Form follows Force. Robert-Jan Kustermans Docenten: Jan Engels, Tjalling Homans en Wim Kamerling Definitief rapport,

Transcriptie

1 Form foows Force Robert-Jan Kustermans Docenten: Jan Enges, Tjaing Homans en Wim Kamering Definitief rapport,

2 0. Voorwoord en Leeswijzer A sinds de oudheid maken mensen gebruik van boogconstructies. Weicht in eerste instantie omdat men er achter kwam dat bogen hee sterk zijn bij het maken van overspanningen, maar bogen hebben ook een bepaade esthetische waarde. Architecten as Caatrava, Candea en Saarinen weten goed gebruik te maken van de eegantie van bogen. In hun architectuur ijken de vorm en constructie samen te smeten in evenwichtige architectuur. Mijn fascinatie voor de gebouwen van deze architecten is het startpunt van dit onderzoek. Ik za hierin niet aeen de architectonische kwaiteiten van de boog aantonen, maar juist ook de constructieve kant, want een boog zou kunnen geden as utieme constructievorm. Voor iedere kracht is er een boog af te eiden, zodanig dat er geen momenten in de constructie optreden. En momenten zijn nu juist precies de krachten waar constructeurs het meeste rekening mee moeten houden: probeer maar eens een stok te breken enke door te drukken of te trekken: door hem te buigen za dit vee eenvoudiger gaan. Omdat architectuur en constructie zo dicht bij ekaar iggen bij de keuze voor een boogconstructie heeft dit boekwerk weicht een wat ongebruikeijke indeing. Ik za van verschiende case-studies zowe architectonische as constructieve kwaiteiten benoemen. Ik maak dit boekwerk om af te studeren as architect, daarom vind ik het beangrijk dat het boek in eerste instantie aantrekkeijk is voor andere architecten. Je zut as je dit boekje doorbadert in eerste instantie weinig berekeningen vinden. Architectuur van bogen hoort naar mijn mening echter niet os te staan van haar constructie, daarom za je op verschiende paatsen in dit boekje vouwbaden vinden, waar op de binnenkant de constructieve en mathematische kwaiteiten worden geanayseerd en benoemd. De eerste hoofdstukken zijn een ineiding op constructieve en architectonische kwaiteiten van bogen. Feiteijk zouden deze theory

3 Verkaring etters in grafieken A Linker opegging. B Rechter opegging. C Scharnierpunt. c Constante in functies. f(x) Functie van de boog, afhankeijk van x. In m. F Puntast op een constructie in kn. F Ha Horizontae reactiekracht in punt a in kn. F Vb Verticae reactiekracht in punt b in kn. h Hoogte in m. Lengte in m. M Moment in knm. n Constante in machtsfuncties zonder eenheid. r Rustende beasting in kn/m. q Beasting werkende over een bepaade engte in kn/m. q(x) Functie van de beasting, afhankeijk van x. In kn/m. Q Resutante van q over een bepaade engte in kn/m. Kan ook geschreven worden as int(q). q max Maximae beasting. Van beang om de stijheid te bepaen. V Variabee zonder eenheid. x Horizintae variabee in m. y Verticae variabee in m. Meesta afhankeijk van x. z Zwaartepunt van een beasting in m. Q q z F qmax Verkaring etters in functies O Oppervakte in m Soorteijk gewicht in kn/m 3 x C y h FHa A B FHb 3a theory FVa Figuur Verkaring van gebruikte etters in dit boek. FVb theory 3b

4 0. Inhoudsopgave hoofdstukken naast ekaar kunnen iggen, voor het overzicht heb ik besoten eerst de architectonische kant, en daarna de constructieve kant te behandeen. Om de mechanica van een boog te begrijpen is behoorijk wat kennis van wiskunde en mechanica nodig. Deze za in het tweede hoofdstuk behanded worden. De wiskunde en mechanica die nodig is voor het doorrekenen van een boog is hier stap voor stap uitgewerkt. Rekenreges zijn as agemeen bekende kennis beschouwd: ik za bijvoorbeed geen basisreges voor integreren uiteggen, omdat dit onderzoek gericht is op de architectuur van de boog, het boekje moet geen handeiding worden om te eren integreren. Na de architectonische en constructieve ineiding behande ik een aanta case-studies die mij inspireren. Sommigen za ik wat dieper behandeen dan anderen. Het doe van het boekje is om uiteindeijk in dee 4 concusies te trekken uit de eerdere hoofdstukken. Van daaruit hoop ik door te kunnen gaan in een eigen zoektocht naar de ideae boog, waar de vorm van de boog haar krachten weerspieget. In een ideae boog bevinden zich dus in principe nooit momenten of dwarskrachten. Tot sot nog een korte uiteg over hoe er in dit onderzoek gebruik wordt gemaakt van een boog. In formues van de boog wordt steeds van een aanta variabeen en constanten gebruik gemaakt. Voora in hoofdstuk 1 zijn deze nog niet kwantitatief. Wat de etters beteken staat binnen in dit vouwbad uitgeegd. Hierin vind je ook een grafiek van een standaardboog, met aangegeven wat ik bijvoorbeed bedoe met de waarden x, y, h,, etc. 0. Voorwoord en Leeswijzer. 1. Architectonische ineiding Inspiratie voor dit onderzoek Candea, Saarinen en Caatrava 1.. Technische onderzoek 1..1 Nut van een boog.. Verschiende soorten bogen 5..3 Basiskennis statica 7..4 Berekeningen voor een boog Berekeningen bij een kettingijn Berekeningen voor een (co)sinus Berekeningen voor een cirkeboog 5..8 Beastingen combineren Massa van de boog Veranderijke beasting De ideae boog Case studies Seectie van de case studies Saarinen: Jefferson Expension Memoria Caatrava: Reggio Emiia Bridges Eiffe: Ponte Garabit Wikinson Eyre: Gateshead Miennium Bridge Caatrava: Campo Voantin Footbridge Chan: Jusceino Kubitschek Bridge Saarinen: David S. Ingas Hockey Rink Wiiams: LAX theme buiding Piano: Padre Pio Pigrimage Church Saarinen: TWA Termina Caatrava: Ciudad de as Artes y de as Ciencias Niemeyer: Paacio da Avorada Kort Samengevat theory theory 4

5 4. Concusies Ontwerpopgave Ontwerpopgave Scheveningen en de Pier Cruise termina Opgave Ontwerp Berekeningen voor het ontwerp Gevog a-symmetrische vorm Constructief schema Beastingen Berekeningen Concusie Refectie Bronnen Bibiografie Verantwoording afbeedingen theory

