Warmtetechniek Oplossingen van Oefeningen. Studenteneditie

Transcriptie

1 Warmtetechniek Oplossingen van Oefeningen Studenteneditie Academisch jaar

2 Inleiding Voorwoord Dit bestand bevat uitgewerkte oefeningen zoals gedoceerd in de cursus Warmtetechniek van de faculteit ingenieurswetenschappen en architectuur van de universiteit Gent. De idee achter dit bestand is tweeledig. Enerzijds hebben studenten nood aan heldere uitgewerkte voorbeelden. Daarnaast willen ze hun oplossing kunnen controleren, al dan niet door middel van een numerieke uitkomst. Om aan deze beide noden te voldoen zijn alle opgaven in dit bestand zo goed mogelijk uitgewerkt. Zo kan de student zelf beslissen bij hoeveel oefeningen de volledige uitleg gewenst is. Wanneer de numerieke uitkomst van de student verschilt van deze in dit bestand kan de student met de uitwerking op zoek gaan naar wat er misloopt. Eventuele (typ)fouten in de numerieke uitkomst kunnen zo ook door de student opgespoort worden. De opzet is dus dat je elke oefening kunt gebruiken om te starten. Bij elke oefening zijn alle stappen verklaart. Dit bestand streeft ernaar foutloos en duidelijk te zijn. Wanneer de lezer toch nog fouten aantreft of stappen in een oplossing niet begrijpt is het dan ook wenselijk deze door te geven aan de auteur. Wanneer de lezer de auteur niet weet te bereiken kan de cursusdienst van de Vlaamse Technische Kring dit zeker wel. Alvast bedankt om aan dit bestand mee te werken! i

3 Dankwoord Aan het tot stand komen van dit bestand hebben vele mensen geholpen. Via deze weg wil ik dan ook alle actoren bedanken. Bedankt aan alle medewerkers van de UGent die geholpen hebben om dit vak te doceren. In het bijzonder prof. Merci en zijn collega's, maar eveneens iedereen die meehelpt de lokalen te onderhouden, beamers te laten werken etc. Bedankt aan alle studenten die dit bestand gebruiken en eruit bijleren. Zonder hen was de invloed van dit bestand nihil en zou iedereen die me zei dat ik men tijd verspilde aan dit bestand gelijk krijgen. In het bijzonder bedankt aan iedereen die heeft geholpen om fouten uit dit bestand te melden. Zonder hen zou dit bestand meer frustraties opwekken dan dat het er zou wegnemen. Alfabetisch geordend op achternaam hebben geholpen: Tom Aerts, Joeri Borzyk, Xander Denoo, Jarne Liagre, Margot Matton, Pieter Plehiers en Arne Vanstaen. ii

4 Disclaimer Deze cursus bestaat uit uitgetypte studentennota's van de oefeningen bij de cursus Warmtetechniek van de faculteit ingenieurswetenschappenen architectuur van de UGent. Dit document is enkel ter verduidelijking en wil in geen enkel geval een alternatief zijn voor de lessen. Dit is een hulpmiddel! Dit bestand is nog niet volledig. Er is alsnog gekozen om dit bestand publiek te maken onder de voorwaarde dat fouten gemeld worden. Vele handen maken licht werk, dus jouw bijdrage is zeker belangrijk! Naast de copyrightreglementering is het tevens verboden om de in dit document bevattende kennis te gebruiken om misdaden tegen de mensheid te plegen. De fysieke drager van dit bestand mag nooit paralal met de noord-zuid as georiënteerd worden. Indien dit toch gebeurt bestaat een kans, ɛ, klein doch groter dan nul dat de entiteit Cthulu de wereld vernietigd. Door dit bestand te gebruiken ga je ermee akkoord creatonisme nog een kans te geven en diep na te denken over de rol van plankton in de industriële revolutie. De invloed van het pantoeldiertje op het Ottomaanse Rijk is ook iets om over na te denken! Copyright 203 Matthias Herthoge. Alle rechten voorbehouden. Dit werk mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, fotokopie, microlm, elektronische of welke andere wijze ook, onder volgende voorwaarden: Vermelding van de auteur. Niet commercieel gebruik. Als je dit werkt wijzigt en/of verdeelt, moet dit gebeuren onder dezelfde voorwaarden. Matthias Herthoge, 4 januari 204 versie 0.3 iii

5 Inhoudsopgave Conductie. Basiswetten Meerdimensionele conductie Niet-stationaire conductie Convectie Basiswet Oefeningen Straling Basiswet Zwarte straler Reectie, absorptie, transmissie, emissie spectrum Basisoefeningen Straling tussen zwarte oppervlakken Straling tussen grijze oppervlakken Oefeningen Warmtewisselaars Basiswet NT U-methode Oefeningen iv

6 Todo list Oef 5: antwoord nog wat verjnen oef 6: oplossingen aanpassen. Tip: splits blok op in twee blokken om de onderlinge weestverhouding te bepalen. In blok is deze 0 keer zo groot Oef 7: Antwoord opschrijven Oefening 26: geval met derde plaat uitwerken Oefening Oefening 34; volgens de assistent minder belangrijk v

7 Hoofdstuk Conductie Er zijn drie vormen van warmteoverdracht: conductie Wet van Fourrier #» q A k #» T met [k] W/(m K) convectie Wet van Newton q A h T met [h] W/(m2 K) straling Wet van Stefan-Boltzmann q A σt 4 met σ 5, W/m 2 Meestal zijn de verschillende vormen tegelijkertijd aanwezig.. Basiswetten Oefening In een appartementsblok hebben alle kamers een temperatuur van 20 C. De dikte van de betonnen muren is 20 cm. De conductiecoëciënt van beton is k beton 0,8 W/(m K). De dikte van de glazen ramen is 5 mm en de conductiecoëciënt ervan is k glas 0, W/(m K). De verwarming van de kamers gebeurt met individuele gaskachels. Bepaal het gasverbruik per kamer als de buitentemperatuur 0 C bedraagt en er bij verbranding van m 3 gas 40 MJ warmte wordt vrijgesteld.

8 Oplossing We kunnen de oplossing van deze oefening voorstellen a.d.h.v. een parallel circuit. De formule voor de thermische weerstand, R th wordt dan: R + R glas R beton De thermische weerstand in het geval van conductie wordt gegeven door: R L k A [K/W] We moeten dus nog de oppervlake van het glas en het beton berekenen: A beton 2,5 m 5 m,5 m 3 m A glas,5 m 3 m 8 m 2 4,5 m 2 We kunnen dan nu de weerstanden berekenen: 8 m2 0,8 W/(m K) R beton 20 cm 4,5 m2 0, W/(m K) R glas 5 mm 32 W/K 90 W/K De inverse van de totale thermische weerstand wordt dus: R 32 W/K + 90 W/K 22 W/K Het temperatuursverschil T tussen de binnen en buiten bedraagt 20 K. Het warmtedebiet wordt: q x T R 22 W/K 20 K 2440 W 2

9 Het gasverbruik wordt dan: Q gas 2440 W m 3 40 MJ 0,06 L/s Oefening 2 Een raam uit dubbelglas is,2 m hoog en 2 m breed. Het raam is opgebouwd uit twee glasplaten van 4 mm dikte die gescheiden worden door een 2 mm brede luchtruimte. De temperatuur in de kamer is 20 C en de buitentemperatuur is 5 C. De conductiecoëf- ciënt van glas is k glas 0,8 W/(m K). Die van lucht is k lucht 0,026 W/(m K). De convectiecoëciënt aan de binnen- en buitenzijde is respectievelijk h binnen 0 W/(m 2 K) en h buiten 25 W/(m 2 K). Bepaal:. Het warmteverlies per tijdseenheid door het raam; 2. de oppervlaktetemperatuur aan de binnenzijde van het raam. 3. Schets het temperatuurproel. Doe daarna hetzelfde voor de situatie met enkel glas. Oplossing. We berekenen eerst het warmteverlies per seconde doorheen het raam van dubbel glas. Het probleem stellen we voor als het volgend circuit: T buiten T 3 T 2 T T 0 T binnen h buiten k glas k lucht k glas h binnen Dit circuit is een serieschakeling. De totale weerstand, R, wordt bekomen door de deelweerstanden op te tellen. R h buiten A + 2 Hierbij is A,2 m 2 m 2,4 m 2 L k glas A + L k lucht A + h binnen A R 25 W/(m 2 K) 2,4 m mm 0,8 W/(m K) 2,4 m mm ,026 W/(m K) 2,4 m W/(m 2 K) 2,4 m 2 0,255 K/W Het temperatuursverschil T tussen binnen en buiten is 25 K. Het warmteverlies is dus q T R 98 W 3

