Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics"

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Eindige Differentie Methodes voor het prijzen van Europese opties met het Heston model. (Engelse titel: Finite Difference Methods for pricing European Options using the Heston model. Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Pim Stuurman Delft, Nederland Augustus 2011 Copyright c 2011 door Pim Stuurman. Alle rechten voorbehouden.

2

3 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE Eindige Differentie Methodes voor het prijzen van Europese opties met het Heston model. (Engelse titel: Finite Difference methods for pricing European Options using the Heston model. ) Pim Stuurman Technische Universiteit Delft Begeleider Prof.dr.ir. C.W. Oosterlee Overige commissieleden Dr.ir. F.H. van der Meulen Dr.ir M.B. van Gijzen Dr. G.F. Ridderbos Augustus, 2011 Delft

4

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding Lijst van symbolen Introductie over optie prijs modellen Black-Scholes model Heston model voor stochastische volatiliteit ν Heston-Hull-White model voor stochastische volatiliteit ν en stochastische groeifactor r Van aandeel model naar optie vergelijking Black-Scholes model Afleiding van de Black-Scholes optie vergelijking Exacte oplossing van Black-Scholes vergelijking Heston model Afleiding van Heston optie vergelijking Heston-Hull-White model Waarom afleiding van Heston-Hull-White optie vergelijking m.b.v. portfolio argumenten niet werkt Heston-Hull-White optie vergelijking Details van het Heston model Motivatie voor Heston stochastische volatiliteit model Keuze van g(s, ν, t) Coördinatentransformatie Coördinatentransformatie S ln(s), ν ln(ν) Algemene coördinaten transformatie Feller conditie Numerieke implementatie Eindige differenties voor Black-Scholes Eindige differenties voor Heston

6 6 Resultaten Black-Scholes model Heston model Conclusie 44 8 Referenties 44 A Itô s lemma 45 A.1 Itô s lemma voor 1 variabele A.2 Itô s lemma voor 3 variabelen B Put-Call pariteit 47 C Upwind schema 48 D MATLAB Appix 48 D.1 BlackScholesCall.m D.2 BSExactCallPlot.m D.3 BlackScholesExactCall.m D.4 TestBlackScholes.m D.5 HestonCall.m D.6 HestonCallIte.m D.7 HestonExactCall.m D.8 TestHeston.m

7 1 Inleiding In de financiële wereld wordt veel gehandeld in producten die opties genoemd worden. In dit onderzoek zullen we een aantal modellen analyseren die gebruikt worden om de waarde van deze producten te bepalen. Deze modellen gaan uit van stochastische differentiaalvergelijkingen om het gedrag van een aandeel te beschrijven. In sectie 2 worden opties geïntroduceerd en laten we drie verschille modellen voor het gedrag van aandelen zien: het Black-Scholes, Heston en Heston-Hull-White model. Vervolgens leiden we in hoofdstuk 3 uit deze modellen partiële differentiaalvergelijkingen af die de waarde van een optie bepalen. Voor het Heston-Hull-White model blijkt de aanpak die bij de andere twee modellen succesvol was, niet direct te werken. De reden hiervoor wordt toegelicht. Er blijkt wel een andere methode te zijn om uit het Heston-Hull-White model een vergelijking af te leiden. In de rest van het verslag werken we verder met de modellen van Black-Scholes en Heston. In sectie 4 worden een aantal details van het Heston model besproken. Zo tonen we aan dat er geen directe coördinatentransformatie bestaat die de numerieke implementatie vergemakkelijkt. De modellen worden numeriek geïmplementeerd in hoofdstuk 5. We maken hiervoor gebruik van eindige differenties. In sectie 6 worden de resultaten voor de modellen getest. Hierbij ontdekken we dat de randvoorwaarden die aan het begin van het verslag zijn geïntroduceerd, problemen opleveren bij numerieke implementatie. Vervolgens leiden we nieuwe randvoorwaardes af, die beter presteren. Het hoofdresultaat van het onderzoek is een verzameling randvoorwaarden die goed functioneren bij het numerieke schema. In sectie 7 worden deze en andere conclusies gepresenteerd. In de Appix zijn overige wiskundige details en MATLAB programma s te vinden. 1.1 Lijst van symbolen In onderstaand overzicht worden alle symbolen uit het verslag toegelicht. In veel gevallen worden de symbolen in het verslag nog verder toegelicht. S: waarde van een aandeel. r: groeifactor van de waarde van een aandeel (of rente). ν: volatiliteit van een aandeel. t: tijdstip. W : Wiener proces (ook bek als Brownse beweging). ν: theoretische verwachting voor de volatiliteit ν. κ: mean reversion speed voor volatiliteit ν (snelheid waarmee de volatileit ν terugkeert naar zijn theoretische verwachting ν). 6

8 γ: volatiliteit van de volatiliteit (ook bek als tweede-orde volatiliteit). ρ: correlatie-coëfficient tussen twee Wiener processen. σ: wortel van de volatiliteit ( ν). V : waarde van een optie. C: waarde van een Call-optie. P : waarde van een Put-optie. K: uitvoerprijs van een optie (ook bek als strike). C markt : prijs van een Call-optie in de markt. C BS : waarde van een Call-optie volgens Black-Scholes model. T : expiratietijd. χ 2 (x, y): non-centrale Chi-kwadraat verdeling met graad x en non-centraliteit parameter y. q: maat voor de Feller-conditie. Als q > 0 is aan de Feller-conditie voldaan, als 1 q 0 is niet aan de conditie voldaan. r: theoretische verwachting voor de groei van een aandeel. λ: mean reversion speed voor de groei van een aandeel. (snelheid waarmee de groei r van een aandeel terugkeert naar zijn theoretische verwachting r. η: volatiliteit van de groei van een aandeel. PDV: Partiële DifferentiaalVergelijking. G: stochast die voldoet aan de eis van Itô s lemma. Π: waarde van een portfolio. : hoeveelheid (bijvoorbeeld aandelen of opties). S max : maximale waarde van S (groot t.o.v. K, S max >> K). N(x): verdelingsfunctie van een standaardnormaal verdeelde stochast (N (0, 1)) in het punt x. ln(x): natuurlijke logaritme in het punt x. g: functie die gebruikt wordt bij scheiding van variabelen in het Heston model. φ: marktprijs van volatiliteitsrisico. θ: lineaire coëfficient tussen φ en ν. κ : risico-aangepaste mean reversion speed voor volatiliteit. ν : risico-aangepaste theoretische verwachting voor volatiliteit ν. 7

9 Ŝ: getransformeerde S. ˆν: getransformeerde ν. f(s): transformatiefunctie voor S. u(ν): transformatiefunctie voor ν. a i, b i : parameters van stochast S i in afleiding van Itô s lemma voor 3 stochasten. τ: tijd tot expiratiedatum (τ = T t). N S : aantal punten bij discretisatie in de aandeelwaarde S. N τ : aantal punten bij discretisatie in de tijd tot expiratiedatum τ. N ν : aantal punten bij discretisatie in de volatiliteit ν. S j : aandeelwaarde op gridpunt j. τ i : tijd tot expiratiedatum in gridpunt i ν m : volatiliteit in gridpunt m. k: stapgrootte in de tijd tot expiratiedatum τ. h: stapgrootte in de aandeelwaarde S. l: stapgrootte in de volatiliteit ν. V i j : optiewaarde op gridpunt (S j, τ i ). V i j,m : optiewaarde op gridpunt (S j, ν m, τ i ). V i : vector met de numerieke oplossing op tijdstip τ i. F : matrix van numerieke schema (tijdstipsonafhankelijk). p i : vector voor numerieke schema (tijdstipsafhankelijk). I: identiteitsmatrix. D i : submatrix van numerieke schema. T i : submatrix van numerieke schema. n: indicator bij horizontale nummering in ν-richting. C: constante bij de stabiliteitsanalyse van Black-Scholes. 8

