Handreiking schoolexamen wiskunde A vwo

Transcriptie

1 Handreiking schoolexamen wiskunde A vwo Tweede fase Herziening examenprogramma's havo/vwo Nico Alink Iris van Gulik Jenneke Krüger Enschede, maart 2007

2 Verantwoording 2007 Stichting leerplanontwikkeling (SLO), Enschede Alle rechten voorbehouden. Mits de bron wordt vermeld is het toegestaan om zonder voorafgaande toestemming van de uitgever deze uitgave geheel of gedeeltelijk te kopiëren dan wel op andere wijze te verveelvoudigen. Auteurs: Nico Alink, Iris van Gulik, Jenneke Krüger Redactie: ZonneveldMarks, Deventer Ontwerp omslag en productie: Axis media-ontwerpers, Enschede In opdracht van: Ministerie van Onderwijs, Cultuur, Wetenschappen De handreikingen zijn ook te downloaden. U vindt ze op sector <vo tweede fase> <examenprogramma's en handreikingen voor de vakken in havo-vwo vanaf 2007> Voor verdere informatie over dit vak: SLO, Stichting Leerplanontwikkeling Mevrouw Jenneke Krüger Postbus 2041, 7500 CA Enschede Telefoon (053) j.kruger@slo.nl

3 Inhoud Voorwoord 5 1. Wiskunde A vwo in de nieuwe tweede fase Plaats van het vak Veranderingen in het examenprogramma vanaf Globaal geformuleerde subdomeinen Aanpassingen examenprogramma aan nieuwe omvang vak Toewijzing van het deel van het programma aan het centraal examen Gespecificeerde subdomeinen voor het centraal examen Examinering Leermiddelen Praktische opdrachten ICT Algebraïsche vaardigheden Nieuwe Wiskunde rond Het programma Inleiding Het programma Het centraal examen en het schoolexamen Het centraal examen Het schoolexamen De eindtermen van het schoolexamen Inleiding Niet-bindende interpretatie van globale subdomeinen Toelichting op de geglobaliseerde subdomeinen Mogelijkheden voor toetsing en weging (PTA) Inrichting van het PTA Overwegingen bij het opstellen van een PTA Weging Afstemming met andere vakken Inleiding Afstemming tussen wiskunde A en Nederlands Afstemming tussen wiskunde A en economie/management en organisatie Afstemming tussen wiskunde A en aardrijkskunde/maatschappijwetenschappen Afstemming tussen wiskunde A en de moderne vreemde talen Afstemming tussen wiskunde A en biologie Afstemming tussen wiskunde A en scheikunde Afstemming tussen wiskunde A en natuurkunde Afstemming tussen wiskunde A en natuur, leven, technologie Afstemming tussen wiskunde A en klassieke talen/geschiedenis 34

4 7. Onderdelen naar keuze van de school Ruimte in het programma Praktische opdrachten Keuzeonderwerpen ICT Vernieuwende projecten Vernieuwing examinering Centraal examen Schoolexamen Kwaliteitszorg schoolexamen 40 Bijlage 1 Examenprogramma wiskunde A vwo 43 Bijlage 2 Eindtermen examenprogramma vwo wiskunde A Bijlage 3 Inhoudsopgave syllabus CEVO voor het centraal examen 57 Bijlage 4 Overzichtslijst van algebraïsche vaardigheden 59 Bijlage 5 Webadressen 63

5 Voorwoord De Handreiking voor het schoolexamen die voor u ligt, hoort bij de vernieuwingen die in 2007 zullen ingaan in de tweede fase van het voortgezet onderwijs. Basis voor deze vernieuwingen is de ministeriële nota Ruimte laten en keuzes bieden in de tweede fase havo en vwo (2003), waarvan de leidende gedachte is dat scholen meer vrijheid en keuzemogelijkheden moeten krijgen voor de invulling van hun onderwijs in de tweede fase. Daartoe zijn de examenprogramma s voor alle vakken geglobaliseerd, wat wil zeggen dat ze minder eindtermen en minder detaillering van eindtermen bevatten dan voorheen het geval was. Ook zijn alle vormvoorschriften voor het schoolexamen geschrapt. Docenten zijn nu, binnen de wettelijke kaders, vrij hun schoolexamens naar eigen inzicht in te richten. Bij dit laatste biedt SLO, op verzoek van OCW, steun in de vorm van handreikingen per vak, waarvan dit er één is. De voor u liggende handreiking voor het schoolexamen wil docenten informeren over de verplichtingen en mogelijkheden voor het schoolexamen vanaf 2007 en bevat suggesties en adviezen voor de inrichting van het schoolexamen, die gezien het bovenstaande een niet-voorschrijvend karakter dragen. In hoofdstuk 1 vindt u een beschrijving van de positie van het vak in de vernieuwde tweede fase en een weergave van de veranderingen ten opzichte van het nu nog vigerende examenprogramma. Naast de wijzigingen die voor alle examenvakken gelden is er voor wiskunde expliciete aandacht voor algebraïsche vaardigheden, tot uitdrukking komend in een nieuwe eindterm. In hoofdstuk 2 vindt u een overzicht van het examenprogramma op het niveau van domeinen en subdomeinen. In hoofdstuk 3 staat beschreven welke (sub)domeinen in het centraal examen getoetst worden en welke (sub)domeinen in het schoolexamen getoetst moeten worden, dan wel mogen worden. Hoofdstuk 4 gaat uitvoerig in op de voor het schoolexamen verplichte subdomeinen. Een aparte paragraaf is gewijd aan algebraïsche kennis, vaardigheden en inzicht. Hoofdstuk 5 gaat in op de inrichting van het PTA. Hoofdstuk 6 besteedt aandacht aan afstemming met andere vakken, ook de niet-profielvakken. Hoofdstuk 7 geeft mogelijkheden en ideeën voor de ruimte die scholen hebben om onderdelen toe te voegen of op onderwerpen op een alternatieve wijze te toetsen. Hoofdstuk 8 tenslotte gaat in op vernieuwing van de examinering en kwaliteitszorg. In de bijlagen vindt u onder andere het examenprogramma zoals dat vanaf 2007 geldig is, de eindtermen van het examenprogramma 1998 ter vergelijking, een overzichtslijst van algebraïsche vaardigheden en een overzicht van websites die van belang kunnen zijn voor het wiskundeonderwijs in de tweede fase. 5

6 De auteurs hebben er voor gekozen om voor elk wiskundeprogramma een aparte handreiking te produceren. Weliswaar is met name de meer algemene informatie voor de vijf programma's hetzelfde, maar in bijna elk hoofdstuk komt ook vakspecifieke informatie voor. Alleen hoofdstuk 5 en 8 bevatten geen vakspecifieke inhoud. Elke handreiking is dus een op zich zelf staand product en bevat alle informatie die nodig is om het schoolexamen in te richten. We hopen dat deze handreiking voor veel docenten een veelgebruikt hulpmiddel zal worden om het onderwijs op een eigen manier in te richten en schoolexamens van een uitstekende kwaliteit te maken. Jenneke Krüger projectleider Herziening examenprogramma s wiskunde havo/vwo Hetty Mulder programmamanager tweede fase 6

