Presentatie Wiskunde Escher

Transcriptie

1 Presentatie Wiskunde Escher Presentatie door M woorden 14 januari ,8 9 keer beoordeeld Vak Wiskunde Maurits Cornelis Escher Goeiemorgen! Iedereen heeft het waarschijnlijk wel eens meegemaakt: je bent naar een afbeelding aan het kijken waar er gezichtsbedrog in is verwerkt. En plots vraag je je af hoe het mogelijk is dat we deze afbeeldingen op een bepaalde manier kunnen interpreteren. Wel, wij zullen jullie hierop een antwoord proberen te geven. Maurits Cornelis Escher was een persoon die in zijn kunstwerken graag met gezichtsbedrog speelde. Maar natuurlijk zouden wij dit onderwerp niet gekozen hebben als er geen wiskundige verklaring mogelijk was voor zijn werken. Eerst even kort overlopen wat jullie vandaag allemaal zullen horen. Eerst zullen we kort even vertellen wie Escher eigenlijk precies is. Daarna komen jullie te weten wat gezichtsbedrog is en wat de oorzaken hiervan zijn. Dan zullen we even bekijken hoe Escher zijn kunst maakte en zullen we enkele wiskundige principes wat dichterbij bekijken. Daarna is het aan jullie om eens het creatiefste uit jezelf te halen en om af te sluiten zullen we dan even alles op een rijtje zetten. Dus eerst even iets zeggen over Escher. Maurits Cornelis Escher was een Nederlandse kunstenaar, die was geboren op 17 juni 1898 in Leeuwarden en hij stierf op 27 maart 1972 in Hilversum. Hij is bekend om zijn houtsneden, houtgravures en lithografieën, waarin hij vaak speelde met wiskundige principes. Lithografieën zijn grafische technieken gemaakt uit vet en drukinkt. Hij is onder andere zo bekend geworden omdat zijn werk uniek is. Hij werd geïnspireerd door de Islamitische kunst en de reizen die hij maakte. Pas in 1929 maakte Escher zijn eerste lithografie en in 1931 de eerste houtgravure. Je zou verwachten dat Escher een wiskundig persoon was, maar eigenlijk is dit helemaal niet zo. Hij verwerkte wel wiskundige principes in zijn werken. Daarom kreeg hij de bijnaam de wiskunstenaar. ( Wat is gezichtsbedrog? Het woordenboek heeft als definitie dat gezichtsbedrog of een optische illusie iets is wat het oog waarneemt, dat door de hersenen anders geïnterpreteerd wordt. Er zijn drie mogelijke oorzaken. Ten eerste kan het gaan om optische illusies. Dit wordt veroorzaakt door eigenschappen van licht, bijvoorbeeld denken dat de zon s avonds echt rood is. Als tweede heb je fysiologische illusies. Die zijn gebaseerd op eigenschappen van het menselijk oog. Ten slotte heb je ook nog psychologische illusies, waarbij de hersenen de signalen verkeerd interpreteren. Hier zie je een paar voorbeelden. (1) Het ziet eruit als een spiraal, maar eigenlijk zijn het allemaal cirkels. (2) Bij de volgende afbeelding zijn er alleen maar rechte lijnen, alhoewel dat je er misschien in het begin wel eens anders zou over denken. (3) Bij de volgende foto zou je misschien wel eens denken dat het linker bolletje groter is dan het rechter, maar je Pagina 1 van 6

