Een optie geeft de houder ervan het recht

Transcriptie

1 Veertiendaags tijdschrift Jaargang 54 nr augustus 1999 ISSN in dit nummer... De waardebepaling van opties... 1 Het Ierse groeidecennium De waardebepaling van opties Een optie geeft de houder ervan het recht om vóór of op een overeengekomen tijdstip een bepaald goed te verhandelen tegen een vooraf overeengekomen prijs. Daartegenover staat de verplichting van de tegenpartij om dat goed tegen deze prijs te kopen of te verkopen, als de optie door de houder wordt uitgeoefend. Opties zelf kunnen ook worden gekocht of verkocht. De optiehandel heeft vooral een hoge vlucht genomen na 1973, toen de Amerikaanse economen Myron Scholes en Fisher Black de verschillende componenten en determinanten van de optieprijzen tot synthese brachten in één wiskundige formule die het mogelijk maakt om, weliswaar op basis van enkele vereenvoudigde hypothesen, een theoretische, juiste prijs voor opties te berekenen. Blijkbaar bestonden opties al bij de oude Grieken. Aristoteles vertelt dat Thales van Milete ooit tijdens een winterperiode een optie nam op het gebruik van alle olijvenpersen in Chios en Milete, nadat hij in de sterren had gelezen dat een rijk oogstseizoen voor de deur stond. Hij betaalde voor zijn opties relatief weinig geld, want zijn mening over de nakende olijfoogst werd door weinigen gedeeld. Aristoteles vertelt verder over de ruime winsten die Thales later wist te realiseren bij de verkoop van zijn opties. De optiehandel, zoals wij die nu kennen, ontstond in de Verenigde Staten aan het einde van de 18de eeuw. Zij gebeurde nog zonder dekking van het tegenpartij-risico, in die zin dat geen garanties werden ingebouwd dat de bij de optie betrokken tegenpartij effectief haar verplichting zou nakomen. Zij had dan ook een zeer woelig bestaan, zeker tijdens perioden waarin de activa waarop de opties betrekking hadden forse prijsbewegingen ondergingen, zoals tijdens de depressie van de jaren dertig. In Chicago, een van de belangrijkste termijnbeurssteden ter wereld, werd in het begin van de jaren zeventig de Chicago Board Options Exchange opgericht en gestart met een gestructureerde, wel gedekte optiehandel op aandelen. Deze handel oogstte een groot succes en kreeg snel navolging. Ook België kreeg in 1992, met de oprichting van Belfox, een eigen optiebeurs (1). Economisch Financiële Berichten 1

2 Derivaten- en optiemarkten De verhandeling van derivaten en dus ook van opties gebeurt zowel op officieel erkende beurzen als over the counter (a). Om opties op beurzen te kunnen verhandelen is een sterke standaardisatie nodig van de looptijd, de uitoefenprijs en het onderliggende actief. Bijkomend garandeert een clearingorganisatie de goede afwikkeling van de transacties. Over the counter worden opties voornamelijk verhandeld tussen professionelen. Daar is een dergelijke standaardisatie niet noodzakelijk en kunnen de voorwaarden dus in hoge mate worden aangepast aan de specifieke wensen van de betrokken partijen. Het tegenpartij-risico is evenwel niet gedekt. De derivatenmarkten vertoonden de afgelopen jaren een explosieve groei (zie grafiek). De markten voor beursverhandelde instrumenten stegen over 1998 met ruim 11 % tot een uitstaande waarde van miljard USD per einde Daartegenover stond een stijging met 76 % van de uitstaande waarde van over the counter verhandelde instrumenten tot miljard USD. De turbulentie die in de tweede helft van vorig jaar op de internationale financiële markten ontstond, kon de groei derhalve niet keren. Terwijl de groei van de derivatenmarkten al in de voorgaande jaren substantieel was, bleek op deze manier ook de minder gunstige mondiale financiële constellatie een goede voedingsbodem voor de derivatenmarkten. Uitstaande notionele bedragen aan derivatencontracten (in mld. USD) In duizenden Beursverhandelde derivaten Over the counter verhandelde derivaten KBC Bank JMX141 Bij de opties wordt vooral in renteopties een aanzienlijk handelsvolume gerealiseerd. De meerderheid van dit handelsvolume gebeurt over the counter (zie tabel). Voor valutaopties en opties op aandelen blijft het volume veel beperkter, zij het dat geen cijfers beschikbaar zijn omtrent het belang van de over-thecounterhandel. De Chicago Board Options Exchange (CBOE) blijft wereldwijd de belangrijkste optiebeurs, met een verhandeld volume van meer dan 200 miljoen optiecontracten in Andere belangrijke optiebeurzen zijn : Eurex (100 miljoen contracten), de American Stock Exchange (AMEX, 95 miljoen contracten), de Amsterdam Exchanges (AEX, 60 miljoen contracten) en de Chicago Board of Trade (CBOT, 50 miljoen contracten). Ter vergelijking : Belfox realiseerde in 1998 iets meer dan 1 miljoen optiecontracten. (a) Derivaten zijn afgeleide producten en omvatten dus zowel opties, futures als swaps Verhandelde optiecontracten Uitstaande notionele bedragen, in mld. USD Beursverhandelde opties Onderliggend actief: Rente 1 385, , , , , , ,8 Valuta 71,1 75,6 55,6 43,5 46,5 33,2 18,7 Beursindex 158,6 229,7 238,4 329,3 378,0 776,5 866,5 Over the counter verhandelde opties Onderliggend actief: Rente 634, , , , , ,1 NB NB: niet beschikbaar. Bron: Bank voor Internationale Betalingen. 2