7 1. Wiskunde A vwo in de nieuwe tweede fase 1.1 Plaats van het vak Het vak wiskunde A (520 slu) is een profielvak in de profielen E&M (Economie en Maatschappij) en N&G (Natuur en Gezondheid). In beide profielen mogen de leerlingen in plaats van wiskunde A ook wiskunde B als profielvak kiezen, mits het bevoegd gezag dat toestaat. Naast wiskunde A (of B) bevat het profiel E&M als verplichte profielvakken economie en geschiedenis en één profielkeuzevak, te kiezen uit een van de moderne vreemde talen, aardrijkskunde, m&o en maatschappijwetenschappen. Het profiel N&G bevat nog als verplichte profielvakken biologie en scheikunde en één profielvak te kiezen uit natuurkunde, het nieuwe bètavak natuur, leven, technologie en aardrijkskunde. In het profiel C&M (Cultuur en Maatschappij) mag een leerling het profielvak wiskunde C vervangen door wiskunde A of wiskunde B, mits het bevoegd gezag dat toestaat. Het opnemen van meer dan één van de wiskundevakken is echter niet toegestaan. In het profiel N&T (Natuur en Techniek) is wiskunde B profielvak en wiskunde D profielkeuzevak. In dit profiel is voor wiskunde A dus geen plaats. 1.2 Veranderingen in het examenprogramma vanaf 2007 Bij de invoering van de tweede fase in 1998/1999 werd voor wiskunde A vwo een nieuw examenprogramma vastgesteld voor wiskunde A1, gebaseerd op 360 slu, en voor wiskunde A12, gebaseerd op 600 slu. Bij het invoeren van de geherstructureerde tweede fase vanaf 2007 is de deelvakstructuur opgeheven. Dit geeft aanleiding tot aanpassingen van het bestaande programma. Kort samengevat gaat het om: 1. Het zogenaamde globaliseren van de subdomeinen. In plaats van de gedetailleerde beschrijving in eindtermen van 1998 zijn er vanaf 2007 subdomeinen waarin met een globale, overkoepelende formulering de inhoud van meerdere eindtermen in één zin is samengevat (zie verder paragraaf 1.3). 2. Het aanpassen van het examenprogramma aan de omvang van het vak in Het herziene programma gaat uit van het programma van wiskunde A12 waarbij door schrappen of inperken van subdomeinen de omvang is aangepast (zie verder paragraaf 1.4). 3. Het toewijzen van een deel van het herziene programma aan het centraal examen. Vanaf 2007 wordt slechts ongeveer 60% van het programma alleen in het centraal examen getoetst. Het schoolexamen dient in elk geval de niet aan het centraal examen toegewezen subdomeinen te omvatten, maar het is toegestaan om het volledige examenprogramma te toetsen in het schoolexamen. Daarnaast hebben scholen veel meer vrijheid om te bepalen welke andere stof er in het schoolexamen komt en hoe hun schoolexamen er uit zal zien. 4. Het specificeren van de subdomeinen voor het centraal examen. In een syllabus van CEVO (zie voor inhoudsopgave bijlage 2) zijn de globaal geformuleerde 7

8 subdomeinen voor het centraal examen gespecificeerd, uitgaande van de eindtermen uit het programma van Ook worden de veranderingen in het CE-programma in vergelijking met het programma van 1998 duidelijk aangegeven (zie verder paragraaf 1.6 en bijlage 2). 1.3 Globaal geformuleerde subdomeinen De meest opvallende verandering is dat het nieuwe wiskunde-examenprogramma veel globalere subdomeinen bevat, evenals trouwens de examenprogramma s van alle andere vakken. Hierdoor kunnen de eindtermen gemakkelijker worden aangepast, zonder dat daar een wetswijziging voor nodig is, en kan meer rekening worden gehouden met het profielspecifieke karakter van het vak. Daarnaast biedt het docenten meer keuzevrijheid bij de invulling van het examenprogramma, met name wat betreft onderdelen van het schoolexamen. Docenten kunnen verschillende keuzes maken in de invulling en uitvoering van onderdelen van het schoolexamen (zie hoofdstuk 7) en kunnen zo hun eigen expertise kwijt. We geven hieronder een voorbeeld van het geglobaliseerde domein Bg: Functies en Grafieken Domein Bg: Functies en Grafieken Subdomein Bg1: Standaardfuncties Globale eindterm: De kandidaat kan grafieken tekenen en herkennen van machtsfuncties, exponentiële functies, logaritmische functies en goniometrische functies en van die verschillende typen functies de karakteristieke eigenschappen benoemen. Subdomein Bg2: Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Globale eindterm: De kandidaat kan functievoorschriften opstellen en bewerken, de bijbehorende grafieken tekenen en vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met behulp van numerieke, grafische of algebraïsche methoden. 1.4 Aanpassingen examenprogramma aan nieuwe omvang vak Bij de herstructurering tweede fase hebben we te maken met een nieuwe vakkenstructuur en een nieuwe verdeling van de studielast. Voor wiskunde A in vwo betekent dit dat het vak wiskunde A12 en het deelvak wiskunde A1 worden vervangen door wiskunde A en wiskunde C, elk met een eigen programma. Voor het vak wiskunde A wordt de omvang gereduceerd van 600 slu (het wiskunde A12 programma) tot 520 slu. Hiervan is 100 slu niet ingevuld. Zij hebben betrekking op het keuzeonderwerp (40 slu) en praktische opdrachten e.d. (60 slu). Van de resterende 420 slu beslaat het CE deel 60%, dus ongeveer 250 slu. In het najaar van 2005 gaf een commissie, bestaande uit vertegenwoordigers van NVvW, CEVO, Cito, HO en WO en het veld, de minister advies over een conceptprogramma, bestaande uit delen van het vak wiskunde A12. Bij het tot stand komen van dit advies werd ook een veldraadpleging betrokken. Van het programma wiskunde A12 van 1998 zijn subdomeinen geschrapt dan wel ingeperkt. Zo is de 8