6 6

7 7 Dee 1 Architectonische ineiding

8 1.1 Inspiratie voor dit onderzoek Bogen worden a toegepast sinds de Romeinen. Doordat bogen enke op druk beast zijn, konden zij grote overspanningen maken uit enke stenen. In het begin gebruikten ze deze voora voor civiee bouwwerken as bruggen en aquaducten (afb ). Voor vee van deze overspanningen hadden ze een serie bogen nodig. Dit evert as extra voordee op dat de spatkracht van de ene boog wordt opgeheven door de spatkracht van de vogende. Buiten bruggen zijn de meest bekende vroege voorbeeden van bogen de triomfbogen. Deze werden door de Romeinen gebruikt om egers te eren as ze een vedsag gewonnen hadden. Ook in andere bouwwerken, zoas in het coosseum (afb. 1.1.) kwam de boog terug. De meeste bogen die door de jaren heen zijn gemaakt zijn gemaakt omdat de makers er grote overspanningen mee konden reaiseren. Ook na het Romeinse tijdperk vond de boog zijn toepassing in bruggen. Abraham Darby maakte as één van de eersten een boogbrug in ijzer. De Iron Bridge in Shroshire (bij Birmingham) werd op nieuwjaarsdag in 1781 geopend (afb ) ter vervanging van een veer. Ook in andere civietechnische gebouwen as stationsgebouwen die overkapt moesten worden beken bogen functionee. Aan het eind van de 19e eeuw werd architect Margadant aangenomen bij de Hoandsche IJzeren Spoorweg Maatschappij, waarvoor hij verschiende stations ontwierp (Bramer, 01). De meest bekende nog bestaande zijn station Den Haag Hoands Spoor (afb ) en Haarem (afb ). In paats van series bogen naast ekaar worden in stations series bogen achter ekaar gepaatst, zodat treinen door het station heen kunnen. Bij deze bogen ontstaan echter we spatkrachten, die vaak opgeost worden door een kabe tussen beide uiteinden (afb en 1.1.5). Een iets ouder voorbeed van een civietechnisch gebouw is het Crysta Paace, dat in 1850 werd gebouwd voor de weredtentoonsteing in Londen. Ook hier was er een vraag naar een grote ha, die Paxton overspande met een serie gietijzeren bogen (afb ). theory 8

9 9 theory Afbeeding 1.1.1: aquaduct bij Nimes, 19 v. Chr. Afbeeding 1.1.: coosseum in Rome, 1e eeuw n. Chr. Afbeeding 1.1.3: Iron Bridge, Shropshire, Afbeeding 1.1.4: Station Hoands Spoor, Afbeeding 1.1.5: Station Haarem, Afbeeding 1.1.6: Crysta Paace, 1951.

10 De Spaanse architect Gaudi maakte ook vee gebruik van bogen. Zijn architectuur is een stij apart, met vee organische vormen. Hij beschouwde natuurijke vormen en geometrie as hup bij zijn ontwerpen (Crippa, 010). Voor zijn constructie gebruikte hij natuurijke vormen: de meest bekende vorm is die van de Sagrada Famiia (afb en 1.1.8), afgeeid van een draadmode. Ook in eerdere ontwerpen maakte hij gebruik van series kettingijnen. In het Coegio Terasiano uit 1888 (afb ) herken je de sacrae sfeer die de serie bogen oproept. De sfeer onder de kettingijnbogen in Casa Batto (afb ) is totaa anders: Erg strak en zakeijk. De boogconstructies houden niet op bij Gaudi: taoze andere architecten en constructeurs maakten nog gebruik van de boog. De mooiste voorbeeden zijn wat mij betreft van de handen van Caatrava en zijn inspiratiebronnen Candea (afb ) en Saarinen (afb ). Een aanta van hun gebouwen za bij de case-studies terugkomen. Opvaend - en in mijn ogen niet gehee toevaig - is dat a deze drie architecten gefascineerd zijn door het krachtenspe in een gebouw. Ik denk dat de vormen die antwoord geven op dit krachtenspe essentiee zijn voor de schoonheid van hun architectuur. theory 10

11 11 theory Afbeeding 1.1.7: Draadmode Sagrada Famiia, 1883 Afbeeding 1.1.8: Sagrada Famiia, Afbeeding 1.1.9: Coegio Terasiano, Afbeeding : Casa Batto, Afbeeding :Oceanographic, 1997 Afbeeding 1.1.1: Kresge auditorium,

12 1. Candea, Saarinen en Caatrava 1..0 Inspiratiebronnen De drie architecten die mij het meest hebben geïnspireerd om onderzoek te gaan doen naar boogconstructies zijn Feix Candea, Eero Saarinen en Santiago Caatrava. Zij maken boogstructuren die een bepaade ogica in hun vorm dragen die astig te benoemen is. Deze architecten bijken deze ogica ook voedig bewust in hun architectuur te hebben gestopt. Zij zochten in hun ontwerp naar de schoonheid van de mathematische precisie. Saarinen en Candea voorop, as voorbeeden voor Caatrava, die zo geïnspireerd was door Candea dat hij deze in 1994 uitnodigde om bij te dragen aan zijn Ciudad de as artes y de as ciencias in Vaencia (Anda Aanís, 008). [Opmerking: : dit hee hoofdstuk moet nog een keer goed nageezen worden: wat is waar, wat is reevant?] 1..1 Feix Candea Feix Candea werd in 1910 in Madrid geboren. Hij groeide hier op en genoot zijn opeiding tot architect. Kort na zijn afstuderen in 1935 brak in Spanje een burgeroorog uit, waarna hij as repubikein gevangen werd gezet in een Frans concentratiekamp. Candea had in 1939 het geuk as één van de weinigen te worden geëvacueerd naar Mexico (Norderson, 008). In 1941 nam hij de Mexicaanse nationaiteit aan, eerde zichzef de kunst van de civiee techniek en startte hier zijn carrière op. (Anda Aanís, 008). Hij werd bekend om zijn schaastructuren in gewapend beton, die vaak niet dikker dan 4 cm waren (afb ). Dit bereikte hij door zijn ontwerpen zó te engineeren dat de vorm antwoordde aan het krachtenspe in zijn ontwerp. Hij maakte weiswaar geen boogconstructies in de vorm waarop mijn onderzoek gebaseerd is, hij was we bezig met de reatie tussen de vorm en het krachtenspe. Dit gegeven antwoordt we voedig aan de tite van mijn onderzoek: Form foows Force. Candea was sterk gefascineerd van de hyperboische parabooïde (afb. 1..6): vrijwe a zijn structuren zijn op dit dubbe theory 1

13 13 theory Afbeeding 1..1: Oceanographic, 1997 Afbeeding 1..: Lomas de Cuernavaca Chape, 1959 Afbeeding 1..3: Santa Monica Church, Afbeeding 1..4: Lomas de Cuernavaca Chape, 1959 Afbeeding 1..5: Los Manantiaes Restaurant, 1958 Afbeeding 1..6: Hyperboische Parabooide (hypar)

14 gecurfde vak gebaseerd. De reden dat hij gefascineerd was van juist deze vorm egt hij in het vogende citaat uit:...but of a the shapes we can give to a she, the easiest and the most practica to buid is the hyperboic parabooid. [...] it is the ony warped surface whose equation is simpe enough to permit stress cacuation by eementary mathematics. (Candea, 1963). Hieruit vat op te maken dat Candea niet op zoek was naar een ideae vorm, maar naar een berekenbare vorm, die hierdoor dusdanig voorspebaar was dat Candea hem ontzettend sank kon uitvoeren. Vogens de Anda Aanís (008:7) is het principe dat het krachtenspe de vorm bepaade erg beangrijk voor Candea: hij kraakte het ontwerp van Utzon voor het Sidney Opera House af, omdat hier achter de schaastructuur vee te vee constructie igt om aan de wi van de architect te vodoen. Op de vraag wat de basis van de vorm zou moeten zijn, het krachtenspe of de wi van de architect, zou hij zeker antwoorden dat het krachtenspe de doorsag moet geven. 1.. Eero Saarinen As zoon van een bekende Finse architect was de stap voor Eero Saarinen om ook architect te worden niet zo groot. Hij heeft nog een kort uitstapje gemaakt naar een kunstacademie, maar a sne besoot hij in de voetsporen van zijn vader te treden. Hij werd net as Candea in 1910 geboren, en emigreerde ook uit Europa naar Amerika, waar hij de rest van zijn even werkzaam was. Verschi tussen Saarinen en Candea is dat Saarinen zijn krachtenspe niet voedig met de sankheid van de egae vorm uit, maar juist ook de massieve constructie wi aten zien. De schoonheid die Candea aan de constructieve juistheid van zijn schaen toeschrijft, schrijft Saarinen toe aan de expressie van de zichtbare constructie. In zijn ontwerpen voor bijvoorbeed de David S. Ingas Hockey Rink (afb en 1..8) en de TWA Termina (afb en 1..10) is de constructie expres zichtbaar gemaakt. En toch is deze ook in een zekere zin geoptimaiseerd: de bogen en de constructie daartussen (die voora beast za zijn op trek) zijn theory 14

