Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question

Transcriptie

1 Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Sneetjes of geen sneetjes: that s the question Michel Roelens Deze syllabus bevat enkele fragmenten uit de loep Oppervlakte en volume door de eeuwen heen verschenen in Uitwiskeling 21/3 (2005). Een uitgebreidere tekst van de workshop zal nadien via de website van het Eekhoutcentrum beschikbaar zijn. Geschiedenis in een wiskundeles? De begrippen die in de wiskundeles aangebracht en gebruikt worden, hebben een hele geschiedenis achter de rug. Sommige begrippen zijn op een welbepaald moment ingevoerd, binnen een bepaalde context en vanuit bepaalde problemen. In dat geval is het interessant om te weten wat deze context was en welke problemen tot het begrip geleid hebben. Je begrijpt beter wat de betekenis is van een begrip als je weet waar het vandaan komt. Andere begrippen lijken er altijd geweest te zijn: getal, functie, oppervlakte, volume Toch is dit niet het geval, althans niet in de vorm die we nu kennen. Deze begrippen hebben een hele evolutie gekend. Een getal was in het Oude Griekenland niet wat het nu is. Voor de Oude Grieken waren de enige getallen de natuurlijke getallen verschillend van 0. Verder bestudeerden zij verhoudingen van getallen en van grootheden, maar deze verhoudingen werden niet als getallen bekeken. Als we zeggen: De Pythagoreeërs bewezen dat 2 een irrationaal getal is., is dit een anachronistische formulering, vanuit ons modern getalbegrip. Wij bekijken oppervlakten en volumes als maatgetallen die we kunnen uitrekenen door de afmetingen van de figuur in te vullen in bepaalde formules. Zo bekeken de Oude Grieken het niet. Zij vergeleken altijd twee oppervlakten of twee volumes. Bovendien bekeken ze de figuren zelf als grootheden: ze schreven de oppervlakte van of het volume van er nooit bij. Ze zeiden bv. Twee piramides met gelijke grondvlakken verhouden zich tot elkaar zoals hun hoogtes. Het is belangrijk dat de leerlingen met de geschiedenis van hun wiskundeleerstof kennis maken, ook al gebeurt dit op een anachronistische manier (met de huidige notaties, met moderne hulpmiddelen, ). Voor de studie van originele teksten is er wellicht zelden tijd. Maar de leraar zou het verschil in benadering toen en nu wel mogen kennen en aan de leerlingen vermelden. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 1