9 meetkunde (Ruimtelijke objecten) vervallen alsmede het onderwerp Lineair Programmeren. Daarnaast is er reductie aangebracht bij de onderwerpen Differentiaalrekening en Discrete Dynamische Modellen. Het overzicht in bijlage 2 geeft deze wijzigingen gedetailleerd weer. 1.5 Toewijzing van het deel van het programma aan het centraal examen Voor wiskunde is het tot 2007 gebruikelijk dat het gehele programma zowel in het schoolexamen als in het centraal examen wordt getoetst, met uitzondering van het keuzeonderwerp. Dit is wel een onderdeel van het schoolexamen, maar nadrukkelijk niet van het centraal examen. Vanaf 2007 wordt niet het gehele programma in het centraal examen getoetst, maar slechts het grootste deel. Zie hiervoor het overzicht in hoofdstuk 3. Een van de consequenties van dit besluit vinden we terug in de vormvoorschriften voor het schoolexamen. Deze zijn niet zo uitgebreid meer als voor het schoolexamen van 1998, maar vervangen door de volgende, veel beperktere, aanwijzing: Het schoolexamen heeft betrekking op domein A en: - de (sub)domeinen Bg1, Cg2, Ba1 en Ba2; - het domein G, met dien verstande dat deze onderwerpen per kandidaat kunnen verschillen; - indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal examen betrekking heeft. - indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. Het schoolexamen heeft bovendien alleen betrekking op de globale eindtermen. Voor de toewijzing aan het schoolexamen, zie hoofdstuk Gespecificeerde subdomeinen voor het centraal examen In de syllabus van de CEVO voor het centraal examen zijn de globale eindtermen gespecificeerd. In hoofdstuk 2 van deze handreiking staat in een overzicht vermeld om welke (sub)domeinen en eindtermen het gaat. Voor de exacte formulering verwijzen we naar bijlage 1. In hoofdstuk 2 van de syllabus zijn de subdomeinen voor het CE door de CEVO nader gespecificeerd. Domein A 'Vaardigheden' is in zijn geheel ook in de CEVO-syllabus opgenomen omdat de vakinhoudelijke domeinen gekend moeten worden in combinatie met de daarbij behorende vaardigheden uit domein A. 1.7 Examinering Het eindexamen bestaat uit het centraal examen en het schoolexamen. Het centraal examen gaat over de voor het centraal examen aangewezen (sub)domeinen met inbegrip van delen van domein A. De CEVO stelt het aantal en de tijdsduur van de zittingen van het centraal examen vast en maakt indien nodig een nadere specificatie bekend van de examenstof van het centraal examen. De inhoud en wijze van examinering van het schoolexamen wordt door de school vastgelegd in het Programma van Toetsing en Afsluiting (PTA, zie hoofdstuk 5). 9

10 Het schoolexamen heeft betrekking op de globale eindtermen. Dat brengt een grotere mate van vrijheid met zich mee voor de scholen wat betreft het onderwijs en de toetsing middels het schoolexamen. Het eindexamencijfer voor wiskunde A zal het gemiddelde zijn van schoolexamen en centraal examen. 1.8 Leermiddelen Uitgangspunt bij de herziening voor 2007 is dat voor het onderwijs van het nieuwe programma de bestaande leermiddelen toereikend moeten zijn. Daartoe zal aan alle leerlingen met behulp van bijvoorbeeld studiewijzers bij de bestaande leerboeken voor wiskunde A12 verduidelijkt moeten worden op welke wijze sommige paragrafen en bladzijden geïnterpreteerd moeten worden ten aanzien van de formulering van de eindtermen die horen bij het nieuwe programma van wiskunde A. Hierbij moet in acht worden genomen dat accenten zijn verlegd en in het nieuwe examenprogramma meer nadruk wordt gelegd op algebraïsche vaardigheden (zie ook paragraaf 4.4). Sommige uitgeverijen geven wel een aan de nieuwe eindtermen aangepaste editie van hun methoden uit. Indien de school gebruikt maakt van de vrijheid om vakonderdelen buiten het examenprogramma in het SE op te nemen, dan zullen ook bijbehorende leermiddelen gezocht moeten worden. Uitdrukkelijk valt daarbij te denken aan de mogelijkheden die ICT en internet op dit terrein te bieden hebben. Zie hiervoor ook het overzicht in hoofdstuk Praktische opdrachten De verplichting om voor elk examenvak tenminste één praktische opdracht in het programma op te nemen, vervalt. Vanaf 2007 krijgt de school meer vrijheid om de organisatie van praktische opdrachten naar eigen inzichten in te richten. Praktische opdrachten kunnen dus deel uitmaken van het schoolexamen voor wiskunde A. Dat zijn uitstekende gelegenheden om niet alleen vakinhoudelijke kennis te toetsen, maar met name aandacht te besteden aan vaardigheden die in domein A genoemd worden. In de opsomming van de eindtermen van het schoolexamen in hoofdstuk 4 geven we suggesties, die ook in de vorm van een praktische opdracht kunnen worden uitgevoerd. In hoofdstuk 7 gaan we nader in op de dit onderwerp ICT ICT is goed in te passen in het schoolexamen en/of een praktische opdracht. In hoofdstuk 4 vindt u een aantal suggesties voor de invulling van het schoolexamen. Daar worden ook mogelijkheden bedoeld, waarbij ICT een rol speelt. Ook de compexexamens die tot nu toe zijn afgenomen, kunnen een bron zijn om (deels) te gebruiken bij een onderdeel van het schoolexamen. Meer informatie over deze compex-examens vindt u o.a. op De voorbeeldexamens 2003, 2004 en 2005 kunnen kosteloos op cd-rom worden aangevraagd via een bestelformulier op 10

11 In bijlage 5 vindt u een aantal websites, waarop u meer informatie vindt over het wiskundeonderwijs in het algemeen en mogelijkheden tot gebruik in het schoolprogramma en het schoolexamen in het bijzonder. Bij de invoering van de nieuwe programma s is besloten dat voor wiskunde A niet meer de mogelijkheid wordt geboden om dit door middel van een compex-examen af te nemen. Voor wiskunde C zal dit wél het geval zijn Algebraïsche vaardigheden Met het vaststellen van de nieuwe wiskundeprogramma s vanaf 2007 is ook besloten aan te geven welke algebraïsche vaardigheden bij elk wiskundeprogramma horen. In domein A (Vaardigheden) is, in vergelijking met het oude wiskunde A12-programma, een subdomein A5 toegevoegd dat specifiek hierop betrekking heeft. In bijlage 4 vindt u een lijst met een overzicht van een groot aantal algebraïsche vaardigheden. Daarmee kan ook een vergelijking worden gemaakt tussen de verschillende wiskundeprogramma s als het gaat om de vraag welke algebraïsche vaardigheden moeten worden beheerst bij elk programma en op welk niveau. Daarbij is het van belang te bedenken dat het beheersen van algebraïsche vaardigheden een middel is om inzichtelijk te kunnen werken en zich te kunnen concentreren op het oplossen van problemen, zonder gehinderd te worden door gebrekkig 'rekenwerk' Nieuwe Wiskunde rond 2010 Een commissie vernieuwing wiskundeonderwijs ( werkt aan geheel nieuwe examenprogramma s voor wiskunde. De invoering van deze nieuwe programma s is na 2010 te verwachten. ctwo kent de volgende taken: examenprogramma's voorstellen per 2010 voor wiskunde A, B, C en D van havo en vwo; voorbereidende ontwikkelingen in gang zetten voor wiskunde C van vwo en wiskunde D voor havo en vwo per 2007 (zie ook paragraaf 7.5); adviseren over doorlopende leerlijnen wiskunde: ctwo zal zich ook bezighouden met doorlopende leerlijnen van primair onderwijs naar voortgezet onderwijs naar hoger onderwijs, waarbij ook de overgang onderbouw bovenbouw binnen het voortgezet onderwijs aandacht verdient. In het licht van de werkzaamheden rond de examenprogramma s Tweede Fase havo vwo ligt het voor de hand met name aandacht aan de onderbouw van havo en vwo te besteden. ctwo onderscheidt activiteiten gericht op de onderbouw, op het hoger onderwijs en op het primair onderwijs; advisering over didactische ontwikkelingen: Nieuwe examenprogramma s vragen ook om een aangepaste didactiek die gerelateerd is aan de vakinhouden. ctwo rekent het in gang zetten van activiteiten op dit punt tot haar taak, maar streeft ernaar deze taak in samenwerking met de NVvW, vakdidactici, lerarenopleidingen, onderwijsontwikkelaars, auteursteams en nascholingsinstellingen vorm te geven. 11