2 moet eens goed kijken. Dan zal je hopelijk wel zien dat ze even groot zijn. (4) Probeer hier maar eens de zwarte bolletjes te tellen. (5) Hier moet je eens de hele tijd naar het kruisje kijken. (6) Als laatste voorbeeld mogen jullie eens 20 seconden naar deze figuur kijken Op welke manier maakt Escher zijn kunst? In de beoefening van de grafische technieken ging Escher zover, dat hij de techniek het belangrijkste ging vinden. De keuze van het onderwerp was vaak ondergeschikt aan de techniek. Escher had een sterke voorkeur voor technieken waarbij men met een zwart vlak begint en zwart weghaalt. In het boek over Escher worden zijn werken dan ook niet chronologisch gerangschikt, maar in een aantal karakteristieke onderwerpen. Bij elke soort geven we enkele voorbeelden met de nodige info over de prent om hem te begrijpen. Eerst en vooral hebben we de regelmatige vlakverdeling. Met regelmatige vlakvulling bedoelt men een prent die volledig gevuld is met gelijkvormige figuurtjes die elkaar begrenzen zonder dat er open stukken overblijven. Dit onderwerp kunnen we onderverdelen in verschillende categorieën. Soms transformeren de figuurtjes (bijvoorbeeld van vissen in vogels, van dag naar nacht ). Zo heb je hier bijvoorbeeld Ruiter en Zwanen. Bij deze kunstwerken wilde Escher symmetrie op een plat vlak in praktijk brengen. Daarbij moest hij rekening houden met de drie kristallografische grondbeginselen: verschuiving(translatie), het draaien om assen(rotatie) en de glijspiegeling( reflexie). Bij het kunstwerk Ruiters zie je dat de lichte ruiters spiegelbeelden zijn van de donkere. Hier hebben we het kunstwerk Dag en nacht. Hierbij gaat dag over in nacht, het landschap in dag is een spiegelbeeld van het landschap in nacht. Dan hebben we het kunstwerk Lucht en water. Hier zien we dat de vissen langzaam aan overgaan naar vogels. Dit komt omdat we vliegen associëren met lucht, dus zijn de vier witte vissen die de zwarte vogel omringen voor ons lucht. Op dezelfde manier doet zwemmen ons aan water denken, dus worden de vier zwarte vogels die de vis omringen, het water waarin hij zwemt. Ten slotte zien jullie hier Zon en maan. Dit is een heel speciale tekening. Wanneer je je focust op de blauwe vissen, is het net alsof het dag is en wanneer je je focust op de witte, rode vissen, is het net nacht. Dit komt door het feit dat wanneer we ons focussen op iets we de rest als achtergrond beschouwen. Daarna hebben we de oneindigheidsbenaderingen. Dit is een regelmatige vlakvulling, maar aan de randen of in het midden worden de afgebeelde figuurtjes steeds kleiner, zodat er uiteindelijk schijnbaar oneindig veel figuurtjes afgebeeld zijn. Zo hebben we bijvoorbeeld de kunstwerken Baloppervlak met vissen en Kleiner en kleiner. Dit is een regelmatige vlakvulling, maar in het midden worden de afgebeelde figuurtjes steeds kleiner, zodat er uiteindelijk schijnbaar oneindig veel figuurtjes afgebeeld zijn. Dan hebben we de overgang van plat naar ruimtelijk. Er is een verband tussen de tweedimensionale figuren van een regelmatig patroon en de individuele vrijheid van driedimensionale wezens die zich vrij in de ruimte kunnen bewegen. Als voorbeeld zullen we eens kijken naar het kunstwerk Reptielen. Dit stelt een levensloop van een reptiel voor. In het midden zie je een schrift, waarop je een mozaïek ziet van reptielvormige figuren. Een van hen heeft er blijkbaar genoeg van om de hele tijd plat te liggen. Dus kruipt het dier uit de tekening en begeeft zich in het vrije leven. Hij krijgt hierdoor een driedimensionale structuur. Het klimt op een boek en werkt zich, langs de helling van een tekendriehoek, moeizaam op naar het hoogtepunt van zijn bestaan. Blijkbaar is hij heel vermoeid, want hij blaast even uit en gaat dan opnieuw bergafwaarts langs een asbak terug naar de vlakte, waar hij zich opnieuw bij zijn soortgenoten voegt. Zo verliest het dier zijn driedimensionale structuur opnieuw. Dan hebben we ook het kunstwerk Cirkels. Rechtsboven komt een jongen heel vrolijk uit zijn huis gelopen. Pagina 2 van 6