10 2. We berekenen nu de temperatuur aan de binnenzijde van het raam, T 0. We hernemen de formule van Fourrier en vormen ze om tot we de oplossing vinden. q h A T q h binnen A T binnen T 0 q T 0 T binnen h binnen A W C 0 W/(m 2 K) 2,4 m 2 6 C 3. We schetsen het temperatuursproel doorheen de dubbele beglazing. We gebruiken hiervoor een afstand in arbitraire eenheden. De afstand loopt van binnen (links) doorheen tweemaal een temperatuursverloop in het glas, tot buiten (rechts). 20 Schets voor dubbel glas temperatuur [ C] afstand [a.e.] We hernemen nu de berekeningen voor enkel glas. Om het onderscheid met bovenstaande antwoorden duidelijk te maken gaan we over op romeinse nummering. I. We berekenen eerst het warmteverlies per seconde doorheen het raam van enkel glas. Het probleem stellen we voor als het volgend circuit: T buiten T T 0 T binnen h buiten k glas h binnen Dit circuit is opnieuw een serieschakeling. De totale weerstand, R, wordt bekomen door de deelweerstanden op te tellen. R h buiten A + L k glas A + h binnen A 4

11 Hierbij is nog altijd A,2 m 2 m 2,4 m 2 R 25 W/(m 2 K) 2,4 m mm 0,8 W/(m K) 2,4 m W/(m 2 K) 2,4 m 2 0,060 K/W Het temperatuursverschil T tussen binnen en buiten is net zoals in het geval van dubbel glas 25 K. Het warmteverlies is dus q T R 25 K 60 mk/w 47 W II. We berekenen nu de temperatuur aan de binnenzijde van het raam, T 0. We hernemen de eerder gevonden formule: q T 0 T binnen h binnen A W C 0 W/(m 2 K) 2,4 m 2 2,6 C III. We schetsen het temperatuursproel doorheen de dubbele beglazing. dezelfde conventies als voor het dubbele glas. Schets voor enkel glas We gebruiken 20 temperatuur [ C] afstand [a.e.] Oefening 3 Een muur is opgebouwd uit baksteen, cement, beton en isolatie. De binnentemperatuur is 20 C en de buitentemperatuur is 0 C. De convectiecoëciënt aan de binnen- en buitenzijde is respectievelijk h binnen 8 W/(m 2 K) en h buiten 24 W/(m 2 K). De conductiecoëf- ciënten zijn k baksteen 0,52 W/(m K), k cement,05 W/(m K), k beton 0,8 W/(m K) en k isolatie 0,042 W/(m K). Bepaal de warmteux per tijds- en oppervlakte-eenheid. 5

12 Oplossing We beginnen de oefening door het probleem voor te stellen als een elektrisch circuit. We hebben serie- én paralelle elementen. T binnen k cem T buiten h binnen k isolatie k beton h buiten We gaan de parallele blok herleiden tot één weerstand, R. We nemen ook aan dat de blok m diep is om het rekenwerk concreet te maken. R + R cem R bak k cema cem + k baka bak L L,05 W/(m K) (0 mm m) + 00 mm 0,47 W/K k bak 0,52 W/(m K) (60 mm m) 00 mm De weerstand van het parallele blok, R, is dus 2,40 K/W. We kunnen nu over gaan een serieschakeling. Hierbij is de oppervlakte A gelijk aan 0,070 m 2. Dit is de oppervlakte van één strook cement en één strook baksteen. 6

13 R h binnen A + L isolatie k isolatie A + L beton k beton A + R + h buiten A 8 W/(m 2 K) 0,070 m mm 0,042 W/(m K) 0,070 m mm ,8 W/(m K) 0,070 m 2 + 2,398 K/W + 24 W/(m 2 K) 0,070 m 2 3,75 K/W Het totale temperatuursverschil T is 30 K. We vinden voor de warmteux: q A T A R 30 K 0,070 m 2 3,75 K/W 3 J/(m2 s) Oefening 4 Een lange stalen leiding wordt geïsoleerd met glaswol en aluminiumwol. Aan de binnenzijde van de buis bevindt zich stoom op een temperatuur van 250 C. De temperatuur van het gebouw waarin de leiding zich bevindt, is 30 C. De buis heeft een binnendiameter van 00 mm en een buitendiameter van 0 mm. De conductiecoëciënt van de buis is k staal 50 W/(m K). De diktes van de glaswol en de aluminiumwol zijn 50 mm. Hun conductiecoëciënten zijn respectievelijk k glaswol 0,06 W/(m K) en k Alwol 0,2 W/(m K). De contactweerstand tussen de glaswol en de aluminiumwol per lengte-eenheid is R c 0,05 m K/W. Convectie wordt verwaarloosd. Bepaal:. de warmteux per tijdseenheid en per meter leiding; 2. de oppervlaktetemperatuur aan de buitenzijde van de stalen leiding; 3. de warmteux per tijdseenheid en per meter leiding als de isolatiematerialen omgewisseld worden. 7

14 Oplossing. We beginnen de oefening met het probleem voor te stellen als een circuit. T binnen T buiten k staal k glaswol R C k Alwol h buiten We werken in cilindrische coördinaten. Hiermee moeten we rekening houden wanneer we onze weerstanden berekenen. Voor een cilinder met lengte L wordt de weerstand: ( ) rout ln r in R conductie 2πkL In Tabel. worden de thermische weerstanden voor conductie berekent. Het circuit is een serieschakeling, dus we vinden de totale weerstand door te someren over alle weerstanden. R R staal + R glaswol + R C + R Al wol 2,28 K/W Tabel.: Stralen en thermische weerstanden bij Oefening 4. De lengte L werd m verondersteld. materiaal r in [mm] r out [mm] k [W/(m K)] R conductie [K/W] staal , glaswol ,06,75 R c ,05 aluminiumwol ,2 0,57 8

15 Het temperatuursverschil T is 220 K. De warmteux per meter wordt dan: q m T R 96,4 J/(m s) 2. We gaan op zoek naar de temperatuur op de buitenzijde van het staal. Hiervoor gebruiken we de warmteux uit de vorige oefening, net zoals R staal uit Tabel.. q T R staal T binnen T staal R staal T staal q R staal T binnen 250 C 96,4 W 3, K/W 249,97 C 3. Wanneer de isolatiematerialen worden omgewisseld heeft dit een invloed op hun thermische weerstand. De reden hiervoor is dat de binnen- en buitenstraal veranderen. De nieuwe weerstanden worden R glaswol,033 K/W en R Al wol 0,858 K/W. De totale weerstand wordt: R,94 K/W Het temperatuursverschil, T, is nog altijd 220 K. 3,3 W/m. De warmteux per meter wordt nu We zien dat de warmteux ink is toegenomen door de wissel van de volgorde van de materialen. We merken op dat het materiaal met de hoogste conductiecoëcient het beste langs de buitenkant hangt wanneer we een buis willen isoleren! Via een elektrisch circuit is dit snel in te zien: bij serieschakeling primeert de grootste weerstand. We willen dus de kleinste conductiecoëciënt combineren met de kleinste oppervlakte..2 Meerdimensionele conductie Oplossen van de Laplacevergelijking: T 0. Analytisch oplossen pdv door scheiding veranderlijken slechts mogelijk in eenvoudige gevallen 9