12 Vanuit ctwo wordt een didactiekwerkgroep ingesteld, die de volgende taken op zich zal nemen: - het ontwikkelen van een visie op didactische ontwikkelingen; - het ontwikkelen van een didactiek bij de vakinhouden; Hierbij moet enerzijds worden gedacht aan een domeinspecifieke vakdidactische opbrengst. Anderzijds moet ook aandacht worden besteed aan werkvormen, het effect daarvan op de contacturen, leerarrangementen en de praktische aspecten daarvan; - het ontwikkelen van didactiek van ICT-gebruik; - didactische begeleiding van de verschillende projecten en pilots; - het informeren van de initiële lerarenopleiding en auteursteams van schoolmethoden over deze didactische ontwikkelingen; - het initiëren van nascholing waarin docenten zich de nieuwe didactische vaardigheden kunnen verwerven. In hoofdstuk 7 besteden we meer aandacht aan de nieuwste ontwikkelingen rond de verschillende wiskundeprogramma's. 12

13 2. Het programma 2.1 Inleiding Zoals eerder is aangegeven, heeft het programma van wiskunde A een omvang van 520 slu. Van deze studielast wordt 100 slu gebruikt voor onderdelen die niet in de subdomeinen beschreven zijn, zoals keuzeonderwerp(en) en praktische opdrachten. Er blijven dus 420 slu over waarin het eindexamenprogramma moet worden aangeboden. De globale eindtermen die aan het examenprogramma ten grondslag liggen, zijn in deze publicatie toegevoegd als bijlage Het programma Hieronder treft u een overzicht aan van het programma, opgedeeld in domeinen en subdomeinen. Domeinen A Vaardigheden Bg Functies en grafieken Cg Discrete analyse Eg Combinatoriek en kansrekening Ba Differentiaalrekening met toepassingen Fa Statistiek en kansrekening G Keuzeonderwerpen Subdomeinen A1: Informatievaardigheden A2: Onderzoeksvaardigheden A3: Technisch-instrumentele vaardigheden A4: Oriëntatie op studie en beroep A5: Algebraïsche vaardigheden Bg1: Standaardfuncties Bg2: Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Cg1: Veranderingen Cg2: Rijen en recurrente betrekkingen Eg1: Combinatoriek Eg2: Kansen Eg3: Rekenen met kansen Eg4: Speciale discrete verdelingen Ba1: Afgeleide functies Ba2: Rekenregels* Fa1: Populatie en steekproef Fa2: Ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens Fa3: Kansverdelingen Fa4: Het toetsen van hypothesen * Van het subdomein Ba2 en het domein Ea moet tenminste één in het SE worden opgenomen. Het is toegestaan beide in het SE op te nemen. 13

14

15 3. Het centraal examen en het schoolexamen 3.1 Het centraal examen Het centraal examen heeft betrekking op de (sub)domeinen zoals vermeld in onderstaande tabel, waarbij ten overvloede nog kan worden vermeld dat de vaardigheden uit de subdomeinen A1, A2 en A3 alleen in samenhang met andere domeinen zullen worden getoetst. De CEVO stelt het aantal en de tijdsduur van de zittingen van het centraal examen vast. De CEVO maakt inden nodig een specificatie bekend van de examenstof van het centraal examen. 3.2 Het schoolexamen Het schoolexamen heeft betrekking op domein A en: - de (sub)domeinen Bg1, Cg2, Ba1 en Ba2; - het domein G, met dien verstande dat deze onderwerpen per kandidaat kunnen verschillen; - indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal examen betrekking heeft; - indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. De examenstof, zoals vermeld in hoofdstuk 2, dient geheel te worden onderwezen. Het is dus niet zo dat het bevoegd gezag in de school vrij is een gedeelte van de schoolexamenstof te laten vervallen, omdat deze niet centraal geëxamineerd wordt. In de tabel op de volgende pagina is aangegeven welke (sub)domeinen zijn toegewezen aan het CE en welke (sub)domeinen in ieder geval tot het SE moeten behoren. 15

16 Domeinen Subdomeinen in CE moet in SE A Vaardigheden Bg Functies en grafieken Cg1 Discrete analyse Eg Combinatoriek en kansrekening A1: Informatievaardigheden A2: Onderzoeksvaardigheden A3: Technisch-instrumentele vaardigheden A4: Oriëntatie op studie en beroep A5: Algebraïsche vaardigheden Bg1: Standaardfuncties Bg2: Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Cg1: Veranderingen Cg2: Rijen en recurrente betrekkingen Eg1: Combinatoriek Eg2: Kansen Eg3: Rekenen met kansen Eg4: Speciale discrete verdelingen Ba Ba1: Afgeleide functies Differentiaalrekening met Ba2: Rekenregels toepassingen Fa Statistiek en kansrekening G Keuzeonderwerpen Fa1: Populatie en steekproef Fa2: Ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens Fa3: Kansverdelingen Fa4: Het toetsen van hypothesen * mag in SE * Eindterm 3 van subdomein Bg1 zal niet op het CE getoetst worden. Deze eindterm hoort wel thuis in het SE. Zie verder bijlage 2 van deze handreiking. 16

17 4. De eindtermen van het schoolexamen 4.1 Inleiding Tot het schoolexamen behoren tenminste de (sub)domeinen: A Vaardigheden Bg1 Standaardfuncties Cg2 Rijen en recurrente betrekkingen Ba1 Afgeleide functie Ba2 Rekenregels G Keuzeonderwerpen. 4.2 Niet-bindende interpretatie van globale subdomeinen Bij de herziening van het examenprogramma voor 2007 is het uitdrukkelijk de bedoeling de mogelijkheden voor scholen, vaksecties en docenten te verruimen om daarmee een eigen invulling aan het schoolexamen te geven door het toewijzen van subdomeinen aan het CE en/of het SE. Het is belangrijk te beseffen dat onderstaande toelichting op de eindtermen voor het schoolexamen niet bindend is. De gepresenteerde voorstellen hebben het karakter van voorbeelden, suggesties, advies - kortom: van een handreiking. Het geldt niet alleen voor dit hoofdstuk, maar ook voor alle hierna volgende hoofdstukken. Door het toelichten van de geglobaliseerde subdomeinen met eindtermen uit het examenprogramma van 1998 (zie bijlage 2) beogen we duidelijk te maken wat de mogelijke invulling van de geglobaliseerde subdomeinen van het schoolexamen kan zijn. Tevens geven we enkele suggesties voor een alternatieve vakinhoudelijke invulling van de betreffende subdomeinen. Deze ontlenen we aan methodeschrijvers en uitgevers, toetsontwikkelaars, didactici, vakinhoudelijke verenigingen en individuele docenten. De suggesties zijn niet uitputtend, maar bedoeld als illustratie van de keuzeruimte die scholen in de tweede fase na 2007 hebben. Ook dienen ze als inspiratie voor de wiskundesecties voor het uitwerken van het wiskundeprogramma voor het schoolexamen. Een en ander betekent dat de school c.q. de sectie een grote rol speelt bij de invulling van het schoolexamen, vooral bij die onderwerpen van het schoolexamen die niet zijn toegewezen aan het CE. De school krijgt alle gelegenheid hierin eigen keuzes maken. Zo kan er onderscheid worden gemaakt tussen de profielen E&M en N&G (bijvoorbeeld bij praktische opdrachten en keuzeonderwerpen zie hoofdstuk 7) Denk daarbij met name aan de keuze tussen subdomein Ba en domein Ea. Ook kan de school er bijvoorbeeld voor kiezen om het SE af te nemen op een wijze die afwijkt van het CE (zie paragraaf 8.2 voor voorbeelden). Zo krijgt de school de mogelijkheid zich te profileren. Het zal duidelijk zijn dat in dit proces de sectie een grote rol toebedeeld kan worden. 17