10 2 Introductie over optie prijs modellen Opties zijn financiële producten die hun eigenaar het recht (maar niet de verplichting) geven een aandeel op een afgesproken datum tegen een afgesproken prijs te kopen/verkopen. In het geval van een kopen spreken we van een Call optie, bij verkopen noemen we dit een Put optie. Wanneer alleen op de afgesproken datum de optie uitgevoerd kan worden (en dus niet tussentijds), spreken we van Europese opties. Voordat we een model voor de prijzen van opties kunnen ontwikkelen, hebben we eerst een model voor de onderligge aandelen nodig. We beschrijven drie verschille modellen. Een veel gebruikt model voor aandelenontwikkeling is dat van een Stochastische DifferentiaalVergelijking. Dit is een (Partiële) Differentiaal Vergelijking, waarbij één of meerdere uitdrukkingen random processen bevat. 2.1 Black-Scholes model Het beroemdste model voor aandeelwaardes is het zogenaamde Black-Scholes model. ds S = rdt + νdw, (1) waarbij S de aandeelprijs is, r de rate of return (of rente), ν de volatiliteit en W een Wiener proces is (ook bek als Brownse beweging). We kunnen het model in stappen opbouwen. Allereerst beschouwen we een verandering in de aandeelwaarde ds in een tijdstap dt. Voor kleine dt, nemen we aan dat de groei van de aandeelwaarde lineair afhangt van de huidige aandeelwaarde met groeifactor r: ds dt = rs. Uit de praktijk weten we dat de grafiek van een aandeelwaarde een random gedrag vertoont (zie figuur 1). Om dit fenomeen in ons model te krijgen, voegen we een ruisterm toe. Dit doen we met behulp van een zogenaamd Wiener proces. Als we hier een mate van schokkerigheid (de volatiliteit) ν aan toe voegen, komen we uit op het Black-Scholes model voor aandelen 1. Merk op dat ν een keuze is die we vooral gebruiken voor het Heston model dat we later zullen afleiden. In veel literatuur wordt in het Black-Scholes model gebruik gemaakt van de parameterσ = ν. In onze numerieke analyse van het Black-Scholes model zullen wij dit ook doen. 2.2 Heston model voor stochastische volatiliteit ν Het Heston model is een uitbreiding op het Black-Scholes model, waarbij we de volatiliteit ν ook als een stochastische differentiaalvergelijking beschrijven. In sectie 4.1 wordt deze keuze verder gemotiveerd. 9

11 Figuur 1: Boven: Waarde van Microsoft aandeel in $ van mei 2010 t/m mei We zien duidelijk de randomness van de grafiek. Onder: Hoeveelheid beschikbare Microsoft aandelen in dezelfde periode. We zullen de variantie ν uit (1) beschouwen als een mean reverting square root process [2]. Dit betekent dat de volatiliteit zich stochastisch zal bewegen rond een theoretische verwachte waarde. Het model wordt dan ds = rsdt + νsdw 1, dν t = κ(ν ν)dt + γ νdw 2, (2) waarbij κ > 0 de snelheid is waarmee de volatiliteit ν terugkeert naar zijn theoretische verwachting ν > 0 en γ > 0 de tweede-orde volatiliteit (variantie van de volatiliteit). W is wederom een Wiener proces. De Wiener processen W 1 en W 2 zijn gecorreleerd: dw 1 dw 2 = ρdt, de overige variabelen zijn zoals hierboven beschreven. 2.3 Heston-Hull-White model voor stochastische volatiliteit ν en stochastische groeifactor r Een verdere uitbreiding van het Heston model kan gemaakt worden door ook de groeifactor r met een stochastisch proces te beschrijven. Hiervoor wordt een zogenaamd exted Orstein- Uhlenbeck mean reverting process gebruikt, zie bijvoorbeeld [6]. Dit proces is vergelijkbaar met het proces voor de volatiliteit, maar heeft een andere factor voor de ruisterm. Het aandeelmodel wordt nu 10

12 ds = rsdt + νsdw 1, dν t = κ(ν ν)dt + γ νdw 2, (3) dr t = λ(r r)dt + ηdw 3, (4) waarbij λ > 0 de snelheid is waarmee de interest rate r terugkeert naar zijn theoretische verwachting r > 0 en η de algemene volatiliteit bepaalt. W 3 is wederom een Wiener proces en de Wienerprocessen zijn onderling gecorreleerd met dw i dw j = ρ ij. 3 Van aandeel model naar optie vergelijking In deze sectie leiden we voor alle drie modellen een Partiële DifferentiaalVergelijking (PDV) af om optiewaarden te berekenen. Voor het Black-Scholes en Heston model doen we dit met behulp van portfolio argumenten en Itø s Lemma. Vervolgens laten we zien waarom dit voor het Heston-Hull-White model niet eenvoudig mogelijk is. 3.1 Black-Scholes model In het Black-Scholes model beschouwen we een aandeel-model, waarbij r en σ = ν als beke parameters (of functies) worden gegeven. We hebben dan vergelijking (1) voor het onderligge aandeel. σ is de wortel van de variantie ( ν in het oorspronkelijke model). In het Black-Scholes model is het makkelijker om deze notatie aan te houden. Voordat we de Black-Scholes afleiding presenteren, is het belangrijk om kort op te merken welke aannames noodzakelijk zijn. De volge lijst komt uit [9]: Er zijn geen transactiekosten. Het onderligge aandeel betaalt geen divid uit gedure de looptijd van de optie. Er zijn geen arbitragemogelijkheden. Het onderligge aandeel kan continu verhandeld worden. Short selling is toegestaan. Enkele termen uit deze lijst vereisen een korte toelichting. Een arbitragemogelijkheid treedt op als er een investering bestaat die meer oplevert dan de rente op een spaarrekening, zonder enig risico toe te voegen. Equivalent is te zeggen dat elke risicoloze investering evenveel waard moet zijn als geld op een spaarrekening zetten. Short selling betekent dat er aandelen verkocht mogen worden, die de eigenaar nog niet in bezit heeft, maar later zou kunnen kopen. 11

13 3.1.1 Afleiding van de Black-Scholes optie vergelijking Bij de Black-Scholes afleiding zullen we gebruik maken van Itô s lemma, een beke stelling uit de stochastische analyse. De stelling wordt toegelicht in Appix A.1. We beschouwen een optie (put of call maakt op dit moment niet uit) met een waarde V (S, t) die alleen afhankelijk is van S en t. Uit Itô s lemma voor tijdsafhankelijke functies, zie vergelijking (67), volgt dan dv = σs ( S dw + rs S σ2 S 2 2 V S 2 + ) dt. (5) t Nu construeren we een portfolio Π bestaande uit een optie V en een aantal onderligge aandelen. We zullen later zien wat dit aantal is. De waarde van dit portfolio is Π = V S De verandering in waarde van dit portfolio per tijdstap is dπ = dv ds waarbij constant gehouden wordt gedure de tijdstap. Nu combineren we (1) en (5), zodat ( ) ( dπ = σs S dw + rs S σ2 S 2 2 V S 2 + ) t r S dt. (6) We zien dat de stochastische term σs ( S ) dw wegvalt als = S. Merk op dat we deze waarde alleen hebben aan het begin van elke tijdstap dt. Substitueren van = S in (6) levert dπ = ( 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + ) dt. (7) t We kunnen (7) verder behandelen met behulp van enkele arbitrageargumenten. In een tijdstap dt, zou de return voor een bedrag Π in aandelen een groei van rπdt maken. Als de rechterkant van (7) groter dan rπdt zou zijn, kan een investeerder risicoloos geld verdienen door Π te lenen en te investeren in het portfolio. Als de rechterkant (7) kleiner dan rπdt is, kan de investeerder short gaan op het portfolio en Π op een spaarrekening plaatsen. Beide gevallen gaan dus tegen de arbitrageaanname in, waardoor we kunnen concluderen dat rπdt = ( 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + ) dt. (8) t Door substitutie van (Π = V S) en links en rechts te delen door dt, vinden we de befaamde Black-Scholes formule voor opties: 12

14 t σ2 S 2 2 V + rs S2 S rv = 0 (9) Om de Black-Scholes vergelijking op te lossen zijn er randvoorwaarden nodig. De formule zoals gegeven in (9) geldt voor zowel put als call opties, maar ze hebben verschille randvoorwaarden. We zullen eerst de call opties (genoteerd als C(S, t)) behandelen. Vanwege de eerste orde afgeleide in van C in de tijd t, hebben we 1 begin- of eindvoorwaarde nodig. We kunnen een eindvoorwaarde vinden door een arbitrageargument te gebruiken [1]. We weten de waarde van een call optie op expiratietijd T voldoet aan C(S, T ) = max(s(t ) K, 0). (10) Deze conditie gebruiken we als eindvoorwaarde. Omdat we een tweede orde afgeleide in de S-ruimte hebben, zoeken we twee randvoorwaarden in S. We weten dat als een aandeel S(t) op een tijdstip t gelijk is aan 0, de waarde van het aandeel 0 zal blijven. Hieruit volgt dat de call ook waarde 0 krijgt. Zo vinden we de eerste randvoorwaarde C(0, t) = 0 (11) voor alle t. Op vergelijkbare wijze zien we dat als een aandeelprijs zeer groot wordt (S >> K), het aandeel een zeer grote waarde zal behouden, waardoor de strike K insignificant wordt. De waarde van een Call-optie wordt dan simpelweg de waarde van het aandeel. We zien dus, voor S max >> K, C(S max, t) S max. (12) Analoog aan deze redenering vinden we voor een put optie P (S, t) de eindvoorwaarde P (S, T ) = max(k S(T ), 0). (13) Voor de randvoorwaarden zien we dat voor zeer grote aandeelwaardes S >> K de put-optie nooit in the money zal komen, waardoor de optie 0 waard is. We zien dus, voor S max >> K, P (S max, t) 0. (14) Tot slot zien we dat als een aandeel op een bepaald tijdstip 0 waard is, het aandeel 0 waard blijft, waaruit volgt dat P (0, T ) = K op expiratietijdstip. We kunnen dit met de rente r verdisconteren, zodat we vinden P (0, t) = Ke r(t t). (15) De waarde van een put-optie kan ook gerelateerd worden aan de waarde van een call-optie via de put-call pariteit. Voor meer informatie hierover, zie appix B. 13