2 Oppervlakte en volume door de eeuwen heen Het meten van oppervlakten en volumes is ouder dan de straat. Van de Egyptenaren ten tijde van de farao s (derde millennium v. Chr.) zijn papyrusrollen met hiëroglyfen overgebleven en van de Mesopotamiërs (vanaf 2000 v. Chr. in wat nu Irak is) zijn kleitabletten bewaard. Hiermee weten we dat deze volkeren over methoden beschikten om oppervlakten en volumes te bepalen. Hoe ze deze methoden gevonden hebben, weten we niet. Ze leggen ook niet uit waarom hun oppervlakte- en volumeberekeningen juist zijn. Van het Oude China is veel minder bewaard omdat ze op papier schreven. Van de 3 de eeuw na Christus dateert een mooie manier om het volume van een piramide te bepalen. Het idee om kennis te verantwoorden en te bewijzen, is afkomstig van de Oude Grieken (vanaf 600 v. Chr.): Thales van Milete, Pythagoras van Samos, Later bracht Euclides (rond 300 v. Chr.) alle wiskundige basiskennis bijeen in één theoretische opbouw, de Elementen (in het Grieks Stocheia ). De uitgangspunten werden expliciet aangegeven (postulaten en axioma s); elk nieuw begrip werd gedefinieerd met de vorige begrippen en elke eigenschap werd bewezen op grond van de uitgangspunten en de vorige eigenschappen. Ook de oppervlakten van elementaire vlakke figuren en de volumes van elementaire ruimtelichamen hadden een plaats in dit theoretische gebouw. Archimedes van Syracuse (3 de eeuw v. Chr.) deed zowel natuurkundige en technische als wiskundige ontdekkingen. Steunend op Eudoxos exhaustiemethode (uitputtingsmethode, van het Latijnse werkwoord exhaurire, uitputten) toonde hij bv. in De cirkelmeting aan dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan die van een rechthoekige driehoek met als 1 2 rechthoekszijden de omtrek en de straal. Dit klopt met onze formules: 2 π r r = π r. 2 Laten we dit voorbeeld even aangrijpen om uit te leggen hoe de exhaustiemethode werkt. Archimedes werkt uit het ongerijmde. Veronderstel eerst dat de oppervlakte van de cirkel kleiner is dan die van de rechthoekige driehoek. Noem v het verschil tussen beide oppervlakten. Archimedes toont aan dat er een ingeschreven regelmatige veelhoek is waarvan de oppervlakte minder dan v verschilt van de oppervlakte van de driehoek. Maar dit kan niet want dan zou deze ingeschreven veelhoek een grotere oppervlakte hebben dan de cirkel waar hij in zit. Daarna veronderstelt hij dat de oppervlakte van de cirkel groter is dan die van de driehoek en toont hij aan dat ook deze veronderstelling tot een tegenspraak leidt (gebruik makend van een omgeschreven regelmatige veelhoek). Bijgevolg kan de oppervlakte van de cirkel enkel nog gelijk zijn aan de oppervlakte van de driehoek. Het komt er dus op neer dat hij de cirkel benadert door ingeschreven en omgeschreven veelhoeken, zodat het oppervlakteverschil kleiner wordt dan gelijk welke grootheid. Deze exhaustieredenering komt heel dicht in de buurt van de latere ε-n-formuleringen (voor elke ε is er een n zodat de oppervlakte van de regelmatige n-hoek minder dan ε verschilt van de oppervlakte van de driehoek). Met deze regelmatige veelhoeken bepaalde Archimedes tegelijkertijd een vrij nauwkeurige benadering voor π. Archimedes maakt gelijkaardige redeneringen in de ruimte, bv. om aan te tonen dat het volume van een bol twee derde is van dat van de cilinder waar deze bol juist in past. Een nadeel van deze exhaustiemethode is dat je vooraf al moest weten wat je wilt bewijzen. Dezelfde Archimedes had ook een andere manier om oppervlakten en volumes te bepalen. Hij beschouwde een vlakke figuur als samengesteld uit oneindig veel lijntjes en een ruimtefiguur uit oneindig veel vlakke plakjes. Bovendien gebruikte hij denkbeeldige balansen waarop hij Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 2

3 dergelijke lijntjes of plakjes ten opzichte van elkaar afwoog. Archimedes gebruikte dergelijke redeneringen om erachter te komen hoeveel de oppervlakte of het volume is, maar hij vond niet dat dit een volwaardig bewijs was. Eens hij de resultaten op die manier gevonden had, bewees hij ze met exhaustie. Hij deed dit bv. voor de oppervlakte van een paraboolsegment en voor het volume van een bol. De dimensiesprong (van lijntjes naar oppervlakte; van plakjes naar volume) is typisch voor het latere principe van Cavalieri in de 17 de eeuw (zie hieronder) en voor de integraalrekening vanaf het einde van de 17 de eeuw. Bonaventura Cavalieri (17 de eeuw) beschouwde een vlakke figuur als samengesteld uit evenwijdige lijntjes en een ruimtefiguur als samengesteld uit evenwijdige vlakke plakjes. Hij beschreef de volgende principes: Als twee vlakke figuren even hoog zijn en als op een willekeurige hoogte de doorsneden van deze figuren even lang zijn, dan hebben de figuren dezelfde oppervlakte. Als twee vlakke figuren even hoog zijn en als op een willekeurige hoogte de lengten van de doorsneden van deze figuren een zelfde verhouding hebben, dan hebben de oppervlakten van de figuren dezelfde verhouding. Als twee ruimtefiguren even hoog zijn en als op een willekeurige hoogte de doorsneden van deze figuren dezelfde oppervlakte hebben, dan hebben deze figuren hetzelfde volume. Als twee ruimtefiguren even hoog zijn en als op een willekeurige hoogte de oppervlakten van de doorsneden van deze figuren een zelfde verhouding hebben, dan hebben de volumes van deze figuren dezelfde verhouding. Cavalieri formuleerde expliciet wat vele anderen ook voor hem gebruikt hebben (Archimedes, Roberval (tijdgenoot van Cavalieri), ). In de integraalrekening, op het einde van de 17 de eeuw ontwikkeld door Newton en Leibniz, wordt een oppervlakte berekend als de integraal van een lijn die evenwijdig varieert tussen twee grenzen, en wordt een volume berekend als de integraal van de oppervlakte van een vlakke doorsnede tussen twee grenzen. Er komen rekentechnieken bij en je kunt hiermee één oppervlakte of één volume berekenen terwijl het bij Cavalieri nog steeds ging om het vergelijken van twee oppervlakten of twee volumes. Het principe van Cavalieri is aan de hand van integralen eenvoudig te bewijzen. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 3