18 Voor de volledigheid merken we op dat we ons in deze handreiking beperken tot de (sub)domeinen die zijn toegewezen aan het SE. Dit laat onverlet dat ook bij andere (sub)domeinen een alternatieve invulling op SE-niveau tot de mogelijkheden behoort waarvoor de school kan en mag kiezen. 4.3 Toelichting op de geglobaliseerde subdomeinen Elk subdomein begint met de titel van het subdomein met daarna de globale formulering van de inhoud van het subdomein volgens het examenprogramma van Daarna geven we enkele suggesties voor een (alternatieve) uitwerking en suggesties voor de wijze van examineren in het schoolexamen Deze suggesties zijn soms specifiek voor de profielen E&M of N&G bedoeld. In bijlage 2 staat van de betrokken subdomeinen een vergelijking met het oude programma uit Voor meer aanknopingspunten verwijzen we graag naar bijlage 5 waarin een uitgebreid overzicht van webadressen is opgenomen. Daar is veel direct bruikbaar lesmateriaal met achtergrondinformatie voor in klassen te vinden. In recente wiskunde A12 CE s (zie bijvoorbeeld zijn daarnaast grote aantallen voorbeelden van schriftelijke examinering te vinden. Van enkele (recente) examens vindt u passende opgaven hieronder vermeld Domein A: Vaardigheden Subdomein A1: Informatievaardigheden Globale eindterm: De kandidaat kan, mede met behulp van ICT, informatie verwerven, selecteren, verwerken, beoordelen en presenteren. Suggesties: Zowel in schriftelijke toetsen als in praktische opdrachten kunnen informatievaardigheden getoetst worden. Enkele voorbeelden: - een (kranten)artikel, dat betrekking heeft op een wiskundig, bijvoorbeeld statistisch onderwerp, (kritisch) analyseren; - zelf opzetten en uitvoeren van een enquête, gevolgd door de verwerking ervan; - op de website van het CBS is zeer veel informatie in diverse vormen (tabellen, grafieken) te vinden; - het CBS geeft regelmatig persberichten uit via de website; - met behulp van bijvoorbeeld Excel is het goed mogelijk gegevens in allerlei, bij de context relevante, grafische weergaven om te zetten; - gebruik van wiskunde in muziek en beeldende kunst, bijvoorbeeld m.b.t. gulden snede. Subdomein A2: Onderzoeksvaardigheden Globale eindterm: De kandidaat kan een gegeven probleemsituatie inventariseren, vertalen in een wiskundig model, binnen dat model wiskundige oplostechnieken hanteren en de gevonden oplossingen betekenis geven in de context. 18

19 Suggesties: Toetsing van de vaardigheden uit dit subdomein kan met name bij praktische opdrachten goed uitgevoerd worden. Enkele voorbeelden: - bij economische toepassingen: in een gegeven context het maken van een model (opbrengst, kosten, winst, voorraadprobleem, enz.); - bij groeiprocessen (voor E&M bijvoorbeeld samengestelde interest, voor N&G bijvoorbeeld de bacteriegroei of radioactieve straling) een model opstellen; - modellen kritisch beschouwen m.b.t. realiteitsgehalte; denk daarbij bijvoorbeeld geremde groei; - modellen zijn vaak discreet, dus een weergave door middel van DDM; - reflectie kan goed plaatsvinden door diverse modellen binnen één context met elkaar te vergelijken. Subdomein A3: Technisch-instrumentele vaardigheden Globale eindterm: De kandidaat kan bij raadplegen, verkennen en presenteren van wiskundige informatie en bij uitvoeren van wiskundige bewerkingen en redeneringen gebruik maken van toepassingen van ICT. Suggesties: Enkele toepassingen van ICT die hier gebruikt kunnen worden: - tekstverwerking bij bijvoorbeeld verslaglegging van een praktische opdracht; - binnen een tekstverwerker gebruik maken van een formule-editor; - spreadsheetprogramma om gegevens te ordenen en grafisch weer te geven; - spreadsheetprogramma om een model snel door te rekenen op gevolgen bij de keuze van variabelen; - zoekprogramma s op internet voor het verkennen van wiskundige informatie - opgaven uit compex-examens; - spreadsheetprogramma om een model door te rekenen op gevolgen bij de keuze van variabelen; - grafiekprogramma, ter aanvulling van de mogelijkheden die de GR reeds biedt; - en natuurlijk de GR zelf. Subdomein A4: Oriëntatie op studie en beroep Globale eindterm: De kandidaat kan een verband leggen tussen zijn wiskundige kennis, vaardigheden en belangstelling en de rol van wiskunde in vervolgstudies en de praktijk van verschillende beroepen. Suggesties: - in de diverse wiskundemethoden staan vaak voorbeelden van beroepen en/of vervolgopleidingen waarin wiskunde een rol speelt. Zo n voorbeeld kan vertrekpunt zijn voor de invulling van een praktische opdracht; - vaardigheden met betrekking tot studie en beroep kunnen o.a. worden geëxamineerd via rapportage over bedrijfsbezoeken en interviews met werknemers; - veel scholen hebben goede contacten met universiteiten en hogescholen. Deze contacten kunnen leiden tot invulling van dit subdomein; - diverse opleidingen (techniek, economie, psychologie), waarin wiskunde een grote rol speelt, bieden masterclasses aan; 19