15 immers vormgegeven met kettingijnen, waardoor er aeen door veranderijke beasting momenten in optreden. Vogens Serraino (007) was het Saarinens doe om de functie van een bouwwerk tot uitdrukking te aten komen in haar constructie. Dit roept direct de vraag op of constructie een functie kan uiten: in de David S. Ingas Hockey Rink zou je kunnen zeggen dat de grote overspanning die Saarinen maakt nodig is voor de functie. Maar uit de constructie dan IJshockey zaa of is de constructie gemaakt om de zaa mogeijk te maken, met andere woorden: vertet de constructie we direct iets over de functie, of is de constructie vormgegeven om de functie te faciiteren? Ik denk dat het tweede geva waarheid is, en dat is ook de kritiek die Candea op zijn tijdgenoten uit: zij wensen een vorm, en de constructie wordt daar ondergeschikt aan (Anda Aanís, 008). Vogens geschriften en uitspraken van Saarinen speet het krach- 15 theory Afbeeding 1..7: David S. Ingas Hockey Rink, Afbeeding 1..8: Idem, interieur Afbeeding 1..9: TWA Termina, Afbeeding 1..10: idem, interieur, samenkomst van constructie

16 tenspe bij hem echter we een doorsaggevende ro (Saarinen, 1959): de vorm van de ha is immers gebaseerd op de krachten die in de constructie paatsvinden. Vogens mij suit Saarinen redeijk aan bij Candea s zoektocht naar een sanke vorm, die wiskundig afhankeijk is van het krachtenspe. Candea verdeet het krachtenspe echter over de hee constructie, waar Saarinen de sankheid van de constructie tussen zware constructie-eementen paatst. Beide benadering hebben materiaabesparing tot gevog, de extra potentie bij Saarinen igt er echter in dat de overspanningen vee groter gemaakt kunnen worden. Ook Saarinen heeft een constructieve basis achter zijn ontwerpopvatting iggen, die hij functionee expressionisme noemt (Serraino, 007). Ook aan zijn doe de functie van een bouwwerk door zijn constructie tot uiting te brengen igt de constructie (force) aan de basis van de vorm Santiago Caatrava Net as Candea is Caatrava geboren en opgeeid in Spanje, waar hij ook het grootste dee van zijn ontwerpen gebouwd heeft. Zijn insteek was artistieker dan die van Candea: net as Saarinen is hij begonnen aan een kunstacademie, waar hij sne stopte en opdat hij gefascineerd raakte door een boekje over Le Corubsier overstapte naar architectuur (Jodido, 007). Zijn kunstzinnige insteek vie ook Michae Levin (003) op, die besoot een boek samen te steen met a zijn kunstwerken. Hij beschrijft hierin dat Caatrava - in tegensteing tot Saarinen - zich voedig afzette tegen form foows function. In paats daarvan stet hij form foows form voor, wat Caatrava s kunstzinnige neiging naar een schone vorm benadrukt. Levin beschrijft het proces waarin Caatrava tot zijn vorm komt. Vogens hem begint Caatrava met een wiskundig onderzoek, experimenten naar beweging en integratie van bewegingen in de structuur. Functie is op deze manier ver ondergeschikt aan de afeiding van de vorm. In zijn werk komt dit ook terug: er zijn amper architecten te bedenken theory 16

17 17a theory Boven: afbeedingserie 1..1: studie voor Lyon Airport Station Links: afbeedingserie 1..13: studie voor een brug Rechts: afbeedingserie 1..14: studie voor Aamio brug Afbeedingserie 1..15: Studies van Caatrava naar spanningen in het menseijk ichaam. Met boven: ontwerp voor een tafe. theory 17b

18 17 die zovee bruggen hebben ontworpen as Caatrava. Een brug heeft geen programma, Levin stet dat Caatrava bruggen maakt om geen rekening te hoeven houden met programma. Een beangrijke eigenschap die een brug met dit onderzoek verbindt, is het feit dat een brug per definitie een spe aangaat met de zwaartekracht. Een brug is per definitie een dek dat een overspanning maakt tussen twee paatsen, waarmee zij een antwoord probeert te geven op het technische probeem overspanning (Webster, 1993). Weicht is dit een tweede reden voor Caatrava om gefascineerd van bruggen te zijn: hij noemt zwaartekracht zijn fascinatie (in: Jodido, 007). Tijdens zijn studie in Vaencia raakte Caatrava gefascineerd door de mathematische nauwgezetheid die hij in bepaade historische werken bespeurde (Jodido, 007:7). Hij wist aeen niet wat hij hiermee moest, en besoot zijn architectuurstudie voort te zetten aan de ETH in Zurich, waar hij promoveerde. Verspreid over de ineiding van het boek van Jodido citeert deze uit een interview dat hij voerde met Caatrava. Caatrava merkt in dit interview op weke richting hij in Zürich op is gegaan. Hij is geïnspireerd door de zwaartekracht en wat zij voor de statica betekent. Statica is adus Caatrava een hee vreemd woord, omdat aes potentiee beweging is (in: Jodido, 007:11). Bij vee van zijn projecten gebruikt Caatrava tekeningen van menseijke figuren (afb ), vrijwe atijd zijn aangespannen spieren te zien. Vogens eigen zeggen is hij geïnspireerd door een uitspraak van Micheangeo uit de 15e eeuw: L architettura depende dae membra de uomo, Architectuur hangt samen met het menseijk ichaam (in: Jodido, 007:0). De anaogie die Caatrava hier schept komt overeen met wat hij eerder in het interview noemt: Statica is een vreemd woord, omdat aes potentiee beweging is. Ik ben het met Levin (003) eens dat het menseijk ichaam dat hij tekent weiswaar stistaat, maar in gespannen toestand, kaar om een beweging te gaan maken. Vogens mij is dat waar Caatrava s architectuur over gaat. Enkee van de meest recente ontwerpen van Caatrava saan hierin wat mij betreft door: de potentiee beweging die voor hem zo beangrijk is, vertaat hij meer en meer naar een daadwerkeijk aanwezige beweging. In ciudad de as artes y de as ciencias in Vaencia ( ) bijvoorbeed bouwt hij motoren in de gebouwen, zodat bijvoorbeed de veuges open kunnen. De spanning die in zijn vroegere bouwwerken zit, haat hij daarmee weg. De potentiee beweging, gespannen statische ichamen die zijn architectuur kenmerkten komen in beweging. Hierdoor hoef je je niet meer af te vragen hoe zo n gebouw ooit sti kan bijven staan, dat doet het immers niet meer Ontwerpbenaderingen Het vermoeden dat ik had: dat de schoonheid in de werken van deze drie architecten voortkomt uit het krachtenspe, bijkt vogens critici op deze architecten te koppen. De benaderingen van Afbeeding 1..11: Tekening van menseijk figuur. Deze theory theory 18 tekening is weicht representatief voor hee Caatrava s oevre (Jodido, 007:1)