3 Misschien heeft hij de lotto gewonnen. Terwijl hij naar beneden loopt, verliest hij zijn ruimtelijkheid en wordt de persoon als het ware een vlakke figuur. We gaan over naar de onregelmatige vlakvulling. De volgende afbeelding bestaat uit figuren die ieder verschillend zijn. Hier zien we Mosaic II. De rechthoekigheid is de enige regelmaat die hier nog aanwezig is. Alle figuren zijn anders. Nu komen we bij de tweede hoofdcategorie: de onbegrensde ruimte. Als voorbeeld zien jullie hier nu de Kubische ruimteverdeling. Rechthoekige balken die elkaar snijden verdelen elkaar in stukken van gelijke lengte, die elk de ribbe zijn van een kubus. Zo wordt de ruimte tot in het oneindige gevuld met kubussen van dezelfde inhoud. Dan zien jullie de Band van Mobius II. Dat is een voorbeeld van Ruimtelijke kringen en spiralen. Een gesloten lint heeft normaal gezien twee afzonderlijke oppervlakken: een in de binnenkant en een in de buitenkant van het lint. Maar hier lopen de rode mieren elkaar achterna en betreden ze zowel de voorkant als de achterkant. Het lint heeft dus maar een oppervlak. Daarna komen we bij de spiegelingen. Hier zijn er twee afbeeldingen. De eerste heet Modderplas. We zien in de modderplas de zon en de bomen. Hieruit kun je zien dat er geen wolken aanwezig zijn. Ook zie je de sporen van twee vrachtauto s, fietsen en voetgangers. Ook hebben we de Hand met spiegelende bol. De kunstenaar, Escher, houdt de bol vast in zijn hand en ziet zichzelf en zijn omgeving in de bol. Hijzelf staat wel centraal, hoe hij zich ook draait, hij blijft het middelpunt. Hij vindt zichzelf heel erg belangrijk. Dan gaan we even kijken naar de afbeelding Hol en bol. Naast elkaar staan drie huisjes. Er zijn twee fluitspelende jongens. Links kijkt de ene door een raam neer op het dak van het middelste huisje; als hij door het raam klimt, kan hij op het dak gaan staan. Springt hij vervolgens aan de voorkant naar beneden, dan komt hij een verdieping lager op de donkere vloer voor het huisje terecht. Maar mocht de rechterfluitspeler uit zijn raam willen kruipen, dan is er voor hem jammer genoeg geen vloer, maar een oneindige afgrond. Dan gaan we over naar de polyeders. Hier zien we de Dubbele planetoïde. Twee regelmatige viervlakken doordringen elkaar en zweven als een planetoïde in de ruimte. De lichtgekleurde wordt bewoond door mensen. Dit zie je aan de huizen. Het witte gedeelte is natuurlijk gebleven, dit zie je aan de dieren die hier leven. Beide lichamen vormen samen een geheel, maar zij kennen elkaar niet. Vervolgens zien we hier de Relativiteit. Dit is een voorbeeld van de relativiteiten. Drie zwaartekrachten werken hier loodrecht op elkaar. De bewoners van twee verschillende werelden kunnen niet op eenzelfde vloer lopen, maar wel samen eenzelfde trap gebruiken. Bijvoorbeeld: op de bovenste trap bewegen twee personen naast elkaar in dezelfde richting. Toch daalt de ene naar beneden en gaat de andere naar boven. Contact tussen beiden is uitgesloten, omdat ze elk in een verschillende wereld leven. Dan gaan we over naar misschien wel het belangrijkste: de prentententoonstelling. Dit is een voorbeeld van een conflict tussen plat en ruimtelijk. Een man kijkt naar een prent waarop hij zelf is afgebeeld. Als je 256 maal inzoomt rond het midden, dan zal je opnieuw de man zien die kijkt naar het schilderij. Als laatste zullen we eens kijken naar de onmogelijke bouwwerken. Een voorbeeld hiervan is Klimmen en dalen. Op deze prent lopen mensen op een soort wenteltrap met maar één wenteling, maar waarvan begin en einde aan elkaar zijn vastgemaakt, zodat de mensen steeds kunnen klimmen zonder ooit hoger te geraken. Dit is natuurlijk onmogelijk. Nu zullen we eens enkele wiskundige principes van dichtbij bekijken, die we terugvinden in de tekeningen van Escher. In zijn kunst gebruikte Escher immers een hoop wiskundige principes. We hebben er de Pagina 3 van 6