4 Volume van een Egyptische piramide (werktekst voor de eerste of tweede graad) Deze werktekst is niet rechtstreeks historisch geïnspireerd. De piramide is Egyptisch maar niet de redenering. Het is wel een interessante combinatie van knippen en plakken in een speciaal geval en werken met sneetjes om van het speciale geval naar het algemene geval te gaan. De werktekst is geschikt voor leerlingen van de tweede graad (en misschien ook eerste graad?). 1. Maak uit stevig papier een schaalmodel van een eenheidspiramide: een rechthoekige piramide met als grondvlak een vierkant met zijde 1 meter en met hoogte 1 meter. Kies 1 als schaal Ga na hoeveel eenheidspiramiden je nodig hebt om een eenheidskubus te bouwen: een kubus met zijde 1 meter. Leg hiervoor jouw eenheidspiramide samen met die van enkele medeleerlingen. 3. Welk verband bestaat er dan tussen het volume van een eenheidspiramide en het volume van een eenheidskubus? 4. Bij een Egyptische piramide is het grondvlak een vierkant en ligt de top recht boven het middelpunt van het grondvlak. Ga na hoeveel eenheidspiramiden je samen moet leggen om een piramide van deze soort te krijgen. 5. Hoeveel keer is het volume van deze piramide dan groter dan het volume van een eenheidskubus? Uiteraard is het grondvlak van een echte Egyptische piramide heel wat groter dan 4 m². Daarom onderzoeken we wat er gebeurt met het volume als we het grondvlak vergroten, en de hoogte behouden. In de onderstaande figuur zie je twee piramiden met hoogte 4 m. Het grondvlak van de eerste piramide is een vierkant met zijde 3 m. Het grondvlak van de tweede piramide heeft een zijde van 5 m. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 4

5 Beide piramides kun je ongeveer nabouwen met een opeenstapeling van tegels met hoogte 1 cm. Hieronder is dat gebeurd voor de kleinste piramide. Zo n trappiramide heeft ongeveer hetzelfde volume als de piramide die ze benadert. We kunnen dus een idee krijgen van het verband tussen de volumes van de gegeven piramiden, door de trappiramiden te bestuderen. Omdat elke trappiramide uit een aantal tegels bestaat, vergelijken we eerst één tegel uit de linkse en één tegel uit de rechtse piramide. Bekijk bijvoorbeeld de tegels op een hoogte van 2,5 m. 6. Welke vorm hebben de grondvlakken van deze tegels? 7. Hoe groot is de verhouding van het volume van de grootste tegel tot het volume van de kleinste tegel? Verklaar je antwoord. De hulplijnen geconstrueerd in de piramiden, kunnen hierbij helpen. 8. Vind je dezelfde verhouding terug als je werkt met tegels op een andere hoogte dan 2,5 m? We werkten in de vorige opgaven met één speciale tegel per piramide. Nu kunnen we de volumes van de héle trappiramiden bekijken. 9. Hoeveel maal is het volume van de tweede trappiramide groter dan het volume van de eerste trappiramide? Verklaar je antwoord. We kunnen de gegeven piramiden beter benaderen door minder hoge tegels te gebruiken, bijvoorbeeld tegels met hoogte 1 mm. Uiteraard vind je bij deze trappiramiden dezelfde verhouding terug als bij het antwoord op vraag 9. We mogen dus besluiten dat het getal uit vraag 9 gelijk is aan de verhouding van het volume van de grote piramide tot het volume van de kleine piramide. 10. Stel dat we van een gegeven piramide de zijde van het grondvierkant met factor zes vergroten. Met welke factor wordt het volume dan vermenigvuldigd? 11. Hoe verhouden de volumes van twee vierkante piramiden met dezelfde hoogte zich dus? Ten slotte bestuderen we wat er gebeurt met het volume van een piramide als we het grondvlak behouden en de hoogte veranderen. We redeneren weer op een tekening. Gegeven Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 5