19 de drie architecten zijn echter verschiend: Candea probeerde zijn schaen door berekeningen zo dun mogeijk te dimentioneren. Saarinen probeerde vogens Serraino (007) de functie te uiten in de constructie, ik ben wat kritisch over of dit kan en kopt. Caatrava probeert de spanningen in het menseijk ichaam te representeren in zijn gebouwen. Hij gebruikt daarbij de kunstzinnige insteek dat hij as architect vormen maakt om de vormen, niet om de functie. De drie architecten zouden vogens mij kort getypeerd kunnen worden in de vogende oneiners: Candea: mathematische minimaisering Saarinen: expressieve constructie Caatrava: potentiëe beweging vormgeven Mijn eigen werkwijze - voora aangetoond in het vogende dee - suit voora aan bij Candea s ontwerpbenadering. De gebouwen die hij hiermee vormgeeft zijn door zijn mathematische benadering hee mooi en sank, maar er mist wat mij betreft ook iets van spanning in. De gebouwen van Saarinen en Caatrava spreken mij wat dat betreft vee meer aan. Voora de spanning die de schuine bogen in de TWA-termina oproepen vind ik gewedige vormen. Na het case-study onderzoek za ik dieper ingaan op mijn ontwerpbenadering wat dit betreft. 19 theory

20 0

21 1 Dee Technisch onderzoek

22 Figuur.1.1: Beastingen met hun momentenijn. Bron: TUDeft. theory

23 .1. Nut van een boog Iedere constructie heeft as doe een bepaade beasting af te dragen. Door deze beasting ontstaan er momenten, dwarskrachten en normaakrachten in de constructie, die ervoor kunnen zorgen dat de constructie bezwijkt. Nu is het zo dat momenten in de grootste mate ervoor zorgen dat een constructie bezwijkt. Dat weet een kind intuïtief a: geef het een potood en vraag het deze te breken, dan gaat hij niet trekken of drukken, maar probeert het deze te breken door het te buigen, door er een moment op te zetten. Iedere soort beasting evert een bepaade momentenijn op (zie fig..1.1). As de vorm van de constructie de vorm van de momentenijn vogt, treedt er in deze constructie geen moment op. Dat is voordeig, want zoas in het voorwoord van dit onderzoek beschreven is een moment het meeste van beang bij het eventuee bezwijken van een constructie. Zoas je hiernaast kan zien is de momentenijn van een q-beasting een boogvorm (fig..1.1). Nu heeft iedere constructie een eigen-beasting in de vorm van een q-beasting, dus wordt het - tenzij er hee grote puntasten op de constructie gezet worden - sne aantrekkeijk om een constructie te maken in een boogvorm. Een tweede groot voordee van een boog is dat in een boog geen trekkrachten ontstaan. Voora voor bogen in steenachtige materiaen is dit nuttig, daar deze materiaen hee secht trekkrachten op kunnen nemen. Door bogen te gebruiken kunnen de fysische eigenschappen van dit soort materiaen dus optimaa benut worden. In deze studie ga ik stapsgewijs onderzoeken hoe het krachtenspe in boogconstructies werkt. Aereerst door krachten op een ichaam te zetten en de vorm van de momentenijnen te onderzoeken. Aan de hand daarvan eid ik de vorm van de boog af van deze krachten. De bogen die hieruit vogen hebben in principe geen massa: dit zijn enke ijntjes. Later in dit hoofdstuk ga ik de bogen massa geven en door de vorm van het eigengewicht 3 theory

24 de vorm van een boog te bepaen. Door dit te doen ontstaat een vicueuze cirke die uiteindeijk tot de ideaavorm eidt bij aeen eigenbeasting. Ik eindig dit hoofdstuk met het paatsen van beastingcombinaties op de bogen: hoe reageert een boog as er behave het eigengewicht ook een puntast of een voerved op gaat rusten. theory 4

25 .. Verschiende soorten bogen Er zijn verschiende boogvormen, en aemaa hebben ze hun eigen voordeen. In de afbeeding hieronder (fig...1) zie je de beangrijkste: van buiten naar binnen de cirkeboog, kettingijn, paraboo en (co)sinus. De rode ijn representeert de cirkeboog. Het grote voordee van deze boogvorm is dat as je deze boog uit verschiende eementen opbouwt, deze eementen aemaa dezefde vorm kunnen hebben. Hierdoor kunnen kosten voor het prefrabriceren van de eementen gedrukt worden en bovendien is dit eenvoudiger op de bouwpaats: ae stukken passen op ekaar. Een nadee van deze boog is dat hij een vaste hoogte heeft, nameijk de heft van de engte. Dit is op te ossen door er een eips van te maken, maar dan veries je het voordee van geijke bouweementen. Ook voor de afdracht van een evenwijdige kracht is de cirkeboog niet ideaa: een cirkeboog vraagt om een radiae, naar het centrum gerichte beasting. Hier kom ik in een ater hoofdstuk op terug. De gee ijn representeert de kettingijn. De kettingijn is precies geijk aan haar eigen momentenijn waardoor er nooit mo- 5 theory Figuur..1: Verschiende boogsoorten. Van buiten naar binnen: Cirkeboog, Kettingijn, Paraboo en Sinusboog.

26 menten in de constructie optreden as er geen andere beasting op de constructie gezet wordt. Een nadee is dat de vorm van een kettingijn astig in formue te voorspeen is as er andere beastingen op gezet worden, maar dat speet aeen bij een zoektocht naar een ideae boogvorm. De kettingijn is in deze zoektocht de enige boogvorm die de momentenijn van haar eigen gewicht representeert, dus in de zoektocht naar de ideae boogvorm za atijd een ingewikkede kettingijnformue besoten zitten. De bauwe ijn is een (kwadratische)paraboo. De paraboo is een ideae vorm bij een constante q-beasting (zie ook fig..1.1). Naar mate er dus een grotere permanente beasting op een constructie komt gaat de boog meer naar deze vorm neigen. Het grote voordee van een paraboovorm is dat deze boogvorm zich eenvoudig aat voorspeen en opschrijven. De aatste ijn heeft de vorm van een sinus. Deze vorm heeft weinig voordeen, behave as je op zoek bent naar een repeterende boog. Ik neem deze boogvorm we mee in dit onderzoek, omdat dit de vierde agemeen bekende boogformue is. theory 6