16 2. Grasch 3. Numeriek tekenen warmtevloedlijnen en isothermen interessant om inzicht te verwerven discretisatie van vergelijkingen op rekenrooster praktisch meest gebruikt in reële situaties 4. Vereenvoudigde methode (a) Geometrische vormfactor herleiding probleem naar D: q Sk T [S] m, aezen uit tabellen (b) Vinecientie Oefening 5 Schets de warmtevloedlijnen en de isothermen voor onderstaande situatie als T 0 C en T 2 00 C en:. er geen convectieve weerstand is (h h 2 ) 2. h h 2 0 W/(m K); 3. h h 2 W/(m K). Verieer aan de hand van een numerieke oplossing de juistheid van het resultaat Oplossing We beginnen door het probleem in alle algemeenheid voor te stellen als een circuit. De linkerblok noemen we A en de rechterblok B. Dan is k A 0 W/(m K) en k B 0, W/(m K). T k B T 2 h h 2 k A 0

17 We herschrijven de weerstand van het parallele blok als R. De oppervlak van zowel blok A als B is 0,5 m 2. R k A A L + k B A L 0 W/(m K) 0,5 m2 0,2 m 25,25 W/K R 0,0396 K/W + 0, W/(m K) 0,5 m2 0,2 m We formuleren nu de totale weerstand. De oppervlakte voor convectie is,0 m 2. R h,0 m 2 + 0,0396 K/W + h 2,0 m 2 Het temperatuursverschil, T, is telkens 00 K. De warmteux doorheen de volledige opstelling kunnen we steeds berekenen als: q T R Voor het schetsen van de warmtevloedslijnen en isothermen in beide blokken gaan we de interne weerstanden op elke plaats moeten kennen. Algemeen vinden we een formule voor de weerstand op diepte x in blok i: R x,i + x + h A i k i A i h 2 A i Voor elke conguratie zullen we eerst de warmteux over de volledige opstelling bepalen. Daarna bepalen we de temperatuur aan een de bovenwand en kan de temperatuur op elke plaats binnen de blok gevonden worden via de formule: T x,i T bovenwand,i + q R x,i. Het geval waarbij h en h 2 oneindig zijn. De thermische weerstand herleidt zich tot 0,0396 K/W. De warmteux is 2,53 kw. De temperatuur aan de bovenwand is gelijk aan 0 C. 2. Het geval waarbij h en h 2 gelijk zijn aan 0 W/(m 2 K). De thermische weerstand herleidt zich tot 0,2396 K/W. De warmteux is 47 W. 3. Het geval waarbij h en h 2 gelijk zijn aan 0, W/(m 2 K). De thermische weerstand herleidt zich tot 20,0396 K/W. De warmteux is 4,99 W. De numerieke oplossing die visueel is weergegeven in Figuur. vervangt direct ook het schetstalent van de auteur. Wat merken we op? Hoe groter de k-waarde, hoe verder de lijnen uit elkaar liggen. Dit is logisch, daar hoe groter k, hoe kleiner de conductieweerstand wordt. Oef 5: antwoord nog wat verjnen.

18 Figuur.: Numerieke oplossing bij Oefening 5. Het eerste geval zijn beide convectiecoëf- cienten gelijk aan oneindig. In het tweede geval zijn beide gelijk aan 0 W/(m 2 K). In het derde geval zijn beide gelijk aan 0, W/(m 2 K) Oefening 6 Schets de warmtevloedlijnen en de isothermen voor onderstaande situatie als T 0 C en T 2 00 C en k W/(m K), k 2 0 W/(m K) en k 3 0, W/(m K). Verieer aan de hand van een numerieke oplossing de juistheid van het resultaat Oplossing oef 6: oplossingen aanpassen. Tip: splits blok op in twee blokken om de onderlinge weestverhouding te bepalen. In blok is deze 0 keer zo groot. We beginnen met het probleem voor te stellen als een elektrisch circuit. 2

19 Figuur.2: Numerieke oplossing bij Oefening 6. k is gelijk aan W/(m 2 K), k 2 gelijk aan 0 W/(m 2 K)en k 3 gelijk aan 0, W/(m 2 K). T k 3 T 2 k k 2 De oppervlakken van de blokken 2 en 3 beschouwen we als 0,5 m 2. Voor blok is de oppervlakte dus,0 m 2. De lengte, L, beschouwen we als,0 m. We berekenen eerst de weerstand, R van het parallele blok. R k 2 A L + k 3 A L 0 W/(m K) 0,5 m2,0 m 5,05 W/K R 0,98 K/W + 0, W/(m K) 0,5 m2,0 m 3

20 We berekenen nu de totale thermische weerstand, R. R R + L k A 0,98 K/W +,98 K/W,0 m W/(m K),0 m 2 Het temperatuursverschil, T, is 00 K. De totale warmteux wordt dan: q T R 83,47 W Via een numerieke oplossing werden de warmtevloedlijnen en isothermen bepaald. De visuele weergave hiervan gebeurt in Figuur.2. Oefening 7 Bepaal grasch de vormfactor van de volgende buisvormige oven. Vergelijk met de waarde uit de tabel. Oplossing Oef 7: Antwoord opschrijven Oefening 8 Een leiding met een diameter van 4 cm, waardoor kg stoom per seconde stroomt met een temperatuur van 250 C, loopt in een betonnen ondergrond (k beton,8 W/(m K)). De oppervlaktetemperatuur van het beton is 5 C. De ondergrond mag beschouwd worden als een half oneindige massa. Bepaal het warmteverlies per tijdseenheid in de leiding als de bochten en de wisselwerking tussen de verschillende delen van de leiding worden verwaarloosd. 4

21 Oplossing We splitsen het probleem op in de horizontale en verticale stukken. q k(2 S v + S h ) T De formules voor de vormfactoren halen we uit de bundel met formules, onderaan op bladzijde 3. Voor de verticale leidingen vinden we volgende formule waarbij L de diepte is in meter en R de straal van de leiding, tevens in meter. De formule geldt enkel wanneer L 2R. Hieraan is voldaan. 2πL S v ln (2L/R) 2π,22 m ln (2,22 m/2 cm),596 m Voor de horizontale leiding vinden we volgende formule waarbij L de lengte is, R de straal van de leiding en d de diepte waarin de leiding begraven is, allen in meter. De formule geldt enkel wanneer L 2R en d > 3R. Hieraan is voldaan. S h 2πL ln (2d/R) 2π 5,5 m ln (2,37 m/2 cm) 7,024 m Het temperatuursverschil, T, is 235 K. We kunnen nu het warmteverlies per seconde berekenen: q,8 W/(m K) (2,596 m + 7,024 m) 235 K 432 J/s Oefening 9 Water en lucht zijn gescheiden door een vlakke wand van mild staal (k 42,9 W/(m K)). 5

22 Om de warmteoverdracht te laten toenemen, worden rechte, rechthoekige vinnen aangebracht van,27 mm dik en 2,5 cm lang, op een onderlinge afstand van,27 cm. Aan de luchtzijde is de convectiecoëciënt h lucht,4 W/(m 2 K), aan de waterzijde h water 256 W/(m 2 K). Bepaal het percentage toename van de warmteoverdracht wanneer de vinnen geplaatst worden aan de luchtzijde, aan de waterzijde en aan beide zijden. Oplossing De warmteux voor de plaat met vinnen worden beschreven door volgende formule waarbij de index f staat voor n, het Engelse woord voor vin. q h(a 0 + η f A f )(T 0 T f ) De vinecientie, η f kunnen we halen uit de graek van de bundel op bladzijde 5. Omdat we met rechte vinnen werken is de theoretische verhouding r L /r 0 identisch aan. Het verschil tussen r L en r 0 is de lengte van de vin. De t uit de formule is de halve dikte van de vin. h h (r L r 0 ) 2,5 cm k t 42,9 W/(m K) 0,635 mm Voor lucht wordt dit 0,5, of een ecientie van 0,92. Voor water 2,424, of een ecientie van 0,4. Het temperatuursverschil, T, veronderstellen we constant. Omdat we percentuele verhoudingen zoeken is het eigenlijk verschil niet van belang. 6