3 Prijsdeterminanten De koper of houder van een optie heeft het recht vóór of op een vastgestelde datum (de afloopdatum) een zekere hoeveelheid van een goed (het onderliggende actief) te verhandelen tegen een vooraf vastgestelde prijs (de uitoefenprijs). Tegenover dit recht van de koper (houder) staat de verplichting van de verkoper (schrijver) om dat goed onder de overeengekomen voorwaarden te leveren of te aanvaarden, als de houder zijn recht uitoefent. Wordt zij niet uitgeoefend vóór of op de afloopdatum, dan wordt de optie waardeloos en vervalt de verplichting voor de schrijver. Hierin verschilt een optie dus duidelijk van een termijntransactie of een futurecontract, waar beide partijen zich tot de transactie hebben verbonden. In ruil voor het optierecht betaalt de koper een prijs (de optiepremie), die de schrijver vergoedt voor de verplichting die hij op zich heeft genomen. Een calloptie geeft de houder het recht om het onderliggende actief vóór of op de afloopdatum tegen de uitoefenprijs te kopen. De schrijver van deze optie neemt de verplichting op zich deze waarde te leveren. Een putoptie daarentegen geeft de houder het recht het onderliggende actief vóór of op de afloopdatum tegen de uitoefenprijs te verkopen en impliceert voor de schrijver dus de verplichting om deze waarde tegen die prijs aan te kopen. Bij een optie van het Amerikaanse type kan de houder zijn recht uitoefenen op om het even welk moment vóór of op de afloopdatum van de optie, terwijl bij een optie van het Europese type de uitoefening ervan enkel mogelijk is op de afloopdatum (2). Zoals elke prijs, geeft de optiepremie weer hoeveel de markt bereid is te betalen voor het betrokken recht. Analytisch kan deze prijs worden opgesplitst in een intrinsieke waarde en een extrinsieke waarde, die ook tijds- of verwachtingswaarde wordt genoemd. De intrinsieke waarde hangt af van de uitoefenprijs van de optie en de koers van het onderliggende actief, terwijl de extrinsieke waarde bijkomend afhangt van de resterende looptijd van de optie, de beweeglijkheid van de koers van het onderliggende actief en de risicovrije rentevoet. Dat de koers van het onderliggende actief de belangrijkste determinant is van de optieprijs, ligt voor de hand. Zo zal de prijs van een calloptie op een aandeel stijgen als, ceteris paribus, de koers van het aandeel zelf stijgt (zie grafiek). Het wordt dan immers, gezien de vaste uitoefenprijs, aantrekkelijker om de optie uit te oefenen. Omgekeerd zal de prijs van een putoptie stijgen als de koers van het onderliggende actief daalt. Het verschil tussen de uitoefenprijs en de koers van het onderliggende actief is de intrinsieke waarde van de optie. Bij een calloptie is deze Prijscomponenten van een calloptie Optieprijs Tijdswaarde Intrinsieke waarde Uitoefenprijs Koers onderliggende actief KBC Bank JMX142 Nr. 14 /

4 intrinsieke waarde positief zodra de koers van het onderliggende actief zich boven de uitoefenprijs bevindt. De optie bevindt zich dan in-the-money. Bevindt de koers zich op ( at-the-money ) of onder ( out-of-themoney ) de uitoefenprijs, dan is de intrinsieke waarde nul. Een putoptie heeft alleen een intrinsieke waarde als de uitoefenprijs hoger is dan de koers van het onderliggende actief. Opties, die geen intrinsieke waarde hebben, kunnen toch worden verhandeld tegen een positieve prijs. Dat komt doordat een optie ook een extrinsieke of tijdswaarde heeft. Die is per definitie gelijk aan het verschil tussen de optieprijs en de intrinsieke waarde. De tijdswaarde weerspiegelt de kans dat de koers van het onderliggende actief tussen het tijdstip van aankoop van de optie en de afloopdatum in een voor de houder gunstige zin evolueert, zodat de intrinsieke waarde toeneemt of, als zij niet in-the-money is, de optie alsnog een intrinsieke waarde krijgt. Zij is maximaal voor opties die at-the-money zijn en neemt af naarmate de absolute waarde van het verschil tussen de uitoefenprijs en de koers van het onderliggende actief groter wordt. Voor opties die zich ver out-of-themoney bevinden, is immers een ruime wijziging in de koers van het onderliggende actief nodig om alsnog tot een positieve intrinsieke waarde te komen, terwijl de uitoefening van opties die zich ver in-the-money bevinden zo goed als zeker is en hun prijs daarom bijna louter bestaat uit intrinsieke waarde. De tijdswaarde hangt verder af van de resterende looptijd van de optie, de beweeglijkheid van de koers van het onderliggende actief en de risicovrije rentevoet. Naarmate Praktisch voorbeeld De verschillende aspecten van de prijsvorming op de optiemarkt kunnen het best worden geïllustreerd aan de hand van een voorbeeld. De tabel bevat de prijzen die op 24 juni 1999 voor enkele callopties op het aandeel ING totstandkwamen op de Amsterdam Exchanges. De contantkoers van het ING-aandeel op de Amsterdamse effectenbeurs bedroeg die dag 52,35 EUR. Op 24 juni 1999 bevond de CALL ING 50 (uit- Optieprijzen ING op AEX dd. 24 juni 1999 (in EUR) Uitoefen- Afloopmaand prijs Juli 1999 Oktober 1999 Januari ,70 4,90 6, ,60 2,40 3, ,05 1,00 2,30 oefenprijs 50 EUR) zich in the money met een intrinsieke waarde van 2,35 EUR (= 52,35-50). De CALL ING 55 heeft geen intrinsieke waarde (52,35-55 < 0), zodat haar prijs gelijk is aan de tijdswaarde. Deze tijdswaarde neemt af naarmate de uitoefenprijs hoger ligt, dit is naarmate de optie zich verder out-of-the-money bevindt. Zo is de CALL ING juli 60 (afloopmaand juli) minder waard dan de CALL ING juli 55. In het eerste geval moet de koers van het ING-aandeel met ten minste 7,65 EUR stijgen vooraleer het lonend wordt de optie uit te oefenen, de tweede optie heeft maar een koersstijging van 2,65 EUR nodig. De tijdswaarde neemt daarentegen toe naarmate de afloopdatum zich verder in de toekomst bevindt. Zo ligt de prijs van de CALL ING januari altijd (voor om het even welke uitoefenprijs) hoger dan deze voor de CALL ING oktober, die op haar beurt een duurdere prijs heeft dan de CALL ING juli. Voor de houder van een latere optie heeft het ING-aandeel immers langer de tijd om de gewenste koersstijging te realiseren. 4