27 .3. Basiskennis statica Voor de berekeningen in de rest van dit dee en in dee 3 is weinig basiskennis van de statica nodig. Vooropig gaat het onderzoek niet dieper dan het berekenen van een boog zef, met as uitgangspunt dat het moment in een constructie ten gevoge van de eigen beasting 0 is. De kennis die in dit dee en in dee 3 nodig is wordt hier bondig uitgeegd..3.1 Puntast op een eenvoudige bak Om dit te kunnen berekenen is het aereerst beangrijk om de opegreacties te kunnen bepaen. Voor een bak is dit tameijk eenvoudig. In figuur.3.1a zie je een igger die beast is met een puntast. Vogens de derde wet van Newton (F actie =-F reactie ) zorgt deze puntast voor een reactiekracht die even groot is. Deze wordt verdeed over de twee opeggingen. Omdat de puntast in het midden van het ichaam igt is de reactiekracht in beide punten de heft van de puntast (fig..3.1b): F reactie a =F reactie B =-0,5 F actie. In de vogende figuur (.3.a) igt de puntast niet in het midden van de bak. Hier heb je andere middeen nodig om de reactiekrachten te berekenen. Omdat geen van beide opeggingen een moment op kunnen nemen, moet de som van de momenten bij beide opeggingen 0 zijn. Door dit as uitgangspunt te nemen kunnen we de opegreactie van punt B berekenen door het moment om punt A geijk aan 0 te steen: M A = 0 M A = Fz arm FB arm 3 Fz FB = Fz = FB 4 3 Fz FB = 4 F B 7 = 3 F 4 z theory

28 Figuur.3.1 a-c Figuur.3. a-c F F A 1/ 1/ B A 3/4 1/4 B F F 1/F 1/F 1/4F 3/4F 1/4F 3/16F Figuur.3.3 a-c Figuur.3.4 F F1 s F A 1/ 1/4 1/4 B 1/8 F F1 s F 1/F 1/F 1/4F1 1/F 3/4F1 1/8 s F F1 3/4F 1/4F+ 1/8F1 1/8F+ 3/16F1 1/8 1/F 3/4F1 Figuur Krachten, opegreacties en momentenijnen. theory 8

29 De reactiekracht in opegging B is dus 3/4 van de puntast, dan moet vogens de wet van Newton de reactiekracht in opegging A de rest van de reactiekracht everen, dus 1/4 van de puntast (figuur.3.b). Dit werkt hetzefde bij twee puntasten (figuur.3.3a en.3.3b). De berekening staat hieronder uitgewerkt. Op dezefde manier as in geva is de beasting bij opegging A geijk aan de rest van de actiekracht, dus 3/4 F z1 +1/ F z. M A = 0 M A = Fz1 arm + Fz FB arm 3 1 Fz1 + Fz FB = Fz 1 + Fz = FB Fz1 + Fz F = 4 B 3 1 FB = Fz1+ Fz 4.3. Momentenijn Door de hierboven beschreven beastingen ontstaat buiging, en dus een moment in de bak. Dit moment verschit op ieder punt in de bak, en kan weergeven worden met een momentijn. Voor het bepaen van het moment op een bepaad punt in een bak kan een agorithme opgested worden, waar een formue van afgeeid kan worden. Het moment in punt s, op 1/8 van de opegging in het bovenste geva van figuur.3.4 is te berekenen door de bak af te snijden, en naar éen van beide deen te kijken. Het moment is hier geijk aan de kracht maa de arm van iedere kracht in dat onderdee. Hier dus as vogt: 9 theory

30 3 7 M s = Fz FB M s = Fz Fz M s = Fz Fz M s = F z 16 Neem je in paats van 1/8 nu voor de afstand tot opegging A x, dan igt F z 1/ - x van punt x af. Dan krijg je de berekening hieronder: 1 M x = x Fz x FB ( ) 1 M x = x Fz x Fz ( ) 1 1 M x = x Fz x Fz M x = x Fz Hierbij moet we opgemerkt worden dat zodra de snede voorbij de puntast genomen wordt, het inker dee van de berekening komt te vervaen, waardoor de uitkomst (-1/+1/x)F z wordt. De momentenijn die met deze formue gevormd wordt is te zien in afb..3.1c. Voor gevaen en 3 kan de vergeijking op dezefde wijze worden uitgevoerd. Op de vogende pagina vind je de berekening voor de momenten bij x en x 3. Ook bij deze beide reacties gedt dat zodra x zich voorbij de puntasten bevindt, deze niet meer meedoen, en de formue zich beperkt tot het rechterdee: (1/4-1/4x)F z bij geva, en afhankeijk of x aeen F z1 of beide puntasten voorbij is respectieveijk (1/4-1/4x)F z1 -(1/x)F z of (1/4-1/4x) F z1 -(1/-1/x)F z. Beide momentenijnen die deze formues representeren theory 30

31 1 M x = x Fz x FB 4 ( ) 1 M x = x Fz x 4 ( ) 1 Fz 4 1 = 1 1 M x x Fz x Fz M x = x F z M x 3 = x 3 Fz 1 x 3 Fz x 3 FB 4 + ( ) 1 = x ( ) 1 1 Fz1 x3 Fz x3 Fz1 Fz 4 1 = x Fz x Fz x Fz x M x3 = x3 Fz1 x3 Fz 4 zijn te vinden in figuren.3.c en.3.3c Q-ast op een eenvoudige bak De vogende stap is het doorrekenen van dezefde bak met een q-ast. Met de basiskennis die hierboven verkregen is kan dit redeijk eenvoudig. Een q-ast is eigenijk gewoon een oneindig grote serie puntasten over engte. Deze is wordt dus standaard geschreven in de vorm van en kracht over een engte: kn/m. Wi je op de zefde manier as hierboven de opegreacties bepaen, dan moet je dus eerst de q-ast vermenigvudigen met de engte waarover hij werkt:, en daarna met het zwaartepunt. Bij een regematige q-ast igt het zwaartepunt op de heft van de engte waarover hij werkt. Nemen we weer de som van de momenten om opegging A=0 dan wordt de berekening van de opegreactie in punt B as vogt: F z 31 theory

32 M A = 0 M A = q z FB 1 z = 1 q FB = 0 1 FB = q 1 FB = q De totae actiekracht is q, dus de andere heft van de reactiekracht, in punt A is 1/q: hetzefde as de reactiekracht in punt B. Het moment op punt x kan nog steeds op dezefde manier as hierboven worden uitgerekend: door de bak door te snijden op punt x, met een afstand x tot punt A. De berekening ziet er dan as vogt uit: M x = q ( x ) z FB ( x ) 1 z = ( x ) 1 1 M x = q ( x ) ( x ) q ( x ) M x = q qx + qx q + qx 1 1 M x = qx qx De momentenijn met de opeggingen zijn hier naast te vinden in figuur.3.5a t/m c. theory 3

33 .3.4 Beasting op een spant. Er gaan meer krachten meespeen as de bak op poten wordt gezet. In voorgaande voorbeeden traden er geen horizontae reactiekrachten op, of waren deze niet te berekenen omdat deze door ae punten in de bak gingen. Ze waren om dezefde reden ook niet van invoed op de momentenijn. As de bak op poten gezet wordt, gaan deze krachten we van invoed zijn, omdat ze een arm hebben ten opzichte van de paats waar omheen het moment wordt berekend. Om de horizontae reactiekrachten te berekenen is het nodig dat de constructie statisch bepaad is. Statisch bepaad betekent niet meer dan dat de constructie door te rekenen is, dat er in vodoende punten een evenwichtsvergeijking opgested kan worden. Hartsuijker (007) egt in zijn boek uit hoe te bepaen is of een constructie statisch bepaad of statisch onbepaad is, ik ga niet dieper dan verteen dat het nodig is een derde scharnier in het spant in te voegen om hem eenvoudig door te kunnen rekenen. Vooropig benader ik ae constructies asof ze statisch bepaad zijn (statisch onbepaade constructies zijn immers vee ingewikkeder door te rekenen). In dit onderzoek ga ik geen statisch bepaade constructies doorrekenen. q h 1/q 1/q 1 q 8h 1 q 8h 1/8q 1/q 1/q 1/8q 1/8q Figuur.3.5 a-c Krachten, opegreacties en momentenijn bij een geijkmatige q-beasting. 33 theory Figuur.3.6 a-c Krachten, opegreacties en momentenijn bij een geijkmatige q-beasting op een driescharnierspant