15 3.1.2 Exacte oplossing van Black-Scholes vergelijking Voor de Black-Scholes vergelijking (9) bestaat er een unieke oplossing, die exact te berekenen is. We zullen de afleiding van deze oplossing niet presenteren, maar laten wel de resultaten zien. Voor een call optie C(S, t), met de eindvoorwaarde (10) en randvoorwaardes (11) en (12) geldt de oplossing C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ), (16) waarbij N(x) de verdelingsfunctie is van een N (0, 1) stochast (de standaard normale verdeling) in x en d 1 = ln(s/k) + (r σ2 )(T t) σ, T t d 2 = ln(s/k) + (r 1 2 σ2 )(T t) σ. (17) T t Voor een put optie P (S, t) met de eindvoorwaarde (13) en randvoorwaarden (14) en (15) geldt de oplossing P (S, t) = Ee r(t t) (1 N(d 2 )) + S(N(d 1 ) 1). (18) De exacte oplossing voor een call optie (16) is geïmplementeerd in MATLAB, zie secties D.2 en D.3 van de MATLAB Appix. 3.2 Heston model Afleiding van Heston optie vergelijking In het Heston model beschouwen we de volatiliteit als een stochast, waardoor we model (2) krijgen voor een aandeel. Uit Itô s lemma 1 voor een functie V (S 1, S 2, t) van twee stochasten S 1 en S 2 en de tijd t volgt voor dv : dv = dt + ds 1 + ds V t S 1 S 2 2 B2 1 S1 2 2 V dt + B 1 B 2 dt + 1 S 1 S 2 2 B2 2 2 V S2 2 dt (19) waarbij B 1 en B 2 functies zijn als in (65). We beschouwen nu een porfolio Π bestaande uit een optie met waarde V (S, ν, t), van het onderligge aandeel en 1 van een andere optie met waarde V 1 (S, ν, t). De waarde van dit portfolio is nu 1 We gebruiken hier een uitbreiding naar twee stochasten op Itô s lemma uit A.1. 14

16 Π = V S 1 V 1. (20) Nu kunnen we (19) invullen met S 2 = ν en termen verzamelen zodat dπ = ( t νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν + 1 ) 2 νγ2 2 V ν 2 dt ( 1 1 t νs2 2 V 1 S 2 + ργsν 2 V 1 S ν νγ2 2 V 1 ν ( ) ( 2 S 1 1 S ds + ν 1 1 ν ) dt ) dν. (21) We zien nu dat we en 1 zodanig kunnen kiezen, dat we een risicovrij portfolio krijgen, analoog aan bij de Black-Scholes analyse. De vergelijkingen waar en 1 aan moeten voldoen volgen uit de onderste regel van (21) S 1 1 S = 0 ν 1 1 ν = 0. Uit dezelfde redenering als bij de Black-Scholes analyse volgt dat dπ = rπdt, waardoor: ( dπ = t νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν + 1 ) 2 νγ2 2 V ν 2 dt ( 1 1 t νs2 2 V 1 S 2 + ργsν 2 V 1 S ν + 1 ) 2 νγ2 2 V 1 ν 2 dt = rπdt = r(v S 1 V 1 )dt. (22) We kunnen (22) nog herschrijven, zodat we vinden = t νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν νγ2 2 V ν ν 2 + rs S rv 1 t νs2 2 V 1 + ργsν 2 V 1 S 2 S ν νγ2 2 V 1 + rs ν 2 1 S rv 1. (23) ν Hieruit volgt dat de linker- en rechterkant van deze vergelijking gelijk moeten zijn aan een functie g die alleen afhangt van S, ν en t. We kiezen g als g = κ(ν ν) θν. (24) 15

17 Deze keuze wordt toegelicht in sectie 4.2. Gelijkstellen van (24) aan de linkerzijde van (23) en substitueren van κ = κ θ en κ ν = κν, levert t νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν νγ2 2 V + rs ν2 S rv = κ (ν ν ) ν. (25) κ en ν heten de risico-aangepaste parameters en worden gebruikt om de notatie te versimpelen. (25) is de optievergelijking voor het Heston model. Voor het oplossen van deze vergelijking zullen we randvoorwaarden nodig hebben. We zullen hier alleen de randvoorwaarden voor een call optie C(S, ν, t) beschouwen (de voorwaarden voor een put kunnen analoog worden gevonden, zie sectie 3.1.1). De eerste drie voorwaarden kunnen we direct halen uit de voorwaarden voor de Black Scholes vergelijking (zie ook [14]). De voorwaarde C(S max, ν, t) = S max voor S max >> K wordt vaak herschreven als C S (S max, ν, t) = 1. C(S, ν, T ) = max(s(t ) K, 0), C(0, ν, t) = 0, C S (S max, ν, t) = 1. (26) Omdat we ook nog tweede orde afgeleides in ν hebben, zijn daar ook twee randvoorwaarden voor nodig. Over de keuze daarvoor lijkt geen uniek antwoord te vinden (zie bijvoorbeeld de discussie in [15]). In Heston s oorspronkelijke paper worden de volge twee randvoorwaarden voorgesteld. rs C C C (S, 0, t) + κν (S, 0, t) rc(s, 0, t) + (S, 0, t) = 0, (27) S ν t C(S,, t) = S. De voorwaarde op ν = 0 is simpelweg de resultere vergelijking na invullen van ν = 0. Bij de numerieke experimenten blijkt dit echter geen praktische resultaten op te leveren. Daarom zullen wij gebruik maken van de voorwaarde C(S, 0, t) = max(s K, 0). (28) De gedachte hierachter is dat als een aandeel geen volatiliteit heeft, de waarde van een optie constant blijft. Omdat we weten dat de waarde van de optie op t = T gelijk is aan max(s K, 0), blijft deze waarde overal hieraan gelijk. 3.3 Heston-Hull-White model In het Heston-Hull-White model beschouwen we de rente en de volatiliteit als stochasten, waardoor we het stelsel stochastische differentiaalvergelijkingen krijgen in (4). Voordat we aan de afleiding van een differentiaalvergelijking voor de optieprijs kunnen beginnen, zullen we eerst Itô s lemma moeten uitbreiden. Dit wordt gedaan in de appix. 16

18 3.3.1 Waarom afleiding van Heston-Hull-White optie vergelijking m.b.v. portfolio argumenten niet werkt Bij de afleiding van de Black-Scholes en Heston optievergelijkingen hebben we telkens een portfolio argument gebruikt. In het geval van Heston is er nog een scheiding van variabelen toegepast om tot een vergelijking zonder stochastische termen te komen. In deze sectie zullen we laten zien waarom dit bij het Heston-Hull-White model niet met een vergelijkbaar portfolio kan. We gaan wederom een portfolio Π beschouwen, bestaande uit een optie met waarde V (S, ν, r, t), van het onderligge aandeel, 1 van een andere optie met waarde V 1 (S, ν, r, t) en 2 van een derde optie met waarde V 2 (S, ν, r, t): Π = V S 1 V 1 2 V 2 We maken gebruik van Itô s lemma voor 3 variabelen (70), waarbij we de volge notatie introduceren om de afleiding leesbaarder te maken: Alleen de delen die ds, dν en dr bevatten zijn nog stochastisch, daarom schrijven we dv = S ds + ( ν νs 2 2 V dν + dr + r t dt S 2 + νγ2 2 V ν 2 + η2 2 V r ( + ρ 12 νγs 2 V S ν + ρ 13 = ds + S ν + dv. dν + r dr ) dt νηs 2 V S r + ρ 23 2 ) V νγη dt ν r Hierin bestaat dv uit alle niet-stochastische elementen van dv. Toepassen van de nieuwe notatie en ordenen van de termen bij een kleine verandering in het portfolio dπ levert dπ = dv ds 1 dv 1 2 dv 2 = dv 1 dv 1 2 dv ( 2 ) + S 1 1 S 2 2 S ds ( ) + ν 1 1 ν 2 2 dν ν ( ) + r 1 1 r 2 2 dr. (29) r We zien nu dat we (29) risicovrij kunnen maken door, 1 en 2 zo te kiezen dat de uitdrukking voor ds, dν en dr verdwijnen: 17