23 We bereken nu de benodigde oppervlakken. Hiertoe nemen we aan dat het oppervlak m diep is. A 0 (0,027 m 0,00 27 m) m A f (2 0,025 m + 0,00 27 m) 0,0 43 m 2 0,05 27 m 2 We berekenen nu de thermische weerstand doorheen een zijde van plaat als er geen vinnen geplaatst zijn: R lucht h lucht A R water h water A 256 W/(m 2 K) 0,027 m 2,4 W/(m 2 K) 0,027 m 2 6,907 m K/W 0,306 m K/W De andere weerstanden halen we uit het verband tussen de warmteux, die we voor elke situatie kunnen berekenen en het temperatuursverschil: R T q In Tabel.2 worden de weerstanden voor de drie aparte gevallen genoteerd. Via deze weerstanden kunnen we de warmteuxen bepalen. Maar omdat deze warmteuxen enkel afhangen van de weerstand en het temperatuursverschil, dat we constant veronderstellen. Moeten we enkel de totale weerstanden bepalen. De weerstand zonder vinnen is 7,23 m K/W. Voor enkel vinnen aan de luchtzijde krijgen we een totale weerstand van,803 m K/W, voor vinnen aan de waterzijde 7,029 m K/W en voor vinnen aan beide zijden,69 m K/W. De percentuele toename vinden we door het verschil tussen de situatie met vinnen en de situatie met vinnen te delen door de weerstand zonder vinnen. We vinden toenames voor respectievelijk, vinnen aan de luchtzijde, aan de waterzijde en aan beide zijden van 300 %, 2,6 % en 345 %. Tabel.2: berekeningen bij Oefening 9. In het geval zonder vinnen werd de weerstand apart berekend zonder te ux te bepalen. In het geval met vinnen werd eerst de warmteux bepaald. T wordt constant verondersteld. Situatie q/ T [W/K] R [m K/W] luchtzijde met vin 0,668,497 zonder vin - 6,907 waterzijde met vin 8,8 0,22 zonder vin - 0,306 7

24 .3 Niet-stationaire conductie Wet van behoud van energie: isotroop medium (k is een constante): met α de thermische diusiviteit. ρc p T t #» #» q A + q #» (k #» T ) + q T t α 2 T + [α] m 2 /s Medium met constante k in een uidum op uniforme temperatuur: q ρc p T t α #» T #» T t dv α #» T #» dv V V T dv α #» T #» da t V T av,v t T av,v t A V α A h k (T T ) da V α h k (T av,v T )A Daarnaast voeren we nu het getal van Biot en Fourrier in: Bi h(v/a) k Fo αt (V/A) 2 Verwaarloosbare interne weerstand (Bi < 0,) medium op uniforme temperatuur (T av,s T av,v ) analytische oplossing: h A t T T e ρc p V e Bi Fo T 0 T Verwaarloosbare oppervlakteweerstand (Bi 0,) gebruik maken van Heissler-diagramma's afhankelijk van geometrie, Bi, Fo, dimensieloze afstand 8

25 Oefening 0 Een aluminium proel met lengte L 0,5 m en doorsnede zoals op de guur gegeven (afmetingen in mm), staat op een uniforme temperatuur van 50 C. Het proel wordt ondergedompeld in koud water (T 4 C). Bepaal de temperatuur in het midden van het proel en de cumulatieve warmteoverdracht na minuut als de convectiecoëciënt h 550 W/(m 2 K). Oplossing We willen het Biotgetal bepalen. Hiertoe bepalen we eerste de verhouding V/A. Merk op dat het oppervlak uit twee delen bestaand: De oppervlakte langs de lengte en de twee zijkanten van het proel. V/A 0,5 m (2 250 mm mm 2 ) 0,5 m 260 mm mm 2 0, m Nu bepalen we het getal van Biot. We merken hiertoe op dat k Al 239 W/(m K). Bi h(v/a) k 550 W/(m2 K) 0, m 239 W/(m K) 0,007 < 0, Omdat Bi kleiner is dan 0, is de temperatuur uniform verdeeld in het medium. We bepalen dus het getal van Fourrier. Hierbij is α 9,6 0 5 m 2 /s en de tijd, t, is min: Fo α t (V/A) 9,6 0 5 m 2 /s 60 s 594,7 2 (0, m) 2 9

26 We gaan nu over op de analytische oplossing die we hervormen om de warmte in het proel, T, te vinden. T T T 0 T e Bi Fo T (T 0 T ) e Bi Fo + T (50 C 4 C) exp ( 0, ,7) + 4 C 4,72 C Tot slot berekenen we de cumulatieve warmteoverdracht na één minuut, Q. Uit de tabellen van het handboek Transportverschijnselen halen we dat de warmtecapaciteit c p gelijk is aan 939,3 J/(kg K) en de massadichtheid ρ 270, kg/m 3 is. Q 60 s 0 s ρv c p dt dt dt ρv c p (T T 0 ) 270, kg/m 3 4, m 3 939,3 J/(kg K) (4,72 C 50 C) 46 kj Oefening De temperatuur T 500 C van een warme gasstroom wordt gemeten met een thermokoppel (zie guur). De junctie wordt benaderd door een bol met diameter D mm. De convectiecoëciënt tussen het gas en de junctie is h 20 W/(m 2 K). Het thermokoppel staat initieel op kamertemperatuur (20 C). Hoelang duurt het tot het temperatuursverschil tussen thermokoppel en gas, kleiner is dan % van het oorspronkelijke temperatuursverschil? Hou geen rekening met straling. Eigenschappen van de junctie: ρ 8500 kg/m 3 k 35 W/(m K) c p 320 J/(kg K) 20

27 Oplossing Voor dit soort vragen gaan we op zoek naar het getal van Biot. Hiertoe berekenen we eerst de verhouding tussen het volume en het oppervlak. Het gaat om een bol dus geldt: V/A 4 3 πr3 4πr 2 r 3 0,5 mm 3 Nu kunnen we vlot het getal van Biot berekenen: 0,67 mm Bi h(v/a) k 20 W/(m2 K) 0,67 mm 35 W/(m K) 0,00 0, De interne weerstand is te verwaarlozen en het medium zal een uniforme temperatuur hebben. We kunnen gebruik maken van de analytische oplossing. Er wordt gevraagd om de tijd te bepalen. We maken dus gebruik van de uitdrukking met het Fourriergetal expliciet uitgeschreven. Daarnaast is gegeven dat T T T 0 T kleiner is dan %. T T ht exp T 0 T ρ c p (V/A) ( ) T T ρ cp (V/A) t ln T 0 T h ln (0,0) 8500 kg/m3 320 J/(kg K) 0,67 mm 20 W/(m 2 K) 9,94 s Het duurt dus net geen 0 seconden tot het temperatuursverschil tussen thermokoppel en gas kleiner is dan % van het oorspronkelijke temperatuursverschil. Oefening 2 Een elektrisch strijkijzer heeft een aluminium basisplaat (ρ 2700 kg/m 3, c p 900 J/(kg K), 2