34 We hebben dus een driescharnierspant waar een q-ast op rust (fig..3.6). De verticae reactiekrachten zijn nu hetzefde as voorheen te berekenen, deze zijn bij een symmetrische beasting de heft van de totae beasting, dus 1/q. Ne we deze reactiekracht weten, kunnen we de spatkrachten berekenen door de som van de momenten door punt C te nemen. Punt C is een scharnier, dus hier kunnen geen momenten optreden. De berekening ziet er dan as vogt uit: M C = M C = FVa q z FHa h z = = q q FHa h = q q = FHa h F 8h q Ha = De spatkrachten zijn dus omgekeerd evenredig afhankeijk van h: wordt h x zo groot, dan wordt de spatkracht x zo kein. Deze spatkrachten vormen een nadee voor boogconstructies: doordat de poten naar buiten wien, moet de fundering niet aeen verstevigd zijn in de verticae richting (met heipaen), maar ook in horizontae richting. In rotsachtige gebieden everen de rotsen vaak zef a genoeg horizontae reactiekracht. In Nederand wordt vaak een boogbrug met onderspanning toegepast. Omdat de poten aan beide kanten een geijke spatkracht hebben, kan deze kracht met een kabe tussen beide poten opgenomen worden. Ook dit driescharnierspant kunnen we afsnijden en daarmee kunnen we weer het moment in de constructie doorrekenen. De formue voor dit moment wordt nu as vogt. Het opvaende is dat de aatste twee termen in de poten niet meedoen, waardoor de paraboovorm pas in de igger begint: theory 34

35 M x = FVa ( x ) FHa y q z ( x ) 1 z = ( x ) 1 1 M x = q ( x ) 8h q y q 1 x ( ) M x = q qx + q y q + qx qx 8h 1y 1 1 M x = q + qx qx 8h De momentenijn die hiermee gevormd wordt is weer te zien in figuur.3.6. Je ziet dat nu het moment behave van een verticae component ook van een horizontae component afhangt. 35 theory

36 .4. Berekeningen voor een boog..4.0 Ineiding Met de basiskennis van het driescharnierspant kunnen we door naar de boogconstructie. In feite bijven de berekeningen hetzefde, immers: de horizontae reactiekracht werkt puur horizontaa, en is enke afhankeijk van een verticae arm. Op dezefde manier werkt op de verticae reactiekracht aeen een horizontae arm. Het verschi met het driescharnierspant in de vorige paragraaf is echter dat nu as de snede wordt verpaatst, er zowe horizontaa as verticaa een verandering paatsvindt: bij het driescharnierspant vond steeds óf een verticae, óf een horizontae verandering paats. Voor de formue zef maakt dit niet uit, aeen voor de uitkomst van het moment in het ichaam. Zoas ik in hoofdstuk.3 a aangaf zuen ae bogen die in dit onderzoek behanded worden, beschouwd worden asof ze een derde scharnier in de top hebben. Dit om de berekeningen eenvoudiger te houden..4.1 Ideae boog bij een q-ast zoeken Nu we de vastgested dat de formue waarmee we de momenten in een boog kunnen berekenen vergeijkbaar is aan die in een driescharnierspant, kunnen we de vorm van de ideae boog opsteen. In de ideae boog treden geen momenten op, dus moet geden: M x = 0 We wien een formue in de vorm van y=ax. Dat wetende, kunnen we de formue die we hadden as vogt uitwerken: 1y 1 1 M x = q + qx qx 8h M x = 0 1y 1 1 q + qx qx = 0 8h 1y 8h q 1 1 = qx qx theory 36

37 .4. Ideae boog bij een andere beasting Deze berekening is gebaseerd op een geijkmatig verdeede q-beasting. De eigenbeasting van een boog is echter niet geijkvormig: aan de zijkanten staat de boog meer verticaa, daar is de (verticae) zwaartekracht dus groter. Om niet te grote stappen te maken zuen we dit eerst narekenen bij een ineair afopende beasting, zoas in figuur.4.1. De formue van deze beasting is tussen 0 en 1/: qmax x q = qmax 1 Na 1/ kopt de formue niet meer. Dit is te voorkomen door de formue absouut te maken, maar daar de beasting symmetrisch is, is de momentenijn en dus de boog dat ook. Dus is het vodoende de momentenijn voor de heft van de boog uit te rekenen. Het eerste wat we moeten doen is de opegreacties bepaen. Dit is wat astiger dan bij een gewone q-ast, omdat de beasting niet overa geijk is. De grootte van de verticae reactiekracht is de heft van de totae beasting. De totae beasting bestaat uit twee driehoeken met basis 1/ en hoogte q max. Dan is de totae beasting 1/ maa basis maa hoogte, dus: 1 1 Ftotaa = q max 1 Ftotaa = qmax Dit is de oppervakte onder de ijn van de q-ast, dus ook te schrijven as integraa: Q q x dx 37 1 x y = 8h hx hx y = = ( ) 1 theory x De reactiekracht in punt A is dan de integraa van 0 tot 1/, dus:

38 F F Va Va 05, = ( ) 0 q x dx, = q 0 max 05 q max q maxx FVa = qmaxx 1 1 qmax FVa = qmax FVa = qmax qmax 4 F = 1 Va q 4 max x dx 05, 0 Dit is niet gehee toevaig precies de heft van F totaa, de waarde die verwacht werd. De horizontae reactiekracht is te berekenen door het moment om punt C te nemen (fig..4.): M C = 0 1 M C = FVa FHa h Q z 1 FVa FHa h Q z = 0 1 FVa Q z = FHa h 1 FVa Q z F = Ha h Q in deze formue is de totae grootte van q over 0 tot 1/. Zwaartepunt z is vogens wiskundige basisreges te bepaen: het zwaartepunt van een driehoek igt immers op 1/3 van haar totae engte. In dit geva dus op /3 van punt C. De totae engte van de driehoekige kracht is 1/, dus z bevindt zich in dit geva 1/3 van punt C. As we aes invuen komen we verder: theory 38

39 F F Ha Ha 1 1 q q = 1 1 max max h 1 = h q 1 8 1h q max max F = Ha 1h q max 4 Voor atere berekeningen is het handig om deze functie as een som van integraen te schrijven: Q is de totae grootte van de beasting, dus de integraa van q over 0 tot 1/. De wiskunde evert een agemene formue voor z. Links voor het zwaartepunt vanaf de x-as, rechts voor het zwaartepunt vanaf punt x: z = x 0 x 0 xf f ( ) ( ) x dx x dx z = x x 0 x 0 xf f ( ) ( ) x dx x dx q Figuur.4.1 Lineair afopende beasting op een boog. h C Figuur.4. Scharnierend punt C in een boog met de opegreactie 1 8h q A 1/q 39 theory B 1/q 1 8h q Figuur.4.3 Opdeen van een dee van de beasting in een driehoek en een rechthoek.

