079-329 66 00 Iteret : www.hof-rijlad.l E-mail : ifo@hof-rijlad.l Regiokatore: Groeewoudsedijk

Nadere informatie

RAADS IN FORMATIE BRIE F

RAADS IN FORMATIE BRIE F RAADS IN FORMATIE BRIE F gemeete WOERDEN Va: college va burgemeester e wethouders Datum: 1 december 2011 Portefeuillehouder(s): Titia Cosse Portefeuille(s): portefeuille Moumete e Archeologie Cotactpersoo:

Nadere informatie

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland

Overlijden: uw rechten in Duitsland en Nederland Regelige e voorzieige CODE 1.1.3.46 Overlijde: uw rechte i Duitslad e Nederlad brochure broe Bureau voor Duitse Zake, www.svb.l/bdz Ihoudsopgave Overlijde Uw rechte i Duitslad e Nederlad Deskudig e betrouwbaar

Nadere informatie

Rijen met de TI-nspire vii

Rijen met de TI-nspire vii Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskude A, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 04 Tijdvak izede scores Verwerk de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school i het programma Wolf

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Gegevesverwerkig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex havo 2007-I Ogave 1 Kerfusie I de zo fusere waterstofkere tot heliumkere. Bij fusie komt eergie vrij. O deze maier roduceert de zo er secode 3,9 10 26 J. Alle eergiecetrales o aarde roducere same i éé jaar ogeveer

Nadere informatie

Rekenen met levensduurkosten

Rekenen met levensduurkosten Colibri Advies www.colibri-advies.l Rekee met levesduurkoste ir. Martie va de Boome MBA Colibri Advies -4-25 Pagia va 5 Rekee met levesduurkoste Auteur: Martie va de Boome - Colibri Advies BV. Materiaal

Nadere informatie

Videoles Discrete dynamische modellen

Videoles Discrete dynamische modellen Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2

Nadere informatie

OV-Taxi Noord-Holland Noord

OV-Taxi Noord-Holland Noord P r o v i c i e N o o r d - H o l l a d jaarverslag OV-Taxi Noord-Hollad Noord 2006 jaarverslag OV-Taxi Noord-Hollad Noord 2006 September 2007 P R O V I N C I E N O O R D - H O L L A N D Ihoudsopgave

Nadere informatie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal

Nadere informatie

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013

Analyse wijze en stimuleren van invullen Nationale Studenten Enquête 2012. Pascal Brenders 19 juni 2013 Aalyse wijze e stimulere va ivulle atioale Studete Equête 20. Pascal Breders 19 jui 2013 Aaleidig Studiekeuze3 is veratwoordelijk voor de uitvoerig va de atioale Studete Equête (SE). De atioale Studete

Nadere informatie

Release Notes: IPROX-CMS 4.2

Release Notes: IPROX-CMS 4.2 Release Notes: IPROX-CMS 4.2 (april 2011) Ileidig IPROX-CMS 4.2 bet circa 50 wijzigige e fixes waar ee aatal omgrijk zij e ee grote impact hebbe op de implemetatie. Door IfoProjects zij moduletests, systeemtests,

Nadere informatie

Discrete dynamische systemen

Discrete dynamische systemen Cahiers T 3 Europe Vlaadere r. 19 Discrete dyamische systeme Recursievergelijkige met de TI-84 Joha Deprez Discrete dyamische systeme Joha Deprez HUBrussel, Uiversiteit Atwerpe, Katholieke Uiversiteit

Nadere informatie

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013

Eindrapport Leerlingtevredenheidsonderzoek Floracollege Eindexamenklassen 2013 Eidrapport Leerligtevredeheidsoderzoek Floracollege Eidexameklasse 2013 Juli 2013 Ihoudsopgave Samevattig 3 Vrage over schoolwerk 5 Vrage over jezelf 6 Vrage over docete 8 Vrage over de metor 11 Vrage

Nadere informatie

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer

Nadere informatie

Evaluatie pilot ipad onder docenten

Evaluatie pilot ipad onder docenten Evaluatie pilot ipad oder docete Oderwerp equête Geëquêteerde Istellig Evaluatie pilot ipad Docete OSG Sigellad locatie Drachtster Lyceum Datum aamake equête 19-06-2012 Datum uitzette equête 21-06-2012

Nadere informatie

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering

Wijzigingsformulier Ziektekostenverzekering De Amersfoortse Verzekerige Stadsrig 15, postbus 42 3800 AA Amersfoort Tel. (033) 464 29 11 Fax (033) 464 29 30 Gegevesverwerkig Wijzigigsformulier Ziektekosteverzekerig Bij deze wijzigig worde persoosgegeves

Nadere informatie

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden

Formaliteiten bij overlijden Informatie voor nabestaanden Formaliteite bij overlijde Iformatie voor abestaade NFOINFOINFOIN FOINFOINFOINF 2 Ileidig Omdat ee aaste uit uw familie of vriedekrig is overlede e het u moeilijk valt u uw aadacht te richte op de formaliteite

Nadere informatie

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning.

we willen graag zelf klussen in onze nieuwe woning. ZELF AANGEBRACHTE VOORZIENINGEN we wille graag zelf klusse i oze ieuwe woig. ECHT WEL. Zelf uw woig aar wes veradere De woig die u va os huurt, wilt u atuurlijk aar uw eige smaak irichte. U kiest zelf

Nadere informatie

Kwaliteit van de persoonsgegevens. Resultaten Gemeente Alpen aan den Rijn

Kwaliteit van de persoonsgegevens. Resultaten Gemeente Alpen aan den Rijn Kwaliteit va de persoosgegeves Resultate Gemeete Alpe aa de Rij Klik Ted om Dicks, de titelstijl Hek-Ja va Wieseekker het model te bewerke Ageda Doel va het oderzoek Irichtig va het oderzoek Resultate

Nadere informatie

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting

Op zoek naar een betaalbare starterswoning? Koop een eigen huis met korting Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Op zoek aar ee betaalbare starterswoig? Koop ee eige huis met kortig Pagia Ee eige huis waar u zich helemaal thuis voelt. Dat wil iederee!