28 k 200 W/(m K)) die 500 g weegt. De plaat heeft een oppervlakte van 0,06 m 2 en wordt langs één zijde opgewarmd door een verwarmingselement met vermogen 500 W. Initieel bevindt het strijkijzer zich op omgevingstemperatuur 20 C. De convectiecoëciënt met de omgeving is h 20 W/(m 2 K). Hoe lang duurt het, na het aanzetten, tot de basisplaat een temperatuur van 20 C bereikt? Wat is de maximum temperatuur die het strijkijzer kan bereiken? Oplossing Zoals steeds beginnen we de oefening met de zoektocht naar het getal van Biot. Hiertoe berekenen we de verhouding tussen het volume en de oppervlakte van de basisplaat. V/A m/ρ A 0,500 kg/(2700 kg/m3 ) 0,06 m 2 3,09 mm Nu kunnen we vlot het getal van Biot berekenen: Bi h(v/a) k 20 W/(m2 K) 3,09 mm 200 W/(m K) 3, , De interne weerstand in de plaat is dus verwaarloosbaar en de temperatuur zal uniform zijn. We maken gebruik van volgende formule: dt ρv c }{{} p dt Q ha(t T ) m We zijn vooral geïnteresseerd in de afgeleide van de temperatuur naar de tijd. We noemen deze afgeleide ϕ. ϕ Q ha(t T ) mc p mc p dϕ dt ha ϕ mc p ( ϕ ϕ 0 exp ha ) t mc p Omdat op t 0 T T kunnen we nu ϕ 0 bepalen: ϕ 0 Q mc p 500 W 0,500 kg 900 J/(kg K), K/s Omdat we deze verhouding vaak nodig zullen hebben berekenen we ze ook alvast: ha mc p 20 W/(m2 K) 0,06 m 2 0,500 kg 900 J/(kg K) 2, /s 22

29 . Hoelang duurt het om 20 C te bereiken? ϕ 0 ha ( (T T ) ϕ 0 exp ha ) t mc p mc p, K/s 2, /s 00 K, K/s exp ( 2, /s t ) 2. Maximum temperatuur van het strijkijzer? 0,760 exp( 2, /s t) t ln(0,760) 0,002 67/s 03 s Het temperatuursverloop is monotoon stijgend met als afgeleide een negatieve exponentiele met voorfactor. De maximale temperatuur wordt dus gevonden voor t. ϕ 0 ha(t T ( ) ϕ 0 exp ha ) t mc p mc p, K/s 2, /s (T 20 C) 0 T 20 C + 46 K 436 C Oefening 3 Een lange, rechthoekige staalslab komt uit de gieterij op een temperatuur T 800 C. De dikte van de slab is 30 cm. De eigenschappen van het staal zijn k 30 W/(m K) en α,5 0 5 m 2 /s. De plaat wordt aan beide zijden gekoeld met lucht jets (hoge snelheid), met T lucht 30 C en convectiecoëciënt h 500 W/(m 2 K). De maximale temperatuur in de slab mag maar 200 C meer bedragen voor verdere bewerkingen. Bepaal hoe lang het duurt om de slab tot die temperatuur af te koelen. Oplossing We beginnen deze oefening met de berekening van het getal van Biot. Daartoe bepalen we eerst de verhouding tussen volume en de gekoelde oppervlakte voor een balk. V/A D B L 2(B L) 30 cm B L 2(B L) Nu gaan we over tot het bepalen van het getal van Biot: 5 cm Bi h(v/a) k 500 W/(m2 K) 5 cm 30 W/(m K) 2,5 0, We zullen dus gebruik moeten maken van Heissler-diagramma's om het getal van Fourrier te vinden. We gebruiken het diagram op bladzijde 9 van de bundel. Hiertoe berekenen we eerst 23

30 de nodige parameters: T T 200 C 30 C T 0 T 800 C 30 C 0,22 k hl 30 W/(m K) 500 W/(m 2 K) 5 cm 0,4 En dus is het getal van Fourrier gelijk aan,3. We kunnen hieruit de tijd berekenen: Fo αt (V/A) 2 Fo (V/A)2 t α,3 (5 cm)2,5 0 5 m 2 /s 950 s 32,5 min Oefening 4 Bepaal de contacttemperatuur tussen huid en koper enerzijds en tussen huid en kurk anderzijds, met: Oplossing T huid 37 C; T Cu T kurk 00 C; k Cu 379 W/(m K), k kurk 0,04 W/(m K); a Cu, m 2 /s, a kurk m 2 /s; β huid 200 W s /2 /(m 2 K) We beschouwen dit probleem als een half-oneindige massa met plotse temperatuursprong aan het oppervlak. Uit de cursus weten we dat de contacttemperatuur, T s gegeven wordt door: T s β T + β 2 T 2 β + β 2 Met β k/ α. We berekenen eerst dat β Cu 38 kw s /2 /(m 2 K) en dat β kurk 89 W s /2 /(m 2 K).. Contacttemperatuur tussen huid en koper T s 200 W s/2 /(m 2 K) 30 K + 38 kw s /2 /(m 2 K) 373 K 200 W s /2 /(m 2 K) + 38 kw s /2 /(m 2 K) 37 K 98 C 24

31 2. Contacttemperatuur tussen huid en kurk T s 200 W s/2 /(m 2 K) 30 K + 89 W s /2 /(m 2 K) 373 K 200 W s /2 /(m 2 K) + 89 W s /2 /(m 2 K) 34 K 4 C Oefening 5 Een waterleiding ligt onder de grond. Als bij ontwerp aangenomen wordt dat het maximaal 60 dagen aan een stuk kan vriezen tot 5 C aan de grond, wat is dan de minimale diepte waarop de waterleiding dient te liggen om vorstschade tegen te gaan? We nemen aan dat de temperatuur voor aanvang van de vorst gedurende een lange tijd 20 C bedroeg. Gegevens aarde: ρ 2050 kg/m 3, k 0,52 W/(m K), c p 840 J/(kg K). Oplossing We veronderstellen dat de eigenschappen constant blijven, dat we een oneindige massa hebben. Daarnaast vereenvoudigen we het probleem tot een ééndimensioneel probleem. We kunnen dus gebruik maken van Figuur 22 op bladzijde 30 van hoofdstuk 2. T T 0 C + 5 C T i T 20 C + 5 C 0,429 Uit de graek halen we dus dat η/2 gelijk is aan 0,4. We merken daarnaast op dat α gelijk is aan k. ρc p η x 4 αt x η αt 0,52 W/(m K) 0, kg/m J/(kg K) 440 h 0,68 m 25

32 Hoofdstuk 2 Convectie 2. Basiswet Wet van Newton: q A h T met [h] W/(m2 K) Convectiecoëcient is afhankelijk van de stroming verschillende geometrie verschillende uidumeigenschappen gedwongen vs. vrije stroming turbulent vs. laminair vergelijkingen in dimensieloze vorm, correlaties voor verschillende basisgeometrieën gedwongen convectie: Nu f(re, Pr) vrije of natuurlijke convectie: Nu f(gr, Pr) Nu hl k Re vl ν ρvl µ Pr ν α µc p k Gr βρ2 gl 3 T µ Oefeningen Oefening 6 Lucht op 5 C stroomt met een snelheid van 2 m/s over een plat dak met temperatuur 25 C, met lengte 8 m en breedte 4 m. De wind waait volgens de langste richting. 26

33 . Hoe verloopt de lokale convectiecoëciënt over de plaat? 2. Bepaal de gemiddelde warmteux per vierkante meter. Oplossing. Hoe verloopt de lokale convectiecoëcent over de plaat? h Nu k L We werken met gedwongen convectie, want de wind veroorzaakt de convectie. Het Nusseltsgetal hangt af van het Reynoldsgetal en het getal van Prandl. Via de tabel op bladzijde 9 van de bundel halen we via interpolatie de gegevens voor lucht. Hiertoe berekenen we eerst de lmtemperatuur: T f T s + T 2 5 C + 25 C 2 5 C We vinden nu dat ν gelijk is aan 4,8 0 6 m 2 /s, k gelijk is aan 25,3 0 3 W/(m K) en Pr is gelijk aan 0,7. Om ons vertrouwt te maken met het rekenwerk gaan we eerst de globale convectiecoëcient berekenen. Deze zullen we nodig hebben in het tweede deel van de oefening en laat ons toe alle formules al eens te gebruiken. We berekenen eerst het Reynoldsgetal: Re vl ν 2 m/s 8 m 4,8 0 6 m 2 /s, 06 > We hebben dus globaalte maken met een turbulente grenslaag. We berekenen nu het Nusseltsgetal via de formule voor uitwendige gedwongen convectie in de turbulente zone: Nu L (0,037Re 4/5 87)Pr /3 (0,037(, 0 6 ) 4/5 87)0,7 /