5 de resterende looptijd van de optie afneemt en de afloopdatum dus naderbij komt, blijft er voor de koers van het onderliggende actief minder tijd over om in de gewenste richting te evolueren en wordt de tijdswaarde bijgevolg kleiner. Op de afloopdatum zelf is zij nul en is de prijs van de optie dus gelijk aan haar intrinsieke waarde. De beweeglijkheid van de koers van het onderliggende actief heeft op de tijdswaarde hetzelfde effect als de resterende looptijd: hoe groter deze beweeglijkheid, hoe hoger de tijdswaarde. Een grotere beweeglijkheid verhoogt immers de kans dat de koers van het onderliggende actief zich in een voor de houder gunstige zin zal ontwikkelen. De invloed van de risicovrije rentevoet op de tijdswaarde van een optie is verschillend voor een call- en putoptie. Een calloptie is in essentie een uitgestelde aankoop van het onderliggende actief. De houder van de optie moet die aankoop nog niet financieren en dit levert hem een rentevoordeel op dat groter is naarmate de risicovrije rente toeneemt. Er bestaat dus een positief verband tussen de risicovrije rente en de tijdswaarde van een calloptie. Bij een putoptie daarentegen is dat verband negatief. Daar gaat het in essentie om een uitgestelde verkoop. De houder ziet dus af van een risicovrije renteopbrengst, en dit wel des te meer naarmate de rente hoger ligt. Hoe hoger deze rente, hoe lager bijgevolg de tijdswaarde van de putoptie. De Black-Scholesformule voor Europese opties De verschillende componenten en determinanten van optieprijzen zijn theoretisch duidelijk, maar hun samenhang is zeer complex. Het duurde dan ook vrij lang vooraleer zij in de financiële theorie tot synthese werden gebracht. Dit gebeurde pas in 1973, toen de Amerikaanse economen Myron Scholes en Fisher Black in een baanbrekend onderzoek een wiskundige formule ontwikkelden waarmee een theoretische prijs voor opties van het Europese type kan worden bepaald (3). Deze formule vergemakkelijkt aanzienlijk de prijsbepaling van optiecontracten die niet op de beurs worden verhandeld en daar dus geen marktprijs krijgen. Dat is belangrijk, aangezien het volume van de over the counter verhandelde contracten dat van op de beurs verhandelde opties ruim overtreft. Voor beursgenoteerde opties biedt de Black- Scholes-formule een hulpmiddel om onder- of overgewaardeerde opties te identificeren. De formule berust op de veronderstelling dat er geen arbitragemogelijkheden bestaan op de financiële markten en identieke producten op verschillende markten dus altijd een zelfde prijs krijgen. Deze veronderstelling is realistisch aangezien in de praktijk, dankzij de real time elektronische informatieverspreiding, prijsverschillen op de financiële markten vrijwel onmiddellijk door het spel van vraag en aanbod worden geëlimineerd. Ongelijke prijzen voor identieke producten leiden immers tot aankopen van die producten op markten waar zij goedkoop zijn en tot verkopen waar zij duur zijn, waardoor de oorspronkelijke prijsverschillen automatisch verdwijnen. Voorstelling met één periode De redenering die ten grondslag ligt aan de Black-Scholes-formule kan het best wor- Nr. 14 /

6 den geïllustreerd aan de hand van een zogenaamd binomiaal model dat de prijs van een calloptie van het Europese type zeer eenvoudig berekent. De term binomiaal wil zeggen dat het model steunt op een koersenboom die bij toename van het aantal deelperioden steeds verder uitwaaiert. Schema 1 betreft een voorbeeld met slechts één periode, waar de uitwaaiering dus minimaal is. Het betreft een calloptie met een uitoefenprijs van 210 EUR, een resterende looptijd van zes maanden en als onderliggende waarde een aandeel met een huidige koers van 200 EUR (punt A). Veronderstel dat we over een weliswaar gespleten glazen bol beschikken en nu al weten dat de koers van het aandeel binnen zes maanden ofwel 242 EUR (punt B) ofwel 162 EUR (punt C) zal bedragen. De prijs van een optie op de afloopdatum is gelijk aan haar intrinsieke waarde. Bijgevolg zal de calloptie over zes maanden 32 EUR waard zijn bij een koers van het aandeel van 242 EUR (punt B) en bij een koers van 162 EUR waardeloos aflopen (punt C). Als geen arbitrage mogelijk is, levert elke risicovrije portefeuille een rendement op dat Voorstelling met één periode Schema 1: Europese calloptie Aandelenprijs = 200 EUR Optieprijs = 17,09 EUR Schema 2: Europese putoptie Aandelenprijs = 200 EUR Optieprijs = 20,97 EUR Basisgegevens: A A Uitoefenprijs = 210 EUR Looptijd = zes maanden B C B C Aandelenprijs = 242 EUR Optieprijs = 32 EUR Aandelenprijs = 162 EUR Optieprijs = 0 EUR Aandelenprijs = 242 EUR Optieprijs = 0 EUR Aandelenprijs = 162 EUR Optieprijs = 48 EUR Risicovrije rente = 6 % per definitie gelijk is aan de risicovrije rente. Met de gegevens van schema 1 kan nu een portefeuille worden samengesteld die risicovrij is, in die zin dat de waarde ervan over zes maanden steeds dezelfde is, ongeacht of de koers van het aandeel 242 EUR dan wel 162 EUR bedraagt. Deze portefeuille bestaat uit een aantal aandelen en één verkochte (geschreven) calloptie, met een totale waarde gelijk aan V X, waarbij V staat voor de koers van het aandeel, voor het aantal aandelen en X voor de prijs van de verplichting (vandaar het negatieve teken) die de schrijver van de calloptie op zich heeft genomen. Op het huidige ogenblik bedraagt de totale waarde 200 X (huidige koers van het aandeel = 200). Het aantal aandelen dat zo wordt gekozen dat het samen met één geschreven calloptie zorgt voor een risicovrije portefeuille, wordt de delta ( ) van de optie genoemd. Zij geeft de gevoeligheid weer van de prijs van de calloptie voor wijzigingen in de koers van het onderliggende aandeel (4). In het voorbeeld zijn de twee mogelijke portefeuillewaarden na zes maanden gelijk aan (aandeelkoers = 242, optieprijs = 32) en 162 (aandeelkoers = 162, optieprijs = 0). Deze twee waarden zijn aan elkaar gelijk en de portefeuille dus risicovrij als = 162, m.a.w. als = 0,4. De waarde van de portefeuille na zes maanden bedraagt in dit geval altijd 242(0,4) 32 = 162(0,4) = 64,8 EUR. Aangezien het hier gaat om een risicovrije portefeuille, is deze eindwaarde precies gelijk aan de huidige waarde vermeerderd met de risicovrije rente. De waarde van de portefeuille op het huidige ogenblik bedraagt 200(0,4) X = 80 X. Bij een risicovrije rente van 6 %, is deze waarde na zes maanden aangegroeid tot (80 X)(1+0,03) = 82,4 6