4 belangrijkste uitgekozen, want er zijn er zodanig veel dat we wel een hele dag zouden bezig zijn. Wiskundige principes: Hier zien we het kunstwerk Cirkellimiet III van Escher in dit kunstwerk komt iet uit de niet-euclidische meetkunde voor. Niet- Euclidische meetkunde Om de niet-euclidische meetkunde uit te leggen zullen we eerst eens blikken op de euclidische meetkunde. De euclidische meetkunde is een wiskundig systeem dat wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië. Euclides schreef een boek de Elementen, waarin verscheidene basisconcepten van de huidige wiskunde beschreven. In zijn eerste boek worden 23 definities,5 axioma s en 5postulaten weergegeven. Uit elk van deze worden zogenaamde proposities afgeleid. Het vijfde postulaat luidt als volgt. o Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides (het parallellenpostulaat) niet wordt aangenomen. Onthoud dat het hyperbolische postulaat voor alsnog een postulaat is, en dat deze geen bewijs behoeft (en dat al van het onderstaande dan ook geen bewijs is). Er zijn in deze afbeelding de oneindige lijnen AB, BC en DE getekend. De lijn BC snijdt lijn AB; volgens Euclides definitie zijn deze dan ook niet parallel. AB is echter wel parallel aan DE, omdat deze lijnen elkaar niet snijden, wanneer tot in het oneindige verlengd. Maar, omdat BC niet DE snijdt, betekent dat dat tevens BC en DE parallel zijn. Zie hier, een lijn DE die zowel parallel is aan BC als aan AB, terwijl de ene parallel AB niet gelijk is aan C omdat deze twee niet parallel aan elkaar zijn. Maar hoe weten we dat bijvoorbeeld AB nooit lijn DE zal raken, zelfs wanneer tot in het oneindige verlengd? Immers, wanneer men oneindige lijnen maakt met de horizon bestaat er de mogelijkheid dat de cirkels waaruit ze bestaan (zie tweede onderstaande afbeelding) elkaar weliswaar niet in de schijf snijden, maar wellicht wel buiten deze schijf (zoals in de onderstaande figuur cirkels c en d elkaar buiten schijf s snijden, maar niet binnen deze schijf). Je kan dus zeggen dat Escher zijn tekening een postulaat van Euclides ontkracht. Formule van Euler, platonische veelvlakken Dan gaan we over naar de formule van Euler in platonische veelvlakken. Een platonisch veelvlak is een regelmatig veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Er bestaan 5 verschillende platonische lichamen: een tetraëder of viervlak, een hexaëder of beter bekend als een kubus, een achtvlak, twaalfvlak en een twintigvlak. Euler heeft de formule gevonden voor platonische lichamen. Die formule geeft het verband weer tussen het aantal zijvlakken, hoekpunten en het aantal ribben in een platonisch lichaam: h-r+z=2. Dus het aantal hoekpunten aantal ribben + aantal zijvlakken = 2. We gaan Pagina 4 van 6

5 eens kijken als deze formule ook klopt in een kubus, want je weet natuurlijk nooit dat die man zich eens heeft vergist. Bewijs: Gegeven: Schlegeldiagram (platgeslagen kubus)van kubus: Te bewijzen: aantal hoekpunten aantal ribben + aantal zijvlakken = 2 Bewijs 1: Stel dat je in de kubus 'lijnen' bijtekent: h-(r+1) + (z+1) = 2 h - r - 1+ z+1 = 2 h r + z = 2 Bewijs 2: Stel dat je in de kubus 'lijnen' weglaat h-(r-1) + (z-1) = 2 h r +1+z - 1=2 h r + z = 2 Conclusie: er verandert niets. Er blijft een driehoek over op het einde--> 3-3+2=2 Deze formule werd dus uitgevonden door ene Leonhard Euler, maar wat heeft Escher hier dan mee te maken? Escher was geen wiskundige, sterker nog, hij begreep er bijna niks van. Hij kon wel heel goed tekenen. Hij was geïnteresseerd in de structuren van de dingen die hij wilde afbeelden. In een aantal prenten verwerkte Escher de 5 platonische lichamen. Hij maakte hiermee prenten met gezichtsbedrog. Hij beeldde 2d dingen af die eruit zien als 3d afbeeldingen. Hij zette hier dingen in waaraan dan de mensen kunnen zien dat de afbeelding niet als 3d is bedoeld. Ook tekende hij figuren die je alleen kon tekenen maar niet kon bouwen. Meetkunde op de bol Regelmatige vlakvullingen Cartografie Oppervlakken volgens Gauss De Riemann schijf Coxeter Gulden snede Cartesische meetkunde Experiment We laten de leerlingen zien hoe ze zelf aan vlakvulling moeten doen. Pagina 5 van 6

6 Bronnen: nde_web.pdf Pagina 6 van 6