6 zijn twee piramiden met hetzelfde grondvlak. De rechtse piramide is dubbel zo hoog als de linkse. In de onderstaande figuur zijn twee tegels getekend. Ze hebben een even groot grondvlak en eenzelfde dikte van 1 cm. 12. Stel dat het grondvlak van de tegel links op een hoogte van 3 m getekend is. Op welke hoogte ligt het grondvlak van de tegel rechts dan? Verklaar je antwoord. Bovenop de tegel links kunnen we een nieuwe tegel leggen. We kunnen in de rechtse piramide een tegel met dezelfde afmetingen plaatsen. 13. Op welke hoogte ligt die tegel dan? We kunnen de linkse piramide weer benaderen met een trappiramide opgebouwd uit tegels. Elke tegel van deze trappiramide kan je in verband brengen met een tegel van de rechtse piramide. Zo krijg je in de rechtse piramide echter heel wat gaten. 14. Beredeneer nu wat de verhouding van de volumes van beide piramiden is. 15. Wat gebeurt er met het volume van een piramide als je de hoogte met een factor 5 vermenigvuldigt? 16. In het algemeen: waaraan is de verhouding van het volume van twee piramiden met hetzelfde grondvierkant gelijk? 17. De piramide van Cheops heeft als grondvlak een vierkant met zijde 230 m en is 146 meter hoog. Hoeveel eenheidsrotsblokken van 1 m 3 zijn er nodig geweest om deze piramide te bouwen? 18. In het algemeen: wat is het volume van een piramide met als grondvlak een vierkant met zijde z en met hoogte h? Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 6

7 De Chinees Liu Hui en het volume van de yang-ma (Werktekst voor de tweede of de derde graad) Hier worden de sneetjes vermeden, maar wat komt er in de plaats? De Chinezen hebben ook op wiskundevlak een rijke geschiedenis. Het standaardwerk van de oude Chinezen is geschreven in de tweede eeuw v. Chr. Net als bij de Egyptenaren bevat het een aantal procedures om het volume van een piramide te berekenen. Hoe men tot die procedures gekomen is, wordt echter niet uitgelegd. In de derde eeuw n. Chr. gaf Liu Hui een mooie verklaring voor de procedures. Deze verklaring hebben we hieronder uitgewerkt. We veronderstellen hierbij dat je de formule van het volume van een balk al kent. We onderzoeken het volume van een rechthoekige piramide waarvan het grondvlak een rechthoek is (een yang-ma ). Daarvoor breiden we deze piramide uit met een viervlak ( piehnao ), zo dat we de helft van een balk ( ch ien-tu ) verkrijgen. We willen bewijzen dat het volume van de piramide een derde is van het volume van de gehele balk. 1. Welk verband moeten we dan aantonen tussen het volume van de piramide en het volume van het viervlak? We splitsen beide ruimtefiguren op. Daarvoor gebruiken we drie snijvlakken: een snijvlak door het midden van de opstaande ribben van de balk, en twee snijvlakken hier loodrecht op (zie de figuur hieronder). Zo verdelen we de piramide in twee kleinere piramiden, een balk en twee halve balken. Het viervlak wordt opgesplitst in twee kleinere viervlakken en twee halve balken. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 7

8 2. Wat kun je zeggen over het volume van de drie balken (één hele balk en twee keer twee halve balken) die na de opsplitsing ontstaan? 3. Bij het antwoord op vraag 1 heb je omschreven welk verband je nog moet bewijzen tussen de grote piramide en het grote viervlak. Verklaar waarom het voldoende is dit verband aan te tonen voor één kleine piramide (verkregen na opsplitsing van de grote piramide) en één klein viervlak (voortkomend uit de opsplitsing van het grote viervlak). Op dezelfde manier kun je de kleinere ruimtefiguren opsplitsen in nóg kleinere figuren, en dit proces kan je verder zetten zolang als je maar wil. 4. Leg uit waarom je hieruit mag besluiten dat het volume van de oorspronkelijke piramide gelijk is aan een derde van het product van de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 8

9 Volume van een piramide (stripverhaal van Martin Kindt) Ook hier geen sneetjes. Wat wel? Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 9