20 - veel opleidingen bieden hulp bij het formuleren en/of uitvoeren van een praktische opdracht; - beroepsbeoefenaars, bijvoorbeeld ouders van leerlingen, kunnen op school worden uitgenodigd om een presentatie te geven over beroepen waarin wiskunde aan bod komt. We verwijzen ook naar De vaardigheden uit dit domein hoeven niet met een cijfer te worden beoordeeld, maar kunnen ook alleen 'naar behoren' worden beoordeeld. Subdomein A5: Algebraïsche vaardigheden Globale eindterm: De kandidaat beheerst de, bij het examenprogramma passende, rekenkundige en algebraïsche vaardigheden en formules, heeft daar inzicht in en kan de bewerkingen uitvoeren met, maar ook zonder gebruik van de ICT-middelen zoals de grafische rekenmachine. Suggesties: De CEVO-syllabi die met betrekking tot de verschillende examenprogramma s worden uitgegeven, bevatten een overzicht van te beheersen vaardigheden, voorzien van voorbeelden. Daarin is ook goed zichtbaar welke vaardigheden op het centraal examen kunnen worden getoetst en welke vaardigheden daar naar eigen inzicht aan toegevoegd kunnen worden voor het schoolexamen. In bijlage 4 vindt u een overzicht van een groot aantal algebraïsche vaardigheden. Zij dienen mede als inspiratiebron voor de wijze waarop dit subdomein kan worden getoetst. Vaardigheden uit subdomein A5 kunnen ook los van de vakinhoudelijke domeinen worden getoetst Domein Bg: Functies en grafieken Subdomein Bg1: Standaardfuncties Globale eindterm: De kandidaat kan grafieken tekenen en herkennen van machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies en van verschillende typen functies de karakteristieke eigenschappen benoemen. Eindterm 3: De kandidaat kan grafieken tekenen van de goniometrische functies f ( x) = sin x en f ( x) = cos x en daarbij de begrippen periode, amplitude, domein, bereik, stijgen en dalen hanteren. Suggesties: - periodieke functies kunnen goed in verband gebracht worden met het prooiroofdiermodel; dat biedt mogelijkheden dit te combineren met subdomein Ea2: matrices; - de begrippen periode en amplitude komen in natuurkundigen toepassingen meerdere keren voor; - onderzoek naar figuren van Lissajous; 20

21 - in het oude wiskunde A-programma kwam deze eindterm ook voor, waarbij de toepassingen zich vrijwel altijd beperkten tot de functie f ( x) = sinx. Enkele voorbeelden van opgaven uit eindexamens wiskunde A zijn: 1992, 2e tijdvak opgave Eb en vloed; 1996, 1e tijdvak opgave 3 Vet Domein Cg: Discrete analyse Subdomein Cg2: Rijen en recurrente betrekkingen Globale eindterm: De kandidaat kan rekenkundige en meetkundige rijen herkennen, beschrijven en er berekeningen mee uitvoeren en werken met recurrente betrekkingen. Suggesties: - rekenkundige rijen kunnen goed in verband worden gebracht met lineaire groei; - meetkundige rijen kunnen goed in verband worden gebracht met exponentiële groei; - de globale beschrijving van dit subdomein laat toe dat ook andere dan rekenkundige en meetkundige rijen aan de orde komen; dat biedt mogelijkheden om andere recurrente betrekkingen te gebruiken, zoals logistische groei en betrekkingen van de vorm n +1 = a n + b. Enkele voorbeelden van opgaven uit eindexamens wiskunde A12 zijn: 2004, 1e tijdvak opgave Bevolkingsgroei 2005, 1e tijdvak opgave Veel zalm 2005, 2e tijdvak opgave Zonnebloemen 2006, 1e tijdvak opgave Krasactie (deels) 2006, 2e tijdvak opgave Evenwicht Domein Ba: Differentiaalrekening met toepassingen Subdomein Ba1: Afgeleide functies Globale eindterm: De kandidaat kan, ook in toepassingssituaties, van een functie met behulp van rekenregels voor machts-, som- en kettingfuncties de afgeleide bepalen, aan de hand daarvan het veranderingsgedrag van de functie beschrijven, inclusief de extreme waarden en deze resultaten betekenis geven in de context. Subdomein Ba2: Rekenregels Globale eindterm: De kandidaat kan, ook in toepassingssituaties, van een functie met behulp van de rekenregels voor product- en quotiëntfuncties de afgeleide bepalen, aan de hand daarvan het veranderingsgedrag van de functie beschrijven, inclusief de extreme waarden en deze resultaten betekenis geven in de context. 21

22 Suggesties: De differentiaalrekening was in het oude programma een van de domeinen, waaraan veel aandacht werd besteed. Zowel in toepassingen bestemd voor het profiel E&M (denk bijvoorbeeld aan optimalisering van winst- en kostenfuncties en voorraadproblemen), als ook in toepassingen voor het profiel N&G (denk aan de analytische benadering binnen wiskunde B) zijn tal van voorbeelden te vinden. Dit domein leent zich heel goed voor het maken van onderscheid tussen beide profielen. In vrijwel alle eindexamens m.b.t. de programma's van 1998 komt dit domein aan de orde. Enkele voorbeelden van opgaven uit eindexamens wiskunde A12 zijn: 2004, 1e tijdvak opgave Autobanden 2004, 2e tijdvak opgave Woorden tellen 2005, 1e tijdvak opgave Paretokrommen 2005, 2e tijdvak opgave Clavarin 2006, 1e tijdvak opgave Voedsel zoeken 2006, 2e tijdvak opgave Snelheden Keuzeonderwerpen Toelichting Dit domein omvat een of meer keuzeonderwerpen. De onderwerpen worden gekozen door de school. De onderwerpen kunnen, indien de school daarvoor kiest, voor elke kandidaat verschillend zijn. De totale studielast van de keuzeonderwerpen is 40 uur. Suggesties - Grafen en matrices In de eindexamens van het wiskunde A programma vóór 1998 komt een enkele keer een opgave voor waarin een graaf is opgenomen. Een paar voorbeelden: e tijdvak, opgave 1 en uit de examens wiskunde A12: 2003, 1e tijdvak, opgave Levensduur van koffiezetapparaten. Ook kleuren van grafen is een geschikt onderwerp. Opgaven over matrices uit de periode vóór 1998 zijn bijvoorbeeld: 2001, 1e tijdvak, opgave , 2e tijdvak, opgave , 1e tijdvak, opgave Reizen 2003, 2e tijdvak, opgave Koken 2004, 1e tijdvak, opgave Vruchtwisseling. - Een aantal boekjes uit de Zebra-reeks leent zich goed voor het gebruik als keuzeonderwerp. Bijvoorbeeld: nr 1 Kattenaids en Statistiek; nr 3 Schatten, hoe doe je dat?; nr 4 De Gulden Snede; nr 8 Verkiezingen, een web van paradoxen; nr 15 De juiste toon; nr 20 Babylonische Wiskunde; nr 22 Spelen en delen. Voor meer informatie over de Zebra-reeks verwijzen we verder naar bijlage 6. In het verleden is in het kader van het keuzeonderwerp door diverse uitgevers een boekje uitgegeven dat handelt over Correlatie en Regressie. 22