19 Een oplossing voor het stelsel vergelijkingen in (30) is S 1 1 S 2 2 S = 0 ν 1 1 ν 2 2 ν = 0 r 1 1 r 2 2 r = 0. (30) 2 = 1 = 2 ν ν ( 2 r r 1 r r 2 2 r 1 r = S 2 ) 1 ν 2 S 1 1 S. (31) waarbij 1 en niet verder uitgewerkt zijn omdat de resultaten dan moeilijk leesbaar worden. Duidelijk is in ieder geval dat substitueren van (31) in (29) een niet-stochastische PDE geeft. Als we vervolgens gebruik maken van dπ = rπdt = r(v S 1 V 1 2 V 2 )dt, vinden we r(v S 1 V 1 2 V 2 )dt = dv 1 dv 1 2 dv 2. (32) Op deze vergelijking willen we tweemaal scheiding van variabelen toepassen (zoals bij het Heston model), om een exacte uitdrukking te vinden. Nu is het duidelijk waarom deze methode niet werkt bij het Heston-Hull-White model. Om scheiding van variabelen toe te passen, willen we (32) splitsen in een deel dat een functie is van V en een deel dat een functie is van V 1 en V 2. Vanwege de gevonden uitdrukkingen voor, 1 en 2 is dit niet mogelijk Heston-Hull-White optie vergelijking We hebben gezien dat het portfolio argument bij het Heston-Hull-White model niet kan worden toegepast. Er zijn echter andere methodes ontwikkeld (zie [7]) die met behulp van Martingalen theorie de vergelijking hebben opgesteld. De afleiding hiervan ligt buiten het bereik van dit verslag, maar het uiteindelijke resultaat tonen we wel. De Heston-Hull-White vergelijking is t + rs S + λ(r r) r + κ(ν ν) ν rv +ρ 12 Sνγ 2 V S ν + ρ 13Sη ν 2 V S r + ρ 23ηγ ν νs2 2 V r ν νs2 2 V S η2 2 V r γ2 ν νs2 2 V = 0. (33) ν2 18

20 4 Details van het Heston model 4.1 Motivatie voor Heston stochastische volatiliteit model Het ligt voor de hand om de volatiliteit als een stochast te beschouwen (in tegenstelling tot een beke reële functie zoals bij het traditionele Black-Scholes model), omdat praktische data aangeeft dat volatiliteit variabel en onvoorspelbaar is. Hieruit volgt echter niet direct waarom de vorm zoals gebruikt in het Heston model gekozen is. De verklaring hiervoor is de zogenaamde volatility smile die geobserveerd wordt in optiemarkten[10]. We zullen hier kort deze uitdrukking toelichten. We kunnen uit gegevens uit de markt een prijs C markt vinden voor (bijvoorbeeld) een call met strike K en expiratietijd T. Dan kunnen we ons afvragen welke volatiliteit ν in de Black- Scholes formule C BS (toegelicht in sectie ) gesubstitueerd dient te worden om de marktprijs te krijgen. We willen dus de volge vergelijking oplossen voor ν: C BS ( ν) = C markt. (34) De resultere ν noemen we de geïmpliceerde volatiliteit. In [10] wordt aangetoond dat we deze vergelijking op kunnen lossen als max(s Ke r(t t), 0) C markt S. De resultere ν, blijkt onafhankelijk van K. M.a.w., het oorspronkelijke Black-Scholes model impliceert een volatiliteit die niet afhankelijk is van de hoogte van de exercise prijs. In de praktijk blijken deze twee echter wel van elkaar afhankelijk. Deze relatie wordt de volatilitysmile genoemd, naar aanleiding van de plot tussen volatiliteit en exercise prijzen (zie figuur 2). Het Heston model leidt tot vergelijkbare volatility smiles, waardoor het dus beter bij de markt past. 4.2 Keuze van g(s, ν, t) De keuze van g(s, ν, t) in (24) vereist nog enige toelichting. Wiskundig gezien zijn we vrij om elke functie g van S, ν en t te kiezen. Zonder algemeenheid te verliezen (zie [12]), kunnen we g kiezen als g(s, ν, t) = κ (ν ν ) φ. (35) Hierin wordt φ(s, ν, t) de marktprijs van volatiliteitsrisico genoemd. Het is een functie die beschrijft hoe veel van de return van V beïnvloed wordt door het risico van ν. In [13] wordt vervolgens beschreven dat er economische argumenten zijn om te stellen dat deze φ proportioneel is aan ν. Daarom kiezen we φ = θν, (36) 19

21 Figuur 2: De volatility smile, zoals wordt geobserveerd in de markt. waardoor we uiteindelijk vinden: g = κ(ν ν) θν. (37) 4.3 Coördinatentransformatie Bij het toepassen van numerieke methoden op partiële differentiaalvergelijkingen kan het zinvol zijn een coördinatentransformatie toe te passen op de variabelen. Een veelgebruikte transformatie bij het Heston model is om ln(s) te beschouwen in plaats van S (zie bijvoorbeeld [19]). In veel gevallen wordt dit gebruikt voor Monte Carlo simulatie. We kijken of de transformatie ook kan helpen bij onze numerieke schema s. Het doel hierbij is een transformatie te vinden die de vergelijking vereenvoudigt, bijvoorbeeld als een aantal termen elkaar te laten cancellen. Voor de numerieke schema s die wij zullen gebruiken is het vooral interessant te kijken wat er gebeurt met de randen van het gebied. Ter inleiding zullen we de transformatie S ln(s), ν ln(ν) bekijken. Daarna analyseren we een algemene coördinatentransformatie Coördinatentransformatie S ln(s), ν ln(ν) We proberen de vergelijking in (25) te versimpelen door de volge coördinatentransformatie toe te passen: 20

22 S ln(s) = Ŝ, ν ln(ν) = ˆν. Met behulp van de kettingregel kunnen we nu de partiële afgeleides uit (25) in S en ν omschrijven naar afgeleides in Ŝ en ˆν. S = Ŝ Ŝ S = 1 S Ŝ 2 V S 2 = S ( 1 S ) Ŝ = 1 S 2 Ŝ + 1 S = 1 S 2 Ŝ + 1 S = 1 S 2 Ŝ + 1 S = 1 S 2 Ŝ + 1 S = 1 S 2 Ŝ + 1 S = 1 S 2 Ŝ + 1 S Ŝ = 1 S 2 Ŝ + 1 ( ( 1 2 V S S = 1 ( 2 ) V S 2 2 Ŝ2 Ŝ = 1 ν ˆν ( 2 ) V ˆν 2 2 ˆν ν 2 V ν 2 = 1 ν 2 2 V ν S = 1 νs 2 V ˆν Ŝ S Ŝ Ŝ S ( ) 1 Ŝ S Ŝ ( [ ] ) V Ŝ Ŝ S S ( [ ( ) Ŝ2 ] 1 S ) V Ŝ S S Ŝ S ( Ŝ2 [ 1S ] 2 S ) V S Ŝ2 Ŝ )) Ŝ2 Substitueren van bovenstaande transformaties in (25) levert de volge vergelijking: t + 1 ( 2 2 ν V 2 Ŝ2 Ŝ ) +ργ 2 V Ŝ ˆν + 1 γ 2 ( 2 ) V 2 ν ˆν 2 2 +r rv = κ ˆν Ŝ ) (1 ν ν ˆν. (38) Nu gebruiken we S = eŝ en ν = eˆν, zodat we de volge formule vinden voor ˆν = ln(ν): Ŝ = ln(s) en 21

23 t + 1 ( eˆν 2 V 2 2 Ŝ2 Ŝ ) +ργ 2 V Ŝ ˆν + 1 ( 2 γ2 e ˆν 2 ) V ˆν 2 2 +r ˆν ( Ŝ rv = κ 1 ν e ˆν) ˆν. We kunnen ook de randvoorwaarden voor een call optie C(S, ν, t) uit (26) en (27) transformeren. We beginnen door op te merken dat S = 0 equivalent is met Ŝ = en S = met Ŝ =. Hetzelfde resultaat geldt uiteraard voor ν en ˆν. Gebruikmak van C S = 1 C vinden we dan eŝ Ŝ voor (26): (39) Voor (27) vinden we C(Ŝ, ˆν, T ) = max(ŝ(t ) K, 0), C(, ˆν, t) = 0, C Ŝ (, ˆν, t) = eŝ. (40) C(Ŝ,, t) = eŝ, (41) r C Ŝ (Ŝ,, t) + κν 1 C C eˆv (Ŝ,, t) rc(ŝ,, t) + (Ŝ,, t) = 0. ˆν t We zien dat in de laatste regel de uitdrukking 1 eˆν voorkomt. Als ˆν, dan zal deze uitdrukking naar gaan, wat een probleem veroorzaakt Algemene coördinaten transformatie Bij de transformatie S ln(s), ν ln(ν) hebben we gezien dat er geen numerieke voordelen ontstaan in de resultere vergelijking en randvoorwaarden en dus is het dit geen goede transformatie. In deze sectie beschouwen we een algemene transformatie en beschrijven de eisen aan die transformatie om numerieke problemen te voorkomen. We laten eerst de gevolgen van algemene transformaties op de afgeleides van V zien. We gebruiken de volge notatie Ŝ = f(s), S = 1 f (Ŝ), dŝ ds = f (S), ds dŝ = [f 1 ] (S), d 2 Ŝ ds 2 = f (S). 22