7 1,03X, en dit moet dus ongeacht de ontwikkeling van de koers van het aandeel gelijk zijn aan 64,8. De theoretische prijs van de calloptie (de waarde X) kan nu worden afgeleid uit de vergelijking 82,4 1,03X = 64,8, zodat X = 17,09 EUR. Merk op dat als de risicovrije rente 12 % zou bedragen, de theoretische prijs zou oplopen tot 18,87 EUR, wat het positieve verband tussen de hoogte van de risicovrije rente en de prijs van een calloptie bevestigt. De optieprijs is onafhankelijk van de kans dat het aandeel stijgt naar 242 EUR of daalt naar 162 EUR: ongeacht deze kansverdeling blijft de prijs in het voorbeeld 17,09 EUR. Toch vermoeden we intuïtief dat als de kans op een koersstijging toeneemt, ook de prijs van de calloptie moet stijgen. Dat dit vermoeden op het eerste gezicht niet wordt bevestigd, vloeit opnieuw voort uit de veronderstelde afwezigheid van arbitragemogelijkheden. Deze veronderstelling betekent immers dat alle mogelijke informatie en dus ook de informatie omtrent de kansverdeling van het toekomstige koersverloop onmiddellijk in de koers van het aandeel wordt verwerkt (5). Aangezien de prijs van de calloptie al uit deze koers is afgeleid, betekent dit dat deze kansverdeling niet nogmaals in de berekening van die prijs moet worden opgenomen. Schema 2 gebruikt dezelfde basisgegevens om, op analoge wijze, de prijs van een putoptie te berekenen. De prijs over zes maanden bedraagt 48 EUR bij een koers van het aandeel van 162 EUR, terwijl de optie waardeloos is bij een koers van 242 EUR. De op te bouwen portefeuille bestaat nu uit aandelen en één gekochte putoptie, waarbij ook hier zo wordt gekozen dat de portefeuille risicovrij is en dus een rendement gelijk aan de risicovrije rente opbrengt. De waarde van deze portefeuille is gelijk aan V +X, waarbij X nu staat voor de prijs van het verkooprecht van de houder van de optie. De portefeuillewaarde op het huidige ogenblik bedraagt X, en de twee mogelijke waarden na zes maanden zijn 242 en Deze twee waarden zijn gelijk en de portefeuille dus risicovrij als 242 = , m.a.w. als = 0,6. De huidige portefeuillewaarde bedraagt op die manier X, en na zes maanden altijd 145,2 EUR. Bij een risicovrije rente van 6 % leidt de afwezigheid van arbitragemogelijkheden tot de vergelijking (120+X)(1+0,03) = 145,2, zodat X = 20,97 EUR. Voorstelling met twee perioden Het éénperiodemodel van de schema s 1 en 2 is een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid, in die zin dat het slechts rekening houdt met twee mogelijke eindwaarden voor het onderliggende aandeel. Het model wordt wat ingewikkelder, maar niet wezenlijk anders in schema 3 waar de looptijd van zes maanden wordt opgesplitst in twee deelperioden van drie maanden. De koers van het onderliggende aandeel kan in elke periode stijgen of dalen met 10 %, zodat na zes maanden drie mogelijke eindwaarden resulteren. Net als in schema 1 veronderstellen we dat het gaat om een Europese calloptie, bij een risicovrije rente van 6 %, een huidige koers voor het onderliggende aandeel van 200 EUR en een uitoefenprijs van 210 EUR. De prijs van de optie op de afloopdatum bedraagt 32 EUR bij een koers van het aandeel van 242 EUR (punt D), terwijl zij waardeloos Nr. 14 /

8 Voorstelling met twee perioden Schema 3: Europese calloptie AP = 200 EUR OP = 10,2 EUR B C Schema 4: Europese putoptie AP = 200 EUR OP = 14,11 EUR A A B C AP = 220 EUR OP = 18,13 EUR AP = 180 EUR OP = 0 EUR AP = 220 EUR OP = 5,02 EUR AP = 180 EUR OP = 26,9 EUR AP = 242 EUR OP = 32 EUR AP = 198 EUR OP = 0 EUR AP = 162 EUR OP = 0 EUR Basisgegevens: Uitoefenprijs = 210 EUR Risicovrije rente = 6 % Looptijd = zes maanden, opgesplitst in twee deelperioden van drie maanden AP = Aandelenprijs OP = Optieprijs afloopt bij een koers van 198 EUR (punt E) of 162 EUR (punt F). De optieprijzen na drie maanden (punten B en C) kunnen opnieuw worden berekend door de samenstelling van een risicovrije portefeuille van aandelen en één geschreven calloptie. De van de optie is in punt B gelijk aan de oplossing van de vergelijking = 198, zodat = 8/11. De waarde van de portefeuille bedraagt op die manier altijd (zowel in D als E) 144. Bij een risicovrije rente van 6 % blijkt de theoretische optieprijs X in punt B uit de vergelijking (220(8/11) X)(1+0,015) = 144, zodat X = 18,13 EUR. In punt C is de voorgaande berekening overbodig: hier bestaat immers geen enkele kans meer dat de optie nog inthe-money belandt (in E en F ligt de koers van het aandeel telkens lager dan de uitoefenprijs) en is de optieprijs dus gelijk aan nul. Gegeven de optieprijzen in de punten B en C, vergt het nu geen moeite meer om de optiewaarde in het punt A te berekenen. De van D E E F D E E F AP = 242 EUR OP = 0 EUR AP = 198 EUR OP = 12 EUR AP = 162 EUR OP = 48 EUR de optie in A bedraagt 0,45 en de waarde van de portefeuille (zowel in B als C) is gelijk aan 81. De theoretische optieprijs X is nu de oplossing van (200(0,45) X)(1+0,015) = 81, zodat X = 10,2 EUR. De prijs van een putoptie kan ook hier op analoge wijze worden berekend (zie schema 4). De op te bouwen portefeuille bestaat uit aandelen en één gekochte putoptie. De van de optie is in punt B gelijk aan de oplossing van 242 = , zodat = 3/11 en de waarde van de portefeuille op die manier altijd (zowel in D als E) 66 bedraagt. De theoretische optieprijs X op tijdstip B wordt afgeleid uit (220(3/11) + X) (1+0,015) = 66 en is dus gelijk aan 5,02 EUR. Een zelfde redenering toegepast voor punt C leidt tot een optieprijs van 26,9 EUR. Gegeven de optieprijzen in de punten B en C, kan de optieprijs in punt A worden berekend als 14,11 EUR. Uitbreiding tot n perioden Het aantal deelperioden kan nog verder worden uitgebreid. De periode van zes maanden kan worden opgesplitst in drie deelperioden van twee maanden of zelfs zes deelperioden van één maand. De koersenboom waaiert op die manier steeds verder uit en de tijdstippen waarop prijzen worden genoteerd, liggen steeds dichter bij elkaar. In het limietgeval wordt het aantal deelperioden oneindig groot en ontstaat een continue handel met een oneindig aantal mogelijke koersen van het onderliggende aandeel. De formule van Black en Scholes ontstaat nu door in de hierboven geschetste, eenvoudige modellen het aantal deelperioden onbeperkt te laten toenemen (zie kadertekst blz. 9). 8