23 4.3.6 Algebraïsche vaardigheden Afhankelijk van het wiskundeprogramma (wiskunde A, B, C of D) wordt een verschillend niveau van algebraïsch inzicht en beheersing van vaardigheden en algebraïsche kennis verwacht. Van leerlingen die wiskunde B volgen wordt een grotere mate van algebraïsch inzicht, formulevaardigheid en daarmee beheersing van algebraïsche technieken verwacht dan van een leerling die wiskunde A (of C) volgt. Dat lijkt vanzelfsprekend, echter wat er dan van leerlingen verwacht mag worden was in de afgelopen jaren niet altijd duidelijk. Door een aantal factoren is de kennis van algebra, de mate van algebraïsch inzicht en de daarvoor benodigde vaardigheden de laatste jaren sterk verminderd. Als voorbeelden van factoren die daaraan bijgedragen hebben noemen we: - de sterke nadruk op het leren vinden van informatie, met tegelijkertijd devaluatie van feitenkennis; - de introductie van de grafische rekenmachine zonder een aangepaste didactiek, waardoor een oneigenlijk gebruik van een waardevol hulpmiddel de normale gang van zaken werd; - in sommige wiskundeprogramma's een overaanbod aan onderwerpen, waardoor het vastleggen van kennis bemoeilijkt werd; - het idee van de terugtredende leraar, waardoor in te veel gevallen interactie tussen leraar en groepen leerlingen sterk verminderde. De commissies die de herziene programma's voor 2007 formuleerden waren zich vanaf het begin van hun opdracht bewust van de noodzaak het gemiddelde niveau van leerlingen in alle programma's op dit gebied te verbeteren en de verschillen tussen de programma's ook wat betreft de mate van algebraïsch in zicht en gewenste vaardigheden duidelijk aan te geven. In elke syllabus wordt in hoofdstuk 3 gespecificeerd wat voor het betreffende wiskundeprogramma van leerlingen bij het centraal eindexamen verwacht wordt, toegelicht met voorbeelden. De algebraïsche vaardigheden worden als afzonderlijk onderdeel benoemd in subdomein A5. Het schoolexamen biedt, door de grotere vrijheid van toetsvormen, bij uitstek een kans om aan de vorming van algebraïsch inzicht en formulevaardigheid aandacht te besteden, terwijl de daarvoor noodzakelijke beheersing van technieken door een variatie aan werk- en toetsvormen bereikt kan worden Het onderscheid in de titel (kennis, vaardigheden en inzicht) is in de praktijk wat kunstmatig. Het geeft meer een hiërarchie aan: algebraïsche vaardigheid zonder kennis van elementaire regels en structuren is niet mogelijk, inzicht zonder een zeker minimum aan vaardigheden kan alleen heel globaal zijn en dus niet praktisch bruikbaar. In de syllabus worden kennis en manipulatieve vaardigheden aangeduid met specifieke vaardigheden en inzichtelijk handelen, gecombineerd met probleem oplossen, wordt aangeduid met algemene vaardigheden. Algebraïsch inzicht heeft dus te maken met probleem oplossend vermogen, onder andere verkennen en analyseren van het probleem, kwalitatief (globaal) redeneren, een oplossingsmethode kiezen, een aantal stappen zelfstandig kunnen zetten, regelmatig controleren of het proces in de goede richting gaat. Toegespitst op algebra wordt van leerlingen in wiskunde A verwacht dat ze kwalitatief kunnen redeneren en complexe delen van een expressie kunnen vervangen door eenvoudiger 'plaatsvervangers'. Het kunnen doorzien van de structuur van een formule ligt aan de basis van een aantal van deze activiteiten. Zie de overzichtslijst in bijlage 4. Leerlingen die wiskunde A volgen moeten veel van de kennis en vaardigheden in de overzichtslijst beheersen, wat betreft het tonen van inzicht wordt van ze verwacht dat ze kwalitatief kunnen redeneren en expressies kunnen reduceren. Wat betreft het zelfstandig oplossen van problemen moeten ze een klein aantal stappen zelf kunnen 23

24 bedenken en uitvoeren. Van leerlingen die wiskunde C volgen wordt verwacht dat ze wiskundige redeneringen kunnen volgen, dus enige beheersing van kennis en vaardigheden. Voor een deel gaat het om niet meer dan verstevigen en onderhouden van wat in de onderbouw geleerd is, dan wel geleerd had moeten worden, voor een deel gaat het om programmaspecifieke kennis en vaardigheden. Gebruik grafische rekenmachine De grafische rekenmachine kan een krachtig en waardevol hulpmiddel zijn, mits goed gebruikt. Dat wil zeggen dat leerlingen die wiskunde A volgen moeten leren vertrouwen op hun eigen oordeel, bijvoorbeeld wat betreft orde van grootte van uitkomsten. Beheersen van vaardigheden houdt in dat ze zo nodig 'handmatig' dus zonder GRM uitgevoerd kunnen worden. Dat vraagt regelmatig en gevarieerd oefenen en toetsen. Wat betreft het gebruik van de grafische rekenmachine worden wel 4 rollen onderscheiden. 1. GRM als meester - de leerling kent slechts enkele mogelijkheden van het apparaat en beperkt zich tot het toepassen van die mogelijkheden, ongeacht wat wenselijk en mogelijk is. De oorzaak is gelegen in gebrek aan kennis van het apparaat en/of gebrek aan wiskundige kennis en begrip. 2. GRM als dienaar - het apparaat wordt gebruikt als een betrouwbare en tijdsbesparende vervanging van procedures die tot dan toe uit het hoofd of op papier werden uitgevoerd. De gebruiker beheerst het apparaat, maar de opdrachten en problemen zijn niet anders dan voor de invoering van GRM. Output, bijvoorbeeld het resultaat van een berekening of een grafiek, wordt slechts gecontroleerd op fouten wat betreft input, maar niet getoetst aan wiskundige kennis van gebruiker. 3. GRM als partner - het apparaat wordt gebruikt voor exploratie en berekeningen, uitkomsten worden beoordeeld op basis van wiskundige kennis van de gebruiker. De gebruiker beseft dat uitkomsten misleidend kunnen zijn: wiskundige kennis en technologie houden elkaar in evenwicht. 4. GRM als een uitbreiding van de persoon - voor de gebruiker is technologische expertise een onderdeel van het eigen wiskundig repertoire, net als de wiskundige kennis die in het hoofd zit. Een leerling in wiskunde A moet de GRM tenminste in de tweede en derde rol kunnen gebruiken. Dat kan alleen bereikt worden als de leerlingen voldoende kunnen vertrouwen op hun wiskundige kennis. Om dat te bereiken moet de wiskunde docent een actieve, sturende rol in het onderwijsproces spelen. We zullen hieronder een voorbeeld nader uitwerken voor de drie vakken. Voorbeeld Voor de verdubbelingtijd bij exponentiële processen wordt vaak als vuistregel 70 gebruikt: T =. p In deze formule is p het groeipercentage per jaar en T de verdubbelingstijd in jaren. Onderzoek voor welke waarden van p deze benadering minder dan 1 jaar afwijkt van de werkelijke waarde van de verdubbelingstijd. 24