24 Nu zien we voor S : S = Ŝ Ŝ S = f (S) Ŝ en voor 2 V S 2 2 V S 2 = S ( S = S = Ŝ f (S) ) Ŝ ( ) S f (S) = f (S) Ŝ + f (S) Ŝ ( + f (S) S ) Ŝ S ( f (S) Ŝ = f (S) Ŝ + f (S) ) Ŝ = f (S) ( ( ) ) Ŝ + f (S) Ŝ Ŝ f (S) + f (S) 2 V Ŝ2 = f (S) ( ) Ŝ + f (S) Ŝ f (S)[f 1 ] (Ŝ) + f (S) 2 V Ŝ2 = (f (S)) 2 2 V ( ) + f (S) 1 + f (S)[f 1 ] (Ŝ) Ŝ2 Ŝ. We kunnen de transformaties als functies van Ŝ beschouwen door S = f 1 (Ŝ) toe te passen. Dezelfde analyse kunnen we toepassen voor transformaties in ν. Nu kunnen we (42) toepassen op de oorspronkelijke Heston vergelijking, om de getransformeerde formule te vinden. We passen Ŝ = f(s) en ˆν = u(ν) toe. We vinden dan de volge vergelijking t νs2 (f (S)) 2 2 V ( ) + f (S) 1 + f (S)[f 1 ] (Ŝ) Ŝ2 Ŝ + ργsνf (S)u (ν) 2 V Ŝ ˆν νγ2 (u (v)) 2 2 V ˆν 2 + u (ν) ( 1 + u (ν)[u 1 ] (ˆν) ) ˆν = κ (ν ν )u (ν) ˆν. + rs Ŝ rv (42) We gaan nu bekijken hoe we de problemen die we bij de transformatie S ln(s), ν ln(ν) tegenkwamen kunnen generaliseren. Er zijn twee type problemen: 23

25 1. De uitdrukkingen voor de afgeleides worden snel te groot. De reden dat dit een probleem vormt, is dat een specifieke afgeleide gaat overheersen in de uiteindelijke oplossing. We zoeken dus een transformatie, waardoor de termen voor de afgeleides begrensd zijn op de randen van het getransformeerde gebied. 2. De transformatie zorgt voor een extra truncatie in het numerieke schema. In de oorspronkelijke coördinaten S en ν kiezen bekijken we het gebied [0, ] [0, ]. Voor het numerieke schema zullen we dit moeten trunceren tot [0, S max ] [0, ν max ]. Als door de transformatie de rand S = 0 of ν = 0 op komt, moeten we een extra truncatie toevoegen. Hierdoor wordt de oplossing minder nauwkeurig. Als we de S termen in (43) bekijken, zien we dat er twee uitdrukkingen voor de afgeleides staan die problemen op kunnen leveren. Om probleem 1 te voorkomen, moeten we f zo kiezen dat Sf (S) en S 2 (f (S)) 2 niet te snel groot worden. Hieruit volgt dat f (S) = 1 S (oftewel f(s) = ln(s)) een logische kandidaat is, hierdoor maken we de oorspronkelijke vergelijking ook nog gemakkelijker omdat de S en S 2 term vervallen. ) Er ontstaat echter dan een probleem in de uitdrukking f (S) (1 + f (S)[f 1 ] (Ŝ). Hier introduceren we dan namelijk de uitdrukking f (S) = 1 S 2, die niet is gedefinieerd op de rand S = 0. Voor de transformatie in ν is er zelfs geen geschikte kandidaat te vinden. Deze moet dan de uitdrukking νu (ν) en ν(u (ν)) 2 versimpelen, zonder een singulariteit te creëren op de rand ν = 0. We zien dat zo n transformatie niet bestaat. Daarom kunnen we concluderen dat het transformeren van het stelsel niet zinvol is. 4.4 Feller conditie Om te garanderen dat de variantie in (2) positief blijft (ν > 0), moet aan de zogenaamde Feller conditie worden voldaan [5]: 2κν γ 2 (43) In [5] wordt geschreven dat het proces 2ζν t voor 0 < s < t beschreven wordt door een non-centrale chi-kwadraat verdeling met graad q en non-centraliteit parameter 2ζν s e κ(t s), χ 2 (q, 2ζν s e κ(t s) ) waarbij: ζ = 2κ (1 e κ(t s) )γ 2 q = 2κν γ 2 1 De Feller conditie is dus equivalent met q 0. In de praktijk blijkt vaak niet aan de Feller conditie te worden voldaan. We zullen bij de numerieke resultaten zien dat de fouten inderdaad groter worden wanneer niet voldaan is aan de Feller conditie. 24

26 5 Numerieke implementatie 5.1 Eindige differenties voor Black-Scholes Voor het oplossen van de Black Scholes PDV (9) gaan we eindige differenties gebruiken. We volgen de aanpak uit hoofdstuk 24 van [1], waarbij we voorwaartse differentie in de tijd t gebruiken en centrale differentie in de waarde van het onderligge aandeel S. Hiervoor passen we de coördinatentransformatie τ = T t toe, zodat we onze eindtijdconditie om kunnen schrijven naar een begintijdconditie. Na deze transformatie vinden we τ 1 2 σ2 S 2 2 V rs S2 S + rv = 0. (44) We gaan de optiewaarde V bepalen op een N S N τ grid in S en τ. We discretizeren S en τ als S j = jh, τ i = ik. Hierin zijn h en k de stapgroottes in respectievelijk S en t. Gebruikmak van de voorwaartse en centrale differenties, vinden we voor de partiële afgeleides op het punt (jh, ik) Nu vinden we voor (44) = V j i+1 Vj i, τ k S = V j+1 i V j 1 i, 2h 2 V S 2 = V j+1 i 2V j i + V j 1 i h 2. V i+1 j V i j k 1 2 σ2 (jh) 2 V j+1 i 2V j i + V j 1 i h 2 rjh V j+1 i V i 2h j 1 + rv i j = 0. (45) Dit kunnen we omschrijven naar een uitdrukking voor V i+1 j V i+1 j = V i j (1 rk) kσ2 j 2 (V i j+1 2V i j + V i j 1) rkj(v i j+1 V i j 1). (46) Nu kunnen we een matrix-vector representatie voor deze vergelijking opstellen. Laat 25

27 V i = V i 1 V i 2. RN S 1 (47) V i N S 1 de numerieke oplossing zijn op τ i. Voordat we verder gaan, moeten we eerst kijken naar welke randvoorwaarden we hebben. Als we een call optie beschouwen, hebben we de randvoorwaarden V (0, τ) = 0 en C(S max, τ) = S max. Dit kunnen we omschrijven naar V i 0 = 0 V i N S = S max (48) de numerieke oplossing zijn op τ i. Verder hebben we de beginconditie (τ = 0 geeft t = T ) V (S, τ = 0) = max(s(τ = 0) K, 0), die we om kunnen schrijven naar V 0 j = max(s j K, 0) = max(jh K, 0) (49) We gaan nu op zoek naar een Matrix-Vector representatie van de vorm V i+1 = F V i + p i, (50) waarbij p i gebruikt wordt om de randvoorwaarden te verwerken. Uit (46) volgt dat voor F geldt F = (1 rk)i kσ2 D 2 T krd 1T 1 (51) waarbij 26

28 D 1 = D 2 = T 1 = T 2 = , N S , (N S 1) , De keuze van deze matrices volgt direct uit (46) op de volge manier V i+1 j = Vj i }{{} I (1 rk) kσ2 j 2 }{{} D 2 (Vj+1 i 2Vj i + Vj 1) i } {{ } T rk }{{} j (Vj+1 i Vj 1) i } {{ } D 1 T 1, waarbij de underbraces aangeven in de rij van welke matrix dat gedeelte van de formule terugkomt. We zien dat T 1 en T 2 op de eerste een laatste rij niet overeenkomen met (46). Dit kunnen we oplossen met de vector p i. Voor j = 1 vinden we V1 i+1 = V1 i (1 rk) kσ2 1 2 (V2 i 2V1 i + V0 i ) + 1 i rk 1 (V2 V0 i ) = V i 1 }{{} I (1 rk) kσ2 1 2 }{{} D 2 (V2 i 2V1 i ) } {{ } T rk }{{} 1 }{{} D 1 V2 i + T 1 2 kσ2 V0 i 1 2 rkv 0 i, } {{ } p i 27