40 Punt x in deze formue is 0,5, q maa z is dan dus: Q z F 1 = Ha 05, = ( ) 0 q x dx 05, 0 05, 0 x q x dx ( ) ( ) q x dx Q z 05, = q ( x ) dx 1 0 Q z 1 05 = q ( x ) dx 0 F Ha is dan te schrijven as: 1 1 qmaxx = qmaxx h 3 05, 0, 05, 0 05, 0 3 x q ( x ) dx q ( x ) dx ( ) x q x dx 1 05, 1 05, 05, q( xdx ) q( xdx ) x q( xdx ) 0 FHa = 0 0 h 1 05, FHa = h x q ( x ) dx 0 Werken we dit uit, dan komen we weer op: 1 05, qmaxx FHa = x q dx h 0 max 05, q max FHa = qmax h FHa = q h 4 max Nu hebben we ae opegreacties bepaad, de vogende stap is de functie van de ideae boog bepaen. Dit kan door de som van de momenten weer geijk te steen aan 0: 0 theory 40

41 FVa x Q z y = FHa Deze formue gedt voor iedere boog bij iedere q-ast. We kunnen haar nog niet heemaa uitwerken, omdat z en Q nog niet bepaad zijn. Beide zijn te bepaen door de beasting over 0 tot x as een rechthoek met een driehoek erop te beschouwen (figuur.4.3), het is echter handiger voor atere berekeningen om de eerder genoemde integraen te nemen. De integraa voor z is dan: De grootte van Q is nu: x q ( x ) dx 0 Gecombineerd evert dit: x x xq ( x ) dx Q z = ( q ( x ) dx ) x 0 0 x q ( x ) dx 0 x x x q x dx xq x dx 41 M x = 0 M x = FVa x FHa y Q z FVa x FHa y Q z = 0 F y = F x Q z z Ha = x x Va 0 x 0 = ( ) 0 xf f ( ) ( ) x dx x dx theory ( ) 0 q = maxx 1 x q x q x qmaxx max max 3 0 qmax 3 1 q max 3 = qmaxx x qmaxx + x x = qmaxx qmax 3 x 3 x 0 Nu kunnen we de hee formue voor y invuen. Agemeen gedt: FVa x Q z y = F Ha 05, x x ( ) ( ) + ( ) x q xdx x q xdx xq xdx y = 1 05, xq x h ( ) dx 0 Met de beasting in dit geva gedt dan: FVa x Q z y = F Ha q x q x q 4 y = 3 1 4h q max y h x x x = 3 y max max max 3 = 8h x 1h x + 6h x 3.4. Basisformue afhankeijk van q Het vat mij nu op dat er een reatie ijkt te zijn tussen de beasting q=q max (x/) n en y. Het ijkt er op dat bij een paraboovormige boog de formue van y geschreven kan worden afhankeijk van (x/) as: n x q = q max y V h x n + V h x n + 1 = n + + n Vn h x n V h x Om dit te testen is het nuttig eerst een formue voor q op te steen, waarbij het da of de top atijd door 1/ gaat. Op die manier zijn de formues eenvoudig te vergeijken. De top x 3 theory 4

42 x q xdx x q xdx xq xdx y = h 05, xq x dx x q 0 y = h x q y = h y = h q ( ) ( ) + ( ) 05, x x ( ) 05, max max max 0 x 1 n ( x ) n + 1 ( ) ( ) x n + 1 ( ) ( ) ( ) n x x dx x q 0 max , n 0 05, 0 xq max x n x x dx + xqmax 0 1 n 1 dx n 1 dx ( ) n ( n + n + ) n + 1 x n + 1 ( x ) ( x ) + x ( n + 1) x qmax n + q max ( n + 1) q max ( ( )) n + 1 ( ) + + x x n 1 n 4( n + 3n + ) ( x ) ( ) x qmax + q n max ( n + 1) ( n + 1) n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 x qmax n n + 1 y = h n x ( x ) ( n + 1) y = h y h x n + = x n ( )( ) q max n + 1 n + 1 x ( x ) x ( ) + q q n n + 1 n + 1 ( ) ( ) n 05, ( ) ( + ( + )) n x x n 1 qmax q n max 4( n + 3n + ) 4 n n + n ( n + n + ) q max max n max ( ) ( )( + ) q max n ( x ) + x ( n + 1 n + ) + n + 1 n n + 1 n ( )( + ) n + ( n + 1) ( n + ) n ( x ) ( + x ( n + 1) )+ n + n n + n + 4( n + 3n + ) ( ) ( ) x 0 n + 1 ( x ) + x ( n + 1 n + ) + q n max 4 n + 3n + 4 n + 3n + n n + n ( + 3n + ) ( ) n 4atheory theory4b

43 y = h ( xn + 4x )( x ) n + n + 1 y = h ( xn + 4x ) + xn + x ( + xn + x ) x n + ( x ) ( ( )) ( x ) ( ) y = h + x y = h 1 x ( ) ( ) y h = x n + n + n + n + n + 1 ( x ) n + + h y = h x + h n + x y = h 1 + h n n + n + 1 ( ) + 1 n a theory theory 43b

44 van x n igt atijd op x=0. Om de top op 1/ te krijgen moet x vervangen worden door (x-1/). Voor x=1/ komt er dan uit (x-1/) = 0. En de top van een paraboo igt atijd bij x=0. Nu moet geden dat bij x=0 en x= dat q=q max. Dan moet (x- 1/) daar dus geijk zijn aan 1. Bij een machtsfunctie gedt y=1 bij x=1 en x=-1. Om y=1 te krijgen moet dus voor x=0 en x= gaan geden (x-1/)=1. Invuen evert 0-1/=1 en -1/=1. Dus -1/=1 en 1/=1. Dit ukt voor beide vergeijkingen as we deen door 1/. X in de formue q=q max x n moet dus vervangen worden door: x x 1 De agemene formue wordt dan: n x q = qmax 1 Met deze formue kunnen we de integraa invuen en de agemene formue afeiden. De afeiding van de formue kost vee ruimte, en is om deze reden terug te vinden in de binnenzijde van dit vouwbad. De uitkomst van deze uitwerking is: n + x y = h 1 + h Om een idee te krijgen hoe deze formues geschreven kunnen worden staan hieronder een aanta voorbeeden waaraan vat te zien dat mijn vermoeden voor de schrijfwijze van kopte. 43 ( ) ( ) + ( ) ( ) 05, x x x q xdx x q xdx xq xdx y = h 05, xq x dx 0 x qx ( ) = qmax 1 x qx ( ) = qmax 1 x qx ( ) = qmax 1 x qx ( ) = qmax 1 y V h x V h x = n + + n Vn h x V h x h +h is immers 0. Wat hier voora opvat is dat de boog nooit de vorm van zijn eigen beasting in kan nemen: de exponent in de formue van de boog is atijd twee hoger dan de exponent in de formue van zijn beasting (fig..5.1). theory theory n + hx hx y = hx hx hx y = hx hx hx hx y = hx hx hx hx y = Kort samengevat Uit bovenstaande formues vat een aanta zaken af te eiden: 1. voor iedere beastingvorm bestaat een formue voor y die as vogt geschreven kan worden: 05, x x x q( xdx ) x q( xdx ) + xq( xdx ) y = h 05, xq x dx 0 ( ). As de formue voor q exponentiee afhangt van x vogens de inker formue, hangt y af van de rechter formue: n x x q = q 1 y = h max 1 + h Het vat dus op dat de grootte van de maximae beasting geen invoed heeft op de hoogte en andersom. Verder is te zien dat de enige verandering die van de exponent is: deze is hoger geworden. Tot sot wordt er een factor h bij de formue opgeted. Deze verdwijnt weer in de aternatieve schrijfwijze hieronder: n + 1 n n + hx 1