10 De balans van Archimedes Archimedes van Syracuse (3de eeuw v.chr.) had een werk geschreven over zwaartepunten van vlakke figuren (Evenwicht in het vlak) en hij had de wetten van de hefbomen en de balansen bestudeerd. Een balans is in evenwicht als aan beide kanten het product van de massa met de afstand tot het steunpunt hetzelfde is. In de huidige fysicalessen zegt men dat de momenten gelijk moeten zijn. Aan Archimedes schrijft men in dit verband de uitspraak toe: Geef mij een steunpunt en ik verplaats de aarde. Een belangrijke verwezenlijking van Archimedes is de bepaling van het volume van een bol. In zijn werk De bol en de cilinder toont hij aan dat het volume van een bol gelijk is aan 4 keer het volume van een kegel met als grondvlak een grote cirkel van de bol en als hoogte de straal 4 3 van de bol. Merk op dat dit op hetzelfde neerkomt als onze formule V bol = π r want 3 4 V kegel = π r r= πr. 3 3 Hier leidt hij uit af dat een cilinder waar de bol juist in past, anderhalve keer zo groot is als de bol. Daarna toonde Archimedes aan dat ook de oppervlakte van deze cilinder anderhalve keer de oppervlakte van de bol is. Laten we dit ook even in onze huidige formuletaal controleren: A cilinder = r + 2πr 2r= 6πr = 1,5 4πr = 1, 5 2π A. Dat de volumes van twee lichamen zich verhouden zoals hun oppervlakten, is iets heel speciaals. Archimedes vond zijn resultaat zo belangrijk dat hij, aldus Plutarchos, een afbeelding van een bol ingeschreven in een cilinder op zijn graf liet aanbrengen. Het bewijs in De bol en de cilinder steunt op de exhaustiemethode (uitputtingsmethode) van Eudoxos en past volledig binnen de deductieve opbouw van de Elementen van Euclides. De verhouding van beide volumes wordt geponeerd en dan wordt aangetoond, met een voorloper van Cauchy s epsilon-delta s, dat die verhouding niet groter en ook niet kleiner kan zijn dan de geponeerde waarden. Rond 1900 ontdekte men in Jeruzalem een palimpsest, waarin onder meer een tot dan toe onbekend of vergeten werk van Archimedes verstopt zat. Een palimpsest is een perkamenten boek dat afgeschraapt is en overschreven is met religieuze teksten. In het aldus ontdekte werk Over de methode legt Archimedes uit hoe hij het volume van een bol gevonden heeft, steunend op een denkbeeldige balans waarop oppervlakten in evenwicht worden gehouden. Archimedes beschouwt deze methode niet als een bewijs; ze past niet binnen het Euclidische systeem en mengt wiskunde en fysica. Bovendien steunt de redenering op een dimensiesprong : uit verbanden tussen oppervlakten van doorsneden wordt een verband bol Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 10

11 tussen volumes afgeleid. Een dergelijke dimensiesprong doet denken aan het latere principe van Cavalieri en aan de nog latere integraalrekening. De verhouding van de volumes van een kegel en de omgeschreven cilinder (1/3) was al gekend vóór Archimedes. Hij vermeldt dat dit resultaat ontdekt is door Democritos en bewezen door Eudoxos. Om hier het volume van een bol uit af te leiden (of liever: de verhouding van het volume van een bol met dat van een kegel of een cilinder), bedenkt hij een denkbeeldige weegschaal waarmee hij deze drie ruimtelichamen met elkaar in balans brengt. We overlopen deze redenering. De figuur is die van Archimedes, maar we hebben de Griekse letters vervangen door Latijnse. We hebben hierbij ook een presentatie gemaakt, die terug te vinden is op de site In deze presentatie zijn de punten niet benoemd. Je kunt deze presentatie tonen nadat de leerlingen zelf de tekst hieronder hebben doorgenomen. F N G D O C K Q S A J B R P E M H Beschouw de bol die ontstaat door de cirkel ABCD te wentelen rond de as AC; de kegel die ontstaat door de driehoek AEF te wentelen rond diezelfde as; de cilinder die ontstaat door de rechthoek EFGH te wentelen rond diezelfde as. Verleng AC aan de kant van A en neem hierop een punt J zodat AJ = CA. De as AJ bekijkt Archimedes als een balans met steunpunt A. Neem een willekeurig vlak loodrecht op de as (de lijn MN op de figuur). De drie lichamen worden gesneden en er ontstaan aldus drie cirkels. De snijcirkel van de cilinder laat Archimedes daar staan in het punt S; de snijcirkels van de bol en van de kegel verschuift hij naar het punt J. Dan toont hij aan dat (de oppervlakten van) deze drie cirkels de balans in evenwicht brengen als je deze oppervlakten als gewichten opvat. Anders gezegd: de oppervlakte van de cirkel met middellijn [MN] vermenigvuldigd met AS is gelijk aan de som van de oppervlakten van de cirkels met middellijnen [OP] en [QR] vermenigvuldigd met AJ. Lezer, bewijs dit even zelf. Noem hierbij voor het gemak de straal van de bol r en AS = x. Lukt het? Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 11

