Linear voor CT College 1. Lineaire vergelijkingen en lineaire stelsels 1.1 Duncan van der Heul

Transcriptie

1 Linear voor CT College Lineaire vergelijkingen en lineaire stelsels. Duncan van der Heul

2 Een lineaire vergelijking: a + a + a + a a n n = b De a i tjes: de coëfficiënten De i tjes: de onbekenden/variabelen De b: het rechterlid Wèl: Niet: sin(π / ) + = 5 (a = sin(π / ), a =, a =, b = 5) + sin( ) = 5

3 Een lineaire vergelijking: a + a + a + a a n n = b De a i tjes: de coëfficiënten De i tjes: de onbekenden/variabelen De b: het rechterlid Een bijzonder geval: a + a + a + a a n n = 0 Ofwel: Dit heet een homogene vergelijking b = 0

4 Een oplossing van een lineaire vergelijking Een oplossing van de vergelijking: Wordt gegeven door: = = 4 = = 5 4 = Want: ( ) 4 = 5

5 Een stelsel lineaire vergelijkingen: n = n = n = 0 m vergelijkingen n onbekende i s Ons stelsel lineaire vergelijking bestaat uit totaal m vergelijkingen (te zien als voorwaarden) waaraan het setje van n i - jes tegelijkerojd moet voldoen: te controleren door in te vullen in èlke vergelijking

6 Het meest eenvoudige stelsel lineaire vergelijkingen Welke oplossing(en)! = voldoen aan dit stelsel?: = + = De verzameling van alle - en die aan het stelsel voldoen, noemen we de oplossingsverzameling van het stelsel, of de oplossing van het stelsel.

7 Het meest eenvoudige stelsel lineaire vergelijkingen Welke oplossing(en)! = voldoen aan dit stelsel?: = + = Lijkt bijna hetzelfde als vorige, maar is oplossing dat ook?

8 Het meest eenvoudige stelsel lineaire vergelijkingen Welke oplossing(en)! = voldoen aan dit stelsel?: = + = Weer bijna hetzelfde als vorige, maar is oplossing dat ook?

9 De oplossingsverzameling van een lineair stelsel. Alle lineaire stelsels hebben een oplossingsverzameling van van de volgende vormen: Er is èèn oplossing Er is gèèn (enkele) oplossing Er zijn oneindig veel (verschillende) oplossingen

10 EistenOe en Uniciteit van de oplossing Lineair stelsel Inconsistent (geen oplossingen) Consistent (tenminste oplossing) EistenOe Uniciteit Unieke oplossing Oneindig veel oplossingen

11 Hoe kun je dit beter begrijpen? = + = wordt:! = + = + Eerste vergelijking Tweede vergelijking

12 Hoe kun je dit beter begrijpen? = + = wordt:! = + = + Eerste vergelijking Tweede vergelijking

13 Hoe kun je dit beter begrijpen? = + wordt:! = + = + Eerste vergelijking Tweede vergelijking

14 Hoe kun je dit beter begrijpen? vergelijkingen met onbekenden Elke vergelijking beschrijv nu een vlak i.p.v. een lijn

15 Een methode om lineaire stelsels op te lossen = + + = + + = Beginpunt : elke vergelijking hangt af van alle () onbekenden Eindpunt: equivalent lineair stelsel, waaruit je de oplossing direct kunt aflezen. Twee lineaire stelsels zijn equivalent è beide hebben dezelfde oplossing

16 Stelsel: haal het overbodige weg, hou de essenoe over: Aangevulde matri: Coëfficiënten matri Elke rij in de aangevulde matri is dus een vergelijking! Stelsel in matri- notaoe = + + = + + =

17 Gauss eliminaoe ( Vegen ) We gebruiken Elementaire rijopera0es om naar de (gereduceerde) echelon vorm van het stelsel te komen: Smaken: Een rij vervangen door die rij zelf + een veelvoud van een andere rij Een rij vermenigvuldigen met een getal (schalen) Twee rijen verwisselen

18 Elementaire rijoperaoe : Vervang de de vergelijking door de som van: - keer de ste vergelijking en de de vergelijking: = ( ) = = 6 + +

19 Elementaire rijoperaoe : ( ) + ( ) 5 5+ ( ) 8+ ( ) ( ( (

20 Elementaire rijoperaoe : Vervang de de vergelijking door: /9 keer de de vergelijking: = 6 8 = = 6 ( 8 ) = = 6

21 Elementaire rijoperaoe : ( ( (

22 Elementaire rijoperaoe : Verwissel de de en de vergelijking: = = 8

23 Elementaire rijoperaoe :

24 Het hele oplosproces Voorwaartse fase Achterwaartse fase Case : = 8 + +

25 Bijzondere gevallen van de aangevulde matri () Aangevulde matri: Hieruit volgt direct het gereduceerde stelsel:! = = = = = = 4 = En de unieke oplossing = 4

26 Bijzondere gevallen van de aangevulde matri () Aangevulde matri:! Hieruit volgt direct het gereduceerde stelsel: Huh? = = = Stelsel heev geen oplossing: strijdig of inconsistent

27 Bijzondere gevallen van de aangevulde matri () Aangevulde matri: Hieruit volgt direct het gereduceerde stelsel: = + = 4 + Er zijn maar vergelijkingen en onbekenden: we mogen een van de variabelen vrij kiezen.