45 .5. Berekeningen bij een kettingijn..5.0 Ineiding op de cosinus hyperboicus. In hoofdstuk.4 bekeken we de vorm van de paraboische boog afhankeijk van zijn beasting. De concusie was dat deze boog nooit dezefde vorm krijgt as haar eigenbeasting, omdat de macht van de boog atijd hoger is dan de bijbehorende beasting. Nu is het we wenseijk dat de vorm van de boog geijk kan worden aan zijn eigenbeasting, omdat de momentenijn van een boog dan dezefde vorm heeft as hijzef. De vorm die hiervoor gebruikt wordt is de kettingijn. Deze kan op verschiende manieren geschreven worden, maar de eenvoudigste beschrijving uidt f(x)=cosh(x) De kettingijn werd onder andere toegepast door Gaudi in verschiende van zijn gebouwen (afb..5.1 en.5.). Hij gebruikte hiervoor een draadmode dat hij op zijn kop hing, waardoor de kabes zichzef vormden naar hun eigen beasting. Ook Saarinen gebruikte de kettingijn voor zijn St. Louis Gateway Arch (afb..5.3). Zijn constructeur berekende de ideae vorm echter wiskundig, wat ertoe eidde dat dit bouwwerk een formue heeft. Hier kom ik in het vogende dee op terug. 45 theory Links: afbeeding.5.1 en.5.: Casa Batto (boven) en draadmode Sagrada Famiia (onder). Rechts: afbeeding.5.3 St. Louis Gateway Arch. Bron: Fickr

46 .5.1 Wat meer theorie bij een cosinus hyperboicus De cosinus hyperboicus heeft een aanta eigenschappen die handig zijn om te kennen as we ermee gaan rekenen. Aereerst: net as de meest basis kwadratische functie heeft een standaard cosinus hyperboicus 1 da, en is hij symmetrisch over de y-as. Een verschi is dat cosh(x) met x=0 uitkomst 1 geeft, terwij een kwadratische functie (x ) 0 geeft (fig..5.). Net as bij een paraboovormige boog, wien we het da voor de kettingijn niet op de y-as, maar op x=1/ hebben. Hiervoor moeten we x vervangen door x-1/, net as bij de paraboische functie: q ( x ) = cosh x Vuen we x=1/ in dan krijgen we cosh(1-1), dus cosh(0), en dit is geijk aan 1. We wien nog een vaste waarde voor q max en een vaste paats voor de top, zodat we de vorm van de boog aan de hand van deze variabeen kunnen manipueren. q max is nu astiger te voorspeen dan bij een paraboische formue. We noemen de deer daarom b. As we een gewenste q max hebben kunnen we dan atijd nog de b berekenen: x q ( x ) = cosh b Nu igt het da vast op 1, om ook deze te kunnen bepaen kunnen we de formue vermenigvudigen met a. Dat is ogisch, want dat betekent dat waar de boog vak igt, de beasting geijk is aan a: a representeert dan de eigenbeasting van het materiaa: x q ( x ) = acosh b Door deze ingreep is q max behave van b ook afhankeijk van a. Bij q=q max is nu de verhouding tussen b en a te bepaen: q=q max gedt bij x=0 en x =. Laten we invuen x=: x q ( x ) = acosh b theory 46

47 47 qmax ( ) = acosh b q a h max ( ) = + da q max a + hda q = acosh max b a + hda q max = cosh a b b b = = a + h a theory + a + h a da q max da q max n a + h a + 1 a + h a da q max da q max n Figuur.5.1: een paraboovormige beasting (rood) met haar boog (groen). Figuur.5.: een paraboovormige beasting (rood) met een beasting in de vorm van Figuur.5.3: een beasting in de vorm van een kettingijn (groen) met haar boog (rood). Figuur.5.4: een paraboovormige beasting met afstand tot de x-as (rood) met haar boog (groen). 1 1 b een kettingijn (groen)..5. Bewijs van de kettingijn Dit kunnen we bewijzen door simpe in te vuen. Omdat het bewijs zo groot is, kan je ook dit bewijs in het binnenbad vinden. Wat nu opvat is dat de grootte van q we Figuren : verschi tussen een paraboo en een kettingijn. De formue van een boog behorende bij deze beasting moet andersom zijn: met een top in paats van een da. Om van deze da-formue een berg-formue te maken kunnen we eerder genoemde formue vermenigvudigen met -1: x f ( x ) = acosh b Nu igt de boog echter onder de x-as. We wien de top op hoogte h krijgen. Deze igt op -a. Om hem op de x-as te krijgen moeten we er dus eerst a bij opteen. Daarna moet er nog h bij opgeted worden om de top op h te krijgen: x f ( x ) = a + h acosh b Vogens het vorige hoofstuk zou nu moeten geden f(x)=y: x q ( x ) = acosh b 05, x x x q ( x ) dx x q ( x ) dx + xq ( x ) y ( x ) 0 dx 0 0 = h 05, xq ( x ) dx 0 x f ( x ) = a + h acosh invoed heeft op de grootte van h, in tegensteing tot bij de machtsfunctie. De hoogte van de boog moet geijk zijn aan de hoogte van de beasting (h=h da-qmax ). Dat kopt ook, want de beasting is geijkvormig aan de vorm van de boog: waar de boog steier wordt, wordt de beasting dat ook. Er kan we een factorverschi tussen q en h zitten: vervang in de bovenstaande integraa q voor q, de wordt gewoon weggedeed. Kortom, de boog van een kettingijn is geijk- theory 48

48 48atheory theory48b y x h x q x dx x q x dx xq x dx xq x dx y x x x ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ,, = + h x a x b dx x a x b dx xa x cosh cosh co, sh cosh sinh, x b dx xa x b dx y h x ab x x = + b x ab x b abx x , sinh sinh 0 x b ab x b abx x b x cosh sinh = ab x b y h x ab b cosh sinh, + x ab x b ab b abx x sinh sinh sinh + b ab x b ab b a 0 cosh cosh b ab b y h ab x b ab + = + cosh cosh cosh + = + b ab ab b y h x b cosh cosh cosh = b b ba a h a a da q 1 1 cosh ( ) n max h a da q max 1

49 theory theory 49a 49b b = cosh cosh a h a a h a da q da q 1 1 n max max = cosh cosh n max ma b a h a a h da q da q 1 x cosh a b 1 = + = + + a h a y h x b a h a da q da q max max cosh + = + + a h a y h x b h da q da q max max cosh 1 1 a h a da q max = + + y h x b h da qmax cosh 1 a h a y h x b h a h da q da q da q = + + max max max cosh a y h a h x b h a h h da q da q da = + + = max max cosh 1 q y a x b h a y a h a x b max cosh cosh = + + = + 1