29 waarbij de underbraces dezelfde betekenis hebben als voorheen. Voor j = N S 1 vinden we V i+1 N S 1 = V i N S 1(1 rk) kσ2 (N S 1) 2 (V i N S 2V i N S 1 + V i N S 2) rk(n S 1)(V i N S V i N S 2) = VN i S 1(1 rk) + 1 } {{ } 2 kσ2 (N S 1) 2 ( 2VN i } {{ } S 1 + V i 1 N S 2) + } {{ } 2 rk (N S 1) VN i } {{ } S 2 } {{ } I D 2 T 2 D 1 T kσ2 (N S 1) 2 VN i S rk(n S 1)VN i S. } {{ } p i Hieruit volgt voor p i p i = 1 2 k(σ2 r)v0 i k(n S 1)(σ 2 (N S 1) + r)v i N S. Het schema V i+1 = F V i + p i kan nu worden geïmplementeerd in MATLAB. Dit is voor een call-optie gedaan, zie sectie D.1 van de MATLAB appix. 5.2 Eindige differenties voor Heston We gaan eindige differenties toepassen op de ongetransformeerde Heston vergelijking t νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν νγ2 2 V + rs ν2 S rv = κ (ν ν ) ν. (52) We maken gebruik van voorwaartse differentie in de tijd t en centrale differenties in S en ν. Voor de convectie termen zullen we upwind discretisatie gebruiken, zie appix C. We passen eerst de transformatie τ = T t toe, zodat we de eindtijdconditie om kunnen schrijven naar een beginwaarde. We schrijven direct om naar een uitdrukking voor τ, zodat we vinden τ = 1 2 νs2 2 V S 2 + ργsν 2 V S ν νγ2 2 V + rs ν2 S rv + κ (ν ν ) ν. (53) We passen de volge discretisaties toe op τ, S en ν: τ i = ik, S j = jh, ν m = ml. 28

30 Hierin zijn k, h en l de stapgroottes in τ, S en ν respectievelijk. We schrijven nu V i τ i, S j en ν m. Voor de partiële afgeleides in (τ i, S j, ν m ) gebruiken we j,m voor V op = V j,m i+1 j,m i, τ k (54) S = V j+1,m i j 1,m i, 2h (55) = V j,m+1 i j,m 1 i, ν 2l (56) 2 V S 2 = V j+1,m i j,m i j 1,m i h 2, (57) 2 V ν 2 = V j,m+1 i j,m i j,m+1 i l 2, (58) 2 V = V j+1,m+1 i j 1,m+1 i j+1,m 1 i j 1,m 1 i. S ν 4lh (59) Deze discretisaties passen we toe op (53). We versimpelen de notatie door de indices i, j en m alleen te vermelden als ze afwijk zijn (we schrijven bijvoorbeeld V j+1 voor Vj+1,m i ). Nu vinden we voor V i+1 V i+1 = kmlj2 2 + γ2 km 2l (V j+1 2V + V j 1 ) + ργkmj 4 (V m+1 2V + V m 1 ) + rkj 2 (V j+1 V j 1 ) (rk 1)V kmκ 2 (V j+1,m+1 V j 1,m+1 V j+1,m 1 + V j 1,m 1 ) (V m+1 V m 1 ) + kν κ (V m+1 V m 1 ) 2l We willen dit omschrijven naar een matrix-vector notatie van de vorm V i+1 = F V i. We beginnen door ons [0, N ν ] [0, N S ] grid horizontaal te nummeren in de ν-richting. Hierdoor wordt V een vector van lengte (N ν + 1)(N S + 1). Door de nummering in de ν-richting te kiezen, gebruiken we (ν = m, S = j) m j(n ν + 1) en vinden we V j,m = V n, V j,m+1 = V n+1, V j+1,m = V n+nν+1, V j+1,m+1 = V n+nν+2. waarbij n = m j(n ν + 1). Nu kunnen we F schrijven als 29

31 F = kl 2 D 1T 1 + ργk 4 D 2T 2 + γ2 k 2l D 3T 3 + rk 2 D 4T 4 (rk 1)I kκ 2 D 5T 5 + kν κ T 6, 2l met de keuzes van D en T analoog aan die uit de behandeling van Black-Scholes, gebruikmak van de nummering in de ν-richting. Implementatie van de randen is op dit moment eenvoudig, omdat we daar een Dirichlet voorwaarde hebben. We kunnen in de rijen van de elementen op die randen de correspondere rij uit de identiteitsmatrix toepassen. Bij het behandelen van de resultaten zullen we echter zien dat we ook alternatieve randvoorwaarden gebruiken. Deze worden geïmplementeerd met behulp van een upwind schema. In de appix C wordt dit schema verder toegelicht. 6 Resultaten In deze sectie analyseren we de resultaten van de numerieke schema s ontwikkeld voor de Black- Scholes en Heston optievergelijking. We vergelijken deze resultaten met de exacte oplossingen. 6.1 Black-Scholes model Tenzij anders vermeld, wordt in deze sectie een call optie behandeld en zijn de volge parameters gebruikt: K = 100, σ = 0.2, r = 0.05, T = 1, S max = 200. In figuur 3, zien we de resultaten voor N S = 100, N t = 500. We zien direct dat er een fout is op de rand S = S max. Deze fout wordt veroorzaakt door de truncatie van het domein. De keuze voor de randvoorwaarde V (S max, t) = S max is gebaseerd op het argument dat K verwaarloosbaar klein is t.o.v. S max (S max >> K). In het numerieke schema geeft dit dus een fout van grootte S max K op de rand. Deze fout werkt door in de rest van het schema, zoals te zien in figuur 4. Naast de fout veroorzaakt door de truncatie, wordt er ook een numerieke fout geïntroduceerd door het differentie-schema. De voorwaartse differentie in de tijd veroorzaakt een fout van O(k), de centrale differentie in S veroorzaakt een fout van O(h 2 ). Uit figuur 4 volgt dat de fout veroorzaakt door de truncatie van het domein groter is dan de fout in de differenties. We kunnen op twee manieren met de domein-fout omgaan. De eerste mogelijkheid is om S max groter te kiezen. Het probleem hierbij is dat we N S dan evenredig groter moeten maken, omdat we anders een grotere fout in de differentie introduceren. Dit vertraagt het schema. 30

32 Figuur 3: Plots van de oplossing van de Black-Scholes vergelijking. We zien dat de truncatie van gebied een fout in de numerieke oplossing veroorzaakt. Boven: Exacte oplossing. Onder: Numerieke oplossing. Een alternatieve oplossing vinden we door de randvoorwaarde anders te kiezen. In plaats van te gebruiken dat V (S max, t) = S max, kiezen we nu dat V (S max, t) = S max K. Het theoretische argument dat lim S V (S, t) = S blijft dan geldig. Praktisch voorkomt het de domein-fout die verooraakt wordt door een eindige S max. Deze randvoorwaarde is toegepast, het resultaat (bij N S = 100, N t = 500) is zichtbaar in figuur 5. De fout op t = 0 wordt afgebeeld in figuur 6. Tot slot moeten we nog een korte opmerking maken over de stabiliteit van het schema. Omdat we gebruik maken van een voorwaartse differentie in de tijd en een centrale differentie in S, geldt er een stabiliteitseis van de vorm 31

33 Figuur 4: Grafiek van de fout van het numerieke schema op t = 0 (τ = T ). We zien dat er een fout rond S = S max is van orde S K. Deze fout wordt veroorzaakt door de truncatie van het S-domein. k < Ch 2. (60) We kunnen C theoretisch bepalen door de versterkingsfactor van ons schema te onderzoeken. Een alternatieve methode is te bekijken bij welke verhouding de numerieke tests onstabiele resultaten geven. Hieruit is gebleken dat we stabiliteit hebben voor C < 1/

34 Figuur 5: Plots van de oplossing van de Black-Scholes vergelijking met de nieuwe randvoorwaarde op S = S max. We zien dat er een veel betere overlap is tussen de waardes. Boven: Exacte oplossing. Onder: Numerieke oplossing. 33

35 Figuur 6: Grafiek van de fout van het numerieke schema op t = 0 (τ = T ) bij de nieuwe randvoorwaarde op S = S max. We zien dat de fout veel kleiner is dan bij de oorspronkelijke randvoorwaarde. De restere fout komt door de differentie. 34