9 Black-Scholes formule en impliciete beweeglijkheid De Black-Scholes formule luidt als volgt: weer omtrent de toekomstige beweeglijkheid, althans als het Black-Scholes-model een betrouwbare formule levert voor de prijsbepaling van opties. Concreet duidt zij op de maximale stijging (of daling) die de onderliggende koers volgens de marktverwachting in twee derde van de gevallen binnen één jaar zal ondergaan. X = VN(d) (U/e rft )N(d o T), waarbij: d = (ln(u/v) + (r f +(1/2)o 2 )T) / o T met: N( ) = cumulatief standaardnormale verdelingsfunctie e = 2,71828 De formule legt dus een verband tussen de optieprijs (X) enerzijds en de verschillende prijsdeterminanten anderzijds: de koers van het onderliggende actief (V), de uitoefenprijs van de optie (U), de resterende looptijd (T), de beweeglijkheid van de onderliggende koers (o) en de risicovrije rente (r f ). Het blijkt dat alle prijsdeterminanten met redelijke zekerheid zijn vast te stellen, met uitzondering van de beweeglijkheid van de onderliggende koers. Deze beweeglijkheid betreft immers niet de historische beweeglijkheid, maar wel de toekomstige beweeglijkheid over de looptijd van de optie. De toekomstige beweeglijkheid van het onderliggende actief is vandaag logischerwijze nog niet bekend. Het Black-Scholes-model wordt daarom in de praktijk vaak gebruikt om, gegeven het bestaan van een marktprijs voor op de beurs verhandelde opties, deze (toekomstige) beweeglijkheid te berekenen. Die (berekende) beweeglijkheid wordt de impliciete beweeglijkheid genoemd, precies omdat zij impliciet wordt afgeleid uit het Black- Scholes-model. Zij geeft de marktverwachting De grafiek schetst de ontwikkeling van de impliciete beweeglijkheid voor een aantal bekende beursindexen. Opmerkelijk is dat deze impliciete beweeglijkheid twee uitgesproken pieken vertoont die samenvallen met periodes van hevigere turbulentie op de financiële markten. Deze periodes kenmerkten zich door een beurscorrectie en een erg onzeker verloop van de aandelenkoersen, wat dus door de markt werd aangegrepen om haar toekomstverwachting inzake beweeglijkheid naar boven toe bij te stellen. Een eerste piek trad op in het najaar van 1997 als gevolg van de Zuidoost- Aziatische crisis. Een tweede en meer uitgesproken piek vond plaats in het najaar van 1998 door de devaluatie van de roebel, het Russische schuldmoratorium en de perikelen omtrent het speculatiefonds LTCM. Ontwikkeling impliciete beweeglijkheid (01/95-06/99) In % FTSE 100 CAC 40 S&P 500 AEX 1/95 7/95 1/96 7/96 1/97 7/97 1/98 7/98 1/ KBC Bank JMX143 Nr. 14 /

10 Waardering van Amerikaanse opties Tot dusver ging het enkel om opties van het Europese type, die alleen op de afloopdatum mogen worden uitgeoefend. Een basisveronderstelling van de Black-Scholes-formule is dat uitoefening alleen op die afloopdatum mogelijk is. Daardoor is zij in principe niet bruikbaar voor de waardering van Amerikaanse opties, die immers op om het even welk moment vóór de afloopdatum mogen worden uitgeoefend. Het is wel niet rationeel om een Amerikaanse calloptie vóór de afloopdatum uit te oefenen. Bij niet-uitoefening behoudt de koper van deze optie immers zijn recht op aankoop tegen de uitoefenprijs en bijkomend kan hij tot zolang deze uitoefenprijs risicovrij beleggen. De prijs van een Amerikaanse calloptie is daarom gelijk aan de waarde van haar Europese evenknie en kan zo uiteindelijk toch met de Black-Scholes-formule worden berekend. Bij een Amerikaanse putoptie daarentegen kan het voor de houder wél beter zijn om deze vóór de afloopdatum uit te oefenen. Zolang hij zijn verkooprecht niet uitoefent, derft hij immers minstens de risicovrije rente die hij met de opbrengst van die verkoop kan Schema 5: Amerikaanse putoptie AP = 200 EUR OP = 15,41 EUR A B C AP = 220 EUR OP = 5,02 EUR AP = 180 EUR OP = 26,9 EUR 30 EUR AP = 242 EUR OP = 0 EUR AP = 198 EUR OP = 12 EUR AP = 162 EUR OP = 48 EUR Basisgegevens: Uitoefenprijs = 210 EUR Risicovrije rente = 6 % Looptijd = zes maanden, opgesplitst in twee deelperioden van drie maanden AP = Aandelenprijs OP = Optieprijs D E E F verdienen. Een putoptie van het Amerikaanse type die deze voortijdige uitoefening mogelijk maakt, heeft voor de houder dus een hogere waarde dan een zelfde optie van het Europese type, en de Black-Scholes-formule levert dus enkel een benedengrens van haar waarde. Putopties van het Amerikaanse type kunnen evenwel wel worden gewaardeerd door middel van een aangepast binomiaal model. Het voorbeeld uit schema 5 is identiek aan schema 4 behalve dat het een putoptie betreft van het Amerikaanse type. De waarde van de optie op de afloopdatum (punten D, E en F) blijft gelijk aan haar intrinsieke waarde. De optieprijs op de overige tijdstippen (punten A, B en C) is gelijk aan het maximum van de prijs berekend voor een identieke Europese putoptie enerzijds en de intrinsieke waarde anderzijds. Dat de prijs van een Amerikaanse optie minimaal haar intrinsieke waarde bedraagt, is logisch, aangezien een Amerikaanse optie op ieder tijdstip kan worden uitgeoefend en deze uitoefening altijd die intrinsieke waarde oplevert. De Amerikaanse optieprijs is in punt B gelijk aan deze van haar Europese evenknie, aangezien de intrinsieke waarde van de optie daar nul bedraagt. In punt C daarentegen is de intrinsieke waarde van de optie (30 EUR) groter dan de Europese optieprijs (26,9 EUR), zodat de Amerikaanse optieprijs hier gelijk is aan die intrinsieke waarde. De actuele optieprijs (punt A) wordt nu berekend op basis van deze gewijzigde optieprijs in punt C (punt A kan immers uitmonden in punt C): hij bedraagt 15,41 EUR, wat hoger is dan de intrinsieke waarde (10 EUR). 10