Nadere informatie

Appendix A: De rij van Fibonacci

Appendix A: De rij van Fibonacci ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd

Nadere informatie

Proeftentamen IBK1LOG01

Proeftentamen IBK1LOG01 Proeftetame IBK1LOG01 Opgave 1 ( 20 pute) Beatwoord de oderstaade vrage met waar of iet waar: 1.De bereikbaarheid va iformatie over ee product bij ee iteretwikel is ee voorbeeld va pre-trasactie elemet

Nadere informatie

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN

STUDIEKEUZESTAPPENPLAN STUDIEKEUZESTAPPENPLAN www.uva.l/studie-kieze Hoe kies je ee studie? studiekeuzestappepla Weet je og iet wat je wilt studere? Begeleidig bij het studiekeuzestappepla Misschie ka dit studiekeuzestappepla

Nadere informatie

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek

Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur

Nadere informatie

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS

HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS hadleidig coditioele orders HANDLEIDING CONDITIONELE ORDERS Ee coditioele order kut u vergelijke met ee istructie die u geeft aa uw wekkerradio: als het 7.30 uur is, wil ik dat de radio aagaat e ik gewekt

Nadere informatie

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant

Enquête social media gebruik ROC West-Brabant Equête social media gebruik ROC West-Brabat Jauari / februari 2012 I jauari 2012 is ee studeteequête geoped, met als thema social media i het oderwijs. De equête is door 514 mbo-studete igevuld. Afhakelijk

Nadere informatie

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89

Bevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89 Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent.

Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieken. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent. Hoofdstuk 9 : Steekproefstatistieke Marix Va Daele MarixVaDaele@UGetbe Vakgroep Toegepaste Wiskude e Iformatica Uiversiteit Get Steekproefstatistieke p 1/20 Schattige Waeer uit ee steekproef de waarde

Nadere informatie

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017

Een samenvatting van de CAO voor Uitzendkrachten 2012-2017 Ee samevattig va de CAO voor Uitzedkrachte 2012-2017 Uitgave juli 2015 Ihoudsopgave 1. Ileidig 5 2. Fasesysteem 5 2.1 Fase A 6 2.2 Fase B 6 2.3 Fase C 6 2.4 Oderbrekigsregels 7 2.5 Overgagsregelig fase

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO 009 tijdvak wiskude B, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordelig Algemee regels Vakspecifieke regels Beoordeligsmodel 5 Izede scores Regels voor de beoordelig

Nadere informatie

1. Symmetrische Functies

1. Symmetrische Functies Algebra III 1 1. Symmetrische Fucties permutatios sot la metaphysique des équatios Lagrage*, 1771 I dit hoofdstuk bestudere we de ivariate va de werkig va de symmetrische groep S op polyoomrige i variabele.

Nadere informatie

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6

Statistiek Voor studenten Bouwkunde College 6 Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage

Nadere informatie

Examen PC 2 onderdeel 4A

Examen PC 2 onderdeel 4A Exame PC 2 oderdeel 4A Istructieblad Betreft: exame: PC 2 oderdeel 4A leergag 1 oderdeel: Fiaciële Rekekude datum: 27 mei 2011 tijdsduur: 90 miute (10.00-11.30 uur) Deze aawijzige goed leze voor u met

Nadere informatie

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh

Spelen met vormen. Tim Neefjes Bryan Tong Minh Spele met vorme Tim Neefjes Brya Tog Mih Ileidig Toe ee plei i Stockholm, Sergel s Square aa heraaleg toe was stode de architecte voor ee probleem. Het was ee rechthoekig plei e i het midde moest ee wikelcetrum

Nadere informatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie

Betrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we

Nadere informatie

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen

Ja, ik wil. Trouwen in Vlaardingen Ja, ik wil Trouwe i Vlaardige Ihoud Pagia 4 Locatie kieze Pagia 5 Tijdstip kieze Pagia 6 De plechtigheid Pagia 8 I odertrouw Pagia 9 Tot slot Pagia 11 Bijlage Gefeliciteerd met uw voorgeome huwelijk of

Nadere informatie

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)

Combinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen) 1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete

Nadere informatie

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7

Hoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7 Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede

Nadere informatie

1 Het trekken van ballen uit een vaas

1 Het trekken van ballen uit een vaas Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas

Nadere informatie

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op?

Waar moet je aan denken? Verhuizen. Stap 1: Hoe zeg ik de huur op? Verhuize Waar moet je aa deke? Verhuize Bij verhuize komt heel wat kijke. Naast het ipakke va spulle e doorgeve va adreswijzigige, is het ook belagrijk dat u same met Thuisvester ee aatal zake regelt.

Nadere informatie