36 6.2 Heston model Het is belangrijk op te merken dat de plots nu allemaal zijn op het vaste tijdstip t = 0 (τ = T ). Het domein van de plots is dus een (S, ν) domein in tegenstelling tot het (S, t) domein bij de Black-Scholes analyse. Tenzij anders vermeld, worden in deze sectie call-opties behandeld en zijn de volge waardes voor de parameters gebruikt: K = 100, r = 0, ρ = 0.9, ν = 0.04, γ = 1, κ = 5, N S = 200, N v = 20, N t = 10000, S max = 200, ν max = 0.2, T = 1. We beginnen de analyse door een plot te bekijken met de randvoorwaardes zoals gegeven in sectie In figuur 7 zijn de numerieke en exacte oplossing afgebeeld met de aangepaste randvoorwaarde op ν = 0. We zien direct dat we op de rand S = S max dezelfde fout introduceren als bij het Black-Scholes model. De truncatie van het domein introduceert een fout van grootte S K, omdat de achterligge gedachte bij de voorwaarde V (S max, ν, t) = S max is dat K verwaarloosbaar klein is. Net als bij de Black-Scholes analyse kunnen we dit probleem oplossen door de voorwaarde te vervangen door V (S max, ν, t) = S max K. We vinden dan een resultaat van de vorm als in grafiek 8. Vanaf nu gebruiken we dus de randvoorwaarde V (S max, ν, t) = S max K. (61) Na het toepassen van de nieuwe randvoorwaarde op S = S max, vinden we de plot in figuur 8. We zien dat er nog steeds een fout van orde S K gemaakt wordt, maar nu alleen op de rand ν = ν max! De randvoorwaarde daar is V (S, ν max, t) = S, maar in de literatuur is deze voorwaarde niet volledig geaccepteerd (zie sectie 3.2.1). Net als op de rand S = S max, zullen we de voorwaarde vervangen door S K. De randvoorwaarde op ν = ν max is nu dus V (S, ν max, t) = S K. (62) 35

37 Figuur 7: Plots van de oplossing van de Heston vergelijking. We zien dat de truncatie van gebied een fout in de numerieke oplossing veroorzaakt. Boven: Exacte oplossing. Onder: Numerieke oplossing. 36

38 Figuur 8: Numerieke oplossing met alternatieve randvoorwaarde op S = S max. Het truncatieprobleem is op die rand verholpen, maar bestaat nog steeds op ν = ν max. 37

39 Na toepassing van de verbeterde randvoorwaardes, vinden we uiteindelijk een grafiek van de vorm die we zouden verwachten, zie figuur 9. Als we dit resultaat vergelijken met de exacte oplossing, kunnen we een plot van de fout maken. Dit is gedaan in figuur 10. Hierin is de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing afgebeeld. We zien dat er een opvall piek loopt over het gebied rond S K. Figuur 9: Numerieke oplossing met alternatieve randvoorwaardes op S = S max en ν = ν max. Het truncatieprobleem is nu verholpen. De piek blijkt inderdaad afhankelijk te zijn van de keuze van K. In figuur 11 is de fout afgebeeld voor K = 150, daarin zien we dat de piek is meegeschoven. De vraag is hoe we deze piek kunnen verklaren. Een logische gedachte is dat deze fout veroorzaakt wordt door de fouten bij het toepassen van differenties. Bij experimenten met zeer kleine stapgroottes bleef de fout echter bestaan en van dezelfde grootte 2. Dit is te zien in figuur 12, die gemaakt is met stapgroottes h =.25, l = 0.025, k = Bij deze stapgroottes is niet meer gebruik gemaakt van de Matrix-Vector vorm van de numerieke schema s zoals beschreven in sectie 5. De benodigde matrices werden dan te groot voor MATLAB. In plaats daarvan werd een recursief schema gebruikt, zie de MATLAB appix. 38

40 Figuur 10: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing. We zien een opvalle piek in de fout rond het gebied S K. Figuur 11: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing bij K = 150. We zien dat de piek in de fout rond het gebied S K is meegeschoven. 39

41 Figuur 12: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing bij h =.25, l = 0.025, k = 1.6e 5. We zien dat de piek in de fout rond het gebied S K nog steeds bestaat en even groot is gebleven. 40

42 We kunnen wel het foutenprofiel in het centrum afvlakken door ν max groter te kiezen. In figuur 13 zien we dit, hierbij is ν max = 1. Helaas blijft het probleem aan de rand bestaan. De oplossing hiervoor vinden we in [26], waar een alternatieve randvoorwaarde wordt opgesteld. Daar maken ze gebruik van de voorwaarde ν (S, ν max, t) = 0. (63) Met deze voorwaarde is het probleem in de rand ν = ν max verholpen! In figuur 14 is de voorwaarde geïmplementeerd met eenzijdige differenties, wederom met ν max = 1. Figuur 13: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing met ν max = 1. Hoewel het foutprofiel in het centrum afgevlakt is, blijft het probleem aan de rand bestaan. 41

43 Figuur 14: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing met randvoorwaarde ν (S, ν max, t) = 0. Het probleem aan de rand van ν = ν max is hiermee opgelost! 42

44 S = 0 S = S max ν = 0 ν = ν max V = 0 V = S V = 0 V = S V = max(s K, 0) V = max(s K, 0) S = 0 ν = 0 ν = 0 S = 1 rs S + κν ν rv + t = 0 Tabel 1: Overzicht van de verschille gebruikte randvoorwaardes. De combinatie van de rode voorwaarden leveren het beste foutprofiel. Helaas is dit de laatste verbetering die we met behulp van randvoorwaarden toe hebben kunnen passen. Er zijn nog veel verschille randvoorwaardes geprobeerd, in tabel 1 is een overzicht van deze voorwaarden te zien. De gebruikte voor de beste resultaten zijn hierin dikgedrukt. Het probleem op de rand S = S max dat nog overblijft, is een gevolg van de code uit [14] die gebruikt wordt voor de exacte oplossing. Deze blijkt slecht te functioneren op de rand S = S max voor grote T. Dit is te zien in figuur 15, waarin we het foutprofiel zien voor T = We zien dat de fout op S = S max verdwenen is. Merk op dat de schaal van het foutprofiel ook verkleind is, omdat we minder stappen bekijken. Alleen de fouten op ν = 0 en S = K blijven dus bestaan. De fout op S = K wordt vermoedelijk veroorzaakt door de kink in de beginvoorwaarde V = max(s K, 0). De fout op ν = 0 is niet van groot belang, omdat deze situatie in praktijk nauwelijks voorkomt. De numerieke code is ook geïmplementeerd voor put-opties, zie MATLAB appix D. In de numerieke oplossing maken we dan gebruik van andere voorwaarden in S en de andere beginvoorwaarde(zoals gepresenteerd in sectie 3.2.1). Voor de exacte oplossing maken we gebruik van de put-call pariteit. Figuur 15: Plot van de absolute waarde van het verschil tussen de numerieke en de exacte oplossing met T = Het probleem aan de rand S = S max is hiermee verholpen. 43

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e

aandeelprijs op t = T 8.5 e 9 e 9.5 e 10 e 10.5 e 11 e 11.5 e 1 Technische Universiteit Delft Fac. Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tussentoets Waarderen van Derivaten, Wi 3405TU Vrijdag november 01 9:00-11:00 ( uurs tentamen) 1. a. De koers van het aandeel

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk

Europese Callopties. Arald de Wilde. ardwilde@cs.vu.nl. BWI-werkstuk Europese Callopties Arald de Wilde ardwilde@cs.vu.nl BWI-werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte Wetenschappen Bedrijfswiskunde en Informatica De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Juli 2006 Voorwoord

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options. 30 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les4! Aandelen options 30 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Aandelen opties (H9) Optiestrategieën (H10) Vuistregels Volatility (H16) Binomiale boom (H11) 2 Optieprijs Welke

Nadere informatie

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes

De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics De geïmpliceerde boom en de scheefheid van Black-Scholes Verslag ten behoeve van

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics AEX-Sparen: sparen en beleggen in één (AEX-Sparen: a combination of saving and investing)

Nadere informatie

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij

Het Heston model. Carlo Kuiper 27 augustus 2011. Bachelorscriptie. Begeleiding: dr. Peter Spreij Het Heston model Carlo Kuiper 27 augustus 2011 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Peter Spreij waarde 4 2 2 4 6 8 10 t 2 KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1

LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 LYNX Masterclass Opties handelen: de basis deel 1 Mede mogelijk gemaakt door TOM Tycho Schaaf 22 oktober 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf

Nadere informatie

Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging options under Lévy processes)

Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging options under Lévy processes) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het prijzen en hedgen van opties met Lévy processen (Engelse titel: Pricing and hedging

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Samenvatting (Summary in Dutch)

Samenvatting (Summary in Dutch) Samenvatting (Summary in Dutch) In dit proefschrift ontwikkel ik enige kwantitatieve methoden die gebruikt kunnen worden bij het nanciële risicomanagement van in de eerste plaats een levensverzekeraar

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Derde bachelor informatica Oefeningen 0 mei 0. Gegeven is het beginwaardeprobleem y y 0, 04y + 0000y y y (0) = y = 0, 04y 0000y y 0 7 y y, y (0) = 0 0 7 y y (0) 0 Los

Nadere informatie

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.

Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur

Nadere informatie

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk

The Midas Formula THE MIDAS FORMULA. Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk THE MIDAS FORMULA Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk 1 The Midas Formula Een onderzoek naar het Black-Scholes-Merton model in de theorie en de praktijk. Profielwerkstuk

Nadere informatie

Portfolio-optimalisatie

Portfolio-optimalisatie Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013 Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs

Nadere informatie

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar

Optie-Grieken 21 juni 2013. Vragen? Mail naar Optie-Grieken 21 juni 2013 Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Optie-Grieken Waarom zijn de grieken belangrijk? Mijn allereerste doel is steeds kapitaalbehoud. Het is even belangrijk om afscheid

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model)

Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Het Ho-Lee rentemodel (Engelse titel: The Ho-Lee interest rate model) Verslag ten

Nadere informatie

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)

Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Wat is een optie waard?