34 We kunnen nu de convectiecoëcient berekenen: h Nu k L 47 25,3 0 3 W/(m K) 8 m 4,65 W/(m 2 K) Met bovenstaande berekeningen in het achterhoofd kunnen we een schets maken voor de lokale convectiecoëcient over de volledige plaat. Hiertoe berekenen we eerst de afstand waar het kritisch punt, d.i. het punt waar het Reynoldsgetal wordt: Re vl ν 2 m/s L krit 4,8 0 6 m 2 /s 5 05 Dus het kritisch punt ligt op L krit 3,7 m. We kunnen algemeen stellen dat: ( v x ) /2 0,332 P r /3 k x,als x < 3,7 m h ( ν v x ) 4/5 0,0296 P r /3 k x,als x > 3,7 m ν Met nog steeds v gelijk aan 2 m/s, ν gelijk aan 4,8 0 6 m 2 /s, k gelijk aan 25,3 0 3 W/(m K) en Pr is gelijk aan 0, h [W/(m 2 K)] afstand [m] In het verloop is duidelijk te zien dat de convectiecoëcient een sprong vertoont in het kritisch punt. Daarnaast zien we dat als de afstand naar nul gaat, de convectiecoëcient naar oneindig gaat. In deze limiet vervalt de theorie. 2. De gemiddelde warmteux per vierkande meter is nu gemakkelijk te bepalen met de eerder bepaalde globale ux q A h T 4,65 W/(m2 K) 20 K 93 W/m 2 Oefening 7 Lucht op een temperatuur van 25 C stroomt met een snelheid van 5 m/s dwars over een pijp 28

35 met uitwendige diameter van 30 mm. De pijp bevat water op een temperatuur van 75 C. Stel dat de convectieve weerstand in de buis en de thermische weerstand van de buis kunnen verwaarloosd worden, wat is dan de warmteux per meter pijp? Oplossing We zullen voor deze oefening het Nusseltsgetal moeten berekenen. Daartoe hebben we eerst gegevens nodig uit de tabellen van het bundeltje. hiertoe bepalen we eerst de gemiddelde lmtemperatuur, T m : T m T s + T f 2 25 C + 25 C 2 50 C 323 K Uit de tabellen halen we dat ν gelijk is aan, m 2 /s, k gelijk is aan 0,028 W/(m K) en het getal van Prandl gelijk is aan 0,704. We bepalen nu het Reynoldsgetal: Re D vd ν 5 m/s 30 mm, m 2 /s 8242 < 5 05 Het is duidelijk dat we in het geval zitten van gedwongen convectie bij een stroming loddrecht op een pijp of een pijpenbundel. Het getal van Nusselt wordt: Nu D C Re m D Pr /3 Met het eerder bepaalde Reynoldsgetal vinden we op bladzijde 6 de tabel om C en m te bepalen. We vinden dat C gelijk is aan 0,74 en dat m gelijk is aan 0,68. Het getal van Nusselt is dus gelijk aan 40,7. 29

36 De convectiecoëcient per lopende meter wordt gegeven door: h Nu k D 40,7 0,028 W/(m K) 30 mm 38 W/(m K) En dus is de warmteux per lopende meter gegeven door: q/l h D T 38 W/(m K) 30 mm 50 K 57 W/m Oefening 8 Water op 40 C stroomt zonder faseverandering over een buizenbundel. De buizen bevatten warme rookgassen die de buiswand op 20 C houden. Het water stroomt met een snelheid van,0 m/s uit één pijp met een inwendige diameter van 5 cm. Bereken de temperatuur van het water bij het verlaten van de buizenbundel Oplossing We zitten in het geval van gedwongen convectie bij een stroming loodrecht op een pijpenbundel. Het Nusseltsgetal wordt gegeven door: Nu D 0,33 Re 0,6 D Pr/3 We berekenen eerst de gemiddelde lmtemperatuur, T m : T m T s + T f 2 20 C + 40 C C 353 K

37 Uit de tabellen halen we dat ν gelijk is aan 0, m 2 /s, k gelijk is aan 0,670 W/(m K) en het getal van Prandl gelijk is aan 2,2. Om het Reynoldsgetal te berekenen gaan we op zoek naar de gemiddelde snelheid in de minimum vrije dwarssectie tussen de pijpen, A min. Hier zal immers de maximale snelheid zijn. We merken op dat er 6 buizen boven elkaar gestapeld zijn: A min A zijkant 6 A buis 30 cm 46 cm 6 (2,5 cm 46 cm) 0,069 m 2 We berekenen nu het massadebiet water. Hiervoor houden we in het achterhoofd dat ρ water gelijk is aan 000 kg/m 3. We maken ook gebruik van de inwendige diameter, daar het water in de buis loopt. Aldus is de maximumsnelheid v max gelijk aan: v max ṁ water ρ water v water A pijpdoorsnede 000 kg/m 3 (0,5 m)2 m/s π 4 7,7 kg/s ṁmax ρa min 7,7 kg/s 000 kg/m 3 2 0,257 m/s 0,069 m We gaan nu over tot de berekening van het Reynoldsgetal: Re D v maxd ν 0,257 m/s 2,5 cm 0, m 2 /s 8 03 We werken dus in laminair regime. Vervolgens het Nusseltsgetal: Nu D 0,33 (8 0 3 ) 0,6 (2,2) /3 53 Via het Nusseltsgetal kunnen we de convectiecoëcent berekenen. h Nu D k L 53 0,670 W/(m K) 2,5 cm 400 W/(m 2 K) We berekenen nu de uitgangstemperatuur, T 2. Hiertoe Bepalen we eerst de warmteux doorheen de pijpmantels. Hierbij brengen we alle 36 pijpen in rekening. q 36 (A pijpmantel )h T 36 (46 cm π 2,5 cm) 400 W/(m 2 K) 80 K 427 kw 3

38 Voor het water gaan we over tot de klassieke denitie van warmte. We gebruiken als warmtecapaciteit voor het water 480 J/(kg K) q ṁ c p (T 2 T ) T 2 T + q ṁ c p kw C + 7,7 kg/s 480 J/(kg K) 45,8 C Oefening 9 Door een buis met inwendige diameter D inw 27 mm stroomt olie met een T b 80 C. Het volumedebiet is 0,4 m 3 /min. Bepaal:. de instroomlengte. 2. de gemiddelde convectiecoëciënt voor een,5 m lange buis op 27 C. Oplossing. Bepaling van de instroomlengte We bepalen zowel de hydrodynamische instroomlengte, L s, als de thermische instroomlengte L t. Hiertoe zullen we het Reynoldsgetal, Re D, en het Prandlgetal, Pr, moeten bepalen. We halen de volgende gegevens uit de tabel van ongebruikte motorolie. ν is 4,7 0 6 m 2 /s, k is gelijk aan W/(m K) en Pr gelijk is aan 546. We moeten nu enkel nog het Reynoldsgetal bepalen. Daartoe bepalen we eerst de snelheid waarmee de olie stroom. v V A 0,4 m3 /min (27 mm) 2 π 4 0,526 m/s We gaan nu over tot de bepaling van het Reynoldsgetal: Re D v L ν 0,526 m/s 27 mm 4,7 0 6 m 2 /s 602 <