11 Invloed op de prijs van het onderliggende actief Dat de prijs van het onderliggende actief invloed heeft op de prijs van de optie, ligt voor de hand. Een andere vraag is evenwel of de optie zelf invloed heeft op de prijs van het onderliggende actief, en vooral ook op de beweeglijkheid van deze prijs. Geregeld wordt bezorgdheid geuit over deze mogelijke beïnvloeding, en scherpe beursinzinkingen bijvoorbeeld (zoals in 1987) worden soms toegeschreven aan de handel in aandelenopties die de koersdalingen zou versterken. Het argument luidt dat, door het bestaan van opties, beleggers zich niet meer naar de aandelenbeurs hoeven te haasten om te profiteren van een scherpe koersval. Potentiële kopers kunnen hun aankoop uitstellen zonder het risico te lopen dat zij later tegen een hogere prijs op de markt moeten treden. Voor een fractie van het bedrag dat zij anders moeten besteden op de beurs, kopen zij een calloptie die hun het recht geeft het gewenste aandeel in te kopen tegen dezelfde lagere koers als de huidige. Het gevolg van het uitstel, waartoe opties potentiële kopers op een dalende markt verleiden, laat zich raden: de bezitters van callopties blijven van de beursvloer weg, het aanbod aan aandelen ontmoet minder vraag en de koersen tuimelen verder omlaag. Dit argument is weinig overtuigend in die zin dat een omgekeerde redenering kan worden ontwikkeld voor potentiële verkopers: ook zij kunnen dankzij de aankoop van een putoptie hun verkoop uitstellen zonder het risico te lopen dat zij later tegen een nog lagere prijs moeten verkopen. Of de verhandeling van opties invloed heeft op de koers van de onderliggende aandelen, is dus niet a priori zeker. Empirisch onderzoek uitgevoerd op tal van optiemarkten (o.a. Belfox (6)) wijst veeleer in de richting van een verminderde beweeglijkheid van het onderliggende aandeel na de introductie van opties op dit aandeel. De vrees dat de groei van de optiemarkten tot een grilliger koersverloop op de financiële markten dreigt te leiden, is dus waarschijnlijk ongegrond. In de praktijk blijkt veeleer het tegendeel. Dat de koers van het onderliggende actief weinig of niet wordt bepaald door het bestaan van opties, vergroot overigens de betrouwbaarheid van de Black-Scholes-formule als maatstaf voor de juiste optieprijs. (1) Belfox fuseerde onlangs met de beurs van Brussel en CIK tot de Brussels Exchanges. (2) De meeste opties die worden verhandeld, zijn van het Amerikaanse type. Bij de waardebepaling van opties wordt evenwel veelal gekeken naar het Europese type, daar zij makkelijker te analyseren zijn. Merk op dat de termen Amerikaans en Europees niet verwijzen naar de locatie waar de opties worden verhandeld: ook op Amerikaanse beurzen worden opties van het Europese type verhandeld en vice versa. (3) F. Black en M. Scholes, The pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, mei-juni 1973, pp (4) De van een optie is gelijk aan de partiële afgeleide van de optieprijs naar de prijs van het onderliggende actief: δx = δv (5) Deze veronderstelling staat in de literatuur bekend als de halfzwakke vorm van marktefficiëntie. (6) Zie o.a.: C. Van Hulle, L. Vanthienen en A. Praet, Belfox: wisselwerking met de aandelenmarkt, Bank- en Financiewezen, 1994/6, pp ; J. Annaert en M. De Ceuster, Invloed van optienoteringen op de volatiliteit van de aandelenmarkt, Economisch en Sociaal Tijdschrift, 1996/3, pp Nr. 14 /

12 Het Ierse groeidecennium Na de toetreding tot de Europese Unie (EU) in 1973 bleef het Ierse BNP per capita lange tijd hangen op minder dan 60 % van het EU-gemiddelde. In de jaren negentig evenwel werd de Ierse economie een van de snelst groeiende ter wereld. Het expansieve budgettaire beleid na de oliecrisissen van de jaren zeventig confronteerde Ierland in het midden van de jaren tachtig met een overheidsschuld van meer dan 110 % van het BBP, hoge betalingsbalanstekorten en een werkloosheidsgraad van bijna 17 %. Vanaf 1987 echter groeide het BBP met gemiddeld 7 % per jaar. Het BNP per capita bereikte in 1998 al bijna 90 % van het EUgemiddelde (1). De overheidsschuld werd teruggebracht tot 60 % van het BBP en de werkloosheidsgraad tot minder dan 7 %. De lopende rekening van de betalingsbalans vertoont sinds 1993 een overschot en de inflatie werd fors teruggedrongen. Beleidsommezwaai De ommekeer sinds 1987 steunde in de eerste plaats op een grondige sanering van de overheidsfinanciën, met de klemtoon op uitgavenbeperking. Het begrotingstekort werd snel teruggebracht van 8,4 % van het BBP in 1987 naar 1,7 % twee jaar later. De negatieve effecten van deze sanering op de binnenlandse bestedingen werden in belangrijke mate getemperd door een forse daling van de gezinsspaarquote, van 15,7 % in 1987 tot 11 % in Daarnaast werd de daling van de eigen overheidsinvesteringen ten dele gecompenseerd door de steun van de EU. Netto ontving Ierland tussen 1989 en 1993 Europese subsidies van gemiddeld bijna 6 % van het BBP. De primaire uitgaven van de Ierse overheid zelf daalden van 37 % van het BBP in 1986 tot 26 % in 1998, en haar ontvangsten van 41 % naar 33 %, onder meer door tariefverlagingen in de personen- en vennootschapsbelasting. In 1998 had zij een begrotingsoverschot van 2,3 % van het BBP. De overheid koos in 1987 ook resoluut voor een beleid van uitvoergeleide groei. Daarin stond het herstel van de concurrentiekracht centraal. Tussen 1978 en 1987 waren de loonkosten per eenheid product met meer dan 130 % gestegen, tegenover gemiddeld 73 % in de EU. Dat leidde tot een recordtekort op de lopende rekening van de betalingsbalans van meer dan 10 % van het BBP in In 1987 echter werd tussen werkgevers, vakbonden en overheid een akkoord voor drie jaar bereikt, waarbij belastingverlagingen in ruil voor matiging van de looneisen werd toegestaan. Dit driejaarlijks sociaal overleg is sindsdien een fundamentele pijler van het Ierse macro-economisch beleid geworden. Het droeg bij tot een loonmatiging die samen met de fors toenemende productiviteit de stijging van de loonkosten per eenheid product in de periode beperkte tot amper 2 %, tegen 29 % gemiddeld in de EU. 12