12 Dit geldt voor elke dwarsdoorsnede. Nu beschouwt Archimedes al deze dwarsdoorsneden samen. Links heeft hij alle dwarsdoorsneden van de cilinder, die hij vervangt door het volume van de cilinder in het zwaartepunt K. Rechts heeft hij alle dwarsdoorsneden van de kegel en van de bol, allemaal in dat ene punt J. Hij vervangt ze door de som van de volumes van de bol en de kegel, in J. Uit het evenwicht volgt: V cilinder AK = (V bol + V kegel ) AJ V cilinder = 2 (V bol + V kegel ) Maar Archimedes weet dat het volume van de cilinder gelijk is aan 3 keer dat van de kegel. Dus leidt hij hieruit af: V bol = 2 1 Vkegel De kleinere kegel, die ontstaat door de driehoek ABD rond de as te wentelen en die ingeschreven is in de (rechterhelft van) de bol, is een verkleining met factor 1/2 van de grote kegel en heeft dus als volume één achtste van dat van de grote kegel. Bijgevolg is het volume van de bol gelijk aan 4 keer het volume van deze kleine kegel. Dit laat Archimedes vermoeden: De oppervlakte van de bol moet gelijk zijn aan 4 keer de oppervlakte van het grondvlak van deze kleine kegel. Ik heb immers de intuïtie dat, aangezien elke cirkel gelijk is aan de driehoek met als basis de omtrek van de cirkel en als hoogte de straal, elke bol ook gelijk moet zijn aan de kegel met als grondvlak de oppervlakte van de bol en als hoogte de straal. Is dit louter analogie of ziet Archimedes de bol als opgedeeld in kleine kegels? Als je immers de oppervlakte van de bol verdeelt in heel veel kleine stukjes, dan kun je de bol bekijken als samengesteld uit kleine kegels waarvan de grondvlakken bijna vlak zijn en met hoogte ongeveer de straal r van de bol. Noem de oppervlaktes van deze kegels A i. Dan is: V bol 1 A r 3 i i = 1 3 Ai r = 1 i 3 A bol r. In De methode eindigt Archimedes met een vermoeden over de oppervlakte van een bol. In De bol en de cilinder bewijst Archimedes dit vermoeden. Daarna bewijst hij, hierop steunend, zijn bevinding over het volume van een bol die hij in De methode met een balans had ontdekt. Zijn bewijs voor de oppervlakte van een bol gaat in grote lijnen als volgt: in de cirkel die door omwenteling de bol genereert, schrijft hij een regelmatige veelhoek in (hij neemt voor het aantal hoekpunten een veelvoud van 4). Als die veelhoek rond de as wentelt, ontstaan een aantal mantels van (afgeknotte) kegels, waarvan de gezamenlijke oppervlakte kleiner is dan de oppervlakte van de bol. Archimedes toont aan dat deze gezamenlijke oppervlakte ook kleiner is dan het viervoud van de oppervlakte van een grote cirkel van de bol. Dan doet hij hetzelfde met een omgeschreven veelhoek: de gezamenlijke oppervlakte van de mantels van (afgeknotte) kegels die ontstaan is nu groter dan het viervoud van de oppervlakte van een grote cirkel. Uiteindelijk toont hij aan dat het verschil kleiner kan worden gemaakt dan gelijk wat en dat bijgevolg de oppervlakte van de bol exact gelijk is aan vier keer die van een van zijn grote cirkels. Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 12

13 Bibliografie P. Bockstaele, Meetkunde van de ruimte voor het middelbaar en normaal onderwijs, Standaard, Antwerpen, 1971, ISBN P.R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge, 1997, ISBN M. Kindt, Wat te bewijzen is: het volume van een piramide, Nieuwe Wiskrant 19/2 (1999), 30-31, besproken in Uitwiskeling 16/3 (2000), p. 36. P. Ver Eecke, Oeuvres completes d'archimede, suivies des commentaires d'eutocius d'ascalon, Vaillant-Carmanne, Liège, J. Willems, M. Roelens, Oppervlakte en volume door de eeuwen heen, Uitwiskeling 21/3 (2005), p Oppervlakte en volume door de eeuwen heen 13