39 We besluiten dus dat de stromming laminair is. We kunnen nu de instroomlengtes bereken met de formules op bladzijde 4 van de bundel: L s,lam 0,0575Re D D L t,lam 0,0575Re D P r D 0, mm 0, mm,7 m 6,4 km 2. Bepaling van de gemiddelde convectiecoëcient Hiertoe bepalen we het Nusseltsgetal over de volledige lengte. De stroming is niet ontwikkeld.,5 m is kleiner dan beide eerder bepaalde intredelengtes. Re D Pr D L mm,5 m > Bovenstaande ongelijkheid geldt, dus mogen we volgende formule gebruiken voor Nu L ( ) /2 Nu L 0,664Pr /3 ReD D L 0,664 (546) /3 ( mm,5 m 63,2 ) /2 Omdat er een groot temperatuursverschil heerst tussen de wand en het bulk van de vloeistof zullen we het Nusseltsgetal moeten corrigeren. Hiertoe halen we eerst µ b, 3, N s/m 2, en µ s, 48,6 0 2 N s/m 2, uit de tabellen. We vinden als gecorrigeerd Nusseltsgetal: Nu corr Nu ( µb µ s ) 0,4 ( ) 3, N s/m 2 0,4 63,2 48,6 0 2 N s/m 2 43,8 We kunnen nu de gemiddelde convectiecoëciënt berekenen: h Nu corr k D 43, W/(m K) 27 mm 47,6 W/(m 2 K) Oefening 20 Lucht met een massagemiddelde temperatuur van 27 C, stroomt met een gemiddelde snelheid van m/s in een rechthoekig kanaal met lengte 3 m. De temperatuur van de wand van het kanaal wordt op 77 C gehouden. Bepaal de intredelengte en de gemiddelde convectiecoëciënt. 33

40 Oplossing We gaan op zoek naar het Reynoldsgetal. Daartoe halen we uit de tabellen van het bundeltje dat ν gelijk is aan 5, m 2 /s en het Prandlgetal 0,707. We moeten de hydraulische diameter berekenen. D h 4A P 4 20 cm 40 cm 2 (20 cm + 40 cm) 0,27 m Het Reynoldsgetal is dus gelijk aan: Re D v D h ν m/s 0,27 m 5, m 2 /s 7 03 > 2300 We werken dus in een turbulent regime. Hierin zijn de hydrodynamische en de thermische instroomlengte aan elkaar gelijk. We vinden voor de intredelengtes: L s,turb L t,turb 0 D h 2,7 m We gaan nu op zoek naar de gemiddelde convectiecoëcient. Omdat we in turbulent regime werken moeten we geen verchil maken tussen ontwikkelde en niet ontwikkelde stroming. We berekenen eerst de parameter ξ. ξ (,82 log (Re D ),64) 2 (,82 log (7 0 3 ),64) 2 0,0272 En we berekenen het Nusseltsgetal via de formule van Gnielinski, die we uit het bundeltje op bladzijde 5 halen: [ ( ) ] 2/3 (ξ/8) (Re 000) Pr D Nu + 2,7 + ξ/8 (Pr 2/3 ) L (0,0272/8) ( ) 0, ,7 0,0272/8 (0,707 2/3 ) 54,5 [ ( ) ] 2/3 0,27 m + 3 m 34

41 We moeten nu nog een correctie voor dit Nusseltsgetal in rekening brengen. We gebruiken de lucht om een koelstof af te koelen. Dit is hetzelfde als stellen dat we een gas opwarmen. De macht van de correctiefactor, n, vinden we nu via: ( ) T s n 0,3 log + 0,36 T ( b ) 350 K 0,3 log + 0, K 0,38 We vinden voor het gecorrigeerde Nusseltsgetal: ( ) n ( ) 0,38 T b 300 K Nu corr Nu 54, K T s Uit dit gecorrigeerd Nusseltsgetal kunnen we nu de convectiecoëcient halen. Uit de tabel halen we dat k gelijk is aan 26,3 0 3 W/(m K) h Nu corr k D h 5 26,3 0 3 W/(m K) 0,27 m 5,0 W/(m 2 K) Oefening 2 De oppervlaktetemperatuur van een pijp met diameter 5 cm en lengte 3 m, bedraagt 90 C. De omringende lucht heeft een temperatuur van 35 C. De luchtdruk is 0,3 kpa. Bepaal het warmteverlies als de pijp verticaal, dan wel horizontaal is. Oplossing We beginnen te oefening met de gemiddelde lmtemperatuur, T m, te berekenen: T m T s + T f 2 90 C + 35 C ,5 C 335,5 K

42 We halen nu uit de bundel de gegevens voor lucht op deze temperatuur. ν is gelijk aan 9,5 0 6 m 2 /s, Pr aan 0,702 en k is gelijk aan 28,9 0 3 W/(m K). De factor β is de inverse van de gastemperatuur en is dus gelijk aan 0,003 25/K. De temperatuursgradient, T is 55 K. De buitenoppervlakte van een pijp is,4 m 2. Daarnaast vermelden we ook dat het gaat om vrije convectie.. Verticale pijp We bepalen het Grashofgetal voor de verticale pijp: Gr L βgl3 T ν 2 0,003 25/K 9,8 m/s2 (3 m) 3 55 K (9,5 0 6 m 2 /s) 2,25 0 En dus is Gr Pr gelijk aan 8, Uit de tabel op pagina 7 van het bundeltje kunnen we de coëciënten halen. C is gelijk aan 0,29 en m is gelijk aan 0,333. Het Nusseltsgetal is dus gelijk aan Nu D C (Gr D Pr) m 0,29(8, ) 0, We vinden nu als convectiecoëciënt: h Nu D k L ,9 0 3 W/(m K) 3 m 5,47 W/(m 2 K) We vinden nu als warmteux: 2. Horizontale pijp q h A T 5,47 W/(m 2 K),4 m 2 55 K 424 W We bepalen het Grashofgetal voor de horizontale pijp: Gr D βgd3 T ν 2 0,003 25/K 9,8 m/s2 (5 cm) 3 55 K (9,5 0 6 m 2 /s) 2, En dus is Gr Pr gelijk aan, Uit de tabel op pagina 7 van het bundeltje kunnen we de coëciënten halen. C is gelijk aan 0,525 en m is gelijk aan 0,25. Het Nusseltsgetal is dus gelijk aan Nu D C (Gr D Pr) m 0,525(,0 0 7 ) 0,25 30,2 36

43 We vinden nu als convectiecoëciënt: h Nu D k D 30,2 28,9 0 3 W/(m K) 0,5 m We vinden nu als warmteux: 5,82 W/(m 2 K) q h A T 5,82 W/(m 2 K),4 m 2 55 K 45 W Oefening 22 Bereken het warmteverlies aan een horizontale vierkante plaat met zijde 0,6 m en met temperatuur aan de bovenkant van 80 C, blootgesteld aan lucht op 20 C. Vergelijk de resultaten als het de bovenkant is dan wel de onderkant die warmte afgeeft. Vergelijk ook met een verticale plaat. Oplossing We beginnen te oefening met de gemiddelde lmtemperatuur, T m, te berekenen: T m T s + T f 2 80 C + 20 C 2 50 C 423 K We gaan het Grashofgetal moeten berekenen. Hiertoe halen we eerst alle gegevens uit de tabellen van het bundeltje. We vinden dat ν gelijk is aan 8,2 0 6 m 2 /s, k is gelijk aan 28, W/(m K) en het Prandlgetal is 0,703. β is de inverse van de temperatuur en is dus gelijk aan 0,003/K. Nu berekenen we nog de lengte, L, die in de formule voorkomt: L Z2 4Z. Warmteverlies aan de bovenkant van de plaat We berekenen hiertoe eerst het Grashofgetal. Gr L βgl3 T ν 2 (0,60 m)2 4 0,60 m 0,5 m 0,003/K 9,8 m/s2 (0,5 m) 3 60 K (8,2 0 6 m 2 /s) 2, Hiermee kunnen we het Nusseltsgetal berekenen via de formule voor de bovenkant van een verwarmde plaat, want T s > T f. Nu 0,5(Gr P r) /3 0,5(, ,703) /3 35,3 37