13 Om de ontplooiing van een uitvoergerichte industrie te bevorderen had de Ierse overheid al sinds de jaren zestig belastingvrijstellingen toegestaan op de winsten uit export van buitenlandse bedrijven die zich in Ierland komen vestigen. In 1982 werd deze vrijstelling omgezet in een voordelig tarief van 10 % op de volledige winst van bedrijven in de verwerkende nijverheid en in een aantal internationale (niet-financiële) diensten. Deze lage belasting is ook van toepassing in de Shannon Zone, een vrijhandelsgebied rond de luchthaven van Shannon en voor het International Financial Services Centre, dat in 1987 opgericht werd als thuishaven voor offshore-activiteiten van financiële instellingen. Daarnaast kende de overheid subsidies toe bij de inplanting van nieuwe uitvoergerichte buitenlandse vestigingen in Ierland. Daarmee werden investeringen aangetrokken in sectoren met een groot groeipotentieel en sterke internationalisatiegraad zoals de elektronica en de farmaceutische sector. Buitenlandse investeringen in sectoren die konden concurreren met de traditionele binnenlandse industrie werden daarentegen geweerd. de groei van de binnenlandse vraag relatief gering. De devaluatie van het Ierse punt met 10 % in januari 1993 gaf nog bijkomende impulsen aan de uitvoer en hielp mee het groeitempo van de werkgelegenheid versnellen tot gemiddeld 3 % per jaar in , tegenover slechts 1 % in , wat uiteindelijk ook de binnenlandse bestedingen sterker deed toenemen. Dankzij de loonmatiging en de productiviteitswinsten vormde de devaluatie geen obstakel voor een verdere afkoeling van de inflatie en een verenging van de renteverschillen ten opzichte van de kernlanden van het EMS vanaf Door de aanhoudende toestroom van buitenlandse investeringen en het overschot op de lopende rekening van de betalingsbalans stond de wisselkoers vanaf 1995 overigens onder opwaartse druk, en bij de vastlegging van de bilaterale wisselkoersen voor de euro in mei 1998 werd het Ierse punt met 3 % gerevalueerd. De Ierse uitvoer profiteerde de voorbije jaren ook van de Europese interne markt. Tussen 1987 en 1998 steeg hij van 56 % Grafiek I Buitenlandse investeringen en productiviteit Door deze stimulansen groeiden de buitenlandse directe investeringen de voorbije jaren zeer fors, en steeg de productiviteit in de Ierse verwerkende nijverheid beduidend sneller dan in de andere EU-lidstaten (grafiek I). Tegelijk ontstond echter een duale economische structuur met enerzijds een zeer productieve, uitvoergerichte industrie en anderzijds traditionele, op de binnenlandse markt gerichte sectoren, die wel minder productief bleven. De toename van de werkgelegenheid bleef als gevolg van deze duale ontwikkeling aanvankelijk relatief beperkt. Tot 1993 daalde de werkloosheid slechts moeizaam en bleef Arbeidsproductiviteit verwerkende nijverheid (1986 = 100, rechtse schaal) Buitenlandse investeringen in de verwerkende nijverheid (in mln. USD, linkse schaal) Bronnen: OESO, CSO KBC Bank SVL141 Nr. 14 /

14 tot 85 % van het BBP, waarbij het aandeel van de eurozone in de uitvoer toenam van 39 % tot 43 %, terwijl dat van de traditionele handelspartner, het Verenigd Koninkrijk, daalde van 34 % naar 21 %. Maar voor een deel verbergt de uitvoerexpansie ook de vestiging van vooral Amerikaanse grote ondernemingen buiten de eigen landsgrenzen. Zo steeg het aandeel van de uitvoer naar de Verenigde Staten in dezelfde periode van 8 % tot 14 %. Bevolkingsdividend De combinatie van zeer hoge groei met lage inflatie werd ook in de hand gewerkt door de specifieke demografische situatie van Ierland. De beroepsbevolking groeide er van 1991 tot 1998 met 15 %, tegenover slechts 1 % in de EU, waardoor de opwaartse druk op de arbeidskosten beperkt bleef. Die toename hing samen met de relatief jonge Ierse bevolkingsstructuur en met de inhaalbeweging op het vlak van onderwijs. Vroeg in de Grafiek II Decompositie van de groeideterminanten van het BNP per capita, In % p.a. gemiddeld Productiviteit Inverse werkloosheidsgraad Participatiegraad Aandeel bevolking op actieve leeftijd BNP per capita Bronnen: EC, eigen berekeningen (zie voetnoot 2) KBC Bank SVL142 jaren 80 lag het aandeel van de bevolking op beroepsactieve leeftijd in de totale bevolking in Ierland beduidend lager dan gemiddeld in de EU. Dat komt enerzijds doordat de daling van het geboortecijfer er zich later dan in de meeste EU-lidstaten manifesteerde en anderzijds door de toen nog belangrijke netto-emigratie van arbeidskrachten, vooral naar het Verenigd Koninkrijk. Op het vlak van onderwijs was Ierland in de periode vlak na de oorlog achterop geraakt t.o.v. de rest van Europa. Pas laat in de jaren zestig werd kosteloos middelbaar onderwijs mogelijk en de leerplicht tot vijftien jaar werd pas in de jaren zeventig ingevoerd. Daardoor is ook de participatiegraad, die tot het midden van de jaren tachtig nog opvallend laag was, er later dan elders in de EU beginnen stijgen. Ten slotte is door de betere groeiprestaties de migratiestroom sinds het midden van de jaren negentig omgekeerd. Ierland kon aldus zijn totale werkgelegenheidsgraad opvoeren van 50,6 % in 1985 tot 56 % in 1997, waarmee het een groot deel van zijn achterstand op het EUgemiddelde wegwerkte. Alles samen verklaren de toename van de participatiegraad en van het aandeel van de bevolking op actieve leeftijd in de totale bevolking ongeveer een kwart van de groei van het Ierse BNP per capita in de jaren negentig (grafiek II). Grenzen aan de groei Nu de forse expansie al enkele jaren standhoudt, zijn er stilaan aanwijzingen van toenemende spanningen aan de aanbodzijde van de Ierse economie. Door de afname van de werkloosheidsgraad ontstaan er tekorten aan geschoolde werknemers en neemt de opwaartse druk op de lonen toe. In