25 Voor wiskunde B-leerlingen moet de formulering, zoals die hierboven staat weergegeven voldoende zijn om het probleem te kunnen oplossen. Zij moeten er mee uit de voeten kunnen. Voor wiskunde A-leerlingen moet de opgave met behulp van tussenstappen worden aangeboden. Bijvoorbeeld als volgt: Voor de verdubbelingtijd bij exponentiële processen wordt vaak als vuistregel 70 gebruikt: T v =. p In deze formule is p het groeipercentage per jaar en T v de verdubbelingstijd in jaren. We willen onderzoeken voor welke waarden van p deze benadering minder dan 1 jaar afwijkt van de werkelijke waarde van de verdubbelingstijd. Daarvoor moeten we eerst nagaan hoe de werkelijke waarde van de verdubbelingstijd berekend wordt. Voor deze werkelijke T w geldt de volgende formule: log 2 T w = log 1 + 0, 01 p ( ) a. Toon aan dat deze formule voor T w juist is. Door nu gebruik te maken van de verschilfunctie tussen T v en T w kunnen het onderzoek uitvoeren dat hierboven staat beschreven. b. Voer dit onderzoek uit. Een wiskunde C-leerling zou eerst gevraagd worden een tabel te maken met daarin voor gehele waarden van p de werkelijke verdubbelingstijd en die van de vuistregel. Naar aanleiding van de tabel kunnen conclusies getrokken worden. De opgave kan er dan als volgt uit zien: Voor de verdubbelingtijd bij exponentiële processen wordt vaak als vuistregel gebruikt 70 T v =. p In deze formule is p het groeipercentage per jaar en T v de verdubbelingstijd in jaren. Deze formule is een goede benadering aan de werkelijke waarde van de verdubbelingstijd. Alleen bij heel kleine (of heel grote waarden) van p is de afwijking groter dan 1 jaar. Om dat na te gaan moeten we gebruik maken van de formule waarmee de werkelijke waarde T w van de verdubbelingstijd berekend wordt. Die formule ziet er als volgt uit: log 2 T w =. log 1 + 0, 01 p ( ) a. Bereken het verschil tussen beide uitkomsten voor p = 3 en ook voor p=0,3. We gaan nu een tabel maken met daarin de waarden van T v en van T w voor de waarden p = 0, p = 0,1, p = 0,2.p = 1. b. Maak zo n tabel voor de waarden en lees daaruit af voor welke waarden van p de waarde van T v meer dan 1 jaar afwijkt van de waarde van T w. 25

26

27 5. Mogelijkheden voor toetsing en weging (PTA) 5.1 Inrichting van het PTA Volgens het examenbesluit havo/vwo dient het PTA jaarlijks vóór 1 oktober te worden vastgesteld en moet het in elk geval betrekking hebben op het desbetreffende schooljaar. In het PTA zijn tenminste de volgende onderdelen opgenomen: - de onderdelen van het examenprogramma die in het schoolexamen worden getoetst; - de inhoud van de onderdelen van het schoolexamen; - de wijze van examinering van de verschillende onderdelen van het schoolexamen; - de mogelijkheden tot herkansing van de verschillende onderdelen van het schoolexamen; - de weging van de verschillende onderdelen van het schoolexamen; - het herexamen van het schoolexamen. In het examenprogramma van 1998 zijn vormvoorschriften voor het schoolexamen opgenomen. Vanaf 2007 zijn deze vormvoorschriften vervallen. De formulering is nu als volgt: Het schoolexamen heeft betrekking op domein A en: 1. de (sub)domeinen Bg1, Cg2, Ba1 en Ba2; 2. het domein G, met dien verstande dat deze onderwerpen per kandidaat kunnen verschillen; 3. indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: een of meer domeinen of subdomeinen waarop het centraal examen betrekking heeft. 4. indien het bevoegd gezag daarvoor kiest: andere vakonderdelen, die per kandidaat kunnen verschillen. De keuzemogelijkheden voor de scholen zijn dus verruimd. Bij wiskunde kenden we al de situatie van het keuzeonderwerp als verplicht onderdeel van het schoolexamen in het vwo. Maar nu mogen eigen onderdelen toegevoegd worden aan het wiskundeprogramma en in het schoolexamen worden opgenomen. Inmiddels is in de afgelopen jaren een groot aantal onderwerpen, die geschikt zijn voor de invulling van deze keuzeruimte in het vwo, uitgewerkt. Het betreft de serie Zebraboekjes. Daarnaast hebben verschillende hogescholen en universiteiten masterclasses ontwikkeld. Dit zijn enkele voorbeelden van mogelijke keuzes, die de school kan maken. Uiteraard zijn er veel meer mogelijkheden. Veel informatie is ook te vinden op diverse websites (zie ook bijlage 5). De keuzeonderdelen mogen zelfs van leerling tot leerling verschillen (zie ook hoofdstuk 7). Alhoewel de gedetailleerde vormvoorschriften vervallen zijn, kan de formulering van het programma van 1998 scholen en secties inspiratie bieden bij het opstellen van het PTA. 27

28 5.2 Overwegingen bij het opstellen van een PTA Voorafgaand aan het opstellen van een PTA voor het vak wiskunde behoort het tot de verantwoordelijkheid van de vaksectie om zich goed te informeren over het formele karakter van het PTA. De vaksectie moet zich ook een goed beeld vormen van de randvoorwaarden waarbinnen het vak wiskunde op de eigen school wordt onderwezen. Belangrijke vragen waarover eerst duidelijkheid moet bestaan zijn o.a.: - hoe worden de 520 slu voor wiskunde A verdeeld over het vierde, vijfde en zesde leerjaar van het vwo? - hoeveel lessen wiskunde A staan er in de opeenvolgende schooljaren op het rooster? - werkt de school met perioden? Zo ja, met hoeveel perioden? Is periodisering mogelijk/wenselijk? - welke ruimte is er voor zaken als studiebegeleidinguren, Z-uren en keuzewerktijd? - zijn er wel/geen lesvrije toetsweken? - hoe de herkansing van onderdelen van het schoolexamen schoolbreed geregeld? Wanneer vindt die plaats? - hoe is de voortgangsrapportage geregeld? Hoeveel rapporten, wanneer? - op welke gronden vindt bevordering naar een volgend schooljaar plaats? - hoe verhouden examenonderdelen zich tot voortgangstoetsen? - welke lesmethodegebruiken de leerlingen, welke overige informatiebronnen en hoe is de verhouding tussen leerstof in het schoolboek en niet-methodegebonden lesmateriaal? Vervolgens is het in het belang van de leerlingen gewenst dat binnen de jaarlaag afstemming is over o.a.: - spreiding van schriftelijke toetsen en praktische opdrachten over het schooljaar; - koppeling met examenonderdelen van andere vakken; - het aantal dagen lesuitval door schoolgebonden buitenschoolse activiteiten als werkweken, internationale uitwisseling, cultuurreizen, sporttoernooien, excursies, verlof voor eigen bijscholing, vergaderingen, et cetera; - het toetsen van algemene vaardigheden uit domein A zoals informatievaardigheden, technisch-instrumentele vaardigheden en algebraïsche vaardigheden; - de organisatie van oriëntatie op studie en beroep en de rol van de andere vakken daarin. Al deze factoren hebben invloed op de beslissing over: - de verdeling van de leerstof over de opeenvolgende jaren; - de voorbereiding op de schoolexamenonderdelen en het centraal examen; - het opnemen van voor het centraal examen aangewezen subdomeinen in het schoolexamen, in welke mate en wanneer; - de invulling van de door de school te bepalen onderdelen van het wiskundeprogramma en de wijze van examinering. De gewenste detaillering in de beschrijving van de onderdelen van het PTA wordt op schoolniveau aangegeven. Het PTA dient een raamdocument te zijn, waarbinnen later door middel van gedetailleerde studiewijzers de precieze inhoud en werkwijze aan de leerlingen duidelijk gemaakt wordt. Daarom verdient een korte typering en een globale omschrijving van de vakinhoud de voorkeur boven een gedetailleerde beschrijving, die 28