44 We bepalen dan de convectiecoëcient: h Nu k L 35,3 28, W/(m K) 0,5 m Het warmteverliest voor de bovenkant van de plaat wordt dus 6,6 W/(m 2 K) q ha T 6,6 W/(m 2 K) (0,6 m) 2 60 K 43 W 2. Warmteverlies aan de onderkant van de plaat Voor dit geval is het Grashofgetal gelijk aan dat uit de vorige conguratie. Het Nusseltsgetal verandert, want we zitten aan de onderkant van de verwarmde plaat: Nu 0,27(Gr Pr) /4 0,27(, ,703) /4 6,2 We bepalen dan de convectiecoëcient: h Nu k L 6,2 28, W/(m K) 0,5 m Het warmteverliest voor de onderkant van de plaat wordt dus 3,0 W/(m 2 K) q ha T 3,0 W/(m 2 K) (0,6 m) 2 60 K 64,8 W 3. Warmteverlies bij een verticale plaat Bij de conguratie van de verticale plaat zal zelfs het Grashofgetal verschillen: Gr L βgz3 T ν 2 0,003/K 9,8 m/s2 (0,6 m) 3 60 K (8,2 0 6 m 2 /s) 2,9 0 9 Om het Nusseltsgetal te berekenen halen we C en m uit de tabel op bladzijde 7. C is gelijk aan 0,590 en m is gelijk aan 0,250. Het Nusseltsgetal wordt nu gegeven door: Nu C (Gr Pr) m 0,590 (, ,703) 0, We bepalen dan de convectiecoëcient: h Nu k L 00 28, W/(m K) 0,6 m 4,8 W/(m 2 K) Het warmteverliest voor de plaat wordt dus q ha T 4,8 W/(m 2 K) (0,6 m) 2 60 K 04 W 38

45 Hoofdstuk 3 Straling 3. Basiswet Zwarte straler Wet van Stefan-Boltzmann E b σt 4 met σ 5, W/(m 2 K 4 ) Hierbij is E b de totale hoeveelheid geëmitteerde energie per oppervlakte- en tijdseenheid van een ideale (zwarte) straler Wet van Planck: de totale emissie van een zwarte straler heeft een spectrale verdeling E b met E b /(σt 5 ) getabelleerd in functie van λt 0 E b,λ dλ Stralingsintensiteit I: hoeveelheid geëmitteerde energie per eenheid van oppervlake, loodrecht op de beschouwe stralingsrichting en per tijdseenehdi en per eenheid van ruimtehoek. π/2 π/2 E I(ϕ, ϑ) cos ϑ dω I(ϕ, ϑ) cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ 0 0 Zwarte straler : I b onafhankelijk van de beschouwde stralingsrichting E b (T ) πi b (T ) 3.2 Reectie, absorptie, transmissie, emissie reectiviteit + absortiviteit + transmissiviteit ρ + α + τ 39

46 zwart lichaam: α emissiviteit ε: verhouding van totaal emissievermogen t.o.v. emissievermogen van een zwarte straler op dezelfde temperatuur emissiviteit ε E E b monochromatische emissiviteit ε λ E λ E b,λ grijze straler: emissiviteit onafhankelijk van λ 3.3 spectrum bandbreedte spectrum: kosmische straling (λ 0 6 m oftewel µm ) tot radiogolven (λ 0 6 m oftewel Mm ) zichtbaar spectrum (licht): λ 0,38 µm tot 0,76 µm thermische straling (van UV tot IR): 0, µm tot 00 µm 3.4 Basisoefeningen Oefening 23 Een lamp kan beschouwd worden als een zwart lichaam op T 2800 K. Bereken hoeveel energie de lamp in het zichtbare spectrum uitstraalt. Hoeveel procent van de totale energie is dat? Zelfde opgave voor de zon, als zwart lichaam op 5800 K beschouwd. Oplossing. De lamp We bepalen eerst de totale hoeveelheid geëmitteerde energie per oppervlakte- en tijdseenheid: E b σt 4 5, W/(m 2 K 4 ) (2800 K) 4 3,49 MW/m 2 40

47 Zichtbaar licht ligt binnen 0,38 µm tot 0,76 µm. We vermenigvuldigen dit met de temperatuur en bekomen als interval 064 µm K tot 228 µm K. We kunnen nu de tabel uit het bundeltje op bladzijde 27 gebruiken. Merk op dat we gebruik moeten maken van interpolatie. Voor de lagere limiet vinden we 9,4 0 4 en voor de hogere limiet 0,088. Het verschil tussen de hoge en de lage limiet is nu: E b,λ2 E b,λ (0,088 9,4 0 4 ) 3,49 MW/m 2 0,304 MW Het percentage energie dat in het zichtbare spectrum door de lamp wordt uitgestraald wordt nu gegeven door: E b,λ2 E b,λ 0,304 MW E b 3,49 MW/m 2 8,7 % We merken op dat dit een heel laag percentage is. Dit komt overeen met de werkelijkheid: gloeilampen zijn lichtgevende elektrische vuurtjes. Het is dus met reden dat ze vervangen worden door zuinigere lampen! 2. De zon We bepalen eerst de totale hoeveelheid geëmitteerde energie per oppervlakte- en tijdseenheid: E b σt 4 5, W/(m 2 K 4 ) (5800 K) 4 64,2 MW/m 2 Zichtbaar licht ligt binnen 0,38 µm tot 0,76 µm. We vermenigvuldigen dit met de temperatuur en bekomen als interval 2204 µm K tot 4408 µm K. We kunnen nu de tabel uit het bundeltje op bladzijde 27 gebruiken. Merk op dat we gebruik moeten maken van interpolatie. Voor de lagere limiet vinden we 0,02 en voor de hogere limiet 0,55. Het verschil tussen de hoge en de lage limiet is nu: E b,λ2 E b,λ (0,55 0,2) 64,2 MW/m 2 27,6 MW Het percentage energie dat in het zichtbare spectrum door de zon wordt uitgestraald wordt nu gegeven door: E b,λ2 E b,λ 27,6 MW E b 64,2 MW/m 2 43 % 3.5 Straling tussen zwarte oppervlakken Q 2 (E b, E b,2 )A A A A 2 cos ϑ cos ϑ 2 da πr 2 2 da (E b, E b,2 )A F 2 (E b, E b,2 )A 2 F 2 E b, A F 2 E b,2 A 2 F 2 4

48 eigenschappen: wederkerigheid ingesloten oppervlakken: A F 2 A 2 F 2 F i i 3.6 Straling tussen grijze oppervlakken totale uitstraling J: straling die het oppervlak verlaat J ρg + εe b totale bestraling G: de totale hoeveelheid stralingswarmte die per tijdseenheid en per oppervlakte-eenheid invalt op dat oppervlak netto warmteoverdracht: q A J G als τ 0: q A εe b ρ αj ρ als ook α ε (thermodynamisch evenwicht): vb. q εa ρ (E b J) R th ρ εa 42

49 3.7 Oefeningen Oefening 24 Oppervlakken, 2 en 3 staan op resp. 420 K, 300 K en 600 K. Alle oppervlakken zijn zwarte stralers. Bepaal de netto warmteoverdracht tussen oppervlak en 2. Oplossing We bepalen eerst de geometrie van het probleem. G 2 G (,3) 2 G 3 2 A F 2 A (,3) F (,3) 2 A 3 F 3 2 We beginnen met de oppervlakken van de vlakken te berekenen. A 5 m 2 A (,3) 5 m 2 A 3 0 m 2 We bepalen nu de geometrische zichtfactoren. Hiervoor bepalen we de verhoudingen tussen de lengte en breedte van elk vlak. Via de graek op bladzijde 29 van het bundeltje vinden we dan de zichtfactoren. L (,3) W 0,6 L 3 W 0,4 L 2 W 0,8 F (,3) 2 0,25 F 3 2 0,30 43