15 stegen de lonen met gemiddeld 5 % in de industrie, in de bouwsector zelfs met meer dan 10 %. Door de internationale concurrentie en de productiviteitsstijgingen worden deze loonstijgingen vooralsnog niet weerspiegeld in de algemene consumptieprijsindex, waarvan de jaarstijging na een duidelijke sprong in de eerste helft van 1998 de voorbije maanden opnieuw wat afnam. De diensteninflatie is sinds de zomer van 1997 evenwel aan het versnellen (zie grafiek III). Grafiek III Inflatieverschillen Ierland - eurozone Verschil in de jaarstijging van de consumptieprijzen (in procentpunten) Algemene index Goederenindex Dienstenindex 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0-0,5-1 Sinds het midden van de jaren negentig zitten ook de vastgoedprijzen en de kredietverlening door de banken fors in de lift. Nieuwe woningen in Dublin waren eind 1998 gemiddeld 23 % duurder dan een jaar eerder. De kredietverlening aan de particuliere sector groeide in 1998 met 24 %. Dit roept de vrees op voor een speculatieve zeepbel waarbij stijgende vastgoedprijzen een excessieve toename van bankleningen teweegbrengen, wat op zijn beurt dan weer de vraag op de vastgoedmarkt opdrijft. Volgens het IMF waren er eind 1998 evenwel geen indicaties van een dergelijke ontwikkeling, en is de stijging van de woningprijzen vooral te wijten aan de vraagexplosie als gevolg van de snel stijgende levensstandaard, de groei van de werkgelegenheid en de ommekeer in de netto-immigratie, evenals aan de demografische ontwikkelingen en de daarmee samenhangende daling van de gemiddelde gezinsgrootte. Om de vastgoedprijzen te stabiliseren, lanceerde de Ierse overheid in april 1998 overigens een Housing Action Plan met maatregelen die het aanbod moeten stimuleren. Hierin staan infrastructuurwerken om nieuwe gebieden bewoonbaar te maken centraal. De kredietgroei zou evenmin al een reden tot ongerustheid zijn. De totale bancaire kredietverlening steeg weliswaar van -1, Bron: EC. KBC Bank SVL % van het BBP in 1992 tot 90 % in 1998, maar het aandeel van hypotheekleningen hierin bleef stabiel op 35 %, en er is nog geen sprake van overmatige schuldenlasten. Het totale bedrag aan uitstaande hypotheekleningen liep op van 27 % van het beschikbaar inkomen in 1992 tot 32 % in 1998, d.i. vergelijkbaar met het niveau in België (31 % in 1998). De toetreding tot de EMU confronteert Ierland nu wel met een macro-economisch stabilisatieprobleem. Door de aanhoudende hoogconjunctuur van de voorbije jaren lag het BBP in 1998 volgens de OESO 3,2 % boven het niveau dat verenigbaar is met het groeipotentieel op lange termijn, terwijl het BBP van de eurozone als geheel zich ongeveer 1 % onder dat potentieel bevond. Het monetair beleid van de Europese Centrale Bank houdt echter enkel rekening met de economische ontwikkelingen van de gehele eurozone. Een eigen renteverhoging of wisselkoersappreciatie zijn voor Ierland dus niet meer beschikbaar om Nr. 14 /

16 de economie naar het lagere structurele groeipad terug te leiden. De aanpassing kan nog enkel gebeuren via de reële wisselkoers, d.w.z. door een hogere loon- en prijsinflatie die de concurrentiekracht erodeert en de uitvoergroei afremt. Die reële appreciatie is al enkele tijd aan de gang. Bovendien zal het begrotingsbeleid restrictief moeten blijven. Het Ierse stabiliteitsprogramma voorziet dan ook dat minstens nog tot 2001 een aanzienlijk begrotingsoverschot zal worden gehandhaafd. Anderzijds zal dat beleid meer de klemtoon moeten leggen op het verder wegwerken van de nog resterende knelpunten aan de aanbodzijde van de economie. Zo heeft het land bijvoorbeeld nog een aanzienlijke infrastructuurachterstand, terwijl de inbreng vanuit de EU in de komende jaren zal verminderen. De voorbije jaren werden ook geregeld belastingverlagingen toegestaan als pasmunt om loonmatiging af te dwingen. De ruimte voor verdere verlagingen is nu evenwel beperkt geworden en het is dan ook de vraag of het sociaal overlegmodel in een omgeving van schaarse arbeid zal kunnen overleven. Een andere vraag, ten slotte, is of het gunstige fiscale vennootschapsregime op lange termijn overeind zal kunnen blijven in het licht van het streven naar fiscale harmonisatie binnen de EU. (1) Voor Ierland is het BNP per capita een meer aangewezen welvaartsmaatstaf dan het BBP per capita. Gezien het gunstige belastingklimaat trachten buitenlandse bedrijven hun boekhoudkundige winsten vooral in Ierland te realiseren via transfer pricing, d.i. het aanrekenen van lage prijzen voor inputs aan het Ierse filiaal en van hoge prijzen voor de outputs. Het BNP corrigeert het BBP voor gerepatrieerde winsten, en ligt circa een tiende lager. (2) Het BNP per capita kan als volgt worden opgesplitst: BNP/BV = BNP/WB x WB/BB x BB/BAL x BAL/BV BNP per Productiviteit Inverse Participatie- Aandeel capita werkloosheidsgraad graad bevolking op actieve leeftijd Werkgelegenheidsgraad Met: BNP: Bruto Nationaal Product BV: Totale bevolking WB: Werkende bevolking BB: Beroepsbevolking BAL: Bevolking op actieve leeftijd (15-64) { Hoofdartikel van het volgende nummer: «Herverzekeren, een vak apart». Correspondentieadres: KBC Bank NV - Economisch Financiële Berichten, Arenbergstraat 7, B-1000 Brussel. Jaarabonnementen kunnen op elk ogenblik ingaan. Aanvraagformulieren zijn verkrijgbaar in elk KBC-bankkantoor (KB) of op het bovenvermelde adres. Betaling na ontvangst van het overschrijvingsformulier. Abonnements- of adreswijzigingen kunt u vermelden op de enveloppe, die u afgeeft in een KBC-bankkantoor (KB) of opstuurt naar het bovenvermelde adres. Prijs jaarabonnement: België: Nederlands of Frans (veertiendaags) - 18 euro (726 BEF) (9 euro voor houders van Banco-rekening); Engels of Duits (maandelijks) - 9 euro EU en rest Europa: Nederlands of Frans (veertiendaags) - 36 euro; Engels of Duits (maandelijks) - 18 euro Buiten Europa: Nederlands of Frans (veertiendaags) - 45 euro; Engels of Duits (maandelijks) - 22 euro Nadruk van artikelen of berichten is toegestaan onder opgave van de bron. De in dit blad voorkomende gegevens zijn ontleend aan door ons betrouwbaar geachte bronnen en worden alleen verstrekt bij wijze van inlichting. Voor de juistheid en volledigheid ervan kunnen wij echter niet instaan. Verantwoordelijke hoofdredacteur: Edwin De Boeck, Kardinaal Sterckxlaan 137, B-1860 Meise. Ce bulletin paraît également en français. English edition also available. Erscheint ebenfalls in Deutsch. Drukk. Schaubroeck, Nazareth 16