Wat is een optie waard? Hoofdstuk III Wat is een optie waard? Herold Dehling 1. Inleiding In het najaar van 1997 werd de Nobelprijs voor Economie uitgereikt aan de Amerikaanse hoogleraren Robert C. Merton en Myron S. Scholes

Nadere informatie

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen

Referentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Verrassende uitkomsten in stromingen

Verrassende uitkomsten in stromingen Verrassende uitkomsten in stromingen Deel 2 G.A. Bruggeman De wiskundige theorie van de grondwaterstroming biedt nu en dan uitkomsten die opvallen door hun eenvoud of anderszins door hun bijzonder structuur,

Nadere informatie

Optie waardering: In vergelijking met

Optie waardering: In vergelijking met Black-Scholes model Optie waardering: In vergelijking met Neurale Netwerken Erasmus Universiteit Rotterdam Sectie Economie Bachelorthesis Door Randy van Hoek 66789 Onder begeleiding van dr. ir. J. van

Nadere informatie

Matlab-Introductie (les 1)

Matlab-Introductie (les 1) Matlab-Introductie (les 1) Wat is Matlab? MATLAB staat voor MATrix LABoratory. Opstarten van Matlab Dit hangt af van het onderligge systeem (Windows, Linux,...), Maar kortweg geldt bijna altijd: ga met

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

Matlab introductie. Kees Vuik

Matlab introductie. Kees Vuik Matlab introductie Kees Vuik 2014 Delft University of Technology Faculty of Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science Delft Institute of Applied Mathematics Copyright 2014 by Delft Institute

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Discounters: Risicovol of Risicoloos? (Engelse titel: Discounters: Riskful or riskless?)

Nadere informatie

Het Black-Scholes optieprijsmodel. Frans van Helden

Het Black-Scholes optieprijsmodel. Frans van Helden Het Black-Scholes optieprijsmodel Frans van Helden 16 december 2008 2 Inhoudsopgave Voorwoord 5 1 Stochastiek van aandelenkoersen 7 1.1 Marktefficiëntie...................................... 7 1.2 Afleiding

Nadere informatie

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes

Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Van Cox-Ross-Rubinstein tot Black-Scholes Peter Spreij Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Plantage Muidergracht 24 1018 TV Amsterdam spreij@science.uva.nl www.science.uva.nl/

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is:

EXAMENVRAGEN OPTIES. 1. Een short put is: EXAMENVRAGEN OPTIES 1. Een short put is: A. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke prijs in een bepaalde B. een verplichting om een onderliggende waarde tegen een specifieke

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004

Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren

Nadere informatie

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding

OPTIE THEORIE. 1. Inleiding OPTIE THEORIE 1. Inleiding Het begrip aandeel is ongetwijfeld bij velen bekend. Je kunt op de financiële pagina van een willekeurige krant elke dag de aandelenkoersen van bekende en minder bekende ondernemingen

Nadere informatie

Willem van Ravenstein 2007

Willem van Ravenstein 2007 Inhoud van ruimtelijke figuren Inhoud van omwentelingslichamen Lengte van een kromme Differentiaalvergelijkingen Richtingsvelden Standaardtypen differentiaalvergelijkingen Losse eindjes, tips & truuks

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext.

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers BASIC. Member of the KBC group. Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Call en put opties 3 2. Koper en schrijver 4 3. Standaardisatie 5 Onderliggende

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche)

Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen

Nadere informatie

Domein A: Vaardigheden

Domein A: Vaardigheden Examenprogramma Wiskunde A havo Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Algebra en tellen

Nadere informatie

Appendices. Beleggen en financiële markten

Appendices. Beleggen en financiële markten Appendices bij Beleggen en financiële markten 4 e druk 2013 Hans Buunk 2014 Sdu Uitgevers, Den Haag Academic Service is een imprint van BIM Media bv. Deze publicatie behoort bij Titel: Beleggen en financiële

Nadere informatie

EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX

EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX EEN SIMULATIESTUDIE VAN DE SCHEDULE CONTROL INDEX Universiteit Gent Faculteit economie en bedrijfskunde Student X Tussentijds Rapport Promotor: prof. dr. M. Vanhoucke Begeleider: Y Academiejaar 20XX-20XX

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014 Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen

Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen Departement Fysica Faculteit Wetenschappen, Universiteit Antwerpen Genererende functie methode voor optieprijs geïnduceerde verdelingen Auteur: Nick Verhelst Promotor: Prof. dr. Jacques Tempere Proefschrift

Nadere informatie

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel

Financiële economie. Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economie Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financiële economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde

Nadere informatie

Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen.

Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen. Vakgroep Informatietechnologie Voorzitter: Prof. Paul Lagasse Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen. Door Hendrik De Raeve Promotors: Prof. Dr. Ir. Mario Pickavet en

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010

AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options. 23 september 2010 AG8! Derivatentheorie Les3! Swaps & options 23 september 2010 1 Agenda Huiswerk vorige keer Swaps (H7 1 t/m 4) Optie markt (H8) 2 Interest Rate Swaps Een interest rate swap (IRS) is een financieel contract

Nadere informatie

Energieverlies bij warmwaterleidingen

Energieverlies bij warmwaterleidingen Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Energieverlies bij warmwaterleidingen Verslag ten behoeve van het Delft Institute

Nadere informatie

Wiskundige vaardigheden

Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Epidemiologische modellen voor de groei en afnamen van online sociale netwerken (Engelse

Nadere informatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie

VORtech Computing. Experts in Technisch Rekenwerk MEMO. Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA. BvtH/M08.079. Onderwerp. Documentinformatie Experts in Technisch Rekenwerk Postbus 260 2600 AG DELFT MEMO Datum Auteur(s) Onderwerp BvtH/M08.079 24-nov-2008 Bas van 't Hof Verwerking van diagonale overlaten in WAQUA tel. 015-285 0125 fax. 015-285

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Wachten in de supermarkt

Wachten in de supermarkt Wachten in de supermarkt Rik Schepens 0772841 Rob Wu 0787817 22 juni 2012 Begeleider: Marko Boon Modelleren A Vakcode: 2WH01 Inhoudsopgave Samenvatting 1 1 Inleiding 1 2 Theorie 1 3 Model 3 4 Resultaten

Nadere informatie

Infosessie Datastream Handleiding

Infosessie Datastream Handleiding Infosessie Datastream Handleiding In onderstaande handleiding worden enkele basisprincipes van het zoeken naar gegevens in Datastream geïllustreerd. Voor meer achtergrond informatie over de software wordt

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse

HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics

Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Voorbeeld examenvragen Boekdeel 2 en special topics Vraag 1 Stel dat je 10 aandelen Fortis in portfolio hebt, elk aandeel met een huidige waarde van 31 per aandeel. Fortis beslist om een deel van haar

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015

LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3. Tycho Schaaf 5 november 2015 LYNX Masterclass: Opties handelen: handelsstrategieën deel 3 Tycho Schaaf 5 november 2015 Introductie Tycho Schaaf, beleggingsspecialist bij online broker LYNX Werkzaam bij LYNX vanaf 2007 Handelservaring

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven

Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven Het verhaal van de financiële staart Jan Beirlant, Goedele Dierckx Universitair Centrum voor Statistiek en Departement Wiskunde, KULeuven In het secundair onderwijs wordt de 8-uur wiskunde nauwelijks nog

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group

Opties. Brochure bestemd voor particuliere beleggers INTERMEDIATE. Member of the KBC group Brochure bestemd voor particuliere beleggers Gepubliceerd door KBC Securities in samen werking met Euronext. p. 2 Index 1. Inleiding 3 2. Valutaopties 4 Twee valutaoptiecontracten 4 Waarom valutaopties

Nadere informatie

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2.

Model: Er is één bediende en de capaciteit van de wachtrij is onbegrensd. 1/19. 1 ) = σ 2 + τ 2 = s 2. Het M/G/1 model In veel toepassingen is de aanname van exponentiële bedieningstijden niet realistisch (denk bijv. aan produktietijden). Daarom zullen we nu naar het model kijken met willekeurig verdeelde

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

20 Maart : Risk reversal en verticals

20 Maart : Risk reversal en verticals Welkom bij de starters coachingclub! 20 Maart : Risk reversal en verticals Vragen? Mail naar training@cashflowopties.com Piet @ Chicago CBOE @ Chicago Today DAL : DELTA Airlines DAL steeg reeds 43 percent

Nadere informatie

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.

Nadere informatie

Examenprogramma wiskunde D havo

Examenprogramma wiskunde D havo Examenprogramma wiskunde D havo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek

Nadere informatie